solução numérica de placas viscoelásticas usando a formulação

Universidade Federal do Rio de Janeiro

SOLUÇÃO NUMÉRICA DE PLACAS VISCOELÁSTICAS USANDO A FORMULAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDO A TEORIA DE KIRCHHOFF APLICADA AO MODELO DE BOLTZMANN

Marina Natsuki Kamino

2014

SOLUÇÃO NUMÉRICA DE PLACAS VISCOELÁSTICAS USANDO A FORMULAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDO A TEORIA DE KIRCHHOFF

APLICADA AO MODELO DE BOLTZMANN


Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Civil da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro.

Orientador: José Antonio Fontes Santiago

Rio de Janeiro

Março de 2014

SOLUÇÃO NUMÉRICA DE PLACAS VISCOELÁSTICAS USANDO A

FORMULAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDO A TEORIA DE KIRCHHOFF

APLICADA AO MODELO DE BOLTZMANN


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinada por:

_________________________________________

Orientador: José Antonio Fontes Santiago, D.Sc.

_________________________________________

Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos, D.Sc.

_________________________________________

Prof. Ricardo Valeriano Alves, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

MARÇO de 2014

i

Kamino, Marina Natsuki

Solução Numérica de Placas Viscoelásticas Usando a

Formulação Diferencial Segundo a Teoria de Kirchhoff

Aplicada ao Modelo de Boltzmann/ Marina Natsuki Kamino.–

Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2014

VIII,71 p.:il;29,7cm


Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Civil, 2014.

Referências Bibliográficas: p. 70-71.

1. Placas 2. Diferenças Finitas. 3. Viscoelasticidade. 4.

Modelo de Boltzmann I. Santiago, J.A.F.. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de

Engenharia Civil. III. Título.

ii

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais, Roberto e Toshie, aos meus avós e toda a minha

família por todo esforço e dedicação e apoio emocional.

Agradeço à minha irmã, Mariana Akina, por ter me apoiado ao longo do meu

trajeto dentro da faculdade e ao meu namorado Rodrigo Rodrigues por ter

compartilhado os momentos tanto de dificuldade quanto de felicidade que passei ao

longo da faculdade.

Agradeço também ao meu professor Santiago por ter me recebido e orientado

em todas as idas à sua sala me auxiliando nas dificuldades que passei durante o

desenvolvimento do meu Projeto de Graduação.

iii

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Solução Numérica de Placas Viscoelásticas Usando a Formulação Diferencial Segundo a

Teoria de Kirchhoff Aplicada ao Modelo de Boltzmann


Março/2014


Curso: Engenharia Civil

Este trabalho consiste em análises quasi-estáticas de placas delgadas viscoelásticas

segundo a teoria de Kirchhoff (teoria clássica) através de modelagem numérica baseada

no método das diferenças finitas central para o espaço e regressiva para o avanço no

tempo. O modelo reológico de Boltzmann foi escolhido para a formulação a partir da

equação diferencial parcial de flexão de placas.

Foi desenvolvido um programa em linguagem FORTRAN adaptado de um programa

existente para placas elásticas, com rotinas que foram adequadas ao problema, para

obter deslocamentos transversais de placas. A solução analítica foi obtida utilizando o

princípio da correspondência para uma placa simplesmente apoiada submetida a um

carregamento constante ao longo do tempo. Ao final do projeto, é apresentado um

exemplo numérico de placa quadrada viscoelástica analisando seu comportamento

quando submetida a dois tipos de carregamento variando no tempo, cujos resultados são

comparados com as soluções analíticas.

Palavras-chave: Placas, Diferenças Finitas, Viscoelasticidade, Modelo de Boltzmann.

iv

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.

Numerical Solution of Viscoelastic Plates Using the Differential Formulation according to Kirchhoff's Theory Applied to Boltzmann Model


Março/2014

Advisor: José Antonio Fontes Santiago

Course: Civil Engineering

This work deals with a quasi - static analysis of viscoelastic thin plates according to the

theory of Kirchhoff (classical theory) by numerical modeling based on central and

backward finite difference methods for space and time approach. The Boltzmann’s

rheological model was chosen differential formulation of plates bending.

A program was developed in FORTRAN language by adapting of an existing program

for elastic plates using appropriate routines in order to obtain transverse displacements

of plates. The analytical solution was obtained using the correspondence principle for a

simply supported plate subjected to a constant load over time. At the end of the project,

a numerical example of viscoelastic square plate is shown when subjected to two types

of time-varying loads. The results are compared with analytical solutions.

Keywords: Plates, Finite Differences, Viscoelastic, Boltzmann Model.

v

ÍNDICE CAPÍTULO 1 - INTODUÇÃO ................................................................................................. - 1 -

CAPÍTULO 2 - TEORIA CLÁSSICA DE FLEXÃO DE PLACAS ........................................ - 3 -

2.1 CONSIDERAÇÕES DA TEORIA ........................................................................... - 3 -

2.2 SISTEMA ORTOGONAL ........................................................................................ - 4 -

2.3 CONVENÇÃO DE SINAIS ...................................................................................... - 5 -

2.4 EQUAÇÕES GEOMÉTRICAS ................................................................................ - 6 -

2.4.1 DESLOCAMENTOS ........................................................................................ - 6 -

2.4.2 DEFORMAÇÕES ............................................................................................. - 7 -

2.4.3 CURVATURAS ................................................................................................ - 8 -

2.5 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS ............................................................................. - 9 -

2.6 EXPRESSÕES TENSÃO-DESLOCAMENTO...................................................... - 10 -

2.7 SOLICITAÇÕES .................................................................................................... - 10 -

2.7.1 MOMENTOS FLETORES E DE TORÇÃO .................................................. - 10 -

2.7.2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA TEORIA CLÁSSICA DE FLEXÃO DE PLACAS - 11 -

2.7.3 CORTANTE.................................................................................................... - 13 -

2.7.4 CORTANTE EFETIVO .................................................................................. - 13 -

2.7.5 REAÇÃO DE CANTO ................................................................................... - 13 -

2.8 TENSÃO EM FUNÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES ............................. - 14 -

2.9 CONDIÇÕES DE CONTORNO ............................................................................ - 15 -

2.9.1 APOIO ENGASTADO ................................................................................... - 15 -

2.9.2 APOIO SIMPLES ........................................................................................... - 16 -

2.9.3 APOIO LIVRE ................................................................................................ - 17 -

CAPÍTULO 3 – VISCOELASTICIDADE ............................................................................. - 18 -

3.1 ELEMENTOS BÁSICOS ....................................................................................... - 18 -

3.1.1 MOLA ................................................................................................................. - 18 -

3.1.2 AMORTECEDOR .............................................................................................. - 19 -

3.2 FLUÊNCIA ............................................................................................................. - 20 -

3.3 RELAXAÇÃO ........................................................................................................ - 22 -

3.4 MODELOS REOLÓGICOS BÁSICOS ................................................................. - 23 -

3.4.1 MODELO DE KELVIN ...................................................................................... - 23 -

3.4.2 MODELO DE MAXWELL ................................................................................ - 24 -

3.5 TRANSFORMADA DE LAPLACE ...................................................................... - 25 -

vi

3.6 FORMULAÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO CONSTITUVA DA VISCOELASTICIDADE .................................................................................................... - 26 -

3.7 PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA ............................................................... - 27 -

3.8 MODELO TRIDIMENSIONAL ............................................................................. - 30 -

3.8.1 FORMULAÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO CONSTITUTIVA DA VISCOELASTICIDADE .................................................................................................... - 32 -

3.8.2 PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA ........................................................... - 33 -

3.9 FORMULAÇÃO DA EQUAÇÃO VISCOELÁSTICA PARA O MODELO DE BOLTZMANN .................................................................................................................... - 34 -

3.9.1 MODELO DE BOLTZMANN ........................................................................... - 34 -

3.10 EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARA A TEORIA DE PLACA APLICADA NA VISCOELASTICIDADE PELO MODELO DE BOLTZMANN ....................................... - 37 -

CAPÍTULO 4 – IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ............................................................. - 40 -

4.1 MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADA EM PLACAS ................ - 40 -

4.1.1 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ............................................................ - 41 -

4.1.2 FUNÇÕES COM COORDENADAS X E Y ...................................................... - 43 -

4.1.3 MALHA DE PONTOS ....................................................................................... - 43 -

4.1.4 APLICAÇÃO NA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PLACAS ......................... - 44 -

4.1.5 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA PLACA ELÁSTICA ..................................... - 45 -

4.2 ALGORITMO DO AVANÇO NO TEMPO - MÉTODO EXPLÍCITO ................. - 45 -

4.2.1 DIFERENÇA FINITA REGRESSSIVA ............................................................. - 45 -

4.2.2 FORMULAÇAO DA PLACA VISCOELÁSTICA ............................................ - 46 -

4.3 ALGORITMO PARA DEFORMAÇÃO LENTA (HISTÓRIA DA CARGA FORNECIDA): ................................................................................................................... - 50 -

4.4 MANUAL DE UTILIZAÇÃO ................................................................................ - 51 -

4.4.1 DADOS DO ARQUIVO DE ENTRADA ........................................................... - 51 -

CAPÍTULO 5 – APLICAÇÕES NUMÉRICAS ..................................................................... - 55 -

5.1 COMPORTAMENTO DE UMA PLACA VISCOELÁSTICA.............................. - 56 -

5.2 ESTUDO DE CONVERGÊNCIA .......................................................................... - 58 -

5.2.1 CONVERGÊNCIA DE MALHA DA PLACA ................................................... - 59 -

5.2.2 CONVERGÊNCIA DO TEMPO ........................................................................ - 61 -

5.3 COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO ATRAVÉS DO TEMPO .................... - 63 -

5.4 CARGA DO TIPO TRAPEZOIDAL INICIAL ...................................................... - 64 -

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES ............................................................................................ - 66 -

CAPÍTULO 7–REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................... - 68 -

vii

Figura 1 – Referência das componentes e da superfície considerada da placa ......................... - 3 -

Figura 2 – Sistema de coordenadas xyz .................................................................................... - 4 -

Figura 3 – Campo de deslocamentos ......................................................................................... - 4 -

Figura 4 – Rotações ................................................................................................................... - 5 -

Figura 5 – Convenção de sinais das tensões locais ................................................................... - 5 -

Figura 6 – Convenção de direção e sentido da carga e dos esforços solicitantes. ..................... - 6 -

Figura 7 – Deformada da placa ................................................................................................. - 6 -

Figura 8 – Curvatura em x......................................................................................................... - 8 -

Figura 9 – Elemento infinitesimal de uma placa com as componentes das solicitações ......... - 12 -

Figura 10 – Reação de canto ................................................................................................... - 14 -

Figura 11 – Apoio do terceiro gênero (Engastado) ................................................................. - 16 -

