Soluciones de Algunos Problemas Del Libro

1

Soluciones de algunos problemas del libro

Mayor que 800

Pongo en sus manos las soluciones que obtuve para varios de los ejercicios pedidos por

distintos alumnos, que han trabajado con el libro Mayor que 800, este trabajo creo ser de

utilidad para el estudio de la ltima parte del ao. Obviamente no son estas las nicas soluciones,

y creo que quizs ustedes tengan otras un poco mejores, an as creo les ayudar a conocer de

formas de resolver situaciones, las cuales al estudiarlas les llevar a un mejor desenvolvimiento

en la PSU que se avecina.

Como es mi costumbre, agradezco en primer lugar a mi pequea Savane, quin me

motiva a entregar lo mejor a ustedes, con el nico fin de que logren sus metas, ella y yo slo

queremos que ustedes lleguen a estudiar lo que quieren, pues el xito de ustedes es nuestro

orgullo.

Obviamente agradezco a mi Liceo Nacional, que me puesto frente a ustedes y as poder

compartir lo aprendido con ustedes, en especial a Carlos Fernndez, inquieto director que da los

espacios para hacer que la educacin mejore en estos tiempos tan difcil para ello. A Francisco

Rojas impulsor de muchas de las acciones que han recibido y recibirn para la mejor expedicin

de ustedes en el camino de lograr sus metas.

De ninguna forma me olvidar de ustedes que son los que nos mueven a hacer todos estos

esfuerzos, que sin duda, no podran ser si ustedes no estn. Por tanto los desafo a lograr sus

metas para que realmente sean dueos de sus destinos.

Vamos generacin del 2012 de nuestro LICEO NACIONAL a ser mejores que las

generaciones anteriores por el bien de toda esta comunidad.

Sixto Mauln y Savane Emegu

Octubre del 2012

2

Ejercicio 2

2. En la siguiente multiplicacin las letras P, Q y R representas a cifras, luego P + Q + R =

P P Q Q

R Q 5 Q

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) No se puede determinar

Solucion:

Como P, Q y R son cifras y en la multiplicacin presentada, tenemos que al multiplicar la

cifra Q con ella misma, debe resultar Q o un nmero terminado en la cifra Q, esto nos lleva a

concluir que slo tenemos tres opciones;

Q = 1, as 1 1 = 1

Q = 5, as 5 5 = 25, o

Q = 6, as 6 6 = 36

Y no tenemos ms opciones, descartamos de inmediato Q = 1. Pues deberamos tener

como resultado de la multiplicacin PPQ y no corresponde al resultado mostrado.

Ahora ya hecha la multiplicacin de Q Q, nos corresponde Q P, si consideramos que Q =

5, tendramos 2 de reserva, por lo tanto Q P + 2 debera dar un resultado terminado en 5, segn

lo indica la multiplicacin, y como tenemos que 5 por cualquier nmero da como resultado un

nmero terminado en 0 o 5, si le sumamos la reserva 2, nunca dar terminado en 5, por tanto lo

descartamos.

Definitivamente Q debe ser 6, quedando;

P P 6 6

R 6 5 6

Ahora sabemos que la reserva es 3, por tanto 6 P + 3, debe terminar en 5, lo que implica

que 6 P debe terminar en 2, por tanto para P tenemos solo 2 cifras posibles 2 (6 2 = 12) o 7

(67 = 42). Si fuese 2 tendramos que al multiplicar la siguiente cifra P, habra 1 de reserva y nos

quedara: 6 2 + 1 y el resultado no dara terminado en 6, por tanto la cifra P debe ser 7, ahora

ya podemos terminar la multiplicacin.

4 3

7 7 6 6

4 6 5 6

Finalmente Q = 6, P = 7 y R = 4, P + Q + R = 7 + 6 + 4 = 17

Respuestas C

3

Ejercicio 4

4. Si a < 0, entonces a a =

A) 2a

B) 0

C) -2a

D) -2

E) -a

Este ejercicio nos pide que apliquemos la definicin de valor absoluto, y esta nos dice que

si tenemos un valor absoluto de una expresin negativa, esta ser la expresin

multiplicada por menos 1.

A modo de ejemplo;

3 1 ( 3) 3

Luego;

a 1 a a

Finalmente nos queda;

-a a = -2

Respuesta C

Ejercicio 6

6. Si cuatro nmeros enteros positivos consecutivos son dividido cada uno por 4, la suma de

los restos es

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 0

Solucin:

Al dividir por 4 cualquier nmero, los restos posibles de ella son; 0, 1, 2 y 3, ahora como

vemos los restos son consecutivos por tanto podemos inferir que si tenemos 4 enteros

positivos y consecutivos, uno de ellos tendr resto 0, otro resto 1, otro resto 3 y el otro

resto 2, por tanto nos queda que;

0 + 1 + 2 + 3 = 6

Respuesta A)

4

Ejercicio 18

18. Cuntos enteros positivos de tres cifras, tienen solo dgitos pares?

A) 25

B) 100

C) 250

D) 500

E) 1000

Solucin:

Si consideramos la cifra de las centenas, estas pueden ser 2, 4, 6 o 8, por tanto podra

comenzar de 4 formas distintas. Las cifras de las decenas pueden ser; 0, 2, 4, 6, o 8, por tanto

habran 5 formas distintas y las cifras de las unidades tambin pueden ser de 5 formas distintas.

Por tanto vamos a tener: 4 5 5 = 100 nmeros, aqu aplicamos el principio multiplicativo

para contar, que despus en el IV tem tratamos este principio.

Otra manera que nos lleva a lo mismo es hacer un diagrama de rbol como lo muestra la

figura;

Respuesta B

Ejercicio 21

21. Cul es el nmero natural mayor de 2 cifras que es no es par y es mltiplo de 3 y 5 a la

vez?

A) 75

B) 85

C) 90

D) 95

E) 15

Solucin:

Los nmeros que son mltiplos de 3 y de 5 a la vez son los mltiplos de 15, el problema

pide que tengan dos cifras, por tanto tendremos a los nmeros; 15, 30, 45, 60, 75 y 90. Pero no

deben ser pares, nos quedan el: 15, 45, y 75, pero como piden el mayor, este debe ser 75.

Respuesta A

2

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

5

Ejercicio 22

22. El producto de tres naturales distintos es 144, cul es la mayor suma de ellos?

A) 20

B) 52

C) 72

D) 75

E) 146

Solucin:

Hay mucho tros de nmeros que multiplicados dan 144, pero como piden la mayor suma

de ellos, obviamente debemos tomar los mayores divisores de 144, a modo de ejemplo 144, 72,

48. Ahora no podemos considerar el 144, pues el nico producto de nmeros distintos sera:

1 144, y no seran 3 como pide el ejercicio, pero si consideramos el 72, tenemos:

1 72 2, cuya suma es 1 + 72 + 2 = 75, pero que pasara con los dems.

1 48 3, cuya suma es 1 + 48 + 3 = 52, y as podramos seguir probando.

Pero si hacemos una simple inspeccin en la medida que disminuya el mayor divisor los

otros aumentan, pero la disminucin del mayor es mucho ms fuerte que al aumento de los

menores, lo cual hace necesariamente que la suma disminuya, por tanto la suma debe ser 75.

Respuesta D

Ejercicio 23

23. El nmero de cifras del nmero equivalente a 416 525 es

A) 25

B) 27

C) 28

D) 29

E) 30

Solucin:

Resolver ambas potencias y multiplicarlas sera un proceso muy largo, por tanto buscamos

una forma ms amigable, pensando en las potencias de 10, ya que si tenemos un nmero por una

potencia de base 10, debemos agregar tantos ceros como lo diga el exponente de la potencia de

10, hagamos el arreglo:

416 525 = (22)16 525 = 232 525 = 27 225 525 = 27 (25)25 = 128 1025

Luego el nmero est formado por el 128 y 25 ceros a continuacin, por tanto tiene 28

cifras.

Respuesta C

6

Ejercicio 28

28. Al dividir un cuadrado en 16 cuadrados se forman 9 puntos de interseccin, como lo

muestra la figura. Cuntos puntos de interseccin habr cuando un cuadrado se divide en

144 cuadrados?

A) 100

B) 121

C) 132

D) 144

E) 169

Solucin:

Como vemos en la figura, los cuadrado son 16 (42) y hay en el 9 (32) puntos, nos damos

cuenta si el lado del cuadrado es 4, el nmero de puntos es el antecesor al cuadrado, (4 1)2.

Para verificar esta regularidad consideremos situaciones ms pequeas;

Estas dos figuras dan razn de la regularidad que se produce, ahora si tenemos 144

cuadrados, tenemos un cuadrado de lado 12 (122 = 144) por tanto el nmero de puntos debe ser

(12 1)2 = 112 = 121

Respuesta B

Ejercicio 35

35. Si todos los dgitos en la numeracin de las pginas de un libro se recortan y se echan a

una caja, habra en total 192 dgitos. Cuntas pginas tena el libro?

A) 192

B) 119

C) 101

D) 100

E) ninguna de las anteriores

Solucin:

Si cortamos los dgitos de la numeracin de un libro, desde la pgina 1 a la 9, tendran un

dgito por cada pgina y desde la 10 a la 99 tendramos 2, luego,

Desde la 1 a la 9 = 9 dgitos.

Desde la 10 a la 99 = 2 90 = 180

Hasta la 99 tenemos en total 189 dgitos y nos faltan 3 para los 192, como la pgina que

viene es la 100 y en ella cortaremos 3 dgitos, entonces completamos lo pedido, por tanto el libro

tiene 100 pginas.

Respuesta D

Observacin:

Si queremos saber cuntos nmeros hay entre dos?, hacemos la diferencia entre ellos y le

restamos 1 pues no considera los dos extremos.

Si queremos saber cuntos nmero hay desde uno hasta el otro?, hacemos la diferencia y

le sumamos 1 pues se consideran los dos extremos.

7

Ejercicio 38

38. Si k y p son enteros y k < -3 y p > 4, luego el mayor valor de k - p es

A) 1

B) 7

C) -7

D) 9

E) -9

Solucin:

En una resta el mayor valor deber producirse cuando el minuendo es el ms grande y el

sustraendo el ms pequeo, por tanto como k es el minuendo, el mayor valor de k es -4 y el

menor valor de p (sustraendo) es 5, entonces tenemos al final que:

-4 5 = -9

Respuesta E

Ejercicio 44

44. Si ABC + DEF = 1.000, donde A, B, C, D, E y F son las cifras, todos ellas distintas de cero,

entonces A + B + C + D + E + F es igual a

A) 10

B) 19

C) 28

D) 30

E) no se puede determinar

Solucin:

Anotemos la suma hacia abajo para visualizar mejor, tenemos

A B C

+ D E F

1 0 0 0

Aqu se ve claro que C + F debe ser 10, pues son cifras distintas, y se genera 1 de reserva.

