Souhrnná cvičení - poměr · 2. Petr má rozdělit provázek dlouhý 2,4m na dvě části v poměru 3:5. Jak to provede? Řešení : Petr rozstřihne provázek tak, že první

- 1 -

6. Poměr

Zavedení poměru

Petr s Tomášem diskutují nad sportovní zprávou v denním tisku:,,Radost vyzařovala

z hokejistů i celého týmu Komety Brno po výhře 7 : 1 nad týmem Litvínova při včerejším

zápase 42. kola hokejové Extraligy. Útočnou smrští, při které vstřelili 7 branek, brněnští

hokejisté zlomili odpor soupeře, kterému se podařilo do brněnské branky vsítit jedinou

branku.“Petr řekl: ,,Věřil jsem, že Brno vyhraje, ale netušil jsem, že dá o 6 branek víc než

Litvínov.“Tomáš řekl: ,,Dát sedmkrát víc branek než soupeř, to je už něco.“

Oba chlapci posuzovali utkání, při kterém brněnští hokejisté dali 7 branek a litvínovští dali 1

branku. Který z chlapců měl pravdu? Petr, který tvrdil, že Brno dalo o 6 branek víc nebo

Tomáš, který prohlásil, že Brno dalo 7krát víc branek než soupeř?

Oba měli pravdu. To jen Petr porovnával číselné údaje rozdílem tj. odečetl je od sebe a Tomáš

je porovnával podílem tj. dělil jeden číselný údaj druhým. Pokud si všimnete zprávy

v tisku, je tam další způsob porovnání 7 : 1. Říkáme mu porovnání poměrem. Při

sportovních utkáních bývá dokonce běžnější.

Poměr 7 : 1 čteme: ,,Sedm ku jedné.“

1. člen poměru 2. druhý člen poměru

Výměnou prvního členu s druhým získáme převrácený poměr 1 : 7 .

Další příklady porovnání :

- V poledne byla teplota o 5 °C vyšší než ráno.

- Maminka je o 3 roky mladší než tatínek.

- Tomáš je o 6 cm vyšší než Petr.

- Pan Ondra jel autem čtyřikrát rychleji než Petr na kole.

Př.

Jeden oblek stál 2 400 Kč, druhý 3 200 Kč.

Porovnej ceny druhého a prvního obleku

a) rozdílem

b) podílem

c) poměrem.

Řešení:

7 : 1

- 2 -

a) 3200 2400 800 Kč

Druhý oblek je o 800 Kč dražší než první

b) 3200: 2400 1,3&

Druhý oblek je asi 1,3 krát dražší než první.

c) 3200 32 44 :3

2400 24 3

Říkáme, že ceny druhého a prvního obleku jsou v poměru čtyři ku třem.

Z příkladu c) je zřejmé, že poměr můžeme :

rozšířit libovolným číslem různým od nuly

krátit libovolným číslem různým od nuly

upravit až na základní tvar

Rozšíření a krácení poměru

1. Uprav poměr na základní tvar :

5

4:

3

2)d

4

16:

2

17)c

2,4:6,3)b

240:320)a

Řešení :

a) 320 : 240 / :10

32 : 24 / :8

4 :3

b) 3,6 : 4,2 / 10

36 : 42 / : 6

6 : 7

c) 1 17 : 6

2 2

15 13: / 2

2 2

15 :13

- 3 -

d) 2 4: / 15

3 5

10 :12

5 : 6

Rozdělení celku v daném poměru

2. Petr má rozdělit provázek dlouhý 2,4m na dvě části v poměru 3:5. Jak to provede?

Řešení :

Petr rozstřihne provázek tak, že první kus bude mít 3 stejné díly a druhý kus 5 stejných dílů

(obr. 2), tedy dohromady 8 stejných dílů.

Celý provázek má délku ..................................................... .2,4 m...t.j.8 dílů

1 díl měří ............................................................................ 2,4 : 8 = 0,3 m

První kus, který tvoří 3 díly, je dlouhý ............................... 3 0,3 = 0 ,9 m

Druhý kus, který tvoří 5 dílů, je dlouhý ............................. 5 0,3 =1,5 m

Zkouška:

0,9 1,5 2,4

0,9 :1,5 9 :15 3:5

Provázek Petr rozdělí na dva kusy o délkách 0,9m a 1,5m

2,4m

3 díly 5 dílů

- 4 -

Změna v daném poměru

3. Do bábovky pro 3 děti zamíchala maminka 3 vejce, 120g másla, 150g cukru, 270g hrubé

mouky, 210 ml mléka. Kolik surovin potřebovala pro 5 dětí.

Řešení:

3 děti jsou celek 3

3 , pět dětí jsou

5

3 z celku, proto také suroviny budou

5

3 z původního

množství.

53 5 vajec

3

5120 200 g másla

3

5150 250 g cukru

3

5270 450 g mouky

3

5210 350 ml mléka

3

Pro 5 dětí potřebuje maminka 5 vajec, 200g másla, 250g cukru, 450g mouky a 350ml

mléka.

4. Změňte číslo 72

a) v poměru 3 : 2

b) v poměru 2 : 3

c) a výsledky porovnejte s daným číslem

Řešení:

a) 3 3

72 36 1082 1

b) 2 2

72 26 523 1

c) V prvním případě byl poměr zapsán zlomkem větším než jedna

31....108 72

2 .

Dané číslo bylo zvětšeno.

Ve druhém případě byl poměr zapsán zlomkem menším než jedna2

1....52 723 .

Dané číslo bylo zmenšeno

- 5 -

Procvičujeme

1. Porovnejte rozměry obdélníku a = 54 cm, b = 18cm

a) rozdílem

b) podílem

c) poměrem

Řešení:

a) 54 18 36 cm

Strana a je o 36 cm delší než b.

b) 54 : 18 3

Strana a je krát větší než b.

b) 54 : 18 3:1

Strana a, b jsou v poměru 3 : 1.

2. Dané poměry vyjádřete co nejmenšími přirozenými čísly.

5

2:

2

1)i

3

25:5,8)f

2

12:4)c

08,0:048,0)h4,0:3

2)e35:60)b

5,122:350)g2

15:

2

14)d36:18)a

Řešení:

a) 2:12

1

36

1836:18

b) 7:127

12

35

6035:60

c) 5:85

825:40

2

12:4

d) 11:911

9

55

4555:455,5:5,4

2

15:

2

14

e) 3:53

5

12

20

43

102

10

43

2

10

4:

3

24,0:

3

2

- 6 -

f) 2:3172

317

1710

385

3

1710

85

3

17:

10

85

3

25:5,8

g) 7:207

20

49

140

245

700

1225

35001225:35005,122:350

i) 4:54

5

40

50

10

410

5

10

4:

10

5

5

2:

2

1

3. Udělejte pět libovolných dvojic čísel, aby byly v poměru 7 : 3

Řešení:

a) 7 :3 / 2

14 : 6

b) 7 :3 / 3

21:9

c) 7 :3 / 4

28 :12

d) 7 :3 / 5

35 :15

e) 7 :3 / 10

70 :30

Hledané dvojce jsou např. 14 : 6 , 21 : 9 , 28 : 12 , 35 : 15 , 70 : 30

4. Rozměry obrázku jsou v poměru 2 : 3(š:d). Jaká je délka obrázku, jehož šířka je 36cm?

Řešení:

3 3 108z36 36 54

2 2 2

Obrázek má délku 54cm.

- 7 -

5. Rychlost automobilu a motorového kola byly v poměru 5 : 3. Jezdec na motorovém kole

ujel 22 km. Kolik kilometrů ujel v téže době automobil?

Řešení:

5 5 110 2z22 22 36

3 3 3 3

Automobil ujel 2

36 km3

.

6. Vyjádřete v nejjednodušším tvaru poměr první hodnoty ke druhé.

a)

2 2

5 kg , 15 kg

750 mm , 1000 mm

16 cm , 36 cm

1000 g , 200 g

b) 500 m , 1 km

1 kg , 5 g

8 cm , 50 mm

50 min , 1,5 h

Řešení:

a)

2 2

5 kg : 15 kg 3:5

750 mm : 1000 mm 75:100 3: 4

16 cm : 36 cm 4 :9

1000 g : 200 g 5 :1

b) 500 m : 1 km 500 m :1000 m 1: 2

1 kg : 5 g 1000 g :5 g 200 :1

8 cm : 50 mm 80 mm :50 mm 8:5

50 min : 1,5 h 50 min :90 min 5 :9

7. Rozměry fotografie jsou 6cm a 9cm, mají se zvětšit v poměru 8 : 3. Jaké budou rozměry

zvětšeniny?

Řešení:

Nové rozměry dostaneme tak, že dané rozměry vynásobíme zlomkem 8

3.

šířka: 163

48

3

86

délka: 243

72

3

89

Rozměry zvětšeniny fotografie budou 16cm a 24cm.

- 8 -

8. Z 1,5kg syrového masa dostaneme 1,2kg vařeného. Jaký je poměr hmotnosti vařeného

masa k hmotnosti syrového masa?

Řešení:

5:415:125,1:2,1

Poměr hmotnosti masa vařeného k hmotnosti syrového masa je 4 : 5.

9. Trám ze syrového dřeva má hmotnost 96kg. Počítá se, že vyschnutím se jeho hmotnost

zmenší v poměru 5 : 6. Jaká bude hmotnost trámu po vyschnutí?

Řešení:

kg805166

596

Trám po vyschnutí bude mít hmotnost 80kg.

10. Zvětšete v poměru 3 : 2 čísla : 20; 44; 0,62; 5; 135

Řešení

93,0331,0

2

362,0

5,2022

405

2

313566

2

344

5,72

15

2

3530

2

320

11. Zmenšete v poměru 5 : 8 čísla: 24; 120; 12,8; 14,4; 2600;

Řešení:

88

64

8

58,12

16258

13000

8

5260075515

8

5120

98

72

8

54,141553

8

524

- 9 -

12. Ve třídě je 28 žáků, z toho 12 chlapců určete:

a) jaký je poměr počtu chlapců k počtu žáků celé třídy?

b) jaký je poměr počtu dívek k počtu žáků celé třídy?

c) jaký je poměr počtu chlapců k počtu dívek?

d) jaký je poměr počtu dívek k počtu chlapců?

Řešení:

3:412:16d)

4:316:12c)

7:428:16b)

7:328:12)a

13. Číslo 1,26 zmenšete v poměru

a) 1 : 2

b) 4 : 9

c) 4 : 5

Řešení:

008,14252,05

426,1)c

56,0414,09

426,1)b

63,02

126,1)a

14. Číslo 38,4 zvětšete v poměru:

a) 2 : 1

b) 5 : 2

c) 7 : 6

Řešení:

8,4474,66

74,38)c

9652,192

54,38b)

8,761

24,38)a

- 10 -

15. Rozdělte číslo 48 na dva díly v poměru:

a) 1 : 2

b) 5 : 1

c) 3 : 5

d) 3 : 1

e) 7 : 5

Řešení:

a) 1: 2 ... 3 díly ... 48

1 díl ... 48 :3 16

2 díly ... 16 2 32

První díl je 16, druhý 32

b) 5 :1 ... 6 dílů ... 48

1 díl ... 48 : 6 5

5 dílů ... 8 5 40

První díl je 40, druhý 8.

c) 3:5 ... 8 dílů ... 48

1 díl ... 48 :8 6

3 díly ... 6 3 18

5 dílů ... 6 5 30


d) 3:1 ... 4 díly ... 48

1 díl ... 48 : 4 12

3 díly ... 12 3 36


e) 7 :5 ... 12 dílů ... 48

1 díl ... 48 :12 4

7 dílů ... 4 7 28

5 dílů ... 4 5 20


- 11 -

16. Při výprodeji snížil obchodník cenu svého zboží v poměru 4 : 5. Kolik korun stálo

původně zboží, které nyní obchodník prodává za 2400Kč?

Řešení:

30004

52400

Zboží stálo původně 3000Kč.

17. Petrovy a Tomášovy úspory jsou v poměru 4 : 7. Tomáš našetřil 2 100 Kč. Kolik našetřil

Petr?

Řešení:

1200300421007

4

Petr našetřil 1200Kč.

18. Délka obdélníkové zahrady měří 240m. Vypočítejte délku plotu, je-li poměr délky a šířky

4 : 3.

Řešení:

d = 240 m

š = ? m

d : š = 4 : 3

o = ?

3240 60 3 180 m

4

o=2

2 240 180

2 420

840 m

š

d š

o

o

o

Plot má délku 840m.

19. Je dána úsečka |AB| = 9cm. Narýsujte úsečku CD, pro kterou platí: |CD| : |AB| = 2 : 3

Řešení:

cm63293

2CD

Úsečka |CD| = 6cm.

- 12 -

20. Které poměry jsou k sobě převrácené? 6 : 8 , 3 : 1 , 15 : 6 , 4 : 12 , 16 : 12 , 2 : 5

Řešení:

6 : 15 12 : 4 12 : 16

2 : 5 5 : 23 : 1 1 : 36 : 8 8 : 6

Převrácené poměry: (6 : 8 , 16 : 12); (3 : 1 , 4 : 12); (2 : 5 , 15 : 6).

Rovnost poměrů

1. Najdi celé číslo x, pro které platí rovnost poměru: 25:100:44 x

Řešení:

Zapíšeme jako rovnici a odstraníme ekvivalentními úpravami zlomky – bez krácení:

11

100:/1002544

25100/25100

44

25:100:44

x

x

x

x

součin vnějších členů poměru se rovná součinu vnitřních

členů

Zapíšeme jako rovnici a zlomek odstraníme pomocí nejmenšího společného jmenovatele

a ekvivalentních úprav rovnic:

11

4:/444

100/25100

44

25:100:44

x

x

x

x

Logická úvaha:

25:100:44 x

Číslo 100 jsme krátili 4, dostaneme číslo 25, pak budeme-li krátit číslo 44 také číslem 4,

dostaneme x = 11.

2. Najdi takové x, pro které platí rovnost poměrů:

) 800 :1000 4 :

) 20 : 360 :18

) 15 : 6 : 2

) 25 :125 5 :

a x

b x

c x

d x

- 13 -

Řešení:

a) 800 :1000 4 :

800 1000 4

4000 :800

5

x

x

x

x

b) 20 : 360 :18

20 18 360

360 : 360

1

x

x

x

x

c) 15 : 6 : 2

6 15 2

30 : 6

5

x

x

x

x

d) 25 :125 5 :

25 5 125

625 : 25

25

x

x

x

x


) 400 : 500 2 :

) 10 :180 : 9

) 30 : 6 : 4

) 5 : 25 1:

a x

b x

c x

d x

Řešení:

a) 400 : 500 2 :

400 500 2

1000 : 400

12

2

x

x

x

x

b) 10 :180 : 9

10 9 180

180 : 90

2

x

x

x

x

- 14 -

c) 30 : 6 : 4

6 30 4

120 : 6

20

x

x

x

x

d) 5 : 25 1:

5 1 25

25 : 5

5

x

x

x

x


) 270 : 3:10

) : 70 1:5

a x

b x

Řešení:

a) 270 : 3 :10

3 10 270

2700 : 3

900

x

x

x

x

b) : 70 1: 5

5 1 70

70 : 5

14

x

x

x

x


) 27 : 3:1

) : 7 8 : 4

a x

b x

Řešení:

a) 27 : x 3:1

3x 1 27

x 27 : 3

x 9

b) : 7 8 : 4

4 7 8

56 : 4

14

x

x

x

x

- 15 -

6. Urči chybějící čísla v tabulce tak, aby údaje odpovídaly postupnému poměru

732 :::: zyx

Řešení tabulkou:

Řešení početně:

6 : 2 3

3 3 9

3 7 21

y

z

27 : 3 9

9 2 18

9 7 63

x

z

4,2 : 7 0,6

0,6 2 1,2

0,6 3 1,8

x

y

Poměr – souhrnná cvičení I

1. Tomáš s Petrem si vsadili Sportku. Petr dal 32 Kč a Tomáš 16 Kč. Vyhráli 480 Kč. Jak si

rozdělí výhru?

Řešení:

Petr : Tom 32 : 16 2 : 1

1 díl.....480 :3 160

2 díly...2 160 320

Petr dostal 320 Kč a Tomáš 160 Kč.

x 6

y 27

z 4,2

x 6 18 1,2

y 9 27 1,8

z 21 63 4,2

- 16 -

2. Narýsujte úsečku AB dlouhou 12 cm a rozdělte ji na dvě části v poměru 3: 2.

Řešení:

1 díl......12 :5 2,4

3 díly....2,4 3 7,2

2 díly....2,4 2 4,8

Díly úsečky jsou 7,2 cm a 4,8 cm.

3. Vyjádřete poměr první hodnoty ke druhé hodnotě co nejjednodušeji.

a) 40 l; 2 hl

200 g; 1 kg

30 s; 4 min

b) 400 kg; 1 t

0,4 cm; 160 mm

5 dl; 2 l

Řešení:

a) 40 l; 2 hl 200 l

40 : 200 1:5

200 g; 1 kg 1000 g

200 :1000 1:5

30 s; 4 min 240 s

30 : 240 1:8

b) 400 kg; 1 t 1000 kg

400 :1000 4 :10 2 :5

0,4 cm 4 mm; 160 mm

4 :160 1: 40

5 dl; 2 l 20 dl

5 : 20 1: 4

4. Změňte v poměru 5:3 čísla: 24; 3,6; 9; 105; 213

- 17 -

Řešení:

3555713

5213

1755353

5105

15533

59

652,13

56,3

40583

524

5. Změňte v poměru 2 : 5 čísla: 0,15; 120; 24,5; 515; 20

Řešení:

8245

220

20621035

2515

8,929,45

25,24

482245

2120

06,0203,05

215,0

6. Upravte poměr na základní tvar:

a)18 :36; 24 :36; 30 :36

b)60 :35; 80 : 24; 90 :5

c) 20 :100; 1000 :850; 75 :100

Řešení:

a) 18 : 36 1: 2

24 : 36 2 : 3

30 : 36 5 : 6

b) 60 : 35 12 : 7

80 : 24 10 :3

90 :5 18 :1

- 18 -

c) 20 :100 1:5

1000 :850 100 :85 20 :17

75 :100 3: 4

7. Na farmě je 100 krav, a 60 vepřů. Určete co nejjednodušší poměr:

a) počtu krav ku počtu vepřů

b) počtu krav ku celkovému počtu všech zvířat

c) počet vepřů ku celkovému počtu zvířat

Řešení:

8:316:6160:60)c

8:516:10160:100)b

3:56:1060:100)a

Počet krav ku počtu vepřů je 5 : 3.

Počet krav ku celkovému počtu zvířat je 5 : 8.

Počet vepřů ku celkovému počtu zvířat je 3 : 8.

8. Jaký je poměr délky strany čtverce k délce jeho obvodu?

Řešení:

: 4 1: 4a a

Poměr délky strany čtverce k délce jeho obvodu je 1:4.

9. Které poměry jsou k sobě převrácené? 3 : 7 ; 12 : 15 ; 21 : 9 ; 6 : 8 ; 10 : 8 ; 16 : 12

Řešení:

12:16

3:47:3

6:88:621:99:21

8:10

4:59:21

12:1515:123:77:3

Převrácené poměry jsou: (3 : 7 ; 21 : 9),(12 : 15 ; 10 : 8),(6 : 8 ; 16 : 12).

- 19 -

10. Uprav postupný poměr

a) 1,5 : 3,5 :1

b) 3 : 9 :15

c) 1, 2 : 3, 4 : 4

d) 14 : 49 : 70

Řešení:

a) 1,5 :3,5 :1 15 :35 :10 3: 7 : 2

b) 3 :9 :15 1:3:5

c) 1,2 :3,4 : 4 12 :34 : 40 6 :17 : 20

d) 14 : 49 : 70 2 : 7 :10

11. 3 dl míchané limonády, udělané ze 3 cl citrónové šťávy a 6 cl pomerančové šťávy

a sifonu. Jaké množství každé složky potřebujeme na umíchání 3

4l této limonády?

Řešení:

3 dl 30 cl

3 6 21 30 cl 3 dl

3 : 6 : 21 1: 2 : 7

1 díl :

7,5 :10 0,75 dl

1 0,75 0,75 dl 7,5 cl

2 0,75 1,50 dl 15 cl

7 0,75 5,25 dl 52,5 cl

75,0 7,5 dl

3

4l limonády připravíme z 7,5 cl citrónové šťávy, 15 cl pomerančové šťávy a 52,5 cl

sifonu.

- 20 -

12. Na vymalování 15 m2 potřebujeme 1,5 kg barvy. Kolik kg barvy je třeba na vymalování

10 m2, 15 m

2, 20m

2, 30m

2?

Řešení:

2

2

2

2

2

2

15 m ..................1,5 kg

1 m ....................1,5 :15 0,1 kg

10 m ................10 0,1 1 kg

15 m .................15 0,1 1,5 kg

20 m ................20 0,1 2 kg

30 m .................30 0,1 3 kg

plocha v m (x) 1 10 15 20 30

barva v kg (y) 0,1 1 1,5 2 3

Rovnicí:

3301,0

2201,0

5,1151,01,0

1101,015:5,1

:

y

y

yk

yk

xkyxyk

- 21 -

13. Jeden kilogram banánů stojí 28 Kč. Kolik Kč stojí 3 kg banánů? Sestav tabulku pro 2 kg,

3 kg, 4kg, .....,10kg banánů.

Řešení:

2801028

252928

224828

196728

168628

140528

112428

84328

56228

y

y

y

y

y

y

y

y

y

xky

počet kg (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

cena Kč (y) 28 56 84 112 140 168 196 224 252 280

Za 3 kg banánů zaplatíme 84 Kč.

14. V dílně vyrobí za 1 hodinu 4 stoly. Kolik stolů vyrobí za 8 hodinovou směnu? Sestav

tabulku pro 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 hodin.

Řešení:

y k x

x..... počet hodin

y......počet stolů

3248

2847

2446

2045

1644

1243

842

441

y

y

y

y

y

y

y

y

počet hodin (x) 1 2 3 4 5 6 7 8

počet stolů (y) 4 8 12 16 20 24 28 32

Za 8-hodinovou směnu vyrobí v dílně 32 stolů.

- 22 -

15. Ve vagonu metra jede 45 cestujících z toho 35 sedících. Porovnejte počet sedících

a stojících:

a) poměrem

b) podílem

c) rozdílem

Řešení:

Počet stojících: 45 – 35 = 10

251035)c

5,310:35)b

2:710:35)a

Počet sedících ku stojícím je 7:2. Sedících je 3,5krát více než stojících. Sedících je o 25

více než stojících.

16. Matka koupila látku na ručníky. Kdyby rozstřihla látku na 6 dílů, byl by každý ručník

0,75 m dlouhý. Jak dlouhé bude mít ručníky jestliže látku rozstřihne na 5 dílů?

Řešení:

Nepřímá úměrnost

počet dílů ....................x

délka ručníku ..............y

celková délka látky .....k

:

6 0,75 4,5 :5

4,50 m 0,9 m 90 cm

k x y y k x

k y

k y

Matka bude mít každý ručník dlouhý 90 cm.

- 23 -

17. V kilové krabici bylo 165 kostek cukru. Kolik kostek cukru je ve 200g cukru?

Řešení:

Přímá úměrnost

počet kostek .............x

hmotnost kostek ......y

hmotnost 1 kostky ...k

:

: 1000 :165 6,06 6 g

200 : 6

33,3 33 kostek

y k x k y x

x y k k

x

x

&

&

Ve 200g cukru bude asi 33 kostek.

18. Hodiny se zpožďují za 3 hodiny o 1 minutu. Kolik budou ukazovat ve 21 hodin, jestliže je

seřídíme v 6 hodin?

Řešení:

Přímá úměrnost

počet hodin ................................x

počet minut zpoždění.................y

počet minut zpoždění za 1 h ......k

60 :3 20 s

20 15

300 s 5 min

21 h 5 min 20 h 55 min

y k x k

y

y

Hodiny budou ukazovat 20h 55min.

- 24 -

19. Obdélník má délku 10 cm a šířku 4 cm. Jak velká by byla jeho šířka, kdyby délka byla

8 cm a obsah obdélníku by se nezměnil?

Řešení:


délka ..................x

šířka ...................y

obsah .................k

2: 10 4 40 cm

40 :8

5 cm

y k x k

y

y

Šířka by byla 5 cm.

20. Horolezci by rychlostí výstupu 400 m za den zdolali vrchol až za 6 dní. Kvůli počasí však

musí zdolat vrchol již za 4 dny. Kolik metrů musí vylézt za den?

Řešení:


počet dní .....................x

počet metrů za den .....y

celková výška .............k

:

2400 : 4 6 400

600 m 2400 m

y k x k x y

y k

y k

Horolezci musí vylézt za den 600 m .

- 25 -

Poměr – souhrnná cvičení 2

1. Pavel s Jirkou si vsadili Sportku. Pavel dal 32 Kč a Jirka 16 Kč. Vyhráli 960 Kč. Jak si

rozdělí výhru?

Řešení:

Pavel : Jirka 32 : 16 2 : 1

1 díl.....960 :3 320

2 díly...2 320 640

Pavel dostal 640 Kč a Jirka dostal 320 Kč.

2. Narýsujte úsečku AB dlouhou10 cm a rozdělte ji na dvě části v poměru 2:3.

Řešení:

1 díl......10 : 5 2

2 díly....2 2 4

3 díly....2 3 6

Díly úsečky jsou 4 cm a 6 cm.

3. Vyjádřete poměr první hodnoty ke druhé hodnotě co nejjednodušeji.

a) 20 l; 4 hl

1 t; 200 kg

4 h; 30 min

b) 180 cm; 0,3 dm

2 kg; 400 g

4 dl; 6 l

Řešení:

a) 20 l; 4 hl 400 l

20 : 400 1: 20

1 t = 1000 kg; 200 kg

1000 : 200 5:1

4 h = 240 min; 30 min

240 :30 8:1

- 26 -

b) 180 cm; 0,3 dm 30 cm

180 :30 6 :1

2 kg 2000 g; 400 g

2000 : 4000 5:1

4 dl; 6 l 60 dl

4 : 60 1:15

4. Změňte v poměru 4 : 3 čísla: 18; 2,7; 12; 102; 123

Řešení:

1644413

4123

1364343

4102

16443

412

6,349,03

47,2

24463

418

5. Změňte v poměru 5 : 2 čísla: 0,14; 120; 24,2; 516; 20

Řešení:

505102

520

129052582

5516

5,6051,122

52,24

3005602

5120

35,0507,02

514,0

6. Upravte poměr na základní tvar:

a) 36 : 18; 36 : 24; 36 : 30

b) 35 : 60; 24 : 80; 5 : 90

c) 100 : 20; 850 : 1000; 100 : 75

- 27 -

Řešení:

5:630:36

2:324:36

1:218:36)a

18:190:5

10:380:24

12:760:35)b

3:475:100

20:17100:851000:850

1:520:100)c

7. Na farmě je 200 krav, a 120 vepřů. Určete co nejjednodušší poměr:

a) počtu krav k počtu vepřů

b) počtu krav k celkovému počtu všech zvířat

c) počet vepřů k celkovému počtu zvířat

Řešení:

8:332:12320:120)c

8:532:20320:200)b

3:512:20120:200)a

Počet krav ku počtu vepřů je 5:3.

Počet krav ku celkovému počtu zvířat je 5:8.

Počet vepřů ku celkovému počtu zvířat je 3:8.

8. Jaký je poměr délky strany kosočtverce k délce jeho obvodu?

Řešení:

a : 4a = 1 : 4

Poměr délky strany kosočtverce k délce jeho obvodu je 1:4.

- 28 -

9. Které poměry jsou k sobě převrácené? 6 : 14 ; 24 : 30 ; 42 : 18 ; 12 : 16 ; 20 : 16 ; 32 : 24

Řešení:

4:35:4

32:2424:3220:1616:20

3:47:3

12:1616:1242:1818:42

4:53:7

24:3030:246:1414:6

Převrácené poměry jsou: (6 : 14 ; 42 : 18),(24 : 30 ; 20 : 16),(12 : 16 ; 32 : 24).

10. Uprav postupný poměr

88:56:8)d

6:8,4:4,2)c

25:15:5)b

2:6,3:6,1)a

Řešení:

11:7:188:56:8)d

5:4:260:48:246:8,4:4,2)c

5:3:125:15:5)b

5:9:420:36:162:6,3:6,1)a

11. 4 dl míchané limonády, udělané ze 4 cl malinové šťávy a 8 cl jahodové šťávy a 28 cl

sifonu. Jaké množství každé složky potřebujeme na umíchání 0,8l této limonády?

Řešení:

4 dl 40 cl

4 :8 : 28 1: 2 : 7

0,8 l = 0,8 dl

1 díl :

8 :10 0,8 dl

1 0,8 0,8 dl 8 cl

2 díly :

2 0,8 1,60 dl 16 cl

7 0,8 5,6 dl 56 cl

80 cl 8 dl

0,8 l limonády připravíme z 8 cl malinové šťávy, 16 cl jahodové šťávy a 56 cl sifonu.

- 29 -

12. Na natření dřevěného plotu o rozloze 16 m2 potřebujeme 1,6 kg barvy. Kolik kg barvy je

třeba na vymalování 10 m2, 16 m

2, 20 m

2, 30 m

2 plotu? Sestavte tabulku.

Řešení:

2

2

2

2

2

2

16 m ..................1,6 kg

1 m ....................1,6 :16 0,1 kg

10 m ................10 0,1 1 kg

16 m .................16 0,1 1,6 kg

20 m ................20 0,1 2 kg

30 m .................30 0,1 3 kg

plocha v m (x) 1 10 16 20 30

barva v kg (y) 0,1 1 1,6 2 3

13. Jeden kilogram pomerančů stojí 19 Kč. Kolik Kč stojí 4 kg pomerančů? Sestav tabulku

pro 2 kg, 3 kg, 4 kg, .....,10 kg pomerančů.

Řešení:

Přímá úměrnost

k ......................................... 19 Kč/kg

x ......................................... počet kg

y ........................................ cena Kč

1901019

171919

152819

133719

114619

95519

76419

57319

38219

y

y

y

y

y

y

y

y

y

xky

počet kg (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

cena Kč (y) 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190

Za 4 kg pomerančů zaplatíme 76 Kč.

- 30 -

14. V dílně vyrobí za 1 hodinu 8 židlí. Kolik židlí vyrobí za 8 hodinovou směnu? Sestav

tabulku pro 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 hodin.

Řešení:

Přímá úměra y k x

x ......................................... počet hodin

y ......................................... počet židlí

k .......................................... 8 židlí/h

6488

5687

4886

4085

3284

2483

1682

881

y

y

y

y

y

y

y

y

Za 8-hodinovou směnu vyrobí v dílně 64 židlí.

15. V autobuse jede 42 cestujících z toho 36 sedících. Porovnejte počet sedících a stojících:

a) poměrem

b) podílem

c) rozdílem

Řešení:

Počet stojících: 42 – 36 = 6

30636)c

66:36)b

1:66:36)a

Počet sedících ku stojícím je 6:1. Sedících je 6krát více než stojících. Sedících je o 30 více

než stojících.

počet hodin (x) 1 2 3 4 5 6 7 8

počet židlí (y) 8 16 24 32 40 48 56 64

- 31 -

16. Maminka koupila čokoládová vajíčka na pomlázku pro děti. Kdyby vytvořila 4 sáčky,

byly by v každém 3 vejce. Kolik vajec bude v jednom sáčku, když vytvoří 6 sáčků?

Řešení:


k .......................................... celkový počet vajec

x ......................................... počet sáčků

y ......................................... počet vajec

212

6:1234

:

yk

yk

xkyyxk

V každém sáčku budou 2 vejce.

17. V železářství prodávají hřebíky na váhu. Do 250 g se vejde 50 ks hřebíků. Kolik hřebíků

se vejde do 1 kg váhy?

Řešení:

Přímá úměrnost

x ......................................... počet hřebíků

y .......................................... hmotnost hřebíků

k .......................................... hmotnost 1 ks hřebíku

200

5:10005

:50:250

:

x

xk

kyxk

xkyxyk

Do 1 kg se vejde 200 ks hřebíků.

- 32 -

18. Starý budík se zpožďuje za 4 hodiny o 1 minutu. Kolik bude ukazovat ve 20 hodin,

jestliže ho seřídíme v 6 hodin?

Řešení:

Přímá úměrnost

počet hodin ....................................... x

počet minut zpoždění ........................ y

počet minut zpoždění za 1 h .............. k

60 : 4 15 s

15 14

210 s 3 min 3 s

20 h 3 min 19 h 56 min 30 s

y k x k

y

y

Budík bude ukazovat 19 h 56 min 30 s.

19. Obdélník má délku 8 cm a šířku 6 cm. Jak velká by byla jeho šířka, kdyby délka byla

12 cm a obsah obdélníku by se nezměnil?

Řešení:


délka ................................... x

šířka .................................... y

obsah .................................. k

4

12:48

4868:

y

y

kxky

Šířka by byla 4 cm.

20. Automobil jedoucí průměrnou rychlostí 90km/h dorazí do cíle své cesty za 4 hodiny.

Jakou průměrnou rychlostí by musel jet, aby do cíle dorazil o 1 hodinu dříve?

Řešení:


průměrná rychlost............x

doba jízdy 4 – 1 = 3.........y

celková dráha ..................k

360120

4903:360

:

kx

kx

yxkykx

Automobil by musel jet rychlostí 120 km/h.

- 33 -

Poměr – souhrnná cvičení 3

1. Upravte dané poměry na základní tvar:

5

2:1h)0,8:

5

3d)

2,5:8

13g)5:0,72c)

5:4

11f)8,5:1,7b)

3

1:0,75e)0,7:0,2a)

Řešení:

a) 0,2 : 0,7 / 10

2 : 7

e) 10,75 :

3

3 1: / 12

4 3

9 : 4

b) 1,7 :8,5 / 10

17 :85/ :17

1:5

f) 11 : 5 / 10

4

5 5: / 4

4 1

5 : 20/ : 5

1: 5

c) 0,72 :5 / 100

72 :500/ : 4

18 :125

g) 13 : 2,5

8

25 25 25: / :

8 10 2

1 1: / 20

4 5

5 : 4

d) 3: 0,8

5

0,6 : 0,8 / 10

6 :8/ : 2

3 : 4

h) 21:

5

5 2: / 5

5 5

5 : 2

- 34 -

2. Porovnejte rozměry trojúhelníku a = 24 cm, b = 18 cm, c = 12 cm poměrem.

Řešení:

: :

24 :18 :12/ : 2

12 : 9 : 6/ : 3

4 : 3 : 2

a b c

Strany trojúhelníku jsou v poměru 4 : 3 : 2.

3. Zapište pět libovolných dvojic čísel, aby byla v poměru 7 : 5.

Řešení:

a)7:5 / 2

14:10

b)7:5 / 3

21:15

c)7:5 / 4

28:20

d)7:5 / 5

35:25

e)7:5 / 10

70:50

Hledané dvojice jsou např.: 14 : 10, 21 : 15, 28 : 20, 35 : 25, 70 : 50.

4. Rozměry negativu jsou v poměru 3:2 (d:š). Jaká je délka obrázku, je-li šířka 24 cm?

Řešení:

3 3 72z 24 24 36

2 2 2

Délka obrázku je 36 cm.

- 35 -

5. Rychlost cyklisty a chodce byly v poměru 5:1. Cyklista ujel 35 km. Kolik kilometrů ušel

chodec v téže době?

Řešení:

1 1z35 35 7

5 5

Chodec ušel 7 km.

6. Vyjádřete v nejjednodušším tvaru poměr první hodnoty ke druhé:

a) 40cm,1000cm

34kg,17 kg

300g,200g

8l,18l

b) 5dm, 2 m

40 min,1h

4dm,8mm

600 kg,3 t

Řešení:

a) 40cm :1000cm 40 :1000 4 :100 1: 25

34kg :17 kg 34 :17 2 :1

300g : 200g 300 : 200 3: 2

8l :18l 8 :18 4 :9

b) 2dm : 2m 2 : 20 1:10

40min :1h 40 : 60 4 : 6 2 :3

4dm :8mm 400 :8 50 :1

600kg :1t 600 :1000 6 :10 3:5

7. Rozměry obrazu jsou 108 cm a 72 cm.Mají se zmenšit v poměru 3:4. Jaké budou rozměry

zmenšeniny?

Řešení:

3 324108 81

4 4

3 21672 54

4 4

d

š

Rozměry zmenšeniny jsou 81 cm a 54 cm.

- 36 -

8. Ze 2 kg čerstvých jablek dostaneme 200 g sušených jablek. Jaký je poměr hmotnosti

sušených jablek ku hmotnosti čerstvých jablek?

Řešení:

10:12000:200

g2000kg2

Poměr hmotnosti sušených jablek ku hmotnosti čerstvých jablek je 1 : 10.

9. Děti nasbíraly 1 kg čerstvých hub. Usušením získaly 300 g sušených hub. Jaký je poměr

hmotností sušených hub ku hmotnosti čerstvých hub?

Řešení:

3101000:300

g1000kg1

Poměr hmotnosti sušených hub ku hmotnosti čerstvých hub je 3:10.

10. Kmen dlouhý 48 m se má rozřezat na tři části tak, aby byly v poměru 3:2:1. Určete délky

jednotlivých částí.

Řešení:

3:2:1.......................6dílů........4,8m

1díl..........................4,8:6 0,8m

3díly........................3 0,8 2,4m

2díly........................2 0,8 1,6m

1díl..........................1 0,8 0

,8m

První díl je dlouhý 2,4 m, druhý díl 1,6 m a třetí díl 0,8 m.

