I

Sadržaj Spisak tabela ................................................................................................................................................................................. XXXV 1. Aritmetika ..................................................................................................................................................................................... 1

1.1. Elementarna matematika ..................................................................................................................................................... 1 1.1.1. Brojevi .......................................................................................................................................................................... 1

1.1.1.1. Prirodni, celi i racionalni brojevi ................................................................................................................... 1 1.1.1.2. Iracionalni i transcendentni brojevi .............................................................................................................. 1 1.1.1.3. Realni brojevi ................................................................................................................................................... 2

1.1.2. Metode dokazivanja ................................................................................................................................................... 5 1.1.2.1. Neposredan dokaz .......................................................................................................................................... 5 1.1.2.2. Posredan dokaz ili dokaz pomoću suprotnog ............................................................................................. 5 1.1.2.3. Potpuna indukcija ........................................................................................................................................... 5 1.1.2.4. Konstruktivan dokaz ...................................................................................................................................... 6

1.1.3. Zbirovi i proizvodi ..................................................................................................................................................... 6 1.1.3.1. Zbirovi .............................................................................................................................................................. 6 1.1.3.2. Proizvodi .......................................................................................................................................................... 7

1.1.4. Stepeni, koreni, logaritmi .......................................................................................................................................... 8 1.1.4.1. Stepeni .............................................................................................................................................................. 8 1.1.4.2. Koreni ............................................................................................................................................................... 8 1.1.4.3. Logaritmi .......................................................................................................................................................... 9 1.1.4.4. Specijalni logaritmi.......................................................................................................................................... 9

1.1.5. Algebarski izrazi ...................................................................................................................................................... 10 1.1.5.1. Definicije ......................................................................................................................................................... 10 1.1.5.2. Raščlanjivanje algebarskih izraza ................................................................................................................ 11

1.1.6. Celi racionalni izrazi ................................................................................................................................................ 11 1.1.6.1. Predstavljanje u obliku polinoma ............................................................................................................... 11 1.1.6.2. Rastavljanje polinoma na faktore ................................................................................................................ 11 1.1.6.3. Specijalne formule ......................................................................................................................................... 12 1.1.6.4. Binomna teorema .......................................................................................................................................... 12 1.1.6.5. Određivanje najvećeg zajedničkog faktora dva polinoma ....................................................................... 14

1.1.7. Razlomljeni racionalni izrazi .................................................................................................................................. 14 1.1.7.1. Svođenje na najjednostavniji oblik .............................................................................................................. 14 1.1.7.2. Određivanje celog racionalnog dela ........................................................................................................... 15 1.1.7.3. Razlaganje na parcijalne razlomke .............................................................................................................. 15 1.1.7.4. Preoblikovanje srazmera .............................................................................................................................. 17

1.1.8. Iracionalni izrazi ....................................................................................................................................................... 17 1.2. Konačni nizovi ..................................................................................................................................................................... 18

1.2.1. Definicija konačnog niza ......................................................................................................................................... 18 1.2.2. Aritmetički nizovi .................................................................................................................................................... 18 1.2.3. Geometrijski nizovi .................................................................................................................................................. 19 1.2.4. Specijalni konačni nizovi ......................................................................................................................................... 19 1.2.5. Srednje vrednosti...................................................................................................................................................... 19

1.2.5.1. Aritmetička sredina ....................................................................................................................................... 19 1.2.5.2. Geometrijska sredina .................................................................................................................................... 20 1.2.5.3. Harmonijska sredina ..................................................................................................................................... 20 1.2.5.4. Kvadratna sredina ......................................................................................................................................... 20 1.2.5.5. Poređenje srednjih vrednosti dveju pozitivnih veličina a i b .................................................................. 20

1.3. Finansijska matematika ...................................................................................................................................................... 21 1.3.1. Procentni račun ........................................................................................................................................................ 21 1.3.2. Kamatni račun .......................................................................................................................................................... 22 1.3.3. Račun otplata ............................................................................................................................................................ 23

1.3.3.1. Otplata ............................................................................................................................................................ 23 1.3.3.2. Jednake otplate glavnice ............................................................................................................................... 23 1.3.3.3. Jednaki anuiteti .............................................................................................................................................. 24

1.3.4. Penzijski račun .......................................................................................................................................................... 24 1.3.4.1. Renta (penzija) ............................................................................................................................................... 24

II

1.3.4.2. Renta jednakih uplata ................................................................................................................................... 25 1.3.4.3. Stanje na računu posle n isplata rente ........................................................................................................ 25

1.3.5. Otpisi ......................................................................................................................................................................... 26 1.4. Nejednakosti ........................................................................................................................................................................ 28

1.4.1. Prave nejednakosti ................................................................................................................................................... 28 1.4.1.1. Definicije ......................................................................................................................................................... 28 1.4.1.2. Svojstva nejednakosti tipa I i II .................................................................................................................... 29

1.4.2. Specijalne nejednakosti ............................................................................................................................................ 30 1.4.2.1. Nejednačinatrougla ....................................................................................................................................... 30 1.4.2.2. Nejednakosti apsolutnog iznosa razlike dva broja ................................................................................... 30 1.4.2.3. Nejednačina za aritmetičku i geometrijsku sredinu ................................................................................. 30 1.4.2.4. Nejednačina za aritmetičku i kvadratnu sredinu ...................................................................................... 30 1.4.2.5. Nejednakosti za srednje vrednosti dva realna broja ................................................................................. 30 1.4.2.6. Bernulijeva nejednakost................................................................................................................................ 31 1.4.2.7. Binomna nejednakost .................................................................................................................................... 31 1.4.2.8. Koši-Švarcova nejednakost .......................................................................................................................... 31 1.4.2.9. Čebiševljeva nejednakost ............................................................................................................................. 31 1.4.2.10. Poopštena Čebiševljeva nejednakost ........................................................................................................ 32 1.4.2.11. Helderova nejednakost ............................................................................................................................... 32 1.4.2.12. Nejednačina Minkovskog ........................................................................................................................... 33

1.4.3. Rešavanje nejednakosti 1. i 2. stepena ................................................................................................................... 33 1.4.3.1. Opšte ............................................................................................................................................................... 33 1.4.3.2. Nejednakosti 1. stepena ................................................................................................................................ 33 1.4.3.3. Nejednakosti 2. stepena ................................................................................................................................ 33 1.4.3.4. Opšti slučaj nejednakosti 2. stepena ........................................................................................................... 34

1.5. Kompleksni brojevi ............................................................................................................................................................. 34 1.5.1. Imaginarni i kompleksni brojevi ............................................................................................................................ 34

1.5.1.1. Imaginarna jedinica ....................................................................................................................................... 34 1.5.1.2. Kompleksni brojevi ....................................................................................................................................... 34

1.5.2. Geometrijski prikaz .................................................................................................................................................. 35 1.5.2.1. Vektorski prikaz ............................................................................................................................................ 35 1.5.2.2. Jednakost kompleksnih brojeva .................................................................................................................. 35 1.5.2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva............................................................................................. 35 1.5.2.4. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva .............................................................................................. 36 1.5.2.5. Konjugirano kompleksni brojevi ................................................................................................................. 36

1.5.3. Računanje s kompleksnim brojevima .................................................................................................................... 36 1.5.3.1. Sabiranje i oduzimanje .................................................................................................................................. 36 1.5.3.2. Množenje ........................................................................................................................................................ 37 1.5.3.3. Deljenje ........................................................................................................................................................... 38 1.5.3.4. Opšta pravila za četiri osnovne računske operacije .................................................................................. 38 1.5.3.5. Stepenovanje kompleksnog broja................................................................................................................ 38 1.5.3.6. Izračunavanje n-tog korena kompleksnog broja ....................................................................................... 38

1.6. Algebarske i transcedentne jednačine .............................................................................................................................. 38 1.6.1. Svođenje algebarskih jednačina na normalni oblik ............................................................................................. 38

1.6.1.1. Definicije ......................................................................................................................................................... 38 1.6.1.2. Sistemi od n algebarskih jednačina ............................................................................................................. 39 1.6.1.3. Prividna rešenja ............................................................................................................................................. 39

1.6.2. Jednačine 1. do 4. stepena ....................................................................................................................................... 39 1.6.2.1. Jednačine 1. stepena (linearne) .................................................................................................................... 39 1.6.2.2. Jednačine 2. stepena (kvadratne) ................................................................................................................. 40 1.6.2.3. Jednačine 3. stepena (kubne)........................................................................................................................ 40 1.6.2.4. Jednačine 4. stepena ...................................................................................................................................... 42 1.6.2.5. Jednačine 5. i većih stepena .......................................................................................................................... 43

1.6.3. Jednačine n-tog stepena ........................................................................................................................................... 43 1.6.3.1. Zajednička svojstva algebarskih jednačina ................................................................................................ 43 1.6.3.2. Jednačine s realnim koeficijentima .............................................................................................................. 44

1.6.4. Svođenje transcendentnih jednačina na algebarske ............................................................................................ 45

III

1.6.4.1. Definicija ......................................................................................................................................................... 45 1.6.4.2. Eksponencijalne jednačine ........................................................................................................................... 46 1.6.4.3. Logaritamske jednačine ................................................................................................................................ 46 1.6.4.4. Trigonometrijske jednačine .......................................................................................................................... 46 1.6.4.5. Jednačine sa hiperbolnim funkcijama ......................................................................................................... 47

2. Funkcije i njihovo zadavanje .................................................................................................................................................... 48 2.1. Pojam funkcije ..................................................................................................................................................................... 48

2.1.1. Definicija funkcije ..................................................................................................................................................... 48 2.1.1.1. Funkcija........................................................................................................................................................... 48 2.1.1.2. Realna funkcija .............................................................................................................................................. 48 2.1.1.3. Funkcija više promenljivih ........................................................................................................................... 48 2.1.1.4. Kompleksna funkcija .................................................................................................................................... 48 2.1.1.5. Ostale funkcije ............................................................................................................................................... 48 2.1.1.6. Funkcionali ..................................................................................................................................................... 48 2.1.1.7. Funkcija i preslikavanje ................................................................................................................................ 49

2.1.2. Načini definisanja realne funkcije .......................................................................................................................... 49 2.1.2.1. Zadavanje funkcije ........................................................................................................................................ 49 2.1.2.2. Analitičko zadavanje realnih funkcija ........................................................................................................ 49

2.1.3. Neki tipovi funkcija ................................................................................................................................................. 50 2.1.3.1. Monotone funkcije......................................................................................................................................... 50 2.1.3.2. Ograničene funkcije ...................................................................................................................................... 51 2.1.3.3. Ekstremne vrednosti funkcija ...................................................................................................................... 51 2.1.3.4. Parne funkcije ................................................................................................................................................ 51 2.1.3.5. Neparne funkcije ........................................................................................................................................... 51 2.1.3.6. Rastavljanje na parne i neparne funkcije .................................................................................................... 52 2.1.3.7. Periodičke funkcije ........................................................................................................................................ 52 2.1.3.8. Inverzne ili obratne funkcije ........................................................................................................................ 52

2.1.4. Granična vrednost funkcije ..................................................................................................................................... 53 2.1.4.1. Definicija granične vrednosti funkcije ........................................................................................................ 53 2.1.4.2. Svođenje na graničnu vrednost reda (v. s. 420) ......................................................................................... 53 2.1.4.3. Košijev kriterijum konvergencije................................................................................................................. 53 2.1.4.4. Beskonačna granična vrednost funkcije ..................................................................................................... 54 2.1.4.5. Leva i desna granična vrednost funkcije .................................................................................................... 54 2.1.4.6. Granična vrednost funkcije kada x teži beskonačnosti ............................................................................ 54 2.1.4.7. Teoreme o graničnim vrednostima funkcija .............................................................................................. 55 2.1.4.8. Izračunavanje graničnih vrednosti.............................................................................................................. 55 2.1.4.9. Red veličine funkcija i simboli Landaua .................................................................................................... 57

2.1.5. Neprekidnost funkcije ............................................................................................................................................. 58 2.1.5.1. Neprekidnost i mesto prekida ..................................................................................................................... 58 2.1.5.2. Definicija neprekidnosti ............................................................................................................................... 59 2.1.5.3. Česti oblici prekida........................................................................................................................................ 59 2.1.5.4. Neprekidnost i mesta prekida elementarnih funkcija .............................................................................. 60 2.1.5.5. Svojstva neprekidnih funkcija ..................................................................................................................... 61

2.2. Elementarne funkcije .......................................................................................................................................................... 62 2.2.1. Algebarske funkcije.................................................................................................................................................. 62

2.2.1.1. Cele racionalne funkcije (polinomi) ............................................................................................................ 62 2.2.1.2. Razlomljene racionalne funkcije .................................................................................................................. 62 2.2.1.3. Iracionalne funkcije ....................................................................................................................................... 63

2.2.2. Transcendentne funkcije ......................................................................................................................................... 63 2.2.2.1. Eksponencijalne funkcije .............................................................................................................................. 63 2.2.2.2. Logaritamske funkcije................................................................................................................................... 63 2.2.2.3. Trigonometrijske funkcije ............................................................................................................................ 63 2.2.2.4. Inverzne trigonometrijske (arkus) funkcije ................................................................................................ 63 2.2.2.5. Hiperbolne funkcije....................................................................................................................................... 63 2.2.2.6. Inverzne hiperbolne (area) funkcije ............................................................................................................ 63

2.2.3. Složene funkcije ........................................................................................................................................................ 63 2.3. Polinomi ............................................................................................................................................................................... 64

IV

2.3.1. Linearne funkcije ...................................................................................................................................................... 64 2.3.2. Kvadratni polinom ................................................................................................................................................... 64 2.3.3. Polinom 3. stepena ................................................................................................................................................... 64 2.3.4. Polinom n-tog stepena ............................................................................................................................................. 65 2.3.5. Parabola n-tog reda .................................................................................................................................................. 66

2.4. Razlomljene racionalne funkcije........................................................................................................................................ 66 2.4.1. Obrnuta srazmera .................................................................................................................................................... 66 2.4.2. Kriva 3. reda, tip I ..................................................................................................................................................... 67 2.4.3. Kriva 3. reda, tip II ................................................................................................................................................... 67 2.4.4. Kriva 3. reda, tip III .................................................................................................................................................. 69 2.4.5. Recipročna stepena funkcija ................................................................................................................................... 70

2.5. Iracionalne funkcije ............................................................................................................................................................. 71 2.5.1. Kvadratni koren linearnog binoma ....................................................................................................................... 71 2.5.2. Kvadratni koren kvadratnog polinoma ................................................................................................................ 71 2.5.3. Stepena funkcija ....................................................................................................................................................... 71

2.6. Eksponencijalne i logaritamske funkcije .......................................................................................................................... 72 2.6.1. Eksponencijalna funkcija ......................................................................................................................................... 72 2.6.2. Logaritamske funkcije ............................................................................................................................................. 73 2.6.3. Gausova zvonolika kriva ........................................................................................................................................ 73 2.6.4. Zbir eksponencijala .................................................................................................................................................. 73 2.6.5. Poopštena Gausova zvonolika kriva ..................................................................................................................... 74 2.6.6. Proizvod stepene i eksponencijalne funkcije ........................................................................................................ 75

2.7. Trigonometrijske funkcije (ugla) ....................................................................................................................................... 76 2.7.1. Osnove ....................................................................................................................................................................... 76

2.7.1.1. Definicija i grafovi ......................................................................................................................................... 76 2.7.1.2. Opsezi vrednosti i tokovi funkcija .............................................................................................................. 78

2.7.2. Važne formule za trigonometrijske funkcije ......................................................................................................... 80 2.7.2.1. Odnosi trigonometrijskih funkcija .............................................................................................................. 80 2.7.2.2. Trigonometrijske funkcije zbira i razlike dva ugla (teorema o zbiru)80 2.7.2.3. Trigonometrijske funkcije višestrukih uglova ........................................................................................... 81 2.7.2.4. Trigonometrijske funkcije poluugla ............................................................................................................ 82 2.7.2.5. Zbirovi i razlike dve trigonometrijske funkcije ......................................................................................... 82 2.7.2.6. Proizvod trigonometrijskih funkcija ........................................................................................................... 82 2.7.2.7. Stepeni trigonometrijskih funkcija .............................................................................................................. 83

