FINANSIJSKA MATEMATIKA

Prof.dr Jelena Koovi

Ekonomski fakultet Beograd

U uslovima ogranienih finansijskih sredstava potrebno je doneti adekvatnu odluku gde uloiti sredstva:

Da li kupiti neko dobro danas ili sutra?

Da li uloiti novac u banku?

Da li zaradu u dinarima konvertovati u devize? Da li zaradu u dinarima konvertovati u devize?

Da li kupiti kola za gotovinu, kredit ili ih uzeti na lizing?

U koje hartije od vrednosti uloiti novac?

Kod koje banke uzeti kredit?

ZNAAJ FINANSIJSKO - MATEMATIKIH OBRAUNA

1. Za privredne subjekte i graane

- Banke, osiguravae i dr.finansijske institucije- Banke, osiguravae i dr.finansijske institucije

2. Zakonska regulativa

3. Sudski sporovi

4. Edukacija kadrova i graana

PRIMENE PROCENTNOG RAUNA

PROCENTNI RAUN

G : P = 100 : p

gde je: G - osnovna veliina ili glavnica

P - prihod ili prinos koji se ostvaruje

p procenatp procenat

(G+P):(100+p)=G:100

(G-P):(100-p)=G:100

1 procent nekog broja = stoti deo tog brojaZnak % oznaava podeli sa stoPrimer: Primer: Primer: Primer: 15% od 150= 150 0,15 = 22,5

Primer: Primer: Primer: Primer: Primer: Primer: Primer: Primer: Broj 15 izraziti kao procenat broja 40

15/40= 0,375 =37,5%

Primer:

Broj 110 je za 10% vei od broja 100.

1001,110

11100100

100

10100 =

+=+

Uopteno:

100

pi =

Uopteno: Broj koji je za p procenata vei od broja S jednak je:

S+iS=(1+i)S

Gde je:

Broj za q procenata manji od broja S:

(1-d) S

Gde je:

100

qd =

10090909,0110100

0909,91110 ==

Primer: Broj 100 je za 9,0909% manji od broja 110.

Primer:

Broj 100 je uvean za 10%. Za koliko procenata trebasmanjiti tako uveani broj da bi dobili prvobitni broj 100?

( )

( ) 1001110

1101,1100100

1011001

=

==

+=+

d

iS

( )

%0909,9

090909,090909,01110

1001

110

1001

1001110

=

===

=

=

q

d

d

d

Primer:Primer:Primer:Primer:U Srbiji za veinu roba PDV iznosi 20%. PDV ulazi u

prodajnu cenu robe. Koliko je procentualno uee PDV-a

u prodajnoj ceni robe?

Reenje:

Cena robe bez PDV-a neka je 100 din.

Prodajna cena iznosi 100+20= 120 din

120.........100%

20 ..........x

120 :100 = 20 : x

%67,161667,0100120

===20

x

Primer:Primer:Primer:Primer:

Neki proizvod je poskupeo u januaru 10%, a ufebruaru jo 10%. Za koliko je procenata poskupeoproizvod za 2 meseca?

Prvobitna cena = 100

1101,110010010

100 ==+

1211,1110100

101110

1101,1100100100

10100

==

+

==+

Cena proizvoda je uveana za 21% u odnosu na prvobitnu.

Primer:Primer:Primer:Primer:Cena robe u iznosu od 800 din je smanjena, kao rezultat

dva snienja za istu procentnu stopu.

Sada cena iznosi 512 dinara. Za koliko se procenata

sniavala cena svaki put?

1001800

100800800

=

xxx

xx

%20

512100

1800

1001

1001800

1001001800

1001800

2

=

=

=

=

=

=

x

x

xx

xxx

Primer:Primer:Primer:Primer:Plata jednog radnika je za godinu danaporasla 1,5 puta. Za koliko procenata seuveala njegova plata u tom periodu?

5,05,1 = XXX

%505,05,0

==X

X

Primer:Primer:Primer:Primer:U jednoj godini inflacija je iznosila 150%.Izraunati koliko puta su porasle cene.

( ) ( )

5,2

5,25,111 =+=+

X

XXiX

5,25,2

=X

X

Primer:Primer:Primer:Primer:Cena robe poveana je 2,5 puta. Za koliko je %uveana cena te robe?

%1505,15,1

5,15,2

==

=

X

XXX

%1505,1 ==X

Rast za p% rast

+1

100

p puta

Smanjenje za p% smanjenje

+ 1

100

p

Primer:

puta

Primer:

Cena akcija se smanjila za godinu dana za 20%.

emu je jednak koeficijent promene cena?

X-0,2X=(-0,2+1)X=0,8X

Rast k puta rast za (k-1)100%

Primer:

Cena neke knjige poveana je 2,5 puta. Za koliko

je % poveana cena knjige?je % poveana cena knjige?

X2,5 (2,5-1) 100 =150 %

Procentni poeni

Ako je kamatna stopa uveana za p procentnih poena, novi iznos kamatne stope je (i+p)%.

Ako je i=3% i uvea se za 0,5 procentnih poena,

novi iznos kamatne stope je 3,5%.

Ako je i=10% i procentna stopa se smanji za 6 Ako je i=10% i procentna stopa se smanji za 6 procentnih poena, novi iznos kamatne stope je 4%.

Ako bi stopa bila smanjena za 6%, novi iznos kamatne stope bi bio

0,1-0,10,06=0,094=9,4%

Uticaj inflacije na kamatnu stopu

Fierova formula

p=(1+p1)(1+i)-1

p - nominalna godinja kamatna stopa

p1 - realna godinja stopa

i - stopa inflacije

Primer:

Oekuje se da e u tekuoj godini oekivana stopa inflacijeiznositi 10%. Odrediti nominalnu godinju kamatnu stopu nauloge u banci da bi realna godinja stopa bila 5%.

p=(1+p1)(1+i)-1=(1+0,05)(1+0,1)-1=15,5%

Ako se glavnica G0 povea ili smanji za p%, onda je njen novi

iznos:

G = G0 (1 p)

Primer 1. Kolika je cena nekog proizvoda od 100 dinara ako se ona:a)povea za 18%, b) smanji za 18% ?a)povea za 18%, b) smanji za 18% ?

G = G0 (1 + p) = 100 (1 + 0,18) = 1001,18 = 118

G = G0 (1 - p) = 100 (1 - 0,18) = 1000,82 = 82

Ako je glavnica G u toku nekog perioda n vie puta poveana(smanjena), redom za stope p1, p2 ,..., pn, onda e iznos teglavnice na kraju perioda n porasti na:

Gn = G (1 + p1) (1 + p2) ... (1 + pn), odnosno, opasti na:

Gn = G (1 - p1) (1 - p2) ... (1 - pn).

Kada je p1 = p2 = ... = pn, krajnja vrednost glavnice je:1 2 n

Gn = G (1 + p1)n, odnosno Gn = G (1 - p1)

n.

Primer 2. Ako je u toku jednog perioda cena nekog proizvoda od 65dinara poveana zaredom etiri puta, uz stope 10%, 20%, 40% i 50%,kolika e biti krajnja cena tog proizvoda posle svih poveanja?

Gn = 65 (1 + 0,1) (1 + 0,2) (1 + 0,4) (1 + 0,5) = 180,18

Ako je glavnica G vie puta u toku jednog perioda poveana (smanjena)redom za procentne stope p1, p2 ,..., pn, onda je stopa p njenog ukupnograsta:

p = ( 1 + p1) (1 + p2) ... (1 + pn) 1,

a stopa p njenog ukupnog pada:

p = 1 - ( 1 - p1) (1 - p2) ... (1 - pn).

Ako su stope jednake, odnosno, p1 = p2 =...= pn, stopa ukupnog rastaglavnice je:

p = (1 + p1)n 1,

odnosno, stopa ukupnog pada glavnice je:

p = 1 - (1 - p1)n

Primer 3. Ako je u nekom vremenskom periodu vrednost novanejedinice imala redom tri devalvacije, za stope 12%, 15%, 13%, koliki jeprocenat ukupnog obezvreenja?

p = 1 - ( 1 0,12) (1 0,15) (1 0,13) = 0,34924100 = 34,924%

Vrednost novane jedinice posle devalvacije e biti:

Gn = 1 (1 0,12) (1 0,15) (1 0,13) = 0,65076.

Primer 4. Ako je u toku godine cena nekog proizvoda od 23 dinara etiriPrimer 4. Ako je u toku godine cena nekog proizvoda od 23 dinara etiriputa poveana za istu stopu od 20%, kolika e biti krajnja cena te usluge, akoliki je ukupni godinji procenat poveanja te cene?

Gn = 23 (1 + 0,20)4 = 47,6928

p = (1 + 0,20)4 1 = 1,0736100 = 107,36%.

Primer 5. Kolika je stopa inflacije za jednu godinu, ako jemeseni rast cena u toj godini iznosio 7,2%?

p = (1 + p1)n 1 = (1 + 0,072)12 1 = 1,30323100 = 130,323%.

Ako se glavnica povea ili smanji za stope prinosa p1, p2 ,..., pn, gde se svi prinosi izraunavaju na istu glavnicu G, krajnji iznos glavnice u sluaju poveanja iznosi:

Gn = G [1 + (p1 + p2 +...+ pn)],

a za sluaj smanjenja:

Gn = G [1 - (p1 + p2 +...+ pn)],

gde je za sluaj smanjenja p1 + p2 +...+ pn < 1.gde je za sluaj smanjenja p1 + p2 +...+ pn < 1.

Primer 7. Bruto zarada radnika iznosi 16540 dinara. Kolika e bitinjegova neto zarada, ako je bruto zarada optereena doprinosimaije su stope 16%, 3%, 2,8% i 11,5%?

Gn = G [1 - (p1 + p2 +p3 + p4)]

Gn = 16540 [1 - (0,16 + 0,03 + 0,028 + 0,115)] = 11032,18.

PROCENTNI RAUN U PRAKSI

1. Preduzee je uplatilo svom dobavljau 450000 dinarabruto (zajedno sa PDV-om). Stopa PDV-a je 20%.Izraunati neto iznos.

(G+P):(100+p)=G:100

G=(G+P)100/(100+p)

G=450000*100/120=375000

PROCENTNI RAUN U PRAKSI2. Rezervacije za tete osiguravajue kompanije iznosile su u 2011.

godini 7000000 evra. U 2012. godini ove rezervacije su iznosile 8200000 evra. a) Za koliko procenata su rezervacije iz 2012. godine vee od

rezervacija u 2011. godini?

G:P=100:p; G=7000000, P=1200000;p=P*100/G=1200000*100/7000000=17,14%

b) Za koliko procenata treba uveati rezervacije iz 2011. godine, da bi njihov iznos u 2012. godini bio 8200000 evra?

7000000+p/100*7000000=8200000; p=17,14%7000000+p/100*7000000=8200000; p=17,14%

c) Za koliko su procenata rezervacije iz 2011. godine bile manje u odnosu na rezervacije iz 2012. godine?

(G-P):(100-p)=G:100; G-P=7000000, G=8200000 100-p=(G-P)*100/G=7000000*100/8200000=85,36p=100-85,36=14,64%

d) Za koliko procenata treba smanjiti rezervacije iz 2012. godine da bi se dobile rezervacije iz 2011. godine?

8200000-p/100*8200000=7000000; p=14,63%

PROST INTERESNI RAUN

Interesni raun ukljuuje - vreme (t).

K : I = 100 : pg

gde je: K - kapital ili glavnica

I - interes ili kamata I - interes ili kamata

p kamatna stopa

g - vreme iskazano u godinama

K : I = 100 : pg (1)

K : I = 1200 : pm (2)

K : I = 36000 : pd (3)

K : I = 36500 : pd (3a)Raunanje broja dana: prvi dan se ne uzima u

obzir, a poslednji se uzima.

Primer:

Uloeno je 100 evra uz godinju stopu 12% na devet meseci.

Izraunati interes.

I=Kit ili I=Kpm/1200I=Kit ili I=Kpm/1200

ili I=100*12*9/1200 = 9 evra

9I 100 0,12 100 0,12 0,75 9

12= = = evra

BUDUA VREDNOST (Kn)

Kt=K+Kit= K(1+it)

Gde je:Kt- budua vrednost, uveana vrednostK- osnovna veliina, sadanja vrednost (glavnica)i- godinja kamatna stopat- vreme u godinama

Primer 1:Na koji iznos e se uveati 800 evra uz 9% prostog interesa za 4 meseca?

Kt= K(1+it)=

4800 1 0,09 800 1,03 824

12

= + = =

evra

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11t

Primer 2.K=1000 i=0,04t=10Kt= K(1+it)=1000 (1+0,0410)=1000 1,4=1400

Primer 3.

