Spécialité : Génie Electrique (Electrotechnique) Présentée par

N° D’ORDRE :

Spécialité : Génie Electrique (Electrotechnique)

Présentée par :

Lotfi ALLOUI

Pour obtenir le grade de DOCTREUR de l’UNIVERSITE PARIS SUD

Sujet de la thèse :

MODELISATION TRIDIMENSIONNELLE DES MATERIAUX SUPRACONDUCTEURS

Soutenue le

Devant le jury composé de : Rapporteurs : Gérard Meunier

Mouloud Féliachi Examinateurs : Jean Lévêque (Président)

Frédéric Bouillault Pierre Verdine

Thèse de DOCTORAT de L’UNIVERSITE PARIS SUD

A mes parents,

ma femme

Mes frères et sœurs

REMERCIEMENTS

Je voudrais exprimer ma profonde gratitude à Monsieur Frédéric BOUILLAULT, Professeur à l’Université Paris XI et directeur du LGEP, pour la confiance qu’il m’a accordée en m’accueillant au sein du laboratoire et en acceptant de diriger mes recherches. Ses précieux conseils, ses encouragements ainsi que sa qualité humaine, m’ont permis d’aboutir dans ce travail.

Je tiens à remercier Monsieur Adel RAZEK, directeur de recherche au CNRS, qui m’a accueilli dans son département de modélisation et contrôle de systèmes électromagnétiques - MOCOSEM et qui m’a accordé son soutien permanent durant ce travail. J’ai apprécié, notamment, son sens du dialogue et sa sympathie.

Je tiens aussi à remercier Monsieur Mebarek BAHRI, directeur du laboratoire de modélisation des systèmes énergétiques (LMSE) de l’université de Biskra de m’avoir accueilli au sein du laboratoire, de m’intégré aussi au sein du laboratoire et en me permettant en outre, de finalisé ce travail dans des bonnes conditions.

Je voudrais aussi remercier Monsieur Mouloud FELIACHI, Professeur à l’université de Nantes pour ses précieux conseils, ses encouragements ainsi que son soutient moral et surtout de m’avoir orienté vers le (LGEP).

Je remercie chaleureusement Monsieur Souri Mohamed MIMOUNE, qui a guidé mes premiers pas dans le monde de la recherche, en particulier, dans le monde des supraconducteurs et pour avoir accepté de participer à mon jury de thèse.

Je remercie chaleureusement Monsieur Jean LEVEQUE et son équipe du laboratoire le GREEN (en particulier, Bruno DOUINE et Smail MEZANI) pour les discussions enrichissantes et pour toutes les données expérimentales qui ont permis la validation de ce travail. J’ai apprécié particulièrement l’intérêt qu’il témoigné a ce travail.

Je remercier Monsieur Lionel PICHON, qui a fait de sorte que je puisse préparer mon Doctorat au sein de l’équipe Interaction Champs Matériaux Structures (ICHAMS) dans les meilleures conditions.

Je remercier Monsieur Olivier HUBERT pour le soutien informatique et l’aide qu’il ma apportée, surtout sa grande disponibilité malgré les grandes taches dont il est chargées au sein du laboratoire.

Je remercié vivement Mme Françoise RICHARD, Mme Christine SAFAKHAH et Mme Brigitte VINCENT pour m’avoir facilité tous les problèmes de logistique et de gestion liés à la thèse.

Je terminerai en adressant mes remerciements à tous les membres et thésards des laboratoires, de génie électrique de paris (LGEP) et de modélisation des systèmes énergétiques (LMSE) de l’université de biskra, ainsi qu’à mes amis.

TABLE DES MATIERES Listes des figures et tableaux 1

Introduction générale 6

Chapitre I. INTRODUCTION SUR LA SUPRACONDUCTIVITE

I.1. Historique des supraconducteurs 9

I.2. Effet Meissner 11

I.3. Types de supraconducteurs 13

I.3.1. Supraconducteurs type I 14

I.3.2. Supraconducteurs type II 14

I.4. Applications des supraconducteurs en électrotechnique 17

I.4.1. Limiteurs de courant 17

I.4.2. Lignes de transport 18

I.4.3. les systèmes de stockage de l’énergie SMES 19

I.4.4. les transformateurs 19

I.4.5. les machines supraconductrices 20

I.4.6. les aimants permanents supraconducteurs 21

I.4.7. lévitation et paliers magnétiques 22

Chapitre II. MODELISATION DES MATERIAUX SUPRACONDUCTEURS

DE TYPE II

II.1. Introduction 25

II.2. Les modèles considérés 26

II.2.1. Equations de Maxwell 26

II.2.2. Modèles de supraconducteurs 28

II.2.2.1. Dépendance en température de Jc et n 31

II.2.2.2. Dépendance en champ magnétique Jc 31

II.2.3. Problème électromagnétique et formulation en potentiels A-V 32

II.2.4. Problème thermique 35

II.3. Méthodes numériques de discrétisation 36

II.3.1. Principales méthodes existantes 36

II.3.2. La méthode des volumes finis MVF 37

Chapitre III. MISE EN ŒUVRE DE LA METHODE DES VOLUMES FINIS

III.1. Introduction 39

III.2. Méthode des volumes finis tridimensionnelle avec un maillage

cartésien MVFC 40

III.2.1. Discrétisation géométrique 40

III.2.2. Discrétisation des équations électromagnétiques par la MVFC 41

III.2.2.1. Intégration de A 41


III.2.2.3. Intégration du terme source 45

III.2.2.4. Intégration du terme

Vσ

t

A 45

III.2.2.4. Intégration De l’équation en divergence 47

III.2.3. Discrétisation de l’équation de diffusion de la chaleur par la MVFC 48

III.2.4. Méthodes numériques de résolution 50

III.2.4.1. Méthode d’Euler 50

III.2.4.2. Méthode de Gauss-Seidel 51


non structuré (MVFM) 52

III.3.1. Définition du maillage 53

III.3.2. Discrétisation des équations électromagnétiques par la MVFM 56


III.3.2.2. Intégration de x

Vt

A

)( 62


III.3.2.4. Intégration de l’équation en divergence 63

III.3.3. Discrétisation de l’équation de diffusion de la chaleur par la MVFM 65

III.4. Algorithmes de résolution 67

III.4.1. Algorithmes de résolution des problèmes, électromagnétique et thermique 67

III.4.2. Couplage électromagnétique-thermique 70

Chapitre IV. APPLICATIONS ET VALIDATIONS

IV.1. Aimantation des pastilles supraconductrices 73

IV.1.1. Introduction 73

IV.1.2. Etudes numériques des phénomènes couplés magnétothermiques

durant le processus d’aimantation des pastilles supraconductrices 76

IV.1.2.1. Procédés d’aimantation 77

IV.1.2.2. Résultats de simulation 78

IV.1.2.3. Implantation des canaux dans la pastille

supraconductrice à aimanter 82

IV.1.2.4. Force de lévitation magnétique entre aimant et

Supraconducteur aimanté, avec et sans canaux de refroidissement 87

IV.2. Association aimant permanent-supraconducteur 93

IV.2.1. Modélisation de l’aimant 93

IV.2.2. Validations des modèles 94

IV.2.2.1. Validation des modèles par confrontation

avec des résultats expérimentaux trouvés dans la littérature 95

IV.2.2.1.1. Validation de la MVFM par force d’interaction verticale 95

IV.2.2.1.2. Validation de la MVFC par comparaison avec la MVFM 96

IV.2.2.1.3. Validation de la MVFM par force d’interaction latérale 97

IV.2.2.2. Mesure des forces latérales 99

IV.2.2.3. Comparaison entre la formulation magnétique

jaugée et la formulation magnétique sans jauge 104

IV.2.3. Etudes de l’influence des paramètres géométriques et physiques

sur les forces d’interactions 105

IV.2.3.1. Etude de l’influence des paramètres géométriques de l’aimant

et de la pastille supraconductrice sur la force de lévitation 105

IV.2.3.1.1. Influence de l’épaisseur de l’aimant 105

IV.2.3.1.2. Influence du diamètre de l’aimant 108

IV.2.3.2. Influence de la distance de refroidissement sous champ 110

IV.2.3.3. Influence de la température du milieu extérieur 119

IV.2.3.4. Influence de la forme et de dimensions de la pastille

supraconductrice dans un système de guidage magnétique 124

IV.2.4. Couplage mécanique 128

IV.2.4.1. Formulation du problème 129

IV.2.4.2. Etude dynamique 130

IV.2.4.2. Formulation du deuxième problème 134

IV.2.4.2.1. Résultats des simulations 136

IV.2.5. Etude de la relaxation de la force de lévitation 144

Conclusion générale 147

Bibliographie 149

LISTE DES FIGURES

Fig.I.1. Différence entre un conducteur parfait et un supraconducteur 12

Fig.I.2. Surface critique délimitant la région où existe la supraconductivité 13

Fig.I.3. Caractéristique B(H) d’un supraconducteur de type I. 14

Fig.I.4. Caractéristique B(H) d’un supraconducteur de type II. 15

Fig.I.5. Distribution des vortex dans un supraconducteur. 15

Fig.I.6. Vortex dans un supraconducteur. 16

Fig. I.7. Volant d’inertie 23

Fig.II.1. Problème type à modéliser 26

Fig.II.2. Modèle de Bean et son approximation 28

Fig.II.3. Schématisation d’un plan de symétrie 34

Fig.III.1. Maillage structuré et non structuré, vue 2D 40

Fig.III.2. Volume fini élémentaire Dp 40

Fig.III.3. Approximation linéaire du potentiel à travers la facette e 42

Fig.III.4. Illustration des nœuds supplémentaires 44

Fig.III.5. Sous domaine d’intégration : méthodes ‘nœuds centrés’ 52

Fig.III.6. Sous domaine d’intégration : méthodes ‘éléments centrés’ 53

Fig.III.7. Schéma général du principe d’un code MVF pour un maillage non-structuré 53

Fig. III.8. Exemple de construction d’un maillage dual de type barycentrique 54

Fig. III.9. Exemple de construction d’un maillage dual de type Delauney-Voronoi 55

Fig.III.10. Maillage dual de type Delauny-Voronoi en 3D. 55

Fig.III.11. Volume fini élémentaire Dp 58

Fig.III.12. Projection d’un volume élémentaire suivant le plan XY. 59

Fig.III.13. Calcul des surfaces 61

Fig.III.14. Organigramme de l’algorithme du code de calcul du problème électromagnétique 68

Fig.III.15. Organigramme de l’algorithme du code de calcul du problème thermique 69

Fig.III.16. Organigramme utilisé pour calculer la solution du système couplé

magnétothermique au sein d’un supraconducteur. 71

Fig.IV.1. Plaque supraconductrice d’épaisseur 2a et infiniment longue 74

Fig.IV.2. Distribution de la densité de courant et du champ dans une pastille

supraconductrice selon le modèle de Bean. 76

Fig.IV.3. Evolution temporelle du champ magnétisant. 79

Fig.IV.4. Distribution de la température au sein de la pastille supraconductrice

aimantée en régime permanent pour différentes valeurs de . 80

Fig.IV.5. Répartition de la densité de courant au sein de la pastille

supraconductrice aimantée en régime permanent 81

Fig.IV.6. Distribution de l’induction magnétique B à z = 5 mm

au dessus de la pastille supraconductrice aimantée dans le cas

où l’effet thermique est pris en compte. 82

Fig.IV.7. Les valeurs maximales, Tmax, Jmax, Bmax et Edissmax,

en unité relative, pour chaque type d’aimantation. 83

Fig.IV.8. Implantation de n canaux de refroidissements

dans la pastille supraconductrice. 83

Fig.IV.9.a. Distribution du champ d’induction magnétique à 3.2 mm

au dessus de la pastille supraconductrice sans canaux lors

de la prise en compte de l’effet thermique. 84

Fig.IV.9.b. Distribution du champ d’induction magnétique à 3.2 mm au

dessus de la pastille sans canaux refroidis dans le cas où on ne tient pas compte de l’effet thermique. 84

Fig.IV.10. Distribution de la température au sein du matériau supraconducteur

sans canaux en régime permanent. 85

Fig.IV.11. Distribution de la température au sein de la pastille supraconductrice

à canaux en régime permanent. 85

Fig.IV.12. Distribution du champ d’induction magnétique à 3.2 mm

au dessus du supraconducteur à canaux en régime permanent. 87

Fig.IV.13. Distribution du champ d’induction magnétique à 3.2 mm au dessus

de la pastille supraconductrice sans canaux en régime permanent

pour Bm = 5.5T ≥ Bopt. 87

Fig.IV.14. Distribution du champ d’induction magnétique à 3.2 mm au dessus

de la pastille à canaux en régime permanent pour Bm = 5.5 T ≥ Bopt. 87

Fig.IV.15. La dépendance de la valeur maximale du Champ piégé Bme calculé

à 3.2 mm au dessus de la pastille en fonction de la valeur maximale

du champ appliqué Bm dans les deux pastilles supraconductrices. 88

Fig.IV.16. Force d’interaction verticale exercée entre l’aimant

et le supraconducteur en fonction de l’écart aimant-supra. 90

Fig.IV.17. Répartition des courants supraconducteurs dans la pastille supraconductrice

Aimantée. 90

Fig.IV.18. Répartition des lignes de champ d’induction magnétique B et courants

supraconducteurs dans la pastille supraconductrice non aimantée. 90

Fig.IV.19.a. Répartition de la température à l’intérieur de la pastille

supraconductrice aimantée en régime permanant. 91

Fig.IV.19.b. Répartition de la température à l’intérieur de la pastille supraconductrice,

64 canaux ont étais introduit dans la pastille. 91

Fig.IV.20.b. Force d’interaction verticale exercée entre l’aimant et le

supraconducteur en fonction de l’écart aimant-supra, dans les cas,

la pastille supraconductrice est avec ou sans canaux de refroidissement

et dans le cas où l’effet thermique est négligé. 92

Fig.IV.20.a. Force maximale d’interaction verticale exercée entre aimant

et pastille supraconductrices à canaux de refroidissement en fonction

du volume des canaux. 92

Fig.IV.21. Modélisation de l’aimant par une succession de ns spires. 93

Fig.IV.22.a. Répartition spatiale de la composante axiale de l’induction magnétique

calculée à 0.5 mm au dessus de la surface inférieur de l’aimant. 94

Fig.IV.22.b. Répartition spatiale de la composante axiale de l’induction magnétique

mesurée à 0.5 mm au dessus de la surface inférieur de l’aimant. 95

Fig.IV.23. Force verticale exercée entre l’aimant et le supraconducteur.

Fig.IV.24. Cycle de force. 96

Fig.IV.25. Force d’interaction verticale exercée entre l’aimant et le supraconducteur

calculée par la MVFC et la MVFM. 97

Fig.IV.26. Forces d’interactions latérales pour les deux types de refroidissements

sous champ magnétique et hors champ magnétique. 98

Fig.IV.27. Mesure des forces d’interactions latérales 99

Fig.IV.28. Mesure des forces d’interactions latérales lors du refroidissement

hors champ magnétique (RHC). 100

Fig.IV.29. Forces d’interactions latérales calculé et mesuré lors du refroidissement

hors champ magnétique. 101

Fig.IV.30. Mesure des forces d’interactions latérales lors du refroidissement sous

champ magnétique. 103

Fig.IV.31. Forces d’interactions latérales calculées et mesurée

lors du refroidissement sous champ magnétique. 103

Fig.IV.32. Force d’interaction verticale exercée entre l’aimant et le supraconducteur

calculée par les formulations AG et SG. 104

Fig.IV.33. Force d’interaction verticale exercée entre un supraconducteur et

un aimant d’épaisseur h = 5 mm, 10 mm et 40 mm, respectivement. 105

Fig.IV.34. Influence de hauteur de l’aimant h sur le force de lévitation verticale 106

Fig.IV.35. Répartition de la densité de courant (Jy) dans la pastille supraconductrice

pour un aimant d’épaisseur h = 5 mm, 10 mm et 40 mm, respectivement

à un écart aimant-supra de 3 mm. 107

Fig.IV.36. Force d’interaction verticale exercée entre la pastille et un aimant

de diamètre D égale à 14 mm, 20 mm et 25 mm respectivement. 108

Fig.IV.37. Répartition de la densité de courant dans la pastille supraconductrice

mise en dessous d’un aimant sur une distance z = 3 mm

ayant les diamètres D = 14 mm et 25 mm, respectivement. 109

Fig.IV.38. Répartition de la densité du courant dans la pastille supraconductrice

et du B entre un aimant permanent et une pastille supraconductrice

dans le cas du refroidissement hors champ. 112

Fig.IV.39. Répartition de la densité du courant dans la pastille supraconductrice 113

Fig.IV.40. Répartition de la densité du courant dans la pastille supraconductrice

et du champ d’induction magnétique B. 114

Fig.IV.41. La variation de la force latérale en fonction de la position latérale

du supraconducteur à la position de translation

ztr = 5 mm pour des différentes positions de refroidissements z0. 116

Fig.IV.42. Différents cycle à différents hauteurs de refroidissement,

respectivement à 5, 10, 15, 20, 40 et 50 mm. 117

Fig.IV.43.a. Force de répulsion maximale en fonction de la distance de refroidissement z0 118

Fig.IV.43.b. Force d’attraction maximale en fonction de la distance de refroidissement z0 118

Fig.IV.44. Force de lévitation magnétique en fonction de l’écart

aimant-supraconducteur à des différentes températures. 120

Fig.IV.45. La force de lévitation maximale en fonction de la température. 121

Fig.IV.46.a. Force latérale en fonction de la position latérale de l’aimant

dans le cas du refroidissement sous champ à des différentes

températures. 123

Fig.IV.46.b. Force latérale en fonction de la position latérale de l’aimant

dans le cas du refroidissement hors champ magnétiques à des

différentes températures. 123

Fig.IV.47. Système de guidage magnétique 124

Fig.IV.48.a. La valeur du champ d’induction magnétique B produit dans le centre

d’un aimant permanent en fonction de la distance verticale. 125

Fig.IV.48.b. La valeur du champ d’induction magnétique B produit dans le

centre d’un aimant permanent en fonction de la distance verticale 125

Fig.IV.49. Force de lévitation maximale entre les pastilles supraconductrices

A, B, C et D et entre un système de guidage magnétique. 128

Fig.IV.50. Structure du dispositif de lévitation. 130

Fig.IV.51. Organigramme de couplage magnétique-thermique-mécanique. 130

Fig.IV.52. Comportement dynamique du dispositif avec le modèle qui tient

compte de l’effet thermique et celui qui ne tient pas compte

l’effet thermique. 132

Fig.IV.53. Force de lévitation en fonction du temps. 132

Fig.IV.54. Evolution temporelle de la température au centre de la pastille 133

Fig.IV.55. Répartition spatiale de la température au sein de la pastille

supraconductrice aux instants t = 0.5 s, 1 s et 1.575 s respectivement. 133

Fig.IV.56.a. Position finale de l’aimant en fonction de sa position initiale 133

Fig.IV.56.b. Erreur absolue en fonction de la position initiale de l’aimant 133

Fig.IV.57. Structure du dispositif de lévitation avec une excitation extérieure. 135

Fig.IV.58. la disposition du système dans la première étape. 135

Fig.IV.59. Organigramme de couplage magnétique-thermique-mécanique. 136

Fig.IV.60. La simulation de la réponse dynamique d’un aimant permanent

en lévitation au dessus d’une pastille supraconductrice excitée

par une source d’oscillation. 140

Fig.IV.61. Répartition spatiale de la température au sein

de la pastille supraconductrice à l’instant t = 0.5 s et pour les

fréquences fa = 20 Hz et fa = 100 Hz respectivement. 141

Fig.IV.62. Erreur absolue entre les sommets supérieurs et inférieurs

pour les fréquences fa = 30 Hz, fa = 50 Hz en enfin fa = 70 Hz. 142

Fig.IV.63.a. erreur absolue en fonction de la fréquence fa. 144

Fig.IV.63.b. erreur absolue en fonction de l’amplitude Za. 144

Fig.IV.64. Force d’interaction verticale, calculée et mesurée. 145

Fig.IV.65. Force d’interaction verticale calculée 145

Fig. IV.66. Variation temporelle de la force de lévitation normalisée 146

LISTE DES TABLEAUX

Tableau VI.1. Propriétés thermiques du SHTC utilisé dans la simulation. 78

Tableau.IV.2. Données du calcul des deux méthodes MVFC et MVFM 97

Tableau.IV.3. Grandeurs caractéristiques de la pastille supraconductrice. 102

Tableau.IV.4. Données du calcul pour les deux formulations AG et SG 104

Tableau.IV.5. Propriétés géométriques des pastilles supraconductrices

utilisées dans les simulations. 126

Tableau.IV.6. Propriétés géométriques et force de lévitation produite par les quatre

pastilles supraconductrices utilisées dans les simulations. 127

Le tableau IV.7 résume les paramètres géométriques et physiques

utilisés dans les simulations 137

INTRODUCTION GENERALE

Introduction générale

6


La découverte des supraconducteurs dits à haute température critique en 1986 a suscité un

grand intérêt nouveau pour ces matériaux. Leur utilisation en électrotechnique peut être

sérieusement envisagée dans des domaines tels que la production, le transport, le stockage

d’énergie, etc. Dans le domaine de la puissance, on envisage l’utilisation des

supraconducteurs pour, entre autre, la fabrication de câble, de machines ou de limiteurs de

courant. Par ailleurs, les deux propriétés remarquables des supraconducteurs est de faire

léviter et de manière stable un aimant permanent d’une part, d’autre part, de pouvoir piéger le

champ magnétique. Cette première propriété des supraconducteurs permet d’envisagé leur

utilisation pour des dispositifs en suspension auto-stable, la seconde, permet de concevoir des

aimants supraconducteurs. Ces aimants présentent l’avantage de pouvoir fournir des valeurs

de champ magnétique beaucoup plus importantes par rapport à celles fournies par les aimants

permanents conventionnels surtout à basse température.

L’étude de ces différentes applications indique qu’il est important de déterminer avec une

bonne précision les grandeurs électromagnétiques et thermiques liées aux supraconducteurs.

Pour cela, il est donc impératif de développer des outils de calcul numérique permettant un

apport important dans la conception et l’optimisation des dispositifs à base de matériaux

supraconducteurs. Pour cela, on s’intéresse à développer des outils de calcul capables de

modéliser des dispositifs supraconducteurs avec des géométries bidimensionnelles et dans le

cas le plus général avec des géométries tridimensionnelles permettant d’accéder aux

différentes grandeurs électromagnétiques et thermiques.

Plusieurs outils de simulation ont été proposés dédiés principalement à la modélisation

bidimensionnelle des matériaux supraconducteurs, cependant, peu de travaux ont été proposés

pour la modélisation tridimensionnelle de ces matériaux et encore moins la modélisation

tridimensionnelle des phénomènes magnétothermiques présents dans les supraconducteurs à

haute température critique (HTC). C’est à cette dernière que l’on s’intéresse tout

particulièrement. Pour cela, nous avons choisi une approche numérique, il s’agit d’appliquer

la méthode des volumes finis (MVF) pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles caractéristiques des phénomènes physiques à traiter.

Dans ce travail de thèse, nous proposons deux approches différentes de la MVF, la première

basée sur un maillage structuré. Elle consiste à subdiviser le domaine de calcul en cellules

élémentaires de forme quadrilatère pour les applications en deux dimensions et de forme

hexaédrique pour les applications en trois dimensions. C’est une discrétisation de type

Différences Finies (“marches d’escaliers”) qui facilite la construction du maillage. On va

appeler cette première méthode, la méthode des volumes finis classique est notée ‘MVFC’. La

deuxième approche, basée sur un maillage non-structuré qui requiert un mailleur indépendant,

spécifique, parfaitement adapté à l’algorithme numérique. Son rôle est de partitionner

l’application étudiée en cellules élémentaires de forme aussi variée que des triangles (deux

dimensions), tétraèdres ou prismes (trois dimensions). Le choix entre ces deux méthodes est


7

basé essentiellement sur la géométrie du dispositif à modéliser. Si la géométrie possède une

structure hexaédrique, l’application de la première approche est avantageuse en termes de

temps de calcul et de simplicité. Par contre, cette première approche présente l’inconvénient

de ne pas pourvoir modéliser des dispositifs ayant des géométries complexe. C’est

véritablement tout l’intérêt de la deuxième approche de la MVF, le maillage va suivre

naturellement la forme de la structure, les géométries complexes seront modélisées de façon

plus rigoureuse et plus conforme sans que cela ne génère un nombre de mailles trop

important. On va appeler cette deuxième méthode, la méthode des volumes finis modifiée. Elle sera notée ‘MVFM’.

Cette thèse est structurée en quatre chapitres :

Le premier commence par un bref rappel sur les supraconducteurs avec leurs propriétés. Il résume ensuite quelques applications des supraconducteurs en électrotechnique.

Le deuxième chapitre est consacré à l’étude du comportement électromagnétique et thermique

des supraconducteurs afin de le retranscrire dans un langage mathématique point de départ de

la modélisation. L’étude ne prendra en compte que les supraconducteurs de type II. Ce

chapitre décrit aussi la loi de comportement choisie pour décrire le phénomène de

supraconduction, qui ne peut être représenté par la loi d’Ohm. A la fin de ce chapitre, les

diverses méthodes numériques utilisées pour la discrétisation des équations aux dérivées

partielles, caractéristiques des phénomènes physiques à traiter sont présentées. En particulier,

la méthode des volumes finis adoptée comme méthode de résolution dans le cadre de travail de cette thèse.

Dans le troisième chapitre, nous passerons à la mise en œuvre de la MVF, les deux approches

de cette méthode seront présentées. La première basée sur un maillage structuré, la deuxième

basée sur un maillage non structuré. Les formes discrétisées correspondantes sont

implémentées dans un algorithme selon les deux types de maillage Nous présentons aussi les

méthodes de résolutions des systèmes d’équations algébriques obtenus après avoir appliqué la

MVF. Nous exposerons à la fin de ce chapitre, les différents modes, utilisés pour le couplage

magnétique thermique, ainsi, que le code de calcul développé et implémenté sous

l’environnement Matlab en décrivant ses fonctions pour les deux types d’environnement : magnétique et thermique.

Dans le quatrième chapitre, nous présentons les résultats de simulation obtenus à partir du

code numérique développé. Dans un premier temps, on s’intéressera à l’étude de l’interaction

entre aimant permanent et supraconducteur haute température critique, dans un second temps,

nous abordons de manière détaillée, la réponse dynamique de la pastille YBCO à des

variations de champ magnétique, en considérant les effets thermiques. Plusieurs critères

permettant d’optimiser le processus d’aimantation des pastilles supraconductrices seront

présentés. Finalement, Les résultats de simulation d’une nouvelle technique qui peut être


8

appliquée dans le but d’améliorer les contraintes thermiques durant le processus

d’aimantation seront présentés. Cette nouvelle technique est basée sur l’implantation de canaux de refroidissement dans la pastille supraconductrice.

On terminera par donner des conclusions et des perspectives.

Chapitre I.

INTRODUCTION SUR LA SUPRACONDUCTIVITE

I.1. Historique des supraconducteurs 9

I.2. Effet Meissner 11

I.3. Types de supraconducteurs 13

I.3.1. Supraconducteurs type I 14

I.3.2. Supraconducteurs type II 14

I.4. Applications des supraconducteurs en électrotechnique 17

I.4.1. Limiteurs de courant 17

I.4.2. Lignes de transport 18

I.4.3. les systèmes de stockage de l’énergie SMES 19

I.4.4. les transformateurs 19

I.4.5. les machines supraconductrices 20

I.4.6. les aimants permanents supraconducteurs 21

I.4.7. lévitation et paliers magnétiques 22

Chapitre I. Introduction sur la supraconductivité

9

Ce chapitre est consacré à la présentation des matériaux supraconducteurs et de

leurs applications. Après un rappel de l’histoire de la supraconductivité, nous citons les

propriétés fondamentales des matériaux supraconducteurs. Nous présentons aussi la

définition des supraconducteurs de type I et de type II. A la fin de ce chapitre, nous

établissons un récapitulatif des principales applications des supraconducteurs, haute

température critique en électrotechnique, en particulier, leurs applications dans le

domaine de la lévitation magnétique et leurs utilisations comme aimants permanents à la place des aimants permanents conventionnels.

I.1. Historique des supraconducteurs

L’histoire de la supraconductivité est certainement l’une des aventures les plus

passionnantes et des plus extraordinaires de la physique. Que ce soit sa découverte

jusqu'aux rebondissements avec l’obtention des céramiques ‘hautes températures’. Les

avancées s’étalent sur l’ensemble du vingtième siècle en le parsemant de prix Nobel. De

façon directe, on ne lui doit pas moins de cinq prestigieuses récompenses : Heike

Kamerlingh Onnes pour la découverte du phénomène en 1913, John Bardeen, Leon Cooper

et Robert Schrieffer pour la théorie microscopique en 1972, Brian Josephson et Ivar

Giaever pour les effets de cohérence quantique en 1973, Alex Müller et J. Georg Bednorz

pour la découverte des supraconducteurs à haute température critique en 1987 et enfin

Alxel Abriskosov, Vitali Ginzburg et Anthony Legett pour leurs travaux dans le domaine théorique des supraconducteurs en 2003.

L’histoire de la supraconductivité débute à Leiden en Hollande. Depuis 1908 le groupe de

H. K. Onnes sait liquéfier l’hélium et atteindre des températures aussi basses que 4.2 K ou

même 1K. Pendant plusieurs années, Onnes est le seul à disposer du rare et précieux

élément qu’est l’hélium en quantité suffisante pour le liquéfier. Il le tient de Caroline du

Nord aux Etats-Unis où se trouve l’essentiel des ressources mondiales. Il peut sans

concurrence immédiate effectuer les mesures de résistivité électrique des matériaux à basse

température. La préoccupation du moment est de déterminer son comportement lorsqu’on

s’approche du zéro absolu. La résistivité tend-elle vers zéro avec l’affaiblissement de

l’agitation thermique ? Augmente-t-elle avec une localisation possible des électrons ? Ou atteint-elle une valeur limite due aux impuretés comme le prévoit déjà Matthiessen.

La tâche de Gilles Holst, étudiant de Kamerlingh Onnes, est alors de mesurer la résistivité

électrique du mercure. La difficulté expérimentale est alors de réaliser des fils en coulant le

mercure dans des tubes capillaires à température ambiante et en le refroidissant à une

température inférieure à sa température de solidification. Le travail de Host débouche alors

par une courte note à l’académie royale des Pays Bas en 1911 qui annonce ‘sous toute

réserve’ que la résistivité du mercure apparemment disparait juste au dessus de 4 K.

L’année suivante, il découvrit que l’étain et le plomb perdaient leur résistance

respectivement à 3.7 K et 6 K. la disparition de la résistivité électrique, en courant continu, est donc la première et la plus spectaculaire manifestation de la supraconductivité.


10

Vers 1933, W. Meissner et R. Ochsenfeld ont montré pour leur part qu’un métal

supraconducteur massif présente par ailleurs un diamagnétisme presque parfait pour des

faibles valeurs du champ magnétique [Meissner 33], caractéristiques des matériaux dits de type I. Cet effet de non-pénétration du champ magnétique est nommé effet Meissner.

Avec la mise en évidence de la supraconductivité, les physiciens se sont trouvés confrontés

alors à deux propriétés : la chute à zéro de la résistance électrique et l’expulsion du champ

magnétique qui reste nul dans le matériau supraconducteur. Jusqu’en 1934, 20 ans après la

découverte de K. Onnes, il n’existe pas de description de la supraconductivité et encore

moins de théorie microscopique. C’est avec la théorie des frères London [London 35],

basée sur un ensemble d’équations, qu’apparaissent les premières lois de comportement

des électrons dans les supraconducteurs. Des équations qui rendent comptent de l’effet

Meissner mais n’expliquent en rien la chute à zéro de la résistivité dans les matériaux

supraconducteurs. Leur application montre qu’il excite une zone de transition au voisinage

de la surface de l’échantillon dans laquelle le champ magnétique passe de sa valeur initiale

à l’extérieur de l’échantillon à une valeur nulle au sein de l’échantillon. Cette épaisseur

dite de London constitue une des longueurs caractéristiques des problèmes de supraconductivité.

L’approche intuitive exemplaire de Landau allait mener la supraconductivité vers une

seconde description phénoménologique en 1950, il s’agit de la théorie de Ginzburg Landau

[Ginzburg 50]. Cette théorie phénoménologique consiste à utiliser les techniques de

description des transitions de phase du second ordre à la transition supraconductrice en

affectant comme paramètre d’ordre la fonction d’onde des électrons supraconducteurs. En

incorporant des termes assurant l’invariance par changement de jauge, Ginzburg et Landau

proposèrent deux équations très riches permettant de décrire l’état supraconducteur. Ces

équations rendent compte de l’effet Meisner avec la longueur caractéristique de London

d’établissement du champ mais elles introduisent une nouvelle longueur caractéristique

appelée longueur de cohérence qui représente la distance sur laquelle s’établit l’état

supraconducteur. C’est du rapport entre ces longueurs caractéristiques que dépend le

comportement en supraconducteurs de type I ou de type II. La découverte de la

supraconductivité de type II a été plus tardive puisqu’elle n’a eu lieu que vers 1954 dans un alliage de niobium et d’étain supraconducteur en dessous de 18 K.

Si la supraconductivité était en 1955 riche de résultats expérimentaux et forte de deux

théories phénoménologiques successives, aucune explication microscopique du phénomène

n’était apparue, jusqu’en 1957, où une nouvelle théorie fut publiée par Bardeen, Cooper et

Schrieffer [Bardeen 57]. Celle-ci est plus connue sous le non de théorie BCS. Cette théorie

explique qu’à très basse température, les électrons s’apparient, en quelque sorte en se

mettant en couple. On dit qu’ils forment des paires de Cooper. L’idée de base est que les

électrons (ou une partie d’entre eux) s’attirent plus qu’ils ne se repoussent naturellement et

se couplent en paire. Dans les paires ainsi formées, les électrons possèdent une énergie plus

faible, ainsi que des spins opposés. Cet ensemble, n’ayant plus de raisons d’interagir avec

son environnement, n’est plus à l’origine d’une résistance électrique. Avec cette théorie, le


11

mécanisme de la supraconductivité ne permettrait pas d’obtenir des températures critiques

supérieures à une trentaine de Kelvins (au delà, l’agitation thermique casse les paires).

Par la découverte de Johannes Georg Bednorz et Karl Alexander Müller [Bednorz 86] en

1986 de la supraconductivité dans un oxyde synthétique de cuivre, lanthane et baryum à

une température critique Tc de 35 K, puis l’année suivante le composé YBaCuO

(Tc = 93 K). Cette découverte a donné vraiment naissance à la supraconductivité haute

température critique HTC. Ceci a fortement renforcé l’intérêt pour les supraconducteurs

qui pouvaient désormais être refroidis à l’azote liquide, fluide beaucoup moins couteux et

beaucoup plus facile d’utilisation que les fluides à température d’ébullition plus basse

(hélium liquide par exemple). Cette découverte relance alors la recherche dans ce domaine, et permet la mise en évidence de ce phénomène jusqu’à 164 K en 1998.

I.2. Effet Meissner

Les propriétés fondamentales des matériaux supraconducteurs sont donc essentiellement au nombre de deux :

une résistivité nulle,

expulsion des lignes d’induction (Effet Meisner).

Cette dernière propriété différencie le supraconducteur d’un conducteur parfait. En effet,

lorsqu’un conducteur parfait, sous champ nul à température ambiante, est refroidi en

dessous de Tc puis soumis à un champ magnétique, des courants d’écrantage vont être

induits pour s’opposer à toute pénétration de champ (Fig.I.1.b). Le réchauffement du

conducteur parfait dans ce cas, au dessus de Tc le rend résistif. Les courants s’amortissent

et le champ magnétique pénètre dans le conducteur (Fig.I.1.c). Si au contraire, le

conducteur parfait est refroidi sous champ, en l’absence de variation de champ extérieur,

aucun courant ne se trouve induit et le champ magnétique est maintenu dans le conducteur

parfait (Fig.I.1.d). Lorsque le champ magnétique extérieur est ramené à zéro, cette

variation négative du champ extérieur à une température inférieure à Tc induit des courants

d’écrantage qui s’opposent à toute variation de champ magnétique à l’intérieur du

conducteur parfait, ainsi, le champ magnétique se trouve piégé à l’intérieur du conducteur (Fig.I.1.e). Il en va tout à fait différemment dans le cas d’un supraconducteur :

dans le premier cas (refroidissement hors champ), le conducteur parfait et le

supraconducteur se comportent de manière identique car le champ magnétique est

toujours nul dans le matériau (Fig.I.1.a et Fig.I.1.b)

dans le deuxième cas (refroidissement sous champ), le champ magnétique est

expulsé de l’intérieur du supraconducteur dès qu’il est refroidi en dessous de sa

température critique (Fig.I.1.g). Lorsque le champ magnétique est coupé, les

courants supraconducteurs disparaissent afin de laisser le champ magnétique nul à l’intérieur de l’échantillon (Fig.I.1.h).


12

Fig.I.1. Différences entre un conducteur parfait et un supraconducteur : l’effet Meissner.