Figura 12 – Apoio do segundo gênero (Apoiado) ................................................................... - 16 -

Figura 13 – Apoio de primeiro gênero (Livre) ........................................................................ - 17 -

Figura 14 – Representação de uma mola com carga axial aplicada ........................................ - 19 -

Figura 15 – Barra de material elástico com tensão axial aplicada .......................................... - 19 -

Figura 16 – Representação de um amortecedor com carga axial aplicada .............................. - 20 -

Figura 17 – Barra de material viscoso com tensão axial aplicada ........................................... - 20 -

Figura 18 – Gráfico representando a fluência ......................................................................... - 21 -

Figura 19 – Gráfico representando a relaxação (Theisen,2006).............................................. - 22 -

Figura 20 – Modelo Mola-Amortecedor em Paralelo ............................................................. - 23 -

Figura 21 – Modelo Mola-Amortecedor em série ................................................................... - 24 -

Figura 22 – Gráfico da carga P x tempo .................................................................................. - 28 -

Figura 23 – Gráfico da deformação x tempo ........................................................................... - 29 -

Figura 24 – Modelo de Boltzmann .......................................................................................... - 34 -

Figura 25 – Gráfico de malha de pontos ................................................................................. - 43 -

Figura 26 – Representação do deslocamento na malha ........................................................... - 45 -

Figura 27 – Orientação seguida pelo programa....................................................................... - 51 -

Figura 28 – Estrutura dos dados de entrada no programa com tipo de carga tc=1 .................. - 53 -

Figura 29 – Estrutura dos dados de entrada no programa com tipo de carga tc=2 .................. - 53 -

Figura 30 – Estudo do tipo de análise de placas viscoelásticas ............................................... - 56 -

Figura 31 – Gráfico deslocamento x tempo da carga constante .............................................. - 58 -

Figura 32 – Estudo de convergência ....................................................................................... - 59 -

Figura 33 – Estudo de convergência: gráfico com solução aproximada ................................. - 60 -

Figura 34 – Estudo de Convergência do Intervalo do Tempo ................................................. - 61 -

Figura 35 – Estudo de convergência do Intervalo do Tempo: gráfico com solução aproximada .. -

62 -

Figura 36 – Esquema da placa com seus pontos ..................................................................... - 63 -

Figura 37 – Deformada na linha imaginária ............................................................................ - 64 -

Figura 38 – Gráfico deslocamento x tempo da carga trapezoidal ........................................... - 65 -

1

CAPÍTULO 1 - INTODUÇÃO

Seguindo a análise de problemas com flexão de placas compostas de material no

regime elástico segundo a lei de Hooke, houve a necessidade de estudar formulações do

mesmo problema com materiais de características viscoelásticas.

Os materiais viscoelásticos possuem as propriedades de um material de

características elásticas associadas ao de características viscosas. Na fluência

(deformação lenta ou creep) sabe-se a história da tensão e deseja-se estudar o

comportamento da deformação no tempo. Na relaxação sabe-se a história da

deformação e se está interessado em estudar o comportamento das tensões no tempo.

A solução analítica para as placas viscoelásticas pode ser resolvida com base na

Teoria Clássica ou Teoria de Kirchhoff em que se consideram apenas as deformações

por flexão e se desprezam as deformações por cisalhamento transversal

(TIMOSHENKO, 1959 e SZILARD, 1974). Com o modelo viscoelástico definido,

basta aplicá-lo na teoria para obtermos a sua solução analítica, como será mostrado no

projeto.

Assim como em qualquer problema de flexão de placas, quando se emprega a

Teoria Clássica, a determinação da solução analítica fica restrita às condições

particulares de bordo, formato da placa e carregamento, e mesmo para esses casos, as

análises são extremamente trabalhosas e complexas.

Portanto, para este projeto, será utilizado o Método de Diferenças Finitas (MDF)

para tratar a equação diferencial parcial na sua variação com as coordenadas e com o

tempo. O objetivo é aplicar os problemas de flexão de placas constituídas de materiais

viscoelásticos, considerando carga uniformemente distribuída com as condições de

contorno diversas (apoiada, engastada e livre). O comportamento viscoelástico pode ser

representado por vários tipos de modelos que por sua vez são representados por molas e

amortecedores, sendo adotado o Modelo de Boltzmann.

No projeto, foram realizadas adaptações ao programa existente “Placas”,

desenvolvido por MONNERAT (2005) para solução de estruturas do tipo placas finas

elásticas através da teoria de Kirchhoff adaptadas para a análise de placas viscoelásticas

ao longo de um dado período de tempo.

2

No capítulo 2 deste projeto será apresentada a Teoria Clássica de Placas com a

sua formulação e a apresentação da teoria na forma elástica.

O capítulo 3 é dedicado à apresentação da viscoelasticidade com as suas

propriedades e seus elementos básicos. Serão mostrados os modelos básicos e o modelo

de Boltzmann, e através deste modelo, será apresentada a demonstração da equação

diferencial para a teoria de placas aplicando o conceito de viscoelasticidade.

Seguindo para o capítulo 4, este abordará a implementação numérica onde são

descritos: o método numérico, a elaboração do programa “Placas Viscoelásticas”e a

apresentação do algoritmo.

Nos últimos capítulos deste projeto, 5 e 6, serão apresentadas respectivamente :

as aplicações numéricas e as conclusões, bem como propostas para estudos futuros para

outros projetos.

3

CAPÍTULO 2 - TEORIA CLÁSSICA DE FLEXÃO DE PLACAS

Denomina-se placas, os elementos estruturais tridimensionais em que uma das

três dimensões é muito menor que as duas outras restantes. Sua análise será estudada

com base na Teoria Clássica de Placas também conhecida como Teoria de Kirchhoff

(TIMOSHENKO and KRIEGER, 1959).

Segundo a teoria de Kirchhoff, para avaliação do deslocamento transversal das

placas são consideradas somente as deformações por flexão e desprezadas as

deformações cisalhantes, aplicando-se assim somente em placas delgadas de problemas

de flexão.

2.1 CONSIDERAÇÕES DA TEORIA

Figura 1 – Referência das componentes e da superfície considerada da placa

No estudo da placa, são feitas as seguintes considerações para o problema de

flexão:

• Considera-se que as cargas atuam na superfície média plana e as normais ao

plano médio permanecem retas, normais à superfície. Com o plano médio

4

indeformável, as deformações: �� = �� = �� = 0 nas relações deformação-

deslocamento;

• As rotações são pequenas sendo cos ∅ ≈ 1 � sin ∅ ≈ tan ∅ ≈ ∅;

• A componente de tensão na direção z possui um valor menor que as demais

componentes da tensão normal podendo, portanto, ser desprezada nas relações

tensão-deformação �� ≈ 0�. Esta hipótese é válida fora das vizinhanças de

cargas transversais concentradas;

• Os deslocamentos da placa se dão na sua direção vertical da placa.

2.2 SISTEMA ORTOGONAL

O sistema de coordenadas ortogonal x, y e z se encontra na superfície média da

placa que está contida no plano xy, sendo z perpendicular a ela e sua origem pode ser

escolhida em qualquer ponto contido na placa.

Figura 2 – Sistema de coordenadas xyz

O campo de deslocamentos representado por u, v e w é considerado positivo para

o mesmo sentido e direção do sistema de coordenadas ortogonais.

Figura 3 – Campo de deslocamentos

As rotações, denominadas ∅� e ∅�, são representadas na direção x e y

respectivamente, com a mesma direção e sentido positivo quando o índice da rotação

apresenta o eixo perpendicular à direção da rotação.

5

Figura 4 – Rotações

2.3 CONVENÇÃO DE SINAIS

Para o estudo de placas, a convenção de sinais é a mesma utilizada por

MONNERAT(2005 apud TABORDA E VILLAÇA, 2003) baseada na Teoria da

Elasticidade.

Em relação às tensões, segundo a convenção, as componentes que estão

direcionadas no mesmo sentido dos eixos da placa serão positivas, caso contrário,

quando as componentes estiverem no sentido contrário aos eixos, serão negativa.

Quando o sinal for positivo, as tensões normais serão de tração, caso contrário, quando

negativo, serão tensões de compressão.

Figura 5 – Convenção de sinais das tensões locais

Nas tensões cisalhantes, o primeiro índice se refere à direção normal ao plano

em que a tensão atua e o segundo índice refere-se à direção da componente.

As solicitações são representadas na Figura 6. São apresentados os momentos

fletores e cortantes em seu sentido positivo representado junto com o sistema de

coordenadas xyz.

6

Figura 6 – Convenção de direção e sentido da carga e dos esforços solicitantes.

2.4 EQUAÇÕES GEOMÉTRICAS

A análise das equações geométricas é estudada de acordo com o comportamento

do elemento quando sujeito a esforços solicitantes. Assim, analisam-se os

deslocamentos, as curvaturas e as deformações que a placa sofre.

2.4.1 DESLOCAMENTOS

Considerar a representação da deformada da placa segundo o eixo x de Figura 7:

Figura 7 – Deformada da placa

7

Levando em conta que as rotações são pequenas, é possível dizer que: cos ∅� ≈ 1 ∅� ≈ sin ∅� ≈ tan ∅� = ��

Logo, a rotação em x é: ∅� = �� .

Além da rotação, é possível encontrar os deslocamentos:

• Deslocamento na direção z �� = �� − � + � cos ∅� ≈ �� = ��, !�

• Deslocamento na direção x:

"� = −�∅� = −� #�#� = −� #��, !�#�

Analogamente à direção x, encontra-se na direção y:

$� = −�∅� = −� #�#! = −� #��, !�#!

Assim, o campo de deslocamentos será:

" = −� #��, !�#�

$ = −� #��, !�#!

� = ��, !�

(1)

2.4.2 DEFORMAÇÕES

As deformações podem ser escritas de acordo com a teoria linear da elasticidade

relacionando as deformações com os deslocamentos da seguinte forma:

�� = #"#� = −� #²��, !�#�²

�� = #$#! = −� #²��, !�#!²

(2)

8

�� = #"#� = 0

�� = #"#! + #$#� = −2� #'��, !�#�#!

�� = #"#� + #�#� = 0

�� = #$#� + #�#! = 0

(2)

2.4.3 CURVATURAS

Seja um ponto qualquer na superfície média da placa. Existe um raio de

curvatura para os eixos x e y que chamamos respectivamente de rx e ry, como ilustrado

na Figura 8.

Figura 8 – Curvatura em x

Lembrando que a curvatura é o inverso do raio de curvatura, temos: ()� = *�(∅�

9

• Curvatura

+� = 1*�

+� = (∅�()� ≅ #²�#�²

(3)

Analogamente:

+� = #²�#!² (4)

A torção, quando se é dada em relação aos eixos x e y na sua superfície média:

+�� = #²�#�#! (5)

2.5 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

As equações constitutivas relacionam as tensões com as deformações.