Kt=5000

i=0,1

9t

12=

tK 5000 5000K 4651,161 it 1 0,1 0,75 1,075

= = = =+ +

K=?

Primer 4.K=9893,78

Kt=10000

t=180/360=0,5 godina

i=?

Kt= K(1+it)

I=Kt-K=10000-9893,78=106,22

I=Kit

I 106, 22 106,22i 0,02147

K t 9893,78 0,5 4946,89= = = =

i=2,147%

Primer 5.

K=3500 evra

i = 0,10

t = 270/360

K =?Kt=?

Kt= K(1+it)

t

270K 3500 1 0,1 3500 1,075 3762,5

360

= + = =

Primer 6.Kt = 2539,62 evraK = 2443,02t = 200/360=5/9_________________i=?

Kt= K(1+it)

tK1 itK

+ =

52539,62 2443,02 1 i

9

= +

2539,62 2443,02i

52443,02

=

t

t

K

Kit 1

K

Ki 1 t

K

=

=

tK KiK t

=

52443,02

9

i = 0,07117

i = 7,117%

Primer 7.

Uloeno je 15.03.2012. godine 1000 evra uz kamatnu stopu od 5%. Odrediti stanje uloga na dan 16.04.2012. godine.

d(15.03.-16.04.)=31-15+16=32

Kt=K(1+it)=1000(1+0,05 *32/360)=1004,44

Primer 8.

Dunik je trebao da regulie dug od 10000 dinara 15.05.2012. godine, ali je regulisao dug 30.05.2012. godine. Zatezna godine, ali je regulisao dug 30.05.2012. godine. Zatezna kamatna stopa iznosi 18,5%. Izraunati zateznu kamatu.

d(15.05.-30.05.)=30-15=15

Iz=10000*0,185*15/365=76,027

OBRAUN ZATEZNE KAMATE

Zatezna kamata predstavlja potraivanje poverioca zbog toga todunik nije blagovremeno ispunio svoju novanu obavezu.

Zakon o zateznoj kamati (Sl. glasnik RS, br.119/12, u primeni od25.12.2012) propisuje nain obrauna zatezne kamate.

Zatezna kamata u smislu ovog zakona obraunava se za Zatezna kamata u smislu ovog zakona obraunava se zakalendarski broj dana perioda docnje u izmirivanju obaveza uodnosu na kalendarski broj dana u godini (365,366), primenomprostog interesnog rauna od 100, i dekurzivnog nainaobrauna, bez pripisa obraunate zatezne kamate glavnici istekomobraunskog perioda. Dakle, dan dospea duga se ne uzima u obzir, ve se zatezna kamata

obraunava za broj dana poev od prvog dana kanjenja, zakljuno sadanom povraaja duga, iako to u samoj regulativi nije sasvim jasnoiskazano.

OBRAUN ZATEZNE KAMATE

Prema ranijem Zakonu o visini stope zatezne kamate(Slubeni list SRJ, br. 9/2001), propisana stopa zateznekamate obuhvatala je mesenu stopu rasta cena na malo ifiksnu stopu od 0,5% meseno, a zatezna kamata je utvrivanaprimenom konformnog metoda.

Prema Odluci Ustavnog suda RS (Slubeni glasnik RS br.73/2012), koja je stupila na snagu 27.07.2012. godine,73/2012), koja je stupila na snagu 27.07.2012. godine,konformni metod obrauna zatezne kamate nije u skladu saUstavom RS, i zamenjen je proporcionalnim metodom. Poslovne banke su u prethodnom periodu za obraunavanje zatezne

kamate na svoje obaveze prema NBS primenjivale proporcionalni metod, a na svoja potraivanja prema dunicima konformni metod, ime su neopravdano bile stavljene u povlaeni poloaj prema ostalim ekonomskim subjektima.

Nova regulativa je usklaena sa odgovarajuom Direktivom EU(Directive 2000/35/EC)

Za obraunavanje zakonske zatezne kamate se primenjuje:

Konformni metod (do donoenja Zakona o visini zatezne kamatne stope, tj. do 03.03.2001. godine),

Proporcionalni metod (na bazi mesene stope rasta cena na malo) u skladu sa Odlukom Ustavnog suda RS poev od 03.03.2001. godine, do donoenja Zakona o zateznoj kamati 25.12.2012. godine)

OBRAUN ZATEZNE KAMATE

kamati 25.12.2012. godine)

Proporcionalni metod (na bazi referente kamatne stope uveane za 8 p.p.) od donoenja Zakona o zateznoj kamati, tj. od 25.12.2012. godine.

K = stopa zatezne kamate;Kp = stopa rasta potroakih cena u RS (Indeks potroakih cena 100)

0,5 = fiksna stopa.

OBRAUN ZATEZNE KAMATE PREMA ODLUCI USTAVNOG SUDA

Primer 1.

Izraunati iznos zatezne kamate na dugovanje od 10.000 dinara za period docnje od 10 dana tokom novembra 2011. godine.

mesena stopa rasta cena na malo (novembar 2011): 0,9%

mesena stopa zatezne kamate: 100((1+0,9/100)(1+0,5/100)-1)=1,4045%mesena stopa zatezne kamate: 100((1+0,9/100)(1+0,5/100)-1)=1,4045%

dnevna stopa zatezne kamate u nov. 2011.:1,4045%/30=0,0468167%

stopa zatezne kamate za 10 dana docnje: 10*0,0468167%=0,468167%

Iznos zatezne kamate: 0,468167% 10000=46,8167 dinara

POREENJE KONFORMNOG I PROPORCIONALNOG METODA OBRAUNA ZATEZNE KAMATE

Primer 2.

Umesto 31.01.2010. godine, dunik je izmirio svoj dug od 100.000 dinara31.05.2010 godine. Uzraunati zateznu kamatu za dati period docnje primenomkonformnog i proporcionalnog metoda.

KONFORMNI METOD

PERIOD BROJ DANA MES. STOPA (%) OSNOVICA KAMATA ZA PERIOD

31.01.-28.02. 28 1,2035% 100000 1203,50

28.02.-31.03. 31 2,108% 101203,5 2133,36

31.03.-30.04. 30 1,6055% 103336,86 1659,073

30.04.-31.05. 31 1,505% 104995,9 1580,188

UKUPAN DUG: 106576,13

PROPORCIONALNI METOD

PERIOD BROJ DANA MES. STOPA (%) OSNOVICA KAMATA ZA PERIOD

31.01.-28.02. 28 1,2035% 100000 1203,5

28.02.-31.03. 31 2,108% 100000 2108

31.03.-30.04. 30 1,6055% 100000 1605,5

30.04.-31.05. 31 1,505% 100000 1505

UKUPAN DUG: 106422

OBRAUN ZATEZNE KAMATE PREMA NOVOM ZAKONU

Prema Zakonu o zateznoj kamati, zatezna kamata se obraunava prema sledeem obrascu:

k=G*p*d/(100*Gd)

gde su:

k iznos zatezne kamate,

G iznos duga,G iznos duga,

p propisana godinja stopa zatezne kamate,

d kalendarski broj dana docnje u obraunskom periodu,

Gd kalendarski broj dana u godini (365,366)

U skladu sa prethodno uvedenom notacijom, zatezna kamata Iz moe biti izraunata primenom obrasca: Iz=K*i*t, gde je t=n/365, odnosno t=n/366.

OBRAUN ZATEZNE KAMATE PREMA NOVOM ZAKONU

Na iznos duga koji glasi u dinarima, stopa zatezne kamate se prema Novom zakonu utvruje na godinjem nivou kao:

REFERENTA KAMATNA STOPA NBS + 8 procentnih poena

Za iznos duga koji glasi u evrima, za stopu zatezne kamate uzima se referentna kamatna stopa Evropske centralne banke na glavne operacije za refinansiranje, uveana za 8 procentnih poena.operacije za refinansiranje, uveana za 8 procentnih poena. Za iznos duga koji glasi na drugu stranu valutu, uzima se

referentna/osnovna kamatna stopa koju pri sprovoenju glavnih operacijapropisuje i/ili koristi centralna banka zemlje domicilne valute, uveana za 8procentnih poena.

Podaci o referentnim i zateznim kamatnim stopama se objavljujuna Internet prezentaciji Narodne banke Srbije.

STOPE ZATEZNE KAMATE

REFERENTNA KAMATNA STOPA

UVEANJE REFERENTNE

KAMATNE STOPE

STOPA ZATEZNE KAMATE

PERIOD VAENJA

ZA IZNOSE U DINARIMA

4,50% 8,00 procentnih poena 12,50% 15.10.2016.-11.02.2016.

4,25% 8,00 procentnih poena 12,25% 12.02.2016.-07.07.2016.

4,00% 8,00 procentnih poena 12,00% poev od 08.07.2016.

ZA IZNOSE U EVRIMA

0,00% 8,00 procentnih poena 8,00% poev od 16.03.2016.

Izvor: Narodna banka Srbije (www.nbs.rs)

OBRAUN ZATEZNE KAMATE PREMA NOVOM ZAKONU

Primer 2.

Dunik nije platio svoj dug od 20.000 dinara o roku dospea, tj.04.09.2016. godine, ve 16.09.2016. godine. Izraunati zateznukamatu i ukupan iznos koji je dunik platio.

K=20000, d(04.09.-16.09.)=12, p=12,00%

Iz=20000*12*12,00/(365*100)=47,34 dinara

K+Iz=20000+47,34=20047,34 dinara

Primer 3.

Dunik nije platio svoj dug u iznosu od 5.000 evra 28.05.2016. ve 28.06.2016. godine. Izraunati zateznu kamatu.

K=5000, d(28.05.2016.-28.06.2016.)=31, p=8,00%

Iz=5000*8,00*31/(365*100)=33,97 evra

OBRAUN ZATEZNE KAMATE PREMA NOVOM ZAKONU

Primer 4.

Preduzee nije izmirilo dug u iznosu od 150.000 dinara 10.01.2013.ve 20.02.2013. godine. Izraunati zateznu kamatu i ukupan plaeniiznos.

K=150000, d1(10.01.-17.01.)=7, p=19,25%

d2 (17.01.-05.02)=19, p=19,5%

d3 (05.02.-20.02)=15, p=19,75%

Iz1=150000*7*19,25/(365*100)=553,767

Iz2=150000*19*19, 5/(365*100)=1522,60

Iz3=150000*15*19, 75/(365*100)=1217,47

K+Iz1+Iz2+Iz3= 153293,84

OBRAUN ZATEZNE KAMATE primena na primeru lombardnog zajma

Primer 5.

Dug na osnovu zaloenih 250 komada obveznica iznosi 40 000 dinara Va20.01.2013. godine. Kamatna stopa na odobreni zajam je 18%. Dunik nijeplatio dug 20.01.2013. godine, ve 20.02.2013. godine, kada je dao na imeotplate 20000 dinara, i odvojeno platio zatezni interes i redovni interes naostatak duga za naredna tri meseca. Koliko je dunik platio na danregulisanja dela duga?

.20.02.2013 Obracun

( )

( )

3248,49 :Ukupno

581,9218/365005920000 %18/59/.04.20.02.20I

324,65019,75/36501540000 %75,19/15/.02.20.02.05I

341,9219,5/365001640000 %)50,19/16/.02.05.01.20(I

20000 Otplata

:placaduznik

.20.04.2013 Va 20000 dugaostatak

20000 otplata-

.20.01.2013 Va 40000 dug

.20.02.2013

r

z2

z1

=

=

=

=

Obracun

Ukoliko je iznos od K novanih jedinica uloen za vremenski period t uzprost interes po stopi prinosa i, njegova krajnja vrednost e iznositi:

Kt = K (1 + it)

Izraz 1 + it predstavlja faktor akumulacije ili faktor rasta kod prostog interesnog rauna.

Ako imamo Kt (uveanu vrednost kapitala za prost interes), i data nam jediskontna stopa d, poetnu vrednost kapitala utvrujemo na sledeidiskontna stopa d, poetnu vrednost kapitala utvrujemo na sledeinain:

K = Kt (1 dt)

Izraz 1 dt predstavlja diskontni faktor kod prostog interesnog rauna.

Primer:

Banka daje kredit od 5000 evra na 3 godine sa diskontnom

stopom 5% godinje. Odrediti koji e iznos dobiti klijent umomentu dobijanja kredita.

P=5000(1-0,053)=5000 0,85=4250 evraP=5000(1-0,053)=5000 0,85=4250 evra

Primer:

Preduzee uzima kredit od banke u iznosu od 10.000evra na 3 meseca. Koliko treba da vrati za 3 mesecaako uzme kredit sa 8% diskonta?