Esto nos lleva a concluir que B + E = 9, ya que si le sumamos la reserva da 10, de igual forma

podemos concluir que A + D = 9, luego

A + B + D + E + F = (A + D) + (B + E) + (C + F) = 9 + 9 + 10 = 28

Respuesta C

8

Ejercicio 65

65. 3 1

4 :24 2

es igual a

A)

34 4

12

2

B) 4

12

2

+

3

41

2

C) 3 2

4 24 1

D) 5 3 5

42 4 2

E) 2 3 2

45 4 5

Solucin:

Es un ejercicio simple de operatoria de racionales, salvo que la respuesta est escrita de

una manera no tradicional, una de las formas de resolverlos es obtener el resultado y verificar

cual de las alternativas es, o de la siguiente manera:

3 1 3 5 3 24 :2 4 : 4

4 2 4 2 4 5

, ahora aplicamos la distributividad y nos queda

3 2 2 3 24 4

4 5 5 4 5

Respuesta E)

Ejercicio 68

68. Savane que es una nia muy golosa, se comi un cuarto de la torta antes de que llegaran

sus invitados que eran 9, si la mam de Savane debe repartir de manera equitativa lo que

resta de la torta, qu parte de la torta original le corresponde a cada participante del

cumpleaos?

A) 1

12

B) 3

40

C) 1

9

D) 1

10

E) 1

40

Solucin:

Segn dice el enunciado del problema, al comerse la Savane un cuarto de la torta, quedan

tres cuartos por repartir.

Obviamente la mam debe repartir entre 10, los 9 invitados y la Savane, no dice el

problema que en la reparticin final la Savane se queda sin parte.

1 3 3

10 4 40

Respuesta B)

9

Ejercicio 72

72. Un entero se ha dividido en 72 partes, si queremos representar una fraccin que sea

equivalente a una con numerador 1, cuntas partes no deberamos considerar?

A) 2

B) 3

C) 6

D) 24

E) 27

Solucin:

La idea del ejercicio es que se den cuenta que al ser el entero dividido en 72 partes,

tendremos fracciones de denominador 72, por tanto para obtener fracciones de denominador 72 y

numerador que me permitan simplificarla para que el numerador es 1, la manera ms fcil de

lograrlo es hacer la descomposicin prima del denominador:

72 = 8 9 = 23 32

Es decir que si el numerador slo tiene potencias de base 2 y/o 3 con exponentes menores

que 3 en el caso de las potencias de base 2 y 3 en el caso de las potencias de base 3.

Veamos; A) puede ser pues el numerador es 21 podemos simplificar por 2 y tendremos

numerador 1; 2 1

72 36 , y as podemos decir que puede ser B) 31, C) 21 31 y D) 23 3. La

que no puede ser es la E) pues tenemos que 27 = 33 y es mayor que 32; 27 3

72 8 .

Respuesta E)

Ejercicio 78

78. 1 2 3

2 3 4 =

A) 11

12

B) 2

3

C) 1 1 1

32 3 4

D) 19

12

E) 1

3

Solucin:

Es un ejercicio simple de operatoria de racionales, salvo que la respuesta est escrita de

una manera no tradicional, una de las formas de resolverlos es obtener el resultado y verificar

cual de las alternativas es, o de la siguiente manera:

1 11

2 2 ,

2 11

3 3 ,

3 11

4 4 , luego tenemos que

1 2 3 1 1 11 1 1

2 3 4 2 3 4

1 2 3 1 1 13

2 3 4 2 3 4

Respuesta C)

10

Ejercicio 92

92. Un reloj se adelanta 8 minutos por da, cuntos segundos se adelanta en un cuarto de

hora?

A) 5 seg.

B) 8 seg.

C) 10 seg.

D) 12 seg.

E) 15 seg.

Solucin:

Como las respuestas estn en segundos, llevemos los 8 min a segundos, por tanto

tenemos; 8 60. Ahora como sabemos que adelanta 8 min cada da, y cada da tiene 24

horas, entonces;

8 6020 seg.

24

, son los segundos que se adelanta cada hora, como el problema pide cada

cuarto de hora, debemos dividir los 20 seg. por 4.

20 : 4 = 5 seg.

Respuesta A)

Ejercicio 98

98. Si reemplazamos los nmeros 3, 4, 6 y 7 en los cuadrados de la figura, cul es el mayor

valor de la suma de las fracciones?

A) 19

12

B) 13

7

C) 5

2

D) 15

4

E) 23

6

Solucin:

La mayor suma se producir cuando los sumandos sean mayores, por tanto las fracciones

debern tener los denominadores ms pequeos, lo cual nos lleva a decir que los nmeros 3 y 4

deben ir en los denominadores.

3 4 , ahora hay que ver las dos formas de ubicar los numeradores, a saber:

6 7 6 4 7 3 45

3 4 12 12

, o

7 6 7 4 6 3 46

3 4 12 12

, este es el mayor valor de la suma, ahora simplificando nos queda:

23

6

Respuesta E)

11

Ejercicio 107

107. Un estudio de ventas de autos dice que cada dos meses se vende la mitad de autos que

hay, cul es el mnimo de autos que debe tener la empresa al iniciar el ao?

A) 128

B) 64

C) 32

D) 16

E) 8

Solucin:

Si me piden el mnimo de autos que debe tener, pensemos que el ltimo bimestre debe

tener 1 auto, por tanto el penltimo bimestre, deber tener 2 (cada bimestre vende la mitad),

luego nos damos cuenta que hay una regularidad siguiente si partimos de atrs para adelente:

ltimo bimestre 1 = 20

5 bimestre 2 = 21

4 bimestre 4 = 22

3 bimestre 8 = 23

2 bimestre 16 = 24

1 bimestre 32 = 25

Por tanto debe iniciar el ao con 64.

Respuesta B)

Ejercicio 108

108. En un mismo entero se quiere representar 1

4 y

2

7, luego cul es la menor cantidad de

partes en que debe dividirse el entero para lograrlo?

A) 4

B) 7

C) 11

D) 21

E) 28

Solucin:

Para representar 1

4, el entero debe ser dividido en una cantidad de partes que sea mltiplo

de 4, y para representar 2

7, el entero en una cantidad de partes que sea mltiplo de 7, ahora

como se nos pide dividir el mismo entero para representar las dos fracciones, el entero debe

dividirse en un mltiplo comn entre 4 y 7, y como piden la menor cantidad, entonces debemos

encontrar el mnimo comn mltiplo entre 4 y 7, que es 28.

Respuesta E)

12

Ejercicio 134

134. Al dejar caer una pelota desde una altura h, esta rebota subiendo hasta 0,9 veces la altura

de donde cay, si esta sigue rebotando con la misma condicin, entonces a qu altura

llegar despus del quinto rebote?

A) 0,9 h

B) 4,5 h

C) 0,45 h

D) (0,9)4 h

E) (0,9)5 h

Solucin:

Aplicando le regla que indica el problema tenemos:

1 rebote, llega a 0,9 h de altura.

2 rebote, llega a 0,9 (0,9 h) = (0,9)2 h

3 rebote, llega a 0,9 (0,9)2 h = (0,9)3 h

Y as sucesivamente, por tanto al quinto rebote la altura alcanzada ser (0,9)5 h.

Respuesta E)

Ejercicio 149

149. Para que 4 b sea un nmero real b debe ser

(1) b < 16

(2) b > 0

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional

Solucin:

Este ejercicio me pide que decida la informacin es necesaria y suficiente para decir que 4 b es real.

Con la informacin (1) no es suficiente ya que si b es negativo de inmediato no sera real.

Con la informacin (2) tampoco puedo decirlo, ya que basta que b > 16 y tenemos que

4 b 0 , por tanto no sera real.

Finalmente con ambas juntas si es posible concluir que es real, ya que 4 b 0 , y sabemos que

0 , siempre ser real.

Respuesta C

Observacin:

Como me piden la informacin para concluir que es real, y no me piden todos los valores

de b para que la expresin sea real, es posible responder con ambas juntas. Cierto es que si b =

4, resulta real, pero en este tipo de ejercicio me piden la informacin para deducir que es real y

ambas juntas me lo permiten.

13

Ejercicio 166

166. Sean S, L, Q y R cifras distintas de cero, si SQ LQ = RRR, donde SQ y LQ son nmeros de

dos cifras y RRR es un nmero de tres dgitos, entonces S + L + Q + R =

A) 19

B) 20

C) 21

D) 22

E) No existen tales nmeros

Solucin:

Como vemos el resultado de la multiplicacin es RRR, y RRR = R 111, luego como

conocemos el 111 y lo podemos expresar como 3 37. Ahora nos damos cuenta que 37 es

nmero primo por tanto;

RRR = R 3 37, luego como el resultado RRR se obtiene de multiplicar dos nmeros de

dos cifras, entonces podemos decir que uno de ellos es 37 y el otro es 3R.

Finalmente si; SQ LQ = 3R 37, lo cual implica que Q = 7 y luego 3R debe ser un nmero

terminado en 7 y la nica forma es 39 = 27, as tenemos que R = 9 y S = 2.

S + L + Q + R = 2 + 3 + 7 + 9 = 21

Respuesta C)

Ejercicio 227

227. Cuntos conjuntos de nmeros naturales consecutivos suman 100?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Solucin:

Como los nmeros consecutivos deben sumar 100, si recordamos que el promedio es el

que est al medio y en el caso de nmeros consecutivos sabemos que; si son una cantidad

impar de nmeros consecutivos el promedio coincide con el de al medio y si son una

cantidad par de nmeros, el promedio deber estar al medio de los dos centrales, entonces

consideremos los dos casos.

i) Si es una cantidad impar de nmeros consecutivos, el promedio coincidir con uno

de ellos, entonces el promedio debe resultar un natural, por tanto:

100

naturaln

, luego n slo puede ser 5 o 25, pues 100

205

o 100

425

,

Concluimos que como n es 5, entonces tendremos 5 naturales consecutivos en los

cuales el central (promedio) es 20.

{18,19,20,21,22}

De igual forma consideremos n = 25 y el central 4, tenemos que:

{,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}, este conjunto lo descartamos pues el problema dice

que deben ser naturales consecutivos, por tanto no deben aparecer negativos.

ii) Si tenemos una cantidad par de nmeros consecutivos, entonces el promedio debe

estar al medio de los dos centrales por tanto deber ser igual a un nmero de la

forma A,5, donde A es la parte entera.

14

100

A,5n

el nico valor posible para n es 8, ya que 100

12,58

, luego decimos

que son 8 naturales consecutivos y los centrales son 12 y 13.

{9,10,11,12,13,14,15,16}

Respuesta B)

Ejercicio 238

238. Si se reparten 42 caramelos entre dos nios; Matas y Vanessa de manera inversamente

proporcional a sus edades, Matas tiene 3 aos y Vanessa 4 aos, entonces cuntos

caramelos recibe Vanessa?

