SOLUZIONI - host.uniroma3.ithost.uniroma3.it/docenti/defelice/didattica/Strutture Civili/TdC... · Tecnica delle costruzioni ... 1.50 Q 5 KN COSTRUZIONI IN ACCIAIO: TIPOLOGIE STRUTTURALI

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI ROMA TRE Dipartimento di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile Anno Accademico 2014/2015

Corso di Tecnica delle costruzioni Prof. Gianmarco de Felice

ESERCITAZIONE N°3

0.80

N7

N2

N620 KN P

1.50

Q5 KN

COSTRUZIONI IN ACCIAIO: TIPOLOGIE STRUTTURALI

SOLUZIONI

Esercizio 1 Con riferimento alla trave reticolare rappresentata in figura, determinare gli sforzi nelle aste

Dati geometrici

h =0.80m

L=1.50m

Azioni esterne (valori di calcolo)

P=10 kN

Determinazione degli sforzi nelle aste

Utilizzando il metodo delle sezioni di Ritter:

Equilibrio alla rotazione intorno a P:

P/2 P/2P P P

1 2

6

3

7

4

9

8

5

nodo AL L L L

h

28.0725rad 49.01.500.80arctg

0N6:Qa intorno rotazionealla Equilibrio

kN 875.314706.015

sen15N2

15N2sen: verticaleazionealla trasl Equilibrio

kN 125.280.801.50-15N7

01.5015-0.80-N7



ESERCITAZIONE N°3

0.80

1.50

10 KN

N8 P

N4

Q N9

20 KN

1.50

5 KN

10 KNN9

N5

N9

Equilibrio alla rotazione intorno a P:

-N90.80-153.0+101.50=0

Equilibrio alla traslazione verticale:

N4 sen α = 5

N4= 5/0.4706= 10.62 kN

Equilibrio alla rotazione intorno a Q:

N80.80-151.50=0

Per quanto riguarda l’asta di parete 1,3 e 5 si utilizza il metodo dei nodi:

Equilibrio alla traslazione verticale:

N5+10= 0

N5= -10 kN

kNN

PsenNNsenNPN

2012/)28(.21

0)28(.22/1

kNNPsenNN

senNPN

153)28(.43

0)28(.43

kN 125.280.801.5015N8

kN 5.370.80

1.510-3.015-N9



ESERCITAZIONE N°3

Esercizio 2 Con riferimento alla capriata metallica in figura sollecitata da forze di progetto Fd = 50 kN applicate in corrispondenza

dei nodi dei correnti superiori, si determini la massima sollecitazione nei seguenti elementi:

(a) corrente superiore compresso, (b) corrente inferiore teso, (c) aste di parete verticali, (d) aste di parete inclinate

Si procede al calcolo degli sforzi nelle aste con il metodo delle sezioni di

Ritter:

[trazione]kN 1.303Neorizzontal azionealla trasl equilibrio 0cosNN

one][compressikN 35030sin

25200N

verticaleazionealla trasl equilibrio 025RsinN

kN 2002

252507R

12

112

1

1

25 KN

50 KN

50 KN

50 KN

50 KN

200 200 200 200R R

A

1

2

1230°

200 200200200

25 KN

50 KN

50 KN

50 KN

3

4

5 6

7 8

9 10

11

13 14 15



ESERCITAZIONE N°3

[trazione] kN 1.303Neorizzontal e tralazionalla equilibrio 030cos30N

one][compressi kN 50N 030sin30sin25-R50

verticalee tralazionalla equilibrioone][compressi kN 300N

022504257 6, 13, aste le convergono cuiin nodo al intorno rotazione alla equilibrio

13

1362

6

62

2

2

NNco

NN

NR

Per quanto riguarda la determinazione dello sforzo nell’asta 5 si utilizza il metodo dei nodi:

0N0N30sinN30sinN30sinN50

5

5621

Riprendendo il metodo delle sezioni di Ritter:

[trazione]kN 260Neorizzontal azionealla trasl equilibrio 0N41sinN30coN

one][compressikN 25.66N

verticaleazionealla trasl equilibrio 03.2

2tancosN30sinN505025-R

9 8, 14, aste le convergono cui in nodo nel rotazionealla equilibrio 03N650625R

14

1483

8

183

3

Per quanto riguarda la determinazione dello sforzo nell’asta 7 si utilizza il metodo dei nodi:

N3



ESERCITAZIONE N°3

[trazione]kN 25N0N41cosN30sinN30sinN50

7

7832

Riprendendo il metodo delle sezioni di Ritter:

[trazione]kN 5.216Neorizzontal azionealla trasl equilibrio 0N30sinN30cosN

one][compressikN 6.86N verticaleazionealla trasl equilibrio 030cosN30sinN35025-R

one][compressikN 200N11 10, aste15, le convergono cui in nodo nel azionealla trasl equilibrio 030sin8N24650825R

