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Mécanique & Industries 4 (2003) 531–536

Solutions multiples et bifurcations des écoulements bidimensionnede convection naturelle dans une cavité annulaire horizontale

Multiple solutions and bifurcations of two-dimensional natural convecflows in a horizontal annulus

Giuseppe Petrone∗, Eric Chénier, Guy Lauriat

LETEM, Université de Marne-la-Vallée, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vallée cedex 2, France

Reçu le 31 mars 2003 ; accepté le 5 juillet 2003

Résumé

La convection naturelle bidimensionnelle entre deux cylindres coaxiaux et horizontaux est étudiée numériquement. Les écouleété calculés en résolvant le système non-linéaire formé par les équations de Navier–Stokes et de l’énergie, écrites sous formeUne analyse de stabilité linéaire des solutions obtenues a ensuite été effectuée et un diagramme de bifurcation a été établi pourannulaires remplis d’air(Pr = 0,7) en fonction du nombre de Rayleigh. Les écoulements multicellulaires déjà décrits dans la littératété retrouvés et les seuils des bifurcations à l’origine de ces solutions ont été mieux précisés. De nouvelles instabilités ont aussi éévidence : elles ont la propriété de rompre la symétrie de l’écoulement de base. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Abstract

Two-dimensional natural convection between two horizontal and coaxial cylinders is numerically studied. Flow patterns have beenby solving the non-linear system made of the steady Navier–Stokes and energy equations. Linear stability of each solution is evcomputing the maximum growth rate of the perturbations applied to the considered solution. A bifurcation diagram as a functiocylinder temperature difference is proposed for air-filled annuli. Multi-cellular flow patterns as reported in the literature have aobserved, and the bifurcation thresholds associated with the onset of these flows have been evaluated. New kinds of instabilities wthe symmetry of the undisturbed flow have been found. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Mots-clés : Convection naturelle ; Géométrie annulaire ; Analyse de stabilité ; Bifurcations

Keywords: Natural convection; Annular geometry; Stability analysis; Bifurcations

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1. Introduction

L’étude des transferts de chaleur par convection natudans des espaces annulaires horizontaux a suscité un noconsidérable de travaux expérimentaux, théoriquesnumériques. Cette configuration présente un intérêt pradans de nombreux secteurs, comme par exemple

* Auteur correspondant.Adresses e-mail : petrone@univ-mlv.fr (G. Petrone),

chenier@univ-mlv.fr (E. Chénier), lauriat@univ-mlv.fr (G. Lauriat).

1296-2139/$ – see front matter 2003 Éditions scientifiques et médicales Eldoi:10.1016/j.mecind.2003.07.005

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l’isolation thermique, mais aussi un intérêt fondamendans la mesure où, lorsque le cylindre intérieur est pchaud que le cylindre extérieur, on retrouve des structd’écoulements qui résultent d’une combinaison de cerencontrées dans une couche horizontale chauffée pdessous et de celles observées dans une cavité verchauffée latéralement. En effet, le gradient thermiquecolinéaire à la gravité dans les parties inférieure et supéride l’espace annulaire alors qu’il est perpendiculaire àgravité dans les parties latérales. Le problème est cepeplus complexe que dans le cas de ces deux configuracartésiennes car la courbure, ou le rapport de la différe

sevier SAS. Tous droits réservés.

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Nomenclature

a diffusivité thermiquef f = ηr + 1g accélération de la pesanteurp pressionPr nombre de Prandtl,Pr = ν/a

r coordonnée radialere rayon du cylindre externeri rayon du cylindre interneRa nombre de Rayleigh,Ra = gβ(Te − Ti)d

3/νa

Te température du cylindre externeTi température du cylindre interneT0 température moyenne,T0 = (Ti + Te)/2t temps adimensionnel

u composante radiale de la vitesse adimensionnelw composante azimutale de la vitesse

adimensionnelle

Symboles grecs

β coefficient d’expansion volumique à pressionconstante

η paramètre de courbure,η = (re − ri)/riΘ température adimensionnelle,

Θ = (T − T0)/(Te − Ti)