10000=Kn(1-0,80,25)

Kn= 10204,08 evra

Primer:

Izraunajmo koliko treba da vrati firma banci izprethodnog primera ako uzme kredit sa kamatnomstopom 8%.

Kn=10.000(1+0,080,25)=10.200 evraKn=10.000(1+0,080,25)=10.200 evra

Primer:Firma treba da plati za mainu 1.000.000 za 5 godina i jo 500.000 za 10godina od danas. Firma eli da bre regulie obavezu, da uplati 600.000 za3 godine, a ostatak duga da plati za 7 godina od danas. Koji iznos treba dabude plaen za 7 godina, ako je kamatna stopa 8%.

064.992778.277285.7141008,01

000.500

508,01

000.000.121 =+=

++

+=+ PP

08,781.792

56,1871.483064.992

56,108,07171

871.48308,031

000.600

31

44

33

=

+=

=+

=+

=

=+

=+

=

x

x

xx

r

SP

r

SP

STOPA PRINOSA I DISKONTNA STOPA

Stopa prinosa it definie se kao prirast kapitala kroz poetnu vrednost kapitala:

K

KKit t

=

Diskontna stopa dt definie se kao prirast kapitala kroz krajnju vrednost kapitala:

t

t

K

KKdt

=

Stopa prinosa i diskontna stopa su medjusobno ekvivaletne akoprimena obe stope daje istu sadanju vrednost iznosa raspoloivogu budunosti:

IZRAAVANJE DISKONTNE STOPE IZRAAVANJE STOPE PRINOSA

PREKO STOPE PRINOSA: PREKO DISKONTNE STOPE:

( )dtKK t = 1 ( )dtK

Kt

t = 1( )

it

id

it

it

itdt

dtit

dtKit

Kt

t

+=

+=

+=

=+

=+

1

11

11

11

1

11

( )

dt

di

dt

dt

dtit

dtit

dtKit

t

=

=

=

=+

=+

1

11

1

1

11

1

11

Primer 1. Na koji iznos e se uveati kapital od 800 evra uz kamatnu stopu

9% za etiri meseca?

Primer 2. Neki kapital je bio uloen 9 meseci, uz stopu prinosa 10% i

narastao na iznos od 5000 evra. Odrediti taj kapital?

( ) 82412

409,018001 =

+=+= tiKKt

5000K

Primer 3. Godinja diskontna stopa je d = 5,66%. Odrediti stopu prinosa?

( )16,4651

12

91,01

5000

1=

+

=+

=ti

KK t

%605999,010566,01

0566,0

1=

=

=

dt

di

TABLICE ZA STOPU PRINOSA I ZA DISKONTNU STOPU

STOPA/RAUNANJE direktno obrnuto

Stopa prinosa i

akumulacija diskontovanje

Diskontna stopa d

diskontovanje akumulacija

( )itKKt += 1it

KK t

+=

1

( )dtKK t = 1dt

KKt

=

1

STOPA/FAKTOR diskontni faktor faktor akumulacije

Stopa prinosa i

Diskontna stopa d

it+1

1it+1

dt1dt1

1

Primer 4. Za stopu prinosa od 20% i diskontnu stopu od 20% odrediti diskontni faktor i faktor akumulacije za mesec, tromeseje, pola godine i godinu.

stopadiskontni

faktor

i 0,9836 0,9524 0,9091 0,8333

d 0,9833 0,95 0,9 0,8

it+1

1

dt1

12

1=t

4

1=t

2

1=t 1=t

stopafaktor

akumulacije

i 1,0166 1,05 1,1 1,2

d 1,0169 1,0526 1,1111 1,25

12

1=t

4

1=t

2

1=t 1=t

it+1

dt1

1

FINANSIJSKO-MATEMATIKI OBRAUNI NA TRITU NOVCAOBRAUNI NA TRITU NOVCA

OSNOVE PRIMENE FINANSIJSKE MATEMATIKE NA TRITU NOVCA

Polazite razmatranja primene finansijsko-matematikih metoda na tritu novca predstavljaobjanjenje stope prinosa i diskontne stope, kao injihovog meusobnog odnosa.njihovog meusobnog odnosa.

Stopa prinosa i diskontna stopa dovode u vezu dveiste veliine: poetnu i krajnju vrednost kapitala.Razlika meu njima ogleda se u bazi u odnosu nakoju se konkretna stopa primenjuje.

Stopa prinosa Stopa prinosa se definie kao prirast kapitala, tj.

interes, u odnosu na poetnu vrednost kapitala.Ukoliko je iznos od K novanih jedinica uloen zavremenski period t uz prost interes po interesnojstopi i, njegova krajnja vrednost e iznositi:

(1) itKK )1( +=

K

KKit t

=

(1) itKKt )1( +=

iz ega proizilazi sledei izraz za utvrivanje stope prinosa:

Diskontna stopa

Diskontna stopa se definie kao prirast kapitala,tj. diskont, u odnosu na krajnju vrednostkapitala. Poetna vrednost kapitala jednaka je:

(2) dtKK )1( = (2) dtKK t )1( =

t

t

K

KKdt

=

iz ega je diskontna stopa:

Odreivanjem poetne vrednosti kapitala na osnovujednakosti (1) i (2), dolazi se do izraza:

( )dtKit

Kt

t =+

11

dtit

=+

11

1

it+1

it

id

+=

1

odakle se sreivanjem dobija izraz za diskontnu stopu (d) i stopu prinosa (i):

dt

di

=

1

IZRAUNAVANJE CENA I PRINOSA KRATKORONIH HARTIJA OD VREDNOSTI

Cena koju je investitor spreman da plati za bilo kojifinansijski instrument predstavlja sadanjuvrednost oekivanog budueg neto novanog tokapo osnovu posedovanja datog instrumenta.

Vrednovanje finansijskih instrumenata tritanovca se, s obzirom na njihovu kratkoronuprirodu, najee vri pomou prostog interesnograuna.

Kratkorone hartije od vrednosti su dugovni finansijski instrumentikoji svojim emitentima pruaju mogunost brzog i jeftinog dolaskado potrebnih novanih sredstava.

Prema nainu formiranja cene i izraunavanja prinosa, kratkoronehartije od vrednosti mogu biti:

Diskontne

Kratkorone dravne obveznice,

Komercijalni zapisi,

Bankarski akcepti,

Kamatonosne

Depozitni certifikati,

Kratkorone obveznice dravnih agencija, itd.

Diskontne hartije od vrednosti

Diskontne hartije od vrednosti se prodaju po ceni koja je niaod njihove nominalne vrednosti za diskont, odnosno za visinuprinosa obeanog investitoru. Prinos se realizuje isplatominstrumenta po nominalnoj vrednosti na dan dospea.

Obraun prinosa D vri se primenom diskontne stope d na Obraun prinosa D vri se primenom diskontne stope d nanominalnu vrednost NV, uvaavajui broj dana n do rokadospea hartije:

360

ndNVD =

U optem sluaju, cena diskontne hartije od vrednosti koja sekupuje pre roka dospea predstavlja razliku nominalnevrednosti i diskonta:

=

3601

ndNVP

Uoljivo je da izmeu cene instrumenta sa diskontnom, sa jedne, idiskontne stope i perioda posedovanja instrumenta, sa druge strane,postoji obrnuta srazmera. Vea diskontna stopa, kao mera zahtevanog prinosa na ulaganje,podrazumeva manju cenu koju investitor plaa za dati instrument. Krai period posedovanja hartije podrazumeva manje odstupanje odnominalne vrednosti, i samim tim, veu cenu instrumenta.

Izraavanjem cene diskontnog instrumenta pomouekvivalentne stope prinosa, umesto diskontne stope,dolazi se do izraza:

1n

i

NVP

+

=

3601

ni+

Stopa prinosa do dospea (engl. yield to maturity)koju ostvaruje investitor u finansijski instrument sadiskontom utvruje se primenom sledeeg obrasca:

ni

360

cena kupovna

cena kupovna vrednostnominalna

=

gde je n broj dana do dospea hartije.

Kratkorone dravne obveznice

Drava emituje kratkorone obveznice radifinansiranja kratkoronog budetskog deficita ilirefinansiranja ranije izdatih obveznica.

Visoka likvidnost i efikasnost trita, kao i drava uulozi garanta, uslovljavaju nerizian tretman oveulozi garanta, uslovljavaju nerizian tretman ovevrste hartija.

Usled navedenih investicionih kvaliteta, stopaprinosa kratkoronih dravnih obveznica je najnia uodnosu na stope drugih kratkoronih hartija odvrednosti.

Investitori mogu zadrati kupljene obveznice do rokadospea, ili ih prodati po trinim cenama pre rokadospea, posredstvom brokera i dilera na tritu.

Razvijena trita novca karakterie dominantnouee kratkoronih dravnih obveznica u ukupnomobimu finansijskih instrumenata. Takav je sluaj i u Sjedinjenim Amerikim Dravama, gde je Takav je sluaj i u Sjedinjenim Amerikim Dravama, gde je

sekundarna trgovina kratkoronim obveznicama dravneblagajne veoma aktivna. Zapisi glase na nominalnuvrednost od 10.000 USD do 1.000.000 USD. Njihovi rokovidospea iznose 13, 26 ili 52 nedelje, tj. 91, 182 ili 364 dana.Od amerikog naziva ove vrste hartija Treasury bills,potie i globalno prihvaeni skraeni naziv T-bills.

Trezor Ministarstva finansija Republike Srbije emituje kratkorone obveznice(zapise) putem javnih aukcija, poev od 2003. godine. Aukcije se izvode vieputa u toku meseca, prema utvrenom kalendaru aukcija za datu budetskugodinu.

Zapisi mogu biti tromeseni, estomeseni ili dvanaestomeseni. Nominalna vrednost zapisa iznosi 10.000 RSD. Zapise mogu kupovati sva domaa pravna i fizika lica, preko ovlaenih

uesnika. Zapisi trezora se, po pravilu, emituju kao diskontne hartije odvrednosti, tj. po ceni koja je nia od nominalne vrednosti za iznos prinosa kojie biti realizovan o roku dospea hartije.

Usled kratkog roka dospea, obraun cene ove vrste obveznica se zasniva nadiskontovanju novanog toka primenom prostog interesa.diskontovanju novanog toka primenom prostog interesa.

Shodno lanu 3. Uredbe o optim uslovima za emisiju i prodaju kratkoronihdravnih hartija od vrednosti na primarnom tritu, diskontovana cena dravnihhartija utvruje se prema obrascu:

+

=

3601

danabroj stopadiskontna

vrednost nominalnacena naDiskontova

Primer 1.Na dan 08.11.2012. godine prodato je 400.000 dravnih zapisa RS, ukupnenominalne vrednosti 4.000.000.000 RSD. Zapisi dospevaju na naplatu 09.05.2013.godine. Zapisi su prodati po stopi prinosa od 12,9%. Ostvarena prodajna cena pokomadu iznosi:

Ukoliko bi stopa od 12,9% zaista bila diskontna stopa, ostvarena prodajna cena po

76,9387

360

182129,01

10000

3601

360

182129010000

=

+

=

+

=

===

ni

NVP

, t,, iNV

Ukoliko bi stopa od 12,9% zaista bila diskontna stopa, ostvarena prodajna cena pokomadu bila bi nia od izvrne:

Mogue je izraunati da je stvarna diskontna stopa u konkretnom sluaju iznosila:

83,9347360

182129,0110000

3601 =

=

=

ndNVP

%11,12182

360

10000

76,938710000

182

360=

=

=

NV

PNVd

Nasuprot domaoj praksi, kotacija kratkoronih dravnih obveznicakoje emituje Trezor SAD obino se vri po diskontnoj stopi.

Pri tome, specifino je da se korieni broj dana razlikuje uzavisnosti od toga da li se obraunava diskontna stopa ili stopaprinosa za investitora.

U prvom sluaju, primenjuje se 360, a u drugom 365 dana zakalkulaciju odgovarajue stope. Na taj nain, prinos diskontnehartije od vrednosti se dodatno umanjuje ako se meri na diskontnojhartije od vrednosti se dodatno umanjuje ako se meri na diskontnojbazi u odnosu na situaciju kada se meri na bazi ekvivalentnogprinosa obveznice.

Obraun cene i prinosa za investitora u sluaju ulaganja u amerike zapise Trezora moe biti prikazan na praktinom primeru.

