Specyficzne filtry cyfrowe - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:filtryspecyficzne.pdfSpecyficzne filtry cyfrowe Materiał w znacznej cz ęści zaczerpnięty z książki Sanjit K

Specyficzne filtry cyfrowe

Materiał w znacznej części zaczerpnięty z książki

Sanjit K. Mitra „Digital Signal Processing. A Computer-Based

Approach”

Charakterystyki częstotliwościowefiltrów IIR

pfftff /

)2sin()2cos(2 fjfez fj

N

n

nfjn

M

n

nfjn

ea

ebfH

1

2

0

2

1)(

))(Re())(Im(

tgarc)(fHfH

f

N

n

nn

M

n

nn

za

zbzH

1

0

1)(

fdfd

f)(

)(

Kwadrat charakterystyki amplitudowej dla wszystkich filtrów

Fazowa

Opóźnienie fazowe

22221 )()()()()(2

fjfjfjezeHeHeHzHzH

fj

10 zf

15,0 zf

Dolnoprzepustowy filtr FIR pierwszego rzędu

115,0)( zzH L

Najprostszy filtr jest operacją uśredniającą

z charakterystyką zespoloną

)cos()( 2 feeH ffjL

1)( 0 eH L

0)( jL eH 5,0f

0ftzn. dla

tzn. dla

)1()(5,0)( nsnsns wewewy

Jest to filtr uśredniający wartości sygnału wejściowego

Górnoprzepustowy filtr FIR pierwszego rzędu

115,0)( zzH H

Najprostszy filtr ma transmitancję

z charakterystyką zespoloną

)sin()( 2 fjeeH fjfjH

0)( 0 eH H

1)( 2/ jjH eeH

tzn. dla

tzn. dla 5,0f

0f

)1()(5,0)( nsnsns wewewy

Jest to filtr preferujący różnice pomiędzy dwoma kolejnymi wartościami

Dolnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu

1

1

11

21)(

z

zzH L Transmitancja dana jest wzorem

gdzie aby filtr był stabilny. Kwadrat charakterystyki amplitudowej,1

)2cos(212

)2cos(11)( 2

222

ff

eH fjL

1)( 0 eH L

5,0)( 2 cfjL eH

0)( jL eH

Jeżeli to czyli 2122cos

cf c

c

ff

2cos

2sin1

)1()(15,0)1()( nsnsnsns wewewywy

gdzie jest częstotliwością odcięcia.cf

Dolnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu

1

1

11

21)(

z

zzH L

Transmitancja dana jest wzorem

gdzie aby filtr był stabilny. Kwadrat charakterystyki amplitudowej,1

)2cos(212

)2cos(11)( 2

222

ff

eH fjL

Pierwsza pochodna względem częstotliwości ma postać

22

2222

)2cos(212

)2sin(1)(

f

ffd

eHd fjL

jest ujemna w przedziale czyli jest to funkcja monotoniczna.,5,00 f

Górnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu

1

1

11

21)(

z

zzH H


gdzie aby filtr był stabilny. ,1

0)( 0 eH H

5,0)( 2 cfjH eH

1)( jH eH

Jeżeli to czyli 2122cos

cf c

c

ff

2cos

2sin1

Pasmowo-przepustowy filtr IIR drugiego rzędu

21

211

)1(1)()1(

21)(

zz

zzzzH BP


Tłumi składową stałą a przepuszcza częstotliwości wyższe

Przepuszcza średnie częstotliwości (bo niskich już „nie ma”) i tłumi wysokie

Pasmowo-przepustowy filtr IIR drugiego rzędu

21

2

)1(11

21)(

zz

zzH BP


Kwadrat charakterystyki amplitudowej

)(0)( 0 jBPBP eHeH

1)( 02 fjBP eH Charakterystyka amplitudowa ma największą wartość dla

)4cos(2)2cos(12112

)4cos(11)( 2222

222

fff

eH fjBP

)cos(arc0 f

Pasmowo-zaporowy filtr IIR drugiego rzędu

21

21

)1(121

21)(

zz

zzzH BS


Wartości charakterystyki amplitudowej

)(1)( 0 jBSBS eHeH

0)( 02 fjBS eH Charakterystyka amplitudowa ma najmniejszą wartość dla

)cos(arc0 f

Filtr grzebieniowy, ang. comb filterSą to filtry z wieloma pasmami przepustowymi i zaporowymi. Najczęściej ich rozmieszczenie jest periodyczne o okresie 1/M.