θ coordonnée angulaire variant depuis la partieinférieure de l’axe vertical

ν viscosité cinématique

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des rayons au rayon interne,η = (re − ri)/ri , joue un rôlefondamental sur l’amplification de petites perturbations,ce soit dans la partie sommitale de l’espace annulairedans les parties horizontales occupées par deux celluleconvection d’étendue angulaire importante et caractéripar des sens de circulation inversés (∇T ∧ g n’ayant pas lemême signe à droite et à gauche de l’espace annulaire)

Parmi les travaux relatifs à cette configuration qui sle plus souvent cités, on retiendra l’étude de Powe et alqui furent les premiers à présenter une cartographie despriétés des écoulements dans un diagramme (Ra, η), où Raest le nombre de Rayleigh basé sur la différence des rayCe diagramme, construit à partir d’observations expérimtales, reste un guide précieux pour toutes les étudesriques, en particulier les études de stabilité linéaire, et nuriques puisqu’il fournit des indications sur les domaines dlesquels la convection est bidimensionnelle, tridimensnelle, stationnaire ou oscillante selon la valeur du nomde Prandtl. Ces résultats furent complétés par les étudemériques bidimensionnelles de Powe et al. [2], Rao e[3], Fant et al. [4] et Kim et Ro [5] dans lesquelles la muplicité de solutions pour un ensemble donné de valeursparamètresη,Ra et Pr fut mise en évidence. Ainsi, des slutions unicellulaires ou bi-cellulaires furent trouvéesCheddadi et al. [6] qui ont présenté un diagramme defurcation pour l’air. L’existence de solutions stationnaiduales fut ensuite confirmée par Yoo [7] et la multiplicd’écoulements multicellulaires par Chung et al. [8]. Dancas d’un espace annulaire de faible rapport des rayonsdiou et al. [9] et Desrayaud et al. [10] ont donné uneterprétation physique au concept de bifurcation imparfdue aux instabilités d’origine thermique se développant dla partie sommitale de l’espace annulaire. Ils ont aussisenté une cartographie des différentes sortes d’écoulemulticellulaires créés par l’interaction entre les instabilid’origine thermique ou hydrodynamique. Mizushima et[11] ont utilisé la méthode de Newton–Raphson pour tr

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ver les solutions stationnaires qui ont ensuite été perturafin de déterminer des critères de stabilité. Ils ont pu amontrer que la courbure a un fort effet sur les instabilitéstype Rayleigh–Bénard dans la partie sommitale de l’espannulaire en brisant la bifurcation fourche classique enbifurcation nœud-col.

Un très grand nombre des travaux numériques estsur une modélisation exploitant la symétrie intrinsèqueproblème de convection naturelle par rapport au plan verpassant par l’axe des cylindres. L’objectif de ce travailde mettre en évidence qu’il existe une rupture possiblecette symétrie que seule une modélisation de l’ensembla cavité, avec des conditions azimutales de périodicitésusceptible de rendre compte. L’objectif de cette étudedonc de réaliser une étude systématique des écoulemeconvection naturelle dans l’ensemble de l’espace annuet de rechercher, à l’aide d’une analyse de stabilité linéles différentes régions de stabilité en fonction du nombrRayleigh.

2. Formulation du problème

On considère un fluide confiné dans un espace annulimité par deux tubes concentriques horizontaux dontrayons sont notésri et re(re > ri). Une différence de température uniformeTi − Te est appliquée entre les deux clindres, le cylindre intérieur étant le plus chaud. Le fluest supposé newtonien et l’écoulement laminaire et incpressible. Les effets de dissipation visqueuse sont négdans l’équation de conservation de l’énergie et l’appromation de Boussinesq est introduite : la masse volumest constante sauf dans le terme de poussée d’ArchimToutes les autres propriétés thermophysiques sont suppconstantes. On considère en outre un espace annulatrès grande longueur devant la différence des rayons deque la convection puisse être supposée bidimensionnemodélisable dans un système de coordonnées polairer, θ )