11. Zahradník vysázel celkem 360 okrasných keřů. Překročil tak původní plán výsadby o 80

keřů. Vyjádřete co nejmenšími přirozenými čísly poměr skutečně vysazených keřů ku

plánovaným.

Řešení:

plán.....................360 80 280

360 : 280 36 : 28 9 : 7

Poměr skutečně vysázených keřů ku plánovaným keřů je 9 : 7.

- 37 -

9:518:10d)

5:910:18c)

14:528:10b)

14:928:18a)

12. Číslo 3,24 změňte v poměru :

a) 3 : 1

b) 5 : 4

c) 5 : 6.

Řešení:

3a)3,24 9,72

1

5b)3,24 3,24 1,25 4,05

4

5 16,2c)3,24 2,7

6 6

13. Ve třídě 7,B je 28 žáků, z toho je 18 chlapců. Určete:

a) Jaký je poměr počtu chlapců k počtu žáků celé třídy?

b) Jaký je poměr počtu dívek k počtu žáků celé třídy?

c) Jaký je poměr počtu chlapců ku počtu dívek?

d) Jaký je poměr počtu dívek ku počtu chlapců?

Řešení:

Poměr chlapců k počtu žáků celé třídy je 9 : 14.

Poměr dívek k počtu žáků celé třídy je 5 : 14.

Poměr chlapců k počtu dívek je 9 : 5.

Poměr dívek k počtu chlapců je 5 : 9.

14. Obchodník zdražil cenu zboží v poměru 6 : 5. Kolik korun stálo původně zboží, které nyní

obchodník prodává za 2400 Kč?

Řešení:

20006

12000

6

52400

Zboží stálo původně 2000 Kč.

- 38 -

15. Petrovy a Tomášovy úspory jsou v poměru 4 : 3. Tomáš našetřil 1500 Kč. Kolik korun

našetřil Petr?

Řešení:

Kč20003

6000

3

41500

Petr našetřil 2000 Kč.

16. Rozdělte číslo 240 na tři díly v poměru:

a) 3 : 2 : 1

b) 5 : 3 : 2

c) 1 : 3 : 4.

Řešení:

a)3:2:1..........6dílů..........240

1díl............240:6 40

2díly..........2 40 80

3díly..........3 40 120

První díl je 120, druhý 80 a třetí 40.

b)5:3:2..........10dílů..........240

1díl............240:10 24

5dílu..........5 24 120

3díly..........3 24 72

2díly..........2 24 48


c)1:3:4..........8dílů...........240

1díl.............240:8 30

3díly............3 30 90

4díly............4 30 120


- 39 -

17. Obvod obdélníku je 36 cm. Vypočítejte jeho délku a šířku, je-li poměr délky a šířky 5 : 4.

Řešení:

.............................18dílu................1díl...........36 :18 2cm

...................................................... 5dílu.........5 2 10cm

............................................

o

d

š

........... 4díly.........4 2 8cm

zk: 2 ( )

2 (10 8)

2 18

36cm

o d š

o

o

o

Rozměry obdélníku jsou 10 cm a 8 cm.

18. Je dána úsečka |CD| = 9 cm. Jakou délku bude mít úsečka |EF|, pro kterou platí:

|EF| : |CD| = 5 : 3.

Řešení:

5 459 15cm

3 3EF

Úsečka |EF| = 15 cm.

19. Velikost vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru 3 : 5 : 7. Určete jejich velikosti.

Řešení:

3:5:7............15dílů..........180

1díl..............180 :15 12

3díly.............3 12 36

5dílu.............5 12 60

7dílu.............7 12 84

zk:36 60 84 180

Trojúhelník má vnitřní úhly .84a,6036

- 40 -

20. Které rozměry jsou k sobě převrácené: 2:7,2:3,6:14,14:4,7:3,6:4 ?

Řešení:

4 : 6 6:4 14:6 6:14 7:2 2:7

3:2 3:7 4:14

Převrácené poměry: (4 : 6 ; 3 : 2), (14 : 6 ; 3 : 7), (7 :2 ; 4 : 14).

Poměr cvičení 4

1. Vyjádři poměr v základním tvaru: a) 3,5 :1,4

1b) 2 : 0,125

2

1 1c) 7 : 4

6 2

d) 840 :14000

Řešení:

a) 3,5 :1,4 / 10

35 :14 / : 7

5 : 2

b) 12 : 0,125 / desetinné číslo

2

2,5 : 0,125 / 1000

2500 :125 / :125

20 :1

c) 1 17 : 4 / zlomek

6 2

43 9: / spol.jmenovatel

6 2

43 27: / čitatel

6 6

43: 27

d) 840 :14000 / :10

84 :1400 / : 2

42 : 700 / : 7

6 :100 / : 2

3: 50

- 41 -

2. Vyjádři poměr v základním tvaru: a) 35 :14 : 7

1 3b) 4 :1,25 : 2

2 4

1 1 1c) 5 : 3 : 2

6 2 3

d) 420 : 700

Řešení:

a) 35 :14 : 7 / : 7

5 : 2 :1

b) 1 34 :1,25 : 2 / desetinné číslo

2 4

4,5 :1,25 : 2,75 / 100

450 :125 : 275 / : 25

18 :5 :11

c) 1 1 15 : 3 : 2 / zlomek

6 2 3

31 7 7: : / společný jmenovatel

6 2 3

31 21 14: : / čitatel

6 6 6

31: 21:14

d) 420 : 700 / :10

42 : 700 / : 7

6 :100 / : 2

3: 50

3. Vyjádři jako poměr v základním tvaru:

a) 0,6 t a 120kg

b) 12Kč a 90hal

c) 6min 30s a 10min

- 42 -

Řešení:

a) 0,6 t 600 kg

600 :120/ :10

60 :12/ :12

5 :1

b) 12 Kč 12 100 1200 hal

1200 : 90 / :10

120 : 9 / : 3

40 : 3

c) 6 min 30 s 6 60 30 390 s

10 min 10 60 600 s

390 : 600 / :10

39 : 60 / : 3

13: 20


a) 5 t a 1500kg

b) 10Kč a 10hal

c) 2min 30s a 20min

Řešení:

a) 5 t 5000 kg

5000 :1500 / :100

50 :15 / : 5

10 : 3

b) 10 Kč 10 100 1000 hal

1000 :10 / :10

100 :1

c) 2min 30 s 2 60 30 150 s

20min 20 60 1200 s

150 :1200 / :10

15 :120 / : 3

5 : 40 / : 5

1:8

- 43 -

5. Vyjádři poměr v základním tvaru poměry: a) 3,6 : 4, 2

3b) : 0,75

8

c) 0,15 :15

Řešení:

a) 4,2 :3,6 / 10

42 : 36 / : 6

7 : 6

b) 3: 0,75 / zlomky

8

3 75: / krátíme

8 100

3 3: / společný jmenovatel

8 4

3 6: / čitatel

8 8

3: 6 / : 3

1: 2

c) 0,15 :15 / 100

15 :1500 / :15

1:100

- 44 -

6. Vyjádři poměr v základním tvaru poměry: a) 2,1:1,8

5b) : 0, 25

6

c) 0, 2 : 2

Řešení:

a) 2,1:1,8 / 10

21:18 / : 3

7 : 6

b) 5: 0,25 / zlomky

6

5 25: / krátíme

6 100


6 4

10 3: / čitatel

12 12

10 : 3

c) 0,2 : 2 / 10

2 : 20 / : 2

1:10

7. Doplň tabulku tak, aby poměr 2 : 7 platil po vyjádření x : y v základním tvaru:

Řešení tabulkou:

x 4 12 1,4 1

3

y 14 42 4,9 6

11

x 4 1

3

y 42 4,9

- 45 -

Řešení výpočtem:

4 : 2 2

2 7 14

42 : 7 6

6 2 12

4,9 : 7 0,7

0,7 2 1,4

1 1 1 1: 2

3 3 2 6

1 7 17 1

6 6 6

8. Rozhodni, který ze zápisu je pravdivý (nápověda: uveďte poměr do základního tvaru):

a) 3: 4 9 :12

b) 4 : 0,7 16 : 2,9

1c) 17 :13 42 : 32,5

2

Řešení:

a) 3: 4 9 :12

L 3: 4

P 9 :12 / : 3

P 3: 4

platí

b) 4 : 0,7 16 : 2,9

L 4 : 0,7

P 16 : 2,9 / : 4

P 4 : 0,725

neplatí

c) L 17 :13

P 42,5 : 32,5 / 10

P 425 : 325 / : 25

P 17 :13

platí

- 46 -

9. Rozhodni, který ze zápisu je pravdivý (nápověda: uveďte poměr do základního tvaru):

a) 5 : 4 10 :12

b) 4 :12 16 : 48

1c) 17 :13 67 : 50,5

2

Řešení:

a) 5 : 4 10 :12

L 3: 4

P 10 :12 / krátíme2

P 5 : 6

neplatí

b) 4 :12 16 : 48

L 4 :12 / krátíme 4

L 1: 3

P 16 : 48 / krátíme 4

P 4 :12 / krátíme 4

P 1: 3

platí

c) 117 :13 67 : 50,5

2

L 17 :13

P 67,5 : 50,5 / rozšíříme 10

P 675 : 505 / krátíme 5

P 135 :101

neplatí

- 47 -

10. Doplň neznámý člen tak, aby zápis poměru byl pravdivý:

) 2 : 0,6 :1,5

) :1,5 5 : 7,5

a x

b y

Řešení:

a) 2 : 0,6 :1,5

0,6 : 2 0,3

1,5 : 0,3 5

5

x

x

b) y :1,5 5 : 7,5

7,5 :1,5 5

5 : 5 1

y 1

11. Doplň neznámý člen tak, aby zápis poměru byl pravdivý:

) 2 : 8 : 20

) : 2,5 5 :1

a x

b y

Řešení:

a) 2 : 8 : 20

8 : 2 4

20 : 4 5

5

x

x

b) : 2,5 5 :1

2,5 :1 2,5

5 2,5 12,5

12,5

y

y

- 48 -

12. Propoj poměr s jeho základním tvarem:

Řešení:

2 : 1

7 : 8

5 : 6

4 : 9

6 : 5

2 : 7

8 : 10

6 : 3

15 : 18

18 : 15

8 : 18

21 : 24

6 : 21 4 : 5

2 : 1

7 : 8

5 : 6

4 : 9

6 : 5

8 : 10

6 : 3

15 : 18

18 : 15

21 : 24

6 : 21 4 : 5

8 : 18 2 : 7

- 49 -

13. Vyjádři poměr v základním tvaru:

a) 85 : 34

b) 21: 3,6

c) 5,7 : 0,6

Řešení:

a) 85:34 / krátíme 17

5: 2

b) 21: 3,6 / rozšíříme 10

210 : 36 / krátíme 3

70 :12 / krátíme 2

35 : 6

c) 57 : 6 / krátíme 3

19 : 2


a) 160 : 640

b) 2,1: 0,36

c) 9,3 : 0,6

Řešení:

a) 160 : 640 / krátíme 10

16 : 64 / krátíme 8

2 :8 / krátíme 2

1: 4

b) 2,1: 0,36 / rozšíříme 100

210 : 36 / krátíme 3

70 :12 / krátíme 2

35 : 6

c) 9,3: 0,6 / rozšíříme 10

93: 6 / krátíme 3

31: 2

- 50 -


a) 960 km :1320 km

b) 1 kg :5 g

c) 4 cm : 25 mm

Řešení:

a) 960 :1320 / :10

96 :132 / : 2

48 : 66 / : 2

24 : 33

b) převody (gramy)

1 kg 1000 g

1000 : 5 / krátíme 5

200 :1

c) převody (mil im etry)

4 cm 40 mm

40 : 25/ : 5

8 : 5

16. Vyjádři jako poměr v základním tvaru: a) 9 km : 6m

b) 5 kg : 5 g

c) 12 m : 25 cm

3d) 2 h : 45 min

4

Řešení:

a) převody (metry)

9 km 9000 m

9000 : 6 / krátíme 3

3000 : 2 / krátíme 2

1500 :1

- 51 -

b) převody (metry)

9 km 9000 m

9000 : 6 / krátíme 3

3000 : 2 / krátíme 2

1500 :1

c) převody (centimetry)

12 m 1200 cm

1200 : 25 / krátíme 5

240 : 5 / krátíme 5

48 :1

d) převody (minuty)

32 hod 165 min

4

165 : 45 / krátíme 5

33: 9 / : 3

11: 3

17. Ve škole je celkem 720 dívek a 480 hochů. Urči:

a) poměr hochů a dívek (v základním tvaru)

b) poměr počtu dívek k počtu žáků školy (v základním tvaru)

Řešení:

celkem.....720 480 1200 žáků

a) 480 : 720 / :10

48 : 72 / : 2

24 : 36 / :12

2 : 3

b) 720 :1200 /10

72 :120 / : 2

36 : 60 / : 6

6 :10 / : 2

3: 5

Poměr počtu dívek a hochů je 2 : 3, poměr počtu dívek a žáků celé školy je 3 : 5.

- 52 -

18. Na plaveckých závodech je celkem 20 dívek a 40 hochů osmých tříd. Urči:

a) poměr hochů a dívek (v základním tvaru)

b) poměr počtu dívek k počtu žáků osmých tříd (v základním tvaru)

Řešení:

celkem.....20 40 60 žáků

a) 40 : 20 / krátíme 20

2 :1

b) 20 : 60 / krátíme 20

1:3

Poměr hochů a dívek je 2 : 1, poměr počtu dívek a všech žáků osmých tříd je 1: 3.


7 7a) :

9 18

3b) 0, 25 :

8

Řešení:

a) 7 7: / společný jmenovatel

9 18

14 7: / čitatel

18 18

14 : 7 / : 7

2 :1

b) 30, 25 : / zlomky

8

25 3: / krácení 25

100 8

1 3: / spol. jmenovatel

4 8

2 3: / čitatel

8 8

2 : 3

- 53 -


2 7a) :

3 12

1b) 0,15 :

5

Řešení:

a) 2 7: / společný jmenovatel

3 12

8 7: / čitatel

12 12

8 : 7

b) 10,15 : / zlomky

5

15 1: / krácení 5

100 5


20 5

3 4: / čitatel

20 20

3: 4

21. Z následujících příkladů vyber takové, ve kterých jde o přímou úměrnost:

a) doba jízdy autem a počet ujetých kilometrů při stále stejné rychlosti

b) velikost poloměru a délka kružnice

c) délka strany čtverce a velikost obsahu čtverce

d) množství zboží a jeho cena při stálé ceně za jeden kilogram

e) počet traktorů a doba potřebná k orbě určitého pozemku

f) výška člověka a jeho stáří

Řešení:

a) doba jízdy autem a počet ujetých kilometrů při stále

stejné rychlosti

ANO

s v t

b) velikost poloměru a délka kružnice

ANO

2 π rO

c) délka strany čtverce a velikost obsahu čtverce

2

NE

S a

- 54 -

d) množství zboží a jeho cena při stálé ceně za jeden

kilogram

ANO

e) počet traktorů a doba potřebná k orbě určitého

pozemku

NE

nepřímá

f) výška člověka a jeho stáří

NE

22. Letní rekreační vlak má 12 vagónů. V každém z nich jede 40 cestujících. Při správném

dodržení pitného režimu spotřebuje každý cestující průměrně 2 litry vody. Kolik litrů

pitné vody bude potřeba pro cestující tohoto vlaku, jestliže cesta na dovolenou trvá tři

dny?

Řešení:

Zjistíme celkový počet cestujících ve vlaku.

1 vagón ... 40 cestujících

12 vagónů ... x (cestujících) Přímá úměrnost

: 40 12 :1

12 40

480

x

x

x

Zjistíme počet litrů vody na tři dny pro všechny cestující.

1 cestující ... 1 den... 2 l

1 cestující ... 3 dny... 6 l

480 cestujících ... 3 dny... y (litrů) Přímá úměrnost

: 6 480 :1

480 6

2880 ( )

y

y

y l

Ve vlaku je 480 cestujících a za tři dny cesty na dovolenou spotřebují 2880 litrů pitné

vody.

- 55 -

23. První zakázka firmy činila 40 kusů železných prutů, každý o hmotnosti 15kg. Druhá

zakázka byla na pruty, kdy každý z nich měl hmotnost 10kg. Celková hmotnost obou

zakázek byla stejná. Kolik kusů prutů musí být ve druhé zakázce?

Řešení:

15 kg ... 40 ks... celkem (15 40)

10 kg ... (ks)... celkem (x 10)x

Hmotnost obou zakázek je stejná, proto vytvoříme rovnici:

15 40 10

600 10 / :10

60 (ks)

x

x

x

Ve druhé zakázce firmy musí být za daných podmínek 60 kusů železných prutů.

24. Inzerát nabízí obdélníkový pozemek, jehož délka a šířka jsou v poměru 7 : 4. Jaká je

plocha tohoto pozemku, jestliže jeho délka je 21m?

Řešení:

2

délka... 7 dílů... 21 m

šířka... 4 díly... (m)

obsah ... (m )

x

S

Přímá úměrnost

2

21 4 7 21

421

7

12

21 12

252

x : : /

x

x m

S a b

S

S m

Plocha pozemku v inzerátu je 252 m2.

- 56 -

25. Délka a šířka dědečkovy zahrady jsou v poměru 3 : 5. Jaký je obvod zahrady, jestliže

délka její kratší strany je 21m?

Řešení:

délka... 3 díly... 21 m

šířka... 5 dílů... (m)

obvod ... (m)

x

O

Přímá úměrnost

21 5 3 21

521

3

35 m

2

2 21 35

2 56

112 m

x : : /

x

x

O ( a b )

O ( )

O

O

Obvod dědečkovy zahrady je 112 m.

26. V sobotu se konal slavnostní koncert v sále s kapacitou 380 osob. Tohoto koncertu se

zúčastnilo 236 posluchačů a organizátoři vybrali 18880,-Kč. Kolik korun by se vybralo

v případě, že by byl sál na tuto akci plně obsazen?

Řešení:

236 osob ... 18880,- Kč

380 osob ... (Kč)x Přímá úměrnost

:18880 380 : 236 / 18880

38018880

236

30400 (Kč)

x

x

x

Jestliže by byl sál na sobotní akci plně obsazen, vybrali by pořadatelé 30400,-Kč.

- 57 -

26. V pondělí se v kině Cinestar promítala poprvé pohádka Čertova nevěsta. Premiéry se

zúčastnilo 86 diváků a organizátoři vybrali 12470,-Kč. V sále je 92 míst. Kolik korun by

se vybralo v případě, že by byl sál na tuto akci plně obsazen?

Řešení:

86 osob ... 12470,- Kč

92 osob ... (Kč)x Přímá úměrnost

12470 92 86 12470

9212470

86

13340 (Kč)

x : : /

x

x

Jestliže by byl sál na premiéru plně obsazen, vybrali by pořadatelé 13340,-Kč.

27. Čerpadlem o výkonu 20 litrů za 1 sekundu se vodní nádrž naplní za 1hodinu a 20minut.

Za jak dlouho se nádrž naplní novým čerpadlem, které má výkon 30 litrů za sekundu?

Řešení:

20 litrů ... 1 hod 20 min = 80 min = 4800 s

30 litrů ... (s)x Nepřímá úměrnost

4800 20 30 4800

204800

30

3200 (s) 53 min 20 s

x : : /

x

x

Novým čerpadlem se vodní nádrž naplní za 53 min 20 s.

- 58 -

28. Na železniční trati se používají kolejnicové díly o délce 25m a hmotnosti 50kg na jeden

metr délky. Kolik vagónů o nosnosti 20 tun je zapotřebí na odvoz kolejnic na obnovu trati

o délce 15km?

Řešení:

Hmotnost jednoho kolejnicového dílu:

1 m ... 50 kg

25 m ... (kg)x Přímá úměrnost

: 50 25 :1

25 50

1250 (kg)

x

x

x

1ks kolejnice má hmotnost 1250 kg.

Počet kusů kolejnic, potřebných k opravě trati:

jednotky

15 km 1500 m

1500 : 25 60 (ks)

K opravě trati bude potřeba 60ks kolejnicových

dílů.

Celková hmotnost potřebných kolejnic:

1 kolejnice ... 1250 kg

60 kolejnic ... (kg)x Přímá úměrnost

:1250 60 :1/ 1250

60 1250

75000 (kg)=75 (t)

x

x

x

Hmotnost potřebných kolejnic je 75 tun.

Počet vagónů k převozu kolejnic:

1 vagón ... 20 tun

(vagónů) ... 75 tunx Přímá úměrnost

:1 75 : 20

3,75 (vagónů)

x

x

K přepravě kolejnic budou potřeba 4 vagóny.

- 59 -

29. Auto jede z místa A do místa B rychlostí 75km/h a cesta trvá 45minut. Za jak dlouho urazí

stejnou vzdálenost cyklista, který jede průměrnou rychlostí 25km/h?

Řešení:

375 km/hod ... 45 min = hod

4

25 km/hod ... (hod)x Nepřímá úměrnost

3 3: 75 : 25 /

4 4

75 3

25 4

2,25 hod 2 hod 15 min

x

x

x

Cyklista dojede z místa A do místa B danou rychlostí 2hodiny a15minut.

30. Auto jede z Olomouce do Prostějova rychlostí 120km/h a cesta trvá 10minut. Za jak

dlouho by urazil stejnou vzdálenost cyklista, který jede průměrnou rychlostí 25km/h?

Řešení:

1120 km/hod ... 10 min = hod

6

25 km/hod ... (hod)x Nepřímá úměrnost

1 1: 120 : 25 /6 6

120 1

25 6

0,8 hod 48min

x

x

x

Cyklista dojede z Olomouce do Prostějova za 48 minut.

- 60 -

31. Měřítko mapy je 1 : 1 000 000. Za jak dlouho ujede osobní automobil trasu, která je na

této mapě dlouhá 9,7cm? Automobil jede průměrnou rychlostí 45km/h.

Řešení:

Zjistíme délku trasy ve skutečnosti:

mapa = 1 cm ... 1000000 cm = skutečnost

mapa = 9,7 cm ... (cm) = skutečnostx Přímá úměrnost

:1000000 9,7 :1/ 1000000

9700000 (cm) =97 (km)

x

x

Automobil jede trasu dlouhou

97km.

Zjistíme čas jízdy osobního automobilu:

45 km ... 1 hodina

97 km ... (hodin)x Přímá úměrnost

:1 97 : 45

45 97 / : 45

2,15 (hod)

0,15 60 9

2 hod 9 min

x

x

x

x

Danou trasu ujede osobní automobil za 2 hodiny a 9 minut.

Postupný poměr porovnává větší počet čísel

můžeme rozšiřovat a krátit stejně, jako u poměru dvou členů

1. Uprav postupný poměr na základní tvar:

a) 27 :18:36

b) 35:14:56

Řešení:

a) 27 :18:36

Krátíme všechny členy poměru číslem 9

3: 2 : 4

- 61 -

b) 35:14:56


5: 2 :8


a) 3 1 4

: :5 10 15

b) 1 1

4 : 7 :56 2

Řešení:

a) 3 1 4: :

5 10 15

Rozšíříme všechny členy společným násobkem jmenovatele 30 a opíšeme čitatel

18:3:8

b) 1 14 : 7 :5

6 2

Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 6 a opíšeme

čitatel a krátíme 5

25 15 5 25 45 30: : : : 25: 45:30 5:9 : 6

6 2 1 6 6 6


a) 7 1

1,75 : :310 2

b) 2

3,2 : 4 : 24

Řešení:

a) 7 1

1,75 : :310 2

Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 100 a

opíšeme čitatel a krátíme 5

175 7 7 175 70 350: : : : 175: 70 :350 35:14 : 70

100 10 2 100 100 100

- 62 -

b) 2

3,2 : 4 : 24

Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 20 a


32 4 10 64 80 50: : : : 64 :80 :50 32 : 40 : 25

10 1 4 20 20 20


a) 66:18:72

b) 560:140:105

Řešení:

a) 66:18:72


12:3:11

b) 560:140:105


21: 28:112


3:4:16


3:2:1:: zyx

x 6

y 20

z 36

Řešení tabulkou:


1836

1226

61:6

z

y

30310

10110

102:20

z

x

36 : 3 12

12 1 12

12 2 24

x

y


a) 9:36:2,7

b) 240:140:100

x 6 10 12

y 12 20 24

z 18 30 36

- 63 -

Řešení:

a) 9:36:2,7

Násobíme všechny členy poměru číslem 10, krátíme všechny členy poměru číslem 6,

krátíme všechny členy poměru číslem3

72 : 360 : 90

12 : 60 :15

4 : 20 : 5

b) 240:140:100

Krátíme všechny členy poměru číslem 10, krátíme všechny členy poměru číslem 2

10:14:24

5:7:12


a) 15

8:

10

3:

5

2

b) 3:2

12:

6

11

Řešení:

a)

15

8:

10

3:

5

2

Rozšíříme všechny členy společným násobkem jmenovatele 30 a opíšeme čitatele

12 9 16: : 12 :9 :16

30 30 30

b) 3:

2

12:

6

11

Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 6, opíšeme

čitatele

7 5 3 7 15 18: : : : 7 :15:18

6 2 1 6 6 6

- 64 -


a) 2

13:

10

3:2,1

b) 2

12:5:5,6

Řešení:

a) 2

13:

10

3:2,1


čitatele

12 3 7 12 3 35: : : : 12 :3:35

10 10 2 10 10 10

b) 2

12:5:5,6


čitatele a krátíme

565 5 5 65 50 25

: : : : 65:50 : 25 13:10 :510 1 2 10 10 10

Postupný poměr – cvičení I


a) 108:54:81

b) 112:28:70

Řešení:

a) krátíme všechny členy poměru číslem 3 pak 3 a ještě jednou 3 nebo číslem

9 a pak ještě 3 nebo rovnou číslem 27

3: 2 : 4 b) krátíme všechny členy poměru číslem 14 nebo postupně číslem 2 a pak ještě

7 nebo rovnou číslem 27

5: 2 :8


a) 3 1 4

: :5 10 15

b) 1 1

4 : 7 :56 2

- 65 -

Řešení:

a) Rozšíříme všechny členy společným násobkem jmenovatele 30 a opíšeme

čitatel

18:3:8 b) Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 6

a opíšeme čitatel a krátíme 5

25 15 5 25 45 30: : : : 25: 45:30 5:9 : 6

6 2 1 6 6 6


a) 7:10

15:5,3

b) 2

17:12:5,9

Řešení:

a) Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 10 a


35 15 70: :

10 10 10

35 :15 : 70

7 : 3 :14

b) Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 10 a


95 120 75: :

10 10 10

95 :120 : 75

19 : 24 :15


a) 33:9:36

b) 360:120:100

Řešení:

a) Krátíme všechny členy poměru číslem 3

12:3:11

b) Krátíme všechny členy poměru číslem 10

10:12:36


5:6 :18

- 66 -


3:2:1:: zyx

x 3

y 8

z 15

Řešení tabulkou:

x 3

y 8

z 15


3:1 3

3 2 6

3 3 9

y

z

1234

414

42:8

z

x

15 :3 5

5 1 5

5 2 10

x

y


a) 18:72:4,14

b) 4,2:4,1:1

Řešení:

a) Násobíme všechny členy poměru číslem 10, krátíme všechny členy poměru

číslem 4, krátíme všechny členy poměru číslem 9

144 : 720 :180

36 :180 : 45

4 : 20 :5

b) Násobíme všechny členy poměru číslem 10, krátíme všechny členy poměru

číslem 2

10:14:24

5:7:12

- 67 -


a) 15

16:

10

6:

5

4

b) 6:2

13:

6

12

Řešení:

a) Rozšíříme všechny členy poměru společným násobkem jmenovatele 30,

opíšeme čitatel a krátíme číslem 2

24 18 32: : 24 :18:32 12 :9 :16

30 30 30

b) Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 6

13 7 6 13 21 36: : : : 13: 21:36

6 2 1 6 6 6


a) 2

14:

10

4:2,3

b) 2

16:

10

55:14

Řešení:

a) Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 10,

opíšeme čitatele

32 4 9 32 4 45: : : : 32 : 4 : 45

10 10 2 10 10 10

b) Převedeme všechny členy poměru na zlomek se stejným jmenovatelem 10,

opíšeme čitatele a krátíme 5

140 55 65: : 140 :55: 65 28:11:13

10 10 10

- 68 -

Postupný poměr – cvičení II

1. Uprav postupný poměr na základní tvar

a) 3,6 :9 :8,1

b) 10

9:

5

3:

2

3

c) 5,2:2

13:

3

11

d) 3:8,1:5

21

e) 4 3

4 : 2,4 :35 5

Řešení:

a) 3,6 :9 :8,1 / 10

36 :90 :81 / : 9

4 :10 :9

b) 3 3 9: : / 10

2 5 10

15 : 6 : 9 / : 3

5 : 2 : 3

c) 1 11 : 3 : 2,5

3 2

4 7 25: : / 30

3 2 10

40 :105 : 75 / : 5

8 : 21:15

d) 21 :1,8 : 3

5

7 14 7: : / 6

2 3 6

21: 28 : 7 / : 7

3 : 4 :1

e) 4 34 : 2,4 : 3

5 5

24 24 18: : / 10

5 10 5

48 : 24 : 36 /:12

4 : 2 : 3

- 69 -

2. Uprav postupný poměr na základní tvar

a) 1,2 : 3 : 2,7

b) 6

1:

3

2:

4

3

c) 3

11:5,3:

10

52

d) 3:4,1:5

41

e) 6

7:

3

24:

2

13

f) 5

33:8,4:

5

22

Řešení:

a) 9:10:427:30:127,2:3:2,1

b) 2:8:912

2:

12

8:

12

9

6

1:

3

2:

4

3

c) 8:21:156

8:

6

21:

6

15

3

4:

2

7:

2

5

3

4:

10

35:

10

25

d) 15:7:930:14:1810

30:

10

14:

10

183:

10

14:

5

9

e) 1:4:37:28:216

7:

6

28:

6

21

6

7:

3

14:

2

7

6

7:

3

24:

2

13

f) 3:4:26:8:436:48:2410

36:

10

48:

10

24

5

18:

10

48:

5

12

5

33:8,4:

5

22

- 70 -

3. Které z daných postupných poměrů jsou shodné?

a) 1:3: 7

b) 3:5: 6

c) 3:9 : 21

d) 2:3: 7

e) 1,5: 2,5:3

f) 4:6 :14

Řešení:

Shodné poměry jsou :

a),c) 1:3: 7 = 3:9 : 21

b),e) 3:5: 6 =31,5: 2,5:3

d),f) 2:3: 7 = 4:6 :14

4. Trojúhelník ABC má obvod dlouhý 32,4cm. Jak dlouhé jsou jeho strany, jestliže jsou jejich

délky ve stejném poměru jako u trojúhelníku KLM: k = 2,4 cm; l = 3,6 cm; m = 4,8 cm.

Řešení:

( ) 2,4 3,6 4,8 ( ) 32,4

( ) 10,8

( ): ( ) 10,8:32,4 108:324 12:36 1:3

32,4 7,2

1

3 33,6 10,8 4,8 14,4

1 1

o KLM o ABC cm

o KLM cm

o KLM o ABC

a cm

b cm c cm

Zkouška: ( ) 7,2 10,8 14,4 32,4 o ABC cm

Trojúhelník ABC má strany dlouhé: a = 7,2 cm; b = 10,8 cm; c = 14,4 cm.

Postupný poměr cvičení III

1. Porovnej jednotky poměrem a uveď na základní tvar :

a) 40 cm ; 0,8 m a 3,2 dm e) 48 dm2 ; 0,72 m

2 a 2,4 m

2

b) 2,5 l ; 0,055 hl a 0,03 hl f) 0,49 m3 ; 560 dm

3 a 0,035 m

3

c) 28 kg ; 0,035 t a 49 000g g) 0,044 km ; 24 m a 280 dm

d) 0,05 hl ; 4,5 l a 0,065 hl h) 32 m2 ; 0,16 a ; 0,012 ha

Řešení:

a) převedeme na metry 40 : 80 : 32 = 5 : 10 : 4

b) převedeme na litry: 2,5 : 5,5 :3 = 25 . 55 :30 = 5 :11 : 6

c) převedeme na kg: 28 : 35 : 49 = 4 : 5 : 7

- 71 -

d) převedeme na litry: 5 : 4,5 . 6,5 = 50 : 45 : 65 = 10 : 9 : 13

e) převedeme na dm2: 48 : 72 : 240 = 2 : 3 : 10

f) převedeme na dm3: 490 : 560 : 35 = 70 : 80 : 5 = 14 : 16 : 1

g) převedeme na metry: 44 : 24 : 28 = 11 : 6 : 7

h) převedeme na m2: 32 : 16 :120 = 4 : 2 : 15

2. Zjednodušte:

a) 50 : 60 : 110.

b) 2,4 : 6,4 : 8.

c) 1,5 : 2

13 : 4

Řešení:

a) 50 : 60 : 110 = 5 : 6 : 11

b) 2,4 : 6,4 : 8 = 24 : 64 : 80 = 3 : 8 : 10

c) 1,5 :

13

2: 4 = 1,5 : 3,5 : 4 = 15 : 35 : 40 = 3 : 7 : 8

3. Rozdělte číslo 792 na 3 díly v poměru 1 : 3 : 8.

Řešení:

počet všech dílů:1+3+8 = 12

79252819866:Zk

52866.8..........dílu......8

19866.3..........díly......3

6612:..792..........díl.......1

Číslo 792 je rozděleno na 66 :1 98 : 528.

- 72 -

4. Rozdělte číslo 162 na 3 díly v poměru 3 : 5 : 10.

Řešení:

počet všech dílů:3+5+10 = 18

162904527:Zk

9090.........1dílu......10

459.5..........dílu......5

279.3..........díly......3

918:..162..........díl.......1

Číslo 162 je rozděleno na 27 : 45 : 90.

5. Rozdělte 180° na 3 části v poměru 2

3:

3

2:

6

5.

Řešení:

180904050:Zk

9010.........9..........dílu......9

4010.........4..........díly......4

5010.........5..........dílu......5

1018:180....................díl.......1

1894.........5dílu......celkem

9:4:518:8:102

3:

3

2:

6

5

180° rozdělíme na 50° : 40° : 90°.

6. Celek byl rozdělen na tři části v poměru 4 : 7 : 9. Kolik procent z celku byla každá část?

Řešení:

celkem dílu...............4 7 9 20

1díl...........................100 : 20 5 %

4díly.........................4 5 20 %

7dílu.........................7 5 35 %

9dílu.........................9 5 45 %

Zk:20 35 45

100 %

Části tvořily z celku: 20 %, 35 % a 45 %.

- 73 -

7. Tři čísla jsou v poměru 2 : 5 : 8. Jejich součet je 45. Která jsou to čísla?

Řešení:

4524156:Zk

243.....8....................dílu......8

153.....5....................dílu......5

63.....2....................díly......2

315:......45....................díl.......1

1585.....2..........dílu......celkem

Hledaná čísla jsou:6, 15, 24.

8. Určete tři čísla, která jsou v poměru 3 : 7 : 8, je-li

a) první číslo 9

b) druhé číslo 77

c) třetí číslo 4.

Řešení:

a) 3:7:8

3díly..........................9

1díl............................9:3 3

7dílu..........................7 3 21

8dílu..........................8 3 24

Hledaná čísla jsou 9, 21, 24.

b) 3:7:8

7dílu..........................77

1díl.............................77 : 7 11

3díly...........................3 11 33

8dílu...........................8 11 88

Hledaná čísla jsou 33, 77,88.

c) 3:7:8

8dílu............................4

1díl..............................4 :8 0,5

3díly............................3 0,5 1,5

7dílu............................7 0,5 3,5

Hledaná čísla jsou 1,5; 3,5; 4

- 74 -

9. Maminka pekla punčové řezy. Mouka, cukr a máslo byly v poměru 5 : 1,5 : 1. Kolik gramů

cukru a másla dala maminka na 0,75 kg mouky?

Řešení:

0,75kg 750g

5 :1,5 :1

5dílu..............................750g

1díl................................750 :5 150g

1,5dílu...........................1,5 150 225g

Na 750 g mouky dala maminka 225 g cukru a 150 g másla.

10. Tři čtverce mají délky stran v poměru 7 : 6 : 5 . Strana největšího čtverce měřila 49 mm.

Určete obsahy všech čtverců a poměr těchto obsahů.

Řešení:

7:6:5

7dílu............................49mm

1díl...............................49 : 7 7mm

6dílu.............................6 7 42mm

5dílu.............................5 7 35mm

2

1

2

2

2

3

1 2 3

49 49 2401mm

42 42 1764mm

35 35 1225mm

: : 2401:1764 :1225 49 :36 : 25

S

S

S

S S S

Obsahy čtverců jsou: 2401 mm2, 1764 mm

2 a 1225 mm

2.

Poměr těchto obsahů je 49 : 36 : 25.

- 75 -

11. V divadle je 372 sedadel. Počet prvních, druhých a třetích míst je v poměru 3 : 2 : 1. Kolik

korun se utrží při vyprodaném sále, jsou-li ceny míst 240 Kč, 180 Kč a 120 Kč?

Řešení:

Kč400........74..............................celkem....cena

Kč7440120...62....................3.míst....cena

Kč22320180...124....................2.míst....cena

Kč44640240186....................míst......1.cena

míst12462.........2....................díly......2

míst18662.........3....................díly......3

míst626:372..............................díl.......1

612.........3..........dílu......celkem

Při vyprodaném hledišti se utrží 74400 Kč.