2.7.3. Opis oscilacija ........................................................................................................................................................... 83 2.7.3.1. Postavljanje problema ................................................................................................................................... 83 2.7.3.2. Superpozicija oscilacija ................................................................................................................................. 83 2.7.3.3. Vektorski dijagram oscilacija ....................................................................................................................... 84 2.7.3.4. Prigušenje oscilacija ...................................................................................................................................... 84

2.8. Ciklometrijske (arkus) funkcije ......................................................................................................................................... 85 2.8.1. Definicija ciklometrijskih funkcija .......................................................................................................................... 85 2.8.2. Svođenje na glavne vrednosti ................................................................................................................................. 85 2.8.3. Odnosi glavnih vrednosti........................................................................................................................................ 86 2.8.4. Formule za negativne argumente .......................................................................................................................... 87 2.8.5. Zbir i razlika arcsin x i arcsin y .............................................................................................................................. 87 2.8.6. Zbir i razlika arccos x i arccos y.............................................................................................................................. 87 2.8.7. Zbir i razlika arctan x i arctan y .............................................................................................................................. 87 2.8.8. Specijalne relacije za arcsin x, arccos x i arctan x ................................................................................................. 88

2.9. Hiperbolne funkcije ............................................................................................................................................................ 88 2.9.1. Definicija hiperbolnih funkcija ............................................................................................................................... 88 2.9.2. Grafičko predstavljanje hiperbolnih funkcija ....................................................................................................... 89

2.9.2.1. Hiperbolni sinus ............................................................................................................................................ 89 2.9.2.2. Hiperbolni kosinus ........................................................................................................................................ 89 2.9.2.3. Hiperbolni tangens ........................................................................................................................................ 90 2.9.2.4. Hiperbolni kotangens ................................................................................................................................... 90

2.9.3. Važne formule za hiperbolne funkcije ................................................................................................................... 90 2.9.3.1. Hiperbolne funkcije jedne promenljive ...................................................................................................... 90

V

2.9.3.2. Predstavljanje jedne hiperbolne funkcije drugom uz isti argument ....................................................... 90 2.9.3.3. Formule za negativne argumente ............................................................................................................... 90 2.9.3.4. Hiperbolne funkcije zbira i razlike dva argumenta .................................................................................. 91 2.9.3.5. Hiperbolne funkcije dvostrukog argumenta ............................................................................................. 91 2.9.3.6. Moavreove formule hiperbolnih funkcija .................................................................................................. 91 2.9.3.7. Hiperbolne funkcije poluargumenta .......................................................................................................... 91 2.9.3.8. Zbirovi i razlike hiperbolnih funkcija ......................................................................................................... 91 2.9.3.9. Veza hiperbolnih i trigonometrijskih funkcija izražena pomoću kompleksnih argumenata .............. 92

2.10. Area funkcije ...................................................................................................................................................................... 92 2.10.1. Definicije .................................................................................................................................................................. 92

2.10.1.1. Area sinus ..................................................................................................................................................... 92 2.10.1.2. Area kosinus ................................................................................................................................................ 92 2.10.1.3. Area tangens ................................................................................................................................................ 93 2.10.1.4. Area kotangens ............................................................................................................................................ 93

2.10.2. Predstavljanje Area funkcija pomoću prirodnog logaritma ............................................................................. 93 2.10.3. Veze Area funkcija ................................................................................................................................................. 94 2.10.4. Zbirovi i razlike area funkcija ............................................................................................................................... 94 2.10.5. Formule za negativne argumente ........................................................................................................................ 94

2.11. Krive trećeg reda ............................................................................................................................................................... 95 2.11.1. Polukubna parabola ............................................................................................................................................... 95 2.11.2. Agnezijeva versijera ............................................................................................................................................... 95 2.11.3. Kartezijusov list ...................................................................................................................................................... 96 2.11.4. Cisoida ..................................................................................................................................................................... 96 2.11.5. Strofoida .................................................................................................................................................................. 96

2.12. Krive četvrtog reda ........................................................................................................................................................... 97 2.12.1. Nikomedova konhoida .......................................................................................................................................... 97 2.12.2. Opšta konhoida ...................................................................................................................................................... 98 2.12.3. Paskalov puž ........................................................................................................................................................... 98 2.12.4. Kardioida ................................................................................................................................................................. 99 2.12.5. Kasinijeve krive .................................................................................................................................................... 100 2.12.6. Lemniskata ............................................................................................................................................................ 101

2.13. Cikloide ............................................................................................................................................................................ 101 2.13.1. Obična cikloida ..................................................................................................................................................... 101 2.13.2. Produžene i skraćene cikloide ili trohoide ........................................................................................................ 102 2.13.3. Epicikloide ............................................................................................................................................................ 103 2.13.4. Hipocikloida i astroida ........................................................................................................................................ 104 2.13.5. Produžena i skraćena epicikloida i hipocikloida ............................................................................................. 105

2.14. Spirale ............................................................................................................................................................................... 105 2.14.1. Arhimedova spirala ............................................................................................................................................. 105 2.14.2. Hiperbolna spirala ............................................................................................................................................... 106 2.14.3. Logaritamska spirala ........................................................................................................................................... 106 2.14.4. Evolventa kružnice .............................................................................................................................................. 107 2.14.5. Klotoida ................................................................................................................................................................. 107

2.15. Različite druge krive ....................................................................................................................................................... 108 2.15.1. Lančanica ili katenoida ........................................................................................................................................ 108 2.15.2. Kriva vučenja ili traktrisa .................................................................................................................................... 108

2.16. Pronalaženje funkcijske zavisnosti empirijskih krivih ............................................................................................... 109 2.16.1. Postupak ................................................................................................................................................................ 109

2.16.1.1. Poređenje grafova funkcija ....................................................................................................................... 109 2.16.1.2. Rektifikacija ................................................................................................................................................ 109 2.16.1.3. Određivanje parametara........................................................................................................................... 109

2.16.2. Najčešće upotrebljavane empirijske formule .................................................................................................... 110 2.16.2.1. Stepene funkcije ......................................................................................................................................... 110 2.16.2.2. Eksponencijalne funkcije .......................................................................................................................... 110 2.16.2.3. Kvadratni polinom .................................................................................................................................... 111 2.16.2.4. Razlomljena linearna funkcija .................................................................................................................. 112 2.16.2.5. Kvadratni koren iz kvadratnog polinoma.............................................................................................. 112

VI

2.16.2.6. Poopštena Gausova zvonolika kriva ...................................................................................................... 112 2.16.2.7. Kriva 3. reda, tip II .................................................................................................................................... 113 2.16.2.8. Kriva 3. reda, tip III ................................................................................................................................... 113 2.16.2.9. Kriva 3. reda, tip I ...................................................................................................................................... 113 2.16.2.10. Proizvod stepene i eksponencijalne funkcije ....................................................................................... 114 2.16.2.11. Zbir eksponencijala ................................................................................................................................. 114 2.16.2.12. Potpuno izračunat primer ...................................................................................................................... 114

2.17. Skale i funkcijski papir ................................................................................................................................................... 116 2.17.1. Skale ....................................................................................................................................................................... 116 2.17.2. Funkcijski papir .................................................................................................................................................... 117

2.17.2.1. Lin-log papir .............................................................................................................................................. 118 2.17.2.2. Log-log papir ............................................................................................................................................. 118 2.17.2.3. Funkcijski papir sa recipročnom skalom ................................................................................................ 118 2.17.2.4. Napomena .................................................................................................................................................. 119

2.18. Funkcije više promenljivih ............................................................................................................................................. 120 2.18.1. Definicija i grafičko predstavljanje ..................................................................................................................... 120

2.18.1.1. Definicija funkcija više promenljivih ...................................................................................................... 120 2.18.1.2. Grafičko predstavljanje funkcija više promenljivih .............................................................................. 120

2.18.2. Različita područja definicije u ravni .................................................................................................................. 121 2.18.2.1. Područje definicije funkcije zadate skupom tačaka .............................................................................. 121 2.18.2.2. Dvodimenzionalna područja ................................................................................................................... 121 2.18.2.3. Tro- i višedimenzionalna područja ......................................................................................................... 121 2.18.2.4. Načini definisanja funkcije ....................................................................................................................... 121 2.18.2.5. Oblici analitičkog zadavanja funkcije ..................................................................................................... 123 2.18.2.6. Zavisnost funkcija ..................................................................................................................................... 124

2.18.3. Granične vrednosti ............................................................................................................................................... 125 2.18.3.1. Definicija ..................................................................................................................................................... 125 2.18.3.2. Tačna formulacija ...................................................................................................................................... 125 2.18.3.3. Poopštenje na više promenljivih.............................................................................................................. 125 2.18.3.4. Iterirane granične vrednosti ..................................................................................................................... 126

2.18.4. Neprekidnost ........................................................................................................................................................ 126 2.18.5. Svojstva neprekidnih funkcija ............................................................................................................................ 126

2.18.5.1. Bolcanov teorema o nul-tačkama ............................................................................................................ 126 2.18.5.2. Teorema o međuvrednosti ....................................................................................................................... 126 2.18.5.3. Teorema o ograničenosti funkcije ........................................................................................................... 126 2.18.5.4. Vajerštrasov teorema o egzistenciji najveće i najmanje vrednosti funkcije ........................................ 127

2.19. Nomografija ..................................................................................................................................................................... 127 2.19.1. Nomogrami ........................................................................................................................................................... 127 2.19.2. Mrežne tabele ........................................................................................................................................................ 127 2.19.3. Nomogrami tačaka na pravim ............................................................................................................................ 128

2.19.3.1. Nomogram sa tri prave koje prolaze kroz istu tačku ........................................................................... 128 2.19.3.2. Nomogram sa dve paralelne prave i trećom koja ih seče ..................................................................... 129 2.19.3.3. Nomogram sa dve paralelne prave i jednom krivom ........................................................................... 130

2.19.4. Mrežne tabele za više od tri promenljive .......................................................................................................... 131 3. Geometrija ................................................................................................................................................................................. 132

3.1. Geometrija u ravni (planimetrija) ................................................................................................................................... 132 3.1.1. Osnovni pojmovi .................................................................................................................................................... 132

3.1.1.1. Tačka, prava, poluprava, odsečak ............................................................................................................. 132 3.1.1.2. Ugao .............................................................................................................................................................. 132 3.1.1.3. Uglovi dve prave koje se seku ................................................................................................................... 133 3.1.1.4. Parovi uglova paralelnih pravih koje seče treča prava ........................................................................... 133 3.1.1.5. Uglovi izraženi u stepenima i u radijanima ............................................................................................. 134

3.1.2. Geometrijska definicija cirkularnih i hiperbolnih funkcija ............................................................................... 134 3.1.2.1. Definicija cirkularnih ili trigonometrijskih funkcija ............................................................................... 134 3.1.2.2. Geometrijska definicija hiperbolnih funkcija ........................................................................................... 135

3.1.3. Trougao u ravni ...................................................................................................................................................... 136 3.1.3.1. Svojstva trouglova u davni ........................................................................................................................ 136

VII

3.1.3.2. Simetrija ........................................................................................................................................................ 137 3.1.4. Četvorougao u ravni .............................................................................................................................................. 139

3.1.4.1. Paralelogram ................................................................................................................................................ 139 3.1.4.2. Pravougaonik i kvadrat .............................................................................................................................. 139 3.1.4.3. Romb ............................................................................................................................................................. 139 3.1.4.4. Trapez ........................................................................................................................................................... 139 3.1.4.5. Poopšteni četvorougao ............................................................................................................................... 140 3.1.4.6. Tetivni četvorougao .................................................................................................................................... 140 3.1.4.7. Tangentni četvorougao ............................................................................................................................... 141

3.1.5. Mnogouglovi (poligoni) u ravni ........................................................................................................................... 141 3.1.5.1. Poopšteni mnogougao ................................................................................................................................ 141 3.1.5.2. Pravilni konveksni mnogouglovi .............................................................................................................. 141 3.1.5.3. Neki pravilni konveksni mnogouglovi .................................................................................................... 142

3.1.6. Kružni likovi u ravni ............................................................................................................................................. 143 3.1.6.1. Krug .............................................................................................................................................................. 143 3.1.6.2. Otsečak (segment) i isečak (sektor) kruga ................................................................................................ 145 3.1.6.3. Kružni prsten ............................................................................................................................................... 145

3.2. Ravanska trigonometrija .................................................................................................................................................. 146 3.2.1. Izračunavanje trouglova ........................................................................................................................................ 146

3.2.1.1. Izračunavanje trouglova u pravolinijskim koordinatama ..................................................................... 146 3.2.1.2. Izračunavanje trouglova u krivolinijskim koordinatama ...................................................................... 146

3.2.2. Geodetske primene ................................................................................................................................................ 149 3.2.2.1. Geodetske koordinate ................................................................................................................................. 149 3.2.2.2. Uglovi u geodeziji ....................................................................................................................................... 150 3.2.2.3. Primene u premeru zemljišta ..................................................................................................................... 152

3.3. Geometrija u prostoru (stereometrija) ............................................................................................................................ 155 3.3.1. Prave i ravni u prostoru ........................................................................................................................................ 155 3.3.2. Rubovi, ivice, prostorni uglovi ............................................................................................................................. 156 3.3.3. Uglasta tela (poliedri) ............................................................................................................................................ 157 3.3.4. Obla tela................................................................................................................................................................... 160

3.4. Sferna trigonometrija ........................................................................................................................................................ 164 3.4.1. Osnovni pojmovi geometrije na kugli ................................................................................................................. 164

3.4.1.1. Krive, lukovi i uglovi na kugli ................................................................................................................... 164 3.4.1.2. Specijalni koordinatni sistemi .................................................................................................................... 166 3.4.1.3. Sferni ugao ................................................................................................................................................... 167 3.4.1.4. Sferni trougao .............................................................................................................................................. 167 3.4.1.5. Polarni trougao ............................................................................................................................................ 168 3.4.1.6. Ojlerovi i ne-Ojlerovi trouglovi ................................................................................................................. 169 3.4.1.7. Triedar .......................................................................................................................................................... 169

3.4.2. Osnovna svojstva sfernih trouglova .................................................................................................................... 169 3.4.2.1. Opšte teoreme .............................................................................................................................................. 169 3.4.2.2. Osnovne formule i primene ....................................................................................................................... 170 3.4.2.3. Ostale formule ............................................................................................................................................. 173

3.4.3. Izračunavanje sfernih trouglova .......................................................................................................................... 174 3.4.3.1. Osnovni zadaci, ocena tačnosti .................................................................................................................. 174 3.4.3.2. Pravougaoni sferni trougao ....................................................................................................................... 174 3.4.3.3. Kosougaoni sferni trougao ......................................................................................................................... 176 3.4.3.4. Sferne krive .................................................................................................................................................. 180

3.5. Vektorska algebra i analitička geometrija ...................................................................................................................... 186 3.5.1. Vektorska algebra................................................................................................................................................... 186

3.5.1.1. Definicija vektora, pravila računanja ........................................................................................................ 186 3.5.1.2. Skalarni i vektorski proizvod..................................................................................................................... 189 3.5.1.3. Višestruki proizvodi ................................................................................................................................... 191 3.5.1.4. Vektorske jednačine .................................................................................................................................... 194 3.5.1.5. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate vektora .............................................................................. 194 3.5.1.6. Geometrijske primene vektorske algebre ................................................................................................. 195

3.5.2. Analitička geometrija u ravni ............................................................................................................................... 195

