SOLUCIONARIO DEL CAPITULO VII BLOQUE …platdig.unlu.edu.ar/...//500/531/CAPITULO_VII_-_Solucionario.pdf · 7 BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII Cálculo de diferenciales:

SOLUCIONARIO DEL CAPITULO VII – BLOQUE TEMATICO III

[Respuestas de algunos ejercicios propuestos en el T.B.O.]

Sección 4. Tabla de las derivadas fundamentales. Página 141

1) y = 6 x2 - 10 x + 3

2) 1

11

nxn

y

3) 4 23 2 4

1

3

1

2

1

xxxy

4) x

)xsin()xcos(y1

1

5) alogx

alogaey xx 1

6) 4

133

log.xlogy x

7) x

xeey xx 1

8) 52 x)xlog(.xy

9) xx exxey 22

10) xx exexy 323

11) 2

3

xy

12) 2x

exey

xx

13) xsin

y2

1

14) 2xlogy se puede expresar mediante un conveniente cambio de base: xlog

logy

2

Recuerde fórmula de cambio de base: alog

xlogxlog

b

ba

Luego, 2

2

xlogx

logy

15) 2

2

2

2

1

2

1

12

x

xx

x

xxxy

BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII

2

16) 22

2

22

22

1

1

1

21

x

x

x

xxy

Sección 5. Recta tangente a la gráfica de una función. Derivada a izquierda y derecha.

Página 143

1) a) 1xy b) 1xy c) xy d) 12xy e) 23xy

2) xy es una función asignada por distinción de trazos y equivale a: 0

0

x six

x sixxy

Luego, la función derivada es 0x si)x(f

0x si)x(fy

1

1 , y en x = 0 resulta:

10

10

)(f

)(fy .

En x = 0 la función no tiene derivada, pero tiene derivadas laterales distintas y finitas, por lo tanto en x

= 0 hay un punto anguloso. Observe atentamente y tome nota que la función no es derivable en x = 0.

3) Si 3

2

3 2 xxy entonces la función derivada es 33

2

xy . Luego la derivada en x = 0 resulta:

)(f 0 y )(f 0 se obtienen derivadas laterales infinitas distintas, las rectas tangentes

resultan verticales superpuestas, en consecuencia en x = 0 hay un punto cúspide. Observe atenta-

mente y tome nota que la función no es derivable en x = 0.

4) La recta 104 yx se puede escribir 104xy .

Si la recta 104xy es tangente a la curva 683 xxy entonces la pendiente m = 4 de la recta

es igual a la derivada primera de la curva y en un determinado punto. Simbólicamente se puede ex-

presar:

4y

483 2x

A continuación resuelve la ecuación y obtiene x = -2 o x = 2.

Si x = 2 entonces y = -14 , y si x = -2 entonces y = 2.

Seguidamente verifique si los puntos encontrados: (2,-14) y (-2,2) satisfacen la ecuación de la recta

tangente.

Luego resulta: 10242 )( , lo cual indica que el punto (-2,2) es el punto de contacto buscado.

Sección 6. Diferencial de una función. Páginas 146 y 147

2) Deducir la fórmula de aproximación lineal 000 xx)x(f)x(f)x(f .


3

Se conoce el incremento de una función )x(f)x(ff 0 y el diferencial x).x(fdf . Además

usted sabe que f es una aproximación de df en un punto x0 cuando x tiende a 0.

Si dff , entonces x).x(f)x(f)x(f 0 , pero 0xxx

Luego resulta: 00 xx).x(f)x(f)x(f 00 xx).x(f)x(f)x(f .

3) a) x)xsin( en (0,0).

)x).(cos()sin(xsin 000

x)xsin(

)x.()xsin( 01

xcosxsin

100

)cos(xcosx

00x

xsin

b) 000 x).sen(cosxcos )x.(xcos 001

1xcos

xsinxcos

00 )sin(

10 )cos(

4) a) 00xene x

000 x.eee x

)x.(e x 011

xe x 1

xx ee

10

0ee

x

x

b) )xlog(1 en x0 = 0

)x()log()xlog( 001

1011

x

)xlog(1

11

5) 00000

000

2

1

xxabaxbaxbaxbaxxfxfxf

xx.ax.xfxdfbax)x(fSi

De (1) y (2) se concluye que fdf .

