Exerccio 1

Exerccio 1.2Demonstre que dados dois pontos, e , sempre existem infinitos pontos entre e e infinitos pontos tais que est entre e .

Soluo

Dados os pontos A e B, pelo axioma O2, existe um ponto entre A e B, que chamaremos de . Pelo mesmo axioma, existe um ponto entre e B. Ainda pelo mesmo axioma, existe um ponto , entre os pontos e B. Continuando o raciocnio, encontraremos uma seqncia de pontos , entre os pontos A e B.

Para provar que existem infinitos pontos D tais que est entre e , usaremos o mesmo axioma. Pelo axioma, existe um ponto tal que est entre e . Pelo mesmo axioma, existe um ponto tal que est entre e . Analogamente, existe um ponto tal que est entre . Continuando dessa forma, existe uma seqncia de pontos tais que est entre e .

Exerccio 1.5Cada polgono tem uma nomenclatura, de acordo com o nmero de lados, por exemplo, o tringulo um polgono com trs lados, o quadriltero o polgono com quatro lados. Qual a nomenclatura dos polgonos de cinco, seis, at dez lados?

Soluo

3 lados - tringulo4 lados - quadrngulo ou quadriltero 5 lados - pentgono6 lados - hexgono7 lados - heptgono8 lados - octgono9 lados - enegono10 lados - decgono11 lados - undecgono12 lados - dodecgono 13 lados - tridecgono 14 lados - tetradecgono 15 lados - pentadecgono 20 lados - icosgonoExerccios 1.9

1) Sejam e pontos distintos de uma mesma reta cujas coordenadas so respectivamente e . Demonstre que o ponto est entre e , se, e somente se, o nmero est entre os nmeros e .

Soluo Vamos admitir que .Suponha que o ponto C esteja entre A e B. Pelo axioma MS3 temos que ou seja, . Ento e . Dessas desigualdades, podemos concluir que e . Portanto ou seja, o nmero est entre os nmeros e .

Suponha agora que o nmero esteja entre os nmeros e . Devemos provar que o ponto C est entre A e B. Se isto no acontecer, teremos duas possibilidades: (i) A est entre C e B, ou (ii) B est entre A e C. No primeiro caso, teremos da teramos , ou seja, , isto , , que uma contardio. No segundo caso teramos , ento, , ou seja, , obtendo assim que , que uma contradio. Portanto a nica possibilidade que o ponto C esteja entre A e B.Para o caso A demonstrao anloga.

2) Sejam um segmento de reta e . Dizemos que ponto mdio desse segmento, quando . Dado um segmento , demonstre que este possui um ponto mdio e que ele nico.

Soluo

Prova da existncia: sejam as coordenadas dos pontos A e B. Considere o nmero . Pelo axioma MS2, existe um ponto C sobre a reta, que tem coordenada o nmero . Como e . Ento . Como est entre os nmeros , pelo exerccio anterior, o ponto C est entre os pontos A e B. Logo C ponto mdio do segmento AB.

Prova da unicidade: Suponha que o segmento AB possua um outro ponto mdio C, de coordenada . Ento teramos (i) , quando e (ii) , quando . Em ambos os casos, temos que . Portanto . E pelo axioma MS2, temos que C=C.

3) Dados um segmento e um nmero real positivo qualquer , demonstre que existe um ponto entre e , tal que . Demonstre, tambm, que este ponto nico.

Soluo

Essa demonstrao anloga do exerccio anterior. Suponha que e sejam as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente.

Prova da existncia: sejam as coordenadas dos pontos A e B. Considere o nmero .(que pode ser obtido a partir da igualdade , com coordenada do ponto C) Pelo axioma MS2, existe um ponto C sobre a reta, que tem coordenada o nmero . imediato verificar que o nmero encontra-se entre os nmeros e . Pelo exerccio 1.9(1), o ponto C encontra-se entre A e B. Este ponto C satisfaz a equao .