VIII

3.5.2.1. Ravanski koordinatni sistemi i njihove transformacije .......................................................................... 195 3.5.2.2. Istaknute tačke ravni ................................................................................................................................... 198 3.5.2.3. Prava ............................................................................................................................................................. 201 3.5.2.4. Krug .............................................................................................................................................................. 204 3.5.2.5. Elipsa ............................................................................................................................................................. 205 3.5.2.6. Hiperbola ...................................................................................................................................................... 207 3.5.2.7. Parabola ........................................................................................................................................................ 210 3.5.2.8. Krive 2. reda ................................................................................................................................................. 212

3.5.3. Analitička geometrija u prostoru ......................................................................................................................... 214 3.5.3.1. Osnove, prostorni koordinatni sistemi ..................................................................................................... 214 3.5.3.2. Prava i ravan u prostoru ............................................................................................................................. 221 3.5.3.3. Površi 2. reda, jednačine u normalnom obliku ........................................................................................ 227 3.5.3.4. Površi 2. reda, opšta teorija ........................................................................................................................ 231

3.6. Diferencijalna geometrija ................................................................................................................................................. 233 3.6.1. Krive u ravni ........................................................................................................................................................... 233

3.6.1.1. Načini definisanja ravanske krive ............................................................................................................. 233 3.6.1.2. Lokalni elementi krive ................................................................................................................................ 234 3.6.1.3. Istaknute tačke krive i asimptote ............................................................................................................... 239 3.6.1.4. Opšte ispitivanje krive preko njene jednačine ......................................................................................... 244 3.6.1.5. Evolute i evolvente ...................................................................................................................................... 245 3.6.1.6. Obvojnica (anvelopa) porodice krivih ...................................................................................................... 246

3.6.2. Krive u prostoru ..................................................................................................................................................... 247 3.6.2.1. Načini definisanja prostorne krive ............................................................................................................ 247 3.6.2.2. Prateći triedar ............................................................................................................................................... 247 3.6.2.3. Zakrivljenost i izvijanje ............................................................................................................................... 250

3.6.3. Površi ....................................................................................................................................................................... 252 3.6.3.1. Načini definisanja površi ............................................................................................................................ 252 3.6.3.2. Tangencijalna ravan i normala na površ .................................................................................................. 253 3.6.3.3. Linijski element na površi .......................................................................................................................... 254 3.6.3.4. Zakrivljenost površi .................................................................................................................................... 256 3.6.3.5. Pravčaste površi i površi koje se mogu razmotati................................................................................... 259 3.6.3.6. Geodetske linije na površi .......................................................................................................................... 259

4. Linearna algebra ....................................................................................................................................................................... 261 4.1. Matrice ................................................................................................................................................................................ 261

4.1.1. Definicija matrice ................................................................................................................................................... 261 4.1.2. Kvadratne matrice .................................................................................................................................................. 262 4.1.3. Vektori ..................................................................................................................................................................... 263 4.1.4. Računske operacije s matricama .......................................................................................................................... 264 4.1.5. Pravila računanja s matricama ............................................................................................................................. 267 4.1.6. Norma vektora i matrice ....................................................................................................................................... 268

4.1.6.1. Norme vektora ............................................................................................................................................. 268 4.1.6.2. Norme matrica ............................................................................................................................................. 269

4.2. Determinante ..................................................................................................................................................................... 269 4.2.1. Definicije .................................................................................................................................................................. 269

4.2.1.1. Determinante ............................................................................................................................................... 269 4.2.1.2. Poddeterminante ......................................................................................................................................... 269

4.2.2. Pravila računanja s determinantama ................................................................................................................... 270 4.2.3. Izračunavanje determinanata ............................................................................................................................... 271

4.3. Tenzori ................................................................................................................................................................................ 272 4.3.1. Transformacije koordinatnih sistema .................................................................................................................. 272 4.3.2. Tenzori u pravouglim koordinatama .................................................................................................................. 272 4.3.3. Tenzori specijalnih svojstava ................................................................................................................................ 274

4.3.3.1. Tenzori 2. reda ............................................................................................................................................. 274 4.3.3.2. Invarijantni tenzori ...................................................................................................................................... 275

4.3.4. Tenzori u krivolinijskim koordinatnim sistemima ............................................................................................ 276 4.3.4.1. Kovarijantni i kontravarijantni bazni vektori .......................................................................................... 276 4.3.4.2. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate tenzora 1. reda .................................................................. 276

IX

4.3.4.3. Kovarijantne, kontravarijantne i mešovite koordinate tenzora 2. reda 277 4.3.4.4. Pravila računanja ......................................................................................................................................... 278

4.3.5. Psudotenzori ........................................................................................................................................................... 279 4.3.5.1. Ogledanje tačke u odnosu na koordinatni početak................................................................................. 279 4.3.5.2. Uvođenje pojma pseudotenzora ................................................................................................................ 280

4.4. Sistemi linearnih jednačina .............................................................................................................................................. 281 4.4.1. Linearni sistemi, postupak zamene ..................................................................................................................... 281

4.4.1.1. Linearni sistemi ........................................................................................................................................... 281 4.4.1.2. Postupak zamene ........................................................................................................................................ 281 4.4.1.3. Linearna zavisnost ...................................................................................................................................... 282 4.4.1.4. Invertiranje matrice ..................................................................................................................................... 282

4.4.2. Rešavanje sistema linearnih jednačina ................................................................................................................ 281 4.4.2.1. Definicija i rešivost ...................................................................................................................................... 282 4.4.2.2. Primena postupka zamene ......................................................................................................................... 284 4.4.2.3. Kramerovo pravilo ...................................................................................................................................... 285 4.4.2.4. Gausov algoritam ........................................................................................................................................ 286

4.4.3. Preodređeni sistemi linearnih jednačina ............................................................................................................. 287 4.4.3.1. Preodređeni sistemi linearnih jednačina i linearni srednjekvadratni problemi .................................. 287 4.4.3.2. Uputstva za numeričko rešavanje linearnih srednjekvadratnih problema ......................................... 288

4.5. Zadaci sa sopstvenim vrednostima matrica .................................................................................................................. 288 4.5.1. Opšte o problemu sopstvenih vrednosti ............................................................................................................. 288 4.5.2. Specijalni problem sopstvenih vrednosti ............................................................................................................ 288

4.5.2.1. Karakteristični polinom .............................................................................................................................. 288 4.5.2.2. Realne simetrične matrice, identičke transformacije .............................................................................. 290 4.5.2.3. Transformacija glavnih osa kvadratnih formi ......................................................................................... 291 4.5.2.4. Uputstva za numeričko određivanje sopstvenih vrednosti ................................................................... 293

4.5.3. Rastavljanje na singularne vrednosti ................................................................................................................... 295 5. Algebra i diskretna matematika ............................................................................................................................................. 297

5.1. Logika ................................................................................................................................................................................. 297 5.1.1. Logika iskaza .......................................................................................................................................................... 297 5.1.2. Izrazi logike predikata ........................................................................................................................................... 300

5.2. Teorija skupova ................................................................................................................................................................. 302 5.2.1. Pojam skupa, specijalni skupovi .......................................................................................................................... 302 5.2.2. Operacije sa skupovima ........................................................................................................................................ 303 5.2.3. Odnosi i grafičko predstavljanje .......................................................................................................................... 306 5.2.4. Odnosi ekvivalentnosti i uređenosti .................................................................................................................... 308 5.2.5. Obim skupova ........................................................................................................................................................ 309

5.3. Klasične alebarske strukture ............................................................................................................................................ 310 5.3.1. Operacije .................................................................................................................................................................. 310 5.3.2. Polugrupe ................................................................................................................................................................ 310 5.3.3. Grupe ....................................................................................................................................................................... 311

5.3.3.1. Definicija i osnovna svojstva ...................................................................................................................... 311 5.3.3.2. Podgrupe i direktni proizvodi ................................................................................................................... 312 5.3.3.3. Preslikavanja grupa..................................................................................................................................... 314

5.3.4. Prikazivanje grupa ................................................................................................................................................. 315 5.3.4.1. Definicije ....................................................................................................................................................... 315 5.3.4.2. Specijalni prikazi ......................................................................................................................................... 315 5.3.4.3. Direktni zbirovi prikaza ............................................................................................................................. 316 5.3.4.4. Direktni proizvodi prikaza ........................................................................................................................ 317 5.3.4.5. Reducibilni i nereducibilni prikazi ........................................................................................................... 317 5.3.4.6. Prva Šuršova lema ....................................................................................................................................... 318 5.3.4.7. Klebš-Gordanov niz .................................................................................................................................... 318 5.3.4.8. Nereducibilni prikazi simetrične grupe SM .............................................................................................. 318

5.3.5. Primene grupa ........................................................................................................................................................ 319 5.3.5.1. Simetrične operacije, simetrični elementi ................................................................................................. 319 5.3.5.2. Simetrične grupe ......................................................................................................................................... 319 5.3.5.3. Simetrične operacije nad molekulama ...................................................................................................... 320

X

5.3.5.4. Simetrične grupe u kristalografiji .............................................................................................................. 322 5.3.5.5. Simetrične grupe u kvantnoj mehanici ..................................................................................................... 324 5.3.5.6. Ostali primeri primene iz fizike ................................................................................................................ 324

5.3.6. Prsteni i tela............................................................................................................................................................. 325 5.3.6.1. Definicije ....................................................................................................................................................... 325 5.3.6.2. Potprstenovi, ideali ..................................................................................................................................... 326 5.3.6.3. Homomorfizmi, izomorfizmi, teorema o homomorfiji .......................................................................... 326

5.3.7. Vektorski prostori .................................................................................................................................................. 326 5.3.7.1. Definicija ....................................................................................................................................................... 326 5.3.7.2. Linearna zavisnost ...................................................................................................................................... 327 5.3.7.3. Linearna preslikavanja ............................................................................................................................... 327 5.3.7.4. Potprostori, formula za dimenziju ............................................................................................................ 327 5.3.7.5. Euklidovi vektorski prostori, Euklidova norma ..................................................................................... 328 5.3.7.6. Linearni operatori u vektorskim prostorima ........................................................................................... 329

5.4. Elementarna teorija brojeva ............................................................................................................................................. 330 5.4.1. Deljivost ................................................................................................................................................................... 330

5.4.1.1. Deljivost i elementarna pravila deljenja ................................................................................................... 330 5.4.1.2. Prim brojevi .................................................................................................................................................. 330 5.4.1.3. Kriterijumi deljivosti ................................................................................................................................... 332 5.4.1.4. Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički faktor ........................................................................... 333 5.4.1.5. Fibonačijevi brojevi ..................................................................................................................................... 334

5.4.2. Linearne Diofantove jednačine ............................................................................................................................. 335 5.4.3. Kongruencija i klase ostatka ................................................................................................................................. 337 5.4.4. Teoreme Fermaa, Ojlera i Vilsona ........................................................................................................................ 341 5.4.5. Kodovi ..................................................................................................................................................................... 341

5.5. Kriptologija ........................................................................................................................................................................ 344 5.5.1. Zadatak kriptologije ............................................................................................................................................... 344 5.5.2. Kriptosistemi........................................................................................................................................................... 344 5.5.3. Matematičko preciziranje ...................................................................................................................................... 344 5.5.4. Bezbednost kriptosistema ..................................................................................................................................... 345

5.5.4.1. Metode klasične kriptologije ...................................................................................................................... 345 5.5.4.2. Zamenske šifre ............................................................................................................................................. 346 5.5.4.3. Vigenerove šifre ........................................................................................................................................... 346 5.5.4.4. Matrične zamene ......................................................................................................................................... 346

5.5.5. Metode klasične kriptoanalize .............................................................................................................................. 347 5.5.5.1. Statistička analiza ........................................................................................................................................ 347 5.5.5.2. Test Kasiki-Fridmana .................................................................................................................................. 347

5.5.6. Traka za jednokratnu upotrebu ............................................................................................................................ 348 5.5.7. Metoda javnog ključa ............................................................................................................................................. 348

5.5.7.1. Koncept Difija i Helmana ........................................................................................................................... 348 5.5.7.2. Jednosmerne funkcije .................................................................................................................................. 349 5.5.7.3. Postupak RSA .............................................................................................................................................. 349

5.5.8. Algoritam DES (Data Encryption Standard) ...................................................................................................... 350 5.5.9. Algoritam IDEA (International Data Encryption Algorithm) .......................................................................... 350

5.6. Univerzalna algebra .......................................................................................................................................................... 351 5.6.1. Definicija .................................................................................................................................................................. 351 5.6.2. Odnosi kongruentnosti, faktorske algebre .......................................................................................................... 351 5.6.3. Homomorfizmi ....................................................................................................................................................... 351 5.6.4. Teorema o homomorfiji ......................................................................................................................................... 352 5.6.5. Varijeteti .................................................................................................................................................................. 352 5.6.6. Konačne algebre, slobodne algebre ..................................................................................................................... 352

5.7. Bulove algebre i prebacivačka algebra ........................................................................................................................... 353 5.7.1. Definicija .................................................................................................................................................................. 353 5.7.2. Princip dvojnosti .................................................................................................................................................... 353 5.7.3. Konačne Bulove algebre ........................................................................................................................................ 354 5.7.4. Bulove algebre kao redosledi ................................................................................................................................ 354 5.7.5. Bulove funkcije, Bulovi izrazi ............................................................................................................................... 354

XI

5.7.6. Normalni oblici ....................................................................................................................................................... 356 5.7.7. Prebacivačka algebra ............................................................................................................................................. 356

5.8. Algoritmi teorije grafova .................................................................................................................................................. 359 5.8.1. Osnovni pojmovi i oznake .................................................................................................................................... 359 5.8.2. Tok neusmerenih grafova ..................................................................................................................................... 362

5.8.2.1. Nizovi stranica ............................................................................................................................................. 362 5.8.2.2. Ojlerove linije ............................................................................................................................................... 363 5.8.2.3. Hamiltonovi krugovi .................................................................................................................................. 364

5.8.3. Stabla i grane........................................................................................................................................................... 365 5.8.3.1. Stabla ............................................................................................................................................................. 365 5.8.3.2. Grane ............................................................................................................................................................. 366

5.8.4. Odgovaranja ........................................................................................................................................................... 367 5.8.5. Ravanski grafovi..................................................................................................................................................... 368 5.8.6. Putanje usmerenih grafova ................................................................................................................................... 369 5.8.7. Transportne mreže ................................................................................................................................................. 370

5.9. Fazi logika .......................................................................................................................................................................... 372 5.9.1. Osnove fazi logike .................................................................................................................................................. 372

5.9.1.1. Interpretacija fazi (neisključivih) skupova ............................................................................................... 372 5.9.1.2. Funkcije pripadnosti ................................................................................................................................... 373 5.9.1.3. Fazi (neisključivi) skupovi ......................................................................................................................... 375

5.9.2. Pripadnost neisključivim skupovima .................................................................................................................. 376 5.9.2.1. Koncept pripadnosti neisključivim skupovima ...................................................................................... 376 5.9.2.2. Praktična pripadnost neisključivim skupovima...................................................................................... 377 5.9.2.3. Kompenzatorni operatori ........................................................................................................................... 380 5.9.2.4. Princip proširenja ........................................................................................................................................ 380 5.9.2.5. Neisključiva funkcija komplementa ......................................................................................................... 380

5.9.3. Odnosi fazi vrednosti ............................................................................................................................................ 381 5.9.3.1. Fazi odnosi ................................................................................................................................................... 381 5.9.3.2. Proizvod fazi relacija R○S .......................................................................................................................... 383

5.9.4. Fazi zaključivanje ................................................................................................................................................... 384 5.9.5. Metode defazifikacije ............................................................................................................................................. 386 5.9.6. Baze znanja s fazi zaključivanjem ........................................................................................................................ 387

5.9.6.1. Metoda Mamdanija ..................................................................................................................................... 387 5.9.6.2. Metoda Šugenoa .......................................................................................................................................... 387 5.9.6.3. Kognitivni sistemi ....................................................................................................................................... 388 5.9.6.4. Interpolaciona baza znanja......................................................................................................................... 390