Primer 2.Zapis nominalne vrednosti 100.000 USD i roka dospea 91 dan emitovan je na dan 03.09.2011. godine, uz diskontnu stopu od 0,150%. Cena datog zapisa iznosi:

Diskont, tj. razlika izmeu nominalne i prodajne cene zapisa od 37,917 USD predstavlja prinos za investitora, pod pretpostavkom dranja instrumenta do dospea. U relativnom smislu, odgovarajui pokazatelj prinosa za investitora je stopa prinosa do dospea:

Pretpostavimo da investitor odluuje da proda kupljeni zapis na dan 01.10.2011. godine, kada je diskontna stopa na zapise iste ronosti iznosila 0,115%. Ostvarena prodajna cena

083,99962360

910015,01100000

3601 =

=

=

ndNVP

%150,091

360

083,99962

083,99962100000360=

=

=

nP

PNVi

kada je diskontna stopa na zapise iste ronosti iznosila 0,115%. Ostvarena prodajna cena zapisa e iznositi:

Ostvarena stopa prinosa u periodu posedovanja instrumenta moe se izraunati kao:

Investitoru je u konkretnom sluaju pogodovao pad diskontne stope u odnosu na dan emitovanja instrumenta. Da je diskontna stopa bila nepromenjena, ostvarena prodajna cena, a samim tim i stopa prinosa, bi bile nie.

875,99979360

6300115,01100000 =

=P

%229,028

360

083,99962

083,99962875,99979360=

=

=

nP

PPi

Komercijalni zapisi

Komercijalni zapisi ili papiri (Commercial papers) su kratkorone dugovnehartije koje izdaju nefinansijske institucije, prvenstveno velika preduzeavisokog boniteta. Cilj emisije je prikupljanje gotovine ili finansiranje obrtnogkapitala.

Sa aspekta njihovih emitenata, ove hartije predstavljaju relativno jeftinuzamenu za kratkorone kredite banaka. Istovremeno, trokovi emisijekomercijalnih zapisa su nii u odnosu na druge naine pribavljanja sredstavana finansijskom tritu (tj. emisiju akcija i dugoronih obveznica).na finansijskom tritu (tj. emisiju akcija i dugoronih obveznica).

Mogunost prilagoavanja veliine, ronosti i dinamike emisije konkretnimpotrebama preduzea poveava fleksibilnost finansiranja. Poto nisugarantovani zalogom, komercijalni zapisi omoguuju oslobaanje imovine odhipoteke. Emisijom ove vrste hartija preduzea izgrauju sopstveni trinirejting i obezbeuju efikasniji pristup tritu dugoronog duga.

Investitori u komercijalne zapise ostvaruju prinos u obliku diskonta,odnosno razlike izmeu nie kupovne cene i vie nominalne vrednosti pokojoj se vri otkup zapisa o dospeu. Relativno vei kreditni rizik zainvestitore nadoknauje se veim prinosom u odnosu na kratkoronedravne obveznice. Prinos na komercijalne zapise je priblino na nivouprinosa na certifikate o depozitu.

Kreditni rejting emitenta ima ulogu garanta za investitore u komercijalnezapise.

Izmeu kreditnog rejtinga zapisa i njegove stope prinosa postoji obrnuta Izmeu kreditnog rejtinga zapisa i njegove stope prinosa postoji obrnutasrazmera.

Kreditni rizik moe biti dodatno smanjen garancijom banke. Naime,mogue je da emitentu zapisa bude automatski odobren bankarski kreditu sluaju njegove nesposobnosti da izmiri dospele obaveze po osnovuemitovanog komercijalnog zapisa. U tom sluaju, cena finasiranja zaemitenta e biti uveana premijom koja mora biti plaena banci na imepreuzetog kreditnog rizika. Istovremeno, cena finansiranja emitenta e bitiumanjena usled smanjenja zahtevane stope prinosa za investitora.

Kupci komercijalnih zapisa su obino banke, osiguravajuekompanije, penzijski fondovi, investicioni fondovi i preduzea.Emisija se najee ostvaruje posredstvom brokersko-dilerskihkua, a ree putem direktnih plasmana.

Rokovi dospea komercijalnih zapisa u SAD iznose od 7 do 270dana. S obzirom na vrlo kratke rokove dospea u praksi,sekundarna trgovina zapisima nije znaajnije razvijena.

Komercijalni zapisi se vrlo esto emituju sa rokovima koji suprethodno ugovoreni sa investitorima, kako bi ih oni drali dodospea.

Primer 3.

Na dan 27.09.2014. god. slovenaka kompanija Petrolemitovala je komercijalne zapise pojedinane nominalnevrednosti 1.000 EUR, pri stopi prinosa od 3,8% i sa rokomdospea 27.03.2015. godine. Odrediti trinu cenu zapisa.

,360

181181,038,0,1000 ===== ?P t n i NV

252,981

360

181038,01

1000

3601

360

=

+

=

+

=n

i

NVP

Blagajniki zapisi

Blagajniki zapisi predstavljaju kratkorone dunike hartije odvrednosti koje emituju poslovne banke radi prevazilaenjatrenutnih problema nedovoljne likvidnosti. Kupci zapisa mogu bitipreduzea, druga pravna i fizika lica. Pored poslovnih,blagajnike zapise moe emitovati i centralna banka, u ciljuapsorpcije vikova likvidnosti iz monetarnog sistema. U tomsluaju, zapise mogu kupovati iskljuivo banke.sluaju, zapise mogu kupovati iskljuivo banke.

Po svojoj prirodi, blagajniki zapisi su analogni zapisima trezora,odnosno komercijalnim zapisima, uz razliku u pogledu subjektakoji se nalazi u ulozi emitenta. Relativno nizak rizik ulaganja ublagajnike zapise praen je relativno niskim prinosom zainvestitore.

Nakon perioda veoma aktivnog prometa na Beogradskoj berzi,od jula 2002. godine prestala je trgovina blagajnikim zapisimaposlovnih banaka u Srbiji. Kada su u pitanju blagajniki zapisiNarodne banke Srbije, njihovo emitovanje je ponovo zapoelood 21. septembra 2005. godine, nakon vie od etiri godineizostanka sa trita. Zapisi NBS se izdaju sa nultom kamatnom stopom i rokom dospea od

360 dana, u funkciji obavljanja REPO transakcija NBS.

Pored toga, u periodu od novembra 2006. godine do februara Pored toga, u periodu od novembra 2006. godine do februara2009. godine, NBS je emitovala blagajnike zapise sa rokomdospea od 6 meseci, koje je koristila za obavljanje trajnihtransakcija HOV. Prodaja blagajnikih zapisa NBS ostvaruje se na primarnom tritu van

organizovanog trita hartija od vrednosti u vidu redovnih aukcija.Zapisi se emituju kao diskontne hartije od vrednosti, pri emu seprodajna cena utvruje prema unapred predvienom obrascu,uzimajui u obzir stopu prinosa.

Primer 4.Na dan 22.09.2008. godine NBS je organizovala aukcijublagajnikih zapisa pojedinane nominalne vrednosti 100.000RSD, sa rokom dospea 23.03.2009. godine. Prosenaponderisana kamatna stopa na aukciji je iznosila 14,95%.Pojedinana prodajna cena zapisa pri datoj stopi iznosi:

045,92973182

1495,01

100000

1

360

18214950,100000

=

+

=

+

=

====

ni

NVP

?P ,t , ,i NV

Sekundarna trgovina blagajnikim zapisima NBS izmeu banakase takoe ostvaruje vanberzanski. Zapisi mogu biti podneti nanaplatu NBS pre isteka njihovog roka dospea samo u izuzetnimokolnostima. U svim ostalim sluajevima, vlasniku zapisa se oroku dospea isplauje nominalna vrednost na koju zapisi glase.

360

1821495,01

3601 ++

ni

Bankarski akcepti

Bankarski akcept (Bankers acceptance-BA) je trasirana menicana banku i akceptirana od banke, kojom se neopozivonareuje isplata menine sume imaocu menice po naredbiizdavaoca menice na odreeni dan.

Akcepti su najstarije hartije od vrednosti na tritu novca.

Prilikom prodaje bankarskog akcepta, vri se eskontovanje Prilikom prodaje bankarskog akcepta, vri se eskontovanjeprimenom eskontne (diskontne) stope.

O roku dospea akcepta, banka donosiocu isplauje ukupnunominalnu vrednost instrumenta.

Rok dospea akcepta je od 30 do 270, a najee 90 dana.Najznaajniji investitori u bankarske akcepte kao komercijalnehartije od vrednosti su investicioni fondovi trita novca,preduzea i lokalne zajednice. Sekundarno trite bankarskihakcepata organizovano je kao dilersko i obino je vrlo aktivno.

Primer 5.Investitor kupuje 21.06.2012. godine bankarski akceptnominalne vrednosti 100.000 USD, iji je rok dospea20.09.2012. godine. Diskontna stopa na akcept je 6,60%. Cenakoju investitor plaa u konkretnom sluaju je:koju investitor plaa u konkretnom sluaju je:

67,98331360

91066,01100000

3601 =

=

=

ndNVP

Kupovinom datog instrumenta i njegovim dranjem do rokadospea mogue je ostvariti prinos od 1.668,33 USD uapsolutnom iznosu.

Kamatonosne hartije od vrednosti

Hartije od vrednosti sa kamatonosnim prinosom se emituju poceni koja je jednaka njihovoj nominalnoj vrednosti i imajuodreeni rok dospea. Kupac ostvaruje kamatu I, koju emitentobeava da plati na nominalnu vrednost o roku dospea:

360

niNVI =

360

Dakle, cena o roku dospea kamatonosne hartije odvrednosti se izraunava kao zbir nominalne vrednosti ipripadajue kamate:

+=

3601

niNVP

Cena kamatonosne hartije u izabranom trenutku nakonnjenog emitovanja predstavlja sadanju vrednost iznosakoji e biti primljen po dospeu, diskontovanogprimenom aktuelne kamatne stope na tritu novca:

3601

3601

mm

cc

ni

ni

NVP

+

+

=

360m

gde su:P - trina cena hartije u odreenom trenutku izmeu dana emitovanja i roka dospea,ic - kamatna stopa pri izdavanju instrumenta,im - kamatna stopa na tritu na dan izraunavanja cene,nc - broj dana od dana emitovanja do roka dospea hartije,nm - preostali broj dana od dana kada se izraunava cena do roka dospea.

Ukoliko je hartija prethodno kupljena na danemitovanja, i zatim prodata pre roka dospea poceni P, investitor bi ostvario prinos u iznosu:

nNV

P

nNV

NVPi

3601

360

=

=

gde je n broj dana posedovanja hartije.

Mogue je da investitor kupi kamatonosnu hartiju nakondana emitovanja, i zatim je proda pre dana dospea.Ostvareni prinos u periodu posedovanja hartije moe bitiutvren prema obrascu:

nn

ni

i

mm 360

13601

+

=nn

i

is

s

1

3601

+

=

gde su:i-ostvareni prinos u periodu posedovanja hartije,im-kamatna stopa pri kupovini instrumenta,is-kamatna stopa pri prodaji instrumenta,nm-broj dana od kupovine do roka dospea,ns-broj dana od prodaje do roka dospea,n-broj dana posedovanja instrumenta

Depozitni certifikati

Depozitni certifikat (Certificate of deposit-CD) je potvrda kojaglasi na odreenu sumu novca deponovanog u banci, naodreeni rok i uz odreenu kamatnu stopu.

Zbog svoje likvidnosti i injenice da su depoziti kod poslovnihbanaka osigurani, depozitni certifikati se smatraju sigurnimfinansijskim instrumentom.finansijskim instrumentom. Ipak, postoje i certifikati o depozitu koji nisu osigurani. U pitanju su tzv.

dambo (jumbo) CDs, koji se izdaju sa nominalnom vrednou veomod 100.000 USD.

Za banke kao njihove emitente, depozitni certifikatipredstavljaju alternativu pribavljanju sredstava putemklasinog depozita, i instrument za upravljanje rizikomkamatne stope.

Primer 5.

a) Banka je izdala depozitni certifikat 28.08.2011. godine sarokom dospea 25.05.2012. godine, na nominalni iznos od80.000 EUR i sa kuponskom kamatnom stopom 4,27% nadan izdavanja. Donosilac ovog instrumenta bi na dandospea dobio iznos od:

82562270

0427,01800001 =

+=

+=n

iNVP 82562360

2700427,0180000

3601 =

+=

+=

niNVP

b) Na dan 20.10.2008. godine kamatna stopa natritu novca je iznosila 4,19%. Cenu ovogdepozitnog certifikata na sekundarnom tritu

mogue je izraunati na sledei nain:

2700427,011 ++ cc

ni

149,80528

360

2170419,01

3600427,01

80000

3601

3601

=

+

+

=

+

+

=m

m

cc

ni

i

NVP

Prinos za investitora u sluaju prodaje instrumenta pre rokadospea bi bio jednak razlici nominalne vrednosti i kupovnecene instrumenta, tj. iznosio bi 528,149 EUR. Odgovarajuastopa prinosa, uvaavajui vremenski period posedovanjainstrumenta, bila bi jednaka:

%48,4360

1149,80528360

1 =

=

=P

i %48,453

18000053

1 =

=

=

NVi

Na dan 19.11.2011. godine kamatna stopa na tritu novca jesmanjena na 4%. Mogue je da investitor koji je kupio depozitnicertifikat 20.10.2011. godine na sekundarnom tritu, odlui daproda instrument na dan 19.11.2011. godine. Ostvarena stopaprinosa za 30 dana posedovanja instrumenta iznosila bi:

2170419,01

+

%26,530

3601

360

187040,01

3600419,01

=

+

+

=i

Znanja o primeni razmotrenih modela su od interesa kako zainvestitore, tako i za emitente kratkoronih finansijskihinstrumenata.