Les figures Fig.I.1a et FigI.1.b représentent le comportement d’un conducteur parfait et le

comportement d’un supraconducteur, les figures Fig.I.1.c, Fig.I.1.d et Fig.I.1.f. représentent le

comportement d’un conducteur parfait et les figures Fig.I.1.f, Fig.I.1.g et Fig.I.1.h. représentent le

comportement d’un supraconducteur.

(a). l’échantillon est amené en champ nul à une température T<Tc

(b). le champ est appliqué sous Tc. Des courants sont induits par la variation de champ. Ils ne s’amortissent pas et font écran à la pénétration du champ.

(c). sous champ magnétique, l’échantillon est remonté à une température T > Tc. La résistivité réapparaît, les courants s’amortissent et le champ pénètre.

(d). l’échantillon est refroidi sous champ constant. En l’absence de variation de champ, aucun courant n’est induit.

(e). A T<Tc, le champ extérieur est coupé. Cette variation de champ engendre des courants qui ne s’amortissent pas et piègent le champ magnétique.

(f). sous champ magnétique, l’échantillon est remonté à une température T > Tc. La supraconductivité disparaît et le champ pénètre dans l’échantillon

(g). l’échantillon est refroidi sous champ constant. Des courants apparaissent faisant écran à la pénétration du champ magnétique (Etat supraconducteur).

(h). A T < Tc, le champ extérieur est coupé. Les supercourants disparaissent afin de laisser nul le champ à l’intérieur de l’échantillon.


13

Ce comportement est connu sous le non d’effet Meisner Ochsenfeld : il s’agit de

l’expulsion de toute induction magnétique de l’intérieur du supraconducteur sauf sur une

très fine épaisseur, λL (10-7-10-8 m), appelée longueur de London, à la surface du métal.

Le diamagnétisme parfait est une propriété intrinsèque d’un supraconducteur, qui n’est

cependant valable que si la température et le champ magnétique sont en tous points

inférieurs à leur valeur critique T<Tc et H<Hc. L’épaisseur λL augmente avec la

température de manière que pour T proche de Tc, λL tend vers l’infini. Ainsi pour T

supérieur à Tc le comportement est non magnétique (aimantation nulle), par contre pour T

inférieur à Tc il est parfaitement diamagnétique (aimantation négative) si le champ

magnétique extérieur n’est pas très élevé. Pour des fréquences élevées, en infrarouge (1012

… 1014 Hz), le métal devient non supraconducteur même pour des températures très basses,

(T<Tc). Les théories classiques qui expliquent ces propriétés sont basées sur les équations de Maxwell London [Tixador 95].

I.3. Types de supraconducteurs

L’état supraconducteur non dissipatif est conditionné par trois grandeurs, appelées

grandeurs critiques, au-delà desquelles le matériau passe dans un état fortement dissipatif.

Il s’agit de la densité de courant critique Jc, de la température critique Tc et du champ

magnétique citrique Hc. Ces trois grandeurs sont fonction les unes des autres et forment

ainsi une surface critique (Fig.I.2.) au delà de laquelle le matériau cesse d’être non dissipatif.

Fig.I.2. Surface critique délimitant la région où existe la supraconductivité [Baixeras 98]

T (K)

Tc (0,0)

Jc (0,0)

Jc (A.m-2)

Hc(0,0)

H (A.m-1)

Supraconducteur

Normal


14

A partir de deux des trois paramètres essentiels à la supraconductivité : la densité de

courant critique Jc et le champ critique Hc, on peut fixer une limite au-delà de laquelle le

matériau perd des performances supraconductrices. Cependant tous les supraconducteurs

n’ont pas le même comportement en présence d’un champ magnétique, la

supraconductivité disparaît selon deux scénarios déférents. Ces scénarios conduisent à un

classement des matériaux en supraconducteurs de type I et de type II.

I.3.1. Supraconducteurs type I

Les supraconducteurs type I ne possèdent qu’un seul champ critique Hc. Le champ

magnétique pénètre sur une épaisseur appelée Longueur de pénétration de London dans

laquelle se développent des supercourants. Le comportement de ce type de

supraconducteurs est simple car il n’existe que deux états. L’état normal correspond à une

valeur élevée de la résistance du matériau et l’état supraconducteur correspond à un

diamagnétisme presque parfait. Les supraconducteurs de type I sont essentiellement des

corps purs, comme le plomb (Pb), le mercure (Hg), l’indium (In) et l’étain (Sn). Les

champs magnétiques critiques des corps purs, supraconducteurs de type I, sont

relativement faible puisqu’ils ne dépassent pas 0.2 Tesla. Dans la Fig.I.3, la caractéristique

B(H) d’un supraconducteur du type I est présentée. Les supraconducteurs de type I n’ont aucune application industrielle à l’heure actuelle.

Fig.I.3. Caractéristique B(H) d’un supraconducteur de type I.

I.3.2. Supraconducteurs type II

En présence d’un champ magnétique, les supraconducteurs de type II offrent un

diamagnétisme parfait jusqu’au champ Hc1 de manière comparable aux supraconducteurs

Hc H

B

Etat supraconducteur (Etat Meissner)

Etat normal


15

de type I. À partir de Hc1, le supraconducteur de type II est dans l’état mixte qui autorise

une pénétration partielle du champ jusqu’au champ Hc2 (Hc2 peut atteindre des dizaines de Teslas [Tixador 2003]) (Fig.I.4) et donc une supraconductivité à haut champ.

Fig.I.4. Caractéristique B(H) d’un supraconducteur de type II.

L’état mixte se présente comme un ensemble de cœurs à l’état normal qui emplissent le

matériau supraconducteur à partir de Hc1 (Fig.I.5), chacun contenant un quantum de flux

(2,07×10-15 weber [Rose 78]) et entouré d’un vortex de courants supraconducteurs

(Fig.I.6). Lorsque le champ magnétique augmente, le réseau se densifie jusqu’à combler

complètement le matériau supraconducteur à Hc2. A partir de cette valeur (H>Hc2), le flux

magnétique pénètre complètement et toute la supraconductivité disparaît. La résistivité à l’état normal est élevée devant celle des conducteurs classiques.

Fig.I.5. Distribution des vortex dans un supraconducteur.

Zone normale

Zone supraconductrice

H Supercourants

H Hc1 Hc2

B

Pente : μ0

Etat Meissner

Etat mixte

Etat normal


16

Fig.I.6. Vortex dans un supraconducteur.

La distinction entre les deux types de supraconductivité est très liée à la notion de longueur

de cohérence ξ et de profondeur de pénétration λL (Fig.I.6), qui caractérisent l’interface

entre une région normale et une région supraconductrice. ξ représente la variation spatiale

de l’état supraconducteur (densité d’électrons supraconducteurs) et λL la longueur de

pénétration de London du champ magnétique. Le rapport de ces deux longueurs

caractéristiques, appelé paramètre de Ginzburg-Landau et noté ( = λL/ξ) détermine le

type de supraconductivité. Si < 2/2 , le supraconducteur est de type I et si > 2/2 ,

le supraconducteur est de type II.

À l’interface entre une région normale et une région supraconductrice, la pénétration du

champ magnétique, définie par λL, correspond à une augmentation de l’énergie libre dans le

matériau supraconducteur, tandis que la constitution de l’état supraconducteur, caractérisée

par la longueur de cohérence, se rapporte à une diminution de l’énergie libre. Le bilan

énergétique de l’interface dépend du rapport . Dans le cas des supraconducteurs de type

II, l’état mixte résulte donc de la création d’un grand nombre d’interfaces. Chaque

interface correspond en effet à un bilan négatif d’énergie qui favorise énergétiquement la supraconductivité au-delà de Hc1.

Les deux propriétés remarquables des matériaux supraconducteurs type II, effet Meissner

et état mixte, offre un grand avantage pour les applications de ce type de matériau

supraconducteur, tels que la lévitation magnétique. L’effet Meissner donne naissance à la

force de lévitation magnétique [Hull 99]. Un aimant qui est posé au-dessus d’un

supraconducteur subit une force de répulsion. Cette force est capable de vaincre la force de

gravité et elle peut être caractérisée par la lévitation de l’aimant (ou du supraconducteur).

Une simple force de répulsion toutefois donnerait lieu à une position instable de l’objet en

lévitation. En réalité, pour observer le phénomène de la lévitation, on utilise ce type de

matériau (supraconducteur type II) dans lesquels l’état Meissner n’est présent que pour des

2ξ

λL

x

J(x)

Happliqué

Zone Supraconductrice

Zone Supraconductrice

Zon

e no

rmal

e


17

champs magnétiques très faibles. Un supraconducteur de type II, n’expulse pas totalement

les lignes de flux. Il est formé de zones supraconductrices, où circulent les courants, et de

zones dans l’état normal dans lesquelles le champ magnétique peut pénétrer (Fig.I.6). Les

zones, où pénètre un flux magnétique, sont appelées des vortex car ce sont les courants

supraconducteurs circulant autour d’elles qui stabilisent le champ magnétique. On dit que

le supraconducteur est dans un état “mixte” pour le distinguer de l’état Meissner. L’état

mixte du matériau supraconducteur va permettre d’obtenir la stabilité du système en lévitation [Zheng 07].

I.4. Applications des supraconducteurs en électrotechnique

La découverte en 1986 des supraconducteurs à haute température critique a encouragé

l’application des supraconducteurs en électrotechnique. Le choix des supraconducteurs

haute température critique, est dû à la capacité de ces matériaux à conduire du courant

électrique de très forte densité pour des températures assez élevées par rapport aux

supraconducteurs à basse température critique. Suivant la valeur utile de l’induction

magnétique générée par les matériaux supraconducteurs, on envisage, alors, leurs utilisations dans les applications de l’électrotechnique sous forme de trois catégories :

Très forts champs magnétiques. Cette catégorie concerne les bobines de champs,

les systèmes de stockage d’énergie...etc.

Forts champs magnétiques. Cette catégorie concerne les moteurs, les alternateurs,

les transformateurs, les systèmes de stockage de l’énergie… etc.

Faible champ magnétique. Cette catégorie concerne les lignes de transport

d’électricité, les transformateurs, les limiteurs de courant, lévitation magnétique...

etc.

Nous présentons ci-dessous quelques applications majeures des matériaux

supraconducteurs SHTC en électrotechnique. Cependant, nous rappelons que nous sommes

intéressés dans le cadre du travail de cette thèse par deux applications, les aimants supraconducteurs et la lévitation magnétique.

I.4.1. Limiteur de courant

La coupure des courants de défaut reste un problème mal résolu dans les réseaux

électriques. La caractéristique intrinsèque fortement non linéaire du champ électrique en

fonction du courant dans un supraconducteur ouvre une nouvelle voie particulièrement

intéressante et innovante pour la limitation des courants de défaut dans les réseaux

électrique [Buzon 02]. En régime normal, les pertes dans l’élément supraconducteur sont

très faibles (pertes AC), voire pratiquement nulles en DC. Par contre dès que le courant

dépasse un seuil prédéfini, l’élément supraconducteur développe instantanément un fort

champ électrique qui peut équilibrer la tension du réseau et limiter le courant à une valeur prédéterminée et facile à couper par un disjoncteur.


18

Le limiteur supraconducteur réduit les contraintes sur tous les dispositifs classiques sur la

ligne et en réduit avantageusement la taille. Caractérisé par un temps de réponse et par la

possibilité d’être utilisés pour des niveaux de tensions très élevées [Tixador 95], il autorise

aussi et surtout une plus grande interconnexion pour de meilleure sécurisation et qualité d’énergie électrique.

Plusieurs travaux ont étudié les limiteurs supraconducteurs [Baldan 04], [Ueda 03] et

[Zong 03]. Au laboratoire CNRSCRTBT/LEG, un limiteur a été réalisé pour une tension

de 1 kV [Tixador 02]. Le limiteur testé a montré l’intérêt de l’YbaCuO monodomaine dans

ce type d’application, et les performances peuvent encore être améliorées [Tournier 03].

Une étude sur les limiteurs de courant continu et une comparaison avec les limiteurs en courant alternatif a été établie [Tixador 06].

I.4.2. lignes de transport

Les câbles supraconducteurs peuvent transporter trois à cinq fois plus d’énergie que des

câbles traditionnels en cuivre de même diamètre. Indépendants sur le plan thermique, des

câbles supraconducteurs compacts peuvent être installés dans les emprises existantes,

contribuant ainsi à réduire le coût et l’impact sur l’environnement des futures

augmentations de capacité des réseaux. Offrant une impédance plus faible que les

technologies habituelles, les câbles supraconducteurs peuvent être placés en des points

stratégiques d’un réseau électrique afin de délester les câbles classiques ou les lignes

aériennes, ce qui permet de désengorger les réseaux avec une solution respectueuse de

l’environnement. Le Ministère américain de l’Energie (DOE) considère les câbles

supraconducteurs comme un composant essentiel d’un super-réseau électrique moderne,

exempt de goulets d’étranglement et capable de transporter l’énergie jusqu’aux clients à partir de sites de production éloignés, à l’exemple des parcs éoliens.

Les câbles supraconducteurs de transport intéressent de plus en plus les chercheurs et les

industriels. Au Japon, la compagnie Furukawa Electric a installé en mars 2004 un câble,

refroidi à l’azote, de 500 m de longueur, de 77 kV et 1 kA dans le réseau électrique pour le

tester pendant une année [Mukoyama 05] et plus récemment, le câble supraconducteur de

transport électrique le plus long et le plus puissant au monde [Lipower 08], développé et

fabriqué par Nexans, leader mondial de l’industrie du câble, a été mis sous tension avec

succès dans le cadre d’une installation de test pour le compte de LIPA (Long Island Power

Authority), l’un des principaux opérateurs de réseaux électriques aux Etats-Unis. Cette

liaison de 600 mètres à 138 kV, capable de transporter une puissance électrique de 574

MVA à pleine capacité (soit suffisamment pour alimenter 300 000 foyers en électricité) et

composée de trois phases supraconductrices en parallèle, constitue le premier câble

supraconducteur au monde incorporé dans un réseau électrique à ce niveau de tension.

Après une phase d’exploitation initiale et un bilan technico-économique [Lipower 08],

LIPA prévoit d’intégrer définitivement le nouveau câble supraconducteur à son réseau.


19

I.4.3. Les systèmes de stockage de l’énergie SMES

Les supraconducteurs permettent de concevoir un stockage direct de l'énergie électrique

sous forme magnétique, dans des bobines appelées SMES (Superconducting Magnetic

Energy Storage). L’intérêt d’un bobinage supraconducteur pour le stockage d’énergie est

de présenter des pertes Joule quasi nulles lorsqu’on le met en court-circuit. Avec les

condensateurs, ce sont les seuls moyens de stockage direct de l’électricité. Ainsi, ils ont

des rendements très importants et des temps de déstockage très courts. En effet, le

rendement d’un système supraconducteur de stockage d’énergie peut atteindre 97% alors

que ce rendement ne dépasse pas 70% pour un système de barrage à pompe. Avec tous ces

avantages, il faut noter que la densité volumique l’énergie stockée n’est pas très importante, 4kWh/m3 pour une valeur d’induction de 6 T [Tixador 95].

L’un des problèmes rencontrés dans ce type d’installations est dû aux forces très élevées que subit le bobinage d’une part, et d’autre part en raison de l’énergie requise pour la réfrigération et le coût des matériaux supraconducteurs, le SMES est plutôt utilisé pour un stockage court. Des applications avec des niveaux d’énergie stockés plus faibles ont été réalisées. La

majorité des SMES utilisent des supraconducteurs basses température critique (LTS) et

essentiellement le NbTi. De nombreux projets de SMES LTS ont été menés à travers le

monde [Floch 99]. Ainsi, l’US Air Force utilise depuis 10 ans des SMES de 1 MJ à 10 MJ

destinés à protéger des charges critiques contre les microcoupures [Parker 95]. Le

Wisconsin Public Service Corp. (WPS) a installé en 2000 un SMES commercialisé par les

sociétés American Superconductor et GE Indusrial et installé dans une remorque de

camion [geindustrial]. Ce système, réalisé à partir d’une bobine en NbTi, permet de stocker

3 MJ pour des décharges de 3 MW, pour stabiliser le réseau. En France, les plus gros

prototypes (plusieurs centaines de kJ) ont été réalisés à Grenoble [Bellin 06], au

département MCBT de l'Institut Néel avec l'aide de partenaires comme la DGA et Nexans.

L'application visée est l'alimentation d'un canon électromagnétique à des fins militaires ou civiles.

I.4.4. Les transformateurs

Les supraconducteurs peuvent aussi être utilisés dans des transformateurs en lieu et place

des enroulements classiques en cuivre ou en aluminium permettant des gains intéressants,

en poids et en volume. En effet, les études effectuées ont montré des performances

remarquables de ce type de transformateurs, par rapport à un transformateur conventionnel,

les pertes peuvent diminuer de 30 %, le volume de 50 % et le poids de 70 % [Chen 04]. La société SIEMENS a réalisé et testé avec succès un transformateur de 1 MVA [Leghissa 02].


20

I.4.5. Les machines supraconductrices

Après la découverte des supraconducteurs à haute température critique et le développement

de ces matériaux, une autre période a commencé. Actuellement la quasi-totalité des

machines supraconductrices, réalisées ou étudiées, contiennent des matériaux

supraconducteurs à haute température critique. Les supraconducteurs à basse température

critique sont néanmoins encore très présents, notamment dans le domaine médical pour

réaliser les systèmes d’imagerie à résonance magnétique IRM ou dans le domaine des grands instruments de la physique (accélérateurs de particules, générateurs de fusion…).

A partir de l’année 2000, les machines à base de matériaux supraconducteurs haute

température commence à paraître dans le marché. Une machine de 400 kW a été réalisée

par Siemens, la température de fonctionnement de l’inducteur est de 30 K [Kummeth 05].

Les performances ont montré la validité du concept, et ont conduit à la réalisation d’une

machine à 4 MVA et 3600 tr.min-1 [Neumuller 06]. Même si le rendement de la machine

réalisée n’est pas beaucoup plus important par rapport à celui d’une machine synchrone

classique, 96,8 % contre 96 %, cette machine a pu fonctionner jusqu’à 700 % de sa

capacité nominale contre 130 % seulement pour une machine classique. Une étude de la

pollution en harmonique a permis de déterminer un THD de 0,15 % contre 3 % pour une

machine classique. La machine, en fonctionnement alternateur, a pu produire 600 kW

pendant 15 minutes, ce qui représente un pic de production de 150 % de sa puissance

nominale. Pour le rapport puissance/poids, la machine réalisée est deux fois plus intéressante qu’une machine synchrone non supraconductrice.

Un moteur réalisé par AMSC (American superconductor) est destiné à la propulsion

maritime. L’induit du moteur est en cuivre et sans fer. L’inducteur est en supraconducteur

à haute température critique BSCCO refroidi à 31 K. Le moteur a une puissance de 5 MW,

une vitesse de 230 tr.min-1, une tension aux bornes d’une phase statorique de 2,4 kV et un

courant statorique de 715 A [Snitchler 05]. Les tests ont été effectués pour 4 vitesses entre

60 et 230 tr.min-1. Le courant inducteur relevé en fonctionnement en plein couple et en

pleine vitesse est 3 % plus important que celui relevé pendant l’essai à vide. Les pertes

mesurées à vide sont proportionnelles au carré du courant inducteur. Le test à pleine charge

et à vitesse nominale a été effectué pendant presque 3 heures. La température du bobinage

induit relevée pendant le test est de 90 K. Le moteur a un rendement de 96 %. Cette réalisation est le prototype d’un autre moteur de 36,5 MW.

Les travaux réalisés jusqu’à maintenant ont montré que l’utilisation des supraconducteurs à

haute température critique dans l’inducteur des machines synchrones réduit les dimensions

et le poids de la machine. Cela réduit également les pertes et augmente le rendement de la

machine. Ces machines ont une réactance synchrone faible par rapport à ce qu’on a dans

les machines non supraconductrices ce qui renforce la stabilité du réseau [Malozemoff 02], [Ailam 06].


21

I.4.6. Les aimants permanents supraconducteurs

La propriété remarquable des matériaux supraconducteurs de pouvoir piéger un champ

magnétique, permet de concevoir des aimants permanents supraconducteurs. Un

supraconducteur massif peut être utilisé comme aimant permanent. En refroidissant à

champ nul, un supraconducteur à haute température critique, puis en l’exposant à une

variation rapide du champ magnétique, il va piéger le champ magnétique. Le champ piégé

dans le supraconducteur est lié à des courants induits par la loi de Lenz. Ces courants se

développent comme dans un métal normal, à partir de la surface extérieure, mais

contrairement aux matériaux résistifs, ils ne s’amortissent pas puisque la résistivité est

nulle. Lorsque le champ extérieur diminue, la répartition des courants change pour

s’opposer à cette nouvelle variation et tendre à piéger l’induction. Pour que le

supraconducteur piège efficacement le champ magnétique il faut que le champ extérieur atteigne une valeur appelée champ de pénétration Hp [Braeck 02].

Les aimants permanents supraconducteurs présentent l’avantage de pouvoir fournir des

valeurs de champ magnétique beaucoup plus importantes par rapport à celle fournie par les

aimants permanents conventionnels, surtout à basses température. Des valeurs de champ

piégé de 9 T à 40 K et de 12.5 T à 22 K ont été obtenues pour un aimant YBa2Cu3O7-δ

(Y123) [Gruss 01) et plus récemment la valeur de 17 T à 29 K pour un disque de 2.65 cm

de diamètre [Tomita 03]. Cette propriété des supraconducteurs haute température critique

SHTC peut être exploitée comme source de champ à la place des aimants permanents

conventionnels qui sont limités en valeurs de champ. La réalisation des moteurs

supraconducteurs avec des SHTC massifs comme pôles magnétiques dans une machine

tournante à entrefer axial à l’université des sciences et de technologies marines de Tokyo

[Miki 06] en fait un exemple.

Il existe de nombreux procédés d’aimantation des SHTC, parmi lesquels on peut citer la

‘Magnétisation par champ pulsé’ (MCP) ou le ‘Pulsed field magnetization’ (PFM) en

terminologie anglaise. Ce procédé est souvent utilisé pour l’aimantation puisqu’il permet

d’atteindre des valeurs de champ magnétique piégé très élevées et ainsi des forces de

lévitation aimant-supra très importantes. Ce procédé est considéré comme la méthode la

plus commode et prometteuse [Braeck 02]. Une valeur maximale du champ magnétique

piégé peut être atteinte par une valeur de champ appliqué Bm= Bopt dite valeur optimale. Au

delà de cette valeur, le champ magnétique piégé dans les SHTC diminue [Mizutani 00]. Ce

comportement des SHTC est dû aux mouvements des vortex durant le processus

d’activation par MCP impliquant une dissipation de chaleur qui est accompagnée par une

élévation importante de température. Cette augmentation de température conduit à une

diminution de la densité de courant critique et par la suite à celle également de l’induction

piégée. D'autres techniques ont été proposées dans le but d’augmenter la valeur du champ

magnétique piégé, en particulier, celles basées sur l’application des impulsions multiples de champ [Sander 02].

Récemment une nouvelle technique à été proposé dans le but d'augmenter la valeur du

champ magnétique piégé dans les SHTC durant le processus d’activation par MCP


22

[Alloui 09]. Cette technique consiste à créer des canaux de refroidissements dans le

matériau SHTC refroidis par le liquide cryogénique, ainsi, on renforce le transfert de

chaleur par convection entre la pastille supraconductrice et le milieu extérieur. Cette

technique est alors accompagnée par une diminution de la température à l’intérieur du

SHTC, conduisant à une amélioration des performances électromagnétiques du

supraconducteur. Les résultats de simulations de cette technique seront largement présentés au chapitre IV.

I.4.7. Lévitation et paliers magnétiques

Les supraconducteurs de type II peuvent être utilisés pour réaliser la sustentation

magnétique d’objets de masse éventuellement très élevée. L’une des applications la plus

importante et la plus prometteuse dans ce domaine est la réalisation des trains à lévitation

magnétique ou train Maglev (Magnetic Levitation) [Teranishi 02]. Le Maglev est équipé

des boucles de matériaux supraconducteurs qui lui permettent de léviter sous l’action des

aimants placés sur la voie. Le train ne touche donc pas les rails : il reste suspendu à

quelques centimètres du sol. Ce dispositif présente de nombreux avantages [Song 06], la

plupart étant liée à l’absence de contact avec le sol : grande vitesse où bien très grande

vitesse (le train expérimental Japonais Yamanashi a pu atteindre la vitesse de 580 Km/h),

sécurité (car le train ne peut, dans aucun cas, quitter sont rail), véhicule peu bruyant (en

raison de l’absence de bruits de frottement et de roulement), consommation d’énergie réduite grâce aux supraconducteurs et enfin une maintenance réduite.

La lévitation magnétique peut être aussi mise en œuvre dans des dispositifs afin de réaliser

des paliers et des suspensions magnétiques [FOU 00]. Le principe des paliers magnétiques

est basé sur des interactions magnétiques. Ces interactions peuvent être générées par des

électroaimants dans le cas des paliers actifs, ou par des aimants permanents dans le cas des

paliers passifs. Ces derniers (paliers passifs) ne demandent pas de source d’énergie

contrairement à leurs homologues actifs, Cette absence de source d'énergie extérieure pour faire fonctionner le dispositif est très intéressante en terme de pertes et de fiabilité.

Le théorème d'Earnshaw nous démontre qu'une suspension magnétique classique ne peut

être entièrement passive sans la présence d’un matériau diamagnétique : un degré de liberté

au minimum doit être contrôlé par un électroaimant dont le courant est asservi à la

position. Cette obligation introduit des pertes (électroaimant et électronique) et des problèmes de sécurité et de fiabilité.

Les matériaux supraconducteurs par leur propriété diamagnétique sont les seuls matériaux

qui permettent des suspensions magnétiques performantes entièrement passives et

naturellement stables (paliers passifs). L’effet Meissner (Effet diamagnétique) des

matériaux supraconducteurs entraine le phénomène de la lévitation magnétique, cependant,

les supraconducteurs de type II permettent une lévitation nettement meilleure par rapport

aux supraconducteurs de type I. La lévitation d’un supraconducteur de type I, n’est pas très

performante. Elle est instable latéralement et seul une géométrie bien adaptée permet son


23

stabilisation, alors que dans le cas des supraconducteurs de type II, l’état intermédiaire,

essentiellement responsable pour la stabilité transversale du système, caractérisé par

l’apparition des vortex ancrés qui agissent comme des ressorts de rappel. En effet, toute

variation du champ magnétique appliqué entraîne un mouvement dissipatif des vortex et

les pertes hystérétiques associées donnent naissances à des forces de rappel verticales ou

latérales assurant ainsi, la stabilité du système en lévitation.

Les suspensions magnétiques avec supraconducteurs peuvent être de deux types : simple

ou hybride [Fou 00]. Dans le cas des structures simples, toutes les forces (verticales et

transversales) sont générées par interaction aimant permanent-supraconducteurs mais les

performances en lévitation sont limitées. La configuration hybride est constituée par une

judicieuse association de paliers à aimants permanents et de paliers supraconducteurs dont

le rôle est en outre de stabiliser les premiers. Les performances en lévitation, dans le cas de la structure hybride, sont meilleures.

Même si les performances de la structure hybrides sont meilleures grâce à l’interaction

aimant-aimant, nous nous concentrons dans notre étude sur l’interaction aimant-

supraconducteurs, c'est-à-dire on s’intéresse plus à la structure simple. Les résultats de

notre étude seront largement présentés au chapitre IV.

Il faut rappeler qu’il existe aujourd'hui diverses possibilités de stocker l'énergie : chimique

(batterie), magnétique (SMES), ..., il en est une qui s'applique particulièrement bien aux

suspensions magnétiques supraconductrices : le stockage inertiel. Il s'agit là, de convertir

l'énergie électrique sous forme cinétique pour ensuite, lorsque le besoin s'en fait ressentir,

effectuer la transformation inverse.

Fig. I.7. Volant d’inertie

Moteur débrayable

Volant d’inertie

Supraconducteur

Ω


24

On imagine alors un volant d'inertie (Fig.I.7) entraîné par une machine électrique

réversible fonctionnant dans un premier temps, en moteur pour fournir l'énergie à la masse

inertielle. Le système d'entraînement désaccouplé, le volant d'inertie conserve cette énergie

dans sa rotation avant de la redistribuer à la machine électrique fonctionnant désormais en

génératrice. Notons au passage, que ces volants d'inertie, outre leur capacité de stockage

importante, sont aussi utilisés pour la stabilisation des satellites (effet gyroscopique). La

suspension magnétique supraconductrice doit alors posséder de bonnes performances

verticales (masse à léviter) mais aussi radiales lors du fonctionnement en régime

dynamique à très haute vitesse. Cependant, l’intérêt d’un tel système est à nuancer à cause

des basses températures nécessaires. Des environnements particuliers peuvent réduire

sensiblement les quelques contraintes imposées par le supraconducteurs (température

critique) : présence d’un système cryogénique déjà implanté ou température environnante naturellement basse (exemple : l’espace pour les satellites).

Chapitre II.

MODELISATION DES MATERIAUX SUPRACONDUCTEURS DE TYPE II

II.1. Introduction 25

II.2. Les modèles considérés 26

II.2.1. Equations de Maxwell 26

II.2.2. Modèles de supraconducteurs 28

II.2.2.1. Dépendance en température de Jc et n 31

II.2.2.2. Dépendance en champ magnétique Jc 31

II.2.3. Problème électromagnétique et formulation en potentiels A-V 32

II.2.4. Problème thermique 35

II.3. Méthodes numériques de discrétisation 36

II.3.1. Principales méthodes existantes 36

II.3.2. La méthode des volumes finis MVF 37

Chapitre II. Modélisation des matériaux supraconducteurs de type II

25

Ce chapitre est consacré à l’étude du comportement électromagnétique et thermique des

supraconducteurs afin de le retranscrire dans un langage mathématique point de départ de la

modélisation. L’étude ne prendra en compte que les supraconducteurs de type II. Ce chapitre

décrit aussi la loi de comportement choisie pour décrire le phénomène de la

supraconductivité, qui ne peut être représenté par la loi d’Ohm. A la fin de ce chapitre, les

diverses méthodes numériques utilisées pour la discrétisation des équations aux dérivées

partielles, caractéristiques des phénomènes physiques à traiter sont présentées. En

particulier, la méthode des volumes finis adoptée comme méthode de discrétisation des équations aux dérivées partielles.

II.1. Introduction

Comme présenté précédemment, les supraconducteurs haute température critique (SHTC), qui

sont souvent des supraconducteurs type II, ont des propriétés fondamentales très intéressantes.

Leur utilisation dans le domaine du génie électrique ne cesse d’augmenter. L’optimisation des

ces dispositifs nécessite de connaître leurs comportement électromagnétique et thermique. On

s’intéresse alors au développement, d’un modèle macroscopique qui permet d’obtenir les

grandeurs locales comme la répartition des champs magnétiques ou la répartition des champs thermiques, ainsi que les grandeurs globales tels que les pertes ou les forces magnétiques.

Le calcul numérique nous permettrait d’étudier dans un premier temps la faisabilité du

dispositif. Le calcul des pertes, est un élément important. Même c’est si pertes sont

relativement faibles, il convient de les évaluer avec précision. En effet, les pertes doivent être

extraites du supraconducteur. Ce dernier ne fonctionnant qu’à très basses températures,

l’extraction est très couteuse sur le plan énergétique. De plus, si les pertes sont mal évacuées,

elles conduisent à des augmentations de température au sein de la matière. Ces échauffements

locaux peuvent conduire à la disparition des phénomènes de la supraconductivité. Il convient

donc d’évaluer ces pertes, et par conséquent la température, si l’on veut s’assurer du maintien

de la température en dessous de la température critique Tc. D’autre part, si on veut calculer les

grandeurs magnétiques avec précision, il est important d’évaluer la température au sein du

matériau vu la dépendance en température des divers paramètres, magnétiques et thermiques,

caractéristiques au matériau supraconducteur de type II, tels que, la densité de courant critique

Jc, la conductivité électrique apparente du matériau supraconducteur σ et la chaleur spécifique Cp du matériau.

A titre d’exemple, dans le domaine de paliers magnétiques supraconducteurs, une

modélisation des dispositifs supraconducteurs nous permet de déterminer des géométries

adaptées pour, par exemple, optimiser une force qui est un paramètre très important pour

connaître la portance du dispositif. Dans ce cas, il est nécessaire aussi de prendre en compte

l’effet thermique sur le comportement magnétique des matériaux supraconducteurs car l’effet

thermique ne peut être négligé dans l’étude de la dynamique d’un système en lévitation

magnétique [Alloui 09a].

Il est nécessaire alors de présenter un modèle qui permet de décrire les phénomènes,

magnétiques et thermiques couplés, dans les matériaux supraconducteurs de type II. Un


26

problème type de modélisation peut être schématisé par un système (Fig.II.1) composé de

l’air, de matériau magnétique, d’un matériau supraconducteur de type II non linéaire et de

source de champ. La non-linéarité du matériau supraconducteur sera représentée par la conductivité électrique apparente σ du matériau supraconducteur.

Fig.II.1. Problème type à SHTC

II.2. Les modèles considérés

II.2.1. Equations de Maxwell

C’est J. C. Maxwell (1831-1879), qui apporta à l’étude de l’électromagnétisme la puissance

d’un formalisme mathématique, précisant les notions qualitatives introduites par Faraday. Il

parvint à établir le groupe d’équations qui portent son nom, et qui constituent toujours la base de nos connaissances théoriques de l’électromagnétisme.

Ces équations sont décrites par un ensemble de quatre équations qu’à basse fréquence peuvent s’écrire :

t

BE (II.1)

t

DJH c

(II.2)

0 B (II.3)

D (II.4)

avec :

H : Champ magnétique (A/m)

B : Induction magnétique (T)

E : Champ électrique (V/m)

Jc : Densité de courant de conduction (A/m2)

D : Induction électrique (C/m2)

Air

Source

Supraconducteur, J, T)

a

as


27

Le terme t

D dans l’équation (II.2) exprime la densité des courants de déplacement. Pour le

cas des basses fréquences, ce terme peut être négligé. Avec cette hypothèse, l’équation de

conservation est déduite par :

0 cJ (II.5)

Dans les équations (II.2) et (II.5), le terme source Jc qui représente la densité de courant de

conduction (A/m2), inclut deux parties essentielles, la partie source (ou inducteur) Js qui est

due, par exemple, à la présence d’un aimant permanent dans le cas de la lévitation

magnétique, ou d’un enroulement inducteur dans le cas de l’aimantation des pastilles

supraconductrices, et la partie induite J qui est due dans notre étude à la présence du matériau SHTC, ainsi on peut décomposer la densité de courant Jc en deux termes sous la forme :

JJsJc (II.6)

Afin de calculer l’évolution des champs électriques et magnétiques, les lois constitutives et

qui sont caractéristiques des milieux considérés doivent être ajoutées, ces relations sont données par :

HB μ (II.7)

EJ σ (II.8)

Les coefficients μ et σ sont respectivement, la perméabilité magnétique et la conductivité

électrique. Dans un problème de modélisation, ces coefficients doivent être définis dans les

différentes zones du domaine considéré (Fig.II.1). Dans l’air, par exemple, ces coefficients

valent respectivement (μ0, 0). Souvent, dans les matériaux linéaires, ces coefficients sont des

scalaires constants. Ils dépendent dans des cas particuliers de l’intensité des champs

appliqués. Dans le cas de notre travail, vu la présence du matériau supraconducteur, le

problème devient fortement non-linéaire, cette non-linéarité est due au caractère des

propriétés électrique et thermique du matériau SHTC, essentiellement à la conductivité

électrique apparente σ définie par le rapport entre la densité de courant J et le champ

électriques E [Yoshida 94], [Zheng 05] et [Enomoto 05]. Plusieurs modèles ont été proposés

pour décrire la relation E-J des matériaux SHTC, nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe suivant.

Concernant la valeur de la perméabilité magnétique du SHTC, elle dépend de l’état du

matériau. Dans le cas où le matériau se retrouve dans un état dit supraconducteur, caractérisé

par la faible valeur du champ critique Hc1 (les valeurs des inductions magnétique critique Bc1

et Bc2, pour le YBCO, sont respectivement 25 mT et 150 T à 77 K [Buzon 02]), Dans ce cas,

la valeur de la perméabilité magnétique μ doit traduire l’effet diamagnétique parfait du

matériau SHTC, elle est prise inférieur à celle de l’air (généralement de l’ordre de 410-10

[Hiebel 92]). Mais dans les applications du génie électrique, telle que la lévitation

magnétique, le matériau SHTC est dans un état intermédiaire (le champ magnétique appliqué

à la surface du matériau est supérieur au champ critique Hc1). Dans cet état, le matériau

SHTC est caractérisé par une pénétration partielle du champ magnétique à travers les vortex


28

(état intermédiaire), généralement pour modéliser ce comportement du matériau, la valeur de

la perméabilité μ est prise égale à celle du vide μ0, c'est-à-dire une perméabilité magnétique relative égale à l’unité [Alonso 04].

