Upload
doandung
View
222
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
1
PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE
Spis treści
1. Definicja próbkowania sygnału
2. Twierdzenie Shanona
3. Aliasing czyli utożsamianie
4. Przetwarzanie obrazów analogowych na dyskretne
2
Próbkowanie sygnałów
Dyskretyzacja czyli próbkowanie
+
Kwantyzacja
Sygnał cyfrowy
ang. sampling
Czy znając dyskretne wartości sygnału można z nich odtworzyć sygnał analogowy?
3
Próbkowanie sygnału akustycznego
Przykład 256 próbek sygnału Starwars
Sygnał dyskretny powstaje z sygnału analogowego zgodnie ze wzorem
przy czym jest odstępem między próbkami, czyli okresem próbkowania.
Odwrotność okresu próbkowania jest częstotliwością próbkowania
MTMssss )1(,),1(),0(
)()( tisis a
t
tf p
1
Sygnał dyskretny można zapisać w postaci wektorowej
czyli
Hzt
f p 100441
ssst 68,22102268100441 8
4
Twierdzenie Shanona
Jeżeli spełnione są warunki:1) nośnik widma sygnału jest ograniczony, tzn.
istnieje takie, że dla ,2) próbki sygnału są pobierane w odstępach czasu
takich, że
to wtedy sygnał może być odtworzony z ciągu próbek zapomocą szeregu
0mf 0)(ˆ fs mff
ntns )(
,21 df
mp fft
)(ts
./)(
/)(sin)()(
n ttnt
ttnttnsts
2ˆ Ls
t
Kotielnikow 1933 rok
Shannon 1949 rok
5
Przykład odtwarzania sygnału
n ttnt
ttnttnsts/)(
/)(sin)()(
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
2
4
6
8
0 5 10 15 20 25 30-2
0
24
68
0 2 42 64
tt)sin(Funkcja
Istotna ciekawostka z historiiKryterium Nyquist’a (”Certain topics in
telegraph transmission theory”, 1928 r.):„Up to 2B independent pulse samples could be
sent through a system of bandwidth B; but he did not explicitly consider the problem of sampling and reconstruction of continuous signals.”
Twierdzenie Shannon’a (”Communication in the Presence of Noise”, 1949 r.):
„If a function contains no frequencies higher than max(in radians per second), it is completelydetermined by giving its ordinates at a series of points spaced T=π/ max seconds apart.”
7
Wstęp do dowodu tw. Shanona
m
m
f
f
tfj dfefsts 2)(ˆ)(
We wzorze na odwrotną transformację Fouriera
0)(ˆ fs
mp ff ,2/ 2/, pm ff
to musi być spełniony warunek
mp ff 2/
na odcinkach i
2/
2/
2)(ˆ)(p
p
f
f
tfj dfefsts
możemy zmienić granice całkowania otrzymując
Obie całki są jednakowe bo jeżeli
8
Początek dowodu tw. Shanona
n
ffnjn
pesfs /2)(ˆ 2/,2/ pp ff
n
f
f
ffntj
n
p
p
p dfests2/
2/
2
)(
2/
2/
/2)(ˆ1 p
p
p
f
f
ffnj
pn dfefs
fs
Funkcję wyrugujemy ze wzoru odwrotnej transformacji Fouriera
wstawiając w jej miejsce szereg Fouriera
)(ˆ fs
zbieżny na odcinku
Przy okazji zauważmy, że współczynniki tego szeregu dane są wzorem
Otrzymujemy zatem
2/
2/
2)(ˆ)(p
p
f
f
tfj dfefsts
pp
n fnsf
s /1czyli
9
Kontynuacja dowodu tw. Shanona
n
f
f
ffntj
n
p
p
p dfests2/
2/
2
)(
2/
2/
2p
p
p
f
f
ffntj
dfe
2/
2/
2sin2cosp
p
f
f pp
dfffntjf
fnt
Dla otrzymanego wzoru
wyliczmy występującą w nim całkę
)/()(sin
p
p
fntntf
Uwaga! Po podstawieniu granic całkowania funkcja cosinus znikła bo jest funkcją parzystą!
10
Zakończenie dowodu
)/()(sin
p
p
fntntf
n p
pp ntf
ntffnsts
sin
/)(
tf p
1
pp
n fnsf
s /1
n
f
f
ffntj
n
p
p
p dfests2/
2/
2
)(
n ttnt
ttnttnsts/)(
/)(sin)()(
Do wzoru
podstawiamy
2/
2/
2p
p
p
f
f
ffntj
dfe
oraz
otrzymując
Uwzględniając dostajemy ostatecznie
11
Zmiany częstotliwości próbkowania
,21 df
mp fft
Z twierdzenia Shanona wiemy, że
Zatem częstotliwość próbkowania może być dowolnie duża.
Co się jednak stanie jeżeli częstotliwość próbkowania będzie za mała?
12
Aliasing czyli utożsamianie
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.81 ●● ●●
Przyjęta gęstość dyskretyzacji oznacza, że próbki mają takie same wartości dla dwóch różnych sygnałów.
13
Sygnał 1 fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)
całość prawy
Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego
a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu
z aliasingiemc) po próbkowaniu
poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową
lewy
14
Sygnał 1 fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)
15
Sygnał 1 fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)
Z aliasingiem
16
Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)
lewy
a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu
z alisingiemc) po próbkowaniu
poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową
Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego
17
Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)
18
Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)
całość prawy
a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu
z alisingiemc) po próbkowaniu
poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową
19
Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)
Z aliasingiem
20
Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)
lewy
a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu
z alisingiemc) po próbkowaniu
poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową
Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego
21
Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)
22
Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)
całość prawy
a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu
z alisingiemc) po próbkowaniu
poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową
23
Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)
Filtracja antyaliasingowa
b
p
ff
SNRN 2/log6 2
Kwantyzacja sygnału
2626
Przykład sygnału dwuwymiarowego
ZnmnmD ,:),(
nmnms ,),(2:sModel matematyczny obrazu analogowego jest odwzorowaniem
Obraz dyskretny jest zborem punktów
zdefiniowanych na dziedzinie
27
Model matematyczny dyskretnego obrazu
ZnmnmD ,:),( nmnms ,),( NMs gdzie: M - ilość linii, N - ilość punktów (pikseli) w linii
m
n0,0
x 8
28
Twierdzenie Shanona dla sygnału 2-D
Jeżeli obraz analogowy ),( yxs spełnia następujące warunki:
1) nośnik widma obrazu 22ˆ Ls jest ograniczony, tzn.0),(ˆ yx ffs jeśli xmx ff lub ,ymy ff
2) próbki obrazu nmynxms ,),( są pobierane w odstępach
takich, że xmxp ffx
21 df
,21 df
ymyp ffy
xmf
ymfyf
xf
yx i
oraz
29
Twierdzenie Shanona dla sygnału 2-D
Jeżeli obraz analogowy ),( yxs spełnia następujące warunki:
1) nośnik widma obrazu 22ˆ Ls jest ograniczony, tzn.0),(ˆ yx ffs jeśli xmx ff lub ,ymy ff
2) próbki obrazu nmynxms ,),( są pobierane w odstępach
takich, że xmxp ffx
21 df
,21 df
ymyp ffy
yx i
oraz
to wtedy obraz analogowy ),( yxs może być zrekonstruowanyz obrazu dyskretnego nmynxms ,),(
.)(sin)(sin),(),( 2
m n nyymxx
nyymxxynxmsyxs
przy pomocy szeregu