Solusi Semifinal MTC Logika 2015Pos Teori Bilangan

Soal 1. Misalkan m1 adalah.bilangan bulat positif terkecil sehingga 1+m1 habis dibagi 3, 1+2m1habis dibagi 5, dan 1 + 8m1 habis dibagi 7. Maka m1 = ...

Penyelesaian. Perhatikan bahwa soal ekuivalen dengan mencari nilai x sehingga

x 2 (mod 3)x 2 (mod 5)x 6 (mod 7)

Berdasarkan CRT, maka ada solusi unik x dalam modulo 105. Dapat dicek x 62 (mod 105)memenuhi kondisi diatas. Karena m1 adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi, makam1 = 62.

Soal 2. Suatu bilangan bulat dikatakan logic jika bilangan tersebut merupakan jumlah semuapembagi positifnya kecuali dirinya sendiri.

Contoh, 28 adalah bilangan logic karena 28=1+2+4+7+14.

Suatu bilangan bulat dikatakan factorial jika bilangan tersebut sama dengan n! untuk suatubilangan bulat positif n. Misalkan p1, p2, ...pm adalah semua bilangan lebih besar dari 1, yangmerupakan bilangan logic dan juga merupakan bilangan faktorial. Misalkan pula m2 = m1 10(p1 + p2 + ...pm) + 3m. Maka m2 = ..

(Catatan: n! = 1.2.3....n. Misal 5! = 1.2.3.4.5 = 120)

Penyelesaian. Jawabannya adalah m2 = 5.

Dapat di cek bahwa 2! bukan bilangan logic. Karena 3! = 6 = 1+2+3 maka 6 merupakan bilanganlogic dan factorial. Lalu perhatikan bahwa untuk n > 3, dapat kita misalkan n! = 6k dengank > 1 suatu bilangan bulat. Akibatnya 1, k, 2k, 3k merupakan faktor dari n!. Karena 1+k+2k+3k =6k + 1 > 6k = n maka semua bilangan factorial lebih besar dari 6 bukanlah bilangan logic.Maka hanya ada satu bilangan lebih besar dari 1 yang merupakan bilangan factorial dan bilanganlogic yaitu p1 = 6.

Sehingga m2 = m1 10p1 + 3.1 = 62 60 + 3 = 5.Soal 3. Misalkan m3 adalah sisa pembagian jika 1978

20 + 1988 dibagi oleh m32. Maka m3=....

Penyelesaian. Akan dicari sisa pembagian jika 197820 + 1988 dibagi oleh m32 = 125. Perhatikanbahwa

197820 + 1988 (22)20 + 1988 = 48410 + 1988 (16)10 + 1988 2565 + 1988 (1) 65 + 1988 = 2535 + 1988 = 32(243) + 1988 32(7) + 1988 14 (mod 125)

(2)

Maka m3 = 14.

Soal 4. Misalkan m4 menyatakan nilai darim3311

+

2m3311

+ ....

310m3311

Maka m4 = ...

(Catatan : bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x, contohb5, 31c = 5, bpic = 3, dan b16c = 16)

Penyelesaian. Pertama kita sudah tahu dari soal sebelumnya bahwa m3 = 14. Lalu perhatikanbahwa, karena gcd(14, 311) = 1, maka i.14311 bukan merupakan bilangan bulat untuk setiap i =1, 2, ...310. Diperoleh

i.14

311

+

(311 i).14

311

= 14 +

i.14

311

+

i.14311

= 14 1 = 13

1

untuk setiap i = 1, 2, ...310. Akibatnya

2

310i=1

i.14

311

=

310i=1

(i.14

311

+

(311 i).14

311

)=

310i=1

13 = 13.310

Sehingga didapat

m4 =m3311

+

2m3311

+ ....

310m3311

=

13.310

2= 2015

Soal 5. Misal m5 merupakan nilai dari20152 + 1 +

20152 + 2 + ....+

20152 + 2m4

Maka nilai dari m5 = ...

Penyelesaian. Pertama kita tahu dari soal sebelumnya bahwa m4 = 2015

Sehingga kita akan mencari nilai dari20152 + 1 +

20152 + 2 + ....+

20152 + 4030

Pertama, perhatikan bahwa

20152 +m 2015 = m20152 +m+ 2015

Lalu untuk 1 m 4030 berlaku 4030 < 20152 +m+ 2015 < 4031 sehinggam

4031