U cilju donoenja adekvatnih investicionih odluka, subjekti nastrani ponude kratkoronih finansijskih sredstava vreporeenje prinosa po osnovu razliitih alternativa ulaganja.Istovremeno, subjekti na strani tranje za kratkoronimfinansijskim sredstvima vre poreenje trokova razliitihalternativa za finansiranje trenutnih potreba, radi toracionalnijeg poslovanja.

Kvalitetno obavljanje ovakvih aktivnosti zasniva se na Kvalitetno obavljanje ovakvih aktivnosti zasniva se nametodolokim osnovama trita novca koje prua finansijskamatematika.

Konano, upravo analizirani modeli se, pored uspostavljanjaneophodnih makroekonomskih i institucionalnih uslova,javljaju kao veoma vaan faktor razvoja trita novca u celini.

SLOENI INTERES

Osnovni elementi finansijskih modela su vreme i novac.

Vremenska vredost novca je osnova finansijskematematike: Ista suma novca u razliiti vremenskimtrenucima ima razliitu vrednost.

Jedan dinar danas vredi vie nego isti dinar nakon n godina, Jedan dinar danas vredi vie nego isti dinar nakon n godina,usled mogunosti njegovog ulaganja i ostvarenja prinosa(kamate, interesa) u meuvremenu.

prolost

0-1-2 1 2

sadanjost budunost

Poetak obrauna

Princip ekvivalencije

godina godina

vreme

Shodno principu ekvivalencije, novani iznosi kojise odnose na razliite vremenske trenutke sumeusobno uporedivi (ekvivalentni) tek kada sesvi svedu na jedan isti vremenski trenutak.

01 0 0

K p pK K K 1

100 100

= + = +

2

011

12100

p1K

100

p1K

100

pKKK

+=

+=+=

3

022

23100

p1K

100

p1K

100

pKKK

+=

+=+=

n

n n-1 0

p pK K 1 K 1

= + = +

Na kraju 1. godine

Na kraju 2. godine

Na kraju tree godine

.

.

.

Na kraju n-te godinen n-1 0K K 1 K 1

100 100= + = +

Na kraju n-te godine

0

5

10

15

20

25

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64

pr 1

100= +

FAKTOR AKUMULACIJEFAKTOR AKUMULACIJE

Na koju sumu e nakon n godina narasti kapital od K0dinara, koji je uloen uz p%(pa)d interesa i godinjekapitalisanje?

n

n n

n 0 0 0 p

mn

nm mn

mn 0 0 0 p / m

pK K r K 1 K I

100

p/mK K r K 1 K I

100

= = + =

= = + =

Primer 1.

tedia uloi 100 evra u banku koja plaa 6% godinje.

Koji e iznos kamata tedia ostvariti nakon 4-te godine?

100*1,06=106

106*1,06=112,36 ili 100*1,062=112,36106*1,06=112,36 ili 100*1,062=112,36

100*1,063=100*1,19101=119,10

100*1,064=100*1,2624=126,24

Primer 2.

Kolika je uveana vrednost 300 evra uloenih uz 5%godinje:

a) nakon 6 godina

b) nakon 12 godina?

a) 300*(1+0,05)6=402,03 evra

b) 300*(1+0,05)12 =538,75 evra

Primer 3.

Ukoliko danas uloimo 1000 dinara u banku koja rauna

interes po stopi 5% (pa)d, koliko emo imati na raunu na

kraju pete godine, ako je kapitalisanje:

a) godinje,

b) tromeseno?

Primer 4. Dunik treba da uplati 15.400 posle 4 godine i 17.350 posle 6godina.Umesto ovih uplata on bi hteo da uplati 1 iznos posle 7 godinauz 5% (pa)d interesa.Izraunati ovaj iznos.

15.400 17.350 X

54,36044

05,1173501576,115400

1735015400 15

3

5

=

+=

+=

n

n

n

K

K

K

0 1 2 3 4 5 6 7

VRSTE KAMATNIH STOPA

NOMINALNA KAMATNA STOPA je neto stopa (bez ukljuenih trokova) na godinjem nivou.

RELATIVNA STOPA odgovara kraem vremenskom periodu od jedne godine i dobija se deljenjem nominalne stope sa brojem obraunskih perioda u toku godine.

EFEKTIVNA KAMATNA STOPA je bruto stopa(sa ukljuenim EFEKTIVNA KAMATNA STOPA je bruto stopa(sa ukljuenim propisanim bankarskim trokovima) na godinjem nivou.Sam obraun efektivne kamatne stope(bez trokova) se izvodi kada je prisutan vei broj obraunskih perioda u toku godine.

KONFORMNA KAMATNA STOPA predstavlja onu kamatnu stopu koja pri m puta godinjem kapitalisanju daje isti iznos interesa kao i nominalna kamatna stopa pri godinjem kapitalisanju.Ova stopa je uvek manja od relativne stope.

Zato efektivna kamatna stopa?

Realna - stvarna kamatna stopa koju plaazajmoprimac

Realno izraava ukupnu cenu kredita

(sve trokove u vezi kredita)(sve trokove u vezi kredita)

Iskljuuje obmanu klijenata

Ureenje trita bankarskih usluga

Spreavanje nelojalne konkurencije

OBRAUN NOMINALNE, RELATIVNE,

KONFORMNE I EEKTIVNE KAMATNE STOPE

Relativna kamatna stopa kada je kapitalisanje:

polugodinje:

kvartalno:

meseno:

2

pRs =

4

pqRs =

12

pmRs =

p p

Primer :

Godinjoj stopi od 20% za 85 dana u obinoj godini odredite relativnustopu.

657,4365

8502R s ==

dnevno:

gde je p nominalna kamatna stopa.

360

pdRs =

365

pdRs =

Konformna kamatna stopa

( ) ( )mnkn

i1Ki1K +=+

( ) ( )n mn

k1 i 1 i+ = +

l + i = (l + ik)m

m

k i1i1 +=+

1i1i mk +=

ik = pk /100

1i1100

p mk +=

( )mkp 100 1 i 1= +

( )4kp 100 1 i 1= + ( )( )q4kp 100 1 i 1= +

( )12kp 100 1 i 1= + ( )( )m12kp 100 1 i 1= + ( ) ( )

( )365kp 100 1 i 1= + ( )( )d365kp 100 1 i 1= +

Primer 1.

Odrediti polugodinju komformnu kamatnu stopu akonominalna godinja kamatna stopa iznosi 6%.

k

6p 100 1 1 2,9563%

100

= + =

4k

54p 100 1 1 11,3987%

100

= + =

Primer 2.

Odrediti kvartalnu komformnu kamatnu stopu ako je

godinja stopa 54%.

Primer 3.

Nai komformnu kamatnu stopu za 32 dana akogodinja kamatna stopa iznosi 86%.

3286 = + =365k86

p 100 1 1 5,591396%100

= + =

EFEKTIVNA KAMATNA STOPA

( )m

*

m

*

m

*

iK 1 i K 1

m

i1 i 1

m

ii 1 1

+ = +

+ = +

= + i 1 1

m= +

Ako je kapitalisanje polugodinje: Ako je kapitalisanje kvartalno:

Ako je kapitalisanje meseno: Ako je kapitalisanje dnevno:

12

1

2

*

+=

ii 1

41

4

*

+=

ii

112

1

12

*

+=

ii 1

3651

365

*

+=

ii

Kod kontinuelnog ukamaenja efektivna kamatna stopa je:

* ii e 1=

Primer:

Ako je nominalna kamatna stopa i=7,2%, kolika je efektivna

stopa pri kontinuelnom ukamaenju?

* i 0,072i e 1 e 1 7, 47%= = =

Primer:

Nominalna kamatna stopa je 8% na depozit koji je uloen nagodinu dana, sa kvartalnim obraunavanjem kamate.

Kolika je efektivna stopa?

m

* ii 1 1m

= +

%24,8102,114

08,01 4

4

* ==

+=i

Primer:

Nominalnoj stopi sa mesenim obraunom interesa odgovaraefektivna godinja stopa od 7,5%. Kolika je nominalna kamatnastopa?

m

* ii 1 1m

= +

( )

12

12

12

i0,075 1 1

12

i1,075 1

12

i 12 1,075 1

i 7,254%

= +

= +

=

=

DISKONTNI FAKTORDiskontni faktor pokazuje kolika je sadanja (poetna) vrednostkapitala koji je bio uloen n godina uz p%(pa)d i godinjekapitalisanje, ako je njegova uveana vrednost na kraju n-tegodine iznos od jedne novane jedinice.Diskontovati neki iznos kapitala Kn znai umanjiti ga za interes zakoji je taj kapital uvean tokom n godina i svesti ga na njegovusadanju (poetnu) vrednost.

nrKK = n0n rKK =

n

p%

n

n

n

n

n0

I

K

100

p1

K

r

KK =

+

==

( )-nn0 i1KK +=

n

p%n

-n

n0 IIKrKK ==

Primer:

Koji e kapital za 7 godina uz 4% (pa)d interesa daporaste na 50000 dinara kapitalisanje godinje?

K0 50000

0 7

75,37893

757875,050000

50000

0

0

14

20

=

=

=

K

K

IIK

FAKTOR DODAJNIH ULOGA (III tablice)

u u u u u u Sn

0 1 2 3 4 n-1 n

a) Anticipativni ulozi

Poetkom svake godine u toku n godina ulae se po u dinaragodinje uz p%(pa)d interesa na interes pri godinjemkapitalisanju. Odrediti krajnju vrednost zbira uloga.

u rn

u rn-1

u rn-2

u r

Sn = u rn+ u rn-1+ u rn-2+...+ u r2+ u r

1r

1rru S

n

n

=

b) Dekurzivni ulozi

Krajem svake godine u toku n godina ulae se po u dinara

godinje uz p%(pa)d interesa na interes pri godinjemkapitalisanju. Odrediti krajnju vrednost zbira uloga.

Sn

u u u u u u

0 1 2 3 4 n-1 n

u r n-1

+=

1r

1rr1u S

1n'

n

u r n-1

u r n-2

...

u.

S'n = u rn-1+ u rn-2+ u rn-3+...+ u r2+ u r+ u

S'n = u (l + r + r2 +...+ rn-2 + r n-1)

n'

n

r 1S u

r 1

=

( )1-np'n III1u S +=

Primer:

a) Ukoliko u banku koja plaa interes po stopi od 6% (pa)d,kapitalie jedanput godinje ulaemo 10 puta uzastopnopoetkom godine po 1000 dinara, koliko e iznositi suma ovihuloga na kraju 10-te godine?

b) Koliko iznosi suma ovih uloga ukoliko se uplauju krajem svake godine?

643,13971

971643,131000

1000

10

10

10

610

=

=

=

S

S

S ( )( )

795,13180

180795,1121000

11000

'

10

'

10

110

6

'

10

=

=

+=

S

S

S

a) b)

ULAGANJE EE OD OBRAUNAVANJA INTERESA

1r

1rru S

k

n m

kkn m

=

p1r kk +=

n m

p m kIIIu S =n

1001rk +=

gde je:

- broj uloga u obraunskom periodu;

n- broj godina;

m- broj kapitalisanja godinje.

k

p/mp 100 1 1

100

= +

Primer:Ulagano je u banku poetkom svakog tromeseja po 1000 dinara.Koliki je zbir ovih uloga krajem dvadesete godine, ako je interesraunat po stopi 16% uz godinje kapitalisanje?

+= 1

100

161100 4

kp

78,3=k

p 10378,1

10378,10378.11000

80

80

=

=S

1001 k

k

pr +=

100

78,31+=

kr

0378,1=k

r

86,50675880

=S

a) ULOZI IZRAAVAJU ARITMETIKU PROGRESIJU

Ulae se poetkom svake godine u toku n godina tako da prvi ulog iznosi

u dinara, a svaki naredni je vei od prethodnog za d dinara. Interesna stopa je p%(pa)d i kapitalisanje je godinje.