12. Oblek stál 4500 Kč. Cena byla dvakrát postupně snížena Poměr takto vytvořených cen je

4 :3:1,5 . Kolik stál tento oblek po druhém zlevnění?

Řešení:

31. sleva: 3 : 4

4

12. sleva:1,5 : 3

2

4 :3:1,5 40 :30 :15 8 : 6 :3

Celkem dílů: 8+6+3=17

3 135004500 3375Kč

4 4

1 33753375 1687,5Kč

2 2

Po druhém zlevnění stál oblek 1687,5 Kč.

- 76 -

13. Písemnou práci z matematiky psalo celkem 27 žáků. Nejhorší známka byla trojka. Počet

jedniček, dvojek a trojek byl v poměru 2 : 4 : 3. Kolik žáků mělo jedničku, kolik dvojku

a kolik trojku?

Řešení:

279126:Zk

93.....3..............................díly......3

123.....4..............................díly......4

63.....2..............................díly......2

39:......27..............................díl.......1

934.....2....................dílu......celkem

Jedniček bylo 6, dvojek 12 a trojek 9.

14. Celek je rozdělen na 4 části: první 10 %, druhá 35 %, třetí 15 %. Kolik procent je čtvrtá

část? Vyjádřete části postupným poměrem a upravte jej.

Řešení:

10 % : 35% : 15% : %

100 (10 35 15)

100 60

40%

10 : 35 :15 : 40 2 : 7 : 3 :8

x

x

x

x

Čtvrtá část je 40 % a části jsou v poměru 2 : 7 : 3 : 8 .

- 77 -

15. Při betonování základů domu míchali betonáři cement, písek a štěrk v poměru 1 : 2 : 5.

Kolik kg písku a štěrku museli betonáři dát na 25 kg cementu?

Řešení:

štětěrkg12525.........5..........dílu......5

pískukg5025.........2..........díly......2

kg25....................díl.......1

Betonáři použili na 25 kg cementu 50 kg písku a 125 kg štěrku.

16. Upravte na základní tvar dané postupné poměry:

a) 0,24:1,2:6

b)0,72:0,9:0,54

3 2 1c) : :

4 3 2

1 1 4d) 2 :4 :1

4 2 5

Řešení:

a) 0,24 :1,2 : 6 / 100

24 :120 : 600 / : 6

4 : 20 :100 / : 4

1: 5 : 25

b) 0,72 : 0,9 : 0,54 / 100

72 : 90 : 54 / : 9

8 :10 : 6 / : 2

4 : 5 : 3

c) 3 2 1

: : / 124 3 2

9 :8 : 6

d) 1 1 4

2 : 4 :14 2 5

9 9 9: : / 20

4 2 5

45 : 90 : 36 / : 9

5 :10 : 4

- 78 -

17. Za rok spadlo 850 mm srážek. Na celkovém množství ročních srážek se podílela

jednotlivá roční období takto: jaro 33%, léto 24%, podzim 18% a zima 25%. Kolik mm

srážek spadlo v jednotlivých ročních obdobích?

Řešení:

mm850,0........................................celkem....

mm212,58,5.....25....................dílu......25

mm1538,5.....18....................dílu......18

mm2048,5.....24....................dílu......24

mm280,58,5.....33....................dílu......33

8,5100:0........85....................díl.......1

25:18:24:33z:p:l:j

Na jaře spadlo 280,5 mm srážek, v létě 204mm, na podzim 153 mm a v zimě 212,5 mm

srážek.

19.V sadě je celkem 120 jabloní, hrušní a třešní. Určete co nejjednodušší postupný poměr,

který vyjadřuje počet jabloní, hrušní a třešní, jestliže hrušně tvoří třetinu, třešně pětinu

z celkového počtu stromů.

Řešení:

1 1: : : 120 : 120 56 : 40 : 24 7 :5 :3

3 5

120 (40 24)

120 64

56

j h t x z z

x

x

x

Poměr jabloní, hrušní a třešní je 7 : 5 : 3 .

20. Do směsi čokoládových dezertů bylo dáno 5 kg čokoládového dezertu po 105 Kč, 4 kg po

90 Kč a 3 kg po 115 Kč. Zač byl jeden kilogram směsi?

Řešení:

Kč102,512:......1230..........kg........1cena

1234....5..........kg........celkem

Kč12303453605251153904105.....5..........celkem....cena

Jeden kilogram čokoládové směsi stál 102,5 Kč.

- 79 -

Poměr, postupný poměr – slovní úlohy

1. Paní Malá, paní Krásná a paní Nováková jsou výborné kuchařky. Nejraději pečou jablkové

záviny. Paní Malá spotřebuje na pečení pro svou rodinku 4,8 kg jablek, paní Krásná 4 kg

jablek a paní Nováková 7,2 kg. Celkem zaplatily za nákup jablek 480 Kč.

a) V jakém poměru byly jejich platby?

b) Kolik korun zaplatila za jablka každá kuchařka?

Řešení:

a) p. Malá ... 4,8 kg

p. Krásná ... 4 kg

p. Nováková ... 7,2 kg

Sestavíme postupný poměr z množství koupených kg jablek:

Rozšíříme členy poměru číslem 10 – odstraníme desetinná čísla:

Krátíme postupný poměr na základní tvar číslem 8:

Sečteme počet dílů poměru:

20 dílů ... 480 Kč

1 díl ... 480 : 20 24 Kč

4,8 : 4 : 7,2

48 : 40 : 72

6 : 5 : 9

6 + 5 + 9 = 20

b) Výpočet a ověření

6 dílů 24 6 144 p. Malá 144 Kč

5 dílů 24 5 120 p. Krásná 120 Kč

9 dílů 24 9 216 p. Nováková 216 Kč

20 dílů 24 20 480 celkem 480 Kč

Paní Malá zaplatila za nákup jablek 144 Kč, paní Krásná 120 Kč a paní 216 Kč.

- 80 -

2. Žáci devátého ročníku projeli na své exkurzi Českou republiku. V pondělí ujeli 220 km,

v úterý 280 km a ve středu 180 km a ve čtvrtek 200 km.

a) V jakém poměru byly úseky jejich cesty?

b) Kolik kilometrů ujeli celkem?

Řešení:

a) pondělí ... 220 km

úterý ... 280 km

středa ... 180 km

čtvrtek ... 200 km

Sestavíme postupný poměr:

Krátíme členy poměru číslem 10:

Krátíme postupný poměr číslem 2:

220 : 280 : 180 : 200

22 : 28 : 18 : 20

11 : 14 : 9 : 10

Úseky cesty v jednotlivých dnech jsou k sobě v poměru 11 : 14 : 9 : 10.

b) Sečteme počet ujetých kilometrů každý den 220 + 280 + 180 + 200 = 880

Žáci procestovali na exkurzi 880 km po krásách České republiky.

3. Tři sourozenci naspořili společně 5000 Kč. Domluvili se, že nejmladší dostane 30 %

a dvojčata každé 35 % úspor.

a) V jakém poměru si úspory rozdělili?

b) Kolik korun má každý ze sourozenců nyní k dispozici?

Řešení:

a) nejmladší ... 30 %

1. dvojče ... 35 %

2. dvojče ... 35 %

Sestavíme postupný poměr z procent úspor

Krátíme postupný poměr na základní tvar číslem 5

Sečteme počet dílů poměru

20 dílů ... 5000 Kč

1 díl ... 5000 : 20 250 Kč

30 : 35 : 35

6 : 7 : 7

6 + 7 + 7 = 20

Sourozenci si rozdělili úspory v poměru 6 : 7 : 7.

- 81 -

b) Výpočet a ověření:

6 dílů 250 6 1500 nejmladší 1500 Kč

7 dílů 250 7 1750 dvojče 1750 Kč

7 dílů 250 7 1750 dvojče 1750 Kč

20 dílů 250 20 5000 celkem 5000 Kč

Nejmladší ze sourozenců má nyní k dispozici 1500 Kč a každé z dvojčat má 1750 Kč.

4. V keramické dílně spotřebovali Jirka, Martin, Klárka a Ondra celkem 5 kg hmoty na

soutěžní výrobek. Jirka využil 30%, Martin 20%, Klárka 40% a Ondra zbytek keramické

hmoty.

a) V jakém poměru spotřebovali keramickou hmotu (uveďte na základní tvar)?

b) Kolik gramů spotřeboval každý z nich?

Řešení:

a) Jirka ... 30 %

Martin ... 20 %

Klárka ... 40 %

Ondra ... 100 - (30 20 40) 100 -90 10%

Sestavíme postupný poměr

Krátíme poměr na základní tvar číslem 10

30 : 20 : 40 : 10

3 : 2 : 4 : 1

Jirka, Martin, Klárka a Ondra spotřebovali keramickou hmotu v poměru 3 : 2 : 4 : 1.

b) Sečteme počet dílů poměru

Převedeme na gramy

Hmotnost jednoho dílu

Jirka ... 3 500 1500 ... 1500 g

Martin ... 2 500 1000 ... 1000 g

Klárka ... 4 500 2000 ... 2000 g

Ondra ... 1 500 500 ... 500 g

Ověření celkové spotřeby hmoty

3 + 2 + 4 + 1 = 10

5 g = 5000

5000 : 10 = 500g

1500 1000 2000 500 5000

Na výrobek spotřeboval Jirka 1500 g, Martin 1000 g, Klárka 2000 g a Ondra 500 g

keramické hmoty.

- 82 -

5. Strany trojúhelníka ABC jsou v poměru 1

2 : 2,5 :33

. Nejdelší strana je dlouhá 60 mm. Urči

délky ostatních stran.

Řešení:

2 díly strana

2,5 dílů strana

13 přepona = 60 mm

3

a

b

c

Poměr převedeme na zlomky, prostřední člen krátíme 5, celý poměr rozšíříme číslem 6

12 : 2,5 : 3

3

2 25 10: :

1 10 3

2 5 10: :

1 2 3

12 :15 : 20

Nejdelší strana má 20 dílů a měří 60 mm.

20 dílů ... 60 mm

1 díl ... 60 : 20 = 3 mm

Výpočet a ověření:

15 dílů 3 15 45 45 mm

12 dílů 3 12 36 36 mm

20 dílů 3 20 60 60 mm

b

a

c

Trojúhelník ABC má délky zbývajících stran 45 mm a 36 mm.

- 83 -

6. Úhly alfa, beta a gama v trojúhelníku ABC jsou v poměru 3 : 4 : 5.

a) Urči velikosti úhlů v trojúhelníku.

b) Je trojúhelník ABC pravoúhlý?

Řešení a ověření:

α ... 3 díly

β ... 4 díly

χ ... 5 dílů

Sečteme čísla poměru 3 + 4 + 5 = 12

Součet úhlů v trojúhelníku 180°

a) 12 dílů ... 180°

1 díl ... 180 :12 15°

3 díly ... 3 15 = 45 α = 45°

4 díly ... 4 15 = 60 β = 60°

5 dílů ... 5 15 = 75 χ = 75°

12 dílů ... 12 15 = 180 celkem 180°

V trojúhelníku ABC je úhel alfa 45°, úhel beta 60° a úhel gama 75°.

b) Žádný z úhlů není pravý. Trojúhelník ABC není pravoúhlý

- 84 -

7. Úhly alfa, beta a gama v trojúhelníku ABC jsou v poměru 3 : 7 : 10.

a) Urči velikosti úhlů v trojúhelníku.

b) Je trojúhelník ABC pravoúhlý?


α ... 3 díly

β ... 7 dílů

χ ... 10 dílů


Součet úhlů v trojúhelníku 180°

a) 20 dílů ... 180°

1 díl ... 180 : 20 = 9°

3 díly ... 3 9 27 27

7 dílů ... 7 9 63 63

10 dílů ... 10 9 90 90

20 dílů ... 20 9 180 celkem 180°

V trojúhelníku ABC je úhel alfa 27°, úhel beta 63° a úhel gama 90°.

b) Právě jeden úhel v trojúhelníku je pravý - úhel gama je 90°. Trojúhelník ABC je

proto pravoúhlý.

- 85 -

8. Obvod trojúhelníka XYZ je 168 m. Délky jeho stran jsou v poměru 10 : 9 : 5. Urči délky

jeho stran.


... 10 dílů

... 9 dílů

... 5 dílů

x

y

z

sečteme díly celkem 10 + 9 + 5 = 24 dílů

24 dílů ... 168 cm

1 díl ... 168 : 24 = 7 cm

10 dílů ... 10 7 70 70 cm

9 dílů ... 9 7 63 63 cm

5 dílů ... 5 7 35 35 cm

24 dílů ... 24 7 168 obvod = 168 cm

x

y

z

V trojúhelníku XYZ je strana x dlouhá 70cm, strana y = 63 m a strana z = 35 m.

9. Soška z bronzu má hmotnost jeden kilogram. Bronz je slitina cínu a mědi v poměru 1 : 4.

Kolik gramů mědi a kolik gramů cínu obsahuje soška?


měď ... 1 díl

cín ... 4 díly

Sečteme čísla poměru 1 + 4 = 5

Převedeme 1kg = 1000g

5 dílů ... 1000 g

1 díl ... 1000 : 5=200 g

1 díl ... 1 200 200 měď = 200 g

4 díly ... 4 200 800 cín = 800 g

5 dílů ... 5 200 1000 bronz = 1000 g

Bronzová soška s hmotností 1kg obsahuje 200 g mědi a 800 g cínu.

- 86 -

10. Lano dlouhé 144 m máme rozřezat na 4 části, které jsou v poměru 3 : 5 : 4 : 6. Kolik

metrů měří každá část lana?


Sečteme čísla poměru 3 + 5 + 4 + 6 = 18

18 dílů ... 144 m

1 díl ... 144 : 18 8 m

3 díly 3 8 24 1. část 24 m

5 dílů 5 8 40 2. část 40 m

4 díly 4 8 32 3. část 32 m

6 dílů 6 8 48 4. část 48 m

Jednotlivé části lana v daném poměru mají délku 24 m, 32 m, 40 m a 48 m.

11. Je dán trojúhelník ABC. Délky jeho stran a:b:c jsou v poměru 3 : 5 : 7. Nejkratší strana

měří 9 cm.

a) Urči délky stran trojúhelníka.

b) Vypočítej obvod trojúhelníka.


Nejkratší strana v poměru má 3 díly.

Zjistíme délku jednoho dílu.

3 díly ... 9 cm

1 díl ... 9 : 3 = 3 cm

a) 3 díly ... 3 3 9 a = 9 cm

5 dílů ... 3 5 15 b = 15 cm

7 dílů ... 3 7 21 c = 21 cm

V trojúhelníku má při daném poměru strana a délku 9 cm, strana b = 15 cm a strana

c = 21cm.

b)

9 15 21

45 cm

O a b c

O

O

Obvod trojúhelníka ABC je 45cm.

- 87 -

12. Je dán trojúhelník ABC. Délky jeho stran a : b : c jsou v poměru 1 : 4 : 5. Nejdelší strana

měří 15 cm.

a) Urči délky stran trojúhelníka.

b) Vypočítej obvod trojúhelníka.


Nejdelší strana v poměru má 5 dílů.

5 dílů ... 15 cm

1 díl ... 15 : 5 = 3 cm

a) 1 díl ... 3 1 = 3 a = 3 cm

4 díly ... 3 4 = 12 b = 12 cm

5 dílů ... 3 5 = 15 c = 15 cm

V trojúhelníku má při daném poměru strana a délku 3 cm, strana b 12 cm a strana c

15 cm.

b)

3 12 15

30 cm

O a b c

O

O

Obvod trojúhelníka ABC je 30cm.

13. Stydlín, Šmudla a Štístko sbírali do společné truhličky valounky v poměru 2 : 13 : 11.

Stydlín si své zapisoval a má nyní 1200 kusů valounků. Kolik kusů měli tři trpaslíci

nasbíráno společně v truhličce?


2 díly ... 1200 ks

1 díl ... 1200 : 2 = 600 ks

2 díly ... 2 600 = 1200 Stydlín = 1200 ks

13 dílů ... 13 600 = 7800 Šmudla = 7800 ks

11 dílů ... 11 600 = 6600 Štístko = 6600 ks

Celkem 1200 + 7800 + 6600 = 15600

Trpaslíci mají v truhličce společně nasbíráno 15600 ks valounků.

- 88 -

14. Je dán trojúhelník KLM. Vnitřní úhly jsou v poměru 5 : 1 : 3. Rozhodni (a zdůvodni), zda

je trojúhelník:

a)pravoúhlý

b)ostroúhlý

c) tupoúhlý



Součet vnitřních úhlů 180°

9 dílů ... 180°

1 díl ... 180 : 9 = 20°

5 dílů ... 5 20 100 100

1 díl ... 1 20 20 20

3 díly ... 3 20 60 60

9 dílů ... 9 20 180 100 20 60 180

KLM

LMK

MKL

R

R

R

Trojúhelník je tupoúhlý, protože jeden jeho úhel je větší než 90°.

15. Adam, Bedřich a Cyril si mají rozdělit výhru 13800,- Kč podle vkladu. Adam a Bedřich

v poměru 3 : 4, Adam a Cyril v poměru 2 : 3. Kolik korun dostal každý z výhry?


Poměr dvojic uvedeme rozšířením na poměr celé trojice.

Adam Bedřich Cyril

3: 4 / 2

2 : 3 / 3

6 : 8 : 9

Sečteme čísla upraveného poměru 6 + 8 + 9 = 23

23 dílů ... 13800,- Kč

1 díl ... 13800 : 23 = 600,- Kč

6 dílů ... 6 600 3600 Adam = 3600 Kč

8 dílů ... 8 600 4800 Bedřich = 4800 Kč

9 dílů ... 9 600 5400 Cyril = 5400 Kč

23 dílů ... 23 600 13800 3600 + 4800 + 5400 = 13800 Kč

Adam dostal z výhry 3600 Kč, Bedřich získal 4800 Kč a Cyril vyhrál 5400 Kč.

- 89 -

16. Bazén má rozměry dány poměrem d : š : h = 50 : 16 : 4. Hloubka bazénu je dva metry a je

napuštěn 20 cm pod okraj. Kolik je v něm hektolitrů vody?


Převedeme na stejné jednotky.

délka ... 50 dílů

šířka ... 16 dílů

hloubka ... 4 díly 2 m = 200 cm

4 díly ... 200 cm

1 díl ... 200 : 4 = 50 cm

50 dílů ... délka 50 50 = 2500 cm

16 dílů ... šířka 50 16 = 800 cm

4 díly ... hloubka 50 4 - 20 = 180 cm

3 3

2500 800 180

360000000 cm 360000 dm (l) 3600 hl.

V a b c

V

V

V bazéně je napuštěno 3600 hl vody.

Měřítko plánu a mapy - úvod

S měřítkem se nejčastěji setkáte na mapách a plánech v zeměpisu, ale také na plánech ve

stavebnictví, na technických výkresech ve strojírenství nebo v modelářství.

Měřítko 1 : 1 znamená, že předmět je zobrazen ve skutečné velikosti.

Měřítko 1 : 500 zobrazuje skutečnost zmenšenou. Znamená to, že 1 cm na plánu představuje

500 cm ve skutečnosti.

( Rozměry na plánu jsou 500krát menší než ve skutečnosti.)

Měřítko 5 : 1 znamená, že 5 cm na plánku představuje 1 cm ve skutečnosti.

( Rozměry jsou na plánku 5krát zvětšeny. Např.: výkresy strojnických součástek.)

PAMATUJ !

- 90 -

V měřítku udává první člen vždy velikost na mapě(výkresu) a druhý člen udává skutečnou

velikost.

1 : 200 000

1 cm na mapě = 200 000 cm ve skutečnosti

Měřítko plánu a mapy cvičení:

1. Vypočítejte měřítko mapy, na které je vzdálenost 5 km vyznačena úsečkou o délce 20 cm.

Řešení:

5 km = 500 000 cm

20 : 500 000 = 2 : 50 000 = 1 : 25 000

Měřítko mapy je 1 : 25 000.

jiný způsob zápisu řešení:

20 : 500000

2 : 50000

1: 25000

2. V jakém měřítku je technický výkres, na kterém je skutečná délka 2,5 mm znázorněna

úsečkou 12,5 cm ?

Řešení:

12,5 cm = 125 mm

125 : 2,5 = 1250 : 25 = 50 : 1

Technický výkres má měřítko 50 : 1 .

3. V jakém měřítku je plán obce, jestliže parcela široká 44 m má na tomto plánu šířku 2,2 cm?

Řešení:

44 m = 4 400 cm

2,2 : 4 400 = 22 : 44 000 = 1 : 2 000

Plán obce je v měřítku 1 : 2 000 .

- 91 -

4. Města Turnov a Jablonec jsou vzdálena 22 km. Jakou úsečkou bude tato vzdálenost

znázorněna na mapě v měřítku 1 : 250 000 ?

Řešení:

1 způsob:22 km = 2 200 000 cm

jedná se o zmenšení v poměru 1 : 250 000

1 1 82 2000000 220 8 8,8

250000 25 10 cm

Na mapě bude vzdálenost znázorněna úsečkou délky 8,8 cm.

2. způsob: 250 000cm = 2 500 m = 2,5 km

2,5 km ve skutečnosti ………….1 cm na mapě

22 km ve skutečnosti……………22 : 2,5 = 8,8 cm

Tímto způsobem jste pracovali s měřítkem v 6. ročníku v zeměpisu.

5. Určete skutečnou vzdálenost dvou obcí, která je na mapě v měřítku 1 : 75 000 znázorněna

úsečkou 3 cm .

Řešení:

1. způsob: jedná se o zvětšení v převráceném poměru 75 000 : 1

750003

1 225 000 cm = 2 250 m = 2,25 km

Skutečná vzdálenost obcí je 2,25 km.

2. způsob: 75 000 cm = 750 m

1 cm na mapě …….750 m ve skutečnosti

3 cm na mapě……..750 3 = 2 250 m = 2,25 km

Vzdálenost obcí je 2,25 km.

6. Bazén je 50 m dlouhý a 20 m široký. Jaká bude jeho délka a šířka na plánu v měřítku

1 : 200 ?

Řešení:

50 m = 5 000 cm , 20 m = 2 000 cm

1 505000 25

200 2 cm

1

2000 10 cm200

Délka bazénu bude 25 cm a šířka 10 cm.

- 92 -

7. Na plánu v měřítku 1 : 300 je zakreslen dům. Jeho šířka je 3,5 cm a délka 5,5 cm. Udejte

rozměry domu ve skutečnosti.

Řešení:

3003,5 1050 cm = 10,5 m

1

300

5,5 1650 cm = 16,5 m1

Skutečné rozměry domu jsou 10,5 m a 16,5 m.

8. Na železničním modelu v měřítku 1 : 87 má most délku 228 mm. Určete jeho délku ve

skutečnosti . Výsledek zaokrouhlete na desetiny.

Řešení:

87228 19836 mm = 19,836 m 19,8 m

1 B

Skutečná délka mostu je přibližně 19,8 m.

9. Eva s Pavlem si před výletem určili na turistické mapě v měřítku 1 : 50 000 trasu v délce

18 cm. Jaký čas si na zvládnutí trasy musí rezervovat, jestliže za 1 hodinu ujdou 4 km

a počítají s půlhodinovou přestávkou na svačinu ?

Řešení:

18 50 000 = 900 000 cm = 9 km

Čas: 9 : 4 = 2,25 h 2,25h + 0,5h = 2,75 h = 2 hodiny 45 minut

Musí si rezervovat 2 hodiny a 45 minut.

10. Vzdálenost míst A a B na mapě v měřítku 1 : 75 000 je 6 cm.Jaká je tato vzdálenost na

mapě s měřítkem 1 : 50 000 ?

Řešení:

6 75 000 = 450 000 cm = 4,5 km

1150000 9 cm

150000

Tato vzdálenost je na druhé mapě znázorněna úsečkou délky 9 cm.

- 93 -

11. V internetovém obchodu lze zakoupit modely luxusních vozů v měřítku 1 : 18. Model

Audi 225 (r. 1935) má délku 27 cm a model Ferrari 250 (r. 1958) má délku 23 cm. Zjisti,

skutečnou délku těchto vozů.

Řešení:

Audi : 27 18 = 486 cm = 4,86 m

Ferrari : 23,2 18 = 417,6 cm = 4,176 m

12. Vlak se pohybuje rychlostí 108 km/h. Jak rychle by se měl pohybovat jeho model

zmenšený v měřítku 1 : 120 ? Výsledek udejte v cm / s .

Řešení:

108 km / h = 10800000

30003600

cm /s

1300 25

120 cm / s

Model vlaku by se měl pohybovat rychlostí 25 cm/s.

13. Na turistické mapě v měřítku 1: 10 000 je vyznačena řeka o šířce 1,5 cm. Přeplave ji

Tomáš, který zatím uplave bez odpočinku 120 metrů?

Řešení:

1,5 10 000 = 15 000 cm = 150 m

Nepřeplave, protože řeka má šířku 150 m.

14. Modely největších letadel se vyrábí v měřítku 1 : 400. Letadlo Airbus A 380 má rozpětí

křídel 79,8 m a celková délka letadla je 73 m. Vypočítejte, jaké bude mít rozměry model

tohoto letadla.

Řešení :

9,8 m = 7 980 cm 73 m = 7 300 cm

17980 19,95 cm

400

17300 18,25 cm

400

Délka modelu bude přibližně 18,3 cm a rozpětí křídel 20 cm.

- 94 -

15. Pole na plánu v měřítku 1: 5000 je znázorněno jako obdélník o stranách 12 cm a 4,5 cm.

Kolik se z tohoto pole sklidilo brambor, byl- li hektarový výnos 18 tun ?

Řešení :

12 . 5 000 = 60 000 cm = 600 m

4,5 5 000 = 22 500 cm = 225 m

S = a b = 600 225 = 135 000 m2 = 13,5 ha

13,5 18 = 243 t

Z pole se sklidilo 243 tun brambor.

16. Obdélníková zahrada má na plánu v měřítku 1 : 200 rozměry 7 cm a 5 cm. Květinový

záhon na zahradě je zobrazen jako čtverec o straně 3,5 cm. Zbytek zahrady je osázen

stromy. Kolik metrů čtverečných zahrady je osázeno stromy ?

Řešení :

7 200 = 1 400 cm = 14 m

5 200 = 1 000 cm = 10 m

S = a b = 14 . 10 = 140 m2

3,5 200 = 700 cm = 7 m

S = a a = 7 . 7 = 49 m2

140 – 49 = 91 m2

Na zahradě je 91 m2 osázeno stromy.

- 95 -

17. Na mapě ČR (ve školním atlasu světa) určete délku naší hranice se Slovenskem. Návod:

pečlivě přikládejte provázek, nit a změřte jeho délku.

Možné řešení:

měřítko mapy …1 : 4 000 000

mapa ….6,2 cm

skutečnost ….6,2 4 000 000 = 24 800 000 cm = 248 km

Délka naší hranice se Slovenskem je 248 km.

18. Podle politické mapy Evropy zjisti kolik kilometrů celkem uletí letadlo na trase Berlín –

Praha – Varšava.

Možné řešení :

měřítko 1 : 20 000 000

Berlín – Praha ..................... 1,4 cm

Praha – Varšava ................. 2,6 cm

Berlín – Praha ..................... 1,4 20 000 000 = 28 000 000 cm = 280 km

Praha – Varšava .................. 2,6 20 000 000 = 52 000 000 cm = 520 km

Trasa .................................. 280 + 520 = 800 km

Letadlo uletí celkem 800 km.

19. Na politické mapě Jižní Ameriky ve školním atlasu světa urči co nejpřesněji délku pobřeží

státu Chile.

Možné řešení :

měřítko : 1 : 40 000 000

mapa ................................... 11,5 cm

skutečnost .......................... 1,5 40 000 000 = 460 000 000 cm = 4 600 km

Délka pobřeží je přibližně 4 600 km.

- 96 -

20. Na mapě ČR ve školním atlasu světa změřte co nejpřesněji délku silnice z Plzně do

Železné Rudy na Šumavě. Vypočítejte skutečnou vzdálenost obou měst.

Možné řešení :

měřítko ............................... 1 : 1 200 000

mapa ................................... 5,7 cm

skutečnost ........................... 5,7 1 200 000 = 6 840 000 cm = 68,4 km

Skutečná vzdálenost obou měst je přibližně 68,4 km.

21. Na mapě ČR ve školním atlasu světa určete největší vzdušnou vzdálenost naší republiky

ve směru západ – východ a ve směru sever – jih.

Možné řešení :

měřítko 1 : 1 200 000

Z – V .................. 40 cm ................... 40 1 200 000 = 48 000 000 cm = 480 km

S – J .................... 22,5 cm ................ 22,5 1 200 000 = 27 000 000 cm = 270 km

Největší vzdušná vzdálenost naší republiky ve směru západ východ je 480 km, a ve směru

sever jih 270 km.

Měřítko plánu a mapy – cvičení I

1. Vypočítejte měřítko mapy, na které je vzdálenost 4 km vyznačena úsečkou o délce 8 cm.

Řešení:

4 km = 400 000 cm

8 : 400 000 = 1 : 50 000

Měřítko mapy je 1 :50 000.

2. Vypočítejte měřítko mapy, na které je vzdálenost 12,4 km vyznačena úsečkou o délce

3,1 cm.

Řešení:

12,4 km = 1 240 000 cm

3,1 : 1 240 000 = 1 : 400 000

Měřítko mapy je 1 . 400 000.

- 97 -

3. Na plánu v měřítku 1 : 400 je zakreslen dům. Jeho šířka je 4,2 cm a délka 5,3 cm. Udejte

rozměry domu ve skutečnosti.

Řešení:

4004,2 1680 cm 16,8m

1

m2,21cm21201

4003,5

Skutečné rozměry domu jsou 16,8 m a 21,2 m.

4. Vzdálenost míst A a B na mapě v měřítku 1 : 50 000 je 8 cm. Jaká je tato vzdálenost na

mapě s měřítkem 1 : 20 000 ?

Řešení:

8 . 50 000 = 400 000 cm = 4 km

cm2020000

1400000

Tato vzdálenost je na druhé mapě znázorněna úsečkou délky 20 cm.

5. Na turistické mapě v měřítku 1 : 20 000 je vyznačeno jezero o šířce 0,8 cm. Přeplave ho

Karel, který zatím uplave bez odpočinku 150 metrů?

Řešení:

0,8 . 20 000 = 16 000 cm = 160 m

Nepřeplave, protože jezero má šířku 150 m.

6. Kukuřičný lán je na plánu v měřítku 1 : 10 000 znázorněn jako obdélník o stranách 9 cm

a 5,5 cm. Jaký byl hektarový výnos , sklidilo-li se z tohoto pole 792 tun kukuřice ?

Řešení :

9 . 10 000 = 90 000 cm = 900 m

5,5 . 10 000 = 55 000 cm = 550 m

S = a . b = 900 . 550 = 495 000 m2 = 49,5 ha

792 : 49,5 = 16 tun

Hektarový výnos z pole byl 16 tun kukuřice.

- 98 -

7. Čtvercová zahrada má na plánu v měřítku 1 : 300 rozměr 8 cm. Bazén na zahradě je

zobrazen jako obdélník o stranách 4 cm a 6 cm. Zbytek zahrady je zatravněn. Kolik metrů

čtverečných zahrady je zatravněno?

Řešení :

8 300 = 2 400 cm = 24 m

6 300 = 1 800 cm = 18 m

4 300 = 1200 cm = 12 m

S = a a = 24 . 24 = 576 m2

S = a b = 12 . 18 = 216 m2

576 – 216 = 360 m2

Zatravněno je 360 m2 zahrady.

8. Na katastrální mapě s měřítkem 1 : 2 000 je ovocný sad pana Dvořáka vyznačen jako

čtverec o straně 12 cm. Kolik metrů pletiva musí pan Dvořák koupit na oplocení svého

sadu ?

Řešení:

mapa………….…12 cm

skutečnost……….12 2 000 = 24 000 cm = 240 m

o = 4 a

o = 4 240

o = 960 m

Pan Dvořák musí koupit 960 m pletiva.

9. Vypočítejte měřítko plánu, na kterém je vzdálenost 18 m vyznačena úsečkou o délce

1,8 cm.

Řešení:

18 m = 1 800 cm

1,8 : 1 800

18 : 18 000

1 : 1 000

Měřítko plánu je 1 : 1 000.

- 99 -

10. Záhon je 35 m dlouhý a 15 m široký. Jaká bude jeho délka a šířka na plánu v měřítku

1 : 200 ?

Řešení:

35 m = 3 500 cm , 15 m = 1 500 cm

1 353500 17,5cm

200 2

cm5,7200

11500

Délka záhonu bude 17,5 cm a šířka 7,5 cm.

11. Na plánu v měřítku 1 : 300 je zakreslena zahrada. Její šířka je 5,6 cm a délka 7,2 cm.

Udejte rozměry zahrady ve skutečnosti.

Řešení:

m8,16cm16801

3006,5

m6,21cm21601

3002,7

Skutečné rozměry zahrady jsou 16,8 m a 21,6 m.

12. Pšeničné pole na plánu v měřítku 1: 5000 je znázorněno jako obdélník o stranách 14 cm a

6 cm. Kolik se z tohoto pole sklidilo pšenice, byl- li hektarový výnos 19 tun ?

Řešení :

14 . 5 000 = 70 000 cm = 700 m

6 . 5 000 = 30 000 cm = 300 m

S = a .

b = 700 . 300 = 210 000 m

2 = 21 ha

21 . 19 = 399 t

Z pole se sklidilo 399 tun pšenice.

13. Obdélníková zahrada má na plánu v měřítku 1 : 200 rozměry 6 cm a 4 cm. Dva květinové

záhony na zahradě jsou zobrazeny jako čtverce o straně 3 cm. Zbytek zahrady je zatravněn.

Kolik metrů čtverečných zahrady je zatravněno?

Řešení :

6 . 200 = 1 200 cm = 12 m

4 . 200 = 800 cm = 8 m

- 100 -

S = a . b = 12

. 8 = 96 m

2

3 . 200 = 600 cm = 6 m

S = a .

a = 6 . 6 = 36 m

2

2S = 36. 2 = 72m

2

96m2

– 72 m2 = 24 m

2

Zatravněno je 24 m2 zahrady.

Úměra - úvod

Na výstavě visí vedle sebe dva obrazy. Jeden má rozměry 15 dm a 10 dm, druhý 9 dm a 6 dm.

V jakém poměru jsou rozměry obrazů ?

Rozměry prvního obrazu jsou v poměru 15 : 10 = 3 : 2.

Rozměry druhého obrazu jsou v poměru 9 : 6 = 3 : 2.

Rozměry obou obrazů jsou ve stejném poměru 3 : 2, platí tedy, že: 15 : 10 = 9 : 6.

Rovnost dvou poměrů se nazývá úměra.

15 : 10 = 9 : 6

Úměra se skládá z vnějších a vnitřních členů.

Úměru můžeme zapsat také jako rovnost zlomků :

6

9

10

15

Když rozšíříme první zlomek šesti a druhý deseti, rovnost zlomků zůstane zachována:

106

109

610

615

Jmenovatelé zlomků se sobě rovnají, proto se rovnají i čitatelé :

109615

Čísla 15 a 6 jsou vnější členy úměry, čísla 9 a 10 jsou vnitřní členy úměry.

Platí tedy:

Součin vnějších členů úměry se rovná součinu jejich vnitřních členů.