6. Diferencijalni račun .................................................................................................................................................................. 393 6.1. Diferenciranje funkcija jedne promenljive ..................................................................................................................... 393

6.1.1. Diferencijalni količnik ............................................................................................................................................ 393 6.1.2. Pravila diferenciranja funkcija jedne promenljive ............................................................................................. 394

6.1.2.1. Izvodi elementarnih funkcija ..................................................................................................................... 394 6.1.2.2. Osnovna pravila diferenciranja ................................................................................................................. 394

6.1.3. Izvodi višeg reda .................................................................................................................................................... 400 6.1.3.1. Definicija izvoda višeg reda ....................................................................................................................... 400 6.1.3.2. Izvodi višeg reda najjednostavnijih funkcija ........................................................................................... 400 6.1.3.3. Lajbnicovo pravilo ....................................................................................................................................... 400 6.1.3.4. Izvodi višeg reda parametarski predstavljenih funkcija ........................................................................ 401 6.1.3.5. Izvodi višeg reda inverznih funkcija ........................................................................................................ 401

6.1.4. Glavne teoreme diferencijalnog računa............................................................................................................... 402 6.1.4.1. Uslovi monotonosti ..................................................................................................................................... 402 6.1.4.2. Fermaova teorema ....................................................................................................................................... 402 6.1.4.3. Roleova teorema .......................................................................................................................................... 403 6.1.4.4. Teorema o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu ....................................................................... 403 6.1.4.5. Tejlorov teorema o funkcijama jedne promenljive .................................................................................. 404 6.1.4.6. Poopšteni teorema o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu ...................................................... 404

6.1.5. Određivanje tačaka ekstrema i prevoja ............................................................................................................... 404 6.1.5.1. Maksimumi i minimumi ............................................................................................................................ 404

XII

6.1.5.2. Nužni uslovi za egzistenciju relativnog ekstrema funkcije ................................................................... 405 6.1.5.3. Relativni ekstremi diferencijabilne, eksplicitno zadate funkcije y = f(x) .............................................. 405 6.1.5.4. Određivanje tačaka globalnih ekstrema ................................................................................................... 406 6.1.5.5. Određivanje ekstrema implicitno zadate funkcije .................................................................................. 406

6.2. Diferenciranje funkcija više promenljivih ...................................................................................................................... 407 6.2.1. Parcijalni izvodi ...................................................................................................................................................... 407

6.2.1.1. Parcijalni izvod funkcije ............................................................................................................................. 407 6.2.1.2. Geometrijsko značenje kod funkcija dve promenljive ............................................................................ 407 6.2.1.3. Pojam diferencijala ...................................................................................................................................... 407 6.2.1.4. Osnovna svojstva diferencijala .................................................................................................................. 408 6.2.1.5. Parcijalni diferencijal ................................................................................................................................... 409

6.2.2. Potpuni diferencijal i diferencijali višeg reda ..................................................................................................... 409 6.2.2.1. Pojam potpunog diferencijala funkcije više promenljivih (totalni diferencijal) .................................. 409 6.2.2.2. Izvodi i diferencijali viših redova .............................................................................................................. 410 6.2.2.3. Tejlorov teorema za funkcije više promenljivih ...................................................................................... 411

6.2.3. Pravila diferenciranja funkcija više promenljivih .............................................................................................. 412 6.2.3.1. Diferenciranje složenih funkcija ................................................................................................................ 412 6.2.3.2. Diferenciranje implicitnih funkcija ........................................................................................................... 412

6.2.4. Zamena promenljivih u diferencijalnim izrazima i transformacija koordinata ............................................. 414 6.2.4.1. Funkcija jedne promenljive ........................................................................................................................ 414 6.2.4.2. Funkcija dve promenljive ........................................................................................................................... 415

6.2.5. Ekstremi funkcija više promenljivih .................................................................................................................... 416 6.2.5.1. Definicija ....................................................................................................................................................... 416 6.2.5.2. Geometrijsko značenje ................................................................................................................................ 416 6.2.5.3. Određivanje ekstrema funkcije dve promenljive .................................................................................... 417 6.2.5.4. Određivanje ekstrema funkcije n promenljivih ....................................................................................... 417 6.2.5.5. Približno rešavanje zadataka ..................................................................................................................... 417 6.2.5.6. Određivanje ekstrema kada su zadati dopunski uslovi ......................................................................... 418

7. Beskonačni redovi .................................................................................................................................................................... 419 7.1. Nizovi brojeva ................................................................................................................................................................... 419

7.1.1. Svojstva brojevnih nizova ..................................................................................................................................... 419 7.1.1.1. Definicija brojevnog niza ............................................................................................................................ 419 7.1.1.2. Monotoni brojevni nizovi ........................................................................................................................... 419 7.1.1.3. Ograničeni brojevni nizovi ......................................................................................................................... 419

7.1.2. Granične vrednosti brojevnih nizova .................................................................................................................. 420 7.2. Redovi konstantnih članova ............................................................................................................................................ 421

7.2.1. Opšte teoreme o konvergenciji ............................................................................................................................. 421 7.2.1.1. Konvergencija i divergencija beskonačnih redova .................................................................................. 421 7.2.1.2. Opšte teoreme o konvergenciji redova ..................................................................................................... 421

7.2.2. Kriterijumi konvergencije za redove pozitivnih članova .................................................................................. 422 7.2.2.1. Kriterijum porešenja ................................................................................................................................... 422 7.2.2.2. Dalemberov kriterijum količnika .............................................................................................................. 422 7.2.2.3. Košijev kriterijum korena ........................................................................................................................... 423 7.2.2.4. Košijev integralni kriterijum ...................................................................................................................... 424

7.2.3. Apsolutna i uslovna konvergencija ..................................................................................................................... 424 7.2.3.1. Definicija ....................................................................................................................................................... 424 7.2.3.2. Svojstva apsolutno konvergentnih redova .............................................................................................. 424 7.2.3.3. Alternirajući redovi ..................................................................................................................................... 425

7.2.4. Neki specijalni redovi ............................................................................................................................................ 425 7.2.4.1. Zbirovi nekih redova konstantnih članova .............................................................................................. 425 7.2.4.2. Bernulijevi i Ojlerovi brojevi ...................................................................................................................... 427

7.2.5. Ocena ostatka reda ................................................................................................................................................. 428 7.2.5.1. Ocena pomoću majorante........................................................................................................................... 428 7.2.5.2. Alternirajući konvergentni redovi ............................................................................................................ 429 7.2.5.3. Specijalni redovi .......................................................................................................................................... 429

7.3. Redovi funkcija .................................................................................................................................................................. 429 7.3.1. Definicije .................................................................................................................................................................. 429

XIII

7.3.2. Jednolika konvergencija ........................................................................................................................................ 429 7.3.2.1. Definicija, Vajerštrasova teorema .............................................................................................................. 429 7.3.2.2. Svojstva jednoliko konvergentnih redova ................................................................................................ 430

7.3.3. Redovi potencija ..................................................................................................................................................... 431 7.3.3.1. Definicija, konvergencija ............................................................................................................................ 431 7.3.3.2. Računanje s redovima potencija ................................................................................................................ 431 7.3.3.3. Razvoj u Tejlorov i u Meklorenov red ...................................................................................................... 433

7.3.4. Formule za približno računanje ........................................................................................................................... 434 7.3.5. Asimptotski konvergentni redovi potencija ....................................................................................................... 434

7.3.5.1. Asimptotska jednakost ............................................................................................................................... 434 7.3.5.2. Asimptotski redovi potencija ..................................................................................................................... 434

7.4. Furijeovi redovi ................................................................................................................................................................. 436 7.4.1. Trigonometrijski zbir i Furijeovi redovi .............................................................................................................. 437

7.4.1.1. Osnovni pojmovi ......................................................................................................................................... 436 7.4.1.2. Najvažnija svojstva Furijeovih redova ..................................................................................................... 437

7.4.2. Određivanje koeficijenata simetričnih funkcija .................................................................................................. 438 7.4.2.1. Različite simetrije ........................................................................................................................................ 438 7.4.2.2. Oblici razvoja u Furijeov red ..................................................................................................................... 439

7.4.3. Određivanje koeficijenata numeričkim metodama ........................................................................................... 440 7.4.4. Furijeov red i integral ............................................................................................................................................ 440 7.4.5. Uputstva za primenu tabele nekih Furijeovih redova....................................................................................... 441

8. Integralni račun ........................................................................................................................................................................ 443 8.1. Neodređeni integral .......................................................................................................................................................... 443

8.1.1. Primitivna funkcija ili integral .............................................................................................................................. 443 8.1.1.1. Neodređeni integrali ................................................................................................................................... 444 8.1.1.2. Integrali elementarnih funkcija ................................................................................................................. 444

8.1.2. Pravila integracije ................................................................................................................................................... 444 8.1.3. Integracija racionalnih funkcija ............................................................................................................................ 447

8.1.3.1. Integrali celih racionalnih funkcija (polinoma) ....................................................................................... 447 8.1.3.2. Integrali razlomljenih racionalnih funkcija .............................................................................................. 448 8.1.3.3. Četiri sučaja prilikom rastavljanja na parcijalne razlomke .................................................................... 448

8.1.4. Integracija iracionalnih funkcija ........................................................................................................................... 450 8.1.4.1. Zamena radi svođenja na integrale racionalnih funkcija ....................................................................... 450 8.1.4.2. Integracija binomnih argumenata ............................................................................................................. 451 8.1.4.3. Eliptički integrali ......................................................................................................................................... 452

8.1.5. Integracija trigonometrijskih funkcija ................................................................................................................. 453 8.1.5.1. Zamena ......................................................................................................................................................... 453 8.1.5.2. Pojednostavljene metode ............................................................................................................................ 454

8.1.6. Integracija ostalih transcendentnih funkcija ....................................................................................................... 455 8.1.6.1. Integrali sa eksponencijalnim funkcijama ................................................................................................ 455 8.1.6.2. Integrali sa hiperbolnim funkcijama ......................................................................................................... 455 8.1.6.3. Primena parcijalne integracije.................................................................................................................... 455 8.1.6.4. Integrali transcendentnih funkcija ............................................................................................................ 456

8.2. Određeni integrali ............................................................................................................................................................. 456 8.2.1. Osnovni pojmovi, pravila i teoreme .................................................................................................................... 456

8.2.1.1. Definicija i egzistencija određenih integrala ............................................................................................ 456 8.2.1.2. Svojstva određenih integrala ..................................................................................................................... 457 8.2.1.3. Ostale teoreme o granicama integracije .................................................................................................... 459 8.2.1.4. Izračunavanje određenih integrala ........................................................................................................... 460

8.2.2. Primene određenih integrala ................................................................................................................................ 463 8.2.2.1. Opšti princip za primenu određenih integrala ........................................................................................ 463 8.2.2.2. Primene u geometriji ................................................................................................................................... 464 8.2.2.3. Primene u mehanici i fizici ......................................................................................................................... 467

8.2.3. Nepravi integrali, Stiltjesovi i Lebegovi integrali .............................................................................................. 469 8.2.3.1. Popštenje pojma integrala .......................................................................................................................... 469 8.2.3.2. Integrali sa beskonačnim granicama integracije ..................................................................................... 470 8.2.3.3. Integrali sa neograničenim integrandima ................................................................................................ 473

XIV

8.2.4. Parametarski integrali ........................................................................................................................................... 475 8.2.4.1. Definicija parametarskog integrala ........................................................................................................... 475 8.2.4.2. Diferenciranje pod znakom integrala ....................................................................................................... 475 8.2.4.3. Integraljenje pod znakom integrala .......................................................................................................... 476

8.2.5. Integracija razvojem u red, istaknute neelementarne funkcije ......................................................................... 476 8.3. Krivolinijski integrali ........................................................................................................................................................ 479

8.3.1. Krivolinijski integrali 1. vrste ............................................................................................................................... 479 8.3.1.1. Definicije ....................................................................................................................................................... 479 8.3.1.2. Teorema o egzistenciji integrala ................................................................................................................ 480 8.3.1.3. Izračunavanje krivolinijskih integrala 1. vrste ........................................................................................ 480 8.3.1.4. Primene krivolinijskih integrala 1. vrste .................................................................................................. 481 8.3.1.5. Krivolinijski integrali 1. vrste..................................................................................................................... 481 8.3.1.6. Krivolinijski integrali opšte vrste .............................................................................................................. 483

8.3.2. Krivolinijski integrali 2. vrste ............................................................................................................................... 481 8.3.3. Opšti krivolinijski integrali ................................................................................................................................... 483 8.3.4. Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije ................................................................................. 485

8.4. Višestruki integrali ............................................................................................................................................................ 488 8.4.1. Dvostruki integral .................................................................................................................................................. 488

8.4.1.1. Pojam dvostrukog integrala ....................................................................................................................... 488 8.4.1.2. Izračunavanje dvostrukog integrala ......................................................................................................... 489 8.4.1.3. Primene dvostrukog integrala ................................................................................................................... 491

8.4.2. Trostruki integral ................................................................................................................................................... 491 8.4.2.1. Pojam trostrukog integrala......................................................................................................................... 491 8.4.2.2. Izračunavanje trostrukog integrala ........................................................................................................... 492 8.4.2.3. Primene trostrukog integrala ..................................................................................................................... 496

8.5. Površinski integrali ........................................................................................................................................................... 496 8.5.1.1. Površinski integrali 1. vrste ........................................................................................................................ 496 8.5.1.2. Izračunavanje površinskih integrala 1. vrste ........................................................................................... 498 8.5.1.3. Primene površinskih integrala 1. vrste ..................................................................................................... 499

8.5.2. Površinski integrali 2. vrste................................................................................................................................... 500 8.5.2.1. Površinski integrali 2. vrste ........................................................................................................................ 500 8.5.2.2. Izračunavanje površinskih integrala 1. vrste ........................................................................................... 501 8.5.2.3. Jedna primena površinskog integrala ....................................................................................................... 503

9. Diferencijalne jednačine .......................................................................................................................................................... 504 9.1. Obične diferencijalne jednačine....................................................................................................................................... 504

9.1.1. Diferencijalne jednačine 1. reda............................................................................................................................ 505 9.1.1.1. Teorema o egzistenciji, polje smerova ...................................................................................................... 505 9.1.1.2. Važne metode integracije ........................................................................................................................... 506 9.1.1.3. Implicitne diferencijalne jednačine ........................................................................................................... 509 9.1.1.4. Singularni integrali i singularne tačke ...................................................................................................... 510 9.1.1.5. Približne metode integracije diferencijalnih jednačina 1. reda .............................................................. 513

9.1.2. Diferencijalne jednačine višeg reda i sistemi diferencijalnih jednačina .......................................................... 515 9.1.2.1. Osnovna razmatranja .................................................................................................................................. 515 9.1.2.2. Snižavanje reda jednačine .......................................................................................................................... 516 9.1.2.3. Linearne diferencijalne jednačine n-tog reda ........................................................................................... 518 9.1.2.4. Rešavanje linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima ...................................... 520 9.1.2.5. Sistemi linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima ........................................... 522 9.1.2.6. Linearne diferencijalne jednačine 2. reda ................................................................................................. 525

9.1.3. Problemi rubnih uslova ......................................................................................................................................... 532 9.1.3.1. Postavka problema ...................................................................................................................................... 532 9.1.3.2. Osnovna svojstva sopstvenih funkcija i sopstvenih vrednosti .............................................................. 533 9.1.3.3. Razlaganje na sopstvene funkcije .............................................................................................................. 534 9.1.3.4. Singularni slučajevi ..................................................................................................................................... 534

9.2. Parcijalne diferencijalne jednačine .................................................................................................................................. 535 9.2.1. Parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda .......................................................................................................... 535

9.2.1.1. Linearne parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda ............................................................................... 535 9.2.1.2. Nelinearne parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda ........................................................................... 537

