SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.docx

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SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALESPARCIALES

POR EL MÉTODO MONTE CARLO

SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONSBY THE MONTECARLO METHOD

Franz Suxo Mamani

In!"i"u"o #$ In%$!"i&a'ion$! F(!i'a!) Carr$ra #$ F(!i'aUni%$r!i#a# Ma*or #$ San An#r+!

', -. Co"a/Co"a) Cam0u! Uni%$r!i"ario) Ca!i11a #$ Corr$o! 2345

La Paz / Bo1i%ia

R$!um$n

Se obtiene soluciones de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) como ser laecuación de Laplace para una región plana irregular y la ecuación del calor para unaregión plana circular y regular. Para ello se utiliza el método Monte arlo a fin desimular paseos aleatorios !ue se realizan en regiones discretizadas !ue resultan delas EDP desarrolladas en diferencias finitas. La forma de discretización limita lasdirecciones de paso entre los nodos de la región y a la "ez asigna probabilidades de

transición entre dic#os nodos. La idea de la metodolog$a es !ue para determinar el"alor de un nodo (i.e.% la solución de un punto de la región discretizada) se lanza"arias part$culas desde el nodo y se las #ace e"olucionar de acuerdo a lasprobabilidades de transición #asta !ue c#o!uen con el borde de la regióndiscretizada% terminando as$ el paseo aleatorio& este borde constituye la condiciónde contorno de las EDP. Se presentan los resultados para la ecuación del calor enuna placa delgada para seis instantes& los resultados de la ecuación de Laplace sepresentan mediante dos situaciones f$sicas distintas' una membrana elsticadelgada estacionaria y la distribución estacionaria de temperatura en una placadelgada.

Descriptores: técnicas computacionales y simulaciones métodos de diferencias

finitas aplicaciones de métodos de Monte arlo

C6#i&o7!8 PACS9 *+.,*.c% *+.,*.-f% *+.,*.u

A:!"ra'"

/e use t#e Monte arlo met#od to obtain solutions of partial differential e!uations(PDE) suc# as t#e Laplace e!uation for a flat irregular region and t#e #eat e!uationfor a flat circular and regular region. /it# t#is met#od 0e simulate random 0al1s int#e discrete regions t#at result from t#e PDE de"eloped as finite differences. 2#ediscretization process limits t#e possible directions bet0een t#e region nodes andassigns t#em transition probabilities. 2o determine t#e "alue of t#e node (i.e.% t#esolution for a point in t#e discretized region) 0e launc# from t#e node se"eralparticles and let t#em e"ol"e according to t#eir probabilities until t#ey reac# t#e


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boundary region% 0#ic# is t#e boundary condition for t#e PDE. /e present t#eresults of t#is met#od for t#e #eat e!uation in a t#in board for si3 different instants.4or t#e Laplace e!uation t#e results correspond to t0o different p#ysical systems' astationary and elastic t#in membrane and t#e stationary temperature distribution of a t#in board.

Subject headings: computational tec#ni!ues and simulations finitedifferencemet#ods applications of Monte arlo met#ods

; INTRODUCCIÓN

Problemas f$sicos de estado estacionario o problemas de e"olución temporal sonmodelados a tra"és de EDP5s el$pticas y parabólicas respecti"amente% estasecuaciones tienen una dif$cil solución por métodos e3clusi"amente anal$ticos cuandolas condiciones de contorno e inicial no son sencillas% y en muc#os casos no es

posible encontrar una solución anal$tica% en especial problemas f$sicos reales !uetienen regiones con una geometr$a no muy regular.

E3isten "arios métodos numéricos% como por e6emplo el Método 7D8 (9:;) !ue son bastante fle3ibles paralas condiciones iniciales y condiciones de contorno del problema% estos métodosconsisten en desarrollar las EDP5s en diferencias finitas y mediante operacionesmatriciales obtener la solución. A en relación a problemas !ue tienen regiones notan regulares est el método de elementos finitos% en el !ue inter"ienen matrices yecuaciones integrales ;.

