Solución Dual óptima a partir de la solución óptima del problema Primal.

Con el siguiente ejemplo aprenderemos como a partir de la solución óptima del modelo primal obtenemos automáticamente la solución óptima del modelo dual.

Max. Z = 5x1 + 12x2+ 4x3 S.A.

x1   +2x2    +2x3   # 5 2x2   -x2    +3x3   = 2

x10 ,    x20   x30

El método que aplica para la solución de este problema es el método penal

Obteniendo la forma estándar del modelo e igualando a cero la función objetivo y aplicando los pasos del método penal para la solución:

Max. Z -5x1 - 12x2-4x3 – 0X4 + MW1 = 0 S.A. x1   +2x2    +x3   +x4   = 5 2x1   -x2    +3x3   +W1   = 2

x10 ,    x20   x30 x40

Utilizando la tabla simplex para la solución:

La solución óptima del modelo primal es: X1 = 9/5 X2 = 8/5 El valor óptimo de la función objetivo Z = 141/5

Ahora obtendremos el modelo dual asociado del modelo primal y procederemos a determinar la solución óptima del modelo dual por el método penal:

Modelo Dual asociado Minimizar Y0 = 5Y1 + 2Y2 S.A. Y1   +2Y2    5 2Y1   -Y2    12 Y1   +3Y2    14

Y10   Y2 no-restringida en signo

Obteniendo la forma estándar del modelo e igualando a cero la función objetivo y aplicando los pasos del método penal para la solución: Minimizar Y0 - 5Y1 - 2Y3+ 2Y4 – MW1 – MW2 - MW3 = 0 S.A. Y1   +2(Y3-2Y4)   –Y5   +W1   =5 2Y1   -(Y3-Y4)   -Y6   +W2   =12 Y1   +3(Y3+ Y4)   -Y7   +W3   =14

Y10 Y2 = (Y3+ Y4) para toda Y30 y Y40

Utilizando la tabla simplex para la solución:

La solución óptima del modelo dual es: Y1 = 29/5 Y2 = (Y3+ Y4)

Y2 = (0- 2/5) Y2 = -2/5 El valor óptimo de la función objetivo Y0= 141/5

Una observación de las tablas óptimas del modelo primal y del modelo dual revela los siguientes resultados:

Ignorando la constante "M", nótese que los coeficientes de las variables de holgura X4 y de la variable artificial W1 en la tabla óptima generan automáticamente la solución óptima de la variable Y1 = 29/5 y de Y2 = -2/5, la cual es la misma solución obtenida al resolver el problema dual independientemente.

Una observación similar de las tablas dual y primal revela:

Ignorando la constante "M", nuevamente comprobamos que los coeficientes de las variables artificiales W1 , W2 y W3 en la tabla óptima generan automáticamente la solución óptima de la variable X1 = 9/5 y de X2 = 8/5 y X3 = 0, la cual es la misma solución obtenida al resolver el problema primal independientemente.

Conclusión: La solución óptima del modelo primal (modelo dual) proporciona información sobre la solución óptima del modelo dual (modelo primal). Las siguientes reglas son útiles para facilitar la obtención de la solución dual óptima a partir de la tabla óptima del primal.

Regla 1 Si la variable dual corresponde a una variable inicial de holgura en el problema primal, el valor óptimo de la variable dual esta dado directamente

por los coeficientes de esta variable de holgura en la ecuación cero es decir Z óptima (renglón de la función objetivo).

Regla 2 Si la variable dual corresponde a una variable artificial inicial del problema primal, el valor óptimo de la variable dual estará dado por los coeficientes de la variable artificial en la ecuación cero de la tabla óptima, eliminando la constante M.