Desconsiderando a tensão �� das placas, e atendendo à lei de Hooke generalizada, as

equações para placas são:

�� = ��- − .- ��

�� = ��- − .- ��

�� = /��0 12(�0 = -2�1 + .�

�� = ��- − .- �� + �� ≠ 0

�� = /��0 ≠ 0 �� = /��0 ≠ 0

(6)

As relações dependentes da componente z possuem valores diferentes de zero, o

que não condiz com a hipótese lançada na teoria de placas. Portanto, não são usadas no

desenvolvimento da teoria.

10

Explicitando as tensões, temos:

�� = -1 − .' 4�� + .��5

�� = -1 − .' �� + .��

/�� = -2�1 + .� ��

(7)

2.6 EXPRESSÕES TENSÃO-DESLOCAMENTO

Substituindo as expressões (6) em (7), formam-se as tensões expressa em termos

de deslocamentos:

�� = − -�1 − .' 6#'�#�' + . #'�#!' 7

�� = − -�1 − .' �#'�#!' + . #²�#�² �

/�� = − -�1 − .' �1 − .� #²�#�#!

(8)

2.7 SOLICITAÇÕES

2.7.1 MOMENTOS FLETORES E DE TORÇÃO

As expressões para os momentos fletores e de torção, atuantes na superfície

média, são obtidas por integração das tensões ao longo da espessura da placa

(MONNERAT, 2005 apud RIBEIRO, 1976). Seus momentos são definidos por unidade

de comprimento ao longo da superfície.

• Momentos Fletores

8� = −9 6#'�#�' + . #'�#!' 7

(9)

11

8� = −9 6#'�#!' + . #'�#�' 7

(9)

• Momento de Torção

8�� = −9�1 − .� #²�#�#!

(10)

8�� = −8�� = 9�1 − .� #²�#�#!

9 = -�³12�1 − .²�

Onde, 9 - Rigidez flexional da placa; - - Módulo de elasticidade longitudinal; � – Espessura da placa; . - Coeficiente de Poisson.

2.7.2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA TEORIA CLÁSSICA DE

FLEXÃO DE PLACAS

A equação diferencial da teoria clássica de flexão de placas parte da análise de

um elemento infinitesimal de uma placa qualquer.

Considerando um elemento infinitesimal de uma placa submetido a um

carregamento de valor q na direção transversal ao plano da placa, surgem esforços que

se equilibram como mostrado na Figura 9.

12

Figura 9 – Elemento infinitesimal de uma placa com as componentes das solicitações

Efetuando o equilíbrio destes esforços, é possível obter as seguintes expressões:

• Equilíbrio de momentos na direção x

#8��#� + #8�#! + ;� = 0 (11)

• Equilíbrio de momentos na direção y

#8��#! + #8�#� − ;� = 0 (12)

• Equilíbrio de forças na direção z

∂Q>∂x + ∂Q@∂y − q = 0 (13)

Derivando (11) em relação à y e (12) em relação à x, chega-se a:

#;�#! = − #²8�#!² − #²8��#�#! (14)

#;�#� = #²8�#�² + #²8��#�#! (15)

Somando (14) e (15) e considerando a equação de equilíbrio (13):

#²8�#�² + #²8�#!² − 2 #²8��#�#! = −C (16)

13

Substituindo as expressões (9), (10) na expressão (16), deduz-se a equação

diferencial da teoria clássica de flexão de placas:

#D�#�D + #D�#�²#!² + #D�#!D = C9

∇'∇'� = C9

∇D� = C9

(17)

2.7.3 CORTANTE

Através das expressões (9) e (10) e substituídas em (14) e (15), obtêm-se:

;� = −9 ##� �#'�#�' + #'�#!' � (18)

;� = −9 ##! �#'�#�' + #'�#!' � (19)

2.7.4 CORTANTE EFETIVO

No caso das placas, diferentemente das vigas, é considerada a presença dos

momentos torsores. Para que seja considerado o momento como parte das condições

estáticas, o binário originado dos momentos torsores combinado aos esforços cortantes

é denominada força cortante efetiva.

F� = ;� − #8��#!

(20)

F� = ;� − #8��#� (21)

2.7.5 REAÇÃO DE CANTO

As reações de canto ocorrem em decorrência dos momentos torsores presente

nas placas. Quando estas são segmentadas em elementos infinitesimais na placa, surgem

14

binários que, no canto das placas, provocam uma força resultante devido a esses pares

de momentos com valor igual a 28��.

Observa-se que nos bordos da placa, estas reações de cantos aparecerão

concentradas nos cantos. Logo, quando os apoios adjacentes estiverem livres,

desimpedidos de se deslocarem, os cantos serão erguidos.

Figura 10 – Reação de canto

2.8 TENSÃO EM FUNÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

As tensões presentes nas placas estão representadas em funções de solicitações:

�� = 128�ℎ³ �

(22)

�� = 128�ℎ³ �

(23)

/�� = 128��ℎ³ �

(24)

Os valores das tensões máximas se encontram quando � = ± I'.

��J�� = 6|8�|ℎ² (25)

��J�� = 6M8�Mℎ² (26)

15

/�� = 6M8��Mℎ² (27)

As tensões cisalhantes /�� e /�� são obtidas mediante a consideração do

equilíbrio levando valores iguais a:

/�� = 6;�ℎN 6ℎ'4 − �'7 (28)

/�� = 6;�ℎ³ 6ℎ²4 − �²7 (29)

Os valores das tensões máximas se encontram quando � = 0:

|/��J��| = 3|;�|2ℎ (30)

M/��J��M = 3M;�M2ℎ (31)

2.9 CONDIÇÕES DE CONTORNO

São consideradas as condições de contorno de placa engastada, livre e

simplesmente apoiada.

2.9.1 APOIO ENGASTADO

Considera-se o bordo paralelo ao eixo y. O apoio engastado possui deslocamento

impedido e apresenta momento torsor 8�� igual à zero.

� = 0 #�#� = 0 → #'�#�#! = 0 → 8�� = 0

16

Figura 11 – Apoio do terceiro gênero (Engastado)

2.9.2 APOIO SIMPLES

Considera-se o bordo paralelo ao eixo y. O apoio simples possui deslocamento

impedido e apresenta momento igual à zero. � = 0

8� = 0 → #'�#!' + . #²�#�² = 0 #�#! = 0 → #'�#!' = 0

#'�#�' = 0

Figura 12 – Apoio do segundo gênero (Apoiado)

17

2.9.3 APOIO LIVRE

Considera-se o bordo paralelo ao eixo y. O apoio livre apresenta momento e

cortante efetivo zero.

F� = 0 → #N�#!N + �2 − .� #N�#�#!' = 0

8� = 0 → #'�#�' + . #²�#!² = 0

Figura 13 – Apoio de primeiro gênero (Livre)

18

CAPÍTULO 3 – VISCOELASTICIDADE

Segundo FLÜGGE (1967), alguns materiais tem comportamento com grande

influência da taxa de carregamento. Estes podem apresentar fluência, o que significa

que a deformação é crescente para uma tensão constante, ou seja, a taxa de deformação

depende da tensão. Eles também podem sofrer relaxação, comportamento em que a

tensão é decrescente para uma deformação mantida constante. Estes materiais são

chamados de viscoelásticos e entre eles estão os metais, concreto, materiais

betuminosos, polímeros, dentre outros.

Os materiais viscoelásticos possuem características de um material elástico e

material viscoso com um comportamento intermediário entre eles. Por causa deste

comportamento, os materiais viscoelásticos são dependentes do tempo, o que é

representado na equação constitutiva.

Em problemas que se referem às grandezas de tensão, deformação e

deslocamento, a equação constitutiva seguirá a teoria da viscoelasticidade podendo ser

analisados de forma linear e não linear.

Um material viscoelástico é considerado linear quando em um determinado

tempo, a tensão é proporcional à deformação. Neste trabalho será contemplado somente

o estudo do material viscoelástico de comportamento linear.

3.1 ELEMENTOS BÁSICOS

Dizemos que um material viscoelástico pode ser representado por uma

associação de molas com amortecedores, podendo obter diversos tipos de modelos

reológicos em conjunto com estes dois tipos de mecanismos.

3.1.1 MOLA

O elemento de mola representa o comportamento elástico do material. Quando

em uma barra, é aplicada uma força axial P, o elemento se deforma axialmente

resultando em um deslocamento u conforme a Figura 14 e a Figura 15. Ao se retirar a

força axial, a barra volta à forma de origem, na posição inicial.

19

Dizemos então que este material é elástico-linear em que, ao se aplicar uma

força sobre ele, o elemento se deforma proporcionalmente à tensão aplicada voltando à

posição de origem.

Figura 14 – Representação de uma mola com carga axial aplicada

Figura 15 – Barra de material elástico com tensão axial aplicada

Para um material elástico-linear, temos a relação constitutiva (Lei de Hooke):

� = -� (32)

Onde E é o módulo de elasticidade longitudinal.

3.1.2 AMORTECEDOR

O elemento de amortecedor representa o comportamento viscoso de um material.

A tensão aplicada na barra é proporcional à taxa de deformação que varia ao longo do

tempo.

20

Figura 16 – Representação de um amortecedor com carga axial aplicada

v

Figura 17 – Barra de material viscoso com tensão axial aplicada

Para um amortecedor a relação constitutiva será:

� = R (�(S

� = R�T (33)

Onde R é o coeficiente de viscosidade do material.

3.2 FLUÊNCIA

A fluência é a deformação lenta e progressiva do material viscoelástico quando

submetido a uma tensão constante (LAKES, 2009). Este comportamento é uma das

características de um material viscoelástico que pode ser observado através do ensaio de

fluência ou creep test. A fluência, ou curva de creep, sendo apresentada na Figura 18.

21

Figura 18 – Gráfico representando a fluência

No gráfico tensão x tempo, um valor de tensão �U em uma das dimensões é

aplicado em um instante t. Esta função possui um salto de valor no instante t de um

valor nulo para o valor �U, sendo expresso com uma função degrau no instante t.

��S� = �U∆�S� (34)

Onde ∆�S� é a função degrau.

Nota-se no gráfico deformação x tempo, que no instante em que aparece o salto

no gráfico tensão x tempo, a deformação atinge o valor deformação inicial � e com o

passar do tempo o valor da deformação aumenta devido à parcela viscosa e cria-se uma

curva em que a sua declividade decresce tendendo a declividade zero transformando-se

em uma linha reta que se mantém constante e coincide com o valor de deslocamento de

uma placa de material elástico, paralela ao eixo do tempo. Esta curva é chamada curva

de creep ou fluência.

No instante em que se retira a tensão aplicada, o valor da deformação decresce.

Percebe-se que ao passar do tempo o valor da deformação continua a cair, devendo

atingir o valor zero, caracterizando assim, o material viscoelástico.