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avec la coordonnée azimutale variant dans le sens trigmétrique depuis la demi-droite verticale inférieure passpar le centre des cylindres. Les équations de conservsont écrites sous forme adimensionnelle en utilisant l’ecement entre les cylindresre − ri , le rapporta/(re − ri) et(Te − Ti ) comme échelles des longueurs, des vitesses el’écart de températureT − T0. On obtient ainsi :

∂f u

∂r+ η

∂w

∂θ= 0

∂f u

∂t+ ∂f uu

∂r+ ∂ηwu

∂θ− ηw2

= −f∂p

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Les conditions aux limites sont les conditions d’adrence sur les cylindres aux températures uniformes. Il enoter que les équations sont résolues dans le domaineplet de l’espace annulaire ( 0� θ � 2π, ri � r � re) et qu’au-cune hypothèse de symétrie par rapport à l’axe vertical nintroduite.

3. Méthode de résolution

Les équations de Navier–Stokes et de l’énergie, écsous la forme conservative, sont discrétisées en espaceméthode des volumes finis en utilisant des maillages déc[12]. La distribution des mailles dans le domaine permetraffinements dans les régions de plus fort gradient, c’edire proche des parois et au sommet de la cavité annuLe découplage entre les vitesses et la pression est assuune méthode de time-splitting [13]. Les écoulementstionnaires sont déterminés, soit par une intégration temrelle des équations d’évolution, soit en résolvant un grsystème non-linéaire, composé des équations stationnde conservation, par la méthode de Newton–RaphsonLa stabilité de chaque écoulement est obtenue en chercparmi toutes les perturbations infinitésimales admissibcelle qui possède le plus grand taux de croissance temrel. Ce calcul est réalisé en déterminant la valeur prodominante, par la méthode d’Arnoldi [15], du problèmenéarisé d’évolution des perturbations autour de l’écoulemstationnaire. L’analyse de stabilité linéaire fournit une contion suffisante d’instabilité : si la partie réelle d’une valepropre est positive, l’écoulement de base est instable.

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4. Résultats et discussion

Les résultats discutés dans cette section concernenécoulements stationnaires et l’étude de leur stabilité vivis de perturbations infinitésimales (analyse de stabiliténéaire). Il a été montré dans de nombreuses étudesrieures que les structures des écoulements de convectioturelle dans des espaces annulaires horizontaux sont trèférentes selon la nature du fluide et selon les valeurs duport des rayons ou de l’écart de température entre cylindIl a aussi été mis en évidence que des bifurcations peuconduire à la co-existence de différentes structures d’écoments pour un même ensemble de paramètres si l’un d’eeux excède une valeur critique. Dans cet article, nouconsidérons qu’une géométrie de l’espace annulaire dépar η = 0,2 et remplie d’air (Pr = 0,7). Le seul paramètrqui varie est donc le nombre de Rayleigh, dans l’interv[0, 5000].

La Fig. 1 montre le diagramme de bifurcation des éstationnaires, stables ou instables, obtenu en traçavaleur de la composante radiale de la vitesse au somml’espace annulaire (θ = π) et en son centre ((re + ri)/2)

en fonction du nombre de Rayleigh. Cette composaconsidérée comme la quantité scalaire qui caractérisétat stationnaire, permet aussi de déterminer le sencirculation du fluide dans la partie sommitale. Lorsquenombre de Rayleigh est inférieur à une première vaseuil (Rac1 = 1911), une solution unique est obtenuUne seule cellule de circulation est observée dans chdes demi-espaces annulaires (Fig. 2) et l’écoulemensymétrique par rapport au plan vertical : le fluide chauffélong de chaque moitié du cylindre interne est animé dmouvement ascendant qui se termine par un écouleradial avant de se refroidir en descendant le long dparoi extérieure. Les isothermes sont concentriquestransfert de chaleur entre cylindres est quasiment conduDans la littérature, ce régime est généralement qualifimonocellulaire et on le notera iciC+.

Fig. 1. Courbe de continuation :u((ri + re)/2;π) en fonction du nombrede Rayleigh.