15

15104

10

104

4

4

Per quanto riguarda la determinazione dello sforzo nell’asta 9 si utilizza il metodo dei

nodi:

[trazione]kN 50N030sinN30sinN30cosNN--50

9

34109



ESERCITAZIONE N°3

Ed, infine, per quanto riguarda la determinazione dello sforzo nell’asta 11 si utilizza il metodo dei nodi:

[trazione]kN 150N

0N30sinN250

11

114

Esercizio 3 Un telaio in acciaio, soggetto a soli carichi verticali, ha campate di luce l=6.00 m. I valori caratteristici dei carichi

permanenti e variabili che agiscono su ciascuna campata sono rispettivamente gk =20 kN m-1 e qk =30 kN m-1. Il telaio è

realizzato saldando in officina a ciascuna colonna tratti di trave lunghi 80 cm e collegando poi in cantiere la parte

restante di ciascuna trave (4.40 m) mediante bullonatura in grado di trasmettere solo taglio. Indica lo schema di calcolo

e determina le caratteristiche di sollecitazione nella trave.

Carichi agenti gk = 20 kN/m qk = 30 kN/m La combinazione di carico, nel caso sfavorevole è la seguente: Qd

TOT = gk γg+ qk γq = 20x1.3 + 30x1.5 = 71 kN/m

Geometria Nella seguente figura è riportata la geometria della struttura individuata nel testo:



ESERCITAZIONE N°3

In particolare la struttura è costituita da pilastri a cui è saldata in officina una trave di lunghezza pari a 0.8 m, una volta

in cantiere, questi elementi vengono collegati inbullonando una trave di lunghezza pari a 4.4 m agli estremi delle due

mensole saldate.

NB: le dimensioni degli elementi strutturali e delle unioni è del tutto indicativa.

Schema statico Lo schema di calcolo dal adottarsi in questo caso è il seguente:

In particolare questo schema viene adottato sotto tre ipotesi:

Pilastri molto più rigidi alla flessione nel piano del foglio rispetto alla trave;

Si ipotizza che la saldatura ripristini la continuità tra gli elementi;

Il collegamento bullonato nella trave si ipotizza che interessi solo l’anima e quindi sono permesse rotazioni

relative tra i tre elementi (testo) e quindi non è presente una trasmissione del momento flettente ma piuttosto

solo del taglio.

Dalle prime due ipotesi né si deduce che la trave può essere studiata separatamente ai pilastri vincolando gli estremi con

degli incastri in modo tale da tener conto della continuità, mentre dalla terza ipotesi si ha che il collegamento bullonato

è modellato come una cerniera.

Soluzione schema statico

La struttura può essere risolta scomponendola, in particolare è possibile considerare il tratto centrale BC come una trave

appoggiata-appoggiata:

Evidentemente la reazione agli “appoggi” è pari a:



ESERCITAZIONE N°3

Per cui si hanno i seguenti diagrammi del taglio e del momento flettente:

Le due mensole restanti sono simmetriche quindi saranno sollecitate nello stesso modo, in particolare, oltre al carico

distribuito su di esse agiranno anche le reazioni verticali calcolate per il tratto BC, ovvero:

Imponendo l’equilibrio alla traslazione verticale e dei momenti si determinano le reazioni all’incastro:

156.2 kN

-156.2 kN

171.82 kNm



ESERCITAZIONE N°3

Per cui le due mensole risultano sollecitate nel seguente modo:

Mettendo insieme i due risultati si ha che la sollecitazione nella trave è la seguente:

213 kN 156.2 kN

-147.7 kNm

213 kN 156.2 kN

-156.2 kN -213 kN

-147.7 kNm

171.82 kNm



ESERCITAZIONE N°3

Esercizio 4 Una passerella pedonale di larghezza a=3.60 m e lunghezza totale L=48 m è realizzata mediante un solaio con unica

campata di luce a che scarica su travi in acciaio di lunghezza L/8 collegate tra loro mediante perni che realizzano delle

cerniere perfette. Ciascuna delle due file di travi è sostenuta da un pilastro centrale e da cavi in acciaio (barre di sezione

circolare) come mostrato in figura. I valori caratteristici dei carichi permanenti e variabili sul solaio sono

rispettivamente gk=4.2 kN m-2 e qk=5.0 kN m-2. Trascurando il peso proprio degli elementi strutturali, determina le

caratteristiche della sollecitazione per verifiche allo stato limite ultimo facendo riferimento a due sole combinazioni di

carico: una col carico variabile agente su tutte le campate della trave; l’altra col carico variabile agente solo nelle

campate poste a destra del pilastro. In particolare:

a) calcola il massimo sforzo normale agente nei cavi in acciaio;

b) disegna il diagramma del momento flettente nelle travi e determinane il valore massimo;

c) disegna il diagramma del momento flettente nel pilastro e indica il valore massimo del momento flettente e

dello sforzo normale, separatamente per le due condizioni di carico.