A) 16

B) 18

C) 24

D) 32

E) Ninguno de las anteriores

Solucin:

Supongamos que Matas recibe m y Vanessa v y como nos advierten que se reparten de

manera inversamente proporcional de acuerdo a las edades y recordando que cuando las

cantidades son inversamente proporcionales el producto de ellas es contante, luego nos

queda que;

3 m = 4 v; y m + v = 42, luego si tomamos la primera igualdad y la escribimos de otra

manera, a saber;

3 m = 4 v

m 4

v 3 , y ahora decimos que; m = 4k y v = 3k, entonces reemplazamos en la otra

ecuacin y nos queda:

4k + 3k = 42

7k = 42

k = 6

Finalmente m = 4 6 = 24 y v = 3 6 = 18

Respuesta B)

Ejercicio 255

255. Si 3 5 11

x 3 2x 6 2

, entonces 2x 6 =

A) 2

B) 12

C) 6

D) 8

E) 4

Solucin:

Considerando que el momento ms feliz en racionales es cuando los denominadores son

iguales, entonces procedemos a amplificar la primera fraccin por 2, teniendo que:

3 5 11

x 3 2x 6 2

6 5 11

2x 6 2x 6 2

11 11

2x 6 2

Como vemos, resulta obvio decir que 2x 6 = 2.

Respuesta A

15

Ejercicio 266

266. Para diluir una solucin de sal al 5% se deben agregar x litros de agua, a los 20 litros

originales de solucin. Cul es la ecuacin que permite obtener x si se quiere una solucin

al 1% de sal?

A) 100

120x

100

5

B) 100

1

x20

20100

5

C) 100

1

x20

x20100

5

D) 100

1)x20(

100

95

E) otra ecuacin

Solucin:

Del enunciado podemos inferir que; a los 20 litros iniciales slo le agregamos agua (x) por

tanto no hay aporte de sal, y sabiendo que la nueva solucin ser del 1%, entonces

tenemos:

total de sal 1

nuevo total 100

520

110020 x 100

Respuesta B

Ejercicio 271

271. La crema contiene, aproximadamente, 22% de grasa. Cuntos litros de crema se deben

mezclar con leche al 2% de grasa, para obtener 20 litros de leche con 4% de grasa?

A) 2

B) 4

C) 8

D) 20

E) 40

Solucin:

Sea c los litros de crema y l los litros de leche, luego establecemos dos ecuaciones; una

por el total de litros de la mezcla y la otra por el total de grasa.

c + l = 20, ecuacin por el total de litros de mezcla

22 2 4

C L 20100 100 100

, ecuacin por concepto de grasa

Arreglando la segunda ecuacin nos queda:

11c + l = 40, ahora tenemos el siguiente sistema;

c l 20

11c l 40

a la segunda le restamos la primera y nos queda:

10c = 20

c = 2

Respuesta A

16

Ejercicio 274

274. Sea m

En

la parte entera de la fraccin impropia m

n, luego es siempre verdadero que

A) m

En

n

Em

B) m

En

+ n

Em

= 0

C) m

En

- n

Em

= 0

D) m

En

+ n

Em

= m n

En m

E) m n

E E 0n m

Solucin:

Recordando que en toda fraccin impropia el numerador es mayor que el denominador,

luego al invertirla pasa a ser una fraccin propia, por lo tanto la parte entera de toda

fraccin propia ser 0, y la parte entera de una fraccin impropia debe ser mayor o igual a

1. Por lo tanto;

Si m

E 1n

, entonces

mE 0

n

Respuesta E

Ejercicio 291

291. Se tienen dos soluciones de alcohol una al 8% y la otra al 15%, cuntos litros de cada una

se deben considerar para obtener 100 litros de una solucin al 12,2%?

8% 15%

A) 35 55

B) 55 35

C) 60 40

D) 40 60

E) Ninguna de las anteriores

Solucin:

Supongamos que m son los litros de la primera solucin (8%) y n los litros de la segunda

solucin (15%), luego generamos dos ecuaciones; una por el total de litros y la otra por el

alcohol.

m + n = 100 (total de litros)

8 15 12,2

m n 100100 100 100

(ecuacin del alcohol)

Arreglando la segunda ecuacin, multiplicando por 100, nos queda;

8m + 15n = 1.220

8m + 8n + 7n = 1.220

8(m + n) + 7n = 1.220, reemplazamos la ecuacin 1, quedando

8 100 + 7n = 1.220

7n = 1.220 800

7n = 420

n = 60, luego

m = 40

Respuesta D

17

Ejercicio 303

303. La sexta parte de la suma de dos nmeros es 16, y la cuarta parte de su diferencia es 10.

Cules son los nmeros?

A) 28 y 60

B) 40 y 96

C) 56 y 136

D) 40 y 68

E) 28 y 68

Solucin:

Sean x e y los nmeros entonces traduciendo, tenemos:

1(x y) 16

6

1(x y) 10

4

x y 96

x y 40

sumando ambas ecuaciones nos queda:

2x = 136 x = 136 : 2 x = 68, luego y = 28

Respuesta E)

Ejercicio 304

304. En un corral hay 107 animales entre gallinas y conejos, cuntos animales de cada especie

hay sabiendo que en total hay 278 patas y que ninguno es cojo?

A) 64 gallinas y 43 conejos

B) 75 gallinas y 32 conejos

C) 50 gallinas y 57 conejos

D) 32 gallinas y 75 conejos

E) 43 gallinas y 64 conejos

Solucin:

Sea g el nmero de gallinas y c el nmero de conejos, por tanto tenemos la primera

ecuacin:

g + c = 107

Como las gallinas tienen dos patas y los conejos 4, luego la segunda ecuacin sera:

2g + 4c = 278

g c 107

2g 4c 278

2g 2c 214

2g 4c 278

, ahora a la segunda ecuacin le restamos la primera y nos

queda:

2c = 64 c = 32, luego g = 107 32 = 75

Respuesta D)

18

Ejercicio 316

316. Si A es un nmero de tres cifras diferentes y B es otro nmero de tres cifras formado por

las mismas de A pero en orden inverso, luego A B puede ser

A) 165

B) 297

C) 360

D) 561

E) 683

Solucin:

Sea A = MNP y B = PNM, donde M, N y P son cifras, luego;

A B = MNP PNM, descomponemos los nmeros en su notacin decimal y nos queda;

A B = 100M + 10N + P (100P + 10N + M)

A B = 100M + 10N + P 100P - 10N M = 99M 99P = 99(M P) = 9 11(M P)

Por tanto el resultado debe ser mltiplo de 9 y de 11, que lo mismo decir que el resultado

es divisible por 9 y por 11, luego las alternativas A), D) y E) se descartan pues no son

divisibles por 9. Finalmente descartamos la C) pues no es divisible por 11, quedando la B

como correcta.

Respuesta B)

Ejercicio 318

318. Cuntos nmeros de dos cifras son tales que al sumar el nmero con otro formado por las

mismas cifras, pero invertidas resulta un cuadrado perfecto?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Solucin:

Sean A y B cifras, luego los nmeros a sumar son AB y BA, aplicando la notacin decimal,

tenemos que:

AB + BA = 10A + B + 10B + A = 11A + 11B = 11(A + B)

Ahora como lo pide el problema el resultado debe ser cuadrado perfecto y como 11 es

primo y no es cuadrado perfecto, la nica posibilidad de que el resultado lo sea A + B debe

ser igual a 11, entonces debemos buscar todas las posibilidades de que las cifras A y B

sumen 11.

(A,B) =(2,9), (3,8), (4,7) y (5,6), luego los nmeros pedidos son;

29, 92, 38, 83, 47, 74, 56 y 67, en total tenemos 8

Respuesta E)

19

Ejercicio 323

323. Se tiene 9 monedas y una balanza, una de ellas es ms pesada que las otras, que pesan lo

mismo, cul es el menor nmero de pesadas para encontrar la de mayor peso?

A) 2 pesadas

B) 3 pesadas

C) 4 pesadas

D) 5 pesadas

E) 9 pesadas

Solucin:

Separamos las 9 monedas en tres grupos de 3 monedas, sabemos que uno de esos grupos

pesar distinto, ponemos dos grupos de tres en la balanza, si queda nivelada, entonces los

dos grupos que estn en la balanza no tienen la moneda ms pesada, y el grupo de tres

que qued fuera debe tener la ms pesada. Si la balanza se inclina, entonces la que qued

ms abajo en la balanza tiene la moneda ms pesada.

Como ya tenemos el grupo de 3 monedas donde est la ms pesada, ponemos dos de las

monedas en la balanza, si est queda equilibrada, entonces la moneda ms pesada est

fuera o si se inclina la balanza, entonces la ms pesada ser la que queda ms abajo.

Respuesta A

Ejercicio 324

324. En un campeonato de ajedrez participan 623 jugadores, un participante queda eliminado

tan pronto pierde un juego. Cuntos partidos han de jugarse para determinar el

campen?

A) 2 partidos

B) 310 partidos

C) 311 partidos

D) 312 partidos

E) 622 partidos

Solucin:

Pensemos de la siguiente manera:

Si tenemos dos jugadores, se hara un partido. Si tuvisemos 3 jugadores necesitamos de

2 partidos. Si tenemos 4 jugadores, habra que hacer 3 partidos para tener ganador, y as

sucesivamente, por tanto tenemos la siguiente regularidad:

Jugadores N de partidos

2 1

3 2

4 3

5 4

Podemos inferir que el nmero de partidos es uno menos que el nmero de jugadores, por

tanto 623 1 = 622 partidos.

Respuesta E)

20

Ejercicio 326

326. En una encuesta de mercado sobre el consumo de tres marcas A, B y C de un producto

arroj los siguientes resultados; A lo consumen el 48%, B el 45%, C el 50%, A y B el 18%,

B y C el 25%, A y C el 15% y ninguno de los tres el 5%. Qu porcentaje de los

encuestados consumen solo producto C?