La importancia de la aplicación del método Monte arlo para resol"er EDP5s el$pticas

y parabólicas% radica en !ue se pueden asociar a un modelo probabil$stico artificialde factores aleatorios% transformando el proceso de la solución del problema asimples conteos y promedios.

n e6emplo sencillo para resol"er la Ecuación de Laplace de una región planacuadrada asociando un modelo probabil$stico + se realiza con la siguiente analog$a(9B;). Un perro que está perdido en un laberinto cuadrado que tienecorredores interiores, en cada intersección escoge una dirección al azar y siguehasta la siguiente intersección donde escoge de nuevo al azar y así sucesivamente,Cuál es la probabilidad que un perro que parta de una determinada intersecciónemerja eventualmente por el lado sur? . SegCn las condiciones de contorno el ladosur tiene el "alor de ; y los restantes lados el "alor de *% y estas intersecciones o

probabilidades son la solución del problema.

Entonces% el propósito del presente traba6o es% mostrar una metodolog$a pararesol"er EDP5s a tra"és de dos problemas espec$ficos& la Ecuación de Laplace parauna región plana irregular y la Ecuación del alor para una región plana circularregular.

- DISCRETI


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Si se considera el Laplaciano ∇+ u de una EDP para una egión Plana% su desarrolloen diferencias finitas debe tomar en cuenta la eometr$a de la egión (forma de la4rontera).

-,; R$&i6n R$'"an&u1ar

El Laplaciano de una geometr$a rectangular se debe discretizar en oordenadasectangulares. Entonces el desarrollo del Laplaciano ∇+ u en coordenadasrectangulares es'

El Laplaciano de una geometr$a circular se debe discretizar en oordenadas Polares.


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Si tenemos F G i HF y ϕG j Hϕentonces el desarrollo del Laplaciano ∇+ u encoordenadas polares es'

-,- R$&i6n Cir'u1ar


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-,4 R$&i6n Irr$&u1ar

na geometr$a se dice !ue es irregular cuando las di"isiones (H5s) no sonconstantes. Este tipo de geometr$as por simplicidad se deber$an discretizan enoordenadas ectangulares (Si una región circular se desarrolla en coordenadasrectangulares% est región llega a ser una región irregular).

Las distancias a%b y c %d son constantes e iguales a H x y Hy respecti"amente%e3cepto cerca a la rontera irregular en el cual a I H x y c I Hy . Por tanto% demanera general tenemos' a%b Jle!slant H x y c %d Jle!slant Hy % entonces el desarrollodel Laplaciano ∇+ u de una geometr$a irregular es'

Para cual!uier región en dos dimensiones sea irregular o no pero !ue estédesarrollada en coordenadas rectangulares% se utiliza la Ec. (:) de manera general(Kéase !ue la Ec. (;) es un caso especial de la Ec. (:)).

4 PROBABLIDADES DE TRANSICIÓN

http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:3http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:1http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:3http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:3http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:1http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:3


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7l desarrollar las EDP5s en Diferencias 4initas% adems de Discretizar la egión%también se pueden obtener Probabilidades de 2ransición !ue se tienen entre losnodos de la región.

Para tal ob6eti"o% partimos de la Ec. (B) !ue es una EDP #omogénea !ue nocontiene el término de la función sin deri"ar ( x %y % z %...)% sin embargo aCn esta ecuación

es bastante general al cual se aplica el siguiente teorema !ue se propone en elpresente traba6o.

En el desarrollo en diferencias finitas de cual!uier ecuación diferencial parcial dondetodos los términos poseen deri"adas de primer orden o mayor% puede afirmarse!ue% el coeficiente del término en el cual se desarrolla la serie es igual al negati"ode la suma de coeficientes !ue ocupan los términos "ecinos. Entonces% despe6andoel término en el !ue se desarrolla la serie% los coeficientes resultantes de lostérminos "ecinos pueden ser tratables como probabilidades.

9Demostración.> De la fórmula de interpolación con diferencias #acia adelante deregory?e0ton (9;+***@reyszig>)'

Se obtienen las Ecs. (=) !ue son las deri"adas nésimas de la función ( x %y % z %...)% dondeestas ecuaciones lle"an una sumatoria de coeficientes binomiales por cada "ariable!ue es deri"ado.

Estas deri"adas nésimas pueden descomponerse aislando un término determinadode la(s) sumatoria(s)% en este caso& cuando (i Ga) en la primera y cuando

(i Ga ∧ j Gb ∧ ! Gc ∧ ) en la segunda. esultando de esta manera las Ecs. ().