Prova da unicidade: Suponha que o segmento AB possua um outro ponto C, de coordenada , tal que . Neste caso, teremos que Ento pelo axioma MS2, temos que C = C.

4) Sejam e pontos de uma mesma reta. Faa um desenho representando esses pontos, admitindo que e .

Soluo imediata.

5) Sejam e pontos distintos de uma mesma reta, tais que . Calcule as medidas e , sabendo que .

6) Usando rgua e compasso, descreva uma maneira de construir:

a) Um tringulo issceles, ou seja, um tringulo que possui dois lados com medidas iguais. Em um tringulo issceles, os lados que possuem a mesma medida so chamados laterais, e o terceiro lado chamado de base do tringulo.

Soluo

Trace um segmento AB e com o compasso, trace um crculo com centro no ponto A e raio, por exemplo, maior ou igual medida do segmento AB. Trace tambm um outro crculo com centro no ponto B e com a mesma medida do raio do primeiro circulo. Esses crculos se encontram em dois pontos C e D. Os tringulos ABC e ABD so issceles de base AB.

b) Um tringulo equiltero, ou seja, um tringulo que possui os trs lados com medidas iguais.

Soluo

Faa a construo do item (a), considerando os crculos tendo como raio a medida do segmento AB. Neste caso, os tringulos ABC e ABD so eqilteros, tendo como medida de lado a medida do segmento AB.

7) A soma das medidas dos lados de um polgono chamada permetro do polgono. Faa desenhos de trs polgonos, mea seus lados e calcule seus permetros.

Soluo: vrias possibilidades.

8) Um conjunto contido no plano chamado limitado, quando existe um crculo , no plano, que contm todos os pontos do conjunto . Um conjunto ilimitado, quando no limitado. Demonstre que so limitados:

a) Um conjunto finito;

b) Um segmento;

c) Um tringulo;

d) Um polgono com n lados.

Soluo

Em cada item devemos exibir um crculo no qual o conjunto est dentro do crculo. Ou seja, em cada item devemos exibir o cento e o raio de um crculo, tal que o conjunto est dentro desse crculo.

a) se X um conjunto finito, digamos formado pelos elementos , considere, por exemplo, o crculo com centro no ponto e raio .b) Se o segmento for AB, considere, por exemplo, o crculo de centro no ponto A e raio .c) Se o tringulo for ABC, considere, por exemplo o crculo com centro no ponto A e raio .d) Se o polgono for , considere, por exemplo, o crculo com centro no ponto e raio .Exerccios 1.151) Demonstre que ngulos opostos pelo vrtice tm a mesma medida.

Soluo

Suponha que duas retas r e s se interceptam em um ponto O como na figura abaixo

Sabemos que . Ento .

2) Considere uma reta e um ponto . Demonstre que pelo ponto passa uma reta , que perpendicular e, alm disso, essa reta nica.

Soluo

Prova da existncia:

Considere um dos semiplanos determinados pela reta m, a partir do axioma O3. Nesse semiplano considere todas as semirretas de origem P. Pelo axioma MA2 existe uma semirreta correspondente 90. A reta n que contm essa semirreta a reta procurada.

Veja a figura abaixo

Para demonstrar a unicidade, suponha que existam duas retas n e n perpendiculares m. Essas retas determinam duas semirretas, em um dos semiplanos, correspondentes 90, o que uma contradio com o axioma MA2.

3) Qual a medida do ngulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas de um relgio, ao marcar 11 horas e 30 minutos?Soluo: 165.

4) Se um ngulo e seu suplemento tm a mesma medida, qual a medida desse ngulo? Justifique sua resposta.

Soluo

Seja esse ngulo. Ento da segue que .

5) Se um ngulo e seu complemento tm a mesma medida, qual a medida desse ngulo? Justifique sua resposta.

Soluo

Seja esse ngulo. Ento da segue que .