A) 10 %

B) 20 %

C) 30 %

D) 8 %

E) 5 %

Solucin:

Como el enunciado del problema nos habla de

consumos comunes entonces para establecer las

relaciones nos apoyaremos en conjuntos. Ahora

planteamos las ecuaciones, vamos prescindir de los

porcentajes para simplificar el planteo.

a + b + d + e = 48

b + c + f + e = 45

g + d + f + e = 50

a + b + c + d + e + f + g = 95 (100-5)

por otro lado tenemos que:

b + e = 18

e + f = 25

d + e = 15

Ahora del primer grupo de ecuaciones, si sumamos las 3 primeras y luego le restamos la

cuarta nos que:

b + d + 2e + f = 48, ahora sumemos el segundo grupo de ecuaciones, nos queda:

b + d + f + 3e = 58, si restamos ahora, la ltima menos la anterior nos queda:

e = 10, aplicando e para obtener lo que necesitamos, recordando que nos piden los que

slo prefieren C, es decir g, hacemos lo siguiente:

10 + f = 15 f = 5, d + 10 = 15 d = 5, luego aplicamos en;

g + d + f + e = 50 g + 5 + 15 + 10 = 50 g = 20

Respuesta B)

AB

C

5%

ab c

d

e

f

g

21

Ejercicio 327

327. Si un nmero es dividido por 10 da resto 9, por 9 da resto 8, por 8 da resto 7 y as hasta

que se divide por 2 dando resto 1, entonces el menor nmero que cumple con estas

condiciones es

A) 59

B) 419

C) 1259

D) 2519

E) Ninguna de las anteriores

Solucin:

Sean N el nmero buscado y aplicando el algoritmo de la divisin tenemos;

N:10

1

,

N:9

1

N:8

1

N:7

1

Y as hasta dividirlo por 2, luego lo expresamos como;

N 10 1; N 9 1; N 8 1; N 7 1 y as sucesivamente, ahora restemos 1 en todas

y nos queda;

N 1 10 ; N 1 9 ; N 1 8 ; N 1 7

Nos damos cuenta que N 1 es mltiplo de; 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, luego buscamos el

mnimo comn mltiplo entre dichos nmero y obtenemos 2520, finalmente:

N 1 = 2.520

N = 2.521

Respuesta E

Ejercicio 338

338. Si b y c son enteros y (x +2)(x + b) = x2 + cx + 6, entonces c =

A) -5

B) -1

C) 3

D) 5

E) 1

Solucin:

(x + 2)(x + b) = x2 + (2 + b)x + 2b y como dice el ejercicio dice

(x +2)(x + b) = x2 + cx + 6, entonces

x2 + (2 + b)x + 2b = x2 + cx + 6, luego:

2b = 6, entonces b = 3 y como;

2 + b = c

2 + 3 = c

Respuesta D

22

Ejercicio 340

340. Los nmeros a, b, c y d son enteros positivos que satisfacen el sistema de ecuaciones;

ab + cd = 38

ac + bd = 34

ad + bc = 43

entonces cul es el valor de a + b + c + d?

A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 77

Solucin:

Como se ve complicado obtener los valores de; a, b, c, d, tratemos de obtener las sumas

correspondientes, y si tomamos la 2 y la 3 ecuacin y las sumamos tenemos;

ac + bd + ad + bc = 77, apareamos y factorizamos, nos queda;

a(c + d) + b(c + d) = 77

(a + b)(c + d) = 77, y como 77 al expresarlo como producto solo se puede hacer de dos

formas en los enteros; 1 77 o 7 11 y como dos enteros positivos no pueden sumar 1

entonces lo nico posible es que:

(a + b)(c + d) = 7 11, luego podemos decir que;

a + b + c + d = 7 + 11 = 18

Respuesta C

Ejercicio 341

341. Si

x y10

z y, entonces el valor de

x z

y z es

A) 11

B) -11

C) 9

D) -9

E) 10

Solucin:

Escribamos lo que nos dan de la siguiente manera:

x y 10

z y 1

, aplicando la materia de proporciones y en especial el trabajo con la constante

(k) de proporcionalidad, tenemos:

x y = -10k

z y = k, ahora restamos las dos ecuaciones y nos queda:

x y z + y = - 11k x z = -11k

Si multiplicamos la segunda ecuacin por -1, nos queda que y z = -k, reemplazando nso

queda:

x z 11k

11y z k

Respuesta A)

23

Ejercicio 351

351. 3 2

2 2 3

m mn

mn m n 2m

=

A) m n

n 2m

B) m n

n 2m

C) m

n 2m

D) 2

1

m n 2

E) m n

n 2m

Solucin:

Factorizaremos primero para simplificar despus, as nos queda:

3 2 2 2

2 2 3 2 2

m mn m(m n )

mn m n 2m m(n mn 2m )

, ya podemos simplificar por m y luego:

2 2

2 2

m n (m n)(m n)

(m 2m)(m n)n mn 2m

, si simplificamos ahora por m n, tenemos la respuesta.

Respuesta A)

Ejercicio 356

356. Cul es el coeficiente de la cantidad literal que se obtiene de multiplicar los polinomios

(3x3 2x2 + x 5) , (x3 + 5x2 7x + 1) y cuyo factor literal es x4?

A) -31

B) -30

C) -21

D) 31

E) ninguno de los anteriores

Solucin:

Para obtener lo que nos piden, slo nos ocuparemos de los productos que dan x4, para no

demorarnos en multiplicar por completo los dos polinomios.

3x3 -7x = -21x4, tambin al multiplicar -2x2 5x2 = -10x4 y finalmente x x3, as

finalmente nos queda:

-21x4 10x4 + x4 = -30x4

Respuesta B)

24

Ejercicio 366

366. 1

3 a2

1a

resulta ser igual a 3 si

(1) a = 1

(2) a es cualquier real distinto de cero

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




Solucin:

Analizaremos la primera informacin:

(1) a = 1, reemplazamos a y nos queda: 1 1

3 1 4 4 1 32 2 1

11

, por tanto me

sirve la informacin (1)

Analizamos la informacin (2)

Si a es cualquier real distinto de cero, basta pensar en que a = 2, y el denominador de la

fraccin se nos har cero y no es real, por tanto esta informacin ya no nos sirve.

Respuesta A)

Ejercicio 425

425. Para determinar el volumen de un estanque puede procederse de la siguiente manera.

Agregamos 10 litros de agua que contienen 6300 gramos de colorante. Cuando el colorante

est bien disuelto en el volumen total, sacamos 10 litros de agua y observamos que sta

tiene ahora 1,75 gramos de colorante. Cul es el volumen del estanque?

A) 3.590

B) 36.000

C) 11.025

D) 3.600

E) 35.990

Solucin:

Del enunciado podemos inferir que una vez que se le agrega el colorante, en el estanque

hay 6.300 gramos de colorante disuelto en el total de la capacidad, luego si sacamos una

muestra de 10 litros y en ellos hay 1,75 gramos de colorante entonces podemos plantear la

siguiente regla de tres (proporcin)

10 litros 1,75 gr

X litros 6.300 gr

Las cantidades son directamente proporcionales, luego;

10 6.300 = X 1,75

X = 36.000 litros

Respuesta B)

25

AB BA A0B

Ejercicio 442

442. Para cuntos enteros m, con 10 m 100 , el trinomio m2 + m 90 es divisible por 17?

A) 0

B) 7

C) 10

D) 11

E) 12

Solucin:

Que el trinomio sea divisible por 17 es lo mismo que sea mltiplo de 17, por tanto

factorizaremos:

m2 + m 90 = (m + 10)(m 9)

Luego para decir que es mltiplo de 17, el trinomio entonces m + 10 o m 9 deben ser

mltiplos de 17, y si adems consideramos que m es mayor o igual a 10 o menor o igual a

100, entonces;

Para que m + 10 sea mltiplo de 17, m debe ser; 24, 41, 58, 75, 92, tenemos 5 valores

para m.

Para que m 9 sea mltiplo de 17, m debe ser; 26, 43, 60, 77, 94, tenemos otros 5

valores de m.

Respuesta C)

Ejercicio 445

445. Manejando por la carretera a velocidad constante encontr una seal que indicaba AB

kilmetros (A y B dgitos). Una hora despus apareci otra seal con BA kilmetros, y otra

hora ms tarde encontr la que indicaba A0B kilmetros, luego A + B =

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Solucin:

Como el vehculo viaja a velocidad constante y las seales las cada hora entonces se puede

deducir que las seales estn separadas la misma distancia, luego tenemos:

Aplicamos y nos queda:

BA AB = A0B BA

10B + A (10A + B) = 100A + B (10B + A)

9B 9A = 99A 9B

18B = 108A

Como el mayor valor de B es 9, 18 9 = 162, entonces debemos deducir que A no puede

ser otro valor que 1, ahora si A = 1, nos queda:

18B = 108

B = 6

A + B = 1 + 6

Respuesta E)

26

Ejercicio 455

455. Un factor de la expresin 2 2 2x y z 2yz x y z es

A) no tiene factor lineal de coeficientes enteros

B) x + y + z C) x y z + 1 D) x + y z + 1 E) x y + z + 1

Solucin:

Debemos agrupar, considerando formas conocidas, por tanto agrupemos de la siguiente

manera:

x2 (y2 2yz + z2) + x + y z

x2 (y z)2 + x + y z, como vemos ahora tenemos una suma por diferencia,

(x + y z)(x y + z) + (x + y z), ahora os aparece un factor comn; x + y z,

(x + y z)(x y + z + 1)

Respuesta E)

Ejercicio 517

517. Las llaves A, B y C entregan un caudal constante cada una de ellas. Cuando las tres estn

abiertas llenan un estanque en 1 hora, cuando slo estn abiertas A y C se llena el

estanque en 1,5 horas y cuando estn abiertas B y C lo llenan en 2 horas. El nmero de

horas que A y B pueden llenar el estanque es

A) 1,1

B) 1,15

C) 1,2

D) 1,25

E) 1,75

Solucin:

Considerando el razonamiento cantidad de accin por unidad de tiempo, tendremos lo

siguiente:

Llave Tiempo en llenarlo Fraccin de llenado en 1

hora

A a horas 1

a

B b horas 1

b

C c horas 1

c

Juntas las 3 1 11

1

Diremos ahora que cuando las tres estn abiertas tenemos; 1 1 1 1

1a b c 1 , si A y C lo

llenan en 1,5 horas, entonces; 1 1 1 1 2

3a c 1,5 3

2

. Si B y C lo hacen en 2 horas, luego;

1 1 1

b c 2 . Finalmente tenemos tres ecuaciones;

1 1 11

a b c

1 1 2

a c 3

1 1 1

b c 2

, sumando la segunda y la

27

tercera ecuacin y despus restamos la primera, nos queda; 1 2 1 1

1c 3 2 6 , luego

tenemos que lo que llena la llave A y B en una hora ser

1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 11 1

6a b 6 a b 6 a b 6 a b

5

, por tanto A y B juntas lo llenan en 6

1,25

horas.