- 101 -

1. Který z následujících zápisů je správný a vyjadřuje úměru ?

a) 15:215:7

b) 24:123,0:18,0

c) 4:34

1:

3

1

Řešení :

a) 21 : 15 vykrátíme třemi a dostaneme 7 : 5 – zápis vyjadřuje úměru

b) 0,18 : 0,3 rozšíříme stem a krátíme šesti a dostaneme 18 : 30 = 3 : 5

12 : 24 krátíme dvanácti a dostaneme 1 : 2 – zápis nevyjadřuje úměru

c) 1 1:

3 4rozšíříme dvanácti a dostaneme 4 :3 – zápis nevyjadřuje úměru

2. Určete neznámý člen úměry x:1514:10

Řešení :

10 :14 15 : / 14,:

10 14 15

10 210

21

x x

x

x

x

3. Určete neznámý člen úměry:

a) x:18035:14

b) 6,5:4,116: x

c) 85:3460: x

d) x:76,0:35,0

e) 5:2

12:

2

13 x

f) x:24,02,1:8,0

Řešení :

- 102 -

a) 14 : 35 180 : / , 35

14 35 180

14 6300

6300 :14

450

x x

x

x

x

x

b) :16 1,4 : 5,6 / 16, 5,6

5,6 16 1,4

5,6 22,4

22,4 : 5,6

4

x

x

x

x

x

c) : 60 34 :85 / 60, 85

85 60 34

85 2040

2040 :85

24

x

x

x

x

x

d) 0,35 : 0,6 7 : / 0,6,

0,35 0,6 7

0,35 4,2

4,2 : 0,35

12

x x

x

x

x

x

e) 1 1 1

3 : 2 : 5 / 2 , 52 2 2

3,5 5 2,5

17,5 2,5 / : 2,5

17,5 : 2,5

7

x

x

x

x

x

f) 0,8 :1,2 0,24 : / 1,2;

0,8 1,2 0,24

0,8 0,288

0,36

x x

x

x

x

- 103 -

Neznámý člen úměry cvičení I

1. Vypočti neznámý člen úměry

a) 3:12 : 24x

b) 7 :8 4,2 : x

c) 28: 5,6 :1x

d) 1

: 27 :183

x

Řešení:

a) 3:12 : 24

3 24 12

3 24

12

3 2

6

x

x

x

x

x

b) 7 :8 4, 2 :

7 8 4, 2

33,6

7

4,8

x

x

x

x

c) 28 : 5,6 :1

28 1 5,6

28

5,6

280

56

5

x

x

x

x

x

d) 1

: 27 :183

118 27

3

18 9

9

18

1

2

x

x

x

x

x

- 104 -

2. Vypočti neznámý člen úměry:

a) 3

13: 20 :95

x

b) 1

: 24 3 :52

x

Řešení:

a) 3

13: 20 : 95

313 9 20

5

4813 20

5

13 48

20 5

624

100

6, 24

x

x

x

x

x

x

b) 1

: 24 3 : 52

75 24

2

5 12 7

5 84

84 : 5

16,8

x

x

x

x

x

x


a) 256:16:4 x

b) x:1,24:5,3

c) 14: 2,8:0,5x

d) 8:369

1: x

- 105 -

Řešení:

a) 4 :16 : 256

4 256 16

4 256

16

256

4

64

x

x

x

x

x

b) 3,5 : 4 2,1:

3,5 4 2,1

8,4

3,5

2,4

x

x

x

x

c) 14 : 2,8 : 0,5

14 0,5 2,8

14 0,5

2,8

7

2,8

2,5

x

x

x

x

x

d) 1

: 36 :89

18 36

9

8 4

4

8

1

2

x

x

x

x

x

- 106 -


a) 5

119:40:26 x

b) 3

:12 1 : 2,54

x

Řešení:

a) 1

26 : 40 :195

126 :19 40

5

9626 40

5

26 96

5 40

26 24

5 10

26 12

5 5

312

25

12, 48

x

x

x

x

x

x

x

x

b) 3

:12 1 : 2,54

32,5 12 1

4

72,5 12

4

2,5 3 7

21: 2,5

8, 4

x

x

x

x

x

x

- 107 -

5. Vypočti neznámý člen úměry

a) : 27 12: 4x

b) 2,4 : 4 :0,9x

c) 4,6 : 8:5,6x

d) 7,6 :3,8 6,2 : x

e) 2 2 1

2 : :33 9 4

x

f) 2 2

1,5 : : 23 5

x

Řešení:

a) : 27 12 : 4

4 27 12

4 324

324 : 4

81

x

x

x

x

x

b) 2, 4 : 4 : 0,9

4 2,4 0,9

4 2,16

2,16 : 4

0,54

x

x

x

x

x

c) 4,6 : 8 : 5,6

8 4,6 5,6

8 25,76

25,76 :8

3,22

x

x

x

x

x

d) 7,6 : 3,8 6,2 :

7,6 3,8 6,2

7,6 23,56

23,56 : 7,6

3,1

x

x

x

x

x

- 108 -

e) 2 2 1

2 : : 33 9 4

2 2 12 3

9 3 4

2 8 13

9 3 4

2 26

9 3

26 2:

3 9

26 9

3 2

39

x

x

x

x

x

x

x

f) 2 2

1,5 : : 23 5

2 21,5 2

3 5

21,5 2, 4

3

23,6

3

23,6 :

3

33,6

2

5, 4

x

x

x

x

x

x

x

6. Vytvoř z daných poměrů dvě úměry:

a) 5 : 2 ; 3 : 7 ; 20,8 :15,6 ; 42 : 98 ; 4 . 3

b) 2 : 9 ; 1 : 6 ; 7,2 : 32,4 ; 7 : 4 ; 84 : 48

Řešení:

a) 42 : 98 = 21 : 49 = 3 : 7 3 : 7 = 42 : 98

20,8 : 15,6 = 208 : 156 = 104 : 78 = 52 : 39 = 4 : 3 ........... 4 : 3 = 20,8 : 15,6

b) 84 : 48 = 21 : 12 = 7 : 4 7 : 4 = 84 : 48

7,2 : 32,4 = 72 : 324 = 12 : 54 = 2 : 9 ................................. 2 : 9 = 7,2 : 32,4

- 109 -

Neznámý člen úměry cvičení II

1. Vypočtěte neznámý člen úměry: 6:24 :48x

Řešení:

6 : 24 : 48

6 48 24

288 24

12

x

x

x

x

2. Vypočtěte neznámý člen úměry: 3,5:4 2,1:x

Řešení:

3,5 : 4 2,1:

3,5 4 2,1

3,5 8,4

2,4

x

x

x

x

3. Vypočtěte neznámý člen úměry: 7: 1,4:0,25x

Řešení:

7 : 1,4 : 0,25

7 0,25 1,4

1,75 1,4

1,75 :1,4

1,25

x

x

x

x

x

4. Vypočtěte neznámý člen úměry: 2

2 : 54:363

x

Řešení:

22 : 54:36

3

22 36 54

3

72 36

36 : 72

0,5

x

x

x

x

x

- 110 -

5. Vypočtěte neznámý člen úměry: 1 4

6,5:10 :42 5

x

Řešení:

1 46,5:10 :4

2 5

6,5:10 0,5 :4,8

6,5 4,8 10 0,5

31,2 5

31,2 : 5

6,24

x

x

x

x

x

x

6. Vypočtěte neznámý člen úměry:1

:48 7 :102

x

Řešení:

1:48 7 :10

2

110 48 7

2

1510 48

2

10 24 15

10 360

36

x

x

x

x

x

x

7. Vypočtěte neznámý člen úměry: 6:24 :48x

Řešení:

6 : 24 : 48

6 48 24

288 24

12

x

x

x

x

- 111 -

8. Vypočtěte neznámý člen úměry: 3,5:4 2,1:x

Řešení:

3,5 : 4 2,1:

3,5 4 2,1

3,5 8,4

2,4

x

x

x

x


Řešení:

7 : 1,4 : 0,25

7 0,25 1,4

1,75 1,4

1,75 :1,4

1,25

x

x

x

x

x


2 : 54:363

x

Řešení:

22 : 54:36

3

22 36 54

3

72 36

36 : 72

0,5

x

x

x

x

x

- 112 -

11. Vypočtěte neznámý člen úměry: 1 4

6,5:10 :42 5

x

Řešení:

1 46,5:10 :4

2 5

6,5:10 0,5 :4,8

6,5 4,8 10 0,5

31,2 5

31,2 : 5

6,24

x

x

x

x

x

x


:48 7 :102

x

Řešení:

1:48 7 :10

2

110 48 7

2

1510 48

2

10 24 15

10 360

36

x

x

x

x

x

x

13. Vypočtěte neznámý člen úměry: 0,3:1,2 : 2,4x

Řešení:

0,3 :1,2 : 2,4

0,3 2,4 1,2

0,72 1,2

0,72 :1,2

0,6

x

x

x

x

x

- 113 -

14. Vypočtěte neznámý člen úměry: 7 :8 4,2 : x

Řešení:

7 :8 4,2 :

7 8 4,2

7 33,6

33,6 : 7

4,8

x

x

x

x

x

15. Vypočtěte neznámý člen úměry:14: 2,8:0,5x

Řešení:

14 : 2,8 : 0,5

14 0,5 2,8

7 2,8

7 : 2,8

2,5

x

x

x

x

x


: 27 :183

x

Řešení:

1: 27 :183

118 27

3

18 9

9 :18

0,5

x

x

x

x

x

17. Vypočtěte neznámý člen úměry: 65:100 5 : 48x

Řešení:

65 :100 5 : 48

65 48 100 5

3120 500

3120 : 500

6,24

x

x

x

x

x

- 114 -


: 24 3 :54

x

Řešení:

3: 24 3 : 5

4

15: 24 : 5

4

155 24

4

5 90

90 : 5

18

x

x

x

x

x

x

19. Vypočtěte neznámý člen úměry: : 2 1,25:10x

Řešení:

: 2 1,25 :10

10 2 1,25

2,5 :10

0,25

x

x

x

x

20. Vypočtěte neznámý člen úměry:10:7 2: x

Řešení:

10 : 7 2 :

10 7 2

10 14

14 :10

1,4

x

x

x

x

x


Řešení:

24 : 0,8 : 3,6

24 3,6 0,8

86,4 0,8

86,4 : 0,8

108

x

x

x

x

x

- 115 -


: 2 :83

x

Řešení:

4: 2 :8

3

48 2

3

88

3

8 1

3 8

1

3

x

x

x

x

x

23. Vypočtěte neznámý člen úměry:1 1

2 :1 2 :2 4

x

Řešení:

1 12 :1 2 :

2 4

5 5: 2 :

2 4

5 52

2 4

5 10

2 4

10 2

4 5

20

20

1

x

x

x

x

x

x

x

- 116 -


5: 4 :38 2

x

Řešení:

3 15 : 4 : 3

8 2

7 355

2 8

35 35

2 8

35 8

2 35

4

x

x

x

x

x


2 :1 :5 5

x

Řešení:

4 32 :1 :

5 5

3 42 1

5 5

6 9

5 5

6 5

5 9

6

9

2

3

x

x

x

x

x

x

26. Vypočtěte neznámý člen úměry: :1,4 0,75: 4,2x

Řešení:

:1, 4 0,75 : 4,2

4,2 1,4 0,75

4,2 1,05

1,05 : 4,2

0,25

x

x

x

x

x

- 117 -

27. Žák zvětšoval na výkres obrázek 9 cm dlouhý a 7 cm široký. Jakou délku bude mít

zvětšený obrázek, jestliže jeho šířka bude 12,6 cm?

Řešení:

9 : 7 :12,6

9 12,6 7

113,4 : 7

16,2cm

x

x

x

x

Zvětšený obrázek bude mít délku 16,2 cm.

28. Zahrada má tvar obdélníku, je 25 m dlouhá a má stejný obsah jako obdélníkové pole

s rozměry 10 m a 40 m. Jak široká je zahrada? Kolik arů měří zahrada?

Řešení:

25 10 40

400 : 25

16m

S 25 16

x

x

x

2

400 : 25

S 400m 4a

x

Zahrada je široká 16 m a má výměru 4 ary.

29. Čím vyšší je strom, tím delší je jeho stín. Určete výšku smrku, má-li jeho stín délku 7,2 m,

jestliže v téže době dává tyč vysoká 2 m stín délky 0,8 m.

Řešení:

, ,

smrk : tyč

: :

: 2 7, 2 : 0,8

0,8 2 7, 2

0,8 14, 4

14, 4 : 0,8

18m

v v d d

x

x

x

x

x

Smrk je vysoký 18 m.

- 118 -

30. Mikuláš rozdával dětem v mateřské škole ořechy. Kdyby dal každému dítěti 10 ořechů,

vystačily by jen pro 16 dětí. Kolik ořechů dal každému dítěti, jestliže jimi podělil 20 dětí?

Počítejte úměrou a ověřte výpočet zpaměti.

Řešení:

:10 16 : 20

20 10 16

20 160

160 : 20

8

x

x

x

x

x

Zk:..........10 16 160

160 : 20 8

Mikuláš dal každému dítěti 8 ořechů.

31. Jana plete šálu. Kdyby pletla denně půl hodiny, byla by s prací hotova za 8 dní. Kolik

minut musí denně plést, aby dokončila šálu za 6 dní?Počítejte úměrou a výsledek ověřte

zpaměti.

Řešení:

: 30 8 : 6

6 30 8

6 240

240 : 6

40min

x

x

x

x

x

Zk:..........8 30 240

240:6 40

Jana musí denně plést 40 minut.

- 119 -

32. Mezi danými poměry jsou si dva rovny. Vyhledejte je a zapište.

48:6018,:308,:1012,:8b)

20:125,:315,:6a)

Řešení:

a) 6 :15 2 : 5

3: 5

12 : 20 3: 5

3: 5 12 : 20

b) 8 :12 2 : 3

10 :8 5 : 4

30 :18 5 : 3

60 : 48 5 : 4

10 :8 60 : 48

Jsou si rovny: a) 3:5 = 12:20 b) 10:8 = 60:48.

33. Které ze zápisů představují úměry: a) 6,4:3,6 18:32

b) 10:1,6 50:8

1 3 1c) 6 :3 13:7

2 4 3

d) 2:9 0,4 :1,8

Řešení:

a) 6,4:3,6 18:32

6,4 32 3,6 18

204,8 64,8

ne

b) 0 :1,6 50 :8

10 8 1,6 50

80 80

ano

- 120 -

c) 1 3 16 :3 13:7

2 4 3

13 15 22: 13:

2 4 3

13 22 15

2 3 4 13

143 195

3 4

572 585

ne

d) 2:9 0,4:1,8

2 1,8 9 0,4

3,6 3,6

ano

34. Určete neznámý člen úměry: 3:0,42 10: 2x

Řešení:

3: 0,42 10 : 2

3 2 0,42 10

6 4,2

4,2 : 6

0,7

x

x

x

x

x

35. Určete neznámý člen úměry:1 3 2

: :4 8 5

x

Řešení:

1 3 2: :

4 8 5

1 2 3

4 5 8

1 3

10 8

1 8

10 3

4

15

x

x

x

x

x

- 121 -

36. Určete neznámý člen úměry:10,8:3,48 3,6 : 2x

Řešení:

10,8 : 3,48 3,6 : 2

10,8 2 3,48 3,6

21,6 12,528

12,528 : 21,6

0,58

x

x

x

x

x

Neznámý člen úměry – cvičení III


a) 12 : 44 : 64

b) 0,6 : 0,12 : 2,4

c) 4

5:

2

1:

3

7

d) 28

5:

14

3:

7

9

e) 2

11:

4

22:

5

42

f) 3,9 : 6,3 : 9,3

g) 2 448 : 1 840 : 1 536

h) 0,68 : 1,24 : 0,36

i) 250 : 400 : 650

j) 4,9 : 6,3 : 9,1

Řešení:

a) 12 : 44 : 6 4 = 3 : 11 :16

b) 0,6 : 0,12 : 2,4 = 60 : 12 : 240 = 5 : 1 : 20

c) 15:6:28

4

5:

2

1:

3

7

d) 5:6:36

28

5:

14

3:

7

9

e) 15:25:2830:50:56

2

3:

4

10:

5

14

2

11:

4

22:

5

42

f) 3,9 : 6,3 : 9,3 = 39 :63 : 93 = 13 : 21 : 31

g) 2 448 : 1 840 : 1 536 = 612 : 460 : 384 = 153 : 115 : 96

h) 0,68 : 1,24 : 0,36 = 68 : 124 : 36 = 17 : 31 : 9

- 122 -

i) 250 : 400 : 650 = 5 : 8 : 13

j) 4,9 : 6,3 : 9,1 = 49 : 63 : 91 = 7 : 9 : 13

2. Urči neznámý člen úměry:

a) 10 : 15 = 14 : x

b) 12 : 180 = 35 : x

c) x : 18 = 1,4 : 6

d) x : 120 = 68 : 170

e) 2,1 : 0,6 = 7 : x

f) 2,3 : x = 4 : 2,8

g) 40 : 28 = 24 : x

h) x : 8 = 0,7 : 2,8

i) 3,8 : 1,9 = 3,1 : x

j) 1,2 : x = 4 : 0,9

Řešení:

a)

21

21010

141510

:1415:10

x

x

x

x

b) 12 :180 35 :

12 180 35

12 6300

525

x

x

x

x

c)

2,4

2,256

4,1186

6:4,118:

x

x

x

x

d)

48

8260170

68120170

170:68120:

x

x

x

x

e)

2

2,41,2

76,01,2

:76,0:1,2

x

x

x

x

- 123 -

f)

61,1

44,64

8,23,24

8,2:4:3,2

x

x

x

x

g)

8,16

67240

242840

:2428:40

x

x

x

x

h)

2

6,58,2

7,088,2

8,2:7,08:

x

x

x

x

i)

55,1

89,58,3

1,39,18,3

:1,39,1:8,3

x

x

x

x

j)

27,0

08,14

9,02,14

9,0:4:2,1

x

x

x

x

- 124 -

Přímá úměrnost

Za 6 skleněných misek zaplatila maminka 150 Kč.

Kolik stojí 2 takové misky?

Kolik stojí 4 misky?

Sestavte tabulku cen, rovnici, a graf pro 1 až 10 misek.

Řešení:

Počet misek x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cena misek y 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

Dvě misky stojí 50 Kč, 4 misky stojí 100 Kč.

Závěr:

Kolikrát se zvětší (zmenší) počet kusů misek, tolikrát se zvětší (zmenší) cena misek.

Počet misek a jejich cena jsou přímo úměrné.

Tabulku doplníme o další řádek:

Počet misek x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cena misek y 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 :y x 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

Podíl :y x sobě odpovídajících hodnot proměnných je stejný a nazývá se

koeficient přímé úměrnosti.

Označujeme ho k.

Platí: v našem případě

: 25

25

y x

y x

obecně:

Pamatuj:

0,0, kxxky

je rovnice přímé úměrnosti.

:

0, 0

y x k

y k x x k

- 125 -

Uvedenou závislost můžeme vyjádřit i grafem:

Grafem této závislosti může být:

a) přímka, x R

b) polopřímka, x R

c) izolované body, x N

Grafem přímé úměrnosti jsou body o souřadnicích [x,y], ležících na polopřímce, která

prochází počátkem soustavy souřadnic.

Auto jede průměrnou rychlostí 90 km/h.

Sestrojte graf závislosti ujeté vzdálenosti na čase, kterou toto vozidlo ujede za 1, 2, 3, 4, 5

hodin.

Grafem této závislosti je úsečka s krajními body [0;0] a [5;450].

- 126 -

Příklady přímé úměrnosti

1. Rozhodněte, která rovnice je rovnicí přímé úměrnosti a určete její koeficient:

a) 3y x b) 0,8y x

c) 3y x d) 60y x

e) 7 :y x f) 4y

g) 5y x h) 1

2y x

Řešení:

Rovnice přímé úměrnosti a její koeficient:

a) 3y x 3k

b) 0,8y x 0,8k

d) 60y x 0,6k

e) 1

2y x

1

2k

2. Šest stejných hrníčků stojí 210 Kč. Kolik stojí 2 takové hrníčky? Kolik stojí 3 hrníčky?

Sestavte tabulku cen pro 1 až 10 hrníčků.

Řešení:

6 hrníčků stojí 210 Kč

1 hrníček stojí 210 : 6 = 35 Kč

2 hrníčky stojí 35 2 = 70 Kč

3 hrníčky stojí 35 3 = 105 Kč

Počet hrníčků 1 2 3 4 5 6

Cena hrníčku [Kč] 35 70 105 140 175 210

Dva hrníčky stojí 70Kč, tři hrníčky stojí 105Kč.

- 127 -

3. Ubytování v hotelu stojí 5800 Kč za 10 dní. Kolik se zaplatí za týden?

Řešení:

za10dní 5800Kč

za1den 580Kč

za 7dní Kč

7 580

4060 Kč

x

x

x

Za 7 dní se zaplatí 4060 Kč.

4. Hodinky se zpožďují o 30 sekund za 5 dní. O kolik se zpozdí za týden?

Řešení:

za 5dní 30 s

za1den 6 s

za 7dní s

7 6

42 s

x

x

x

Za 7 dní se hodinky zpozdí o 42 s.

5. 400g šunky stojí 51,6 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 1 kg?

Řešení:

400 g stojí 51,6 Kč

1 gstojí 51,6 : 400 0,129 Kč

1000 g stojí Kč

1000 0,129

129 Kč

x

x

x

Jeden kg šunky stojí 129 Kč.

- 128 -

6. 15 dm3 železa má hmotnost 117 kg. Určete hustotu železa v g/cm

3.

Řešení:

3 3

3

3

15 dm 15000 cm

117 kg 117000 g

15000 cm má hmotnost 117000 g

1cm má hmotnost g

117000 :15000

117 :15

7,8 g

x

x

x

x

Hustota železa je 7,8 g/cm3.

7. Přečtěte koeficienty přímé úměrnosti (k):

xyfxye

xydxyc

xybxya

5)3,0)

4)

5

2)

4,2)8)

Řešení:

55)

3,03,0)

4

1

4)

5

2

5

2)

4,24,2)

88)

kxyf

kxye

kx

yd

kxyc

kxyb

kxya

- 129 -

8. Přímá úměrnost, je dána tabulkou, určete její koeficient.

a)

x 1 2 3

y 5 10 15

b)

x 3 4 5

y 6 8 10

c)

x 6 8 10

y 3 4 5

Řešení:

a) yk

x

55

1

10k 5

2

15k 5

3

k 5

k

b) 6k 2

3

8k 2

4

10k 2

5

k 2

c) 3 1k 0,5

6 2

4 1k 0,5

8 2

5 1k 0,5

10 2

k 0,5

- 130 -

9. Rovnice přímé úměrnosti je 3y x .

Rozhodněte bez rýsování, zda body: [2;6], [6;2], [5;15], [4;12] leží na grafu této přímé

úměrnosti.

Řešení:

1212151518266

43125315632236

12;415;52;66;2

Na grafu přímé úměrnosti dané rovnicí 3y x leží tyto body [2;6],[5;15],[4;12].

10. 15 kg jablek stojí 225 Kč. Kolik korun stojí 5 kg? Sestavte tabulku pro 1,2,...15 kg jablek.

Řešení:

15 kg.......... 225 Kč

1 kg ........... 225:15 15 Kč

5 kg ...........75 Kč

x

[kg]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y

[Kč]

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225

Pět kg jablek stojí 75 Kč.

11. Cena osmi vajíček je 19,20 Kč. Kolik vajíček koupíme za 24 Kč?

Řešení:

8 vajec......... 19,2 Kč

1 vejce .......... 19,2:8 2,4 Kč

vajec ..........24 Kč

24 : 2,4

240 : 24

10

x

x

x

x

Za 24 Kč koupíme 10 vajec.

- 131 -

12. Napište rovnice přímé úměrnosti dané uspořádanou dvojicí [3,1; 12,4].

Řešení:

4k

31:124k

1,3:4,12k4

:kk

xy

xyxy

13. Z bazénu vyteče za 5minut 10,5hl vody. Za jak dlouho se vypustí celý bazén o objemu

47,25 m3 vody?

Řešení:

347,25 m 472,5 hl

za 5 minut ....... 10,5 hl

za 1 minutu ....... 10,5:5 2,1 hl

za minut ....... 472,5 hl

472,5 : 2,1 4725 : 21 225 min

225 min 3 h 45 min

x

x

Bazén o objemu 47,25m3 se vypustí za 3hodiny 45minut.

14. Natěrači natřeli za 4hodiny 960m2 plochy. Sestavte tabulku pro 1 až 8 hodin

Řešení:

2

2

4 h..............960 m

1 h................960 : 4 240 m

x [h] 1 2 3 4 5 6 7 8

y [m2] 240 480 720 960 1200 1440 1680 1920

- 132 -

15. Maminka koupila na šaty 3 m látky za 570 Kč. Později přikoupila ještě 75 cm téže látky.

Kolik korun stála všechna látka dohromady?

Řešení:

3 m............570 Kč

1 m.............570 :3 190 Kč

0,75 m.......190 0,75 142,5 Kč

celkem : 570 142,5 712,5

Všechna látka stála dohromady 712,5 Kč.

- 133 -

Přímá úměrnost – souhrnná cviční

1. Rozhodněte, která rovnice je rovnicí přímé úměrnosti a určete její koeficient:

xyxy

xyxy

yxy

xyxy

2h)2g)

30f)8e)

2d)3

1c)

:4b)5,0a)

2

Řešení:

Rovnice přímé úměrnosti a její koeficient:

3030f)

88e)

3

1

3

1c)

5,05,0a)

yxy

yxy

kxy

kxy

2. Přečtěte koeficienty přímé úměrnosti (k):

xyxy

xyxy

xyxy

60f)7e)

7d)

3

2c)

5,4b)3,0a)

Řešení:

a) 0,3 0,3

b) 4,5 4,5

2 2c)

3 3

1d)

7 7

e) 7 7

f) 60 60

y x k

y x k

y x k

xy k

y x k

y x k

- 134 -

3. 200 g salámu stojí 38 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 500 g?

Řešení:

Přímá úměrnost

x = počet gramů

y = cena

k = cena za 100g

95

519

192:38

y

y

kxky

Pět set gramů salámu bude stát 95Kč.

4. Sportovec běžel rychlostí 15 km/h. Kolik kilometrů uběhl za 15 min, 30 min, 45 min,

60 min a 1,5 h? Sestrojte tabulku závislostí vzdálenosti na čase.

Řešení:

Přímá úměrnost

x = počet minut 1,5 h = 90 min

y = počet kilometrů

k = počet km za hodinu

1 1 315km / h 15min h, 30 min h, 45min h

4 2 4

115 3,75

4

115 7,5

2

315 11,25

4

15 1,5 22,5

y k x k

y

y

y

y

Počet min

(x) 15 30 45 60 90

Počet km

(y) 3,75 7,5 11,25 15 22,5

- 135 -

5. Čtyři vinné sklenice stojí 180 Kč. Kolik Kč bude stát šest stejných sklenic?

Řešení:

Přímá úměrnost

x = počet sklenic

y = cena sklenic

k = cena za 1 sklenici

270

45645

4:180

y

ky

kxky

Šest sklenic bude stát 270 Kč.

6. Petr měřil vzdálenost 30 kroků a naměřil 20 m. Jak dlouhé a jak široké je hřiště, jestliže

udělal po délce 128 a po šířce 57 stejně dlouhých kroků?

Řešení:

Přímá úměrnost

x = počet kroků

y = počet metrů

k = délka 1 kroku

38573

2

3,851283

2

3

230:20

y

y

kxky

Hřiště je dlouhé 85,3 m a široké 38 m.

7. Autobus ujede 4 km za 7 minut. Kolik minut pojede do místa vzdáleného 28 km, nebude-li

cestou stavět?

Řešení:

Přímá úměrnost – čím delší dráha, tím delší čas

min49284

7 za ujede km28

min4

7 za ujede km1

min 7 za ujede km4

Autobus dojede do místa za 49 minut.

- 136 -

8. Do nádrže nateče za 5 minut 8,5 hl vody. Za jak dlouho se napustí nádrž o objemu 17 m3 ?

Řešení:

Přímá úměrnost – čím větší objem, tím větší doba napouštění

317 m 170 hl

za 5 min 8,5 hl

za 1 min 8,5 : 5 1,7 hl

za min 170 hl

170 :1,7 100

100 min 1 h 40 min

x

x

Nádrž se naplní za 1h 40 min.

9. Šest vajec stojí 21 Kč. Kolik bude stát 10 vajec?

Řešení:

Přímá úměrnost

x = počet vajec

y = cena vajec

k = cena za 1 ks

21:6 3,5

3,5 10

35

y k x k

y

y

Za 10 vajec zaplatíme 35 Kč.

10. 7,5 kg barvy vystačí na natření 100 m2 plochy. Kolik kg barvy bude třeba na natření

250 m2 plochy?

Řešení:

Přímá úměrnost

x = plocha v m2

y = kg barvy

k = kg/m2

75,18

250075,0

075,0100:5,7

y

y

kxky

Na natření 250 m2

plochy je třeba 18,75 kg barvy.

- 137 -

Přímá úměrnost cvičení II

1. Rozhodněte, která rovnice je rovnicí přímé úměrnosti a určete její koeficient: a) 7,5 b) 4

c) 50 d) 5

e) 14 : f) 8

2g) 12 h)

3

y x y x

y x y x

y x y

y x y x

Řešení:

Rovnice přímé úměrnosti a její koeficient: a) 7,5 7,5

b) 4 4

c) 50 50

2 2h)

3 3

y x k

y x k

y x k

y x k

2. Šest stejných hrníčků stojí 192 Kč. Kolik stojí 2 takové hrníčky? Kolik stojí 3 hrníčky?

Sestavte tabulku cen pro 1 až 6 hrníčků.

Řešení:

6 hrníčků stojí ..................... 196 Kč

1 hrníček stojí ..................... 196 : 6 = 32 Kč

2 hrníčky stojí ..................... 32 . 2 = 64 Kč

3 hrníčky stojí ..................... 32 . 3 = 96 Kč

Počet hrníčků 1 2 3 4 5 6

Cena hrníčku [Kč] 32 64 96 128 160 192

Dva hrníčky stojí 64 Kč, tři hrníčky stojí 96 Kč.

- 138 -

3. Ubytování v hotelu stojí 6 400 Kč za 10dní. Kolik se zaplatí za týden?

Řešení:

za10dní 6400Kč

za1den 640Kč

za 7dní Kč

7 640

4480

x

x

x

Za 7 dní se zaplatí 4 480 Kč.

4. Hodinky se zpožďují o 40 sekund za 5 dní. O kolik se zpozdí za týden?

Řešení:

za 5dní 40s

za1den 8s

za 7dní s

7 8

56

x

x

x

Za 7 dní se hodinky zpozdí o 56 s.

5. 300 g šunky stojí 54 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 1 kg?

Řešení:

300gstojí 54Kč

1gstojí 54 :300 0,18Kč

1000gstojí Kč

1000 0,18

180

x

x

x

Jeden kg šunky stojí 180 Kč.

- 139 -

6. 20 dm3 železa má hmotnost 156 kg. Určete hustotu železa v g/cm

3.

Řešení:

3 3

3

3

20dm 20000cm

156 kg 156000g

20000cm má hmotnost156000g

1cm má hmotnost g

156000 : 20000

156 : 20

7,8

x

x

x

x

Hustota železa je 7,8 g/cm3.

7. Přečtěte koeficienty přímé úměrnosti (k): a) 9 b) 1,2

3c) d)

8 5

e) 0,7 f) 6

y x y x

xy x y

y x y x

Řešení:

a) 9 9

b) 1,2 1, 2

3 3c)

8 8

1d)

5 5

e) 0,7 0,7

f) 6 6

y x k

y x k

y x k

xy k

y x k

y x k

8. Přímá úměrnost, je dána tabulkou, určete její koeficient.

a)

b)

c)

x 1 2 3

y 6 12 18

x 3 4 5

y 9 12 15

x 6 8 10

y 9 12 15

- 140 -

Řešení:

a)

66

1

126

2

186

3

k 6

yk

x

k

k

k

b) 93

3

123

4

153

5

3

k

k

k

k

c) 9 31,5

6 2

12 31,5

8 2

15 31,5

10 2

1,5

k

k

k

k

9.Rovnice přímé úměrnosti je y = 6x. Rozhodněte bez rýsování, zda body

[2;6],[2;12],[5;30],[4;24] leží na grafu této přímé úměrnosti.

Řešení:

2;6 2;12 5;30 4;24

6 6 212 6 2 30 6 5 30 6 5 24 6 4

6 12 12 12 30 30 24 24

Na grafu přímé úměrnosti dané rovnicí y = 6x leží tyto body [2;12],[5;30],[4;24].

10. Deset kg banánů stojí 290 Kč. Kolik korun stojí 5 kg? Sestavte tabulku pro 1,2,...15 kg

banánů.

Řešení:

Kč14529.5.......... kg 5

Kč2910:290 ........... kg1

Kč290 ..kg........10

x

[kg]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y

[Kč]

29 58 87 116 145 174 203 232 261 290 319 348 377 406 435

Pět kg banánů stojí 145 Kč.

- 141 -

11. Cena osmi vajíček je 28 Kč. Kolik vajíček koupíme za 70 Kč?

Řešení:

8 vajec......... 28Kč

1 vejce .......... 28:8 3,5Kč

vajec ..........70Kč

70 : 3,5

700 : 35

20

x

x

x

x

Za 70 Kč koupíme 20 vajec.

12. Napište rovnice přímé úměrnosti dané uspořádanou dvojicí [6,2; 24,8].

Řešení:

:

4 24,8 : 6,2

248 : 62

4

y k x k y x

y x k

k

k

13. Do bazénu přiteče za 5minut 10,5hl vody. Za jak dlouho se napustí celý bazén o objemu

94,5 m3?

Řešení:

394,5m 945hl

za 5 minut ....... 10,5 hl

za 1 minutu ....... 10,5:5 2,1 hl

za minut ....... 945 hlx

945: 2,1 9450 : 21 450min

450min 7h30min

x

Bazén o objemu 94,5 m3 se napustí za 7hodin 30 minut.

- 142 -

14..Natěrači natřeli za 6 hodiny 1800 m2 plochy. Sestavte tabulku pro 1 až 8 hodin

Řešení:

2

2

m3006:1800...............h.1

m1800..............h6

x [h] 1 2 3 4 5 6 7 8

y [m2] 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400

15. Maminka koupila na šaty 3m látky za 750 Kč. Později přikoupila ještě 75cm téže látky

Kolik korun stála všechna látka dohromady?

Řešení:

3m...............750Kč

1m...............750 :3 250Kč

0,75m..........250 0,75 187,5Kč

celkem.........750 187,5 937,5Kč

Všechna látka stála dohromady 937,5 Kč.

16. Špatným těsněním vodovodního kohoutku unikne za 1 hodinu 0,2 l vody. Kolik litrů vody

uniklo v bytě se 3 kohouty, které netěsnily, po 7 dnech?

Řešení:

počet kohoutů .............................. x

počet litrů .................................... y

počet litrů za 1den 1 kohout ........ k

1 kohout za 1 den : 24 0,2 4,8l

4,8 3

14,4

za 7dnů:7 14,4 100,8 l

y k x

y

y

Za 7 dnů unikne 3 kohouty 100,8 litrů vody.

- 143 -

17. Na 20 m se kolo otočilo 9 krát. Jak daleko je od domu do obchodu, když se kolo na této

cestě otočilo 225 krát?

Řešení:

počet otáček kola ......................... x

počet ujetých metrů ..................... y

počet metrů při 1 otáčce .............. k

20

9

yk

x

k

20225

9

4500

9

500

y k x

y

y

y

Do obchodu je daleko 500 metrů.

18. Na obložení obdélníkové stěny 180 cm dlouhé a 80 cm vysoké se spotřebovalo 75 ks

dlaždiček. Kolik stejných dlaždiček by bylo třeba na obložení stěny s rozměry 200 cm a

96 cm?

Řešení:

1

2

1

S 180 80

S 14400cm

2

2

2

S 200 96

S 19200cm

počet dlaždic ................................ x

celková plocha ............................. y

velikost plochy na 1 dlaždici ....... k

:

14400 : 75

192

k y x

k

k

:

19200 :192

100

x y k

x

x

Na obložení stěny s rozměry200 cm a 96 cm bylo třeba 100 ks dlaždiček.

- 144 -

19. Trávník před domem má tvar rovnoramenného lichoběžníku o základnách 25 m a 14,5 m

a výšce 4 m. Kolik kilogramů travního semena je třeba na osetí, jestliže na 5 m2 se

spotřebuje 60 g semena?

Řešení:

plocha v m2 .................................. x

množství semena v g .................. y

počet g na 1 m2 ............................ k

( )

2

(25 14,5) 4

2

39,5 2

79

a c vS

S

S

S

60

5

12

yk

x

k

k

12 79

948g

y k x

y

y

Na osetí trávníku je třeba 948 g semena.

20. Děti chtějí podniknout výlet do ZOO, vzdálené 12,6 km. Za jak dlouho dorazí do ZOO,

když za 1 hodinu ujdou 3 km a cestou budou odpočívat 25 minut?

Řešení:

počet km za 1 hodinu .................. k

počet minut-čas ........................... x

celková dráha .............................. y

12,6 3

12,6 :3

4,2h 4h12min

4h12min 25min 4h 37 min

y k x

x

x

x

Děti dorazí do ZOO za 4 h 37 min.

- 145 -

21. Jirka zjistil, že autobus, kterým jezdí do školy, ujel 10 km za 12,5 min. Jak dlouho pojede

tento autobus z obce A do obce B, která je vzdálená 15 km, pojede-li stejnou rychlostí?

Řešení:

počet km ..................................... x

počet minut-čas ........................... y

počet min na 1 km ....................... k

12,51,25 15

10

31,25 18 min 18 min 45s

4

yk y k x

x

k y

k y

Autobus pojede z obce z obce A do B 18 min 45 s.

22. Pět pomerančů má hmotnost 900 g. Kolik kilogramů pomerančů koupí do mateřské školy,

aby měli po jednom pomeranči pro 30 dětí?

Řešení:

počet pomerančů………………….x

hmotnost pomerančů……………...y

hmotnost 1 pomeranče……………k

900180 30

5

180 5400g 5,4kg

yk y k x

x

k y

k y

Do mateřské školy koupí 5,4 kg pomerančů.

- 146 -

23. Za 22 obědů zaplatila paní Nováková v závodní jídelně 1188 Kč. Kolik korun zaplatí

příští měsíc, půjde-li na oběd jen 15krát?

Řešení:

cena 1 obědu ................................... k

počet obědů .................................... x

cena obědů ...................................... y

1188

22

54

yk

x

k

k

54 15

810

y k x

y

y

Za 15 obědů zaplatí paní Nováková 810 Kč.

24. Osobní auto ujede vzdálenost 75 km za 4

3hodiny. Jak dlouho pojede do města vzdáleného

90 km, pojede-li stejnou rychlostí?

Řešení:

rychlost auta ................................... k

doba jízdy auta ............................... x

dráha - ujeté km .............................. y

75

0,75

100

yk

x

k

k

90 100

90 :100

0,9 54

y k x

x

x

x

Auto pojede do města 54 minut.

- 147 -

25. Bochník chleba o hmotnosti 750 g stojí 27 Kč. Za kolik korun byl dvoukilový bochník

stejného druhu chleba?

Řešení:

počet kilogramů .............................. x

cena ................................................ y

cena 1 kg chleba ............................. k

:

27 : 0,75

36

k y x

k

k

36 2

72

y k x

y

y

Dvoukilový bochník chleba stál 72 Kč.