II.2.2. Modèles de supraconducteurs

Plusieurs modèles excitent pour décrire la relation qui lie la densité de courant J et le champ

électrique E dans un matériau supraconducteur. Le modèle macroscopique le plus utilisé est le

modèle de l’état critique, appelé aussi modèle de Bean [Bean 62]. C’est le modèle le plus

classique qui stipule qu’à une température donnée la densité de courant dans un

supraconducteur est soit nulle ou soit égale à la densité de courant critique Jc (Fig II.2.a). Le supraconducteur est considéré comme non magnétique.

si E = 0 alors |J| ≤ Jc

si E ≠0 alors E

JcE

BJ )( (II.9)

En remplaçant l’expression de J dans (II.2) nous obtenons dans le matériau supraconducteur:

cμ0 JB ou 0 B (II.10)

Le modèle de Bean suppose, en plus, que la densité de courant critique est indépendante de la

valeur de l’induction magnétique B. Ce modèle a l’avantage d’être assez simple

mathématiquement. Il a permis d’avoir des expressions analytiques et d’étudier les grandeurs

importantes dans les matériaux supraconducteurs, comme par exemple, les pertes dans des géométries simples [Douine 00], [Douine 08].

Fig.II.2. Modèle de Bean et son approximation

a- Modèle de Bean b- Modèle de Bean Modifié

0 Ec

Jc Jc

0 En Ec

σf

J J

E E


29

Cependant la discontinuité de ce modèle le rend peu utilisable pour des développements

numériques, cela est dû à la relation non fonctionnelle qui lie E et J (graphe non fonctionnel

présenté dans la figure II.2.a. Grâce à la modification du modèle (FigII.2.b), proposée par

Bossavit [Bossavit 93]. Ce modèle a pu être exploité par la suite pour la modélisation des

problèmes bidimensionnels [Maslouh 98] et [Fou 00]. Cependant, le modèle de Bean modifié

présente l’inconvénient de ne pas pouvoir être utilisé simplement pour la modélisation

tridimensionnelle des matériaux SHTC d’une part, d’autre part, ce modèle ne reflète pas

toujours de façon satisfaisante le comportement des SHTC, de plus, il ne prend pas en compte

l’effet thermique sur le comportement des SHTC. Pour cela nous avons fait appel à d’autres

modèles plus généraux qui prennent en compte les effets thermiques et qui sont déduits

principalement aux effets du déplacement et d’ancrage des vortex. Lorsqu’un courant de

transport circule dans un supraconducteur dans l’état mixte, un réseau de vortex se déplace

par rapport à sa position d’équilibre. Ce réseau de vortex est dû au champ propre créé par le

courant de circulation. Le champ magnétique canalisé par ces vortex est perpendiculaire à la

direction du courant. Le courant électrique est à l’origine d’une force qui s’applique à tout vortex. Cette force s’exprime sous une forme de type ‘force de Lorentz’ :

0Φ J F (II.11)

0 : vecteur de flux magnétique canalisé par un vortex,

J : densité de courant de transport.

En l’absence de défauts dans le matériau, cette force mettrait immédiatement les vortex en

mouvement, par conséquent un travail est fourni et des pertes sont générées donnant naissance

à un champ électrique. Cependant en pratique, il existe toujours un certain nombre de défauts

dans le matériau. La présence de défauts au sein du matériau permet l’ancrage des vortex et la

disparition de ces pertes. Les défauts sont constitués de zones normales ou de zones pour

lesquelles la supraconductivité est affaiblie.

La force moyenne de réaction exercée par les défauts sur un vortex est appelée force

d’ancrage ou force de Pinning Fp. Un réseau de vortex restera stable (sans dissipation

d’énergie) si F<Fp, dans ce cas les vortex ne peuvent pas se mettre en mouvement et on parle

d’ancrage des vortex ou flux pinning. Par contre, si F>Fp, les défauts ne peuvent plus à eux

seuls maintenir les vortex en place et ceux-ci se mettent en mouvement. La densité de courant requise pour atteindre l’équilibre F = Fp est appelée densité de courant critique et notée Jc.

Les mécanismes intervenant lors du dépiégeage des vortex d’un supraconducteur HTC sont de

nature avalancheuse et donc très complexes à caractériser. Cependant, le formalisme décrit

bien avant l’apparition des SHTC par Anderson et Kim [Anderson 62], [Anderson 64] nommé

‘théorie de flux Creep’ permet d’avoir une vision assez claire des différents régimes

susceptibles d’exister durant la transition de nos matériaux. A partir de cette théorie, et en

comparant l’énergie volumique d’un ensemble de vortex avec la force de Lorentz et en

supposant que le décrochage des vortex est thermiquement activé, on arrive à estimer la

probabilité de dépiégeage des vortex et enfin le champ électrique généré par le déplacement

des vortex, ce denier est donné par la relation :


30

Tk

U

JTk

Usinh

bb .expE 0

0

0

J (II.12)

(J est la densité de courant, J0 est la densité de courant critique à 0 K et U0 est l’énergie de piégeage).

A partir de cette formulation et en réalisant un développement limité, on peut distinguer deux

régimes différents :

Le premier, appelé régime TAFF ‘thermally activated flux flow’, caractérisé par des

faibles densités de courant (J << J0). En réalisant un développement limité de la

relation (II.12) pour des faibles valeurs de J, on obtient une évolution linéaire du

champ électrique en fonction de la densité de courant. Ce régime est caractérisé alors,

par une résistivité constante. Ce régime peut être rencontré dans des supraconducteurs

HTC et à température élevée [Kes 89]

Le deuxième régime nommé FC ‘Flux Creep’, dans ce régime on considère que J est

grand devant kbT. Tenant compte de cette considération et en réalisant un

développement limité de la relation (II.12), on peut déduire la résistivité du supraconducteur qui varie, dans ce cas, de façon exponentielle [Brandt 90]:

kT

U 1

J

Jexpαρ 0

0

(II.13)

Cette dernière relation constitue la loi générale du régime de flux creep. Elle a été obtenue en

supposons que l’énergie d’activation est liée à la densité de courant par une relation du type :

U(J) = U0 (1-J/J0). Cependant, l’expérience à montrer que l’énergie d’activation suit en

général dans les SHTC une loi logarithmique (U(J) = U0 lm (J0/J)) [Zeldov 89],

[Sengupta 93]. En remplaçant l’énergie d’activation donnée par ce dernier terme dans (II.13)

nous obtenons finalement la caractéristique électrique E(J) des SHTC dans le régime flux

creep, proposée par Rhyner [Rhyner 93] :

JJc(T)

EcT),(

n(T)JJ

JE (II.14)

La relation qui lie le champ électrique E à la densité de courant J dans les SHTC est

gouvernée alors par une loi de type de puissance avec n(T) = U0(T) / (kbT). Le modèle en

puissance E-J est très rependu dans la littérature (en le trouve presque dans tout les travaux de

modélisation des SHTC). Il faut rappeler que dans le cas des applications du génie électrique,

les matériaux supraconducteurs utilisés sont caractérisés par des densités de courant critique

Jc élevées, alors il s’agit du régime flux creep. Dans ce cas, on a tendance à utiliser ce modèle

qui décrit bien ce régime, d’ailleurs c’est la confrontation de ce modèle avec des relevés

expérimentaux de la caractéristique E-J des SHTC qui a confirmé l’exactitude de ce modèle.

De plus, ce modèle peut prendre en compte l’effet thermique sur le comportement magnétique

des SHTC par la dépendance en température de diverses grandeurs caractéristiques du SHTC, tels que, la densité de courant critique Jc et l’exposant en puissance n.


31

II.2.2.1. Dépendance en température de Jc et n

Le modèle en loi de puissance cité précédemment caractérise l’évolution du champ électrique

en fonction de la densité de courant tant que le matériau est dans un état peu dissipatif (état

intermédiaire). Dans cet état, le supraconducteur peut engendrer des échauffements

thermiques non négligeables et une dégradation de ces performances. Par conséquent, il est

important d’introduire un modèle décrivant la dépendance expérimentale de Jc et n avec la

température.

Pour décrire cette dépendance, plusieurs modèles ont été proposés. Le modèle le plus

classique est le modèle issu de la théorie de Ginsburg-landau, dans ce modèle, la densité de

courant critique est décrite comme étant proportionnelle à (1-T/Tc)3/2. Ce modèle a été utilisé dans certains travaux de modélisation (par exemple [Kasal 08]).

D’autres auteurs parviennent à décrire cette dépendance de façon à adapter au mieux la

fonction Jc(T) aux données expérimentales. Par exemple, Yamashita et Gunther [Gunther 92],

trouvent que la courbe expérimentale qui décrit l’évolution du courant critique en fonction de

la température d’un supraconducteur YBaCuo au voisinage de Tc se superpose avec une courbe représentative de la fonction (1-T/Tc)2.

Concernant le modèle utilisé dans notre travail, nous avons choisi l’expression générale

suivante (II.15) pour modéliser la dépendance en température de la densité de courant critique

Jc, cette expression est très répandue dans la littérature, en particulier, dans les travaux de modélisation des matériaux SHTC [Braeck 02], [He 04], [Berger 05] :

Tc

T1

Tc

T1

JcJc(T)0

T

0 pour T0≤T≤Tc (II.15)

où α est un paramètre permettant d’adapter la fonction aux données expérimentales, Tc est la

température critique du SHTC, T0 est la température de l’enceinte cryogénique et JcT0 est la

valeur de la densité de courant critique obtenue pour T = T0.

La dépendance en température de n a été donnée précédemment (§ II.2.2), elle s’écrit :

Tk

UTn

b

0)( (II.16)

II.2.2.2. Dépendance en champ magnétique de Jc

Dans les matériaux SHTC, la diminution de Jc avec B est significative même pour des valeurs

modérées de champ magnétique. Pour prendre en compte cette effet dans notre étude, c'est-à-

dire, décrire la dépendance de Jc en champ magnétique B, nous avons fait appel au modèle proposé par Kim [Kim 62] :


32

0

0

1

)(

B

B

JcBJc B (II.17)

où B est le module de l’induction magnétique, B0 est une constante et JcB0 est la densité de

courant critique sous champ nul. Ce modèle basé sur des données expérimentales, fut

interprété par P. Anderson en terme de régime TAFC [Anderson 62], de sorte qu’on le connaît

sous l’appellation du modèle de Kim-Anderson. Ce modèle est très utilisé pour décrire la

dépendance en champ magnétique B du courant critique Jc [Fou 00], [Maslouh 98], [Alonso 04], [He 04].

II.2.3. Problème électromagnétique et formulation en potentiels A-V

Pour résoudre les équations de Maxwell dans le domaine simulé, présenté dans la figure II.1,

et calculer les variables électromagnétiques souhaitées, plusieurs formulations ont été

développées. Les principales formulations rencontrées sont : la formulation électrique en E,

A, A-V et la formulation magnétique en T-. Dans le cas des problèmes bidimensionnels, on

trouve principalement les formulations électriques. La formulation en A est la formulation la

plus classique et la plus utilisée en électromagnétisme en présence des supraconducteurs. Elle

présente l’avantage, par rapport aux autres formulations, de pouvoir être couplé facilement

avec les équations de circuit dans le calcul des pertes des conducteurs supraconducteurs

massifs [Vinot 02], les deux formulations A et E présentent, l’avantage d’avoir en 2D une

seule composante dans chaque nœud du maillage ce qui amène à réduire considérablement le

temps de calcul et les tailles des matrices à résoudre, ces deux formulations sont les plus

utilisées dans la modélisation bidimensionnelle des matériaux SHTC [Elbuken 07], [Ruiz 04], [Sykulski 97], [Zheng 06], [Maslouh 98].

La formulation en T- qui s’écrit de façon quasi identique en 2D et en 3D, présente

l’avantages [Klutsch 03], d’assurer la convergence du processus itératif y compris pour des

grandes valeurs de n (par exemple n = 500, n est le terme en puissance de la loi E-J). Elle

conduit à un nombre d’itérations plus faible par rapport à la formulation en A ou en E, cela a

été justifié par le fait que cette formulation utilise la loi J(E) au lieu de la loi E(J). Cependant,

cette formulation présente l’inconvénient d’occuper une grande place de mémoire vu les

tailles des matrices à résoudre et par conséquent un temps de calcul plus important (trois

variables à déterminer dans chaque nœud du maillage). Cette formulation n’est pas très utilisée dans la modélisation bidimensionnelle.

Pour la modélisation tridimensionnelle dans le domaine simulé, présenté dans la figure II.1,

les principales formulations rencontrées sont T- et A-V [Hashizume 96], [Meunier 02],

[Joo 07]. Dans ce travail de thèse, nous avons fait appel à la formulation la plus générale,

c'est-à-dire à la formulation A-V, utilisée aussi par plusieurs auteurs, comme par exemple,

[Fujioka 96], [Alonso 04] et plus récemment par Bird [Bird 08]. Certains reportent

l’inconvénient de cette formulation dans le cas 3D, par le nombre élevé des inconnues (quatre

variables d’état dans A- V au lieu de trois variables dans T-). A nos jours, avec les progrès


33

des calculateurs (vitesse, mémoires …) ce problème n’est plus crucial. Un autre problème qui

a été posé pour cette formulation, est sa difficulté de convergence dans certains cas,

notamment pour les grandes valeurs de n (pour n = 500 par exemple [Klutsch 03]). Ce

problème à notre avis, ne devrait pas être posé, puisque dans les applications du SHTC, ces

matériaux sont exploités dans le régime flux creep. Dans ce régime, le terme en puissance n

varie dans un intervalle de 15 à 40 [Kasal 07]. Il faut noter aussi que dans l’ensemble des

travaux cités ci-dessus, c’est la méthode des éléments finis MEF qui a été employée comme

méthode de discrétisation des équations aux dérivées partielles. A notre connaissance, c’est la

première fois que la méthode des volumes finis est utilisée pour la modélisation des SHTC.

Nous tenons à signaler que nous n’avons pas rencontrer de problème de convergence, même

pour des valeurs importantes de n, nous pensons alors, que la méthode des éléments finis est à

l’origine des problèmes de convergence dans le cas où le terme en puissance n prend des valeurs grandes [Kameni 09].

La formulation A-V est obtenue par la combinaison du système d’équation de Maxwell cité

précédemment. La variable d’état A est exprimée en fonction de l’induction magnétique B par la relation suivante :

AB (II.18)

A partir de cette relation, le terme B dans (II.2) sera remplacé par A et nous obtenons :

0

t

AE (II.19)

Cette relation nous permet l’introduction du potentiel scalaire électrique V, tel que :

Vt

AE (II.20)

Combinant les équations (II.2), (II.6), (II.7), (II.18) et (II.20) nous obtenons :

sVt

σ JA

A

(II.21)

En considérant la loi de conservation (II.5), on trouve comme deuxième équation :

0

V

tσ

A (II.22)

Le système d’équations (II.21) et (II.22) constitue la formulation en potentiels A-V :

0

Vt

σ

Vt

σ s

A

JA

A

(II.23)


34

La résolution du système (II.23) nécessite la connaissance des conditions aux limites relatives

au domaine d’étude. Une condition aux limites usuelle est d’imposer un champ magnétique normal nul à la surface extérieure , dans le calcul, on impose alors :

0 An sur (II.24)

Cette condition est dite condition de type Dirichlet. En présence d’un plan de symétrie, une

autre condition dite de Newman peut être utilisée :

0A)(n sur s (II.25)

où s est le plan de symétrie de vecteur unitaire normal n (Fig.I.2).

s

n

Fig.II.3. Schématisation d’un plan de symétrie

Afin de compléter la formulation II.23, une jauge doit être introduite, en effet, le problème

d’unicité de la solution se pose ; on remarque que si le couple (A, V) est une solution de

(II.23), il existe alors une infinité de solutions donnée par ( A ). En remplaçant ces

derniers dans (II.23), le système reste inchangé. Afin de rendre la solution unique et

d’améliorer le processus de convergence, nous avons fait appel a la jauge de Coulomb, cette

jauge est la plus utilisée [Tsuchimoto 94], [Alonso 04] et [Bird 08]. Cette jauge est introduite dans la formulation à travers un terme dit de pénalité donné par :

A p (II.26)

Cela est démontré aussi par Biro dans [Biro 89]. Afin d’avoir une meilleure approximation du

potentiel, le paramètre ajouté p est remplacé par la reluctivité du domaine [Fetzer 96].

Finalement, nous obtenons la formulation A-V jaugée qui permet de résoudre le problème magnétique dans un dispositif comportant des supraconducteurs à haute température critique :

0V)t

T)(,σ(.

V)t

T)(,σ()(ν)(ν

A

JA

AA s

E

E

(II.27)


35

Dans le système d’équations (II.27), la conductivité électrique apparente σ du SHTC est

définie par le rapport de J sur E [Yoshida 94] et [Fujioka 96], ce rapport est déduit à partir de la caractéristique E-J du SHTC donnée par la relation (II.14) :

1n(T)

1

Ec

E

Ec

Jc(T)

E

Jσ(E,T)

(II.28)

Il faut noter que la non linéarité de la loi J(E) demande l’utilisation des méthodes de

résolution non-linéaire ou pas à pas dans le temps. Un inconvénient de la loi en puissance est

le fait que ∂J/∂E tend vers l’infini quand le champ électrique est nul, ce qui rend la

programmation de cette loi difficile en particulier pour la valeur E = 0. Pour remédier à cet

inconvénient, cette loi a été légèrement modifiée. On a introduit une relation linéaire pour les

faibles valeurs de E en rajoutant une conductivité électrique, σ0 suffisamment élevée

(généralement supérieur à 100.(Jc/Ec) [Nibbio 99]). Dans notre travail nous avons utilisée la

valeur de σ0 = 1014 pour ne pas modifier les résultats de simulation [Nibbio 99], [Klutsch 03]. La loi complète du comportement est alors sous la forme :

E

J(E)0

0

),(

),(

TE

TE avec

1)(

1

)(),(

Tn

Ec

E

Ec

TJc

E

JTE (II.29)

La résolution du système d’équations (II.27), en tenant compte de l’expression de la

conductivité électrique apparente σ du SHTC donnée par (II.29), nous permet de déterminer

les diverses grandeurs magnétiques, locales (comme par exemple, la répartition des champs

magnétiques) ou globales (tel que les pertes engendrées). Cependant, vu la dépendance des

paramètres caractéristiques du SHTC en température, en particulier, Jc et n. Il peut être

nécessaire de résoudre le problème thermique. Dans les SHTC et pour la résolution du

problème thermique, on a fait appel à l’équation de diffusion de la chaleur [Berger 05], [Braeck 02], [He 04].

II.2.4. Problème thermique

Les phénomènes thermiques, qui existent lorsqu’un courant et/ou un champ magnétique sont appliqués au SHTC, sont régis par l’équation de diffusion de la chaleur :

WTTκ.t

T(T)ρC p

)( (II.30)

où λ(T), ρ, Cp(T) sont respectivement la conductivité thermique en (W/K/m), la masse

volumique en (Kg/m3) et la chaleur spécifique du matériau en (J/K/Kg), W est une puissance volumique en (W/m3).

L’expression de l’ensemble des pertes dissipées dans le supraconducteur est donnée par :

W = E.J (II.31)


36

La résolution de l’équation (II.30) permet de connaître la répartition de la température en tout

point du supraconducteur. Cependant il est nécessaire d’introduire les équations qui traduisent

les échanges thermiques entre le supraconducteur et le fluide cryogénique qui sont considérés

comme étant dus essentiellement à la convection. Ainsi sur la frontière du supraconducteur

Γs (Fig.II.1), l’équation à résoudre est donnée par :

)Th(TT.nκ(T) oas (II.32)

où h est le coefficient de convection du fluide cryogénique exprimé en W/K/m2 et T0 est la

température de ce même fluide. Partout en dehors du supraconducteur, on considère que la

température est constante et égale à la température du fluide cryogénique T0 (généralement celle de l’azote liquide) :

T = T0 dans Ωa (II.33)

Ainsi, le système d’équations, qui traduit les comportements magnétiques et thermiques, à

résoudre comporte autant d’équations que d’inconnues, il faut toutefois lui adjoindre les

conditions initiales qui, lorsque le matériau est initialement vierge et complètement refroidi,

s’écrivent :

A = 0, V = 0, T =T0 (II.34)

Notons que la valeur des potentiels A et V sont considérées nulles dans le cas d’un

refroidissement hors champ magnétique. C'est-à-dire aucune source de champ n’est présente

durant le processus de refroidissement. Dans ce travail de thèse, nous avons présenté quelques

résultats de simulation où on a considéré que le matériau supraconducteur est refroidi sous

champ, c'est-à-dire, on suppose que la source de champ est présente durant le processus de

refroidissement. Dans ces conditions, la valeur initiale des potentiels magnétiques est celle résultant de la présence de la source.

II.3. Méthodes numériques de discrétisation

II.3.1. Principales méthodes existantes

L’utilisation des méthodes numériques permet de remplacer un problème continu défini par

un modèle mathématique souvent différentiel par un problème discret sous une forme

algébrique. Dans les formulations issues de la physique de l’électrotechnique on peut citer les

méthodes : différences finies (MDF), éléments finis (MEF) et intégrales de frontières (MIF).

L’application de ces méthodes requiert la discrétisation du problème, c'est-à-dire que le

domaine d’étude s’appuie sur un maillage. Substituer les opérateurs différentiels dans les EDP

en chaque point du maillage donne un système d’équations qui peut être résolu algébriquement. Ainsi les quantités physiques peuvent être calculées localement.

La MDF est bien adaptée à la modélisation des matériaux ayant des propriétés non linéaires,

ce qui est la cas dans les SHTC, elle est simple à formuler et peut aisément être étendue à des

problèmes à deux ou trois dimensions. En outre, la MDF est relativement facile à comprendre


37

et à implanter pour résoudre les EDP rencontrées dans des problèmes à géométries simples.

L’inconvénient principal de cette méthode semble être son incapacité à manipuler

efficacement la solution de problèmes à géométries complexes, arbitrairement formés. En

effet, les difficultés d’interpolation entre les frontières et les points intérieurs nuisent au

développement d’expressions en différences finies des nœuds proches des frontières. Pour

cette raison, cette méthode a été utilisée, que pour la modélisation des problèmes

monodimensionnels ou bidimensionnels axisymétriques des SHTC, en particulier, dans le calcul des pertes et l’étude de la lévitation magnétique [Fou 00], [Sykulski 97], [Berger 05].

La MEF est considérée comme la méthode la plus performante et la plus puissante, très

utilisée dans la modélisation, bidimensionnelle et tridimensionnelle, des matériaux SHTC

[Tsuchimoto 94], [Gou 07], [Shiriaichi 03]. Cette méthode offre l’avantage de pouvoir être

utilisée, en particulier, pour la modélisation des problèmes ayant des géométries complexes et

ne sont donc limités à l’usage de maillages réguliers de types différences finis. La MEF est en

principe conçu pour pallier ce genre d’inconvénient mais elle ne constitue pas nécessairement

la panacée pour toutes les applications, notamment à cause de sa relative complexité en ce qui

concerne son contexte mathématique d’utilisation, son implémentation et la gestion

informatique. C’est pourquoi nous sommes lancés dans le développement d’une autre

méthode numérique, plus simple à concevoir que la MEF et qui offre les avantages de cette

méthode, surtout sa capacité à modéliser les géométries complexes. Il s’agit de la méthode des

volumes finis MVF qui fait l’objet de ce travail de thèse. A notre connaissance, la MVF n’a jamais été utilisée dans la modélisation des SHTC.

II.3.2. La méthode des volumes finis

La MVF a connu un essor considérable non seulement pour la modélisation en mécanique des

fluides, mais aussi pour la modélisation d’autres branches de l’ingénierie scientifique :

transfert thermique, électromagnétisme…etc. L’analyse mathématique de la MVF a

récemment permis de développer les principes fondamentaux qui font d’elle une méthode de

discrétisation performante. Cette méthode commence à prendre une place significative dans la

simulation numérique des problèmes de l’électromagnétisme. Très utilisée par l’équipe de

l’institut INRIA dans la simulation des phénomènes de propagation d’ondes

(électromagnétisme, acoustique) par exemple [Remaki 98], et dans d’autres applications telles

que : les problèmes d’électrostatique [Davies 96], la magnétostatique [Zou 04],

l’électrothermique [Ioan 06] où la MVF a été utilisée pour l’optimisation des contacts

démontables de forts courants et enfin le remplacement de la MEF par la MVF dans le

développement des codes de calculs , à L’ONERA par exemple (code EMicroM [Labbé 98]), dédiés à l’étude des minimiseurs d’énergies micromagnétiques [Labbé 98].

Dans ce travail de thèse, nous nous investiguons à donner une extension de l’utilisation de la

MVF notamment dans la modélisation tridimensionnelle des SHTC. Deux codes de calcul ont

été développés et implémentés sous l’environnement Matlab. Chacun utilise une approche

différente de la MVF. La première approche basée sur un maillage structuré, appelé aussi

cartésien où les volumes élémentaires prennent une forme hexaédrique régulière ou cubique et


38

la deuxième basée sur un maillage non-structuré où les volumes élémentaires prennent une

forme tétraédrique (voire prismatique).

La mise en œuvre du code numérique utilisant la MVF avec un maillage cartésien (premier

code) reste relativement accessible et demande une capacité de stockage d’informations

raisonnable. Certaines informations sur le maillage, telles que le barycentre, la normale des

faces ou encore le volume des mailles sont connues par l’utilisateur, cela ne demande donc

pas de pré-traitements particuliers. Néanmoins, ce type de discrétisation reste insuffisant pour

l’étude d’objets complexes de forme courbe, nous restons relativement limités pour modéliser

des objets de type sphère avec des hexaèdres réguliers, seule une discrétisation très fine

permet de suivre la géométrie entraînant automatiquement un nombre de mailles élevé et

défavorisant ainsi le temps de calcul. Par contre, un schéma Volumes Finis utilisé dans le

cadre d’un maillage non-structuré (deuxième code) assure une description conforme de la

géométrie de l’objet. La prise en compte des zones de géométries très complexes se fera de

façon plus naturelle et surtout plus précise sans que le maillage ne soit trop lourd en nombre

de volumes. Il a été montré [Bonnet 97] que le temps de calcul d’une application était moins

important en maillage ”non-structuré” qu’en maillage ”cartésien” grâce essentiellement à un

nombre de mailles moins important. Par conséquent, la modélisation électromagnétique se fait

sans restriction géométrique grâce à l’apport d’un mailleur fournissant au code numérique les

données nécessaires. La mise en ouvre des deux méthodes sera présentée dans le chapitre suivant.

Pour différencier les deux méthodes, la première méthode basée sur le maillage cartésien

méthode des volumes finis classiques est notée ‘MVFC’, et la deuxième méthode basée sur le maillage non-structuré méthode des volumes finis modifiée est notée ‘MVFM’.

Chapitre III.

MISE EN ŒUVRE DE LA METHODE DES VOLUMES FINIS

III.1. Introduction 39


cartésien MVFC 40

III.2.1. Discrétisation géométrique 40

III.2.2. Discrétisation des équations électromagnétiques par la MVFC 41





Vσ

t

A 45

III.2.2.4. Intégration De l’équation en divergence 47

III.2.3. Discrétisation de l’équation de diffusion de la chaleur par la MVFC 48

III.2.4. Méthodes numériques de résolution 50

III.2.4.1. Méthode d’Euler 50

III.2.4.2. Méthode de Gauss-Seidel 51


non structuré (MVFM) 52

III.3.1. Définition du maillage 53

III.3.2. Discrétisation des équations électromagnétiques par la MVFM 56



Vt

A

)( 62


III.3.2.4. Intégration de l’équation en divergence 63

III.3.3. Discrétisation de l’équation de diffusion de la chaleur par la MVFM 65

III.4. Algorithmes de résolution 67

III.4.1. Algorithmes de résolution des problèmes, électromagnétique et thermique 67

III.4.2. Couplage électromagnétique-thermique 70

Chapitre III. Mise en œuvre de la méthode des volumes finis

39

Nous présentons dans ce chapitre un aperçu sur la méthode des volumes finis (MVF),

utilisée pour la résolution des équations aux dérivées partielles, caractéristiques des

phénomènes physiques traités dans les systèmes ayant des matériaux supraconducteurs à

haute température critique. Deux approches de la MVF seront présentées, la première basée

sur un maillage structuré et la deuxième basée sur un maillage non structuré. Nous

présentons aussi les méthodes de résolutions des systèmes d’équations algébriques obtenus

après avoir appliqué la MVF. Nous exposerons à la fin de ce chapitre, les différents modes,

utilisés pour le couplage magnétique thermique, ainsi, que le code de calcul développé et

implémenté sous l’environnement MATLAB en décrivant ses fonctions pour les deux types d’environnement : magnétique et thermique.

III.1. Introduction

La méthode des volumes finis est utilisée depuis longtemps pour les simulations numériques

en mécanique des fluides mais elle a trouvé un second essor avec des applications en

électromagnétisme. Elle fait partie, au même titre que les Différences Finies, de ces méthodes

numériques capables de résoudre les équations de Maxwell dans le domaine temporel. L’idée

de base de la méthode volumes finis est de partitionner le domaine de calcul en sous domaines

(ou en volumes élémentaires) grâce à un maillage initial de type éléments finis. L’ensemble

de ces volumes élémentaires constitue donc le domaine de calcul complet. Comme nous

l’avons évoqué dans le chapitre précédent, l’utilisateur a le libre choix pour partitionner son

domaine de calcul. Le maillage n’est pas unique, on distingue deux types de maillage : un noté “structuré” ou “cartésien” et un autre noté “non-structuré”.

Dans ce travail de thèse, nous proposons deux approches différentes de la méthode des

volumes finis MVF, la première basée sur un maillage structuré (Fig.III.1.a), elle consiste à

subdiviser le domaine de calcul en volumes élémentaires de forme quadrilatère pour les

applications en deux dimensions et de forme hexaédrique pour les applications en trois

dimensions. C’est une discrétisation de type Différences Finies (“marches d’escaliers”) qui

facilite la construction du maillage. On va appeler cette première méthode, la méthode des

volumes finis classique, elle est notée ‘MVFC’.

La deuxième approche, basée sur un maillage non-structuré (Fig.III.2.b) qui requiert un

mailleur indépendant, spécifique, parfaitement adapté à l’algorithme numérique. Son rôle est

de partitionner l’application étudiée en volumes élémentaires de forme aussi variée que des

triangles (deux dimensions), tétraèdres ou prismes (trois dimensions). Le choix entre ces deux

méthodes est basé essentiellement sur la géométrie du dispositif à modéliser. Si la géométrie

possède une structure hexaédrique, l’application de la première approche est avantageuse en

termes de temps de calcul et de simplicité. Par contre, cette première approche présente

l’inconvénient de ne pas pourvoir modélisé des dispositifs ayant des géométries complexes.

C’est véritablement tout l’intérêt de la deuxième approche de la MVF, le maillage va suivre

naturellement la forme de la structure, les géométries complexes seront modélisées de façon

plus rigoureuse et plus conforme sans que cela ne génère un nombre de mailles trop

important. On va appeler cette deuxième méthode, la méthode des volumes finis modifiée elle sera notée ‘MVFM’.


40

(a). Structuré (b). Non structuré

Fig.III.1. Maillage structuré et non structuré, vue 2D

III.2. Méthode des volumes finis tridimensionnels avec un maillage cartésien (MVFC)

III.2.1. Discrétisation géométrique

Dans cette partie nous passons à la mise en œuvre da la méthode des volumes finis classiques

(MVFC), utilisée pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles des phénomènes

électromagnétiques et thermiques couplés dans les matériaux supraconducteurs haute

température critique (SHTC). Le maillage cartésien ou structuré, est constitué de volumes

élémentaires de forme hexaédrique ou cubique. A chaque volume pD de forme hexaédrique,

on associe un nœud dit principal P et six facettes : e et w selon la direction x, n et s selon la

direction y, t et b selon la direction z (Fig.III.2). Les volumes voisins de pD , sont représentés

par leurs nœuds voisins proches : E et W suivant l’axe x, N et S suivant l’axe y, T et B suivant l’axe z.

x

z

y

P E W

N

S B

T

e w n

s

t

b

Fig.III.2. Volume fini élémentaire pD

x

y z


41

III.2.2. Discrétisation des équations électromagnétiques par la MVFC

La MVFC intègre sur chaque volume élémentaire pD , de volume d = dxdydz, les équations

des problèmes à résoudre. Elle fournit ainsi d’une manière naturelle des formulations discrètes.

Rappelons la formulation tridimensionnelle des équations électromagnétiques en

potentiels A-V donnée précédemment par (II.26) :

0)t

(.

)t

()(ν)(ν

Vσ(E,T)

Vσ(E,T)

A

JA

AA s

(III.1)

L’application de la MVFC consiste à intégrée les équations différentielles du système (III.1)

dans chaque volume élémentaires PD correspondant au nœud principal P :

P

PPPP

D

DDDD

0dτV)t

σ(.

dτdτV)t

σ()dτ.(υdτ)(υ

A

J A

A A s

(III.2)

Pour calculer les intégrales du système d’équations (III.2), chaque opérateur différentiel doit

être développé puis projeté sur les trois axes x, y et z du référentiel. Dans le but d’alléger les

développements, par la suite, on va seulement présenter la méthode pour une seule

composante.

III.2.2.1. Intégration de A

A

d

yd

e

w

n

s

t

b

yzyx z dydxd z

A

zy

A

zx

A

xy

A

x (III.3)

Les quatre termes différentiels dans (III.3), peuvent être représentés par une forme générale donnée par :

k

jA

i avec x, y, zi, j,k (III.4)


42

Tenant compte de cette écriture, on distingue deux cas ; ki et ki . Soit par exemple le

calcul du deuxième terme dans (III.4) et qui correspond à xki et j = y :

e

w

n

s

t

b

yz dydxd

x

A

x

zdyd x

An

s

t

b

e

w

y

zyx

Ay

x

A

we

y

(III.5)

Pour calculer les termes en dérivées dans (III.5), on considère dans notre étude une variation linéaire du potentiel magnétique à travers les facettes e et w (Fig.III.3), on peut alors écrire :

e

Py

Ey

e

e

y

x

AA

x

A

(III.6)

Fig.III.3. Approximation linéaire du potentiel à travers la facette e

De même, on exprime la dérivée sur la facette w. Remplaçant ces dérivées dans (III.5), on aura la combinaison linéaire suivante :

Pywe

Wyw

Eye AccAcAc (III.7)

tel que :

m

mmΔx

ΔyΔzc pour w, em (III.8)

P

E

e

yA

ex


43

où e et w sont respectivement, les réluctivités magnétiques des facettes e et w. le

quatrième terme dans (III.3) qui correspond à zki se développe de la même manière

présentée précédemment, cependant, le problème de la MVFC se pose pour le développement

du premier et du troisième terme dans (III.3), c’est à dire les termes qui correspondent à i = x, k = y et à i = z, k = y respectivement.

Dans le cas de la formulation (III.2), le terme en rotationnel )(ν A et le terme en

gradient A).( ne présentent pas une forme en divergence exigée par la formulation

classique de la MVF, en effet, la méthode des volumes finis dans son origine, été dédiée à la

résolution des problèmes thermiques définis essentiellement par des équations aux dérivées

partielles où les opérateurs prennent essentiellement une forme en divergence [Patankar 82].

Pour tenir compte de ces deux termes qui apparaissent dans la formulation électromagnétique,

une modification de la MVFC a été proposée [Alloui 08], [Alloui 09 b]. Cette modification est

basée sur l’implantation de huit nœuds supplémentaires dans le volume élémentaire PD

représentée dans la figure III.2. Dans ce cas, le nœud principal P de chaque volume

élémentaire est entouré par quatorze nœuds voisins au lieu de six nœuds voisins comme il est

présenté dans la figure III.4. Cette modification permet alors de discrétiser le terme en rotationnel de la formulation électromagnétique (III.2) dans le cas tridimensionnel.

Si on considère maintenant le troisième terme dans (III.3) soit pour xji et yk :

e

w

n

s

t

b

x z dydxd y

A

x

zyy

Ae

w

x

(III.9)

Grace à la modification proposée, la dérivée du potentiel Ax dans les facettes e et w peut être exprimée par :

y

AA

y

A sex

nex

e

e

x

(III.10)

Les potentiels nexA et se

xA dans les nœuds supplémentaires ne et se sont exprimés en fonction

des potentiels des nœuds de base voisins :

NEx

Nx

Ex

Px

nex AAAAA

4

1 (III.11)

De même :

SEx

Sx

Ex

Px

sex AAAAA

4

1 (III.12)


44

x

z

y

P E W

N

S B

T

e w n

s

t

b

Fig.III.4. Illustration des nœuds supplémentaires, en haut de la figure, la structure du volume

élémentaire modifié en 3D, en bas de la figure, la projection d’un volume élémentaire suivant

le plan XY.