22

3.3 RELAXAÇÃO

Outro comportamento físico é a relaxação. Segundo Lakes (2009) relaxação é a

diminuição gradual da tensão quando o material é mantido em deformação constante.

Assim como na fluência, a relaxação é uma característica do comportamento do

material viscoelástico que pode ser comparado através de ensaios, neste caso o ensaio

de relaxação onde se mantém a deformação constante com valor �U.

��S� = �UΗ�S� (35)

Onde Η�S� é a função degrau.

Figura 19 – Gráfico representando a relaxação (Theisen,2006)

Quando aplicada a deformação constante, aparece o salto de tensão que chega a

atingir o valor de um material elástico. Ao longo do tempo a tensão tende a diminuir

formando uma curva decrescente. Ao se retirar a deformação, a tensão torna a dar um

salto no gráfico a valores negativos que ao longo do tempo tem a tendência de

estabilizar na tensão nula.

23

3.4 MODELOS REOLÓGICOS BÁSICOS

Os modelos reológicos são representados por uma associação dos elementos de

mola e amortecedor. Assim, cada modelo possui uma estruturação diferente com os

elementos, seja em série ou em paralelo, para representar o comportamento do material

analisado.

Para a representação dos modelos e seu comportamento são descritos os dois

modelos básicos de um material viscoelástico: o Modelo de Kelvin e o Modelo de

Maxwell.

3.4.1 MODELO DE KELVIN

O modelo de Kelvin, também chamado de Kelvin-Voigt, é composto de uma

associação em paralelo do elemento mola e do elemento amortecedor.

Figura 20 – Modelo Mola-Amortecedor em Paralelo

Nesta estruturação, em ambos os elementos, a deformação é a mesma e a tensão

aplicada é a soma de tensões de cada um dos dois elementos.

• Parcela da Mola

�W = -�W

(36)

• Parcela do Amortecedor

�X = R (�X(S (37)

Em uma associação em paralelo, somam-se as tensões e igualam-se as

deformações:

24

� = �W + �X

(38)

� = �W = �X (39)

Substituindo as expressões (36) e (37) na expressão (38) obtemos a equação

constitutiva do modelo de Kelvin:

� = -� + R (�(S (40)

Na sua forma genérica:

� = CU� + CY�T (41)

Onde, CU = - CY = R

3.4.2 MODELO DE MAXWELL

O modelo de Maxwell é composto de uma associação em série de uma mola e

um amortecedor.

Figura 21 – Modelo Mola-Amortecedor em série

Em uma associação em série, somam-se as deformações e igualam-se as tensões:

� = �W = �X (42)

� = �W + �X (43)

Derivando no tempo a expressão (43), obtemos a equação constitutiva do

modelo de Maxwell:

25

(�(S = 1- (�(S + 1R � (44)

Na sua forma genérica:

� + ZY�T = CY�T

(45)

Onde,

ZY = [\

CY = R

3.5 TRANSFORMADA DE LAPLACE

Segundo Zill e Cullen (2001), desde que sejam especificadas condições iniciais,

a transformada de Laplace reduz um sistema de equações diferenciais lineares com

coeficientes constantes a um conjunto de equações algébricas simultâneas nas funções

transformadas.

A transformada de Laplace pode também ser usada para transformar equações

diferenciais ordinárias em polinômios, de forma a resolvê-las de maneira mais simples

através da solução de uma equação algébrica. Este artifício será usado na aplicação do

modelo reológico apresentado neste projeto.

Supondo uma função ]�S� de uma tensão ou deformação, a transformada de

Laplace pode ser escrita como:

ℒ[]�S�] = ]�̅)� = b ]�S��cde (SfU

(46)

Nota-se que a função, agora, depende somente da variável s. A transformada de

Laplace da derivada da função ]�S� em relação ao tempo pode ser escrita resolvendo

integral por partes.

26

Lg]T�S�h = i ]T�S��cde (SfU = []�S��cde]Uf − i ]�S��−)��cde (SfU =−]�0� + )]�̅)�

(47)

Outras funções podem ser escritas pela transformada de Laplace:

Tabela 1 – Transformadas de Laplace Função Transformada de Laplace j�k� jl�m� ∆�S� 1)

n�S� 1 �coe 1p + )

1p �1 − �coe� 1)�p + )�

3.6 FORMULAÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO CONSTITUVA DA

VISCOELASTICIDADE

Através da combinação dos modelos básicos apresentados, Kelvin e Maxwell

pode-se escrever a seguinte forma padronizada:

� + ZY�T + Z'�q + ⋯ = CU� + CY�T + C'�q + ⋯ (48)

pn e qn são parâmetros que diferem a cada modelo estudado. Observe-se que os

parâmetros p e q são inerentes à tensão e à deformação, respectivamente.

Esta expressão pode ser escrita em forma de operadores diferenciais:

s Zt (t�(StJU = s Ct (t�(St

uU (49)

Simplificando, pode ser escrito como:

27

ℙ� = ℚ� (50)

Onde

ℙ = s Zt (t(StJU

ℚ = s Ct (t(StuU

Aplicando a transformada de Laplace à equação (49), e considerando as funções

e suas derivadas de todas as ordens iguais à zero, temos:

s Zt�)t�l�)��JU = s Ct

uU �)t��̅)��

ou

s Zt)t�lJU = s Ct

uU )t� ̅ (51)

Para mais detalhes ver CHRISTENSEN (1982).

Pode-se escrever a equaçã (51) na forma de polinômios:

x�)��l = ℒ�)��.̅ (52)

Onde, x�)� =∑ Zt)tJU ℒ�)� =∑ CtuU )t

3.7 PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA

Os estudos dos problemas de análise de tensões das estruturas elásticas e

viscoelásticas são similares. Em ambos, as equações de equilíbrio, geométrica e

constitutiva devem ser atendidas, o que nos faz pensar em uma relação entre estes dois

problemas.

28

O que difere as estruturas elásticas das viscoelásticas é a equação constitutiva

onde a lei de Hooke somente satisfaz aos materiais elásticos. Para os materiais

viscoelásticos, a equação constitutiva é dependente do tempo

O princípio da correspondência nos diz que as constantes dos dois tipos de

material se relacionam através de uma equação de igualdade. Para efeito de

exemplificação, supõe-se que uma viga biapoiada elástica esteja submetida à carga

aplicada z = zU constante no meio desta viga. A lei de Hooke será:

��, !, �� = �U��, !, ��- (53)

Sendo �U = 8�!/|�

Supondo agora a mesma viga, porém, com material viscoelástico. Aplicando a

mesma carga aplicada zU no tempo S = 0 e mantida constante, a expressão da carga

será:

z�S� = zU∆�S� (54)

Onde ∆�S� é a função degrau.

Figura 22 – Gráfico da carga P x tempo

Assim, a tensão dependerá do tempo pela expressão:

29

��, !, �; S� = �U��, !, ��∆�S� (55)

Deduz-se que a equação constitutiva do material viscoelástico será:

��, !, �; S� = �U��, !, ��~�S� (56)

Sendo ~�S� a função da fluência, ou de deformação por unidade de tensão

aplicada.

Note-se que a viga tanto elástica quanto viscoelástica, quando está submetida ao

mesmo carregamento aplicado em um instante S = 0 mantido constante, a tensão é a

mesma nas duas situações enquanto que as deformações e os deslocamentos são

diferentes, pois o comportamento da viga viscoelástica dependerá do tempo e é derivada

dos problemas elásticos. Assim, devido ao princípio da correspondência os parâmetros

se relacionam da seguinte forma:

- = 1~�S� (57)

Agora, suponha-se a mesma viga com deflexão � = �U e deformação � = �U

constante imposta no tempo a partir de t=0. A expressão dependente do tempo será:

��S� = �U∆�S� (58)

��S� = �U∆�S� (59)

Figura 23 – Gráfico da deformação x tempo

Assim, a deformação dependerá do tempo pela expressão:

30

��, !, �; S� = �U��, !, ��∆�S� (60)

O que se deduz que a equação constitutiva do material viscoelástico será:

��, !, �; S� = �U��, !, ��S� (61)

Sendo ��S� a função de relaxação ou tensão por unidade de deformação mantida

constante.

Na mesma forma que na situação da tensão constante, desde o instante S = 0 as

deformações são as mesmas na viga de material elástico e viscoelástico e a tensão

dependente do tempo e é obtida do problema elástico. Logo, o parâmetro de elasticidade

E poderá ser substituído por Y(t) como:

- = ��S� (62)

3.8 MODELO TRIDIMENSIONAL

Os modelos viscoelásticos também são aplicados para problemas tridimensionais

onde as tensões e deformações são iguais aos considerados em problemas elásticos,

divididas em duas parcelas: esférica e desviatória, escritas a seguir:

� = � �� /�� /��/�� /��/�� /�� = �) 0 00 ) 00 0 )� �z�*��)]é*��+ � )� )�� )��)�� )� )��)�� )�� )� � �z�*��(�)$��Só*��

� = �� + ��

(63)

31

� = � �� = �� 0 00 � 00 0 �� z�*��)]é*��+ � �� z�*��(�)$��Só*��

� = �� + ��

(64)

A primeira matriz da parcela à direita da equações (63) e (64) iguala as

componentes axiais, deixando nulas as componentes cortantes, representando assim, a

parcela chamada esférica que é a variação do volume do corpo.

A segunda matriz da parcela [equações (63) e (64)] representa o restante das

tensões e de deformações em que foi subtraída a parcela esférica, chamada de

desviatória, representa a mudança da forma do corpo sem a variação em seu volume.

O traço da matriz de tensões e de deformações dividido por três, resulta no valor

do elemento presente da diagonal principal da parcela esférica:

) = 13 4�� + ��+��5 (65)

� = 13 4�� + ��+��5 (66)

Na parcela desviatória, o traço da matriz será igual à zero:

)� + )� + )� = 0 (67)

�� + �� + �� = 0 (68)

As relações constitutivas, quando separadas nas duas parcelas, podem ser

escritas como:

32

• Parcela esférica

�� = 3+�� (69)

Onde K é o módulo de dilatação volumétrica.

• Parcela desviatória

�� = 20�� (70)

Onde G é o módulo de elasticidade transversal.

3.8.1 FORMULAÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO CONSTITUTIVA

DA VISCOELASTICIDADE

A parcela esférica e a desviatória podem ser escritas na forma viscoelástica com

operadores diferenciais como descrito na equação (49):

• Parcela esférica

s ZtW (t��(StJW

t�U = s CtW (t��(StuW

t�Y ,ZU = 1 (71)

Que também pode ser escrito como:

ℙW�� = ℚW�� (72)

• Parcela desviatória:

s Zt� (t��(StJ�t�U = s Ct� (t��(St

u�t�Y (73)

Que também pode ser escrito como:

ℙ�� = ℚ�� (74)

33

3.8.2 PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA

Se aplicada a transformada de Laplace nas equações (72) e (74) e comparando

com as equações (69) e (70) respectivamente, encontra-se uma relação entre as

constantes K e G e os operadores da viscoelasticidade:

xW�)��= ℒW�)�� (75)

x��)��=ℒ��)�� (76)

Como: �� = 3K

�� = 2G

Isto leva à relação: 3K → ℒW�)�/xW�)�; 2G → ℒ��)�/x��)�.