XV

9.2.2. Linearne parcijalne diferencijalne jednačine 2. reda .......................................................................................... 540 9.2.2.1. Klasifikacija i svojstva diferencijalnih jednačina 2. reda sa dve nezavisne promenljive .................... 540 9.2.2.2. Klasifikacija i svojstva diferencijalnih jednačina 2. reda sa više od dve nezavisne promenljive ...... 542 9.2.2.3. Metode integracije linearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina 2. reda .......................................... 543

9.2.3. Parcijalne diferencijalne jednačine u prirodnim naukama i tehnici ................................................................ 554 9.2.3.1. Postavka problema i rubni uslovi ............................................................................................................. 554 9.2.3.2. Talasna jednačina ........................................................................................................................................ 555 9.2.3.3. Jednačina provođenja i difuzije toplote u homogenom medijumu ...................................................... 556 9.2.3.4. Jednačina potencijala .................................................................................................................................. 557 9.2.3.5. Šredingerova jednačina .............................................................................................................................. 557

9.2.4. Nelinearne parcijalne diferencijalne jednačine, solitoni .................................................................................... 566 9.2.4.1. Fizičko-matematička postavka problema ................................................................................................ 566 9.2.4.2. Kortveg-Devrisova jednačina .................................................................................................................... 567 9.2.4.3. Nelinearna Šredingerova jednačina .......................................................................................................... 569 9.2.4.4. Sinus-Gordonova jednačina ....................................................................................................................... 569 9.2.4.5. Ostale nelinearne evolucione jednačine sa solitonskim rešenjima ....................................................... 571

10. Varijacioni račun ...................................................................................................................................................................... 572 10.1. Postavka zadatka ............................................................................................................................................................ 572 10.2. Istorijski zadaci ................................................................................................................................................................ 573

10.2.1. Izoperimetarski problem ..................................................................................................................................... 573 10.2.2. Problem brahistohrone ........................................................................................................................................ 573

10.3. Varijacioni zadaci sa funkcijama jedne promenljive .................................................................................................. 574 10.3.1. Jednostavan varijacioni zadatak i ekstremala .................................................................................................. 574 10.3.2. Ojlerova diferencijalna jednačina varijacionog računa ................................................................................... 574 10.3.3. Varijacioni zadaci sa rubnim uslovima ............................................................................................................. 576 10.3.4. Varijacioni zadaci sa višim izvodima ................................................................................................................ 577 10.3.5. Varijacioni zadaci sa više traženih funkcija ...................................................................................................... 577 10.3.6. Parametarski zadati varijacioni zadaci .............................................................................................................. 578

10.4. Varijacioni zadaci sa funkcijama više promenljivih ................................................................................................... 579 10.4.1. Jednostavni varijacioni zadaci ............................................................................................................................ 579 10.4.2. Opšti varijacioni zadaci ....................................................................................................................................... 580

10.5. Numeričko rešavanje varijacionih zadataka................................................................................................................ 580 10.6. Dopune ............................................................................................................................................................................. 582

10.6.1. Prva i druga varijacija .......................................................................................................................................... 582 10.6.2. Primene u fizici ..................................................................................................................................................... 582

11. Linearne integralne jednačine 583 11.1. Uvod i klasifikacija.......................................................................................................................................................... 583 11.2. Fredholmove diferencijalne jednačine 2. vrste ............................................................................................................ 584

11.2.1. Integrale jednačine sa izrođenim jezgrima ....................................................................................................... 584 11.2.2. Metoda uzastopnih približenja, Nojmanov red ............................................................................................... 587 11.2.3. Fredholmova metoda rešavanja, Fredholmova teorema ................................................................................ 589

11.2.3.1. Fredholmova metoda rešavanja .............................................................................................................. 589 11.2.3.2. Fredholmove teoreme ............................................................................................................................... 591

11.2.4. Numerički postupak za Fredholmove integralne jednačine 2 vrste .............................................................. 592 11.2.4.1. Približno rešavanje integrala .................................................................................................................... 592 11.2.4.2. Aproksimacija jezgra ................................................................................................................................ 594 11.2.4.3. Metoda kolokacije ..................................................................................................................................... 596

11.3. Fredholmove diferencijalne jednačine 1. vrste ............................................................................................................ 598 11.3.1. Integralne jednačine sa izrođenim jezgrima ..................................................................................................... 598 11.3.2. Pojmovi, analitičke osnove .................................................................................................................................. 599 11.3.3. Svođenje integralne jednačine na sistem linearnih jednačina ........................................................................ 600 11.3.4. Rešenje homogene integralne jednačine 1. vrste .............................................................................................. 602 11.3.5. Konstrukcija dva specijalna ortonormalna sistema za zadato jezgro ............................................................ 603 11.3.6. Iterativni postupak ............................................................................................................................................... 604

11.4. Volterine integralne jednačine ....................................................................................................................................... 605 11.4.1. Teorijske osnove ................................................................................................................................................... 605 11.4.2. Rešenje putem diferenciranja.............................................................................................................................. 606

XVI

11.4.3. Nojmanov red kao rešenje Volterine integralne jednačine 2. vrste ............................................................... 607 11.4.4. Volterine integralne jednačine pregibnog tipa ................................................................................................. 608 11.4.5. Numeričko rešavanje Volterinih integralnih jednačina 2. vrste ..................................................................... 609

11.5. Singularne integralne jednačine .................................................................................................................................... 611 11.5.1. Abelova integralna jednačina ............................................................................................................................. 611 11.5.2. Singularne integralne jednačine sa Košijevim jezgrima .................................................................................. 612

11.5.2.1. Formulacija zadatka .................................................................................................................................. 612 11.5.2.2. Egzistencija rešenja.................................................................................................................................... 613 11.5.2.3. Svojstva Košijevog integrala .................................................................................................................... 613 11.5.2.4. Hilbertov problem rubnih uslova ........................................................................................................... 613 11.5.2.5. Rešenje Hilbertovog problema rubnih uslova ....................................................................................... 614 11.5.2.6. Rešenje karakteristične jednačine ............................................................................................................ 614

12. Funkcionalna analiza 616 12.1. Vektorski prostori ........................................................................................................................................................... 616

12.1.1. Pojam vektorskog prostora ................................................................................................................................. 616 12.1.2. Linearni i afino-linearni skupovi komponenata............................................................................................... 617 12.1.3. Linearno nezavisni elementi ............................................................................................................................... 619 12.1.4. Konveksni skupovi komponenata i konveksni omotači ................................................................................. 619

12.1.4.1. Konveksni skupovi.................................................................................................................................... 619 12.1.4.2. Kupe ............................................................................................................................................................ 620

12.1.5. Linearni operatori i funkcionali ......................................................................................................................... 620 12.1.5.1. Preslikavanja .............................................................................................................................................. 620 12.1.5.2. Homomorfizam i endomorfizam ............................................................................................................ 621 12.1.5.3. Izomorfni vektorski prostori .................................................................................................................... 621

12.1.6. Pretvaranje realnih vektorskih prostora u kompleksne .................................................................................. 621 12.1.7. Uređeni vektorski prostori .................................................................................................................................. 621

12.1.7.1. Kupe i poluuređenost ............................................................................................................................... 621 12.1.7.2. Skupovi ograničeni uređenjem ................................................................................................................ 622 12.1.7.3. Pozitivni operatori ..................................................................................................................................... 623 12.1.7.4. Vektorski prostori ...................................................................................................................................... 623

12.2. Metrički prostori ............................................................................................................................................................. 624 12.2.1. Pojam metričkog prostora ................................................................................................................................... 624

12.2.1.1. Kugle i okoline ........................................................................................................................................... 625 12.2.1.2. Konvergencija nizova u metričkom prostoru ........................................................................................ 626 12.2.1.3. Zatvoreni skupovi i zatvaranje ................................................................................................................ 626 12.2.1.4. Gusti skupovi i separabilni metrički prostori ........................................................................................ 627

12.2.2. Potpuni metrički prostori .................................................................................................................................... 627 12.2.2.1. Košijev niz .................................................................................................................................................. 627 12.2.2.2. Potpun metrički prostor ........................................................................................................................... 628 12.2.2.3. Nekoliko osnovnih teorema o potpunim metričkim prostorima ........................................................ 628 12.2.2.4. Nekoliko primena principa kontrakcije.................................................................................................. 629 12.2.2.5. Upotpunjenje metričkog prostora ........................................................................................................... 630

12.2.3. Neprekidni operatori ........................................................................................................................................... 631 12.3. Normirani prostori .......................................................................................................................................................... 631

12.3.1. Pojam normiranog prostora ................................................................................................................................ 631 12.3.1.1. Aksiomi normiranog prostora ................................................................................................................. 631 12.3.1.2. Nekoliko svojstava normiranih prostora................................................................................................ 632

12.3.2. Banahovi prostori ................................................................................................................................................. 632 12.3.2.1. Redovi u normiranim prostorima ........................................................................................................... 632 12.3.2.2. Primeri Banahovih prostora ..................................................................................................................... 632 12.3.2.3. Soboljevljevi prostori ................................................................................................................................ 633

12.3.3. Uređeni normirani prostori ................................................................................................................................ 633 12.3.4. Normirane algebre ............................................................................................................................................... 634

12.4. Hilbertovi prostori .......................................................................................................................................................... 635 12.4.1. Pojam Hilbertovog prostora ............................................................................................................................... 635

12.4.1.1. Skalarni proizvod ...................................................................................................................................... 635 12.4.1.2. Unitarni prostori i nekoliko njihovih svojstava ..................................................................................... 635

XVII

12.4.1.3. Hilbertov prostor ....................................................................................................................................... 636 12.4.2. Ortogonalnost ....................................................................................................................................................... 636

12.4.2.1. Svojstvo ortogonalnosti ............................................................................................................................ 636 12.4.2.2. Ortogonalni sistemi ................................................................................................................................... 637

12.4.3. Furijeovi redovi u Hilbertovom prostoru ......................................................................................................... 637 12.4.3.1. Najbolja aproksimacija.............................................................................................................................. 637 12.4.3.2. Parsevalova jednačina, Ris-Fišerova teorema ........................................................................................ 638

12.4.4. Egzistencija baze. Izomorfni Hilbertovi prostori ............................................................................................. 638 12.5. Neprekidni linearni operatori i funkcionali ................................................................................................................ 639

12.5.1. Ograničenost, norma i neprekidnost linearnih operatora............................................................................... 639 12.5.1.1. Ograničenost i norma linearnih operatora ............................................................................................. 639 12.5.1.2. Prostor linearnih neprekidnih operatora ............................................................................................... 639 12.5.1.3. Konvergencija opertorskih nizova .......................................................................................................... 640

12.5.2. Linearni neprekidni operatori u Banahovim prostorima ................................................................................ 640 12.5.3. Elementi spektralne teorije linearnih operatora ............................................................................................... 642

12.5.3.1. Skup rezovenata i rezolvente jednog operatora .................................................................................... 642 12.5.3.2. Spektar operatora ...................................................................................................................................... 642

12.5.4. Neprekidni linearni funkcionali ......................................................................................................................... 643 12.5.4.1. Definicija ..................................................................................................................................................... 643 12.5.4.2. Neprekidni linearni funkcionali u Hilbertovom prostoru, Risova teorema ...................................... 644 12.5.4.3. Neprekidni linearni funkcionali u Lp ...................................................................................................... 644

12.5.5. Produženje linearnih funkcionala ...................................................................................................................... 644 12.5.6. Razdvajanje konveksnih skupova ...................................................................................................................... 645 12.5.7. Bidualni prostor i refleksivni prostori ............................................................................................................... 646

12.6. Adjungirani operatori u normiranim prostorima ....................................................................................................... 646 12.6.1. Adjungirani operator ograničenog operatora .................................................................................................. 646 12.6.2. Adjungirani operator neograničenog operator ................................................................................................ 647 12.6.3. Samoadjungirani operatori ................................................................................................................................. 647

12.6.3.1. Pozitivno definitni operatori .................................................................................................................... 647 12.6.3.2. Projektori u Hilbertovom prostoru ......................................................................................................... 648

12.7. Kompaktni skupovi i kompaktni operatori ................................................................................................................. 648 12.7.1. Kompaktni skupovi u normiranim prostorima................................................................................................ 648 12.7.2. Kompaktni operatori ........................................................................................................................................... 648

12.7.2.1. Pojam kompaktnog operatora ................................................................................................................. 648 12.7.2.2. Svojstava linearnih kompaktnih operatora ............................................................................................ 648 12.7.2.3. Slaba konvergencija elemenata ................................................................................................................ 649

12.7.3. Fredholmova alternativa ..................................................................................................................................... 649 12.7.4. Kompaktni operatori u Hilbertovom prostoru ................................................................................................ 650 12.7.5. Kompaktni samoadjungirani operatori ............................................................................................................. 650

12.8. Nelinearni operatori ....................................................................................................................................................... 650 12.8.1. Primeri nelinearnih operatora ............................................................................................................................ 650 12.8.2. Diferencijabilnost nelinearnih operatora........................................................................................................... 651 12.8.3. Njutnov postupak ................................................................................................................................................ 652 12.8.4. Šauderov princip fiksne tačke ............................................................................................................................ 652 12.8.5. Leraj-Šauderova teorija ........................................................................................................................................ 652 12.8.6. Pozitivni nelinearni operatori ............................................................................................................................. 653 12.8.7. Monotoni operatori u Banahovim prostorima ................................................................................................. 654

12.9. Mera i Lebegov integral ................................................................................................................................................. 654 12.9.1. Sigma-algebre i mere ........................................................................................................................................... 654 12.9.2. Merljive funkcije ................................................................................................................................................... 656

12.9.2.1. Merljive funkcije ........................................................................................................................................ 656 12.9.2.2. Svojstva klase merljivih funkcija ............................................................................................................. 656

12.9.3. Integracija .............................................................................................................................................................. 656 12.9.3.1. Definicija integrala .................................................................................................................................... 656 12.9.3.2. Nekoliko svojstava integrala .................................................................................................................... 657 12.9.3.3. Teoreme o konvergenciji .......................................................................................................................... 657

12.9.4. Lp prostori .............................................................................................................................................................. 658

XVIII

12.9.5. Distribucije ............................................................................................................................................................ 659 12.9.5.1. Formule za parcijalnu integraciju ............................................................................................................ 659 12.9.5.2. Poopšteni izvod (derivacija)..................................................................................................................... 659 12.9.5.3. Distribucija ................................................................................................................................................. 659 12.9.5.4. Izvod distribucije ....................................................................................................................................... 660

13. Vektorska analiza i teorija polja 661

13.1. Osnovni pojmovi teorije polja ....................................................................................................................................... 661 13.1.1. Vektorska funkcija jedne skalarne promenljive ............................................................................................... 661

13.1.1.1. Definicije ..................................................................................................................................................... 661 13.1.1.2. Izvod (derivacija) vektorske funkcije ...................................................................................................... 661 13.1.1.3. Pravila diferenciranja vektora .................................................................................................................. 661 13.1.1.4. Razvoj vektorske funkcije u Tejlorov red ............................................................................................... 662

13.1.2. Skalarna polja........................................................................................................................................................ 662 13.1.2.1. Skalarno polje ili skalarna funkcija tačke ............................................................................................... 662 13.1.2.2. Važni slučajevi skalarnih polja ................................................................................................................ 662 13.1.2.3. Izražavanje skalarnih polja pomoću koordinata ................................................................................... 663 13.1.2.4. Nivo-površi i nivo-linije ........................................................................................................................... 663

13.1.3. Vektorska polja ..................................................................................................................................................... 663 13.1.3.1. Vektorsko polje ili vektorska funkcija tačke .......................................................................................... 663 13.1.3.2. Važni slučajevi vektorskih polja .............................................................................................................. 664 13.1.3.3. Izražavanje vektorskih polja pomoću koordinata ................................................................................. 665 13.1.3.4. Prelaz sa jednog koordinatnog sistema na drugi .................................................................................. 666 13.1.3.5. Linije polja .................................................................................................................................................. 667