D’où :

SEx

Sx

NEx

Nxe

e

x AAAAΔyy

A

4

1 (III.13)

De la même façon, on calcule la dérivée du potentiel dans la facette w. Après arrangement, le terme (III.10) aboutit à une combinaison linéaire donnée par la forme suivante :

Sx

SWx

NWx

Nxs

SEx

Sx

NEx

Nxn AAAAqAAAA q

avec ΔzΔy

q mm 4

1 pour m = e,w (III.14)

P E W

N

S pD

e

NE

ne

w

n

s

nw

NW

x

xe xw

xE xW

x

y z

Nœuds supplémentaires

Nœuds de base

x

y

yn

ys

y


45

De la même manière, on intègre les autres termes dans (III.3).


d y

A

e

w

n

s

t

b

zyx zdydx dz

A

yy

A

yx

A

y (III.15)

L’équation différentielle (III.15) peut être intégrée par la MVFC comme décrit

précédemment. Le résultat de l’intégrale de (III.15) mène donc à une combinaison linéaire, qu’on peut les mettre sous la forme :

...,...,

,,

WEMwem

zyxi

Mim

Pysn AqAcc

(III.16)

où

mmm

Δy

ΔxΔzc pour snm (III.17)

III.2.2.3. Intégration du terme source

On suppose une distribution uniforme et constante du courant source dans le volume

élémentaire PD , on peut alors écrire :

ΔxΔyΔzJzdydxd ys

Dys

p

J (III.18)


Vσ

t

A

zdydxdVt

σ

e

w

n

s

t

b y

A

zyxy

V

t

Aσ

P

Py

p

(III.19)


46

Ce terme exprime les courants induits dans les matériaux conducteurs. Dans notre cas, il

s’agit du SHTC, σp représente alors la valeur de la conductivité électrique apparente du

SHTC, donnée précédemment par (II.28), dans chaque nœud principal P. Dans (III.19) la

dérivée du potentiel V au nœud P doit être exprimée par une différence de potentiels aux

facettes, e et w. Et comme les facettes, e et w, sont situées sur les médianes des segments P-E et P-W, respectivement, cette dérivée devient :

we

WE

p xx

VV

x

V

(II.29)

En regroupant tout les termes développés précédemment, on aboutit à l’équation algébrique

(III.20). Cette équation exprime la composante suivant y du potentiel vecteur magnétique A

dans chaque nœud principal P ( PyA ) du maillage en fonction des potentiels Ax, Ay, Az et V des

nœuds voisins :

pysSN

sn

pp

...w,emz,xi

Mim

...w,em

Mym

Pypp

Py

DJVVΔyΔy

DAqAc

ADcpA

(III.20)

avec

1

)(

1

),,(

)(),(

),,,(

Tn

...w,em

mp

PiP

zyxii

Ec

E

Ec

TJc

E

JTE

cczyxit

AA

(III.21)

De la même manière les deux composantes x et z du potentiel vecteur magnétique A seront calculées :

pxsWE

we

pp

...w,emz,yi

Mim

...w,em

Mxm

Pxpp

Px

DJVVΔxΔx

DAqAc

ADcpA

(III.22)


47

pzsBT

bt

pp

...w,emy,xi

Mim

...w,em

Mzm

Pzpp

Pz

DJVVΔzΔz

DAqAc

ADcpA

(III.23)

III.2.2.5. Intégration de l’équation en divergence

De même, la MVFC est utilisée pour la discrétisation de la deuxième équation aux dérivées

partielles du système (III.2). L’intégration dans chaque volume élémentaire PD qui

correspond au nœud principal P mène à :

zdydxdVσ

e

w

n

s

t

b

t

A

e

w

n

s

t

b

zyx zdydxdz

VAσ

zy

VAσ

yx

VAσ

x (III.24)

L’intégration, par exemple, du premier terme de (III.24) donne :

ΔyΔzx

VAσ

x

VAσ

w

wxw

e

exe

(III.25)

En approximant le potentiel vecteur magnétique Ax aux facettes e et w par des combinaisons

linéaires des potentiels aux nœuds voisins (par exemple exA par la moyenne des potentiels

aux nœuds E et W), et en considérant une variation linéaire du potentiel V entre les facettes e et w, l’expression (III.25) conduit à :

ΔyΔzΔx

VVAAσ

Δx

VVAAσ

w

WPW

xP

xwe

PEP

xE

xe

2

1

2

1 (III.26)

De la même façon seront calculés les autres termes dans (III.24). Finalement nous obtenons l’équation algébrique (III.27) qui exprime le potentiel scalaire électrique V au nœud P :

...,

,,...,

1

nemzyxi

Mim

wem

Mm

p

P AcvVuu

V

(III.27)


48

Avec (par exemple pour m = e) :

eee

Δx

ΔyΔzcv

2

1,

eee

x

zyu

(III.28)

et

...w,em

mp uu

(III.29)

Les équations (III.20), (III.22), (III.23) et (III.27) sont réécrites pour l’ensemble des éléments

de maillage, ensuite elles sont assemblées et nous obtenons un système d’équations qu’on

peut mettre sous la forme matricielle suivante :

0VN 0

N N

V0M

0M

22

1211

2

1 sJAA

(III.30)

ou sous une forme condensée :

0VN

VM sJAA

(III.31)

avec

V

A

A

A

V z

y

x

A et

zs

ys

xs

s

J

J

J

J

III.2.3. Discrétisation de l’équation de diffusion de la chaleur par la MVFC

Rappelons l’équation de diffusion de la chaleur en régime transitoire :

WTT.κt

T(T)ρC p

)( (III.32)

Après transformation des opérateurs différentiels de l’équation scalaire (III.32) nous obtenons :

Wz

Tκ

zy

Tκ

yx

Tκ

xt

TρC p

(III.33)


49

L’intégration de l’équation différentielle (III.33), décrite essentiellement par un opérateur

différentiel en divergence est plus simple à intégrer par rapport a l’intégration des équations

électromagnétiques présentée précédemment. La discrétisation de ce type d’équation fait appelle au schéma des volumes finis présenté dans la figure III.2 :

e

w

n

s

t

b

e

w

n

s

t

b

e

w

n

s

t

b

e

w

n

s

t

b

e

w

n

s

t

b

p

Wdτdτz

Tκ

zdτ

y

Tκ

ydτ

x

Tκ

x

dτt

TρC

(III.34)

Chaque terme dans (III.34) est intégré dans l’espace, sur le volume fini, correspondant au

nœud principal P, et délimité par les facette (e, w, n, s, t, b). Nous présentons, par exemple, l’intégrale du deuxième terme de (III.34) :

n

s w

t

b

w

e

n

s

t

b

e

e

w

n

s

t

b

e

w

n

s

t

b

dydzx

Tκdydz

x

Tκ

dydzx

Tκdxdydz

x

Tκ

x

(III.35)

Avec un profil linéaire, choisi, exprimant ainsi la variation spatiale de la température (T), entre les facettes e et w, entre les nœuds voisins. Prenons par exemple la facette e :

ΔyΔzΔxe

TTκdydz

x

Tκ

PE

e

e

n

s

t

b

(III.36)

En réalisant le même développement sur la facette w et en remplaçant ces développements dans (III.35), nous obtenons :

ΔyΔzΔxw

TTκΔyΔz

Δxe

TTκ

dxdydzx

Tκ

x

WP

w

PE

e

e

w

n

s

t

b

(III.37)

De la même manière, tous les termes en dérivées partielles dans (III .34) seront développés.

Après arrangement, nous aboutissons à l’équation algébrique finale qui s’écrit sous la forme suivante :

P

WEMwem

MmPPpPp DWTaTaDTρC

,......,,....,

(III.38)


50

avec (pour, par exemple, m = e) :

zyx

ae

ee

et

,.......,wem

mP aa (III.39)

L’équation algébrique (III.38) peut être mise sous la forme matricielle suivante :

QTKTC (III.40)

L’utilisation alors de la MVFC, a permis de transformer, la résolution des systèmes

d’équations aux dérivées partielles (III.1) et (III.32) en une résolution de système d’équations

algébriques non-linéaire donné par (III.31) et (III.40). Pour la résolution de ces systèmes

algébriques, généralement on fait appel aux méthodes itératives (par exemple méthode de

Gauss Seidel).

III.2.3. Méthodes numériques de résolution

III.2.3.1. la méthode d’Euler

On cherche à résoudre les systèmes algébriques non-linéaires (III.31) et (III.40) à chaque pas

de temps. On introduit pour cela une suite de vecteurs Am, Vm et Tm. Ces vecteurs sont une

approximation de A(mt), V(mt) et T(mt). La méthode la plus simple, à laquelle nous nous

limiterons, est la méthode d’Euler. Cette méthode fait intervenir un paramètre compris entre 0 et 1 [Nougier].

Elle consiste à remplacer les équations (III.31) et (III.40) par le schéma suivant :

0

tmθ)(1tmθ

θ)V(1θV

θ)(1θN

Δt

VV

ΔtM

mmm1m

)())1((

1

ssm1m

m1m

JJAAA-A

(III.41)

)())1((11

tmθ)Q(1tmθQθ)T(1θTKt

TTC mm

mm

(III.42)

Pour = 0, la méthode est explicite. Elle nécessite de choisir un pas de temps t

suffisamment petit sinon la solution devient instable. Pour = 1, la méthode est implicite, elle

est inconditionnellement stable [Pelletier]. Pour cette raison et après plusieurs tests

numériques, elle semble être un bon compromis entre rapidité de convergence du processus

itératif et stabilité numérique. Avec cette méthode ( = 1), la solution est obtenue

implicitement comme solution d’un système non linéaire que l’on va résoudre par la méthode de Gauss-Seidel non linéaire.


51

Ce système est tel que :

0

tm

VN

Δt

VV

ΔtM

mm1m

))1((

1

s1m

m1m

JA

A-A

(III.43)

)))1((11

tmQTKt

TTC m

mm

(III.44)

III.2.3.1. la méthode de Gauss-Seidel

Après discrétisation des équations aux dérivées partielles des phénomènes électromagnétiques

et thermiques par la méthode des volumes finis, le problème se ramène à l’inversion de

systèmes d’équations matricielles (III.43) et (III.44). Du fait que ces systèmes sont souvent de

grandes tailles, il devient alors impossible de les inverser par une méthode directe. D’où la

nécessité d’utiliser des méthodes de résolution itératives. Ces méthodes sont particulièrement

utilisées pour la résolution des systèmes ayant des matrices de rang élevé, comportant de

nombreux éléments nuls (matrice creuses), ils font passer d’un estimé X(k) de la solution à un

autre estimé X(k+1) de cette solution.

Parmi ces méthodes nous avons utilisée la méthode de Gauss-Seidel. Cette méthode consiste à

transformer le système algébrique, comme par exemple, DXB en :

ni

bijbijXbijXdXn

ij

kj

i

j

kji

ki

............,.........1

)1(

1

1

)1()1(

(III.45)

En donnant aux inconnues kiX des valeurs arbitraires initiales 0

iX

Le processus sera arrêté si,

ki

ki XX 1

(III.46.a)

dans le cas d’une précision absolue et

ki

ki

ki

X

XX 1

(III.46.b)

dans le cas d’une précision relative. ( est la précision imposée par l’utilisateur).


52

III.3. Méthode des volumes finis tridimensionnelle avec un maillage non-structuré (MVFM)

Le maillage bidimensionnel ou tridimensionnel étant réalisé, les équations de Maxwell

doivent être résolues et intégrées sous forme volumique à l’intérieur de chaque volume.

Historiquement, nous pouvons distinguer au moins deux choix d’intégrations dont la

différence se situe en fait sur la localisation des inconnues : la formulation dite “nœuds-

centrés” ou “cell-vertex” et la formulation dite “éléments-centrés” ou “ cell-centered”. La

première associe les composantes des champs électromagnétiques ou thermiques sur les

nœuds de chaque volume, ainsi comme le montre la figure III.5, les sous-domaines

d’intégration ne correspondent pas aux mailles constituant le volume de calcul mais

définissent une figure reliant les barycentres de chaque volume adjacent aux nœuds. Les

volumes d’intégrations ainsi obtenues ont souvent des géométries hexagonales. La validité, la

précision ainsi que la stabilité ont été prouvées à travers divers codes utilisant cette approche

[Bonnet 97] et [Cioni 95]. En revanche, dans le cas de la formulation dite “éléments-centrés”,

ainsi comme le montre la figure III.6, les sous-domaines d’intégration correspondent aux

mailles initiales ainsi les champs, électromagnétiques ou thermiques, seront calculés au

barycentre de chaque volume élémentaire. La prise en compte de la discontinuité entre deux

milieux ou le traitement proche des conditions frontières se font de façon plus naturelle dans

le cas des deux formulations. Dans le cadre de cette thèse, le choix s’est porté sur l’approche des ‘‘nœuds centrés’’.

B : Barycentres N : Nœuds

Fig.III.5. Sous domaine d’intégration : méthodes ‘nœuds centrés’

Maille

Sous-domaine d’intégration

Maille

Sous-domaine d’intégration


53

B : Barycentres N : Nœuds

Fig.III.6. Sous domaine d’intégration : méthodes ‘éléments centrés’

III.3.1. Définition du maillage

L’organigramme présenté dans la figure III.7 détaille le déroulement de toutes les

modélisations électromagnétiques ou thermiques. La première étape consiste à définir le

problème physique, c’est à dire à décrire les structures de la modélisation dans un volume de

calcul. Cependant, ce volume tridimensionnel n’est pas nécessairement parallélépipédique,

par conséquent la construction du maillage de l’ensemble du problème ne se fait pas

automatiquement mais par le biais d’un mailleur indépendant. Contrairement à un maillage

uniforme (MVFC) où l’utilisateur peut créer sa structure et son propre maillage (en

définissant les pas spatiaux), c’est le mailleur qui discrétise l’ensemble du problème. Il suffit

donc de récupérer les informations fournies, de les traiter pour faire le lien avec le code

numérique. Cette étape est appelée la phase de pré-traitement. La deuxième étape est l’étape

classique, commune pour n’importe quel type de maillage : c’est le calcul des potentiels

magnétiques par exemple dans chacune des mailles suivie de la visualisation des données de la simulation.

Fig.III.7. Schéma général du principe d’un code MVF pour un maillage non-structuré

Dans le cas de la MVFM développée, il fallait construire deux maillages différents, duaux

l’un de l’autre. Les variables à déterminer seront discrétisées sur le maillage primal. Ce

dernier, de forme prismatique a été obtenu à partir du mailleur fourni par Matlab

(PDETOOL). Nous tenons à signaler que ce dernier, à l’origine, est dédié à la modélisation

des problèmes bidimensionnels, les mailles ont une forme triangulaire. Cependant, pour

Construction de la géométrie du problème

Maillage du volume de calcul

Récupération des données du mailleur

Calcul MVFM

Traitements des données du code MVFM

Phase 1

Phase 2


54

transformer ce dernier en un maillage primal prismatique, nous avons développé un

programme qui permet de translater le maillage bidimensionnel, défini dans le plan X-Y,

suivant plusieurs niveaux selon l’axe Z.

Pour le maillage dual, généralement il existe deux façons pour le construire :

Méthode barycentrique

Méthode de Delauney – Voronoi.

Les règles de construction du maillage dual de type barycentrique sont les suivantes :

Les nœuds duaux sont les centres de gravité des volumes primaux

Les arrêtes duales se décomposent en deux parties : on considère deux volumes

primaux ayant une facette commune. On relie le nœud dual contenu dans le premier

volume primal au centre de cette facette. On relie alors celui-ci au nœud dual contenu

dans le deuxième volume primal. L’arête ainsi obtenue ne sera plus droite, mais aura

une allure ‘brisée’. La figure III.8 représente un exemple de maillage dual de ce type

dans le cas d’un maillage primal prismatique.

Fig. III.8. Exemple de construction d’un maillage dual de type barycentrique

Ce type de maillage dual présente l’inconvénient d’avoir une discrétisation relativement

complexe. Pour cette raison, nous avons opté pour l’utilisation du maillage dual de type Delauney Voronoi. Les règles de construction d’un tel maillage sont les suivantes :

Les nœuds duaux sont les centres des sphères circonscrites aux volumes primaux

Les arêtes duales traversent les facettes primales orthogonalement et en leur milieu.

La figure III.9 représente un exemple du maillage dual de ce type dans le cas d’un

maillage primal prismatique.


55

Fig. III.9. Exemple de construction d’un maillage dual de type Delauney-Voronoi

A titre d’exemple, la figure III.10 montre un maillage dual de type Delauny-Voronoi

construit à partir du mailleur développé sous l’environnement Matlab. Ce maillage est

construit par élévation en tranches suivant l’axe Z. Le nombre d'élévation est égal à 25

avec un nombre total de nœuds, égal à 10800 nœuds.

-0.4

-0.20

0.2

0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

Fig.III.10. maillage dual de type Delauny-Voronoi en 3D.


56

III.3.2. Discrétisation des équations électromagnétiques par la MVFM

Rappelons d’abord quelques formules données précédemment (chapitre II. §.II.2.1), déduites

principalement du système d’équations de Maxwell :

JH (III.47)

rotAB (III.48)

HB μ (III.49)

La combinaison de ces trois équations mène à l’équation vectorielle suivante :

JA (III.50)

En tenant compte des relations de l’analyse vectorielle, le terme gauche de l’équation (III.50) s’écrit :

)AAA)

AA)A

).(Δν(ν

)ν(νν

()(

()( (III.51)

En introduisant la jauge de coulomb ( 0 A. ) dans (III.51), on obtient :

AAA ννν )( (III.52)

Dans le cas de la modélisation des problèmes ayant des matériaux supraconducteurs haute

température critique SHTC, généralement, La perméabilité magnétique a une valeur constante

dans tout le domaine à modéliser, sa valeur est prise égale à celle de l’air. Cela veut dire

que 0)()( A , en remplaçant ce terme dans (III.52) on obtient :

A

AAA

ν

ννν )( (III.53)

Il faut mentionner que cette simplification reste valable même dans le cas de la modélisation

d’un problème ayant des matériaux magnétique linéaire. En effet, dans chaque région du

dispositif étudié, la valeur de la perméabilité magnétique peut être considérée comme

constante, donc 0)( A , sauf aux interfaces, séparant deux régions de perméabilité

magnétique différente. Dans ce cas, la valeur de la perméabilité magnétique dans l’interface peut prendre une valeur équivalente choisie d’une manière adéquate.

En remplaçant l’équation (III.53) dans (III.51), nous obtenons :

J A (III.54)

Comme cité précédemment, le terme Jc, qui représente la densité de courant de conduction,

inclut deux parties essentielles, la partie source (ou inducteur) Js et la partie induite σE qui est due à la présence du SHTC, ainsi on peut décomposer la densité de courant J en deux termes :

EJsJ σ (III.55)


57

En remplaçant le champ électrique E par son expression donnée par (II.19), dans (III.55) et en combinant les deux équations (III.55) et (III.54) nous obtenons la formulation suivante :

sVt

σ JA

A

(III.56)

La deuxième équation est déduite de la loi de conservation du courant, donnée précédemment

par (II.21). Finalement, nous aboutissons à la formulation A-V décrite par le système d’équations suivant :

0

Vt

σ

Vt

σ s

A

JA

A

(III.57)

Pour transformer le système d’équations aux dérivées partielles (III.57) en un système

d’équations algébriques, la MVFM est utilisée. Ayant le même principe que la MVFC, la

MVFM intègre sur chaque volume élémentaire PD (Fig.III.11), de volume d = ds.dz, les

équations des problèmes à résoudre. L’intégration du système (III.57) dans chaque volume

élémentaire PD correspondant au nœud principal P mène à :

P

PPP

D

D

s

DD

dVt

σ

ddVt

σdν

A

J A

A

0

(III.58)

Dans un souci d’alléger le développement, on ne considère par la suite que la composante x de la première équation vectorielle du système (III.58).


P

P

D

x

D

x

dA

d

).(

A

(III.59)

L’application du théorème d’Ostrogradsky nous permet de transformer l’intégrale volumique (III.59) à une intégrale surfacique :

tx

D

x dsAdA

P

).( (III.60)


58

tds représente la surface fermée qui limite le volume fini PD . Comme le montre la

figure III.11, cette surface est constituée de plusieurs surfaces latérales ( lads ), et de deux

surfaces égales (ds), une située dans le niveau supérieur et l’autre située dans le niveau inférieur du volume DP. De cela, l’équation (III.60) devient :

dsAdsAdsAdA xx

ds

laix

D

x

laiP

).( (III.61)

En considérons une variation linéaire du potentiel entre les facettes t et b (Fig.III.11), on peut

calculer les flux à travers les surfaces, inférieure (SB) et supérieure (ST), dans l’équation (III.61) le flux dans chacune des surfaces SB et ST est donné par :

sz

AAdsA

t

Px

Tx

txT

(III.62)

sz

AAdsA

b

Bx

Px

bxB

(III.63)

Pour le calcul des flux à travers les surfaces latérales ( laids ), dans (III.61), vu la

complexité du calcul des dérivées des potentiels suivant le référentiel (R) définis par les

coordonnées (x, y), il fallait ramener le calcul dans le référentiel (R`), ayant comme

coordonnées et , rapporté aux éléments primaux comme il est montré sur la figure III.12.

Fig.III.11. Volume fini élémentaire Dp

B

T

Nœuds latéraux

P

t

b

x

y

z

zt

zb

z

Surfaces Latérales

Surface supérieure dsT (ST)


59

Fig.III.12 Projection d’un volume élémentaire suivant le plan XY.

Le potentiel magnétique Ax au nœud principal P dans chaque élément primal Ei peut être

exprimé en fonction des potentiels magnétiques des nœuds latéraux voisins et en coordonnées

locales (,) par la relation suivante :

PEiEiPEi AxAxAxAx )1( (III.64)

EiAx et EiAx sont les potentiels magnétiques aux nœuds latéraux voisins du nœud

principal P portés respectivement sur les deux axes Ei et Ei .

A partir de cette formulation, les dérivées du potentiel magnétique Ax dans chaque élément primal Ei peuvent être déduites par :

PEiPEi

PEiPEi

AxAxAx

AxAxAx

(III.65)

La relation qui lie les dérivées d’une fonction dans le référentiel (R’) en fonction de ces

dérivées dans le référentiel (R) est donnée par [Dhatt 84] :

)()( ,, yxJ (III.66)

où [J] est la matrice Jacobienne de la transformation géométrique. Les termes de [J] sont

définis par [Dhatt 84]:

PζEiPζEi

PηEiPηEi

-y yxx

-y yxxJ (III.67)

P

(S)

Nœuds latéraux

Surfaces latérales

Ei

Ei

Ei

Ei-1

Ei+1

y

x


60

Les couples ( EiEi yx , ) et ( EiEi yx , ) représentent les coordonnées des nœuds latéraux de

chaque élément primal Ei entourant le nœud principal P, ayant les coordonnés (xP, yP), suivant

les deux axes Ei et Ei du référentiel (R’) porté par chaque élément primal Ei.

Ayant déterminé les dérivées du potentiel magnétique Ax dans le référentiel (R’) en et dans

(III.65), le calcul des dérivées de Ax peut être ramené dans le référentiel (R) en fonction des

coordonnés x et y en utilisant les relations (III.66) et (III.67) :

1

2221

1211

1

avec

EiEi

PEi

PEi

EiEi

EiEi

PEi

PEiEi

PEi

PEiEi

PEi

PEi

Jj

AxAx

AxAx

jj

jj

AxAx

AxAxj

AxAx

AxAxJ

y

Ax

x

Ax

(III.68)

Le développement de (III.68) mène aux équations suivantes :

PEiEiEiEiEiEiEi

PEiEiEiEiEiEiEi

AxayayAxayAxayy

Ax

AxaxaxAxaxAxaxx

Ax

)(

)(

(III.69)

Le flux à travers les surfaces latérales peut être réécrit de la façon suivante :

Einilayi

Einilaxilai ds

laxiEi

ds

layiEi

ds

laix dsy

Axds

x

AxdsA

....1....1

(III.70)

Les surfaces laxids et layids sont calculées comme montré dans le Fig.III.13.

nEi représente le nombre d’éléments primaux Ei entourant chaque nœud principal P

(généralement nEi = 8). En remplaçant les dérivées du potentiel magnétique Ax données par

(III.69) dans (III.70), on obtient :

Einilayi

Einilaxilai

ds

layiPEiEiEiEiEiEi

ds

laxiPEiEiEiEiEiEi

ds

laix

dsAxayayAxayAxay

dsAxaxaxAxaxAxaxdsA

....1

....1

))((

))((

(III.71)


61

Fig.III.13 Calcul des surfaces laxids et layids

Après intégration et arrangement de tous les termes dans (III.71), nous aboutissons à

l’expression (III.72) qui exprime le flux à traves les surfaces latérales :

PEi

ni

EiEi

ni

Ei

ds

laix apAxAxaAxadsA

EiEilai

...1...1

(III.72)

avec

)( kEikEikEi ayaxa pour ,k et

,k

kEiaap

En remplaçant les termes des flux (III.62), (III.63) et (III.72), dans (III.61), on trouve :

szb

AAs

zt

AA

apAxAxaAxadA

Px

Bx

b

Px

Tx

t

PEi

ni

EiEi

ni

Ei

D

x

EiEiP

...1...1

).(

(III.73)

Ei

Ei-1

Ei+1

dly1Ei

dly2Ei

dlx1Ei

dlx1Ei

dzEdlyEdlydslayi

dzEdlxEdlxdslaxi

ii

ii

)(

)(

21

21


62


Vt

A

)(

PP D

Eix

D x

dsdzx

VAdV

t

A)()( (III.74)

De même que la transformation développée précédemment par (III.68), la dérivée du potentiel V est obtenue par :

PEiEiEiEiEiEiEi VaxaxVaxVaxx

V)(

(III.75)

Il vient alors que :

P

ni

EiEi

ni

EiEi

D

PEiEiEiEiEiEi

D

x

avVVavVav

dsdzVaxaxVaxVaxdV

EiEi

PP

......1......1

)(

(III.76)

avec

dsdzaxav kEikEi pour ,k et

,k

kEiaxav

En remplaçant l’expression (III.76) dans (III.74), nous obtenons :

P

ni

EiEi

ni

EiEix

D x

avVVavVavzsA

dVt

A

EiEi

P

......1......1

)(

(III.77)

III.3.2.3. Intégration du terme source

On suppose une distribution uniforme et constante du courant source dans le volume

élémentaire pD , on peut alors écrire :

ΔsΔzJd sx

Dxs

p

J (III.78)

En regroupant tout les termes développés précédemment. On aboutit à l’équation algébrique

(III.79). Cette équation exprime la composante x du potentiel vecteur magnétique A dans

chaque nœud principal P ( PxA ) du maillage en fonction des potentiels A et V dans les nœuds


63

voisins (les nœuds, supérieur et inférieur et les nœuds latéraux qui entourent le nœud principal P) :

pxsPmEi

mni

mEi

BTj

jx

mni

EimxmEi

Pxpp

Px

DJavVVavajAAa

ADcpA

,...1,

,...1

(III.79)

avec

zj

sjaj

pour j= t, b et

btj

ajapcp

,

De même, les composantes y et z du potentiel sont :

psyPmEi

mni

mEi

BTj

jy

mni

EimymEi

Pypp

Py

DJavVVavajAAa

ADcpA

,...1,

,...1

(III.80)

pszPmEi

mni

mEi

BTj

jz

mni

EimzmEi

Pzpp

Pz

DJavVVavajAAa

ADcpA

,...1,

,...1

(III.81)

III.3.2.4. Intégration de l’équation en divergence

PD

dVt

σ A

(III.82)

par application du théorème d’Ostrogradsky, l’intégrale volumique (III.82) peut être transformée en intégrale surfacique suivant :

dsV

tσdV

tσ

PD

A

A (III.83)

ds représente la surface fermée qui limite le volume fini DP. L’intégrale (III.83) mène à

l’équation :


64

dsVσsσAdVt

σ

zyxk

kP

k

DP,,

A

(III.84)

Comme présenté précédemment, l’intégrale du dernier terme dans (III.81) fait appel à la

transformation présentée par (III.68), en effectuant la transformation des dérivées du potentiel V, ce terme s’écrit :

ΔsΔz

-VVσΔs

Δz

-VV σ

dsy

Vσds

x

VσdsVσ

b

pB

t

pT

ds

layi

ds

laxi

1....nilayi

1....nilaxi

(III.85)

A partir de la transformation donnée par (III.75), on a :

PEiEiEiEiEiEi

PEiEiEiEiEiEi

VayayVayVayy

V

VaxaxVaxVaxx

V

)(

)(

(III.86)

par remplacement de (III.86) dans (III.85), on trouve :

ΔsΔz

-VVσΔs

Δz

-VVσ

VavVav dsVσ

b

pB

t

pT

P

ζ,ηm1......ni

mEimEi

(III.87)

avec

mEimEimEi ayaxav pour ,m et

,m

mEiavav

En remplaçant (III.87) dans (III.84) et après arrangement de tous les termes, nous aboutissons à la formulation finale suivante qui exprime le potentiel magnétique scalaire V :

zyxk

kP

kBTj

jjwem

mEimEiP sAV

z

sVavavV

,,,...,

(III.88)

Les équations (III.79), (III.80), (III.81) et (III.88) sont réécrites dans l’ensemble des éléments

de maillage, ensuite nous les assemblons et nous obtenons un système d’équations que l’on

peut mettre sous la forme matricielle suivante :


65

0VD 0

D D

V0C

0C

22

1211

2

1 sJAA

(III.89)

sous une forme condensée, on écrit :

0VD

VC sJAA

(III.90)

avec

V

A

A

A

V z

y

x

A et

0

zs

ys

xs

sJ

J

J

J

III.3.3. Discrétisation de l’équation de diffusion de la chaleur par la MVFM

Rappelons l’équation de diffusion de la chaleur en régime transitoire :

WTT.κt

T(T)ρC p

)( (III.91)

L’intégration de l’équation différentielle (III.91) sur le volume élémentaire DP mène a :

dWTdT.κd

t

T(T)ρC

PPP DDD

p )( (III.92)

d représente le volume de l’élément élémentaire DP définis par, d=ds.dz. Par intégration du premier et du troisième terme, dans (III.92) sur le volume fini DP, nous obtenons :

zsT(TρCdt

T(T)ρC Pp

D

p

P

) (III.93)

zsWWd

PD

(III.94)

Pour l’intégral du deuxième terme dans (III.92), on fait appel au théorème d’Ostrogradsky :

TdsTTdT.κ

PD

)()( (III.95)


66

ds représente la surface fermée qui limite le volume fini DP. L’intégrale de (III.95) sur ds mène à :

sz

TTTs

z

TTTTdsT

TdsTTdT.κ

b

PB

t

PT

dslai

lai

DP

)()()(

)()(

(III.96)

De même que précédemment, le calcul du flux de chaleur à travers les surfaces latérales fait

appel à la transformation (III.66). Ce calcul est fait sur le référentiel (R’) puis il sera ramené

au référentiel (R). La température T est exprimée dans (R’) par :

PEiEiPEi TTTT )1( (III.97)

Ce qui mène à :

PEiPEi

PEiPEi

TTT

TTT

(III.98)

Le calcul de ces dérivées est ramené au référentiel (R) à partir de la transformation (III.66) :

PEiEiEiEiEiEiPEi

PEiEiEiEiEiEiPEi

TayayTayTayy

T

TaxaxTaxTaxx

T

)(

)(

(III.99)

Le flux de chaleur à travers les surfaces latérales est donné par :

Einilayi

Einilaxilai ds

layiPEi

ds

laxiPEi

ds

lai dsy

Tds

x

TTds

....1....1

(III.100)

En remplaçant les termes des dérivés donnés par (III.99) dans (III.100) et après arrangement, le flux de chaleur à travers les surfaces latérales s’écrit :

PEi

ni

EiEi

ni

Ei

ds

lai bbpTTbTbTds

EiEilai

...1...1

(III.101)

avec

)( kEikEikEi ayaxb pour ,k et

,k

kEibbbp


67

en remplaçant le flux de chaleur à travers les surfaces latérales donné par (III.101) dans (III.96), on trouve :

szb

TTs

zt

TT

bbpTTbTbdT

PB

b

PT

t

PEi

ni

EiEi

ni

Ei

D EiEiP

...1...1

).(

(III.102)

Après calcul de l’ensemble des termes provenant de l’intégration de l’équation aux dérivées

partielles (III.92) sur chaque volume élémentaire DP, on obtient la combinaison algébrique

donnée par (II.103). Cette expression exprime la température au nœud principal P en fonction des températures dans les autres nœuds voisins qui entourent le nœud principal P :

M

btm

mEi

ni

EiEi

ni

EiPPp TbTbTbzsWbpTzTs(TρC

EiEi

,...1...1

) (III.103)

avec : zm

sb mm

pour m = t, b et

btm

mbbbpbp

,

L’écriture de (III.103) pour l’ensemble des éléments du maillage, conduit à un système matriciel qu’on peut mettre sous la forme suivante :

QTFTE (III.104)

Les systèmes matriciels (III.90) et (III.104), obtenus après avoir appliqué la MVFM pour la

discrétisation des équations aux dérivées partielles qui décrivent les problèmes,

électromagnétique et thermique ressemblent à ceux obtenu par la MVFC, c'est-à-dire les

systèmes (III.31) et (III.40). Pour la résolution numérique de ces systèmes, on utilise les

mêmes méthodes numériques présentées précédemment (&.III.2.3). Le schéma d’Euler

implicite est utilisé pour la discrétisation temporelle et la méthode de Gauss-Seidel est utilisée pour la résolution du système d’équations algébrique.

III.4. Algorithmes de résolution

III.4.1 Algorithmes de résolution des problèmes, électromagnétique et thermique

L’organigramme de la Fig.III.14 résume les principales étapes du code de calcul que nous

avons développé et implémenté sous l’environnement Matlab pour la résolution du problème

électromagnétique. La fonction de chaque bloc peut être résumée comme suit :

Le premier bloc représente la phase de prétraitement du code de calcul. L’affectation

des données géométriques et physiques des régions constituant le domaine d’étude,

telles que les dimensions des objets, propriétés magnétiques et électriques…etc.

Egalement, les conditions aux limites sont introduites dans cette phase.


68

Dans le deuxième bloc, le système matriciel, correspondant au problème

électromagnétique obtenu après avoir appliqué la méthode des volumes finis, est

résolu pour chaque maille et à chaque instant par le solveur GS (Gauss Seidel).

Le dernier bloc représente le bloc d’exploitations des résultats. La distribution

tridimensionnelle des variables calculées sont récupérées. Les résultats obtenus,

permettent aisément ainsi de déterminer la distribution des différentes grandeurs électromagnétiques.

Fig.III.14. Organigramme de l’algorithme du code de calcul du problème électromagnétique

Il faut noter que l’organigramme présenté dans la figure III.14 est applicable pour les

approches de la méthode des volumes finis, MVFC et MVFM. La différence réside dans le

premier bloc (phase de prétraitement). Dans le cas de la MVFM, le volume de calcul

tridimensionnel n’est pas nécessairement parallélépipédique, par conséquent la construction

du maillage de l’ensemble du problème ne se fait pas automatiquement mais par le biais d’un

mailleur indépendant. Contrairement à un maillage uniforme où nous avons pu créer notre

propre maillage (en définissant les pas spatiaux), c’est le mailleur qui discrétise l’ensemble du

problème. Il a fallu alors, récupérer les informations fournies, les traiter pour faire le lien avec le code numérique.

Données géométriques et physiques

Nouvelle Itération temporelle

Résolution du système d’équations algébrique, (III.) ou (III.), selon la méthode utilisée, MVFC ou la MVFM, par le solveur

GS

σ = f(E,J)

Test de convergence

Exploitation des Résultats

Fin itérations

Non

Oui

Non

Oui


69

Le dernier bloc de l’organigramme (III.14), nous a permis d’estimer les pertes engendrées

dans le matériau supraconducteur à chaque instant, ces pertes, qui sont considérées comme

terme de source dans l’équation de diffusion de la chaleur, seront utilisées pour la résolution

du problème thermique. L’organigramme de la figure III.15 résume les principales étapes du

code de calcul que nous avons développé, sous l’environnement Matlab pour la résolution du

problème thermique. Il faut rappeler que l’équation de diffusion de la chaleur est résolue qu’à

l’intérieur du matériau supraconducteur.

La fonction de chaque bloc peut être résumée comme suit :

Le premier bloc représente la phase de prétraitement du code de calcul. Dans ce bloc

on doit affecter les données physiques des régions constituant le domaine d’étude,

c'est-à-dire, les propriétés thermiques du matériau supraconducteur. Dans ce bloc, on a

récupéré les données géométriques affectées précédemment, dans la résolution du

problème électromagnétique, c'est-à-dire qu’on a utilisé le même maillage pour la

résolution des problèmes, magnétique et thermique.

Dans le deuxième bloc, le système matriciel, correspondant au problème thermique

obtenu après avoir appliqué la méthode des volumes finis, est résolu dans chaque

maille qui se trouve à l’intérieur du matériau supraconducteur et à chaque instant par

le solveur GS (Gauss Seidel).

Enfin, le bloc des résultats où on récupère la distribution des variables calculées en

3D. principalement, la distribution tridimensionnelle de la température à l’intérieur du matériau supraconducteur.

Fig.III.15. Organigramme de l’algorithme du code de calcul du problème thermique

Données physiques

Résolution du système d’équations algébrique, (III.) ou (III.), selon la méthode utilisée, MVFC ou la MVFM, par le solveur

GS

ρCp(T), (T) Test de

convergence

Exploitation des Résultats thermiques

Non

Oui


70

III.4.2 Couplage électromagnétique-thermique

Après avoir rappelé les formulations électromagnétiques et thermiques pour un système ayant

un matériau supraconducteur haute température critique, ainsi, que les méthodes numériques

de résolutions des équations aux dérivées partielles caractéristiques des phénomènes

physiques traités, nous nous proposons d’en étudier son comportement électromagnétique-

thermique. Aussi il est tout naturel de s’intéresser à l’intervention du couplage des deux

phénomènes physique en questions.

