Matemática

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Solucionario del ExamenSolucionario del ExamenSolucionario del Examende admisión UNASAM 2010 - IIde admisión UNASAM 2010 - IIde admisión UNASAM 2010 - II

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SIGMATH

PREGUNTA N.º 01En una panadería se sabe que 6 hornos consumen 60 toneladas de leña, trabajando 10 horas diarias durante 18 días. Calcule cuántas toneladas de leña serán nece-sarias para mantener trabajando 5 hornos más durante 90 días a razón de 7 horas diarias.

A) 250 ton B) 355 ton C) 385 tonD) 400 ton E) 430 ton

Resolución

Tema: Regla de tres Compuesta

Como en el ejercicio intervienen más de 3 magnitudes, entonces se trata de una regla de tres compuesta, y para resolverlo haremos uso del método práctico.

Hornos h/d Días Leña (ton.)

6 10 18 60

11 7 90 x

5 hornos más

(6)(10)(18)( ) (11)(7)(90)(60)x =

385x =

Respuesta:Por lo tanto, se necesitan 385 toneladas de leña para mantener trabajando 11 hornos

Alternativa C

PREGUNTA N.º 02César y Jaime realizan una obra en 10 días. Teniendo César vez y media la habilidad de Jaime, ¿en cuántos días realizará Jaime solo la misma obra?

A) 22 días B) 25 días C) 23 díasD) 27 días E) 24 días

Resolución

Tema: Regla de tres Simple

Antes de aplicar el método práctico (al igual que el ejercicio anterior), debemos tener en cuenta que “vez y media” es equivalente a:

1 31

2 2+ =

Según esto, nuestro ejercicio será equivalente a que César tiene 3/2 veces la habilidad de Jaime, y con el propósito de evitar fracciones, llamaremos 2x la habili-dad de Jaime, con lo que se tiene:

César

Jaime

Habilidad

3x

2x

Aplicando el método práctico

Obreros Días Obra

5x 10 1

2x d 1

5 10 1 2 1x x d⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

25d =

Respuesta:Por lo tanto, Jaime demorará 25 días en hacer la obra sólo.

Alternativa B

PREGUNTA N.º 03Un móvil se desplaza a velocidad constante recorrien-do primero 540 km, luego 810 km. Si el MCM de los tiempos empleados es 162. ¿Cuántas horas se ha de-morado en total?

A) 135 h B) 105 h C) 120 hD) 165 h E) 150 h

Resolución

Tema: M.R.U.

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SIGMATH

��������������EXAMEN ORDINARIO�������

3

Como la velocidad del móvil es constante, entonces se trata de un M.R.U., luego:

540 km 810 km

1t 2t

v → v → v →

A B C

Aplicando la ecuación del M.R.U.

Tramo AB: 1

540v

t=

Tramo BC:

2

810v

t=

Al igualar ambas ecuaciones se tiene

11

1 2 2 2

2540 810 2 ( )

3 3

t ktt t t t k

== → = → α =

Como piden calcular ¿Cuántas horas se ha demorado en total? Entonces sumaremos los tiempos empleados

1 2t t+ .

Como dato nos dan:

( )1 2, 162 MCM t t = →

( )2 ,3 162MCM k k =

( )6

( ) 2,3 162k MCM =

6 162 27k k= → =

Reemplazando el valor de k en ( )α

1 1

2 2

2 54

3 81

t k t

t k t

= = → = =

Respuesta:Por lo tanto, el auto se ha demorado en total

1 2 135 .t t h+ =Alternativa A

PREGUNTA N.º 04En la UNASAM se ha realizado las elecciones para la Federación de Estudiantes. El 48% de los alumnos su-fragantes son mujeres, de las cuales el 25% votan por la lista B, que además obtuvo los votos del 50% de los hombres.El porcentaje de los alumnos que votaron por la lista B es:

A) 32% B) 34% C) 36%D) 38% E) 40%

Resolución

Tema: Tanto por Ciento

Sea 100x el total de alumnos sufragantes, entre hom-

bres y mujeres, donde Mujer M= y Hombres H= , en-tonces según condiciones del problema se tiene:

{

{

48

100

52

x M

x

x H

12 (lista B)x →

36 (otra lista)x →

26 (lista B)x →

26 (otra lista)x →

Según el esquema mostrado, la cantidad de votantes por la lista B es:

12 26 38x x x+ =

Como piden el porcentaje de alumnos que votaron por la lista B, entonces solo hay que comparar que porcen-taje representa 38x respecto de 100x , y como es fácil darse cuenta 38x representa el 38%

Respuesta:Por lo tanto, el 38% de alumnos de la UNASAM vo-taron por la lista B

Alternativa D

PREGUNTA N.º 05

Después de resolver 7 1 2x x+ − − > .El número de soluciones enteras es:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Resolución

Tema: Inecuaciones Irracionales

7 1 2 ( )x x+ − − > α

Calculando el campo de existencia (el universo)

7 0 1 07 1

x xx x+ ≥ ∧ − ≥≥ − ∧ ≥

Por lo tanto 1,U = +∞ es el campo de existencia.

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��������������EXAMEN ORDINARIO�������

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SIGMATH

A la inecuación ( )α la podemos escribir equivalente-mente de la siguiente manera.

7 2 1x x+ > + − Elevando al cuadrado

7 4 4 1 1x x x+ > + − + −

4 4 1x> −

1 1x> −

1 1x> −

2 ( )x < β

Luego el . . ( ) . . 1,2C S U C S = β ∩ → =

Respuesta:Por lo tanto, como piden el número de soluciones en-teras, entonces solo habrá uno.

Alternativa A

PREGUNTA N.º 06

Teniendo en cuenta que: 2 2 7x y+ = , 3xy = ,

0 y x< < .

El valor de 2 2x y− es

A) – 1 B) 1 C) 2

D) 13 E) 2 13+

Resolución

Tema: Productos Notables

Como datos tenemos 2 2 7x y+ = ; 3xy =

Además sabemos que:

i) ( )2 2 22x y x xy y+ = + +

( )27 6 13x y+ = + =

13x y+ =

ii) ( )2 2 22x y x xy y− = − +

( )27 6 1x y− = − =

1 1x y− = =

Observación.- en i) y ii) se han considerado los va-

lores positivos porque la condición inicial es: 0 y x< <

En el ejercicio piden calcular 2 2x y− , dándole forma a esta expresión y reemplazando los valores de i) y ii) se tiene:

( )( )2 2x y x y x y− = + −

( )( )2 2 1 13 13x y− = =

Respuesta:

Por lo tanto, 2 2 13x y− =Alternativa D

PREGUNTA N.º 07

Al factorizar ( )22 21 15 3 3x x x x+ + − + + ; un factor primo, es:

A) 2 7x x+ − B) 2 7x + C) 1x +

D) 2x − E) 2x +

Resolución

Tema: Factorización

( )22 21 15 3 3x x x x+ + − + +

( ) ( )22 21 3 5x x x x+ + + + −

( ) ( )22 21 3 1 6 ( )x x x x+ + + + + − α

Con el efecto de simplificar los cálculos, en esta parte del ejercicio haremos un cambio de variable, sea:

2 1x x m+ + =

Reemplazando este valor en ( )α

( )2 3 6m m+ −

( )( )6 3m m+ −

Volviendo a la variable primitiva x

( )( )2 21 6 1 3x x x x+ + + + + −

( )( )2 27 2x x x x+ + + −

( )( )( )2 7 2 1x x x x+ + + −

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SIGMATH

��������������EXAMEN ORDINARIO�������

5

Respuesta:Por lo tanto, según las alternativas, uno de los factores

primos es ( )2x +Alternativa E

PREGUNTA N.º 08Sea el polinomio homogéneo

5 3 12 2( , , )b bb b aP x y z b x ay ba z− +−= − +

La suma de sus coeficientes es:

A) 64 B) 68 C) 24D) 46 E) 32

Resolución

Tema: Polinomios

Como el polinomio ( , , )P x y z es homogéneo (según condición del problema), entonces debe cumplirse que el grado absoluto de todos sus términos sean iguales:

5 3 1 b bb b a− += =

(I) (II)

De (I): 5 3 5 3 8bb b b b− = → − = → =

Reemplazando el valor de b en (II)

De (II):

