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8/10/2019 Soluciones Numericas EM I Feb 11
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EXAMEN de ELECTROMAGNETISMO I
4 de Febrero de 2011
SOLUCIONES NUMRICAS
PROBLEMAS
1. Una esfera conductora de radio R se carga a un potencial V0 y se asla. A continuacin se sita
sobre ella una capa esfrica de radios R y 2R de un material dielctrico de permitividad = 02R/r,
siendo r la distancia al centro de la esfera. Calcular:
a) las cargas de polarizacin.
b) el potencial elctrico en cualquier punto del espacio y, en particular, el potencial de la esfera.
c) la energa elctrica del sistema.
a)
La esfera adquiere una carga Q= 40RV0 que produce un campo D = Q
4r2en el interior del
dielctrico. En funcin de los datos, las densidades superficial y volmica de cargas de polarizacin
son:
D=0RV0
r2
E=D
=
V0
2r
P= 0( )E= 0V02Rr
2r2
P r=R( ) = P= 0V0
2R y P r= 2R( ) = 0
P= P= 1
r2
rr2Pr( ) =
0V0
2r2
La carga total de polarizacin es
QP= 4R2P r=R( )+ P 4r2drR
2R
= 0
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como era de esperar.
b) El potencial en los distintos puntos es
Si rR = Q
40r=
RV0
r
Si Rr 2R =RV0
2R
V0
2r2R
r
dr=V02
1+ ln2R
r
Si r=R =V0
21+ ln2( )
c) La energa elctrica del sistema es
Ue=1
2Qr=R( )= 0RV02 1+ ln2( )o bien
Ue=1
2DEdv+0 E
2dv2R
R
2R
{ }= 0RV02 1+ ln2( )
2. Por un solenoide de radio b, longitud l(l>>b) y Nespiras, circula una corriente elctrica I. El interior del solenoide est
totalmente relleno con dos materiales aislantes, magnticamente lineales, de permeabilidades 1y 2, respectivamente.El primero ocupa el espacio 0 < r < a; el segundo el espacio a < r < b(a < b). Calcular:
a) Los camposH,ByMen todo el espacio.
El solenoide es muy largo (infinito), luego no hay polos magnticos. La nica fuente de H es la corriente de transporte
que circula por las espiras del solenoide, de modo que (Ampre):
zuIlNH r
r
=
ziii uIl
N
HB
r
rr
==
z
o
i
o
ii uI
l
NHM
r
rr
=
= 11
b) Las corrientes de imanacin.
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Como la imanacin es constante, no hay corrientes de imanacin en volumen MJmrrr
= . En cuanto a las
corrientes superficiales de imanacin, aparecen, como su nombre indica, en las superficies del material imanado. En la
frontera r = aentre los dos materiales, la imanacin de ambos contribuye a la corriente superficial de imanacin.
( ) ( )
uI
l
NuuI
l
NuuI
l
NanaManaManaMaK
o
z
o
z
o
totalm
rrrrr
r
r
r
r
r
rr
=
+
=
=+==2121
2211
)(11
)()()()()()()(
( )
uI
l
NuuI
l
NbnbMbK
o
z
o
m
rrrr
rr
=
== 11)()()( 22
c) El coeficiente de autoinduccin.
+=+=+= 11)()( 2
2
1
22
2
122
2
22
2
122
22
1abaI
lNabI
lNaI
lNabNBaNBm
+== 11
2
2
1
222
1a
ba
l
N
IL m
d) La energa magntica almacenada en el interior del solenoide.
2
2
2
1
22
2
1
2
1122
1Ia
bal
NLIUm
+==
e) Si la corriente vara de la forma I = Io(t/), calcular el campo elctrico inducido.
=)(CSC
adBt
ldE r
rrr
Para 0 < r < a:
)(
2
)2( 12
1
u
l
rNIEr
I
l
NrE oo
r
r
==
Para a < r < b:
)(111
2)()2(
2
2
1
22
1
22
2
2
1
u
a
r
ra
l
NIEar
I
l
Na
I
l
NrE ooo
r
r
+==
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Para r > b:
)(111
2)()2(
2
2
1
22
1
22
2
2
1
u
a
b
ra
l
NIEab
I
l
Na
I
l
NrE ooo
r
r
+==
f) Comprobar el teorema de Poynting en el interior del solenoide.
Como los materiales magnticos son aislantes, no hay disipacin por efecto Joule en ellos. El campo elctrico inducido
es constante en el tiempo, de modo que la energa elctrica es asimismo constante en el tiempo. As, pues, slo
debemos ocuparnos del flujo del vector de Poynting a travs de la superficie del solenoide ( r = b) y de la variacin
temporal de la energa magntica
=
0t
Ue en el interior del solenoide.
)(111
2)()()(
2
2
1
22
22
22
1
u
a
b
ba
l
tINbHbEbS o
r
rrr
+==
+== 11)2()(
2
2
1
22
2
22
1a
ba
l
tINblbS oS
El flujo del vector de Poynting es entrante. Esto es, en el interior del solenoide la energa electromagntica
aumenta con el tiempo (lgico, pues aumenta el campo magntico mientras que el campo elctrico inducido
es constante). Veamos que el flujo del vector de Pontyng es exactamente igual a la tasa de variacin de la
energa electromagntica.
2
2
2
1
22
2
22
1
2
2
2
1
222
1 11
2
11
2
t
a
ba
l
INI
a
ba
l
NU om
+=
+=
ta
ba
l
IN
t
U om
+=
112
2
1
22
2
22
1
EXAMEN de ELECTROMAGNETISMO I
4 de Febrero de 2011
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CUESTIONES
1. Hallar la energa electrosttica de un sistema de 4 cargas puntuales de valor q, colocadas en los
vrtices de un cuadrado de lado a.
El potencial en cualquiera de las cargas es =2q
40a+
q
40a 2y la energa del conjunto es
Ue=1
2qi i
i
= q2
40a4 + 2( )
2. Hallar las distribuciones de corrientes de imanacin y de polos magnticos en una esfera
uniformemente imanada, indicando qu distribucin utilizara para calcular los campos ByH.
0ycos
0yabsolutoen valor
====
====
MnM
MJnMK
MM
M
M
MsenK
3. Un anillo de cobre de conductividad , radio R y espesor e ( e