Il importe, en électromagnétisme, de tenir compte des variations des propriétés physiques en fonction de la température, parmi les quelles nous citerons :

La densité de courant critique Jc (T)

Le terme en puissance n(T) de la caractéristique E-J du SHTC

En thermique, on doit tenir compte des variations de la capacité calorifique ρCp(T) et de la

conductivité thermique (T) en fonction de la température.

A première vue, la température est obtenue après résolution de l’équation de la thermique. Or,

dans cette équation, la densité de puissance, due aux pertes engendrées dans le SHTC, est à

son tour une fonction de cette même température et bien entendue des caractéristiques

électromagnétiques du système, ce qui constitue le lien entre ces deux phénomènes physiques.

Ainsi, dans l’étude des systèmes ayant des matériaux SHTC, les équations caractérisant

l’évolution spatiale-temporelle des phénomènes électromagnétiques et thermiques, ne peut

être résolues séparément, et nécessitent absolument un traitement par un modèle mathématique numérique couplé.

Parmi les modèles mathématico-numériques utilisés pour la modélisation des phénomènes électromagnétiques et thermiques couplés, nous citons :

Le modèle de couplage direct,

Le modèle de couplage alterné dit aussi faible, que nous proposons dans le cadre de ce

travail.

Dans le modèle de couplage direct, le problème est considéré dans sa globalité : l’ensemble

des équations le régissant est résolu dans un même système d’équations, où le couplage

apparaît sous forme de termes croisés dans la matrice issue de la formulation numérique.

Cette technique de couplage présente l’avantage de ne pas nécessiter de transfert de données

ni d’interpolation, donc moins d’erreurs et une grande précision sur les résultats. Toutefois,

plusieurs facteurs sont à l’origine du temps de calcul très longs et une occupation mémoire

importante.

Le modèle de couplage des équations électromagnétiques et thermiques que nous proposons

dans le cadre de ce travail est le mode de couplage alterné. La modélisation qui utilise ce

modèle de couplage alterné (MCA) permet de résoudre séparément les problèmes

électromagnétique et thermique. Le couplage se fait alors par le transfert des données de l’un

des deux problèmes vers l’autre. Ce mode de couplage est plus simple à mettre en œuvre

puisque l’échange des informations est unilatéral au cours d’un pas de temps. Il s’applique


71

bien au couplage thermique car les constantes de temps sont généralement grandes comparées

aux constantes de temps électriques. Il permet également un gain de mémoire par rapport au

mode de couplage fort car la matrice, issue de la formulation numérique, à résoudre est de taille plus petite.

Le mode de couplage alterné a donc été retenu, nous tenons à signaler que dans les travaux de

modélisation des phénomènes électromagnétique et thermiques couplé, trouvés dans la

littérature, utilisent ce mode de couplage. L’algorithme de ce mode de couplage est représenté

sur la Fig.III.16.

Fig.III.16. Organigramme utilisé pour calculer la solution du système couplé

magnétothermique au sein d’un supraconducteur.

Initialisation

Résolution du problème électromagnétique

Calcul de la densité de puissance due aux pertes engendrées dans le matériau SHTC

Résolution du problème thermique

Test de convergence ?

Fin

Réactualisation des propriétés

thermiques

Réactualisation des propriétés magnétiques

Non Oui

Chapitre IV. Applications et validations

72

Chapitre IV.

APPLICATIONS ET VALIDATIONS

IV.1. Aimantation des pastilles supraconductrices 73

IV.1.1. Introduction 73


durant le processus d’aimantation des pastilles supraconductrices 76

IV.1.2.1. Procédés d’aimantation 77

IV.1.2.2. Résultats de simulation 78

IV.1.2.3. Implantation des canaux dans la pastille

supraconductrice à aimanter 82

IV.1.2.4. Force de lévitation magnétique entre aimant et

Supraconducteur aimanté, avec et sans canaux de refroidissement 87

IV.2. Association aimant permanent-supraconducteur 93

IV.2.1. Modélisation de l’aimant 93

IV.2.2. Validations des modèles 94

IV.2.2.1. Validation des modèles par confrontation

avec des résultats expérimentaux trouvés dans la littérature 95

IV.2.2.1.1. Validation de la MVFM par force d’interaction verticale 95

IV.2.2.1.2. Validation de la MVFC par comparaison avec la MVFM 96

IV.2.2.1.3. Validation de la MVFM par force d’interaction latérale 97

IV.2.2.2. Mesure des forces latérales 99

IV.2.2.3. Comparaison entre la formulation magnétique

jaugée et la formulation magnétique sans jauge 104

IV.2.3. Etudes de l’influence des paramètres géométriques et physiques

sur les forces d’interactions 105

IV.2.3.1. Etude de l’influence des paramètres géométriques de l’aimant

et de la pastille supraconductrice sur la force de lévitation 105

IV.2.3.1.1. Influence de l’épaisseur de l’aimant 105

IV.2.3.1.2. Influence du diamètre de l’aimant 108

IV.2.3.2. Influence de la distance de refroidissement sous champ 110

IV.2.3.3. Influence de la température du milieu extérieur 119

IV.2.3.4. Influence de la forme et de dimensions de la pastille

supraconductrice dans un système de guidage magnétique 124

IV.2.4. Couplage mécanique 128

IV.2.4.1. Formulation du problème 129

IV.2.4.2. Etude dynamique 130

IV.2.4.2. Formulation du deuxième problème133

IV.2.4.2.1. Résultats des simulations 136

IV.2.5. Etude de la relaxation de la force de lévitation 144


73

Dans les chapitres II et III, nous avons présenté les formulations mathématiques et

numériques qui décrivent les phénomènes magnétothermiques dans les matériaux

supraconducteurs à haute température critique ainsi que les méthodes numériques de

discrétisation et de résolution. Dans ce chapitre, nous présentons les résultats des

simulations obtenus à partir des codes numériques développés et implémentés sous

l’environnement MATLAB. Dans un premier temps, nous abordons de manière détaillée, la

réponse dynamique d’une pastille supraconductrice en YBCO à une variation de champ

magnétique avec considération des effets thermiques. La répartition spatio-temporelle de

la température au sein de la pastille ainsi que les profils de la densité de courant et de

l’induction magnétique y sont présentés où nous déterminons les critères qui permettent

l’optimisation des processus d’aimantation des pastilles supraconductrices. Nous

présentons ainsi, les résultats de simulation d’une nouvelle technique qui peut être

appliquée dans le but d’améliorer les contraintes thermiques durant le processus

d’aimantation. Cette nouvelle technique est basée sur l’implantation de canaux de

refroidissement dans une pastille supraconductrice. Dans un second temps, nous nous

intéressons à l’étude de l’interaction entre un aimant permanent et un supraconducteur haute température critique (Etude de la lévitation magnétique).


74

IV.1. Aimantation des pastilles supraconductrices

IV.1.1. Introduction

Comme il a été présenté précédemment (chapitre I, § I.4.6), un supraconducteur massif

peut aussi être utilisé comme aimant permanent. En refroidissant à champ nul, un

supraconducteur à haute température critique, en l’exposant à une variation rapide du

champ magnétique, il va piéger le champ magnétique. Le champ piégé dans le

supraconducteur est lié à des courants induits par la loi de Lenz. Ces courants se

développent comme dans un métal normal, à partir de la surface extérieure, mais

contrairement aux matériaux résistifs, ils ne s’amortissent pas puisque la résistivité est

nulle. Le modèle de Bean (chapitre II, § II.2.2) permet facilement d’expliquer le principe

de piégeage de flux dans un supraconducteur. Nous considérons une pastille

supraconductrice d’épaisseur 2a et infiniment longue suivant les directions y et z du

référentiel. Cette plaque est soumise à un champ magnétique extérieur Ha appliqué suivant l’axe y comme montré sur la figure ci-dessus (Figure.IV.1).

Fig.IV.1. Plaque supraconductrice d’épaisseur 2a et infiniment longue suivant

les directions y et z.

Nous supposons que le champ magnétique extérieur augmente à partir de zéro jusqu’à une

valeur maximale Hm puis diminue jusqu’à –Hm.

Les répartitions de J et H dans la plaque supraconductrice sont présentées ci-après

(Fig.IV.2). En se basant sur le modèle de Bean et les équations de Maxwell, on peut

déterminer et expliquer cette répartition durant les différentes phases du processus d’aimantation.

x

z

y

Ha Ha

a - a


75

- Phase I : durant la première phase (Fig.IV.2.a), on suppose que le champ magnétique

appliqué à l’extérieur augmente. Suivant la loi de Lenz, des courants qui s’opposent aux

variations du champ magnétique se développent sur les bords de la pastille

supraconductrice. D’après le modèle de Bean, ces courants ont une densité égale à Jc, par

conséquent, le champ magnétique décroit de façon linéaire à l’intérieur de la pastille avec

la pente :

Jcx

Hy

(IV.1)

- Phase II : dans cette phase, la valeur du champ magnétique externe continue à augmenter

jusqu’à une valeur Hp, le champ magnétique continue à pénétrer dans la pastille

supraconductrice en atteignant le centre et la totalité de l’épaisseur est traversée par une

densité de courant qui vaut Jc (Fig.IV.2.b). La valeur du champ magnétique externe appliquée est appelée champ de pénétration complet est noté Hp.

- Phase III : dans cette phase, on suppose que le champ magnétique continue à augmenter,

de façon que la valeur de Hm dépasse la valeur Hp (Fig.IV.2.c). Comme les courants

d’écrantage, selon le modèle, ne peuvent plus augmenter, ils ne s’opposent plus au nouvel

accroissement du champ magnétique et celui-ci augmente d’une façon égale partout dans le conducteur.

- Phase IV : durant cette phase, le champ magnétique extérieur décroit. Les courants

d’écrantage s’oppose à cette diminution et sur les bords de la plaque des courants de sens

opposés apparaissent, la densité de courant et le champ restant inchangés ailleurs, comme il est indiqué sur la figure IV.2.d

- Phase V : le champ magnétique diminue d’une valeur de 2Hp par rapport à sa valeur

maximale, le supraconducteur est donc de nouveau en pénétration complète, cette fois avec une densité de courant égale à –Jc (Fig.IV.2.e).

- Phase VI : quand le champ magnétique extérieur recommence à augmenter, des régions avec des courants opposés apparaissent de nouveau sur les bords, voir figure IV.2.f.

Ainsi, dès que le champ magnétique pénètre la pastille supraconductrice (dans les deux

cas, pénétration complète ou partielle), il existe toujours des courants d’écrantage dans la

pastille, même quand le champ extérieur passe par zéro, le champ magnétique se trouve

piégé à l’intérieur de la pastille supraconductrice, c’est ce qui traduit son comportement

hystérétique. Ce comportement ressemble à celui d’un aimant permanent, c’est pourquoi,

on parle également de cryoaimant pour un supraconducteur capable de générer un champ magnétique.

Des valeurs de champ piégé de 9 T à 40 K et de 12.5 T à 22 K ont été obtenue pour un

aimant YBa2Cu3O7-δ (Y123) [Gruss 01] et plus récemment la valeur de 17 T à 29 K pour

un disque de 2.65 cm de diamètre [Tomita 03]. Cette propriété des SHTC peut être

exploitée comme source de champ à la place des aimants permanents conventionnels qui


76

sont limités en valeurs de champ. La réalisation des moteurs supraconducteurs avec des

SHTC massifs comme pôles magnétiques dans une machine tournante à entrefer axial à l’université des sciences et technologies marines de Tokyo [Miki 06] en fait un exemple.

Fig.IV.2. Distribution de la densité de courant et du champ dans une pastille supraconductrice selon le modèle de Bean.

Ha

y

x

J = - Jc

J = + Jc J = + Jc J = + Jc

J = + Jc J = + Jc

J = + Jc

J = - Jc J = - Jc

J = - Jc J = - Jc

Phase I : Ha , Ha HP

Ha

Ha

Ha

Ha

Ha

Phase II : Ha , Ha= HP Phase III : Ha , Ha= Hm>HP

Phase IV : Ha , Ha> Hm -2HP Phase V : Ha , Ha= Hm -2HP Phase VI : Ha , Ha= Hm -2HP

a) b) c)

d) e) f)


77


durant le processus d’aimantation des pastilles supraconductrices :

Dans cette partie, nous présentons les résultats de simulations du comportement

magnétothermique d’une pastille supraconductrice YBCO durant le processus

d’aimantation.

Nous rappelons qu’il existe Plusieurs modèles macroscopiques pour définir la loi de

comportement des SHTC, les plus utilisés sont, le modèle de Bean [Bean 62] et le modèle

de la loi en puissance [Kasal 07]. Le modèle de Bean est plus particulièrement adapté pour

les matériaux utilisés à basse température critique, le modèle de la loi de puissance de

nature empirique peut représenter seulement le phénomène de flux Creep. De notre part,

nous avons utilisé un modèle plus général, qui tient compte du déplacement et de l’encrage

des vortex ; c’est ce que l’on appel le modèle ‘Flux Flow-Flux Creep’ (FFC). Ainsi, le régime de flux Creep est décrit par [Yoshida 94] :

kT

Uexp

Jc

J

kT

U sinhJ2ρJfE 00

cc )( , 0 ≤ J ≤ Jc (IV.2)

et le régime de flux flow est décrit par [Yoshida 94] :

1

Jc

J Jc ρJcρf(J)E fc , J > Jc (IV.3)

où ρc est la résistivité de flux Creep, U0 est énergie de piégeage, k est la constante de

Boltzmann, Jc est la densité de courant critique et ρf est la résistivité de flux Creep. Comme

il a été présenté précédemment, la dépendance en température de la densité du courant critique Jc est supposée linéaire, elle est décrite par la relation suivante [Braeck 02] :

00 TTc

TTc) Jc(TJc (T)

(IV.4)

Tc est la température critique du SHTC, T0 est la température du liquide cryogénique et

Jc(T0) est la valeur de la densité de courant critique à la température T = T0. Pour

l'évaluation de la distribution de la température au sein du matériau supraconducteur, l’équation de diffusion de la chaleur est utilisée :

WTκ(T)t

T(T)ρC p

. (IV.5)

ρCp est la capacité calorifique, est la conductivité thermique du matériau

supraconducteur et W est le terme source de la chaleur provenant de l'effet

électromagnétique dans le SHTC. Dans ce modèle, on considère la dépendance des différents paramètres vis-à-vis de la température.


78

Les échanges thermiques entre le SHTC et le milieu extérieur (fluide cryogénique) sont

considérés comme étant dus essentiellement à l’effet convectif. Ainsi, sur les frontières du SHTC et le milieu extérieur, une condition de Neumann non homogène est utilisée :

)Th(TT.nκ(T) bain (IV.6)

h est un coefficient convectif exprimant l'échange thermique entre le supraconducteur et le fluide cryogénique, T est la température à la surface interne du SHTC et Tbain=T0.

Les propriétés thermiques de la pastille supraconductrice en YBCO utilisée dans la

simulation sont résumées dans le tableau VI.1, ces valeurs (ou bien ces expressions) sont extraites de la littérature [Buzon 02, Berger 06, Braeck 02].

Tableau VI.1. Propriétés thermiques du SHTC en YBCO utilisé dans la simulation.

Quantité Valeur ou expression

ρCp(T) : Capacité Calorifique moyenne [J.cm-3.K-1]

-0.5050 + 0.0245T – 6.2 10-5 T2 + 5.2 10-8 T3

κ : conductivité thermique

7 [W/(m.K)]

h : coefficient de convection du fluide cryogénique (Azote liquide)

400 [W/(m2.K)]

Tc : température critique 92 [K]

Jc(T0) : densité de courant critique à 77 K

500 A/mm2

T0 : température de l’azote liquide 77 K

IV.1.2.1 Procédés d’aimantation

Il existe de nombreux procédés d’aimantation des pastilles supraconductrices HTC, parmi

lesquels on peut en citer la ‘Magnétisation par Champ Pulsé’ (MCP) ou ‘Pulsed Field

Magnetization’ (PFM) en terminologie anglaise. Ce procédé est souvent utilisé pour

l’aimantation puisqu’il permet d’atteindre des valeurs de champ magnétique piégé très

élevées. Ce procédé est considéré comme la méthode la plus commode et prometteuse [Braeck 02].

La MCP est obtenue grâce à l’utilisation d’une bobine magnétisante traversée par une

impulsion de courant importante. Pour cela une décharge de type R, L, C peut être utilisée.

L’expression du champ magnétique appliqué est alors donnée par la solution de l’équation

de décharge du circuit. Dans certains travaux [Berger 06], le champ magnétique produit

par la bobine magnétisante est représenté par une fonction exponentielle (Fig.IV.3.a), son expression est donnée par :


79

)1exp()(

tt

HtH ma (IV.7)

où est la constante de temps de la décharge et )/(0 τexp(1)qH m est la champ maximal

obtenu à t = , q0 étant la charge initiale du condensateur C du circuit de décharge. Dans

d’autres travaux de modélisation [Braeck 02], le champ de magnétisation Ha(t) est

représenté par une fonction de forme triangulaire représenté dans la Fig.IV.3.b. Son expression est donnée par :

)ttR(ttH mma )( (IV.8)

où R est une constante, le champ magnétique appliqué prend une valeur croissante jusqu’à

la valeur maximale Hm, dans l’intervalle de temps 0 ≤ t ≤ tm = Hm/R, puis, il décroit dans l’intervalle de temps tm≤ t ≤2tm.

Fig.IV.3. Evolution temporelle du champ magnétisant, Fig.IV.3.a. Le champ magnétisant

est représenté par une fonction exponentielle, Fig.IV.3.b. Le champ magnétisant est représenté par une fonction de forme triangulaire.

IV.1.2.2 Résultats de simulation

Le processus d’aimantation des pastilles supraconductrices est accompagné par une

élévation importante de la température au sein de la pastille. Ce comportement des SHTC

est dû aux mouvements des vortex durant le processus d’activation par MCP impliquant

une dissipation de chaleur qui est accompagnée par une élévation importante de la

température. Cette augmentation de température conduit à une diminution de la densité de courant et par la suite à celle également de l’induction magnétique piégée.

Dans le but d’étudier ce comportement, nous avons modélisé les phénomènes

magnétothermiques présents durant l’aimantation d’une pastille supraconductrice. Les

résultats de simulation sont obtenus pour une pastille supraconductrice (YBCO) de

Hm

tm 2tm

Hm b)

a)


80

dimensions (x y z) = (15 15 15) mm3. Le champ de magnétisation appliqué est de

forme triangulaire avec une valeur maximale Hm égale à (5/0).

Le comportement magnétothermique de la pastille durant son aimantation dépend

principalement de la vitesse de croissance du champ de magnétisation [Berger 06]. Pour

étudier ce comportement en tenant compte de l’influence de la vitesse de variation du

champ magnétisant, des profils de la température T, de densité de courant J et de la

répartition du champ d’induction magnétique B à 5 mm au dessus de la pastille

supraconductrice aimantée sont reportés respectivement sur la figure IV.4, la figure IV.5 et

la figure IV.6 avec différentes valeurs de comprisses entre 0.001 s (décharge rapide) et 1s

(décharge lente)

D’après la figure IV.4 on remarque que l’échauffement de la pastille est plus important

dans le cas des décharges rapides (variation importante du champ magnétisant). Pour

= 0.001 s, l’échauffement est plus élevé dans la périphérie de la pastille car les courants

se développent principalement au bord de l’échantillon pour écranté le champ magnétique

extérieur. La température est plus élevée à l’extérieur de la pastille, car le temps de

diffusion de la chaleur td est très grand devant le temps de montée tm (le rapport entre les

deux temps caractéristiques est très petit, de l’ordre de 0.001) [Braeck 02]. Par conséquent,

la chaleur n’a pas le temps nécessaire pour diffuser vers le centre de la pastille.

L’échauffement important situé sur les bords de la pastille pour = 0.001s a provoqué une

chute importante de la valeur de la densité des courants sur les bords de la pastille. Dans ce cas les courants sont plus importants au centre de la pastille.

Fig.IV.4. Distribution de la température au sein de la pastille supraconductrice aimantée (la

moitié de la pastille) en régime permanent pour égale à 0.001 s, 0.01 s, 0.1 s et 1 s

respectivement.

T (k) T (k)

T (k) T (k)


81

Pour = 0.01, les effets thermiques sont moins importants et la pastille commence à se

refroidir. Pour = [0.1 s ; 1s], l’élévation de la température est très faible, voir

négligeable. Pour = 1 s, la densité de courant se répartit d’une manière uniforme à

l’intérieur de la pastille comme il est montré dans la figure IV.5. Les valeurs maximales, de

la température, de l’induction magnétique produite par la pastille aimantée à z = 0.5 mm au

dessus de la pastille, de la densité de courant critique, en régime permanent, sont

importants dans le cas de la magnétisation avec un champ de grande vitesse de variation

( = 0.001 s), qui sont respectivement Tmax ( = 0.001) = 88.1221 K, Jmax ( = 0.001) =1.4367108

A/m2 et Bmax ( = 0.001) =0.5138 T.

Fig.IV.5. Répartition de la densité de courant (la composante Jy) au sein de la pastille

supraconductrice (la moitié de la pastille) aimantée en régime permanent pour = 0.001 s, 0.01 s, 0.1 s et 1 s respectivement.

Jy (A/m2)×108

Jy (A/m2) )×108 Jy (A/m2) )×108

Jy (A/m2) )×108


82

Fig.IV.6. Distribution de l’induction magnétique B à z = 5 mm au dessus de la pastille

supraconductrice aimantée dans le cas où l’effet thermique est pris en compte, pour égale à 0.001 s, 0.01 s, 0.1 s et 1 s respectivement.

Pour comparer les performances des processus d’aimantation présentés précédemment,

nous avons tracé sur la Figure.IV.7 les valeurs maximales, au régime permanent, pour

chaque type d’aimantation (aimantation avec les différentes valeurs de ), de la

température Tmax au sein de la pastille supraconductrice, de l’induction magnétique Bmax

calculée à 0.5 mm au dessus de la pastille supraconductrice, de la densité de courant dans la

pastille aimantée Jmax et de l’énergie dissipée maximale Edissmax, calculée pour les

différentes valeurs de . Ces valeurs sont ramenées à Tmax ( = 0.001), Bmax ( = 0.001), Jmax ( =

0.001) et à Ediss ( = 0.001)

D’après les résultats présentés précédemment, nous pouvons dire que les meilleures

performances en terme de valeur du champ magnétique produit par la pastille aimantée et

en terme de courant au sein de la pastille, sont obtenues avec un champ d’aimantation de

grande vitesse de variation (=0.001 s). L’inconvénient majeur de ce type d’aimantation

est l’augmentation de l’énergie dissipée et par conséquent, l’augmentation de la

température au sein de la pastille supraconductrice à aimanter, l’énergie dissipée diminue avec l’augmentation de .

B (T)

B (T) B (T)

B (T)


83

Figure. IV.7. Valeurs maximales, Tmax, Jmax, Bmax et Edissmax, en unité relative, pour chaque

type d’aimantation ( comprises entre 0.001 s et 1 s ).

IV.1.2.3 Implantation des canaux dans la pastille supraconductrice à aimanter

Dans ce paragraphe, nous présentons les résultats de simulation d’une technique qui peut

être utilisée en pratique, dans le but d'augmenter, la valeur du champ magnétique piégé

dans les SHTC durant le processus d’activation par MCP. Cette technique consiste à créer

des canaux dans le matériau SHTC [Alloui 09 b] refroidis par le liquide cryogénique

(Fig.IV.8). Ainsi, on renforce le transfert de chaleur par convection entre la pastille

supraconductrice et le milieu extérieur. Cette technique est alors accompagnée par une

diminution de la température à l’intérieur du SHTC, conduisant à une amélioration des

performances électromagnétiques du supraconducteur durant son processus d’aimantation.

Fig.IV.8. Implantation de canaux de refroidissement dans la pastille supraconductrice.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

(s)

(Tmax/ Tmax ( = 0.001)) (Bmax/ Bmax ( = 0.001)) (Ediss max/ Ediss max ( = 0.001)) (Jmax/ Jmax ( = 0.001))

Implémentation de canaux


84

Les résultats de simulation sont obtenus pour deux pastilles supraconductrices (YBCO) de

même dimensions (x y z) = (20 20 16) mm3. La première sans canaux et la deuxième

avec canaux (cent canaux uniformément répartis ont été introduits dans la pastille avec les

dimensions ((x y z) = (0.8 0.8 16) mm3). De même que précédemment, le champ

magnétique pulsé est obtenu à partir d’un champ appliqué à l’extérieur de forme

triangulaire [Braeck 02] :

)ttR(t(t)H mma (IV.9)

D’après les résultats présentés précédemment, on peut dire que l’effet thermique apparait

pour l’aimantation avec des champs de magnétisation de grande vitesse (=0.001 s). Cette

technique doit être appliquée dans le but d’atténuer les effets thermiques durant le

processus d’aimantation, pour cette raison, cette technique doit être appliquée pour les

aimantations des pastilles avec des champs de magnétisations de grande vitesse de

variation. Les figures, IV.9.a et figure IV.9.b montrent respectivement la distribution du

champ d’induction magnétique, calculé à une distance de 3.2 mm au dessus de la première

pastille supraconductrice (sans canaux de refroidissement) en régime permanent, pour

Hm = (5/0) A/m dans le cas où l’effet thermique est pris en compte dans la pastille et dans

le cas, où on ne tient pas compte de l’effet thermique, c'est-à-dire où on suppose que la

température dans la pastille est celle du bain d’azote (T = 77 K). On comparant les deux

figures on peut dire que l’élévation de la température à l’intérieur de la pastille

provoquerait une diminution considérable du champ piégé. En effet, la valeur maximale du

champ d’induction magnétique piégé dans la pastille, en régime permanent, dans le cas

avec effet thermique est de 0.59 T, en revanche la valeur maximale du champ d’induction

magnétique piégé dans le cas idéal sans effet thermique est de 1.26 T. Cela est dû à la

dépendance de la valeur du champ magnétique piégé par les courants induits. En régime

permanent, la valeur de ces courants diminue avec l’augmentation de la température.

Fig.IV.9.a. Distribution de l’induction magnétique à 3.2 mm au dessus de la pastille

supraconductrice sans canaux lors de la prise en compte de l’effet thermique.

Fig.IV.9.b Distribution de l’induction magnétique à 3.2 mm au dessus de la pastille

supraconductrice sans canaux refroidis dans le cas où on ne tient pas compte de l’effet thermique.

B(T) B(T)


85

Figure.IV.10. Distribution de la température au sein du matériau supraconducteur sans canaux en régime permanent.

Nous remarquons que l’augmentation de la température au sein du SHTC ne peut être

négligée lors de son aimantation par MCP. Le moyen pour améliorer le processus

d’aimantation est de diminuer la température à l'intérieur et d’augmenter ainsi le champ

piégé d’où l’idée d’insérer des canaux de refroidissement (deuxième pastille). L'échange

thermique par convection avec le milieu extérieur à travers ces canaux de refroidissement est renforcé et par suite la température s’en trouvera diminuée.

La figure IV.11 montre la distribution de la température en régime permanent au sein de la

deuxième pastille supraconductrice avec canaux de refroidissement (cent canaux

uniformément répartis ont été implantés dans le supraconducteurs avec les dimensions (x y z) = (0.8 0.8 16) mm3).

Figure.IV.11. Distribution de la température au sein de la pastille supraconductrice avec

canaux en régime permanent.

T(K)

T(K)


86

Afin de voir l’influence des canaux de refroidissement sur la valeur du champ piégé, nous

avons calculé le champ d’induction magnétique pour la même distance de 3.2 mm au

dessus de la pastille, représentée sur la figure IV.12. On peut dire que les canaux ont un

effet positif sur la valeur du champ piégé, en effet, la valeur maximale du champ piégé dans ce cas est de 0.90 T.

Fig.IV.12. Distribution du champ d’induction magnétique à 3.2 mm au dessus du supraconducteur à canaux en régime permanent.

Il a été démontré expérimentalement que l’augmentation du champ à partir d’une certaine

valeur dite optimale B = Bopt provoquerait une diminution du champ piégé en régime

permanant [Mizutani 00]. Cela est dû à l’augmentation de la température au sein du matériau supraconducteur (Fig.IV.13).

La figure IV.13 représente la distribution du champ d’induction magnétique B calculé sur

une distance 3.2 mm au dessus de la pastille supraconductrice en régime permanent pour

un temps t = 2 tm, pour Bm = 5.5 T. Dans ce cas, on remarque une diminution de la valeur du champ magnétique piégé par rapport à celle calculée pour B = 5 T (Fig.IV.9).

Pour vérifier l’effet des canaux, nous avons calculé le champ magnétique au dessus de la

pastille supraconductrice en régime permanent dans les mêmes conditions précédentes

(Fig.IV.14). Dans ce cas la valeur maximale du champ piégé est de 1.05 T. Par

comparaison avec le résultat précédent, nous pouvons dire qu'en plus de l'effet du champ

optimal appliqué qui permet d'augmenter le champ magnétique piégé, l’introduction des canaux de refroidissement dans le SHTC permet aussi d'augmenter le champ piégé.

Pour montrer la dépendance de la valeur du champ magnétique piégé Bme en fonction de la

valeur maximale du champ Bm appliqué, nous avons calculé la valeur de Bme à 3.2 mm

(Fig.IV.15) au dessus de la pastille supraconductrice en fonction de Bm,

B(T)


87

Fig.IV.13. Distribution du champ d’induction magnétique à 3.2 mm au dessus de la pastille supraconductrice sans canaux en régime permanent pour Bm = 5.5T ≥ Bopt.

Fig.IV.14. Distribution du champ d’induction magnétique à 3.2 mm au dessus de la pastille

supraconductrice avec canaux en régime permanent pour Bm = 5.5 T ≥ Bopt.

B(T)

B(T)


88

Fig.IV.15. La dépendance de la valeur maximale du champ piégé Bme calculé à 3.2 mm au

dessus de la pastille supraconductrice en fonction de la valeur maximale du champ appliqué Bm dans les deux pastilles supraconductrices.

IV.1.2.4 Force de lévitation magnétique entre aimant et supraconducteur aimanté, avec et sans canaux de refroidissement

Comme il a été présenté précédemment, le processus d’aimantation des pastilles

supraconductrices est accompagné par une élévation importante de la température au sein

de la pastille supraconductrice. La température peut atteindre la valeur de 88 K à l’intérieur

de la pastille [Braeck 02]. Or, d’après les travaux expérimentaux réalisés par Jiang et all

[Jiang 02] et plus récemment par Suzuki et all [Suzuki 07], la force de lévitation est

inversement proportionnelle à la température. L’augmentation de la température

provoquerait la diminution de la densité du courant dans la pastille supraconductrice et par

conséquent, la diminution de la force de lévitation, jusqu’à ce qu’elle s’annule à la

température critique [Jiang 02].

Dans le but de faire une comparaison entre la force de lévitation obtenue à partir d’un

aimant d’aimantation M = 1.1T, d’épaisseur h = 12 mm et de diamètre D = 22 mm, au

dessus d’une pastille supraconductrice non-aimantée (PSNA) et une pastille

supraconductrice aimantée (PSA) de dimensions 13×13×12 mm3, nous avons calculé la

force de lévitation dans les deux cas. La figure IV.16 présente la force de lévitation

calculée en fonction de l’écart aimant-supra. Il est clair que la force de lévitation entre

aimant et la pastille supraconductrice augmente avec le rapprochement de l’aimant. La

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.50

0.5

1

1.5

Bm(T)

Bm

e(T

)

cas idéal

avec canaux

sans canaux

Bm(T)


89

force de lévitation obtenue à partir d’une PSA est plus élevée que celle obtenue à partir

d’une PSNA durant toute la phase de rapprochement de l’aimant, sa valeur maximale

à z = 3mm dans le cas de la PSNA est de 20.2 N, alors qu’elle est de 43 N dans le cas de la PSA.

Dans le cas de la PSA, nous remarquons que le cycle de force obtenu est très étroit par

rapport à celui obtenu pour la PSNA, l’allure de la force obtenue pour la PSA est

comparable à celle obtenue par He et all [He 04]. Cela est dû au fait que la force de

lévitation est proportionnelle à la densité des courants dans la pastille supraconductrice.

Dans le cas de la PSA la densité du courant est peu influencée par le mouvement de

l’aimant car les courants dans la pastille supraconductrice ont déjà pris naissance durant le

processus d’aimantation, comme il est montré dans la figure IV.17, les courants

supraconducteurs ont presque la même allure durant le déplacement de l’aimant de

z = 20 mm à z = 3 mm, nous pouvons dire alors, que la force de lévitation dans ce cas là,

est dominée par les courants créés durant le processus d’aimantation, alors que dans le cas

de la PSNA, les courants sont générés par le mouvement de l’aimant. Seule la variation

dans le temps du champ magnétique de l’aimant peut créer les courants dans la pastille supraconductrice non aimantée comme le montre la figure IV.18.

Pour la répartition des courants supraconducteurs dans la PSA, nous remarquons selon la

figure IV.17 que la densité des courants dans le cas de PSA, sont répartis dans tout le

volume de la pastille (pénétration complète), et ils sont plus faibles sur les bords qu’au

centre de la pastille, cela est dû à l’élévation importante de la température sur les bords de

la pastille par rapport aux autres endroits de la pastille, et vu la dépendance des courants

supraconducteurs en température, l’augmentation de la température provoquerait la

diminution de la densité du courant. Dans le cas de la PSNA les courants sont répartis sur

le bord supérieur de la pastille (côté le plus proche de la source), puisque la température reste presque constante, dans ce cas, l’effet thermique peut être négligé.

La figure IV.19.a représente le profil de la température au sein de la pastille

supraconductrice aimantée. La température dans la pastille peut atteindre les 87 K. Nous

pouvons dire alors que dans ce cas l’effet thermique ne peut être négligé. Pour améliorer

les contraintes thermiques durant le processus d’aimantation, par diminution de la

température, nous avons introduit dans la pastille supraconductrice 64 canaux de

refroidissement de dimension 0.433×0.433×12 mm3 (valeur optimale). Le but est de

pouvoir renforcer l’échange thermique par effet convectif avec le bain d’azote à travers ces

canaux. La figure IV.19.b présente le profil de la température au sein de la pastille

supraconductrice à canaux, en régime permanent. En comparant les deux figures : IV.19.a

et IV.19.b, nous pouvons remarquer une différence entre les deux profils de température.

L’implantation des canaux dans la pastille supraconductrice a permis de diminuer la température.


90

Fig.IV.16. Force d’interaction verticale exercée entre l’aimant et pastille supraconductrice.

Fig.IV.17. Répartition des courants supraconducteurs dans une pastille supraconductrice aimantée où l’aimant est sur une distance de z = 20mm et de z = 3 mm respectivement.

Fig.IV.18. Répartition des lignes de champ d’induction magnétique B et courants

supraconducteurs dans la pastille supraconductrice non aimantée où l’aimant et dans sa position initiale à z = 20 mm, et dans sa position finale de z = 3 mm respectivement.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

35

40

45F

orce

de

lévi

tati

on v

erti

cale

(N

)

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)

Ecart aimant-supra (mm) Ecart aimant-supra (mm)

Jy (A/mm2)

J(A/mm2)

Jy (A/mm2)

Pastille non-aimantée Pastille aimantée


91

Fig.IV.19.a. Répartition de la température à l’intérieur de la pastille supraconductrice aimantée en régime permanant.

Fig.IV.19.b. Répartition de la température à l’intérieur de la pastille supraconductrice, 64 canaux ont été introduit dans la pastille.

Pour voir l’effet des canaux implantés dans la pastille supraconductrice sur la force de

lévitation, nous avons calculé la force de lévitation entre aimant et pastille

supraconductrice avec et sans canaux. La figure IV.20.a représente le force de lévitation

exercée entre aimant et pastille supraconductrice dans les deux cas ; pastille

supraconductrice avec et sans canaux de refroidissement et aussi dans le cas où on néglige

l’effet thermique, c'est-à-dire le cas où on suppose que la température de la pastille supraconductrice est maintenue à la température de l’azote liquide (77 K).

Il est évident que dans le cas où on néglige l’effet thermique, la force de lévitation est

beaucoup plus importante, la force de lévitation atteint la valeur de 75.87 N à

z = 3mm. Bien que ce cas présente le cas idéal, il est très loin de la réalité physique vu

l’échauffement produit dans la pastille durant le processus d’aimantation. Concernant

l’implantation des canaux, nous pouvons dire que cette technique a permis de réduire les

contraintes thermiques par conséquent d’augmenter la force de lévitation entre aimant et

pastille supraconductrice. Dans le cas de notre application elle a permis d’avoir une force

de lévitation de 50.69 N à z = 3mm au lieu d’une force de lévitation de 43 N à la même

distance.

Pour voir l’effet du volume des canaux sur la force de lévitation, nous avons calculé la

force de lévitation entre aimant et pastille supraconductrice avec canaux en fonction du

volume des canaux, le but, est de déterminer le volume qui peut être dédié aux canaux de

refroidissement pour que cette technique soit rentable d’une part, d’autre part, déterminer

la valeur du volume optimal des canaux qui permet d’avoir une grande force de lévitation.