Se interpreta gráficamente que la recta y = ax + b y la recta tangente a la recta dada en cualquier

punto (x0,y0) coinciden.

Sección 7. Derivación de funciones compuestas. Páginas 149 y 150

1) 16 2xxy


4

2) )x()xx(y 345326 52

3) 12

2

xy

4)3

1

xy

5) x

y51

5

6) )(x

y 12

1

7) xcotxsin

xcosy

8) )xcos()x(siny 2

9) xsin)x(cosy . 3 2

10) 22 .xcosy

11) xsiny 33

12) 3332 .)x(cos.)x(siny

13) 12x

xy

14) 122

12

1

.)x(y

15) 2x4

xy

16) )()x(y 112

12

1

17) xcos.xsiny103

10

7

18) )x(log

x.)x(log)x(log.

x

x

y1

1

111

1

2

2

2

2

19) 2

11

1

1

xlog

x).xlog()xlog(.

xy * Para derivar debe realizar un conveniente cambio de base.

20) 2112 22

.e)(e)x(ey xxxx

21) xsen

.xcot.ey xcot

2

12

2

para calcular la derivada de la cotx, recuerde que xsin

xcosxcot .

22) )xsin(.log.y xcos 22

23) .x

.logy.

x2

3

1

3

122


5

24) )xsin(.xcos

y1

25) x

).xlog(x

.xlog

y1

211

26) )xsin(xsin)x(cos)x(cos)x(sin.y 223

1

27) 11

)xlog(.xx

.x)xlog(.ey xxlog x

28) 22

1 1

xx

xlogxy x

29) x

)xlog(..xx

).x()xlog(..ey xxlog x 122

1122 1212

30) xsin

xcos.xxsinlog.x)xsin(y x

21

21

2

1

31) x

).xsin()xlog().xcos(xy xsin 1

32)1

21

11

1

21

12

22

2

212

x

x).xlog()xlog(.

x.x

x

x).xlog()xlog(.

x.ey

xlogxlogxlog

33) 1

21

11

2

22

x

x).xlog(xlog

x.xy

xlog

34) ).log.)t(

(.))t(log()t(f 121

113

2

12

1

2

35) 1

11

1 2 t.tt

)t(t.

t

tx

36) )t

.)t(loglog.)t(

tlog.t(.tx

)t(log 11

21

2 222

122

37) 2

2212

1

21121

2

t

t.ttlog.t.tx

t

38) )(.e.e

x t

t1

1

1

39) 211

1

12

1

21log.t

.tlog

x

40) )1.1t

1.tlog)1t(log.

t

1(.)1t(x tlog

41) tx

log.x

x

t4

14

14

42) )(.e)e( tt 222


6

43) t

)ttan()tlog().t(sec.tt

)ttan()ttan(

2222 2

44) )))t((.tt

.t)tt(log.(.)tt())tt(( tt 21

12

11

1

11111

45) u.log.u

.

ulog

x 2211

1

12

122

21

46) 22

11

3

2

3

21

11

3

21

1

3

21

3

21

)u(.

u

.uu

log.u

.uu

uu

47) 2

22

1

21

11

y

y).ylog(ylog.

y.y)y(f

)ylog(

48) xsin.xcos

.x

)xcos(log.x

.)xcos())xcos(( xx

2

112

122

2

11

49) x

x)xlog(

x.xx xx

2

1

50) )x(.e)e( xx 222

51)

xx

xlog.

xx.

x

.xx

log.x

y

xx

11

111

11

1

11

111

11

2

52) 22

22222

22

2

2

22 222

)e(

.e.)xsinx(e.))x.xcos(x(.