6) Se dois ngulos e so suplementares e a diferena entre eles 65, quais as medidas desses ngulos?

Soluo

Pelas hipteses temos que e . Resolvendo esse sistema de equaes obteremos e .

7) Mostre que o suplemento de um ngulo obtuso um ngulo agudo.

Soluo

Se ento . Somando 180 de ambos os lados dessa equao obteremos . Ou seja, o suplemento de um ngulo agudo.

8) Sabendo que um dos quatro ngulos determinados por duas retas que se interceptam mede 75, quais so as medidas dos outros ngulos? Justifique sua resposta.

Soluo

Suponha que o ngulo , conforme ilustra a figura abaixo.

Ento , pois o suplemento do ngulo . O ngulo , pois e so opostos pelo vrtice.Analogamente, , pois e so opostos pelo vrtice.

UNIDADE 2Exerccio 2.16Demonstre que em um tringulo ABC issceles, a mediana relativa base tambm bissetriz e altura.

Demonstrao

Seja ABC um tringulo issceles cuja base AB. Seja CD sua mediana relativa base. Mostraremos que ACD = BCD e que AC um ngulo reto. Para isso considere os tringulos ADC e BDC. Como AD = BD (pois CD mediana), AC = BC (j que o tringulo issceles com base AB) e = (pela proposio anterior), ento ADC = BCD, pelo primeiro caso de congruncia. Segue, portanto, que AD = BD e CA = BC. A primeira igualdade nos diz que CD bissetriz do ngulo AB. Como AB um ngulo raso e CA+ BC = AB ento CA+ BC = 180. J sabemos que CA = BC, ento conclumos que CA = BC = 90. Portanto CD perpendicular a AB, isto , CD a altura relativa a AB.

Corolrio 2.202) Um tringulo ABC possui, pelo menos, dois ngulos agudos.

DemonstraoSe um tringulo no tiver dois ngulos agudos, ele tem dois ngulos obtusos. Consequentemente, a soma dos ngulos internos desse tringulo ser maior do que 180, contradizendo o corolrio 2.20(1).

3) Se duas retas distintas e so perpendiculares a uma terceira reta , ento, a reta paralela reta .

DemonstraoSuponha que r e s no sejam paralelas. Desse modo, elas se interceptam em um ponto A, conforme ilustra a figura a seguir

Como as retas r e s so perpendiculares t, ento , logo a soma de dois ngulos desse tringulo ser 180, contradizendo o corolrio 2.20(1).

Exerccios 2.261) Mostre que os ngulos da base de um tringulo ABC issceles so agudos.

Soluo

Como o tringulo ABC issceles, digamos, por exemplo de base AB, ento pela proposio 2.12 . Se esses ngulos forem obtusos, sua soma maior do que 180, contradizendo o corolrio 2.20(1)

2) Seja P um ponto interior de um tringulo ABC. Mostre que .

Soluo

Observe a figura a seguir

Pelo teorema do ngulo externo, e . Portanto .

3) Mostre que, se duas alturas de um tringulo so congruentes, ento, o tringulo issceles.

Soluo

Seja ABC um tringulo, com AE e CD alturas, como mostra a figura a seguir. Ento . Assim, AC hipotenusa dos tringulos ADC e CEA. Como AE = CD, esses tringulos so congruentes, pelo caso hipotenusa cateto. Portanto , ou seja, . Ento ABC issceles de base AC.

4) Em um cartrio de registros de imveis um escrivo recusou registrar um terreno triangular cujos lados, segundo o seu proprietrio, mediam 150m, 70m e 60m. Qual justificativa matemtica voc pode dar para essa atitude do escrivo?

Soluo

Pela desigualdade triangular a soma das medidas de quaisquer dois lados de um tringulo maior do que o terceiro lado. E o terreno em questo teria um lado, o que mede 150m, igual soma dos outros dois.

