SLIDOS DE REVOLUCIN

Si una regin en el plano gira alrededor de una recta, el slido resultante se

llama slido de revolucin y la recta se denomina eje de revolucin.

= 2

Volumen representativo:

= (())2.

Volumen del slido

0 ( )

= lim0

(())2

=1.

= (())2

1. Mtodo del disco

Si el eje de revolucin es el horizontal

Utilizaremos la siguiente expresin

= (())2

Si el eje de revolucin es vertical

Utilizaremos la siguiente expresin

= (())2

Ejercicio:

Hallar el volumen del slido formado al girar la regin acotada por la grfica

() = ()

y el eje donde 0 , alrededor del eje .

Solucin:

= (())2

= ( )2

=

= (cos |0

)

= (cos cos 0)

= (1 1)

= 2

2. Mtodo de las arandelas o anillo

Este mtodo se utiliza cuando el slido de revolucin tiene huecos.

= (2 2).

= (2 2)

r

Ejercicio:

Calcular el volumen del solido formado al girar la regin acotada por las

grficas = e = 2, alrededor del eje .

Solucin:

Hallamos los puntos de interseccin, igualando las funciones

= 2 / ( )2

()2

= (2)2

4 = 0

(1 3) = 0

= 0 1 3 = 0

Por tanto

= 0

= 1

Ahora

() =

() = 2

= (())2

(())2

= [()2

(2)2] 1

0

= ( 4)1

0

= 1

0

41

0

=

2(2|

10

)

5(5|

10

)

=

2

5

=3

10

Volumen de un slido alrededor del eje y.

Mtodo de las arandelas:

= ((())2

(())2

)

Ejercicio:

Calcular el volumen del volumen formado al girar la regin acotada por las

grficas = e = 2 alrededor del eje .

Solucin:

R

r

R

r

= 2 / ( )2

()2

= (2)2

4 = 0

(1 3) = 0

= 0 1 3 = 0

Por tanto

= 0

= 1

Ahora

() =

() = 2

= (())2

(())2

= [()2 (2)2]1

0

= ( 4)1

0

= 1

0

41

0

=

2(2|

10

)

5(5|

10

)

=

2

5

=3

10

3. Mtodo de las capas

Ahora vamos a exponer el ltimo mtodo, quizs el ms potente en

comparacin a los dos anteriormente vistos; el mtodo de los casquillos cilndricos

(tambin se le denomina mtodo de capas).

Antes de trabajar con este mtodo, consideremos la siguiente figura:

Tenemos pues una regin acotada por una funcin continua y por las

rectas = y = , y se desea hallar el volumen del slido generado al girar esta

regin alrededor del eje .

y

Usando el mtodo de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda

del segmento trazado sobre , los radios exterior e interior a saber 1 = () y

2 = (). Ambos radios resultaron ser la misma . (Hemos supuesto que en se

pueda la variable independiente), y por tanto no se puede aplicar el mtodo de

Arandelas ni mucho menos el mtodo del Disco.

Luego tenemos que generar una expresin que nos permita hallar el

volumen de este slido. Como el segmento trazado era perpendicular al eje de

rotacin, consideremos ahora ese mismo segmento pero paralelo al eje de

rotacin (eje ), como se muestra en la siguiente

Ahora si giramos alrededor del eje y, se forma un slido como se muestra

en la siguiente figura:

Para determinar el volumen del slido, tomamos un elemento con forma de

cilindro (en vez de arandela o disco) con altura (longitud del segmento) y radio

(distancia del segmento al eje ). El procedimiento a seguir ahora es de hallar el

volumen de este casquillo. El volumen correspondiente viene dado por:

= 2

Donde representa el grosor del casquillo (grosor del segmento). Ahora

que la suma de todos los volmenes de los casquetes cilndricos tomados del

slido, generan aproximadamente el volumen del slido. La altura del cilindro se

expresa por medio de la funcin () = . Por ltimo si integramos con respecto

a obtenemos una expresin matemtica aceptable para el volumen de este

slido, a saber:

= 2()

donde representa el grosor del casquillo

La ecuacin anterior es para ejes de rotacin verticales. Para ejes

horizontales, reemplazamos por

= 2()

Para

() 0

Ejercicio:

Halla el volumen del slido generado al girar la regin acotada por = 2,

=

2 y = 1, alrededor del eje .

Solucin:

Como vamos a usar el mtodo del casquillo cilndrico, sobre la regin

trazamos un segmento que sea PARALELO al eje de rotacin, como se muestra

en la figura de abajo.

= 2

=

2

Determinemos ahora el radio y la altura del casquillo. El radio del casquillo

en nuestro caso es ; la altura h del casquillo es, como se puede ver en la figura,

= 2

2

Refirindonos a los lmites de integracin son = 0 y = 1. Con esta

informacin, podemos decir que el volumen del slido generado es:

= 2 (2

2)

1

0

= 321

0

=3

3(3|

10

)

=

INTRODUCCIN

Uno de los temas ms sensibles en la formacin profesional de cualquier

ingeniero, tiene que ver con el correcto manejo de los procesos de integracin,

pues ste encierra un compendio de conocimientos previos que hacen de forma

llamativa la exploracin del mundo que nos rodea.

A pesar de los grandes avances cientficos y tecnolgicos, el clculo pudo

ver su acelerada participacin a raz de la intervencin de Barrow, Newton y

Leibnitz quienes no se conformaron con los procesos tradicionales sino que

emprendieron una gran cruzada, todos por aparte, de justificar matemticamente

los hechos fsicos que nos rodean.

En el presente trabajo, haremos una trayectoria por temas sensibles como

la misma definicin de integral, tanto definida como indefinida, as mismo su

aplicacin para el clculo de reas y de volmenes de slidos en revolucin.

Se podr apreciar cmo se puede integrar el concepto fsico y el

matemtico en una misma aplicacin y como punto final apreciaremos la ejecucin

de lo antes mencionado en el desarrollo de tres ejercicios prcticos.

CONCLUSIN

Este trabajo nos sirvi para entender las aplicaciones que tienen las

integrales para el uso matemtico en la ingeniera primordialmente. Es una

herramienta muy til para el clculo de reas difciles de solucionar mediante los

mtodos convencionales o por tener formas poco ortodoxas.

Esto no quiere decir que slo con la realizacin de este trabajo, sea

entendible el amplio campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que slo se

lograra esto mediante la prctica constante y minuciosa de cada caso.

BIBLIOGRAFA

Matemticas 6. Larson, Roland E., Hostetler, Robert P. .McGraw Hill, 1989. Bogot , Colombia

Clculo Diferencial e Integra Tercera Edicin. Ayres,Jr., Frank, Mendelson, Elliot. McGraw Hill, 1991. Bogot Colombia.

Anlisis Matemtico (Bilinge Espao-Ingls). Protter, Murray H