Jeżeli jest filtrem pasmowym (zaporowym lub przepustowym), to )(zH)()( MzHzG

jest filtrem grzebieniowym. W oparciu o tę zasadę filtr grzebieniowy można otrzymać również z filtru dolnoprzepustowego

MML zzHzG 15,0)()(

W przedziale posiada on M zerowych wartości widma amplitudowego i M wartości szczytowych dla przy czym

Mkfk /)5,0(

10 kf

,/ Mkfk

.1,,1,0 Mk

Podobnie można zrobić z filtrem górnoprzepustowym

MMH zzHzG 15,0)()(

Filtry wszechprzepustowe

NN

NN

NNNN

zdzdzdzzdzddzH

11

11

11

11

1)(

Transmitancja ma postać

)()()(

1

zDzDzzH

N

Wprowadzając oznaczenieN

NN

N zdzdzdzD

11

111)(

otrzymujemy

W przypadku filtru wszechprzepustowego otrzymujemy

1)()(

)()()()( 1

11

zDzDz

zDzDzzHzH

NN

Własności filtrów wszechprzepustowych

Dla filtru stabilnego wszystkie bieguny, czyli zera wielomianu leżąwewnątrz koła jednostkowego. Jeżeli jest biegunem transmitancji, tzn. to jest jej zerem. Zatem wszystkie zera muszą leżećpoza kołem jednostkowym.

)(zD0z

,0)( 0 zD 10z

1gdy11gdy11gdy1

)(zzz

zHJeżeli filtr wszechprzepustowy jest stabilny, to

Filtr wszechprzepustowy jest bezstratny bo1

)(

)(2

2

fjwe

fjwy

es

es

wefjwefjwywy EfdesfdesE

2222 )()(

czyli

Przykład filtru wszechprzepustowego

Jeśli filtr posiada bieguny

to jego zera muszą mieć wartości

5,05,05,05,05,0 321 zjzjz

211 13

12

11 zjzjz

15

Charakterystyka amplitudowa filtruwszechprzepustowego

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1

2

3

4

5

Częs totliwość znormalizowana

Amplituda

16

Charakterystyka fazowa filtruwszechprzepustowego

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


17

Zera i bieguny

-2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Rea l(z)

Imag(z

Filtry minimalno- i maksymalnofazowe

Filtry stabilne i przyczynowe o jednakowych charakterystykach amplitudowych, z zerami poza kołem jednostkowym mają większe odchyłki charakterystyk fazowych względem niż filtry z zerami w kole jednostkowym.

Filtry z zerami w kole jednostkowym są nazywane minimalnofazowymi a filtry z zerami poza kołem jednostkowym, maksymalnofazowmi.

Każdy filtr nieminimalnofazowy może być zastąpiony połączeniem szeregowym filtruminimalnofazowego i filtru wszechprzepustowego

)()()( wszminnie zHzHzH

,0)( f

Przykład

1

1

1 11)(

azbzzH 1

1

2 1)(

azzbzH

Porównajmy charakterystyki częstotliwościowe dwóch filtrów:

załóżmy 2,05,0 ba

Wtedy oba filtry mają bieguny w punkcie czyli są stabilne.5,0z

Pierwszy filtr ma zero w punkcie czyli jest minimalnofazowy.

Drugi filtr ma zero w punkcie czyli jest maksymalnofazowy.