Odrediti krajnju vrednost zbira uloga.

PROMENLJIVI ULOZI

u u+d u+2d u+3d u+(n-1)d

krajnja vrednost prvog uloga:

krajnja vrednost drugog uloga:

krajnja vrednost treeg uloga:

...

krajnja vrednost n-tog uloga:

0 1 2 3 n-1 n

u u+d u+2d u+3d u+(n-1)d

Krajnja vrednost zbira uloga bie:

Sreivanjem dobijamo:

odnosno:odnosno:

gde je:

Ako izraz

pomnoimo sa r, dobiemo:

i od jednakosti (2) oduzmemo jednakost (1):

(1)

(2)

odnosno:

Dakle, krajnja vrednost zbira anticipativnih uloga koji obrazuju aritmetiku progresiju bie:

, ako ulozi rastu

, ako ulozi opadaju

Krajnja vrednost zbira dekurzivnih uloga koji obrazuju aritmetiku progresiju bie:

, ako ulozi rastu

, ako ulozi opadaju

Primer:

Neka osoba uplauje tokom 10 godina uloge poetkom svake godine.

Prvi ulog iznosi 22.000 dinara i iznos uloga se iz godine u godinu uveava za 300 dinara.

Ukoliko je kamatna stopa 4,5% (pa)d, i kapitalisanje je godinje, sa kojim iznosom sredstava e raspolagati ta osoba posle 10 godina (od danas)?

b) ULOZI IZRAAVAJU GEOMETRIJSKU PROGRESIJU

Ulae se poetkom svake godine u toku n godina tako da prvi ulog iznosi

u dinara, a svaki naredni je vei od prethodnog za p1%.

Interesna stopa je p%(pa)d i kapitalisanje je godinje.

Odrediti krajnju vrednost zbira uloga.

Neka je

u

krajnja vrednost prvog uloga:

krajnja vrednost drugog uloga:

krajnja vrednost treeg uloga:

...

krajnja vrednost n-tog uloga:

0 1 2 3 n-1 n

u

Krajnja vrednost zbira uloga bie:

Ako levu i desnu stranu jednakosti (1) pomnoimo sa r/q, dobiemo:

(1)

(2)

Ako od jednakosti (2) oduzmemo jednakost (1), dobiemo:

odnosno:

Dakle, krajnja vrednost zbira anticipativnih uloga koji obrazuju geometrijsku progresiju bie:

Krajnja vrednost zbira dekurzivnih uloga koji obrazuju geometrijsku progresiju bie:

Primer:

tedia ulae tokom 6 godina poetkom svake godine tako da prvi ulog iznosi 10.000 dinara, a svaki naredni ulog je za 5% vei od prethodnog.

Odrediti stanje na raunu 4 godine nakon uplate poslednjeg uloga, ako je kamatna stopa 6%(pa)d i kapitalisanje je godinje.

FAKTOR AKTUALIZACIJEIV tablice

a) Dekurzivni ulozi

Krajem svake godine u toku n godina ulae se po a dinaragodinje uz p%(pa)d interesa na interes pri godinjemkapitalisanju. Odrediti sadanju vrednost zbira uloga.

C0 a1 a2 an

0 1 2 3 n

0 2 3 n

a a a aC ...

r r r r= + + + +

0 1 2 3 n

n

n

3

3

2

210

r

a...

r

a

r

a

r

aC ++++=

( )1rr1r

aCn

n

0

=

n

0 pC a IV=

b) Anticipativni ulozi

C0

a a a a

0 1 2 n-1 n

a a a

Poetkom svake godine u toku n godina ulae se po a dinaragodinje uz p%(pa)d interesa na interes pri godinjemkapitalisanju. Odrediti sadanju vrednost zbira uloga.

0 2 n-1

a a aC a ...

r r r= + + + +

++++=

1-n20 r

1...

r

1

r

11aC

( )

+=

1rr

1r1aC

1-n

1-n

0

( )n-10 pC a 1 IV= +

Primer:

Kolika je neto sadanja vrednost investicije od 25.000 evra uzdiskontnu stopu 5%, ako se od investicije oekuju jednakigodinji neto novani tokovi od 9000 u toku 4 godine?

Odrediti internu stopu prinosa.4

5NPV 25.000 9.000 IV

NPV 25.000 9.000 3,546 25.000 31.913,55

= +

= + = +

g

NPV 6913,55=

4

IRR

4

IRR

25.000 9.000 IV

IV 2,778

IRR 16,51%

=

=

=

g

SADANJA VREDNOST ODLOENIH DEKURZIVNIH ULOGA

C 0-d a a a a

Ako se posle d godina u toku narednih n godina ulae po anovanih jedinica dekurzivno uz interesnu stopu p%(pa)d igodinje kapitalisanje, onda e sadanja vrednost tih uloga bitiizraunata na sledei nain:

0 d d+1 d+2 d+3 d+n

nd3d2d1d

d-

r

a...

r

a

r

a

r

aC

0 ++++++++=

( )1rr1r

r aCn

nd-d-

0

=

0

-d n d

p pC a IV II=

SADANJA VREDNOST ODLOENIH ANTICIPATIVNIH ULOGA

C 0-d a a a a

Ako se posle d godina u toku narednih n godina ulae po anovanih jedinica anticipativno uz interesnu stopu p%(pa)d igodinje kapitalisanje, onda e sadanja vrednost tih uloga bitiizraunata na sledei nain:

1-nd2d1dd

d'-

r

a...

r

a

r

a

r

aC

0 +++++++=

0 d d+1 d+2 d+n-1 d+n

( )0

-d' n-1 d

p pC a 1 IV II= +

Primer:

Ulae se krajem svake godine posle 7-me godine 14 puta po4900 dinara. Odrediti sadanju vrednost ovih uloga umomentu t = 0, ako je interesna stopa 8% (pa)d, akapitalisanje je godinje.

10,23571

583490,0244236,84900

V4900

0

0

7

8

14

80

=

=

=

d

d

d

C

C

C

FAKTOR POVRAAJA (AMORTIZACIJA ZAJMA)

K a a a a

Zajam od K novanih jedinica amortizuje se jednakim godinjimanuitetima od a novanih jedinica krajem svake godine tokom ngodina, pri kamatnoj stopi p%(pa)d i godinjem kapitalisanju.Odrediti visinu zajma, odnosno anuiteta.

K a a a a

0 1 2 3 n

n32 r

a...

r

a

r

a

r

aK ++++=

( )

nn

pn

r 1K a a IV

r r 1

= =

( )1r

1rrK a

n

n

=

( ) npn

n

V1r

1rr=

na K V= npa K V=

mn

p/ma K V=

Zakon otplata Neka se zajam amortizuje n godina jednakim godinjim anuitetima

uz p%(pa)d i godinje kapitalisanje. Obeleimo anuitete sa a, aotplate od prvog do n-tog perioda sa b1,b2,...,bn.

Za dva bilo koja uzastopna perioda k i k+1, Rk-1 predstavlja ostatakduga na poetku k-tog perioda, a bk i bk+1 otplate k-tog i (k-1)-ogperioda.

Anuitet plaen na kraju k-tog perioda bie: a = Rk-1 i + bk Anuitet plaen na kraju k-tog perioda bie: a = Rk-1 i + bk

Anuitet plaen na kraju (k+1)-og perioda bie: a = (Rk-1 bk) i + bk+1

Poto su anuiteti jednaki, sledi da je:

Rk-1 i + bk = (Rk-1 bk) i + bk+1

Odavde je:

bk+1=bk(1+i)

Raunanje prve otplate

K = b1 + b2 + .... + bn

Poto je po zakonu otplate bk+1=bk(1+i), imaemo na kraju prve, druge i n-te godine sledee otplate:

b1b2=b1(1+i)b3=b2(1+i)=b1(1+i)(1+i)

( )n-11 PK = b 1+ III

K = b1 [ 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)n-1]

b3=b2(1+i)=b1(1+i)(1+i)

( ) ( ) 111 11

+=+=n

nn ibibb

Prethodna jednakost moe biti zapisana u obliku:

odnosno:

Raunanje prve otplate

( )( )

+

+++=

11

1111

1

1i

iibK

n

( )

+

+=ii

bK

n11

1

Odavde moemo izraunati otlatu b1:

( )

++=

i

iibK

1111

( )i

ibK

n11

1

+=

( ) 111

+=

ni

iKb

Raunanje ma koje otplate pomou anuiteta

Poto je prva otplata:

a zajam K je:

sledi da je:

( ) 111

+=

ni

iKb

( )( ) ii

iaK

n

n

+

+=

1

11

( )( ) ( ) 1111

111

+

+

+=

nn

n

i

i

i

iab

odnosno:

Poto svaku otplatu moemo izraziti preko prve, otplata na kraju k-tog perioda bie:

odnosno

( )niab

+=

1

11

( )( )

( ) 111 11

11

+

+=+=

k

n

k

k ii

aibb ( ) 11 ++= knk iab

Raunanje interesa plaenog u bilo kom periodu

Interes u k-tom periodu jednak je

Ik = a - bkodnosno:odnosno:

-n+k-1 -n+k-1

kI = a - a (l + i) = a [ l - (l + i) ]

Otplaeni deo duga sa prvih c- plaenih anuiteta

Oc = b1 + b2 + ... + bc

( )c

c

1 1 p

1 i 1Oc=b b (1 III )

i

+ = +

( )( ) 1I

1IK

1i1

1i1KO

n

c

p

n

c

c

=

+

+=

( ) ( ) 1111 1...1

+++++=c

c ibibbO

( ) 1IK

1i1KO

n

p

nc

=+

=

Ostatak duga posle prvih c- plaenih anuitetaRc = K - Oc

1I

I-IKR

n

p

c

p

n

p

c

=( )( ) 11

11

+

+==

n

c

cci

iKKOKR

Anuiteti jednaki i ei od kapitalisanja

mn

k

p / mp 100 1 1

100

r (r 1)

= +

=

mn

r (r 1)a K

r 1

=

Gde je

- broj anuiteta u toku kapitalisanja

m- broj kapitalisanja

n- broj godina amortizacije zajma

Primer:Zajam od 300.000 evra amortizuje se jednakim godinjim anuitetima u toku 6

godina i uz interes 4% (pa)d i godinje kapitalisanje.

Izraditi plan amortizacije.

1

%4

6

300000

=

=

=

=

m

p

n

K

19076190,0300000

64

=

=

a

VKa

57,57228

19076190,0300000

=

=

a

a

3000001

=K

12000100

4300000

100

1

1=

=

=

pKi

57,452281200057,5722811

=== iab

86,10190100

443,2547712

=

=i

71,4703786,1019057,5722822

=== iab

72,20773371,4703743,2547713

==K

35,8309100

472,2077333

=

=i

22,4891935,830957,57228 === iab

51,10793899,5087550,1588145

==K

54,4317100

451,1079385

=

=i

03,5291154,431757,572285

==b

48,5502703,5291151,1079386

==K

09,2201100

448,550276

=

=i

48,5502709,220157,572286

==b

43,25477157,452283000002

==K

22,4891935,830957,5722833

=== iab

50,15881422,4891972,2077334

==K

58,6352100

450,1588144

=

=i

99,5087558,635257,5722844

=== iab

48,5502709,220157,572286

==b

048,5502748,5502766

== bK

Period Kredit Kamata Otplata Anuitet

1 300000,00 12000,00 45228,57 57228,57

2 254771,43 10190,86 47037,71 57228,57

3 207733,72 8309,35 48919,22 57228,57

4 158814,50 6352,58 50875,99 57228,574 158814,50 6352,58 50875,99 57228,57

5 107938,51 4317,54 52911,03 57228,57

6 55027,48 2201,09 55027,48 57228,57

Ukupno 43371,42 300000,00 343371,42

Zajam od 300.000 evra amortizuje se 8 godina jednakim anuitetimauz 8% interesa i godinje kapitalisanje. Odrediti: anuitet, otplaenideo duga sa 6 plaenih anuiteta, prvu otplatu, petu otplatu i petiinteres, ostatak duga posle 6 plaenih anuiteta.

Primer:

8

%8VKa =

a 300000 0,174014

a 52204,2

=

=

1b a K i=

( )415

1 ibb +=

1

1

b 52204, 2 24000

b 28204, 2

=

=

48,38371

360488,12,28204

5

5

4

%815

=

=

=

b

b

Ibb

a 52204,2=

55ba =

72,13832

48,383712,52204

5

5

=

=

1

16

=

n

p

c

p

I

IKO

1586874,1300000

1

1300000

8

%8

6

%8

6

=

=

O

I

IO

62,206905

1850930,1

1586874,1300000

6

6

=

=

O

O

1

=

n

p

c

p

n

p

cI

IIKR

38,93094

1850930,1

586874,1850930,1300000

1300000

8

%8

6

%8

8

%8

=

=

=

c

c

c

R

R

I

IIR

Primer:

Odobren je kredit od 40.000 evra.