La figure IV.20.b présente la dépendance entre la force de lévitation maximal calculée sur

une distance de z = 3mm en fonction du volume Vc des canaux de refroidissement. Dans

cette figure nous remarquons dans un premier temps, que la force de lévitation croit avec le

croissement du volume Vc jusqu'à la valeur optimale Vc = Vcoptimale = 144 mm3, soit

T (K) T (K)


92

presque 7 % du volume total de la pastille supraconductrice, cette valeur correspond à

l’implantation de 64 canaux de dimensions 0.43×0.43×12mm3. L’augmentation de la force

de lévitation durant cet intervalle peut être expliquée par le fait que d’augmenter le volume

Vc , on augmente le flux de chaleur échangé entre la pastille et le fluide cryogénique, ainsi

nous pouvons diminuer la température et nous provoquons ainsi l’augmentation de la

densité des courants et par conséquent la force de lévitation.

A partir de cette valeur l’augmentation du volume des canaux provoquerait une diminution

de la force de lévitation jusqu'à la valeur Vc = Vclimite = 439 mm3. Soit presque 22 % du

volume total. A partir de cette valeur, cette technique n’est plus rentable car la force de

lévitation dépend de la densité du courant dans la pastille supraconductrice, mais aussi du volume de la pastille supraconductrice.

Fig.IV.20.a Force d’interaction verticale exercée entre l’aimant et le supraconducteur en

fonction de l’écart aimant-supra. Dans les cas où la pastille supraconductrice est avec ou sans canaux de refroidissement et dans le cas où l’effet thermique est négligé.

Fig.IV.20.b Force maximale d’interaction verticale exercée entre aimant et pastille supraconductrices à canaux de refroidissement en fonction du volume des canaux.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80

0 100 200 300 400 500 60038

40

42

44

46

48

50

52

Cas idéal, Effet thermique négligé Pastille supraconductrice avec canaux Pastille supraconductrice sans canaux

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le

(N)

Ecart aimant-supra (mm)

F = 43N

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)

Volume des canaux Vc [mm3]


93

IV.2. Association aimant permanent-supraconducteur

IV.2.1 Modélisation de l’aimant

Dans ce travail, l’aimant permanent d’aimantation M, de hauteur h est modélisé par une

succession de ns spires parcourues par un courant d’intensité I = Mh/ns comme l’indique la figure IV.21.

Fig.IV.21. Modélisation de l’aimant par une succession de ns spires.

Dans cette étude, nous avons utilisé la formulation en potentiel vecteur magnétique et en

potentiel scalaire électrique (A-V). Dans un premier temps, nous avons évalué la partie du

potentiel vecteur magnétique As qui est due à l’aimant en tout point du domaine par la loi

de Biot Savart. L’induction magnétique Bs est évaluée par la relation : Bs = As.

Le potentiel vecteur magnétique As dans un point P produit par les spires est donné par :

ns4π

μ0IP

3r

dl)(As (IV.10)

où :

P : est un point quelconque de l’espace,

dl : est un élément du conducteur,

r : le vecteur allant d’un point de la spire au point M

La figure IV.22 représente la répartition spatiale de l’induction magnétique calculée

(Fig.IV.22.a) et mesurée (Fig.IV.22.b) à une distance de 0.5 mm au dessus d’un aimant

permanent (SmCo) de 20 mm de rayon, 30 mm d’épaisseur et ayant une aimantation de 1 T.

Des résultats satisfaisants sont obtenus si l’aimant a été remplacé par un nombre de spires ns espacées de 5 mm égal à 7.

M

I


94

Fig.IV.22. Répartition spatiale de la composante axiale de l’induction magnétique, calculée (figure a) et mesurée (figure b) à 0.5 mm au dessus de la surface supérieure de l’aimant.

IV.2.2 Validations des modèles

Avant de présenter les résultats obtenus par les modèles mathématico-numériques

développés, nous avons d’abord validé ces modèles par la confrontation entre les résultats

de simulation et les résultats expérimentaux. Ces derniers, ont été obtenus, soit par des

essais expérimentaux trouvés dans la littérature, soit par des essais expérimentaux réalisés au sein du laboratoire le GREEN.

Dans cette confrontation, nous avons utilisé les deux types de forces d’interactions ; verticale et latérale. Ces forces sont calculées par :

V

dV BJF (IV.11)

avec :

V

xyyxz

V

yzzyx

) dVBJB(JF

) dVBJB(JF

e) vertical(force

latérale) (force

(IV.12)

Bs

(mT

)

a) b)


95

IV.2.2.1. Validation des modèles par confrontation avec des résultats expérimentaux

trouvés dans la littérature

IV.2.2.1.1. Validation de la MVFM par le calcul de la force d’interaction verticale

Le premier test de validation concerne une géométrie cylindrique de la pastille

supraconductrice [Fou 00]. Dans ce cas, le code utilisant la MVFC ne peut être utilisé. La validation se fait donc par le code utilisant la MVFM.

La figure VI.23 représente la force d’interaction verticale en fonction de l’écart aimant-

supraconducteur obtenue par la MVFM et par l’expérience [Fou 00]. L’expérience consiste

à approcher l’aimant à partir d’une distance lointaine (refroidissement hors champ

magnétique) du supraconducteur puis l’éloigner. La vitesse de l’aimant reste la même

durant tout son déplacement (1 mm/s). La distance minimale entre l’aimant et le

supraconducteur est de 3 mm. Le supraconducteur caractérisé par une densité de courant

critique Jc = 108 A/m2 et l’aimant d’aimantation de 1,1 T, ont respectivement un rayon de 10.5 mm et de 11 mm et une épaisseur de 10 mm et de 20 mm.

En comparant les deux allures de la figure IV.23, on peut dire que la corrélation entre les

résultats numériques et les résultats expérimentaux pour le calcul de la force est très

satisfaisante. La valeur de l’erreur absolue maximale durant le processus du rapprochement

de l’aimant est de 0.90 N, cette valeur égale à 0.77 N durant le processus de l’éloignement

de l’aimant. La succession des phases d’approche et de retrait fait apparaître des cycles,

appelés cycles majeurs d’hystérésis (cycles (2°) et (3°) sur la figure IV.24). Ce phénomène

est une caractéristique des matériaux supraconducteurs à haute température critique

[Hiebel 92].

Fig.IV.23. Force verticale exercée entre l’aimant et le supraconducteur.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

10

15

20

For

ce

de l

évit

atio

n ve

rtic

ale

(N)


Résultats numériques

Résultats expérimentaux


96

Fig.IV.24. Cycle de force.

IV.2.2.1.2. Validation de la MVFC par comparaison avec la MVFM

La figure IV.25 représente la force d’interaction en fonction de l’écart aimant-

supraconducteur. Cette force d’interaction est calculée à partir des deux codes numériques

développés, basés sur les deux méthodes : la MVFC et la MVFM. Pour pouvoir appliquer

la MVFC, nous avons modélisé le comportement d’une pastille supraconductrice de forme

hexaédrique, de dimensions LxLyLz = 212110 mm3, avec une densité de courant

critique Jc égale à 108 A/m2. L’aimant de rayon 11 mm et d’une épaisseur de

20 mm est caractérisé par une aimantation M = 1 T.

D’après la figure IV.25, on peut dire que les forces de lévitation calculées par la MVFM et

par la MVFC sont comparables.

Le tableau IV.2 résume les données du calcul des deux méthodes. Dans le cas de la MVFC,

le temps de calcul CPU (temps de montée et de descente) est réduit d’une manière

considérable presque de moitié. Sans oublier le gain en espace mémoire, en effet le

nombre de nœuds à l’intérieur de la pastille supraconductrice Nt dans le cas de la MVFC

est égale à Nt = 2773 alors qu’il est de 3140 nœuds dans le cas de la MVFM.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

For

ce

de l

évit

atio

n ve

rtic

ale

(N)


Le premier cycle

Le deuxième et le troisième cycle

(1°)

(2°) et (3°)


97

Fig.IV.25. Force d’interaction verticale exercée entre l’aimant et le supraconducteur calculée par la MVFC et la MVFM.

Tableau.IV.2. Données du calcul des deux méthodes MVFC et MVFM

Points de comparaison MVFC MVFM

Erreur (N) Max 0.45

Moy 0.14 Temps CPU (s) 2773 4710

Taille du système nœuds 2700 3140

inconnues 10800 12560

IV.2.2.1.3. Validation de la MVFM par le calcul de la force d’interaction latérale

Dans cette expérience, l’aimant placé au dessus de la pastille supraconductrice est translaté

latéralement [Hull 99]. Deux types de refroidissements selon la position initiale de l’aimant z0, peuvent être envisagés :

Le refroidissement hors champ magnétique : dans ce cas, l’aimant est placé sur

une distance supposée lointaine z0, après le refroidissement de la pastille

supraconductrice (le passage de l’état normal vers l’état supraconducteur), l’aimant

est rapproché du supraconducteur jusqu’à la position finale zf. A partir de cette

0 5 10 15 20 25 30 35 40-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

MVFC MVFM

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)



98

position, l’aimant est translaté latéralement et une force latérale apparaît. Plusieurs

éléments peuvent influer sur la nature de cette force, principalement la distance

initiale z0, elle peut être répulsive (dans le cas où F(x) et x ont le même signe) ou

attractive (dans le cas où F(x) et x ont des signes différents).

Le refroidissement sous champ magnétique : dans ce cas, l’aimant est placé à

une distance z0 très proche du supraconducteur lors du refroidissement de la pastille

supraconductrice. A partir de cette position, il sera translaté latéralement.

La figure VI.26 représente les forces d’interactions latérales, calculées et mesurées [Hull

99], produites entre un aimant permanent et une pastille supraconductrice. La pastille

supraconductrice et l’aimant ont, respectivement, un diamètre de 30 mm et de 12.7 mm et

une épaisseur de 12 mm et 12.7 mm. La densité de courant critique de la pastille

supraconductrice est égale à 108 A/m2 [Hull 99]. Sur cette figure, sont reproduits les deux

types de refroidissement ; le refroidissement hors champ (RHC), où l’aimant d’aimantation

M = 0.33 T est placé à la position z0 = 30 mm supposée lointaine de la pastille. Il sera

rapproché avec une vitesse constante égale à 1 mm/s jusqu’à la position verticale finale

zf = 5 mm, à partir de cette position, l’aimant sera translaté latéralement suivant l’axe X, de

la position initiale x = 0 mm jusqu’à la position x = 12mm, et il sera ramené à la position

x = -12 mm, puis il sera reconduit vers sa position initiale. Pour le refroidissement sous

champ magnétique(RSC), l’aimant est placé à la distance z0 = zf = 5 mm. Après

refroidissement de la pastille, l’aimant sera translaté latéralement de la même manière que précédemment (refroidissement hors champ RHC).

Fig.IV.26. Forces d’interactions latérales pour les deux types de refroidissements, sous champ magnétique (RSC) et hors champ magnétique (RHC).

-15 -10 -5 0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Positions latérales x (mm)

For

ce l

atér

ale

(N)

+ Force calculée (RHC) Force Mesurée (RHC) Force calculée (RSC) Force mesurée (RSC)


99

IV.2.2.2. Mesure des forces latérales

Fig.IV.27. Mesure des forces d’interactions latérales

Dans ces expériences, la pastille supraconductrice est plongée dans un bain d’azote

(température de 77°K) et l’aimant placé au-dessus de la pastille supraconductrice est

translaté latéralement à l’aide d’un charriot métallique qui assure le mouvement

transversal. Selon la position initiale de la pastille supraconductrice lors du processus de

refroidissement, on peut assurer les deux types de refroidissement. Pour le premier, il s’agit

d’un refroidissent hors champ magnétique, dans lequel, la pastille supraconductrice est

placée à une distance suffisamment éloignée lors du processus de refroidissement. Pour le

second, il s’agit d’un refroidissement sous champ magnétique, dans lequel, la pastille

supraconductrice est placée en dessous de l’aimant permanent à une faible distance lors du

processus du refroidissement.

- Le refroidissement hors champ magnétique (RHC) : Dans cette expérience

(Figure IV.28.), l’aimant, de diamètre D = 22 mm et de hauteur h = 9.8 mm, est placé en

dessus d’un supraconducteur, de diamètre D = 20.82 mm et de hauteur h = 8.01mm, sur

une distance verticale initiale z0 = 0.5 et sur une distance latérale initiale x0, supposée

lointaine (pour assurer le refroidissement hors champ magnétique). Ce dernier sera

translaté latéralement sur un intervalle de 29 mm.

Bain d’azote liquide

Chariot dans le quel en colle l’aimant

permanent

Oscilloscope


100

Fig.IV.28. Mesure des forces d’interactions latérales lors du refroidissement hors champ

magnétique (RHC).

La figure IV.29, présente les forces d’interactions latérales, mesurées et calculées selon

deux modèles différents, le premier qui ne prend pas en compte l’influence du champ

d’induction magnétique B sur les grandeurs caractéristiques de la pastille supraconductrice,

tels que, la densité de courant critique Jc et le coefficient n dans la loi de puissance. Le

second, qui prend en considération ces dépendances. La dépendance des grandeurs

caractéristiques en champ d’induction magnétique B est exprimée par les relations

suivantes :

Supraconducteur

Aimant permanent Sens de déplacement

Position initiale

Pastille supraconductrice

Injection de l’azote liquide (refroidissement

hors champ)

La pastille est placée à une distance

lointaine


101

0

0

1

)(

B

B

JcBJc B (IV.13)

0

101

B

B1

n-nnn(B) (IV.14)

Tels que |B| est l’amplitude de l’induction magnétique. B0, n0, n1 sont des constantes et JcB0

est la densité de courant critique sous champ nul.

Fig.IV.29. Forces d’interactions latérales calculé et mesuré lors du refroidissement hors

champ magnétique.

A partir de la comparaison entre les résultats de simulation et les résultats expérimentaux,

on peut dire qu’il y a une bonne concordance entre la simulation et l’expérimentation.

Selon les résultats présentés dans la figure IV.29, on peut dire que dans le cas du

refroidissement hors champ magnétique, la pastille supraconductrice tente de s’opposer au

déplacement latéral de l’aimant (la force latérale s’oppose au déplacement de l’aimant

permanent). Dans ce cas, la pastille veut éjecter l’aimant dans la direction opposée du

mouvement de l’aimant, on peut dire alors, que dans ce cas, un système de lévitation

utilisant un supraconducteur ne serait pas stable latéralement.

0 5 10 15 20 25 30-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Déplacement latéral (mm)

For

ce l

atér

ale

(N)

Expérimentale Numérique sans la loi J(B) et n(B) Numérique avec la loi J(B) et n(B)


102

L’essai présenté ci-dessus a permis d’une part, de valider les modèles mathématico-

numériques développés précédemment, mais aussi, de déterminer les grandeurs

caractéristiques de la pastille supraconductrice utilisée dans cette expérience. Ces derniers

sont résumés dans le tableau ci-dessous :

Tableau.IV.3. Grandeurs caractéristiques de la pastille supraconductrice.

Grandeurs caractéristiques de la pastille supraconductrice valeurs

Densité de courant critique JcB0 (A/m2) 108

Le coefficient en puissance n0 20

Le coefficient n1 5

La valeur du champ B0 (T) 0.5

- Le refroidissement sous champ magnétique (RSC) : dans ce cas (Figure IV.30),

l’aimant est placé en dessous de la pastille supraconductrice lors du processus de

refroidissement et sur la même distance verticale initiale de z0 = 0.5 mm. Il sera translaté

latéralement sur un intervalle de 6mm.

La figure IV.31 présente les forces d’interactions latérales, mesurées et calculées selon les

deux modèles proposés, le premier qui prend en compte l’influence du champ d’induction

magnétique B sur les grandeurs caractéristiques de la pastille supraconductrice. Le second, qui ne prend pas en compte cette dépendance.

A partir de la comparaison entre les résultats de simulation et les résultats expérimentaux, on peut dire qu’il y a une bonne concordance entre la simulation et l’expérimentation.

Dans les cas du refroidissement sous champ magnétique, la force de rappelle est de signe

négatif. La pastille supraconductrice tente de maintenir l’aimant dans sa position initiale.

On peut dire que dans ce cas, la force de rappel conduirait à stabiliser un système en

lévitation. Dans ce cas, la force d’interaction latérale calculée à partir du modèle qui prend

en compte la dépendance en champ magnétique des grandeurs caractéristiques de la

pastille supraconductrice est très voisine de celle calculée à partir du modèle qui néglige

cette dépendance, l’écart maximal entre les deux forces calculées à partir des deux modèles

est de 0.11 N. Par contre, dans le cas du refroidissement hors champ magnétique présenté

précédemment, cet écart est plus important surtout pour les forts éloignements, il est de

0.65 N. En effet, la force latérale calculée à partir du modèle qui néglige la dépendance en

champ magnétique des grandeurs caractéristiques est supérieure à celle calculée à partir du modèle qui ne prend pas en compte cette dépendance.


103

Fig.IV.30.Mesure des forces d’interactions latérales lors du refroidissement sous champ

magnétique.

0 1 2 3 4 5 6 7-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Fig.IV.31. Forces d’interactions latérales calculées et mesurée lors du refroidissement sous

champ magnétique.

Supraconducteur

Aimant permanent Sens de déplacement

Position initiale

Capteur de position

Injection de l’azote liquide (refroidissement

sous champ) Capteur de

Force

La pastille placée en dessous de

l’aimant

Expérimentale Numérique sans la loi J(B) et n(B) Numérique avec la loi J(B) et n(B)

Déplacement latérale (mm)

For

ce l

atér

ale

(N)


104

IV.2.2.3. Comparaison entre la formulation magnétique jaugée et la formulation

magnétique sans jauge

Une autre comparaison nous a semblé utile, il s’agit de faire la comparaison entre les deux

formulations magnétiques ; la formulation magnétique avec jauge de coulomb (AG) et la

formulation magnétique sans jauge de Coulomb (SG). La figure IV.32 représente la force

d’interaction en fonction de l’écart aimant-supraconducteur calculée à partir des deux

formulations. Les résultats sont obtenus pour un nombre de nœuds Nt = 2250.

Le fait d’introduire la jauge de Coulomb dans la formulation électromagnétique n’influe

pas sur les résultats de simulation et entraîne une stabilité de calcul. On note un nombre

élevé d’itérations dans le cas de la formulation SG (tableau IV.4). Ce résultat de

convergence est confirmé également dans plusieurs travaux de modélisation par éléments

finis [Biro 96]. Bien entendu, la convergence n’est pas toujours assurée dans le cas de la

formulation sans jauge (SG). Le tableau.IV.4, résume les données du calcul dans les deux cas, formulation magnétique AG et formulation magnétique SG pour la même précision.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

10

15

20

25

Fig.IV.32. Force d’interaction verticale exercée entre l’aimant et le supraconducteur calculée par les formulations AG et SG.

Tableau.IV.4. Données du calcul pour les deux formulations AG et SG

Nt Formulation CPU (s)

2250 AG 2549

SG 10600

Formulation AG Formulation SG

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)


105

IV.2.3 Etude de l’influence des paramètres géométriques et physiques sur les forces

d’interactions

Les forces d’interaction magnétique, verticales ou latérales, produites entre l’aimant

permanent et la pastille supraconductrice, dépendent principalement des paramètres

concernant soit la pastille supraconductrice, tels que : la densité de courant critique Jc, les

dimensions de la pastille supraconductrice, la distance de refroidissement et la température

du fluide cryogénique, soit, des paramètres concernant l’aimant tels que : l’aimantation et les dimensions de l’aimant.

Dans le but de faire une analyse de l’influence de ces paramètres sur les forces

d’interactions, nous présentons dans la partie ci-dessous, les résultats des simulations obtenus en prenant en compte l’influence de certains paramètres :

IV.2.3.1 Etude de l’influence des paramètres géométriques de l’aimant et de la pastille supraconductrice sur la force de lévitation

IV.2.3.1.1 Influence de l’épaisseur de l’aimant

Pour voir l’influence de l’épaisseur de l’aimant sur la force de lévitation, nous avons

calculé la force de lévitation verticale de trois aimants différents, dont l’épaisseur est de :

h = 5 mm, h = 10 mm et enfin h = 40 mm. Pour ces tests, nous avons utilisé le code qui

adopte la MVFC. Les dimensions de la pastille ainsi que le diamètre de l’aimant sont fixes

et sont respectivement (LxLyLz) = (191910) mm3 et 14 mm. L’aimant d’aimantation

M = 1,1 T est placé à une distance initiale z0 = 30 mm, il sera ramené à la distance finale

z f= 3 mm puis il sera retiré. La pastille supraconductrice a une densité de courant critique

Jc = 108. Les cycles de force de lévitation pour les trois aimants sont représentés sur la figure IV.33.

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 10 20 30-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 10 20 30-5

0

5

10

15

20

25

Fig.IV.33. Force d’interaction verticale exercée entre un supraconducteur et un aimant d’épaisseur h = 5 mm, 10 mm et 40 mm, respectivement.

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)


h = 5mm h = 10mm h = 40mm


106

La figure IV.34 résume la variation de la force de lévitation verticale en fonction de

l’épaisseur de l’aimant permanent lorsqu’il sera placé sur la position verticale z = 3mm.

D’après les deux figures (Fig.IV.33 et Fig.IV.3) on constate que la force de lévitation

maximale augmente avec l’augmentation de l’épaisseur de l’aimant. Cette augmentation

est importante pour des faibles épaisseurs « aimant plat » mais pour les grandes épaisseurs

elle devient moins importante. Cela s’explique par le fait qu’en augmentant l’épaisseur de

l’aimant, il se trouve que la partie supérieure de l’aimant se trouve très loin de la zone de

l’influence de la pastille supraconductrice.

On peut dire alors que l’augmentation de l’épaisseur de l’aimant n’est pas très rentable, en

effet, l’augmentation de l’épaisseur de l’aimant et par suite son volume, ne permet pas une

augmentation considérable de la zone active du supraconducteur comme il est montré dans

la figure IV.35.

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

25

Fig.IV.34. Influence de l’épaisseur de l’aimant h sur le force de lévitation verticale

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le à

z =

3m

m (

N)

Hauteur de l’aimant (mm)


107

Fig.IV.35. Répartition de la densité de courant (Jy) dans la pastille supraconductrice pour

un aimant d’épaisseur h = 5 mm, 10 mm et 40 mm, pour un écart aimant-supra de 3 mm (sur les figures seule la moitié de la pastille est représentée).

Jy (A/mm2)

Jy (A/mm2)

Jy (A/mm2)

y(m)

z(m) x(m)


108

IV.2.3.1.2 Influence du diamètre de l’aimant

En utilisant les mêmes propriétés de la pastille supraconductrice précédente, nous avons

calculé la force d’interaction verticale entre la pastille et l’aimant d’épaisseur h = 20 mm

pour un diamètre D égale à 14 mm, 20 mm et 25 mm respectivement. La figure IV.36 représente les forces d’interactions calculées dans ces trois cas.

0 10 20 30-5

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 10 20 30-5

0

5

10

15

20

25

Fig.IV.36. Force d’interaction verticale exercée entre la pastille et un aimant de diamètre D

égale à 14 mm, 20 mm et 25 mm respectivement.

Les diamètres de l’aimant sont choisis d’une manière à avoir des cas où ; le diamètre est,

inférieur (D = 14 mm), équivalent (D = 20 mm) et supérieur (D = 25 mm) aux dimensions

de la pastille supraconductrice (LxLyLz) = (191910) mm3.

Comme le montre la figure IV.37, avec l’aimant de diamètre 25 mm, la répartition des

courants dans le volume périphérique est plus importante que dans le cas de l’aimant de

diamètre de 14 mm. Les lignes de champ sont contournées par la surface supérieure de la

pastille qui se comporte comme une surface écran, et ainsi, dans le cas du diamètre de

l’aimant faible, le volume périphérique de la pastille se trouve moins influencé par ces

lignes de champ, ainsi, l’amplitude de la densité est plus faible entrainant une force plus

faible. Ce volume contribue de manière effective mais certainement d’une manière moins importante que le volume placé sous l’aimant.

Les forces maximales calculées sont en effet :

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)



109

Fzmax ( 14 mm) = 14.26 N

Fzmax ( 25 mm) = 23.89 N

La pression magnétique ramenée, à la surface de supraconducteur, avec l’aimant 25 mm est alors :

Pz( 25 mm) = 6,62 N/cm2

Fig.IV.37. Répartition de la densité de courant dans la pastille supraconductrice mise en

dessous d’un aimant sur une distance z = 3 mm ayant les diamètres D = 14 mm et 25 mm, respectivement (les figures représentent la moitié de la pastille).

Jy (A/mm2)

Jy (A/mm2)

y(m)

z(m) x(m)


110

Si seul le volume supraconducteur directement sous l’aimant intervenait, on aurait dû

obtenir avec l’aimant de diamètre 14 mm une force maximale de :

Fzmax ( 14) = 10.6 N

Cette valeur est plus faible que la force calculée (14.26 N), on peut dire que dans ces

conditions, la zone périphérique intervient donc pour environ 26 % dans la force résultante.

Le passage d’un aimant de diamètre de 14 mm à un aimant de diamètre de 25 mm, conduit

à une augmentation importante du volume d’aimant (presque le double) pour un accroissement plus limité de la force (+30%).

La force maximale pour l’aimant de diamètre de 20 mm est Fzmax = 23.48 N, alors qu’elle

est de 23.89 N pour un aimant de diamètre de 25 mm. L’écart entre les deux forces ne

semble pas significatif ; on peut dire alors que pour avoir une force de lévitation maximale,

il suffit d’avoir un aimant de diamètre égal à la longueur de la pastille supraconductrice (où bien le diamètre de la pastille supraconductrice dans le cas des géométries cylindriques).

IV.2.3.2. Influence de la distance de refroidissement sous champ

Deux types de refroidissement peuvent être envisagés :

- le refroidissement hors champ,

- le refroidissement sous champ.

Dans un dispositif expérimental, les supraconducteurs peuvent être refroidis en présence

des sources de champ magnétique comme ils peuvent être refroidis en l’absence de toute

source de champ magnétique (refroidissement hors champ magnétique). Dans les

simulations, le supraconducteur est dit refroidi hors champ dans le cas où l’aimant

permanent est mis à une distance initiale z0 considérée lointaine. Pour les faibles valeurs de

z0, on considère que l’aimant est très proche du supraconducteur, on parle alors du refroidissement sous champ.

Dans cette partie, nous allons présenter quelques résultats des simulations qui permettent

d’étudier l’influence de la distance de refroidissement sur les forces d’interaction,

horizontale et verticale. Dans le but de montrer la nature de la force de lévitation verticale

(répulsive ou attractive) en dépendance de la distance z0, nous avons calculé la force d’interaction verticale entre un aimant permanent et un supraconducteur.


111

Le diamètre et la hauteur de l’aimant sont respectivement de 20 mm et de 10 mm. La

pastille supraconductrice a une densité de courant critique Jc égale à 108 A/m2 et a les

dimensions (LxLyLz) = (363610) mm3.

Les figures Fig.IV.38.a, Fig.IV.38.b et Fig.IV.38.c, représentent la distribution du champ

d’induction magnétique B et la distribution des courants dans la pastille supraconductrice

(la composante Jy), dans le cas où l’aimant est rapproché du supraconducteur à partir d’une

distance initiale z0 égale à 20 mm supposée lointaine (refroidissement hors champ).

Selon les figures, Fig.IV.38.b et Fig.IV.38.c, nous remarquons qu’avec la variation du

champ magnétique, produite par le rapprochement de l’aimant, des courants

supraconducteurs apparaissent dans la pastille, ces derniers vont créer une force de

répulsion entre l’aimant et le supraconducteur (Fig.IV.38.d). Avec l’éloignement de

l’aimant (phase de retrait présentée dans la Fig.IV.38 .c), la partie supérieure de la pastille

supraconductrice se trouve exposée à une variation négative du champ magnétique créé par

l’aimant, cette variation de champ induit des courants, dans cette partie, de sens inverse.

Dans cette phase, la force répulsive diminue avec l’éloignement de l’aimant, jusqu’à

l’apparition d’une faible force attractive.

Les figures, Fig.IV.39.a, Fig.IV.39.b et Fig.IV.39.c, représentent la distribution du champ


(la composante Jy), dans le cas où l’aimant est approché du supraconducteur à partir d’une

faible distance initiale z0 (refroidissement sous champ, z0 = 2mm). Dans ce cas, un nouveau

phénomène physique se produit. Dans la première étape, l’aimant est à une distance initiale

proche du supraconducteur z0 = 2mm, dans cette étape, le supraconducteur est dans un état

passif, aucun courant ne circule dans la pastille supraconductrice. Avec le retrait de

l’aimant, la variation spatiale du champ magnétique créé par l’aimant engendre des

courants dans la pastille supraconductrice, l’interaction des courants avec le champ

magnétique va créer cette fois ci une force attractive entre l’aimant et la pastille

supraconductrice, qui diminue avec l’éloignement de l’aimant. Dans la seconde phase

(phase du rapprochement – Fig.IV.39.c). La variation négative du champ magnétique de

l’aimant va engendrer des courants, de sens inverse, dans la partie supérieure de la pastille

supraconductrice. Ce changement donne naissance à une force attractive. La valeur de cette

force augmente avec le rapprochement de l’aimant. L’allure de la force verticale entre

l’aimant et le supraconducteur dans ce cas ne présente pas un cycle d’hystérésis, elle diffère de celle obtenue par refroidissement hors champ magnétique.


112

Fig.IV.38. Répartition de la densité du courant dans la pastille supraconductrice (la

composante Jy) et du champ d’induction magnétique B entre un aimant permanent et une

pastille supraconductrice HTC, dans le cas du refroidissement hors champ, dans les figures

a), b), c) l’aimant est dans les positions initiales z0 = 20 mm, z = 2 mm et z = 20 mm

respectivement. La figure d) représente la force d’interaction produite entre aimant et le supraconducteur.

a) b)

c)

d) x

y z

Jy (A/m2)

Jy (A/m2) F

orce

de

lévi

tati

on v

erti

cale

(N

)



113



pastille supraconductrice HTC, dans le cas du refroidissement sous champ, dans les figures

a), b), c) l’aimant est dans les positions, initiale z0 = 2 mm, z = 20 mm et z = 2 mm

respectivement, la figure d) représente la force d’interaction produite entre aimant et le supraconducteur.

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)

x

y z


Jy (A/m2)

Jy (A/m2)


114



pastille supraconductrice HTC, pour des différents déplacements latéraux. Dans les figures

a), b), c) l’aimant est dans les positions latérales, x = 2.1 mm, x = 5.1 mm et x = 7 mm

respectivement, la figure d) représente la force d’interaction latérale Fx produite entre aimant et le supraconducteur.

x

y z

For

ce d

’int

erac

tion

lat

éral

e (

N)

Déplacement latéral x (mm)

Jy (A/m2) Jy (A/m2)

Jy (A/m2)


115

Les figures, Fig.IV.40.a, Fig.IV.40.b et Fig.IV.40.c, représentent la distribution du champ


(la composante Jy), dans le cas où l’aimant est translaté latéralement, selon l’axe des abscisse (x), respectivement à, x = 2.1 mm, x = 5.1 mm et x = 7 mm.

La force d’interaction latérale produite dans ce cas, est de nature attractive, la pastille

supraconductrice assure la stabilité du système, en effet tout mouvement latéral est

accompagné par une force d’attraction qui tente à attirer l’aimant vers sa position initiale.

Dans le but d’étudier l’effet des paramètres influents sur la stabilité latérale d’un système

en lévitation, et de montrer la dépendance entre la stabilité latérale d’un système en

lévitation et la distance de refroidissement, nous avons calculé la force latérale produite

entre un aimant permanent et un supraconducteur. La figure VI.41 représente ces forces

d’interactions. Le supraconducteur et l’aimant ont, respectivement, un diamètre de 30 mm

et de 12.7 mm et une épaisseur de 12 mm et 12.7 mm. La densité de courant critique de la

pastille supraconductrice Jc est égale à 108 A/m2. Sur cette figure, on a reproduit les deux

types de refroidissement, le refroidissement hors champ (RHC), où l’aimant d’aimantation

M = 0.33 T est placé sur des distances initiales z0, supposé lointain du supraconducteur. Il

sera rapproché jusqu’à la distance zf = 5mm, à partir de cette distance l’aimant sera

translaté latéralement suivant l’axe X, de la position initiale x = 0 mm jusqu’à la position x

= 12 mm, puis il sera ramené à la position x = -12 mm et enfin, il sera reconduit à sa

position initiale donnée par x = 0 mm. Pour le refroidissement sous champ (RSC), l’aimant

est placé à des distances z0 proches de la position de translation ztran = 5mm lors du

refroidissement de la pastille supraconductrice. Il sera translaté latéralement dans le même

intervalle précédent, de x = 0 mm à x = 12 mm. A partir de cette position il sera ramené à x = -12 mm puis il sera ramené à sa position initiale donnée par x = 0 mm.

Comme il est montré sur la figure IV.41, du fait, que la force magnétique latérale a le

même signe que le déplacement latéral pour des distances de refroidissement importante (à

partir de la distance z0 = 14 mm), le système n’est pas stable latéralement, cette instabilité

du système augmente avec l’augmentation de la position z0. Pour des distances de

refroidissement z0 inférieures ou égales à 10 mm, la force latérale et le déplacement latéral

prennent des signes différents, cela veut dire que le système est latéralement stable. La

stabilité latérale du système augmente avec la diminution de la position initiale z0. Cela

signifie qu’il existe une distance verticale de transition ztran0 à partir de laquelle, le système

peut être stable ou instable latéralement. Pour des distances de refroidissement inférieures

à ztran0, le système est considéré latéralement stable. Pour des distances de refroidissement

supérieures à ztran0, le système est considéré latéralement instable. Nous concluons alors,

qu’il est important de déterminer la valeur de ztran0 dans la conception des systèmes à lévitation.

Nous tenons à signaler que la valeur de ztran0 peut être influencée par plusieurs termes, tels

que : les propriétés géométriques de l’aimant ou de la pastille supraconductrice, les

propriétés physiques de la pastille supraconductrice telles que la densité de courant critique Jc, la température du fluide cryogénique.


116

-15 -10 -5 0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Symbole Position initiale du supraconducteur

z0 (mm)

Position de translation

ztran (mm)

+

*

5

8

10

14

15

20

30

5

5

5

5

5

5

5

Fig.IV.41. Variation de la force latérale en fonction de la position latérale du

supraconducteur à la position de translation ztr = 5 mm pour différentes positions de

refroidissements z0.

Position latérale (mm)

For

ce l

atér

ale

(N)


117

Nous avons aussi étudié l’influence de la position initiale de l’aimant z0 lors du

refroidissement du supraconducteur sur la force de lévitation verticale. La figure VI.42

représente la force d’interaction verticale en fonction de l’écart vertical aimant-

supraconducteur pour plusieurs valeurs de z0 (z0 égale à 5 mm, 10 mm, 20 mm, 40 mm et

50 mm respectivement). L’expérience consiste à approcher l’aimant, à partir d’une distance

initiale z0, du supraconducteur puis à l’éloigner. La vitesse de déplacement de l’aimant

reste la même durant tout son déplacement. La distance minimale entre l’aimant et le

supraconducteur est de 3 mm. Le supraconducteur de densité de courant critique

Jc = 108 A/m2 et l’aimant ont, respectivement, un rayon de 10.5 mm et de 11 mm et une

épaisseur de 10 mm et de 20 mm. L’aimant est caractérisé par une aimantation 1.1 T.

3 3.5 4 4.5 5-2

0

2

4

6

8

2 4 6 8 10-5

0

5

10

15

0 5 10 15-5

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60-5

0

5

10

15

20

Fig.IV.42. Différents cycles à différentes hauteurs de refroidissement, respectivement à 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm, 40 mm et 50 mm.

z0 = 5mm z0 = 10 mm

z0 = 15 mm z0 = 20 mm

z0 = 40 mm z0 = 50 mm




For

ce v

erti

cale

(N

)

For

ce v

erti

cale

(N

)

For

ce v

erti

cale

(N

)

For

ce v

erti

cale

(N

)

For

ce v

erti

cale

(N

)

For

ce v

erti

cale

(N

)


118

Selon la figure IV.42, on peut dire que les cycles de forces sont très semblables pour des

distances de refroidissement importantes. La différence entre ces cycles de forces apparaît à partir de la distance z0 = 10 mm.

En effet, à partir de cette valeur de z0, il apparaît très clairement que la raideur est fonction

de l’état initial du matériau supraconducteur. Plus il sera refroidi sous champ, plus la

raideur sera importante. On tient à rappeler que les performances d’un palier magnétique

sont caractérisées par la portance du dispositif mais aussi par sa stabilité. Plus la raideur est

grande plus la stabilité est meilleure. De cela, on peut dire alors que plus la distance de

refroidissement est grande, plus le système est stable. (ici on parle de la raideur verticale

donc il s’agit de la stabilité verticale, la raideur verticale est définie par z

Fzkz

).

Les forces répulsives maximales (pour une distance verticale z égale à 3 mm), les forces

attractives maximales sont déterminées en fonction de la distance de refroidissement sont résumées dans les figures IV.43.a et IV.43.b respectivement.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 506

8

10

12

14

16

18

20

10 15 20 25 30 35 40 45 500.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fig.IV.43.a. Force de répulsion maximale en fonction de la distance de refroidissement z0

Fig.IV.43.b. Force d’attraction maximale en fonction de la distance de refroidissement z0

For

ce d

e ré

puls

ion

max

imal

e (N

)

Distance de refroidissement z0 (mm) a)

For

ce d

’att

ract

ion

max

imal

e (N

)

Distance de refroidissement z0 (mm) b)


119

Selon les figures IV.43.a et IV.43.b, on constate qu’au delà d’une distance de

refroidissement z0 d’environ 40 mm, les forces attractives et répulsives ne varient

quasiment plus. Par contre la force répulsive décroit très fortement lorsque la distance de

refroidissement diminue. A 10 mm, on a déjà perdu environ 27 % des performances. Inversement, la force attractive augmente très sensiblement lorsque z0 diminue.