Sabendo-se que no caso das placas elásticas, as constantes K e G possuem

relação direta com a constante elástica E e o coeficiente de Poisson ν, encontra-se uma

expressão final para as placas viscoelásticas, utilizando o princípio da correspondência:

Sabendo-se que:

K = E3�1 − 2ν� ; G = E2�1 + ν�. Logo,

E = 9KG3K + G (77)

34

ν = 3K − 2G2�3K + G� (78)

Aplicando as relações 3K = ℒW�)�/xW�)� e 2G = ℒ��)�/x��)�, obtém-se uma

correspondência entre os materiais elásticos com os materiais viscoelásticos de

componentes tridimensionais:

E = 3ℒW�)�ℒ��)�2x��)�ℒW�)� + ℒ��)�xW�)� (79)

ν = x��)�ℒW�)� + ℒ��)�xW�)�2x��)�ℒW�)� + ℒ��)�xW�)� (80)

3.9 FORMULAÇÃO DA EQUAÇÃO VISCOELÁSTICA PARA O

MODELO DE BOLTZMANN

O modelo escolhido e que será estudado mais profundamente neste projeto é a

análise de placas viscoelásticas segundo o modelo de Boltzmann.

3.9.1 MODELO DE BOLTZMANN

O modelo de Boltzmann segue os modelos reológicos de viscoelasticidade em

que se faz a associação de molas e amortecedores. Este modelo é representado por um

sistema paralelo de mola e amortecedor em série com uma mola como representado na

Figura 24 com seus respectivos módulos de elasticidade e viscosidade.

Figura 24 – Modelo de Boltzmann

35

Para se deduzir a equação constitutiva do modelo de Boltzmann, o modelo foi

separado em duas parcelas: a Parcela 1, referente à parte elástica, e a Parcela 2, referente

à parcela viscoelástica.

Primeiramente, pelo modelo, encontra-se a relação entre as tensões e as

deformações entre si:

� = �W� = �XW (81)

� = �W� + �XW (82)

Cada parâmetro do modelo possui uma representação da tensão:

�W� = -W��W� (Referente a Parcela 1)

(83)

�XW = -XW�XW (Referente ao parâmetro elástico da Parcela 2)

(84)

�X = R�XWT (Referente ao parâmetro viscoso da Parcela 2)

(85)

Analisando-se somente a Parcela 2, nota-se que a representação é igual à do

modelo de Kevin. Logo, a tensão para esta parcela se dá de forma análoga à da

expressão (41):

�XW = -XW�XW + R�XWT (86)

Para efeito de simplificação na dedução da equação constitutiva, o módulo de

viscosidade R é subtituido por �-XW.

�XW = -XW�XW + �-XW�XWT (87)

36

Derivando a expressão (82) e substituindo na expressão (87), temos:

�T = �W�T + �XWT (88)

�XWT = �T − �W�T (89)

�XW = -XW�XW + �-XW��T − �W�T � (90)

Isolando �XW da (90) e �W�da (83) e inserindo em (82) temos:

• Expressão (90) �XW = -XW��XW + ��T − �W�T �� XW-XW = �XW + ��T − �W�T �

�XW = �XW-XW − ��T − �W�T � (91)

• Expressão (83)

�W� = �W�-W� (92)

• Expressão (82) � = �W� + �XW

� = �W�-W� + �XW-XW − ��T − �W�T � (93)

Como � = �W� = �XW � = �-W� + �-XW − ��T − �W�T �

� = �-W� + -XW��-W�-XW − ��T − �W�T �

�-W� + -XW��-W�-XW = � + ��T − �W�T �

�-W� + -XW��-W�-XW = �� + ��T� − ��W�T

� = -W�-XW�-W� + -XW� �� + ��T� − -W�-XW�-W� + -XW� ��W�T

37

� = -W�-XW�-W� + -XW� �� + ��T� − -W��W�T �-XW�-W� + -XW�

Derivando (83): �W�T = -W��W�T Logo: � = -W�-XW�-W� + -XW� �� + ��T� − �-XW�-W� + -XW� �W�T

� = -W�-XW�-W� + -XW� �� + ��T� − �-XW�-W� + -XW� �T

Ajustando na forma genérica: � + �-XW�-W� + -XW� �T = -W�-XW�-W� + -XW� � + �-W�-XW�-W� + -XW� �T (94)

� + ZY�T = CU� + CY�T (95)

Onde,

ZY = �-XW�-W� + -XW� (96)

CU = -W�-XW�-W� + -XW� (97)

CY = �-W�-XW�-W� + -XW� (98)

3.10 EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARA A TEORIA DE PLACA

APLICADA NA VISCOELASTICIDADE PELO MODELO DE

BOLTZMANN

Tomando como base a equação diferencial de placas elásticas da equação (17):

38

#D��, !�#�D + 2 #D��, !�#�'#!' + #D��, !�#!D = C��, !�9

Ou

∇D��, !� = C��, !�9

∇D��, !�9 = C��, !�

∇D��, !� -�N12�1 − .'� = C��, !�

(99)

Sendo, o operador diferencial, concernente às coordenadas cartesianas, escrito

na forma:

∇D��, !� = #D#�D + 2 #D#�'#!' + #D#!D

Aplicando os operadores diferenciais do modelo geral de viscoelasticidade, a

equação diferencial para uma placa viscoelástica será:

ℙ[C��, !, S�] = �N12 ℚ[∇D��, !, S�] (100)

Seguindo com o modelo de Boltzmann, a equação diferencial parcial para uma

placa viscoelástica resulta em:

C��, !, S� + ZY #C��, !, S�#S = �N12 �CU∇D��, !, S� + CY #[∇D��, !, S�]#S � (101)

Onde ZY, CU e CY são as constantes específicas do modelo.

Logo, de forma geral, a equação diferencial para placas viscoelásticas será:

39

C��, !, S� + ZY ##S C��, !, S�= �N12 �CU �#D��, !, S�#�D + 2 #D��, !, S�#�'#!'+ #D��, !, S�#!D �+ CY ##S �#D��, !, S�#�D + 2 #D��, !, S�#�'#!' + #D��, !, S�#!D ��

(102)

40

CAPÍTULO 4 – IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

4.1 MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADA EM

PLACAS

O método de diferenças finitas (SPERANDIO et.al., 2003, RUGGIERO, M.A.G.

e LOPES, V.L.R., 1996) consiste na aproximação das derivadas de uma função, em uma

equação diferencial qualquer, através de diferenças equivalentes.

Considerando que exista uma função contínua ]��, a derivada desta função em

relação a variável � em um ponto será:

(](� = lim∆�→U∆]∆� (103)

Se considerarmos ∆� um intervalo suficientemente pequeno é possível

considerar que:

(](� ≅ ∆]∆� (104)

Portanto, a função ]�� em um ponto onde a coordenada � = �� pode ser escrita

como:

�(](�� ≅ ]�� + ℎ� − ]��ℎ (105)

Onde ℎ é uma distância pequena entre dois pontos não infinitesimal.

A aproximação pode ser analisada em diferentes pontos de vista:

• Diferença finita progressiva – Quando o ponto auxiliar ao ponto �� é um

ponto posterior a ele (�� + ℎ).

�(](�� ≅ ]�� + ℎ� − ]��ℎ (106)

41

• Diferença finita regressiva – Quando o ponto auxiliar ao ponto �� é um ponto

anterior a ele (�� − ℎ).

�(](�� ≅ ]�� − ]�� − ℎ�ℎ (107)

• Diferença finita central – Quando os dois pontos, anterior e posterior a ��, são utilizados.

�(](�� ≅ ]�� + ℎ� − ]�� − ℎ�2ℎ (108)

No caso deste projeto será utilizado a diferença finita central (erro com ordem de ℎ²) devido à sua precisão ser melhor do que as demais (erro com ordem de ℎ).

4.1.1 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Uma forma de se obter as fórmulas aproximadas de diferenças finitas é usando a

série de Taylor truncada (MONNERAT, 2005, apud SZILARD, 1974). Com as funções

dos pontos posterior �� + ℎ� e anterior �� − ℎ� ao ponto �� na forma expandida da série

de Taylor truncada, desprezando-se os termos posteriores a I�'! ¡��¢��£��, e somando-as,

é possível encontrar a derivada de segunda ordem da função ]��:

]�� + ℎ� = ]�� + ℎ �(](�� + ℎ'2! 6('](�'7��+ ℎN3! 6(N](�N7��

+ ⋯

]�� + ℎ� = ]�� + ℎ �(](�� + �¤¥

Onde �¤¥ é o erro de ordem de grandeza igual a ℎ.

]�� − ℎ� = ]�� − ℎ �(](�� + ℎ'2! 6('](�'7��− ℎN3! 6(N](�N7��

+ ⋯

]�� − ℎ� = ]�� − ℎ �(](�� + �¤¦

Onde �¤¦ é o erro de ordem de grandeza igual a ℎ.

42

Somando as duas séries:

]�� + ℎ� + ]�� − ℎ� = 2]�� + ℎ' 6('](�'7��+ 2ℎD4! 6(D](�D7��

+ ⋯

]�� + ℎ� + ]�� − ℎ� = 2]�� + ℎ' 6('](�'7��+ �¤§

Onde �¤§ é o erro de ordem de grandeza igual a ℎ'.

Como o valor de ℎ é pequeno, e somando-se as duas expressões, a ordem de

grandeza é ℎ'·, o erro encontrado na solução é pequeno.

Truncando a série de Taylor a partir da quarta potência em diante, temos como

alternativa, obter a fórmula aproximada de diferenças finitas de segunda ordem:

]�� + ℎ� + ]�� − ℎ� = 2]�� + ℎ' 6('](�'7��

6('](�'7��= ]�� + ℎ� + 2]�� + ]�� − ℎ�ℎ' (109)

Com este procedimento, também é possível encontrar expressões para derivadas

de ordem superior:

• Derivada de terceira ordem

6(N](�N7��= ]�� + 2ℎ� − 2]�� + ℎ� + 2]�� − ℎ� − ]�� − 2ℎ�2ℎN (110)

• Derivada de quarta ordem

6(D](�D7��= ]�� + 2ℎ� − 4]�� + ℎ� + 6]�� − 4]�� − ℎ� + ]�� − 2ℎ�ℎD

(111)

43

4.1.2 FUNÇÕES COM COORDENADAS X E Y

Os fundamentos teóricos aplicados para uma função contínua de uma variável

pode ser expandida para duas ou mais variáveis. Se aplicados a uma função ]��, !�, a

forma será análoga à expressão (109) sendo aplicada para cada uma das variáveis � e !:

6#']#�'7��= ]�� + ℎ�, !�� + 2]��, !�� + ]�� − ℎ� , !��ℎ' (112)

6#']#!'7��= ]4��, !� + ℎ�5 + 2]�� , !�� + ]4��, !� − ℎ�5ℎ' (113)

6 #']#�#!7 ��!=!�= ]4�� + ℎ�, !� + ℎ�5 − ]4�� − ℎ� , !� + ℎ�5 + ]4�� − ℎ� , !� − ℎ�5 − ]4�� + ℎ� , !� − ℎ�5ℎ'

(114)

Sendo ℎ�e ℎ� incrementos na direção � e ! respectivamente podendo tomar valores

iguais, como será considerado neste trabalho:ℎ� = ℎ� = ℎ.