13.2. Prostorne operacije diferenciranja ................................................................................................................................ 668 13.2.1. Strujnice i izvod po obimu .................................................................................................................................. 668

13.2.1.1. Strujnice skalarnog polja .......................................................................................................................... 668 13.2.1.2. Strujnice vektorskog polja ........................................................................................................................ 668 13.2.1.3. Prostorni izvod ili izvod po obimu ......................................................................................................... 669

13.2.2. Gradijent skalarnog polja .................................................................................................................................... 669 13.2.2.1. Definicija gradijenta .................................................................................................................................. 669 13.2.2.2. Gradijent i strujnice ................................................................................................................................... 670 13.2.2.3. Gradijent i izvod po obimu ...................................................................................................................... 670 13.2.2.4. Ostala svojstva gradijenta ........................................................................................................................ 670 13.2.2.5. Gradijent skalarnog polja u različitim koordinatama ........................................................................... 670 13.2.2.6. Pravila računanja ....................................................................................................................................... 671

13.2.3. Vektorski gradijent ............................................................................................................................................... 671 13.2.4. Divergencija vektorskog polja ............................................................................................................................ 671

13.2.4.1. Definicija divergencije .............................................................................................................................. 671 13.2.4.2. Divergencija u različitim koordinatama ................................................................................................. 672 13.2.4.3. Pravila za izračunavanje divergencije .................................................................................................... 672 13.2.4.4. Divergencija centralnog polja .................................................................................................................. 672

13.2.5. Rotacija vektorskog polja .................................................................................................................................... 673 13.2.5.1. Definicija rotacije ....................................................................................................................................... 673 13.2.5.2. Rotacija u različitim koordinatama ......................................................................................................... 674 13.2.5.3. Pravila za izračunavanje rotacije ............................................................................................................. 674 13.2.5.4. Rotacija potencijalnog polja ..................................................................................................................... 675

13.2.6. Operator nabla, Laplasov operator .................................................................................................................... 675 13.2.6.1. Operator nabla ........................................................................................................................................... 675 13.2.6.2. Pravila računanja za operator nabla ....................................................................................................... 675 13.2.6.3. Vektorski gradijent .................................................................................................................................... 676 13.2.6.4. Dvostruka primena operatora nabla ....................................................................................................... 676 13.2.6.5. Laplasov operator...................................................................................................................................... 676

13.2.7. Pregled prostornih operacija diferenciranja ..................................................................................................... 677 13.2.7.1. Principijelne veze i rezultati diferencijalnih operatora ......................................................................... 677 13.2.7.2. Pravila računanja za diferencijalne operatore ....................................................................................... 677 13.2.7.3. Izrazi vektorske analize u pravougaonim, cilindričnim i sfernim koordinatama ............................ 678

13.3. Integracija u vektorskim poljima .................................................................................................................................. 679

XIX

13.3.1. Krivolinijski integral i potencijal u vektorskom polju ..................................................................................... 679 13.3.1.1. Krivolinijski integral u vektorskom polju .............................................................................................. 679 13.3.1.2. Značenje krivolinijskih integrala u mehanici ......................................................................................... 680 13.3.1.3. Svojstva krivolinijskih integrala .............................................................................................................. 680 13.3.1.4. Poopšteni krivolinijski integral ................................................................................................................ 681 13.3.1.5. Integral cirkulacije vektorskog polja ....................................................................................................... 681 13.3.1.6. Konzervativno ili potencijalno polje ...................................................................................................... 681

13.3.2. Površinski integrali .............................................................................................................................................. 682 13.3.2.1. Vektor elementarne ravne površi ............................................................................................................ 682 13.3.2.2. Izračunavanje površinskih integrala ....................................................................................................... 683 13.3.2.3. Površinski integrali i tok polja ................................................................................................................. 683 13.3.2.4. Površinski integrali u pravougaonim koordinatama kao površinski integrali 2. vrste ................... 684

13.3.3. Teoreme o integraciji............................................................................................................................................ 685 13.3.3.1. Gausov teorema i formula za integraciju ............................................................................................... 685 13.3.3.2. Stoksov teorema o integraciji ................................................................................................................... 685 13.3.3.3. Grinove teoreme o integraciji................................................................................................................... 686

13.4. Izračunavanje polja ......................................................................................................................................................... 687 13.4.1. Čisto polje izvora .................................................................................................................................................. 687 13.4.2. Čisto vrtložno polje ili bezizvorno vrtložno polje ............................................................................................ 687 13.4.3. Vektorska polja sa tačkastim izvorima .............................................................................................................. 688

13.4.3.1. Kulonovo polje tačkastog naelektrisanja ................................................................................................ 688 13.4.3.2. Gravitaciono polje tačkaste mase ............................................................................................................ 688

13.4.4. Superpozicija polja ............................................................................................................................................... 688 13.4.4.1. Diskretni izvori .......................................................................................................................................... 688 13.4.4.2. Kontinualni izvori ..................................................................................................................................... 689 13.4.4.3. Sabiranje ..................................................................................................................................................... 689

13.5. Diferencijalne jednačine teorije polja ............................................................................................................................ 689 13.5.1. Laplasova diferencijalna jednačina .................................................................................................................... 689 13.5.2. Poasonova diferencijalna jednačina ................................................................................................................... 689

14. Teorija funkcija 691 14.1. Funkcije jedne kompleksne promenljive...................................................................................................................... 691

14.1.1. Neprekidnost, diferencijabilnost ........................................................................................................................ 691 14.1.1.1. Definicija kompleksne funkcije ................................................................................................................ 691 14.1.1.2. Granična vrednost kompleksne funkcije ................................................................................................ 691 14.1.1.3. Neprekidnost kompleksne funkcije ........................................................................................................ 691 14.1.1.4. Diferencijabilnost kompleksne funkcije ................................................................................................. 692

14.1.2. Analitičke funkcije ............................................................................................................................................... 692 14.1.2.1. Definicija analitičke funkcije .................................................................................................................... 692 14.1.2.2. Primeri analitičkih funkcija ...................................................................................................................... 692 14.1.2.3. Svojstva analitičkih funkcija..................................................................................................................... 693 14.1.2.4. Singularne tačke ........................................................................................................................................ 693

14.1.3. Konformno preslikavanje .................................................................................................................................... 694 14.1.3.1. Pojam i svojstva konformnog preslikavanja .......................................................................................... 694 14.1.3.2. Najjednostavnija konformna preslikavanja ........................................................................................... 695 14.1.3.3. Švarcov princip ogledanja ........................................................................................................................ 702 14.1.3.4. Kompleksni potencijali ............................................................................................................................. 702 14.1.3.5. Princip superpozicije................................................................................................................................. 704 14.1.3.6. Proizvoljno preslikavanje kompleksne brojevne ravni ........................................................................ 705

14.2. Integracija u kompleksnoj ravni .................................................................................................................................... 706 14.2.1. Određen i neodređen integral ............................................................................................................................ 706

14.2.1.1. Definicija integrala u kompleksnoj ravni ............................................................................................... 706 14.2.1.2. Svojstva i izračunavanje kompleksnih integrala ................................................................................... 707

14.2.2. Košijev teorema o integraciji, osnovni teorema teorije funkcija ..................................................................... 708 14.2.2.1. Košijev teorema o integraciji za jednostruko povezana područja ....................................................... 708 14.2.2.2. Košijev teorema o integraciji za višestruko povezana područja ......................................................... 709

14.2.3. Košijeve formule za integraciju .......................................................................................................................... 709 14.2.3.1. Analitička funkcija unutar područja ....................................................................................................... 709

XX

14.2.3.2. Analitička funkcija izvan područja ......................................................................................................... 709 14.3. Razvoj analitičkih funkcija u red potencija .................................................................................................................. 710

14.3.1. Konvergencija redova s kompleksnim članovima ........................................................................................... 710 14.3.1.1. Konvergencija niza brojeva s kompleksnim članovima ....................................................................... 710 14.3.1.2. Konvergencija beskonačnog reda s kompleksnim članovima ............................................................. 710 14.3.1.3. Redovi potencija u kompleksnoj ravni ................................................................................................... 711

14.3.2. Tejlorov red ........................................................................................................................................................... 712 14.3.3. Princip analitičkog produženja .......................................................................................................................... 712 14.3.4. Loranov razvoj funkcije ....................................................................................................................................... 713 14.3.5. Izolovane singularne tačke i teorema o reziduumu ........................................................................................ 713

14.3.5.1. Izolovane singularne tačke ....................................................................................................................... 713 14.3.5.2. Metamorfne funkcije ................................................................................................................................. 714 14.3.5.3. Eliptičke funkcije ....................................................................................................................................... 714 14.3.5.4. Reziduum ................................................................................................................................................... 714 14.3.5.5. Teorema o reziduumu .............................................................................................................................. 715

14.4. Izračunavanje realnih integrala integracijom u kompleksnoj ravni ......................................................................... 715 14.4.1. Primena Košijevih formula za integraciju ......................................................................................................... 715 14.4.2. Primena teoreme o reziduumu ........................................................................................................................... 715 14.4.3. Primene Žordanove leme .................................................................................................................................... 716

14.4.3.1. Žordanova lema......................................................................................................................................... 716 14.4.3.2. Primeri za Žordanovu lemu ..................................................................................................................... 717

14.5. Algebarske i elementarne transcendentne funkcije .................................................................................................... 719 14.5.1. Algebarske funkcije .............................................................................................................................................. 719 14.5.2. Elementarne transcendentne funkcije ............................................................................................................... 719 14.5.3. Opis krivih u kompleksnom obliku ................................................................................................................... 722

14.6. Eliptičke funkcije ............................................................................................................................................................. 723 14.6.1. Veza sa eliptičkim integralima ........................................................................................................................... 723 14.6.2. Jakobijeve funkcije ............................................................................................................................................... 725 14.6.3. Theta funkcije........................................................................................................................................................ 726 14.6.4. Vajerštrasove funkcije .......................................................................................................................................... 727

15. Integralne transformacije 728 15.1. Pojam integralne transformacije.................................................................................................................................... 728

15.1.1. Opšta definicija integralnih transformacija....................................................................................................... 728 15.1.2. Specijalne integralne transformacije .................................................................................................................. 728 15.1.3. Inverzne (obratne) transformacije ...................................................................................................................... 728 15.1.4. Linearnost integralnih transformacija ............................................................................................................... 730 15.1.5. Integralne transformacije funkcija više promenljivih ...................................................................................... 730 15.1.6. Primene integralnih transformacija ................................................................................................................... 730

15.2. Laplasova transformacija ............................................................................................................................................... 731 15.2.1. Svojstva Laplasove transformacije ..................................................................................................................... 731

15.2.1.1. Laplas-transformirano, originalno i preslikano područje .................................................................... 731 15.2.1.2. Pravila računanja za Laplasovu transformaciju .................................................................................... 732 15.2.1.3. Slike specijalnih funkcija .......................................................................................................................... 735 15.2.1.4. Dirakova delta funkcija i distribucije ...................................................................................................... 738

15.2.2. Obratna transformacija u originalno područje ................................................................................................. 739 15.2.2.1. Obratna transformacija pomoću tabela .................................................................................................. 739 15.2.2.2. Rastavljanje na parcijalne razlomke ........................................................................................................ 739 15.2.2.3. Razvoj u red ............................................................................................................................................... 740 15.2.2.4. Obratni integral ......................................................................................................................................... 741

15.2.3. Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću Laplasove transformacije ....................................................... 742 15.2.3.1. Obične diferencijalne jednačine s konstantnim koeficijentima ........................................................... 742 15.2.3.2. Obične diferencijalne jednačine s promenljivim koeficijentima .......................................................... 743 15.2.3.3. Parcijalne diferencijalne jednačine .......................................................................................................... 744

15.3. Furijeova transformacija ................................................................................................................................................. 745 15.3.1. Svojstva Furijeove transformacije ...................................................................................................................... 745

15.3.1.1. Furijeov integral ........................................................................................................................................ 745 15.3.1.2. Furijeova transformacija i obratna transformacija ................................................................................ 746

XXI

15.3.1.3. Pravila računanja za Furijeovu transformaciju ...................................................................................... 748 15.3.1.4. Preslikavanje specijalnih funkcija............................................................................................................ 751

15.3.2. Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću Furijeove transformacije ........................................................ 752 15.3.2.1. Obične linearne diferencijalne jednačine ................................................................................................ 752 15.3.2.2. Parcijalne diferencijalne jednačine .......................................................................................................... 753

15.4. Z transformacija .............................................................................................................................................................. 755 15.4.1. Svojstva Z transformacije .................................................................................................................................... 755

15.4.1.1. Diskretne funkcije...................................................................................................................................... 755 15.4.1.2. Definicija Z transformacije ....................................................................................................................... 755 15.4.1.3. Pravila računanja ....................................................................................................................................... 756 15.4.1.4. Veza sa Laplasovom transformacijom .................................................................................................... 757 15.4.1.5. Obrnuta Z transformacija ......................................................................................................................... 758

15.4.2. Primene Z transformacije .................................................................................................................................... 759 15.4.2.1. Opšte rešenje linearnih diferencijalnih jednačina ................................................................................. 759 15.4.2.2. Diferencijalne jednačine 2. reda (zadata početna vrednost) ................................................................ 760 15.4.2.3. Diferencijalne jednačine 2. reda (zadat rubni uslov) ............................................................................ 760

15.5. Vejvlet transformacija ..................................................................................................................................................... 761 15.5.1. Signali .................................................................................................................................................................... 761 15.5.2. Vejvleti ................................................................................................................................................................... 762 15.5.3. Vejvlet transformacija .......................................................................................................................................... 763 15.5.4. Diskretna Vejvlet transformacija ........................................................................................................................ 764

15.5.4.1. Brza Vejvlet transformacija ...................................................................................................................... 764 15.5.4.2. Diskretna Har-Vejvlet transformacija ..................................................................................................... 764

15.5.5. Gaborova transformacija ..................................................................................................................................... 764 15.6. Volšove funkcije .............................................................................................................................................................. 765

15.6.1. Stepenaste funkcije ............................................................................................................................................... 765 15.6.2. Volšovi sistemi ...................................................................................................................................................... 765

16. Teorija verovatnoće i matematička statistika 766 16.1. Kombinatorika ................................................................................................................................................................. 766

16.1.1. Permutacije ............................................................................................................................................................ 766 16.1.2. Kombinacije .......................................................................................................................................................... 766 16.1.3. Varijacije ................................................................................................................................................................ 767 16.1.4. Pregled formula kombinatorike ......................................................................................................................... 768

16.2. Teorija verovatnoće ......................................................................................................................................................... 768 16.2.1. Događaji. Učestanosti i verovatnoće .................................................................................................................. 768

16.2.1.1. Događaji ...................................................................................................................................................... 768 16.2.1.2. Učestanosti i verovatnoće ......................................................................................................................... 769 16.2.1.3. Uslovne verovatnoće. Bajesov zakon ...................................................................................................... 771

16.2.2. Slučajne veličine. Funkcija distribucije .............................................................................................................. 772 16.2.2.1. Slučajne promenljive ................................................................................................................................. 772 16.2.2.2. Funkcija distribucije .................................................................................................................................. 772 16.2.2.3. Očekivana vrednost i rasipanje događaja, Čebiševljeva nejednakost ................................................ 773 16.2.2.4. Višedimenzionalne slučajne promenljive ............................................................................................... 775

16.2.3. Diskretne distribucije ........................................................................................................................................... 775 16.2.3.1. Binomna distribucija ................................................................................................................................. 775 16.2.3.2. Hipergeometrijska distribucija ................................................................................................................ 776 16.2.3.3. Poasonova distribucija .............................................................................................................................. 777