Godinja nominalna kamatna stopa je 8,5% i godinji obraunkamate.

Odrediti meseni anuitet koristei konformnu kamatnu stopu.

k

p / mp 100 1 1

100

= +

mn

mn

12k

180

180

100

8,5p 100 1 1 0,682%

100

r (r 1)a K

r 1

1,00682 (1,00682 1)a 40000

1,00682 1

a 386,56

I mn a K 29581, 43

= + =

=

=

=

= =

40.000,00

mesena

konformna stopa

180 0,682%

12

386,6

8,50%

Redni

broj

Datum

dospea Anuitet

Isplata

glavnice

Uplata

kamate Stanje kredita

nominalna kamatna

stopa

broj rata u godini

Anuitet/rata

PLAN OTPLATE KREDITA

Uslovi kredita

Iznos kredita

broj rata

0 31.10.2003 40.000,00

1 30.11.2003 386,56 113,70 272,86 39886,30

2 31.12.2003 386,56 114,48 272,08 39771,82

3 31.1.2004 386,56 115,26 271,30 39656,56

4 29.2.2004 386,56 116,05 270,52 39540,51

5 31.3.2004 386,56 116,84 269,73 39423,67

6 30.4.2004 386,56 117,64 268,93 39306,04

7 31.5.2004 386,56 118,44 268,13 39187,60

8 30.6.2004 386,56 119,25 267,32 39068,35

9 31.7.2004 386,56 120,06 266,50 38948,29

10 31.8.2004 386,56 120,88 265,69 38827,42

11 30.9.2004 386,56 121,70 264,86 38705,71

12 31.10.2004 386,56 122,53 264,03 38583,18

13 30.11.2004 386,56 123,37 263,19 38459,81

14 31.12.2004 386,56 124,21 262,35 38335,60

15 31.1.2005 386,56 125,06 261,51 38210,55

16 28.2.2005 386,56 125,91 260,65 38084,63

17 31.3.2005 386,56 126,77 259,79 37957,87

18 30.4.2005 386,56 127,63 258,93 37830,23

19 31.5.2005 386,56 128,50 258,06 37701,73

20 30.6.2005 386,56 129,38 257,18 37572,35

21 31.7.2005 386,56 130,26 256,30 37442,08

22 31.8.2005 386,56 131,15 255,41 37310,93

23 30.9.2005 386,56 132,05 254,52 37178,88

24 31.10.2005 386,56 132,95 253,62 37045,93

25 30.11.2005 386,56 133,85 252,71 36912,08

26 31.12.2005 386,56 134,77 251,80 36777,31

27 31.1.2006 386,56 135,69 250,88 36641,62

28 28.2.2006 386,56 136,61 249,95 36505,01

29 31.3.2006 386,56 137,54 249,02 36367,47

30 30.4.2006 386,56 138,48 248,08 36228,98

31 31.5.2006 386,56 139,43 247,14 36089,55

32 30.6.2006 386,56 140,38 246,18 35949,18

33 31.7.2006 386,56 141,34 245,23 35807,84

34 31.8.2006 386,56 142,30 244,26 35665,54

35 30.9.2006 386,56 143,27 243,29 35522,27

36 31.10.2006 386,56 144,25 242,31 35378,02

37 30.11.2006 386,56 145,23 241,33 35232,79

38 31.12.2006 386,56 146,22 240,34 35086,56

39 31.1.2007 386,56 147,22 239,34 34939,34

40 28.2.2007 386,56 148,22 238,34 34791,12

41 31.3.2007 386,56 149,24 237,33 34641,88

42 30.4.2007 386,56 150,25 236,31 34491,63

43 31.5.2007 386,56 151,28 235,28 34340,35

44 30.6.2007 386,56 152,31 234,25 34188,04

45 31.7.2007 386,56 153,35 233,21 34034,69

46 31.8.2007 386,56 154,40 232,17 33880,29

47 30.9.2007 386,56 155,45 231,11 33724,84

48 31.10.2007 386,56 156,51 230,05 33568,33

49 30.11.2007 386,56 157,58 228,99 33410,76

50 31.12.2007 386,56 158,65 227,91 33252,10

51 31.1.2008 386,56 159,73 226,83 33092,37

52 29.2.2008 386,56 160,82 225,74 32931,54

53 31.3.2008 386,56 161,92 224,64 32769,62

54 30.4.2008 386,56 163,03 223,54 32606,60

55 31.5.2008 386,56 164,14 222,43 32442,46

56 30.6.2008 386,56 165,26 221,31 32277,20

57 31.7.2008 386,56 166,38 220,18 32110,82

58 31.8.2008 386,56 167,52 219,04 31943,30

59 30.9.2008 386,56 168,66 217,90 31774,64

60 31.10.2008 386,56 169,81 216,75 31604,82

61 30.11.2008 386,56 170,97 215,59 31433,85

62 31.12.2008 386,56 172,14 214,43 31261,71

63 31.1.2009 386,56 173,31 213,25 31088,40

64 28.2.2009 386,56 174,49 212,07 30913,91

65 31.3.2009 386,56 175,68 210,88 30738,22

66 30.4.2009 386,56 176,88 209,68 30561,34

67 31.5.2009 386,56 178,09 208,47 30383,25

68 30.6.2009 386,56 179,30 207,26 30203,95

69 31.7.2009 386,56 180,53 206,04 30023,42

70 31.8.2009 386,56 181,76 204,80 29841,66

71 30.9.2009 386,56 183,00 203,56 29658,66

72 31.10.2009 386,56 184,25 202,32 29474,41

73 30.11.2009 386,56 185,50 201,06 29288,91

74 31.12.2009 386,56 186,77 199,79 29102,14

75 31.1.2010 386,56 188,04 198,52 28914,10

76 28.2.2010 386,56 189,33 197,24 28724,77

77 31.3.2010 386,56 190,62 195,95 28534,15

78 30.4.2010 386,56 191,92 194,65 28342,24

79 31.5.2010 386,56 193,23 193,34 28149,01

80 30.6.2010 386,56 194,55 192,02 27954,46

81 31.7.2010 386,56 195,87 190,69 27758,59

82 31.8.2010 386,56 197,21 189,36 27561,38

83 30.9.2010 386,56 198,55 188,01 27362,83

84 31.10.2010 386,56 199,91 186,66 27162,92

85 30.11.2010 386,56 201,27 185,29 26961,65

86 31.12.2010 386,56 202,64 183,92 26759,00

87 31.1.2011 386,56 204,03 182,54 26554,98

88 28.2.2011 386,56 205,42 181,14 26349,56

89 31.3.2011 386,56 206,82 179,74 26142,74

90 30.4.2011 386,56 208,23 178,33 25934,51

91 31.5.2011 386,56 209,65 176,91 25724,86

92 30.6.2011 386,56 211,08 175,48 25513,77

93 31.7.2011 386,56 212,52 174,04 25301,25

94 31.8.2011 386,56 213,97 172,59 25087,28

95 30.9.2011 386,56 215,43 171,13 24871,85

96 31.10.2011 386,56 216,90 169,66 24654,95

97 30.11.2011 386,56 218,38 168,18 24436,57

98 31.12.2011 386,56 219,87 166,69 24216,70

99 31.1.2012 386,56 221,37 165,19 23995,33

100 29.2.2012 386,56 222,88 163,68 23772,45

101 31.3.2012 386,56 224,40 162,16 23548,05

102 30.4.2012 386,56 225,93 160,63 23322,12

103 31.5.2012 386,56 227,47 159,09 23094,65

104 30.6.2012 386,56 229,02 157,54 22865,63

105 31.7.2012 386,56 230,59 155,98 22635,04

106 31.8.2012 386,56 232,16 154,40 22402,88

107 30.9.2012 386,56 233,74 152,82 22169,14

108 31.10.2012 386,56 235,34 151,23 21933,80

109 30.11.2012 386,56 236,94 149,62 21696,86

110 31.12.2012 386,56 238,56 148,00 21458,30

111 31.1.2013 386,56 240,19 146,38 21218,12

112 28.2.2013 386,56 241,82 144,74 20976,29

113 31.3.2013 386,56 243,47 143,09 20732,82

114 30.4.2013 386,56 245,13 141,43 20487,68

115 31.5.2013 386,56 246,81 139,76 20240,88

116 30.6.2013 386,56 248,49 138,07 19992,39

117 31.7.2013 386,56 250,19 136,38 19742,20

118 31.8.2013 386,56 251,89 134,67 19490,31

119 30.9.2013 386,56 253,61 132,95 19236,70

120 31.10.2013 386,56 255,34 131,22 18981,36

121 30.11.2013 386,56 257,08 129,48 18724,28

122 31.12.2013 386,56 258,84 127,73 18465,44

123 31.1.2014 386,56 260,60 125,96 18204,84

124 28.2.2014 386,56 262,38 124,18 17942,46

125 31.3.2014 386,56 264,17 122,39 17678,29

126 30.4.2014 386,56 265,97 120,59 17412,32

127 31.5.2014 386,56 267,79 118,78 17144,53

128 30.6.2014 386,56 269,61 116,95 16874,92

129 31.7.2014 386,56 271,45 115,11 16603,47

130 31.8.2014 386,56 273,30 113,26 16330,17

131 30.9.2014 386,56 275,17 111,40 16055,00

132 31.10.2014 386,56 277,04 109,52 15777,95

133 30.11.2014 386,56 278,93 107,63 15499,02

134 31.12.2014 386,56 280,84 105,73 15218,18

135 31.1.2015 386,56 282,75 103,81 14935,43

136 28.2.2015 386,56 284,68 101,88 14650,75

137 31.3.2015 386,56 286,62 99,94 14364,13

138 30.4.2015 386,56 288,58 97,98 14075,55

139 31.5.2015 386,56 290,55 96,02 13785,00

140 30.6.2015 386,56 292,53 94,03 13492,47

141 31.7.2015 386,56 294,52 92,04 13197,95

142 31.8.2015 386,56 296,53 90,03 12901,41

143 30.9.2015 386,56 298,56 88,01 12602,86

144 31.10.2015 386,56 300,59 85,97 12302,26

145 30.11.2015 386,56 302,64 83,92 11999,62

146 31.12.2015 386,56 304,71 81,86 11694,91

147 31.1.2016 386,56 306,79 79,78 11388,12

148 29.2.2016 386,56 308,88 77,68 11079,24

149 31.3.2016 386,56 310,99 75,58 10768,26

150 30.4.2016 386,56 313,11 73,46 10455,15

151 31.5.2016 386,56 315,24 71,32 10139,91

152 30.6.2016 386,56 317,39 69,17 9822,51

153 31.7.2016 386,56 319,56 67,00 9502,95

154 31.8.2016 386,56 321,74 64,82 9181,21

155 30.9.2016 386,56 323,93 62,63 8857,28

156 31.10.2016 386,56 326,14 60,42 8531,14

157 30.11.2016 386,56 328,37 58,20 8202,77

158 31.12.2016 386,56 330,61 55,96 7872,16

159 31.1.2017 386,56 332,86 53,70 7539,30

160 28.2.2017 386,56 335,13 51,43 7204,16

161 31.3.2017 386,56 337,42 49,14 6866,74

162 30.4.2017 386,56 339,72 46,84 6527,02

163 31.5.2017 386,56 342,04 44,52 6184,98

164 30.6.2017 386,56 344,37 42,19 5840,61

165 31.7.2017 386,56 346,72 39,84 5493,89

166 31.8.2017 386,56 349,09 37,48 5144,80

167 30.9.2017 386,56 351,47 35,10 4793,33

168 31.10.2017 386,56 353,87 32,70 4439,46

169 30.11.2017 386,56 356,28 30,28 4083,18

170 31.12.2017 386,56 358,71 27,85 3724,47

171 31.1.2018 386,56 361,16 25,41 3363,32

172 28.2.2018 386,56 363,62 22,94 2999,70172 28.2.2018 386,56 363,62 22,94 2999,70

173 31.3.2018 386,56 366,10 20,46 2633,60

174 30.4.2018 386,56 368,60 17,97 2265,00

175 31.5.2018 386,56 371,11 15,45 1893,88

176 30.6.2018 386,56 373,64 12,92 1520,24

177 31.7.2018 386,56 376,19 10,37 1144,05

178 31.8.2018 386,56 378,76 7,80 765,29

179 30.9.2018 386,56 381,34 5,22 383,94

180 31.10.2018 386,56 383,94 2,62 0,00

69581,43 40000,00 29581,43

Primer:

Odobren je kredit od 40.000 .