Respuesta C)

Ejercicio 534

534. Dado; log2 = 0,3 y log3 = 0,48, luego al resolver x x 13 3 8 , x =

A) 1

B) 0,78

C) 1,78

D) 0,625

E) otro valor

Solucin:

Primero factorizamos por 3x y trabajamos:

x x 1 x x x3 3 8 3 (1 3) 8 3 4 8 3 2 , ahora aplicamos logaritmo en base 3 y nos

queda;

x

3 3 3 3 3log 3 log 2 x log 3 log 2 x log 2 , ahora cambiamos a base 10 y reemplazamos

quedando:

log2 0,3 30 5

x 0,625log3 0,48 48 8

Respuesta D)

Ejercicio 535

535. Si 4x

log 253

, entonces log5 =

A) x

3

B) x

x 3

C) 5x

D) 3x

E) x + 3

Solucin:

Primero cambiamos a base 10: 2

4 2

log25 log5 2log5 log5log 25

log4 2log2 log2log2 , ahora reemplazamos,

quedando:

log5 x xlog5 log2

log2 3 3 , escribimos de manera amigable log2 =

10log log10 log5 1 log5

5 ,

finalmente reemplazamos y nos queda:

x x x x xlog5 (1 log5) log5 log5 log5 log5

3 3 3 3 3 ahora factorizamos por log5 y

despejamos:

x x 3 x x x 3 xlog5(1 ) log5 log5

3 3 3 3 3 3 x 3 x

Respuesta B)

28

Ejercicio 536

536. Si log n = 8, entonces 2

1

logn

A) 1

16

B) 1

8

C) -1

8

D) 1

16

E) - 16

Solucin:

Arreglando lo que preguntan tenemos que;

2

1 1

2 lognlogn

, ahora reemplazamos logn y nos queda:

1 1 1

2 logn 2 8 16

Respuesta A)

Ejercicio 538

538. Dado que 3x-2 2 = 0, entonces x =

A) 3log 18

B) 2 3log 2

C) 3log 11

D) 2 + log 2 log 3


Solucin:

Despejamos primero;

x

x 2 x 2 x 2 x

2

33 2 0 3 2 2 3 2 3 3 18

3

, ahora aplicamos logaritmo en base 3 y

tenemos:

x3 3 3 3 3log 3 log 18 x log 3 log 18 x log 18

Respuesta A)

29

Ejercicio 545

545. Sean x e y dos reales tales que 1 1

x4 3

, 2 3

y3 4

y A = 3x 2y, entonces es correcto

afirmar que

A) 4 5

A3 2

B) 3 1

A4 3

C) 3

A 14

D) 1

A 03

E) 4 3

A3 4

Solucin:

El mayor valor de una resta es cuando el minuendo (primero) es el ms grande y el

sustraendo (segundo) es el ms pequeo y el menor valor de una resta es cuando el

minuendo es el menor posible y el sustraendo es el mayor posible, as entonces tenemos

que:

El mayor valor de A ser; 1 2 4 1

A 3 2 13 3 3 3

, luego, el menor valor de A ser:

1 3 3 6 3

A 3 24 4 4 4 4

, finalmente diremos que 3 1

A4 3

Respuesta B)

Ejercicio 552

552. En la fraccin nm2

nm

, m y n son enteros resulta ser una fraccin propia positiva si:

I) m > 0

II) m > n

III) m = n

A) Slo I

B) Slo II

C) Slo III

D) Slo I y III

E) I, II y III

Solucin:

Primero digamos que toda fraccin es propia cuando es positiva y el numerador es menor

que el denominador. Por otro lado hay que tener presente que el denominador no puede

cero, as entonces analicemos:

I) Falso; puede que el denominador sea cero, m = 1 y n = -2

II) Falso; pues se puede dar el caso anterior.

III) Falso; pues pueden ser ambos ceros.

Ahora si tenemos I y III, estamos seguros que el denominador no es cero y nos queda la

fraccin; m n m m 2m 2

2m n 2m m 3m 3

Respuesta D)

30

f(x)

h(x)

f(x)

x

Ejercicio 553

553. El enunciado el triple de la diferencia entre un nmero x y 7, es igual el doble de la suma del mismo nmero con 8, se expresa como

A) 3x 7 = 2x + 8 B) 3(x 7) = 2x + 8 C) 3x 7 = 2(x + 8) D) 3(7 x) = 2(x + 8) E) 3(x 7) = 2(x + 8)

Solucin:

Al traducir, el triple de la diferencia entre un nmero x y 7 tenemos; 3(x 7) y luego al

traducir el doble de la suma del mismo nmero con 8, nos queda 2(x + 8), por tanto

finalmente se obtiene que:

3(x 7) = 2(x + 8)

Respuesta E)

Ejercicio 557

557. Si log2 = a, log3 = b y log5 = c, entonces log10

9=

A) a + c 2b

B) a + c + 2b

C) ab

2c

D) a + c + b2

E) a + c b2

Solucin:

Expresemos los que nos piden en trminos de lo que nos dan, as tenemos que:

210

log log10 log9 log2 5 log3 log2 log5 2log39

Ahora solo reemplazamos y nos queda: a + c 2b

Respuesta A)

Ejercicio 558

558. En la figura 3, estn representadas las funciones f(x) = x2 4x + 5 y h(x) = x + 1, en qu intervalo de x, h(x) f(x)?

A) 1,4

B) 1,4

C) 1,2

D) 1,2

E) 4,5 fig. 3

Solucin:

Es evidente que h(x) f(x) entre los dos puntos de interseccin de las grficas, y en esos

puntos h(x) = f(x), luego:

2

21 2

h(x) f(x) x 1 x 4x 5

0 x 5x 4 0 (x 4)(x 1) x 4 y x 1

Por lo tanto desde 1 hasta 4, h(x) f(x), 1,4 .

Respuesta A)

31

Ejercicio 560

560. Si f(n + 1) = 2f(n) 1

2

, para n = 1, 2, 3, y f(1) = 2, entonces f(101) =

A) 49

B) 50

C) 51

D) 52

E) 53

Solucin:

Escribamos la funcin de otra manera:

f(n + 1) =2f(n) 1 2f(n) 1 1

f(n)2 2 2 2

Ahora si aplicamos tendremos:

f(1) 2

1 1f(2) f(1 1) f(1) 2

2 2

1 1 1 1f(3) f(2) 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1f(4) f(3) 2 2 3

2 2 2 2 2

Nos podemos dar cuenta de la regularidad que se va produciendo, ahora si la aplicamos

nos queda;

1

f(101) 2 100 522

Respuesta D)

Ejercicio 564

564. Una familia est compuesta de x hermanos e y hermanas. Cada hermano tiene un nmero

hermanos igual al nmero de hermanas. Cada hermana tiene el doble de hermanos que de

hermanas. Cunto es x + y?

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

Solucin:

Al decir que: Cada hermano tiene un nmero hermanos igual al nmero de hermanas

entonces lo podemos traducir como; x 1 = y. Al traducir ahora Cada hermana tiene el

doble de hermanos que de hermanas, 2(y - 1) = x, luego reemplazamos x de la primera

ecuacin en la segunda;

2(y 1) = y + 1

2y 2 = y + 1

y = 3

luego x 1 = 3, entonces x = 4

Respuesta C)

32

Ejercicio 565

565. Una lancha tarda 3 horas en recorrer 24 km ro arriba y tarda 2 horas en recorrer

24 km ro abajo. Cul es la velocidad de la corriente del ro?

A) 2 km/hrs.

B) 3 Km/hr.

C) 4 Km/hr.

D) 6 Km/hrs.

E) 10 Km/hrs.

Solucin:

Si la lancha va aguas arriba la corriente del ro la va frenando, pero si la lancha va a favor

de la corriente (ro abajo), entonces la corriente del ro le ayuda, luego si decimos que Vl es

la velocidad de la lancha y Vr la velocidad del ro, entonces tenemos que:

Vl Vr = 24 km

83 h

(situacin ro arriba)

Vl + Vr = 24 km

122 h

Ahora resolvemos el sistema siguiente:

l r

l r

r r

V V 8 si a la segunda ecuacin le restamos la primera, tenemos

V V 12

km2V 4 V 2

h

Respuesta A)

Ejercicio 568

568. Si x profesores, trabajando x horas diarias, durante x das corrigen x pruebas, entonces el

nmero de pruebas corregidas por y profesores, trabajando y horas por da, durante y das

es

A) 3y

B) 3

2

x

y

C) 2

3

x

y

D) x

y

E) xy

Solucin:

En este ejercicio es conveniente plantearlo como un regla de tres compuesta a saber:

x prof. x h/d x das x pruebas

y prof. y h/d y das u pruebas

Ahora si analizamos lo siguiente:

i) x prof. x h/d

y prof. y h/d

, nos damos que son cantidades inversamente proporcionales, ya que

el aumentar el nmero de profesores se debe trabajar menos horas al

da para hacer el trabajo.

ii) x h/d x das

y h/d y das

, son inversamente proporcionales, ya que trabajando ms horas al da

se deber trabajar menos das.

33

iii) x das x pruebas

y das u pruebas

son directamente proporcionales, ya que al trabajar ms das se

corregirn ms pruebas.

Recordando que si son inversamente proporcionales el producto es constante, entonces

debemos multiplicar en linea y si son inversamente proporcionales el cuociente es

constante, por tanto habr que multiplicarlas cruzado, entonces aplicamos y tenemos:

3 3

3 2

y x yx x x u y y y x u

x x

Respuesta C)

Ejercicio 577

577. Si f(x) es una funcin que cumple con que f(2x + 1) = 2f(x) +1, para todo real x, si f(0) =

2, entonces f(3) =

A) 5

B) 9

C) 11

D) 13

E) 15

Solucin:

Aplicamos la condicin de la funcin y nos queda:

f(3) = f(21 + 1) = 2f(1) + 1, no conocemos f(1)

Aplicamos la condicin de la funcin para f(1):

f(1) = f(20 + 1) = 2f(0) + 1 y como sabemos que f(0) = 2, reemplazando nos queda:

f(1) = 22 + 1 = 5, reemplazamos ahora f(1) para obtener f(3)

f(3) = 2f(1) + 1 = 25 + 1 = 11

Respuesta C)

34

Ejercicio 578

578. Suponiendo que el grfico de la funcin f(x) = ax2 + bx + c, se muestra en la figura 1,

entonces cuntas de las siguientes expresiones; ab, ac, b, a + b + c, a b + c, son positivas?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

fig. 4

Solucin:

Como la parbola abre hacia arriba, entonces a > 0, es obvio que c > 0, es la ordenada

donde la grfico corta al eje y. Como el eje de simetra es positivo entonces; b

02a

y

como a >0, luego b es necesariamente negativo. Hasta aqu tenemos;

ab es negativo, ac es positivo, b es negativo, a b +c es positivo, slo nos queda saber

que signo tiene a + b + c y para eso, diremos lo siguiente;

como lo muestra la figura, f(1) < 0, ahora

f(1) = a(1)2 + b(1) + c

f(1) = a + b + c

finalmente

a + b + c < 0

Respuesta B)

Ejercicio 581

581. Se denota por s(n) a la suma de las cifras de un nmero n. Por ejemplo s(197)=1 + 9 + 7

= 17. Sea 2s (n) s(s(n)) , 3s (n) s(s(s(n))) , y as sucesivamente. El valor de 1699s (1699) es

A) 1

B) 4

C) 7

D) 12

E) 18

Solucin:

Aplicando la definicin tendremos:

s(1699) = 1 + 6 + 9 + 9 = 25

s2(1699) = s(s(1699)) = s(25) = 2 + 5 = 7

s3(1699) =s(s(s(1997))) = s(s(25)) = s(7) = 7

De aqu en adelante siempre resultar 7, por tanto;

s1699(1699) = 7

Respuesta C)

1

1

f(1)

35

Ejercicio 584

584. Se guardan granos sin cscaras en un silo de 10 m3. Se aaden granos con cscaras hasta

llenar el silo. A continuacin se quita la cscara al grano que la tena, lo que supone

prescindir de los dos quintos de su volumen. El grano que queda, todo sin cscara, llena al

recipiente hasta los 7 m3, cunto grano haba inicialmente?

