Sorgenti magneticheSebbene non esistano né cariche né correnti magnetiche, possiamo introdurre tali quantità come un espediente per “simmetrizzare” le equazioni di Maxwell; concentriamoci su quelle nel dominio dei fasori

Teorema di dualitàSi considerino le equazioni di Maxwell in presenza di sole sorgenti elettriche

Effettuando le trasformazioni

Si ottengono le equazioni di Maxwell in presenza di sole sorgenti magnetiche

0

H

E

EH

HE

j

j

m

m

JJ

EHHE

,

','

m

mj

j

'

0'

''

''

H

E

JHE

EHNota una soluzione associata a campi di tipo elettrico, si ottiene attraverso le trasformazioni, il campo relativo alle sorgenti magnetiche (se le condizioni al contorno sono soddisfatte)

Condizioni al contornoPossiamo immaginare che, se alla superficie di un conduttore elettrico

Dopo le trasformazioni

0En

0'Hn

un conduttore “magnetico” perfetto

Il dipolo magneticoTorniamo per un attimo al dipolo elettrico; applichiamo l’equazione di continuità della carica in forma integrale

Moltiplicando per h (lunghezza del dipolo)

qjI

qhjIh pj Essendo p, da definizione, il momento di dipolo incontrato

in elettrostatica; quindi i campi del dipolo possono essere riscritti in funzione di p effettuando la sostituzione

h

pjI

Il dipolo magnetico

quindi si ottiene

2

22cos

4 rjrr

epjE

jkr

r

rrjj

r

esinpj

Ejkr

2

1

4

rjk

r

esinpjB

Hjkr 1

4

Il dipolo magnetico

Ora però nella magnetostatica, calcolandosi il campo magnetico di una spira circolare, esso veniva duale al campo elettrico di dipolo elettrico, quando si fosse definito il momento di dipolo magnetico (A è l’area) IApm

Sfruttiamo quindi il teorema di dualità per ricavare immediatamente il capo irradiato da una spira “piccola”, dipolo magnetico elementare

Note relative alle notazioni da me usate in Fondamenti: in quel caso si era confrontato B con E, invece che H con E, da cui la necessità ora di includere la permeabilità magnetica ; Inoltre si era indicato anche con il momento di dipolo magnetico per coerenza con il libro di testo.

Il dipolo magnetico

2

22cos

4 rjrr

epjE

jkr

r

rrjj

r

esinpj

Ejkr

2

1

4

rjk

r

esinpj

Hjkr 1

4

mm

m

pp

,

,

','

JJ

EHHE

2

22cos

4 rjrr

epjH

jkrm

r

rrjj

r

esin

pjH

jkrm

11

4 2

rjk

r

esin

pjE

jkrm 1

4

Teorema di equivalenzaConseguenza del teorema di unicità: assegnato il campo elettrico tangenziale o il campo magnetico tangenziale sul contorno, il campo è univocamente determinato dappertutto

possiamo quindi rimpiazzare la situazione

JmJ

V S

H,EH,E

SS H,E

sJmsJ

V S

11 H,E11 H,E

dove Es ed Hs sono i valori di E ed H tangenti alla superficie, condove il nuovo campo coincide con quello precedente fuori del volume V, ed è zero dentro; con

Ss HnJ ˆ

Sms EnJ ˆ

queste correnti “fittizie” tengono conto della discontinuità dei campi tangenziali sulla superficie

Teorema di equivalenzaNotate che la condizione di Sommerfield all’infinito è soddisfatta, perché era soddisfatta dai campi originari

E’ possibile anche usare solo correnti elettriche o magnetiche (del resto basta fissare E o H tangenti!); per esempio se metallizziamo (conduttore elettrico), solo il campo elettrico tangenziale può essere fissato con una corrente magnetica (pari al “salto” tra il campo E che ci dovrebbe essere fuori e zero che c’è dentro un conduttore ideale)

msJ

V S

11 H,EConduttore elettrico

ideale

Principio delle immaginiUn’altra conseguenza del teorema di unicità

Impiego: In molti casi si vuol derivare il campo irradiato da un’antenna in presenza di oggetti metallici dalla conoscenza del campo irradiato nello spazio libero

Soluzione: Sovrapporre alla sorgente originaria un’ulteriore sorgente fittizia (sorgente immagine) tale che il campo elettrico tangente si annulli sul conduttore ideale

JJ

J JJ

J

JJ

J

Per sorgenti “magnetiche”, evidentemente

mJmJ

mJ mJmJ

mJ

mJmJ

mJ

Ancora potenziali...Cosa succede ai potenziali nel dominio “duale”?

nel dominio duale è il campo ELETTRICO ad avere divergenza nulla, visto l’introduzione della “carica magnetica”

m

mj

j

'

0'

''

''

H

E

JHE

EH

quindi scriveremo

FD

e di conseguenza

fj FH essendo f un potenziale scalare, F un potenziale vettoriale

Ancora potenziali...Per i potenziali magnetici varranno quindi le espressioni “duali” di quelle dei potenziali elettrici

0 FF j

''

)'(4

)('

'

dVrr

err

V

rrjk

m

JF

''4

1)(

'

'

dVrr

erf

V

rrjk

m

Ancora potenziali...In presenza di sorgenti sia elettriche che magnetiche, varrà la sovrapposizione degli effetti, ed entrambi i potenziali saranno necessari; basta sommare….