26. Student přečte denně 84 stran. Jak dlouho bude číst knihu, která má 504 stran?

Řešení:

počet stran za 1 den………………k

počet stran knihy…………………y

počet dnů………………………….x

504 84

504 :84

6

y k x

x

x

x

Student bude číst knihu 6 dnů.

- 148 -

27. Litr benzínu stojí 34 Kč. Auto spotřebuje na 100 km průměrně 8 litrů benzínu. Kolik litrů

benzínu spotřebuje z Prahy do Plzně (88km)? Kolik korun by stál benzín spotřebovaný na

cestě z Prahy do Bratislavy (384km)?

Řešení:

spotřeba benzínu na 1 km .............................. k

počet ujetých km ........................................... x

množství spotřebovaného benzínu ................ y

8 :100

0,08

k

k

0,08 88

7,04

y k x

y

y

Auto na cestě z Prahy do Plzně spotřebuje 7,04 l benzínu.

spotřeba benzínu na 1 km .............................. k

množství spotřebovaného benzínu ................ x

cena spotřebovaného benzínu ....................... y

0,08 384

30,72

x

x

30,72 34

1044,48 1044

y

y

&

Benzín spotřebovaný na cestě z Prahy do Bratislavy by stál 1044 Kč.

- 149 -

28. Tři dělníci vyrobí za směnu 480 stejných součástek. Kolik součástek vyrobí při stejné

výkonnosti za směnu 5 dělníků?

Řešení:

počet dělníků ................................................. x

počet součástek .............................................. y

počet souč.,které vyrobí 1 dělník .................. k

480

3

160

yk

x

k

k

160 5

800

y k x

y

y

Pět dělníků vyrobí za směnu 800 součástek.

29. Jestliže chyběli ve třídě 3 žáci, bylo to 8,58 % všech žáků. Kolik žáků chybělo, když jich

bylo ve škole 88,56 %?

Řešení:

1 žák .............................................................. k

počet procent ................................................. y

počet žáků ...................................................... x

:

8,58 : 3

2,86 %

k y x

k

k

žák......100 88,56 11,44

11,444

2,86

x

x

Ve škole chyběli 4 žáci.

- 150 -

30. Po zlevnění o 20 % stály boty 752 Kč. Kolik korun stály původně?

Řešení:

1 procento ...................................................... k

počet procent ................................................. x

počet korun .................................................... y

:

752 :80

9,4

k y x

k

k

9,4 100

940

y k x

y

y

Boty stály původně 940 Kč.

- 151 -


Vzdálenost měst Olomouc a Ostrava je asi 90 km po dálnici. Závisí doba, za kterou tuto

vzdálenost ujede vozidlo, na průměrné rychlosti vozidla?

Za jak dlouho ujede vzdálenost 90 km vozidlo jedoucí průměrnou rychlostí 10 km/h, 20 km/h,

30 km/h, 45 km/h, 60 km/h, 80 km/h, 90 km/h, 120 km/h?

Vypočtené hodnoty sestavte do tabulky. Sestrojte graf této závislosti.

Řešení:

doba jízdy = vzdálenost měst / průměrná rychlost vozidla

Tabulka:

Průměrná

rychlost [km/h] x 10 20 30 45 60 80 90 120

Doba jízdy [h] y 9 4,5 3 2 1,5 1,125 1 0,75

Z tabulky je zřejmé:

Kolikrát se zvětší jedna veličina, tolikrát se zmenší druhá veličina.

Kolikrát se zmenší jedna veličina, tolikrát se zvětší druhá veličina.

Takové závislosti říkáme nepřímá úměrnost.

Např:

Zvětší-li se průměrná rychlost třikrát, doba jízdy se při téže vzdálenosti třikrát zmenší.

Průměrná rychlost vozidla a doba, za kterou vozidlo ujede dráhu 90 km jsou veličiny nepřímo

úměrné.

Tabulku doplníme o další řádek:

x 10 20 30 45 60 80 90 120

y 9 4,5 3 2 1,5 1,125 1 0,75

x.y 90 90 90 90 90 90 90 90

Součin x y sobě odpovídajících hodnot proměnných je stejný a nazývá se

koeficient nepřímé úměrnosti. Označujeme ho k.

Platí: v našem případě obecně

xy

xxy

yx

120

120:90

90

0,0,

kxx

ky

kyx

- 152 -

Pamatuj: , 0, 0k

y x kx

je rovnice nepřímé úměrnosti.

Grafem této závislosti můžou být:

a) všechny body grafu x R

b)izolované body x N , x Z

Grafem nepřímé úměrnosti jsou body o souřadnicích [x;y] ležící na části křivky zvané

hyperbola.

- 153 -

1. Průměrná délka Petrova kroku je 70 cm. Než přejde silnici udělá 30 kroků. Kolik kroků

přes silnici udělá Jana, je-li průměrná délka jejího kroku 35 cm?

Řešení:

Čím delší krok, tím ujde přes silnici méně kroků. Čím kratší krok, tím více kroků.

1 krok má délku 70 cm

30 kroků ujde 30.70 = 2100 cm

1 krok má délku 35 cm

y kroků ujde 35 cmy = 2100 cm

y = 2100 : 35

y = 60 kroků

Jana udělá přes silnici 60 kroků.

délka kroku x 70 cm 35 cm

počet kroků y 30 y

ušlá délka k 70.30=2100 2100

2100 30 70

35 35

30 60 kroků70

30 70

2100

ky y y

x

ky

k

k

2. Vypočítejte koeficient nepřímé úměrnosti pro x = 8 a y = 6. Zapište rovnici nepřímé

úměrnosti.

Řešení:

048

4868

xx

y

k

yxk

- 154 -

3. Je dána rovnice nepřímé úměrnosti60

yx

. Vypočítejte :

a) y, je-li x = 15

b) x, je-li y = 6

Řešení:

a) 50

15

604

15

yx

x

y

b) 50

6

6010

6

yx

x

y

4. Rovnice nepřímé úměrnosti je40

yx

. Leží body A[8;5], B[10;8], C[4;10], D[5;10] na

grafu této nepřímé úměrnosti?

Řešení:

55

8101010481

55

5

4010

4

4010

10

408

8

405

]10;5[]10;4[]8;10[]5;8[

DCBA

Na grafu nepřímé úměrnosti leží body: A[8;5] a C[4;10].

- 155 -

5. Která z rovnice není rovnicí nepřímé úměrnosti?

xyhx

yg

xyfx

ye

xydx

yc

xybx

ya

20)3,0

)

8)20

)

5

1)

15)

6)5

)

Řešení:

Tyto rovnice nejsou rovnicemi nepřímé úměrnosti:

xyh

xyf

xyd

xyc

xyb

20)

8)

5

1)

15)

6)

6. Určete koeficient nepřímé úměrnosti pro x = 2 a y = 12. Zapište rovnici nepřímé úměrnosti.

Řešení:

024

24

24122

xx

y

k

k

yxk

7. Určete koeficient a chybějící údaje v tabulce nepřímé úměrnosti.

x 0,1 0,2 0,5 0,8

ky

x

7 0,5 0,2 0,1

- 156 -

Řešení:

0,8 7

5,6

5,6 : 0,1 56

5,6 : 0, 2 28

5,6 : 0,5 11, 2

5,6 : 0, 2 28

5,6 : 0,1 56

k

k

y

y

x

x

x

Doplnění tabulky:

x 0,1 0,2 0,5 0,8 2 28 56

ky

x

56 28 11,2 7 ,5 0,2 0,1

- 157 -

8. Jsou dány body :

]8;125,0[]4;4[

]5;2,0[]125,0;4[

]25,0;125,0[]25,0;8[

]8;25,0[]25,0;4[

HD

GC

FB

EA

Zjistěte který z daných bodů leží na grafu nepřímé úměrnosti 2

yx

Řešení:

168

125,0:28]8;125.0[

105

2,0:25]5;2,0[

1625,0

125,0:225,0]25,0;125,0[

88

25,0:28]8;25,0[

5,04

4:24]4;4[

5,0125,0

4:2125,0]125,0;4[

25,025,0

8:225,0]25,0;8[

5,025,0

4:225,0]25,0;4[

:2

neH

neG

neF

anoE

neD

neC

anoB

neA

xy

Na grafu leží body B a E.

- 158 -

9. Obsah obdélníku je 24 cm2.Délka jedné jeho strany je y. Druhá jeho strana x mění svou

délku od 1 cm do 10 cm, po 1 cm. Sestrojte tabulku a graf dané nepřímé úměrnosti.

Řešeni:

Obsah obdélníku:

24 24 :

S x y

x y y x

Délka strany x

[cm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Délka strany y

[cm] 24 12 8 6 4,8 4 3,4 3 2,7 2,4

Obsah obdélníku

[cm] 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

- 159 -

10. Sestavte tabulku a graf 2

; 0; pro {0,5; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}y x Dx

Řešení:

x 0,5 1 2 3 4 5 6 8

y 4 2 1 0,7 0,5 0,4 0,3 0,25

k x y 2 2 2 2 2 2 2 2

11. Cyklista ujede etapu závodu při rychlosti 40 km/h za 6 hodin. Za jak dlouho by stejnou

trať ujel při rychlosti 30 km/h ?

Řešeni:

rychlost 40 km/h .........................x

čas 5 h ......................................y

dráha = 40 60 = 240 km..............k

2408 h

30

ky

x

y

Cyklista by stejnou trať ujel za 8 hodin při rychlosti 30 km/h.

- 160 -

12. Do výtahu se vejde maximálně 5 osob o průměrné hmotnosti 80 kg. Kolik dětí o průměrné

hmotnosti 40 kg výtah maximálně uveze?

Řešeni:

počet osob 5 ...................................x

hmotnost osob 80 kg ......................y

nosnost výtahu: 5 80 = 400 kg…...k

1040:400

40040

x

x

x

ky

Výtah uveze maximálně 10 dětí o průměrné hmotnosti 40 kg.

13. Auto jedoucí rychlostí 90 km/h dojede z Olomouce do Prostějova za 15 minut. Za jak

dlouho tam dojede cyklista jedoucí rychlostí 18 km/h?

Řešení:

rychlost 90 km/h.......................x

doba jízdy 15 min = 0,25 h.......y

vzdálenost km ..........................k

90 0,25 22,5 km

22,51,25 h = 1h 15 min

18

k x y

k

ky

x

y

Cyklista dojede do Prostějova za 1 hodinu a 15 minut.

- 161 -

14. Zásoba sena pro 20 králíků vystačí na 60 dní. Na kolik dní vystačí tato zásoba pro

30 králíků?

Řešení:

počet králíků ...........................x

počet dní .................................y

zásoba krmiva pro 1 králíka....k

20 60 1200

120040

30

k x y

k

y

Pro 30 králíků vystačí zásoba sena na 40 dní.

15. Automobil projel uzavřenou obcí 2 km dlouhou za 144 sekund. Jel dovolenou rychlostí?

Řešení:

délka obce 2 km ....................k

doba jízdy 144 s = 0,04 h.......y

rychlost auta ..........................x

50

04,0:2

:

x

x

xky

Ano, automobil jel povolenou rychlostí.

16. Na pokrytí podlahy chodby je třeba 8,7 m linolea síře 2 m. V prodejně měli jen linoleum

šíře 3 m. Kolik metrů tohoto širšího linolea koupíme?

Řešení:

šíře linolea 2 m.....................x x = 8,7 m

počet metrů lin.šíře 3 m…....y

celková plocha 2 8,7 ...........k

8,53:4,17

4,177,82

y

k

yxk

Koupíme 5,8 m linolea šíře 3 m.

- 162 -

17. Nádrž budeme napouštět třemi stejnými přívody. Naplní se za 52 minut. Za jak dlouhou se

nádrž naplní, otevřeme-li jen 2 přívody?

Řešení:

počet přívodů:3 ...................x

doba napouštění 52 min …..y

napuštění 1 přívodem ..........k

782:156

156523

y

k

yxk

Dvěma přívody se nádrž napustí za 78 minut.

18. Čtyři dělníci vykopou příkop pro uložení elektrického kabelu za 6 dní. Za jak dlouho,

vykopou příkop tři dělníci?

Řešení:

počet dělníků: 4 .......................x

doba kopání 3 dělníků..............y

doba kopání 1 dělníka .............k

83:24

2464

y

k

yxk

Tři dělníci vykopou příkop za 8 dní.

- 163 -

Nepřímá úměrnost – cvičení I

1. Která z rovnice je rovnicí nepřímé úměrnosti?

xyx

y

xyx

y

xyx

y

xyx

y

20h)3,0

g)

8f)20

e)

5

1d)

15c)

6b)5

a)

Řešení:

Tyto rovnice jsou rovnicemi nepřímé úměrnosti:

5a)

20e)

0,3g)

yx

yx

yx


Řešení:

018

18

1863

xx

y

k

k

yxk


x 0,1 0,3 0,4 0,6

y = k : x 8 0,4 0,3 0,1

- 164 -

Řešení:

481,0:8,4

163,0:8,4

124,0:8,4

124,0:8,4

163,0:8,4

481,0:8,4

8,4

86,0

x

x

x

y

y

y

k

k

Doplnění tabulky:

4. Obsah obdélníku je 48 cm2. Délka jedné jeho strany je y. Druhá jeho strana x mění svou

délku od 1 cm do 10 cm, po 1 cm. Sestrojte tabulku nepřímé úměrnosti.

Řešeni:

Obsah obdélníku:

xyyx

yxS

:4848

Délka

strany x

[cm]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Délka

strany y

[cm]

48 24 16 12 9,6 8 6,9 6 5,3 4,8

Obsah

obdélníku

[cm]

48 48 48 48 48 48 48 48 48 48

5. Motocyklista ujede etapu závodu při rychlosti 70 km/h za 6 hodin. Za jak dlouho by stejnou

trať ujel při rychlosti60 km/h ?

Řešeni:

rychlost 70 km/h .......................x

x 0,1 0,3 0,4 0,6 12 16 48

y = k : x 48 16 12 8 0,4 0,3 0,1

- 165 -

čas 6 h ....................................y

dráha = 70 6 = 420 km..............k

rovnice

4207

60

ky

x

y

Motocyklista by stejnou trať ujel za 7 hodin při rychlosti 60 km/h.

6. Do nákladního výtahu se vejde maximálně 8 krabic se o průměrné hmotnosti 60 kg. Kolik

osob o průměrné hmotnosti 80 kg výtah maximálně uveze?

Řešeni:

počet krabic 8 ..........................................x

hmotnost krabic 60 kg .............................y

nosnost výtahu: 8 60 = 480 kg………….k

680:480

48080

x

x

x

ky

Výtah uveze maximálně 6 osob o průměrné hmotnosti 80 kg.

- 166 -

7. Auto jedoucí rychlostí 100 km/h dojede z Olomouce do Brna za 45 minut. Za jak dlouho

tam dojede cyklista jedoucí rychlostí 25 km/h?

Řešení:

rychlost 100 km/h..........................x

doba jízdy 45 min = 0,75 h............y

vzdálenost km ...............................k

100 0,75 75 km

753

25

k x y

k

ky

x

y

Cyklista dojede do Brna za 3 hodiny.

8. Na pokrytí podlahy kuchyně je třeba 10,8 m linolea šíře 2 m. V prodejně měli jen linoleum


Řešení:

šíře linolea 2 m.......................x

počet metrů lin. 10,8 m …......y

celková plocha 2.10,8..............k

2,73:6,21

6,218,102

y

k

yxk


- 167 -

9. Zahradní bazén se napustí třemi stejnými přívody za 56 minut. Za jak dlouhou se nádrž

naplní, otevřeme-li jen 2 přívody?

Řešení:

počet přívodů: 3 ....................x

doba napouštění:56 min …....y

napuštění 1 přívodem ............k

3 56 168

168: 2 84 84 min 1 h 24 min

k x y

k

y

Dvěma přívody se nádrž napustí za 1h 24 min.

10. Tři dělníci vykopou příkop pro uložení telefonního kabelu za 8 dní. Za jak dlouho,

vykopou příkop čtyři dělníci?

Řešení:

počet dělníků: 3 ......................x

doba kopání: 8 dní ..................y

doba kopání 1 dělníka .............k

64:24

2483

y

k

yxk

Čtyři dělníci vykopou příkop za 6 dní.

Nepřímá úměrnost – cvičení II

1. Která z rovnic je rovnicí nepřímé úměrnosti?

6) ) 1,5

2) )

3 8

24) 4 )

2,4) 9 )

a y b y xx

xc y x d y

e y x f yx

g y x h yx

- 168 -

Řešení:

Tyto rovnice jsou rovnicemi nepřímé úměrnosti:

6)

24)

2, 4)

a yx

f yx

h yx

0x


Řešení:

320

4 8

32

k x y y xx

k

k


Řešení:

0,8 12

9,6

9,6 : 0, 2 48

9,6 : 0, 4 24

9,6 : 0,6 16

9,6 : 0,6 16

9,6 : 0, 4 24

9,6 : 0, 2 48

k x y

k

k

y

y

y

x

x

x

Doplnění tabulky:

x 0,2 0,4 0,6 0,8

y =k:x 12 0,6 0,4 0,2

x 0,2 0,4 0,6 0,8 16 24 48

y =k:x 48 24 16 12 0,6 0,4 0,2

- 169 -

4. Rovnice nepřímé úměrnosti je x

y20

. Leží body A[2,10], B[4,5],C[5,8],D[10,2] na grafu

této nepřímé úměrnosti?

Řešení:

2,10A 4,5B 5,8C 10,2D

2010

2

205

4

208

5

202

10

10 10 5 5 8 4 2 2

Na grafu nepřímé úměrnosti leží body A[2,10], B[4,5] a D[10,2].

5. Obsah obdélníku je 36 cm2.Délka jedné jeho strany je b. Druhá jeho strana a mění svou

délku od 1 cm do 10 cm, po 1 cm. Sestrojte tabulku dané nepřímé úměrnosti.

Řešeni:

Obsah obdélníku:

36

36 :

S a b

a b

b a

Délka strany a[cm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Délka strany b[cm] 36 18 12 9 7.2 6 5.1 4,5 4 3,6

Obsah obdélníku [cm2] 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

6. Motocyklista ujede etapu závodu při rychlosti 90 km/h za 5 hodin. Za jak dlouho by stejnou

trať ujel při rychlosti 60 km/h ?

Řešeni:

rychlost ................ 90 km/h ......... x

čas ........................ 5 h ................. y

dráha ..................... 450 km ........... k

rovnice

min30h760

450

y

x

ky

Motocyklista by stejnou trať ujel za 7 h 30 min při rychlosti 60 km/h.

- 170 -

7. Do výtahu se vejdou maximálně 4 osoby o průměrné hmotnosti 80 kg. Kolik dětí o

průměrné hmotnosti 40 kg výtah maximálně uveze?

Řešeni:

počet osob ............. . 4 .............................. x

hmotnost osob ....... 80 kg ........................ y

nosnost výtahu ...... 4 . 80 = 320 kg .......... .k

840:320

32040

x

x

x

ky

Výtah uveze maximálně 8 dětí o průměrné hmotnosti 40 kg.

8. Osobní auto jedoucí rychlostí 110 km/h dojede z Olomouce do Brna za 42 minut. Za jak

dlouho tam dojede nákladní auto jedoucí rychlostí 70 km/h?

Řešení:

rychlost ................ 110 km/h .................... .x

doba jízdy ............. 42 min = 0,7 h. .......... y

vzdálenost ............. km ............................. .k

110 0,7 77 km

7777 : 70 1,1h 1h 6min

70

k x y

k

ky

x

y

Nákladní auto dojede do Brna za 1h 6min.

- 171 -

9. Na pokrytí podlahy chodby je třeba 21,6 m linolea šíře 2 m. V prodejně měli jen linoleum


Řešení:

šíře linolea .............................................x

počet metrů linolea..................................y

celková plocha…………………….........k

2 21,6 43,2

43,2 :3 14,4

k x y

k

y


10. Zahradní bazén se napustí třemi stejnými přívody za 76 minut. Za jak dlouhou se nádrž

naplní, otevřeme-li jen 2 přívody?

Řešení:

počet přívodů ......................................... x

doba napouštění ..................................... y

napuštění 1 přívodem ............................ k

min54h1min1141142:228

228763

y

k

yxk

Dvěma přívody se nádrž napustí za 1h 54 min.

11. Tři dělníci vykopou výkop pro uložení telefonního kabelu za 12 dní. Za jak dlouho,

vykopou příkop čtyři dělníci?

Řešení:

počet dělníků ....................................... x

doba kopání .......................................... y

doba kopání 1 dělníka ......................... k

94:36

36123

y

k

yxk

Čtyři dělníci vykopou příkop za 9 dní.

- 172 -

12. Zásoba sena pro 15 králíků vystačí na 60 dní. Na kolik dní vystačí tato zásoba pro 20

králíků?

Řešení:

počet králíků ........................................ x

počet dní ............................................... y

zásoba krmiva pro 1 králíka ................. k

4520:900

9006015

y

k

yxk

Pro 20 králíků vystačí zásoba sena na 45 dní.

13. Automobil projel uzavřenou obcí 3 km dlouhou za 216 sekund. Jel dovolenou rychlostí?

Řešení:

délka obce ............................................. k

doba jízdy 216 s = 0,06h ...................... y

rychlost auta ........................................ x

50

06,0:3

:

x

x

xky

Ano, automobil jel dovolenou rychlostí.

14. Na šaty je třeba 2,4 m látky široké 150 cm. Kolik metrů látky bude třeba na tytéž šaty

o šířce 90 cm?

Řešení:

šíře látk ................................................. x

délka látky ............................................ y

celková plocha látky ............................. k

- 173 -

1,5 2, 4

3,6

3,6

0,9

4 m

k x y

k

k m

ky

x

y

y

Na šaty je třeba 4 m látky šíře 90 cm.

15. Malá konzerva má hmotnost 450 g, velká má hmotnost 600 g. Kolik malých konzerv bude

třeba na hmotnost 15 velkých konzerv?

Řešení:

počet konzerv ....................................... x

hmotnost konzerv ................................. y

celková hmotnost konzerv .................... k

15 600 9000

9000

450

20

k x y

k

ky

x

y

y

Na hmotnost 15 ks velkých konzerv připadne 20 ks malých konzerv.

16. Za 8 hodin omítnou 3 zedníci zeď okolo pozemku. Za jak dlouho omítnou tuto zeď 2

zedníci?

Řešení:

počet dělníků ........................................ x

počet hodin ........................................... y

doba práce 1 dělníka ............................. k

243 8

2

12 24

ky k x y

x

y k

y k

Dva zedníci omítnou zeď za 12 hodin.

- 174 -

17. Velké ozubené kolo bicyklu má 48 zubů, malé převodové kolečko zadního kola má 16

zubů. Kolikrát se otočí malé kolečko, otočí-li se velké kolo 80 krát?

Řešení:

počet zubů kola .................................... x

počet otáček kola .................................. y

celkový počet zubů(dráha) ................... k

384048 80

16

3840 240

kk x y y

x

k y

k y

Malé kolečko se otočí 240 krát.

18. V domě s ústředním topením se denně spotřebuje 0,5 t uhlí. Zásoba uhlí stačí na 70 dnů.

Na kolik dnů vystačí tato zásoba, sníží-li se denní spotřeba o 62,5 kg?

Řešení:

celková spotřeba uhlí………………..k

počet dní……………………………..x

spotřeba uhlí…………………………y

500 62,5 437,5 kg

350000,5 70

437,5

35 t 35000 80

k x y

k y

k y

Zásoba uhlí vystačí na 80 dnů.

- 175 -

19. Osm dlaždičů vydláždí chodník za 15 pracovních dnů. Za jak dlouho vydláždí při stejném

pracovním tempu tento chodník deset dlaždičů?

Řešení:

počet dlaždičů .................................... x

počet dnů ........................................... y

doba práce 1 dlaždiče ........................ k

1208 15

10

120 12

kk x y y

x

k y

k y

Deset dlaždičů vydláždí chodník za 12 dnů.

20. Zemědělské družstvo by provedlo jarní orbu 4 traktory za 15 dnů. O kolik dnů se

prodlouží orba, když budou orat jen 3 traktory?

Řešení:

počet traktorů .................................... x

počet dnů ........................................... y

počet dnů orby 1 traktoru .................. k

604 15

3

60 20

20 15 5

kk x y y

x

k y

k y

Doba orby se prodlouží o 5 dnů.

- 176 -

21. Nákladní automobil odveze zeminu z výkopových prací za 15 dnů, pojede-li denně 6 krát.

Kolikrát by musel řidič denně jet, chce-li zeminu odvézt o 5 dnů dříve?

Řešení:

počet jízd denně ................................. x

počet dnů ........................................... y

celkový počet jízd ............................. k

za15 5 10dnů

6 15

9090

10

9

k x y

kk x

y

k x

x

Řidič by musel jet denně 9 krát.

22. Po novoročních oslavách uklidí střed města osm členů úklidové čety za 5 hodin. Kolik

členů by musela mít četa členů, aby práci vykonala za 4 hodiny?

Řešení:

počet členů ........................................ x

doba úklidu ........................................ y

celková doba úklidu 1 člena .............. k

408 5 4

4040

4

10

kk x y y

x

kx

k x

x

Četa by musela mít 10 členů.

- 177 -

23. Pozemek tvaru obdélníku zaujímá plochu 800 m2. Určete jeho délku, jestliže šířka je 10

m, 16 m, 20 m, 25 m. Sestavte tabulku.

Řešení:

šířka ................................................... x

délka .................................................. y

výměra pozemku ............................... k

800

800 :

k x y

x y

y x

Šířka pozemku x [m] 10 16 20 25

Délka pozemku y [m] 80 50 40 32

Výměra pozemku [m2] 800 800 800 800

24. Auto ujede trasu rychlostí 90 km/h za 7 hodin. Jakou rychlostí by auto muselo jet, aby tuto

trasu ujelo o 1 hodinu dříve?

Řešení:

7-1 = 6 h

celková dráha .................................... s = k

rychlost .............................................. v = x

čas ...................................................... t = y

90 7

6

630

6

105

sv

t

v

v

v

Auto by muselo jet rychlostí 105 km/h.

- 178 -

25. Dvanácti slepicím vydrží zrní v zásobníku na 3 dny. Na kolik dnů by zrní vystačilo devíti

slepicím?

Řešení:

počet slepic ........................................ x

počet dnů ........................................... y

1 slepice ............................................. .k dnů

3612 3

9

36 4

kk x y y

x

k y

k y

Devíti slepicím by zrní vystačilo na 4 dny.

26. Patnáctičlenné posádce ponorky vystačí vzduch bez vynoření na 4 dny. Na kolik dnů

vystačí vzduch desetičlenné posádce?

Řešení:

počet členů ........................................ x

počet dnů ........................................... y

1 člen ................................................ k dnů

6015 4

10

60 6

kk x y y

x

k y

k y

Desetičlenné posádce vystačí vzduch na 6 dnů.

- 179 -

27. Šest brigádníků posbírá na záhonu jahody za 6 hodin. Za jak dlouho by posbíralo stejné

množství jahod ze záhonu 9 brigádníků?

Řešení:

počet brigádníků ................................ x

počet hodin ........................................ y

1 brigádník ........................................ k hodin

366 6

9

36 4

kk x y y

x

k y

k y

Devět brigádníků by posbíralo jahody ze záhonu za 4 hodiny.

28. Dvě čerpadla o výkonu 5 l vody za minutu přečerpají vodu z nádrže za 4,5 hodiny. Jak

dlouho by čerpala tuto celou nádrž 3 čerpadla při stejném výkonu?

Řešení:

počet čerpadel .................................... x

počet hodin ........................................ y

1 čerpadlo .......................................... k hodin

92 4,5

3

9 3

kk x y y

x

k y

k y

Tři čerpadla by tuto nádrž čerpala 3 hodiny.

- 180 -

29. Jana přečetla denně 20 stránek knihy. Eva přečetla jen 15 stránek denně. Za jak dlouho

Jana přečte knihu, bude-li ji Eva číst 12 dní?

Řešení:

počet stránek za 1 den ....................... x

počet dnů ........................................... y

počet stránek v knize ......................... k

18015 12

20

180 9

kk x y y

x

k y

k y

Jana přečte knihu za 9 dnů.

30. Tři brigádníci natřou plot kolem školního pozemku za 15 dnů. Za jak dlouho by tento plot

natřelo 9 brigádníků?

Řešení:

počet brigádníků ................................ x

počet dnů ........................................... y

1 brigádník ........................................ k h

453 15

9

45 5

kk x y y

x

k y

k y

Devět brigádníků by natřelo plot za 5 dnů.

- 181 -

Poměr, úměrnost – složitější úlohy 1

1. Sedm pekařů má za 15 dnů upéct a ozdobit 420 slavnostních dortů. Po pěti dnech 2 pekaři

onemocněli.

a) Kolik dnů potřebují zbývající pekaři na dokončení zakázky?

b) Kolik dnů trvala práce celkem?

Řešení:

7 pekařů... 15 dnů... 420 ks

7 pekařů... 5 dnů... x (ks)

přímá úměrnost

ksx

x

x

x

140

15:2100

420515

15:5420:

za 5 dnů je hotovo 140 ks

420 – 140 = 280 zbývá zhotovit 280 ks

7 pekařů... 10 dnů... 280 ks

5 pekařů... x (dnů)... 280 ks

nepřímá úměrnost

:10 7 : 5

5 7 10

70 : 5

14

x

x

x

x dnů

14 + 5 = 19 dnů

a) Zakázku dokončí 5 pekařů za 14 dnů.

b) Zhotovení celé zakázky trvalo 19 dnů.

- 182 -

2. Počet odpracovaných hodin tří řidičů autobusu městské hromadné dopravy byl 8 : 4 : 5.

Pracovali za stejnou hodinovou mzdu. Celkem jejich hrubý příjem činil 80 tisíc korun.

Kolik korun činila čistá mzda každého z nich po srážce 15-ti procent?

Řešení:

Srážka 15 ℅ je pro všechny stejná, proto ji můžeme počítat najednou – z celkového

hrubého příjmu.

80000 Kč ... 100 procent

(Kč) ... 15 procentx přímá úměrnost

:80000 15 :100

100 15 80

1200000 :100

12000 Kč

x

x

x

x

srážka z celkové hrubé mzdy činí 12000,-Kč

680001200080000 čistá mzda celkem činí 68000,- Kč

17548 sečteme počet dílů poměru

17 dílů ... 68000 Kč

1 díl ... 68000 :17 4000 Kč

výpočet mzdy jednoho dílu poměru

8 dílů 8 4000 32000 1. řidič 32000, Kč

4 díly 4 4000 16000 2. řidič 16000, Kč

5 dílů 5 4000 20000 3. řidič 20000, Kč

17 dílů 17 4000 68000 celkem 68000, Kč

Po srážce 15 ℅ dostali podle počtu odpracovaných hodin řidiči čistou mzdu:

1. řidič 32000,- Kč, 2. řidič 16000,- Kč a 3. řidič 20000,- Kč.

- 183 -

3. Turistický oddíl si na tábor v jídelníčku naplánoval rybičkovou pomazánku. Klárka má

recept od babičky – pro 4 osoby:

200g rybiček - nejlépe tuňák v plechovce (olej slijeme mimo pomazánku)

80g másla

2 zelené papriky – nakrájet nadrobno nebo nastrouhat

1 malá cibule – nakrájet nadrobno nebo nastrouhat

Vše dáme do misky, řádně promícháme vidličkou a necháme 30 minut vychladnout.

Podáváme s čerstvým chlebem, podle potřeby můžeme dosolit.

Všichni se už na osvědčenou pochoutku těší, ale na táboře bude 28 účastníků a 2 vedoucí.

Jaké množství surovin budou tedy potřebovat nakoupit na tuto pomazánku?

Řešení:

a) Logickou úvahou:

původně ... 4 osoby

tábor ... 28 2 30 osob

přepočet ... 30 : 4 7,5 x více

rybičky ... 200 7,5 1500... 1500 g

máslo ... 80 7,5 600... 600 g

paprika ... 2 7,5 15... 15 ks

cibule ... 1 7,5 7,5... 7,5 ks

b) Přímou úměrností:

200 g ... 4 osoby

x (g) ... 30 osob

80 g ... 4 osoby

x (g) ... 30 osob

2 ks ... 4 osoby

x (ks) ... 30 osob

1 ks ... 4 osoby

x (ks) ... 30 osob

: 200 30 : 4

4 200 30/ : 4

6000 : 4

1500 (rybičky)

x

x

x

x g

:80 30 : 4

4 80 30/ : 4

2400 : 4

600 (máslo)

x

x

x

x g

: 2 30 : 4

4 2 30/ : 4

60 : 4

15 ks (paprika)

x

x

x

x

:1 30 : 4

4 1 30/ : 4

30 : 4

7,5 ks (cibule)

x

x

x

x

Na tábor bude potřeba pro namíchání rybičkové pomazánky pro 30 osob 1500 g rybiček,

600 g másla, 15 ks zelené papriky a 7,5 ks menší cibule.

- 184 -

4. Z vodní nádrže vyteče 100 hl vody třemi rourami za osm hodin. Kolik hektolitrů vody

vyteče po instalaci čtvrté (stejné) roury za deset hodin?


100 hl... 3 roury... 8 hod

(hl)... 4 roury... 10 hodx rozdělíme příklad na dvě úměrnosti

100 hl... 3 roury... 8 hod

100 hl... 4 roury... (hod)x nepřímá úměrnost

:8 3 : 4

4 8 3/ : 4

24 : 4

6 hod

x

x

x

x

čtyřmi rourami by 100 hl vytékalo 6 hod.

100 hl... 4 roury... 6 hod

x (hl)... 4 roury... 10 hod

přímá úměrnost

:100 10 : 6

6 100 10/ : 6

1000 : 6

166,6 hl

x

x

x

x

Čtyřmi rourami vyteče z vodní nádrže za deset hodin asi 167 hl vody.

- 185 -

5. Tatínkovi trvá cesta do práce 55 minut. Víme, že udělá 120 kroků za minutu a délka

jednoho jeho kroku je 75 cm. Jak dlouho bude synovi Petrovi trvat cesta za tatínkem do

práce, jestliže délka jeho kroku je jen 60 cm a zvládne udělat za minutu 110 kroků?

Řešení:

tatínek (1min)... 120 75 9000 cm... 9000 cm 90 m

Petr (1min)... 110 60 6600 cm... 6600 cm 66 m

délka trasy tatínka a

Petra za 1 min

90 m ... 55min

66 m ... (min)x

nepřímá úměrnost

: 55 90 : 66

66 90 55 / 66

4950 : 66

75min

x

x

x

x

75 min = 1 hod 15 min

Petrovi bude cesta za tatínkem do práce trvat 1 hodinu a 15 minut.

6. Cukrová řepa obsahuje 14 ℅ cukru. V rodině Nováků se za jeden měsíc průměrně

spotřebuje 5 kg cukru. Kolik cukrové řepy je potřeba pro roční spotřebu cukru v rodině

Nováků?

Řešení:

1 měsíc... 14 procent... 5 kg...cukru

1 měsíc... 100 procent... x (kg)...řepy

přímá úměrnost

: 5 100 :14

14 100 5 /14

500 :14

35,7 kg

x

x

x

x

na jeden měsíc je potřeba asi 35,7 kg řepy

1 měsíc ... 35,7 kg

12 měsíců ... (kg)x přímá úměrnost

- 186 -

: 35,7 12 :1

35,7 12

428,4 kg

x

x

x

Spotřeba cukru pro rodinu Novákových na jeden rok vyžaduje 428,4 kg cukrové řepy.

7. Opravu vodovodního potrubí mělo jedenáct dělníků provést za 11 dnů. Po dvou dnech

byli ale dva dělníci posláni na jinou práci.

a) Za kolik dní pak byla práce dokončena?

b) Kolik dnů trvala oprava celkem?

Řešení:

11 dělníků ... 11 dnů

11 dělníků po 2 dnech 9 dní

9 dělníků ... (dní)x nepřímá úměrnost

: 9 11: 9

9 11 9/ : 9

11 dní

x

x

x

2 + 11 = 13 dní

9 dělníků dokončilo práci za 11 dní a celá oprava trvala 13 dní.

8. Hrubá stavba trvá dvanácti zedníkům 28 dní. Kolik jich musí stavbyvedoucí ještě přibrat

po čtyřech dnech, jestliže má být práce hotová celkem za 20 dní?

Řešení:

20 – 4 = 16

12 zedníků ... ještě 24 dní

(zedníků) ... jen 16 dníx nepřímá úměrnost

18

16:288

16:/122416

16:2412:

x

x

x

x

12 zedníků máme, potřebujeme 18

18 – 12 = 6

Stavbyvedoucí musí přibrat ještě 6 zedníků, aby práci dokončili podle požadavků.

- 187 -

9. Pět švadlenek vyrobí za 12 hodin 120 kusů zavinovaček na miminka. V sobotu může

přijít do práce jen osm švadlen. Kolik takových zavinovaček vyrobí za šest hodin osm

švadlen?

Řešení:

120 ks... 5 švadlen ... 12 hod.

120 ks... (švadlen) ... 6 hod.x nepřímá úměrnost

: 5 12 : 6

6 5 12/ : 6

60 : 6

10 švadlen

x

x

x

x

120 ks... 10 švadlen ... 6 hod.

(ks)... 8 švadlen ... 6 hod.x přímá úměrnost

:120 8 :10

10 8 120/ :10

960 :10

96 ks

x

x

x

x

V sobotu zhotoví 8 švadlen za šest hodin 96 kusů zavinovaček.

- 188 -

10. Měřítko mapy je 1 : 1 000 000. Za jak dlouho urazí automobil trasu, která na mapě měří

9,7cm? Průměrná rychlost automobilu je 54 km/hod.