A) 1,5 m3

B) 2,5 m3

C) 3 m3

D) 4,5 m3

E) 7,5 m3

Solucin:

Como lo dice el problema, el silo est lleno (10 m3) con granos con cscaras y sin cscaras,

adems nos dicen que al sacarle la cascara a los que las tienen, estos pierden dos quintos

de su volumen y el grano que queda llena 7 m3, luego podemos inferir que los 3 m3 que

vari el volumen corresponde a los dos quintos perdidos al pelar los granos con cscaras,

por tanto:

3 32

granos con cscaras = 3 m granos con cscaras 7,5 m5

.

Luego si fueron 7,5 m3 los agregados, por tanto los granos inicialmente fueron 2,5 m3.

Respuesta B)

Ejercicio 585

585. Al resolver el sistema de ecuaciones 3x 2y 0,005

x 1,5y 0,01

, el valor de x y es

A) -0,035

B) 0,015

C) 0,0015

D) -0,015

E) -0,0025

Solucin:

Si optamos por el camino de obtener x e y para despus restarlos, puede ser un poco

aburrido, por tanto intentaremos llegar de inmediato a x y, para eso vamos a multiplicar

por 2 y luego a la primera ecuacin le restamos la segunda y nos queda:

3x 2y 0,005 3x 2y 0,005

x 1,5y 0,01 2x 3y 0,02

x y 0,005 0,02 0,015

Respuesta D)

36

Ejercicio 587

587. Cul de las siguientes expresiones es equivalente a log 543 ?

A) log 453

B) log 435

C) log 345

D) log 534

E) log 354

Solucin:

Sea log 543 u , aplicamos logaritmo en base 4, entonces tenemos:

4log 5 44 3 4 4 4 44

log ulog 3 log u log 5 log 3 log u log 3

log 5

Recordando el cambio de base, tenemos que;

44 4 54

log ulog 3 log 3 log u

log 5 , ahora aplicamos la definicin de logaritmos y nos queda:

4log 35 u , y como u es igual a lo que nos preguntan, entonces 4 4log 3 log 55 3 .

Respuesta C)

Ejercicio 595

595. Dado 1

2 1 3 a b2

, con a y b enteros positivos, luego el valor absoluto de la

diferencia entre a y b es

A) 8

B) 6

C) 4

D) 2

E) 1

Solucin:

Escribamos 1

2 1 32

de la forma a b , llevaremos primero el 2 dentro de la raz:

1 12 1 3 4 1 3 4 2 3

2 2

Ahora veamos que 4 2 3 es el cuadrado de 3 1 ,

2 2

3 1 3 2 3 1 1 3 2 3 1 4 2 3 , finalmente tenemos que;

21

2 1 3 3 1 3 1 3 12

, as a = 3 y b = 1, 3 1 2

Respuesta D)

37

Ejercicio 597

597. Si xc log b y 2

2xd log (b ) , entonces d en trmino de c es

A) 2c

B) c-1

C) c

D) c2

E) c

2

Solucin:

Cambiamos de base 22

xlog (b ) a base x y nos queda 2

22 x x

x2xxx

log b 2 log blog (b ) log b

2 log xlog x

Entonces c = D

Respuesta C)

Ejercicio 602

602. Dado un conjunto de n nmeros, n > 1, en que uno de ellos es 1

1n

, y todos los restantes

son 1, entonces el promedio de los n nmeros es

A) 1

B) 1

nn

C) 2

1n

n

D) 2

11

n

E) 2

1 11

n n

Solucin:

Como uno de los nmeros es 1

1n

, y todos los restantes son unos, por tanto podemos

decir que hay (n 1) nmeros que son unos, por lo tanto:

21 1 1 n 11 (n 1) 1 1 n 1 n

n n n nx x x xn n n n

2 2

2 2 2 2

n 1 n 1 1x 1

n n n n

Respuesta D)

38

Ejercicio 606

606. Cul de las siguientes alternativas representa una relacin correcta al respecto de la

funcin f(x) = ax2 + bx + c, representada grficamente en la figura 5?

A) a > 0, b < 0, c > 0

B) a > 0, b > 0, c < 0

C) a > 0, b < 0, c < 0

D) a < 0, b < 0, c > 0

E) ninguna de las anteriores fig. 5

Solucin:

Como se aprecia en la figura el eje de simetra de la parbola est en el eje y, por tanto el

eje de simetra es x = 0, luego como sabemos que el eje de simetra es x = b

2a , entonces

b debe ser cero.

Respuesta E)

Ejercicio 608

608. Cuntas funciones distintas se pueden definir con el dominio D = {a,b} y el recorrido R =

{1,2,3}?

A) 2

B) 6

C) 8

D) 3

E) 9

Solucin:

Este problema se trata de contar adecuadamente las funciones que se puede generar con

ese dominio y ese recorrido, veamos:

i) manteniendo fijo el par (a,1) tenemos las siguientes funciones;

(a,1),(b,1) ; (a,1),(b,2) ; (a,1),(b,3) , es decir 3 funciones distintas.

ii) ahora si mantenemos fijo el par (a,2), tenemos;

(a,2),(b,1) ; (a,2),(b,2) ; (a,2),(b,3)

iii) para terminar mantenemos fijo el par (a,3) y nos queda:

(a,3),(b,1) ; (a,3),(b,2) ; (a,3),(b,3)

Por tanto hay 9 funciones.

Respuesta E)

y

x

39

Ejercicio 614

614. 2 2 2 21 2 3 15

log log log ... log2 3 4 16 =

A) -4

B) -2

C) -1

D) 21 2 3 15

log ( )2 3 4 16

E) 2log 15

2

Solucin:

Aplicando la propiedad de la suma de logaritmos de igual base tenemos:

2 2 2 2 21 2 3 15 1 2 3 15

log log log ... log log ...2 3 4 16 2 3 4 16

Simplificando adecuadamente, nos queda:

42 2 2 2

1 2 3 15 1log ... log log 2 4 log 2 4

2 3 4 16 16

Respuesta A)

Ejercicio 621

621. Para cuntos valores de k en la ecuacin 2kx 2kx 1 0 , esta tiene exactamente una

solucin?

A) ninguno

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Solucin:

Para saber si tiene una solucin nos debemos remitir al discriminante, pues cuando este es

igual a 0 entonces la ecuacin cuadrtica tiene una solucin o dos soluciones reales

iguales, luego:

b2 4ac = 0 (2k)2 - 4 k 1 = 0 4k2 4k = 0 4k(k 1) = 0

finalmente 4k = 0 k = 0, o k 1 = 0 k = 1

Respuesta C)

40

Ejercicio 622

622. Si 1 1

1x x x

, entonces x =

A) 2

B) 3

C) 5

D) 7

E) 1

2

Solucin:

Usamos la siguiente variable auxiliar; u x , luego 2u x ,entonces aplicamos a la


2

1 11

u u u

1 11

u u(u 1)

1 11 1

u u 1

11 u

u 1

1u 1

u 1

1 =(u + 1)(u 1)

1 = u2 -1

2 = u2, y como sabemos que u2 = x, entonces x = 2

Respuesta A)

Ejercicio 626

626. Si 4x = 8y y 3y = 2 3x, entonces y =

A) -2

B) 4

3

C) log2

log3

D) 2log3

log2

E) 2log2

log3

Solucin:

Igualando las bases en la primera igualdad, tenemos:

x y 2x 3y4 8 2 2 2x 3y , ahora trabajamos en la segunda ecuacin:

y

y x y x

x

33 2 3 2 3 2

3

, reemplazamos x de la ecuacin anterior y nos queda;

3 1

y y y2 23 2 3 2

, aplicamos logaritmo en base 3:

1y

23 3 3 3 3 3

1 1log 3 log 2 y log 3 log 2 y log 2 y 2log 2

2 2

, finalmente cambiamos de

base 3 a base 10 y tenemos;

log2y 2

log3

Respuesta E)

41

Ejercicio 630

630. Si a b2 n , entonces el valor de a se puede conocer si:

(1) b = 1

(2) n = 0

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola




Solucin:

Si conocemos el valor de nb podramos conocer el valor de 2a, luego la informacin (1) es

insuficiente ya que todo nmero elevado a 1 es el mismo nmero. La informacin (2) no es

suficiente ya que podramos tener 00, luego debemos tener el valor de b o saber que es

positivo.

Con las dos informaciones podemos decir que el valor de a, no existe, pues:

2a = 01 es decir 2a = 0 y como la base es positiva entonces ningn valor de a har que sea

0. Podemos decir que no existe ningn valor de a.

Respuesta C)

Ejercicio 632

632. Si n es un entero positivo, entonces la suma de las cifras del nmero equivalente a

(104n+2 + 1)2

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) depende de n

Solucin:

Si resolvemos el cuadrado de binomio, nos queda:

2

4n 2 4n 210 2 10 1 1 8n 4 4n 210 2 10 1 , si sumamos los tres tendramos:

10000 con 4n + 2 ceros, ahora 4n 22 10 , sera un dos con 4n + 2 ceros y le agregamos

1, luego la situacin sera de la siguiente manera:

100 . . . 0

2 . . . 0

+ 1

100... 200 . . . 1

Finalmente nos damos cuenta que solo tendr las cifras 1, 2, 1 y muchos ceros, luego la

suma de ellas es 1 + 2 + 1 = 4

Respuesta D)

42

Ejercicio 634

634. 1

1 2 =

A) 2 1

B) 2 1

C) 2 1

D) 2 1

E) 1

Solucin:

Previo a racionalizar haremos lo siguiente:

1 1 1 1

1 2 2 11 2 1 2

Ahora racionalizamos dentro de la raz y nos queda:

1 1 2 1 2 1

2 12 12 1 2 1 2 1

Respuesta A)

Ejercicio 635

635. Si x es un real, entonces la expresin (1 x)(1 x) es positiva si y solo si

A) x 1

B) x < 1

C) x 1

D) x < -1

E) x < -1 o -1 < x < 1

Solucin:

Para que la expresin sea positiva los dos parntesis deben ser positivo o negativos, luego

deberemos analizar ambos casos:

Caso 1, (1 x) 0 y (1+x)>0

1 x 0 1 x 1 x 1

1 x 0 x 1 , ahora intersectamos ambas soluciones y nos queda que:

-1 > x > 1

Caso 2, (1 x) 0 y (1+x)

43

Ejercicio 637

637. Si x vacas dan x + 1 latas de leche en x + 2 das, cuntos das necesitarn x + 3 vacas en

dar x + 5 latas de leche?