Fig. 1. Continuation curve:u((ri + re)/2; π) as a function ofRa number.

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Fig. 2. Lignes de courant de l’écoulement stationnaire àRa = 1500(−5 : 5, [0,5]). Les lignes continues et pointillées indiquent des valepositives et strictement négatives qui correspondent à des écoulemenles sens horaire et trigonométrique respectivement.

Fig. 2. Streamlines (−5 : 5, [0.5]) of the steady flow atRa = 1500.Continuous and dashed lines indicate positive and negative valuescorrespond to clockwise and counter-clockwise flow direction.

Pour Ra > Rac1, plusieurs solutions peuvent être trovées pour un même nombre de Rayleigh. Deux écoulemstationnaires obtenus àRa = 5000 sont présentés sur lFigs. 3(a) et 3(b). Le premier, notéC+C−C+ (Fig. 3(a)), estsitué sur la branche supérieure de la Fig. 1 et se compotrois rouleaux dans chaque demi-espace annulaire, donest contra-rotatif. Sur cette branche du diagramme de bcation, le passage de la structureC+ à C+C−C+s’effectuegraduellement en augmentant progressivement le nomde Rayleigh : on observe d’abord la formation d’un prouleau co-rotatif dans la cellule principale qui se détaensuite, ce qui génère la formation d’un troisième roulcontra-rotatif. Ce détachement est obtenu àRa = 2270, va-leur identique à celle donnée par Kim et Ro [5](Ra = 2270)et en bon accord avec celle de Chung et al. [8](Ra = 2330).Un régime tri-cellulaire a été aussi observé par Yoo [7] mpour Ra > 3000. L’écoulement bi-cellulaire représenté sla Fig. 3(b) se situe sur la branche inférieure de la Figet il est notéC+C− et u((re + ri)/2, π) est négative, cequi signifie que le rouleau sommitalC− est contra-rotatifDans les deux cas, les rouleaux sommitaux distordent latribution régulière des isothermes observée dans le resl’espace annulaire. Ce type de bifurcation dans la couquasi-horizontale au sommet de l’espace annulaire présde fortes analogies avec les instabilités de Rayleigh–Bénbien que la solution bifurque alors vers deux solutions psibles mais stables, et le nombre de rouleaux secondairepend de la courbure.

La Fig. 4 est un agrandissement de la Fig. 1 au voisindu premier point de bifurcation : elle montre que la cobure produit une transformation de la bifurcation fourcheRayleigh–Bénard en une unique bifurcation nœud-col (zushima et al. [11]) et confirme l’assertion de Desrayau

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(a)

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Fig. 3. (a) Lignes de courant de l’écoulement stationnaireC+C−C+ àRa = 5000 (−12 : 12, [2]). Les lignes continues et pointillées indiquedes valeurs positives et strictement négatives. (b) Lignes de coural’écoulement stationnaireC−C+ à Ra = 5000(−12 : 12, [2]). Les lignescontinues et pointillées indiquent des valeurs positives et strictemnégatives.

Fig. 3. (a) Streamlines(−12 : 12, [2]) of the steady flowC+C−C+ atRa = 5000. Continuous and dashed lines indicate positive and negvalues. (b) Streamlines(−12 : 12, [2]) of the steady flowC−C+ atRa = 5000. Continuous and dashed lines indicate positive and negvalues.

al. [10] selon laquelle seule la branche supérieure dugramme de bifurcation est suivie lorsque le nombre de Rleigh est augmenté très lentement. Les valeurs des nomde Rayleigh critiques calculées dans cette étude et cdonnées dans la littérature référencée sont reportées dTableau 1, les bifurcations étant qualifiées différemmenlon les auteurs (noeud-col, transcritique virtuelle ou impfaite). On remarque que l’accord entre ces valeurs estLe diagramme de bifurcation montre qu’il existe d’autresgions d’instabilités sur chacune des deux branches (Fig

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Tableau 1Comparaison entre les valeurs des nombres de Rayleigh critiques

Valeurs des nombres de Rayleigh des bifurcations

Nœud-col « Transcritique virtuelle » « Fourche imparfait

Présente étude 1911 1917 –Mizushima et al. [11] 1914 1920 –Cadiou et al. [9] – – 1915Chung et al. [8] – – 1894Kim and Ro [5] – – 1920

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Fig. 4. Agrandissement de la Fig. 1.