16.2.4. Neprekidne distribucije ....................................................................................................................................... 778 16.2.4.1. Normalna distribucija ............................................................................................................................... 778 16.2.4.2. Normirana normalna distribucija, Gausov integral verovatnoće ....................................................... 779 16.2.4.3. Logaritamska normalna distribucija ....................................................................................................... 780 16.2.4.4. Eksponencijalna distribucija .................................................................................................................... 781 16.2.4.5. Vajbulova distribucija ............................................................................................................................... 781 16.2.4.6. χ2 distribucija .............................................................................................................................................. 782 16.2.4.7. Fišerova distribucija .................................................................................................................................. 783 16.2.4.8. Studentova distribucija ............................................................................................................................. 784

16.2.5. Zakoni velikih brojeva. Teoreme graničnih vrednosti .................................................................................... 785

XXII

16.2.6. Stohastički procesi i stohastički lanci ................................................................................................................. 786 16.2.6.1. Osnovni pojmovi, Markovljevi lanci ....................................................................................................... 786 16.2.6.2. Poasonovi procesi ...................................................................................................................................... 788

16.3. Matematička statistika .................................................................................................................................................... 791 16.3.1. Funkcije merenja .................................................................................................................................................. 791

16.3.1.1. Temeljna celovitost, merenje, slučajni vektor ........................................................................................ 791 16.3.1.2. Funkcije merenja ........................................................................................................................................ 792

16.3.2. Opisna statistika ................................................................................................................................................... 793 16.3.2.1. Statističko opisivanje rezultata merenja ................................................................................................. 793 16.3.2.2. Statistički parametri .................................................................................................................................. 794

16.3.3. Važni postupci merenja ....................................................................................................................................... 795 16.3.3.1. Merenje i normalna distribucija ............................................................................................................... 795 16.3.3.2. Distribucija srednjih vrednosti merenja ................................................................................................. 797 16.3.3.3. Granice pouzdanosti srednje vrednosti .................................................................................................. 798 16.3.3.4. Granice pouzdanosti rasipanja ................................................................................................................ 799 16.3.3.5. Princip mernog postupka ......................................................................................................................... 800

16.3.4. Korelacija i regresija ............................................................................................................................................. 800 16.3.4.1. Linearna korelacija kod dve merljive osobine ....................................................................................... 800 16.3.4.2. Linearna regresija kod dve merljive osobine ......................................................................................... 801 16.3.4.3. Višedimenzionalna regresija .................................................................................................................... 802

16.3.5. Metoda Monte Karlo ............................................................................................................................................ 804 16.3.5.1. Simulacija ................................................................................................................................................... 804 16.3.5.2. Slučajni brojevi ........................................................................................................................................... 804 16.3.5.3. Primer Monte Karlo simulacije ................................................................................................................ 806 16.3.5.4. Primene metode Monte Karlo u numeričkoj matematici ..................................................................... 806 16.3.5.5. Ostale primene metode Monte Karlo ...................................................................................................... 808

16.4. Teorija grešaka pri merenju ........................................................................................................................................... 809 16.4.1. Greške merenja i njihova distribucija ................................................................................................................ 809

16.4.1.1. Distribucija grešaka merenja prema kvalitativnim osobinama ........................................................... 809 16.4.1.2. Gustina distribucije grešaka merenja ...................................................................................................... 809 16.4.1.3. Distribucija grešaka merenja prema kvantitativnim osobinama ........................................................ 811 16.4.1.4. Prikaz rezultata merenja sa granicama pogrešaka ................................................................................ 814 16.4.1.5. Proračun grešaka neposrednih merenja jednake tačnosti .................................................................... 814 16.4.1.6. Proračun grešaka neposrednih merenja nejednake tačnosti ................................................................ 815

16.4.2. Umnožavanje i analiza grešaka .......................................................................................................................... 816 16.4.2.1. Gausov zakon umnožavanja grešaka ..................................................................................................... 816 16.4.2.2. Analiza grešaka ......................................................................................................................................... 817

17. Dinamički sistemi i haos 819 17.1. Obične diferencijalne jednačine i preslikavanja .......................................................................................................... 819

17.1.1. Dinamički sistemi ................................................................................................................................................. 819 17.1.1.1. Osnovni pojmovi ....................................................................................................................................... 819 17.1.1.2. Invarijantni skupovi .................................................................................................................................. 821

17.1.2. Kvalitativna teorija običnih diferencijalnih jednačina ..................................................................................... 822 17.1.2.1. Egzistencija toka i struktura faznog prostora ........................................................................................ 822 17.1.2.2. Linearne diferencijalne jednačine ............................................................................................................ 824 17.1.2.3. Teorija stabilnosti ...................................................................................................................................... 825 17.1.2.4. Invarijantne mnogostrukosti .................................................................................................................... 829 17.1.2.5. Poenkareovo preslikavanje ...................................................................................................................... 832 17.1.2.6. Topološka ekvivalentnost diferencijalnih jednačina ............................................................................. 832

17.1.3. Diskretni dinamički sistemi ................................................................................................................................ 834 17.1.3.1. Stabilne tačke, periodičke orbite i granični skupovi ............................................................................. 834 17.1.3.2. Invarijantne mnogostrukosti .................................................................................................................... 835 17.1.3.3. Topološka konjugiranost diskretnih sistema ......................................................................................... 836

17.1.4. Strukturna stabilnost (robusnost) ...................................................................................................................... 836 17.1.4.1. Strukturno stabilne diferencijalne jednačine ......................................................................................... 836 17.1.4.2. Strukturno stabilni diskretni sistemi....................................................................................................... 837 17.1.4.3. Generička svojstva ..................................................................................................................................... 837

XXIII

17.2. Kvantitativni opis atraktora ........................................................................................................................................... 838 17.2.1. Mere verovatnoće atraktora ................................................................................................................................ 838

17.2.1.1. Invarijantna mera ...................................................................................................................................... 838 17.2.1.2. Elementi ergodičke teorije ........................................................................................................................ 839

17.2.2. Entropije ................................................................................................................................................................ 842 17.2.2.1. Topološka entropija ................................................................................................................................... 842 17.2.2.2. Metrička entropija ..................................................................................................................................... 842

17.2.3. Ljapunovljevi eksponenti .................................................................................................................................... 842 17.2.4. Dimenzije .............................................................................................................................................................. 844

17.2.4.1. Metričke dimenzije .................................................................................................................................... 844 17.2.4.2. Dimenzije koje se svode na invarijantne mere ...................................................................................... 846 17.2.4.3. Lokalna Hausdorfova dimenzija prema Duadi-Esterleu ..................................................................... 849 17.2.4.4. Primeri atraktora ....................................................................................................................................... 849

17.2.5. Usamljeni atraktori i haos ................................................................................................................................... 851 17.2.6. Haos u jednodimenzionalnom preslikavanju................................................................................................... 852

17.3. Teorija bifurkacija i putevi u haos ................................................................................................................................. 852 17.3.1. Bifurkacije u Morze-Smaleovim sistemima ..................................................................................................... 852

17.3.1.1. Lokalne bifurkacije blizu stabilnih tačaka .............................................................................................. 853 17.3.1.2. Lokalne bifurkacije blizu periodičke orbite ........................................................................................... 858 17.3.1.3. Globalne bifurkacije .................................................................................................................................. 861

17.3.2. Prelazi u haos ........................................................................................................................................................ 862 17.3.2.1. Kaskade udvostručenja perioda .............................................................................................................. 862 17.3.2.2. Naizmeničnost (intermitencija) ............................................................................................................... 863 17.3.2.3. Globalne homokline bifurkacije .............................................................................................................. 863 17.3.2.4. Raspad torusa ............................................................................................................................................ 865

18. Optimizovanje (matematičko programiranje) 870 18.1. Linearno programiranje (optimizovanje) ..................................................................................................................... 870

18.1.1. Postavka problema i grafičko predstavljanje .................................................................................................... 870 18.1.1.1. Oblici linearnog programiranja ............................................................................................................... 870 18.1.1.2. Primeri i grafička rešenja .......................................................................................................................... 871

18.1.2. Osnovni pojmovi linearnog programiranja, normalni oblik .......................................................................... 872 18.1.2.1. Stranica i baza ............................................................................................................................................ 872 18.1.2.2. Normalni oblik zadatka linearnog programiranja ................................................................................ 874

18.1.3. Postupak Simpleks ............................................................................................................................................... 875 18.1.3.1. Simpleks tabela .......................................................................................................................................... 875 18.1.3.2. Prelaz u novu Simlpeks tabelu ................................................................................................................ 875 18.1.3.3. Određivanje prve Simpleks tabele .......................................................................................................... 877 18.1.3.4. Revidirani postupak Simpleks ................................................................................................................. 878 18.1.3.5. Dvojnost linearnog programiranja .......................................................................................................... 880

18.1.4. Specijalni problemi linearnog programiranja ................................................................................................... 881 18.1.4.1. Problem transporta ................................................................................................................................... 881 18.1.4.2. Problem dodeljivanja ................................................................................................................................ 883 18.1.4.3. Problem raspodele..................................................................................................................................... 884 18.1.4.4. Problem zatvorene putanje ..................................................................................................................... 884 18.1.4.5. Problem redosleda..................................................................................................................................... 884

18.2. Nelinearno programiranje (optimizovanje) ................................................................................................................. 885 18.2.1. Postavka problema i teorijske osnove ............................................................................................................... 885

18.2.1.1. Postavka problema .................................................................................................................................... 885 18.2.1.2. Uslovi optimalnosti ................................................................................................................................... 885 18.2.1.3. Dvojnost optimizovanja............................................................................................................................ 886

18.2.2. Specijalni zadaci nelinearnog programiranja ................................................................................................... 887 18.2.2.1. Konveksno programiranje ........................................................................................................................ 887 18.2.2.2. Kvadratno programiranje

18.2.3. Rešavanje zadataka kvadratnog programiranja ............................................................................................... 888 18.2.3.1. Volfov postupak ........................................................................................................................................ 888 18.2.3.2. Hildret-Dezopov postupak ...................................................................................................................... 890

18.2.4. Numeričko traženje ekstrema ............................................................................................................................. 891

XXIV

18.2.4.1. Jednodimenzionalno pretraživanje ......................................................................................................... 891 18.2.4.2. Traženje minimuma u n-dimenzionalnom Euklidovom vektorskom prostoru ................................ 891

18.2.5. Metode kod neograničenog područja ................................................................................................................ 892 18.2.5.1. Postupak najstrmijeg uspona (gradijentni postupak) ........................................................................... 892 18.2.5.2. Primena Njutnovog postupka ................................................................................................................. 893 18.2.5.3. Postupak konjugiranog gradijenta .......................................................................................................... 893 18.2.5.4. Postupak Davidona, Flečera i Pauela (DFP) .......................................................................................... 894

18.2.6. Gradijentni postupak za probleme sa ograničenjima u vidu nejednakosti .................................................. 894 18.2.6.1. Postupak dopu{tenih smerova ................................................................................................................ 894 18.2.6.2. Postupak projektovanog gradijenta ........................................................................................................ 896

18.2.7. Postupci s funkcijom kazne i sa barijerom ........................................................................................................ 898 18.2.7.1. Postupak s funkcijom kazne .................................................................................................................... 898 18.2.7.2. Postupak sa barijerom .............................................................................................................................. 899

18.2.8. Postupak sa odsečnim ravnima .......................................................................................................................... 900 18.3. Diskretno dinamičko programiranje (optimizovanje)................................................................................................ 901

18.3.1. Diskretni dinamički modeli odlučivanja ........................................................................................................... 901 18.3.1.1. n-stepeni procesi odlučivanja .................................................................................................................. 901 18.3.1.2. Problemi dinamičkog programiranja...................................................................................................... 901

18.3.2. Primeri diskretnih modela odlučivanja ............................................................................................................. 902 18.3.2.1. Problem kupovine ..................................................................................................................................... 902 18.3.2.2. Problem punjenja ranca ............................................................................................................................ 902

18.3.3. Belmanove funkcionalne jednačine ................................................................................................................... 902 18.3.3.1. Svojstva funkcije troškova ........................................................................................................................ 902 18.3.3.2. Formulisanje funkcionalnih jednačina.................................................................................................... 903

18.3.4. Belmanov princip optimalnosti .......................................................................................................................... 904 18.3.5. Belmanova metoda funkcionalnih jednačina ................................................................................................... 904

18.3.5.1. Određivanje minimalnih troškova .......................................................................................................... 904 18.3.5.2. Određivanje optimalne politike .............................................................................................................. 904

18.3.6. Primeri primene metode funkcionalnih jednačina .......................................................................................... 905 18.3.6.1. Optimalna politika kupovine................................................................................................................... 905 18.3.6.2. Problem punjenja ranca ............................................................................................................................ 906

19. Numerička matematika ........................................................................................................................................................... 907 19.1. Numeričko rešavanje nelinearnih jednačina s jednom promenljivom ..................................................................... 907

19.1.1. Iteracioni postupak .............................................................................................................................................. 907 19.1.1.1. Uobičajen postupak iteriranja .................................................................................................................. 907 19.1.1.2. Njutnov postupak ..................................................................................................................................... 907 19.1.1.3. Metoda smanjivanja pogreške (regula falsi) .......................................................................................... 909

19.1.2. Rešavanje jednačina s polinomima .................................................................................................................... 910 19.1.2.1. Hornerova šema ........................................................................................................................................ 910 19.1.2.2. Položaj nultačaka ....................................................................................................................................... 911 19.1.2.3. Numerički postupak ................................................................................................................................. 911

19.2. Numeričko rešavanje sistema jednačina ...................................................................................................................... 913 19.2.1. Sistemi linearnih jednačina ................................................................................................................................. 913

19.2.1.1. Rastavljanje matrice na trouglaste matrice (UDUt) ............................................................................... 914 19.2.1.2. Postupak Holeskog kod simetričnih matrica koeficijenata .................................................................. 916 19.2.1.3. Postupak ortogonalizovanja .................................................................................................................... 916 19.2.1.4. Iteriranje celog postupka i pojedinačnih koraka ................................................................................... 918

19.2.2. Sistemi nelinearnih jednačina ............................................................................................................................. 919 19.2.2.1. Uobičajen postupak iteriranja .................................................................................................................. 919 19.2.2.2. Njutnov postupak ..................................................................................................................................... 920 19.2.2.3. Gaus-Njutnov postupak bez izračunavanja izvoda .............................................................................. 920

19.3. Numerička integracija .................................................................................................................................................... 921 19.3.1. Opšta formula za kvadraturu (numeričko izračunavanje površine ispod krive) ........................................ 921 19.3.2. Interpolacione kvadrature................................................................................................................................... 922

19.3.2.1. Formula za pravougaonike ...................................................................................................................... 922 19.3.2.2. Formula za trapeze .................................................................................................................................... 922 19.3.2.3. Ermitova formula za trapeze ................................................................................................................... 923

XXV

19.3.2.4. Simpsonova formula za trapeze .............................................................................................................. 923 19.3.3. Formule za kvadraturu Gausovog tipa ............................................................................................................. 923

19.3.3.1. Gausove formule za kvadraturu ............................................................................................................. 923 19.3.3.2. Lobatove formule za kvadraturu ............................................................................................................ 924

19.3.4. Rombergov postupak .......................................................................................................................................... 924 19.3.4.1. Algoritam Rombergovog postupka ........................................................................................................ 924 19.3.4.2. Princip ekstrapolacije ................................................................................................................................ 925

19.4. Približna integracija običnih diferencijalnih jednačina .............................................................................................. 927 19.4.1. Zadaci s početnim vrednostima ......................................................................................................................... 927

19.4.1.1. Ojlerov postupak sa vučenjem poligona ................................................................................................ 927 19.4.1.2. Postupak Runge-Kuta ............................................................................................................................... 928 19.4.1.3. Višestepeni postupak ................................................................................................................................ 928 19.4.1.4. Postupak prediktor-korektor ................................................................................................................... 929 19.4.1.5. Konvergencija, konzistencija, stabilnost ................................................................................................. 930