a

pilastro in cemento armato

travi in acciaio

PIANTA (dimensione pilastri e

travi non in scala)

cavi in acciaio

pilastro in cemento armato

travi in acciaio 4.00

1.00 1.00

8.00

l = L/8 l = L/8VISTA LATERALE

(solo linea d’asse)



ESERCITAZIONE N°3

8.03sin 13.53683

6.02sin 87.361292

4856.01sin 05.2918101

arctg

arctg

arctg

Prima condizione di carico: carico variabile agente su tutta la pensilina

Su ogni trave grava il carico agente su metà pensilina. Quindi l’area d’influenza sarà:

Il valore del carico agente sulle campate della trave per la prima combinazione di carico è:

P d

A B C D E

1 2 3

mkNQGP

mkNQaqQ

mkNGagG

ddd

dqkd

dgkd

245.135.10

variabilecarico 5.138.15.152

permanente carico 5.108.13.12.42

48

3.6



ESERCITAZIONE N°3

M f l= 1 0 8 k N m

N1 Y B

X BC α 1

l

Le equazioni di equilibrio nel tratto AB impongono che la reazione verticale in

A sia pari a:

Per calcolare il valore dello sforzo normale di trazione nei cavi si può considerare che ogni cerniera di sospensione

dell’impalcato deve fornire una reazione verticale pari a:

da cui, detti αi gli angoli di inclinazione del cavo sull’orizzontale si ha:

L’inclinazione del cavo comporta anche l’insorgere di una componente di sforzo normale nell’impalcato che vale: Il massimo sforzo normale di trazione agisce sul cavo 1 ed è pari a: N1=297kN Nelle campate della trave il momento flettente ha andamento parabolico come in figura ed è massimo in mezzeria,

dove è pari a:

kNmplM 1088

2

max

kNlPYYY dDCB 144

2.5593tan

;2.4512tan

;2.2591018144

1tan

D

CDDEC

BCCDB

BCY

XXY

XXY

X

kNlPdYA 722

1808.0

1443 2406.0

1442 2974856.01441 NNN

isenlP

Ni d



ESERCITAZIONE N°3

Lo sforzo normale di compressione nel pilastro ha questo andamento:

Seconda condizione di carico: carico variabile agente solo sulle campate a destra del pilastro

Si considera ora una condizione di carico asimmetrica in cui i carichi variabili agiscono solo su una campata (quella di

destra) mentre l’altra (quella di sinistra)è soggetta solo ai carichi permanenti:

campata dx: Pd1=Gd+Qd=24kN/m;

campata sx: Pd2=Gd=10.5 kN/m.

Si calcolano le sollecitazioni della campata sinistra per la quale valgono le stesse considerazioni fatte nella condizione

di carico precedente salvo ridurre il carico di progetto. Si ha:

La reazione verticale in F vale:

kNXkNXkNYX

kNNkNNkNlPN

kNlPYYYkNlPY

DECDB

BC

d

dDCBdA

247 ,3.199 ,5.114tan

.5.793 ,1062 ,131sin

1

6.63 ;8.312

1

1

2

2

2 8 8 kN 5 7 6 k

N 8 6 4 kN

1 0 0 8 kN

s fo rz i a g e n t i s u l p i la s t ro X 1 = 2 5 9 .2

X D E = 5 5 9 .2

Y F = 1 0 0 8

X 2 = 1 9 2 X 3 = 1 0 8

g ra f ic o d e l lo s fo rz o a g e n te s u l p i l a s tro

Y i= 1 4 4 i= 1 ,2 ,3

Y D E = 7 2

kNYlPY AdF 10082)2

(



ESERCITAZIONE N°3

Il momento flettente che agisce su pilastro è dato dall’azione delle forze che provengono dai cavi e dalla trave:

normale

726.6kN

415.2kN207.6kN

622.8kN

taglio

312.2kN

251.9kN144.7kN

momento

396.6kNm

144.7kNm

2894.2kNm



ESERCITAZIONE N°3

Esercizio 6 Individuare le aste tese e le aste compresse nelle seguenti strutture reticolari (lo studente è libero di ipotizzare le dimensioni della capriata rispettando gli schemi in figura, considerando un carico costituito da forze verticali uniformi dirette verso il basso applicate ai nodi del corrente superiore):

Le aste di colore blu sono compresse, mentre quelle di colore rosso sono tese

a) c)

d) b)

e)

Esercizio 7 Date le tre strutture reticolari in figura confrontarne il comportamento meccanico determinando, per ciascuna, se gli sforzi di compressione e di trazione nei correnti superiori ed inferiori sono crescenti, decrescenti o se si mantengono all’incirca costanti, procedendo dagli appoggi verso il centro.

Crescente verso il centro Costanti Decrescente verso il centro

a) b) c)

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