5) Sejam ABC e EFG tringulos em que AB = EF, e . Esses tringulos so congruentes? Se a resposta for afirmativa, demonstre. Caso contrrio, d um contraexemplo.

Soluo

Suponha que ABC no seja congruente EFG. Seja H tal que EH = AC, como mostra a figura a seguir

Ento ABC = EFH, consequentemente . Como , temos que , contradizendo o teorema do ngulo externo.

6) Na figura, a seguir, temos que e . Mostre que .

Soluo

Como , pela proposio 2.24, segue que . Como , temos que .

8) Se um tringulo ABC equiltero e D um ponto do segmento BC, mostre que.

Soluo

Como ABC equiltero, . Como AD divide o ngulo , segue que . Portanto, pela proposio 2.24 temos que .

UNIDADE 3Exerccios 3.171) A partir do Teorema Fundamental da Proporcionalidade, inclusive as notaes estabelecidas naquele resultado, demonstre que

Soluo

Do Teorema Fundamental da Proporcionalidade, temos que Como e

substituindo essas identidades na igualdade , temos que

Portanto , da segue que .

2) Demonstre que: se duas retas r e s so transversais de um feixe de retas paralelas, ento, a razo entre dois segmentos quaisquer determinados em uma delas igual razo entre os segmentos correspondentes da outra. Esse resultado conhecido como Teorema de Tales.

Soluo

Considere as transversais r e s interceptando as retas paralelas a, b e c, respectivamente nos pontos A, B e C e nos pontos A, B e C. Trace pelo ponto A uma reta s paralela s, interceptando as retas a, b e c nos pontos A, B e C, como mostra a figura a seguir.

Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e o exerccio 3.17(1), para terminar a demonstrao.3) Trs lotes tm frente para a rua Tales de Mileto e para a rua Leonardo da Vinci, como ilustra a figura, a seguir. As divisas laterais so perpendiculares rua Leonardo da Vinci e as medidas de frente para essa rua dos lotes 1, 2 e 3 so, respectivamente, 50m, 40m e 30m. Sabendo que a medida da frente total dos trs lotes para a rua Tales de Mileto 240m, encontre a medida de frente para a rua Tales de Mileto de cada um dos lotes.

Soluo

Sejam respectivamente as medidas de frente para a rua Tales de Mileto dos lotes 1, 2 e 3. Pelo teorema de Tales, exerccio 3.17(2), segue que

Portanto, metros.

4) Utilizando rgua e compasso, descreva um processo de diviso de um segmento AB em 3, 5 e 6 partes iguais, justificando cada passo.

Soluo

Para a diviso do segmento AB em 3 partes iguais, trace uma semirreta formando um ngulo agudo com a semirreta determinada por AB. Usando compasso, a partir do ponto A, considere trs segmentos de medidas iguais nessa semirreta, obtendo os pontos C, D e E. Em seguida trace um segmento ligando o ponto E ao ponto B, e retas paralelas determinada pelo segmento BE, passando pelos pontos B e C, que interceptam o segmento AB nos pontos C e D respectivamente, conforme a figura abaixo

Os pontos C e D dividem o segmento AB em trs partes iguais. A justificativa da igualdade das partes, segue do teorema de Tales. Escreva os detalhes.

Para a diviso do segmento AB em 5, 6, 7, ..., partes iguais, fazemos de modo anlogo.

6) Demonstre que dado um tringulo ABC de lados, medindo a, b e c, AD uma bissetriz interna, conforme ilustra a figura, a seguir, em que DB = x e DC = y, temos que . Esse resultado conhecido como Teorema da Bissetriz Interna (DOLCE, POMPEO; 1980).

Sugesto: trace uma reta paralela AD, passando pelo vrtice C e considere a interseo dessa reta com a semirreta .

Soluo

Traando a reta paralela AD, passando pelo vrtice C, suponha que essa reta intercepte a reta que contm o lado AB, no ponto E. Ento teremos que . Portanto . A partir do Teorema Fundamental da Proporcionalidade (ou teorema de Tales), podemos concluir que . Da segue que .