Řešení:

1 cm (mapa) .... 1000000 cm (skutečnost)

9,7 cm (mapa) .... (cm) skutečnostx přímá úměrnost

:1000000 9,7 :1

9,7 1000000

9700000 cm

x

x

x

9700000 cm = 97 km

1 hodina .... 54 km

(hodin) .... 97 kmx přímá úměrnost

:1 97 : 54

54 97/ : 54

97 : 54

431 hod

54

x

x

x

x

7,4760

54

43

Trasu, která je na mapě dlouhá 9,7 cm, urazí automobil danou rychlostí za 1 hodinu a 48

minut.

Trojčlenka

Trojčlenkou nazýváme úlohu, která obsahuje dvojice na sobě závislých veličin (přímo nebo

nepřímo), z nichž tři údaje jsou známé a čtvrtý je třeba vypočítat.

Údaje se zapíší do určitého schématu. Šipkami se vyjádří příslušné závislosti .Šipkami ve

stejném směru přímá úměrnost, šipkami v opačném směru nepřímá úměrnost. Z praktických

důvodů pro snadnější výpočet je vhodné začínat psát šipky vždy u proměnné x. Trojčlenku

můžeme řešit různými způsoby, nejčastěji pomocí úměry nebo “přes jednotku”.

Něco z historie:

Počátek nauky o úměrách byl položen v Babylóně. Bybylónské poznatky převzali a dále

rozvedli Řekové.

Trojčlenka je známa už od starověku. Egypťané zvládli a používali trojčlenku kolem 6.století

př. n.l. Trojčlenka se používala i v Mezopotámii, Číně, Indii.Protože v běžném životě se

vyskytuje mnoho úloh, ve kterých se vyskytuje přímá nebonepřímá úměrnost a tyto úlohy se

dají řešit pomocí trojčlenky, bylo toto téma jednímz hlavních témat středověké matematiky,

- 189 -

zejména tzv. kupeckých počtů. Pro obecné počítání obchodníků, řemeslníků a ostatních lidí s

veličinami přímo či nepřímo úměrnými vznikaly různé mechanické předpisy (regule), pomocí

nichž byly úlohy řešeny. Základem většiny těchto předpisů se stala trojčlenka – regula de tri.

Autory prvních předpisů byli Indové.Na západ přivezli toto pravidlo orientální obchodníci.

V českých zemích se v 15. století vyučovalo na školách elementárních a latinských, což byl

druhý stupeň škol, který se dělil do 5. tříd. Ve 3. třídě této školy se do matematiky přidala

trojčlenka.

- 190 -

Přímá úměrnost

1. Aneta zaplatila za 2 ovocné jogurty 24 Kč. Kolik zaplatil Milan, který koupil těchto jogurtů

pět?

Řešení:

a) úsudkem:

2 jogurty 24Kč

1 jogurt 24 : 2 = 12( Kč)

5 jogurtů 12 . 5 = 60( Kč )

Milan zaplatil za jogurty 60 Kč.

b) trojčlenkou :

2jogurty.......... 24Kč

5jogurtů........... Kčx

Šipkami ve stejném směru vyjadřujeme, že jde o přímou úměrnost. Kolikrát se

zvětší počet jogurtů, tolikrát se zvýší cena. Při řešení používáme úměru. Šipky

ukazují , v jakém pořadí členy do každé z obou stran úměry zapisovat.

60

2:120

1202

5242

2:524:

x

x

x

x

x


- 191 -

2. Maminka zaplatila v obchodu se zeleninou za 2,4 kg mrkve 48 Kč. Kolik korun by stejném

obchodu zaplatila za 3,8 kg mrkve ?

Řešení:

2,4kg.......... 48Kč

3,8kg............ Kč

: 48 3,8 : 2,4

2,4 48 3,8

2,4 182,4

182,4 : 2,4

76

x

x

x

x

x

x

Za 3,8 kg mrkve by maminka zaplatila 76 Kč.

3. Ze 22,5 l mléka se vyrobí 3 kg tvarohu.Kolik l mléka se potřebuje na výrobu 8 kg tvarohu ?

Řešení :

3 k g.......... 22,5 l

8 kg.............. l

: 22,5 8 : 3

3 22,5 8

3 180

180 : 3

60

x

x

x

x

x

x

Na výrobu 8 kg tvarohu se potřebuje 60 l mléka.

- 192 -

4. Petrův dědeček má starší auto značky ŠKODA 120 L. Zjistil, že auto má spotřebu benzínu

8,5 l na 100 km.Kolik litrů benzínu bude dědeček potřebovat na cestu dlouhou 240 km ?

Řešení :

100km.......... 8,5l

240km............ l

:8,5 240 :100

100 240 8,5

100 2040

2040 :100

20,4

x

x

x

x

x

x

Dědeček bude na cestu potřebovat 20,4 l benzínu.

5. Na školním výletu zaplatila paní učitelka 384 Kč za vstupenky do zámku pro 24 dětí.

Kolik by zaplatila za vstupenky, kdyby jely všechny děti ze třídy, což je 27 žáků ?

Řešení :

24 vstupenek.......... 384Kč

27 vstupenek.............. Kč

: 384 27 : 24

24 384 27

24 10368

10368 : 24

432

x

x

x

x

x

x

Vstupenky pro 27 dětí by stály 432 Kč.

- 193 -

6. Paní Nová koupila na tržišti 6 kg meruněk za 252 Kč. Její sousedka paní Kovářová koupila

u stejného trhovce 8,5 kg meruněk.Stačilo jí na zaplacení 400 Kč, které měla v peněžence?

Řešení :

6 kg.......... 252Kč

8,5kg............ Kč

: 252 8,5 : 6

6 252 8,5

6 2142

2142 : 6

357

x

x

x

x

x

x

Paní Kovářové peníze stačily, protože meruňky stály 357 Kč.

7. Ze 100 kg pšenice se namele 72 kg mouky. Jak velké množství pšenice je třeba

k získání100 kg mouky ?

Řešení :

100kg.......... 72kg mouky

kg............ 100kg mouky

:100 100 : 72

72 100 100

72 10000

10000 : 72

138,88

x

x

x

x

x

x

K získání 100 kg mouky je třeba asi 139 kg pšenice.

- 194 -

8. Pružina se při zatížení 650 g prodlouží o2,6 cm.O kolik cm se prodlouží při zatížení 400 g ?

Řešení :

650g.......... 2,6cm

400g............ cm

: 2,6 400 : 650

650 400 2,6

650 1040

1040 : 650

1,6

x

x

x

x

x

x

Pružina se prodlouží o 1,6 cm.

9. Úloha z roku 1960 : Tříkilový bochník chleba byl za 10,20 Kč. Za kolik korun byl

dvoukilový bochník chleba stejného druhu ?

Řešení :

3kg.......... 10,20Kč

2kg............... Kč

:10,20 2 : 3

3 10,20 2

3 20,40

20,40 : 3

6,80

x

x

x

x

x

x

Dvoukilový bochník chleba stál v roce 1960 6,80 Kč.

10. Osmnáctimetrová kolejnice má hmotnost 1260 kg. Jakou hmotnost bude mít kolejnice,

která je o3 metry delší ?

Řešení:

18m.......... 1260kg

21m............... kg

:1260 21:18

18 1260 21

18 26460

26460 :18

1470

x

x

x

x

x

x

Delší kolejnice bude mít hmotnost 1470 kg.

- 195 -

11. V rámci výtvarné výchovy měli žáci navštívit výstavu obrazů současných mladých

umělců. Paní učitelka vybrala od 24 žáků ve třídě 720 Kč. V den návštěvy výstavy paní

učitelka u pokladny zaplatila jen 660 Kč. Kolik žáků toho dne chybělo ?

Řešení :

24žáků.......... 720Kč

žáků............ 660Kč

: 24 660 : 720

720 660 24

720 15840

15840 : 720

22

x

x

x

x

x

x

Toho dne ve škole chyběli 2 žáci.

12. 1,5 kg vepřové kotlety s kostí stojí 147 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 600 gramů této kotlety?

Řešení :

1,5kg.......... 147 Kč

0,6 kg................ Kč

:147 0,6 :1,5

1,5 147 0,6

1,5 88, 2

88,2 :1,5

58,8

59

x

x

x

x

x

x

x

Za kotlety zaplatíme 59 Kč.

13. Pavla končí bakalářské studium na Pedagogické fakultě v Olomouci.Má odevzdat

bakalářskou práci. Na počítači napíše 6 stran za 1 hodinu 12 minut. Jak dlouho jí bude

trvat ( při stejné rychlosti psaní ) přepis celé práce, která má 32 stran ?

Řešení :

- 196 -

6stran.......... 72minut

32stran.............. minut

: 72 32 : 6

6 72 32

6 2304

2304 : 6

384

x

x

x

x

x

x

384 minut = 6 hodin 24 minut

Přepis práce bude Pavle trvat 6 hodin 24 minut.

14. Pan Kovář a pan Hanák chovají poštovní holuby. Jejich bydliště jsou od sebe vzdálena

72 km.Za jak dlouho obdrží pan Kovář zprávu od pana Hanáka prostřednictvím

poštovního holuba, který uletí za půl hodiny 47 km ? ( předpokládejme stejnou průměrnou

rychlost)

Řešení :

46

95,45

47:2160

216047

307247

47:7230:

km72...........minut.

km47........minut..30

x

x

x

x

x

x

x

Pan Kovář obdrží zprávu za 46 minut.

15. Tabule skla o rozměrech 20 cm a 1 m má hmotnost 0,8 kg. Jakou hmotnost má 5 tabulek

ze stejného skla, jsou – li rozměry jedné tabulky 28 cm a 30 cm ?

Řešení :

S1 = 20 . 100 = 2000 cm

2 S2 = 28

. 30 = 840 cm

2

- 197 -

kg68,1336,05.....tabulek..5

336,0

2000:672

6722000

8,08402000

2000:8408,0:

..............cm840

kg8,0..........cm2000

2

2

x

x

x

x

x

kgx

Pět tabulek skla má hmotnost 1,68 kg.

16. Smrkový trám tvaru kvádru s rozměry 2,5 m; 20 cm a 25 cm má hmotnost 81,25 kg. Jakou

hmotnost bude mít trám ze stejného dřeva o rozměrech 3,6 m ; 35 cm a 20 cm?

Řešení :

1

1

1

2,5 0,20 0,25

0,125

V a b c

V

V

2

2

2

3,6 0,35 0,20

0,252

V a b c

V

V

3

3

0,125m ......... 81,25kg

0, 252m ............... kg

:81,25 0,252 : 0,125

0,125 81, 25 0, 252

0,125 20,475

20, 475 : 0,125

163,8

x

x

x

x

x

x

Druhý trám má hmotnost 163,8 kg.

- 198 -


1. Vzdálenost z místa A do místa B ujede motocyklista jedoucí rychlostí 40 km/h za 3 hodiny.

Za jak dlouho ji ujede osobní auto jedoucí rychlostí 90 km/h ?

Řešení :

1. způsob : z fyziky víme, že :

40 3

120 km

s v t

s

s

minut20hodina1

)h(3

11

3

4

90

120

t

t

t

t

v

st

Auto ujede vzdálenost za 1 hodinu 20 minut.

2. způsob :Trojčlenkou :

Šipkami v opačném směru vyjadřujeme, že jde o nepřímou úměrnost.

40km/h..........3hodiny

90km/h.......... .. hodin

: 3 40 : 90

90 3 40

90 120

120 : 90

11

3

11 hodiny 1hodina 20minut

3

x

x

x

x

x

x


- 199 -

2. Třída 7. B pomáhala odpoledne při úpravě okolí školy.15 žáků bylo s určenou prací hotovo

za 4 hodiny. Jak dlouho by tato práce trvala, kdyby přišlo i těch 5 žáků, kteří se z brigády

omluvili ?

Řešení :

15žáků.......... 4hodiny

20žáků........... hodin

: 4 15 : 20

20 4 15

20 60

60 : 20

3

x

x

x

x

x

x

Práce by trvala jen 3 hodiny.

3. Na záhonu je vysázena řada ibišků. Je jich 25 a jsou od sebe vzdáleny 40 cm. Kolik bude

ibišků na druhém, stejně velkém záhonu, budou - li se vysazovat 50 cm od sebe ?

Řešení :

40cm.......... 25 ibišků

50cm................ ibišků

: 25 40 : 50

50 25 40

50 1000

1000 : 20

20

x

x

x

x

x

x

Na druhém záhonu bude 20 ibišků.

- 200 -

4. Martin skládá babičce do kůlny přivezené uhlí. Vypočítal, že kdyby si nakládal na vozík 60

kg , musel by jet dvacetkrát. Zjistil však, že vozík neuveze. Nakládal si tedy jen 50 kg.

Kolik jízd musel Martin nakonec udělat ?

Řešení:

60kg........ .. 20 jízd

50kg............. jízd

: 20 60 : 50

50 20 60

50 1200

1200 : 50

24

x

x

x

x

x

x

Martin musel udělat 24 jízd.

5. Tatínek přešel hřiště 28 kroky. Jeho krok má délku 75 cm. Jak dlouhý krok má jeho syn,

který přešel totéž hřiště 35 kroky ?

Řešení :

75cm.......... 28kroků

cm............ 35kroků

: 75 28 : 35

35 28 75

35 2100

2100 : 35

60

x

x

x

x

x

x

Syn má krok dlouhý 60 cm.

- 201 -

6. Na autokarový zájezd do Krkonoš se přihlásilo 40 osob. Vedoucí zájezdu vypočítal, že

každý z nich zaplatí 600 Kč, aby se uhradily náklady na autobus. Kolik Kč stál zájezd

jednoho účastníka, jestliže jelo nakonec 32 osob a náklady na autobus zůstaly stejné ?

Řešení :

40osob..........600Kč

32osob.......... Kč

: 600 40 : 32

32 600 40

32 24000

24000 : 32

750

x

x

x

x

x

x

Každý účastník zaplatil 750 Kč.

7. Katka má přes vánoční prázdniny vyřešit určité množství matematických úloh. Kdyby

počítala denně 3 úlohy, trvalo by jí to 8 dnů. Potřebuje však být hotova o 2 dny dříve, aby

mohla jet za kamarádkou. Kolik úloh denně tedy musí vyřešit ?

Řešení :

3úlohy.......... 8dnů

úloh...............6dnů

: 3 8 : 6

6 3 8

6 24

4

x

x

x

x

x

Katka musí vypočítat denně 4 úlohy.

- 202 -

8. Jirkova babička chová slepice. Množství zrní, které koupila , vystačí pro 20 slepic na 70

dnů. Na kolik dnů by stejné množství zrní stačilo sousedovi, který chová 25 slepic ?

Řešení : .

20slepic.......... 70dnů

25slepic............ dnů

: 70 20 : 25

25 70 20

25 1400

1400 : 25

56

x

x

x

x

x

x

Sousedovi by zrní stačilo na 56 dnů.

9. Nádrž na vodu se vyčerpá 3 stejnými čerpadly za jeden den. Za kolik hodin se nádrž

vyčerpá, přidá-li se ještě jedno stejně výkonné čerpadlo ?

Řešení :

3čerpadla..........24hodin

4čerpadla........ hodin

: 24 3: 4

4 24 3

4 72

72 : 4

18

x

x

x

x

x

x

Nádrž se vyčerpá za 18 hodin.

10. Osm dlaždičů mělo předláždit chodník za 21 pracovních dnů. Před zahájením práce dva

dlaždiči onemocněli. Jak dlouho trvalo předláždění chodníku dlaždičům, kteří nastoupili

do práce ?

Řešení :

8lidí........ 21dnů

6lidí.......... dnů

: 21 8 : 6

6 21 8

6 168

168 : 6

28

x

x

x

x

x

x

Předláždění chodníku trvalo 28 dnů.

- 203 -

11. Výtah v panelovém domě má kapacitu 3 osoby o hmotnosti 80 kg. Nastoupilo do něj

5 dětí. Jakou maximální hmotnost může mít každé dítě, aby výtah nebyl přetížen ?

Řešení :

3osoby........... 80kg

5osob............... kg

:80 3: 5

5 80 3

5 240

240 : 5

48

x

x

x

x

x

x

Maximální hmotnost každého dítěte může být 48 kg.

12. Nákladní auto rozvážející brambory veze při první jízdě 140 pytlů po 25 kg. Kolik pytlů

po 35 kg mohou naložit při druhé jízdě, aby hmotnost celého nákladu zůstala stejná ?

Řešení :

25kg.......... 140pytlů

35kg............. pytlů

:140 25 : 35

35 140 25

35 3500

3500 : 35

100

x

x

x

x

x

x

Při druhé jízdě mohou naložit 100 pytlů brambor.

13. Při rekonstrukci domu zvládli 4 instalatéři svou práci za 56 hodin. Za kolik hodin by

stejnou práci provedlo 7 instalatérů ?

Řešení :

- 204 -

4instalatéři......... 56hodin

7instalatérů........ hodin

: 56 4 : 7

7 56 4

7 224

224 : 7

32

x

x

x

x

x

x

Sedm instalatérů by práci provedlo za 32 hodin.

14. Ze zásobníku se plní kelímky jogurtu. Kelímků o hmotnosti 150 g se naplní 19 000 kusů.

Kolik by se ze zásobníku naplnilo kelímků o hmotnosti 400 gramů ?

Řešení :

150g.......... 19000kusů

400g................. kusů

:19000 150 : 400

400 19000 150

400 2850000

2850000 : 400

7125

x

x

x

x

x

x

Ze zásobníku by se naplnilo 7125 kelímků o hmotnosti 400 gramů.

15. Novákům zásoba uhlí vystačí při denní spotřebě 16 kg uhlí na 60 dnů. Na jak dlouho jim

zásoba vystačí, spotřebují-li denně o jednu čtvrtinu plánovaného množství více ?

Řešení:

16 : 4 = 4 kg

16 + 4 = 20 kg

16kg.......... 60dnů

20kg........... dnů

: 60 16 : 20

20 60 16

20 960

960 : 20

48

x

x

x

x

x

x


- 205 -

16. Osm švadlen mělo zhotovit zakázku za 15 pracovních dnů. Po 3 dnech práce dvě švadleny

onemocněly.

a) Za kolik pracovních dnů nyní švadleny dokončí zakázku ?

b) Kolik pracovních dnů celkem trvalo zhotovení zakázky ?

Řešení :

a) 15 - 3 = 12 dnů

8 – 2 = 6 švadlen

8švadlen.......... 12dnů

6švadlen................. dnů

:12 8 : 6

6 12 8

6 96

96 : 6

16

x

x

x

x

x

x

Švadleny dokončí zakázku za 16 dnů.

b) 16+3 = 19

Zhotovení zakázky trvalo celkem 19 dnů.

Trojčlenka

Trojčlenkou nazýváme úlohu, která obsahuje dvojice na sobě závislých veličin (přímo nebo

nepřímo), z nichž tři údaje jsou známé a čtvrtý je třeba vypočítat.

Údaje se zapíší do určitého schématu. Šipkami se vyjádří příslušné závislosti .Šipkami ve

stejném směru přímá úměrnost, šipkami v opačném směru nepřímá úměrnost. Z praktických

důvodů pro snadnější výpočet je vhodné začínat psát šipky vždy u proměnné x. Trojčlenku

můžeme řešit různými způsoby, nejčastěji pomocí úměry nebo “přes jednotku”.

Něco z historie:

Počátek nauky o úměrách byl položen v Babylóně. Bybylónské poznatky převzali a dále

rozvedli Řekové.

Trojčlenka je známa už od starověku. Egypťané zvládli a používali trojčlenku kolem 6.století

př. n.l. Trojčlenka se používala i v Mezopotámii, Číně, Indii.Protože v běžném životě se

vyskytuje mnoho úloh, ve kterých se vyskytuje přímá nebonepřímá úměrnost a tyto úlohy se

dají řešit pomocí trojčlenky, bylo toto téma jednímz hlavních témat středověké matematiky,

zejména tzv. kupeckých počtů. Pro obecné počítání obchodníků, řemeslníků a ostatních lidí s

veličinami přímo či nepřímo úměrnými vznikaly různé mechanické předpisy (regule), pomocí

- 206 -

nichž byly úlohy řešeny. Základem většiny těchto předpisů se stala trojčlenka – regula de tri.

Autory prvních předpisů byli Indové.Na západ přivezli toto pravidlo orientální obchodníci.

V českých zemích se v 15. století vyučovalo na školách elementárních a latinských, což byl

druhý stupeň škol, který se dělil do 5. tříd. Ve 3. třídě této školy se do matematiky přidala

trojčlenka.

Přímá úměrnost

1. Aneta zaplatila za 2 ovocné jogurty 24 Kč. Kolik zaplatil Milan, který koupil těchto jogurtů

pět?

Řešení:

a) úsudkem:

2 jogurty 24Kč

1 jogurt 24 : 2 = 12( Kč)

5 jogurtů 12 . 5 = 60( Kč )


b) trojčlenkou :

2jogurty.......... 24Kč

5jogurtů........... Kčx

Šipkami ve stejném směru vyjadřujeme, že jde o přímou úměrnost. Kolikrát se

zvětší počet jogurtů, tolikrát se zvýší cena. Při řešení používáme úměru. Šipky

ukazují , v jakém pořadí členy do každé z obou stran úměry zapisovat.

60

2:120

1202

5242

2:524:

x

x

x

x

x


- 207 -

2. Maminka zaplatila v obchodu se zeleninou za 2,4 kg mrkve 48 Kč. Kolik korun by stejném

obchodu zaplatila za 3,8 kg mrkve ?

Řešení:

2,4kg.......... 48Kč

3,8kg............ Kč

: 48 3,8 : 2,4

2,4 48 3,8

2,4 182,4

182,4 : 2,4

76

x

x

x

x

x

x

Za 3,8 kg mrkve by maminka zaplatila 76 Kč.

3. Ze 22,5 l mléka se vyrobí 3 kg tvarohu.Kolik l mléka se potřebuje na výrobu 8 kg tvarohu ?

Řešení :

3 k g.......... 22,5 l

8 kg.............. l

: 22,5 8 : 3

3 22,5 8

3 180

180 : 3

60

x

x

x

x

x

x


- 208 -

4. Petrův dědeček má starší auto značky ŠKODA 120 L. Zjistil, že auto má spotřebu benzínu

8,5 l na 100 km.Kolik litrů benzínu bude dědeček potřebovat na cestu dlouhou 240 km ?

Řešení :

100km.......... 8,5l

240km............ l

:8,5 240 :100

100 240 8,5

100 2040

2040 :100

20,4

x

x

x

x

x

x


5. Na školním výletu zaplatila paní učitelka 384 Kč za vstupenky do zámku pro 24 dětí.

Kolik by zaplatila za vstupenky, kdyby jely všechny děti ze třídy, což je 27 žáků ?

Řešení :

24 vstupenek.......... 384Kč

27 vstupenek.............. Kč

: 384 27 : 24

24 384 27

24 10368

10368 : 24

432

x

x

x

x

x

x


- 209 -

6. Paní Nová koupila na tržišti 6 kg meruněk za 252 Kč. Její sousedka paní Kovářová koupila

u stejného trhovce 8,5 kg meruněk.Stačilo jí na zaplacení 400 Kč, které měla v peněžence?

Řešení :

6 kg.......... 252Kč

8,5kg............ Kč

: 252 8,5 : 6

6 252 8,5

6 2142

2142 : 6

357

x

x

x

x

x

x

Paní Kovářové peníze stačily, protože meruňky stály 357 Kč.

7. Ze 100 kg pšenice se namele 72 kg mouky. Jak velké množství pšenice je třeba

k získání100 kg mouky ?

Řešení :

100kg.......... 72kg mouky

kg............ 100kg mouky

:100 100 : 72

72 100 100

72 10000

10000 : 72

138,88

x

x

x

x

x

x


- 210 -

8. Pružina se při zatížení 650 g prodlouží o2,6 cm.O kolik cm se prodlouží při zatížení 400 g ?

Řešení :

650g.......... 2,6cm

400g............ cm

: 2,6 400 : 650

650 400 2,6

650 1040

1040 : 650

1,6

x

x

x

x

x

x


9. Úloha z roku 1960 : Tříkilový bochník chleba byl za 10,20 Kč. Za kolik korun byl

dvoukilový bochník chleba stejného druhu ?

Řešení :

3kg.......... 10,20Kč

2kg............... Kč

:10,20 2 : 3

3 10,20 2

3 20,40

20,40 : 3

6,80

x

x

x

x

x

x

Dvoukilový bochník chleba stál v roce 1960 6,80 Kč.

10. Osmnáctimetrová kolejnice má hmotnost 1260 kg. Jakou hmotnost bude mít kolejnice,

která je o3 metry delší ?

Řešení:

18m.......... 1260kg

21m............... kg

:1260 21:18

18 1260 21

18 26460

26460 :18

1470

x

x

x

x

x

x

Delší kolejnice bude mít hmotnost 1470 kg.

- 211 -

11. V rámci výtvarné výchovy měli žáci navštívit výstavu obrazů současných mladých

umělců. Paní učitelka vybrala od 24 žáků ve třídě 720 Kč. V den návštěvy výstavy paní

učitelka u pokladny zaplatila jen 660 Kč. Kolik žáků toho dne chybělo ?

Řešení :

24žáků.......... 720Kč

žáků............ 660Kč

: 24 660 : 720

720 660 24

720 15840

15840 : 720

22

x

x

x

x

x

x

Toho dne ve škole chyběli 2 žáci.

12. 1,5 kg vepřové kotlety s kostí stojí 147 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 600 gramů této kotlety?

Řešení :

1,5kg.......... 147 Kč

0,6 kg................ Kč

:147 0,6 :1,5

1,5 147 0,6

1,5 88, 2

88,2 :1,5

58,8

59

x

x

x

x

x

x

x

Za kotlety zaplatíme 59 Kč.

- 212 -

13. Pavla končí bakalářské studium na Pedagogické fakultě v Olomouci.Má odevzdat

bakalářskou práci. Na počítači napíše 6 stran za 1 hodinu 12 minut. Jak dlouho jí bude

trvat ( při stejné rychlosti psaní ) přepis celé práce, která má 32 stran ?

Řešení :


32stran.............. minut

: 72 32 : 6

6 72 32

6 2304

2304 : 6

384

x

x

x

x

x

x


Přepis práce bude Pavle trvat 6 hodin 24 minut.

14. Pan Kovář a pan Hanák chovají poštovní holuby. Jejich bydliště jsou od sebe vzdálena

72 km.Za jak dlouho obdrží pan Kovář zprávu od pana Hanáka prostřednictvím

poštovního holuba, který uletí za půl hodiny 47 km ? ( předpokládejme stejnou průměrnou

rychlost)

Řešení :

46

95,45

47:2160

216047

307247

47:7230:

km72...........minut.

km47........minut..30

x

x

x

x

x

x

x

Pan Kovář obdrží zprávu za 46 minut.

- 213 -



Řešení :

S1 = 20 . 100 = 2000 cm

2 S2 = 28

. 30 = 840 cm

2

kg68,1336,05.....tabulek..5

336,0

2000:672

6722000

8,08402000

2000:8408,0:

..............cm840

kg8,0..........cm2000

2

2

x

x

x

x

x

kgx

Pět tabulek skla má hmotnost 1,68 kg.

16. Smrkový trám tvaru kvádru s rozměry 2,5 m; 20 cm a 25 cm má hmotnost 81,25 kg. Jakou

hmotnost bude mít trám ze stejného dřeva o rozměrech 3,6 m ; 35 cm a 20 cm?

Řešení :

1

1

1

2,5 0,20 0,25

0,125

V a b c

V

V

2

2

2

3,6 0,35 0,20

0,252

V a b c

V

V

3

3

0,125m ......... 81,25kg

0, 252m ............... kg

:81,25 0,252 : 0,125

0,125 81, 25 0, 252

0,125 20,475

20, 475 : 0,125

163,8

x

x

x

x

x

x


- 214 -


1. Vzdálenost z místa A do místa B ujede motocyklista jedoucí rychlostí 40 km/h za 3 hodiny.

Za jak dlouho ji ujede osobní auto jedoucí rychlostí 90 km/h ?

Řešení :

1. způsob : z fyziky víme, že :

40 3

120 km

s v t

s

s

minut20hodina1

)h(3

11

3

4

90

120

t

t

t

t

v

st


2. způsob :Trojčlenkou :

Šipkami v opačném směru vyjadřujeme, že jde o nepřímou úměrnost.

40km/h..........3hodiny

90km/h.......... .. hodin

: 3 40 : 90

90 3 40

90 120

120 : 90

11

3


3

x

x

x

x

x

x


- 215 -

2. Třída 7. B pomáhala odpoledne při úpravě okolí školy.15 žáků bylo s určenou prací hotovo

za 4 hodiny. Jak dlouho by tato práce trvala, kdyby přišlo i těch 5 žáků, kteří se z brigády

omluvili ?

Řešení :


20žáků........... hodin

: 4 15 : 20

20 4 15

20 60

60 : 20

3

x

x

x

x

x

x


3. Na záhonu je vysázena řada ibišků. Je jich 25 a jsou od sebe vzdáleny 40 cm. Kolik bude

ibišků na druhém, stejně velkém záhonu, budou - li se vysazovat 50 cm od sebe ?

Řešení :

40cm.......... 25 ibišků

50cm................ ibišků

: 25 40 : 50

50 25 40

50 1000

1000 : 20

20

x

x

x

x

x

x

Na druhém záhonu bude 20 ibišků.

- 216 -

4. Martin skládá babičce do kůlny přivezené uhlí. Vypočítal, že kdyby si nakládal na vozík 60

kg , musel by jet dvacetkrát. Zjistil však, že vozík neuveze. Nakládal si tedy jen 50 kg.

Kolik jízd musel Martin nakonec udělat ?

Řešení:

60kg........ .. 20 jízd

50kg............. jízd

: 20 60 : 50

50 20 60

50 1200

1200 : 50

24

x

x

x

x

x

x

Martin musel udělat 24 jízd.

5. Tatínek přešel hřiště 28 kroky. Jeho krok má délku 75 cm. Jak dlouhý krok má jeho syn,

který přešel totéž hřiště 35 kroky ?

Řešení :

75cm.......... 28kroků

cm............ 35kroků

: 75 28 : 35

35 28 75

35 2100

2100 : 35

60

x

x

x

x

x

x

Syn má krok dlouhý 60 cm.

- 217 -

6. Na autokarový zájezd do Krkonoš se přihlásilo 40 osob. Vedoucí zájezdu vypočítal, že



Řešení :

40osob..........600Kč

32osob.......... Kč

: 600 40 : 32

32 600 40

32 24000

24000 : 32

750

x

x

x

x

x

x


7. Katka má přes vánoční prázdniny vyřešit určité množství matematických úloh. Kdyby

počítala denně 3 úlohy, trvalo by jí to 8 dnů. Potřebuje však být hotova o 2 dny dříve, aby

mohla jet za kamarádkou. Kolik úloh denně tedy musí vyřešit ?

Řešení :

3úlohy.......... 8dnů

úloh...............6dnů

: 3 8 : 6

6 3 8

6 24

4

x

x

x

x

x

Katka musí vypočítat denně 4 úlohy.

- 218 -

8. Jirkova babička chová slepice. Množství zrní, které koupila , vystačí pro 20 slepic na 70

dnů. Na kolik dnů by stejné množství zrní stačilo sousedovi, který chová 25 slepic ?

Řešení : .

20slepic.......... 70dnů

25slepic............ dnů

: 70 20 : 25

25 70 20

25 1400

1400 : 25

56

x

x

x

x

x

x


9. Nádrž na vodu se vyčerpá 3 stejnými čerpadly za jeden den. Za kolik hodin se nádrž

vyčerpá, přidá-li se ještě jedno stejně výkonné čerpadlo ?

Řešení :


4čerpadla........ hodin

: 24 3: 4

4 24 3

4 72

72 : 4

18

x

x

x

x

x

x


10. Osm dlaždičů mělo předláždit chodník za 21 pracovních dnů. Před zahájením práce dva

dlaždiči onemocněli. Jak dlouho trvalo předláždění chodníku dlaždičům, kteří nastoupili

do práce ?

Řešení :

8lidí........ 21dnů

6lidí.......... dnů

: 21 8 : 6

6 21 8

6 168

168 : 6

28

x

x

x

x

x

x


- 219 -

11. Výtah v panelovém domě má kapacitu 3 osoby o hmotnosti 80 kg. Nastoupilo do něj

5 dětí. Jakou maximální hmotnost může mít každé dítě, aby výtah nebyl přetížen ?

Řešení :

3osoby........... 80kg

5osob............... kg

:80 3: 5

5 80 3

5 240

240 : 5

48

x

x

x

x

x

x


12. Nákladní auto rozvážející brambory veze při první jízdě 140 pytlů po 25 kg. Kolik pytlů

po 35 kg mohou naložit při druhé jízdě, aby hmotnost celého nákladu zůstala stejná ?

Řešení :

25kg.......... 140pytlů

35kg............. pytlů

:140 25 : 35

35 140 25

35 3500

3500 : 35

100

x

x

x

x

x

x

Při druhé jízdě mohou naložit 100 pytlů brambor.

13. Při rekonstrukci domu zvládli 4 instalatéři svou práci za 56 hodin. Za kolik hodin by

stejnou práci provedlo 7 instalatérů ?

Řešení :

- 220 -

4instalatéři......... 56hodin

7instalatérů........ hodin

: 56 4 : 7

7 56 4

7 224

224 : 7

32

x

x

x

x

x

x

Sedm instalatérů by práci provedlo za 32 hodin.

14. Ze zásobníku se plní kelímky jogurtu. Kelímků o hmotnosti 150 g se naplní 19 000 kusů.

Kolik by se ze zásobníku naplnilo kelímků o hmotnosti 400 gramů ?

Řešení :

150g.......... 19000kusů

400g................. kusů

:19000 150 : 400

400 19000 150

400 2850000

2850000 : 400

7125

x

x

x

x

x

x

Ze zásobníku by se naplnilo 7125 kelímků o hmotnosti 400 gramů.

15. Novákům zásoba uhlí vystačí při denní spotřebě 16 kg uhlí na 60 dnů. Na jak dlouho jim

zásoba vystačí, spotřebují-li denně o jednu čtvrtinu plánovaného množství více ?

Řešení:

16 : 4 = 4 kg

16 + 4 = 20 kg

16kg.......... 60dnů

20kg........... dnů

: 60 16 : 20

20 60 16

20 960

960 : 20

48

x

x

x

x

x

x


- 221 -

16. Osm švadlen mělo zhotovit zakázku za 15 pracovních dnů. Po 3 dnech práce dvě švadleny

onemocněly.

a) Za kolik pracovních dnů nyní švadleny dokončí zakázku ?

b) Kolik pracovních dnů celkem trvalo zhotovení zakázky ?

Řešení :

a) 15 - 3 = 12 dnů

8 – 2 = 6 švadlen


6švadlen................. dnů

:12 8 : 6

6 12 8

6 96

96 : 6

16

x

x

x

x

x

x


b) 16+3 = 19

Zhotovení zakázky trvalo celkem 19 dnů.

Trojčlenka – přímá úměrnost cvičení I

1. Maminka zaplatila v obchodu se zeleninou za 1,5 kg petržele 33 Kč. Kolik korun by ve

stejném obchodu zaplatila za 2,5 kg petržele ?

Řešení:

1,5kg.......... 33Kč

2,5kg............ Kč

: 33 2,5 :1,5

1,5 33 2,5

1,5 82,5

82,5 :1,5

55

x

x

x

x

x

x

Za 2,5 kg petržele by maminka zaplatila 55 Kč.

- 222 -

2. Ze 24 l mléka se vyrobí 8,5 kg másla .Kolik kg másla se vyrobí z 30 litrů mléka?

Řešení :

8,5k g............ 25 l

kg.............. 30 l

:8,5 30 : 25

25 30 8,5

25 255

255 : 25

10,2

x

x

x

x

x

x

Ze 30 litrů mléka se vyrobí 10,2 kg másla.

3. Karlova rodina se chystá o víkendu na výlet autem. Kolik je bude stát benzín, jestliže jejich

auto má průměrnou spotřebu 7,5 l na 100 km a vypočítali délku trasy na 220 km?

Současná cena benzínu je 36 Kč za litr.

Řešení :

100 km.......... 7,5l

220 km............ l

: 7,5 220 :100

100 220 7,5

100 1650

1650 :100

16,5

16,5 36 594 Kč

x

x

x

x

x

x

Rodinu bude stát benzín 594 Kč.

4) Děti si platí ve škole mléčné svačinky. Paní učitelka vybrala od 16 žáků 288 Kč. Kolik Kč

by vybrala, kdyby svačinky odebírali všichni žáci ve třídě, což je 22 žáků?

Řešení :

16 žáků...... 288Kč

22žáků........... Kč

: 288 22 :16

16 288 22

16 6336

6336 :16

396

x

x

x

x

x

x

Paní učitelka by vybrala 396 Kč.

- 223 -

5. Pan Novák koupil na tržišti 8 kg brambor za 168 Kč. Pan Malý koupil u stejného trhovce

9,5 kg brambor. Kolik za ně zaplatil?

Řešení :

8 kg.......... 168Kč

9,5kg............ Kč

:168 9,5 :8

8 168 9,5

8 1596

1596 :8

199,5

x

x

x

x

x

x

Pan Malý zaplatil za brambory asi 200 Kč.

6. Z 50 kg žita se namele 36 kg mouky. Jak velké množství mouky se získá ze 120 kg žita?

Řešení :

50kg............ 36kg mouky

120kg............ kg mouky

: 36 120 : 50

50 120 36

50 4320

4320 : 50

x

x

x

x

x

Ze 120 kg žita se namele 86,4 kg mouky.