4.1.3 MALHA DE PONTOS

Se considerarmos que cada uma das funções apresentadas na forma de

diferenças finitas, são representadas como pontos em uma malha, também chamada de

célula, representada na Figura 25 em um plano �!, e que o ponto 0 é a função central ]��, !�, as derivadas da função são representadas enumerada em cada ponto da malha.

Figura 25 – Gráfico de malha de pontos

44

• Representação da derivada de segunda ordem através da malha

6#']#�'7 = ]Y + 2]U + ]Nℎ'

6#']#!'7 = ]' + 2]U + ]Dℎ'

¨ #2]#�#!© = ]5 − ]6 + ]7 − ]84ℎ'

(115)

• Representação da derivada de terceira ordem através da malha

6#N]#�N7 = ] − 2]Y + 2]N − ]YY2ℎN

6#N]#!N7 = ]YU − 2]' + 2]D − ]Y'2ℎN

6 #N](�(!'7 = ]® − ]̄ − 2]Y + 2]N + ]° − ]±2ℎN

6 #N](�'(!7 = ]® + ]̄ − 2]' + 2]D − ]° − ]±2ℎN

(116)

• Representação da derivada de quarta ordem através da malha 6#D]#�D7 = ] − 4]Y + 6]U − 4]N + ]YYℎD

6#D]#!D7 = ]YU − 4]' + 6]U − 4]D + ]Y'ℎD

6 #D]#�'#!'7= ]® + ]̄ + ]± + ]° + 4]U − 2�]Y + ]' + ]N + ]D�ℎD

(117)

4.1.4 APLICAÇÃO NA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE

PLACAS

Agora, analisa-se a função ]��, !� como sendo a representação da função

deslocamento ��, !� das placas. As derivadas da função deslocamento podem ser

apresentadas na forma de diferenças finitas segundo MONNERAT (2005).

45

Figura 26 – Representação do deslocamento na malha

4.1.5 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA PLACA ELÁSTICA

A representação da expressão (17), equação diferencial de placa, na forma de

diferenças finitas, será: [� + �YU + �YY + �Y' + 2��® + �¯ + �± + �°�− 8��Y + �' + �N + �D� + 20�U] 1ℎD = C9

(118)

4.2 ALGORITMO DO AVANÇO NO TEMPO - MÉTODO

EXPLÍCITO

4.2.1 DIFERENÇA FINITA REGRESSSIVA

Segundo GERALD e WHEATLEY (1984), o método explícito é uma

aproximação para resolver equações diferenciais parciais parabólicas por método

numérico substituindo as derivadas parciais por aproximações de diferenças finitas.

No presente trabalho, foi usada a diferença finita regressiva para considerar a

variação no tempo:

#�#S = ��t − ��tcY∆S + ²�∆S�

��t = #�#S ∆S + ��tcY − ²�∆S�

(119)

46

O índice i representa a posição do ponto e é escrito como subíndice da

expressão. O índice k representa o tempo em que se encontra o ponto i. O tempo para o

método explicito é referente ao tempo anterior (³ − 1) conhecendo o tempo atual ( k ).

Este método auxiliará na resolução do sistema considerado no programa para a

avaliação dos deslocamentos futuros fazendo com que o programa possa resolver o

sistema através dos deslocamentos anteriores conhecidos.

4.2.2 FORMULAÇAO DA PLACA VISCOELÁSTICA

Para a formulação da placa viscoelástica, considerou-se a equação diferencial (17)

aplicado no ponto (x´, y´) em um tempo atual St. Segundo a expressão escrita na forma

de diferenças finitas, temos:

∇D�� , !�, St�= ��,t + ��,YUt + ��,YYt + ��,Y't + 24��,®t + ��,t̄ + ��,±t + ��,°t 5ℎD− 84��,Yt + ��,'t + ��,Nt + ��,Dt 5ℎD + 20��,Ut

ℎD

(120)

Nota-se que operador diferencial está dependente agora das coordenadas e do

tempo. O índice i indica o ponto pertencente ao domínio da placa no qual a EDP

(Equação Diferencial Parcial) é aplicada, os índices numéricos são referentes à célula

local, conforme a Figura 26 e o índice k indica que a expressão está representada no

tempo atual.

Aplicando à equação diferencial parcial da placa viscoelástica, os operadores

diferenciais, temos:

• Equação da EDP usando o modelo de Boltzmann:

C��, !, S� + ZY ##S C��, !, S� = �N12 µCU∇D��, !, S� + CY ##S [∇D��, !, S�]¶ • Aplicando as diferenças finitas:

47

C��, !�, St� + ZY∆S [C��, !� , St� − C�� , !�, StcY�]= �NCU12ℎD g��,t + ��,YUt + ��,YYt + ��,Y't+ 24��,®t + ��,t̄ + ��,±t + ��,°t 5− 84��,Yt + ��,'t + ��,Nt + ��,Dt 5 + 20��,Ut h+ �NCY12ℎD∆S ·��,t + ��,YUt + ��,YYt + ��,Y't+ 24��,®t + ��,t̄ + ��,±t + ��,°t 5− 84��,Yt + ��,'t + ��,Nt + ��,Dt 5 + 20��,Ut− g��,tcY + ��,YUtcY + ��,YYtcY + ��,Y'tcY+ 24��,®tcY + ��,t̄cY + ��,±tcY + ��,°tcY5− 84��,YtcY + ��,'tcY + ��,NtcY + ��,DtcY5 + 20��,UtcYh¸

(121)

As relações dos deslocamentos na célula (malha de pontos) são:

��,Ut = �t��, !��

��,Yt = �t�� + ℎ, !��

��,'t = �t��, !� + ℎ�

��,Nt = �t�� − ℎ, !��

��,Dt = �t��, !� − ℎ�

��,®t = �t�� + ℎ, !� + ℎ�

��,t̄ = �t�� − ℎ, !� + ℎ�

��,±t = �t�� − ℎ, !� − ℎ�

��,°t = �t�� + ℎ, !� − ℎ�

��,t = �t�� + 2ℎ, !��

��,YUt = �t��, !� + 2ℎ�

��,YYt = �t�� − 2ℎ, !��

��,Y't = �t��, !� − 2ℎ�

(122)

Colocando as relações dos deslocamentos e das constantes na forma de vetores

têm-se:

48

• Deslocamentos

4¹�t5º= ·��,Ut , ��,Yt , ��,'t , ��,Nt , ��,Dt , ��,®t , ��,t̄ , ��,±t , ��,°t , ��,t , ��,YUt , ��,YYt , ��,Y't ¸ (123)

• Constantes

»º = {20, −8, −8, −8, −8, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1} (124)

Considerando C�t = C��, !�, St� como a carga uniformemente distribuída no

ponto � e no tempo atual ³, e os vetores de deslocamentos e constantes, a expressão

(120) será escrita da seguinte forma:

C�t + ZY4C�t − C�tcY5∆S = CU�N12ℎD »º¹�t + CY�N12ℎD∆S g»º¹�t − »º¹�tcYh

Isolando os deslocamentos atuais ¹tchega-se à expressão final:

»º¹�t = 12ℎD�∆SC�t + ZYΔC�t� + CY�N»º¹�tcY�N�CU∆S + CY�

Ou

»º¹�t = 12ℎD∆S�N�CU∆S + CY� C�t + 12ℎDZY�N�CU∆S + CY� ΔC�t

+ CY�N�N�CU∆S + CY� »º¹�tcY

(125)

Em ambos os lados da expressão tem-se produtos escalares. Desta forma não se

pode isolar os deslocamentos no tempo atual. A solução, então, é aplicá-la

iterativamente em todos os pontos internos, montando o sistema de equações global,

chegando à fórmula iterativa matricial:

¿¹t = 12ℎD∆S�N�CU∆S + CY� Àt + 12ℎDZY�N�CU∆S + CY� ÁÀt + CY�N�N�CU∆S + CY� ¿¹tcY (126)

49

Considerando:

Â = CY�N�N�CU∆S + CY� ¿

Ãt = 12ℎD∆S�N�CU∆S + CY� Àt + 12ℎDZY�N�CU∆S + CY� ÁÀt

A fórmula iterativa matricial será:

¿¹t = Ãt + Â¹tcY (127)

¿ e Â são as matrizes esparsas globais que contém as constantes, o vetor ¹t

contém as incógnitas dos deslocamentos no tempo atual St e o vetor independente Ãt

contém as constantes do modelo viscoelástico de Boltzmann, o vetor com a variação no

tempo da carga uniformemente distribuída ÁÀt = Àt − ÀtcY e o intervalo de tempo.

Entrando com as condições de contorno, temos a formulação matricial global

final:

Ä¹t = Åt (128)

Onde a matriz Ä representa todos os pontos da placa, já com as considerações das

condições de contorno. O vetor ¹t, os deslocamentos em cada ponto da matriz e o

vetor Åt representa os parâmetros do problema fornecidos e de valores prescritos.