FAA

FAE

11j

jj

AFF

AFH

11j

jfj

Funzioni dell’antenna Fisicamente: trasformare elettroni in fotoni, ovvero

sorgenti in campi

Punto di vista alternativo: “adattare” una linea di trasmissione allo spazio libero

Accelerazione di cariche dovuta ad un campo esterno Decelerazione di cariche causata da una discontinuità di impedenza, come una improvvisa interruzione, una curvatura ecc Variazione temporale della corrente

Tipi di antenna: filiformi

Tipi di antenna: ad apertura

Tipi di antenna: Planari (o “stampate”)

Tipi di antenna: Schiere

Tipi di antenna: a riflettore

E…senza strafare, la parabola di casa

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Descrive la distribuzione angolare di campo o di potenza su una sfera in campo lontano

E’ quantità normalizzata al valore max di campo

Conseguentemente non dipende da r: grafici in coordinate (angolari) sferiche

),(

),(),(

00

E

Ef

ˆ),(ˆ),( ff

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione

Il diagramma di radiazione viene rappresentato in diversi modi; uno è quello dei solidi di radiazione

),( fr ),( fr

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Spesso si usano solo delle sezioni del solido, e graficate in

coordinate polari o rettangolari: es piano =0

polare

rettangolare

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Oppure i diversi piani riportati in coordinate rettangolari (es.

schiera)

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Esempio: il dipolo Hertziano; in campo lontano il campo

elettrico era

r

ehIjE

jkr

sin40

Il max è per /2 per cui calcolando il rapporto

ˆ),(

),(),(

max00

sinE

Ef

Il solito di rotazione per il campo è

sinfr ),(

In potenza è semplicemente il quadrato

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Per i diagrammi bidimensionali si scelgono spesso i piani che

contengono il campo elettrico (piano E) o il campo magnetico (piano H)

Es. per il dipolo

Diagramma piano H

Diagramma piano E

Parametri caratteristici: Densità di potenza irradiata Si definisce sul solo campo lontano (essendo solo questo a

contribuire alla potenza irradiata) per cui il vettore di Poynting (che fornisce la densità puntualmente) diventa semplicemente

,,,,Re2

1 * rHrEP 22

/),,(

2

1mW

rE

Volendo calcolare la potenza totale irradiata, basta integrare su di una superficie chiusa

WSdPWS

r

Parametri caratteristici: Intensità di radiazione Potenza irradiata dall’antenna per unità di angolo solido in una

certa direzione.

Se quindi calcoliamo la potenza che attraversa un elemento di calotta sferica dS

WdrrPdSrPdWr 2,,,,),(

),,(),(

),( 2 rPrd

dWr

L’intensità di radiazione sarà

Parametri caratteristici: Intensità di radiazione Se teniamo conto delle proprietà del campo lontano:

L’intensità di radiazione media si ottiene integrando su tutto l’angolo solido e dividendo per esso

2

2

2

2222

),(),(

2,,(

2

1),(

r

E

r

ErrEr

22

),(),(2

1

EE

4r

AVW

Parametri caratteristici: Direttività Rapporto tra l’intensità di radiazione in una direzione e

l’intensità media

quindi

AV

Dg

,

,

2

2

2

2 ,

4

14,4,,,

rr

WrW

r

Wg

rrrAVD

Densità di potenza isotropa Densità di

potenza in una direzione

isD P

rPg

),,(,

Spesso con “direttività” si

indica il valore nella direzione di massimo

Parametri caratteristici: Guadagno Parametro di sistema fondamentale: riassume sia quanto

efficientemente l’antenna irradia la potenza, che le caratteristiche direttive

È il rapporto tra l’intensità di radiazione in una certa direzione è l’intensità media che si avrebbe se tutta la potenza fornita fosse irradiata

Ovvero, confrontando con la direttività

inW

G 4,

in

rD W

WgG ,

Essendo Wr la potenza irradiata e Win quella fornita

In assenza di perdite guadagno e direttività coincidono

Parametri caratteristici: Larghezza di banda

Intervallo di frequenze in cui uno o più parametri caratteristici rispettano limiti prefissati

Questi possono essere impedenza di ingresso, diagramma di radiazione, larghezza del lobo principale ecc.

circpolar.gif

Parametri caratteristici: Polarizzazione Polarizzazione dell’antenna coincide con la polarizzazione del

campo irradiato

Il dipolo è per esempio a polarizzazione lineare

Una patch quadrata alimentata su uno spigolo è un tipico esempio di antenna a polarizzazione circolare

Parametri caratteristici: Efficienza di radiazione Descrive quanto della potenza fornita si riesce ad irradiare,

ovvero:

in

rr W

We

Ricordando la relazione tra guadagno e direttività, essa può essere riscritta

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