7. Pružina se při zatížení 450 g prodlouží o1,5 cm. Jaké musí být zatížení, aby se prodloužila

o 2,8 cm?

Řešení :

450g.......... 1,5cm

g.............. 2,8cm

: 450 2,8 :1,5

1,5 450 2,8

1,5 1260

1260 :1,5

840

x

x

x

x

x

x

Pružina se musí zatížit 840 gramy.

- 224 -

8. Na dvoudenní školní výlet paní učitelka vybrala od 22 žáků 7 700 Kč za ubytování. Při

odchodu z ubytovny platila však jen 6 650 Kč. Kolik žáků nakonec na výlet nejelo?

Řešení

22žáků.......... 7700Kč

žáků............ 6650Kč

: 22 6650 : 7700

7700 6650 22

7700 146300

146300 : 7700

19

22 19 3

x

x

x

x

x

x

Na výlet nakonec nejeli 3 žáci.

9. Za 200 gramů šunky zaplatíme 36 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 550 gramů šunky

Řešení :

200g...............36Kč

550g................. Kč

550 : 200 : 36

200 550 36

200 19800

19800 : 200

99

x

x

x

x

x

x

Za 550 gramů šunky zaplatíme 99 Kč.

10. Věra píše na počítači vypracování maturitních otázek do přírodopisu. Napíše 10 stran

textu za 1 hodinu 20 minut. Za jak dlouho napíše při stejné rychlosti psaní 25 stran?

Řešení:

10stran..............80minut

25stran............... minut

:80 25 :10

10 80 25

10 2000

2000 :10

200

200minut 3h 20minut

x

x

x

x

x

x

Věra napíše 25 stran za 3 hodiny 20 minut.

- 225 -

11. Za 1,2 kg kuřecích řízků maminka zaplatila 150 Kč. Kolik kg řízků by dostala za 200 Kč?

Řešení:

1,2kg............. 150Kč

kg............... 200Kč

:1, 2 200 :150

150 1,2 200

150 240

240 :150

1,6

x

x

x

x

x

x

Za 200 Kč by maminka dostala 1,6 kg kuřecích řízků.

12. Aleš koupil 2,2 kg pomerančů za 42 Kč. Tatínek ve stejném obchodu koupil. 5,5 kg

pomerančů. Kolik za pomeranče zaplatil tatínek?

Řešení:

2,2kg............ 42Kč

5,5kg.............. Kč

: 42 5,5 : 2,2

2,2 42 5,5

2,2 231

231: 2,2

105

x

x

x

x

x

x

Tatínek zaplatil za pomeranče 105 Kč.

- 226 -

13. Prodejce prodal na sobotním trhu 36 kg cibule a utržil tak 792 Kč. Kolik Kč by

vydělal,kdyby prodal celý padesátikilový pytel cibule?

Řešení:

36kg......... 792Kč

50kg............ Kč

: 792 50 : 36

36 792 50

36 39600

39600 : 36

1100

x

x

x

x

x

x

Prodejce by vydělal 1 100 Kč.

14. Paní Bílá si koupila 1,5 m látky na halenku a zaplatila 420 Kč. Druhý den koupila 2,5 m

téže látky na šaty pro babičku. Kolik Kč stála látka na šaty?

Řešení:

1,5m........... 420Kč

2,5m.............. Kč

2,5 :1,5 : 420

1,5 2,5 420

1,5 1050

1050 :1,5

700

x

x

x

x

x

x

Látka na šaty stála 700 Kč.

- 227 -

15. Dubový trám o objemu 0,350 m3 má hmotnost 245 kg.. Jakou hmotnost bude mít trám ze

stejného dřeva o rozměrech 1,5 m ; 35 cm a 20 cm?

Řešení :

3

1,5 0,35 0,20

0,105 m

V a b c

V

V

3

3

0,350m ........... 245kg

0,105m ............... kg

: 245 0,105 : 0,350

0,350 245 0,105

0,350 25,725

25,725 : 0,350

73,5

x

x

x

x

x

x


16. Petr si koupil na svačinu k rohlíkům 150 g sýru Eidam a kamarád Olda si koupil 240 g

téhož sýru. Petra stál sýr 28 Kč, kolik stál sýr Oldu?

Řešení:

150g.......... 28 Kč

240g........... Kč

240 :150 : 28

150 240 28

150 6720

6720 :150

44,8

45

x

x

x

x

x

x

x

&

Oldu stál sýr 45 Kč.

- 228 -

17. Z 19 kg čerstvých jablek se získá sušením 3,8 kg křížal. Kolik kg křížal se získá ze 60 kg

čerstvých jablek?

Řešení:

19kg........... 3,8kg

60kg............. kg

: 3,8 60 :19

19 60 3,8

19 228

228 :19

12

x

x

x

x

x

x

Z 60 kg jablek se získá 12 kg křížal

18. Z 18 kg pampelišek se vyrobí 4,8 kg medu.Kolik medu se vyrobí z 24 kg pampelišek?

Řešení:

18kg........... 4,8kg medu

24kg........ kg medu

: 48 24 :18

18 24 4,8

18 115,2

6,4

x

x

x

x

x

Z 24 kg pampelišek se vyrobí 6,4 kg medu.

- 229 -

19. Z 12 tun brambor se vyrobí 16 hl lihu .Kolik hl lihu se získá z pole tvaru obdélníku o

rozměrech 620 m a 450 m, je-li hektarový výnos 20 tun?

Řešení:

S = a . b S = 279 000 m

2 = 27,9 ha

S = 620 . 450 27,9

. 20 = 558 t

12 t.......... 16hl

558 t......... hl

:16 558 :12

12 558 16

12 8928

8928 :12

744

x

x

x

x

x

x

Z úrody brambor na poli se získá 744 hl lihu.

20) Sadař pan Kroutil má 95 broskvoní a letos sklidil ze sadu 19 t broskví. Jeho soused pan

Liška má v sadu 120 broskvoní. Kolik tun broskví sklidil pan Liška?

Řešení:

95stromů............ 19 t

120stromů.......... t

:19 120 : 95

95 120 19

95 2280

2280 : 95

24

x

x

x

x

x

x

Pan Liška sklidil 24 tun broskví.

- 230 -

Trojčlenka – přímá úměrnost 2

1. Pavla zaplatila za 4 ovocné jogurty 48 Kč. Kolik zaplatil Milan, který koupil těchto jogurtů

deset?

Řešení:

4jogurty.......... 48Kč

10jogurtů........... Kč

: 48 10 : 4

4 48 10

4 480

480 : 4

120

x

x

x

x

x

x

Milan zaplatil za jogurty 120 Kč

2. Paní Veselá zaplatila v obchodu se zeleninou za 4,8 kg banánů 96 Kč. Kolik korun by ve

stejném obchodu zaplatila za 7,6 kg banánů?

Řešení:

4,8kg.......... 96Kč

7,6kg............ Kč

: 96 7,6 : 4,8

4,8 96 7,6

4,8 729,6

729,6 : 4,8

152

x

x

x

x

x

x

Za 7,6 kg banánů by paní Veselá zaplatila 152 Kč.

- 231 -

3. Ze 45 l mléka se vyrobí 6 kg tvarohu. Kolik l mléka se potřebuje na výrobu 16 kg tvarohu ?

Řešení :

6 g.......... 45 l

16kg.............. l

: 45 16 : 6

6 45 16

6 720

720 : 6

120

k

x

x

x

x

x

x


4. Pan Dostál má s auto značky ŠKODA. Zjistil, že auto má spotřebu benzínu 12,75 l na 150

km. Kolik litrů benzínu bude pan Dostál potřebovat na cestu dlouhou 360 km?

Řešení :

150km.......... 12,75 l

360km............ l

:12,75 360 :150

150 360 12,75

150 4590

4590 :150

30,6

x

x

x

x

x

x


5. Na školním výletu zaplatila paní učitelka 192 Kč za občerstvení pro 12 dětí. Kolik by

zaplatila za občerstvení, kdyby jelo všech 16 žáků, kteří se na výlet přihlásili?

Řešení :

12.žáků .. 192Kč

16žáků........... Kč

:192 16 :12

12 192 16

12 3072

3072 :12

256

x

x

x

x

x

x


- 232 -

6. Paní Stará koupila na tržišti 12 kg broskví za 504 Kč. Její sousedka paní Kovářová koupila

u stejného trhovce 17 kg broskví. Stačilo jí na zaplacení 800 Kč, které měla v peněžence?

Řešení :

12 kg.......... 504Kč

17 kg............ Kč

: 504 17 :12

12 504 17

12 8568

8568 :12

714

x

x

x

x

x

x

Paní Kovářové peníze stačily, protože broskve stály 714 Kč.

7. Z 200 kg pšenice se namele 144 kg mouky. Jak velké množství pšenice je třeba k získání

200 kg mouky ? Výsledek zaokrouhlete na celky.

Řešení :

200kg.......... 144 kg mouky

kg............ 200 kg mouky

: 200 200 :144

144 200 200

144 40000

40000 :144

277,77

278

x

x

x

x

x

x

x

&


- 233 -

8. Pružina se při zatížení 975 g prodlouží o 3,9 cm.O kolik cm se prodlouží při zatížení

600 g ?

Řešení :

975g.......... 3,9cm

600g............ cm

: 3,9 600 : 975

975 600 3,9

975 2340

2340 : 975

2,4

x

x

x

x

x

x


9. Kolejnice o délce 27 m má hmotnost 1890 kg. Jakou hmotnost bude mít kolejnice, která je

o 4,5 metrů delší ?

Řešení:

27 m......... . 1890 kg

31,5 m............... kg

:1890 31,5 : 27

27 1890 31,5

27 59535

59535 : 27

2205

x

x

x

x

x

x

Delší kolejnice bude mít hmotnost 2 205 kg.

- 234 -

10. Pro návštěvu muzea paní učitelka vybrala od 12 žáků 360 Kč. V den návštěvy muzea paní

učitelka u pokladny zaplatila jen 330 Kč. Kolik žáků do muzea nešlo?

Řešení :

12žáků.......... 360Kč

žáků............ 330Kč

:12 330 : 360

360 330 12

360 3960

3960 : 360

11

x

x

x

x

x

x

Do muzea nešel jeden žák.

11. 3 kg vepřové krkovice stojí 294 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 1200 gramů této krkovice?

Výsledek zaokrouhlete na celky.

Řešení :

3 kg.......... 294 Kč

1,2 kg................ Kč

: 294 1,2 : 3

3 294 1,2

3 352,8

352,8 : 3

117,6

118

x

x

x

x

x

x

x

&

Za krkovici zaplatíme 118 Kč.

- 235 -

12. Studentka Vlasta má odevzdat seminární práci. Na počítači napíše 3 strany za 36 minut.

Jak dlouho jí bude trvat ( při stejné rychlosti psaní ) přepis celé práce, která má 16 stran ?

Řešení :


16stran.............. minut

: 36 16 : 3

3 36 16

3 576

576 : 3

192

x

x

x

x

x

x


Přepis práce bude Vlastě trvat 3 hodin 12 minut.

13. Poštovní holub uletí za 15 minut 24 km. Za jak dlouho uletí 36 km?

Řešení :

15 minut.......... 24 km

minut............ 36 km

:15 36 : 24

24 36 15

24 540

540 : 24

22,5

23

x

x

x

x

x

x

x

&

Holub uletí 36 km asi za 23 minut.

- 236 -



Řešení :

S1 = 10 . 100 = 1000 cm

2

S2 = 21 . 20 = 420 cm

2

2

2

1000cm .......... 0, 4kg

420cm ..............

: 0, 4 420 :1000

1000 420 0,4

1000 168

168 :1000

0,168

x kg

x

x

x

x

x

15tabulek.......15 0,168 2,52kg

Patnáct tabulek skla má hmotnost 2,52 kg.

15. Maminka zaplatila v obchodu se zeleninou za 3 kg celeru 66 Kč. Kolik korun by ve

stejném obchodu zaplatila za 5 kg celeru?

Řešení:

3kg.......... 66Kč

5kg............ Kč

: 66 5 : 3

3 66 5

3 330

330 : 3

110

x

x

x

x

x

x

Za 5kg celeru by maminka zaplatila 110 Kč.

- 237 -

16. Ze 24 l mléka se vyrobí 8,5 kg másla .Kolik kg másla se vyrobí z 30 litrů mléka?

Řešení :

8,5k g............ 25 l

kg.............. 30 l

:8,5 30 : 25

25 30 8,5

25 255

255 : 25

10,2

x

x

x

x

x

x

Ze 30 litrů mléka se vyrobí 10,2 kg másla.

17. Děti si platí ve škole ovocné svačinky. Paní učitelky v 2. ročníku vybraly od 32 žáků

576 Kč. Kolik Kč by vybraly, kdyby svačinky odebírali všichni žáci v ročníku, což

je,44 žáků?

Řešení :

32 žáků..... . 576Kč

244žáků........... Kč

: 576 44 : 32

32 576 44

32 25344

25344 : 32

792

x

x

x

x

x

x

Paní učitelky by vybraly 792 Kč.

18. Pan Vávra koupil na tržišti16 kg zelí na krouhání za 336 Kč. Pan Malý koupil u stejného

trhovce 19 kg téhož zelí. Kolik za ně zaplatil?

Řešení :

16kg.......... 336Kč

19kg............ Kč

: 336 19 :16

16 336 19

16 6384

6384 :16

399

x

x

x

x

x

x

Pan Malý zaplatil za zelí 399 Kč.

- 238 -

19. Z 25 kg kukuřice se vyrobí 18 kg kukuřičné mouky. Jak velké množství mouky se získá z

60 kg kukuřice?

Řešení :

25kg............ 18kg mouky

60kg............ kg mouky

:18 60 : 25

25 60 18

25 1080

1080 : 25

43,2

x

x

x

x

x

x

Z 60 kg kukuřice se vyrobí 43,2 kg mouky.

20. Pružina se při zatížení 225 g prodlouží o 0,75 cm. Jaké musí být zatížení, aby se

prodloužila o 1,4 cm?

Řešení :

225g.......... 0,75cm

g.............. 1, 4cm

: 225 1,4 : 0,75

0,75 225 1,4

0,75 315

315 : 0,75

420

x

x

x

x

x

x

Pružina se musí zatížit 420 gramy.

21. Za 400 gramů uzeného masa zaplatíme 72 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 1100 gramů

uzeného masa?

Řešení :

400g............ ...72Kč

1100g................. Kč

1100 : 400 : 72

400 1100 72

400 79200

79200 : 400

198

x

x

x

x

x

x

Za 1100 gramů uzeného masa zaplatíme 198 Kč.

- 239 -

22. Kristýna napíše na počítači 12 stran za 96 minut. Jak dlouho jí bude trvat napsání referátu,

který má 5 stran?( při stejné rychlosti psaní)

Řešení:

12stran..............96minut

5stran............ ... minut

: 96 5 :12

12 96 5

12 480

480 :12

40

x

x

x

x

x

x

Napsání referátu bude Kristýně trvat 40 minut.

23. Za 2,4 kg vepřové kýty maminka zaplatila 300 Kč. Kolik kg kýty by dostala za 650 Kč?

Řešení:

2,4kg............. 300Kč

kg............. .. 650Kč

: 2, 4 650 : 300

300 2,4 650

300 1560

1560 : 300

5,2

x

x

x

x

x

x

Za 650 Kč by maminka dostala 5,2 kg vepřové kýty..

- 240 -

24. Prodejce prodal na sobotním trhu 42 kg jablek a utržil tak 1050 Kč. Kolik Kč by vydělal,

kdyby prodal všechna jablka, což bylo 50 kg ?

Řešení:

42kg......... 1050Kč

50kg........... . Kč

:1050 50 : 42

42 1050 50

42 52500

52500 : 42

1250

x

x

x

x

x

x

Prodejce by vydělal 1 250 Kč.

25. Paní Večeřová si koupila 3 m látky a zaplatila 840 Kč. Druhý den koupila 5 m téže látky

pro sousedku. Kolik Kč stála látka na šaty pro sousedku?

Řešení:

3m........... 840Kč

5m.............. Kč

5 : 3 :840

3 5 840

3 4200

4200 : 3

1400

x

x

x

x

x

x

Látka pro sousedku stála 1 400 Kč.

- 241 -

26. Dubový trám o objemu 0,7 m3 má hmotnost 490 kg.. Jakou hmotnost bude mít trám ze

stejného dřeva o objemu 0,21 m3?

Řešení :

3

3

0,7 m ....... .... 490kg

0,21m ............... kg

: 490 0,21: 0,7

0,7 490 0,21

0,7 102,9

102,9 : 0,7

147

x

x

x

x

x

x

Druhý trám má hmotnost 147 kg.

27. Honza si koupil na večeři k rohlíkům 225 g sýru Ementál a kamarád Tonda si koupil

360 g téhož sýru. Honzu stál sýr 42 Kč, kolik stál sýr Tondu?

Řešení:

225g.......... 42 Kč

360g........... Kč

360 : 225 : 42

225 360 42

225 15120

15120 : 225

67, 20

67

x

x

x

x

x

x

x

&

Tondu stál sýr asi 67 Kč.Z 60 kg jablek se získá 12 kg křížal

- 242 -

28. Z 9 kg čerstvých hrušek se vyrobí 1,8 kg sušených..Kolik sušených hrušek se vyrobí z 30

kg čerstvých hrušek?

Řešení:

9kg........... 1,8kg

30kg........ kg

:1,8 30 : 9

9 30 1,8

9 54

54 : 9

6

x

x

x

x

x

x

Ze 30 kg čerstvých hrušek se vyrobí 6 kg hrušek sušených.

29. Šnek při pohybu urazí 20 metrů za 2,5 hodiny. Jak dlouho mu bude trvat vzdálenost 12 m?

Řešení:

20m........... .2,5hodiny

12m.............. hodin

: 2,5 12 : 20

20 2,5 12

20 30

30 : 20

1,5

x

x

x

x

x

x

Vzdálenost 12 m urazí šnek za 1,5 hodiny.

30. Z 24 tun brambor se vyrobí 32 hl lihu .Kolik hl lihu se získá z 60 tun brambor?

Řešení:

24 t.......... 32hl

60 t......... hl

: 32 60 : 24

24 60 32

24 1920

1920 : 24

80

x

x

x

x

x

x

Z 60 kg brambor se získá 80 hl lihu.

- 243 -

Trojčlenka – nepřímá úměrnost

1. Vzdálenost z místa A do místa B ujede cyklista jedoucí rychlostí 15 km/h za 3,5 hodiny. Za

jak dlouho tutéž vzdálenost ujede motocyklista jedoucí rychlostí 35 km/h?

Řešení:

15km/h..........3,5hodiny

35km/h.......... .. hodin

: 3,5 15 : 35

35 3,5 15

35 52,5

52,5 : 35

1,5

x

x

x

x

x

x

Motocyklista ujede vzdálenost za 1,5 hodiny.

2. Třída 8. A pomáhala odpoledne při úklidu tělocvičny po školním plese.12 žáků bylo

s určenou prací hotovo za 3 hodiny. Jak dlouho by tato práce trvala, kdyby přišli všichni

žáci ze třídy, což je 18 žáků?

Řešení :


18žáků........... hodin

: 3 12 :18

18 3 12

18 36

36 :18

2

x

x

x

x

x

x


- 244 -

3. Tomáš skládá do kůlny nařezané dřevo. Vypočítal, že kdyby nosil 7 polen, musel by jít

patnáctkrát. Zjistil však, že tolik neunese. Nakládal si tedy jen 5 polen. Kolikrát musel jít

do kůlny?

Řešení:

7 polen........ .. 15cest

5polen................ cest

:15 7 : 5

5 15 7

5 105

105 : 5

21

x

x

x

x

x

x

Tomáš musel jít se dřevem 21 krát.

4. Maminka přešla most 32 kroky. Její krok má délku 70 cm. Její dcerka má krok dlouhý 40

cm. Kolika kroky přejde most?

Řešení :

70cm.......... 32kroků

40cm............ kroků

: 32 70 : 40

40 32 70

40 2240

2240 : 40

56

x

x

x

x

x

x

Dcerka přejde most 56 kroky.

5. Farmář chová 120 ovcí a zásoba krmiva, které koupil, mu vystačí na 3 měsíce. Na jak

dlouho by zásoba krmiva vystačila, kdyby 30 ovcí prodal?

Řešení :

120ovcí............. 3

90ovcí...............

: 3 120 : 90

90 120 3

90 360

360 : 90

4

x

x

x

x

x

x

Zásoba by vystačila na 4 měsíce.

- 245 -

6. Zdena má přes vánoční prázdniny vypracovat maturitní otázky ze zeměpisu. Kdyby

vypracovala denně 4 otázky, trvalo by jí to 9 dnů. Potřebuje však být hotova o 3 dny dříve,

aby mohla jet na hory . Kolik otázek denně tedy musí vypracovat?

Řešení :

4otázky.............. 9dnů.

otázek.................6dnů

: 4 9 : 6

6 4 9

6 36

6

x

x

x

x

x

Zdena musí denně vypracovat 6 maturitních otázek.

7. Pavlův dědeček chová králíky. Množství sena, které má na krmení , vystačí pro 15 králíků

na 60 dnů. Na kolik dnů by stejné množství sena stačilo sousedovi, který chová 20

králíků?

Řešení :

15králík............. 60dnů

20králíků............ dnů

: 60 15 : 20

20 60 15

20 900

900 : 20

45

x

x

x

x

x

x

Sousedovi by seno stačilo na 45 dnů.

- 246 -

8. Nádrž na vodu se naplní 4 stejnými čerpadly za 18 hodin. Za kolik hodin se nádrž naplní,

přidají-li se ještě 2 stejně výkonná čerpadla ?

Řešení :


6čerpadel........ hodin

:18 4 : 6

6 18 4

6 72

72 : 6

12

x

x

x

x

x

x

Nádrž se naplní za 12 hodin.

9. Zelinář plní sáčky cibulí. Má připraveno 32 sáčků po 5 kg. Kolik sáčků by měl

připravených, kdyby měl jeden hmotnost 4 kg?

Řešení :

5kg.......... 32pytlíků

4kg........... pytlíků

: 32 5 : 4

4 5 32

4 160

160 : 4

40

x

x

x

x

x

x

Zelinář by měl připraveno 40 sáčků.

- 247 -

10. Nákladní auto rozvážející bedny se zbožím veze při první jízdě 36 beden po 50 kg. Kolik

beden po 45 kg mohou naložit při druhé jízdě, aby hmotnost celého nákladu zůstala

stejná?

Řešení :

50kg.......... 36beden

45kg............. beden

: 36 50 : 45

45 36 50

45 1800

1800 : 45

40

x

x

x

x

x

x

Při druhé jízdě mohou naložit 40 beden.

11. Při stavbě domu zvládli 3 topenáři svou práci za 42 hodin. Za kolik hodin by stejnou

práci provedli 4 topenáři?

Řešení :

3dělníci...... 42hodin

4dělníci........ hodin

: 42 3: 4

4 42 3

4 126

126 : 4

31,5

x

x

x

x

x

x

Čtyři topenáři by práci provedli za 31,5 hodiny.

- 248 -

12. Prodejna dostala jablečný mošt ve dvou typech balení. Skleněné láhve po 0,7 litru a pet-

lahve po 1,5 litru. Skleněných lahví bylo 120. Kolik bylo pet-lahví, jestliže objem moštu

byl v obou typech balení stejný?

Řešení:

0,7 l.......... 120lahví

1,5l.............. lahví

:120 0,7 :1,5

1,5 120 0,7

1,5 84

84 :1,5

56

x

x

x

x

x

x

Pet-lahví bylo 56.

13. Veselým zásoba uhlí vystačí při denní spotřebě 18 kg uhlí na 55 dnů. Kolik uhlí mohou

denně spotřebovat, aby jim zásoba vystačila aspoň na 60 dnů?

Řešení:

18kg........... 55dnů

kg............. 60dnů

::18 55 : 60

60 18 55

60 990

990 : 60

16,5

x

x

x

x

x

x

Denně mohou spotřebovat 16,5 kg uhlí.

- 249 -

14. Koupaliště se naplní třemi naplno otevřenými ventily za 9 hodin. Za jak dlouho se naplní

čtyřmi naplno otevřenými ventily?

Řešení:

3ventily............. 9hodin

4 ventily............. hodin

: 9 3: 4

4 3 9

4 27

27

4

36 h 6h 45minut

4

x

x

x

x

x

x

Koupaliště se naplní za 6 hodin 45 minut.

15. Šest malířů vymaluje celou školu za 18 dnů. Kolik by muselo přijít malířů, aby byla škola

vymalovaná za 12 dnů?

Řešení:

6malířů............... 18dnů

malířů............... 12dnů

: 6 18 :12

12 6 18

12 108

108 :12

9

x

x

x

x

x

x

Muselo by přijít 9 malířů.

- 250 -

16. Sedm švadlen mělo zhotovit zakázku za 20 pracovních dnů. Po 4 dnech práce nastoupila

ještě jedna švadlena. Za kolik pracovních dnů nyní švadleny dokončí zakázku ?

Řešení :

20- 4 = 16 dnů

7 + 1 = 8 švadlen


8švadlen................. dnů

:16 7 :8

8 16 7

8 112

112 :8

14

x

x

x

x

x

x


- 251 -

17. Dva kombajny měly podle plánu sklidit obilí na polích zemědělského družstva za 6 dní.

Vzhledem k předpovědi počasí však vedoucí družstva potřeboval sklidit obilí o 2 dny

dříve. Kolik kombajnů musel tedy poslat na pole?

Řešení:

2kombajny.............. 6dnů

kombajnů.................4dny

: 2 6 : 4

4 2 6

4 12

12 : 4

3

x

x

x

x

x

x

Vedoucí musel poslat na pole 3 kombajny.

Trojčlenka - nepřímá úměrnost 2

1. Vzdálenost z místa A do místa B ujede autobus jedoucí průměrnou rychlostí 90 km/h za

4,5 hodiny. Za jak dlouho ji ujede osobní auto jedoucí rychlostí 135 km/h ?

Řešení :

90 km/h..........4,5 hodiny

135 km/h.......... .. hodin

: 4,5 90 :135

135 4,5 90

135 405

405 :135

3

x

x

x

x

x

x

Osobní auto ujede vzdálenost za 3 hodiny.

- 252 -

2. Při úpravě okolí školy pomáhalo v sobotu 30 žáků a bylo s určenou prací hotovo za 8

hodiny. Jak dlouho by tato práce trvala, kdyby přišlo i těch 10 žáků, kteří se z brigády

omluvili ?

Řešení :


40žáků........... hodin

:8 30 : 40

40 8 30

40 240

240 : 40

6

x

x

x

x

x

x

Práce by trvala jen 6 hodin.

3. Na záhonu je vysázena řada keřů. Je jich 50 a jsou od sebe vzdáleny 80 cm. Kolik bude

keřů na druhém, stejně velkém záhonu, budou - li se vysazovat 1m od sebe ?

Řešení :

80cm.......... 50 keřů

100cm................ keřů

: 50 80 :100

100 50 80

100 4000

4000 :100

40

x

x

x

x

x

x

Na druhém záhonu bude 40 keřů.

- 253 -

4. Pavel skládá sousedce do kůlny přivezené uhlí. Vypočítal, že kdyby si nakládal do putny 30

kg , musel by jít desetkrát. Zjistil však, že putnu neunese. Nakládal si tedy jen 25 kg.

Kolikrát musel Pavel nakonec jít ?

Řešení:

30kg................10krát

25kg............. krát

:10 30 : 25

25 10 30

25 300

300 : 25

12

x

x

x

x

x

x

Pavel musel jít dvanáctkrát.

5. Ondra přešel zahrádku 18 kroky. Jeho krok má délku 40 cm. Jak dlouhý krok má jeho bratr,

který přešel tutéž zahrádku 15 kroky ?

Řešení :

40cm.......... 18 kroků

cm............ 15 kroků

: 40 18 :15

15 18 40

15 720

720 :15

48

x

x

x

x

x

x

Bratr má krok dlouhý 48 cm.

- 254 -

6. Na autokarový zájezd do Jeseníků se přihlásilo 20 osob. Vedoucí zájezdu vypočítal, že



Řešení :

20osob..........300Kč

16osob.......... Kč

: 300 20 :16

16 300 20

16 6000

6000 :16

375

x

x

x

x

x

x


7. Milena má za úkol vyřešit určité množství matematických úloh. Kdyby počítala denně 6

úloh, trvalo by jí to 16 dnů. Potřebuje však být hotova o 4 dny dříve.. Kolik úloh denně

tedy musí vyřešit ?

Řešení :

6úloh...... .... 16dnů

úloh...............12dnů

: 6 16 :12

12 6 16

12 96

8

x

x

x

x

x

Milena musí vypočítat denně 8 úloh.

8. Jakubova teta chová slepice. Množství zrní, které koupila , vystačí pro 10 slepic na 35 dnů.

Na kolik dnů by stejné množství zrní stačilo sousedce, která chová 14 slepic ?

Řešení : .

10slepic.......... 35dnů

14slepic............ dnů

: 35 10 :14

14 35 10

14 350

350 :14

25

x

x

x

x

x

x


- 255 -

9. Nádrž na vodu se vyčerpá 6 stejnými čerpadly za 48 hodin. Za kolik hodin se nádrž

vyčerpá, přidají-li se ještě dvě stejně výkonná čerpadla ?

Řešení :

6čerpadel......... .48hodin


: 48 6 :8

8 48 6

8 288

288 :8

36

x

x

x

x

x

x


10. Čtyři dlaždiči mělo předláždit chodník za 20 pracovních dnů. Před zahájením práce

nastoupil ještě jeden dlaždič. Jak dlouho potom trvalo předláždění chodníku?

Řešení :

4lidé........ 20dnů

5lidí.......... dnů

: 20 4 : 5

5 20 4

5 80

80 : 5

16

x

x

x

x

x

x


11. Výtah má kapacitu 6 osob o hmotnosti 80 kg. Nastoupilo do něj 10 dětí. Jakou maximální

hmotnost může mít každé dítě, aby výtah nebyl přetížen ?

Řešení :

6osob......... .. 80kg

10osob............... kg

:80 6 :10

10 80 6

10 480

480 :10

48

x

x

x

x

x

x


- 256 -

12. Nákladní auto rozvážející zboží veze při první jízdě 280 krabic po 50 kg. Kolik krabic po

70 kg mohou naložit při druhé jízdě, aby hmotnost celého nákladu zůstala stejná ?

Řešení :

50kg.......... 280krabic

70kg............. krabic

: 280 50 : 70

70 280 50

70 14000

14000 : 70

200

x

x

x

x

x

x

Při druhé jízdě mohou naložit 200 krabic.

13. Při rekonstrukci domu zvládli 2 natěrači svou práci za 28 dnů. Za kolik dnů by stejnou

práci provedlo 7 natěračů?

Řešení :

2 dělníci.. 28dnů

7 dělníků........ dnů

: 28 2 : 7

7 28 2

7 56

56 : 7

8

x

x

x

x

x

x

Sedm natěračů by práci provedlo za 8 dnů.

14. Ze zásobníku se plní kelímky ochuceného tvarohu. Kelímků o hmotnosti 80 g se naplní

9 500 kusů. Kolik by se ze zásobníku naplnilo kelímků o hmotnosti 200 gramů ?

Řešení :

80g.......... 9500kusů

200g................. kusů

: 9500 80 : 200

200 9500 80

200 760000

760000 : 200

3800

x

x

x

x

x

x

Ze zásobníku by se naplnilo 3 800 kelímků o hmotnosti 200 gramů.

- 257 -

15. Přidalům vystačí zásoba uhlí při denní spotřebě 32 kg uhlí na 120 dnů. Na jak dlouho jim

zásoba vystačí, spotřebují-li denně 40 kg?

Řešení:

32kg.......... 120dnů

40kg........... dnů

:120 32 : 40

40 120 32

40 3840

3840 : 40

96

x

x

x

x

x

x


16. Osm švadlen zhotoví zakázku za 12 pracovních dnů Za kolik dnů by ji udělalo šest

švadlen?

Řešení :


6švadlen................. dnů

:12 8 : 6

6 12 8

6 96

96 : 6

16

x

x

x

x

x

x

Šest švadlen by zakázku zhotovilo za 16 dnů.

- 258 -

17. Vzdálenost z místa A do místa B ujede motocykl jedoucí rychlostí 25 km/h za 4 hodiny.

Za jak dlouho tutéž vzdálenost ujede osobní automobil jedoucí rychlostí 60 km/h?

Řešení:

25km/h........ ..4hodiny

60 km/h.......... .. hodin

: 4 25 : 60

60 4 25

60 100

100 : 60

5

3

21

3

x

x

x

x

x

x

x


3

Osobní auto ujede vzdálenost za 1 hodinu 40 minut.

18. Dvacetčtyři žáků mělo pomáhat odpoledne při úklidu třídy po malování. Předpokládali,

že jim bude práce trvat 2,5 hodiny. Jak dlouho úklid trval, když přišlo nakonec jen 20

žáků?

Řešení :

24žáků.......... 2,5hodiny

20žáků........... hodin

: 2,5 24 : 20

20 2,5 24

20 60

60 : 20

3

x

x

x

x

x

x

Úklid třídy trval 3 hodiny.

- 259 -

19. Martin skládá do kůlny nařezané dřevo. Vypočítal, že kdyby vozil 14 polen, musel by jet

třicetkrát. Zjistil však, že uveze více.. Nakládal si tedy 20 polen. Kolikrát musel jet do

kůlny?

Řešení:

14polen........ .. 30cest

20polen................ cest

: 30 14 : 20

20 30 14

20 420

420 : 20

21

x

x

x

x

x

x

Martin musel jet se dřevem 21 krát.

20. Farmář chová 150 krav a zásoba krmiva, které koupil, mu vystačí na 4 měsíce. Na jak

dlouho by zásoba krmiva vystačila, kdyby 30 krav prodal?

Řešení :

150 krav............. 4měsíce

120 krav...............

: 4 150 :120

120 150 4

120 600

600 :120

5

x

x

x

x

x

x

Zásoba by vystačila na 5 měsíců.

- 260 -

21. Katka musí přečíst knihu , z které má vypracovat referát. Kdyby přečetla denně 8 stránek,

trvalo by jí to 12 dnů. Každý den však přečetla jen 6 stran. Jak dlouho jí tedy trvalo

přečtení knihy?

Řešení :

8 stran.............. 12dnů.

6stran............ ..... dnů

:12 8 : 6

6 12 8

6 96

16

x

x

x

x

x

Katka přečetla knihu za 16 dnů.

22. Pan Tlach chová králíky. Množství sena, které má na krmení , vystačí pro 18 králíků na

50 dnů. Na kolik dnů by stejné množství sena stačilo sousedovi, který chová 15 králíků?

Řešení : .

18králík............. 50dnů


: 50 18 :15

15 50 18

15 900

900 :15

60

x

x

x

x

x

x


23. Nádrž na vodu se vypustí 5 stejnými čerpadly za 16 hodin. Za kolik hodin se nádrž

vypustí, přidají-li se ještě 3 stejně výkonná čerpadla ?

Řešení :

5 čerpadel..........16hodin

8 čerpadel........ hodin

:16 5 :8

8 16 5

8 80

80 :8

10

x

x

x

x

x

x

Nádrž se vypustí za 10 hodin.

- 261 -

24. Zelinář plní sáčky mandarinkami.. Má připraveno 16 sáčků po 2,5 kg. Kolik sáčků by měl


Řešení :

2,5kg.......... 16pytlíků


:16 2,5 : 4

4 2,5 16

4 40

40 : 4

10

x

x

x

x

x

x




stejná?

Řešení :

75kg.......... 54beden

50kg............. beden

: 54 75 : 50

50 54 75

50 4050

4050 : 50

81

x

x

x

x

x

x


- 262 -

26. Prodejna dostala prací gel ve dvou typech balení. Plastové nádobky po 1,4 litru

a 3 litrech. Menších nádobek bylo 240. Kolik bylo větších nádobek, jestliže celkový

objem pracího gelu byl v obou typech balení stejný?

Řešení:

1,4 l.......... 240nádob

3 l.............. nádob

: 240 1,4 : 3

3 240 1,4

3 336

336 : 3

112

x

x

x

x

x

x

Větších nádobek bylo 112.

27. Šest malířů mělo vymalovat všechny kanceláře ve firmě za15 dnů. Kolik nakonec přišlo

malířů, když byly kanceláře vymalovány za 18 dnů?

Řešení:

6malířů............... 15dnů

malířů............... 18dnů

: 6 15 :18

18 6 15

18 90

90 :18

5

x

x

x

x

x

x

Do práce přišlo 5 malířů.

- 263 -

28. V drogerii měli v regále vystaveno balení svíček po 14 kusech a balení po16 kusech.

Menšího balení bylo 32 kusů. Kolik bylo většího balení, jestliže celková hmotnost svíček

v obou druzích balení byla stejná?

Řešení :

14svíček.......... 32kusů

16 svíček................. kusů

: 32 14 :16

16 32 14

16 448

448 :16

28

x

x

x

x

x

x

Většího balení bylo 28 kusů.

Souhrnná cvičení – poměr trojčlenka

1. Při vaření malinové marmelády potřebuje maminka na 1,5 kg malinové šťávy 900 g

cukru.Kolik kg cukru bude potřebovat, když má uvařit marmeládu ze 3,8 kg malinové

šťávy?

