Ejercicios Adicionales Caalculo 3 Economıa

Roberto Ortiz

Junio de 2011

1. Construya la grafica de la siguientes funciones y sus curvas de nivel:

a) z = 1− e1

x2+y2

SOLUCION

1) Curvas de nivel:Si z = k tenemos 1 − k = e1

x2+y2 de dondetenemos que x2 + y2 = 1

ln(1−k) = R2(figura− 1)

de nivel 1.jpg

Figura 1: Curvas de nivel ejercicio 1

2) Grafica de la superficiePrimero construimos algunas trazas, por ejemplo y = 0, y = 1,(figura-2)La grafica de la superficie es(figura-3):

b) z =1

x2 + y2

SOLUCION

1) Las curvas de nivel son cırculos, como en el ejercicio anterior(x2 + y2 = 1

k )

1

Figura 2: Trazas ejercicio 1

2) Las trazas para esta funcion son de la forma, por ejemplo, cony = 0, y = 1, z = 1

x2 , z = 1x2+1 , y se muestran en la figura-4 La

grafica de la superficie se muestra en la figura-5

c) z = max(|x|, |y|)SOLUCION

1) Las curvas de nivel de esta funcion se muestran en la figura-62) La grafica de la superficie se muestra en la figura-7

d) z = sen(x)SOLUCION

1) Las curvas de nivel de esta funcion se muestran en la figura-82) La grafica de la superficie se muestra en la figura-9

e) z = ln(10− x2 − y2)SOLUCION

1) Las curvas de nivel de esta funcion se muestran en la figura-102) La grafica de la superficie se muestra en la figura-11

f ) −x2 + 6x + y2 − 4z2 + 8z − 2y = 0SOLUCIONCompletando cuadrados tenemos

(x− 3)2 − (y − 1)2 + 4(z − 1)2 = 12

La grafica de la superficie se muestra en la figura-12

g) z = e2y

SOLUCION

2

Figura 3: Superficie ejercicio 1

1) Las trazas con x = k se muestran en la figura-132) Las curvas de nivel se muestran en la figura-143) La grafica de la superficie se muestra en la figura-15

h) z = 10− (4x2 + 9y2)SOLUCION La grafica de esta superficie se muestra en la figura-16

2. Cosntruya las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) z = max(x, y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION

b) z = min(x, y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION

c) z = max(x + 2y, 2x + y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION

d) z = min(x + 2y, 2x + y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION

e) z = min(x2, y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION

3. Para las siguientes funciones :

a)

f(x, y) =

{x3−3xy2

2x2+3y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

3

Figura 4: Trazas ejercicio 2

b)

f(x, y) ={

(x2 + y2)sen( 1x2+y2 ) si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

SOLUCION

c)

f(x, y) ={

(x2 + y2)ln(x2 + y2) si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

d)

f(x, y) =

{x3y−xy3

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

e)

f(x, y) =

{x3−2xy2−2y3

2x2+3y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

a) Analice la continuidad de f(x, y)

b) Calcule las derivadas parciales fx(x, y) y fy(x, y) para todo (x, y)

c) Determine si fx(x, y) y fy(x, y) son continuas en (0, 0)

4

Figura 5: Superficie ejercicio 2

nivel2.jpg

Figura 6: Curvas de nivel ejercicio 3

5

Figura 7: Superficie ejercicio 3

nivel3.jpg

Figura 8: Curvas de nivel ejercicio 4

6

Figura 9: Superficie ejercicio 4

nivel4.jpg

Figura 10: Curvas de nivel ejercicio 5

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Figura 11: Superficie ejercicio 5

Figura 12: Superficie ejercicio 6

8

Figura 13: Trazas ejercicio 7

nivel5.jpg

Figura 14: Curvas de nivel ejercicio 7

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Figura 15: Superficie ejercicio 7

Figura 16: Superficie ejercicio 8

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nivel6.jpg

Figura 17: Curvas de nivel ejercicio 2a

nivel8.jpg

Figura 18: Curvas de nivel ejercicio 2b

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nivel7.jpg

Figura 19: Curvas de nivel ejercicio 2c

nivel9.jpg

Figura 20: Curvas de nivel ejercicio 2d

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Figura 21: Superficie ejercicio 3b

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