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Solução Analítica do Movimento das Vibrações das Válvulas
Semilunares do Coração Modelada por Equações Diferenciais
Fracionárias
Daniele P. Magalhães Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional, UFJF, 36036-330, Juiz de Fora, MG
E-mail: [email protected]
J. A. J. Avila Departamento de Matemática e Estatística - DEMAT, UFSJ, 36307-352, São João Del Rei, MG
E-mail: [email protected]
Resumo
O presente trabalho aproxima a solução analítica do movimento das vibrações da válvula semilunar aórtica do coração. Esse fenômeno é modelado por equações diferenciais
fracionárias não lineares e resolvido pelo Método de Perturbação Homotópica (MPH) e o
software Mathematica.
Palavras-chave: Válvulas Semilunares, Equações Diferenciais Fracionárias, Método de Perturbação Homotópica e Mathematica.
1. Introdução
As válvulas semilunares: aórtica e pulmonar encontram-se na base da artéria aorta e da artéria pulmonar, respectivamente. Elas impedem que o fluxo sanguíneo volte ao coração. Cada
válvula é formada por três pequenas valvas de formato semiesférico. A força que impulsiona a
válvula fechada a vibrar é a diferença de pressão. No caso, da válvula aórtica, é entre a pressão ventricular e a pressão aórtica. Quando estas válvulas se fecham, elas criam vibrações intensas
no sangue e nas paredes cardíacas, tais vibrações, provocam sons que são os respectivos sons
dos batimentos cardíacos. Blick et al. [1] modelou a válvula aórtica como sendo uma membrana
circular de raio a . Momani e Odibat [2] revelam que o MPH é um método analítico alternativo
para resolver equações diferenciais fracionárias. Yldirim e Gulkanat [3] resolve o caso não
linear de [1] usando o MPH. Este, trabalho, acompanha de perto [3] e modifica algumas inconsistências, no referente à família de equações diferenciais, após equação (15).
2. Equação Governante
A equação diferencial fracionária não linear que modela o movimento forçado e
amortecido das vibrações da membrana (válvula aórtica), em qualquer instante de tempo t , é
dada por
3( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
c kx t D x t x t x t f t
m m m
(1)
onde, ( )x t é o deslocamento vertical (deflexão) do ponto médio da membrana, fixa em seus
bordes, em cada instante de tempo t . A derivada fracionária ( )α
tD x t , 0 1 , representa o
termo de amortecimento. As constantes , ,m c k e são, respectivamente, a massa efetiva de
vibração, o coeficiente de força de amortecimento, o fator de rigidez e o parâmetro não linear.
( )f t é a força externa gerada pela diferença de pressões, neste trabalho, constante. As
condições iniciais de (1) são: (0) 0x e (0) 0x . Na verdade, o perfil inicial da membrana, no
instante 0t , é parabólico.
3. Derivada Fracionária
Definição 1. (Derivada Fracionária, segundo Caputo, [4]). Seja 0 e n ,
( )
( )
Γ( ) ( ) ( ) se( )
( ) se
tn α n
α
tn
n α t τ x τ dτ n α nD x t
x t α n
1
01 1
(2)
931
ISSN 1984-8218
4. Método de Perturbação Homotópica - MPH
O MPH produz aproximação de soluções analíticas na forma de uma série convergente,
envolvendo, equações diferenciais fracionárias, [2].
Aplicando o MPH a Eq.(1) temos:
3( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
c kx t f t p D x t x t x t
m m m
(3)
onde [0,1]p . Suponha que a Eq. (3) tenha solução da seguinte forma:
2 3
0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...x t x t x t p x t p x t p (4)
Substituindo (4) em (3) temos a seguinte família de equações diferenciais:
0
3
1 0 0 0
2
2 1 1 0 1
2
3 2 2 0 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )
t
t
t
x t f t
c kx t D x t x t x t
m m m
c kx t D x t x t x t x t
m m m
c kx t D x t x t x t x t
m m m
(5)
com as seguintes condições inicias: 0 0 1 1 2 2(0) (0) 0, (0) (0) 0, (0) (0) 0,...x x x x x x
Tomando ( )f t A , usando (2), as condições iniciais e o software Mathematica, temos
4
2
0
3
1
2 3 3 2 26 10 14 6 2
2
4 8
2 2 2 2
3 36 10 10
2 2 2
( )2
90( )
(5 ) (5) (9)
3( )
720 2688 326144 (7 2 )
2 90 3
(7 ) (11 ) 4(10 )(9 ) (5 )
Atx t
cA kA Ax t
m m m
Ak A k A Acx t t t t t
m m m m
Ack A c A ct t t
m
t
m m
t t
(6)
Substituindo (6) em (4) e aplicando o limite quando 1p obtemos uma aproximação da
solução analítica de nosso problema.
5. Conclusões
O MPH nos leva à aproximação da solução analítica, sem a necessidade de resolvê-la
numericamente, ou, por qualquer outro método de linearização ou perturbação. Abrindo-se um leque de possibilidades em equações diferenciais fracionárias, resolvidas pelo MPH.
6. Agradecimento
Agradecemos à CAPES e UFJF pelo apoio financeiro para a apresentação deste trabalho.
7. Referências
[1] Blick E., Sabbak H. e Stein P. “One-dimensional model of diastolic semilunar valve vibrations productive of hearts sounds”. Journal of Biomechanics 1979; 12:223-227.
[2] Momani S., Odibat Z. “Homotopy perturbation method for nonlinear partial differential equations of fractional order”. Physics Letters A, Vol. 365, 11, 2007; 345-350.
[3] Yldirim A. e Gulkanat Y. “Realiable analysis for the nonlinear fractional calculus model of
the semilunar heart valve vibrations”. I. J. N. Meth. Biom. Eng., Turkey, 2010.
[4] Podlubny I. “Fractional Differential Equations”. Academic Press. New York, 1999.
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ISSN 1984-8218