A) x(x 2)(x 5)

(x 1)(x 3)

B) x(x 1)(x 5)

(x 2)(x 3)

C) (x 1)(x 3)(x 5)

x(x 2)

D) (x 1)(x 3)

x(x 2)(x 5)


Solucin:

Planteamos la regla de tres,

quedando:

Como el nmero de vacas es

directamente proporcional a las

latas y el nmero de latas es

directamente proporcional das,

luego debemos operar segn las

flechas, es decir;

x (x 5)(x 2) (x 3)(x 1) d x(x 5)(x 2)

d(x 3)(x 1)

Respuesta A)

Ejercicio 638

638. Si 4 8 1,68 , entonces 31,68 =

A) 2

B) 8

C) 4 8

D) 4 2

E) 3 8

Solucin:

Si

14 48 1,68 8 1,68 , ahora reemplazamos en lo que nos preguntan y nos queda:

11 1 3 1

33 43 124 12 12 41,68 8 8 2 2 2 2

Respuesta D)

Vacas Latas Das

x x + 1 x + 2

x + 3 x + 5 d

44

Ejercicio 640

640. Si 1

x1

11

11

11 ...

, entonces x =

A) 2 1

4

B) 5 1

2

C) 1

3

D) 6 1

4

E) 3 1

2

Solucin:

Como nos damos cuenta, la situacin se va repitiendo hasta el infinito, y si miramos los

que est en rojo,

1

11

11

1x

1

1 ...

nos damos cuenta que lo que est en rojo es igual a x, luego reemplazamos y nos queda:

1

11

1

1 1x

1 x1

11 ...

, 21

x x(1 x) 1 x x 1 01 x

Aplicando la frmula de las ecuaciones cuadrticas, tenemos:

1 1 4 1 5

x2 2

, y como x es positiva, la solucin es

5 1

2

Respuesta B)

45

Ejercicio 644

644. Cuando en una divisin el dividendo es x, el divisor es y, el cuociente es u y el resto es v,

entonces cul es el resto que se obtiene al dividir x + 2uy por y?

A) 0

B) 2u

C) 3u

D) 2v

E) v

Solucin:

Aplicando el algoritmo de la divisin tenemos que:

x : y u x yu v

v

Tenemos que x + 2uy = yu + v +2uy nos queda que 3uy + v lo debemos dividir por y,

pero como 3uy es divisible por y, por tanto el resto debe ser v, o hacemos lo siguiente:

3uy + v = 3uy v : y 3u

v

Respuesta E)

Ejercicio 645

645. Sea la funcin 2f(x) x 6x 3 , luego es verdadero que

A) el menor valor de la funcin es -3

B) el menor valor de la funcin es -6

C) el menor valor de la funcin es 24

D) el mayor valor de la funcin es 6

E) el mayor valor de la funcin es 24

Solucin:

En esta funcin cuadrtica a es negativo, por tanto sus ramas abrirn hacia abajo, por

tanto existir un mximo, as ya no pueden ser A), ni B), ni C). El mayor valor de esta

funcin estar en el vrtice de ella, por tanto buscamos las coordenadas del vrtice, para

eso primero buscamos el eje de simetra, que es la abscisa del vrtice:

x =b 6

32a 2 ( 1)

, ahora reemplazamos -3 en la funcin y tenemos:

2f( 3) ( 3) 6 ( 3) 3 9 18 3 6

Respuesta D)

46

Ejercicio 647

649. Si 2x2 2xy + y2 = 289, cuando x e y son enteros y 0x , entonces el nmero de

diferentes pares ordenados (x,y) que son soluciones de la ecuacin es

A) 8

B) 7

C) 5

D) 4

E) 3

Solucin:

Sabiendo que x e y son enteros y x en particular es mayor o igual a 0, reescribamos la

ecuacin de la siguiente forma:

2 22x 2xy y 289 , 2 2 2 2x x 2xy y 17 , 2 2 2x (x y) 17 , as analizamos los

primeros casos:

i) Si x = 0 x y = 17 2 22x 2xy y 289

Respuesta E)

Ejercicio 649

649. Si 2x2 2xy + y2 = 289, cuando x e y son enteros y 0x , entonces el nmero de

diferentes pares ordenados (x,y) que son soluciones de la ecuacin es

A) 8

B) 7

C) 5

D) 4

E) 3

Solucin:

Sabiendo que x e y son enteros y x en particular es mayor o igual a 0, reescribamos la

ecuacin de la siguiente forma:

2 22x 2xy y 289 , 2 2 2 2x x 2xy y 17 , 2 2 2x (x y) 17 , ahora analizamos los

casos:

i) Si x = 0 x y = 17 y = 17 , luego ya tenemos dos pares ordenados; (0,17)

y (0,-17).

ii) Ahora como vemos que la ecuacin tiene la forma del teorema de Pitgoras y como

x e y son enteros entonces nos podemos apoyar en los tros Pitagricos y en

particular en uno de ellos, el (8,15,17), por tanto;

- Sea x = 8 y x y = 15 8 y = 15 y = -7 luego (8,-7) es otro par.

- Sea x = 8 y x y = -15 8 y = -15 y = 23 luego (8,23) es otro par.

- Sea x = 15 y x y = 8 15 y = 8 y = 7 luego (15,7) es otro par.

- Sea x = 15 y x y = -8 15 y = -8 y = 23 luego (15,23) es otro par.

iii) El ltimo anlisis es considerar que x = 17 y x y = 0 17 y = 0 y = 17,as

obtenemos el ltimo par que es solucin (17,17).

Respuesta B)

47

40

A B

C

D

x

40

A B

C

D

x

m

m

m+20 T

L1

L2

L1

L2

mm

nn

2n

Ejercicio 682

682. En el tringulo ABC de la figura 27, las lneas punteadas son bisectrices de los ngulos

respectivos, cunto mide x?

A) 40

B) 30

C) 20

D) 10

E) No se puede determinar fig. 27

Solucin:

Como AT es bisectriz y CT tambin, el ngulo BCD es 2m + 40, por tanto el ngulo TCD

es m + 20 y como este ngulo es exterior al tringulo ATC entonces tenemos que:

m + 20 = m + x

20 = x

Respuesta C)

Ejercicio 691

691. En la figura 30, L1 // L2, si las lneas punteados son bisectrices de los ngulos respectivos,

entonces el ngulo formado por las lneas punteadas mide

A) 90

B) 75

C) 60

D) 45 fig. 30

E) No se puede determinar

Solucin:

Si aplicamos el teorema de las paralelas cortadas

por una transversal, tenemos que;

2n + 2m = 180, ahora dividimos por 2 la


n + m = 90, y por la suma de los ngulos

interiores de un tringulo nos queda que el

ngulo formado por las bisectrices es 90.

Respuesta A)

48

Ejercicio 720

720. Si dos tringulos son congruentes, entonces cul de las siguientes alternativas es falsa?

A) Tienen la misma forma.

B) Sus ngulos correspondientes son iguales.

C) Tienen el mismo permetro

D) Tienen los mismos ejes de simetra

E) Ninguna

Solucin:

Si dos tringulos son congruentes, entonces tienen igual forma y sus medidas

correspondientes son iguales, por tanto A), B) y C) son verdaderas, ahora analicemos la D)

La figura muestra dos tringulos congruentes y sus ejes de simetra, como vemos son

distintos, estn en distinto lugar, por tanto la afirmacin D) es falsa.

Respuesta D)

Ejercicio 730

730. Desde las 14:30 a las 14:50, el ngulo descrito por el horario de un reloj anlogo es (no

considerando el sentido de rotacin)

A) 5

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

Solucin:

Como el crculo horario tiene 12 horas, entonces podemos decir que el desplazamiento de

1 hora de la manecilla del horario es 30 (360 : 12), por tanto establecemos la siguiente

regla de tres;

30 60min

x 20min

Como son cantidades directamente proporcionales, tenemos que:

30 20 = x 60

x = 10

Respuesta B)

49

B C

A

D

E

m3m

2m

m 7m

A C

B

D

Ejercicio 734

734. Los tringulos de la figura 57, son issceles con AB = AC = BD, si BD AC entonces los

ngulos ACB y ADB suman

A) 115

B) 120

C) 130

D) 135

E) no tiene solucin nica fig. 57

Solucin:

Consideremos al pentgono cncavo ABCED, en el

la suma de sus ngulos interiores es 180(5 2)

= 540, luego podemos establecer que:

2v + 2t + 270 = 540

2v + 2t = 270, dividimos por 2

v + t = 135

Observacin:

En un polgono cncavo la obtencin de la suma

de los ngulos interiores se hace de la misma manera que en un polgono convexo.

Respuesta D)

Ejercicio 739

739. En la figura 60, AB = CD, luego m =

A) 10

B) 15

C) 18

D) 20

E) 9 fig. 60

Solucin:

Al prolongar AD y aplicando el ngulo

exterior, detectamos que el tringulo

CDB es issceles, por tanto DC = CB

y como sabemos que AB = CD

entonces concluimos que AB = CB y

el ngulo ACB mide 5m, as tenemos

que:

5m + 5m + 8m = 180, del tringulo

ABC

18m = 180

m = 10

Respuesta A)

B C

A

D

E

v v

t

t

m3m

2m

m 7m

A C

B

D 4m3m

50

A B C

D

x

y

A B

C

E

D

F

GH

Ejercicio 740

740. En la figura 61, AB = BD = CD, luego la relacin correcta es

A) y = 3x

B) y = 2x

C) x + y = 180

D) x = y fig. 61

E) x + y = 90

Solucin:

El ngulo CBD es exterior al

tringulo ABD, y es el ngulo

exterior al tringulo ACD, luego:

y = 3y

Respuesta A)

Ejercicio 741

741. El tringulo ABC de la figura 62 es equiltero, si los ngulos EDF y FHG son iguales,

entonces la medida del ngulo GED es

A) 30

B) 40

C) 50

D) 60

E) Falta informacin fig. 62

Solucin:

Como lo muestra la figura el ngulo

marcado en verde, es exterior de los tringulos

FHG y DEG, por tanto:

m + 30 = x + m

30 = x

Respuesta A)

A B C

D

x

y

x

2x 2x

A B

C

E

D

F

GH

30

30

m

mx

51

Ejercicio 751

751. En la figura 69, se muestra un adminculo mecnico en cual aparecen tres discos tangentes

exteriores unidos por sus centros mediante una barra fija, la rotacin de uno de ellos se

transmite totalmente al otro (no resbalan), los dimetros de los discos son; 6 cm, 8 cm y

10 cm, si el disco menor se gira en el sentido de la flecha 120, considerando el sentido de

rotacin, el disco mayor gira

A) -120

B) -90

C) -72

D) 72 fig. 69

E) 90

Solucin:

La transmisin de la rotacin como lo muestran las flechas rojas,

nos indican, en el disco mayor la rotacin es positiva, por tanto el

ngulo debe serlo.