Godinja nominalna kamatna stopa je 8,5%, i godinji obraunkamate.

Odrediti meseni anuitet koristei relativnu kamatnu stopu.mn

mn

1512

8,5/12

r (r 1)a K K V

r 1

= = r 1

a 40000 0,0098

a 393,90

I mn a K 30.901,25

=

=

= =

Korienjen konformne kamatne stope u prethodnom primeru ukupan interes je

29.581,43.

Razlika je 1319,82 evra.

40.000,00

180

12

393,90

8,50%

Redni

broj

Datum

dospea Anuitet

Isplata

glavnice

Uplata

kamate Stanje kredita

broj rata

broj rata u godini

Anuitet/ratanominalna kamatna

stopa

PLAN OTPLATE KREDITA

Uslovi kredita

Iznos kredita

0 31.10.2003 40.000,00

1 30.11.2003 393,90 110,56 283,33 39889,44

2 31.12.2003 393,90 111,35 282,55 39778,09

3 31.1.2004 393,90 112,13 281,76 39665,96

4 29.2.2004 393,90 112,93 280,97 39553,03

5 31.3.2004 393,90 113,73 280,17 39439,30

6 30.4.2004 393,90 114,53 279,36 39324,77

7 31.5.2004 393,90 115,35 278,55 39209,42

8 30.6.2004 393,90 116,16 277,73 39093,26

9 31.7.2004 393,90 116,99 276,91 38976,27

10 31.8.2004 393,90 117,81 276,08 38858,46

11 30.9.2004 393,90 118,65 275,25 38739,81

12 31.10.2004 393,90 119,49 274,41 38620,32

13 30.11.2004 393,90 120,34 273,56 38499,99

14 31.12.2004 393,90 121,19 272,71 38378,80

15 31.1.2005 393,90 122,05 271,85 38256,75

16 28.2.2005 393,90 122,91 270,99 38133,84

17 31.3.2005 393,90 123,78 270,11 38010,06

18 30.4.2005 393,90 124,66 269,24 37885,40

19 31.5.2005 393,90 125,54 268,35 37759,86

20 30.6.2005 393,90 126,43 267,47 37633,43

21 31.7.2005 393,90 127,33 266,57 37506,11

22 31.8.2005 393,90 128,23 265,67 37377,88

23 30.9.2005 393,90 129,14 264,76 37248,74

24 31.10.2005 393,90 130,05 263,85 37118,69

25 30.11.2005 393,90 130,97 262,92 36987,72

26 31.12.2005 393,90 131,90 262,00 36855,82

27 31.1.2006 393,90 132,83 261,06 36722,99

28 28.2.2006 393,90 133,77 260,12 36589,21

29 31.3.2006 393,90 134,72 259,17 36454,49

30 30.4.2006 393,90 135,68 258,22 36318,81

31 31.5.2006 393,90 136,64 257,26 36182,18

32 30.6.2006 393,90 137,61 256,29 36044,57

33 31.7.2006 393,90 138,58 255,32 35905,99

34 31.8.2006 393,90 139,56 254,33 35766,43

35 30.9.2006 393,90 140,55 253,35 35625,88

36 31.10.2006 393,90 141,55 252,35 35484,33

37 30.11.2006 393,90 142,55 251,35 35341,79

38 31.12.2006 393,90 143,56 250,34 35198,23

39 31.1.2007 393,90 144,58 249,32 35053,65

40 28.2.2007 393,90 145,60 248,30 34908,05

41 31.3.2007 393,90 146,63 247,27 34761,42

42 30.4.2007 393,90 147,67 246,23 34613,75

43 31.5.2007 393,90 148,72 245,18 34465,04

44 30.6.2007 393,90 149,77 244,13 34315,27

45 31.7.2007 393,90 150,83 243,07 34164,44

46 31.8.2007 393,90 151,90 242,00 34012,54

47 30.9.2007 393,90 152,97 240,92 33859,57

48 31.10.2007 393,90 154,06 239,84 33705,51

49 30.11.2007 393,90 155,15 238,75 33550,36

50 31.12.2007 393,90 156,25 237,65 33394,12

51 31.1.2008 393,90 157,35 236,54 33236,76

52 29.2.2008 393,90 158,47 235,43 33078,29

53 31.3.2008 393,90 159,59 234,30 32918,70

54 30.4.2008 393,90 160,72 233,17 32757,98

55 31.5.2008 393,90 161,86 232,04 32596,12

56 30.6.2008 393,90 163,01 230,89 32433,11

57 31.7.2008 393,90 164,16 229,73 32268,95

58 31.8.2008 393,90 165,32 228,57 32103,63

59 30.9.2008 393,90 166,50 227,40 31937,13

60 31.10.2008 393,90 167,67 226,22 31769,46

61 30.11.2008 393,90 168,86 225,03 31600,60

62 31.12.2008 393,90 170,06 223,84 31430,54

63 31.1.2009 393,90 171,26 222,63 31259,28

64 28.2.2009 393,90 172,48 221,42 31086,80

65 31.3.2009 393,90 173,70 220,20 30913,10

66 30.4.2009 393,90 174,93 218,97 30738,17

67 31.5.2009 393,90 176,17 217,73 30562,01

68 30.6.2009 393,90 177,41 216,48 30384,59

69 31.7.2009 393,90 178,67 215,22 30205,92

70 31.8.2009 393,90 179,94 213,96 30025,98

71 30.9.2009 393,90 181,21 212,68 29844,77

72 31.10.2009 393,90 182,50 211,40 29662,28

73 30.11.2009 393,90 183,79 210,11 29478,49

74 31.12.2009 393,90 185,09 208,81 29293,40

75 31.1.2010 393,90 186,40 207,49 29107,00

76 28.2.2010 393,90 187,72 206,17 28919,28

77 31.3.2010 393,90 189,05 204,84 28730,22

78 30.4.2010 393,90 190,39 203,51 28539,83

79 31.5.2010 393,90 191,74 202,16 28348,10

80 30.6.2010 393,90 193,10 200,80 28155,00

81 31.7.2010 393,90 194,46 199,43 27960,53

82 31.8.2010 393,90 195,84 198,05 27764,69

83 30.9.2010 393,90 197,23 196,67 27567,46

84 31.10.2010 393,90 198,63 195,27 27368,84

85 30.11.2010 393,90 200,03 193,86 27168,80

86 31.12.2010 393,90 201,45 192,45 26967,35

87 31.1.2011 393,90 202,88 191,02 26764,48

88 28.2.2011 393,90 204,31 189,58 26560,16

89 31.3.2011 393,90 205,76 188,13 26354,40

90 30.4.2011 393,90 207,22 186,68 26147,18

91 31.5.2011 393,90 208,69 185,21 25938,50

92 30.6.2011 393,90 210,16 183,73 25728,33

93 31.7.2011 393,90 211,65 182,24 25516,68

94 31.8.2011 393,90 213,15 180,74 25303,52

95 30.9.2011 393,90 214,66 179,23 25088,86

96 31.10.2011 393,90 216,18 177,71 24872,68

97 30.11.2011 393,90 217,71 176,18 24654,96

98 31.12.2011 393,90 219,26 174,64 24435,71

99 31.1.2012 393,90 220,81 173,09 24214,90

100 29.2.2012 393,90 222,37 171,52 23992,53

101 31.3.2012 393,90 223,95 169,95 23768,58

102 30.4.2012 393,90 225,54 168,36 23543,04

103 31.5.2012 393,90 227,13 166,76 23315,91

104 30.6.2012 393,90 228,74 165,15 23087,17

105 31.7.2012 393,90 230,36 163,53 22856,81

106 31.8.2012 393,90 231,99 161,90 22624,81

107 30.9.2012 393,90 233,64 160,26 22391,18

108 31.10.2012 393,90 235,29 158,60 22155,88

109 30.11.2012 393,90 236,96 156,94 21918,93

110 31.12.2012 393,90 238,64 155,26 21680,29

111 31.1.2013 393,90 240,33 153,57 21439,96

112 28.2.2013 393,90 242,03 151,87 21197,93

113 31.3.2013 393,90 243,74 150,15 20954,19

114 30.4.2013 393,90 245,47 148,43 20708,72

115 31.5.2013 393,90 247,21 146,69 20461,51

116 30.6.2013 393,90 248,96 144,94 20212,55

117 31.7.2013 393,90 250,72 143,17 19961,83

118 31.8.2013 393,90 252,50 141,40 19709,33

119 30.9.2013 393,90 254,29 139,61 19455,04

120 31.10.2013 393,90 256,09 137,81 19198,95

121 30.11.2013 393,90 257,90 135,99 18941,04

122 31.12.2013 393,90 259,73 134,17 18681,31

123 31.1.2014 393,90 261,57 132,33 18419,75

124 28.2.2014 393,90 263,42 130,47 18156,32

125 31.3.2014 393,90 265,29 128,61 17891,03

126 30.4.2014 393,90 267,17 126,73 17623,87

127 31.5.2014 393,90 269,06 124,84 17354,81

128 30.6.2014 393,90 270,97 122,93 17083,84

129 31.7.2014 393,90 272,89 121,01 16810,95

130 31.8.2014 393,90 274,82 119,08 16536,14

131 30.9.2014 393,90 276,76 117,13 16259,37

132 31.10.2014 393,90 278,73 115,17 15980,65

133 30.11.2014 393,90 280,70 113,20 15699,95

134 31.12.2014 393,90 282,69 111,21 15417,26

135 31.1.2015 393,90 284,69 109,21 15132,57

136 28.2.2015 393,90 286,71 107,19 14845,86

137 31.3.2015 393,90 288,74 105,16 14557,12

138 30.4.2015 393,90 290,78 103,11 14266,34

139 31.5.2015 393,90 292,84 101,05 13973,50

140 30.6.2015 393,90 294,92 98,98 13678,58

141 31.7.2015 393,90 297,01 96,89 13381,58

142 31.8.2015 393,90 299,11 94,79 13082,47

143 30.9.2015 393,90 301,23 92,67 12781,24

144 31.10.2015 393,90 303,36 90,53 12477,88

145 30.11.2015 393,90 305,51 88,38 12172,37

146 31.12.2015 393,90 307,67 86,22 11864,69

147 31.1.2016 393,90 309,85 84,04 11554,84

148 29.2.2016 393,90 312,05 81,85 11242,79

149 31.3.2016 393,90 314,26 79,64 10928,53

150 30.4.2016 393,90 316,49 77,41 10612,04

151 31.5.2016 393,90 318,73 75,17 10293,32

152 30.6.2016 393,90 320,98 72,91 9972,33

153 31.7.2016 393,90 323,26 70,64 9649,07

154 31.8.2016 393,90 325,55 68,35 9323,52

155 30.9.2016 393,90 327,85 66,04 8995,67

156 31.10.2016 393,90 330,18 63,72 8665,49

157 30.11.2016 393,90 332,52 61,38 8332,98

158 31.12.2016 393,90 334,87 59,03 7998,11

159 31.1.2017 393,90 337,24 56,65 7660,86

160 28.2.2017 393,90 339,63 54,26 7321,23

161 31.3.2017 393,90 342,04 51,86 6979,20

162 30.4.2017 393,90 344,46 49,44 6634,74

163 31.5.2017 393,90 346,90 47,00 6287,84

164 30.6.2017 393,90 349,36 44,54 5938,48

165 31.7.2017 393,90 351,83 42,06 5586,65

166 31.8.2017 393,90 354,32 39,57 5232,32

167 30.9.2017 393,90 356,83 37,06 4875,49

168 31.10.2017 393,90 359,36 34,53 4516,13

169 30.11.2017 393,90 361,91 31,99 4154,22

170 31.12.2017 393,90 364,47 29,43 3789,75

171 31.1.2018 393,90 367,05 26,84 3422,70171 31.1.2018 393,90 367,05 26,84 3422,70

172 28.2.2018 393,90 369,65 24,24 3053,05

173 31.3.2018 393,90 372,27 21,63 2680,78

174 30.4.2018 393,90 374,91 18,99 2305,87

175 31.5.2018 393,90 377,56 16,33 1928,31

176 30.6.2018 393,90 380,24 13,66 1548,07

177 31.7.2018 393,90 382,93 10,97 1165,14

178 31.8.2018 393,90 385,64 8,25 779,50

179 30.9.2018 393,90 388,37 5,52 391,13

180 31.10.2018 393,90 391,13 2,77 0,00

70901,25 40000,00 30901,25