7) Na figura, a seguir, A o centro do crculo, BD um dimetro, C outro ponto do crculo, e so ngulos determinados de acordo com a figura. Demonstre que .

Soluo

Como AB = AC, ento . Pelo corolrio 3.7(c), temos que .

8) Mostre que as diagonais de um quadriltero ABCD se interceptam em seus pontos mdios se, e somente se, esse quadriltero for um paralelogramo.Soluo

Suponha que as diagonais AC e BD se encontram em um ponto E que ponto mdio das duas diagonais, ento , veja a figura abaixo.

Consequentemente, ECD = EAB. Logo AB e CD so congruentes e paralelos. Ento ABCD um paralelogramo.

Suponha agora que ABCD seja um paralelogramo. Trace as diagonais AC e BD, que se encontram no ponto E. Como AB paralelo CD ento . Analogamente, como AD paralelo a BC segue que . Como AB = DC, segue AEB = CED e portanto . Ento as diagonais de um quadriltero ABCD se interceptam em seus pontos mdios.10) Mostre que todo retngulo um paralelogramo.

Soluo

Como um retngulo possui os quatro ngulos internos iguais a 90, segue que seus lados opostos so paralelos. Portanto ele um paralelogramo.

11) Mostre que as diagonais de um retngulo so congruentes.

Soluo

Seja ABCD um retngulo. Trace as diagonais AC e BD, como na figura a seguir.

Como ABCD um paralelogramo, temos que AB=CD e BC=AD. Usando o fato de que todos os seus ngulos so retos, segue que ABC=DCB. Portanto, AC=BD.

12) Mostre que as diagonais de um losango cortam-se em ngulo reto e so bissetrizes de seus ngulos.

Soluo

Seja ABCD um losango. Como um losango um paralelogramo, segue do exerccio 3.17(8) que as diagonais se interceptam em um ponto E que ponto mdio das diagonais. Como os lados de um losango possuem a mesma medida, segue pelo terceiro caso de congruncia de tringulos que AEB = CEB. Consequentemente, . Como , segue que . Portanto as diagonais AC e BD so perpendiculares. Da congruncia AEB = CEB segue tambm que portanto BD bissetriz do ngulo . De modo anlogo, demonstra-se que BD tambm bissetriz do ngulo e AC Bissetriz de e de .

13) Mostre que, se as diagonais de um quadriltero so congruentes e se cortam em um ponto que ponto mdio de ambas, ento, o quadriltero um retngulo. Se, alm disso, as diagonais so perpendiculares, ento, o quadriltero um quadrado.

Soluo

Seja ABCD um quadriltero cujas diagonais se interceptam em um ponto que ponto mdio de ambas, ento, pelo exerccio 3.17(8), ABCD um paralelogramo. Como por hiptese as diagonais AC e BD tm as mesmas medidas, ento pelo terceiro caso de congruncia de tringulo ABC = BAD. Ento e

Usando agora a hiptese de que ABCD um paralelogramo, seus lados opostos so paralelos, da pode-se concluir que . Como

EMBED Equation.3 e segue que Portanto ABCD um retngulo.

Se alm disso as diagonais forem perpendiculares, segue, de congruncia de tringulos que o quadriltero um quadrado.

14) Seja ABCD um trapzio, tendo AB como base. Se esse trapzio issceles demonstre que e .

Soluo

Seja ABC um trapzio issceles de base AB. Trace pelo ponto D uma reta perpendicular AB, interceptando esse segmento no ponto E. Trace tambm uma reta pelo ponto C, perpendicular AB, interceptando esse segmento no ponto F, como mostra a figura abaixo.

Pelo caso hipotenusa cateto, temos que AED = BFC. Portanto e . Usando o fato de que DC paralelo AB, segue que ._1355741238.unknown

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