Ahora como nos dicen que nos hay roce, la longitud rotada por el

disco menor deber ser igual en el disco mayor, luego:

120 1

6 6 2360 3

Como el permetro del disco grande es 10 , entonces finalmente

tenemos:

2 1

10 5

, es decir que lo girado corresponde a un quinto de vuelta del disco mayor, por

tanto:

1

360 725

Respuesta D)

52

x

y

a

b

c

d

L1 L2 L3

A C

D

B EL1

L2x

Ejercicio 759

759. En la figura 76, L1 // L2 // L3, luego x + y =

A) bd

ac

B) db

ca

C) d

c fig. 76

D) d

c

E) cd

adbc 22

Solucin:

Por teorema de Thales, tenemos;

x c

b d , y

a c

y d , luego despejamos x e y, obteniendo:

bc adx ; y=

d c

Luego, sumamos x e y quedando:

2 2bc ad bc ad

d c dc

Respuesta E)

Ejercicio 788

788. En la figura 93, L1 // L2, el ngulo CAE mide 18, si DE = 2AB, entonces cunto mide el

ngulo x?

A) 18

B) 36

C) 42

D) 54

E) 72 fig. 93

Solucin:

Primero diremos que

CAE AEB 18 ,

ngulos alternos internos.

Luego trazamos BF,

transversal de gravedad y

por propiedad del tringulo

rectngulo, DF = FE = FB,

luego el

ngulo DFB es exterior al tringulo FEB, por tanto mide 36.

Como nos dan que; DE = 2AB y como ya sabemos que DF = FE = FB, entonces AB = BF,

finalmente el tringulo AFB es issceles, lo cual nos lleva a concluir que x = 36

Respuesta B)

A C

D

B EL1

L2x

18

1818

36F

53

P

B

Q

A

O O

Ejercicio 790

790. Las circunferencias de centros O y O son tangentes exteriores en Q, PB es tangente en B y

PA tangente en A, si PQ es tangente comn y el ngulo APB mide 80, entonces el ngulo

AQB mide

A) no se puede determinar

B) 140

C) 120

D) 100

E) 90 fig. 95

Solucin:

Primero consideramos el pentgono

APBOO, luego la suma de sus ngulos

interiores es 540 (180(5-2)) y como

conocemos que los ngulos APB, PBO y

OAP miden; 80, 90 y 90, entonces los

ngulos AOQ y QOB suman; 540 - 260

= 280.

Ahora consideramos los tringulos AOQ y

QOB, ambos son issceles, Consideremos

p la medida del ngulo AQO y q la medida

del ngulo BQO, luego tenemos que:

AOQ 2p 180

BO'Q 2q 180

Sumamos ambas igualdades y nos

queda:

AOQ BO'Q 2q 2p 360

280 2q 2p 360

2q 2p 80

q p 40

Finalmente el ngulo AQB = 180 - q p = 140

Respuesta B)

P

B

Q

A

O O

54

O

B C

A

A

B

C

D

Ejercicio 791

791. En la circunferencia de la figura 96 de centro O, si el BAC 15 , entonces OBC

A) 30

B) 45

C) 60

D) 75

E) 80 fig. 96

Solucin:

Prolongamos el radio BO y luego unimos O con C,

por tanto el ngulo BOC mide 30, as el arco

BC mide lo mismo. El arco CT deber medir

150, ya que BT es dimetro, luego el ngulo

OBC debe medir la mitad del arco CT.

ngulo OBC mide 75

Respuesta D)

Ejercicio 792

792. Los segmentos dibujados dentro del cuadrado van desde un vrtice al punto medio del lado

opuesto, como lo muestra la figura 97, si el lado del cuadrado es 1, entonces el rea del

cuadriltero ABCD es

A) 2

9

B) 1

4

C) 3

9

D) 1

8

E) 1

5 fig. 97

O

B C

A

15

30

30

150

T

55

A

B

C

D

A

B

C

D

r

r

s

s

s

P Q

RS

H

I

J

K

Figura 1 Figura 2

12

45

x

12

45

x

12 245

b

b

Solucin:

Los tringulos PQK y QRH

son congruentes, por tanto los

ngulos s y r suman 90, luego

podemos concluir que ABCD es

rectngulo. Ahora CH es paralelo

a DP y como nos dicen que H es

punto medio, entonces CH es

mediana del tringulo PQD, en

consecuencia CH mide la mitad de

PD, por lo mismo (mediana) QC =

CD.

Si rotamos el tringulo SJA respecto a J, hasta que SJ coincida con JR, nos damos cuenta

que se forma un cuadrado igual a ABCD, as rotamos los otros tringulos congruentes a SJA y

tenemos transformado el cuadrado original como lo muestra la figura 2, ahora notamos que esta

transformacin nos muestra que el cuadrado se transformo en una figura formada por 5

cuadrados iguales a ABCD, por tanto ABCD ser un quinto del cuadrado original.

Respuesta E)

Ejercicio 793

793. Cunto mide el ngulo x de la figura 98?

A) 45

B) 30

C) 60 12 2

D) 75

E) 105 fig. 98

Solucin:

Trazamos la altura y nos damos cuenta que se forma un tringulo rectngulo issceles y si

aplicamos Pitgoras, tenemos que:

12 = b 2

Luego b =6 2 , as el tringulo de al lado tiene

por medida de sus lados 6 2 , 12 2 y

recordando que en todo tringulo rectngulo en

que un cateto mide la mitad de la hipotenusa

debe ser un tringulo 30, 60 y 90, entonces el ngulo pedido debe medir:

45 + 60 = 105

Respuesta E)

56

A L

PE

K

U

T

M N

P

O

Ejercicio 794

794. En el cuadriltero ALPE de la figura 99, AL // PE, EA es bisectriz del ngulo TAK y LE es

bisectriz del ngulo PLA, si AU = 9 cm y PE = 12 cm, entonces UP mide

A) 1 cm

B) 2 cm

C) 3 cm

D) 4 cm

E) falta informacin para determinarlo fig. 99

Solucin:

Los ngulos TAE y PEA son

alternos internos, por tanto iguales.

Esto hace que el tringulo AUE es

issceles, lo cual nos lleva a decir que

EU = 9, finalmente UP = PE EU =

12 9 = 3

Respuesta C)

Ejercicio 799

799. El tringulo MNP de la figura 102 es issceles de base NP, si MO = OP = PN, entonces la

medida del ngulo PMN es

A) 18

B) 30

C) 36

D) 72

E) No se puede determinar fig. 102

Solucin:

Por los datos entregados

podemos concluir que se forman

dos tringulos issceles, a saber;

MOP y PON . Si consideramos

que el ngulo PON es exterior al

tringulo MOP entonces deber

medir 2, al igual que el ngulo

ONP por ser el tringulo PON

issceles. Para terminar como

sabemos que el tringulo MNP es

issceles de base NP, entonces

los ngulos MNP y NPM son iguales as tenemos en este tringulo que 2a + 2a + a = 180

5a = 180 a = 36

Respuesta C)

A L

PE

K

U

Tm

m

m

9

9

12

M N

P

O

2a

a

a 2a

57

10

15

13

M N

PQ

T

Ejercicio 800

800. La circunferencia de la figura 103 est inscrita en el trapecio issceles, luego el permetro

del trapecio es

A) 12

B) 38

C) 50

D) 62

E) 150 fig. 103

Solucin:

Para obtener el permetro pedido slo falta por conocer

el lado x, para eso trazamos una perpendicular a ambas

bases del trapecio, segn muestra la figura, as se

forma un tringulo rectngulo de hipotenusa 13 y

cateto 5. Aplicando el tra pitagrico 5, 12 y 13,

podemos concluir que x = 12.

Finalmente el permetro ser; 12 + 10 + 13 + 15 = 50.

Respuesta C)

Ejercicio 802

802. El tringulo MNQ de la figura 104 es equiltero, el tringulo MNP es rectngulo en N, si

3

3MNNP , entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) MP es perpendicular a NQ

II) El ngulo QMP mide 30

III) T es punto medio de NQ

A) Slo I

B) Slo II

C) Slo III

D) Slo I y II

E) I, II y III fig. 104

Solucin:

Como nos dan que: MN 3 NP 3

NP3 MN 3

,

entonces aplicamos la razn tangente, luego

3

tg e e 303

Finalmente podemos concluir que:

I) Verdadera

II) Verdadera

III) Verdadera

Respuesta E)

10

15

13x x

10 5

M N

PQ

T

60

30

e

58

A B

C

DE

F

A B

C

D

EF

40

G

60

Ejercicio 803

803. El hexgono ABCDEF de la figura 105 es regular, qu parte del rea de l esta achurada?

A) 6

1

B) 5

1

C) 4

1

D) 3

1

E) 2

1 fig. 105

Solucin:

Como ABCDEF es un hexgono regular, entonces al

trazar las diagonales se forman 6 tringulo equilteros,

ahora si rotamos el tringulo DBC con centro en D hasta

que DB coincida con FD, nos damos cuenta que se

forma el rombo FODE que es equivalente a toda

al rea achurada y este rombo es igual a dos de los

tringulos equilteros que forman el hexgono, por tanto:

2 1

6 3

Respuesta D)

Ejercicio 810

810. Los tringulo ABC y DEF de la figura 109 no son congruentes, D y G son puntos medios de

los lados AB y BC respectivamente, si AB // EF, entonces FDE =

A) 80

B) 70

C) 60

D) 65

E) no se puede determinar fig. 109

Solucin:

Primero digamos que el ngulo ADF y DFE

son alternos internos, por tanto iguales.

Como D y G son puntos medios, luego DG

es mediana del tringulo ABC y por tanto

es paralela a AC, de aqu decimos que los

ngulos CAB y ADB son iguales pues son

correspondientes.

Respuesta A)

A B

C

DE

FO

A B

C

D

EF

40

G

60

60 4080

59

R

S

P

T

O

Ejercicio 813

813. En la circunferencia de centro O de la figura 112, TP es tangente en P, SPR 30 , cunto

mide el ngulo PRS?

A) 150

B) 120

C) 90

D) 60

E) 30 fig. 112

Solucin:

Como el ngulo pedido x, es inscrito y encierra el

mismo arco que el ngulo semi-inscrito SPT, entonces

ambos tendrn la misma medida, por tanto x = 60.

Respuesta D)

Ejercicio 814

814. En un tringulo de lados 20, 21 y 29, cunto mide el radio de la circunferencia inscrita?

A) 4

B) 7 3

C) 5

D) 5 3

E) 6

Solucin:

Si los lados del tringulo son 20,21 y 29, luego el tri

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