Entonces% al desarrollar alrededor de ( x a%y b%) la Ec. (B) en Diferencias 4initasutilizando las Ecs. () se obtiene la Ec. (,)% donde la función en el punto dedesarrollo est despe6ada (a modo de ilustración solo se reemplazaron dos términosrepresentati"os pero generales& la deri"ada nésima de una "ariable y la deri"ada résima cruzada).

http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:4http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#Kreyszighttp://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:5http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:6http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:4http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:6http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:7http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:4http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#Kreyszighttp://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:5http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:6http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:4http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:6http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:7


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Por tanto% #aciendo uso de la siguiente propiedad de coeficientes binomiales(9=;)'

Se puede aislar y despe6ar el coeficiente cuando (i Ga)% y de manera seme6antecuando e3iste una composición de coeficientes binomiales% es decir cuando(i Ga ∧ j Gb ∧ ! Gc ∧ ). Entonces'

http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#Spiegelhttp://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#Spiegel


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4inalmente% utilizando estas dos Cltimas igualdades al sumar todos los coeficientesde los términos ( xi %yj %) del numerador (términos "ecinos) de la Ec. (,)% resulta !ue%la sumatoria es igual al denominador del mismo :.

Entonces% al ser distribuido el denominador a todos los términos ( xi %yj %)% lasumatoria de los coeficientes resultantes es igual a la unidad. on tal resultado!ueda demostrado el 2eorema propuesto aplicado a la Ec. (B).

4,; Norma1iza'i6n #$ Co$i'i$n"$!

Los coeficientes de la Ec. (,) cuando se reparte el denominador pueden tener"alores& positi"os% negati"os ó ceros. Pero la sumatoria de dic#os coeficientes esigual a la unidad. Kéase el siguiente es!uema.

Pero al cambiar el signo de los coeficientes negati"os a positi"o se obtiene elsiguiente es!uema.

En el cual la longitud de un determinado coeficiente c ! (sea positi"o% negati"o ocero) y la longitud total no cambia. Por tanto% se puede normalizar B los coeficientescambindole el signo a los negati"os y di"idiendo a cada coeficiente por la longitudtotal. Entonces% estos coeficientes resultantes de la normalización pueden sertratables como Probabilidades.

> EL MÉTODO MONTE CARLO

http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:7http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#tthFtNtAADhttp://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:4http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:7http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#tthFtNtAAEhttp://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:7http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#tthFtNtAADhttp://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:4http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:7http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#tthFtNtAAE


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La egión Discretizada ms las Direcciones y Probabilidades de 2ransición obtenidasmediante el desarrollo por Diferencias 4initas% nos permite realizar Paseos7leatorios en dic#a región. 7dems es necesario la generación de ?umeros7leatorios en toda la trayectoria del paseo aleatorio% siendo este el fundamento delmétodo Monte arlo.

El algoritmo del método Monte arlo para apro3imar u consiste en lo siguiente'Para conocer el "alor de solución u en un nodo (i % j ) de la región% se larga unapart$cula desde ese nodo y se la #ace e"olucionar de acuerdo a las direcciones yprobabilidades de transición calculadas% #asta !ue c#oca con la frontera de laregión=% almacenndose el "alor del dato de frontera en ese punto. Se repite esteprocedimiento para una gran cantidad de part$culas% y se estima el "alorde u(i % j ) como el promedio de esos "alores. raficamente se muestra a continuaciónpaseos aleatorios en regiones rectangulares y circulares respecti"amente.

>,; Con#i'ion$! #$ Fron"$ra

Si una part$cula simulada llega a una frontera !ue tiene ondiciones de ontorno deDiric#let o ondiciones 8niciales% termina el paseo aleatorio de la misma. Pero nosucede lo mismo cuando la part$cula llega a una frontera !ue tiene ondiciones deontorno de ?eumann% en este caso se debe desarrollar el gradiente en diferenciasfinitas centrada en la frontera.

http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#tthFtNtAAFhttp://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#tthFtNtAAF


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Donde U (i O;% j ) est fuera de la región. Si el gradiente es igual a cero entonces setiene U (i O;% j )GU (i ;% j ) !ue puede ser reemplazado en la ecuación !ue lle"a lasprobabilidades de transición para generar una nue"a ecuación% !ue se utilizacuando la part$cula llega a esta frontera.