Fig. 4. Enlargement of Fig. 1.

Ces nouvelles bifurcations, de type fourche, n’ont jamété mises en évidence car la procédure de calcul suiviel’interdisait (exploitation de la symétrie intrinsèque du pblème), soit requerrait un temps d’intégration temporelleéquations de conservation trop important. La valeur rémaximale des valeurs propres du système linéarisé, quirespond au taux de croissance de la perturbation la plustable, est représentée sur la Fig. 5 pour les solutionstionnaires de la branche supérieure du diagramme de bcation dans l’intervalle 2000� Ra � 2500. Lorsque le taux

Fig. 5. Taux de croissance de la perturbation la plus instable, associésolutions stationnaires appartenant à la branche supérieure de la coucontinuation, en fonction du nombre de Rayleigh.

Fig. 5. Growth rate of the most unstable perturbation associated with sstates lying on the upper branch of the continuation curve as a funof Ra.

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de croissance est positif, une perturbation infinitésimalepliquée aux solutions stationnaires, de la forme du vecpropre associé à la valeur propre, est amplifiée et cestions sont donc instables. La Fig. 5 donne donc aveccision l’étendue du domaine instable de la branche srieure du diagramme de bifurcation : 2060� Ra � 2460.Les isolignes de courant du champ de la perturbation lainstable, pourRa = 2068, sont représentées sur la Fig.On remarque que ce champ ne possède pas la mêmetrie que l’écoulement de base. Les deux nouvelles brande solutions issues de cette bifurcation fourche devradonc présenter des écoulements stationnaires dissymétrqui, au voisinage de cette bifurcation, sont qualitativemapprochés en superposant la perturbation à l’écoulemIl faut cependant noter que ces nouvelles solutions npu être obtenues par l’intégration temporelle des équatde conservation, ce qui indiquerait que ces bifurcatifourches sont de forme sous-critique. Les valeurs réemaximales des valeurs propres sont représentées sur lapour les solutions stationnaires appartenant à la branchférieure du diagramme de bifurcation et proche de la bication nœud-col(Ra = 1911). On observe deux modes d

Fig. 6. Lignes de courant de la perturbation la plus instable assocl’écoulement stationnaire àRa = 2068 et situé sur la branche supérieude la courbe de continuation. Les lignes continues et pointillées indiqdes valeurs positives et strictement négatives.

Fig. 6. Streamlines of the most unstable perturbation associated witsteady state atRa = 2068 and lying on the upper branch of the continuatcurve. Continuous and dashed lines indicate positive and negative val

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Fig. 7. Taux de croissance de la perturbation la plus instable, associésolutions stationnaires appartenant à la branche inférieure de la courcontinuation, en fonction du nombre de Rayleigh.

Fig. 7. Growth rates of the most unstable perturbations associatedsteady states lying on the lower branch of the continuation curvefunction ofRa.

minants de perturbation : le premier présente les mêmeractéristiques que sur la branche supérieure et il génèreune bifurcation de type fourche àRa ≈ 2000, ce qui correspond au passage par zéro de la valeur propre dominantsecond est associé à la bifurcation nœud-col et il présersymétrie verticale.

5. Conclusion

Une étude de la stabilité linéaire des écoulementsconvection naturelle d’air entre deux cylindres coaxiahorizontaux a été menée. Les analyses de la structureécoulements et de certains seuils de stabilités sont enaccord avec la littérature. Un diagramme de bifurcatioété établi qui fait apparaître de nouvelles bifurcationsrompent la symétrie de l’écoulement de base. Dans le cde l’approximation bidimensionnelle des écoulements, ildonc indispensable de chercher les solutions sur l’ensede l’espace annulaire et non sur une moitié ce qui, de

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rend incorrectes les solutions en imposant implicitemensymétrie pour toutes les solutions.

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