xsinx

e

e

xsinxlog

x

xxx

x

53) 2

44

4

2

2

x

xee

xx

54) x

.xxlog..)x(log)xlog xx 11

55) xxxxxx eexxe.e.xxeex 222222222 2222121

56) 1x

x2.)1x(.2

1.x1x.1

1x

x2

2

1

22

2

57) 3

2

2

121

21

1121

x

.xsin.xcos

.xcoslogxcoslog

58) ))(.e.xe.(.)e.x(.)e.x( xxxx 113

1 113

2

13 1


7

Cálculo de diferenciales: Recuerde que df = f´(x). dx

59) dxx

df2

1

61) dxx

.log.df x

2

133

62) dx.df 1

63) dx.xsin.edf xcos

64) dxx

)xlogdf

1

15 4

66) a)

)x(x 02

111

xx2

111

xx

12

11

2

1

12

1

0xx y 11

0xx

Sección 8. Los conceptos medio y marginal. Página 152

1) Resuelto en la ADDENDA Nº 3 - Como plantear y resolver problemas del Bloque Temático III.

2) Dado el costo medio 42

1x)x(C calcule el costo marginal hallando primero la función costo:

xxx.x)x(C 42

14

2

1 2 .

Para encontrar el costo marginal sólo basta derivar la función costo:

4422

1xx.)x(C

El costo aproximado de la décima unidad es 13499 )()(C

3) Si xx

)x(I 1002

2

entonces el ingreso medio es: 1002

x

x

)x(I)x(I y el ingreso marginal

100x)x(I .

4) El ingreso aproximado por la venta del artículo número 41 es 601004040)(I .

El ingreso exacto es )(I)(I 4041 3259,5-3200=59,5

5) a) La función demanda es 236 xp , cuyo dominio de definición es Dom p= [0,6] y el conjunto

imagen Im p =[0,6] .

b) La función ingreso es 236 xx)x(I , la función ingreso medio: 236 x)x(I ; y la función


8

ingreso marginal resulta 2

22

36

36

x

xx)x(I .

c) Si es cierto. Pues px

xp

x

)x(I)x(I .

Sección 9. Invariancia de la diferencial. Derivación de funciones implícitas. Página 157

1) 322 yx 022 yyx y

xy

2) 012 xyyx 02 2 yxyyxxy xx

yxyy

2

2

3) 222 yxy 022 2 yxxyyy 22

2

xy

xyy

4) 0523 yx 0023 y 2

3y

5) 43 3223 yxyyxx 036323 2222 yyyxyyyxxyx

22

22

36

323

yxyx

yxyxy

6) )xycos()xysin(x yxy).xysin(yxy).xycos(x)xysin(

)xysin(x)xycos(x

)xysin()xycos(xy)xysin(yy

2

7) yxye x 3 yyye x 13 2 1

31 3

xe

yy

8) 032 2 )yxlog(yx 01

62yx

yyy

yxy

yxy

16

12

9) 211

yx 0

122 y

y

x

2

2

x

yy

10) 23122

yx 03212 yyx 3

1

y

xy

11) 22

1xy

Sección 10. Derivadas y diferenciales sucesivas. Página 159

1) xe.xy xx xeey xxxxx xeexeeey 2

2) xe.xy 2 xx exxey 22 242 xxey x


9

4) )xlog(.xy 1)xlog(y x

y1

5) )xlog(siny xsin

xcosy

)x(siny

2

1

Calcular las derivadas sucesivas:

6) f(x)= ex; f (x)= ex; f (x) = ex; f ´ (x) = ex; ……..; f n (x)= ex

8) f(x) = sinx; f (x) = cosx; f (x) = -sinx; f ´ (x) = - cosx; f iv(x) = sinx …..

Sección 12. En busca del máximo y del mínimo absoluto. Página 164

1) 11232 23 xxxy en 20,

1º) Calcular el valor de la función en los extremos del intervalo:

10 )(y e 52 )(y

Antes de seguir avanzando es conveniente hallar la derivada primera:

1266 2 xxy

2º) Hallar los eventuales puntos interiores del intervalo donde la derivada primera es cero:

2 ó 112

186

12

288366012660 2 xxxxxxy

Se considera solamente x =1 porque pertenece a 20, , en cambio x =-2 se descarta.