50

4.3 ALGORITMO PARA DEFORMAÇÃO LENTA (HISTÓRIA DA

CARGA FORNECIDA):

Atribuído à formulação final da placa viscoelástica na programação

computacional, o algoritmo aplicado ao programa segue o seguinte desenvolvimento:

ALGORITMO PLACAS VISCOELASTICAS

MONTAR A MATRIZ DE MAPEAMENTO (Æ); LER NÚMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ (Ç�);

LER TEMPO TOTAL (ÈeÉe); LER INTERVALO DE TEMPO (ΔS);

CALCULAR O NÚMERO DE ITERAÇÕES (2 = ÈeÉe/ΔS);

MONTAR O VETOR Àt, �³ = 1, ⋯ , 2�, SEGUNDO A HISTÓRIA DEFINIDA;

INICIALIZAR PROCESSO ITERATIVO: ¹U = Ê ÀU = Ê;

FAZER ³ = 1, 2

CALCULAR ÁÀt = Àt − ÀtcY;

MONTAR A MATRIZ GLOBAL Ä:

FAZER � = 1, Ç�

LER CODIGO DO PONTO DA MATRIZ DE MAPEAMENTO

SE PONTO FOR CONTORNO DA PLACA

APLICAR AS CONDIÇÕES DE CONTORNO

SE PONTO FOR INTERNO A PLACA

APLICAR A EQUAÇÃO DIFERENCIAL

ATUALIZAR O VETOR INDEPENDENTE CONSTITUÍDO DE ÃË E ÂwËcY;

FIM DO MONTAR A MATRIZ GLOBAL Ä

RESOLVER O SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES:

Ä¹t = Åt

FIM DO FAÇA ³

IMPRIMIR OS DESLOCAMENTOS FINAIS: ¹t

FIM

51

4.4 MANUAL DE UTILIZAÇÃO

4.4.1 DADOS DO ARQUIVO DE ENTRADA

O programa “Placas Viscoelásticas” seguirá a mesma orientação do programa

Placas (MONNERAT, 2005) como indicado na Figura 27:

Figura 27 – Orientação seguida pelo programa

1a linha: Dedicada a escrever o titulo do exemplo

2a linha: Tipo de carga:

• tc=0 para carga constante - Mostra resultados de placas de material elástico

• tc=1 para carga constante

• tc=2 para carga crecente de forma trapezoidal no momento inicial

3a linha: Espessura da placa

4a linha: Coeficiente de Poisson da placa

5a linha: Módulo de elasticidade da placa

6a linha: Espaçamento entre os pontos de discretização da placa

7a linha: Constantes p1,q0,q1 do modelo de Boltzmann respectivamente nesta ordem

8a linha: Coordenadas x e y respectivamente do ponto 1


52



12a linha: Valor do carregamento distribuído

13a linha: Coordenadas x e y respectivamente do ponto inicial da atuação do

carregamento distribuído

14a linha: Coordenadas x e y respectivamente do ponto final da atuação do

carregamento distribuído

15a linha: Caso histórico de carregamento tc=2:

*16a linha: Valor do tempo no instante t1

*17a linha: Valor do tempo no instante t2

18a linha/15a linha: Valor do tempo final do histórico do carregamento e Intervalo de

tempo em que o histórico do carregamento será segregado

19a linha/16a linha: Coordenada do ponto que serão analisados os deslocamentos

20a linha/17a linha: Código da condição de contorno da placa no lado 1




Código da condição de

contorno da placa

Condição de apoio da

placa

1 Bordo Livre

2 Bordo Apoiado

3 Bordo engastado

Tabela 2 – Código das condições de Contorno

Figura 28 – Estrutura dos dados de entrada no programa com tipo de carga tc=1

Figura 29 – Estrutura dos dados de entrada no programa com tipo de carga tc=

Estrutura dos dados de entrada no programa com tipo de carga tc=1

Estrutura dos dados de entrada no programa com tipo de carga tc=

53



54

Para utilizar o programa “Placas Viscoelásticas”, os dados de entrada deverão

ser escritos necessariamente na ordem apresentada neste projeto, em um arquivo de

extensão. “DAT”. As unidades devem estar compatíveis com o arquivo de saída que o

usuário desejar.

55

CAPÍTULO 5 – APLICAÇÕES NUMÉRICAS Neste capítulo, são feitas as aplicações numéricas pelo programa “Placas

Viscoelásticas”. As análises realizadas visam estudar o comportamento viscoelástico e

comprovar a consistência do programa de acordo com as referências aqui estudadas.

Nos estudos da viscoelasticidade, é comum encontrar o uso das tensões e

deformações separando-as em parcelas, esférica com o modelo elástico, e desviatória

com o modelo viscoelástico. Esta solução analítica é expressa como:

• Expressão viscoelástica com a separação do modelo em parcela esférica e

desviatória:

g�t� = 12qeN Ï 3K + 2qU6KqU + qU' + ÐcÑÒÓÒÔ�pYqU − qY�2qUqY + 3ÐcÑ �¯Ö×ÒÓ�¯ÖØÔ×ÒÔ�pYqU − qY�2�6K + qU��6KpY + qY�Ù

• Método de Navier para placas viscoelásticas:

w�x, y, t� = 16 × g�t�π¯ × s s 1mn Ü¡ma £' + ¡nb£'Þ

fß�Y

fà�Y sen mπxa sen nπyb

A solução apresentada neste projeto consiste na aplicação do modelo viscoelástico

sem a separação entre as parcelas. A figura 30 apresenta as duas alternativas com as

suas respectivas soluções analíticas, comparando-as com o resultado elástico.

56

Figura 30 – Estudo do tipo de análise de placas viscoelásticas

Analisando-se a figura 30 é possível notar a diferença entre os resultados da

análise viscoelástica. A curva para a análise das parcelas esférica e desviatória juntas

mostra valores de deslocamentos maiores que a análise com as parcelas separadas. Estes

valores podem ser interpretados como uma consequência ao utilizar o modelo de

Boltzmann em ambas às parcelas (esférica e desviatória). Como o modelo viscoelástico

é uma expressão dependente do tempo, as duas parcelas contribuem para o crescimento

do deslocamento.

No caso da análise das duas parcelas separadas, a esfárica representa o modelo

elástico, não variando com o tempo, fazendo com que a expressão que representa o

modelo da placa viscoelástica passe a crescer com valores menores que a análise das

parcelas juntas.

5.1 COMPORTAMENTO DE UMA PLACA VISCOELÁSTICA

Supondo uma placa simplesmente apoiada nas quatro bordas, composta de

material viscoelástico de dimensões iguais a 6x6m e espessura 0,10m, que está

submetida a um carregamento uniformemente distribuído de q=0,01kN/m² a partir do

tempo t = 0 e mantido constante. A figura 30 mostra o comportamento viscoelástico na

placa, adotando o ponto de coordenadas (3;3) e considerando os valores dos

deslocamentos ao longo do tempo, com o incremento h=0,25m.

0 500 1000 1500

DE

SLO

CA

ME

NT

O (

m)

TEMPO (DIAS)

Estudo do tipo de análise de placas viscoelásticas

Análise Elástica

Análise viscoelastica com as parcelas esferica e desviatória juntas

Análise viscoelastica com as parcelas esferica e desviatória separadas

3,27R

2,28R

R

57

Dados:

Propriedades viscoelásticas

• ν = 0,368 (Coeficiente de Poisson)

• E = 43240,0kN/m²(Módulo de elasticidade)

• pY = 50dias (Constante do modelo de Boltzmann)

• qU = 5,0 × 10®kN/m²(Constante do modelo de Boltzmann)

• qY = 5,0 × 10¯kN. dia/m²(Constante do modelo de Boltzmann)

Parâmetros de tempo

• ∆t = 0,5dia (Intervalo de tempo)

• tf = 1600dias (Tempo final da análise)

Tabela 3 – Valores de deslocamento em tempos específicos

Resultado do programa Placas Viscoelásticas

Tempo (Dias)

Deslocamento nas coordenadas (3;3) (m)

0 0,0063 200 0,0117 400 0,0124 600 0,0125 800 0,0125 1000 0,0125 1200 0,0125 1400 0,0125 1600 0,0125

Na tabela 3 foram apresentados os valores de deslocamentos para tempos

específicos da análise realizada. Nota-se que os valores dos deslocamentos tendem a se

estabilizar no valor igual a 0,0125. Se analisar junto com a solução elástica da placa de

valor 0,0126, os valores coincidem com erro relativo de 0,30% fazendo com que a

resposta viscoelástica se aproxime da elástica.

58

Figura 31 – Gráfico deslocamento x tempo da carga constante

No instante após t = 0, o gráfico da figura 31 salta do valor zero para um valor

igual a 0,0063m. Este valor tende a crescer até permanecer em um valor constante de

valor igual a 0,0125m, valor este que coincide com o valor do deslocamento de uma

placa elástica. Isto mostra que o comportamento obtido pelo programa está compatível

com as características presentes em um problema viscoelástico.

5.2 ESTUDO DE CONVERGÊNCIA

O estudo de convergência consiste em provar a consistência dos resultados,

variando os valores da distância entre pontos da malha (incremento) e variando o

intervalo de tempo entre as iterações. Estes valores também são comparados com os

resultados analíticos.

O resultado analítico foi encontrado aplicando os parâmetros viscoelásticos no

Solução de Navier para placas simplesmente apoiadas:

• Parcela viscoelástica:

g�t� = 12qeNqU Ï1 + ÐcÑÒÓÒÔ�pYqU − qY�qY Ù (129)

• Método de Navier para placas viscoelásticas:

0 500 1000 1500DE

SLO

CA

ME

NT

O (

m)

TEMPO (DIAS)

Deslocamentos ao longo do tempo do ponto (3;3)

Curva dos deslocamentos

Solução Elastica

0,

0,49R

R

59

w�x, y, t� = 16 × g�t�π¯ × s s 1mn Ü¡ma £' + ¡nb£'Þ

fß�Y

fà�Y sen mπxa sen nπyb (130)

5.2.1 CONVERGÊNCIA DE MALHA DA PLACA

Suponhamos agora a mesma placa variando a malha com quatro valores

diferentes: h=0,25/0,1/0,5/1,0. Com a variação da malha da placa é possível analisar a

convergência dos valores junto à solução analítica fazendo com que se prove que os

valores dos deslocamentos se aproximam da solução analítica. Os valores são plotados

da Figura 32 e 33 (Detalhes):

Figura 32 – Estudo de convergência

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0 200 400 600 800

DE

SLO

CA

ME

NT

O (

m)

TEMPO (DIAS)

Estudo de Convergênciah=0,10

h=0,25

h=0,50

h=1,00

Solução Analítica

60

Figura 33 – Estudo de convergência: gráfico com solução aproximada

Tabela 4 – Valores do deslocamento com o refinamento da malha

Tempo (Dias)

Deslocamento nas coordenadas (3;3) (m)

h (Espaçamento entre pontos da placa) Solução

Analítica 0,1 0,25 0,5 1,0

0 0,00632 0,00632 0,00632 0,00632 0,00635

300 0,01231 0,01229 0,01226 0,01220 0,01232

600 0,01260 0,01259 0,01255 0,01249 0,01262

São considerados na tabela 4, para a análise da malha, os valores iniciais t = 0

no tempo médio t= 300 e o tempo final de t = 600. É possível notar que à medida que

a malha é refinada, o deslocamento se aproxima da solução analítica.

Erro Relativo (%)

h

(Espaçamento entre pontos da placa)

Tempo (Dias)

0,1 0,25 0,5 1

0 0,5012 0,5178 0,5783 0,8409

300 0,5190 0,5356 0,5961 0,8586

600 0,5025 0,5184 0,5796 0,8421

Tabela 5 – Erro relativo do deslocamento com o refinamento da malha

0.012

0.0121

0.0122

0.0123

0.0124

0.0125

0.0126

0.0127

300 400 500 600 700

DE

SLO

CA

ME

NT

O (

m)

TEMPO (DIAS)

Estudo de Convergência

h=0,10

h=0,25

h=0,50

h=1,00


61

Estudando o erro relativo destes três mesmos pontos, os valores em porcentagem

próximos de 1%, o que se considera um erro que pode ser desprezado.