3 1 3 9 9 9 8 2 2bb a a a a+= → = → = → =

Reemplazando los valores de a y b en la función:

512 512 512( , , ) 64 2 2P x y z x y z= − +

Calculando la suma de coeficientes

64 2 2 64Coeficientes = − + =∑

Respuesta:

Por lo tanto, 64Coeficientes =∑Alternativa A

PREGUNTA N.º 09Dada la matriz

1 1 11 1 11 1 1

A xy

= + +

El determinante de la matriz A es:

A) 0 B) x y+ C) xy

D) x yxy+

E) 2

Resolución

Tema: Determinantes

El determinante adjunto a la matriz A es:

1 1 11 1 11 1 1

A xy

= ++

Como el determinante A es de orden 3, entonces aplicaremos la regla de Sarrus.

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

A x xy

= + ++

( )− ( )− ( )−

( )+ ( )+ ( )+

[ ](1)( 1)( 1) (1)(1)(1) (1)(1)(1)A x y= + + + + −

[ ] (1)( 1)(1) (1)(1)(1) ( 1)(1)(1)x y+ + + +

( ) ( )( 1) 1 2 1 1 1A x y x y = + + + − + + + +

1 2 3A xy x y x y xy= + + + + − − − =

Respuesta:

Por lo tanto, A xy=Alternativa C

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SIGMATH

PREGUNTA N.º 10En la figura, determinar el valor de “x”, sabiendo que

AC PT= y // QP RC

A

B

CP

Q

R

T

x8 cm

12 cm

4 cm

A) 3 cm B) 5 cm C) 6 cmD) 8 cm E) 10 cm

Resolución

Tema: Semejanza de Triángulos

A

B

CP

Q

R

T

x8

12

4

= 5m k

= 2n k

= 12a k 13k 12k= 15a k

Sean =AP b , =AC a , =QP n , =BC m

Como // QP RC , entonces los triángulos ∆AQP y

∆ABC son semejantes, o sea ∆ ≅ ∆AQP ABC y en ello se cumple que:

== ⇒ = ⇒ =

520 8 2

5 2m kn

m n m n k

También por semejanza

== ⇒ = ⇒ =

1

1

55

5 2 2 2

a ka b ak k b b k

Como =AC PT , entonces = 13PC k y = 12CT k

En la figura también hay otros dos triángulos que son

semejantes ∆ ≅ ∆PQT CRT , entonces

= ⇒ = ⇒ =1 15 2 4

2 5k kPT CT k

RCQP RC k RC

También se cumple que:

+ += ⇒ = ⇒ =

4 4 4 20 6

42 2 45

x xx

kk k k

Respuesta:Por lo tanto, = 6x

Alternativa E

PREGUNTA N.º 11En un triángulo ABC, con AB 18 cm= , se traza la

mediana BM . Calcular la longitud de tal mediana, si A MBC Cm m m= −

A) 4 cm B) 5 cm C) 8 cmD) 9 cm E) 12 cm

Resolución

Tema: Triángulos

Piden calcular la longitud de la mediana BM

18

A

B

CM

N

α α β

α +β

α + β

Como dato tenemos:

A MBC C m m m= − →

MBC A Cm m m= +

Si Am = α y Cm = β, entonces MBCm = α + β

Si trazamos la recta MN // AB obtenemos que MN es base media del ABC∆ , entonces MN 9= .

El BMN∆ , es un triángulo isósceles (ver figura), con

BM MN= , entonces BM MN 9= =

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Respuesta:Por lo tanto, la mediana BM 9 .cm=

Alternativa D

PREGUNTA N.º 12Los vértices de un triángulo son los puntos A( 3,3)− ,

B(5,6) y C(9, 3)− . La recta que contiene la altura BH del triángulo intersecta el eje “y” en el punto.