Le refroidissement sous champ est donc très préjudiciable aux performances de lévitation,

mais comme il a été présenté, il est très avantageux pour assurer la stabilité latérale. Il y a

donc ici une certaine incompatibilité. Une structure sera donc destinée soit à la lévitation,

soit à la stabilisation. Pour une buttée magnétique par exemple, il sera nécessaire pour

conserver une force de lévitation importante, de refroidir les pastilles supraconductrices avant de mettre le système en position de marche.

Le refroidissement sous champ améliore sensiblement les performances des forces

transversales. Plus la distance de refroidissement est faible, plus le gain en terme de force

maximale est important. D’une façon générale, le refroidissement sous champ est très bien adapté aux dispositifs nécessitant la stabilité.

IV.2.3.3. Influence de la température du milieu extérieur

Dans les applications des supraconducteurs HTC, en particulier dans le domaine de

transport à lévitation magnétique, il est important d’augmenter la force de lévitation

magnétique [Suzuki 07], plusieurs travaux ont étudié la force de lévitation à la température

de l’azote liquide (77 K), cependant, peu de travaux ont été présentés pour étudier la

relation entre la force de lévitation et la température du milieu extérieur (la température du

fluide cryogénique).

Récemment, quelques essais expérimentaux ont montré que la force de lévitation [Suzuki

07, Jiang 02], ainsi que le temps de relaxation dépendent principalement de la température

du fluide cryogénique [Suzuki 07]. Ces essais ont montré que les performances de ces matériaux, en termes de force sont meilleures à basse température.

Afin d’étudier ce comportement, nous avons calculé la force de lévitation entre une pastille

supraconductrice (YBACO) et un aimant permanent dans une gamme de température

extérieure, qui varié entre 20 °K et 100 °K. Le supraconducteur et l’aimant ont,

respectivement, un rayon de 10.5 mm et de 11 mm et une épaisseur de 10 mm et de 20 mm.

L’aimant est caractérisé par une aimantation magnétique de 1,1 T. La densité de courant critique Jc à 77 K est prise égale à 108 A/mm2.

La figure IV.44 représente la variation de la force de lévitation verticale en fonction de

l’écart aimant-supraconducteur calculée à différentes valeurs de température du milieu

extérieur, respectivement à T = 85 K, T = 77 K, T = 40 K et à T = 20 K. On comparant les

quatre allures des forces présentées dans la figure IV.44, on peut dire que le cycle de force

est important pour les températures les plus élevées (température de l’ordre de 85 K). Ce


120

cycle se réduit progressivement avec la diminution de la température jusqu’à son

annulation pour des températures inférieures ou égales à T = 40 K. Cela peut s’expliquer par la pénétration du champ magnétique à l’intérieur de la pastille supraconductrice.

Pour le cas des températures les plus élevées (pour des valeurs de température proches de

la valeur de la température critique donnée par 77 K), la densité de courant dans la pastille

supraconductrice est de l’ordre de 108, cette valeur permet une pénétration partielle du

champ magnétique à l’intérieur de la pastille.

La valeur de la force de lévitation maximale est obtenue pour un écart aimant-

supraconducteur égale à z = 3mm. A cette distance, la valeur de la force maximale est de

18.41 N pour une température extérieur égale à 77 K, alors qu’elle est de 28.05 N pour une température extérieure égale à 20 K.

0 10 20 30 40-5

0

5

10

15

0 10 20 30 40-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40-10

0

10

20

30

Fig.IV.44. Force de lévitation magnétique en fonction de l’écart aimant-supraconducteur à

des différentes températures, respectivement à T = 85 °K, T = 77 °K, T = 40 °K et T = 20 °K.

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)

For

ce d

e lé

vita

tion

ver

tica

le (

N)



à T = 85 °K à T = 77 °K

à T = 40 °K à T = 20 °K


121

La figure IV.45 représente la variation de la force de lévitation maximale obtenue sur une

distance minimale de z = 3 mm, en fonction de la température du milieu extérieur qui varie dans une gamme de température allant de 20 K à 100 K.

20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20

25

30

Fig.IV.45. Force de lévitation maximale en fonction de la température.

Selon cette figure, on remarque que la force de lévitation est nulle pour des températures

supérieures à la température critique donnée par Tc = 92K, pour des valeurs de

températures inférieures à cette valeur, la force de lévitation commence à apparaître et augmente avec la diminution de la température.

La force de lévitation augmente d’une manière très rapide pour des températures variant

entre 92 K et 80 K. Pour des valeurs de températures comprises entre 80 K et 70 K, la

variation de la température devient plus lente. A partir de la température T = 40 K, on

remarque que la force de lévitation maximale reste quasiment constante, elle est de 26.22 N

pour T = 40 K alors qu’elle est de 28.05 N pour T = 20 K. On peut dire alors qu’il n’est

plus rentable d’abaisser la température extérieure en dessous de la valeur de T = 40 K.

Pour une étude plus complète, nous avons étudié l’influence de la température du milieu

extérieur ou bien du fluide cryogénique sur la force latérale. Nous tenons à signaler que

nous n’avons pas trouvé dans la littérature des travaux sur ce sujet. La figure IV.46

représente les forces d’interaction latérales produites entre un aimant permanent et un supraconducteur pour des températures T égales à 20 K, 40 K, 77 K et 85 K.

For

ce d

e lé

vita

tion

max

imal

e (

N)

Température (K)


122

Le supraconducteur et l’aimant ont respectivement, un diamètre de 30 mm et de 12.7 mm et

une épaisseur de 12 mm et 12.7 mm. La densité de courant critique de la pastille

supraconductrice Jc est égale à 108 A/m2. De même, lors de cette étude, nous avons pris en

considération les deux types de refroidissement, le refroidissement hors champ magnétique

(RHC), où l’aimant d’aimantation M = 0.33 T est placé sur des distances initiales z0,

supposées lointaines du supraconducteur. Il sera rapproché jusqu’à la distance zf = 5mm, à

partir de cette distance l’aimant sera translaté latéralement suivant l’axe X, de la position

initiale x = 0 mm jusqu’à la position x = 12 mm. Puis il sera ramené à la position

x = -12 mm et enfin il sera reconduit à sa position originale initiale donnée par x = 0 mm.

Pour le refroidissement sous champ (RSC), l’aimant est placé à des distances z0 proches de

la position de translation ztran = 5mm lors du refroidissement de la pastille

supraconductrice. Il sera translaté latéralement dans le même intervalle précédent, de x = 0

mm à x = 12 mm, à partir de cette position, il sera ramené à x = -12 mm puis il sera ramené

à sa position initiale donnée par x = 0 mm.

Selon les résultats présentés dans les figures IV.46.a et IV.46.b, on peut dire que la

température du fluide cryogénique n’influe pas trop sur la force latérale dans le cas du

refroidissement hors champ magnétique, les allures sont très semblables pour des

températures T inférieures à 77 K, pour ces températures, on peut remarquer qu’avec

l’augmentation de la température, un cycle d’hystérésis très fin apparaît. La force latérale

semble être affectée pour les températures proches de la température critique. Un cycle de

force très épais apparaît pour ces températures, avec une diminution de la valeur de la force

latérale, nous concluons alors que dans le cas du refroidissement hors champ magnétique,

la température extérieure n’influe pas sur la force latérale. Il est donc d’autant plus rentable

de travailler avec la température de l’azote liquide.

Dans le cas de refroidissement sous champ magnétique, on remarque qu’avec

l’augmentation de la température, un cycle d’hystérésis apparaît, il sera très large dans le

cas des températures proches de la température critique. Pour des températures très basses,

la valeur maximale de la force latérale peut augmenter. En effet, pour la température T

égale à 20 K, la valeur maximale de la force latérale est de 1.65 N alors quelle est de 0.95 N pour T = 77 K et elle atteint la valeur de 0.59 N pour T = 85 K.

Selon les figures présentées, on peut dire que la température du milieu extérieur n’influe

pas sur la stabilité latérale du système en lévitation. En effet, dans le cas du refroidissement

hors champ magnétique, avec la diminution de la température, le système reste toujours instable latéralement.


123

-20 -10 0 10 20-2

-1

0

1

2

-20 -10 0 10 20-2

-1

0

1

2

-20 -10 0 10 20-2

-1

0

1

2

-20 -10 0 10 20-2

-1

0

1

2

Fig.IV.46.a. Force latérale dans le cas du RSC à des différentes températures.

-20 -10 0 10 20-2

-1

0

1

2

-20 -10 0 10 20-2

-1

0

1

2

-20 -10 0 10 20-1

-0.5

0

0.5

1

-20 -10 0 10 20-1

-0.5

0

0.5

1

Fig.IV.46.b. Force latérale dans le cas du RHC à des différentes températures.

Fo

rce

de

laté

rale

(N

)

à T = 85 °K à T = 77 °K

à T = 40 °K à T = 20 °K

Fo

rce

de

laté

rale

(N

)

Fo

rce

de

laté

rale

(N

) F

orc

e d

e la

téra

le (

N)




For

ce d

e la

téra

le (

N)

à T = 85 °K à T = 77 °K

à T = 40 °K à T = 20 °K

For

ce d

e la

téra

le (

N)

For

ce d

e la

téra

le (

N)

For

ce d

e la

téra

le (

N)



124

IV.2.3.4 Influence de la forme et de dimensions de la pastille supraconductrice dans le

cas d’un système de guidage magnétique

Dans plusieurs travaux de modélisation (par exemple : [Fou 00]) ou d’expérimentations

(comme par exemple [Hiebel 92]), il a été démontré, que les propriétés géométriques de la

pastille supraconductrice influent considérablement sur la force de lévitation verticale. Les

résultats de ces travaux ont montré qu’il n’est pas nécessaire d’avoir une pastille

supraconductrice trop épaisse [Fou 00], il a été constaté qu’il n’ya pas une influence de la

hauteur de la pastille supraconductrice sur la force d’interaction. Au delà d’une certaine

hauteur et pour une géométrie d’aimant donnée, la force d’interaction reste à peu prés la

même. En effet, le supraconducteur écrante en surface et développe un courant sur son

bord. Ainsi, progressivement, la contribution du fond du supraconducteur tend à être

négligeable, d’ailleurs ce qu’on peut voir sur les figures présentées dans les parties précédentes (Fig IV.35 et Fig.IV.37).

Les résultats présentés aussi dans ces travaux ont montré que l’épaisseur du

supraconducteur n’est pas directement liée à l’épaisseur de l’aimant. Même si on augmente

l’épaisseur de l’aimant, l’épaisseur de la pastille supraconductrice pour laquelle la force est

maximale est identique. Dans ces travaux, il a été montré aussi, que la force de lévitation

verticale est maximale lorsque l’épaisseur du supraconducteur est égale au rayon de

l’aimant. Ceci est vrai lorsque l’aimant et le supraconducteur ont à peu prés le même

diamètre et sont mis en vis versa. Concernant l’influence du diamètre de l’aimant, il a été

démontré que la force de lévitation dépend de la largeur du supraconducteur par rapport à

celle de l’aimant avec une pente asymptotique dès que la largeur du supraconducteur dépasse 50 % celle de l’aimant.

Beaucoup de travaux ont été présentés pour étudier la force de lévitation entre une pastille

supraconductrice et un simple aimant permanent. Alors qu’il est bien connu, que la force

de lévitation ne dépend pas seulement des propriétés de la pastille supraconductrice, mais

aussi du champ magnétique appliqué [Ren 03]. Dans notre recherche bibliographique, nous

avons trouvé peu de travaux qui ont étudié la force d’interaction entre une pastille

supraconductrice et un système de guidage magnétique (par exemple [Zhang 08]).

Généralement, un système de guidage magnétique est constitué de deux aimants

permanents adjacents ; d’aimantations inversées, entourés de trois noyaux magnétiques [Ren 03] comme la figure IV.47 le montre.

Fig.IV.47. Système de guidage magnétique

Aimants adjacents

Noyaux magnétique


125

La différence entre un système de guidage magnétique et un simple aimant permanent

réside dans la valeur du champ magnétique produite par les deux systèmes [Ren 03], un

aimant permanent peut produire un champ magnétique de valeur maximale de 0.5 T sur

une distance de 5 mm au dessus de sa surface supérieure, alors qu’un système de guidage magnétique peut produire la valeur de 0.85 T sur la même distance.

Les figures, Fig.IV.48.a et Fig.IV.48.b., représentent la valeur du champ d’induction

magnétique B, au centre, d’un aimant permanent et d’un système de guidage magnétique, respectivement, en fonction de la distance verticale.

Pour étudier l’influence de la forme et des dimensions de la pastille supraconductrice sur la

force d’interaction verticale, en tenant compte de l’influence de la valeur du champ

d’induction magnétique B, nous avons calculé, dans un premier temps, la force de

lévitation produite entre un aimant permanent et des pastilles supraconductrices, de formes

et de dimensions différentes et dans un second temps, entre ces pastilles supraconductrices

et un système de guidage magnétique. Dans ces simulations et dans le but de voir l’effet du

champ magnétique sur la force de lévitation magnétique produite, nous avons considéré

que la pastille supraconductrice a une densité de courant critique égale à

4.106 A/m2. Le but est d’abaisser l’effet diamagnétique de la pastille supraconductrice.

Fig.IV.48.a. Champ d’induction magnétique B produit au centre d’un aimant permanent en fonction de la distance verticale

Fig.IV.48.b. Champ d’induction magnétique B produit au centre d’un aimant permanent en fonction de la distance verticale.

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Distance (mm)

B(T

)

Distance (mm)

B(T

)


126

Tableau.IV.5. Propriétés géométriques des quatre pastilles supraconductrices utilisées dans

les simulations.

Pastille : A B C D

Formes de la pastille Hexagonale Cylindrique Cylindrique Cylindrique

Dimensions de la

pastille (mm)

(LxLyLz)

égale à

(252511)

Diamètre D

égale à 26

Hauteur h

égale à 11

Diamètre D

égale à 30

Hauteur h

égale à11

Diamètre D

égale à 30

Hauteur h

égale à14

Le tableau IV.5 résume les propriétés géométriques des quatre pastilles supraconductrices utilisées dans ces simulations.

La figure IV.49 représente les forces d’interactions verticales produites par les quatre pastilles supraconductrices (A, B, C et D).

Selon les résultats obtenus, nous pouvons dire que la force d’interaction verticale dépend de la forme et des propriétés géométriques de la pastille supraconductrice.

Dans le but de faire une comparaison plus générale entre les deux systèmes, le système à

faible valeur du champ magnétique (où l’aimant permanent est utilisé comme source de

champ magnétique) et le système à forte valeur du champ magnétique (système de guidage

magnétique), nous avons calculé la force de lévitation verticale produite par les deux systèmes.

Le Tableau IV.6 résume les résultats obtenus. Dans ce dernier, la valeur F0 représente la

valeur de la force de lévitation verticale produite dans le cas d’un système ayant un aimant

permanent comme source de champ à une distance verticale z égale à 3 mm. f0 est la valeur

de F0 ramenée à la surface du supraconducteur, Fmax et Fmin sont les forces de lévitation,

maximale et minimale obtenues dans le cas du système de guidage magnétique ; fmax est la

valeur de Fmax ramenée à la surface du supraconducteur, F15 et F20 sont les forces de

lévitation verticale à une distance z égale à 15 mm et à 20 mm respectivement, dans le cas

d’un système de guidage magnétique.

Selon les résultats présentés, nous pouvons dire que pour les faibles valeurs du champ

magnétiques appliqué, la pastille supraconductrice de forme hexagonale présente les

meilleures performances et la force de lévitation maximale est de 24 N (Pression

magnétique est de 3.24 N/cm2) alors qu’elle est entre 14 N et 20 N pour les pastilles

supraconductrices de forme cylindrique. Ceci peut être expliqué par le fait que les courants dans les bords de la pastille participent à l’augmentation de la force de lévitation.

Les forces de lévitation maximales pour les pastilles C et D sont presque les mêmes. On

observe un écart de 1.40 N à faible valeur du champ magnétique, cet écart se réduit à 0.2 N

dans le cas du système de guidage magnétique. On conclue alors qu’il n’est pas important


127

d’avoir un supraconducteur trop épais, et surtout dans les applications à fort champ

magnétique.

On peut remarquer d’après les résultats présentés dans le tableau IV.6 que le comportement

des pastilles supraconductrices dépend de la valeur du champ magnétique appliqué. Dans

le cas des faibles valeurs du champ magnétique appliqué, la pastille A présente les

meilleurs performances en terme de force de lévitation alors que dans le cas de fortes

valeurs du champ magnétique appliqué, la pastille D présente les meilleurs performances.

La force de lévitation maximale pour la pastille B est de 14.2 N alors quelle est de 19.41 N

pour la pastille C, soit un écart de 5.2 N dans le cas d’un système ayant un aimant

permanent, cet écart devient plus grand dans les systèmes de guidage magnétique, en effet

la valeur de le force de lévitation maximale pour la pastille C est de 49.66 N, alors qu’elle

est de 69 N pour la pastille D, soit un écart de 19 N. On peut conclure alors qu’avec

l’augmentation du diamètre de la pastille, la force de lévitation magnétique augmentera et

l’augmentation du diamètre de la pastille devient plus bénéfique dans les systèmes à forte valeur de champ magnétique.

Par comparaison entre les deux systèmes, on peut dire que la force de lévitation est

maximale pour les systèmes à fort champ magnétique. Pour les systèmes de guidage

magnétique, la pression magnétique dans ces systèmes est de l’ordre de

9 à 10 N/cm2 alors quelle est de 2 à 3 N/cm2 dans les systèmes de faible valeur de champ

magnétique (aimant permanent simple). On peut conclure alors qu’il est plus intéressant

d’utiliser les systèmes de guidage magnétique. Comme se sera le cas dans le domaine du

transport à lévitation magnétique (MAGLEV).

Tableau.IV.6. Propriétés géométriques et force de lévitation produite par les quatre

pastilles supraconductrices utilisées dans les simulations.

Pastille supraconductrice : A B C

D

Air (cm2)

Epaisseur (h)

Diamètre (D)

F0 (N)

f0 (N/cm2)

Fmax (N)

fmax (N/cm2)

Fmin (N)

6.25

11

--

24.53

3.92

56.70

9.07

-10.66

5.30

11

26

14.2

2.67

49.66

9.36

-6.17

7.07

11

30

19.41

2.74

69

9.75

-7.28

7.07

14

30

20.81

2.94

70.33

9.94

-7.32


128

Fig.IV.49. Force de lévitation maximale entre les pastilles supraconductrices A, B, C et D et entre un système de guidage magnétique.

IV.2.4 Couplage Mécanique

Dans les séries des simulations présentées précédemment, l’aimant permanent suivait un

déplacement qui lui est imposé au dessus du supraconducteur. Cela nous a permis de

mieux comprendre le comportement du matériau. Dans ce paragraphe, on s’intéresse au cas

où l’aimant est placé au dessus d’une pastille supraconductrice puis lâché librement. Dans

un premier temps, on considère que la pastille supraconductrice est fixe, c'est-à-dire seul

l’aimant peut se déplacer. Dans un second temps, on considère que l’aimant est libre de se

déplacer et la pastille supraconductrice suit un mouvement oscillatoire sinusoïdal imposé.

On cherche à mettre en évidence le phénomène de lévitation et comprendre son

comportement. Aussi on va montrer que l’effet thermique ne peut être négligé dans l’étude

0 10 20 30-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30-10

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Pastille A Pastille B

For

ce v

erti

cale

(N

)

For

ce v

erti

cale

(N

)


Pastille C Pastille D

For

ce v

erti

cale

(N

)

For

ce v

erti

cale

(N

)



129

de la dynamique d’un système en lévitation. Cette approche nécessite l’introduction des

équations de la mécanique couplées à celles des problèmes électromagnétique-thermique.

IV.2.4.1 Formulation du premier problème

Tous les résultats présentés précédemment prenaient en compte un aimant permanent dont

le déplacement (et donc la vitesse) était imposé, et ceci dans le but de simplifier l’étude du comportement du supraconducteur interagissant avec l’aimant.

Dans cette partie, on considère un aimant qui lévite librement au dessus d’une pastille

supraconductrice fixe (collée). Pour cela, on couple les équations électromagnétiques-

thermiques qui régissent le comportement supraconducteur et les équations de la

mécanique. Dans cette étude, on se concentre sur les performances verticales du système.

A partir du principe fondamental de la dynamique et des forces exercées sur l’aimant, le déplacement de l’aimant est donné par l’équation suivante :

zmmgFzF (IV.15)

où m est la masse de l’aimant,

Fz est la force due à l’interaction aimant-supraconducteur,

g est l’accélération gravitationnelle et z est la position du centre de l’aimant par rapport à

celui du supraconducteur (Fig.IV.50)

Pour le couplage mécanique, nous avons fait appel au mode de couplage faible. La

figure VI.51 présente l’organigramme du couplage magnétique-thermique-mécanique.

La résolution du problème électromagnétique –thermique nous permet de résoudre le

problème électromagnétique en prenant en compte l’effet thermique, ainsi de calculer la

force exercée sur l’aimant à chaque instant t. A partir de ce résultat, on résout le problème

mécanique. La résolution du problème mécanique utilise la méthode d’Euler implicite et

explicite décrite ci-après :

extFm

ttvtv )()1( (méthode explicite) (IV.16)

)1(.)()1( tVttztz (méthode implicite) (IV.17)

où v est la vitesse de l’aimant et Fext est la somme des forces extérieures exercées sur l’aimant.


130

Fig.IV.50. Structure du dispositif de lévitation.

Fig.IV.51. Organigramme de couplage magnétique-thermique-mécanique.

IV.2.4.1.1. Etude dynamique

Dans le but d’étudier l’effet thermique sur la dynamique d’un système en lévitation

magnétique à base de matériau supraconducteur, nous avons utilisé les deux modèles

présentés précédemment (Chapitre III), le premier qui tient en compte l’effet thermique par

le biais de la dépendance des propriétés physiques des matériaux supraconducteurs en

température, telles que, la densité de courant critique où le coefficient n dans la loi en puissance, le second, qui ne prend pas compte cette dépendance.

Les résultats décrits dans ce paragraphe, sont obtenus à partir du modèle en puissance (la

caractéristique E-J décrite dans le &.II.2.2 définit par l’équation (II.14)), correspondant à

x

y z

Fz

mg z

Problème magnétique-thermique Problème mécanique

Force de lévitation Fz

Position de l’aimant z


131

un supraconducteur de dimensions (lx, ly, lz) = (101010) mm3, le diamètre et l’épaisseur

de l’aimant sont respectivement de 20 mm et de 10 mm. L’aimant a une aimantation de

1,1 T, il s’agit d’un aimant SmCo. Certains paramètres géométriques et physiques du

dispositif ont été adaptés dans le but de faire léviter le dispositif dans un intervalle de

temps inférieur à 1.2 s. pour cela, on considère que l’aimant a une masse de 250 g. Pour un

aimant plus léger, la stabilité du système nécessite un temps de calcul important.

Cependant il n’existe pas à priori d’aimant SmCo de cette taille avec une telle masse. On

considère alors qu’il existe un dispositif amagnétique autour de l’aimant venant ajouter une

certaine masse. D’autre part, on suppose que le supraconducteur est caractérisé par une

densité de courant critique de l’ordre de 50 A/mm2.

Dans un premier temps, à l’instant t = 0, l’aimant est maintenu à une distance initiale

z0 = 8mm. Après refroidissement du supraconducteur sous champ, l’aimant est lâché et suit

librement sa trajectoire. Le comportement dynamique du système est représenté par la figure IV.52.

Selon les résultats présentés, on constate qu’après une période d’oscillations l’aimant

atteint une position d’équilibre ou bien une position finale zf. Durant les premiers instants,

l’aimant se rapproche progressivement du supraconducteur, cela du fait que les courants

supraconducteurs n’apparaissent qu’après le déplacement de l’aimant. En effet, les

courants supraconducteurs sont liés à l’apparition du champ électrique, donc à la variation

du champ magnétique, puisque il s’agit d’un refroidissement sous champ, les courants

apparaissent après quelques instants de relâchement de l’aimant.

Un écart apparaît entre les deux trajectoires calculées par les deux modèles, à partir de

l’instant t = 0.22 s. Cela veut dire que l’effet thermique intervient à partir de cet instant. On

comparant les deux allures de la trajectoire, on peut dire aussi, que l’effet thermique accélère la stabilité du système en lévitation.

La figure IV.53 représente la force d’interaction verticale entre l’aimant et le

supraconducteur. A l’instant t = 0s, l’aimant tombe librement car la force de répulsion

aimant-supraconducteur est inférieure au poids (Fz<mg=2.5 N). Selon cette figure, lorsque

la force de répulsion est égale au poids (le point (1) de la figure IV.53), l’aimant ne se

stabilise pas à cause d’un excès d’énergie cinétique. Il va alors ralentir pour repartir vers le

sens inverse. Par la suite il passe par la position (2) où à nouveau la force de répulsion et la

force de pesanteur sont égales. Le phénomène d’oscillations amorties ne peut s’expliquer

que par l’existence d’un phénomène dissipatif. Ce phénomène est en relation directe avec les cycles décrits par la force.

L’évolution temporelle de la température selon les points situés au centre de la pastille

supraconductrice suivant l’axe XY (x, y) = (0, 0) et selon plusieurs niveaux suivant z, est

représentée dans la figure IV.54. De même, nous avons représenté dans la figure IV.55 la

répartition spatiale (vue tridimensionnelle) de la température au sein de la pastille

supraconductrice à différents instants donnés par t = 0.5 s, t = 1 s et t = 1.57 s

respectivement. Selon le profil de la température, représenté sur ces figures, on peut dire


132

que la température est élevée dans les surfaces supérieures de la pastille supraconductrice,

elle décroit progressivement vers les surfaces inférieures (les surfaces les plus chaudes sont

les surfaces les plus proches de la source du champ magnétique, c'est-à-dire les surfaces

proches de l’aimant). Le cœur de la pastille est le plus chaud car il est le plus éloigné de la source de refroidissement (l’azote liquide).

Fig.IV.52. Comportement dynamique du dispositif avec le modèle qui tient compte de

l’effet thermique et celui qui ne tient pas compte de l’effet thermique.

Fig.IV.53. Force de lévitation en fonction du temps.

Eca

rt a

iman

t-su

prac

ondu

cteu

r (m

m)

temps (s)

Avec effet thermique

Sans effet thermique

temps (s)

For

ce v

erti

cale

de

lévi

tati

on (

N)

Avec effet thermique

Sans effet thermique

2.5 N 1 2


133

Fig.IV.54. Evolution temporelle de la température au centre de la pastille supraconductrice.

Fig.IV.55. Répartition spatiale de la température au sein de la pastille supraconductrice aux instants t = 0.5 s, 1 s et 1.57 s respectivement.

Fig.IV.56.a. Position finale de l’aimant en fonction de sa position initiale

Fig.IV.56.b. Erreur absolue en fonction de la position initiale de l’aimant

z = 2.2 mm z = 0.8 mm z = -0.80 mm

z = 3.6 mm

Temps (s)

Tem

pera

ture

(K

)

z = -2.2 mm z = -3.6 mm z = -5 mm

z =5 mm

T (K) T (K)

Position initiale z0 (mm) Position initiale z0 (mm)

Pos

itio

n fi

nale

zf

(mm

)

Err

eur

abso

lue

=

zf th

-zf s

(m

m)

T (K)


134

Dans certains travaux [Fou 00 ; Todaka 98] et suivant mes travaux [Alloui 09 a], il a été

démontré que, plus la position initiale z0 est petite plus l’aimant atteindra sa position d’équilibre prés du supraconducteur, c'est-à-dire plus la valeur zf est réduite.

De notre part nous avons vérifié la validité de ces résultats en calculant la trajectoire de

l’aimant pour différentes valeurs de positions initiales z0 allant de 2 mm à 8 mm. Les

dimensions de l’aimant et de la pastille supraconductrice ainsi que les propriétés physiques

utilisées dans la modélisation sont celles données précédemment. La figure IV.56.a

représente la dépendance de la position finale zf en fonction de la position initiale de

l’aimant donnée par z0. Ce calcul est basé sur l’utilisation des deux modèles. Selon les

résultats obtenus, il est clair que plus la position initiale est grande, plus l’aimant s’éloigne

du supraconducteur. Cette constatation peut devenir gênante. En effet, cela signifie qu’à la

moindre perturbation l’aimant pourrait se stabiliser à une autre position que celle attendue.

Il s’agit du phénomène de reptation. Un agencement convenable de supraconducteur et

d’aimants peut éviter cet état de fait [Hiebel 92]. D’après l’allure présentée dans cette

figure, on remarque qu’il existe un écart entre les deux allures calculées par les modèles

utilisés, cet écart apparaît à partir de la distance initiale z0 égale à 5 mm. L’effet thermique

commence à apparaître à partir de cette distance. Sur la figure IV.56.b, nous avons présenté

l’erreur absolue () entre la position finale zfs calculée à partir du modèle qui ne tient pas

compte de l’effet thermique et la position finale zfth calculée à partir du modèle qui tient

compte de l’effet thermique, en fonction de la position initiale z0. Il est évident que la

valeur de l’erreur traduit l’effet thermique sur la dynamique du système en lévitation. La

valeur de dépend de la valeur de la position initiale z0, plus la position initiale est grande,

plus l’effet thermique est considérable. Dans notre cas, on peut dire que l’effet thermique

commence à avoir de l’influence sur la dynamique du système en lévitation à partir de la distance initiale z0 = 4 mm.

IV.2.4.2. Formulation du deuxième problème

Pour la conception des systèmes en lévitation, il est important de prévoir leurs dynamiques

en soumettant par exemple le dispositif à un mouvement oscillatoire imposé [Gou 08],

[Gou 07], [Sugiura 96]. Dans le cas d’un système en lévitation conçu à partir d’un matériau

supraconducteur, le mouvement oscillatoire peut être imposé sur la pastille supraconductrice [Gou 08], [Sugiura 96].

Le système en lévitation présenté dans la figure IV.57 est composé d’un aimant permanent,

dont le déplacement est libre, et une pastille supraconductrice excitée verticalement par

une source extérieure qui assure un mouvement vertical sinusoïdal.

L’aimant permanent est placé à une distance initiale z0 lors du processus du

refroidissement. Il sera translaté verticalement jusqu’à la position zeq puis il sera relâché

pour poursuivre sans déplacement libre. Concernant la pastille supraconductrice, elle suit

un déplacement vertical imposé et assuré par une source d’excitation extérieure, ce déplacement est donné par :

Zsc = Za sin (2 fa t) (IV.18)


135

où Za et fa sont respectivement, l’amplitude et la fréquence de la source d’excitation.

Le mouvement vertical de l’aimant permanent sera décrit par l’équation :

scZcscZmmgFzzczm mm

(IV.19)

m est la masse de l’aimant permanent, c est le coefficient de frottement et Fz est la force

d’interaction verticale produite entre l’aimant et la pastille supraconductrice, g est

l’accélération gravitationnelle et enfin zm est la position relative de l’aimant par rapport à

la pastille supraconductrice.

Pour la résolution du problème, nous procédons de la manière suivante :

Fig.IV.57. Structure du dispositif de lévitation avec une excitation extérieure.

Fig.IV.58. la disposition du système dans la première étape.

Fz

mg

zm

x

y z

×

Zeq

SHTC

PM

Z

0

×

Z0 La position de refroidissement

La position d’équilibre : Fz-mg = 0

La pastille est collée (fixe)

Fz

mg zm

x

y z

×

Zsc = Za sin (2fat)

Zm

SHTC

PM

z

0

Z

0


136

- Etape de refroidissement jusqu’à la position d’équilibre : dans un premier temps, la

pastille supraconductrice sera refroidie et l’aimant sera placé à une distance initiale donnée

par zm=Z0 comme le montre la figure IV.58. Sur cette position, la répartition du champ

magnétique créé par l’aimant permanent sera considérée comme condition initiale pour

cette étape. La répartition des champs, magnétique et thermique, dans la position

d’équilibre sera déduite on supposant que l’aimant permanent se déplace de la position zm=Z0 jusqu'à la position zm=Zeq supposée connue.

- Etape d’excitation : Les solutions (thermique et magnétique) obtenues dans la première

étape seront prises comme conditions initiales de cette seconde étape. Cette étape résout les

trois problèmes, magnétiques, thermiques et enfin mécaniques tenant en compte le déplacement imposé sur la pastille supraconductrice.

Fig.IV.59. Organigramme de couplage magnétique-thermique-mécanique.

IV.2.4.2.1. Résultats des simulations

Les résultats des simulations présentés ci-dessous, représente le mouvement libre d’un

aimant permanent qui lévite au dessus d’une pastille supraconductrice dont le déplacement est imposé par une source d’excitation extérieure.

Vue la géométrie circulaire de la pastille supraconductrice, le code numérique utilisé dans

les simulations est celui qui adopte la MVFM pour la discrétisation de l’ensemble des équations caractéristiques aux phénomènes physiques à traiter.

Dans ces simulations, nous avons présenté la dynamique du système en lévitation en

utilisant deux modèles différents, le premier qui prend en compte la dépendance en

température des différents paramètres caractéristiques, liés à la pastille supraconductrice

tels que : la densité de courant critique Jc et le coefficient n dans la loi de puissance. Le

second qui ne prend pas en compte cette dépendance. Nous tenons à signaler que nous

avons aussi pris en considération, la dépendance en champ magnétique des diverses

grandeurs, caractéristiques à la pastille supraconductrice, en utilisant la loi de Kim présentée précédemment.

Problème magnétique-thermique Problème mécanique

Force de lévitation Fz

Position de l’aimant z


137

Le tableau IV.7 résume les paramètres géométriques et physiques utilisés dans les

simulations :

Paramètres géométriques et physiques

Diamètre

(mm)

Hauteur

(mm)

Jc

(A/mm2)

Ec

(V/m)

B0

(T)

C

(Ns/m)

m

(g)

Z0

(mm)

Zeq

(mm)

supraconducteur 18 10 5×107 1×10-

4 0.5 0.5 5 4.5

Aimant

permanent 25 15 80

Paramètres thermiques de la pastille supraconductrice

symbole quantité valeur

ρ Masse volumique 5.4 g/cm3

Cp Chaleur spécifique 150 J/(Kg.K)

λ Conductivité thermique 5W/(m .k)

h Coefficient e convection du fluide cryogénique (Azote

liquide) 400 W/(m2 .k)

Tc Température critique 92 K

n0 Exposant n à 77°K en champ propre 1 μV/cm

La figure IV.60, représente la dynamique du système en lévitation dont la source

d’excitation a une amplitude de 0.1mm, pour différentes fréquences qui sont respectivement, 20Hz, 30Hz, 40Hz, 50 Hz, 70 Hz et enfin 100Hz.

Selon ces résultats, on peut dire que l’effet thermique ainsi que les paramètres liés à la

source d’excitation tels que : la fréquence et l’amplitude de la source d’excitation influent

considérablement sur la dynamique du système en lévitation.


138

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Figure. IV.60.a. Fréquence d’excitation fa = 20 Hz.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Figure. IV.60.b. Fréquence d’excitation fa = 30 Hz.

Dép

lace

men

t ve

rtic

al z

m (

mm

)

Temps (s)

Mouvement oscillatoire de la pastille imposé (Zsc)


Zm : avec couplage thermique Zm : sans couplage thermique

Dép

lace

men

t ve

rtic

al z

m (

mm

)

Temps (s)



139

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figure. IV.60.c. Fréquence d’excitation fa = 40 Hz.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figure. IV.60.d. Fréquence d’excitation fa = 50 Hz.

Temps (s)

Dép

lace

men

t ve

rtic

al z

m (

mm

)

Temps (s)



Dép

lace

men

t ve

rtic

al z

m (

mm

)




140

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figure. IV.60.e. Fréquence d’excitation fa = 70 Hz.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figure. IV.60.f. Fréquence d’excitation fa = 100 Hz.

Figure. IV.60. La simulation de la réponse dynamique d’un aimant permanent en lévitation

au dessus d’une pastille supraconductrice excitée par une source d’oscillation dont

l’amplitude est de 0.1mm et dont les fréquences sont respectivement : a) fa = 20Hz,

b) fa = 30 Hz, c) fa = 40 Hz, d) fa = 50 e) fa = 70 f) fa = 100. Les modèles utilisés sont

ceux qui prennent ou ne prennent en compte la dépendance de la température dans la dynamique du système.





Dép

lace

men

t ver

tica

l z m

(m

m)

Dép

lace

men

t ve

rtic

al z

m (

mm

)

Temps (s)

Temps (s)


141

Dans l’ensemble des cas, la réponse dynamique du système en lévitation à la même

fréquence que celle de la source d’excitation imposée sur la pastille supraconductrice.