19.4.2. Zadaci s rubnim uslovima .................................................................................................................................. 931 19.4.2.1. Metoda diferencija ..................................................................................................................................... 931 19.4.2.2. Metoda prislanjanja ................................................................................................................................... 932 19.4.2.3. Metoda gađanja ......................................................................................................................................... 933

19.5. Približna integracija parcijalnih diferencijalnih jednačina ......................................................................................... 934 19.5.1. Metoda diferencija................................................................................................................................................ 934 19.5.2. Metoda prislanjanja .............................................................................................................................................. 935 19.5.3. Metoda konačnih elemenata (FEM) ................................................................................................................... 936

19.6. Aproksimacija, račun izravnanja, harmonska analiza ............................................................................................... 941 19.6.1. Interpolacija polinomima .................................................................................................................................... 941

19.6.1.1. Njutnova formula za interpolaciju .......................................................................................................... 941 19.6.1.2. Interpolaciona formula prema Lagranžu ............................................................................................... 941 19.6.1.3. Interpolacija prema Ejtken-Nevilu .......................................................................................................... 942

19.6.2. Aproksimacija u srednjoj vrednosti ................................................................................................................... 943 19.6.2.1. Kontinualni slučaj, normalne jednačine ................................................................................................. 943 19.6.2.2. Diskretni slučaj, normalne jednačine, Hasusholderov postupak ........................................................ 944 19.6.2.3. Višedimenzionalni zadaci ........................................................................................................................ 945 19.6.2.4. Nelinearni srednjekvadratni zadaci ....................................................................................................... 946

19.6.3. Čebiševljeva aproksimacija ................................................................................................................................. 947 19.6.3.1. Postavka zadatka i teorema o alternantama .......................................................................................... 947 19.6.3.2. Svojstva Čebiševljevih polinoma ............................................................................................................. 947 19.6.3.3. Remov algoritam ....................................................................................................................................... 949 19.6.3.4. Diskretna Čebiševljeva aproksimacija i optimizovanje ........................................................................ 949

19.6.4. Harmonska analiza .............................................................................................................................................. 950 19.6.4.1. Formule za trigonometrijsku interpolaciju ............................................................................................ 950 19.6.4.2. Brza Furijeova transformacija (FFT) ........................................................................................................ 951

19.7. Prikazivanje krivih i površi pomoću splajnova........................................................................................................... 955 19.7.1. Kubni splajnovi .................................................................................................................................................... 955

19.7.1.1. Interpolacioni splajnovi ............................................................................................................................ 955 19.7.1.2. Splajnovi izravnanja .................................................................................................................................. 956

19.7.2. Bikubni splajnovi .................................................................................................................................................. 957 19.7.2.1. Svojstva bikubnih splajnova .................................................................................................................... 957 19.7.2.2. Bikubni interpolacioni splajnovi ............................................................................................................. 957 19.7.2.3. Bikubni splajnovi izravnanja ................................................................................................................... 958

19.7.3. Bernštajn-Bezjeovo prikazivanje krivih i površi............................................................................................... 958 19.7.3.1. Princip B-B prikazivanja krivih ............................................................................................................... 959 19.7.3.2. B-B prikazivanje površi ............................................................................................................................ 960

19.8. Korišćenje računara ........................................................................................................................................................ 961 19.8.1. Interno predstavljanje brojeva ............................................................................................................................ 961

19.8.1.1. Brojevni sistemi.......................................................................................................................................... 961 19.8.1.2. Interno predstavljanje brojeva ................................................................................................................. 962

19.8.2. Numerički problemi prilikom izračunavanja u računarima .......................................................................... 964 19.8.2.1. Uvod, vrste grešaka .................................................................................................................................. 964

XXVI

19.8.2.2. Normalizovani decimalni brojevi i zaokruživanje ................................................................................ 964 19.8.2.3. Tačnost numeričkih proračuna ................................................................................................................ 966

19.8.3. Biblioteke numeričkih metoda ........................................................................................................................... 969 19.8.3.1. Biblioteka NAG.......................................................................................................................................... 970 19.8.3.2. Biblioteka IMSL ......................................................................................................................................... 970 19.8.3.3. Ahenska biblioteka .................................................................................................................................... 971

19.8.4. Primena sistema računarskih algebri................................................................................................................. 971 19.8.4.1. Mathematica ............................................................................................................................................... 971 19.8.4.2. Maple .......................................................................................................................................................... 975

20. Sistemi računarskih algebri..................................................................................................................................................... 978 20.1. Uvod ................................................................................................................................................................................. 978

20.1.1. Karakteristike računarskih algebarskih sistema ukratko ................................................................................ 978 20.1.2. Uvodni primeri za glavna područja primene ................................................................................................... 979

20.1.2.1. Rad sa formulama ..................................................................................................................................... 979 20.1.2.2. Numerički proračuni ................................................................................................................................ 979 20.1.2.3. Grafičko predstavljanje ............................................................................................................................. 980 20.1.2.4. Programiranje u računarskim algebarskim sistemima ......................................................................... 980

20.1.3. Građa računarskih algebarskih sistema i rad sa njima .................................................................................... 980 20.1.3.1. Osnovni elementi strukture ..................................................................................................................... 980

20.2. Mathematica .................................................................................................................................................................... 982 20.2.1. Osnovni elementi strukture ................................................................................................................................ 982 20.2.2. Vrste brojeva u programu Mathematica ........................................................................................................... 983

20.2.2.1. Osnovni tipovi brojeva ............................................................................................................................. 983 20.2.2.2. Specijalni brojevi ........................................................................................................................................ 983 20.2.2.3. Predstavljanje i pretvaranje brojeva ........................................................................................................ 984

20.2.3. Važni operatori ..................................................................................................................................................... 984 20.2.4. Liste ........................................................................................................................................................................ 985

20.2.4.1. Pojam i značenje ........................................................................................................................................ 985 20.2.4.2. Strukturirane liste ...................................................................................................................................... 986 20.2.4.3. Operacije s listama .................................................................................................................................... 986 20.2.4.4. Specijalne liste ............................................................................................................................................ 986

20.2.5. Vektori i matrice kao liste.................................................................................................................................... 987 20.2.5.1. Pravljenje namenskih lista ........................................................................................................................ 987 20.2.5.2. Operacije s matricama i vektorima ......................................................................................................... 987

20.2.6. Funkcije ................................................................................................................................................................. 989 20.2.6.1. Standardne funkcije .................................................................................................................................. 989 20.2.6.2. Specijalne funkcije ..................................................................................................................................... 989 20.2.6.3. Čiste funkcije .............................................................................................................................................. 989

20.2.7. Modeli .................................................................................................................................................................... 989 20.2.8. Operacije s funkcionalima ................................................................................................................................... 990 20.2.9. Programiranje ....................................................................................................................................................... 991 20.2.10. Dopune u vezi sa sintaksom, podacima, porukama ...................................................................................... 992

20.2.10.1. Konteksti, atributi .................................................................................................................................... 992 20.2.10.2. Podaci ........................................................................................................................................................ 992 20.2.10.3. Poruke ....................................................................................................................................................... 993

20.3. Maple ................................................................................................................................................................................ 994 20.3.1. Osnovni elementi strukture ................................................................................................................................ 994

20.3.1.1. Tipovi i objekti ........................................................................................................................................... 994 20.3.1.2. Ulaz i izlaz .................................................................................................................................................. 995

20.3.2. Vrste brojeva u programu Maple ....................................................................................................................... 995 20.3.2.1. Osnovni tipovi brojeva u programu Maple ........................................................................................... 995 20.3.2.2. Specijalni brojevi ........................................................................................................................................ 996 20.3.2.3. Predstavljanje i pretvaranje brojeva ........................................................................................................ 996

20.3.3. Važni operatori u programu Maple ................................................................................................................... 997 20.3.4. Algebarski izrazi .................................................................................................................................................. 997 20.3.5. Nizovi i liste .......................................................................................................................................................... 998 20.3.6. Tabelarne strukture i strukture polja, vektori i matrice .................................................................................. 999

XXVII

20.3.6.1. Tabelarne strukture i strukture polja ...................................................................................................... 999 20.3.6.2. Jednodimenzionalna polja .......................................................................................................................1000 20.3.6.3. Dvodimenzionalna polja .........................................................................................................................1000 20.3.6.4. Specijalna uputstva u vezi sa vektorima i matricama .........................................................................1001

20.3.7. Funkcije i operatori .............................................................................................................................................1001 20.3.7.1. Funkcije ......................................................................................................................................................1001 20.3.7.2. Operatori ...................................................................................................................................................1002 20.3.7.3. Diferencijalni operatori ............................................................................................................................1003 20.3.7.4. "Map", operator funkcionala ...................................................................................................................1003

20.3.8. Programiranje u Mapleu ....................................................................................................................................1003 20.3.9. Dopune u vezi sa sintaksom, podacima, porukama .......................................................................................1004

20.3.9.1. Kori{ćenje Mapleove biblioteke ..............................................................................................................1004 20.3.9.2. Promenljive okruženja .............................................................................................................................1004 20.3.9.3. Podaci i poruke .........................................................................................................................................1005

20.4. Primene sistema računarskih algebri ..........................................................................................................................1005 20.4.1. Rad sa algebarskim izrazima .............................................................................................................................1005

20.4.1.1. Mathematica ..............................................................................................................................................1005 20.4.1.2. Maple .........................................................................................................................................................1007

20.4.2. Rešavanje jednačina i sistema jednačina ..........................................................................................................1010 20.4.2.1. Mathematica ..............................................................................................................................................1011 20.4.2.2. Maple .........................................................................................................................................................1012

20.4.3. Elementi linearne algebre ...................................................................................................................................1014 20.4.3.1. Mathematica ..............................................................................................................................................1014 20.4.3.2. Maple .........................................................................................................................................................1016

20.4.4. Diferencijalni i integralni račun .........................................................................................................................1019 20.4.4.1. Mathematica ..............................................................................................................................................1019 20.4.4.2. Maple .........................................................................................................................................................1022

20.5. Grafika u sistemima računarskih algebri ....................................................................................................................1025 20.5.1. Grafika u programu Mathematica ....................................................................................................................1025

20.5.1.1. Osnove grafičke građe .............................................................................................................................1025 20.5.1.2. Grafički primitivi ......................................................................................................................................1026 20.5.1.3. Grafičke opcije ..........................................................................................................................................1027 20.5.1.4. Sintaksa grafičkog predstavljanja ...........................................................................................................1027 20.5.1.5. Dvodimenzionalne krive .........................................................................................................................1029 20.5.1.6. Parametarsko zadavanje krivih ..............................................................................................................1030 20.5.1.7. Prikazivanje površi i prostornih krivih .................................................................................................1031

20.5.2. Grafika u programu Maple ................................................................................................................................1033 20.5.2.1. Dvodimenzionalna grafika .....................................................................................................................1033 20.5.2.2. Trodimenzionalna grafika .......................................................................................................................1036

21. Tabele 1039

21.1. Često kori{ćene konstante .............................................................................................................................................1039 21.2. Prirodne konstante .........................................................................................................................................................1039 21.3. Važni redovi ...................................................................................................................................................................1041 21.4. Furijeovi redovi ..............................................................................................................................................................1046 21.5. Neodređeni integrali......................................................................................................................................................1049

21.5.1. Integrali racionalnih funkcija .............................................................................................................................1049 21.5.1.1. Integrali sa X = ax + b ................................................................................................................................1049 21.5.1.2. Integrali sa X = ax2 + bx +c ........................................................................................................................1051 21.5.1.3. Integrali sa X = a2 ± x2 ..............................................................................................................................1052 21.5.1.4. Integrali sa X = a3 ± x3 ..............................................................................................................................1054 21.5.1.5. Integrali sa X = a4 + x4 ..............................................................................................................................1055 21.5.1.6. Integrali sa X = a4 - x4 ................................................................................................................................1055 21.5.1.7. Neki slučajevi rastavljanja na parcijalne razlomke ..............................................................................1055

21.5.2. Integrali iracionalnih funkcija ............................................................................................................................1056 21.5.2.1. Integrali sa √x i a2 ± b2x .............................................................................................................................1056 21.5.2.2. Ostali integrali sa √x .................................................................................................................................1056 21.5.2.3. Integrali sa √(ax+b) ....................................................................................................................................1057

XXVIII

21.5.2.4. Integrali sa √(ax+b) i √(fx+g) .....................................................................................................................1058 21.5.2.5. Integrali sa √(a2 - x2) ..................................................................................................................................1059 21.5.2.6. Integrali sa √(x2 + a2) .................................................................................................................................1060 21.5.2.7. Integrali sa √(x2 - a2) ..................................................................................................................................1062 21.5.2.8. Integrali sa √(ax2 + bx + c) .........................................................................................................................1064 21.5.2.9. Integrali sa ostalim iracionalnim izrazima ............................................................................................1066 21.5.2.10. Rekurzione formule za integral sa binomnim diferencijalom ..........................................................1066

21.5.3. Integrali trigonometrijskih funkcija ..................................................................................................................1067 21.5.3.1. Integrali sa funkcijom sinus ....................................................................................................................1067 21.5.3.2. Integrali sa funkcijom kosinus ................................................................................................................1069 21.5.3.3. Integrali sa funkcijama sinus i kosinus ..................................................................................................1072 21.5.3.4. Integrali sa funkcijom tangens ................................................................................................................1075 21.5.3.5. Integrali sa funkcijom kotangens ...........................................................................................................1075

21.5.4. Integrali ostalih transcendentnih funkcija .......................................................................................................1076 21.5.4.1. Integrali sa hiperbolnim funkcijama ......................................................................................................1076 21.5.4.2. Integrali sa eksponencijalnim funkcijama .............................................................................................1077 21.5.4.3. Integrali sa logaritamskim funkcijama ..................................................................................................1079 21.5.4.4. Integrali sa inverznim trigonometrijskim funkcijama .........................................................................1080 21.5.4.5. Integrali sa inverznim hiperbolnim funkcijama ...................................................................................1081

21.6. Određeni integrali ..........................................................................................................................................................1082 21.6.1. Određeni integrali trigonometrijskih funkcija .................................................................................................1082 21.6.2. Određeni integrali eksponencijalnih funkcija .................................................................................................1083 21.6.3. Određeni integrali logaritamskih funkcija .......................................................................................................1084 21.6.4. Određeni integrali algebarskih funkcija ...........................................................................................................1085

21.7. Eliptički integrali ............................................................................................................................................................1087 21.7.1. Eliptički integrali 1. vrste ...................................................................................................................................1087 21.7.2. Eliptički integrali 2. vrste ...................................................................................................................................1087 21.7.3. Potpuni eliptički integrali K i E .........................................................................................................................1088

21.8. Gama funkcija .................................................................................................................................................................1089 21.9. Beselove funkcije (cilindrične funkcije) .......................................................................................................................1090 21.10. Ležandrovi polinomi 1. vrste (sferne funkcije) ........................................................................................................1092 21.11. Laplasove transformacije ............................................................................................................................................1093 21.12. Furijeove transformacije ..............................................................................................................................................1099

21.12.1. Furijeove kosinus transformacije ....................................................................................................................1099 21.12.2. Furijeove sinus transformacije .........................................................................................................................1105 21.12.3. Furijeove transformacije ...................................................................................................................................1110 21.12.4. Eksponencijalne Furijeove transformacije......................................................................................................1112

21.13. Z transformacije............................................................................................................................................................1113 21.14. Poasonova distribucija .................................................................................................................................................1116 21.15. Normirana normalna distribucija ..............................................................................................................................1118 21.16. χ2 distribucija .................................................................................................................................................................1120 21.17. Fišerova F distribucija ..................................................................................................................................................1121 21.18. Studentova t distribucija .............................................................................................................................................1123 21.19. Slučajni brojevi .............................................................................................................................................................1124 Literatura ..................................................................................................................................................................................1124 Indeks .......................................................................................................................................................................................1141 Matematičke oznake ...............................................................................................................................................................1188