A) (0, 2)− B) (0, 4)− C) ( 4,0)−

D) (0, 6)− E) (0,2)

Resolución

Tema: Geometría Analítica

Ubicando y uniendo los puntos A, B y C en el plano euclidiano obtenemos el siguiente triángulo

( 3,3)A −

(5,6)B

(9, 3)C −(0, )D y

L

X

Y

h

a

b

Para calcular la componente “y” del punto D usaremos la propiedad de rectas ortogonales que dice:

0 a b a b⊥ ⇔ ⋅ =

En nuestro ejercicio:

( 3,3) (9, 3) ( 12,6)a CA A C= = − = − − − = −

(5,6) (0, ) (5,6 )b DB B D y y= = − = − = −

Reemplazando en la propiedad

0 a b⋅ = →

( 12,6) (5,6 ) 0y− ⋅ − =

( 12)(5) (6)(6 ) 0y− + − =

4y = −

Respuesta:Por lo tanto, la recta L que contiene a la altura “h” in-

tersecta en el punto (0, 4)D −Alternativa B

PREGUNTA N.º 13Con los datos que se dan en la figura, determinar:

( )tan( ) secθ + θ

A

B

C

P Q

6

20

8

θ θ

A) 32

B) 1 5

3+

C) 1 5

2+

D) 3 5+ E) 5 1−

Resolución

Tema: Razones Trigonométricas en el Trián-gulo Rectángulo

• En el PAB∆

ABcot AB 6cot

6= θ → = θ

• En el BCQ∆

BCcot BC 8 cot

8= θ → = θ

• En el ABC∆ aplicamos el teorema de Pitágoras:

2 2 2AB BC 20 + = →

( ) ( )2 26cot 8 cot 400θ + θ =

2 236cot 64 cot 400θ + θ =2100cot 400θ =

cot 2θ =

• En el PAB∆

( )AB 6cot 6 2 12= θ = =

PB 6 5 (por Pitágoras)=

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SIGMATH

De aquí se obtiene que

6tan (I)

12θ =

6 5sec (II)

12θ =

Piden calcular tan secθ + θ .

Reemplazando los valores de (I) y (II) en lo pedido:

66 6 5tan sec

12 12θ + θ = + =

( )1 5

12

+ 1 52

+=

Respuesta:

Por lo tanto, 1 5tan sec

2+

θ + θ =Alternativa C

PREGUNTA N.º 14

Si cos( ) sec sen2 2θ θ θ ⋅ =

, determinar el valor de

( )4 4sec 1 sen 1E = θ ⋅ − θ −

A) 3 B) 4 C) 5D) 7 E) 8

Resolución

Tema: Identidades Trigonométricas

Como condición del problema tenemos:

cos sec sen2 2θ θ θ ⋅ =

sen2cos sen cos

2 2sec2

θ θ θ θ = = ⋅ θ

:

sin sin cos

2 2 2

Recordar

θ θ θ ⋅ =

sencos tan 2

2θ

θ = → θ =

Piden calcular

( )4 4sec 1 sen 1E = θ − θ −

4

4 4 4

tan

sec sen sec 1Eθ

= θ − θ ⋅ θ −

4 2 4

:

sec 1 2 tan tan

Recordar

θ = + θ + θ

1E = 2 42 tan tan+ θ + θ 4tan− θ 1−

( )222 tan 2 2 8E = θ = =

Respuesta:Por lo tanto, 8E =

Alternativa E

PREGUNTA N.º 15Siendo α un ángulo agudo tal que

sen(3705 ) cos( )° = α , calcular:

sec(15 ) csc(9 )E = α − α

A) 2 B) 2− C) 2 2

D) 2 2− E) 2−

Resolución

Tema: Razones Trigonométricas

sen(3705 ) cos( ) ( )° = α ∗

Reduciendo el primer cuadrante (IC) a sen(3705 )° .

3705° 360°10105°

El residuo 105 IICr = °∈

El ángulo de referencia

180 105 75r rα = ° − ° → α = ° .

Como 3705 IIC°∈ , entonces sen(3705 )° es positivo,

luego: sen(3705 ) sen(75 )° = ° .

Reemplazando en ( )∗ .

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SIGMATH

sen(75 ) cos( )° = α

Co-razones trigonométricas

Como α es un ángulo agudo y sen, cos son comple-mentarios, entonces:

75 90 15° + α = ° → α = °

Piden calcular

( )sec 15 c sc(9 )E = α − α

( )sec 225 c sc(135 )E = ° − °

Reduciendo al primer cuadrante (IC)

( )sec 45 c sc(45 )E = − ° − °

2 2 2 2E = − − = −

Respuesta:

Por lo tanto, 2 2E = −Alternativa D