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MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ EN VIGAS Y PÓRTICOS
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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA- E.A.P. ING. CIVIL
CURSO:
ANALISIS ESTRUCTURAL I
DOCENTE:
ING. ANTONIO DOMINGUEZ MAGINO
ALUMNO:
MALLQUI GUERRA, Klever
CICLO:
VII
Facultad de
Ingeniera Civil y Arquitectura
UNIVERSIDAD NACIONAL
HERMILIO VALDIZAN
SOLUCIONARIO
METODO DE RIGIDEZ
HUNUCO PER 2014
DEDICATORIA
Este trabajo va dedicado a
mis padres y el docente
del curso por sus apoyo
Incondicional.
PROBLEMA N 1.- Determinar la deflexin vertical en el extremo libre A de la viga en voladizo mostrada en la figura.
SOLUCION
I = = =
1. DETERMINACION DEL GRADO DE LIBERTAD:
2. PARA IMPEDIR EL DESPLAZAMIENTO EMPOTRAMOS LA VIGA:
3. DETERMINAMOS {AD}:
{AD} =
4. DETERMINAMOS {ADs}:
{ADs} = {ADL}
AD = VAB = = -
AD = MAB = = -
{ADS} =
5. DETERMINAMOS {K}
D1 = 1 =0
= =
= =
D2 = 1 =0
= =
= =
{K} =
6. DETERMINAMOS {D}
{AD} = {ADS} + {K} {D}
{D} = {{AD} {ADS}}
Dnde:
=
{AD} {ADS} = - = =P
{D} = * =
{D} =
El desplazamiento en A es:
El desplazamiento en A es:
PROBLEMA N 2.- Determinar la deflexin y pendiente en el extremo libre de la viga en voladizo mostrada, si es de seccin constante.
Determinamos los grados de libertad.
Vemos que no existe , y ; por lo tanto:
Calculando k
D1 = 1 ,Di1 = 0
D2 = 1 ,Di2 = 0
El desplazamiento en A es:
El desplazamiento en A es:
PROBLEMA N 3: Determinar la deflexin en el centro de la viga y la pendiente en el apoyo derecho de la viga, si esta es de seccin constante.
SOLUCIN
Las ecuaciones:
Del grafico inicial:
Determinando {}:
Deteminando:
y ; si :
Y ; si :
Entonces:
Entonces:
DFC:
DMF:
El giro en B:
Para la deflexin en c:
Ejercicio N 04.- Determinar la deflexin en el centro de la viga mostrada.
1. Determinar el GL
2. Determinar la matriz
3. Determinar
DETERMINAR
Es cero debido a que no hay cargas en los intermedios de los tramos de las vigas.
DETERMINAR Y
En el problema no nos dan los datos para calcular cuando hay temperatura ni asentamiento.
Entonces :
4. Determinar la matriz de rigidez
Para el estado:
Para el estado:
Para el estado:
Para el estado:
Para el estado:
Para el estado:
La matriz de rigidez es:
*
5. Determinar la matriz
ENTONCES:
La matriz es:
*
6. Determinar la matriz
De acuerdo a la frmula:
De lo anterior determinamos :
Determinamos la matriz :
*
la matriz es:
7. Grafica del momento flector (DMF)
8. Determinamos el momento flector de la carga unitaria:
9. Determinamos lo que nos pide el problema:
Calculamos la deflexin en el centro de la viga aplicando el mtodo de Vereschaguin.
PROBLEMA N 5.- Determinar la deflexin vertical y la pendiente en el punto C de los prticos mostrados en las figuras a y b
SOLUCION
1. DETERMINACION DEL GRADO DE LIBERTAD PARA a) y b)
2. PARA IMPEDIR EL DESPLAZAMIENTO EMPOTRAMOS EL PORTICO EN a) y b)
3. DETERMINAMOS {AD}:
Para a) {AD} =
Para b) {AD} =
4. DETERMINAMOS {ADs}:
Para a) {ADs} =
Para b)
{ADs} = {ADL}
AD = MCB = - = - = -
AD = 0
AD = VCB = = =
AD = = =
{ADS} =
5. DETERMINAMOS {K} PARA a) y b)
D1 = 1 =0
= = =
=
= - = - = -
= = =
D2 = =0
}
=
= =
= 0
= =
D3 = 1 =0
= - = - = -
=
= = - = -
= - = - = -
D4 = 1 =0
= =
= =
= - = - = -
= + = + = + =
{K} =
6. DETERMINAMOS {D}
{AD} = {ADS} + {K} {D}
{D} = {{AD} {ADS}}
Dnde:
=
Para a)
{AD} {ADS} = - =
{D} = * = *
El giro desplazamiento en C es:
El giro en C es:
Para b)
{AD} {ADS} = - = = -
{D} = -* = -*
El desplazamiento en C es:
El giro en C es:
PROBLEMA N 6: Determinar el desplazamiento horizontal en el punto A del prtico mostrado en la figura, si e para todo el prtico.
SOLUCIN:
Reduciendo el sistema:
GL=4
Determinando: {}
y ; si :
Y ; si :
y ; si :
y ; si :
DFC
DMF
Para del desplazamiento horizontal en A
PROBLEMA N 7.- Determinar la pendiente en el apoyo A y B de la viga. Considerar E=20000N/mm2, b = 300mm y h = 400mm
Determinamos los desplazamientos desconocidos.
Hallamos ; esto debido a las cargas.
Calculando k
D1 = 1 ,Di1 = 0
D2 = 1 ,Di2 = 0
El giro en A:
El giro en B es:
PROBLEMA N 8: (MTODO DE LA RIGIDEZ): Determinar el desplazamiento horizontal en el punto A y el desplazamiento vertical en el punto B del prtico mostrado en la figura, si e para todo el prtico.
SOLUCIN:
y ; si :
y ; si
y ; si :
y ; si
y ; si :
y ; si :
PROBLEMA N 9.- Resolver el prtico mostrado en la figura, rigidez constante.
1. Determinar el grado de libertad (GL)
2. Determinar la matriz
3. Determinar la matriz
DETERMINAR
DETERMINAR Y
En el problema no nos dan los datos para calcular cuando hay temperatura ni asentamiento.
Entonces :
4. Determinar la matriz de rigidez
Para el estado:
Para el estado:
Para el estado:
La matriz es:
*
5. Determinar la matriz
ENTONCES:
La matriz es:
*
6. Determinar la matriz
De acuerdo a la frmula:
De lo anterior determinamos :
Determinamos la matriz :
*
la matriz es:
***
7. determinar las reacciones en los apoyos.
Estas reacciones determinamos por esttica:
8. Grfico de DFA, DFC y DMF
Diagrama de fuerza axial (DFA)
DFA
Diagrama de fuerza cortante (DFC)
DFC
Diagrama de momento flector (DMF)
DMF
PROBLEMA N 10.- Determinar el desplazamiento horizontal y el giro en el nudo B del prtico mostrado:
Entonces:
1. Determinar el grado de libertad (GL)
2. Determinar la matriz
3. Determinar la matriz
DETERMINAR
ENTONCES:
DETERMINAR Y
En el problema no nos dan los datos para calcular cuando hay temperatura ni asentamiento.
Entonces :
4. Determinar la matriz de rigidez
Para el estado:
Para el estado:
Para el estado:
La matriz es:
*
5. Determinar la matriz
ENTONCES:
La matriz es:
*
PROBLEMA N 11.- Determinar la distancia que se acercaran los puntos A y B, debido a la accin de las cargas P. considerar la rigidez constante.
SOLUCION
Reducimos el sistema a:
Determinamos los grados de libertad.
Vemos que no existe , y ; por lo tanto:
Calculando k
D1 = 1 ,Di1 = 0
D2 = 1 ,Di2 = 0
D3 = 1 ,Di3 = 0
D4 = 1 ,Di4 = 0
D5 = 1 ,Di5 = 0
D6 = 1 ,Di6 = 0
Entonces:
La distancia que se acercaran los puntos A y B, debido a la accin de las cargas P es:
EJERCICIOS DE SERCHAS
PROBLEMA N 12.- determinar los desplazamientos de los nudos 2 y 3 de la cercha
SOLUCION:
Paso1: halar el grado de libertad de la armadura
5
-5
4
-8
Tn
Tn
Tn
Tn
AD
Como no hay cargas en las barras ADL=0
Hallar la matriz de rigidez
EJERCICIOS DE ESTRUCTURA MIXTA
PROBLEMA N13: (MTODO DE LA RIGIDEZ): Determinar el desplazamiento horizontal y el giro en el extremo C de la estructura mostrada en la figura, que es un prtico (estructura continua) con un arriostre diagonal AC (parte de una cercha).
Datos del problema:
Para el prtico:
EI=
EI=
Para el arriostre:
EA=
Solucin:
La ecuacin matricial a utilizar ser:
Adems del grafico inicial nos damos cuenta que no hay efecto de la temperatura ni de asentamientos, entonces:
Comenzamos entonces definiendo nuestros grados de libertad:GL=3
Del segundo grfico podemos determinar: {}
Determinando: {}
Del grfico:
Entonces de esto tenemos
Ahora deteminando:
Haciendo y ; si :
Del grfico:
Haciendo y ; si :
Del grfico:
Haciendo y ; si :
Entonces de esto tenemos:
Determinando: {D}
Entonces:
En el problema nos pide calcular el desplazamiento horizontal y el giro en A:
Giro en A:
PROBLEMA N 14.- Hallar el giro en el nudo C de la siguiente estructura mixta
Si:
EI para la viga = cte
E = 2 x ton/
= = = 0.0054
Para la cercha:
E = 2 x ton/
A = 0.03
SOLUCIN:
Con los datos del problema hallamos
EI= 2 x (0.0054) = 10800
EA= 2 x (0.03) = 600000
7. DETERMINACION DEL GRADO DE LIBERTAD:
8. PARA IMPEDIR EL DESPLAZAMIENTO EMPOTRAMOS LA VIGA:
9. DETERMINAMOS {AD}:
{AD} =
10. DETERMINAMOS {ADs}:
{ADs} = {ADL}
{ADS} =
11. DETERMINAMOS {K}
D1 = 1 =0
= 3324000
= 0
= -16200
= 0
= -300000
D2 = 1 =0
= 0
= 43200
= 10800
= 0
= 0
D3 = 1 =0
= -16200
= 0 10800
= 21600
= 0
= 0
D4 = 1 =0
= 0
= 0
= 0
= 212132.0344
= 0
D5 = 1 =0
= -300000
= 0
= 0
= 0
= 212132.0344
{K} =
{D} =
El giro en el nudo C es
construccion ii
ing: jorge meyzan briceo