Concernant l’amplitude de la réponse dynamique, elle a un décalage de par rapport à

l’amplitude de la source d’excitation imposée sur la pastille supraconductrice, sauf dans le cas où la fréquence d’excitation est de 20 Hz où les amplitudes sont en phases.

Selon les résultats des simulations de la dynamique du système en lévitation, on peut dire

que la distance entre l’aimant et la pastille supraconductrice zm diminue avec le temps.

Cette diminution est plus importante dans le cas où l’effet thermique est pris en

considération, ceci est dû principalement à la diminution de la densité du courant critique provoquée par l’augmentation de la température au sein de la pastille supraconductrice.

Dans tous les cas des simulations présentées, à l’instant initial (à t = 0s), la pastille

supraconductrice repousse l’aimant sauf dans le cas où la fréquence de la source

d’excitation extérieure est de 20 Hz, où l’aimant ne peut être repoussé.

En comparant la dynamique du système en lévitation pour les différentes fréquences de la

source d’excitation imposée, on peut dire que dans les cas où la fréquence de la source est

prise égale à fa = 20Hz où à fa = 30 Hz. Le système présente des ondulations plus

importantes par rapport à celles des autres cas. Ces ondulations ont tendance à augmenter

avec le temps, ceci peut provoquer une instabilité du système en lévitation.

La figure IV.61 représente la répartition spatiale de la température au sein de la pastille

supraconductrice à l’instant t = 0.5s dans les cas où la fréquence d’excitation de la source

extérieure est de 20 Hz et de 100 Hz respectivement. Il est clair que l’effet de la température au sein de la pastille supraconductrice ne peut être négligé.

FigureIV.61. Répartition spatiale de la température au sein de la pastille supraconductrice à l’instant t = 0.5 s et pour les fréquences fa = 20 Hz et fa = 100 Hz respectivement.

Pastille supraconductrice T(k)

Pastille supraconductrice T(k)


142

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figure IV.62. Erreur absolue entre les sommets supérieurs et inférieurs pour les fréquences fa = 30 Hz, fa = 50 Hz en enfin fa = 70 Hz.

A

B C D

a

b c d

A

B C D

a b c d

Erreur entre les sommets inférieurs Erreur entre les sommets supérieurs



Temps (s)

Temps (s)

Temps (s)

Err

eur

abso

lu e

ntre

les

som

met

s su

péri

eurs

et

les

som

met

s in

féri

eurs

(m

m)

Err

eur

abso

lu e

ntre

les

som

met

s su

péri

eurs

et

les

som

met

s in

féri

eurs

(m

m)

Err

eur

abso

lu e

ntre

les

som

met

s su

péri

eurs

et

les

som

met

s in

féri

eurs

(m

m)


143

Dans le but de montrer l’influence de la température sur la dynamique du système en

lévitation où la pastille supraconductrice suit un déplacement imposé, nous avons tracé sur

la figure IV.62 l’erreur absolue () entre le déplacement de l’aimant par rapport à sa

position d’équilibre (Zeq) calculée à partir du modèle qui ne prend pas en compte l’effet

thermique et le déplacement de l’aimant par rapport à sa position d’équilibre calculé à

partir du modèle qui prend en compte l’effet thermique pour les trois fréquences fa = 30Hz, fa = 50 Hz en enfin fa = 70 Hz.

Dans ce calcul, l’erreur est déduite à partir des sommets supérieurs désignés

respectivement par les points A, B, C, D, …etc. et à partir des sommets inférieurs désignés respectivement par les points a, b, c, d….etc.

Selon les résultats obtenus, il est clair que la trajectoire de l’aimant calculée à partir des

deux modèles est différente. L’erreur absolue entre les deux trajectoires augmente avec le

temps, ceci est dû à l’augmentation de la température avec le temps au sein de la pastille

supraconductrice, on peut dire lors que l’effet thermique ne peut être négligé dans la

dynamique d’un système en lévitation où la pastille supraconductrice suit une trajectoire

oscillatoire imposée par une source extérieure.

Dans le but de montrer l’influence de l’amplitude et de la fréquence de la source

d’excitation sur la dynamique du système en lévitation, nous avons calculé l’erreur

moyenne entre la position de l’aimant, déduite à partir du modèle qui prend en compte

l’effet thermique et le modèle qui ne prend pas en compte l’effet thermique en fonction de

la fréquence et de l’amplitude de la source d’excitation, représentée respectivement sur les

deux figure IV.63.a et IV.63.b.

Il est clair que l’erreur moyenne traduit l’effet thermique sur la dynamique du système en

lévitation. D’après les résultats obtenus et présentés dans les figures, IV.63.a et IV.63.b, on

peut dire, que l’erreur moyenne est maximale pour les deux fréquences fa = 20 Hz et

fa = 30 Hz, c'est-à-dire dans les cas des fréquences où le système est peu stable, on peut

dire alors que l’effet thermique augmente dans le cas des systèmes en lévitation peu stable.

Selon la figure IV.63.b, on peut dire que l’erreur moyenne augmente avec l’augmentation

de l’amplitude de la source d’excitation, en effet, avec l’augmentation de l’amplitude de la

source, le module des oscillations présente dans la trajectoire de l’aimant augmente, et par conséquent, l’effet thermique augmente.

Ces résultats mènent à dire que l’effet thermique augmente dans les systèmes peu stables.

Cette instabilité peut être provoquée par l’augmentation des amplitudes des oscillations de

la pastille supraconductrice, où par certaines fréquences liées aux oscillations de la pastille supraconductrices.

On peut dire alors, qu’il existe des fréquences de résonance dans le cas d’un système en lévitation où la pastille supraconductrice suit un déplacement oscillatoire.


144

0 20 40 60 80 1003

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8x 10

-5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 13.5

4

4.5

5

5.5

6x 10

-5

a) b)

Figure. IV.63.a. erreur absolue en fonction de la fréquence fa. Figure. IV.63.b. erreur absolue en fonction de l’amplitude Za.

IV.2.5. Etude de la relaxation de la force de lévitation

Pour assurer la stabilité d’un système en lévitation, il est préférable que la force de lévitation, ou bien la force qui doit soulever la masse en lévitation soit constante pour un point de fonctionnement donné [Smolyak 02]. (Le point de fonctionnement est le point où la masse à porter doit être immobile). Des travaux expérimentaux ont montré que la force de lévitation dans un point de fonctionnement décroit avec le temps [Suzuki 07], [Tseng 04], on appelle ce phénomène, la relaxation de la force de lévitation [Smolyak 02], [Tseng 04]. Dans ce contexte et dans le but d’étudier l’influence de la température du fluide cryogénique où bien la température de milieu extérieur sur la relaxation de la force de lévitation, nous avons étudié ce phénomène par l’outil de simulation développé. Dans un premier temps, nous avons reproduit en simulation un essai expérimental réalisé par Yoshida [Yoshida 94]. Il s’agit de calculer la force d’interaction produite entre un aimant et une pastille supraconductrice à la température de l’azote liquide (T = 77K). Dans cette expérience, l’aimant placé sur une distance verticale initiale z0 = 25 mm sera rapproché de la pastille supraconductrice progressivement selon une vitesse constante v = 12.25 mm/s. jusqu’à sa position finale z = 0.5mm à l’instant t= 2s où il sera arrêté. La figure IV.64 représente la variation temporelle de la force d’interaction entre l’aimant et la pastille supraconductrice calculée et mesurée [Yoshida 94].

Err

eur

abso

lue

=

z1-

zf2 (

mm

)

Err

eur

abso

lue

=

z1-

zf2 (

mm

)

Fréquences (Hz) Amplitudes (mm)


145

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Figure. IV.64. Force d’interaction verticale, calculée et mesurée.

En comparant les deux figures, on peut dire qu’il y a une bonne concordance entre les calculs et les mesures de force, même après l’arrêt de l’aimant (à partir de t = 2s).

Après l’instant t = 2s, c'est-à-dire après l’arrêt de l’aimant, la force de lévitation diminue

régulièrement avec le temps, cela est dû nécessairement aux effets : flux Creep et flux

Flow ainsi que l’effet thermique sur les propriétés physiques de la pastille supraconductrice, principalement la densité de courant critique Jc.

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figure. IV.65. Force d’interaction verticale calculée jusqu’à t = 120 secondes pour T = 10K, T = 20K, T = 30 K, T = 50K, T = 60 K, T = 77K et enfin T = 85K.

Temps(s) F

orce

de

lévi

tati

on (

N)

Temps(s)

For

ce d

e lé

vita

tion

(N

)

For

ce d

e lé

vita

tion

(N

)

T = 77K

Force calculée Force mesurée

Temps(s)

T = 20K

T = 30K

T = 50 K

T = 77 K T = 60 K

T = 85 K

T = 10K


146

Dans le but de prévoir l’évolution temporelle de la force de lévitation après l’arrêt de

l’aimant, pour différentes températures du milieu extérieur (de T = 10 K à T = 85K), nous

avons calculé la force d’interaction produite sur une durée de 120 secondes. Les forces calculées sont présentées dans la figure IV.65.

Afin de montrer l’effet de la température du milieu extérieur sur la relaxation de la force de

lévitation, nous avons calculé la force d’interaction entre l’aimant et la pastille supraconductrice pour des températures qui varient entre T = 10 K et T = 85K.

La figure IV.66 représente la variation temporelle de la force de lévitation normalisée par

rapport à la valeur maximale de la force de lévitation pour des températures qui varient entre 10K et 85K selon une échelle de temps logarithmique.

Selon les résultats présentés on peut dire que le temps de relaxation diminue considérablement avec la diminution de la température du milieu extérieur.

Selon la figure IV.66, on peut dire que la diminution de la force de lévitation est presque

linéaire pour les très basses températures. Aux voisinages de la température critique (T = 92 K), on perd cette linéarité.

La variation temporelle de la force de lévitation normalisée par rapport à sa valeur

maximale, peut être exprimée par la relation suivante :

F/F0 = a log(t/t0) + b

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure. IV.66. variation temporelle de la force de lévitation normalisée par rapport à sa valeur maximale pour T = 10K, T = 20K, T = 30 K, T = 50K, T = 60 K, T = 77K et enfin

T = 85K.

F/F

0

Temps(s)

T = 20K

T = 30K

T = 50 K

T = 77 K

T = 60 K

T = 85 K

T = 10K

CONCLUSION GENERALE

Conclusion générale

147


Ce travail était relatif à la modélisation tridimensionnelle des matériaux supraconducteurs.

Les applications ont été principalement dédiées à l’étude des paliers magnétiques (étude de

l’interaction entre aimant permanent et supraconducteurs) et à l’étude des phénomènes

magnétothermiques couplés dans les supraconducteurs à haute température critique durant le

processus d’aimantation des pastilles supraconductrices. Afin d’obtenir la résolution

numérique du problème étudié, nous avons poursuivi le développement des deux codes de

calcul numérique des grandeurs électromagnétiques et thermiques dans les matériaux

supraconducteurs où la méthode des volumes finis MVF a été adoptée. Le premier code utilise

une approche de la MVF où le maillage structuré est utilisé (MVFC), le deuxième code utilise

une autre approche de la MVF où le maillage non structuré est utilisé (MVFM). Le choix

entre ces deux méthodes est basé essentiellement sur la géométrie du dispositif à modéliser. Si

la géométrie possède une structure hexaédrique, l’application de la première approche est

avantageuse en termes de temps de calcul et de simplicité. Par contre, cette première approche

présente l’inconvénient de ne pas pourvoir modélisé des dispositifs ayant des géométries

complexes. C’est véritablement tout l’intérêt de la deuxième approche de la MVF, le maillage

va suivre naturellement la forme de la structure, les géométries complexes seront modélisées

de façon plus rigoureuses et plus conformes sans que cela ne génère un nombre de mailles trop important.

L’étude du comportement des supraconducteurs dans le cadre des paliers magnétiques

nécessite la connaissance de la force de lévitation. Cette dernière a été appréciée

verticalement et latéralement en vu de la géométrie du problème. Elle a pu être obtenue grâce

au modèle introduit et a fait l’objet de comparaison avec l’expérience. On s’est intéressé, dans

un premier temps à l’étude des différents paramètres caractéristiques des deux dispositifs, le

premier, constitué d’un simple aimant permanent et d’un supraconducteur (les systèmes à

faible champ magnétique), le second constitué d’un système de guidage magnétique et d’un

supraconducteur (les systèmes à fort champ magnétique). Une étude comparative entre les

deux systèmes nous a amené à dire que la force de lévitation dans le cas des systèmes à fort

champ magnétique est plus importante que dans le cas des systèmes à faible champ

magnétique. En effet, la pression magnétique dans les systèmes de fort champ magnétique est

de l’ordre de 9 à 10 N/cm2 alors quelle n’est que de 2 à 3 N/cm2 dans les systèmes de faible champ magnétique.

L’étude des paliers magnétiques nous a conduits à étudier l’interaction entre un aimant et un

supraconducteur lorsqu’ils interagissent librement. On a donc couplé au modèle magnétique –

thermique le modèle mécanique. Cela nous a permis, entre autres, de mettre en évidence

l’effet thermique dans la dynamique d’un système en lévitation, cet effet peut accélérer la stabilité du système en lévitation.

L’étude du comportement des supraconducteurs durant le processus d’aimantation a montré

qu’il y’a une élévation importante de la température au sein de la pastille supraconductrice.

Ce comportement est dû aux mouvements des vortex durant le processus d’activation par

MCP impliquant une dissipation de chaleur qui est accompagnée par une élévation importante

de la température. Cette augmentation de température conduit à une diminution de la densité


148

de courant et par la suite à celle également de l’induction magnétique piégée. Le

comportement magnétothermique de la pastille durant son aimantation dépend principalement

de la vitesse de croissance du champ de magnétisation. L’échauffement de la pastille est plus

important dans le cas des décharges rapides (variation importante du champ magnétisant). Les

meilleurs performances en terme de valeur du champ magnétique produit par la pastille

aimantée et en terme de courant au sein de la pastille, sont obtenus avec un champ

d’aimantation de grande vitesse de variation. L’inconvénient majeur de ce type d’aimantation

est l’augmentation de l’énergie dissipée et par conséquent, l’augmentation de la température au sein de la pastille supraconductrice à aimanter.

Une technique a été proposée, elle consiste à créer des canaux dans le matériau

supraconducteur refroidis par le liquide cryogénique, dans le but d'augmenter la valeur du

champ magnétique piégé dans les supraconducteurs durant le processus d’activation par MCP.

Grace à cette technique, le transfert de chaleur par convection entre la pastille

supraconductrice et le milieu extérieur est renforcé. Cette technique est alors accompagnée

par une diminution de la température à l’intérieur du supraconducteur, conduisant à une

amélioration des performances électromagnétiques du supraconducteur durant son processus d’aimantation. Un nombre optimal (volume optimal) de canaux a été trouvé

Comme perspectives, nous proposons l’utilisation des codes de calcul développés pour étude du comportement magnétothermiques des applications suivantes :

- Limiteur de courant à base de matériaux supraconducteurs à haute température critique,

- Les machines supraconductrices, (optimisation et modélisation).

BIBLIOGRAPHIE

149

Bibliographie

[Ailam 06] E. H. Ailam., “Machine synchrone à plots supracondcuteurs : Etude et réalisation”, Thèse de l’Université de Henri Poincaré, Nancy-I, 2006.

[Alloui 09 b] L. Alloui, F. Bouillault and S.M. Mimoune., “Modélisation 3D par la méthode des volumes finis des phénomènes électromagnétiques et thermiques couplés dans les matériaux supraconducteurs à haute température critique”, to be published in Revue internationale de Génie électrique, RIGE, 2009.

[Alloui 09 a] L. Alloui, F. Bouillault and S. M. Mimoune, “Numerical Study of the Influence of flux creep and of Thermal Effect on Dynamic Behaviour of Magnetic Levitation Systems with a high-Tc superconductor using control volume method”, EPJ. App. Phys., Vol. 37, No. 2, pp. 191-195, Feb. 2009.

[Alloui 08] L. Alloui, F. Bouillault, S. M. Mimoune, “Modélisation tridimensionnelle des matériaux supraconducteur par la méthode des volumes finis”, Conférence sur les matériaux du génie électrique (MGE), Toulouse France, Proc., Art. P3, Mai. 2008.

[Alonso 04] D. R. Alonso et al, ‘‘Numerical analysis of high temperature superconductors with the critical-state model,’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 14, no. 4, pp. 2053-2062, December. 2004.

[Anderson 62] P. W. Anderson, ‘‘Theory of flux creep in hard superconductors,’’ Phys. Rev. Let, 1962, Vol 9, no 7,p309.

[Anderson 64] P. W. Anderson, and Y.B. Kim, ‘‘Hard superconductivity: Theory of the motion of abriskov flux lines,’’ Rev. Mod. Phys, 36 (1964), p39.

[Bardeen 57] J. Bardeen, I. N. Cooper and J. R. Schrieffer., “Theory of superconductivity, Phys. Rev. 108 (1957) 329.

[Baldan 04] Carlos A. Baldan et al., “Resistive fault current limiter using HTS singlelayer coils”, Physica C 408–410 (2004) 937–939.

[Baixeras 98] J. Baixeras., “les supraconducteurs. Applications à l’électronique et à l’électrotechnique”, Erolles, CNRS Editions, 1998.

[Bednorz 86] J. G. Bednorz and K. A. Müller., “Possible high Tc superconductivity in the BaLaCuo system”, Z. Phys. B. Cond. Matter 64 (1986) 189.

[Bellin 06] B. Bellin., “Contributions à l’étude des bobinages supraconductrices : le projet DGA du SMES HTS impulsionnel”, Thèse de l’INP de grenoble, 2006.

[Bean 62] C. P. Bean ‘‘Magnetization of hard superconductors,’’ Physical Review Letters, vol. 8 (6), pp. 250-253, 1962.

[Berger 05] K. Berger and al, ‘‘Ac transport losses using calculation in a BI-2223 current lead using thermal coupling with an analytical formula,’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 15, no. 2, pp. 1508-1511, June. 2005.

150

[Biro 89] O. Biro and K. Preis, “On the use of the magnetic vector potential in the finite element analysis of three dimentional eddy currents”, IEEE Trans. Magn., Vol. 25, No. 4, pp. 3145-3159, Jul. 1989.

[Bird 08] J. Bird and al., ‘‘Calcultating the forces created by an electrodynamic wheel using a 2-D steady-state finite element method,’’ IEEE Trans on Magntics, vol. 44, no. 3, pp. 365-372, March. 2008.

[Bossavit 93] A. Bossavit ‘‘Sur la modélisation des supraconducteurs : le modèle de l’état critique de bean en trios dimensions,’’ J. Phys III France,3, pp. 373-396, 1993.

[Bonnet 97] F. Bonnet and F. Poupaud, ‘‘Berenger absorbing boundary condition with finite-volume scheme for triangular meshes, Applied Numerical Mathematics,’’ No 25, pages 333-354, 1997.

[Braeck 02] S. Braeck et al., “Superconducting trapped-field magnets : temperature and field distributions during pulsed-field activation”, Journal of Applied Physics, vol. 92, n° 10, November 2002, pp. 6235-6240.

[Buzon 02] D.Buzon, “Limitation de courant à partir de matériaux supraconducteurs HTc”, Thèse de doctorat, Spécialité génie électrique, Institut national polytechnique de Grenoble, 2002.

[Chen 04] M. CHEN et al., “High Temperature superconductors for power applications”, Journal of the European Ceramic Society 24(2004) 1815-1822.

[Cioni 95] J-P. Cioni, ‘‘Résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires par une méthode de Volumes Finis,’’ Thèse de doctorat à l’université de Nice Sophia-Antipolis, Décembre 1995.

[Clem 87] J. R. Clem, and al, ‘‘Ambegaokarbaratoff-Ginzburg-Landau crossover effects on the critical current density of granular superconductors,’’ Physical Review B, vol. 35 (13), pp. 6637-6642, 1987.

[Davies 96] J. B. Davies and A. J. Dean., “Finite volume with non-uniform mesh for the solution of Maxwell’s equations”, IEEE Trans. Magn., Vol. 32, No. 3, pp. 1417-1420, May 1996.

[Dhatt 84] G. Dhatt et G. Touzot, ‘‘Une présentation de la méthode des éléments finis,’’ deuxième édition, 1984.

[Douine 00] B.Douine and al., ‘‘AC loss measurement of a high critical temperature superconductor transporting sinusoidal or non-sinusoidal current,’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 10, no. 1, pp. 1489-1492, March. 2000.

[Douine 08] B.Douine and al., ‘‘Analytical calculation of the instantaneous power in a current carrying superconducting tube with Jc(B),’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 18, no. 3, pp. 1717-1723, September. 2008.

[Elbuken 07] C. Elbuken and al., ‘‘Modeling and analysis of eddy-current damping for high-precision magnetic levitation of a small magnet,’’ IEEE Trans on magnetics, vol. 43, no. 43, pp. 26-32, January. 2007.

151

[Enomoto 05] N. Enomoto, T. Izumi and N. Amemiya, ‘‘Electomagnetic field analysis of rectangular superconductor with large aspect ratio in arbitrary orientated magnetic fields,’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 15, no. 2, pp. 1574-1577, June. 2005.

[Fetzer 96] J. Fetzer, S. Kurz and G. Lehner, “Comparison between different formulations for the solution of 3D nonlinear Magnetostatic problems using BEM-FEM coupling”, IEEE Trans. Magn., Vol. 32, No. 3, pp. 663-666, May 1996.

[Floch 99] E. Floch., “Conception d’un transformateur impulsionnel supraconducteur Modélisation de la transition / Validations”, Thèse de l’Université de Franche-Comté, 1999.

[Fou 00] H. T. S. Fou., “Modélisation de dispositifs supraconducteurs : Application à la lévitation magnétique”, Thèse de doctorat de l’Université de Paris XI, 2000.

[Fou 00] S. H. Fou, A. Erraud and F. Bouillault, ‘‘Numerical Modeling of the association of magnet and HTS superconductors,’’ IEEE Trans on Magntics, vol. 36, no. 4, pp. 1197-1200, July. 2000.

[Fujioka 96] T. Fujioka. ‘‘3-D analysis of current distribution and AC loss induced by external AC magnetic field in multifilamentary superconducting wires,’’ IEEE Trans on Magntics, vol. 32, no. 3, pp. 1140-1143, May. 1996.

[Geindustrial] www.geindustrial.com

[Ginzburg 50] V. L. Ginzburg and L. D. Landau., “On the theory of superconductivity”, Zhurnal Eksperimental’noi i Teoreticheskoi Fiziki, vol. 20, pp. 1064-1082, 1950.

[Gou 07] X.F. Gou and al., ‘‘Drift of levitated/suspended body in hign-Tc superconducting levitation system uunder vibration – Part II: Drift velocity for gap varying with time’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 17, no. 3, pp. 3803-3808, September. 2007.

[Gruss 01] S. Gruss, G. Fuchs, G. Krabbes, P. Verges, G. Stover, K. H. Muller, J. Fink, L. Schultz, “Superconducting bulk magnets: very high trapped fields and cracking”, Appl. Phys. Lett 79, pp. 3131-3133, 2001.

[Gunther 92] C. Gunther and al, ‘‘Jonction Josephson en couche épaisse d’oxydes supraconducteurs,’’ J. Phys. III. France 2 (1992) , pp. 255-262.

[Hashizume 96] H. Hashizume and al., ‘‘three dimensional evaluation of the current distribution in twisted superconductors,’’ IEEE Trans on Magntics, vol. 32, no. 3, pp. 1152-1155, May. 1996.

[He 04] Chunyoung He and al, ‘‘Trapped field and related properties in a superconducting-disk magnetized by pulse field,’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 14, no. 4, pp. 2025-2030, December. 2004.

[Hiebel 92] P. Hiebel, “Paliers magnétique supraconducteurs”, Thèse de doctorat, Spécialité génie électrique, Institut national polytechnique de Grenoble, 1992.

152

[Hull 99] J. R. Hull and A. Cansiz., “Vertical and lateral forces between a permanent magnet and a high-temperature superconductor”, Journal of applied physics., Vol. 8617, No. 11, pp. 6393-6404, Dec. 1999.

[Ioan 06] C. Ioan and al., “Modèle numérique électrothermique pour l’optimisation des contacts démontables de forts courants ”, Annals of the university of craiova, electrical engineering series, No. 30, 2006.

[Joo 07] J. H. Joo and al., ‘‘Design of electromagnet for high levitation force in 3D superconducting actuator,’’ Proceeding of international conference on electrical machines and systems 07, pp. 1549-1552, Seoul, Korea, Oct 2007.

[Jiang 02] Jiang He and all, « The magnetic levitation performance of YBaCuO bulk

at different temperature », Physica C 378–381 (2002) 868–872.

[Kameni 09] Abelin Kameni, Denis Netter, Frédéric Sirois, Bruno Douine, and Jean Lévêque, ‘‘ New Hybrid FE-FV Method for Computing Current Distribution in 2-D Superconductors: Application to an HTS Cylinder in Transverse Magnetic Field,’’ IEEE Trans. Appl. Supercond., vol. 19, no.3, pp. 2423-2427, June. 2009.

[Kasal 08] R. B. Kasal and E. V. de Mello, ‘‘Modeling and simulation of precursor diamagnetism in high critical temperature cuprates,’’ 8th European conference on applied superconductivity (EUCAS 2007).

[Kasal 07] R. B. Kasal and al., ‘‘Simulation of dynamic levitation force tacking flux creep,’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 17, no. 2, pp. 2158-2160, June. 2007.

[Kes 89] P. H. Kes and al, ‘‘Thermally assisted flux flow at small driving forces,’’ Superconductor Science Technology, Vol. 1, pp. 242-248, 1989.

[Kim 62] Y. B. Kim and al, ‘‘Critical persistent currents in hard superconductors,’’ Phy. Rev. Lett. 9(7), pp. 306-309, 1962.

[Klutsch 03] I. Klutsch ‘‘Modélisation des supraconducteurs et mesures,’’ Thèse de l’INP de grenoble, 2003.

[Kummeth 05] P. Kummeth , M. Frank, W. Nick, G. Nerowski, H.-W. Neumueller., “Development of synchronous machines with HTS rotor”, Physica C 426–431 (2005) 1358–1364.

[Labbé 98 a] S. Labbé. EMicroM, logiciel. ONERA. numéro APP : IDDN. FR. 001.320023.R.P. 1998.000.31235.

[Labbé 98 b] S. Labbé and P. Leca., “Résolution rapide des équations de Maxwell quasistationnaires : matrices Toeplitz multidimensionnelles. Application au micromagnétisme”, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I (t. 327) :415–420, 1998.

[Leghissa 02] M. Leghissa., “Development and application of superconducting transformers”, Physica C 372–376 (2002) 1688–1693.

[lipower 08] www.lipower.org

153

[London 35] F. London and H. London., “The electromagnetic equations of the superconductor”, Proceeding of the Royal Society of London, series A, vol. 149, pp. 71-88, 1935.

[Malozemoff 02] A. P. Malozemoff, J. Maguire, B. Gamble and S. Kalsi., “Power Applications of High Temperature Superconductors: Status and Perspectives”, IEEE Transaction on Applied Superconductivity, Vol. 12, No. 1, March 2002.

[Maslouh 98] M. Maslouh, F. Bouillault and al, ‘‘Numerical Modeling of superconductor materials using anisotropic kim law,’’ IEEE Trans on Magntics, vol. 34, no. 5, pp. 3064-3067, September. 1998.

[Meissner 33] W. Meissner and R. Ochsenfeld., “Ein neuer effekt bei eintritt der supraleitfahigkeit”, Naturwissenschaften, vol. 21, 1933.

[Meunier 02] G. Meunier, Electromagnétisme et problèmes couples. EGEM électronique, génie électrique, microsystèmes, paris Hermès 2002 Chapitre I pp. 21-63.

[Miki 06] M. Miki et al, “Development of a synchronous motor with a Gd-Ba-Cu-O bulk superconductors as pole-field magnets for propulsion system”, Supercond. Sci. Technol. vol. 19, n°7, 2006, S494-S499.

[Mizutani 00] U. Mizutani., “Applications of superconducting permanent magnets driven by static and pulsed fields”, Supercond. Sci. Technol. vol. 13, n°6, 2000, pp. 836-840.

[Mukoyama05] Shinichi Mukoyama., “Development of 500m HTS power cable in super-ACE project”, Cryogenics 45 (2005) 11–15.

[Neumuller 06] H.W. Neumuller, W. Nick, B. Wacker, M. Franck, G. Nerowski, J. Frauenhofer,W. Rzadki and R. Hartig., “Advances in and prospects for development of high-temperature superconductor rotating machines at Siemens”, Supercond. Sci. Technol. 19 (2006) S114-S117.

[Nibbio 99] N. Nibbio “Nonlinear electromagnetic modeling of high temperature superconducting tempes”, thèse de l’école polytechnique fédérale de lausane 1999.

[Nougier] J. P. Nougier, “Méthodes de calcul numérique”, 3éme édition, Edition Masson.

[Parker 95] G.J. Parker, T.R. Abel « United States Air Force Micro-Superconducting Magnetic Energy Storgae Technology Insertion Program » Proceedings of the 1995 Power Quality Conference, pp 541-539, Bremen, November 1995.

[Patankar 80] Patankar Suhas V., « Numerical heat transfer and fluid flow », Series in Computational methods in mechanics and thermal sciences. 1980, Hemisphere publishing corporation.

[Pelletier] J. P. Pelletier, ‘‘Techniques numériques appliqués au calcul scientifique,’’ Edition Masson et Cie ; pp. 132, 135.

154

[Ren 03] Z. Ren all, « Influence of shape and thikness on the levitation force of YBaCuO bulk HTS over a NdFeB guideway », Physica C 384 (2003) 159–162.

[Remaki 98] M. Remaki and al “Un nouveaux schéma de types volumes finis appliqué aux équations de Maxwell en milieu hétérogène ”, Rapport de recherche No. 3351, INRIA, ISSN 0249-6399, Janvier 1998.

[Rhyner 93] J. Rhyner, ‘‘Magnetic properties and ac losses of superconductors with power law current-voltage characteristics,’’ Physica C, Vol. 212, pp. 292-300, 1993.

[Rose 78] A.C. Rose-Innes and E.H. Rhoderick., “Introduction to Superconductivity”, Oxford, England: Pergamon Press plc, 1978.

[Ruiz 04] C. Elbuken and al., ‘‘Modeling and analysis of eddy-current damping for high-precision magnetic levitation of a small magnet,’’ IEEE Trans on magnetics, vol. 43, no. 43, pp. 26-32, January. 2007.

[Sander 02] M. Sander et al., “Comparison of pulsed field magnetization processes for HTS bulk parts”, Supercond. Sci. Technol. vol. 15, n°5, 2002, pp. 748.

[Shiraichi 03] R. Shiraichi and al., ‘‘Numerical and experimental anlysis of the rotation spped degradation of superconducting magnetic bearings’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 13, no. 2, pp. 2279-2282, June. 2003.

[Snitchler 05] G. Snitchler, B. Gamble and S. Kalsi., “The performance of a 5 MW High Temperature Superconducor Ship Propultion Motor”, IEEE Transaction on Applied Superconductivity, Vol. 15, No. 2, June 2005.

[Song 06] H. Song et al., “Optimization end design of the permanent magnet guideway with the high temperature superconductor”, IEEE Trans on applied superconductivity., Vol. 16, No. 2, pp. 1023-1026, June. 2006.

[Sugiura 96] T. Sugiura and H. Fujimori, ‘‘Machanical resonance characteristics of a high-Tc supraconducting levitation system’’ IEEE Trans on Magnetics, vol. 32, no.3, pp. 1066-1069, May. 1996.

[Suzuki 07] T. Suzuki and all, ‘‘Temperature dependency of levitation force and its relaxation in HTS’’ IEEE Trans. Appl. Supercond., vol. 17, no.2, pp. 3020-3023, Jun. 2007.

[Sykulski 00] Sykulski and al., ‘‘2D Modeling of field diffusion abd AC losses in high temperature superconducting tapes,’’ IEEE Trans on Magnetics, vol. 36, no. 4, pp. 1178-1181, July. 2000.

[Sykulski 97] J. K. Sykulski and al., ‘‘Modelling HTc superconductors for AC power loss estimation,’’ IEEE on Magnetics, vol. 33, no. 2, pp. 1568-1571, March. 1997.

[Teranishi 02] Y. Teranishi et al., “Static and dynamic characteristics in levitating X-Y transporter using HTS bulks”, IEEE Trans on applied superconductivity., Vol. 12, No. 1, pp. 911-914, March. 2002.

[Tixador 95] P. Tixador., “les supraconducteurs, traité des nouvelles technologies”, série matériaux, Hermès.

155

[Tixador 03] P. Tixador., “Matériaux supraconducteurs”, Lavoisier, 2003.

[Tixador 06] P. Tixador, C. Villard et Y. Cointe., “DC superconducting fault current limiter”.

[Tixador 02] P. Tixador., “Superconducting fault current limiter with bulk materials”, Physica C 378–381 (2002) 815–822.

[Tournier 03] R. F. Tournier., “c-Axis YBCO domains for current limiting applications”,

[Tomita 03] M. Tomita, M. Murakami, “High-temperature superconductor bulk magnets that cant rap magnetic fields of over 17 tesla at 29 K”, Nature, vol. 421, pp. 517-520, 2003.

[Tsuchimoto 94] M. Tsuchimoto and al., ‘‘Nulerical evaluation of levitation force of HTSC flywheel,’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 4, no. 4, pp. 211-215, December. 1994.

[Ueda 03] K. Ueda, K. Yasuda, K. Inoue, A. Kikuchi and K. Iwadate., “R&D of HTS power cable and fault current limiter in Super-ACE project”, Physica C 392–396 (2003) 1171–1179.

[Vinot 02] E. Vinot and al., ‘‘Circuit coupling method applied to bulk superconductors’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 38, no. 6, pp. 3661-3664, November. 2002.

[Yamashita 88] T. Yamashita and al, ‘‘Jonction Josephson en couche épaisse d’oxydes supraconducteurs,’’ J. Phys. III. France 2 (1992) , pp. 255-262.

[Yoshida 94] Y. Yoshida, M. Uesaka, and K. Miya, ‘‘Magnetic field and force analysis of high Tc superconductor with flux flow and creep,’’ IEEE Trans. Magn, vol. 30, no. 5, pp. 3503-3506, Sep. 1994.

[Zhang 08] X. Y. Zhang and all, « Effects of magnetic history on the levitation characteristics in a superconducting levitation system », Physica C 468 (2008) 1013–1016.

[Zheng 07] X. Zheng and Y. Yang., “Transition cooling height-temperature superconductor levitation system”, IEEE Trans on applied superconductivity., Vol. 17, No. 4, pp. 3862-3866, Dec. 2007.

[Zheng 05] X. J. Zheng et al, ‘‘Influence of flux creep dynamic behaviour of magnetic levitation systems with a high-Tc superconductor,’’ IEEE Trans on Applied superconductivity, vol. 15, no. 3, pp. 1574-1577, September. 2005.

[Zheng 06] J. Zheng and al., ‘‘Numerical Method to the excited high-Tc superconducting levitation system above the NdFeb guideway,’’ IEEE Trans on Magnetics, vol. 42, no. 4, pp. 947-950, April. 2006.

[Zong 03] X.H. Zong, J.X. Wang, J. Sun, Y.N. Wang., “Study on inductive high-Tc superconducting fault current limiters”, Physica C 386 (2003) 522–526.

[Zou 04] J. Zou, J. S. Yuan et al., “Magnetic field analysis of iron-core reactor coils by the finite-volume method”, IEEE Trans. Magn., Vol. 40, No. 2, pp. 814-817, Mar. 2004.

Résumé--- nous présentons une contribution à la modélisation tridimensionnelle des phénomènes électromagnétiques et thermiques couplés dans les matériaux supraconducteurs à haute température critique. La méthode des volumes finis est adoptée comme méthode de résolution des équations aux dérivées partielles caractéristiques aux phénomènes physiques traités. Le couplage électromagnétique thermique est assuré par un algorithme alterné. L’ensemble des modèles mathématico-numériques ainsi développés et implémentés sous Matlab, sont appliqués pour étudié le comportement des supraconducteurs dans le cadre des paliers magnétiques et pour étudier le comportement des supraconducteurs durant le processus d’aimantation. Les résultats à caractère magnétique et ceux à caractère thermique sont largement présentés. La validité du travail proposé est atteinte par comparaison des résultats ainsi obtenus à ceux donnés par l’expérimentation. Mots clés--- Modélisation Numérique, Electromagnétisme, Thermique, Couplage Magnéto-Thermique, Volumes Finis, Algorithme Alterné, supraconducteurs à haute température critique.

Abstract--- We present a contribution for three-dimensional modeling of coupled electromagnetic and thermal phenomena in high temperature superconductor. The control volume method is used for the resolution of the partial derivative equations characterising of the treated physical phenomena. The electromagnetic and thermal coupling is ensured by an alternate algorithm. All mathematical and numerical models thus developed and implemented in Matlab software, are used for the simulation. The results in magnetic term and those in thermal term are largely presented. The validity of the suggested work is reached by the comparison of the results so obtained to those given by the experiment.

Key words -- Numerical Modelling, Electromagnetism, Thermal, Magneto-Thermal Coupling, Control Volumes, Alternate Algorithm, high temperature superconductors.

Documents

Spécialité : Génie Electrique (Electrotechnique) Présentée par