2,0z

5z

20

Zera i bieguny

-4 -2 0-3

-2

-1

0

1

2

3

Rea l(z)

Imag(z)

H1[z]

-4 -2 0-3

-2

-1

0

1

2

3

Rea l(z)

H2[z]

21

Jednakowe charakterystyki amplitudowe

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5


Amplituda

H1[z]H2[z]

)( 2 fjeH

22

Charakterystyki amplitudowe [dB]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-15

-10

-5

0

5


Amplituda[dB]

H1[z]H2[z]

)(lg20 210

fjeH

23

Różne charakterystyki fazowe

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0


H1[z]H2[z]

H1 jest filtrem minimalnofazowym, H2 maksymalnofazowym

Filtry komplementarne

Opóźnieniowo-komplementarne 0

1

0)( n

K

kk zzH

Wszechprzepustowo-komplementarne )()(1

0zAzH

K

kk

Energetycznie-komplementarne 1)()()(21

0

21

0

1

K

k

fjk

K

kkk eHzHzH

Amplitudowo-komplementarne

1

0

2 )(K

k

fjk eH

25

Całkowanie w dziedzinie czasu

A może by tak wykorzystać wzór

s djf

s ft

( ) ( )

12

( )s 0 0 s t dt( )

0

do „całkowania” sygnału cyfrowego? Oczywiście pamiętamy, że musi być spełniony warunek

Procedura całkowania sygnału poprzez transformację Fouriera

Posłużymy się zatem schematem

gdziedla N nieparzystego

dla N parzystego

?

?

27

Całkowanie przez FFT(N parzyste, DC=0)

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-4

-2

0

2

4

6

8

DC = 0

28

Całkowanie przez FFT(N nieparzyste, DC=0)

-1

0

1N=39

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-4

-2

0

2

4

6

8

DC = 0

29

Całkowanie przez FFT(N parzyste, DC~=0)

-1

0

1N=40

DC = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

DC = 0

K I E P S K O

30

Całkowanie przez FFT(N parzyste, DC~=0, H(0)=1)

-1

0

1N=40

DC = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40-6

-4

-2

0

2

4

6

DC = 0.5

K I E P S K O

31

Całkowanie przez FFT(N nieparzyste, DC~=0)

-1

0

1N=39

DC = 0.51282

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

DC = 0

K I E P S K O

32

Całkowanie przez FFT(N parzyste, DC~=0, H(0)=1)

-1

0

1N=39

DC = 0.51282

0 5 10 15 20 25 30 35 40-6

-4

-2

0

2

4

6

DC = 0.51282

K I E P S K O

Procedura całkowania sygnału poprzez dolnoprzepustowe filtry IIR

Wyliczanie wartości całek metodą prostokątów

jest filtracją

N

i

wewy istNs0

)()(

pwewywy fnsnsns /)()()1(

Podobnie całkowanie metodą trapezów tisNssNs

N

i

wewewewy

1

1

)()()0(5,0)(

jest filtracją pwewewywy fnsnsnsns /)()1(5,0)()1(

Oba filtry mają bieguny równe 1, czyli są „na granicy stabilności”. Może to pogarszać jakość „całkowania” jeżeli sygnał był wcześniej poddany filtracji górnoprzepustowej.

34

Całkowanie przez IIR(metoda prostokątów, DC=0)

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10DC = 2.5

35

Całkowanie przez IIR(metoda prostokątów, DC=~0)

-1

0

1N=40

DC = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20DC = 10.25

36

Całkowanie przez IIR(metoda trapezów, DC=0)

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10DC = 2.5

37

Całkowanie przez IIR(metoda trapezów, DC=~0)

-1

0

1N=40

DC = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20DC = 10

38

Całkowanie przez IIR(FGP [1 -1 1 -1 1 -1],

m. prostokątów)

-2

-1

0

1 N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3

-2

-1

0

1

2

3 DC = 0

39

Całkowanie przez IIR(FGP [1 -1 1 -1 1 -1], m.

prostokątów)

-2

-1

0

1 N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3

-2

-1

0

1

2

3 DC = 0

40


prostokątów)

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

DC = 1.5

41


trapezów)

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

DC = 1.5

Documents

Specyficzne filtry cyfrowe - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:filtryspecyficzne.pdfSpecyficzne filtry cyfrowe Materiał w znacznej cz ęści zaczerpnięty z książki Sanjit K