Řešení

1,5kg.......... 0,9kg cukru

3,8kg............... kg cukru

: 0,9 3,8 :1,5

1,5 3,8 0,9

1,5 3,42

3,42 :1,5

2,28

x

x

x

x

x

x

Na 3,8 kg šťávy bude potřeba 2,28 kg cukru.

- 264 -

2. Na mapě v měřítku 1 : 50 000 měří cyklostezka 15 cm. Jak dlouho po ní pojede Aleš na

kole, jede-li rychlostí 20 km/h ?

Řešení:

mapa ……….15 cm

skutečnost…..15 . 50 000 = 750 000 cm = 7,5 km

t = s : v

t = 7,5 : 20

t = 0,375 h = 22,5 minuty

Aleš pojede po cyklostezce 22,5 minuty.

3. Ve vodní nádrži bylo 12 hl vody. Voda sahala do výšky 60 cm. Do jaké výšky bude sahat

voda, jestliže do nádrže přilejeme 160 l vody ?

Řešení:

12 hl = 1200 l

1200 + 160 = 1360 l

1200l.......... 60cm

1360l................ cm

: 60 1360 :1200

1200 1360 60

1200 81600

81600 :1200

68

x

x

x

x

x

x

Voda bude sahat do výšky 68 cm.

4. V květinářství měli vystaveno na prodej 108 bílých růží,144 červených a 90 žlutých růží.

V jakém poměru byl počet bílých, červených a žlutých růží? Uveď v základním tvaru.

Řešení:

108 : 144 : 90 = 54 : 72 : 45 = 6 : 8 : 5

Růže byly v poměru 6 : 8 : 5.

- 265 -

6. Na ušití šatů je třeba 2,1 m látky, na sukni 90 cm látky. Z jednoho balíku látky ušije

švadlena 6 kusů šatů. Kolik by z téhož balíku látky ušila sukní?

Řešení:

2,1m......... 6kusů

0,9m......... kusů

: 6 2,1: 0,9

0,9 6 2,1

0,9 12,6

12,6 : 0,9

14

x

x

x

x

x

x

Z balíku látky by švadlena ušila 14 sukní.

6. Jirka se Zdeňkem si v sobotu udělali výlet k místní rozhledně. Cestou tam šli rychlostí

4 km/h a k rozhledně došli za 1 hodinu 45 minut.. Nazpět šli proti větru a cesta domů jim

trvala 2 hodiny. Jaká byla jejich průměrná rychlost při zpáteční cestě?

Řešení:

34km/h.......... 1 h

4

km/h............ 2h

3: 4 1 : 2

4

72 4

4

2 7

3,5

x

x

x

x

x

Při zpáteční cestě šli chlapci rychlostí 3,5 km/h.

7. Lenochod se pohybuje rychlostí 180 m/h, šnek rychlostí 8,8 m/h a mořský koník rychlostí

2 m/h.V jakém poměru jsou rychlosti těchto zvířat? Uveď v základním tvaru.

Řešení:

180 : 8,8 : 2 = 1800 : 88 : 20 = 450 : 22 : 5

Rychlosti zvířat jsou v poměru 450 : 22 : 5.

- 266 -

8. Babička má recept na přípravu domácího rybízového sirupu: Pomletím získáme

z natrhaného rybízu 2,5 kg rybízové šťávy. Do ní přidáme 1,5 l vody a sáček kyseliny

citronové. Necháme 24 hodin v chladu. Druhý den přidáme 2 kg cukru, rozmícháme

a plníme láhve. Kolik litrů vody a kolik kg cukru babička spotřebovala, jestliže získala

z rybízu 4,2 kg rybízové šťávy ?

Řešení:

2,5kg.......... 1,5l

4,2kg................. l

:1,5 4,2 : 2,5

2,5 1,5 4,2

2,5 6,3

6,3 : 2,5

2,52

x

x

x

x

x

x

2,5kg........ .. 2kg gukru

4,2kg.......... kg cukru

: 2 4,2 : 2,5

2,5 2 4,2

2,5 8,4

8,4 : 2,5

3,36

x

x

x

x

x

x

Babička spotřebovala 2,52 l vody a 3,36 kg cukru.

9. Matěj si půjčil od kamaráda knihu o zvířatech. Naplánoval si, že denně přečte 14 stran

a knihu tak přečte za 24 dní. Kniha však byla zajímavá a nakonec přečetl denně o 2 strany

více. Za kolik dní tedy knihu přečetl? Kolik stran měla kniha?

Řešení:

14stran.......... 24dní

16stran........... dní

: 24 14 :16

16 24 14

16 336

336 :16

21

x

x

x

x

x

x

Matěj knihu přečetl za 21 dní. Kniha měla 336 stran.

- 267 -

10. Malá konzerva hrášku má hmotnost 180 gramů, velká 320 gramů. Kolik malých konzerv

má stejnou hmotnost jako 9 velkých ?

Řešení:

320g.......... 9kusů

180g.......... kusů

: 9 320 :180

180 9 320

180 2880

2880 :180

16

x

x

x

x

x

x

16 malých konzerv má stejnou hmotnost jako 9 velkých konzerv.

11.Jakou plochu má dětský pokoj, jestliže válenda o délce 1,8 m má na plánku délku 3,6 cm

a rozměry pokoje jsou v plánku 6,2 cm a 8,6 cm ?

Řešení:

měřítko ……….3,6 : 180 = 1 : 50

délka…………..8,6 . 50 = 430 cm = 4,3 m

šířka…………...6,2 . 50 = 310 cm = 3,1 m

S = a . b

S = 4,3 . 3,1

S = 13,33 m2

Dětský pokoj má plochu 13,33 m2.

- 268 -

12. Želva ujde za 5 minut 28,5 m. Kolik metrů ujde za 1 hodinu 20 minut?

Řešení:

5minut.......... 28,5m

80minut............ m

: 28,5 80 : 5

5 80 28,5

5 2280

2280 : 5

456

x

x

x

x

x

x

Želva ujde za 1 hodinu 20 minut 456 m.

13. Dvě do sebe zapadající ozubená kola mají 56 zubů a 35 zubů. Kolikrát se otočí menší

kolo, jestliže se větší otočí pětkrát?

Řešení:

56zubů......... 5krát

35zubů......... krát

: 5 56 : 35

35 5 56

35 280

280 : 35

8

x

x

x

x

x

x

Menší kolo se otočí osmkrát.

- 269 -

14. Při chemickém posypu silnic bylo spotřebováno 12 g soli na 1,5 m2. Kolik kg soli bylo

použito při ošetření silnice 12 km dlouhé a 6 m široké?

Řešení:

12 km = 12 000 m

S = 12 000. 6

S = 72 000 m2

2

2

1,5m .......... 12g

72000m ............ g

:12 72000 :1,5

1,5 12 72000

1,5 864000

864000 :1,5

576000

576000g 576kg

x

x

x

x

x

x

x

Bylo použito 576 kg soli.

15. Pole na mapě v měřítku 1 : 20 000 má tvar lichoběžníku s délkami základen 6 cm a 4,5 cm

a výškou 3 cm. Jaký byl hektarový výnos z tohoto pole, sklidilo-li se z něho 1386 tun

brambor?

Řešení:

a….6. 20 000 = 120 000 cm = 1200 m

c….4,5 . 20 000 = 90 000 cm = 900 m

v….3 . 20 000 = 60 000 cm = 600 m

2

( )

2

(1200 900) 600

2

2100 300

630000 m

63ha

a c vS

S

S

S

S

1386:63 22 t

Hektarový výnos byl 22 tun brambor.

- 270 -

16. Katka a Zuzka byly v létě na návštěvě u babičky. Pomáhaly trhat ovoce, zavařovat i vařit

marmeládu. Za odměnu si po týdnu práce odvezly každá stejné množství marmelády.

Zuzka měla 12 skleniček po 140 gramech a Katka 14 skleniček. Jaké množství marmelády

bsahovala jedna Katčina sklenička? Kolik marmelády celkem děvčatům babička

darovala?

Řešení:

140g.......... 12sklenic

g............. 14sklenic

:140 12 :14

14 140 12

14 1680

1680 :14

120

x

x

x

x

x

x

Katčina sklenička obsahovala 120 g marmelády.

140 .12 = 1680 1680

. 2 = 3360 g = 3,36 kg

Babička darovala děvčatům 3,36 kg marmelády.

17. Na mapě v měřítku 1 : 80 000 000 je vzdušná vzdálenost Paříž – Chicago 8,3 cm. Jak

dlouho trvá let z Paříže do Chicaga, letí-li letadlo průměrnou rychlostí 750 km/h?

Řešení:

mapa……8,3 cm

skutečnost…..8,3 . 80 000 000 = 664 000 000 cm = 6 640 km

t = s : v

t = 6640 : 750

t = 8,85 h

Let z Paříže do Chicaga trvá přibližně 9 hodin.

- 271 -

18. Ze 2 kg čerstvého květu měsíčku zahradního se získá po usušení 500 gramů květu. Kolik

tun čerstvého květu je potřeba k získání 1,9 t květu sušeného?

Řešení:

500 g = 0, 5 kg

1,9 t = 1900 kg

2kg............. 0,5kgsuš.

kg.......... 1900kgsuš.

: 2 1900 : 0,5

0,5 2 1900

0,5 3800

3800 : 0,5

7600

7600kg 7,6 t

x

x

x

x

x

x

x

K získání 1,9 t sušeného květu je třeba 7,6 t květu čerstvého.

19. Na plakátovací plochu ve městě se může umístit 25 plakátů o obsahu 0,24 m2. Kolik by se

na ni umístilo plakátů o obsahu 0,15 m2 ?

Řešení:

2

2

0,24m .......... 25plakátů

0,15m ............ plakátů

: 25 0,24 : 0,15

0,15 25 0,24

0,15 6

6 : 0,15

40

x

x

x

x

x

x

Na plochu by se umístilo 40 menších plakátů.

- 272 -

20. O víkendu Radek na chalupě natírá dřevěný deskový plot. Kilogramová plechovka barvy

mu stačila na 5 m2

plotu. V druhé plechovce má jen zbytek, 420 g barvy.

a) Kolik m2 plotu může ještě zbytkem barvy natřít?

b) Kolik gramů barvy bude Radek potřebovat na natření zbytku plotu, je-li celková plocha

plotu 9,5 m2?

Řešení:

a) 2

2

1000g.......... 5m

420g........... m

: 5 420 :1000

1000 5 420

1000 2100

2100 :1000

2,1

x

x

x

x

x

x

Radek může natřít ještě 2,1 m2 plotu.

b) 9,5 –( 5+2,1 ) = 2,4 m2

2

2

1000g.......... 5m

g.............. 2, 4m

:1000 2,4 : 5

5 2,4 1000

5 2400

2400 : 5

480

x

x

x

x

x

x

Na natření zbytku plotu bude Radek potřebovat ještě 480 g barvy.

21. Vzdálenost z místa A do místa B ujede autobus jedoucí průměrnou rychlostí 90 km/h za

4,5 hodiny. Za jak dlouho ji ujede osobní auto jedoucí rychlostí 135 km/h ?

Řešení :

90 km/h..........4,5 hodiny

135 km/h.......... .. hodin

: 4,5 90 :135

135 4,5 90

135 405

405 :135

3

x

x

x

x

x

x

Osobní auto ujede vzdálenost za 3 hodiny.

- 273 -

22. Při úpravě okolí školy pomáhalo v sobotu 30 žáků a bylo s určenou prací hotovo za 8

hodiny. Jak dlouho by tato práce trvala, kdyby přišlo i těch 10 žáků, kteří se z brigády

omluvili ?

Řešení :


40žáků........... hodin

:8 30 : 40

40 8 30

40 240

240 : 40

6

x

x

x

x

x

x

Práce by trvala jen 6 hodin.

23. Na záhonu je vysázena řada keřů. Je jich 50 a jsou od sebe vzdáleny 80 cm. Kolik bude

keřů na druhém, stejně velkém záhonu, budou - li se vysazovat 1m od sebe ?

Řešení :

80cm.......... 50 keřů

100cm................ keřů

: 50 80 :100

100 50 80

100 4000

4000 :100

40

x

x

x

x

x

x

Na druhém záhonu bude 40 keřů.

- 274 -

24. Pavel skládá sousedce do kůlny přivezené uhlí. Vypočítal, že kdyby si nakládal do putny

30 kg , musel by jít desetkrát. Zjistil však, že putnu neunese. Nakládal si tedy jen 25 kg.

Kolikrát musel Pavel nakonec jít ?

Řešení:

30kg................10krát

25kg............. krát

:10 30 : 25

25 10 30

25 300

300 : 25

12

x

x

x

x

x

x

Pavel musel jít dvanáctkrát.

25. Ondra přešel zahrádku 18 kroky. Jeho krok má délku 40 cm. Jak dlouhý krok má jeho

bratr, který přešel tutéž zahrádku 15 kroky ?

Řešení :

40cm.......... 18 kroků

cm............ 15 kroků

: 40 18 :15

15 18 40

15 720

720 :15

48

x

x

x

x

x

x

Bratr má krok dlouhý 48 cm.

- 275 -

26. Na autokarový zájezd do Jeseníků se přihlásilo 20 osob. Vedoucí zájezdu vypočítal, že



Řešení :

20osob..........300Kč

16osob.......... Kč

: 300 20 :16

16 300 20

16 6000

6000 :16

375

x

x

x

x

x

x


27. Milena má za úkol vyřešit určité množství matematických úloh. Kdyby počítala denně 6

úloh, trvalo by jí to 16 dnů. Potřebuje však být hotova o 4 dny dříve.. Kolik úloh denně

tedy musí vyřešit ?

Řešení :

6úloh...... .... 16dnů

úloh...............12dnů

: 6 16 :12

12 6 16

12 96

8

x

x

x

x

x

Milena musí vypočítat denně 8 úloh.

28. Jakubova teta chová slepice. Množství zrní, které koupila , vystačí pro 10 slepic na 35

dnů. Na kolik dnů by stejné množství zrní stačilo sousedce, která chová 14 slepic ?

Řešení : .

10slepic.......... 35dnů

14slepic............ dnů

: 35 10 :14

14 35 10

14 350

350 :14

25

x

x

x

x

x

x


- 276 -

29. Nádrž na vodu se vyčerpá 6 stejnými čerpadly za 48 hodin. Za kolik hodin se nádrž

vyčerpá, přidají-li se ještě dvě stejně výkonná čerpadla ?

Řešení :

6čerpadel......... .48hodin


: 48 6 :8

8 48 6

8 288

288 :8

36

x

x

x

x

x

x


30. Čtyři dlaždiči mělo předláždit chodník za 20 pracovních dnů. Před zahájením práce

nastoupil ještě jeden dlaždič. Jak dlouho potom trvalo předláždění chodníku?

Řešení :

4lidé........ 20dnů

5lidí.......... dnů

: 20 4 : 5

5 20 4

5 80

80 : 5

16

x

x

x

x

x

x


31. Výtah má kapacitu 6 osob o hmotnosti 80 kg. Nastoupilo do něj 10 dětí. Jakou maximální

hmotnost může mít každé dítě, aby výtah nebyl přetížen ?

Řešení :

6osob......... .. 80kg

10osob............... kg

:80 6 :10

10 80 6

10 480

480 :10

48

x

x

x

x

x

x


- 277 -

32. Nákladní auto rozvážející zboží veze při první jízdě 280 krabic po 50 kg. Kolik krabic po

70 kg mohou naložit při druhé jízdě, aby hmotnost celého nákladu zůstala stejná ?

Řešení :

50kg.......... 280krabic

70kg............. krabic

: 280 50 : 70

70 280 50

70 14000

14000 : 70

200

x

x

x

x

x

x

Při druhé jízdě mohou naložit 200 krabic.

33. Při rekonstrukci domu zvládli 2 natěrači svou práci za 28 dnů. Za kolik dnů by stejnou

práci provedlo 7 natěračů?

Řešení :

2 dělníci.. 28dnů

7 dělníků........ dnů

: 28 2 : 7

7 28 2

7 56

56 : 7

8

x

x

x

x

x

x

Sedm natěračů by práci provedlo za 8 dnů.

34. Ze zásobníku se plní kelímky ochuceného tvarohu. Kelímků o hmotnosti 80 g se naplní

9 500 kusů. Kolik by se ze zásobníku naplnilo kelímků o hmotnosti 200 gramů ?

Řešení :

80g.......... 9500kusů

200g................. kusů

: 9500 80 : 200

200 9500 80

200 760000

760000 : 200

3800

x

x

x

x

x

x

Ze zásobníku by se naplnilo 3 800 kelímků o hmotnosti 200 gramů.

- 278 -

35. Přidalům vystačí zásoba uhlí při denní spotřebě 32 kg uhlí na 120 dnů. Na jak dlouho jim

zásoba vystačí, spotřebují-li denně 40 kg?

Řešení:

32kg.......... 120dnů

40kg........... dnů

:120 32 : 40

40 120 32

40 3840

3840 : 40

96

x

x

x

x

x

x


36. Osm švadlen zhotoví zakázku za 12 pracovních dnů Za kolik dnů by ji udělalo šest

švadlen?

Řešení :


6švadlen................. dnů

:12 8 : 6

6 12 8

6 96

96 : 6

16

x

x

x

x

x

x

Šest švadlen by zakázku zhotovilo za 16 dnů.

- 279 -

37. Vzdálenost z místa A do místa B ujede motocykl jedoucí rychlostí 25 km/h za 4 hodiny.

Za jak dlouho tutéž vzdálenost ujede osobní automobil jedoucí rychlostí 60 km/h?

Řešení:

25km/h........ ..4hodiny

60 km/h.......... .. hodin

: 4 25 : 60

60 4 25

60 100

100 : 60

5

3

21

3

x

x

x

x

x

x

x


3

Osobní auto ujede vzdálenost za 1 hodinu 40 minut.

38. Dvacetčtyři žáků mělo pomáhat odpoledne při úklidu třídy po malování. Předpokládali,

že jim bude práce trvat 2,5 hodiny. Jak dlouho úklid trval, když přišlo nakonec jen 20

žáků?

Řešení :

24žáků.......... 2,5hodiny

20žáků........... hodin

: 2,5 24 : 20

20 2,5 24

20 60

60 : 20

3

x

x

x

x

x

x

Úklid třídy trval 3 hodiny.

- 280 -

39. Martin skládá do kůlny nařezané dřevo. Vypočítal, že kdyby vozil 14 polen, musel by jet

třicetkrát. Zjistil však, že uveze více.. Nakládal si tedy 20 polen. Kolikrát musel jet do

kůlny?

Řešení:

14polen........ .. 30cest

20polen................ cest

: 30 14 : 20

20 30 14

20 420

420 : 20

21

x

x

x

x

x

x

Martin musel jet se dřevem 21 krát.

40. Farmář chová 150 krav a zásoba krmiva, které koupil, mu vystačí na 4 měsíce. Na jak

dlouho by zásoba krmiva vystačila, kdyby 30 krav prodal?

Řešení :

150 krav............. 4měsíce

120 krav...............

: 4 150 :120

120 150 4

120 600

600 :120

5

x

x

x

x

x

x

Zásoba by vystačila na 5 měsíců.

- 281 -

41. Katka musí přečíst knihu , z které má vypracovat referát. Kdyby přečetla denně 8 stránek,

trvalo by jí to 12 dnů. Každý den však přečetla jen 6 stran. Jak dlouho jí tedy trvalo

přečtení knihy?

Řešení :

8 stran.............. 12dnů.

6stran............ ..... dnů

:12 8 : 6

6 12 8

6 96

16

x

x

x

x

x

Katka přečetla knihu za 16 dnů.

42. Pan Tlach chová králíky. Množství sena, které má na krmení , vystačí pro 18 králíků na

50 dnů. Na kolik dnů by stejné množství sena stačilo sousedovi, který chová 15 králíků?

Řešení : .

18králík............. 50dnů


: 50 18 :15

15 50 18

15 900

900 :15

60

x

x

x

x

x

x


43. Nádrž na vodu se vypustí 5 stejnými čerpadly za 16 hodin. Za kolik hodin se nádrž

vypustí, přidají-li se ještě 3 stejně výkonná čerpadla ?

Řešení :

5 čerpadel..........16hodin

8 čerpadel........ hodin

:16 5 :8

8 16 5

8 80

80 :8

10

x

x

x

x

x

x

Nádrž se vypustí za 10 hodin.

- 282 -

44. Zelinář plní sáčky mandarinkami.. Má připraveno 16 sáčků po 2,5 kg. Kolik sáčků by měl


Řešení :

2,5kg.......... 16pytlíků


:16 2,5 : 4

4 2,5 16

4 40

40 : 4

10

x

x

x

x

x

x




stejná?

Řešení :

75kg.......... 54beden

50kg............. beden

: 54 75 : 50

50 54 75

50 4050

4050 : 50

81

x

x

x

x

x

x


- 283 -

46. Prodejna dostala prací gel ve dvou typech balení. Plastové nádobky po 1,4 litru

a 3 litrech. Menších nádobek bylo 240. Kolik bylo větších nádobek, jestliže celkový

objem pracího gelu byl v obou typech balení stejný?

Řešení:

1,4 l.......... 240nádob

3 l.............. nádob

: 240 1,4 : 3

3 240 1,4

3 336

336 : 3

112

x

x

x

x

x

x

Větších nádobek bylo 112.

47. Šest malířů mělo vymalovat všechny kanceláře ve firmě za15 dnů. Kolik nakonec přišlo

malířů, když byly kanceláře vymalovány za 18 dnů?

Řešení:

6malířů............... 15dnů

malířů............... 18dnů

: 6 15 :18

18 6 15

18 90

90 :18

5

x

x

x

x

x

x

Do práce přišlo 5 malířů.

- 284 -

48. V drogerii měli v regále vystaveno balení svíček po 14 kusech a balení po16 kusech.

Menšího balení bylo 32 kusů. Kolik bylo většího balení, jestliže celková hmotnost svíček

v obou druzích balení byla stejná?

Řešení :

14svíček.......... 32kusů

16 svíček................. kusů

: 32 14 :16

16 32 14

16 448

448 :16

28

x

x

x

x

x

x

Většího balení bylo 28 kusů.

49. Při vaření meruňkové marmelády potřebuje maminka na 1,5 kg vypeckovaných meruněk

1,2 kg cukru. Kolik kg cukru bude potřebovat, když má uvařit marmeládu ze 3,4 kg

meruněk?

Řešení:

1,5kg..................1,2 kg cukru

3,4kg............... kg cukrux

:1, 2 3, 4 :1,5

1,5 3,4 1,2

1,5 4,08

4,08 :1,5

2,72

x

x

x

x

x

Na 3,4 kg šťávy bude potřeba 2,72 kg cukru.

50. Na mapě v měřítku 1 : 75 000 měří cyklostezka 9 cm. Jak dlouho po ní pojede Vojta na

kole, jede-li rychlostí 15 km/h ?

Řešení:

mapa ……….9 cm

skutečnost…..9 . 75 000 = 675 000 cm = 6,75 km

t = s : v

t = 6,75 : 15

t = 0,45 h = 27 minut

Vojta pojede po cyklostezce 27 minut.

- 285 -

51. V kruhovém bazénu bylo 8 hl vody. Voda sahala do výšky 40 cm. Kolik hl vody bude

v bazénu, připustíme-li tolik vody, aby sahala o 10 cm výše?

Řešení:

8 hl..............40 cm

hl..............50 cmx

:8 50 : 40

40 8 50

40 400 : 40

10

x

x

x

x

V bazénu bude 10 hl vody.

52. V květinářství měli vystaveno na prodej 126 bílých karafiátů, 70 fialových a 98 červených

karafiátů. V jakém poměru byl počet bílých, fialových a červených karafiátů? Uveď

v základním tvaru.

Řešení:

126 : 70 : 98 = 63 : 35 : 49 = 9 : 5 : 7

Karafiáty byly v poměru 9 : 5 : 7.

53. Na ušití halenky je třeba 1,2 m látky, na sukni 1,6 cm látky. Z jednoho balíku látky ušije

švadlena 8 halenek. Kolik by z téhož balíku látky ušila sukní?

Řešení:

1,2 m..............8 ks

1,6 m.............. ksx

:8 1,2 :1,6

1,6 8 1,2

1,6 9,6

9,6 :1,6

6

x

x

x

x

x

Z balíku látky by švadlena ušila 6sukní.

- 286 -

54. Katka a Dáša šly v sobotu na výlet k lesnické chatě. Cestou tam šly rychlostí 3,5 km/h

a k chatě došly za 2 hodiny. Nazpět šly do kopce a cesta domů jim trvala 2,5 hodiny. Jaká

byla jejich průměrná rychlost při zpáteční cestě?

Řešení:

3,5 km/h..............2 h

km/h..............2,5 hx

: 3,5 2 : 2,5

2,5 3,5 2

2,5 7

7 : 2,5

2,8

x

x

x

x

x

Průměrná rychlost byla 2,8 km/h.

55. Poštovní holub letí rychlostí 96 km/h, vlaštovka rychlostí 240 km/h a závodní kůň běží

rychlostí 72 km/h. V jakém poměru jsou rychlosti těchto zvířat? Uveď v základním tvaru.

Řešení:

96 : 240 : 72 = 24 : 60 : 18 = 4 10 : 3

56. Nikola ráda vaří a chtěla připravit na večeři květákový nákyp. V kuchařce našla recept:

150 g květáku, 5 g másla, 12 g sýru Eidam, 2 vejce, pažitka. Kolik Nikola potřebovala

sýru, jestliže měla k dispozici 225 g květáku?

Řešení:

150 g..............12 g

225 g................ gx

:12 225 :150

150 225 :150

150 2700

2700 :150

18

x

x

x

x

x

Nikola potřebovala 18 g sýru.

- 287 -

57. Vašek si půjčil v knihovně cestopisnou knihu . Naplánoval si, že denně přečte 12 stran

a knihu tak přečte za 28 dní. Kniha však byla zajímavá a nakonec ji přečetl za 21 dní.

Kolik stran denně tedy přečetl?

Řešení:

12 stran..............28 dní

stran................21 dníx

:12 28 : 21

21 28 12

21 336

336 : 21

16

x

x

x

x

x

Vašek denně přečetl 16 stran.

58. Malá konzerva nakládaných žampionů má hmotnost 120 gramů, velká 200 gramů. Kolik

velkých konzerv má stejnou hmotnost jako 50 malých konzerv?

Řešení:

120 g..............50 ks

200 g................ ksx

: 50 120 : 200

200 50 120

200 6000

6000 : 200

30

x

x

x

x

x

30 velkých konzerv má stejnou hmotnost jako 50 malých konzerv.

- 288 -

59. Jakou plochu má obývací pokoj, jestliže pohovka o délce 2,2 m má na plánku délku 4 cm

a rozměry pokoje jsou v plánku 10 cm a 14 cm ?

Řešení:

měřítko ……….4 : 220 = 1 : 55

délka…………..14 55 = 770 cm = 7,7 m

šířka…………...10 55 = 550 cm = 5,5 m

S = a b

S = 5,5 7,7

S = 42,35 m2

Obývací pokoj má plochu 42,35 m2.

60. Závodní kůň uběhne za 3 minuty 3,6 km. Za jak dlouho uběhne 12 km?

Řešení:

3 min..............3,6 km

min...............12 kmx

: 3 12 : 3,6

3,6 3 12

3,6 36

36 : 3,6

10

x

x

x

x

x

Závodní kůň uběhne 12 km za 10 minut.

61. Dvě do sebe zapadající ozubená kola mají 42 zubů a menší kolo 16 zubů. Kolikrát se otočí

větší kolo, jestliže se menší otočí 21krát?

Řešení:

16 zubů..............21 krát

42 zubů................ krátx

: 21 16 : 42

42 21 16

42 336

336 : 42

8

x

x

x

x

x

Větší kolo se otočí osmkrát.

- 289 -

62. Při posypu silnic bylo spotřebováno 0,75 kg štěrku na 2 m2. Kolik tun štěrku bylo použito

při ošetření silnice 14 km dlouhé a 6 m široké?

Řešení:

14 km = 14 000 m

S = 14 000 6

S = 84 000 m2

2

2

2 m ..................0,75 kg

84000 m ............... kgx

: 0,75 84000 : 2

2 0,75 84000

2 63000

63000 : 2

31500

31500 kg 31,5 t

x

x

x

x

x

x

Bylo použito 31,5 tuny štěrku.

63. Pole na mapě v měřítku 1 : 25 000 má tvar lichoběžníku s délkami základen 5 cm a 3,5 cm

a výškou 2 cm. Jaký byl hektarový výnos z tohoto pole, sklidilo-li se z něho 1250 tun

pšenice?

Řešení:

a….5. 25 000 = 125 000 cm = 1250 m

c….3,5 . 25 000 = 75 000 cm = 750 m

v….2 . 25 000 = 50 000 cm = 500 m

t2550:1250

ha50

m500000

2502000

2

500)7501250(

2

)(

2

S

S

S

S

vcaS

Hektarový výnos byl 25 tun pšenice.

- 290 -

64. Dva dělníci provedou montáž zahradních skleníků za 54 hodin.Za kolik hodin provede

tutéž montáž 9 dělníků?

Řešení:

2 dělníci..............54 hod

9 dělníků............... hodx

: 54 2 : 9

9 54 2

9 108

108 : 9

12

x

x

x

x

x

Dělníci provedou montáž za 12 hodin.

65. Na mapě v měřítku 1 : 80 000 000 je vzdušná vzdálenost Brusel– Praha 0,9 cm. Jak

dlouho trvá let z Prahy do Bruselu, letí-li letadlo průměrnou rychlostí 750 km/h?

Řešení:

mapa……0,9 cm

skutečnost…..0,9 . 80 000 000 = 72 000 000 cm = 720 km

t = s : v

t = 720 : 750

t = 0,96 h

Let z Prahy do Bruselu trvá přibližně 1 hodinu.

66. Ze 2 kg čerstvých hub se získá sušením 0,3 kg sušených hub. Kolik kg čerstvých hub je

třeba k získání 1,8 kg sušených?

Řešení:

2 kg..................0,3 kg suš.

kg..................... kg sušx x

: 2 1,8 : 0,3

0,3 2 1,8

0,3 3,6

3,6 : 0,3

12

x

x

x

x

x

K získání 1,8 kg sušených hub je třeba 12 kg hub čerstvých.

- 291 -

67. Kuchař potřebuje na 20 vepřových řízků 3,5 kg syrového masa. Kolik řízků připraví ze

14 kg syrového masa?

Řešení:

2 řízků..................3,5 kg

řízků...................14 kgx

: 20 14 : 3,5

3,5 20 14

3,5 280

280 : 3,5

80

x

x

x

x

x

Kuchař připraví ze 14 kg masa 80 řízků.

68. Vzdálenost dvou chat na břehu řeky byla na mapě v měřítku 1 : 25 000 zakreslena

délkou 21 cm. Jak daleko jsou od sebe chaty ve skutečnosti?

Řešení:

21 . 25 000 = 525 000 cm = 5,25 km

Chaty jsou od sebe vzdáleny 5,25 km.

69. Soustruh řízený počítačem vyrobí za 3 minuty 16 šroubů. Kolik šroubů vyrobí za

¾ hodiny?

Řešení:

3 min..................16 šroubů

45 min.................. šroubůx

:16 45 : 3

3 16 45

3 720

720 : 3

240

x

x

x

x

x

Soustruh vyrobí 240 šroubů.

- 292 -

70. Pekárna upekla ze 140 kg mouky 200 kg chleba. Kolik kg mouky je třeba na upečení

250dvoukilových bochníků chleba?

Řešení:

140 kg..................200 kg chleba

kg......................500 kg chlebax

:140 500 : 200

200 140 500

200 70000

70000 : 200

350

x

x

x

x

x

Na upečení 250 bochníků chleba je třeba 350 kg mouky.

71. Z daných poměrů sestav dvě úměry:

a) 4 : 5 ; 2 : 1 ; 96 : 112 ; 22,4 : 28 ; 6 : 7

b) 7 : 9 ; 110 : 132 ; 3 : 2 ; 5 : 6 ; 1,08 : 0,72

Řešení:

a) 22,4 : 28 = 224 :280 = 56 : 70 = 4 : 5……………..4 : 5 = 22,4 : 28

96 : 112 = 48 : 56 = 6 : 7…………………………..6 : 7 = 96 : 112

b) 110 : 132 = 55 : 66 = 5 : 6………………………5 : 6 = 110 : 132

1,08 : 0,72 = 108 : 72 = 12 : 8 = 3 : 2…………...3 : 2 = 1,08 : 0,72

72. Michal přeplul na loďce po proudu řeky 6,1 km za 20 minut. Jakou vzdálenost proplul za

50 minut při stejné rychlosti?

Řešení:

61 km..................20 min

km....................50 minx

: 6,1 50 : 20

20 6,1 50

20 305

305 : 20

15,25

x

x

x

x

x

Michal proplul za 50 minut 15,25 km.

- 293 -

73. Jezero je dlouhé 900 metrů. V jakém poměru budou jeho délky na mapách v měřítku

1 : 25 000 a 1 : 30 000 ?

Řešení:

900 m 90000 cm

190000 3,6 cm

25000

190000 3 cm

30000

3,6 : 3 36 : 30 6 : 5

Délky jezera jsou v poměru 6 : 5 .

74. Markéta jela na prázdniny k tetě na Valašsko.Rodiče jí dali na cestu kapesné. Kdyby

Markéta denně utratila 32 Kč, stačilo by jí kapesné jen na 15 dnů. Kolik Kč denně mohla

utratit, aby jí peníze stačily na celých 24 dnů pobytu? Jak vysoké bylo kapesné?

Řešení:

32 Kč..................15 dnů

Kč....................24 dnůx

: 32 15 : 24

24 32 15

24 480

480 : 24

20

x

x

x

x

x

15 . 35 = 20. 24 = 480 Kč

Markéta mohla denně utratit 20 Kč a výše kapesného byla 480 Kč.

- 294 -

75. Zuzanka trhala u dědečka rybíz. Dědeček jí dal za práci odměnu. Za jeden den natrhala

2,5 kg rybízu a dostala 28 Kč. Kolik Zuzanka natrhala v dalších třech dnech, když dostala

od dědečka 140 Kč?

Řešení:

2,5 kg...................28 Kč

kg....................140 Kčx

: 2,5 140 : 28

28 2,5 140

28 350

350 : 28

12,5

x

x

x

x

x

Zuzanka natrhala 12,5 kg rybízu.

76. Koberec o rozměrech 4 m a 3,5 m stojí 620 Kč. Kolik Kč se zaplatí za stejný typ koberce

o rozměrech 3 m a 4,2 m?

Řešení:

S = 4 3,5 = 14 m2 S = 4,2 3 =12,6 m

2

2

2

14 m ....................620 Kč

12,6 m .................... Kčx

: 620 12,6 :14

14 12,6 620

14 7812

7812 :14

558

x

x

x

x

x

Za druhý koberec se zaplatí 558 Kč.

- 295 -

77. Pan Kučera sklidil loni ze sadu o rozloze 2 ha 18 tun třešní. Letos přikoupil ke svému

sadu třešňový sad souseda o rozloze 1,2 ha. Jakou úrodu očekává letos? (za předpokladu

stejně pěkného počasí jako v loňském roce).

Řešení:

2 ha....................18 t

3,2 ha................... tx

:18 3,2 : 2

2 18 3,2

2 57,6

57,6 : 2

28,8

x

x

x

x

x

Pan Kučera očekává , že sklizeň bude 28,8 tun třešní.

- 296 -

6. Poměr ................................................................................................................................. 1

Zavedení poměru .................................................................................................................... 1

Rozšíření a krácení poměru .................................................................................................... 2

Rozdělení celku v daném poměru .......................................................................................... 3

Změna v daném poměru ......................................................................................................... 4

Poměr – souhrnná cvičení I .................................................................................................. 15

Poměr – souhrnná cvičení 2 ................................................................................................. 25

Poměr – souhrnná cvičení 3 ................................................................................................. 33

Poměr cvičení 4 .................................................................................................................... 40

Postupný poměr .................................................................................................................... 60

Postupný poměr – cvičení I .................................................................................................. 64

Postupný poměr – cvičení II ................................................................................................. 68

Postupný poměr cvičení III .................................................................................................. 70

Poměr, postupný poměr – slovní úlohy ................................................................................ 79

Měřítko plánu a mapy - úvod ............................................................................................... 89

Měřítko plánu a mapy cvičení: ............................................................................................ 90

Úměra - úvod ...................................................................................................................... 100

Neznámý člen úměry cvičení I ........................................................................................... 103

Neznámý člen úměry cvičení II.......................................................................................... 109

Neznámý člen úměry – cvičení III ..................................................................................... 121

Přímá úměrnost .................................................................................................................. 124

Přímá úměrnost – souhrnná cviční ..................................................................................... 133

Přímá úměrnost cvičení II .................................................................................................. 137

Nepřímá úměrnost .............................................................................................................. 151

Nepřímá úměrnost – cvičení I ............................................................................................ 163

Nepřímá úměrnost – cvičení II ........................................................................................... 167

Trojčlenka ........................................................................................................................... 205

Nepřímá úměrnost .............................................................................................................. 214

Trojčlenka – přímá úměrnost cvičení I .............................................................................. 221

Trojčlenka – přímá úměrnost 2 .......................................................................................... 230

Trojčlenka – nepřímá úměrnost .......................................................................................... 243

Trojčlenka - nepřímá úměrnost 2 ....................................................................................... 251

Souhrnná cvičení – poměr trojčlenka ................................................................................. 263

Documents

Souhrnná cvičení - poměr · 2. Petr má rozdělit provázek dlouhý 2,4m na dvě části v poměru 3:5. Jak to provede? Řešení : Petr rozstřihne provázek tak, že první