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4igure ;' Solución de la Ecuación del alor 7nal$tica y por Monte arlo

>,- Com0ara'i6n #$ r$!u1"a#o!

Se compara soluciones obtenidas por este método con soluciones anal$ticas deproblemas !ue tienen condiciones de Diric#let% ?eumann e 8niciales.

• En la 4ig. (;) se muestra la solución de la Ecuación del alor unidimensional

para diez instantes de tiempo.

• En la 4ig. (+) se muestra la solución de la Ecuación de Laplacebidimensional.

omparando la solución 7nal$tica con el Método de Montecarlo para ;**% ;*** y;**** particulas en ambos casos.

? LA ECUACIÓN DE LAPLACE

Se resuel"e la Ecuación de Laplace% Ec. (N)% en coordenadas rectangulares para una

región irregular en el plano% "er 4ig. (:).

http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:1http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:2http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:8http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:3http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:1http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:2http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:8http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:3


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Para desarrollar la Ecuación de Laplace en diferencias finitas% se reemplaza elLaplaciano en coordenadas rectangulares para una región irregular% !ue es laEc. (:)% en la Ec. (N).

Luego% segCn la definición se procede a despe6ar el término central U (i % j ).

En el cual se tiene% cuatro direcciones de transición' U (i O;% j )% U (i ;% j )% U (i % j O;) y U (i % j ;)%entonces el paseo aleatorio se realiza en el plano% donde las condiciones decontorno son los bordes de la región plana% "er 4ig. (:). A las probabilidades detransición a esas direcciones son los "alores de sus respecti"os coeficientes.

?,; R$!u1"a#o!

Los resultados obtenidos se presentan grficamente para dos situaciones f$sicasdistintas'

http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:3http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:8http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:3http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:3http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#ecu:8http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:3


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4igure +' Solución de la Ecuación de Laplace 7nal$tica y por Monte arlo

4igure :' Dimensiones espaciales de la región plana irregular. 2ambién se muestrantres paseos aleatorios


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4igure B' Se muestra la solución de la Ecuación de Laplace para una "embranaelástica delgada estacionaria

4igure =' Se muestra la solución de la Ecuación de Laplace para la #emperaturaestacionaria en una placa delgada

;. na membrana elástica delgada estacionaria. Que es deformada en losbordes segCn las condiciones de contorno dadas% "er 4ig. (B).

+. La temperatura estacionaria en una placa delgada. Los bordes estn atemperaturas segCn las condiciones de contorno% "er 4ig. (=).

http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:4http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:5http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:4http://www.scielo.org.bo/rbf19html/articulos/suxo/suxo.html#fig:5


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:.

B. 4igure ' Dimensiones espaciales de la región plana circular regular. 2ambiénse muestran tres paseos aleatorios

=.

. 4igure ,' Se muestran tres paseos aleatorios realizados en la regióndiscretizada del problema ("olumen cil$ndrico).

3 LA ECUACIÓN DEL CALOR

Se resuel"e la Ecuación del alor% Ec. (


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Entonces uGu(F%ϕ%t ). La condición 8nicial ms las condiciones de contorno de Diric#lety ?eumann !ue tiene el problema se listan a continuación.

La Ec. (+) es el desarrollo de la parte espacial de la Ecuación del alor% y de la partetemporal% es la Ec.(;*).

Por tanto% reemplazando la Ec. (+) y Ec.(;*) en la Ec.(


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Se procede a despe6ar el término central U (i % j %! ) segCn la definición.

a)

b)


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c)

d)


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e)

f)

4igure N' Se muestra la solución de la Ecuación del alor de una región planacircular regular para seis instantes de tiempo consecuti"amente% posteriores a la

condición inicial. La paleta de colores muestra el rango de temperatura de * a ;**.

a)


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b)

4igure


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con la seguridad de obtener buenos resultados en problemas !ue tienen regionesno muy simétricas los cuales no tienen una solución anal$tica.

Por otra parte% en este traba6o se resol"ieron problemas !ue tienen dosdimensiones espaciales% tanto en la Ecuación de Laplace como en la Ecuación delalor. Pero el método se puede e3tender a tres dimensiones espaciales sin ninguna

dificultad en ambos casos% por!ue lo Cnico !ue cambia es% el aumento en unadimensión de la región discretizada en el cual se realiza el paseo aleatorio.

R$$r$n'$!

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