61)(y

3º) Hallar los eventuales puntos interiores del intervalo donde la función no es derivable.

La función no tiene puntos no derivables en el intervalo daddo, pues se y por lo tanto es deri-

vable en todo su Dominio de Definición.

De 1º, 2º y 3º) se concluye:

Máximo es 5 y se alcanza en x = 2 (punto de máximo).

Mínimo es -6 y se alcanza en x = 1 (punto de mínimo).

2) Máximo es log 2 y se alcanza en x = 0, Mínimo es 0 y se alcanza en x = 1 y x = -1 (puntos de míni-

mos). Resuelto en la ADDENDA Nº 3 - Como plantear y resolver problemas del Bloque Temático III.

3) Máximo es 2e y se alcanza en x = 0 (punto de máximo)

Mínimo es 1 y se alcanza en x = 2 y x = -2 (puntos de mínimos).

4) Máximo es 2

1 y se alcanza en x =

2

1 (punto de máximo).

Mínimo es -1 y se alcanza en x = 0 (punto de mínimo).


10

11) Beneficio máximo: 44000.

Nivel de producción que hace máximo el beneficio: 150. (Tenga en cuenta que el beneficio máximo se

alcanza en x = 150).

13) Las gráficas solicitadas son:

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7

20

40

60

80

I(x)

C(x)

a) x =2 . Resulta B(x) = 0 (beneficio es nulo). Punto de no ganancia no pérdida.

b) x = 6. Resulta B(x) = 0 (beneficio es nulo). Punto de no ganancia no pérdida

c) 0 < x < 2. Resulta B(x) < 0, se produce pérdida, pues el costo de producción es superior a los ingre-

sos percibidos por la venta de las unidades producidas.

d) 2 < x < 6. Resulta B(x) > 0, reditúa ganancia, porque los ingresos percibidos superan los costos de

producción.

e) 6 < x < 10. Resulta B(x) < 0, se produce pérdida, pues el costo de producción es superior a los in-

gresos percibidos por la venta de la unidades producidas.

f) x = 4. La comercialización de 4 unidades reditúa ganancia, el ingreso percibido ($24) supera los

costos de producción de las cuatro unidades ($20).

14) 922 xx)x(C

a) x

x)x(C9

2 en ,0 .

1º) x

xlímx

92

0 y

xxlímx

92

2º) 09

102x

)x(C 399

1 2

2xx

x3x o 3x (se descarta porque no

pertenece al dominio establecido). Luego, solo halla el valor 4)3(C .

3º) La función es derivable en todos los puntos del dominio establecido. (Advierta que la fun-

ción no es derivable en x = 0, pero 0 no pertenece la dominio.)

Respuesta: De 1º, 2º y 3º) se concluye que el menor costo promedio es 4 cuando x = 3.


11

b) 22x)x(C , luego resulta 43)(C .

15) Como se observa en el problema precedente el costo promedio mínimo se alcanza en x = 3, don-

de la derivada de la función costo promedio es cero, es decir: 0)x(C , pero usted sabe que

x

)x(C)x(C .

Seguidamente,

)x(C)x(C

x

)x(C)x(C

)x(Cx).x(C

)x(Cx).x(C

x

)x(Cx).x(C

x

)x(C

0

0

0

2

16)

a) Si 2003

1xp entonces la función ingreso es xxx.p)x(I 200

3

1 2 .

Luego la función ingreso marginal: 2003

2x)x(I .

b) El máximo ingreso se debe determinar en el dominio: ,0

1º) 00 )(I )x(Ilimx

2º) 30002003

20 xx)x(I 30000300)(I

3º) No hay puntos no derivables.

De 1, 2 y 3) el ingreso máximo es 30000 cuando se venden 300 unidades.

Sección 13. La elasticidad. Páginas 167 y 168

2) E(2) = 13

4 Indica que producir un artículo adicional cuesta más que el costo medio de los ya fa-

bricados.

E(8) = 133

64 (la misma interpretación).

