VOLUMENES DE SLIDOS DE REVOLUCION

Los slidos de revolucin son slidos que se generan al girar una regin plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un slido que resulta al girar un tringulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectngulo alrededor de uno de sus lados.

Calculo de volmenes

Mtodo del disco.

Si giramos una regin del plano alrededor de un eje obtenemos un slido de revolucin. El volumen de este disco de radio R y de anchura . es:

Volumen del disco = wR2p

Para ver cmo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un slido de revolucin general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisiones determinan en el slido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la particin, y que da un volumen aproximado del slido es: wR2p

))((121=8. -=SiiininxxcfVLimp Frmula del volumen por discos

Por tanto, recordando la definicin de integral definida de Riemann se obtiene que:

().=badxxfV2)(p

si se toma el eje de revolucin verticalmente, se obtiene una frmula similar:

().=dcdyyfV2)(p

Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos mtodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarn a resolver problemas sobre slidos de revolucin.

COMO HALLAR VLUMENES POR EL MTODO DEL DISCO (O ARANDELA)

1. Dibujar la regin y trazar sobre esta un segmento que

sea PERPENDICULARal eje de rotacin. La regin al hacerla girar alrededor del eje de rotacin generar una seccin transversal tpica en forma de disco o arandela dependiendo el caso. 2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo. 3. Establecer los lmites de integracin. 4. Por ltimo integrar para hallar el volumen deseado.

EJEMPLO 1: La regin entre la curva xy=, y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un slido. Hallar su volumen. 250==x

SOLUCION: Ayudados por la sugerencia anterior

1. TRAZO DE LA REGIN Y DE LA SECCIN TPICA. Abajo se muestra la regin R pedida:

Regin que rota alrededor del eje x

2. EXTRACCIN DEL RADIO PRINCIPAL:Es claro que el mtodo a utilizar es el mtodo de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir:

xr=.

3. LIMITES DE INTEGRACIN:Estos lmites nos lo fueron

dados en el enunciado del ejemplo: 250==x.

4. FORMULACION DE LA INTEGRAL:Aplicando la expresin correspondiente para volmenes usando el mtodo del disco tenemos:

.= badxrV2p .= 2502dx)x(p .= 250dxxp 02522.. . . .. . . =xp 2625p= .

Por tanto el volumen del slido es 2625p u3.

Ejercicio resuelto 2: Hallar el volumen generado por el area bajo la curva generada por el segmento de recta 31xy+= , , 120==x que gira entorno al eje x.

Solucin: primero realicemos las grficas.

Planteamos la integral:

El rea de cada seccin tiene la forma 2) 31()(xxA+=p,

Luego el volumen del slido es

..++=+=12021202) 9321() 31(dxxxdxxVpp

01227332= = .. . .. . ++= xxxxxp = p124 Unidades cbicas

EJERCICIOS PROPUESTOS

En los ejercicios 1-3 halla los volmenes de los slidos generados al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas que se dan alrededor del eje x 1. 29xy-=, . 0=y

2. xcosy=, 20/xp==, 0=x, 0=y.

3. xsecy=, , 0=y4/xp-=, 4/xp=.

En los ejercicios 4-6 halla el volumen del slido generado al girar cada regin

alrededor del eje y.

4. La regin encerrada por el tringulo con vrtices , y . ),(01),(12),(11

5. La regin en el primer cuadrante acotada por arriba por la parbola , por abajo por el eje x y a la derecha por la recta . 2xy=2=x

6. La regin acotada por arriba por la curva xy= y por abajo por la recta xy=.

7. El disco gira alrededor de la recta ayx=+22bx=, con para generar un slido en forma de dona llamado Toro. Halla su volumen. ab>

8. Halle el volumen del slido generado al girar la regin determinada por y la recta 22yyx-=0=x alrededor del eje x.

Halla los volmenes de los slidos generados al girar las regiones alrededor de los ejes dados.

9. La regin en el primer cuadrante acotada por y alrededor de a) el eje x; b) la recta 3xy=xy4= 8=x.

10. La regin acotada por xy= ,2=y, 0=x alrededor de a) el eje x; b) el eje y; c) la recta x = 4; d) la recta y = 2.

2. METODO DE LA ARANDELA.

Este mtodo consiste en hallar el volumen de un slido generado al girar una regin R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

S la regin que giramos para formar un slido no toca o no cruza el eje de rotacin, el slido generado tendr un hueco o agujero. Las secciones transversales que tambin son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del mtodo). Lo anterior lo podemos apreciar el la figura de abajo.

Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio ms grande) lo determina la funcin y el radio interior (radio ms pequeo) lo determina la funcin . Como en la seccin anterior (mtodo del disco) hallamos el rea de la arandela as: fg

Area de la arandela:

En la figura anterior, tenemos: y

Entonces,

)(xfR=

Factorizando , nos queda, .

Ahora podemos establecer la siguiente definicin:

Definicin: El volumen del slido generado al girar la regin R sobre el eje x( o algn eje paralelo a l) viene dado por:

.-= badx)))x(g())x(f((V22p

S el eje de rotacin es el eje y (o un eje paralelo a el) tiene una expresin anloga a la anterior. Luego podemos ver que

.-= dcdy)))y(g())y(f((V22p

es una expresin vlida que evala el volumen de un slido generado al girar una regin R sobre el eje y (o algn eje paralelo a l) con dyc==.

3. METODO DE LOS CASQUILLOS CILNDRICOS.

Ahora vamos a exponer el ltimo mtodo, quizs el mas potente en comparacin a los dos anteriormente vistos; el mtodo de los casquillos cilndricos (tambin se le denomina mtodo de capas). Antes de trabajar con este mtodo, consideremos la siguiente figura:

Tenemos pues una regin R acotada por una funcin f continua y por las rectas ax= y bx=, y se desea hallar el volumen del slido generado al girar esta regin alrededor del eje y. Usando el mtodo de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre R, los radios exterior e interior a saber y )y(fr=1)y(fr=2. Esto era a lo q ue queramos llegar! Ambos radios resultaron ser la misma f. (Hemos supuesto que en f se pueda la variable independiente), y por tanto no se puede aplicar el mtodo de Arandelas ni mucho menos el mtodo del Disco. Luego tenemos que generar una expresin que nos permita hallar el volumen de este slido. Como el segmento trazado era PERPENDICULAR al eje de rotacin, consideremos ahora ese mismo segmento pero PARALELO al eje de rotacin (eje y), como se muestra en la siguiente figura:

Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma un solido como se muestra en la siguiente animacin.

rea que gira entorno al eje y

Para determinar el volumen del slido, tomamos un elemento con forma de cilindro (en vez de arandela o disco) con altura h (longitud del segmento) y radio x (distancia del segmento al eje y). Este hecho se muestra en las figuras de abajo.

Elemento de volumen tomado dentro del rea

Cilindro formado por el volumen del slido

El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen de este casquillo. El volumen correspondiente viene dado por:

xhxcV.=p2

Donde representa el grosor del casquillo (grosor del segmento). x.

Ahora que la suma de todos los volmenes de los casquetes cilndricos tomados del slido, generan aproximadamente el volumen del slido.

Notemos en la figura que la altura hdel cilindro se

expresa por medio de la funcin )(xfh=. Por ltimo si integramos VC con respecto a x obtenemos una expresin matemtica aceptable para el volumen de este slido, a saber: .= badx)x(fxVp2

Nota: tambin representa el grosor del casquillo.dx

La ecuacin anterior es para ejes de rotacin verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x por y

.= dcdy)y(fyVp2

Para y 0=)y(fdyc==. En los siguientes ejemplos aplicaremos estas frmulas y mostraremos su verdadera potencia (ahorro de clculos).

EJEMPLO 1: Halla el volumen del slido generado al girar la regin acotada por xy2=, 2/xy= y 1=x, alrededor del eje y.

SOLUCIN: Como vamos a usar el mtodo del casquillo cilndrico, sobre la regin R trazamos un segmento que sea PARALELO al eje de rotacin, como se muestra en la figura de abajo.

Determinemos ahora el radio y la altura del casquillo. El radio r del casquillo en nuestro caso es x; la altura h del casquillo es, como se puede ver en la figura,

22xxh-=

Refirindonos a los lmites de integracin son y 0=x1=x. Con esta informacin, podemos d ecir que el volumen del slido generado es:

.= 102dxhxVp ... . ...-= 10222dxxxxp .= 10232dxxp

p2=

Luego el volumen de este slido es de p2 u3.

Puede que algunos hayan pensado atacar el ejercicio usando arandelas, pero hubiese sido ms complicado aplicar este mtodo, puesto que hubieran tenido que dividir la regin

en dos partes! Es por esto que el uso del mtodo de casquillos cilndricos se hace ms conveniente.