5.2.2 CONVERGÊNCIA DO TEMPO

Outra maneira de analisarmos a convergência de valores do deslocamento é

variar os valores do intervalo de tempo. São adotados os seguintes valores: ∆t =0,25/0,1/0,5/1,0. Eles são plotados na figura 34 e 35 (Detalhes) fixando o valor do

incremento em a ℎ = 0,25Ç:

Figura 34 – Estudo de Convergência do Intervalo do Tempo

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0 200 400 600 800

DE

SLO

CA

ME

NT

O (

m)

TEMPO (DIAS)

Estudo de Convergência do Intervalo de Tempo

Intervalos de 0,1 em 0,1

Intervalo de 0,25 em 0,25



Analítica

62

Figura 35 – Estudo de convergência do Intervalo do Tempo: gráfico com solução aproximada

Tempo (Dias)

Deslocamento nas coordenadas (3;3) (m) ∆t (Intervalo de Tempo)


0,1 0,25 0,5 1,0

0 0,0063 0,0063 0,0063 0,0063 0,0063 300 0,0123 0,0122 0,0122 0,0122 0,0123 600 0,0126 0,0125 0,0125 0,0125 0,0126

Tabela 6 – Valores do deslocamento com o refinamento do intervalo de tempo

Da mesma forma em que foi observada pelo refinamento da malha, observa-se

que no gráfico dos intervalos de tempo variáveis apresenta-se o mesmo comportamento

de convergência para a solução analítica. À medida que se diminui o intervalo de tempo,

mais a curva de deslocamento se aproxima da curva de solução analítica.

Tempo (Dias)

Erro Relativo (%) ∆t (Intervalo de Tempo)

0,1 0,25 0,5 1,0

0 0,5154 0,5160 0,5178 0,5251 300 0,1330 0,2844 0,5356 1,0342 600 0,119 0,2694 0,5178 1,0128

Tabela 7 – Erro relativo do deslocamento com o refinamento do intervalo de tempo

0.0115

0.0117

0.0119

0.0121

0.0123

0.0125

0.0127

0.0129

100 200 300 400 500 600 700

DE

SLO

CA

ME

NT

O (

m)

TEMPO (DIAS)

Estudo de Convergência do Intervalo de TempoIntervalos de 0,1 em 0,1Intervalo de 0,25 em 0,25Intervalo de 0,5 em 0,5Intervalo de 1,0 em 1,0Analítica

63

Comparando-se com a solução analítica, o erro relativo destes três tempos, em

porcentagem próximos de 1%, o que se considera um erro muito pequeno.

5.3 COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO ATRAVÉS DO

TEMPO

A característica da deformação lenta pode ser constatada através de um exemplo

de análise dos deslocamentos ao longo do tempo. Foi estudado o comportamento dos

deslocamentos em pontos de uma linha imaginária que passa no eixo de uma placa

(Figura 36). Foram retirados desta linha, seis pontos de deslocamentos no tempo t = 0,

no tempo médio t = 300 e o tempo final de t = 600.

Figura 36 – Esquema da placa com seus pontos

Tabela 8 – Valores do Deslocamento nas coordenadas

(0;3) (1;3) (2;3) (3;3) (4;3) (5;3) (6;3)0 0,0000 0,0033 0,0055 0,0063 0,0055 0,0033 0,0000

300 0,0000 0,0064 0,0107 0,0122 0,0107 0,0064 0,0000600 0,0000 0,0065 0,0101 0,0125 0,0101 0,0065 0,0000

COORDENADAS(m)DESLOCAMENTO (m)

TEMPO (DIAS)

64

Figura 37 – Deformada na linha imaginária

O esquema apresentado na Figura 37 mostra o comportamento da deformada da

linha imaginária no decorrer do tempo com os valores da Tabela 8 – Valores do

Deslocamento nas coordenadas. Nota-se a deformação crescente dos pontos, que após

certo tempo permanecem constantes.

5.4 CARGA DO TIPO TRAPEZOIDAL INICIAL

Existem diversos históricos de carga quanto se trata de aplicação ao longo do

tempo. No projeto, foram contemplados o histórico de carga do tipo constante e

trapezoidal ao longo do tempo constante. Considerando-se a carga do tipo trapezoidal:

Dados:

• q = 0,01kN/m²

• h = 0,50m(Incremento)

Propriedades viscoelásticas:

• ν = 0,368 (Poisson)

• E = 43240,0kN/m²(Módulo de elasticidade)

• pY = 50dias (Constante do modelo de Boltzmann)

• qU = 5,0 × 10®kN/m²(Constante do modelo de Boltzmann)

• qY = 5,0 × 10¯kN. dia/m²(Constante do modelo de Boltzmann)

65

Parâmetros de tempo

• ∆t = 0,50dia (Intervalo de tempo)

• t1 = 500dias

• t2 = 1000dias

• tf = 1500dias (Tempo final da análise)

Figura 38 – Gráfico deslocamento x tempo da carga trapezoidal

Análise dos deslocamento com o tempo de carga trapezoidal

Tempo (Dias)

h=0,50m /∆t=0,50dias

Deslocamento nas coordenadas (3;3) (m) 0 0,0000

500 0,0113

1000 0,0126

1500 0,0126 Tabela 9 – Deslocamento da Carga Trapezoidal

Pelo Gráfico apresentado na figura 38, os valores de deslocamento tendem a

crescer à medida que o valor da carga aumenta como visto na tabela 9. Quando a carga

está com o valor constante o gráfico, entret = 500a1000dias, a curva volta ao

comportamento similar ao do gráfico de carga constante (Figura 31). Ao final do tempo

(t = 1500dias) a carga tende a decrescer até o valor nulo.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0 500 1000 1500 2000

DE

SLO

CA

ME

NT

O (

m)

TEMPO (DIAS)

Carga Trapezoidal no tempo

Carga Trapezoidal no tempo

66

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES

No estudo de placas com características viscoelásticas apresentado neste projeto

foram abordados assuntos que complementam o estudo de placas.

Apesar da busca por bibliografia sobre assuntos de conteúdo do projeto, não

foram encontrados especificamente o estudo de placas viscoelásticas aplicadas ao

Método das Diferenças Finitas. Foram encontradas soluções viscoelásticas pelo Método

de Elemento de Contorno ou do Método dos Elementos Finitos.

A solução analítica que é comparada neste projeto foi elaborada no próprio

projeto com base na teoria de Kirchhoff para que houvesse a comparação com a solução

numérica aplicada no programa “Placas Viscoelásticas”. Logo, foi necessário o

desenvolvimento das formulações, solução numérica e analítica para que se chegasse

aos resultados e gráficos apresentados neste projeto.

Os resultados, com valores próximos às soluções analíticas, fizeram com que se

concluísse que é possível a utilização do método sem a separação das tensões e

deformações desviatórias e esféricas, com resultado satisfatório. O refinamento da

malha e dos intervalos de tempo comparado com os valores da solução analítica, além

dos resultados iguais aos encontrados em referências internacionais foi determinante

para que pudesse validar a solução.

Vale ressalta que apesar de considerar na formulação de placas viscoelásticas

com a modelo de Boltzmann em ambas as parcelas, pode ser adotada a separação da

parcela esférica com os parâmetros elásticos e a parcela desviatória, considerando os

parâmetros do modelo viscoelástico para uma nova formulação de placas viscoelásticas.

Apesar de ter sido apresentada a equação da solução analítica, a sua formulação não foi

seguida a diante neste trabalho.

6.1. ESTUDOS FUTUROS

Com a dificuldade de encontrar referências no tema deste projeto, sugerem-se os estudos futuros:

• Análise comparativa entre diferentes métodos numéricos a fim de se observar a

solução mais confiável;

67

• Implementação da formulação da equação diferencial com as tensões e

deformações de forma segregada, considerando a parcela elástica na parte

esférica e o modelo viscoelástico na parcela desviatória;

• Implementação do estudo da placa para outros tipos de condição de contorno

(apoio livre e engastado);

• Implementação de resultados de solicitação da placa: Momentos Fletores e

Cortantes;

• Formulação de uma equação para placas viscoelásticas com carga concentrada

aplicada perpendicular à placa.

68

CAPÍTULO 7–REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CHRISTENSEN, R.M., 1982, Theory of viscoelasticity, Dover Publications, New York

FILHO, W.N.F., 2012, Aplicação de Modelos Teórico-Computacionais para Simulação

do Comportamento Dinâmico de Estruturas Amortecidas Através de Materiais

Viscoelásticos, Dissertação – Universidade Federal de Juiz de Fora, Minas Gerais, MG.

FLÜGGE, W., 1967, Viscoelasticity, Stanford University.

GERALD, C.F., WHEATLEY, P.O., 1984, Applied Numerical Analysis – Third

Edition., Addison-Wesley.

LAKES, R., 2009, Viscoelastic Materials, Cambridge University Press, New York.

MONNERAT, D.D., 2005, Modelagem Numérica de Flexão de Placas Retangulares

Segundo a Teoria de Kirchhoff, Projeto Final e Graduação – Universidade Federal do

Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ.

NETO, A.A.B., 2007, Incorporação de Aspectos Metrológicos na Simulação Estrutural

em Materiais Viscoelásticos, Tese de Doutorado – Universidade Federal de Santa

Catarina, Santa Catarina, SC.

RUGGIERO, M.A.G. e LOPES, V.L.R., 1996, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e

Computacionais, São Paulo: Makron Books.

SANTOS, J.P.L, 2008, Análise de Modelos Reológicos Viscoelásticos Através de

Formulações Mistas em Elementos Finitos, Dissertação – Universidade Federal do Rio

de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ.

SPERANDIO, D., MENDES, J.T. e SILVA, L.H.M., 2003, Cálculo Numérico –

Características Computacionais dos Métodos Numéricos, São Paulo: Pearson Prentice

Hall.

69

SZILARD, R. 1974, Theory and Analysis of Plates – Classical and Numerical Methods,

New Jersey: Prentica-Hall, inc.

THEISEN, K.M., 2006, Aplicação do Princípio da Correspondência Elasto-

viscoelástica para previsão de Deformabilidade de Misturas Asfálticas, Dissertação –

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS.

TIMOSHENKO, S. KRIEGER, S.W., 1959, Theory of plates and shells – McGraw-Hill

Book Company.

ZILL, D.G., CULLEN M.R., 2001, Equações Diferenciais – Volume 2, 3a Ed, Editora

Eugênia Pessotti, São Paulo.

Documents

solução numérica de placas viscoelásticas usando a formulação