3) Dada la función costo promedio 209

1 2 xx)x(C se puede hallar la función costo:

xxx)x(C 209

1 23


12

La elasticidad de costo es: )x(C

)x(C)x(E y además se sabe que 1)x(E , luego resulta:

019

2

09

2

209

1202

3

1

1

209

1

2023

1

1

2

22

2

2

xx

xx

xxxx

xx

xx

)x(C

)x(C

0x (se descarta porque la función costo promedio no está definida en x = 0), o bien, 2

9x .

Respuesta: Cuando x = 2

9 la elasticidad de costo es unitaria.

4) a) La ecuación de la demanda es 270900 ppx para el precio p = 40

La elasticidad de la demanda es: p

p

p

)p(x

)p(x)p(

70900

270 , en consecuencia cuando el precio

es p = 40 resulta: 3

4

300

400

16002800900

4010

407040

900

807040

.)( Elasticidad de la demanda.

Para finalizar, el valor absoluto 13

4

3

440 )( indica que se trata de una curva de demanda

elástica.

b) 225 px p = 4

Si procede de la misma forma que en el inciso a), así resulta:

2

2

2

2

2525

252

2

p

p

p

p

p

p

)p( ; 9

16

1625

164 )( ; 1

9

16

9

164 )( demanda elástica

c) En primer lugar, escriba la demanda en función del precio, es decir,

3600

3

600

px

xp y la elasticidad de la demanda resulta:

p)p(

3600

600 (1)

Si x = 50 entonces p = 11,32


13

reemplace el valor p en (1) 0519633600

6003211 ,

,),(

y se determina 10510513211 ,,),( demanda elástica.

5) 250102510

1pxxp

Si la demanda es unitaria entonces 1)p(η , y resulta:

125010

101

25010

10

p

p

p

25010

10

p

p =1 (se descarta porque la elasticidad de la demanda siempre es negativa) o 25010

10

p

p = -1

512

25020

2501010

125010

10

,p

p

pp

p

p

Si p = 12,5 entonces 12525051210 ),(x

Respuesta: x = 125

Demanda Unitaria: Una disminución en el precio provoca un aumento porcentualmente igual a la can-

tidad demandada.

6) Está resuelto en ADDENDA Nº 3 - Como plantear y resolver problemas del Bloque Temático III.

Sección 16. El Teorema de L Hospital.. Página 177

1)2

1

2

1

20

010020

x

xsinim

x

xsinim

x

xcosim xx

*

x

2) 11

1

1

0

020

2

00xcos

imxcosimx

xtanim xx

*

x

3) 5

1

12

32

0

0

6

2322

2

2x

xim

xx

xxim x

*

x

4) 31

33

0

01300 log

logim

xim

x

x

*x

x

5)30

1

x

xlogim

x

6) 05x

xlogim

x


14

7) 03 x

eim

x

x

8)

x

x

e

)xlog(im

10

1

9) 01

1

0

0

10

0

2

000xlim

x

xlim

x

xloglim.xlogxim

xx

*

xx

10) 00 xlog.ximx

11) 022

02

2

xxxx

*

xxx

xe

ime

xim

e

xim.exim

12) eelim

x

xe

lim

x

elim.xelim x

x

x

x

*x

x

x

x

1

0

2

2

1

0

1

0

1

0 1

1

10

13) 0

1

0x

xe.xim

14) 1

1

xx xim

15) *

1

11log

lim

0

01

11log

0.

11log.

limlim11

1limx

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

eeeeex

eee

x

x

x

x

1

1

1.

11

1

lim

2

2

16) 11

10

x

x xim

17) eximx

x

1

10

18) 110xlog

x xim

19) 110xlog

x xim

20) 02

1

0x

eim

x

x

Documents

SOLUCIONARIO DEL CAPITULO VII BLOQUE …platdig.unlu.edu.ar/...//500/531/CAPITULO_VII_-_Solucionario.pdf · 7 BLOQUE TEMATICO III – Solucionario del Capítulo VII Cálculo de diferenciales: