Embed Size (px)
Citation preview
llΙl&
fimιμ;l l
3
oλoxλi qroη
ΒAΣIΚ0I oPIΣMoI
o oqιoμ6g τoυ oλoxληρωματog 1"ιιαg o'υναρτησηE "f : A _' R,, 6πoυ τo Α c -Rεi,γαι 6γα xλειoτo oqθoγιilνιo' εiγαι oε μεγαλo 6αθμo αναλoγog εxεiγoυ τ.ουνηΘoυg oλoxληριilματoE, χαι γLα τoγ λ6γo αυτ6 11 o1ετιxη πρoετoιμαolα t '.
εLvαι oriντoμη.Θυμηθεi,τε 6τι μια διαpιiριoη P εv6g xλειoτoυ διαoτηματog [a, β] εivαι ιι
αxoλoυθ|α t0,...,f1, 6πoυ.rΙ = fo ( t1 < ... < tι. =β. Η διαμεqιor1 P xωρiξει :διαοτημα [α,β] oε k υπoδιαoτηματα [t; 1.t;]. Mια διαμ6qιoη εν6q oqθoγιυi,ιι.|o'ι,βtl X... X fα,,,β,,,] ε|vαι ;.ιια ουλλογη P = (p',...'P,,),6πoυ xα0ε ;'εi,ναι μιια διαμ6ριoη τoυ διαατrjματog |αi,βi']. Yπoθ6οτε, επl παqαδε[γμcι:.6τι η P1 - f,o,...,f6 εLναι διαμ6qιοr1 τoυ [α1' β| xαtlη Pz = SU,...,si εiι',.,διαμ6qιοη τoυ |α7,β2f. T6τε η διαμ6gιοη P = (p',Ρz) τoυ [αl,,6l] X [α:. .:
διαιρεi το xλειοτ6 oρθoγιilνιo [oι, β'] x lαz, βz] οε k . l υπooρOoγιbγια τ,' '
oπo[ωr, τυπιx6g αντιπqοoωπoq ε|ναι τo [f; r,l;] x [s,i 1,s.1l. Γεγιxα, α.r,.ξ διαιqεi τo [α1, βι] rlε Ιy', υπoδιαοτη;"ιατα' τ6τε η P -(p',...,P,,) διαιρει τ'_
[oι'βt]X...Xfαrr,B,rfoεΙy'=λi...itr,υπooρθoγο'iνια.AυταταυπooρΘoγιbr,ιoνoμαξoνται υπooqΘoγιirγια τηζ διαμ6qιοηg Ρ.
Yπoθ6τoυμιε oτη ουν61εια 6τι τo Α εiγαι 6να oρθoγιbγιo. η f : A * Rεiναι μια φqαγμ6νη ουναρτηοl1 xαι η P εiναι μια διαμ6ριοη τoυ ,4. Για zcι..υπooqθoγιbνιo ,S τηg διαμdριoη: Θdτoυμε
πu.s(.f) = rnr{/(.r) : ;Γ €,s}l'11s(.f) = sup{/(.r) : r € s}
xαι υ(S) τoγ o.,;,"o του S [ο ογzο; εl,ol oρθoγιυνLoυ [α1.βr] , . ..x fα'rr''3''-xαΘdlg επior1g Ζciι τoι, |,l.. -, l ... ('ιl,,. '.j,r) oρiξεται ωg τo γιvoμιενo (B1 -
Ψlf,lfillr*lfrιii i[i- }' l.':
l;j f,Τ 'ηrιlΤμ{(.
Γ--
'ιι'l
- . ,' . 'ι-η - ,,:
--Ξ:-
--R.6πoυτoAcRl _ιr'iι).oΥoζ εχειγoυ τo'ι
7.ετι-z.r1 πQoετoιμασια θ,:r
rτ,'ιιcιτoζ [α, β] εLναι μι,:,
[ ')ιιιμεριοη Ρ 1ωqlξει τ:
μεQισιl εν6g oqθoγωνio.' ' . . Pu). oπoυ γ'αΘε P'ε,-τε. επl παραδε|γpιατ..
' Ρ: = S0,...,s7 ε[r'cι-
; iι)l' Lo'.0ιl ' |or. ,'-
Ι: i υπooQθoγιbγtα τι'r',
i. . . sJ]. Γενιxα, αr' ''- Ρ'.''.,Pn) διαιρεl τ,.
_ _\r.'τα τα υπooρΘoγιilr'ι,.
b,--','ι]\,ιo1 ηf:AuΕ,]tσl1 τoυ Α. Για
_ ': . J1] X ... X fαn' j'
n"j: τo γιν6μενo (Jl '
--Rγ'0't ι
l ..(6, - α")] . To xατιbτεqo χαι τo
Ιι 'ιεQισξ Ρ oq|ξoνται αγτιστoιχα ωζ
L(f , P) = ! m5(/) υ(S) χαιs
l.,:,gανιilg L(f ,P) < U(f ,P), ενω Nατt
t-_
BAΣΙKοΙ ΟP]:\1al_ J7
ανιbτερo ιiθqoιομα'_'j' τli: '' ','tιι τll
U(f ,P) = Σ rrrι/) ι'{5 }
s'
αx6μη ιο1υρ6τερo α)''ηθευει (Πoριoμα
nΙ '|ημμα.'Εoτω 6τιη διαμ6qιoη P' ε[ναι εxλlπτυνoη τηζ P (δη)'αδιj' xαθε
- ',ρο'λiauro τηE P' n'rρrryrrλ, oε καπoιο υπoορθoyιbνLo τηζ P)' T6τε
L(f ,P) < L(f ,P') ?lαL Lrσ,P') <(Ι(f 'P)'
ιτtrδεrξη. Kαθε υπooqΘογιilνιo S τηg P διαιρεiται oε διαφοqα υπooqθoγιbνια
, .-s; τηΞ P', ωo"u,1s1 ='(s')+'"+υ(S.,)' Tιbqα^-s(/) ζm'soσ)'ι,ι '.' oι ._iμη'J1"1 γLα r e S πεqιλαμ6ανoυν 6λεg τιg τιμ6g /(r) για r e S'; (xαι
τ -.1\'ο\' μιxq6τεqεg). 'Eτoι
ms(.f) 'υ(S) =rn5(11 ' υ(Sr) + "'+ -s(/) 'U(S')
- . ιtiρoιαμα, για 6λα τα S, τωγ οqων οτo αριοτεq6 μ6λog εi'ναι τo L(f ' P)'
" o oθqoι,oμo 6λωγ τωγ 6ρων οτo δεξι6 μ6λog εlναι τo L(f'P')' ΑQα
- ' Ρl < i(f ,p'). H απ6δειξη γtα τα ανι.bτεqα αθρo|οματα εlναι αναλoγη' l
_ι: Π6ριoμα. Aν P και P' ε[ναι δdo τιlyρlεg διαμεq[αειq, τιiτε L(f ,P') <j Dιf ,.
ιτrrdειξη. 'Eoτω P" ψια διαμι6ριαη η oπoiα απoτελεL ταυτ61ρoνα εxλ6πτυνoη
-,o : ,.oι, τηΞ P'' (Για παραδε,γμo, πoi,qnoυμε P" = (Pi' ," ' , Pi)' 6πoυ η P/'
ι:- ::i.εi .oui61qono εxλ6πτυvοη τ!ζ Pι χαt τηζ Pi ') T6τε
L(f ,P') < L(f ,P'') <LΙ(f ,P") <(Ι(f ,P)' I
Πρoziπτει αμ6οω9 απ6 τo Π6ριoμα 3-Ζ 6τt τo μιxρ6τερo αr'ιυ φρα'1μα 6λων
, ,,,.,τιbτεQων αθqοι}ματωv τηg / εiναι μιxρoτεqo η loo-π-ρog τo με^,'αλυτερo
ιι - ψραγμα 6λωγ τωγ ανιbτεqων αΘρoιoματωγ τηζ' λ4ια oυνα'ρτl'1oi-1 / :
' - R xαλεiται oλoxληριilοιμη στo oρθoγιbνιo Α αν i1 / εiι'α'ι c1ρα'"μir'η z"αι
Ι _'\{.: 'Η x(l'τι'l ^aαt ανο.) αΘρoιομα αγτιστoιχα'
48 oΛoK.\ΗPΩτΗ
sup{r(/,Ρ)} - inΓ{t-ι.i'.Ρlr. _\ι'τo; ο z'oιν6g αqιθμog ουμ6oλiξεται τoτε
xαι ιιαλε(,ται o}'oir.i'.riριoμα τ1l: .f τiιr'ι,l απo τo Α.(35) Συχνα 1qηοιμoπoιεiτ'ουμι6oλιoμog Ι.^f (r'. ..Ι'" }r]"-Ι...dr". Αν f 'lo,βl - R" 6πoυ α < ']. -
Ι! t = Ιι".al.f . Αzoλoυθεi εr,cι cιπi.o αλ),α 1ρηoιμo xριτηριo oλoxληρωoιμιoτl'_
3-3 Θειbρημα. Mιcι φqαγμ!νη oυνdρτηoηαν }1,(ιι μ6νo αν yια xαθε : > 0 ιlπαρy'ειL]\f.P)-L(Ι.P) t ε
f:A-Rδruμlριαη P
εlναι oλoxληριi''τoιl A τ!τoι-α
]=-.
L(f 'P) =f ο.υ(S) =g
Aπ6δειξη. Αγ ιο1υει αυτη 11 oυvΘηxη. τ6τε πρoφανιbg sup{Ι(/. Ρint{U(f,P)} xαι η / ε|ναι oλoxληριboιμη. Αντi.οτρoφα, αν η / εLνα.ι -
xληqιbοιμη, δηλαδη sup{Ι(/,Ρ)} = inf{U('f'P)}" τ6τε για xαΘε ε Σ 0 ι'_1oυν διαμιερLοειg P. P' ψ, Lrff,P) L(f
'P''1 < ε' Αν η Ρ" ε|γcιι :
τ6xqoνα εxλ6πτυνoη τηζ P χαι τηζ P', θα 6xoυμε απ6 τo Λημμα 3 lu(f ,P,,) L(f ,P") <u(f ,P) - L(f ,P') < r. r
ΣτιE επoμεvεg παραγραφoυg θα οταθotμε σε χαQαχτηριoτιxα γγΟ]Qι(].των oλoxληqιboιμιων oυναqτηoεωγ xαι 0α διbοoυ1"ιε μια μ6Θoδo υπo)!o','ι'_oλoxληqωpιατων. Πqog τo παρ6v θεωqoυμε δυo αυναqτηoειg απ6 τιζ o:τι.::μiα εi,ναι oλοxληqιbοιι-ιη χαι η αλλη 6xι.
1.'Εατω f : A- -R' μια αταθεqη oυναqτηoη, αg πουμε f(r) =^ 'για xαθε διαμ€ριαη P xαι'υπooqθoγιbνιo S 61oυμε rnsσ) = λ'tsσ) = ^
L(f ,P) =U(f 'Ρ) =Σs1.ιl(S) =7 υ(A) Συνεπιbg !"f =^γ .,υ(A).
2. oqlξoυμε την / : [0,1] x [0,1] * -R ωg εξηq:
αγo r ειναιQητoE.ανo r εiναιαρρητog.
Αν Ρ ε(,ναι μια διαμ6qιoη, τ6τε xαθε υπooρθoγιilνιo S θα πεqι61ει οημιεicι
με τo r ρητ6 xαι οημεiα (r, y) με τo r ιiρqητo. Eπoμ6νωg 'rrι5(f ) - ιΛΙsff) = 1, αqα
rι,, r) = {?
_\--.r- /-'
s
ι'(s) = ι.,([0. 1] x [0, 1]) = 1.(Ι(f.P)
Συνεπιbg η / δεr, εir,α'ι οi'o;,.).ηριilοιμιη.
(35) Σ.τ.M.: 'Η οr,ozi'l1αυιιιr τr1: .f οτ.. '1
1ii \Γ\
MΗΔENΙKO METΡo ΚAΙ MΗΔΕNΙΚo ΠEPΙE\o\1Ε\()
ΠPoBΛHMATA
Qoυμε τη συγαQτηση / : [ιr.1] x [0,1] - R πoυ oρlξετιrι ιυg εξr1q:
J9
,- ,lι'ιι6ολ[ξεται τ6τε '1
Σ'_'7r,α χQησιμoπoιειτ[ι." - R' 6πoυ α { β. τ,_-l
Τl .lιo oλoxληQωσιμ6τllτ .;
- R ε[ναι oλoxληρcbο.' l-' Ρ τoυ A τ/τoια c''.-
ι'.- 1\,(;)ζ sup{l1/. P ' Ξ
j-- 1. αν η / εiναι ,
τ: ,ιιxιiOεε>0ι'.' .\ι' η Ρ" εiναι -
i :ιt τo Λιlμμα -l-l
ιii : ".τ}lQιστιχιi γνωρioιι ,
- ιιεθoδo υπoλo',,ι,-.}i-', r]ttΞ απo τιg oπΟιε:
l] - )L'LΙδ .f (r) = ^, Τ ' -
'| = ΛΙSff) = ^/. r.:ιl
". - = -, .ιl(Α).
"- -1
/(", v) = {:αγ 0{ ι<!'αγ 1 < r < ].
, Ξτε οτι η / εiναι oλoxληριbι;ιμn xαι .[o,r1,,1n '1
./ = }.
-- , f 'A- R oλozλr1qιboιμη^ιLCιL g - f εu"τ6g απ6 πεπεριrομ6νo το πoλil πλη0οE:ι,.,lν. Δεlξτε6τιη9 ε[ναιολοxληριbοι,μιη xαι
'[ of = Ιlg: :ι\'αt ()ι f ,g , A - l? ολoxληqιi.loιμεg ουναqτrjι:ειq.
Γιci xαΘε διαμiριor1 P τoυ Α xαι υποoρOoγιi.lνιo S δεiξτε oτι
^sσ) +rn'5(9) < τn5(f + g) γLαL n1,9(/ + s) ζ λΙsσ) + n15(9)
;,'ιiι ι:υνεπιi:g
L(J'P) + L(9,P) ζ L(J + g'P) γ'αL LΙ(f * g,P) <{Ι(f 'P) +U(g,P).
\εiξτε 6τι η f +g εiνιlιιoλοxληριboιμιr1 xαι Ι^f *g = llΙ * 'l ιg
Γιcι xα0ε ιrτιrΘερα1δεiξτε 6τι [o1f =l.[ lf.-_', il oυναqτr1oη 'f : A- Ρ'y"αι P μιιr διαμεqιοη του Α. Δε[ξτε 6τι η / εiναι
,li'i1ριboιμιη αν xιrι pιιlνo αν για xα0ε υποορθo^1ιilνιο S η oυναρτηση "f/s. δηλαδrj-:ιrιoQισμ(]ζ.η.c / oτ,, S, εiγαι ολoxληρι.bιrιμη xαι ilτι o'αυτην τl1ν περiπτωιrη
_ =Σs '[''f ls,F;- : ' 'f'g:Α-R,εiγαιoλoxληριboιpιεqxcrι 'f <9.τοτε ['ιf <Jog:6η.. - ''| .f '. Α - ,R' εlναι ολoxληριbιiι1-ιη' δεlξτε 6τι η |'/ εiναι ολοxληριbοιpιη zιlι
..' Ξ '['ιlΙ .
. -ιrι,με την ./ : [0, 1] r [Ο. 1l - -E' οlq ι:ξrlE:
( 0 αν ο .Γ ι,iνιιι αυρητog.ιl _ { υ (ιγ () :ι] εiναι ρητ6q xαι ιl y εiνcιι αqρητog,
l llrl α\' ο r εiνrrι ρητ6q xαι 'μ = plq pιε p. q πριbτουg μετιr_Eυ τιlυ;.
Ξτε ιiτι η '/ εiνιrι ολoxλr1ριilοιμι''t ,α, ./tιl. r ] x 1ο, r1 ./ = 0.
}ΙΙlΔ EΛ{ΙK o ME'T P o ΚAI MH^B'NΙΙ(O ΠΕ' PrcX oMΕ,N o
:,_lουνο),o Α τoυ E" 61ε:ι (rι-διciιττατo) μ6τqο 0 αν για xαθε: ε } 0
: ij\'(Ι χGλUββα {t/l 'fΙz'LΙl'...} τoυ ,4 απ6 N}''ειoτα oqθo'1ιi.lνια τ6τoια-'-l ,'(t/,) <.. Eiναι πρocρcινig (1ρr1oιμιo 6μκοq να' τo θυι"ιd'ται xανεiq)
I,r..Γ'-]:
50 oΛoΚ\ΗΡΩsH
6τι αν τo Α i7"ει |'ιετQι1 (''l-'ι'L Β 'l. τoτε τo B θ1ει μ6τρo 0' Aιρηνεται oτc
61γ61.1νιilοτi-1 uα-διιr-ιo.,υσει oτι θcι ιιτoρoυoαιιε γα παρoιψιε ανoιxτα oρθoγιbl .
αγτi τιυγ xλειoτιbι' 'i'ιcι \'ti oρiοοι'ιιε τι'l μιηδεr'ιxo μ6τρo ενog υπoσ11γ6λou τoυ 'E,Eνα oυνoi'o με :τεrεQιιομιir,ο cιριθμο οr1μιεiοlν 61ει πqοφανιlig μηδεr'ιi:
μ6τqo. Αγ τo Α 67-ει α."ειρiι ol1μεiιι παρουoιαoι1-ια στη μoQφη μr,oE αχoλουθt' :
λ1,λr, az;...'τoτε τo _1 ε7'ει μιεiρo Ο. διoτι αγ ε > 0, μπoρoυμε να παρoυ1-ιε ' :
ξ'-o riu,oτ6 oρθo'1ιbνιo'πoυ πεQιεχει το αi ι-ιε υ(η) < fr' T6τε ΣΞr U(Ui)\-- -l -;1- ι-\ )1" " To oυγoλo oλων τιLlγ ρr1το,ν αριθpιιilν πoυ 6ρLoxoνται μεταξt f,oυ 0 xαι τι -
1 ε[,γαι θγα oπoυδαio παραδειγμα -πoυ ξαφνιαξει xαπιυg απειρooυνoλoυ τc
οπoioυ τα μiλη μπoρουν γα δoΘoυν με τηγ ωg αvοi μoQφli αxoλoυθiαg' Για να' τ
δoυμε αυτ6 γρo,ρouμ. τα xλαομιατα 6πωg φcriνεται παqαxατω με τη οειρα τι'
δηλιbνoυν τα bελη, 'διαγqαφouταζ
στη oυν61εια επαναληψειg τoυ Lδιoυ αqιθμι'
xαι αριθμιoυg με.1αλtτερoυg τoυ 1:
,/ ,/ ,/ ,/0l]Ι ι/1 2/\ 3/ι 1/1
t/ ,/ ,/ ,/0/2 r/2 2/2 3/2 1/2
,/ ,/ ,/0/3 t/3 2/3 3/3 1/3
' 'n,nu
Mπoρoυμε να πρo1ιrlρrjσoυμε σε 1-ιια oπoυδα|α γενixευoη αυτηE τηE ιδ6αg'
3-4 Θειbρημα. Aν A = A1 Ο A7 U Α3 U ... \1αL xαθε Ai lyει μ!'τρο 0' τ6τε τιl '.lyει μ!τqο 0.
Aπoδειξη.'Eoτω ε > 0. Επειδf τo A1' 61ει μιηδεvιxο μι6τρo, υπαqxει xιιλυμμα iLΙ,.r'LΙ., .r,(Jι,,l,...} τoυ Αi απo xλειοτα oqθoγιbνια τ6τoια ιilοτε γα εiγcι
ΣΞ' ,iι/n';l < i. T6τε η oυλλo'1η 6λιυν τοlν (Ιi., εLναι 6να xαλυμμα τoυ _l
Θε,υρ,bνταg τη διαταΞη
r/ ,/ r/U,,r l,=r,: L'r,r
Γ,.'
L.- , Γ:': Ll
MHΔEN;ΙKO MΕTPo KAΙ MΗΔΕNΙKO ΠEΡΙΕ\Ο\JF\r. i
- ,l_'ιιε oτι αυτη η oυλλoγη μπoρεi να, ,_ ' ιι'ιbg ΣΞ, r(Ι/;) < ΣΞ, u. = r. I
Ει'α' υπooυγoλo Α τoυ E' 61ει (n-διαοτατο) πεqιε16μεvo 0 α\/ ^/Lα" z.αθε . )- lΟ/'ει πεπεραoμ!νο xαλυpι1-ια {U',.. .,Un} τoυ ,4 απ6 xλειοτiι oρθo^,ιbr,ια_: 1'C/. εi,ναι !}, ι-(U.;) 1 ε. Αγ τo A tγεt μιr1δενιx6 περιεxoμεr,o. τoτε
- , ,' -,i'ιυg 61ει xαι μηδενιxo μ6τqo. Ξαγα. τα αγoιxτα ορθoγιbνια μπoρoυν ναl * -. lτιι.σTξσoυγ τα xλειoτα οτoν oqιoρι6
ι_Ξ Θειilρι1μα. Av α ζ β, τ6τε τo fα', βl C R δεν lyει μηδενιxιi περιεy6ριενcl.i'Γ(r'' (ιν τo {Lr1,.'.,Ur'} ε1'ναι lνα πεπεραoμ!νιl xdλιlμμα τιlιl |cι^ 8} απc)
-' l διαoτηματα, τ(iτε |i'-'υ((Ι;) 2 3 α.
,.τ ,ι)ειΞr1. Mπoρoυμιε φυoιxιi γα υποθ6ooυμε 6τι xαΘε LΓi c [o,β] . Aq εi.ναι{ t1 { ..'ζtμ = β il'α τα ιixρα 6λωγ τοlγ [/,. Τoτε xαθε υ(ξ) εiναι_ -a'Οtσμα oριoμι6vων απ6 τιg διαφoq6g ti -ti 1. Eπιπλ6ον. xαθε [t1 1,t)- : 'i]Τσ'L o' iνα τoυλιi1ιoτoν ξ (ουγxεxgιμ6να, oε xαθε θγα πoυ περιθ1ει 6να
-,.,ι;,'o or1με|o τoυ [f, ι,/,]), "ρ" Σi'=' ο(t';) > Σ.}='(t, _ f7 ι) = 3 - α'' I
]^', α ζ .J, ε[ναι επi,οr1g αληθ6E 6τι τo [α. β] δεν 61ει μ6τρo 0' Αυτ6_ , :IΤ€t απo τo
Lη Θειilρημα. Aν τo A εlyαι oυμπαylg με μηδενιxo μ!τqo, τδτε τ,, A lyειzι' -TtQιtyυ1ιειι't.
+-'i t)ειΞη, Ag εi,vαι ε > 0. Eπειδη τo Α 61ει μiτqo 0, υπαq1ει xαλυμμα τoυ- . .} απo αγoιxτα oqθoγιi.lνια ιboτε να εi,ναι |[' υ(η) < ε. Eπειδη τo' | ιι ου1-ιπαγ69, 6να πεπεραoμιiνo πλr1θog LΙt'...,LΙ.,, απ6 τα (Ι;' xcl'}rι'sπτoυγ- -_ ].:1ιL φυoιxα |i"
'υ(LΙ;) < ε. !
_ . ουμπ6ρασι-ια τoυ Θεο'lρηματoq 3-6 εiγαι λαθog οτην περi,πτιυοη πoυ δεν- -,.εi η oυ;"ιπαγεια τoυ,4. Για παραδειγι-ια. αζ εi.ναι τo,4 τo oυγoλo
T ] τιbν αριΘμιilν μεταξυ τoυ 0 xαι τoυ 1. τ6τε τo A 6γει 1-ιηδενιx6 μ6τρo.'- ":τoυμε 6τι η ουλλo^/ri {[αl ,Ιlι],...'fα,,''β,,]} εiναι 6vα xαλυμμα τoυ Α.*: ]ι] _1 περι61εται oτο xλειοτ6 ουγoλo [rr1,,91] U . ' . U fα,,', βr,J xαι oυvεπιbg- [cr1,βr]υ. ..a|cιn''.6,,]. Απo τo Θεdlgημα" 3_5 61oυ1-ιε 6τι Σl'=l(βι o.) > 1
.' l!lε 16.oι,o xιiλυμμα, αρα τo,4 δεγ d1ει μιηδενιx6 πεgιε16μιενo'
ΠPoBΛHMATA
*{" '..;τε 6τιτo [r.ι1 ,dr] ,...x[-α,'.J,,l δεν 61ει πε:ριε1oμενο0 αν αι ζ βl, για xαΘε i.
5.1
:l εToo 0. Aφηνεται oτο",
},:rl_'ιιε αγotχτα oρθoγωr'ι, ,
Ε..,_r: Uπoσυνoλoυ τoυ E:'; ι'ι πQoc!ανιbg μηδενι;,.,_
'' ' ιlQΨli μιαg αxoλoυθiι,:- rιrQoιμε να παgoυμε ι :
-. T6τε ΣΞr υ(t/i) '
. ιιεταξt τoυ 0 xαι τc,
:- απεLρoσυν6λου τc',ιz.oλoυθ|αg. Για γcl τ
.Ζt1τ(t] με τt1 οειqα τι,''ει: τoυ |διoυ αριθμι
l: 'τr1q τηg ιδfαg.
ξ, ,ι ιι!τqo 0, τ6τε τ,-'
'ι' . .ιΓτQo. υπιiρ1ει :-
L' -ετoια ιboτε γα ε.'ι' rνcl xαλυμιμα τoι
52 oΛoΙζΛHPΩ-Η
3-9. (α) Δεlξτε οτι ι'\,(1ιι1] :τειr,ιτr ιιι\ι1 ιlι'\'ι)/-O δεν μπoρεL να 61ει πεqιε16μενιr 0.
(6) Διbοτεir,α;τι(Q(ιδιι',ιl,izi.ιι,;τιlι'υι'r,6iιoυμεμiτρo0τoυoπo|oυτοπεριε7οιi,δεr' εiνιιt ιtl1δει'lzυ.
3-10. (α) Αγ τo Γ ε[r,ιiι οι,r,ο7.ο !ιε ιι1]δε\'ι7.ιj ;τεριε16μιενιl' δεiξτε ιiτι το ουνοq6 τoυ ε7ει
μηδενιxιi περιε7ομιεr'ο,(6) Διbοτε iνα πα'ρirδει',,μια. περcrτι,lμενoυ oυνο),oυ με μr1δενιx6 μi:τqo που τo oir'. '
τoυ δεγ 61ει μ6τρo 0.
3-11. 'E'oταl Α τo ουνoλο του Πqo67'i1μcιτog 1-18. au fi'(E; α;) ( 1. δεi-ξτε oτι -
oυνορο τoυ Α δεγ Δ1ει μετρo 0.
3-12. 'Eoτω f :|rι'iil * .R μιιr ιιtξουoα ουναρτηor1. Δεiξτε ιiτι τo otγoλo {z:"η./ ει'ιιουνε1rjg oτo r} εlναι μηδενιxιlυ μiτρου. Υποδειξη: Στr1ρι1Θεiτε oτο Πρ66λημcι 1':
για να δι:iξετε oτι τo {r: o(f ,") > *} εlνι:ιι πεπεραoμiνo. για xαΘε αxθρακl )l .
3-13.* (ιι) Δεiξτε 6τι 11 ουλλo"1η 6λωγ τιυγ ιrρΘο"1αlνi.αlν lor, βl] /' "' .1' fc,.,,, β,,'l με ιii.cιαi,6, Qr]τα μπoQει γα παQOυσιαoτε[ cυg ι:ιxολoυ[}iα.
(6) Aν Α C R,, xαι (2 εlγαι crγoιxτ6 xαλυ1ι1.ια τoυ Α, δεiξτε dlτι'υπαρxει ιrzιlλοι'ι.LΙl'LΙz' ξ. . . . μελιilν τoυ (2 η oπιliα επ[,οη< xαλυπτει τι> A. Υπιiδειξι7'. Γιcl'^ι-',.,''' '
r € Α υπαq1ει oρOογιbνιo B =Lαι,βrl x "'Χ [αr,,,6r] με oλcι τα α?'6i Qll
τετoιιl ιboτε :Ι e Β C [/ ^1ια xαπoιο U e o.
o ^oΚ^HP
ΩΣIMΕ,Σ ΣΥΓ{ A PTHΣ E ΙΣ
Yπενθυpιiξoυμιε 6τι τo o(.f 1r) δηλιbνει τηγ αL6Ql1ση τηζ / στo r.
3-7 Θειbqημα.'Εclτοl τo A xλειoτιj clρθοycbνιο κιιι f : A - R μια φρα1'μll'oυν(l'qτιγoη. Ay Β - {r'..f αoυνεγηg oτo r}, τιjτε η f ε[ναι oλoxληqclloLμt] (!'''
κcιι μτjvo (Ι'y τo Β lyει μηδενικ6 μ!τqo.
Aπoδειξη. Yπo06τoυμε πqιbτα 6τι τo Β {'y'ει μ6τqo 0. T6τε μιποqουμιε να 6ρoi'ιιιxλειoτα ορθo.1ιilνια LΙι'Uz,LΙ:'. . . τιDν oπoιιυγ τα εσ(,)τεQtχα xαλilπτου"\| τo Β /.(!.'
επιπρooθ6τωs ΣΞι'υ(LΙ;'\ < ε, oπoυ ε 6γα-ζ αυθαiρετα επιλεγε[g θετιx6g αqι0μο:Mπορoυμε επLor1E να πdQoυι-ιε για xαθε :ι: € A - B 6να xλειοτo oρOoγιbr'ιc'
ξ τo οπoio περι61ει το lΙ στo εσ(,JτεQL7.o τoU ι-ιε Ι1ι,.,,n.,ι("f) - rrι1,'.,-.1(./) { .
Tα εοιυτεριxα τοlγ Ι/, xαλυπτιlυγ τo ,4 - Β Nαl μαξl με τα εσ(DτεQιχα τιυγ [-συγιστoυν iνα αγoιxτ6 xαλυμιμιιι τoυ l. Επoμι6νιυg Θcr υπαρ1ει 6να πεπεραopι6r'cxαλυμιμια τOυ Α απo xαπoιcr απο τ('ι L|i '/"(Ι.L τα v;r. Mπoρoυμε πρoφανιi-,tνα 6goυμε μιια διαμ6ριoη P του _1 τετoιcr ιbιlτε xαθε υπooQθOγιbγι6 τt1q r'cι
περι61εται σε χαπoto απο τιr- L ; 7('l.| 1-,. πιlυ συγLστoιγ τιl πρoαναφερθi'l'πεπεραopι6νο xαλυpιμια τoυ -1. Αr'i'ι'lιτοr' ./(.r')] ζ Ι1 ^1ια oλα τα Ζ στo,4' τoτε(Ι(.f 'P) L('f 'P) <:'ι'('1)*]^l1 . - 0 οτcl'ι': _ Q.(3{l)
(36) Σ.τ.M.: Yl/δειξl1: L-)ει'lιlclι'ιι: .τ:l
yιιl zατδ;τrν τ(( |t.fι\tlul }ι'',' '\ " - .
ι,_τι,ιlι_,0o'ι'ι,)\'ll'lι' δι ι\r1.ll,,l..,' .,_,
τ,, :ιι ι':τιlοQ()o",,(i)\'ιιΙ' τηE P πoυ πεqι.l,1ονται oε 1 ,
/ι1]_.l,tε ['-' 111i1,1,11 ε:πιxirλilι]lr1 τι')γ διo 11γ),"χ11",'ιlrl
'τllψ
l.,]ι,.:
\'ι'.'l.Ξ
r-l: ',r
|''ι_1
ιστι7
'1 ''ι
.
Θειυρι1μ'']]l τ|l
7:,-', ::,.,-
-: \i- - \f
ΗL
.:,-'
oΛoKΛΗPΩΣΙMΕΣ ΣYNΑΡΤHsF Ι. 53
_i.: :τεQιεχoμεγo 0.
ι):tοιoυ Τo jΤtQt€/r
._'-ι το σινoQo τoι ε-'
-' ' zδ μι6τρο πoυ τo ι]i
- ''ι) < 1. δεi,ξτε ,.:
:,, υιlνoλo {r : r1 .. ,
']. τε στιl Πρo6i.r1ιl'' '(l' ι(ιΘε αzi:ριrιο
' ', Lar.,62l μιε ιli
:.: Jτt υπαQχεL σ.lo'/''' 'λ. Υπιiδε:ιξη'. Γιτ,'
ιιε ολα τα o',; . -;
Ε,]:ι].ι].
i - ,R μLα CρQLΓ' '
,.'.ι ιlλιlxλl7 9ιi.lrt ι ιι
. Lι:τoQoυΙ-ιε γα δa,1 ;/-il.λυπτouγ τo Ξ:','εi q €Jετιx6ζ α_Oι --
_l 'li.ε]ιστo oQθιr.') - πιγ,ns(.|
τ1ι εσ(υτεQιχd τ(
:]),tL 6να πεπερ((,_\Ιτoοoιiμd πρoι1::ι]ooθoγιbνιo τl :
]_ ''' τo πQoαγc/.(' a _
,_ri.(( τα r στo -_1. -
ι) ι] ]τει]| ι7(lντl 1
1 _ l]]tl τ(υν ι\υο oι.
l τo αγτιστQoφo, υπoθdτoυμε oτι η / ε[γαι oλoxληQιbσιμη. Τoτε B =Ξ,'Β: U...(για ε > ι), Β, = {r: cl(f 'r) > ε}) xαι αρxεi να δεiΞoυμε, Β + 61ει μ6τρo 0 (Θειilgημα 3_4). Θα δεi,ξoυpιε μιαλιoτα oτι xαθε Bι'εr'ιzο πεQLεχ6ι.ιεγo. πQαγμα πoυ tσoδυγαμεi μιε τo ξητotμιενo λoγιυ τηq: ιι: του 81.
- - } 0. αζ ειγαι Ρ μια διαμι6Qισl.i του Α τ6τοια ιilοτε t/(/. P)- L(.f 'P) <
,.:r'r1 τομιri βε τo B l .(37) Αν S e S. τ6τε ,\15(/) - πιsU') > 1. ΑQα
* r υ(,s) < Σ tn1s('/) πι5(/)] υ(S),5 €s s€5
< ΣtΙΙs(/) * πι5(/)] υ(S).5'
<:. αoα/tt
\--1- υ('S) < ε12.
l '- . τιbρα να xαλυιpουμιε τα otνoρα oλοlγ τιυν υπooρθoγο:νlιυv τηg Ρ μεi - -:.:1-(σμ6γη oυλλoγri xλειοτι.δν oqθoγφγi,α,γ oυγoλιxoυ 6γxoυ μιxg6τερoυ_ ' Αιlτα τα oρθo^1ιbνια μαξi με τηγ S δiνoυγ 6να πεπεραoμι6νo xαλυμμα_l ;,-)"ειoτα oρθoγιδνια oυνoλιxoi ol,xoυ < ε. l
- l-ιr,-ληQιbματα πoυ ι"ιαζ απαox6ληoαν pιd1ρι αυτ6 τo oη1-ιεio riταν oλo-l -i!' ιtυναρτtjoεοlγ παγιυ απ6 oρθoγιi'lνια' oλoxληριbματα παγοl απo αλλα
'{iftlΙJ*l'.11lυιστιzli ουvιiρτr1σr] χ1 τoυ Γ oρ|ξεται ιυg εξrjg:
Η -S ε:γδlxε1cΙ, να εiναι xενη.
'' \'lιiδειξη ιγ δ } (). διαπιατιiloτε ιiτι τo ιrt'lνoρo τυ7ιlioι,ι'τοοο(]ο.,,ι,lι,ιοι'τ11: Ρ'τιr;τι-]περασμιεγο πλri()οE xλειoτιilν oρΘoγοlνiιυν oυνoλιy'οi'ο^,,;uoι,{ l ιιι λ ει\'ι1ι τO
:,lιlρθo.1αlνiο:ν τηg P. παρτε δ - ε lzk.
54 oΛoKΛΗΡΩsH
Aπoδειξη' Αγ τo .ι' 6ρiozετιl.ι στo εσιι)τεqιx6 τoυ Γ, τ6τε υπιιq.,,oρθoγιbνιο U με r ε L' ι Γ. _Συνεπιbg χι = 1 Xαι ! χ; εiναι ιτ:.,Oμιoiωg, αν τo .Ζ εiναι oτo εξο.,τεq,xo iδ, ι. υπιiρ1ει αγoιΖτoμε r € U c Rn -Γ. ΣυνεπrE x. =0 oτo LΙ xαt η"x..i".,,'" ,
}λo'' αγ τo :l" 6ρi'oxεται oτo oυνδρo τoυ Γ, τ6τε για παθε αr,oι;,.:U πoυ πεqι61ει τo r υπαρ1εt !]t € i οr no, y, e U ο1Ι1,,'-Γ). ε7.,_,xr(yι) =.7 xαι χΓ(y2) = 0. Συγεπrg η x. δ.u uιuoι,'ouuuxηJ o.oοtγολo {, , χ. αουvε1ηg oτο r} ,a;;,';; oυνoqο τoυ Γ χαι τι,πqοxιiπτει απ6 τo Θεωρημα 3-]. a'Eνα περατοlμ6νo ουγoλo Γ τoυ οπoioυ τo oυνoρo 6xει μr1δ.xαχεLταt Jordan-μετqηιrιμo.(:o) To oλoxληqrμo j|i #*.i._ιi.o ,. ,
ΙΙ,91116μ."9 του Γ. η.9u (li-διciυτιιτo) oγxo τoυ Γ. Φυoιxιυ TUl 7.1l.oιαστατoE oγχο( απoχαλεiται oυ1vci μ4xog Nαι o διδιιi:οr,r.o. ψε,rυo'To Πρ66λημα 3-11 δεi1νει ο"., "rομi xct'ι εycι αγοιxτ6 αυγοi'ιl .γα,ιιηγ εi,γαι Jordan-μετqηoιμo, oυvεπωg ε|γαι δυνατoγ τo /- f lαx6μη χαι αγ 'o r ειuλi ;";,;;J';;;;"/ ;;"".';;"#JiJuJχ,j,'l],,
οdvτορια Θα ξεπεραoτει. J "*'νΛ!|5' Ιι uvψμ.
ΠPoBΛΗMΑTΑ
3-14. Δεiξτε 6τι αγ οι l'g ' A *.R ε[γαι ολoxληροloιμεg, εiναι ολοxληραioιμιη z,,.
3-15. Δεlξτε oτι αγ τo Γ dxει πεqιεxoμενo 0, τoτε Γ C Α για xιiιπoιo xλειoτ6 oοi),_,.xαι τo Γ εiναι .Ιordan-μετqηιrιριο lιαι .[^χr = 0.
3-16' Διi'loτε .dνα παραδειγμα πεQατωμdγου ουγ6λoυ Γ μι6τ9oυ 0. .1ια τo oπolo τιδεν ι'παφyει. ' ιlι ινvι ν' Ι/ιu
3'17' Αγ τo Γ εiγαι πεqατιυμ6νo oiνoλo μι6τEoι' O^ zιrι τυ Ja λι υπαqxει, δεiξτε oτι r0. Yπ6δειΞι1: Δεiξτε oτι l.ι.t' . P'1 -.υ 1),,, υλεg τιc διαμερiυειc P.ΧQη,,ιμ,,.-,., , .-Πq66λημια 3-8.
3-18. Αγ η.f : A * R εiγαι μιη αρνητιxη xαι .J.o/ =Ο, δεiξτε 6τι τo {r : f(r) =ι ,
μηδενιx6 ψ{.τρo. Υπ6δειξry: Δεiξτε ο.,.o 1, : f (r) > j} uruι. r,.nι,rror."" u.3-19' ',Eαταl U τo ιrνοι'xτ6 otνoλο τoυ Πqο6ληματοg 3-11. Δεiξτε 6τι αν J = λι'. ε.-iοιυg απ6 dγα αυγoλo μηδενιxoυ μd.il';;;;'; .iu., .^r"i"'^JJ,i"ηρ,;r,r,μη o.u
13-20. Δεiξτε oτι μια αυξoυoα oυναqτηoη f : [cι, [)l * -R εiνιrι ολοxληqωαιμη οτo [cz.3-21. Αν ;1 εiγιιι xλεl,ιττ6 oρ0oγωνιo, δεiξτε 6τι τo Γ C ,4 εiνιrι Jordan-μιετρηoιιιo ιι\ 1μονιl αν.1ια πα0ε ε } 0 υπciq1ει δiαμι6ριoη P τoυ A.ε-l,o_.ir.u Σr.r',.,''(_Jιl)
Σ.τ.M.: 'Η μετρ11ο1116 iιιrτiι Jordan. IO Canrille Jοrdan (1838_1922). Γαλλog μα(h.pιατι,xιic. ι..'1νιυοτoq απιi τr1 oυνειoι1oρil τιlυ oτι1 Γραμμιxr1 Aλ.yε,lρrι iKανoνιxr1 λnη'λr" ε:νιig πlνcιxιι] :oτην Aνι1λυoη.]
lμ:
Ιo ΘΕΩPΗ\ΙΑ Τ(]\ ΓL ΕE\Ι
:Ξs] υ(s) ( ε,6που η sl απoτελεiται απo 6λα τα υπoορθο.,,ιlir'ι(ι :τι}ι'τεLι.!ιlι.\
'. ιι r1 52 απo 6λα τα υπooqΘoγιbγια πoυ πεqι6xoνται οτο Γ.τι]
_- , το Α εi,ναι Jordan-μετρηοψιο χαι ε > 0, δεiξτε oτι υπαο7ει LΙι,ιι:τ(ι',,ε: Jοrdan-:-.tησιμo ιlυγολο Γ C Α τθτoιο ιiloτε ;!_.1 < ε.
To ΘΕΩPHMA ToΥ FUΒINΙ
--' lrr/.ηιια τoυ υπoλoγισμoυ oλoχληqωματων λυγεται, γ'Cιτα xαjτoLo τQ6πo. μεxl ]': .lr1μα 3_9 τo oπoιo αναγει τoγ υπoλoγιoμo oλoκληρωματων παγω απ6 6ναl., -,'' ορθoγιbνιo στoγ Rn, n ) 1, οε υπoλoγιoμ6 oλοxληρωματωγ παγω απo
-,οο: πqooδιoριομog τoυ, τo θειilρημα αυτ6 αναφ6gεται oυ1να ωg θειilρημαl Ξ*rini, παq' 6λo πoυ απoτελεL Nατα τo μαλλoν η ηττov ειδιxη πεqiπτωοt1- : -εr,loημιατoζ πoU απ6δειξε o Fubini(a0) xαιρ6 αφ' oτου εi1ε γ|νει γνωοτ6 τo*η ,.'iιια 3-9.
Ξ 6αoιxη ιδ6α πloω απ6 τo θεωρημα πρo6αλλει αναγλυφη (Σxημα 3_1) οτηντ _, :-:1',-]σll μιαq θετιxτ]E oυνε1oυg ουvαρτηοηg f '[o'βl"ll ,δ] - E. Αq εLναι
.Ιil l-ιια διαμ6qιoη τoυ [α,β]. διαιqoυpιε τo [α,β] x [γ, δl oε rι λωρiδ9s
- f (r,'μ), τoτε το εμ6αδ6ν τηg περιo1ηg πoυ 6ρi,oxεται xατω απ6 τol _.lt{( τηg f xαι παγω απ6.τo {r} x [1,δl ε|ναι
υrαQχει αγoL7.].rι oυvε1ηg οτο .'
ι'τo οqΘoγωνιο .
ιι oυνε1ηg oτοιoιzτ6 oρθoγιυ', ,.
l εχoυμε συγε:τ ,:
στo Ζ. 'Eτoι ..ιι τo-απoτdλεcι'
' μι11δενιx6 μιετ.,τo (n-διαατcrτ
τιυ λ6γω o μo1 . _
εμ6αδ6v.;ι'r,oλo Γ ριπoq,νtι μην oρi,ξετ .
ιcιi.iα 6μωg αι':"
Ο1.lσιμη xαι η ;f
ι1τ16 gqβργ(11,1O
ο oπolo τo f,
οειΞτε δτι /o \iιO]lσιμοπoιηστε
'l: : ;f (r) / 0} ε.1.
ε7ιiμενο 0.
.ιι'f =XU.ε7τ'-.ιr(rσψιtl oτo [Ο. '
ι'τιιιη oτο [α, 3]
ιιετρηoιμo αl, z .
'ε Σsεs, U(s -
ιcrθηματιx6c. εi., '
n εl,οζ πiναxα) ..
"δ ..δ
J, n' = J^,
t r=ft rJ1,r..l1.1l.l1 a.lι' .i,].|..ΔΙ
f (π, y)dy .
.' ;,'o: λoιπ6γ τηζ πεQLo1ηg xατω απ6 το γραφη1.ια τηg f xαt πιiνω απo τo.l'] x [?,δ] εi,ναι περlπoυ ioog με (t; t, i Ι! Jι'''μ)cΙy για r € lt;-ι,t;'].-.',::τιDΞ τo
ι.:τεQιπoυ |οο μιε ΣΙi=rβo*l;-l) .Ι! f @''y)dy'με ri €|ti l,ri].(11) Aπ6 την
'.,.,-1. τdτoια αΘρo|οματα εtr-ιφαviξoνται στoγ οqιoμo '"" !,|1s! f @,y)cΙ'μ)c|r.
s.τ.M.: Gιιidο Fubini (1879-1943): Ιταλ6q μαΘηματιx6q.Σ.τ.M.: Yπoνoεlται εδιb η ταυτιoη .ou .;[o.ρ]rιγ,δ1 ,f ι,ε τoν ουνηθη 6γxο τηq περιoxrlq η
ι ορiξεται μεταξil τoυ γραφrjματoE τηg f 'ιαι τoυ |α. βl x[l ,δ], xατι πoυ απoτελεi. oυγd'πεια\,tσLιoιτου Ιρ''r1 1. ,n]f "urαπλιbνιδιoτltτωντιlυoυνr1θoυgoγxoυπεριo1ηgοτoνR3.
56 oΛoK,\HPΩΣΗ
il]Ι'l':'
iipit' a!, I
ιιi
111
ΣΧΗMΑ 3-1
'Eτoι' αγ η /ι oριoτεri με h(r) - Ι!, n,, = ,t! tι"'y)cΙμ, εLναιλoγιx6 να περιμιθr,οιπιυg η h θα εiγαι oλoxληριboιpιη στo |α' 3l "ιo't oτt
n = .l"'' (/'' ,,,,a1a'μ) a'/u,,rt',^,,, t = l,''
Αυτr1 εiναι πραγ1-ιατι η περi,πτιυoη ilταν η / εi.ναι oυνε1ηg, αλλα oτt1 γει,ι..:περi,πταloη τα πριiγματα δυοxoλευoυν. Αq δε1θoι]μ., γιo'παραδειγμα, or, -.oυγoλo τιυγ ασυγεχειιilν τηq / ε[ναι τo {rρ} , [',δ] για xαπoιJ:ro e iα,β)._Α
Tιiτε η / εi,ναι oλοzληριboιμl.l στo [α,ι3] x [1,δ], αλλα τo h('0 -f' Ι{ru',U)dυ ιιπoQεl να μi1ν ορitεται xιrν. Kατα oυν6πεια η διατυπ.)ση τo:θεωρηριατοg τoυ Fubini φcrlνετα'ι i'i^,,o περlεργη χαι γLα τo λoγο αυτ6 τηγ απCl'δειξη τoυ αxολoυΘoιr, παρc.,.τl1οr1oΕΙ( ^,l111 διαφορεg ειδιNdg ,..q.,rrr,irοu.,g. 6ποιεiγαι δυνατig απλoυoτερε: διατι'τι,loει:.
Λi,.1η απαραlτητr1 oρoi'ο.,,icι τι,lρci'. Α" η "f : A n,R ε|γαι μια φqαγμει,r,oυναρτηoη oε z-),ειoτo οqθο^,,ιlι'ιο. τοτε. α'r,εEαρτητα απo τo αν η' i 'ε['ι,,
oλoxληqιboιι-ιη. τo μιιz-QoτεQO ciι', , ι1 οιi','ιιci ol'ιlν τιυν zατιilτερων αθρoιοματιlrχαι τo μεγαλυτερo zι'.τr.'l rΙιr[ι',,ιι[ι ιi)-r.,lι, τι,lr, α.νιbτεριυν α0ρoιoματων υπαρ1oι,l
\
--
,,ραιi ημια τη: /
,'ι)i"o να πεQtιιε\'C' .1-,
rΙι.
5. αλλα στη "i'ε', lr]
ταραδειγμα, οτ' -lioιo Ι[ρ e [α, 3] .
α-λλα τo /z (.i' :
cι i1 διατtπωσt] 1.]1
i'o'1o αυτ6 τη\' '::_,*
: :τεQιπτιbσεL(. a':.:rl1
εir,αι μια φQα'.'".':' η
δτoανη"f ι a.
lτεoωγ αθρoισιι,-l- :'rι
lοιo1-ιατων υπiιq, _ :'
To ΘEΩΡΗΝ{Α Τo\' trL Bi\Ι 57
ι -,]τεQα. Kαλoυγται xατιbτερo xαι ανιbτεqo(+z) oλοxληQωμια τη; .f oτο _1 z'αι
rr 1. 'o/'ι-ζoγταL
" l^f y"αL u Ι^f
ιi,- -:-rt7α.
j.ι Θειbρημα (Θειbgημα τoυ Fubini). 'Εoτοl A C R'" xαι Β C F*ΙΙΙ xλειoτα[Φ4-, ,,1'ι;-xαι f '. Ax Β - Roλoxληqci'loιμη oιlναρτηαη. Για r € A, oρlξoυμε-;γ'' Β - R μ, g'(y) = f(r,y) xαι θ6τoυμε
f (t, v)dv,
f (t, v)dv.
f ιαι l'l εiναι oλιlxληρδoιμεq ατο A και
* ;..l;,'r.i1ριbματα oτo δεξι6 μ6λο9 Nαλoiγται επαγαληπτlxα oλoxληριilματαη!]1i,ι - , .j.)
fiπm.ifΙΞη, Ag εLναι Ρ1 βια διαμ6gιοη του Α 'ιι"αι P3 μια διαμθριοη τoυ B':.*,: l:ιrιιενεg oι δυo τoυg δiνουν μια διαμ6qιοη P τoυ Ax Β ατην oπolα xαθεlΙiπlt ι,'". l',,ιD\lιo S εLγαι τηE μoaφηζ 51 x 56, 6πoυ τo S.a εivαι υπooqθoγιi-lνιo'πιl 'r ;/.tιι τo S3 ε|vαι υπooρΘoγιbνιo τηg P6. 'Eτοι
L(f'P)=Σ-r(/)'U(s) = Σ τΙ.s'lXs,(/) r(sa x S7;)
S S.ι,Sε
gir1 _ -,:,/.εια. αγ r € Sa, τ6τε πqoφανιbg rn5o "Suσ) < πLSΒ(9r,). Αqα, για
\- ,rl5,,,su(.f) .υ(Sε) ΞΣ-r"(g'). u(Sr\ = " [-rl, = L(r).
{ε JΒ
L(r)=" /on" =L f Β
tt(r) =U .lun, =U lu
/^'o' - f ι - Ι^(" Ι'u'@,αay)
a'',
/o"o, = l^" = l^Q" /",," vlav) a"'.
=:(*15.' su(/) U(r,,) υ(S;)
Η xιiτιυ xαι αγιυ oλοxληριυμα αντ[,oτιlιxα.
58 oΛoKΛHΡΩsΗ
Συvεπιilg
Παiρvoυμιε λoιπoν
Σ (Σ,,,-,sr \r,
:,, (./ ) , ιrr)) υ(S.r) < L(t', P'q).
L('f , P) < L(f .P-_r) < LΙ(L, PA) < U(ι.1, Pι) Ξ (J (f , P),:19ιJ η απoδειξη τηc τελευταiαζ αvιο.i', τιte "i',,', --1 ^'j'
-
λi:'r' ε,n, a'l i r'. ι "λ,'.iJ,ff ffi"f.l'J ;i ;,,f fi [lT,.,",}?}:H i :. )}l,suρ{l(4. P ι)l -inΓ{(Ι(t. P ι'} = [ l..
.Η :i}}Ψ;}*ii:fl;|:;]:::11:.,ol.rj.,. , ,'^ oo, = [ ^
Lo ιo7ιn,
L(f , P) < L(t^Ρ,l) Ξ L(U, Pl) < (](ι/,Ρa) s U(.f ' P). r
Παqατηqηoειq. ]. Mια παρ6ριoια απoδειξη oδηγεi oτoffr
.l^ ,,J'= Jr,, J,f,,'.ulιJllcΙμ = /r,u /r-f(l..μ1,Ι'1111μ.Αυτα τα oλoxληριυ1ιαΙ1^1oλoi"Ψ ι ε'τανα-λι1l'uιci ιlλoιλι1qu''ματ.αΥια τη\, ./αντι στQoq η τιiΕ η απ'o- εxε i ν η τo υ 0εωρ ιlμ ατ|..:.
-or,,,, ;. i;;'.;;;ro δI ciφορα .τ._:iJl'i;u{ ::l:;:l*:" o "i"ρo|η|Til ..εr, oτην επαναλl 1πτι x rj oλoxλη.,
]^ : r':γ,,'fi"t',n. i,il}il,J x,;.rH,iroλ9xλ4o,οlιlη 7lα xα0ε l.ετσι ι,,,.-J Η "χ,:,
δ.i.;ρ ; : γ, :u' ;; ; : ;i:,H:|gii' ::T ηι:TJ l#;ι,"i:| :,
il"::i Σ,,Tj'=o}'},:n, 9r"{Lα,,.,.oρno1,d.,oυ πληθoυc, :;=, i: .,r.ηu τ}iν.τει1,- εr,l,ο[ ;; l?lι'',"!l)d!] 7ια oλα εxτo:11o,rr.o..,.
^_.J.n"ruε"α υε πλrjU,:"λ,β;;;;,,;;J"];Jλ.^Tff Jfl il:},;::-:1il".ia*';,:'i") j:f ,,:,;}f ;,i;;f;:lJ: ΙufQ''μ)c\y να oριoτεl ouΘoiρ..o, αg πoιiμε iοo πρog U, oταγ δε,,
'1. Yπαρ1οl,ν ,τεQ| πτ(;)σεlΞ :τoι, τα (1ν(|)ρt1μα 3-9 πρnπει u,, ,iJ':[0 lΙ Ιιl ,l - #::::;la
;;;l '::;":"λΨ'.:.::Jff:::|",";ilJ,i,l;':;
C.(1, o .ι' ε[r,clι αρρητo<,[ι\, o .Ι' ειr,ciι ρητo< y"(ι',L o ιJ εiναι ιiρρητog,Cl\ η = i - o, ]). q εLναL πριi-lτoι ριεταξυ τoUζ-Zι.L o 'i] εir,ιiι qr]τoq.
f (',", μ)=
{i ,
ι ο),οxληqιi-lotl.ιl1 χαι J1n,,1r1n.'1 ./
Ιo ΘEΩPΗ\l \
- 1. TιilQα / '1
ι :_
τ ιl:. δεν υπαρ1ει αν o :?] ειν(Ι'ι QητO:\:. Σι'ι'ετr :
= [α1,β1] X ... X [,r,,J,,l xαι η / :,Α -. 'R ε/":''il"l :'a,,.']i1.o,l''].1'",,-uρuiμ. uα εφαqμ6ooυιιε τo θειbρr1μα τιlυ Fubinr διιl"δο7"ιz"ιL ^"ιci
l^ ιi,
t-- (,f , P),
1iγi/')!ογll ε7.ε
ι-(./, P)} =
=irf.oιο7
f.P). r
. ι1)ιΙ.ι:)ιΙy.
,,.:l,ιιατ (l' ^! tι'l''
:ιιL CΠ6 διιiι1 c .,.)'r1πτιzη o).οi'
L γ.(ιΘε :r^ t-_ll' l1 / εlγcl'ι ,-
',: χανειζ ει',
_1. Σ' αυτηr'τl:τεqιroμι6να ι-ι _
..τε:i- για πετε,.- l':(J',u.f Q'..,_τιl JΙQoζ 0. ι'-
t_ιι αQQΙτoζ.τιlι μετcιξi τιl''.:
-{ x R. τo 0ε:ιbρημια τιlιlτου .|. .f , μ,o xαι αrlτo
π crραι\ε: |γμιr"τι., oτι
r = [-1,1] x [-1,1] - {(r,;ι7): |(:ι:,y)] < 1}
f (r'
μ) . yγ(:r'μ)dy
[,.r = Ι'(Ι^f
(,-'y)
Fubini μιπιlρεi νιι 7.ρηoι1-ιoπoιr10ε:[ για"
εiναι εξ oqιιiμιιlυ το J..r,.r, xr ' ./' A'.ζ
\\... -.L'''.l,/r'l ) . .. |'Ι''''t/
[,.r _
Ι' ,(| 'f (r"y) .γ1(l:, 'υlaυ) a"''
7γQ, μ1cΙ'τ) r1.u '
(ttδ
αν y > lτ-vη y< ν\''}'δι,αφoρετιxιi.
,f (r' μ)cLμ " [; f Q' Φ,] μ.
Γ : Α X B, η 6αιlιxrj δυoxιlλicι στο γ(Ι εxφqαιlτε| l"crταλλη)'α
/.ετι1ι oτoν πρoαδ,oρι,lμL, τoυ Γ n ({r:} x B) για Ι € A' Aν τι'l
:", , a B ,.ρoira,oρi.ζετα, ευxoλιiτερilι, θα πρ6πει γα χQησtι-ιoπoυ1θε[
_:ι'z.o oλοx}'ηροlμα
ΠPOBΛHMΑTA
^\ x Β εγα oυγoλo πι:ριε1ο1-ιiνoυ 0' Αg ε[ναι A' c A το οirγo?''ο ιi7ιιD\i T(llγ
, .u ,,r,,,ιo τo {9 e Β , (li,'y) € Γ} δεl' iιu"r- "'ρ"1oμ'ιενου
0' Δε:i'Eτε ιiτι τo
60 oΛoK.\ΗPΩsΗ
Αι {^ρι μετρο 0. \-lir)21.i,;1Η 11 εiι,αι οi'οxiηριbιrιμι1 xcιt !n"uxr = J^u _αρcι ,J''^u L =0'
'-'JΛΥ'L
3-24' Ag εiγαι Γ ' [0' 1] .: [Ο. 1] tl ε\'(l)σ1l ιl)'ιoν τιυν {f } ,, [ιl, }J. ,;r,ou o f, εlνcrιαριΘμog oτο [Ο.'].ι,..u,:r.,
1.τριυτoυ< 1-ιετιιξi'.o.1r. s,-r,u{.i.;';.. Ι.),ια γιt δ..οτι η λεξη ''μετρο" oτo προΞ;'ηiια 3-2l'δεν μπoρεi, γα αντιχ(Ιταστα0ε[ απιi τl"περιε16μιενο''.
3-25' Mε επαγο.l^1η ωζ πQoζ rι δεiξτε οτι το [α1,,,Jl] * . .. X fα,.,l3,,l δεγ 6xει μι6τριπεριε16μενo 0) αν α; { 3i l/Lι.ι NαΘε i.3-26' Ευτι'' [:|α. l| - Rο).οxληQurri11111 χ({l μl| (ιQνllτtzti xιιt Α,= 1i,lJ):ιlxιιt 0 lt Ιιtl }' ΔεiΞτι: ,_,.ι .,', .'1 1'.iu,i J',,r.lrn ;,..a;'ι|,,;,,'
'r,,,'ir., .,,
Γ'r f171'ι l'l1JQ '
3-27. Au η l : [α,6] x [α,6] t -R. εiνιrι oυνε1r1ι. δεiξτι: oτι
/.' .l,,o f (:r,μ)cΙrr1μ =
/"o f ,' ,rr,
[.'' (Ι,'' uaγ Q' μ 1 cΙr) oo =
/r' u (',Ι,,,''", ro,, 1 ay) a', = o'
υ)ιΙμιΙr
Yπoδε:ιξη Yπολογioτε '9 '[, f μιε δυο διαιpoρετιxοtg τριlπoυg nγιrι lιaπoιι.l xcιτιl''l.ιτιiVιl).ιr Γ c lα. '1| !ιι. ]i'.''
3-28.* Mε: τη 6οηΘεια τoυ OειυqηματoE τoυ Fubini διilοτε μια ειixo).η απιiδει,ξη .i/ια τo ^/ε.,.
ll,..D.,^i/ _'Dl ιΙ rr,,rrnc.i u.r, ,,,'u,:|,.ιg., Ylιiι\ιt--l7: Αν D1 2'l 1ιιΙ - D'.1.[1,, 'i'.ταOχεl ορ0ο',,ιr,νιo Α πoι,περιt:xει τιl η ...o,o r,,ri.' D, ,Γ' 'br',''[
' u oi,, l3'29' Xρηoιμιοποιηιlτι: το θειbρημα τoυ Fubini για να oδηγηΘεi,τε oε ιlριoμι6νη 6xφραιτr1τον ilγxo εν1lg αυν6λoυ του R3 τo oπιliο πqoxυπτει,r-ο.|', r.Ιρ,o"ρo,pri γιρ,,τoν αξoνα τιον z qνιig Jιlιdlη-*..n,',r,μ,_,u ouri6λ.,. o.n .r,i,.,,λ'.,")r.3-30. 'Eoταl Γ τo ουγολo τoυ Πριl€iληριιlιτoq 1_17. Δεi,ξτε 6τι
αλλιi τo -{o.
' 1 , 1n. ,1 1η δεν υπαρ1ιlι
3-31. Αγ Α = [oι,βιl 'f':/_f|μgx |α"'ij,,] ιcιι η f : Α - -R εiγι;ιι oυνεxr1g. ορlξιlυμε τ
tι '. f Ι.'Ι!,, .,,i |u, .,, ]
Bρεiτε την DiF(l:) 1l/ια .ι] στι) ειlιυτεριzο του l.
-
,";',,.,ir1,E;"-',;l''rl';]',l 'ι'τ'| /' ι'l'''' ''ι| | -""]] :: :,:,]ι
,,n h5 διιχvoι,ν -μf τ)I ιlο}|l |j
μεΙΨil';;lll)ιi*,l]':.:i,;,j:; il;,,i::i.,]]J".liil}ιild.J;}:'ι;:;πjΙπi:Ιljj:,
" /-r,,εXr - /,:'
,J.οπoυof,ει',,lτεiτε ι:το Γ για ',
,, :ι;,.cιταoτcιθεi ctτ,.
' . Jr] δεν d:1ι:ι ιl.-
ιι Ι1 = {@'μ),:,''!:Qllσtιιo Xat €/ει :
' ,] ιl ιΙ:τ: .
1ι\ι'ζ γtα xαπι'lι-cl ^ι'
,:.l; ιlπ/lδεlιξη .1ιιr τ,,
' Dl z.f @) _ Dι'ι.':' D2.1f } 0 ι-τ
:ι 1_rε oQισ!ιεγr1 εzι1 ,
] τll\, πεQιστQoφ}i ','
-τεδO yΖ.
'. ''\ιΙμ ) r/.r'=ιl.
,'1ιL συγεχη_ζ, ορι:ι-
^5 δε:i1νoυν με τll^ ..li.ιlι-l, δπιυ.c ιrρioτl1
,l'.'zo (εμ6ιrι\oν. μιl1-,
ΔΙAMEPΙΣΕ1- ΤΗ: ]'1 :' '' - 61
: In. JI ll. υl - R ουνε1ηC χ((ι υπι)UΓ{\τι "τ'
. :ιlι'ιlε την Γty) _ J,'' Ιι'' μl'l'" ΛεiΞτι τ''r 'z'
= 'D,.11r'μ)dr.Υπιiδtιξι1:Flμ\=Ι,'| fι' μβl- l,' 1_-Ι' ' ''' )'-,' (;.r'6J.',ξη Θα" δεiξει 6τι i1 oυν61εια τηq D).| |ι:τι-1!]ει
1" ι\'τ.7'.]τ.11lτι.ιι]Ει
- εiοlτα αo0εν6οτερεq υπoΘ6οειq')
r. J] r h,δ] - -R, εlγαι ουνεy,lig Nαt η D''f ιι\'iιι (]ι'\'7'll:' ι]ι|t 1ιlr'lt€ Ιilν
r . .l(/.'!J|C]ι.' (α| Bρεiτε τι: DIF' D^F'
' , , _ 'Γ,n''' [ιι.l'lι1ι. υφεiτε τt1ν C'('., )'']-'
:.!:IR2*fi|oυνε1ιilgδιαιρoqiοιμεqxιrιιπoΘει.lτειiτιD19 =Dι9l.,Oπ(')-ζ
,l.l1ιια 2-21 . 0ετoυμιε
Dι.f (';,'91 = g1@';g)'
'' (ιι ll ./ R'ΙL + Rn θνιιq γραμμιx6_ι pιεταο1ημιατιομ6E εr'69 τ(l)ν χiiτιt)θι
i l.t
iti
f ("'y) _ .[,','"
nrrr'υa't* f,,l' 912@'t)rl't
[9('i)=ei\ 9('r) = α';
f glei)="i\ οt. , l = ( J + ( l'
(r1\,s'Ι-ι1' k=i'J) cl(tr|=ε;Ιr,,,,l="i
'.[.εiγιlιεναoqΘογιilνιo.δεiξτι:6τιoιiγxo-.τoυ9(U)ε[ναι|deι9|.U(U).', Ξτε oτι ]deι.q] 'υ(U) εlναι o 6γxo< του 9(U) γιιr xαθε ^1ραμιμ^ιz6 μετc1σχ1]ιια_
- - ιl 4'.R, -a..yλai|,"εη,μ,u..l"t',/lil,τ6τει1 9εiναιιrυνΘι:οr1 γριrμμιιιιbν
, u.i,11,.",nμιbγ τοιl τυπου πoυ Oεοlρr1ocrμε οτο (α)'
-..1,Cιιvalieri).(.16),EιrτιυoτιΑxcl'ιΒεlναιJordan-μιετρr\οιμcrυποιrr,lνολcl't' Θετουμιε,η., = ιι,'gl'' @,o'^i) € Α} xαι ορi-tουμιε cινirλο^1α τo Β^' '
_,.,''.ιιε ιlτι τιr,r11. B.' ;ιu;"; lnλun-ι-ιo-iρrinιμcr χαι ιοεμι[iιrδιzα. Δι:ιξτι: οτr τιr Α
',ιlL'\' T()V iδιo 6'ixιl.
ι.J Ciιιtfiieιl WilheΙln Lcibniz (1646-1716). 1ιε:'1ciλοg Γερμανo< r'oιιoμcι()ri:' ιι'ιλοοoqloζ
,l_ ιιοιριiξι:τιiι μαti με τo Nεirτιoγcι την πατρoτητα.'l"' o":l:n":::i:): }^:]:::i:li
_,.n,1aι,, για τηγ πoi'.ι'o1ιδr1 τοι} πQoσ0Jπιχoτητιr z'α()ιilE 7'αι "i/ι(Ι τ)l\'(ιΞιoσ}1ιιει(l}τΙl
ι]τ(.i. M(/-ιJllιιιΙτιz"α μπoρεiτε νcι ιiρεi"ε οτoγ Α'τιiμκl τoι' ιlQ'''ου τοι' E'l'' Bc1Ι "()ι
Π Ε.K. 1992).
:, : [^, , δl ' [ιι, 3l. διαιρoρiιlιμιt1'
:t.ιncescιl B. CaνaΙieri ( 1 598- 1 6;17) : Ι ταλoc','εolμiτρl1g
62 OΛOKΛΙJPΩsΗ
l1-{ }ΙεΡΙΣa'ΙΣ THΣ LΙ\NAΔAΣ
-rr^,1.:.,iu τ_ην :ταQα.,,Q(1ιJ ο ΓlσU.,,εταl εν({πλα[oιcι τηg Θε,,,ρ[C/.; o/.oΖl.ηο(|]σ1l:. εργαλεiιl εξαιgετιxηg oημαοicι:
':!! "r^rημα. ,Εclτcυ Α 1 η,, y"αι C
|.6','' ('" oi'i'ι,,,1',1 Φ αlυ C"' n,'",,o)"ε';,1-ανoιιτ,i ιιiλι'μ!ια τιlι, /. Y-υι'νoλrl To ιl11116..,ρ,o7r, τ,', !,",,'r'r|i',!.?:s |' πoι' oρ1ξoνται υ. iνιι'(ι1 '
-(r) Για xιiθε
" . l' ,,'''.''",'
'
,''''- 'ir.j ;;; ;d;: :Ξ i :!::!"! < ./j( r ). < ]
;ror, ')λ',, o| .n
u'o?Χ'ι ιινoιxτδ ιlιiνιlλo 'V τo oπoi,, nr),',yr, τυ J.' τ' -
νrι ειναι 0 oτιl(3) Για xc1.θε , u'ru
Φ' με την εξαlqεαη ,"o' ;;";;;;;;;:\'';;;;;,,", :: -
/Λ\γ;,:;;'';;il"7i"'''!i"Ξ:;:,:!!*;:.':"';:"f ,':::::r':rE::',,'-(+'
!!L|,\?i':,f.3 );:::::' :,i:,,;:::,,":;'":1;,:"γ ::,,,['o ,,,,o'n iυτι -' .
(Mια oυλλογη Φ πιτηE μovιiδα''rλ l]".il'χJ:iL'Ι.1"':::: (1)
φ) xαλεiται C- διαμεQι,τ,xυqιαq1εiται απd το xιiλυμiα b -r#::":*:ιει επιπλ6oγ χαι τηγ 1+;, l,εi,r-',-'*rε1.1i*',,i, J"l,".δiηlΙ}|fμα
o' Στo παqlov nuφox''o δ;";;.;,r..υριε μdι,c,
Aποδειξη. ΠεQ.lπτcυoη Ι. To A εiναι rιιlμπαylg.
:::,.^:^$"1 "λι;Ψ"t6γo πληθog
',' :",'!-::oγoιxτοlν oυγ6λο:γ oτo Ο ιxrρ,,rρ1o,1|or;; ,;*J" 'ρυoιxα v({ χατασχ1
9f',-oλ, D; c []i.,,,::^1'1'ι'u"" ir,-;i:iΙΙ' λ[:nu.il:1'Jll}'J;ili' ,
ξoνται nroγrγ, ,,i'r,a u"o''u τιι εσιllτεol χιi
η oυιιoγri {inl D, 'ξη: ,""uμ"..:-;,"Ι,';ij'.1ll'r],'?"';'I:^b,""*'i').,,η oυλλoγri !ιni D, : l;;;;:",;::: |'' ii,o":";,i"#.:r:.,::lγd;:::::
Ck+t = A _ (intD1U... U inrDι'UfΙk*zg. υtΙ")'Τυτε το (-, l l Ιl
ορ,,ιμ. r.],}"rj*l,l,,ilJ';:"'J;;:;,,::Jo"u,. ιΠριi6λημα Ι_22) μποροδμε '
l
I
Cl''' C iι'lι D7'-1 y"αL DA'*l C fΙμ*1 .
". Ιi:Ι:ι.ζ vUτU'σ.-εl'uσε'| τα οl'r'οi.,1 p,.\ συvαQτ}lσιl }| ο-τοl ι{ Γι\,| ιι ιl, τlz,1 o1ο
'^. 'D". αg εiναι υ, urD, ni,,, dι;;;j i:;:::":Ηli(47)Σ.τ.M.:lυ inι dl1),'\.., -'' '''2'''''ι1''.,,,,
ΔΙΑMEΡΙΣEΙΣ ΤΗΞ \ι')\ f' \ r'' 63
. Γ ψιεχoιιενο ::: ?: l T i"}iii,';'j'o |Τ :'iL' ι:'.l'"'; ),, *, n,,.,'|..uτo Α. ε1oυμε Ur( jι:)
. ';;"';λ;;|u, 'o
Α. Στo t/ μπoqoυμε να oρtooυμε
Qετιχηζ
|'ιι'ιια τoυ A. Υl''-1Ξtlι'ται o' lνα cιl''
c -.
ι'', lερι!.yει τo r, τ!:ιιlι'ιlιl πληθoιlg cl-' :
!\ ilεται 6τι yιcι ".
ο cLνclιxτl odνo)'c '
'ι'' Ο τ!τοιο ωrlτε : '
t L-.
ιιιi.εiται C- διαμεi 7.αι τηγ (4), i'ειι;θιι 7-ρειαατoυ1.ιε μo"
υ;ι' ουγ6λωγ oτo ι.διciμθριοη τηζ μΟ1' -:
ilroυμε πριbτα οιιι:::ο _{. Tα ,i χατι/.ι'τi'.a '1ιlιb
ε7.ουν εxλεγεl 6τοι ' 'τπg
rει τo Α.(a7) Θ6τουιι.
" ' (Ιr,').
t.ι1ιcι 7'22) μποQoι':': 1ι1tl
Δ'-i.
ειr'αι dl; μια l-ιη clQ\'Ι:'sΠl
:Ξιυ απ6 xαπoιo ;'-i.;.:τφ'
φ.(r) =
-υl 1.μ "'+ ι',,(r')
ψi(.r)
-,, lι'ιι11τη διαμiριoη τηg μιoναδαg'
- ' - 'lτιυoη 2' A = AιU Α2 U Α: U ' ' '' 6πoιl καθε Al εiναι οιlμπαy!'q και
'- -{,-l'- ι,:ιθε l αζ εiγαι Oi η ουλλoγl].J o,''o"}oυμενη απo oλα 11'ουνoλα
Un
. - -L, z)'/ια LΙ e 0' Toτε η o' εi'να1,1νoιNτ6 Nαλυμιια τoυ συl-ιπαγoυζ
Β, = A.- lnt Ai γ' Aπo την, ".aχ.9::.:,J:i'}'λ::t"ιχ}JJ',,-, . i ,;-1;u:i;;;r"'i:; "'ο "=δ''
Για xαθε r e A τo αθρoιoμα
α(r) =
φ€Φ'Σ, ιiλιι
φ('ε)τα i'
]' : :τε1εQασμ6νo αθροιoμα οε Nαπoιo ανoιxτ6 oυγoλo πoυ περιθ1ει τo iι]'
. :'.' .l'€ Aι'rο.uφ|'; =0 γ'o / e Φ'l *;';'; i+2' Για v"αΘε'φ οε NαΘε
t'ι - 'ιιε ;'(r) = #B n ουλλoγη 6λωγ τωγ φ' εi'ναι η επιθυμητη διαμ6ριoη
[ι : ),-ι:.
- .: ' .:τιlol1 3' To A ε[yαι' α'ι'oιxτ6' .^ -''-A' , oυνoqo τoυ
,:r:_'_'''ιιε Ai' = \r e A: \rJ < i xαι η απ6oταoη τoυ iι] απo τo
'z-ιιι ει{'αQβoξoυμε την πεQιπτωση /'
_ '::τιυοl7 4. To A εlvαι τιlyαio odνολo'
_ ' Β 11 6νωοη δλ,;-;,;", yn? O.11:,::'-#':ffi::: i":iffl:- -f, l"i}::: ,t% H"";'iuiuo., a'"μiριση τηζ μoναδαE χαι για τo
Ι
Ξι1Ε]Tt[ να οημιειωοoυμε εδι'b μια οπoυδαiα ουγθπεια τηg oυνθηxηg (2)
,',,,,.,,-o.. Aζ εlγαι "T ''i*"l'i''oγuq' Για xαθε r € Γ υπαq1ει αγoιχτo
. το oπoio ,uρ'θ1ui ;';'';ji".,; δοτε μ6νo'"'":91:t']ου^πλΙΘoυS
1..,.εiναι 0 oτo V,. Eπειδη 1o Γ εlναι'οu['rro"1εg. ".T:g"oι'u:
πληθog
, - -z.αλυπτoυγ τo Γ' Συνεπιbg 'u"uqooμεiou
μoνo πληθoυζ l € Φ δεγ
_:': Γ.
"""""""",
64 oΛoK,\HΡΩsH
Mια οπουδαi.ci. εr.μcιοιιο.,,li τr,lι' 6,.,,,.oioειυν τr1G μoναδαg θα xαταδεiξει τ,6αoιxo τoυq Qo)"o -τo\' ι]ι,\'οι..,o,,o ,,-o-..λεopιιiτων .or,rηg-uρ,ε6λειαg οε ιι.oλ6τr1τα.ι+v) 'Εt'α cl'ι'o_ιzτo;,.ci).ι,ιιιιcι o εγoq αγoιxτoυ oυγ6λoυ,4 C -R,, ε[r'παραδεxτ6 αγ z"α.θε t- ε C :τεQιε7ετιιι o.o i. Αν η Φ ,rqroa|uι.oι απ6 το .-για xαΘε r e A η.f :--i - R ειr'ciι φραγμ6νη oo xιiλoιo λ,".ο ιrυγoλo Ι,4,' -oπoio περι6χεt τo x:
"'yL τo {.r : η / α"υvεxηq oτo r} η', ι.,t.ρ.'b.';;;'rj.,,Ιlγ:lfl υπαg1ει. Η / oρiiεiα,.,o uι.,o. oλoxληqdlοιμη (υπ6 ευρε(,α 6vνoια) , .
]'?."Ξη:*l φ ')f ) oυγxλiνει (η απoδειξη τoυ Θεωqηpιατog 3-10 δε[1vει 6τι ,
συγαQτησεtE φ μπoρoυ_ν να παqατεΘoυν ιυζ oqοι αxολουθiαq). Aυτo ,urur.oγ..ουγlιλιoη τoυ Σ9e o | \'l ,f l, αρα ιrπιiλυη οiiγxλιοη'.r lr..,,,'lφ.f -;;;"ορiξoυμε γα εiναι'" 'Ι.lf . Α1lτoi. oι αριθμιo[ ε[ναι αvεξιia;l'.;;-ou () xαιτη ,1
(δεiτε παντωq τo Πa66λημα 3-38).
3-11 Θειbρημα.
(1) Av Ψ ε[νcιι ριια αλλη'.διυ"μ{QLση τηζ μclνdδcιg xιlqιrιqyoι|ιριενη απ6 !,,παρcιc\εxτ6 xαλιlμμα O, τιlιl A, τoτε ro Σι1,ε\, ΙoΦ' Iitrn'loηζ oη,x)'ilχαι
Σ"l^φ J=Ρ-l^
Σ l'Σ,' ) Ι=Σ Σ /; Φ" 1 '. ι1ι l Φ,..ι1lJ.l
Σφ€Φ
.. { _
Φ.f
L)Γ
('2) A! r? A ε[ναι cρ7αyμ!νo xαι η f ε[ναι επloηq φραy1ιΛ,η, τ6τε: η f ε1ν,''oλoκλη qιboιpιη ι'lπιi ευρ εlcι !νyo ια.(3) Aν τo Α ε[νcιι 'ΙclrιΙαn-μετqηoι1ιo xcιι η 'f ε[ναι φqcιyμ!νη, τιjτε cιιlτo:
clριαμ6g τιlι' .[l J oilμφcυνε[ με τoν oqyi",j.
Aπoδειξη
(1) Aφοt φ 'f = o εξαιρoυμιiνoυ εν69 ουμπαγotg oυγ6λoυ Γ, xαι υπιiρ1οι,-.πεπεραoμ6νεE tr"ι6νo οε πλrj0og i,' μυ1 μηδενιrlg oio r. μr.oqouμo να γgαι1loι,μι.
l^
$'6 a ιrπιlτ1lλεoμια εφαρμoξoμιεγo στηγ ]/| δε:|xνει τr1 oιiγxλιoη τοιΣ. ,,'Σ,.,,, Ιι,'. . .'t' ,,,, .'o,,.',,,,; ..,| \- ^\- .''. iΓr.η',..Il,.,',iurl1 ,-,'',lr;,υt1 δl;z.ιιιοi.,,],,ι,i .;,,ΙiΙri;.,i".';il uJ,l,
j,",,a".{,
('19) Σ.τ.M.: Ανιiλo.,,t1c ι1ιi'clιlιlι1ιcι: διιιδι;,.ιιιriε: (ιlποδειz'τι.ιε.q xcιι οqιιrpιου) πιrΙ,ξιlιlν dr,αν ιδιιιιτε:ρo ρ6λo oε διciqloροι'c Τιl11i - ' r \iri1l11111l1171]\'' ;ταo(Ιδει1i,ιι(ιτιziι ανcιι1lεροιJ|-ιι: την περ|πταlιτlδlαδιzιιυιι'lv τltf(,l, l,,.i/i/.τ ιz)l: ι j1'l ε /Ι|ii]. lε'τl(1cιι'ι.ιε: Rienlιnn. ιlριιrριog σltνoιιoiιογιαζ De Rham ιττι:μιιγιrδιιig πoi'λιrπλιiτr1τε:: )' Ζιιτ(ι τι: ι]:τι]ι ι: ι)ι]ι(jιιε\'ιt rιτοτελdιηιιιτα' τoπιxιlυ 1αqαxτr.ρcr μιετιιτρι!το-νται, oε 1ι1ι1iδε'! μια: εt,Qι,τειrll: ,]l.'],'ιrι,;l]' ι,ι 1lι,.,Ζοl-/.tlτι7ιi υ),ιxο ιlνα διιioτημιr [λ, Ιll.
1: θα χαταδεiξει τ -'ιιl1; εμ6θλειαζ σt tι-l;ol'oυ Α C .R'' εiι _-:ι
ριcιρ1εiται απ6 τo -_
:ι'oιzτ6ουγoλoΙ';::ι ιι6τqo 0, τ6τε zιι:ι'τo ευρε|α 6γγoια1 ':,l; 3-10 δεL1νει oτι -l'
; ). Aυτo oυγεπα','ε:.:ι-.'=a.l'qφ'/ τo o:τι' :
1lτoι τoυ () xcι't τ1- 7
ιtιQ/'oυμεyη απo
'{ επ[αηζ oιlyz)'
'ιι1l'η,τ6τεη J ει''
ι',' ιι!νη, τ(lτε cιι'τ,.' :
i.οι Γ, xαι υπαρ7.,: .-,
τοqoυpιε vα γραq'c''-,*:
t".l ,' 'φ' .f.
}'ει τil αtγxλιoli - ',,
D Σι,e ιtl | [oν ;ι' ταξη αθqoιαt-1: ,; ",
ι,.ιoι') πα[ξoυγ iνιιι' ,
n'r,1ερoυ1-ιε τηγ πειrι- 'πlr.\οuoλoγιαζ De Rha: _;ι7.ι_)ι,'/αQαχτliQσ |ιετ(ιi";l - .
ι:τl'1ιια [α, 'Bl.
,,,.,,lτ6ρω ιο6τητα.(50) τo διπλ6 αθqoιoμα πoυ πQoχιπτει ισoυτc(ι :τQot{cι-
, ,; μ; Σψ.* ΙoΦ f 'Tελog αυτ6 τo απoτ6λεαμα εφctρμοξoμει'o οτl-1ι' ./
::τoδειxγtει τη oυγxλιoη τoυ !φ.* ΙAψ |f \
]: 'ξ'. τo Α περιdxεται οτo xλειοτ6 oρθoγιbνιo Β,lf @)\ ( ,11 ^.'ια.Ι Ξ --l. 7"αι
' Γ : Φ εLναι πεπεραoμ6νη oυλλoγη, τ6τε
Σ / ?.'[|. Σ.ηr I u=Λr l Σ;. ΛΙ ι'ιB).7.rJt 7, rA rATr
;-Οι'!..ρφ<1oτoΑ.ιβ i., . Ξδ._urrαρ1ει (Πq66}"ηψα 3-Ζ2) 6να ουμπαγ6g Jordan-μετqηοιμo oυγoλo
_ : _1 τ6τoιo οloτε [^ .1 ζ ,. Tιbqα, υπαQχoυγ μ6νo πεπεραομ6νoυ_'.'lθουζ φ € Φ μη μηδinλθg oτo Γ' Αν η -F C Φ εiγαι μιια πεπεραoμθνη-.:.i.o^.,η πoυ τtζ πεqιλαpι6ανει (τιE φ) xαι τo Ι'qf tyει την αq1ιxη του
-'ιιl_ισια, τ6τε
ΔΙΑMEPΙΣEΙΣ ΤΗΣ \Ιo\ \ \'\' 65
Λ[ε. a
['r Σ/prl = t|, Σ,rlJι' 7rJo I Jl| 7, l
=u /^('-p.,)-Λt [Σ ?<Λt /o,'.JnoΞ o
ΠPoBΛΗMATA
. \ τοθ6oτε oτι η f : (0, 1) - .R εiγαι μια μη αρνητιιη ουνε1ηg ουναρτηοη. Δεiξτε
,'τι το /,^,' / υπαρ1εr αν xαι μoνo αν τo lim^ l l υπαρ1ει.J(υ.ι}" _ --οJ.Ειττιυ Arι _[| *L,1- f-τJ. Yπooloτε 6τι η "f :(0, 1) - R ιxανοπoιεi τιg
]7.εσει( Ι",'f =(_D'l.n^aαι f(r) =0γιαr e (0,l1-(υΑ,). Δεiξτε6τιτor
,' ,.', / δεν υπαρ1ει, εγιb 1im' l f = Ιοg2..-υ J1..ι .1
: - _1,, 6να xλειοτ6 oυγoλo περιε16μενo oτo (n,n + 1). YπoΘετουμιε 6τι η' j?
-R'ιπαγoπoιεiτιgo16oειg Ι",,f =('-1)"lnxαιf(r) -Ογιαre R 1υΑ").1.,,-: δυo διαμερioειg τηg μoναδαg Φ xαι ιP τ6τoιεE ιi-loτε τα Σrna .|nΨ'f ncu
_ .r, Γ"Φ f να oυγxλi,νoυν απολtτωg oε διαφoρετιxig τιμ6E.
- - },1 : Παiρνoυμε δηλαδη Σr.. Σ,l,.* ΙoΦ φ . f =ΣΦ.oΣr.. -Γ, L' ; .f
66 oΛoΙζΛι{PΩsΗ
{'1.1{ΓΙΙ MΕTAΒΛHTHΣ
Αn η 9 : lo' βl - R εiνcιι οιl,ε7ιb: διcrφoρioιμη xαι η .f : -R - -R εiγαι συγε7}..:τ6τε, ωg γνωoτ6ν.
l'g| 1Ι ρ j
Jo,,,Ι=J.(!ag\'g"Η απ6δειξη εiγαι πoλυ απλη: αν F,= f' τoτε (f' og),=(f"g).g,.ετor
'αQιoτερ6 μ6λo9 ε|ναι F(g(3))- F(s@D' ενιil τo δεξι6 εiλι ιρ""s)Φ)-(Foq)(αγ =F(t]ιθl) _ F(g(α)).
o αναγνιboτηg μπoρεl να διαπιoτιbοει μι6vog τoυ 6τι αy η g ε[γαι 1- 1.'παραπαvω ο16oη μπoρε[ να γραφεi
l' Ι [ J'og'|g'ι.'l q((ο 'll\\ J γο.,31
(Εξεταoτε πριilτα την πεqlπτωση πoU 11 9 εi,vαι γvηοiωg αιiξουoα χαι στη oυν61ειτηv περiπτωση πoυ η 9 εiναι γνr1oiωg φθi,vουoα.) Η γεvixευοη αυτηg τηg oxεo,,οε μεγαλriτερεg διααταoειq δεν ε|γαι Nαθ6λoυ τετqιμμθνη.
3-72 Θειbqημα. 'Εoτω A C R,. !να ανoιxτ6 odνoλo 1(αι' g : A _+ Fcrι μια 1- ''
oιlνεycilg διαφοqloιμη.oιlναρτηoη τ!τoια cbατε detg'(r) l'0 yια ολα τα r e --Au η f I g(A) - R ε[ναι oλoxληgωoιμη, τ6τε
tJ rlι'λ)
Aπ6δειξη. Αq1iξoυμε ριε μεqιN6g αημιαντιx6g αναγωγ69.
1. Yπoθ6τoυμε oτι υπciq1ει 6να παραδεxτo xαλυpιψα O ι1ιατo Α τ6τoιo ωoτ,για xιiθε LΙ e O y'αL yLσ' xαΘε oλοxληρδoψ,η / να d1oυμε
f=l^ffos)lders/l
f - f, ft o (t)ldets').
-
/n,,,,
T6τε το θεωρημα αληθευε,ι 1l/ιCi τo -4. (Aφoυ η 9 ε|vαι αυτo;-ιατωg 1 - 1 o, εr,,αγoιxτ6 oυγoλo '1υριυ απo z-α.0ε oημε[o. δu, orro.uλε| 6xπληξη το γεγoνoE oτμoνo ο' αυτ6 τo τμημια τη: cιτoδειΞ,1. 7ρηo,.μorroιε|ται τo δεδoμi6νo πωg η 9 εi'cl1-1oτο,4.)
Aπdδειξη τol-' (] ). Η oι'i.i.ο^'r1 ο)'ι,lr, τιrlγ g((Ι) εLναt 6γα αγoιxτo xαλυμμα τοg(Α).'Εoτω Φ μιci διcιμιιoιιlll τ}l; ιιοιcιδα; xυριαρ1oυμενη απo αυτ6 το xαλυμμι,
Ιn,u,
ΑΛΛΑΓΗ }ΙEΤ'\B.\ΗΤιr 67
1 - l. ε1oι'ιιε (, '.' } J = |l ε:l',
f) a s)ldets'R εi.γαι συγε/lζ
, g).g'' 6τoι ;'l J)-{Fo.g)(cι =
g ε[ναι 1- 1. -
7.αι στη συγε/ε..':ιι'τηg τηg ο1εcnc
- R" μια1- -
ι6λαταr€---
τo ,4 τ6τοιo ιυ._-::
rτι,lζ1-1o'ε',':η τo γεγoνog ,:-
ε\'ο πωE γl 9 ει,, *
ι'z.τo xαλυμμα τ
ιιυτ6 τo xιiλιιι;
φ f = f"κ'
= f^fft' f) " gll dete'1.
L".t:
t Ι -Υ [ s .f =Σ / lts [lag||deιg''J qιAl fiJ ιιlι fi'L l
=Σ / Φ"g)(f ag)|d,etgllΞ!*J lr
= J ^rf
ο 9)l det9'l.
1cιρατfiρηoη. Τo Θειδqη;-ια πqoxυπτει επiοηg απ6 την υπ6θεοη 6τι
ΓrJ"f - J, ''"|Ιog)de|gl'.
fi το V ανiγaει οε xαπoιo παqαδεxτ6 xαλq"ιμα τoυ g(A). Eφαqμ6ξoυμε οτηnη':-l.]Lt{ τo (1) οτην 9 1.
-" _\ρxεL vα δεiξoυμε τo θειilρημα yτα f =1.\rcδειξη τoυ (2). Αγ τo Θειbqημα ιo1υει για f =1,Θα ιο1υει για oταθεq6g
rη'', _-τllσειζ. Ag ε|vαι V Lyα αγoιxτ6 oqΘογιilνιo πεqιε16μενo oτo 9(A) xαι Pω' - ] ιιtιεQιση τoυ V. Για xαθε υπooqθoγιilνιο S τηg P αg ε|ναι /5 η οταΘεqηl1'1'"' :.:,τΙlσil m5(/). T6τε
. Σ / \[ " g)|drι g'1 < f 1/ o g11 deι rl'Ξ Jg (inιs) .l ,J |ιvl
Ιn,o,' f
'τ.M.: YπενΘυμιoη: inι οημαlνει εoωτεριxo. Αιρoi τo V εiνιrι ανoιιτο οqθο'lιilνιo. l"α0ε
'1ι". ..' '',',:;νLoSτηgΡΘαεiνιrιτηEμoρφr1g{k,,λ' }x"'xζkn',λrι).οπου{k;.λ;}-, ' 'l
(k,., λr], η Γk;, λ;)' cρυoιxα. intS = (kl , λ,) r "' x (kr, λ,,-).
Γ
L(f .P\ = Σ -r,.Γl . υιSl =Σ l ^ "/s '''), - J Inι.5-)J
= Γ / 1/5 o 9)] deι 9'|-/-ιs J9 l(lnι.\)
68 oΛoKΛF{PΩ:Η
Eπειδητo /;./εiγctιτoιιι7-!rι]τεQoιir,ι-lφραγμαολωγτιυν L(f'P)'αυτoαπc]','tr, j...
1i) i < Ι,,, i (.i. ο) ιlet.q' . Ενα αναλoγo επι1εiqημα' βε ./s - '11'
δεi1νει 6τι /r- f a' Ι',,11 ,(.f '9) det.9'1' To ξητουμενο τιbqα προxtπτει α'τo -'ανωτ6ρω Παρατ11ρηoη.
3. Αγ τα Θειbρημα cι7,i1θευει ^./tα την g '' A - R" xαt για τηγ lι : Β - P'
6πoυ 9(,4) C B, τ6τε αληθευει για τ11γ h' " q : A - R" '
Aπ6δειξη τoιl (3).
t f =['ι,'folι)Ideιh'|JΛ(q(_\)) ,/ι/(.Ι)
Ι'Jf . h o gl ' [i det λ'] o q]
| det 9']
f t "(λ "
g)l det(h o 9)'!.
Ιu,"o,ror'
=
4. To θειbqημα αλr1θευει αγ η 9 εLναι γqαμμιx6g μεταo1ηματισμoζ'Aπ6δειξητoιl(4).n$^1αlταiν(1)xαι(2)αρxε|ναδεLξoυpιερ11,.11α;,.,.'
αγoιxτ6 οqΘoγιi'iνιo t/
I t=[,o,ro',.J 0tτ- l 'Ι ι'
Αυτ6 6pιulE εtγαι τo Πρo6λημα 3-35.
To'(3 j χαι τo (+) μλξι δεlxνoυν 6τt για xαποιο αυγxεxριμθν o ιι € A βJΙoQo ι ' l
γα υπoθ6ooυμε πωE o gj@).luoι o 1-ιoναδια[oq πLναxαg; πραγματι' αν T ειro γραμμιxog μ..oo1ημλioψo-c Dg(α). τ6τε (T 'o s|@) = Ι'αφου το θειbρr1ι
αλη}ε{ει γro'-ou 7, δα αληθiuu1.1ια -ηr 9 'iρ'oooν αληgεtiει για την T-ι " 9' εiμαoτε τιbρα 6τoιμol για τηγ απ6δειξη, η oπo|α 6αo|ξεται oε επαγω'"t1 :
πQoζ 7?.. oι παρατηρηoειg πoυ πqoηγrjθηxαν τηg διατυπ(υσηζ τoυ θειοqt1μcrτι':
μ"ξi μ' τo (1) χαι τo (z). απoδειxνυoυν την πεqLπτωοη rι = 1' Υποθ6τoγταc τl
.oxt'ou ouλρημo-oq oτη διαοτααη n - 1.τo απoδειxνυoυμιε ^1ια τη διαoταol1
Γιαxαθε "€λαρxε|να6gουμιε6νααγoιxτoουγoλο (J pιεα'e LΙ cAιγιcl' '
oπο|o αλr1θεtει τo Θειbρημα.-Mπoqoυμιε επιπλ6ογ να υπoθ6ooυ1.ιε 6τι g',(α) = Ιoρ|ξουμε την lι : A'- R" με /ι(.;r) = (91(r), ' ' ' , 9" r(r), 1" )' T6τε h'(ο 'ι =
.Γ. EπφιθνιυE ou,or,o,o ανοιxτ6 oυγoλo (Ι' ψε cι € (Ι' C A' \ h εi,γαι 1 - L zr.
detλ'(r) l0. Mπoρoiμιε oυνεπιb.c να oρiooυμε τη^ουναqτηoη k: h((Ι') - R" !']
k(r)-(r,'',....;i.-,.-1. !]'.(h 1(r))).αρα 9-k"h.β2)'Εχoυμελoιπ6γεxcρραoειτl9λξ ounοroη δυo ουναρτηoειυι,. η xαθε μ[α απο τιq oπoiεg μετα'6αλλει λιγoτε9ε:
απo n αυντετα^1μ6νε-ζ (Σy'ημια 3_2).
Πρooo1η iωρo oi oρioμ,.".. i.επτoμιερειεg ιboτε η λ: να εiναι η xαταλλη).'
oυναρτηor1. Eπειδi1
(g" a Ιι \ )' Ll'\ιl)) - ('!]'')'(α)' Ih'(rι)]' - (9")'(o),
(52) Σ.τ.M.: Στo L.:'
Lι f ' P). αυτ6 ci'πc .
ιιl)l!tσ. 1"ιε '/5 = 1]1.
ιrιι ,τQo?ιιjπτει, αjτι- -
'''LCiτηνlι Β-F
Jeι 9'I
,7.l1ιιατιo;"ιog.
' ε ι Ξoυpιε 6τι γιc,
.ιιε\'o α € Α μιπιl,,-ιlιi^,lμ,oa.. αy Τ :.
1 αφoιi το θει ,_
'_'Ει ',1111 την ," i :
]εται oε tΠα^,l1l-r'
l]}l: τoυ θεrυρr1ιι, -
= ]. Yποθ6τογτ(ι: -,:- ^,,ια τη διαoτcι,-
't ιι e L| C ,4 .,,.
]ι]Uιιε oτι g' (α) - .
. i..ι-'"). T6τε l''
.r1 /ιεlναι1-''1
l; : h,((Ι') _ Ri.ι)ι'τ6γ εxφρirιτ. _
'l. ιτα6ciιλλει }'ι^,,ι, -,
.1 ειναι η xcιτrl-,'
lu,,",t = 1,,,,,' ,' t
I det( ft , ,, )'(.r. I
.
ΑΛΛ \ΓH \]L l ' -..: hψ
') ,Ι., "
ΣXHMA 3-2
, D,,(!/" " h L)(Ιι(l)) =-D',,g,,(ιι) = 1. ιiloτε k,(Ιι(α)) = 1 Συνεπιbζ oε_' ιιr'oιχτo otγoλo V ψε Ιι(α') e Ι/ C h'(U')'η λ ι,i.vαi i'- 1 nor,l ρ;i..;'7 υ.-'':-(] = h |('V) 61oυ1-ιε 9 = k aλ. oπoυ Ιι.. LΙ - Rn' λ; .. V - R,, xιι'tΙ-' Λ6γιυ τoυ (3) cιρxεi. να απoδεi,ξoυμε τo θε:ωρημα για τιζ Lι' xrιt k.-': την απ6δειξη για την lι,'ανιiλo^1r1 xαι απλουo'oqη.ιr", η απ6δειξη για
'lτ'''l ΙΙ' c [J Lνrι oρθoγι.ilνιo τηg μoρφrig D x|α'',,.dr,l. ilπclυ το 1J εiναι'\'ιo στoν ?lt, l . Απo τo θε:ωqημα ao.,, t rυiri .xouμu '
(./,,'r,'",,,,,,}r1'Ι''' ' ' 'c]:t,' ') ""'"".,ι-oυμε την lι"".
' D,- f,,-'- μo Ιι,.(r1 ,. .. ;:t,,' l1
= (91(:c1....,Ζ")). Τoτε xαΘε /ι'". εiναι πρoφιrνιilg 1 - 1 xαι
deι(h'r,,')'("''.. . ,:ι:,, ι) = detlι',(r1 '.
..'r',') /0.- : ι-]\'
t 1rΙ.ι' ''.rl'ι'" ' = [ ld,r| ..'ιΙr,,'Ι t,ι Γl ι.,''' } l . l l, "''' \t,l
., ,_:oνταζ τo Θεωρr1μα oτην περi,πτωση 7} * 1, πα(,ρνoυμε
lιl.,'t . -.,1.γ,,, ) ar,,,"!D) /
/,,,11 = lrt." ,t,,t(l^"
= [,,,.0,t(1"
'Γo Ζ|ι εiνιrι τυxαio oημε:iιl τoιl |α,,,'' βn) '
70 oΛoKΛHPΩ!Η
J''' )ld.Γ!'.. d.r,,,),1..,,/
H oυνθηxr1 cletq'(l } ' O 1ιπoρεi vαΘειυρηματog ι iz. "" ".r"*r.,',l::":".::^'^::i1ιv10ει^απo
iη διατυποloη του1vιil dvαν απElooarffi:'Jii::
xανεig oτo αxoλoυθo θειrρημια'τo oπoio παι:
3-73 Θειbqημα (Θει,
;!;η{;='r:;i!::'!i;{#',r::*',;'::::]"|"'t;,?;':'b":i1'["-
f,::ii'jJ; *"':"f, [,j,,'J] ,T:.^?^ :nr:γωvιο τdτoιo ωoτε oλεg τoι,διαoτιioειE γα εiγαι iouq μu , Αg εlναι 1) ε ) 0. ε""λη".Τ'α'".i,(51)
Σ.τ.M.: Tιl Ιrι.;--.----.--.---._-iμωE η h εiγαι ] - ' ";,'J|"iλ/i'];:''j:,Ψ^'}",
εφαρμoγη"του θεωqriματog τoυ Fubini. Ε:τε
!;;;tu:'n'l,'=-{,,η' lυ",Λ'1. Για γα rrπoδεi,ξoυ1ιε το (χ'uμ'u '/l'(i"Ι4'
'1 = 'Ι''n'o'1r11 - "[trιτι'ΙΙ" -1r,,l,] ]'ll' nγo,rj,r-,.β- 'l x lο-. Β, - .,]":or,,,ιu'/ι_α
τηγ *. r.αiqrouμu iνα oρθο.,,ι..JJJ- i -'' " l = .-/in,Π' 1 der i2lΙ. Για γα rrπoδεi,ξoυ1ιε το ,.,r*uu'r'," /ri, n.
"1jiΙ|ll[} .*, j,ll'-[Ο|'J' J " '[(ι',,-ιιβn ixr",,:;,:;:';r.ΑπoτoθειilρημιrτoυFubini 61oιlμε
= /,, ,, ,", (t:, f "
det i'(.rr . . . .
= /r, 'aletΛl
. (5-1} r
'/^'',. ,'= /,"'^ru ' Ι"- ''o,,
u(/','(t1''..,1;,,. r)}x[α.'ts,"]')'o'")ι7rn 1'..,1rι'
6πoυ τo (rt,...'tr7ι-1'
!,!,,:,,',,:,:''. :' ιι Ι'ι,,"J,,''lιJll' '- Ι^ ' ''
"
,,ι'υ.'.1,,,'!r!.rιι' Eqιιψrlιtξovτ,ιq Lolπον το(υρ}|lια .',Ια την .rι..υiπτu,οtl τηC |ιlαs μ..,,."i ,,.,i.. irur,,,,
"ο ι,ιlιl,,',,,,"''") r/'''" | "' dr|
lk'1rt....,"'" ,
l det k' ι 't.l
,(r" )lτ1a'') ι]in- 1 . . . rΙ'r)
, r"'llr]l:") d,r',a' ι . . . τ7l'
/n,. ,'_ Ι",'u', /',,,' ,'u, ''(/n,.,=
'/,"'.u,' /', - , ,o, ,'(Ι,,,, ,',,'
= /',r,,r', /,, , t, ,t(./:",, r,,,
= t ιleι l., .
J\\ ,
ΑΛΛΑΓΗι\'ΙEΤΑB.\ΗΤHΣ 71
'1 ,Ι.r''
τη διατυπο.lol1 -
llιια τo oπo|o πr_'.
R" μια oυνiρτ, ειlτοl β = {:ι. =
] (i)στε 6λεq τι'Eτειδη τo L- .
'ιιτOa τoυ Fubini. :-
' i'nυ,ιlηrl ι = '['r, '
: ιιQνoυμε iγα οιlι
:.,ι' Fιlbini ε1ουμε
\' |'lι \ d'Γι1 l
'
. [ιrr, -t , βr, ι1
- gΙL('h-1(rΙ.." i.ι'1,..',l") =
ι.-,ιιδ'toντα< λoιτ,_'' _
\r.., '...,,,l
,,'" ) ,1r" '
ι',l.r"\rl.ι'"'.
- ''εζ, υπαQχει αχ6QαLoζ Λ με την εξηg ιδι6τητα: αγ Ρ εiι'αι διcιμιεριοr-]
. οε Ι/, υπooρθηιbνiα με 6λεE τoυζ τιζ διαoταoειq i.οε: μιε 1,'_\-. τoτε
,.ι.) - D1gi(z)l < ,i για oπoιαδηπoτε ιr.Ζ αγηχoγτα ταυτοΖQo\,ι|): σε ενα'_ .
""ooqθo-γωuio s.'λ"ο6ντog r ε S, θετoυμε f ('z) = Dg(r')(z) -9(.). Τοτε.
- J.
'Di.[i(z1' _ ιDrgi(r\ Diμi(z1, ' ,l,
:το τo Ληpιμα 2-10. αγ r. y € s, τ6τε
)!](oo - r) - g(:μ) + g('r)Ι =\f (μ) - /(')1 < ε1r - μ1s ε\,[i'(lll'Ι)' .
_ : τε1-ινει τo B, μπoρotμιε να παqoυμε ]r € 's n B' επειδη detg'(:ι) = 0' το
: Dq(r)(μ r):'μ L S',} περι61εται o' 6γαν (n - 1)-διαoτατo υπo1ι.bqο V: :ι'r,oπιils xαΘε δ"ιαφoq d g(Φ- - g('r)(y ε S) dxει απ6oταη < εy[n\lΙ'{)
* _ i-. αρα ,oou oημ.io g(Λ(:μ ε S) 61ει απιioταor1 < εy1i(l'lΙι{) απ6 το_ε.τιπoδo V + g(r:)' Mε ν6α τιbqα εφαqμo^"t1 τoι ΛημματoE 2-10' υπαρ1ει
: -11 τθτoιog ιiloτε
,q(r) !]@)ι < Ιιtlr - y ζ Ι[ 1/n(Ι lN) για y € s'(55)
* - .. (1ν τo S τ6μινει τo Β' τo oυγoλο {g(0 ' y € S} περι61ετcιι o',ιlδρo με υιμog < zεyfi\ιlΛΙ) χαt 6αoη 6ναν (n-- i)-διαoτατo δ[oz"o
- . : l7nn1ι1π).15o) Αu-ogoxriλινδρog61ει6^1xo <C(Ιf l{1"ε ^1ιαzαπoιcir' r:;i γr,on, υν ]Υ" τ6τoια oqθo.1ιilνια S' αqcι τo y1(LΙ Π B) περι61ετci.ι
- , ιli.o 6γxoυ ( C (1" l|{)". ε .-Δy'', = Q|n' - ε. Eπειδη αυτ6 αληθευει για oi'cr
.-Ξι0xαι1,τοotγoλo!](tΙoΒ)ty"ειμ6τρo0.Eπειδr1(Πρ66λημα3-13)
_ - ,i Γιιr μ e S' Dr9'(11'y_\Diιi(υ)-D|gi ι.τι+Di1liι','l\< Dr9i (.ιl) Di9L(l:)'+
: ; * Drι'(''r)1 aγ -Λ1' = max{lD79'(:ι) 'i''
j _ 1, " ,n}' πα[ρνoυμε '\1 _
_-lΕrειδr1τo.g(S1εi,νιtιoυ1-ιπιr^.,ε;.ε|νuιxαιxλειοτ6οilγολo.E,πoμiνιυ-<τoSupl.emumτι|Λ,l., 9i9lig
''j s l .ir,.; ." t*g(-ι:.1 θα ιι,or''τιrι μιι: την ιrπ6oτιrιrη h zαποιoιl g('μ')('y' € S )
' '. t ,r" η oπo|α εi.γιrι ( ει/πιΙ l|{l ουγι:ποl( τo Ιg(μ') : μ e S} 6ρioz.ε:τo"ι μεταξυ τι,-lν
. r\':τQo_( τoV + g(r) (n - 1)-ε:πιπdι\αlν'[r'1 xcιι 11 πoιl τιl ιcrθi:νιr τoυg απi:y'ει απ6 τιl
- iτιιι]}l λ με lι ( k < ε .,mι lN). Mε dι'α αναλο^1o επι1εiρημα ι|xουμε oτι τo SupreΠrum
,ν τιlr'9(g)(9 e S) απ6 τo ιl(r:) θιr εiναι ioo μιε |9(r) g(.!]') ^{ια r''απoιo 9' € S'_ :Ο \upΓeΙΙtuΙΙl εiναι μιLρδτερo ιrπo τιl Ι'tνn(ι l|0. Α< ι:lναι r' cιριΘμ6g τετοιo_ζ ιi]oτε
< r < ΙΙyrn'(l/Λ-). Η γιπα'ια Β(ι1@),r) - {z e Rn : g('l:) z < Τ} περι'd1ει
τrl: τιl {g($, .,/ u s'i Σι'γε:πιbζ o ιil7''ι'νδqoc με 6ιioειc τtζ,πQo6oΜg oτιr επi'πεδα Li' 1)-διιiιlτατo]υ"δι'-οu'oi' D = Βιbι'l.?').iΙ/ + 9(r)) πι:ριε7ει τo {9(g) : 9 e S} z'αι
' . , 7'αριrzτr1ρι.ιlτιxιi.r]j zi'λιγι\ρoq ε.ι\lctι ,,ε\Δ/ε)./Qαμμενog'' oε ιlqθoγιλνι,o τoι] oπoiιlι ιlι lι -_ 1 διιrιττciιrειg
' , |l. ιι.ιι' η μ-iα εiuιr, ior1'μιε'ik"ouνεπιilc o ι5.1xog τoυ xιλiνι\ριlι'-εiνιrι μιz,ρoτεροq τιrυ
. <|7λi'\,ητ(lllιr11rι i .lzεν[nιtlΝl]-2'l1 (!T''LL.'η1't Ι (l/N)''ε'πιιiρνoυμιε- . Σ1n .11'l l.
1Tα r γ"αι k εi.νcιι ιrπ6 τo πρoηγoυμεr'ο Σ'τ'M')l,,,,,t=J.ι,
72 oΛoΚ\ΗΡΩ-Η
μπoQoυι-ιε να Ζαl.ι'\.!ol'ιιε o).O τo '-l μιε μια cΙχoλoυθiα απ6 τ6τoια oQθoγιυ],τo ξητoι1μενo πρolιυττει cιτο τo Θειilρr1μα 3_4. I
To Θειbρημα 3-13 απoτε7.εi στηγ πραγματιx6τητα τηv απλrj εxδο1η τoι ,:.qηματog τoυ Sard. Η διατι',τιloη 7'αι ll απoδειξη τoυ'6αΘυτεqou or,o-uΙ6oμ,.- .6ρioxoνται oτo [17]. oελiδα,17.
ΠPoBΛHMΑTΑ
3-39. Xρηoιμoπoιr1ατε τo Θειilρημα,-13 για να αποδεiξετε το Θειbqημα 3-.12'7ιrq: -υπ6Θεoη deιgΙ(r) /0.
3-40' Αν g : R" + R.L Nαt deΙ gι(r') / 0. αποδεlξτε oτι οε xιiπoιο ανoιxτο ουr,ιli.περιε1ειτorμπoqουμενιrγqιiψoυμε9-T'οgτι,o...a91'6πoυη giεL\|αLτη:.ι_-,'.Igι(r)=("1 ,...,Jι(''τ)'...,'Γ'')r,,i 7,".ιror, luoq.1ρoμι;;6gμεταo1ηματιομo:.',:τ6τι μπoρoυμε να γραr1,oυμ1g g = 9,, a ... a g1 αγ χαι μιoνo αν cl J1,@) εiι,ι,' -διαγιυνιoE πlναxιιq.
3-41. oρi,ξουμε την / : {r ^:r ')>
0} x (0,2τ) - R2 με.f(r, θ) =(rcosθ,rsinθ).(α) Δεlξτε 6τι η ./ εlναι 1 1. υπoλoγioτε iον ,,iuoλ f,σ,θ) xαι δεi.-, 1deιfl(r,θ) /0 yιαoλατα (r,θ). Δεiξτε 6τιτo /({r, " > ιl1 x (0.2π)) ει ]oυνορο Α του Πqo6ληματοg 2_23.
(6) Αν P =:f -1, δεiξτε oτι Ρ(r, u) =(r(r'!)),θ(r,g)). oπου
-r(.r' μ) _ γ/ 12 + μ).
(arcιanμf.r l >Ιl.μ .0.| πl arcιang/.t. r < ()'
θ(Ι. !)) - ( :o* ιrcιangfl .r > 0,.ι/ < 0.|πl2 .r_tι),μ>0'|π7z l'_(l-y<0.
(Eδιb τo arctan δηλιitν_ει την ιrντiιrτρoφη τηE ουναqτηοηg ιaΠ : (-+, +) - .Bqε[τε τoν P'(r'υ). Η ουναqτηαη P εtyαιiδ
"r""ημo ,'oλ,r,irn',ru'n"ετα^i/μεa Ιψ
oτo Α.(γ) Αs ε|γαι Γ c Α η περιoy"η μεταξυ των χιχλ0Jν αxτ[νιυγ 11 x'σL ,|'2 7(!'. -
ηριιευθειων πoυ περνoυν ιιπ6 τo (0,0) xαι o1ηματlξουν γωriεE θ1 zr,'. 'αντloτοι1α ι.ιε τoγ αξoνα. τιυν iη. Αγ η h :Γ - R εiγαι oλοxληqωοιμιr :
h(r',μ) _ q(τ'(r'μ)'θ(r'u)). δεiξτε 6τι
[,' - [ l^u,' 'o" θldθrtt'
(5ιJ) Σ'τ'M': Εir'αι','ι'ι'lστιi Ζιιι,l: (-)ει;-rιlt]ιιιι τι,lι,!Ιοrse_Sard^ απoι\εi1θηιε δε απι1 τoυg Α.P. \1xαι Α. Sard oτrr τε)'η τll_- δι'ιrlιτl ,r- τ,,l' '_]() ΠυΟΖεtται γι<r iνα 6ιι0ιi θειilρημα τηg Aνιiλι,οi:oημαντιx6τατε( εψιιQιιo.i,ε: ιtτl.i 1ιrιι1ιlgι.zl1 Γιlτο7'ιl.,,ict z.ctι Γειυμιετρiιr.
ΑΛΛΑΓΗ \ΙΕ Ι ].: '..
\r, B,. = Ι(', 'μ)..12 + y2 < r2}. δε|ξτε ιiτι
rq(ι'. θ1'lθτlι
\r' Γ,' = [ r., rl x [-r. r.]. δεiξτε oτι
" \"'2+'υ2)r1'''r19-τ(1 ,' ,')
l Απclδε:[ξτε oτι
lim t , '''' !t:Id.ι dμ -' ' 'l lt'
',,ιιr νιr xιr.ταλr1ξετε ιrτo ιrυpιπ1lραιrμιι oτι
[- , ','ι1'ι'-1π./,
lιΘημciτιxιig εiγαι xαπoιιlg οτoν οπoio αιlτδ |τo αγ(ι}τεQ(D απoτ!),'εομcil εiνι:ιι τιioo:: ι1oo τιl oτι δilο xαμδυo y"ιiνιlιlγ τθoοι:ρα ε[νιrι (προιραι,1lg) ιiτo μiοιl ιiνQροlπι_l.rΙ1e(_59) iiταγ 1-ιαΘηματιx6q.
-LORD ΚELVΙN
r τε]τoια oqooγιυl
iτi.η εxδoxη τοι :
:rι]ι] απoτελ6σμc1:
]}ι l'rQ}'lρια 3- 12 yι'lρ, :
' ,, ιrνιlιxτιi ιrυγιli'c|' η g.l' εtyCιL τηζ lιιl,... τ :ιιr7r1ματι,o1-ιοq. Δ :
iγ o 9/(1) ι"γCrι
' ,' 4. r sin θ).'lr.θ) xαι δεiΞτι
:, il} x (0.2π)) ειt
> 1).
.:.1i.
..).-1.
' n'l/ π πι Γ
li.ιzιilν σUγτεταγμε\
'\ |'l 1{αL r'2 y'(Ι'ι -
",ι'lνtεc 0, y'','ι ο).oxλι1ριboιμt
:: ιιπο τoυg Α.P. \l,_)rlμCι τllE Αγrii'ι,οl :
/n,t'= lu' lu'"
I,
l,' ι"' U|ι!lι]ιl =(t , 'n,)'
,,,\ 'l, , ('''+ιi|,7'r,1,,
- τ'Ν1': O J' Liοuvllle (1809_ls82). Ιilλi.οc μιι0ηματιzog, διετι!λειrι: xιlθl1γητt1: ιττo Cο]lι:_ce ι]cΠαρiιrι)' Θψιελιιδι\ηc ()ιrυρεΙται η ιrι'r,ειιrq,οριi' τoι1 (Ιτη μεi'"iτη πρo(1ληpιιiτο;r, ιlι'r,ιlριιiz"rυr,
' ιι ιrτη θεαlρiα το.lν ι-lπερtiατιxιilν ci'ριθμιιilν. ενιil ι\ιατi'πιυιτι: xιιι απεδειΞι: τo ι1ε:oιilι,ι,ιιο ()ε(;)Q}lμ.l"ιrδιzr1 Αl,ιiλιιn1.
oλoxλiQ'oη αε AλυαIδεE
AΛΓΕ,ΒPΙΚH Ε'ΙΣAΓΩΓH
Αγ V ε[ναι 6ναg πραγματιx6g διανυοματιx6E xιbρog, τo k-πλ6 γιν6μενo V x- . '
Θα δηλιbνεται με Ι/k. Mια ουναqτηση 7 : Vk - E xαλεiται πολυγqαμμιzriγια xαθε i με 1 < z < k 61oυμε
T(ιl1,'.. l1,'r] * 1)Ι,'..,tl7') = f1'p,,...,Lui'...,Ur)r Τ(υι, ' . . '1)'i,.
. . , Uλ),
Τ(ι;1''.. 1(1''ι).i'...,ι'*,) = αT(υt....,1)i,...,Uι).
Mια πολυγραμμιxη ουναqτηοη Τ:Vk + -R. xαλεiται k-ταγυοτηg oτoν Ι/(οtl' '..
τo οt]γoλo 6λιυγ το.lγ k-ταγυoτιbγ, δηλotμενo ψε Jk(v), xαθloταται διανυoιιι,-x6g xιbqog (παvω απo τoγ -R) αν για S. T € Jk'(v) xαL α € -R oρlooυμε
(S + 7)('ι.,1 ....1?,,L]) = S(υr,..., U*) + 7('ι.'1 ,...,?]λ,),(αS)(υ1,...,0r) = α' S(υl,...,0r).
Yπαρ1ει επ|oηg 1-ιια πραξη πoυ oυγδ6ει τoυζ διαφoρoυg 1ωρoυg Jkv)S e Jk(V) y"αι T e JΙ('v)' oρlξoυμε το ταγUστι,,i6 γιv6μενο S gT € Jk '
ιυE εξrjg:
S ε 7(υ1, . . . . l'A'. L't: l. . . . . ι'ι ι) = S(ιr, . . ., Ur)' T(uκ'''. . ., Ur*l).
(n)) Σ.τ.M.: 'Η παι,ι,-l οτοι' 'l -. Εr'cι: A'-τctr'ιoτrj; οτoν Ι/ xαλεiτcιι εν[oτε xαι ιlιlllιι)")'ιli
lανι'οτi1 : τιtiι'ιυ- Ι\' ,'τυ' 1-.
ψ4: ,ι,iΙμ
","]πιrγ;: ,: rΙ. -
1/.ιιι τo ταγυστLχ6 γιν6μιεγo, χατα πQoφανη τq6πo, δεν εiναι cι\'τιιιετ(ιιlετι7-O'
r)lμασια πoιoζ ταγυστηE εlναι πQ6τoζ χαL πoιoE δευτερo:. oι ιι;u.ιli.οι'θι;_'.t.'.; ,ou ε 6xoυν απλ6g αποδε|ξειg πoυ τιg αφr1νoυμιε στο\l cι\'c(^,'\'ιυι]τ1l'
(S1 +,92) ΘΤ =Sr a 7 + 52':8Τ,
S ο (Tl +T2) =,5 ε Tr + S ΘTz,(αS) ε T = Ss (αT) = α(S 8 7).
(sε7) 8(Ι = Sε(Tεtl)': ,' 7) 8 U xαι τo S E € ΘU) δηλιbνoνται απλα με S ''ι;T U' cιναλo^''α
- r'τctι .o γrn6μruo 71 ε ' ' 'ι T, με πεqιoοoτεgoυg. απ6 τqειg παραγογτεζ'
] α'γαγγδoτηg Οα 6xoι ou.ι,ληφbεl. iοωg 6τι o J|(V) δεν εiναι αλλog απ6
lι,ιz6 1ιi.lρo i-. Η πραξη E μαζ επιτρ6πει να εxφραooυμε τoυζ αλλoυE
ιtιιιrτιxoυE 1ωρoυq Jk'(v) 6αoει τoυ J| (V)
* ] Θε(ορημα. 'Εoτω 'ιl1,. . . , t,'lι ριια 6doη τoυ V 2lαL 1191' "''Ψn η c\υ'ι'xfi τηE
,,ι"ri = δ;j. Tιjτε τo o.ιiνoλo 6λωy τrυy k-πλιbν τcl'νιloτιxcbν yινoμ!.νοlν
ΑΛΓEBPιKH EΙ--\Γi:Η
φι' 3.;"' E Ψ,1l 1 < ir " iμ' ζ'lι
lιια 6αoι1 τoιl xt'(V), cl oπιllιlg ιlιlyαxciλoιlθα !y"ει διαoτcιoη rι,k.
-,,δειξη. Σημιειιilατε 6τι
fr' E"'li Ψ'ι(ui,,...,?,.io) = δι,,j,' " ''διr'''jr'
- t1 αν .jι_iι'"',jμ=iι'- \ ο διαιρoρετιxα'
......--i: ε|ναιkδιανυιlματατoυΙ/βε'ιUi-Σ'|-1 cιι;1ιl 1xαιTε|ναιοτoι1εi'ιl_- '' (Ι/), τoτε
Ι(ωr,..' ,1Uλ]) = aι..jl' . . .' α'p'..'i,Ι' (ιl ;j1 ι' . . 1'L]i u)
7(υ7,....,tjiι)' φi, ε''' t Ψ'i'l.(''',''', ωr')'
Ej
:τιil; Τ = Σii .....,, =' T(ι:';'' ' . .
''L]ir') ' φ; ε
l',,Oυγ τoν JL(v).\-τoθioτε τιbρα ιiτι υπαρ1oυν crqι,θμιo| cri'
\- e; ;, -; i1- iι"""λ
\'ι)μεγoVx'.'τοi.υγραμμιzr1
: ).
t,
:tlΞ στoγ |,r(6ιl' '.
τriται διανυoιι, -
ιlgiooυ1-ιε
.).
,..,υA+l).
. zcιι tlιlνrιλλοι
.,οι,g Jk1r1. .:.' 7 €Jk-Ι \- . . i.ιl Ψil''. ΑQα τ(ι |ριΙ ιl ' ' ' 8 f ii
.';o τ6τoιοι ιiloτε
φ;u = 0'
76 oΛoK.\ΗΡΩΣΗ ΣΕ 1.\\ :ΙfΕΣ
Eφαρμ6ξoντα( τα δι'o ιιε)'r1 τi]: tι\lι|]τεQ(υ ox6or1.c στo (υr.' ,...,1'1.jι') πιι '. rι]],,iι
(Ι.j'....''jμ = 0. Συr,επιυ: τC{ 'jj . ] /;u εiναι γραμμιιxιilg ανεξαρτητα. t
Mια οπoυδcι[α zcl.τcl.ι'τγ.ειr1. oιzε[α oτην περiπτωση τι].)ν δυixιbr, '
γενιxευεται ^1ια λ-τctr,υoτι7'oι': ΖιυQoυζ. Πιo oυγχg?.(ριμιiνα. αγ η -f :1'-εi,ναι d:ναg γραμμιzoq μετασχllματιoμ6g. η oυνιiρτηιlt1 f- : Jt',(|τΙ) n J| |-, -ορi ξεται ;ιε
.f"T'(ι''', . . ., ι]l,) = Τ(f (ι;ι),. . .,./(ι,r)),
]/ια 7 € Ju{ιιi1 ?.(Qt ?]1 ,..., UΛ, e 7. εiναι γραμιμιιx6g Lιετασχη|ιατιoμo;. Εδιαπιoτιi.lνεται 6τι /-(S t 7) - f- S ι f-T.g ,rγg.1νιiloτr1g 61ει rjδη ουναπαντηθε[ μιε oριoμ6νoυg τανυoτ6g. €ΖTt. _ _
μελι.ilν τoυ V*. Πριi.lτo παριiδειγ1-ια απoτελεi, τo εσιυτεQιχ6 .1ιι,6pιεr,ο
J2(R"). Στη 6αoη τot oτι πα0ε 1qr1oι1-ιo μιαΘηματιN6 εργαλεio εiι,cι :γε:ν[xευαη{, 6να εoιυτεqιx6 γιv6μεvo στOγ Ι/ oρ[,ξεται ιυg θναq 2-ταt,ι,.-- : -
o oπolog εi,ναι ουμμετqιx6g, δηλαδri T(ιl ,,u;) - T(ιυ,,u) ^1ια U,?l] € 1
Θετιxα oqιαμ6νog, δηλαδri 7(υ,.u) ) Ο αγ ,ιl / 0' Mε {,) θα δηλιbl,ε'ο6vηθεg ειrωτεqιx6 γιν6μεvo oτoν -R". To θι:ωρημα πoυ αxoλoυθεl δεi7r,ε.1εν[xευοr1
μια.g δεν ε|ναι xιrι τ6οo γενιNη.
4-2 Θειbρημα. Aν o 2-τανιloτηg T ε[ναι !'yα εoοlτεριx6 yιν6με:νo ιlτoy Ι- ' ' '-yει μLα 6αoη ιl1'. . . , ?)n ))ια τoν V τ!τelιcl' ilc'ττε T(ιli^,υ.') - δ.ii (μιο. τ!'τoιcι .
xαλεlται ιlρ0oxανoνιxη οlE πρoE T1. Yπαρy"ει oιll,cιxcjioι',θo lurrq ισ0μoQ9. -
f : R" - V τ!τoιoq' tboτε T(.f ("),.f (μ)) =<:τ:';ι1 } yL(ι r'μ € R,. lγΙtλ6για f
-T ={, }.
Aπoδειξη. Αg εi.ναι U.1Ιl... , uJi. |-ιια 6cΙoτ1 τoυ Ι/. oρiξoυμε
ι]]iΙ]{Ιl
, 1ιlilxl|'
1ιι| ]
|]]f_Γ
ffi
ι1
.ι]l]
ω1 = ι,ι,, Τ(ω1, α.')
U'. - U'2 ηιr7 ιr',7
υ'l.
^'.l T(u''ι. ιι'') , Τ1υ'',. ιι.11ιι'j = γ''' - 7(//ιδ .,i -ffi ' u'5,
"a.λ'π.
Ευxoλα διαπιoτιilνεt zαγεiq oτι Τ('u|, 'ιυ,,) = 0 αγ uj / i' Nαι .ω: / (). .
Τ(ui,ιυ,) > 0. oρi.ξoυμε τιbρα ,'i =,'"il ι/T(i'tΦ. o ιooμιoqφιo1-ιog / oρi!ε-pιε f (e1) = μ.'. l
Πcιρα τη oπoυδα.ιoτητci τoι'. τo εσιt)τεQt,.o γινoμιενo πα|ξει πoλt pιιxροτερ6λo oυγxqινilμιενo μιε ιιt({ ιii.l.l] ',1,1ηc'.ι\ xαt xατα τα φαιν6μενα παγτci'7παρoυoα oυναρτηοη. τι)\' τ(ι\'ι'στ)l der Ξ J'Ι. (P.rl''). Στην πρooπαθεια μα;γενιlιευοoυμιε crυτi1r,τ1l σι'\'ι1l_lτll(lil. ()cι oτr1ρι1τoυμε oτo Υεl/oγ6ζ 6τι η εναi,i.cl
AΛΓΕBPΙKΗ ΕΙΞ.\ΓQΓΗ T7
. .L' jo) πα[ρr,o'l-luciρτητα. l' δυΙxωγ 1ο_lg' *
\'η./:V-1\l-t - Jk(v) t''n
ατιαμι6g. Eυ;,-o;-:
υoτdg' εxτ6ζ τ, "',,ινoμενo (. ),:rl.εi,o εiγαι ciΞ.:r: 2-τανυoτr1: _*
L',?0 € V' z'::.
)cι δηλωνεται :_
"'θεi δεi,1νει oτ. ,
'o στoν V, υπα;-uια τ!τoια 6cj,;.ιζ tσoμoQφLσιι(:Ξ R". Mε α).).'-
'ι uli / 0, αριι
ηιos "f oqiξεται
τoλυ μιxρ6τεροΙενα παγταχoυτι1ιΘεια μαζ γcιοτι η εναλλαγr1
frπn: ''gcιμμιbv εν69 πiναxα μετα6αλλει τo πq6οημιo τηE oρiξoυοιι;_-τι-lι' - Fτ_τι
rΦμt ,ι,ιttlσTε στoν αx6λoυθo ogιομ6. 'Εναg k-τανυοτi1g ; Ξ J''\Ι-l ;'-cιi.ειτcιι
σπm'μμετQm6E αι*'( L't,. ..,Ui'r... rUjr... rυκ)
= -ω(υι, " ',Uj, "','Ui,"',υι) για 6λα ΤG L'1" ' ' ' ι'1' Ξ 1-'
Ξ 'ι',τr1 τη α1θοη Tσ Ui'υ.i εγαλλαοοoγται χαt 6λα τα αi'i'α διαι'υοματα διατη-
ψ,'" την "ρ1r"η
ioυg θ6oη.) To οtνoλo oλωγ τωγ αγτισυμι|ιετQιz-ιilγ λ'-τανυoτιi.lν
λ.::εi.εi "qoφ"n,bg
dναu υπ6xrqo οA'1V; τoυ Jk'(V1' Mια z'αι η παραγιυγη τηg
m,;r:-rι,σαζ απαιτεi αξιoαημε|ωτη πqoοπαΘεια, δεν απoτελεl 6xπληξη τo γεγον6g
- ',
ouoλuτιxη παqoυοiλαη των αντtσυμμετQιxιbγ k-τανυoτιbγ εlγαι δυοxολη
τr "]|Ξση. Yπαqxει ,&urrg εναg εvιαiog τq6ποg 6xφραoηg 6λιυν αυτιbν. Θυμηθεiτε
ΓΓ :ιr IQ6σημo μrog μεταΘεoηg α' δηλoυμενo με' Sgnσ' εi'ναι +1 αν η α ε|ναι
,{ιι.- -:. 7-αt -1 αγ η α εiναι περιττη. Ay T € Jk(V)'ορ|ξoυμε τoν Alt(?')(οt)
Δ!:.. 'τη; l _
Α1t(7)(υ1..... Utr', = ; Σ sgnα' T(υo11)l... lUo(A)),o€Sμ
l;r ''' 51 ε|γαι τo ουγoλo 6λωγ τωγ μεταθ6oεων των αριθpιιbν 1, " ' , k'
&j Θειbqημα
.1y T € Jk(V)' τ6τε Αk(T) € Ωk(Ι/)._ _{t,ω e Ωi'(Ι/), τιiτε Alt(ω) -ω'; _-1y T € Jk(V), τ6τε Alt(Alt(T)) =Alt(T).
uτιlδειξη
' Εοτω μ(,i,s) η μεταθεοη πoυ εγαλλασσει τα i' xαt j, αφr1νoνταg οταΘεqoυg
ολoυg τουg"αλλoυg αqιΘμotg. Αv σ e Sμ, θ6τoυμε σ| =σ'μ(i,i)'(62)'Γ6τε
Αlt(7)(υ1 , ... ,D j,... ,Ui,. . . , Ur)
= * zsgnα . 7(υo11)l... l υo('j)1.'. lUo(i)ι...,Uo(*))(63)Κ: .'"
'] Σ.".M., Alt απo το aΙternaιing - εγαλλαοοωγ, εναλλαoooμενog' o 6ροg εναλλαoο6μενοg
_:',"_'οτt1< 1ρηoιμoπoιε[ται εγloτε αγτi τoυ 6ρoυ αντιoυμμετριx6g'] Σ...M., Δr1λαδlj r1 ουν0εοη o a μιi. j ι.
-] Σ.".M., Γενιx6τερα. αγ t € sk, alt(T)(υt(I),...,Ut(k)) - *Σoeso's'σ'- ,otιr)'..',υαt(k)'πραγματι, αν θiooυμε U,i(l),...,υt(k') _ ωr,"',tιlk τo αρLστερo μiλog
- , ,,.',rι * Σ..5o'rεrr'Τ(ιυr'111'...,Ur(λ,)) _ * Σrnsu sgnr'7β11111, " ',υ1r'i1'1)' Eπειδη
_ -r{ι τα διαφoρα r"e Sμ μπoqoυν γα δoθoυγ oτη μoρφη t 1ot' α e 56, l τελευτιιi.α παραοταoη
:.:ιι{εται #Σorsosgn(t lαt)'T(Uαf(1)l " ' , Uot(A)) - * Σr.sn sgnα'T(υo11l1, "' '
Uαι(kl)'
78 oΛoKΛΗPΩΣΗ tE \\'\ ΣΙlEΣ
\ .) 5gtlσ' -t ((α't1)..... ι.1σΙ(i)1..' l|uα'(.:j)ι"',ι'o'(λ))u-
σ::ι'
I
k'l
,,lFι *:, laΙlμa(
. l:,
1-= ; ) S_gnσ/ Γ(,'o,(t),...,Uσl(λj))
h':o'eSκ
= -Alt(T)(υt,. .. , L,λ.).
(2) Αγ ω € Ωλ'(y) γ'αL σ = μ(i' j)'τ6τε ιυ(ι'o111, "',Uo(k)) = sgnσ'ω(υ1, "''Επειδη NαΘε o giγoι1 11ιν6μεγo μεταθ6σεα)γ τηζ μoQφ'iζ Ι-L(i, j)'(64) η ι]-i : T
αυτη Lσχiει γLα 6λεζ τιζ μεταθ6σειE σ. Συγεπιbζ
l-Aιt(ω)(ι:1....,,'^) = fr | sgnα'ω(U,(t), "',U,(k))
o€Sμ
= l y Sgnσ' sgnσ' ω('ι.l1....,0ι)kl /-oeSρ,
=ω(υι,...,L'k).
(3) Apιεοη συγ6πεια των (1) xαι (Ζ). I
Για τoν πQoσδιoQι.σμι6 τr1E διαοταoηg τoυ Ωk(Ι/). Θα ηταν επιθυμυ1:
υπαρξη εν6E θεωρηματoζ αναλoγoυ τοU Θεωqηματοg 4-1. Φυoιxα αγ ι, € Ω^
no''''iε ο,il.), τo ω oη δε 6qlοxεται συγtθωζ στoν Ωk*l(y). Bqιοz"oιι -λoιπ6γ στηγ αναγχη να oρloουμε θνα ν6o γινoμιενo. τo εξωτεQιχ6 γι\',ι'rι ,
ω ^η
€ Ωλ*l(r1 με1Α'+ 11!ι^ιl _ffi Αlι(ω li).
(Aqγ6τεqα θα γ|νει χαταγoητ6ζ o λ6γog για την παQoυσια τoυ περiε1'
"r*uι'o.η.) oι, επoμενεg ιδι6τ.ι1τεq τoυ Λ αφηνoνται στoγ αναγγιδστ1
αοxηoει<:(ω1 +ω2) Λη =ωι
^η+ωΖ^η1ω Λ (ηl + 0z) =ω Λ r/1 * ω Λ7l2,
CΙω/\Ι]=ωΛαΠ=α(ωΛT),
ι |''' ll = ( l)λlη n ω,
.f "(, ι η) = .f
-('υ) n /-(η)'
H ο1foη (ωιr)ιθ -;l^'(li',n θ) ιι)'ηθεi,ει. απαιτειταt 6μιυ9 μεγαλυτεQη πQoσπiιι,
για την απ6δειξ11 τr1;.
: ,ll)
\,, .-
(6'1) Σ.τ.M.: oι ιιι:τιιt]ειτει: τll::ιι]ι\+ll; 7l,z..f ) z-αi'οi'ντcιι zι''xλοt διiο oτοιyε:iι'lν
.?]o'(λ))
] = Sgnσ .ω(r.l1. .
.ll; μ(Ζ.J),("o) ,l
''Uo(λ))
1"1.
tlcι t1ταν επιθυιι1Φι,oιxααγω€Ω2' 1(Ι/). Bριoz'οι;, gξ6119ρ1,2gf .r1r',
:tι)ι'σLα τoυ πεoLε '
(''τον αναγγ(t)ι]-
ε','cl)'υτερη πQoσ:τi
- ' ι /.ε |ι.υl' .
-Γ- : iι.l
_.. τo συγoλo G C- ''1\'oUV σταθεQοtζ
|)ειυρημα
] ' 5 € Jk(v) χ,αLT e Jl'(V) χαL Alt(S) =0, τ6τε
AΙt(SsT)=Aιt(T8s)=0'
_-Ι1t(ω ε η) 8 θ) = AΙt(ω εl η a θ) = Alt(ωε Αlt(η ε θ))
- € ΩE,(Ι/), η e Ω'(Ι,') και θ €Ω"'(V), τ6τε
(, n η) Λ θ = ωn (η n η =9#iΡAΙt(ω a'η'1) θ)
a,};ιΞη_ 1)lΑlt(s ε T)(υι,. .. , Uι*l)
sgnα' S(υo11)l. . . : Uo(A,))' 7('o(ι'*,), "', ι'α(λ+l))'
AΛΓEBPΙKΗ EΙΞ.\ΓΩΓΗ 19
S1*7 απoτελε|ται απ6 6λε9 τιg μεταθ6oειg α oι oπoi'εζ
τoυζk*1,....k+l,τ6τε
! rgnα' S(ro('),...,Uo(i,))' T(Ur(**i), "'' ι''ιΑ'*/))
οθετoυμε τιbρα 6τι oo Φ G. Mε α0 ' G δr1λιilνoυμε τo oυνoλo .{o11
' o' " o' €
. Ο6τογταζ ταυτ61ρoνα Uou(l),. . ., Uru(/r+l) = U.!1l. . .' α,;tr*1. ToTt
σ e(;Γll ; *gnσ'' S(ι'.',l,...'.,',',ρ,)lL'' t^ l
=0.
oeon (1
Γll'gno,, . | *gno' ' 5( i1'-'(l).. ' " α'-',Α l) l
L- n-- -l
-0.
Σ sgnα' S(υo11)l... lUo(λ'))'?('o(ι*'), "''Uα(λ+l))
_ 'ιειιboτε6τιGn o11 'G =z. Πρα^11'ιατL' αν σ €Goαιι'G'τ6τε σ =σ0'σ|' ;,'απoιο o' € G, αρα αρ = o'1i')-| e G' ατoπo' Συνεx|ξoνταζ ι-ιε τoν
, . .|6rro, διαoπoυpιJ το S1-7 oi αυγολα αγα δtο ξ6να μετcιξυ τoιζ' τo
'-lοισLια παγω απ6 xαθε τετoιo υπooυγoλo του S1*1 εi'γcr 0' oυνεπιbq τo
80 oΛoKΛΗPΩsΗ -Ε .{_\\:] \Εt
ιiΘροιoμια τ1i1','l ι1.τηl Tι l \ . l-ι\'{,.ι
αναλoγα.(2) 'Exoυ1-ιε
0. H ox6oη Αlt(T8 s) = 0 απoδειχγι'ε
Αlt(Αlt(η .: θ) η .' θ) = Α1t(η a θ) Αlt(ri ε ρ) = 0
Eπoμ6νωg απo την (1) εxουμε
Ο = Α1t(.υ ! [Alt(η s θ) - η s) θl)
=Alt(ιυεΑιt(ηεθ)) Alt(ω 8 ηΘθ).
Η ιiλλη ιo6τητα απoδειxγilεται μιε αναλoγo τρ6πο.(b 1| 1 1ηyl-(.l) (ω Λ η) x β = \'!___| ',,"' j Rlι((ω n tll θ1' (Λ- + ι)|m:
=(k'+l ιtlil|'tk+lιl
(kl1!'"! J'f eιtι' cι η ι' θ)'
Kαι εδιb η αλλη ιo6τητα 61ει αναλογη απ6δειξη. Ξ
'Oπωg εlναι φυoιx6, τ6oo τo tJ Λ (η ι θ) 6οo xαι τo (ω Λ η) ^
θ δηλιi'iνolαπλωg ψε ω
^Τl ^θ χαι τα γινoμιενα ιrt Λ. . .Λωr με περιoo6τεqουg 6ρoυ9 oρiξοι '
αναλ6γωg. Αν υ1, ...,'U,,, εiναι μιια 6αοη τoυ V xαι Ψl'. .., φr' εiναι η δυΤxr1 τ'εtxoλα μπoqoυμε να πι1,ρoυμε τιbρα μιια 6αoη για τoν Ωe(Ι/).
4-5 Θειbρημα. To o{νoλo cjλων τοlν
Ψι,Λ"'ΛΨικ 1<zι{izζ " (iρ{lι
ε[ναι μια 6αoη τoυ Ωi'(l.), o oπo[ιlg φυoιxα lyει διαoταoη
.:
btr.-
:-
:x|ιι .- :\
:
--
/r\ nllι
ιρ/_L1i,_l';l
Aπoδειξη. Αγ ω € Ωλ(Ι/) C Jk(v)' μπoρoυ1"ιε να ^1ραψoυpιε
ι
ω = ΑΙt(*') - Σ (]-,
ΑQα
iuΑlt(φ,, ε'" t φ;ι).
ΑΛΓΕBPΙΚΗ Ξ _
Ζ.Ciθε Αlt(φi1 ι]... ε; ρ.; o) εlναι 1l1γρμ1gνo l-ιιcιζ oτιιθεο,.ι: ιιι] :', . ,.: ,.] τ1 I
_i;r..Τσ Ψ.;''Λ'..Λφi, παραl/oυγτoγ Ωλ](Ι/).(65) Η^,,qlcιιιιιι;,.ll ,1'..!, , l-1 _,1,
''.'ι'εταL 6πο_ig οτο Θειbρημα 4-1. (Δεiτε χαι τo Πρo6i.i1ιιιr _.l 1 I
- ,_] ι" 61ει διαοτcrση n. πQOχilπτει αμι,6oιυg απo τo ΘειlQl]ιιιι -1-5 οτι ο,7.ει διαoταιir1 1. Συνεπο:E oλoι Oι αντισUμμετQι7'oι t?-τ(ir'ι,ιlτι': (-]τι]\,]-
_ l.)"ιιπλιiιlιιr ενog τυxαlου μιli μιηδενιxot τdτoιοι' τ1r'r'ι'ι;τl1. Ειi' οoοr, r1
''. (:{πoτελει παραδειγμα τiτοιου μιdλουE τoU Ω/?(-R"). εir,ιιι r'ιl.,,ι;r.ιl r,ιr, ε:ταγο.l τηζ στo αx6λoυθο Θε:ιilρη1-ια.
ι*tεδ8ιιμα. Ag ε[ναι ?.,l,..., 'ι)LΙ |ιια 6ciιτη τoι, ΙΙ xcιι J € Ω/l (\Ι1. Al, τcι
'(ιi.jυ.j εiναι διcινι|o1ια'τα τoυ V, τιjτε:
ω(ιυ1....,'lUr,) =det(α.;;)' ω(ι'l. ..., l',,).
,',ι-=rJ. Oρi,ξoυι-ιε τoν 11 e J" (E") με
, ,.]... ..αι,,\..'..(αn\... .o,,',) )_ * (Σ Γι1'1 ι''' .. Σ ,,,'r,.r).
. l: /i € Ω"(Ε'). αριι η - ^.4"1για
xαπιlιo λ e -R. πιrι λ =,η(et'..., €],,) -, /',,). I
Θειi-lgημια 4-6 δεixνει oτι 6νrrg μυ1 1-ιl1δενιπoζ τcιγυστηζ ω € Ωn(Ι/) 1ωρ|tει:ι: τoυ Ι,/ oε δto ξ6νεq μεταξυ τoυg ομιιiδεE. H pι[α opιιiδα περιλαμι6ανει
::ι:6αι:ει9 ?,'1,...,1ir? για τιζ oπoιεζ ω(ιl1 ....',L)r,') } 0, εγιb η αλλη τιg: " . . . . . UΙι για τιζ oπο[εζ ω(ι,r . . . . . t.,,, ) .1 0' αγ 1.,ι , . . . , 1'1n' γ'CιL tl]1 . . . . . .tl-r11
','ο 6αoειζ xαι o πiναxαg,4 = (α;r) oρlξεται μιioαl των ιr1εoειυV tι]; _. τoτε οι δυo αυτ6q 6αoειg ανηxoυν oτt"1ν i,δια oμαδιr ιrxρι6ιbg τilτε oτcl"r,{). Αυτo τo xqιτηριo δεν εξαρταταt απO τηv επιλoγr1 τoυ ω xαι 1-ιπoρεi,
' rιιιοπoιηθεi, .1ια τoν 1ιυριo1.ιo τωγ 6αoεοlγ τoυ Ι/ οε δυo _E6νεg μεταξυ τoυgl i H xαΘε μi,α απ6 αυτaζ τι_ζ δυo ιlμιiδε< απoτελι:l 6ναν πqoοαvατoλιομιi_
1 -. O πqooανατoλιoμιiq oτoν οπιliιl ανηz.ει η 6αοη l,,1 , . . . , ιlr, δηλιiiνεται
.,..ι,,,] χαι O αλ)ιοζ l-ιιj [ι.,1 .....ι,r,]. Στoν -R,,ορi.toυμε ιυ< ουvηΘη- ι\'σ'τ0λισμ6 τoν [e1, . . .,.:r].
','ε',oνοζ oτι dim Ω"(E" ) = 1 ioαiζ να ι-ιΙl\, εi.ναι πριυτoγνOQo o.nu ,11,α..1vιb-_,,)οιι6νoυ 6τι η det oρiξετιrι ου1r,α ιυc τo μιoναδιxιl ιrτoι1ε[o.υ e Ω"(.R,,)
__'\1.: Γιαγιrδεiτε6τιπqiι.11-ιcιτιτ(Ι'φ'i'1 /\...,ιfli, l<il <z:{ ζ,il'</l;ιι1ψιι.i,()ι!\,1- l. θα πQiπει νιi εz;-ιετrrλλευτεiτε ιιrτιi).λr1),α τ1l\, πQοσεταιριοτιxr1 ιδιoτι1τci' τoι' ι.Ξ(l)τεoιΖOi'.. zιrθιδq χσ-L τηγ ιδιoτητιr ω
^l] -( l)kΙt1,ιω(ιυ e οl 1Ιz1.4 ε οl1''.',, ποι,διiθt1z.ε πιcl
: _1ι'χ}l(Πl.
i\1
.9) = ο απoδειl
\1tι l7 θ) = 0.
t
*ΛΙ/)Λθδηi'ι-,1τεooυζ ιiρoυq o9ι:
. :,, εiναι η δι'ι:..] Ι
-).
Ι)l
_ ).
θ).
82 oΛoKΛHPΩΣΗ ΣE .\.\\ -Ι\Ε-
γLα τo oπoιo ισyι'ει;'(61. .eΓ) = 1. Για 6ναν τυ1α|o διανυoματιxo 1ιilρcδεν υπαρ1ει xαπoιo cιι'ιι7.ο','ο ;,'-οιτl1ριo πoυ γα απoμoν6νεL θνα ουγxεxριιι:ω € Ω"(V). Αg υπoθεσol'ιιε. cι:τo τη\, αλλη. oτι μαE 61ει δoΘε| iγα εσιι)τει1.1 ]
γινo1-ιενo 7 για το Ι,-' Αι' ι'1 .....ι'n ι'cιL u]1'...,'a',' ε|ναι δυo ogθoxαl'r_ν"i:E 6αoειg ωζ πQoζ T zυl o π[ναz'α; A = (αιi) oqlξεται μ6οω των o1ειτε,, - Σj , α;1υ.;. τoτε
δ'ι.j = T(.u: ι'trr) = Σ α1μαi1T(υι, υι)k.ι-Ι
n
| α;1.ιιrl .
-u-,
Mε αλλα λ6για, αy AT εi,γαι o αναοτqοφοg τoυ ,4, τ6τε A. AT = 1, αqα det '- =
*1. Aπo τo Θεωρημα 4-6 πqoxυπτει 6τt αγ ω e Ω"(v) xαt ω(U1 ,.'., t',,) - -τoτε ω(ιυ1,. . . , U'r) = *1. Aγ pιαg εxει δoΘεL επ|oηg 6ναg πQoσαγατoλιαμog 1,
'
τoγ Ι/, 6πεται 6τι υπαρ1ει μoναδιx6g τανυοτr1g ω € Ω'(y) μιε ω(υ1 , ...1'L)r,) =
6πoυ t.,1,...'1)l.ι εLγαι oπoιαδηπoτε oQθoχαγoγιx^fi 6αoη βε [υr,...,?],,] -Αυτ69 o μoναδιxog τανυoτηg ω ειγαι τo στoιχεio 6γxoυ τoυ Ι/, xαΘοριξoιιεαπo τo εσιυτεQtχ6 γιν6μενo T xαι τoγ πQoσανατoλιoμι6 μ. Σημειωοτε oτι i1 :-ειγαι τo στoιχειo oγxου τoυ En πoυ xαθoρiξεται απ6 τo otνηΘεE tσιυTtq., .
γιν6μενo χαL τo σι-ιvηθη πQoσαγατoλιοpιo, xαι oτι o αqιΘμ6g Idet(υ1 ,....lε|γαι o 6γxοg του παραλληλεπιπ6δoυ τo oπoio oqiξεται απ6 τα ευΘυγρcιι..τμηματα πoυ εγιbγoυγ τo Ο με τo xαθε 6γα απ6 TG U1,...,?]n'.
KλεLνoυ1"ιε αυτfν την εν6τητα με ι"ιια xαταoxευη τηv oπoiα θα πεqιoρloο'.,οτογ -R'. Av υ1, . . . , Urr ι € Rn xαι t1 oυναqτηση φ oρiξεται μθoω τηg
τ6τε ; € Ωl(R,')' ουνεπιilg υπαρ1ει μoναδιπ6 z € F-n'τ6τoιo ιilοτε
< ιι'.: >- 'r(u') = det
(66) Σ.τ.M.: Αν / = λιil - " λ, -:,'. ιlτοι /t....,frι εiναι η δυΤxrj 6αοη τηg e1,
τoτε απo τιlν oριοιιο τοι'ε1l1'τi J Ζ1 l '.'i )ιil \ι]l'.τοιlΖι!:ττει oτι z -(λl,...,λr).
φ(ω) =..,
[.;')
[;)
ι:*_
r
AΛΓEBΡΙKΗ E]Σ r.ai. Ξ )i-1
-,_] τo Ζ δr1λιbνεται βε U1 X ... X Un 1 }ιαι oνo|-ιαξεται διαι'υοματιZo ',,ι\oμε\.}'.....lUr,_.1. oι αN6λoυθεg ιδι6τ11τε9 πQoχυπτoυγ αμ6σιυ: cι:τΟ τι]\'(lι].i--τι] .1:
" :, :
διανυομιατιx6 xιilgι)\,ει 6γα συγχεχQLι.
:ι δoθεl dνα εoαlτε1:'t\'(.(ι δ{o oQΘoχcι\',_
τ(_ιι Lι6σω τωγ σyεσ.
Γ-, -f ^_17 = 1. αρα det_-'-.'.t *'(r'r.. .., U,,) =
il : :ioσαγατoλιoμιoc 1.
Γ- .-, lιε ω(ι'l.....ι',.) =
, tl Lιε [r,,...,Ur] =n2llι τoU Ι/, xαθoριξoι.,r.i Σημιειιiloτε 6τι r1 ,:-: :o oυνηθεg εσα]τε.., _,lιloΞ ]deι(υ1,....
μ* - ,.ι απo τα ευθυγριι_.
_ τoια θα περιoρiοο ,
,]r ]:Tt{l μθoω τηg
' _,:lιο οjοτε
} - ]].ι7.}i 6αση τηζ el ) .
. . λ").
Ur(1) X "' Χ Uα('ll' 1) = sgnα'?.l1 X '
ι'1 Υ.'.}α/'/. U,, l=α.(Ul ..
U1 X "' X (υι +υj) x ... Χυn_l=Ul X ... X Lli
.. x l',,
X l',, I ).
*U1 X"'X''' x 1,,
.
x...x/"
- l''\'ηθιξεταt στα Mαθη;-ιατιxα στoγ oQισ|"ιo εγ6ζ "γινoι-ιεl,oυ" t,(r. ειι;τ7-ε7'ο\,ται: τ,_τoτεqοt απ6 δυo 6ρoι. Στην περ|πτωση διo διανυoματιl\, ι.. ιι, € Ε3.- :','oυι"ιε 6να oυμ6ατιχoτεQo γιγoι-ιεγo ?] X α,t € Ρι3.(61) Για' τo i.o^,o αυτo- -τl1ρ[ξεται οQισμ6γεE ιρoq6g oτι τo δtαγυσι-ιατιx6 γιν6pιενο μπoρει να οQιστει
] i]τoγ -R3.
ΠPoB \Η\ΙΑTΑ
Eοτοl e1 l. . . ι€tι η oυν{Θηg 6αoη τoυ Rrι xαι Ψ7,. . . ,prι η δυΙxrj τηq'ι) Δεlξτε 6τι φ1' Λ... Λ Ψιr'(ε:.i'',...,€iκ) = 1. Tι θα παiqνcιτε oτo δεξι6 μελοg, αν
δεν υπr1ρ1ε ο oυι,τελεατηζ (k + Ι)! lk|ι! ιττoν oριoμ6 του Λ;ιr) Δεlξτε 6τι
T'' n.. . ΛΨiι'(rt,...,υtr,) εi.ναι η oqlξoιιrα τoυ k x k πiγαxα τoυ
/: \οπoioυ oι οτηλεg εiγαι oι i1',...,i1' οτηλεg του
| : l
\,,u/\,' η ./ : V - 'Γ ε[νιrι 6να9 γqοιμμιιx6q μιετιro1ηματιo|-ιιiq xαι ιlim Γ = n, τilτε' tιετα('χηματιoμ6g /* : Ω"(V) * Ω,.('Ιl) πρΔπει γα εlγαι πoλλαπλαoιαoμog επ(,
':_1:τοLα οτιrOεqιi c. Δεiξτε 6τι c = dg1 /.\\' ", € Ω"(Ι/) εiγαι τo ιlτoι1ε[ο 6γxoυ που xαOορ[ξετιrι απ6 τα T ^aαι μ Nαι'1.. . . .''ll)n' e Ι/' δεiξτε 6τι
-υ(ιl'1.'... /l'l, } = ulωιq 1l.
1-τ()-| g'i'j _T('ιυ,;,'ιυ5). Yπιiδειξη: Αν Ui,...,tlr, εiναι μια oq0oxανονιxr1 6αοη xαι, = Σjl-' α;iυr. δεi,ξτε 6τι gi, = Σ;=, α'.i.Ι''αk'j.
.\ι' ω εiγαι το oτoι1εlο oγxoυ τoυ 1,/ πoυ xαΘoρlξεται απ6 τα T Ncιι μ' ν"αι f .. R'', *i- εiγαι ενιιg ιοομoρφιoμ6g τiτοιοq ωoτε f *T =<, > χαι [,f (er), ..., Jk,r)l = μ,)εi_Ξτε 6τι f *ω'
= det.
\.'η ]:[0, 1] - (F-n)"'εiνιrι oυνεxr.1q xcιιxcl'Θε (r1(ι),...,1n,,(r)) εlναι 6αιτη τoυR". δι:i.ξτε ιiτι [1ι(ο),...,l,,(ι))] - h1(l), ..,i"(1)] . Υπδδειξη: Θεοlρηoτε την.1et :i,.
X
L''i
].τ.\4.: Γv,',οτο )ιαl ιυc 1-:ιl,τι,ΟlZο'.,lγδιlι'ι,,l τ(')\, l'. //'
----
84
4-6.
oΛoKΛΗPΩΣΗ sΕ \ \\'rΙ\Εs
(α) Aν U € -R:. τi εiι'αι τo ι'ξ:(6) Αν TCl L'1. ....L'lι i =- R|1 ειναι ./Qαμμιxιilg ανεξαρτητα, δε[ξτε
[υι,...: |n_1.l'1 X ... X ι'n l] ε[ναι o συγηΘηE πQoσανατoλιoμ6g τoυ fi4-7. Δεiξτε 6τι xαθε μη μιηδει,ιz.o< J € Ωn(Ι/) εiναι oτoι1ε[o oγxoυ (για xctτιι]. τlι.t'
εαωτεριx6 γιν6μενo 7 zαι πρoοανατoλιομo 1.ι τoυ V).
4-8. Αγ ω € Ωn(Ι/) εiναι 6γα oτοιxεio 6γχoυ. να oρiοετε 6να "διανυοματιx6 "ιι'.'. '' -
Ui Χ . . . 'X Un 16αοει τoυ ω.
4-g. Nα ουναxΘoυν oι αxoλoυΘεg ιδιoτητεg τoυ διανυομα.,r.i'γ,u,",μnuoυ οτoν R'e1 x e1 =Q
(α) eγΧ€2_€j
e1 Xe1 = ρ. ΘiΧΘ1 =g.2
e2xe2=Q ejxe2--st
etxel= e2 e2xej-e1 Qxq=Q.(6) υ x ιυ = (υ2ιι'3 υ3uP)e1 + (υ3tl1 - υ1ιυ3)e2+ (υ|ι.υ2 υ2ιυl)e3
Οr) U X ?ιrl =lu . - . sinθ|. 6πoυθ _ l(υ,ιυ).1υ x' 'ιι, υ )={ U Χ ?LJ) ιυ )= 0.
(δ) < U)?U x z }=ζ 1Lι,z x υ }=ζ z,ι' X ?, >,υ Χ (1x x z) =a υ1z >'ι'L) < υ'1υ > 21
(υ x ιυ) x z =ζυ1z > 1'υ <1.υ1z> υ.
(ε) ]υxω| _J<υ,U>.<U,U} 1υ,ιυ}24-10. Αγ U1,... ,Urι 1e _R". δεlξτε oτι
aι .' ''. 0,, ' \/de.ιηl.
6πoτ gi.i =1 'ιυ.iιιυi }. Yπciδειξη: Eφαqμ6στε το ΠQ66λημα 4-3 σε συγχεΖ.'--."!ιι(n 1)-διαοτατo υπoχ6Qo του Rn.
4-11. Αν T εiγαι 6να εοωτεριx6 γιν6μενo στoν 1,/, 6ναg γραμ1"ιιx6g μιεταο1ημcιτ. ''' rf : V - Y xαλεiται αυτoουξυγηg (ιυE πρog T') αν T(r,f (μ)) __T(f (r).'. ''u
:[1a e v. Aν υ1 , ...'Urι ε[,ναι μια oρθοxανoνιxη 6αoη τoυ V xαι A__(αii) ε:' '.
πiναxαg τoυ / ωg πρoE αυτην τη 6αoη, δεiξτε 6τι αij - αji.4-\2- Ay fι,...'fn-: :R'''' * Rn'' oqiξoυμετηoυναqτηoη ftx"'x fr. ι ' j??lι -lT'
με "f1 x . .x fn l(il = f l(p') X...X f" t(p'). Bαoιoτε[τε oτo Πρ66λημια 2-J.: ινα oδr1γηθεiτε σε |-ιια 6xφqαoη τηs D("fr x...X /r, 1), υπ6 την πρoilπoΘεσll ι': ,i
fι,..., f ,,,,-1 εLνο'ι διαφoρiοιμεg.
ΠΕΔΙA ΚAΙ MoPΦΕΣ
Αν p e R", τo oυνoλο gχ1';1, 11,;1, ξευ^iιi:ν (p, υ), για υ e Rn'^ δηλιbνετcι.Ri xαι χαλειται εφαπτ6μεγιlζ χtδQoΞ τoυ -RΙ' στo p. Αυτo τo oiγoλo απoτιδιανυoματιx6 xιi_lρο με'τQα.ξει;:
(p. ι') - (7l. u') = (p. υ + ιυ),
α . (p. ι') - (pl'αι").
::tlτι(. δε[ξτε oτι:..7'ιιll-ιoζ τ()υ R7? '
. ;,'ιlι, (.11ιr ^ιατ'α7""t.l'
'''. i'()μ(rτι%6 "1ιν6μιεr
_ .\,()1] στογ R3.
: lι'] )r:j.
l -l-3 ιrε συγχε]7.ιrι ]
, 7:ο: uετασχηματι_ γ)) = T(f (r).11
'''.cl.ι A = (α;r) ει',
'I fr,' 1"Rττ] -:_ ο Πρo6λημcι 2-1_
.'r1i' πρoι1π60εoη , -
= R", δr1}'ιi-lνετ:
'_r τo συνoλo απo
'E'να διαγυομα . € R," πcrgιoτα.νεται συχνα με 6να 66)'oζ ποι' ε7ει cιρ7i1 το.. ιι π6ραg τo U'τo διανυoμcι (p. ι,) e Ei ιιποoε| γα παQασταθεi (Σ7.i1μα -1-i)
"i)"οζ |διαq φoQαg xαι 1-ιηxιlυq ι-ιε τo πQo'η]/otι-ιεγo, αλλα με ιiρ7r1 το σ}l!ιειO ρ.τεραq αυτoi τo'υ 66λoυζ εi,νcιι τo σt]ι-ιειo p + υ, χαλoιι-ιεγo 1i/ιι1 το λo.,,ιl αυτιlτ6qαg τι'lυ (p. ι). Θcι cιπoδ|δoυμιε oυνηOωq τo (P, υ) μιε υr, (δια6αξετα'ι: τo
-. ι'ιrμα υ oτo p).
o διανυυματιx6E 1ωρog -R| oυνδ6εται τ6ιro οτενα με τoγ RΙι ιi.lυτε πoλλα'zci oτoι1ε|α τoυ -R?ι 61oυν τo αντ[ιrτoι1(t τOUζ στoγ R'r',. Συ^γxεxριμ6να" τιl
_ \llθεζ εσωτεQιχ6 γινoμενo {, }r, οτclv Ri oρi-ξεται με ( 1'ln.ΙΙ)'1l >=< 1,,,?l.1 >.) συγηΘηζ πQoσαγατoλιομ6g τoυ R]] εiναι o [(ι:1)p,... , (,,")p].
Κιiθε δυγα"τη πριiξη σε 6γαν δι,ανιloματιxo xιΙlqo εi.ναι εxτε)'iοιμη οτoν R]]..i' πoλλoi,g t1 παρoυoα παραγραφog απoτελεi, μιια επε:ξερn1αιliα ιιυτιlυ τoυτι):. Η απλουoτερr1 μαλλoν πaαξη ο' 6ναγ διανυo1-ιιιτιxo 1ιilρο ιllναι η- ''i1 εγoζ διανiroμιατog μι6οα απ'αυτ6γ. Mια τiτoια επιλoγrj oε xαθε .R]J
ι.ι ιτ' 6να διαvυοματιxo πεδ1ο (Σxr1μα 4_2). Αxρι6iστεQα. 6ι,cr διανυoματιxo' εiναι μιι.α oυναρτηoτ1 F τiτoιοι ιboτε: -FΦ) e R'r) ^rιcι xαΘε γL € E". Για
, :i υπαρ1oυν αριθμιιli f r(p). .... F" (p) τ6τoιoι ιboτε
ΙlEΔΙΑ ΚΑΙ \1OΡΦΕΙ 8s
ΣΧΗΙ\tΑ _ι-]
86 oΛoK.'\ΗPΩΣΗ ΣΞ r. '"Ι -. _\Ξ:
ΣXΗMΑ ,ι-2
F(p|) -ε' 0r)' (el1),, +''' + F" (p')' (en)p.
Πρoπυπτoυν iτοι tι αυvιοτιirοεE ουvαqτηοειg Fli '. 17lι - R. Tο διανυoμιιτπεδi.o F xαλεLται oυνε16g' διαφoqi.οιμιo' x.λπ.. αν oι συγαQτηοιlι.c F' εlναι τετ,Αναλoγoι οριoμoi 1-ιπoρotν να δoθoiγ οτr1ν περiπτιt]ση πoι] i:να διανυoμcι:πεδ|o oρiξεται σ' θγα ανoιxτo υπooυγoλo τoυ .R". Διανυομιατιx6g πριιΞπαρ61oυν πραξειg 1-ιεταξυ δια"νυo1-ιατιxιbγ πεδiο-lγ. 6ταν εφαρμιοιrτoiγ oε zoημιεlo 1ιυgιoτα. Eπl παραδε[γματι. ιrν F xαι G εiνιrι δια.νυoμιατιzα πεδ[α. z,:
ε|vαι oυναρτηοr1, oρ|ξoυμε
(f +G)(p) -F(p)+G(1t),< F,G > (p) =< F(p)^G(p) >,,,
(f . F)(p) = .f (t') J'i(p)
Aν F1 ,...,δ, 1 εi,ναι διανυoμιrτιxιi πεδ[α oτoν R". μιπoρoυμιε xατ'αγcιi.ι','vα oρ[ooυμιιl
(Fl x "'Χ F,, l)(ρ) -Γ1Q;) x "'x ]7,, r(p).
Kαπoιoι, irλλoι oριoμol εiι'ιrι :τci','ιιlι z.cl'ι 7.ρr1oιμιlι. oρlξουpιε την απ6xλιοη (di\ '_
του -Γ ur.a Σl' ' DiF'. Ειοci^,'or'τιι: τo\'σι'μ6o)ιισμ(i
,' ,;, i\, ,/-_ , /l''\ ι
-*_l r I 'r'-- \ /'z lf\ \'/ --'. $.'/7 ,- \ \ .l : /r,i, \ :
l / r't\ι't'1'i,.\ \ \ ---- -_-,\'*' -
\ Ι'''',l,i\\,',] / Ι -Ξ,'ι;-1 _\ \ -',' 1i.-/ ,' I , 'iι, /'.-- / ι\ -,/ l \ l .\-,-- l\=-/ / \ \.', ''1,
ι
ΠEΔΙA KΑΙ \1oPΦEi 87
_ι_liog 6r.' 666αια τυπιχo χαQαχτiiQα.(68) pιπogoυμε να γραi1lουμε. ουμι6o).ιz.α.
': =( v,F >.Aγ rι =3, γραφoυ1"ιε, σε συι-ιtρωγLα με αυτoν τoν oυμ6o7'ιoμιo.
(v x F.)(p) =(D2F3 - DzF2)(p)(e1)r, + (DsFL DrF'3)(p)(e,),,
+ (D1F2 - D2F\Φ)(e)P.
"._ι\'υσματιx6 πεδtο V x f'oνoμαξεται οτqο6ιλιομ6g τoυ i. (curΙi-). oι 6ρoι'_ z7.ιoη" xαι "oτqo6ιλιομιog" πqo6q1oνται απ6 τη Φυοιxη xαι εξηγουνται στo
. τυι'6ι6λi oυ._\ιciφoρεq απ6 τιg θεωρηoειE πoυ 6γιναν παqαπανοl 6qiοxoυν εφαqμoγη oτην
- :τ(r]ση μια oυναqτησηζ ω με ω(p) e ΩA(E;)' μιια τ6τoια oυναρτηοη xαλεLται.''ι,.rQΨli oτoν l?", η απλα διαφogιxη μoaφη. Αu φr(p), .'.,Ψ,,(P) εiναι η δυΙxr1
_ τr1: (et)p, .. . , (e,)r, τ6τε
ω(p) - Σ Q"'.'..'iκ(p|).|φι''0r) ,ι ''n φ:uΦ)]u l{"'{ιι
lτiι),ληλεq ουναρτηoειg Φi'....'ir,' η μoaφη ω xαλεiται ουνε1ηg. διαφoqiαιμη.- .ι\, oι εν λ6γω oυναqτηoειg εlγαι τiτoιεg. ΣυνηθιυE υπoΘ6τoυμιε οιοlπηqα
_ τoQισι;-ι6τr1τα τιυv μoqιριbν χαι τιυν διαvυoματιxιi'lγ πεδiωγ, xαι "διαφo-Ο)" στη oυνixεια θα oη1-ια|νει ιιcΦ'!. Πριlxειται για απλoυoτευση πoU
: :ιιi')'αoοει απ6 τηv υπo1q6ωoη νcι μετραμε π6oεg ιρoρ69 διιrφoρlξεται μιcl"
. IlιΙ}l oτα πλα|oια μιαg απ6δειξηs. Tο αΘρoιομια ω+r]'τo ^1ιν6μενο 'f 'ι zcιt
- -εQιz6 γιν6μενo ω Λη oqlξoνται xατα τoγ πQoφαγη τρ6πo. Mιιr ουr'ι'ιρτηοr1
_,ειτcιι 0-μορφη xαι.το /.ω γqαφεται επiοηg f ι'.i'. tl ,f I R" - R, εLγαι διαιρoρ|oιμη'τoτε Df (p) e Ω'(-R"). BαoιοιιΔr'oι ιτ'
_ :_(ιQνoυμε μια 1-μιoρφη df , η oπoiα oqiξεται ωg εξηg:
clf (fl@) - DJ(p)(ιl).
'-'iοι,ιιε oτιc l_1ιoqιρi'g dπl. Συνηθiξεται να δr1λιi-lνιlυ1rε μg.r'τt1 ,lι'l'iοτl1,'t1' - ll\'πι:qi,πταloητoυ.R3ου1ναδηλιbνoυμει-ιεΖ,y) zταr1
'r2'iΙ:3 αντ[οτοι7'ιr.)
" - : ι] πα1'1ρg ουpι6oλιoμι6g 61ει πqoφανη μειoνεxτr1ματα. επιτQfπει 6μκυq την" . ;ιcισ4 πoλλιbγ xλαοιxιbγ απoτελεοpιατιυν μ6oο.l τυπιυγ πoυ 61oυν μιαν'' zi-cιaι Nη ε1ιqιiνιor1. Επεrδη ι'Ι 'r; 1py1ι'u1 = ιΙπi(p)(r',,) = Dπ;1p11 ι)1 =
::τoυ!-ιε 6τι dr|(p),...'cΙr'''(p) ε|vαι η δυΙτη 6αοη τηg (er)1,,'..,(ι:,)p.* - : z"ciθε k-μoρφη ω μπoρεi να γραφε[
?l
υLi''....'ir'dr'L1 ^... ^
CΙΙ'Lk
i'μ
ιl'',t1 6πφραοη για την d'l παρoιoιαξει ιδιαiτερo ενδιαφ6ρoν.
\-1-
ι',\\
tr
'/Ξιι '/ ,/
ioQoυμε χατ t/.\'1_
( ti.ιε τ1lν απ6χλιση r
' \Ι.: Λε:[τε τo Πρ66ληpια 4-18
88 oΛoKΛHPΩΣH Σl \ \\ -l \Ε.
4'7 Θειbgημα. A'' η .f : -R', - R ε[l,cl'ι διct'φoqioιμη, τriτε
cEJ' - ρ'f .dl:l +...+ D,,'f .r1r'..
Σε xλαo ιxιi o.ι'lμ6oλιoμο'
'" υt . ' i)ΓdΙ = iid.l'' ' ..." ffid.r'
Aπoδειξη. cl'f (p)(ιl) = Df Φ)(ιl) = f ,,, D;'f (p),;t
=\a'''i1p1(ιl) Dif (p). Ιi-t
, -[εονω:,ταE στη oυv61εια oτην περiπτωσl.l μιιαζ διαφoρioιμηg oυνιιoτi _
_
ξ',ξ'' - P"'''':61ου1.ιε6vαvγqαμμιxoμεiαo1ημo',oμ6 Df (''pi' Ιi,, --R,,,. '\Ι, *.6""ηθΨ αυ1ot τoυ μετασχημιατιoμori oρι-ιui"i r""J ,**ui;j;;..o"χη|-lC{TLr . .
1- : RΙ,! - R'iin'l αlg εξηg:
f -(u) = (Df (p)("Drr,ι.
o /- επαγει 6γαγ γgαμ1-ιιx6 μετασχημιατιομ6 /- : sιk('R,iιol) - Ωλ(E;). .'ω.εivαι μru Α--μιορφη στoν R,,,. μπoρoδιιε να oρiοoυμε μl,i'r-μ,uρφη l''-. ,.-4" ,,: (Jr,υ)]r) =.f-(ιυff(p))). aπo τoν oριoμo τoυ /*, σV U1,...,Uρ € -Rτ6τε 61oυμε (f -r)(p)(υl,
. . . ,u^) = ω(f (pDi:f -(υι), . . ", l-1r,;\ ;; J".ιu. _
στoγ αcρηQημ6vo 1αραxτη-qα αυτιbν .ru oq,oμ,ru, ,,oqouui,iιλuμ. ,o αxol'ι,, .
θεωqημα -οtνoι|η τωγ 6αoιxιilv ιδιoτητιυν τoυ;*J..o orrnιn μιαg δ[r,ει _δυνατ6τητα qητoυ υπoλογιoμot τηE -f"ιr.
4-8 Θειbρημα. Au η f .. P",, - Ρ'','. ε[ναt διαφoqloιμη, τ6τε
(1)
(2)
Ι'(,t.r') =Σi' ,Di.f,.ι]'rt =γ,, ,Ψ,1.r,*.t! uttfl.7j,
f- (' ι + ιυ2) = f- (υi)+ l-('υ:).f .(!t .') = b. J) f ",f-(ω^η)=f"ωΛf-,l.
(3)
(4)
Aπ6δειξη
(1) f -(dri)(p)(ι'n)
= cΙ.τ:; t f ιρ)ll .[-ιι',,11
ΠEΔΙΑ κ \ι ].l, :'- Ξ_ δΨ
=dl:i|f 1p111Σ']=,''l 'Dif' Φ). .,Σj-',,i 'D'jf "' (1l)).,
\-// ;
- ) ?1JL'l=ι
_ οδεi-ξειζ τοlγ
D if u(p) = Σj=, υ,.f '('ν) . ι1'rΙ(p)Q;)'
(2). (3) xαι (4) αιρηνoνται στclν ανα^,'1'1i-l1'11l1. !
t
-ιιιilΞ συ\,d"!'R '-- 6"',4'ιιετ(/"('χil!ι(ιτ.
- Ωλ(',R;
,.rgq 11 ,/'*. . .. .?',ζ. -' Ω: cr'r':
'ιιε τo ci'7.a,1
,.] . ιl ιι(/-: δ L'
'Ιε αλλεπαλληλη εφαρμo^1r1 τoυ α"l,ωτεQοl θεαlρi1μιcιτιl: ε7'Oι'Lιε. ','tι{ :τt1Qc/'-
'ι.
.f -(PdLl
^r]'l:2 +QcΙr2 l''dr31=γP a J)[J*(d.l:Ι ) /' l''(d.l'])]
+ (Q o 'f )[f
- (d'l:2) Λ ./-(d.Γr)]
.1](.ισ}'l πoU πρox{πτει. αν επι1ειρηθε[, ανιiπτυξr1 ενog εzcioτι)υ τ(υ\' .f (,Ι.ιi)'ιΟ7.ε]τd" πoλtπλoxη. (Boηθα παγτιυζ τo να 61oυμε y'Cιτ{ι νιlυ ilτι ιΙ.,:i ι,,rll'i -
'l'' τ]li = 0') Σε i-ιια συγχεχQιμι6νr1 περ|πτο_ioη αξ[ξει τογ zιlπιl γα n/ινει
ιιειrο-ζ υπoλoγιομog.
Θειbρημα. Au η 'f '. R" * R" ε[ναι διαφιlρiclι1ιlγ, τιiτε
'f-(ΙιιΙ'r\ Λ... Λ c1'l!') -(h ο,/)(det f')d} Λ... Λ cΙt"
lειΞη. Eπειδη
f-(h'd;r\ Λ ... λ rΙ,,l:" 1 = (Ιι o f)f-(dιl Λ ... Λ rlr:").
. ιι δεlξoυpιε 6τι
f-(d'r'Λ...Λ dlr") = (clet f')cΙl:Ι Λ...Λ rlr".
''ι. 1l € R" ^ιcιι A = ('ol,i) o πiναxαg ./'(p) Eδιi, xαι 6ποτε δεν προxαλε(,ται,'. θα παραλε(,πιlυμε τo "1-l" oτo rΙl:1 Λ.. Λ cLl:"(γl)' x.λπ. Tιiτε
- det(α,?) 'drl Λ
Θεο-lρημα 4-6. I
.f-('dr' Λ.. Λ dι")(e1'...'C.,,')
= dr1 ^..'
Λ' d'r'''(.f *e'1'... ' 'f
*e.τι')
=rΙ','| Ι.'. ^rΙ'l'" (Υ,,,,( t.....f ,,,,,,)\; -u, )
Mια οπoυδα[cl. zc't.τc,.azενr1 του oυνδ6εται |ιε μoQφ6E γενιxεiει τoγ τε.,, --ro oπo|oE αλλαξει O-μιoρψε; oε 1-μιορφ6q. Aν
\-./
ji,.....ι]o c]r'' ^'
. .
^ drrk,
οqiξoυμε μια (k + 1)-μoρφη d*'. τo διαφoqιx6 τηζ ω, με
90 oΛoKΛΗΡΩsΗ ΣΕ {\\'sΙ_\ΕΣ
dω=i1
dωi'...''i, Λ ι]li' n ... \ rlr'"'iL
n,
:
r]'ω =
1Ι
(69) Σ.τ.M.: Πριi.,,ματι. (ι\, ,. = Σ,, .Σ j'. a.j, τl'1,....'.i,dtj'
.'. l,r],riκ v'ja'iι n.',
Σ D.(r,, ...''ι'u)ιLr'' ^
cΙ:τ:i' ^.
.. ^
cΙriκ '
\-/
''<1,k
^Π =
' ι]'ι:ι Λ^
drlι 14(ιL ti
r1,ι''ll. τιiτε - Σ; < <1o ωi',.....i^'' 7li'.'..'i,cΙ'LJ11...<Jl
cΙl']
Σ
Σ Σ D.(rr, , ..'io) .ι],r,' ^
r]'ri' ^.
.. ^
cΙriκ?t("'(zι α=]
4-70 Θειbgημα
(1) d(ω + η) = dω + dη.
(2) Ay ω ε[ναι μια k-μoqφfi xcιι η μια l-ριogφfi, τoτε
d(ω ι η) = cΙω Λ η + (-7)kω Λ cΙη'
(3) d(dω) =0. Σι'lντιltrιoτεqα, d,2 =0'(4) Aν ω εlycιι μια k-μοqφlj oτoν R, xcιι η f : Ρεr, + f|ιrι ε/ναι διαφoρι'-'.
τ6τε f-(dιυ) =.d(f-').
Aποδειξη
(1) Aφrjνεται οτoν αναγνιi-loτη.(2) Η ιο6τητα ιο1υει οτην περlπταlοt1 πoυ ω = c]ri'
^.'. Λ ι]'.t:il'' 1ιαL η = d':"''
^d:τjι, μιια χαι 6λoι oι oqoι μηδενiξoνται. o 6λεγ1og τηg ιo1υοg τη( ει
ευxoλog oταν η ω ε|γαι 0 μoρφη- Η γενιxη lτ.qι""oroη'μ^nqui'uo ouu.,7απo την (-1 ) xαι τιg δυo αυτ6g παρατηQηoειq.(οqi
(3) Eπειδη
ιΤι] Οτι ιiε_a)(ιιιι zατοιoι απ6 τoυc προοτιθdμιιlνoυq 6ρoυq Θcι εir,ι
ΠEΔΙΑ Κ\] \:
ε\'tΖευει τoγ τε/.Ε - ιrι!με
d(dω) = Σ
ι,, cΙ l') t
'ι, ι]π'λ
ι cΙrJι
ι' c]'rJ t
R ' εlycιι διαφ,o91
: a 7_- ι)]
. . ι ιΙlJι
:ι1ερει.) Αρα ιιπ6 την (1) i:1ουμιl
1ι
] = Σ f ',,{',:,,..
.'ιo'rli''"''i)'1"cl 1d,fil Λ "' l' cjl'lι '" dlJ' '"
it(" (ιi. α=1
Jr<. <Ji
= Σ f,r.,,.,....,'o)' |'l'j,'...'jι
zi,.i ' <ir. cι=t
il<''''<jl cΙ:ιio,ηrlr.j,,r..'ιcΙ':rj'
tUi,'...,i*, ' Dn1li,'...'jι)]'Jx]α Λ (]Ι11 /\''' /\
ΙL
= Σ f. '.'{'r,.' ,'o) ' 'η j,'"'''j'd:r'" n ιlri' 'ι ' '' ι'' cJri κ 1' .]flι t' ' '
i1{ '{i7. rι=1
.iι<"'<iι
- Σ i';, .'...'ιo'D'"(n.7',"".i,)dr'" Λ dl'' Λ ''' ι 'Ι'l'iι n ιI'ιJl n
l1{"'{ri;" α=1i1<' <tl
[ ,, -l
l '
| υ"(*',,....il.ιι]L'n ']'ri' "' "'" l|υ--]fl,{. <iι ο=ι
l - /Λ.. J,,'\
ι Σ ι1'1 ' i'd'rt' '' "'' )\-,< ..<-,,
Σ fι-'lu''i' .....;^''Dα\'ll.il'"";' )ι1'ι''l l''' " ^'ι]l:i
κ n'4.'α 1''1]111'jt 1
' . '''<i'' α=1. .. ;1
\
ιl '| ^ [( , -', ''',^'d','' ' 'l"')[\; ;^
/ ι] \l/ s- \- ,,, |ιlj '.'.'.'i,ι'1''" dl'i' ' ' ' ι'j' | \
| /- /- """ιJ .'.'.'ll l )
\i",, ''-'. :*' ι 17 + ( ι)i]ω l' dη'
ιΙ.r.κ Nαt rl = cj
l,.]: τllζ ιoxtog τη: ι,.,1 ιιπoρεL να σι\'1..
'..,lrlr.tk,
' . ' ^,
ιl:ι:'iι y'(l-ι
, ,l ,- ...../t 'ι'J '.''..Ιι'_
']ειιενoU! ορoυg θιι ε
92 oΛoK]\ΗPΩΙΗ τΕ .a \\ iΙ \ΕΣ
Σ'ιιυτυ τo ιLθ,)οιυ|ιl1\rι|',l: {)l ooοι
D,,',i(-';' i' )ιΙ.ι'l Λ dt:" Λ rΙri' ^'..Λ
ιΙr'iκ
D,j.,.(;i, ....;u)dr' ι r]l:!J ^
cΙl:i' ^.'. ^
ιΙl:io
ε|γαι αγτLOετoι χαι επoμιdνιυq 61oυν μηδενιx6 αθρoιο1-ια.ΣυνεπιL,q ,l]- =
(4) Tα πqαγpιατα εiγcιι ξεxαθαρα. 6ταν η ω εi.ναι O-μoρcρη. Yπotl,'επαγαlγιxα, oτι η (4) αληΘευει οτην περi,πτ(-ι)ση πoυ η ω.εLναι /-Αρxεi να απoδεi,ξoυιιε τηγ (4) για 1-ιια (k + 1)-μoqφη τoυ τυπoι, *'Ε,1oυ1"ιε
.f"(d(ω ιdl'i11 -.f r((Ι*'^rΙri + (-1)l', ^d((]'ri))
- Ι ι,t*' r ,/.rl1 _ .f (r]*') r .f ' 1ιΙl' 1
= d(f - ω ι J" (d.ri 11 (απo τιq (2) xαι (3)('"' l
= d(f " (' ι d'ri11. I
Mια μορφη ω xαλεLται xλειατri o"ν dιυ = 0' xαι αxqι6ηg αγ ω = d,η ^1ιcl. t.
μoaφη η. To Θεωρημα 4-1Ο δεi.1νει oτι xαθε αxρι6ηg μoQφli ειναι y.λειιrτεiναι φυoιx6 γα αγαQωτηθoιiμε xατα π6oo ιo1υει τo αντi,oτρoφο. Αν *.ε.1-μoρφt Pdr + Qd'μ oτoν -R2. τ6τε
dω = (D1Pdr + D2PcΙy) Λ d:τ + (D1QιΙr + D2QcΙ,y) ι dy= ('DιQ D7P)ιΙr ι d'y.
Συνεπιbg. αν c]ιυ = 0, τ6τε DtQ = DγP. Tcι Πρo6ληματα 2-27 xαι 3-34 δει7oτι υπc1.ρ1ει ()-μιoqφη / τ6τoια ιboτε ω -(Ιf = D1Jd'r+ D2f cΙμ. Παντω(. cι',ogiξεται ;-ιoνo oε γνηoιo υπooυγoλo τoυ -R2. ;"ιια τ6τoια ουναqτηoη μιπogιμην υπιiρ1ει. To xλαοιxo παqαδειγμα ε[ναι η μoQφli
*'- , !\,!l - --'Γ _dμ
.l'' ' !J- 'Γ' 1 μ.
oριoμι6νη οτo.R2 0. Aυτη η μoaφη ουνηθωq δηλιbνεται dd (6πoυ η θ oρi'-,_ .
οτo Πq66λημα 3-zl1). επειδη (Πρo6λημα,1-21) ιοotται ψε dθ οτo oiνo),ο _-_ .
{('r,μ) : r { 0' η :ι: > 0 τ'cl.ι q /0}. Σημειωoτε 6τι η θ δεν 61ει ουνε1r1 επtγ.τ -'o' oλo τo .R2 - 0. Αr,'υ - df .iια ταπoιcι ιlυναρτηoη ,f , R, - 0 - R. '-Dιf = D1θ xoι Dι'f = Dγθ. αρα. f = θ+oτcιΘερα, πqαγμα πoυ δε|1νει oτιτ6τoια ουναρτηoη ,f δεl, υπciρ7ει.
(10) Σ.τ.M.: Kcιι ctπο το Θειlρl'1ιιιr J'S 1 1 )
' ηi,
ΠΕ \Ι \ κ]
ΣXHMΑ 4-3
-'ο!1τ9υμ-ε 6τι Ι 3 = Σ;:, ιυid:ιi εLνcιι μια 1-μοqφη ιlτογ -R,, Ncιt ω = rΙJ =
-' .| cΙ:c-'. Mπoρoυμε πρoφανωg γα υπoθ6οouμ.- ii"ι, /(0) = 0. ,Oπωg οτο
. l ιL 2 --l5. i1o υ1ι ε
Ι(1
: f (tr\ι]trΙt' '
f o,'γ1rr1.r,o,i-1
-\|*';(t.ι:)'L'' rlt..i.=1.
_ι: υπο6ιiλλεται 11 ιδ6α ,_u,E:!g να 6qotμε τηy J ' δoθεioηg τr]E ω. μπoρoυριειrliσoυμε τη ουναqτηo.η Ιιυ'(lt'l η oπolα ορi-ξεται μιε
' : ".'- 9.1
'''Λd:rll'
'" Λ c]ri''
η]ισμα. Συγεπιυ:ι 0μoρφη. \L.τoU η ,'L εLycl'ι
ορι1η τoυ τυποι' *
'' ,1.ι'i ))
'- {cΙ:ri1
t' (2) xαι (3)(',,,l
η; αν ω = d,η ^ltc'ι' ι' - ,,
:1lιρl1 εivαι πλειιr- JΓιστQoφo. Αγ *, , η]
'Qdμ') ι dy
]_]1 xαι 3-34 δε1.i ιΙ μ. Παντι,l
-c'.,:'ιτυr,αqτηoη
μιπιl1
Ι.ΙJ(''\ -
J,,
"1
= J,,
.1
= J,,
7\ t1
Ι*'(L'|= l |'.,1t'1 'irtι.'l,ι Ξ
-'τ'\{': To 1πρodρ1ετιiι crπo τo ΙnιοgraΙ = Oi,οxλriQcυμιr'o oψι6oλπτμ6q ε:iνιrι υπαινιιτιx6ζ τοιl-,|: τl|: σι'V({ρτl|σll:.
Σημειιboτε πΟJS o o8ισtιo: τr1':1*.ε7ει rοημα oτην πεqiπτωση πoU η ι-,oρι*,-οε γνηoιo αγoιz-τo ι'-τοoυr'oi-ο _1 ioυ -R,]'. υπd ''η,
λqoυλJb.oη o., }tCi 7; .t e A τo ευθιl^,'ρα.lιιlo τlιliιια u:τ τo 0 οτo r περιε1εται εξ oλoxληqο -,4' d'να τετoιο αr,oι.zτo ,u',δ7.o zr[t'εtται αoτεq6μoqφo ωζ πQoζ U (Σ1fμcι - :'EναE xαπωζ πoλυπ)'oz-o-: ι'τoi.ο.,'1gμog δεl1vει oτι (ο' dvα αoτερoμoQφο α\,ι. .*oυvoλo) d1oυμε ω = d(i*')- αρzε[ 'l;;; ιxαγoπoιεi τηγ αναΛ/χα[α οιr_ ldω = O.
_O^υπoλογιoμog. xαθd:i ,"r, ; oa;;μ6E τηg 1ιυ, μιπoqεi να γενιχει,τ: _
trιεγαλo 6αθμo.
4-71 Θειbqημα 6iμμα του PoincarQJ72) Av τo A c Rn εiiαι lyα cιl,, ''-αατεq6ριoρφo αιjνoλo ωζ πQoζ ()' τ6τε xαθε xλειoτ'i μoqφi ur)'λ uiuo, or.,.
Aπoδειξη. Θα oρiο.oυμε μια.oυνιlqτηoη 1 o^9-Tι,, /_μoqφ6g oτιE (/ _ 1)-μι,_.,' '(για xαθε /). τετοια ωοτε 1(0) = δ no,' o - lιiol*'./j):iγi.,'rιο. 1,o,_'Πqoxυπτει 6τι ιυ = d(Ιω) εφ6ooν clω =0' Ag εivαι
94 oΛoΙaΛΗΡQsΗ τΞ _\ \\:Ι]Εs
Σ ι'Lir'...'i,clri, ^... ^d'riιιlζ...ζi'ι
Eπειδη τo Α εiγαι αοτεq6ο1ημo, μπoρotμε να οqlοoυμε
Ι'υ(r) = Σ Σ, , f '( f'| tt ι"L ''il ..' ilrι \ \/υ
clri' ^... ^
d;i. ^.
.. ^
d.r,;,
(To ουμ6ολο ^ παγω απo τo d.rl^ δηλιi-lνει ιiτι o,T]i, ) H απoδειξη.oτι ω = Ι(ι]ιl - r](Ιo) oiuo,-trχoυμε' 1ρηοιμoπoιιi-lνταg τo Πq66λημα 3-32,
oυγxεxριμdνog 6ρo< τιl,ι1ναg επιδεξ,o; urrλl.o
'
'ι'(tr)dt) r;.
..' ^
dr'ι
.ι,)(tl:)cΙt) :τi,'
d(Ιιυ) =Ι, .
'7'
1υιl '
ΣΣ(-')"-'
(r,' ,t,ftr)dt) d,ri' ^
(/,,' t o,,'0,
drJ ^dr,'
Λ...Λ d,i,- ι...ΛrΙr.iι.\//l Σ'τ'M': Jules-Helrri Poincar. (1,S51_1912): Mεγiιλoq Γιiλλog μιr.ηματιzog. απo τιg xαθο). 'διι1ινoιεg τιic εποyr1: του. Θει,;glεiται o οεμελκυτηg .,l. .,η,rn"li.-;;;";;;, (Aλγε,l1 .Διαφoρι'xrjg). ενιb υπr1ρΞε δευτυlυr',τα ψuu,o.,,.,r4,ι,r,rτην Aναλυoη, oτη Φυoιιη, στην Αι]:,α,')"α ιαι oτην Επιοτt1ιιο7.ο','iιι (θει'lQiιι.ou ,r,,μ,5,',.,oμoil). Στoιxεiα.iια τη ξοlη zαι τη δliιlπρooιpoqι1ι τoυ τιjoo σηιιιι\'τιΖι)ι'ιtι'τιli'ctr,0οιoπου
μπορεi.τε: να oqεi.τε οτo tjι6λ.o τoυ Ε.Τ. Ε..μκιθηματιxoi" B' τιjιιιl: (Π.Ε.K. t99.: l'
)σηπoυηωoqiξετ,':'τoθεoη oτι για xιlι::ιι εξ oλoxληρoυ oτ-τρog 0 (Σ1ημα a-:
roτερ6μoρφo αγoι'/.τiι' αναγxαiα ουvθr1z".ogεl vα γεγLχευτει i.i
''" ε[ναι lyα αyoιz-τ'oτcl A ε[ναι αxρι6η -
:: oτιg (/ - 1)-μoρφε;') ^,,ια xαθε μoQφ'i *
τ ι,Ιt )
rι^
i: .
ιιιε\/og oqog παqαλει-rιδεξιog υπoλoγιoμo::
.' dri,
Ζιf;. απ6 τιE xαΘoλιx6τερε:
τι.;.o'i,ιαζ (Αλγε6qιxηE zcι,
Φι'οιzr1. oτην Αοτρoνομι,ln1 'iιlrj xαι τη δημιoιρ.iιz'ο ilιολiο τοll Ε-T. Re]l "o
ΠEΔΙΑ KΑΙ \'IoPΦΕΣ
FΞηγηoτε γιατι 6χoυμε τoν παραγoγτα fl αγτi. τoυ fl-1.)'E1oυμιε επloη;
dlυ = Σ bo,rr','',ι',). iΙrjΛdr'' Λ "' ^driι.i1<...<iι i-ι
Ξ-l:ι9μι6ξoνταζ τηγ 1 οτην (l + 1)-μoqφη dω, παlqνoυμε
n /"\ \Ι(dω1 = Σ Σ(/ /D;(ω;'.;,)(ιr)ιΙι]1rj
iι. ...- il71 \'" /
dli'ι'..^ι]r;'
_ \- * *,-'," ' ( γ' ,' DiGυi,,''',;1lιtrldt) 'r''I''' '1' "7
7 \Jιl /
c]rj ^d,ri'
Λ...Λ a}ι- ι"'^ι]'ri'.
li=οoθ6τoνταζ, τα τqιπλα αθqoi,οματα απαλεLφoνταL, χαι παLρνoυμε
/r\ \d\Ιn)+Ι(d'υ)_ Σ t ( l
" ι"υiι'....i,(tt)rΙι]i' ,'?';, \Jο l
dri'^"'^driιιιfρl\
+ Σ Σ(1 1lrjDi{ω;.....;,)(/rtrltliι'.../iι-i-l \Jn )
dr'i' ^"'^dr'iι
-\--/2ir{...{ir
-\--1-iιζ'''ζi'ι
=Lυ. I
ΠΡoBΛΗMATA
(α) Aγ .f : Rn + Ρcrlι xαL g: Ρ".lΙ' + RrJ, δεiξτε 6τι (9ο f)* _ g* o/* xαι(g"f')*-f*og*.(6) Αν f'9|Rn -fi.,δεiξτεoιd(f g)=f 'dg+g'df.
(Ι,' #'llι;' ' l,ιtrllar)
c]ri'^...^cΙ:ril
li''....iιdti ι..' ^
dti'\r(t.r)d/ I r'"
),1:':i' .
j-1-i.
96 oΛoΙζΔΗPΩ-Η ΣΕ .{ \'\:Ι-\Εt
J- lJ. 'Ευτιυ _ ltlu διl ι,1 : 10. Ιj - Rl '
l1lι1 ':'|,i, '/' !'|ι:l'i.t) οτι)V R/,..δηi.αδη μlα δι({φ,ιι_i l;iii , , ,?;'l; " li 7"il:r.-"}9y;^J"",.Ι: ::lι"] ,T.::/':l;J.";l,'
-
.η; ,/ o _. υτο l Γι\.αl τυ f ' ι, 1. " ' 'ι
'' oεlξτε oτl το εq α.ττoμεvυ δl,,
4-15. 'Ευτι,, .[ : R - r?. oor =ο,,ltr τlt
_
του ε,1 ιιττoιtεvιll, )1111,1,61111τ(): τιl_στo 7ι)(iq ημ({ τ}|( / ιττo 1'l . 'f ,i l,.'-
^'-- !| yε 1(/) = ('t'.f (!)). Δε[ξτε oτι το -i οτo l 6ρloπεται πανοl οτην εφαπτilμιεr,r1 ε
4_16. 'Εατιυ 1: [O.1| ;,!-,.',:::xαμ"τυλη τετοια ιiloτε bι(t)l = ι ^γrα notluf. ΔεiΞτε ,
^'(l)'''tl χαl τυ εφα'ττotlενο δtανl'ο;,r aηa . ιττιl / εiνιιl zαθετα 1ιεταΕυ τ,lι,;.4'17' Ay f 'Ρ"" _ R,,''oρ[ξoυμιε dγα διαγυou,ατtyri πcAΙ^ " ' :",-'(α) aι'ιξτι υτι ,o,ο. o,.,,,,o,,;.l;:':-:;TJ '; ι1:l; *|l. f ι Ρ,'l,= .l tΙ,Ιι - R
xατα}")"η)"η 7- 'νιv Ι υ[()γ lτ" ειναι τηg βοριlηi .f(6) Δε[ξτε οτι diν f -1yy6, γl.4-18. Aν f : [1,ι * R, oρiξoυμιε 6νrr διανυoματιxo πεδlο grad/(7_])
ριε
(glad/)(p) = Dιf (p)-(e1)',, +...+ D,.f (p)'(e,,)ιr.
i;rυ;::f,}ζ"::,ιιi1,;;::;:1j::"9:.:1{ = V.f- e, νf (p) =αl7'. δειΞτ,οτοp oηuεtδu..n, orη a,.ilrl":;;.:;;,'Ji"αο1ια oτι η τα1ιiτερη |lιταοιli.r, -
4-19. Αγ .Γ ε[γαι 6να διανυιrμιrτιxo πεδio oτoγ rR3' oqiξουμε τιζ μoQCρdΞ
,υ1r,. = 1l1 61' + F2rΙy + F3ι1z'
'λ = F1 ,]μ ι, c]'z + F2d'z /'' c]'r + E'3cΙr ι cΙy.
(α) Απoδεiξτε oτι
.Ιt l, '' - ι' prιc1Ι .
d('L'.) = ω?uι ι',,]('2il = (1lν F)rlr ι rlμ ι cΙ.z.
(6) Xρηoψιoπιlιηoτε τo (α) για γα δεiξι:τε oτr
curl grad/ = Q,
div curlF = 0.
(γ) Aγ F ε[γαι εr,ci διcrcurli- = (). δεiΞτε o;:':ψ:-':;:'}.l:::.,::, αιiτεqooxημo, ανoιzτο ιτtνo}.ο -_1ιιν diι Γ - l). δεJ .rε,'τ, / |""''','",r'."^','''ιπoια
οι'vιiQτηυr1 /: y' -- R. Αvα;.,ιrγ diι.Γ =(.). δεiΞτε ιlτι f-_=..,.,c.l,i 'r)""uιl'ιlγ(ΙQτησt] J : A _ R. Αγιii.ιιιινυιrμιατιxο πεδio G οτo .1
-n" r q]1
]'1 Οoι(Jι|-ιη ιlj_,.
]τ() / ιl)Ξ ^.
,_ 1 ι:ττolιι]\,o ,)
_\εiξτε οτι'' ει1 ιiττιiιιε.
.l iΗε l..\ει:-' ιι.τιιΞι' τιll_:
- .f'(Ρ)1' .- Ρ'iil: ιι()Ο1- :
]Lιετι ι
.-R.-,).r (-, .-
Ι-E(2MET'PΙKΗ ΕΙΣ.\Γ()ΓΗ 97
-': ειν(1ι η .f : LΙ -' ,.'ιl(l1Ι μιιιι διrι,1υρ[οιμη σUγαQτησll μι: διιiφoοlοιμιη ιιr,τiοτ1lιlι1.ri: 'f
({Ι) - E";,}'' x.'ιtlε xi.ειυτrj μ.,ρφη oro [.Ι εiνιιι αxρι6r1g. δειξτε οτι το].\:]1';"'1ια το /1U)' Yιυδειξl1: Αr"ι/cυ =0 γιιι 7-o = rl|.η.'δuιυρr1ιrτε τl1 μιιlρφr1
,,,] '- ,διl[ξτε oτι oτo αυγολo πιlυ oρiξετιrι 11 θ 61ουμ.ε
,]'θ _*,ΙΙ+;+,]μ.
ΓΕΩMΕTPIΚH ΕΙΣAΓΩΓH
: ιδιιiξ11γ(75) πl,-xt6o5 oτo Α a Ru'- '1 (εδω το'[u. ,i"' ι\η),ωvει ;,,Η:'^,,#ψ:'il'ti l"iliY'i'T8, 1ll.__] l'ct't fg' 1]0 δr1λιilνεται τ() Ι-ιOγoΙ-ιελεig oδνολo {υi .ελE
.l,oqo,u 0-κυ6oq' | εivαι λoιπ6γ μια,o-υνciqτη'η 1 , iοJ - 1 ,i. πριiγμα πoυ εi,νιrι τo iδιo.' rει() στo "1'
oι ιδιιiξoντεg l xιεoι'ouxu,i ouoμaι.ri,.,r,. ,.,μrtιuE. v,o- ' . ι ιrπλii ιι)'χn xαι' ιδιαi,τερ-α or1μ.rr.,ni1
".aιrr;,;;; ;;;"i,;..,. lt-zi'Liοt,j? α"πoτε)'ει ι'l 6αoιx6E r{λrg /; , il;. i]" _ E,, .., ,;;;;;,'.,n,.;,.J,i'.,,"= ']' 'ι'ιOι ;r e [0, 1]". ' :
ιiυν6xεια θεalρotμιε 1υπιxα._αθρoioματα ιι).α"ξc'γτιυγ rΙ.ι.-χυ6ι,:lι, oτο '_1-,.rιoιαtoμιl:νιru μιι, αxε,ρcrιorq' δηλ"δη irιρgooo,g ιiπαlq η
2^γ1 +3^12 -.1l.,,- '_:: l3 ι:iνιιι ιδιiιξoντεg rrι_xυ6oι oτο,4. 'F'νιr τiτoιo πε:πεqαoιιir,ιl ιiΟ_lοι__ rΞor'τοlγ rτι-N'il6ο.w μιε oι-rντι:λεoτ6ζ αxεQιrloυq oγομciξετιrι rrι-αi,υoiδrrl ..
''','χι'χQ|ι|ι1νι{. ι1VιιΞ ιδtιιΞι lν ,,, ,r,,.,a'] (iι.(l)οεiταl lll-ιι).υolδιr { _ l _ l.ι\'εο6 τo πιbg πρooτiθενται ;-ιεταξi i.,rg ,rr-oλuoiδεζ xιrι ,,;, ,l";;,]r;',1-_ -1.ιι μιι] αxε:ραiιlυq αριθμoυq. ε"i,.aρ,rar|.7μt,,r.,,'νιvιΞ
/ιι(ι Jιιυ(
2(^,ι +3l+)+ ( 2)(^lι+l: +l:) = -2^lz 2^i3 +6-,a.
_ιττrlQri παρoυolιrιrr1 ιr'υτου.τoιl φclρμιιrλιoμιoυ r\iδετcιι οτo Πρι'Liλη pκι 1-22.)' ιιι0ιι r.δι,ιiξclυιiιr ni-rιi,υoiδιr:, ;..'7.;ii;;;';i;,;]:il*,li]",u" ιττo l._r \,Qo τηζ f ' την oπoicr δ1):ι111'ι1υιιε 1-ιε δ,.l Πριν oμι,lq r,rl'j,1λrμu τι1 1,ε:νιxrt--' rσ}l. θα oρiooυμιε τo 0Ι"' Ξεzιr,ιilντα< απ.l τη διιl'ιoθl1τιzJ" ιrριεoι1τερι1
- 'i l ,r'ν(/ι ι1\,ιlllτι\ |t.tι)l1|l\.ιll.ι| r, ll,pr,.
- - \Ι.: sitlgιriar.
- '\1.: 'ΙJ ιι)ιιiξoυιrιr tn-ιιλυιriδα.
98 oΛoKΛΗΡQrιf ΞE .],..,'.' 11 ,\Ξr
πεQιπτωση τoυ 1]. Τo ι]ι'l'ι'lιl.. τιrι' 1: Οcι μιπoρoυoε: να οριοτεi ωg τo αΘροιo1"ια. τ
τεJοαqων ιδιαξδr,τιυr' l-;,.ι'δι,r' διει'θετr1μ6ι'ιυν χατd, την αγτιθετη cρoQα _εΖ"ει' :
τη< xiνηοηg τ(!Λl δει7.τιυ\' τoι' Qo7'ο','ιοι' ']'ιQω απo τo ουνoριl τoυ [Οt 1]2' ο: _
δηλωνεται'-oτο Σ1l1μιcl' _1--1(cι)' Ειr,cιι oμι,l-Ξ πoλυ 6ολιx6τεQo γα oQισaυιιε τo
ωg τo αθqoισμα. ιιε τoυ: δr1l.οι,μιε\,Qι\: υι'γτελεοτiζ, τιΙ.)γ τεσσdqων ιδια'tor'τ-
1-xυ6ωγ iou πoρ.o.,ruo'].o., οτο Σ711μα 4-1(q.o1) o αxρι6ηg oqιoμιog TQU r'-
απαιτει oqιoμiνεg πQoχατt{Qz'τιz'i'< εννoιεq. Για xαΘε i pιε 1 < i' ζ πι' ορlξο
δυo ιδιαξoντεg (m - 1)-xυ6ου;1,'}',,, xαι η],.', ιυg εξηg: Αν r ε [0,1]rlι t' ''''
1ii'ο1(;ι) = Ι''' (ιr| ''..'Ιi ''0,/i,...,'"''')= (;rl,. .',7|i' ι,0,rri,...,r"'
'),
Ii],.',(r) - Ι"'('l:| .'' "''τi' ι, 1, :i1i,''', ;r"' 1)
= (r;1,. ..'Ιji 1,1''"u''...,r"' 1).
o 1δinl απoτελεi την (z..0)-6ι1η{7ε) τoυ 1"'xαι o Ιi,ilr1 την (i,1)-6ιμη (Σxr1μα _
oρi,ξoυpιε τ6τιl
dΙ,,, -_Σ Σ ( l),"'/,'ii,,,.i=1 rr=0. I
Στην περlπτωoη εν69 πι_xυ6oυ 1 :[0. 1]"'.- Α, oρi,toυpιε πριbτα την (i.rι)-ι'
1'(z..ο) - l"' (11j].l),
ΣXHMΑ 4-4
(11) Σ.τ.M.: Εz.ι1qlιiι]τε ιιr'ιι7.ι'τιz.ιt τοι,: ιδιιιΞοr,τι:c 1-z'υ6οι19 τoιl ο1t1μιrτog 4 4(α xαι 6)' Σ'u.ι
απ?'"αl(71t) Σ.τ.M.: 'H πi'ει'!rιι ll ιδιl,_i
ΓEΩ\ΙEΤPiκΞ Ε]: 99
- ' ε'/.εL(Ι oρiξουμε
a^, =i Σ ι-l)j*.,1,(;..,).i-1 rr=0.1
_ -ι)υβε τo oυνoqo ι-ιtαζ nΖ-α}ιυσiδαg I o,l, μaσΟ) τη:
,(Σ..r,r,) =!cι;(di;)' :τoυ oι λL'1oι oριoμιo| πoυ δ6θηxαν πιo πανιυ αρxoυr, για 6λεg τιq
,_ oτo 6ι6λi.o ιrυτ6. d1oυi-ιε πεqιλιi6ει ι:διυ τη 6αoιNη ιδιοτητα τoυ δ. '
{:)ε^(;)9ημα. Aν ^1 ε:[νrιι pιια rn,-cιλιlo[δα oτo A, τιjτε: 0(θ^,) = 0.09) Σι'lyo-- -0.
ι'=η. Θεοlρουι-ιε τOν (1ii1,.1)ιr.rl. oπoυ l < j. Aγ ;ι: € [0, 1|," 2. τιiτε''ε\'()ι στoγ oριoμιο τηE (.l, r)-6rin1g εν6g ιδιαξoντog rn-xt6ου' 6xoυμιε
Γ ''',,'),',. ''('rΙ
- li'i.,,,t Ι,iri. ,!t'rll= Ι|;|..1(τ1
'...'Ι''j l
' :'j,:τ:j '..
. ,E'" 2)
= Ι"''(:τ1''.',Ι'i' 1, r}, Jl, ...'Ι'j |''':)'l:'i'.'.,:Γ,',, 21.
τ11i'.rr
ΣXHMΑ ,ι_5
i:Ψ'-]-: _n δηλι,lνεr.'ει\ιο τι1 μιηδεr,ιz.r1 ('lπ 2)'αλυοiδα oτo Α. η oπoiα εxιpραξετcrι cιπιi-,lιοδi1πoτε πεπι:ραιτμdl,o ri
Ι9oo,"ι,11 ιδιιrξ6r,τι,lν (rlτ^-2) zιtjαlγ οτo Α μιε'μr1ι\ενιl"ιlι; oι,ν.ι.λε,riε.c
|'::*::,:": :1g, : 9: ll1,l;'- Ι εi,,,ι α,.λοi,,1α'ι,';;;';';.'ι* ii", i,j'li'.];'. ","]ιiχ"",,.-'li.]]ι',,b'i]i,,1i,ii
--:',1.'li]l _"tjl1oli ' |,], 1:.i],,ε:ρr1 α6ε7'ιανrl ιl1ιιiδιr μι: ^;,εννητoρεq ολ,c .;.,ξ_,l,,lιou..c;" r.,i".],,q" δ
"'' ι,i.γi,a"
"',..} i ι ; ili],n,\,: $:'λ!l;
: τουq ιδιriξοντε:ζ rn-xυ6oυιl 'a' (l'ιl'): l(1 ι'l'Γ','i Zα:τοl(!: --]lιl .]υllll')υlIllΓι'l1: Λi.','εορι1t. ( ) l(ν((','\'l.,itτl|: !ΙΙυιlιl Vl, δι,ι;lι,,τ,',,,1 1fιt τ(l\'ο(-l|οl|(ll ι,τl υ l,,.li,,.,/]Ι'zΙ': τ '|'i,. ;'i , s,',,ι.l, . .ξ, ',,,li
,",""-', l ,/τ,\τc,,.; c\,,,'l-ι() τ()V ()(])ισ!ι()J oτι ο rΙι]ι.]ρ1(lz.ιl: τι,ι'ιιlτl) : d : 5',1,(Α) - Sr, l(;.1) (πι > 1) αποτελεΙ ir,ιrγ'υll()υι]l')ιιο ιlΙ|αδιl)v. Οl τεllττ"',',': τ"ΟJ/ ,ι, ιι'1._r,, cl,,,',ν,ll,r,1 Ijrr;.:,-,ltυ\,I({l. ι/\,ι)ΟilΙιll,ll1' ιΑl - 5' ,ιJl - |()l ιiτοl, ιιlι_,, '.-,.,, rη:l,rl -,'.',-rj.'-,^.'1 ^..-,.!_.: r(Α) - S :(Α) - {0}. ιlπου {()}'11 τε:τ.οιιιιιι.,,l ,ρ;.i;;;,i"μaε"._o,1l"Ηδ';;dγ,,o,i}:::ιτιly.τιliν πoλ{l ιlεγιrλilτερt1 ο;τιlι'ι\ιtιιlτt1τai ε\ι)11'ει τt1: ι'πoιn1μιεiι,loηq (8Ο).
(cι ) (6)
100 oΛoKΛHPΩΣΗ τΕ -\\\ -] \F:
Aναλoγα
σ[i*ι ι)ιi'" =',;!r;',,"::.',],'ξ - ,"'
'
,".,-i,", u''), , 'tr,,,
) \'
Συνεπιbg (Ι(i..)ιl.ill = ({j.'-1 ';,)ιi,cτ)
}ι(Ι i Ξ j. (Mπoqεi να σαζ 6oηθl'l,επαληθευοη αυτηg τηg ιοoτηταg oτo Σ1ljμcr 4-5.) Ευxoλα τιilρα πρoΖι,:::xα0ε ιδιαξoyτα m,-xιb6o 1 oτι (11i..;)ιr,οi = (lιl+ι' j))ι;,η1 γιιι i'< j' Eiνcιι
0ι'0^ l= a (>- >- ι \
\;] 'Ξ' |l' '' ^
'; "' )|lL lrι \
=Σ Σ Σ Σ(-ι1ι+'*l*ρ,11;,rι1)17.ρ1z-1 ιι=().1 j-1 3-()'|
Σ' αυτo τo αθρoιoμα oι (l(;',r))(i,il1 xαι (l17-1 '31)1;,.),
παgoυoιαξoγται |-ιε (ι\ .
πρ6οημα. Eπopι6νωg xαθε oqog αναιρε:iται cιπ6 τoν αγτiθετo τoυ. αρα d1,li-Mια xαι τo θεωρημια αληθευει για xαθε ιι)ιιiξoγτα rτι-Nil6o.0α αληθευει",:ιδιαξoυoεg rrι-αλυοiδεg. I
E,iγαι φυοιx6 ν' αναριυτηθεL xανεi,q για τo αν τo Θειbqηpια ,1-12 μιτc,.αντιoτqαφε|: Aν δ1 = 0, υπαQχει αλυoiδα δ oτo ,4 τ6τoια ιilοτε ^, __
απciντηoη εξαρτιiται απ6 τo A ιιαt εν γ6νει εiναι αqνητιxr1. Επi παραδει'oρi,ξoυμε 1 : [0,1] - fl'2 0 μιε 1(f) = (sin2τrι,f. cos2τn,t),6πoυ rι ε[γαι ε-r
μr1δενιx6g αx6ραιιlg. T6τε i'(1) = 1(Ο)' αqα di, = 0. 'oμωg (Πρo6λημα {-iευπαρ1ει 2-αλυo[δα 1' oτ{lν R2 - 0 με δ-l' - ^/ .(li0)
(80) Σ.τ.M.: Oι m-αλυoiδεg ιrτo Α € R?] με μηδενιιo oiνoρο ιlνoμιciξoνται rι'L-χ1iχ)"()L (rτ(' ''αποτε),'ιlυγ τιlν πιlρηνιι τοι1 ομoιιoQιl-.ι(rμoυ ι?: S",(Α) * Sr, l(Α) (δiiτε τo πqοηγιlυμε:r,ο -τoυ |lιτiιι|ol(ι)τιl). Ενιι'' tιt-κi'ιi'ot ^.| ι)τo 4 i.εμε υτl ι:lν\1| ι]!ιδλυ'''ι': πυοζ Ι\1(\, nl-y.l,z/'|''.l ,ιv _'1 _,' i)δ','ι,, xiιlοι,1 ιlιl 1l-,ι).ι,οijα δ,tτο .4. i)ριt,,r,ιι ,'λι ;,lα nχn,,,l iuooιrτο oυγoλo''6)'ων τσ)γ 'rrι "ιι\]χ"l'"o.'y. η πτ ο|ιril"o),iιL τl1q oπo|αg ιlι x}.αοειq ourlο"διu Lιt(1 (ιi.oμιαι\α με πqriξr1 την ι:πct1l6μ1g1'1l cιπil την πqιioθεoη,rτi|u 5',,,1-l 1 (ιl i}.εγ7οq o7.Ulγ (]ι1]τ(;ν ει\,irυποθεοr1. αφoυ λιi6ετε υπι1r{lt1 1μ Θ1,ilρr1μrιι 1-12). Η ομι,rδα αυτη ouoμ,i't..oι, ,rrι,-ομriι\cι διrl;ομολcl1ιlαg τoιl A _ Hr,,(λl z{{L μετυ(ι τυr, ι,,ιω1ιιi. μ. ,ρo,roiρ1roη oμιoi.o.1iα-c.'y,ατci τοrαποτυ.i1ι1'νει η ιrντιοτρoι1r1 τoυ Θεοlρl1μιιιτoc .1-12 (^1ια xciUι:rι1. Για y-cιυε' tlι'. ι1'Hrn'1Α1 ,ι'.τ 'iνα
'το.ι,'λ,'y1yι' /ιιι''ιtzιtlι')tl'τι7ιl τl\l' 1 ,rr1l ,ιδr1.,ιγ l - R'' ι,ιι υllαψ1ι,l l l zιιι ετl ,
ο.ι'vαoτ)lι)ll / : ,-] ff l1; ,ll,ιι7r1 lι\'τ,\-Οοul| οι,νΙιυτl|σlI J' ' , Β ,4 11rl,ι ΙΓτυl(ι ιtl,\.. -
J,,)'t','tται,'1ι,'ιt'ι!οι-ι9 lυιιι':.tir',j,.τι,, lz,ι, τu'' Βι- τ,''τi η g,r,B),ivαι ιιtι'l1l6ρq}| :τ,_,: -
Ιιlι'(Α\. Ιο','ι,'.'υl'o: (ιl'-n -ι, i?'ιl'\!-\' 'l.'/.j'',U\.-{ι: υτl t1 lδlαtιlι'οα o;rιlλυ.,,iα l,ivαι 1ιlιι rα.r, .
ιινα'λλοiιυτι1'
- Απ6 τr1 γειυμι:τρι;,"l1 ι:ι)Lι]l\'ι]ιι1 τl1: ιδιrι'_ιlι'r_lcι: οιtoλo.7Lιrq εν6ζ συγo)ιo'ι] Α τo1l R'rL (lll-','ιτι'lδε6μενι'lι μεταξi' τOι': ιιε t//7 - L l-,ιl.ι'ιliι)ε: ,ττο _4' |lcΙ lΤL _ i)' τιl 6ιιoιxιj μoντdλο ιrτc,,]μιε: δi'ο oη1ιεiα ιrυι'δειlιιειιt ιι ι Ll Ζ!lι:τ i l ]τυ
'. ,",,i .,,ιιi π7 = l aχoυμ1 δυo r,"λειοτdq zιι.,:
'.' i. --F
To ΘΕMEΛΙΩΔEΣ ΘΕΩΡHΙνΙΑ Τo\' \oΓ1Σ\:(')\ 101
ΠPoBΛΙΙMATA
: _ S το oυγολo ολωγ τιυγ ιδιαξοντιυν m-xυ6ιυγ γαt Z τo ιrι'r'οi'ι_l τι')\''(Ζευ( {ιιrl\''
,ll-αλυσaδα ειγαι |-ιια συγαQτησt'l f :S - Z τiτoιcl' ιilιiτε /(^)-U','ιιι οl-α
- ',_.\,ιS1) τα 1. oQιξoυμε τo αΘQoισμα ./ + g 1!"αL τo./ιγoιιε\'o n.f ιιε (/ + g)(l) =
-g(i)n.,",n1111-n'.fbt)'Δε:iξτεoτιclν.f'gεiγαιrrι.αi,υιriδεq.τιiτετoiδιο' ,,.1u, με τα |+ g' nf . Aν 1 € s.δr1λιbνoυμιε επloηg 1-ιε ^i τη συγαQτηοη ./','ιιr
- ,τιliα f ('^l) =ι ln'αι i1^1'1_ 0 για ^i' l^l .Διllξτε 6τι xciOι: nι-ιri.ιlι'l[δα / μπoρεi'ιrαΨεl αι1l + +αk^l!,.yια zατα}'λr1λουq αzεριrioυΞ σ1,'' ' '0'l'' γ'Cl'L ιδιαξοντε:g
,,lιll'Ξ il....._ A.
- ,η > 0 xαι n, αχερσ-ιo, oQιξoυμε τιlν ι,διιiξoντcι 1-zυ6ο 1a., : [0, 1] - .R2 - Ο με
' - (t) - (Ecοs2π,nt'Ιlsin2τrι;)' Δεiξτε 6τ. υπαρ1ει ιδιαξcυν 2-xt6ο_c i': [(), 1l2'-ξ () τΔτoκlζ ιbιrτε 1ρ,.,, - ^iR'.'n' - al.(82)
'_'. ^. εiναι 6ναE ιδιιiξων 1-xυ6oq ιrτo ]?2 - 0 με ^/ (()) = _ (1). δειξτε 6τι υπαρ1ει
'.ι]!r(/-ιoζ ,ι τθτδιo_c ιboτε 1 '^i|'lι = 012 "για xαπoια 2-αλυο[διι ^' j' Υπτ)δειξηl.
. ,uuριo.u πριilτα iιl [0, 1l ετοι ιbοτε ιαΘε 1([f; 1't,l) να περι61εται^ι:ξ ολoxλr1ρoυ--,l ενα απil τα δυο xλειoτα ημιεπiπεδα ιrτcl oποiιr 1ι,lρ[ξιlται o ,172 απιi xo'πoια
, lεicι διερ16μιενt1 crπo τo 0.
f
μ_b:Ι
F
To ΘΕ,ME^ΙΩ^ΕΣ ΘΕ,ΩPHMA ToΥ ^oΓΙΣMoΥ
. ε.i,oν6ζ 6τι cΙ2 = 0 xαι Θ2 = 0' χαι πdQα απo τηγ τυπογQαφtχrj oμoι6τi1τα'
i zcιι b' υπαtνισσεταt μtα oQισμι6γi] συναφεtα μεταξi μoQφ6γ xιrι α)ιυοf διυν'
-il η ι'υγαCρεια εδQαιιbγεταL ι-ιε τηγ oλoχληQωσl'l μoQφσ)ν παγαl απo α)'ιof δεc'
-_l τιbqα xαι oτo εξηg θα Θεωρουμε μ6νo διαφoρioψιoυg ιδιαξoντεg ln-z"υ6oυg.
Αν) ε|γcιι μια }-μoρφr1 oio io. ι1r,ιιl,1 τoτε ω - f dr1Λ ...Λ d:ι:λ ^,ια ιιια'
.,.ιδιπf oυναρτηoη ./' oqlξoυμε
[*,J1ιl l1l'
-]'τli η ο16o11 θα μιπoρoυoε να '1ραcρεL:
l '[ιJl\ ι '.' l ι]','LJ1ιl.ιlA
.f ('' '... ''rλ'1dr1
--ο ':1 ιτυνδεoμιενε:q μιετοιξυ τοι]ζ ιιε ι;νυ;οη ιιzoνιυv xαταλ}'r])"ιυν 2 x{'6οlν oτο Α) προziπτι:ι oτι ιlι_ιιiδεg 1ι\ια'ξoι'οαE ιιιoλo^/i,ιζ ε]v,,c οι'νδ}.b,'roι,-R," εxqlραξoυν α}'γι:[iριl''ιi. xιιτα z.απιlιo τριiπo.
' 'ι, oρ,ομi,νι| lunιrirt oυur)"τririrηrrrq αυτoιl τoυ ιrυγ6λιlι. τη-c oποi,ιrq μαλιoτα ιrπoτι:λoiγ ιrt1μιαr'τιzo
,"]].:rλ']'μ.iu-ηg. Αυτη 6i[iαιιi δir, εiναι πctρα μιια υπιrινιxτιxη σy.1c(','ριiφηor1 1οrl ρ6λου τoυ;'
. .cι ,\,εξοδ,ι6τερη αιτrπτυEη τιlι θιlματο; οδr1',,ι:i οτην επιxριiτειcι ενoq cιπo τoι'< (jα(]υτε:Qoυζ τι'αι
-ε7νι,xιiτερουg το1-ιεiq τolν ιτtγ1ρoιτ'lγ N1crθr]μιciτιz'ιilν ιiποlc εiνιrι η Αλ^1εriριz,η Τoπoλoγiα',s1) Σ.τ.M.: Δηλιrδr1 με την πι()cιr,rl εξαlρειlr1 ενιi: τι:περιrιrμιενοι, πλrjθoυg.
.{2) Σ.τ.M.: Γιιr το πρ66)'11μ.r ι1ι'τι). ι):τι.]- Ζιlι',/ιιι τιl επopιει,o. iνα o1ημα θιr [ioηΟοrloε ιiρz,ε:τιi.
S_r) Σ.τ.M.: Δη)'ιrι\r] οι: ιrr'οt;'-τιl ιlτειlιτι'ι'ο7-o τοι [Ο. 1]λ.
102 oΛoKΛΗPΩΤΗ -Ε _\ \\ sΙ]Εs
ιΙJιυ ιυUζ /ιO1,/oL!Ξ 'i/ιc{ τll\' εισti.i/ιr)^i/}l τωγ συγαQτησεων r?..Αγ ω εiναι μιια Α'_ιιoοφ}l oτο _lιε+l xαι 1 εiναι 6vαg ιδιαξιυγ k-xi'oι':oρiξoυμε - 'Ξ ".-_"'Ξ'"
ItJ:= 'lμ,1
^'o'
Σημιειο.loτε 6τι γιcr 1 = Ιk '
Q\-ffdrΙι...ιellk)f ,^ f a''' Λ "'Λ o"o ==/r',',
'/tu"
rtl
.l^ou'-Qdμ _ liInf[l,{1,,1 -
' i=l
+ [^i2 (t;) - ^i, (t,
.f ("\
= ω( l (0))
Tο oλoxληqωμα τηE ιυ παyal απ6 ριια λ'-αλυo|δα r = Σ α,;1i oρiξεται ;-ιdoc' -
l,'
^,'(t, ,l] Ρ111t'.l;
Qb(t")),
ΡΙou -e1, ^,'^.,.tu εi1ι ιιια διαμdριoη τoυ [0,1]. η επιλoγη τoυ fl μ6oα απο
Υ,,::''-':)'..?:ι αυΘαi,ρετη,"1 .1 oριο τo ;;aδ;"il; ;Ιi,, λ?'ο#, i,ili.
ρloειg για max |l, * tι ιi - 0. Τo δεEι6;ι6 μ6λog τt1E αvωτ6ρω ,o6τηταg αποτε
I
σUχγα τoν oριομι6 τoυ /^ Pdr + QcΙμ. Αυτo εiγ'αι φuoλο, μ.o ,o, αυτci -αΘqo|oματα |-ιoιαξoυγ oε μεγαλo 6αθμo pιε εxεiνα ,rou uμφouιgoVT.,. σToV oι_ομ6 των oυνηθιoμdvιυν oλοz.).ηqlο-lματ,,iν. ΙM.α -6τoια .rφa;;η d;;';";;.-;:
-
(84) Σ'τ'M': Α C R"' ι'ιιεδιil ιο7ι'ει ;τ('): ({\'τ.) -{ δεν εiνιrι αγoιxτ6, τoτι: η ιυ oρi,ξετ<rι σε ανoιΖ_υπερoυνολιi τιlυ.(85)
Σ.τ.M.: H .'ι']ιιt!!ιtz'' υl' l7'' l|-' I l''
[ '=Σo, [ *'.11 J1,
Τo oλoxληqωμα !ιιαζ l-ψ9οvrls πciγω απ6 ριια 1-αλυoiδα xαλεiται συy\,(l. ε:,"ΨΙo oλoxλriqωμα.(s5) iy. Pιlr + Qc]'y uιu"ι μι,".-i *"*rη oτoγ R]]':[0,7] - R2 εiναι 6vαg ιδιιiξωv 1-xd6οg-(μια xαμπυληj, "ω, μιπoρε[ {,: -εμεi,g δεv θα τo xαγoυμε) να απoδει1θε[ 6τι
ετ ιε.:'r.
;Ζ -,τ
,_(Q7.ει \',(
-]',_ι Οε!ιcι ιst1ιιειι'-lι
Σ.τ.M.: S
Σ.τ.M.: \
Τo ΘΕMΕΛΙΩΔEΣ ΘEΩPHλ,ΙΑ Τo\.'\oΓΙs\Io\ 103
r'Φτn' ::.-r6i,ητεζ σχεδ6ν υπoλoγLστιχ6g δυoxoλiεg xαι γqf^7oρα εΞιoι'rr,ετc1.ι ιιε ε\,α'm^.'"_;.1loι|]|-ια πoυ δεγ εiναι ιiλλo απo τo .[γo11f (PcΙr+'φjy1 ,sο, Αr,α.l.o^,,ρ1 ρO1-ΙI[l 1 'i'cι επιεπιφιivεια (η επιφαvειαxα1 oλoxl"ηριbματα. δηλαδr1 oi'oz)'ηριilματα_-ι'
';'-ιυν πclγω απ6 ιδιαξoντεg 2-xt6oυg, παρoυoιαξoυν αxoμη μιε.,αii'τ--α -ρo-τλ;ψ' ιτα. dxφqαoηg xαι υπoλoγιoμoυ. Αυτ69 ii,ναι o-duαg }.oγo-('πoυ απoφυ.7αμε!u}' " ::τoια πqoο6γγιοη τoυ θ6ματog. o αλλog λoγοg ειναι oiι o oριoμοg'πoυη ''-ιε εδιb εLγαι αrlτog πoυ 61ει ν6ημα για τα γενixilτερα πλαioια μι6oα oταi,Γ ι θα xινηθoυμε oτo Π6μπτo Kεφαλαιo.
Η ox6οη μεταξd μoρφιilν, αλυοiδωγ, c]' xαι θ ουνoι![ξεται xατα τoν"xoμ-]i -::]o τρ6πo oτo θεωqημα τoυ Stokes,(s7| απoxαλoυμεuo ενioτε ΘεμελiωδεgEi] .rt']μια τoυ Λoγιoμoυ οτιg μεγαλiτεqεg διαoταoειg (αν k =7 xαt1 =1,,.iuo1]r[.t.:'ιιt1τι τo Θεμελιωδεg Θεωρημα τoυ Λoγιoμot).
&tj Θειbqημα (Θειbqημα τoυ Stokes). Ay ω ε[ναι μιcl (kl - L')-μoqφη o' {ναι" .zτo odνολo A C R" xαι ^γ εlναι μια k-αλιlo|δα ιlτo A'' τoτε'
-']η11'
/,0'= .1o,,tu
ll
Υ"!Ι'F!; Yπoθ6τoυμε πqιbτα οτι 1 = ΙΙ'' xαι oτι η ιυ εiναι μια (k 1)-μoρφη_, ι().1]". Toτε η ω εiναι τo ιiθρoιoμα (k - 1)-μoqφιbγ του
"{rro,
f ,Ι"' |.. . ι r]λ, Λ ...Λ drλ,(sε)
':r.ιι αQXεi να απoδεi,ξoυμε τo θειbqημα )/ια τηγ xαθε μiα απ6 αυτ6g. Αυτ6 εiγαιι.τλα Θ6μα υπoλoγιομoυ:
Σημειιboτε 6τι
,...,e, ... rk)d:rt ... drk'/i._;
r0=
1 Ιr.,lu 'f(..''
αyjανj
i86) Σ.τ.M.: -Πρι1γματι. ((πo τoν oυνt1θη Oλoxληριυτιxo Λoγκrμ6. τo ανωτdριο 6ριo εiναι τo
[μ-.l1LP(l(tDff+Qι^lιtll#]d/'ιιυτο ομι.υg ιLνι.L τo l'γυ ι11-(PcΙr*Q,1a) )1ρ.1cυ τιlυ Θειoρημιιτoq-ι-8.
1:]] Σ.τ.M.: Sir Geοrge G. Stokes (1819 19Ο3): Bρι:τανoE ιpυοιxoμαΟηματιxoc.(88) Σ.τ.M.: YπεγΘυμιoη: To ^ οημαιr,ει oτι o ου^lxεzQιμdνoq 6ρog πιrραλεiπεται.
104 oΛoλ.\HPΩ.h -ι \\\'I\Εs
Συνεπωg
. /, dιΑ'
7λ' )l!ι ]
'ι], tι'i',,'l'(J'df' ι.'. η,Ι}'; n
..., 1,. .. rk)d,at ... cl.k
',0,...,rΑ' 1r],r1 ...,7ιk'
'.ιd.'k)
Απιi τηv ιiλλη
'
':';: ,' ',^ ",,,:: no,,
|'"*n'or, Λ ^
ι],l:k
= ( - l)' ' Ι" ''^
o''"Απo τo θειυρημια τotδιιiοταol. ,1-ηi'fr,u"'
Fubini χαL τo Θεμιελιωδεg Θεωρημα τoυ Λoγιoριoι1 (oτ
./r^o,r,r"' Λ . .. 4 a}', ι' .. ι drk)
cbk
J,r, , J'n tt " , /^t .
Α'
=ΣΣι lli '' I'i '1 .' ='.ι J1''
=ι ll, '[^ Ι(',,'J γο'ι1κ
"
.r-(-Ι)'l' Ι,"'.'/l{).ιll.
11 /= (-l)l'
/, (Ι' o,'rr''...,,,n)αrn)
d.rt ^.
/
Γι ιΙ \d'ri \"'ι'1'l''
=(-l)'' /,' l,'ι.'r"'...'.l ......rλ)
- f (r',... ,0, ... ,rk)rJ'r' cΙ,!r,=ι-l|'[ .[(rι.' l ^t','J[ι).ι]k "'' 1,' ",rk1dr' ...cΙrk
* ι4)' [ 'f (.,] . 'J[().1]ι "'0"'',rk1r],rl ... c]rk.
ειναL εγαζ τυχ(:ειz'γilει 6τι
Τo θειilρr1μια τοι'.lιυ-q εξελιγμι6να' μιl
1. ElνιΙι τετριμι2. E|ναι τετριι
ταλληλα.3. 'E1ει ol1μα.r'
Mlα xαι, 6λο ιiι-.lιoι 6xαγαγ δυr,ιιτ
l',,νιbοτηg δε θα' τδυo πριi.lτα ιrπο
_ .εριυμ6νo oτo τρl_τ,
( Tιl cιπoτ !λε:rl'ιιcl.'Eοτω 1 6να( ιδι,ιουναρτηoη τετι_lιιι6τι
Δεi.ξτε 6τι l'- u - ,,
oτt ^111.r, 7 Θ^ ^''ι,
τ()υ ?'R.Ι? oτο Π9ι
rc) Σ.τ.M.: Kιιι τοr, ιlιlι
Ι'o' -
εiγαι ιιιc,
l'''
'Eτoι
,t-' = /,,,,
,.
Τo ΘΕMΕΛΙΩΔΕΣ ΘEΩPHMA ΤoΥ .\oΓΙs\Ιo\ 105
ι].,-i ^
.. . ι d'rk1
tLα.Τ''
ι τoU Λoγισμoil (oτη
. drk
\'.' ^, εLναι 6να9 τυ1αiog ιδιαξων k-xi6oE' αxoλoυθιbγταζ y'α\,ει; τoυ: oQLσ|-ιoυξ
-:οδειxγυει, 6τι,
t'=[ r",J a^ J υrκ
Ι'''ι'επιbg
l:i.og, αv 1 εiναι μια k-αλυoiδα | α11i, 61oυμε
l'n'-Υo, Idω-Υα, [ '=[ω. lJ^ L J- '1Ξ 'Ι υ^, , Jυ.
To θεωρημα τoυ Stοkes μoιραξεται τρiα oπoυδαiα 1αραxτηριoτιγ'α 1-ιε πoλλα:i.l1ρωg εξελιγpι6να μεγιiλα θεωqηματα:
1. Ε,lναι τετqιμpι6νo.2. E'ivαι τετριριμθνο δι6τι oι εμπλεx6μενoι παqαγoντεg 61oυv oριoτεi xα-
τιiλληλα.3. 'E1ει οη;"ιαvτιx6g αυν6πειεg.
Mια xαι 6λo αιπ6 τo τεφαλαιo ηταν xυρiωg μια oειqα απ6 oqιομotg oι,'',.τοi,oι 6xαναγ δυνατη τη διατiπωοt1 xαι απ6δειξη του Θεωρηματog τoυ Stokes. oιr'αγνιbοτηg δε θα πq6πει.να 61ει δυoxoλ|α γα αγαγνο]Q[oει οτo θεωρηρια αυτo:cι δυo πqιbτα απ6 αυτα τα χαQαχτηqιoτιxα. To υπ6λoιπo τoυ 6ι6λlδυ ε[ναιιq ιεριυμεvo oτo τρiτo.
ΠPoBΛΗMΑTA
+2'5. (To απoτ!λεσμα τηζ ιlλoxληροloηg δεν ε'ξαρταται απιi την παqcιμετqοπclil|ιlη).'E'oτω16να9ιδιαξοlνk-πυ6ogxαιp:[0, 1]k*[0,.1]ftμια1-1xαιεπiδιαφoρloιμηoυναρτηοη τ6τοια ιboτε detp/(r) ) O για r e [0, 1]i'. Αν ω εiγαι μια k-μορφη, δεiξτεοτl,
126. Δεiξτε 6τι J''*'-dθ =2τrι xαι 6αοιoτεiτε οτο Oειilqημιr τoυ Stokes για να ουναγα.1ετε
6τι 1r.''n / Θ1 yιιι oποιαδηπoτε 2-αλυo[δα 1 οτo 'R2 - 0 (αναxαλdοτε τoν oριoμoτoυ ]ρ.r, oτo Πρ66λημια 4-23(ιt9)).
/ro'= f ,"f (rΙ') = /,^or'-') = /o,^^,-,
= lu-,'
/^,' =
/,.o'
(89) Σ.τ.M.: Kαι τον οριoμ6 τηc dθ οτo Προ6)'ημcι 4-21
-
106 oΛoΚΛΗΡΩsΗ -Ε \ \\ ΞΙ \EΣ
4-27. ΔεLξτε οτι o α;,'ε,.lιιι.,: /l τ.]ι' Προo7'r1μιιτοg 1-21 εLyαι μοναδιxιig. Αυτc:ονoμαξεται αqιθμο; :τεριii.ιξη; τιlι' ^ ',ι8οl απ6 τo 0.
4-28. YπεvUι'μιiΞιτ,1l υτ. τ{),',''.'er., τι'l\'ι|ι'|'({δ|Ζ{irν αριθιrιilν C εiνιιt ,ι.τ).
(α'β) - α+'3i' Ar'α1....'(Ιrι Ξ C. ιL'E εiναι f '.C + C η ιτ,"
f(z) _ z" l Q1ZΙ1 ι + "' + C]11. oρiξουμιε τoν ιδιαξoντα 1-xυ6ιl 1n..i : [tl -
με lR,/ - "f o1::.t 7.αι τo\'ιδιιrξοντα 2-xυ6ο 1'' με 1(5,t) - 11ρ ,,(s)+(1
(") Δε[ξτε ιiτι Θ^) = ^, R.f ^1 ρ.,, Υσl ^7ια R αqz"ετα με.1ιiλιl 1([0, 1] r [t). 1
(6) Bαoιoμθνoι στo Πριielλημα 4-26. απoδεiξτε τo Θεllεltl(i''δε; Θεilρl1 ιι,,. '6ραq: KαΘε πολυιbνυpιο z7ι + cl.1rrι 1 * .''l alι, |-ιε α? e C^ ε7.ει ' -
C.
4-29. Aν εiναι ,υ pιια 1-μιlριρ/1 f dl oτo {0. 1] με /(0) = /(1). δε[_Ξτε οτι ιlπαρ7ει ι,
ιrqι0μ6g λ τl'τoιιlg ιilιrτε ω λι1'ι = ιΙ,g yιcι N(ιπoια ιlιναρτηιrτ1 g ψε q\, -Υπ6δειξι1: Oλοxληριboτε: τηγ ι, - λd:t _ ι]g πανοl απ6 τo [0, 1] .,,ια να 6qε. ,
4-30. Αγ εiγαι ω μια 1-μoρφη οτo .R,2 0 τ6τοιιι ιboτε dω = 0, δεiξτε 6τι
ω=λdθ+dg(90)
^7ια zιiπιlιιl λ e -R' xαι oιlναρτt1oη 4 R2 Ο - .R. Υπ6c)ειξl1: Aι'λpj]l: + d(qρ)'(tll) δεiξτε 6τι ολοι ιlι αριΘμο[. λ6 ε1ιlυν την (,διιr τιμr1 λ.
4-31. Αγ ω / 0, δεiξτε 6τι υπιiρ1ει ιrλυιτiδα 1, τilτοια ιi.lοτε '/ ω / 0. Συνι)υιiοτε
"1ε.1oν6g με τo δειilρημα τoυ Stοkes xαι τo 6τι B2 - Q γιιr νιr δεiEε:τε 6τι ιJr =
4-32. (ιι)'Eoτοl 11 'il2ιδιαξoντεg1-xυ6οιoτιlγR,2βεir(Ο)-}(Ο)xιrι1'1(1)-^.l"Δε[ξτε: οτι υπαρ1ει ιδιαξοlν 2-xt6oq ^i τiτoιog ιiloτε θ1 - ^1, 12 * _
.ιiπoυ 1j \λ{J.L ^11 εiναι εxφυλιoμ6νoι ιδιαξoντεq 1-xυ6οι. δηλαδη τα ^,
xαι 1;([0, 1]) εiναι oημεiα. Nα ουνα1Θεl 6τι / ' '= Ι^,rω αν )l ιιoQι+ll ^
ιrz,qι6ηg. Διboτε αγτιπιrqιiδει.1μα οτo -R,2 O oτην πεqiπτοlι-lι1 πoU ιl ιιι .
εlναι ιrπλιΙ xλει,oτr1.
(6) Αν ω εiγαι 1-μ.sφη ο' 6γα υποουγoλo τoυ R2 xcιι .[''' = [^,.' lro 67.ιll. : _
ιδιαξoντεq 1-xυLiουg 1-ιε i1 (0) - iu(tl) χαt _, l(1) - 1u(ι), δεiξτε οτι r1 * ,
crxρι6rjg. Υποδε:ιξη Λα6ετε υπor.]lη τcι Προiiλr1ματα 2-21 Nυι3-34.
4-33. ('Mια Εκlα1lcυi,η oτl1 Mιγαδιxη 1yfi)1'6η(92).) Au "f :C - C' λiμι: ιiτι η : ,
διαφοqioιμη στo z0 € C ι,q,' ρg.' τo 6ριιl
(9()) Σ.τ.M.: Δε:iτε τo πQo.ll1ι/oι1ιιε\,ιl ο7ιli.ιo τοι, μιι,τcrι1ρcιοτti.(91) Σ.τ.M.: Για τον οριιl1ιιi τι)ι' ^ ]?.t ι\εiτε τιl Πριi6λr1μα .1-23.
(92) Σ.τ.M.: Στl1 μιιlντι'ρι'cι \'1ι^,'αδιz.r1 Αr'cii'ι'ιtl'1. τr1 θεμιιlλιιlμdνr1 πανιυ oτt] Οειυρ|ιr ταlν μlι;,ιμορφrΛl,. 'Γo Il] rrποτεi'εi τιιr'τ r: τι] 11|llll)ιi]ιlτευo ιτ7'ετι:{ο xε:i.μιε:νιl.
L
l,
l/ ι τ
i
:-l
.r:. ΑUτo_( o αχεΟ1.:
|\'CιL απλα o -R:C η oυνriqτηοi-
-:r f: [0,1] * c- t.s)+(1 f)γn. .
1lx[0,1])cCΘειbρημrι τηζ Α':.'
= C. ixει ρiξcι -
τι ι'πiiρ1ει |-ιoγαδι;..:τ1i 9 |"ιε s(0) = ,j
'.'ιιl" να €iρεiτε το
'ι]τL
!:.ι=:η: Αγ ?λ.ι(*ι τιιι11 λ.
-ι'νδυciιlτε αυτιl
:ι.:ε ιiτι c],2 = (j'
ιι ^1(1) =1:(1).^t2 + 13
δi1).crδη τα i1([Ο.,ιι'ημιoρφr] ωει-,
',.'lσ}l πoυ η μoQql
1i^. o .1ια 6λoυ9 τc,]ειΞτεoτιηωεL.'ιι -1-311.
l. i"εμε ilτι η '/ ειι
,ι:l lρiα τcυν ριιy cιc\ιz
Τo ΘΕMΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗMΑ Τι)\ -\ΟΓΙΣ\Ιι)\ Ι07
/'1:.1 _ ./ι :ι])/ (:ρ1-,,'1 . _υπαq1ει. (Αυτ6 τo πηλixo ε|ναι πηλ[z,o δυo μι.1αδιzιilν αριΘpιιbγ z.αι cιι'τι]< ο oριoμιiq
διαφlρ., τελε[..lg απ6 εr,εiνon του Kεφαλαioυ 2') Aν η / ε[ναι διαφιlρiοιμr1 ιlε z"ιiΘε
oημuιo , εν6g α.rorxτου ουγιiλου Α xαι η // εiναι oυνε1r1g oτο Α' τoτε 11 / zαλεiται
αναλυτιxη oτo Α.(.r) 44Ξ. ιiτι η /(z) = z ει\]αL αναλυτιxη, ενιb η /(.u) = Ξ δεγ εiναι (ιiπoυ
'' -i = r - iυ) Δεiξτε oτι το αΘροιoμα. τo .1ιν6μενo χαι τo πηλlxo δυo
αγαλυτιxιbν oυναqτηoειυν εiναι αγα),υτιχΔζ συγαQτliσειζ'
(6) Aν η f _ ι' * 1r(93) ε1ναι αγαλυτιxr1 oτo Α, δεiξτε ιiτι ιlι u χαι U ι,,αγoποιοι!ν
τιg o: y'!' o ε ιE C α u ι' hν - Ri e nlαlι n J'9 1)
Θυ Θιι θ'υχαι -_ -0μ i)ιl iJl'
Yπιjδειξη: Xρι1oιμoπου1στε τo γε1/oγοg oτι τo 'l1γ,,lf
Q) f Qil]lQ - zρ) 0α
πρΔπει νcr εiναι το iδιo lLα z _ z11 + (r+ i' 0) xαι z = z0 + (t) + i' y) [ιε lr' } + Q'
(To αντloτρoφo ιο1υει, αγ Oι u χαι U ειγαι ουνε1ιb< διαφoρ(,oιμε_<' η απ6δειξη
εδιb εiναι δυoxολ6τεqη.(95);(.r) Αg εiναι 7' .. C - C εναg ^1ριrμψιιx6_< μετασχ1'lματιι)μ69 (6που τo σ Θεαlρεiτιrι
διανυοματιzιig 1ιbρoE πανιυ απ6 τoν -R). Aγ o πiγαxαg τoυ T (t)E πQoζ τη 6αοη
( 1. l ) ε[ναι ( /l": ) . δεiξτε oτι ο 7' εiγαι πoλλαπλαιrιαoμ6E επi μr1αδιxο αριΘμιi\ l.Ο /
ιrxρι6ιi'lg τ6τε 6ταγ α = δ y'cl"ι β = -^l.To (6) απoδειχγυεt οτι μιιi αγσ"}!ιτιΖli
ouuιiq.ηοη f ' C t σ. 0ειορoυμιενr1 ωg oυναρτηση '/ : R7 - R2' ε7ει μιια
παρ,iγοr./ο Df(zο) η oπoiα εiναι πoλλαπλιrοιαιrμ6g επi μι'1αδιxιi αρι()μιi. Γιcι
πoιιl μι.1αδιxo αριΘpι6 πqoxειται;
0uo.r
''-i) Σ.".M., A\z-r+'ιμ.τ6τε.f(z1 -f@*i,μ) ιι(r,μ)+i'ιl(':r,9)'δηλαδ{μετηLlοl1θειατη:f.oiξoι,ται ι\{lo πραγμcιτιxiioι,u,rρiηoι,,g δυo πqαγματιxιbν μετcι6λητιbν, oι oπo|εg ονoμαξoντcιι -τqα;'-
',i,τ7x6 iιcιt φrrrioi'r"δ μiρoE τηζ ./ cιui|οτoι1α. λντiιrτqoιρα. δoθiγτιυγ δilo τ6τoιο:ν ιτι'νcιQτtiιtεοlr' α
,.ιιι ιl, ορlξετcrι ιl .f - u + i'ιl.9]) Σ.τ.M.: o Γα}'λoE Αugustin L. Cauchy (1791-1s_57) xαι ο Γερμανoc Geor'ε F.B. Riemann (1826
_s66) ιlπ!ρξαν δto απ6 τιE_πλεoν ι:ξd1oυιiει φυοιιl^1νιυμιiεg τοlν Mιrθηματιπιilν, xαι τηg Eπιoτrlμr1g
.urr6.uρ,r'._.nυ πε:ριrομi.νοi αιιbu,r. fια.nuf ιδι.rl.,g χtiL για τo θρ.,,ο τoυg δεi.τε τιg oxετιxdg ενoτl1τε:ι
tτo iqγo τoιl Ε.T. Bell ,,Oι μcιoηματιz.ο[" Α, y.αι B'τ6μoq (Π.Ε.K. 1992 xαι 1993 αντ|oτoι1α).
95) Σ.'.M., Υπιiδειξη: Ανzη € Α.τ6τε f (z) f (zι) -11,(Ι1y') u(r6,9g)+'j[υ(r,μ) υ(.]:a'μ0-)l _
u(:Ι:1!)') u(rg.{|+ (ιι(r1i'μ) - ι(zρ."9μ)) *'j11υ1:r,9) - υ(rο. μ)) + (υ(r()1.9) . U(rο,9ιl))]' μιε
ηioη"οiι".o."oΞ.rρ'iμ".o-ζ Μεoηq Τiμl1<1oι Δι.αιpoqι,zου,\O.l,ιομoυ μιcιg μετcr6λητηg, ειqlqαoτιl τιg
lιαφoρig πoυ 6ρioxιlντcιι 1-ιiιrα οε: πcιqε:νΟειτειg ιrυνcrρτr1ιrει xαταl'λr1i'ιον τιμιιbι' τοlν #'tft # #'ιi,τiοτoιχα. Tθλoζ. 6αιτιoτε|τε ιττο γι:.,,ον69 ιiτι οι il, ιl εiνιrι oιlγιlχιi:g διικρορiοι,μεg ','ιιr να xαταλtjξι:τε
'-ο οτl ^' i)ιt .ι)ι'
J'ι'-''' ,')';( '''.g \- ι \-l.ι'''.ιloΙ'
:
108 oΛoKΛΗΡΩΣΗ ΣΕ .\ \\'ΣΙ_\EΣ
(δ) oρlξoυμε
cΙ\-'- iι]\ = clι + id,η,
y'α|
Δεiξτε oτι d('f . dz)Riemann.
(ε) Απoδεiξτε τo ΘεδQηρια oλοxλi1ρ(Dσ1]ζ τoυ Cαuι:hν-: Αu η "f εi.γαι crr'ιι''
οτo Α, τ6τε | fdz = 0 '1ια xαΘε x7ιειστf xαμπυλr1 1 (ιδιαξιυν 1-'z'ι'ι'
τ(0) - γ(l)) τ6τoια ι,.lοτε ^i _ 01' ^iια xαπoια 2-αλυοlδα i' ιrτο Α.(oτ) Δεi,ξτε 6τι cι'ν g(z) = !, τ6τε g . dz Lη Q l z)dz οε xλαιrιx6 oυμ6oλιομιιi] ι'l,
ψεicΙ,θ*41107) για xαπoια oυναρτηοη h:C- 0 - .R. Nα ουνα71l'
['"',,'IfzΙdz _'τiιι'(ξ) Αν 11 /' εiναι αναλυτιxη οτι, {: : : : |}. υτηρι10εiτε οτο '/Γ^"o\'ο:
gΘ _ Ψ εiγαι αγαλυτιxη oτo {z:0 ( 1,l < 1} .y'ια γα δε[ξετε 6τι
[ Ι'!,],=[ Ι'!,l,J^", , .l ^" " :
αγ 0 t Rι' Rz ( 1. Xρr1oι1-ιoπoιηι:lτε τo (οτ) r1ια να υπo7ιο'1ioετε το Γ'r. ,, :(0 < j?.( 1) xαι xαταλfξτε οτoν:oλoxληροlτιxll Tιiπο τιlιl Cαuι'h'ν-'' Αn η "f εiγιrι αγαλυτιxlj οτο {z:\z\ < }
1εiνιιι μια xλειoτrt xαμπυλη oτo {z:Ο { u { 1} μιε: ιlριθμ6 πεqι6λι-Eη: ' '
γυραl απo το 0, τ6τε rL' f ((j) = * Ι',- Ψo,4-34. Αν,Ε : [0,1]2 - R3 No"ts € [0, iI. ορiξουμετηγ F's : [0,1] - -R3 με F,(f) =Γr.
Αν xαθε ,Ε., εiγαι μιια xλεκrτη xαμπι}'r1. η -Ε εlναι μια oμoτοπiα(99) μετιiΞιιλειoτηg xαμπυληE F1] )acL'L τηg xλειoτηg xαμπυληg -F.1 . Yπo0iτoυμιε 6τι -Ε z'-'εiναι oμοτιlπlεg xλειoτιbν xαμπυλιilν' ciγ για xαΘε s oι xλειoτ65 xαμπυλεg F.
(96) Σ.τ.M.: Δε 6ρiozεoτε: τιbρcι μαzριιi απo τoν oριoμo μn,αι\ιιιbν μοριριilν σε ιJπoσUγo/'ι]gτι'1C x ...x C. rι φoqig). Mπορι'iτε να πρo1ιlρηιτετε o'αυτ6γl(97) Σ.τ.M.: Για τoν oqιομιil τηg dθ δεiτε τo Πριi6λημα ;1-21.
(98) Σ.".M., Δεiτε τo Πριi6λημα ,1-27.
(99) Σ.τ.M.: Mε τη 6ιlηθειcι τt]g i:νr,oιcιg τr1g ομοτoπiαg οφ[ξoνται oι λε.,,6μενε_< o1ιclτοπtx!q οιι
ενoζ ιrυγ6λoιl A c Rn oι oπ1liε: ουr,δε1οι,τιιι με τιE oμdδεg τηg ιδιαξoιoαg oμoλo^1iαg t )
την ι-lπoοt'11ιεioloη αρ. 80) μιiοcl τιlι' ιrτιlιιιlτ2cγιcl'ιιιlι\ τοιl Ηιιrι'u,iι':. ενοq οπουδαioυ απoτε:λεoιι
τηq Αλ.1ε6ριι119 Tοπιlλo.,,icι:. Oι οιιιlτιlτιzε.- oμciδεg απoτελοiγ ιαι cιυτiq ιrποrlδαi,α τoπo)'ιr'
ιrναi"λo[ωτη τoιl Α (δι:iτε τιl τψοιιr'ctι1ε9θεr' ο7'o7'ιιl τιlι μεταφραιττrj).
l^'- iη _ l'' *n
Ι'n'(ω +iη),ι (θ+ lλ) =ω /ι θ r/Λλ+ i,(η lιθ+ωΛλ)
r]z=c]r+i,ι1,y.\'ν6)
_ O αγ xαι μιιiνo αν 11 / ιxαγοπoιεi iιg ο1iοειc
Τo ΘΕMΕΛΙΩΔEΣ ΘEΩPΗMA ToΥ ΛoΓΙΣ\Ιo\' 109
G, δεν τθμνoνται, τo ξειγo< (,Γ. G) xαλεiται oμoτoπiα μεταξυ τιD\, ιιtl τεμ\Iotιε\,ιDγxλειοτιilγ xαμπυλιi.lν Fο,Gυ xαt F1,G1. E'iναι διαιoΘητιxα φανερο oτι δεν υπαρ1ειτ6τοια ομιoτoπiα με,F6,Gρ το ξευγog ταlν xαμπυλιbν oτo Σ1ημα 4-6 (α) ιαt F1.G1τo ξευγog τoυ (6) η τoυ (γ). Τo παρoν πq66λημα τιαΘοlgv'αt τo Πρ66λημα 5-33 τδαπoδειxγiloυγ για τo (6), η απ6δειξη 6μω9 για τo (γ) απαιτεl διαφoρετιx6q τε1νιxεg.(") Ay 'f ,g:[0, 1] * l?3 εlγαι;-ιη τεμν6μιενε9 xλειoτιlE xαμπυλεg' oρiξουμε 11,.r_:
[0, 1]2 - .R3 0 με1γ o(u,υ) = f (u) /(υ).
Αν (F, G) εlναι μια oμοτoπiα μη τεμνoμ6νωγ xλειoτιbγ xαμπυλιbν, ορLξoυμιεΓ p'q, [O,1]3 * R3 - 0 με Γρ.6(s,u,υ) - ^|Γ"'c'(α'u-) = F'(s,u) - G(s,υ)Δεiξτε 6τι θΓ ρ.c _ 1Fο,G0 ^lF1'GΙ'
(6) Αν ω εiγαι μια xλειoτli 2-μosφη ιlτoγ l?3 0, δεiξτε 6τι
/-*'Λλ)
ει τιg o1dαειg Cauci.
t1 / εiναι αγαλυτιi."ι ιδιαξων i -xυ6o: '.,
'' oτo Α.i ιτι'μ6oλιoμιi] ιoοι,τR. Nα σUγαχΘει ,_:
:ε στο γεγογog oτιδεiΞετε 6τι
tτετε τO ['' f ,. ' ', -υ lR''] :
οτο {z : |z| { 1} z,:Ltιιo περι6λιξηg η.i:l
l-: ιιε ζ(f) = F(s.toτig(99) μεταξυ τi'-τουμε 6τι F xol C-:: zα1-ιπυλεg F.' ιι:''
ιlι' oε υπoοtγoλα τ,...
ε: ο'uοτoπιx!'g ομci.δ; -:',τ: oμoλo.,,iαg (δεi:,δ,_ιιου απoτελdoμιcrτc,'i:τoυδαΙ,α τoπολο.,,17'
t '=[ u,J r ll,' cο J 1 ε, 'c:'
110 OΛOK,\ΗPΩsH ΣΕ \ \\'tΙ \Εs
nυΙ ι
ΣXΗMΑ 4-6
oλoxλi Qroη αε Πoλλαπλ6τητεζ
Πo^^AΠ^OTHTΕΣ
:'''' [] xαι ',
εiγαι αγoιxτα ουγoλα oτov R", μια διαφoρ[οι;-ιη oυvαρτηoi1. : Li _
', με διαφορiοιμη αντiοτρoφη ουvαρτηοη l , ,7] U οvo;-ιιiξεταιδιtιφoQ}oμoQφιομ6g. ("Διαφoρiοψ,η(o)'r απ.i τω}α'xαt στo εξηq oημαι.νει ',C-'^.)'Εγα υπooιjνoλo ]l1 τoυ R" απoτελεi μια k-διιiοτατη πoλλαπλ6τητgι1{]ιll-τον E") αγ για xαΘε oημε[ο r e λΙ ιxαγoπoιεiται η αxoλoυθη πρoilπoΘεoη:
-l 1 Yπαρ1ει αγoιxτ6 oivoλο [/ πoυ περι61ει τo r,
διαφoqoμoρφιομ6q h : LΙ -t, ..'oλ.'ωo.u
h((Ι rι λ't) =V Π (r?k X {Ο})
=1g=|':t1L-ι_
α.νοιxτ6 oiνoλo V C R,' γ.ιl'ι
= !J" = 0\.
Mε αλλα λ6για. τo LΙ a Ι1 εiγαι απλα τo -Rλ x {0} ..βε
πρoo6.7^7ιοη διαιrο-ρol"ιoQφισμo{" (δεlτε τo Σxημα 5 1). Nα.oημu,roorμ' ,ε.i.,s u'; L;;};,περιπτιiloειg τoυ oqιoμoιi μιiq, dνα ιrημεio "o.o., Eλ uiuo, μ.ιo πoλλαπλιl-τητα μιηδενιxηg διαοταoηg. ενιb 6γα αγoιxτo υπoot-1νο7ιo τoυ Er, εiναι μιιαπoλλαπλoτητα διαoταoη< rι'
ffiηπo),').ιrπλοτητιι.οεδιciιριιrt1απoτηγενιzoτερηπερiπτιυoη'ια: A-διι1ιoτclτηg τοπoλο7'ι77j; πo)')'ιiτi.οτi1τci: τt]: ιlπoiιrg ο oριοριog 6crιτiξεται ιiε 1-ιιιr rrοθενdιrτερt.:zδo1r1 τηq πρotlπ6θειτη< (Π) zιl't σι'^l/'ΖεΖΟιtιε\'./' oτr1ν απιriτriοη η lι να εiναι ιrριoιoμιoριριοιιiq (οlριoμ6g τoυ ομoιoΙ-ιoρφι.σιιoι|' δir,ετcιι ιττilι, ι;τοollιι:iι,loη ιrρ. δ(1).
ι12 oΛoK,\ΗPΩsΗ ΣΕ Π(_).\ \-\Π.\oΤΗTΕΣ
(ιj)
(α)
ΣXHMΑ _5-1.
ττ1τcι ιττclι' Ρι3.Mια' πιl)"λcιl)"ι'lτl1τιL διriιlτcιrτηΞ Ι oττll', R2 xu, μια c\ιδιαoτrlτη πclλλαl).,
ΠoΛΛΑΠ_\oΤΗΤΕt 113
Koιγ6 παραδειγ1-ιci n-διαoτατr]< πoλλαπλ6τηταg απoτε)"εl t] τι-oφαigα 5"-,_lι'oQi.ξεται ιυg {r € j?ll-l : rl - 1}. Αφηνεται στoγ ανα''i/\'ιilοτtl να ιιπo--:ι'ξει 6τι η ουνΘdxη (Π) ιxα.νoπoιεiται. Αν zαπoιoq ι\ε 06i,εlι να" μπλε1τεi._:'
_7.επτoμiqειεg, μπoqεl νcr xα'ταφυγει στo επ6pιενo θειbρημια το οπolo παρ6-
:ι πoλλα ,r"ρ"auιγμ"τα πολλαπλoτttτων (οr1μειιbατε oτι S" =.s 1(0). 6πoυ η'. 11lι'+1- -R oρlξεται με q(:Γ) - !;r|2 - 1)
5-Ι Θειbρημα. 'Εoτω Α ανclιxτιj ιlποιlιiνoλιl τοιl R'" 1.ιαι g '' '! + RP μιυ"
,oφoρiu'μη rtιlιlαρτηιlη τ!'.τrlια rΔoτε o π|vιιxαg g' ('li) νcι lyει διτiιlταoη p 6ταν
.ι,) - Ο Tιjτε τo oilνoλo 9 ι(Ο) ε[ναι 1.ιια (rι p)-c\ιαoτcιτη πολλαπλιiτητ(ι στ()ν
-R ".
ιπoδειξη. Πqoxt'πτει αpιθoιυg απo τo
ΑxoλoυOε[ iναg πολt.τ7'οτfτων.
5-2 Θειbρημα. 'Ενα ιlπcloιiyολcl λ[''zgι66g τ6τε 6ταν yια xαθε oηριεiιlτ l' l., τ ετ cι), Lι 6y cυ ν'' :
Θειbρημα 2-13. l
εναλλαxτιxoζ χαQαχτl1Qtο1.ιog ταlν πoλλα-
τ0υ R' ε[l'αι l'ι-διαoτατη πoλλcιπλ6τητcι1: € Ι[ ιxαyclπclιεlτcιι η εξηq "oυνθfixι1
Σ) Υπαqxει αyoιιτ6 oιiνιlλcl (Ι ποιl περιiyειxcιι διαφclρ|oιμ1 1-Ι ιtιlναρτηol1 f :Ι4'- -
τ() :Ι:' (ιν()Lχτcj oι''νoλιl ΙΙ- c RiR" τ!τoιιι ri.lατε
(1) .f (Ιη') - λΙ rι LΙ ^
(2) o πlναxαg J'(μ) i:yει ταξη k ),ια x1ι0ε y €ΙΙ',(3) η f Ι :/(Ι]') - ΙΙ' ε[yαι ιτι'lνεyηg'
[Mια τ6τoια ουναρτηoη / αποτελε| 6να αioτr1μα συγτεταγμ6νωv "1υριl cιπo τιll'110ι) (δειτε το Σ1fμα 5-2).]
\πoδειξη. Αγ τo '\1 ε|γαι μιια Α_διαoτατr1 πολλαπλoτητα στoν -R'' ' παiρνoυμιε
την h: i *V που tχανoπotει την (Π). Θ6τoυμιε Ι'Ii = !α' e Rk: (α,()) € h(Ι1)};,.cιι oρiξoυμιε τr1ν ./:Ιtr- * _R" μιε f (o) =Lι' 1(α'0). Προφανιbc,f(Ι4') = λΙ ιL]ιαιη'11ι εiναι'oιlνε1ηq.(1{}2) 4u'η H :tΙ - Ρεk'εiναι 11(:) = (/ιl(;), '.. 'hk(;:))'τoτεH(.f(y))-yγιαoλατιy' μ€ιΙ'' oιlνεπιbq H'(f(μ)) .f'(y)=Ιxcιιοπ|να"z"α'gf'(y) πρθπει να θ1ε:ι ταEη k.
Yπoθfτoυμε, αντιoτριlφιυg. ιlτι η / : lΙ' + f!rι' ιzαγoπoιε:| τη oυνθilzη (Σ).
Θ6τoυμιε l: = f (μ) Α< ι5ε70oi,με ilτι ο πlγαz'ιιζ (D']li(]/)). 1 < i^.j <k' i:1ει μr1
i1()ι) Σ.τ.M1]02) Σ.τ.M
Αλλoι oιl.',γραι1εi: ;,.cι7.οι'r' ...., .,l.' / '.Mitλιoτιr εiι,ιiι z-cιι δι ι ιl 1 ι]ι]ι ι]ι tι1 l ( δεi Ξτι: τcll )
114 oΛoΚΛΗPΩΣΗ sE ΠO-\ \\Π.\oΤHTΕΣ
ΣXHMΑ 5-2
μηδεγιχη ορ|ξoυοα. oρi-ξoυμετηγ9:W xΡι1L'k + P.ll' pιε9(α, ts) = f (α)+ιιιToτε deιg'(α' [)) = der(D jf i(α))' αsα deιο'('μ.Ο) l 0 Bαοει τoυ Θειυρl1ιι'':
2-11 υπαρ1ει ανoιxτ6 otνoλo ζ, πoυ πεqι61ει τo (9,0) xαι αγoιxτ6 ουι'οi ιπoυ περι6xει τo g(μ,0) = ;,,, τ6τoια ιilοτε η g : vi _' V/ να 61ει διαφoρι '
αντioτρoφr1 oυναρτr1oη Ιυ:V/ - Ι/". E'πειδη η / 1 εLναι oυνεxηg, {/(o)'(1:Vr,} = U ο f (W) για xαταλληλo ανoιxτ6 ουγoλo U. Αs εiναι ξ = ui rι L-
V'= g ](Ιrz). τ6τε τo αtγoλο VzολΙ ε(,ναι αxqι6ιb'ζ τo {/(α): (α,0) e 1
{.q(r,0):(α,0) € η}, αaα
lι(V2ο λΙ) = g r(y, n,ηr) = g Ι(\g(α'0) : (α'Ο) € η})= li n (Ek x {0}). I
Σημειιbνoυμε εδιi_i μια συ\'ε;τειιl' τη< απoδειξηg τoυ Θεωρηματog 5-2'
f1 :\Υ1 - Rn xcl'ι /::Ι1 : - R" εiγciι δυo oυoτrjματα oυντεταγμι6νωγ' τoτε r
(α)
ΣΧHMΑ 5 -3 Δ ιiο πo λλαπλιiτη τ εg-μ ε - oιil, o ρ oσηζ 2'
ΠoΛΛΑΠ,\oΤΗΤΕs 115
(6)
ατoy R3: μ[cl' διαoτcιoηg Ι xrl'ι 'uiα διι.i.oτα-
)) = J\a)+(ιl. ,
roυ ΘεωElημα.τι':lι;,.τo oιiγoλo '[
_
7ει διαφoρlοιιι;. 1J @) : (α,0) :|: = V; a fΙ ^ι.ι':'
: (τι,0| e Ιa i =ιl
:i)
ιcιτog 5-2. Α..ε\,ιl]γ, τ6τε η
f|' o f' : 11111r1τιrr)) *,Rkεiναι διαφoqioψιη με αvτιοτρdι|ιμo Ιαxω6ιαγ6 πi,γαπα. Πqαγματι , τo :f 2,0)cιπoτελε|ται απ6 τιg πqωτεg.k oυvιoτιbοεg τoυ h(y).
ξ l
o ημι-1ιbqoζ ΙΙk'c -Rλ oqiξε"o.,uζ {" e rtλ: rk > 0}. ,Eνα υπooυγoλo_l1 του R' εi,γαι μια k-διιioτατη_πoιλαiλ6τητα-με-οιivοqο (Σ1r1pια '5-3) αν γιαzιiθε οr1;-ιεi,o r e λΙ ιπαγoπoιεiταιηη πρoιπ6'οεoη ιπl,η η λt,
Π') Yπαρ1ει ανoιxτ6,"γuo}9 LΙgoυ πεqι61ειτo ,,1 αγoιχτ6 odνoλo V C R, xαιδιαφoρoμoρφιoμ6g h : L| - Ι/ τ6τoλg ιboτε
h(LΙ . λ't) =γ o('ΙΙk X {O})
={μ eV :'μΑ > {) xαL ok+). -... =y,, =Ο}
χαι τo h(r) Lγει Α.-ooτr1 oυl,ιoτιboα ioη με 0.
\
116 oΛoKΛΗΡΩ-Η ΣΕ Πl. l \ \.\Π \oΤΗ] EΣ
Αξiξει νι/. Γι:τ',){]Γι oτι c. :-υ(1ii:τυθΓσει- (ΠΙ xι'ιt (Π') δεν ιο1i'ουν τ({ι'τo)._
για τo lδιo .τ. Πρci^,,μcLτι. ιιr, i] h; : L-ι _ I.i xαι η lι2 : U2 + Vl LNσyoπotc' _
την (17) χαt τηγ (Ι1'; cirτιoτoι7't-/'- τoτε ξ lι2 o hr 1 Θα ηταv 1-ιια διαφοg' -
oυναρτηoη που oτελr,ει εr,α α'r,oι;,'τo oυνoλο τoυ Ri', το oπoio πεqιf1ει τι,
o.6να υπoοtγoλo τoυ -Ι{λ. το oπolo δεr,εi,ναι αγoιzτ6 oτογ RA. Ε',det(h2 o hr'), l0. αυτ6 συ^,lx1,oi,u.,rι με τo Πρo6λημα 2-16. To ουγo).ο .
τιυν αημε[λν r € Ι1 για τα oπo[α ιxαγοπoιε|ταιr1 πqoilπoθεoη (Ι1') oγoιι(':-,-
ο6νoqo τr1G πoλλcιπλ6τηταg λΙ xαt δηλιbνεται μιε δ,/Ι1. 1\α oημιε:ι'αtθε| οτι
η iννδια διαφiρει απo την 6γγoια τoυ ουν6qoυ ενog oυν6λoυ 6παlg τηγ oιrι ]
oτo Kεφαλαιo 1 (δεlτε τα Πqo6ληματα 5-3 xαι -5-8)'
ΠPoBΛΗMATA
5-1. Aγ Λ1 εiγαι μια k-διirιrτατr1 πoλλcιπλoτητα-1-ιε:-otνoριl, απoδεiξτε 6τι το d,Λ-Ι ειι(k 1)-διαoτατη πoλλcrπλ6τr1ταγ,cιιτo ΙΙ lΛ-1 εiγαι μιια λ;-διαoτιrτr1 πολλατi.ι'-
5_2. Bρεiτε ενα αντιπclραδειγμα ^1ιι.ι τιl Θειbqημιrr 5-2. ιrτην πεqlπταlιlt1 που παριι7.ει
ουνΘr1xη (3). Yπoδειξη: Απειxoγi.ιrτε z,ιrτiιλληλα 6να ιιγιlιxτ6 διαoτημα ο^εr'ιι _
εΞl.
5-3. (ιr) Αq εiγαι A C R,, εγo' ιrνιlιxτ(l ιrtι,o)'ιl τιlιl ιlπιllου τo ι_lυνιlρo εiναι 1-ιιιr :τι' .
πλoτητιr διαοταοη_< n' - 1. Δεiξτε:6τι Ιy' -.4Uιlινoρο Α ε[ναι ιιια ll-δtl'-_πoλλαπ).oτr1τιr-με-ουνoρo. (E'iναι 1ρriιlιμo να Δ1oυμιl οτo μιαλ6 μα( τ''
παραδει.1μια: αν Α = {r e R":];r ( 1. r1 1< ''ιι<2}' τ6τε:τo '\'=o{lνoρο Α εiναι μια πoλλαπλilτt1τα-μιε_ουνoρο, αλλιi dΛr l ουνoρο Α')
(6) Απoδεi.ξτε μια αναλoγη πριiταoη για ανοιxτ6 υπooυγoλο μιιrg n_διcι,-
πολλαπλ6τr1τα_<.
5_4. Aπoδεiξτε fνιr μεριιo αντiιττρoφιl τoυ Θεωρημιιrτog 5_1: Αγ,Λ1 C RΙι εir',
k_διαoτατη πoλλιrπλoτητα rιαL'.r: e ,Λ1' τ6τε υπαρ1ει αγoιιτο οtγoλo -'1
που περιε1ει τ() Ι: ισ'L μια διαφoρiι:ιμη ιlυναqτr1oι1 α : A - Ρ"'|' λ τετοιι'Αι ΛΙ = g 1(0) xαι o πlγιry.αζ g'(!Λ 61ει ταξη'rι - k ιiταγ g('μ) _0.
5-5. Αποδεiξτε 1lτι εναq k-διirιrτατog (διανυι:ματιx6E) υπ61ιLlρog τoυ R" εiγcιι ι
διιiιrτατη πoλλαπλι1τητα.
5-6. Αγ f , R"' - R'"' τo γqιiφημα τηq / εiγαι {(r':!J): 9 - /(r)}. Δεi_Ξτε
γ8αφημα τηg .f ε[ναι μιια rl.-διαοτα.τη πoλλαπλ6τητα αγ l.αι μιιir'υ ιιν r1 .iδιcιφoρ[οιpιη.
5-7. Θ6τι_lυμε Κ|ι = {r € R" '. l:1 -0 γ"<'ιι Ιj2'''.'Ι1ι 1 > 0}. Αν -Λ'1 C 1(" εir''
k-διαιrτατη πολλcrπλιiτητ(l /.αι τ() ιrιγοi.o -Δy' πρoxυπτει ιιε πεQι(]τQoφη τοrl -1l
απ6 τι.lγ αξoνα 11 = ... = .,',' 1 = 0. δεiξτε ιiτι τo ly' εlναι μιιcι (k + 1)-ι\ιι,'
πoλλαπλoτητα. Πιrqιiδει';μιcι: r1 ιτα'μιτqελα (Σx\μα 5-'1).
(α) Aν l'\,1 εiγαι μια- Α'-δια'οτcrτη rοi.r'ιrπi,6τητ(Ι στoν R"' xιιι k < rι'' δεiξτε ιiτι
πολλαπλιiτι1τ1r .-i1 ε7ει ιιετρο 0.
5-8.
ι' ισχυoUγ ταUτο7qr,
- V2 aaανoπoιoι,_-τcι\, μιια διαφoρ[ι.." .
:ιrιo πεQt6χει τo λi] στoγ Rλ. Ετε.:]6. To ουγoλo ο;.iεοη (Π') oγoμα:ε.{ ση|-ιειωθει oτι ιι _-οι' oπωg την oρiο,_'. ,
Ξτε ιlτι τιl θΛΙ εtyο.ιl-(r_]τατ}'] πoλλαπ}'oτl
',{]}l πoυ παqαλειι1[,tε -
διαιlτημα o' {να o7'. '
;οοο ι:iγαι μια πoi.i.ι ει\,αι ι_ιι(Ι rι-διιiιrτ',:τι] ιιUαλ6 ι-ιαE το ε: :
i}. τoτε τo .Λy' = '1 -
= rlιl1,οQo Α.):li.ιl !-ιιαζ n-διιiιοτcr: :
' 11 c R" εiναι ι,ιτιi6γγ9χ6Αcl?- 11'rι k τ6τoιrr ιilιτ-,l.l =Ο.
τιlι' .Rr. εiναι μιιcr . _
r,.i')}. Δεiξτε oτι .
' ιιoνo αν η / εir,.
' '\Ι q 6ιι εiναι ιrιιl_rτQοφη τoU ,η.1 "i/ι,ι\:ιια (k + 1)-διαoτcιτ
< n. δε[Eτε 6τι η
ΠΕΔΙΑ KAΙ MoΡΦEΣ ΣE ΠoΛΛΑΠ]\oΤΗΤE' 7Ι7
,/
ΣXΗMA 5-4
Αγ ,\..1 εiναι μια xλειoτη rι-διαoτατη πολλαπλ6τητα-με-oυνoριl οτoν .R,,. δε[ξτε6τι τo ιlυνoρo τη-ζ ,η/ ειγαι τo δΛ1. Διbιrτε ενα αντιπαqιiδει.1μια ιrτt1ν περ[πτι'lol1που η πoλλαπλ6τητα ,\1 δεγ εiναι xλειοτιi oυγoλο.
Αγ τo οilγoλo ,Δ.1 εiγαι μιια oυμπαγηg rι-διαoτατη πoλλαπλιiτητα-μιε-ουr,ιlριl οτοr,-R"' δε[,ξτε 6τι τo M εiναι Jordan-μετρη(rψιο.
ΠΕ,^ΙA ΚAI MoPΦΕ'Σ ΣΕ' ΠoΛ^AΠ^oTHTΕ,Σ
Ag εiναι Ι1 μια λ,-διαoτατη πολλαπλ6τητα στον Pυ', NαL f : Ι4ι - -R,' dγα'ουoτη;-ια συγτεταγμι6γ61γ ^1υρω απ6 τo r - f(α). Επειδη o πιγαχαg .f,(α) {γειταξη ,k, o γqαμμιx6g ι-ιετασχη|_ιατιoμιog /- : R! * -R11 εiναι |-1 xαι τo oυνoi.of-(Rb εi,ναι 6ναg k-διαoτατog υπ61ο:qoq τoυ'-Ril. λu g'V - Ρc'. εi,ναι 6γααλλo oυοτημα συντεταγμ6νων. ;-ιε :ι - q(β), τoτε
g-(R\) _ f"(f ' " Φ-(Rb) = f"@!).
Συνεπιilg o k-διαοτατog υπo7ιυροΞ.l-(El') δεν εξαqταται απ6 τo συστη|-ια συντε-ταγμ6vων /. Aυτ6-( ο υπο7ιυqο: δη7.ιbνεται με rη4 χαι χαλειται εφαπτ6μεγιlζ
(6)
(γ)
118 OΛOΙζΛHPΩsΗ sΕ Πo.ι\-\Π.\oΤΗTΕΣ
"i *orlr,
xιilQoE τηζ πoλλαπλ6τητα9 Ι[ oτo r (δεiτε τo Σ1rjμα 5-_5). Σε επoμιενεg πcιot]'.
T:ξ^111ρηοιμιogoιησoυ|-ιε τo γεγovoE 6τι υπαρ1ει 6να εοα,τεgι16 γ,n-oμ..λ
j]ιl,/'' επαγoμιενo ιιε φυοιx6 τρoπo απo εxεiνo oτoν,R}l: on r.r,.., e ΙΙ''' oρι].Tr(ιl ,ιυ) =( U, U },..
..Yπoθdτoυμε τωρα 6τι μαq δ[γεται 6γα αγoιxτo otγoλo ,4 πoυ περιε7ε *πoλλαπλoτητα Ι[ xαι dγα διαφoqioιμo διανυοματιx6 πεδio }' oτo ,4 τε:ωoτε f,(r) e ΛΙ, ^1ια xciΘε :ι e
-Ι[.' Ay f : \\, - Ε,, εiγαι 6γα oυοτ'
oυντεταγμ6νιυν, υπαq1ει μoναδιx6 (διαφoq|ο(ιo) διανυο1"ιατιx6 πεδ|ο G oτο '
τ6τoιo ιiloτε /-(G(α)) = F(f (α)) γιαxαΘε λ e'\Ιi. Mπoρoυμε J|rg u'αQχεστcloτην πεqiπτωση μιιαζ oυναρτηoηg F η oπoiα απλα παgJ1ει διι1ινυoμα F,(r;) ε '
για xαΘε r e λΙ'μια τ6τoια ουναρτηοη ονoμαξεται a,λnuoμo",r6 πλΙo o.η,π^o}'λ'απ1'6τητυ' ΛΙ ' EEαx9},ψ0ε| να υπαρ1ει 6να pιovαδ,r6 δ,ouuαματιπo πε,jG οτo Ι4l τ6τoιo ωoτε /-(G(rι)) = F(/d)) για xαΘε ,, , τη.. oρlξoιlμε τc' 'να εiναι διαφoρiοιμο αν τo G εiναι δiαφoρioψ1ρ.ιrιl:1 Σημειιilοτε oτι o oριoιι,.:μαg δεv εξαρταται α1_6 _τo oυoτt]μα oυντεταγμιdv.ru ,rou 61oυμε επιλ6ξει: 1g : V - R" xαι s-(H(311 = F{'ι( 7)) για oλα τα 3 e V' ?J.u oι συνιoτιbι,.:(lυ't)
Σ'τ'Ι\4': Oι'π6l,'lιl'11li1'";'a\('Ι'.'\""\τ)i:l|''.fιυ||lι\'Γl lιι'τιl\'τηνπιοiπτυ,οητoΓναεJτΓy-τιl\i-ο'iνα διαφoρioιμιo ι\ιαr'ιοιιιιτιΖι] -τεδι() ι]ε ι1\'oιΖτυ ι'περιrtiνιlλo τηq πoλλαπ}ιiτηταg,ηir.αιτο ιι :}.iεl τo Πρooλr11rιr 5- I2.
ΣXΗMΑ 5-5
: \'ε: παQα1/o(.' 'ι \'o|-ιεγo στιr'lr- r l'. oQtζo1'ιι
' τεQιdχει τ}-λl
' ι () 11 τετ()Ι:\'α συστllιι)ιο G oτo Ι|'' ((Qχεστoι'ιι:l Γ(:ιl) e -11] τεδio στη\.,lι1τιχ6 πεδι.
'-ιlι'1'ιε τo Flτι () o8ισιιΟ::.ιι/'tξ€tj (1..
ιrυνιtτιiloε:
lετι:xτι:iγετ. 'ιl αιlτ() lι! :
ΠΕΔΙΑ KAΙ MoΡΦΕΣ ΣE ΠoΛΛΑΠ.\ι)ΤΗΤE- 119
oυνα8τ}lσει: τoU,H( J)0α. --τoΓ:τΓι \'α ει V(iι iοεc πρog Τl( σι,vtOτιrlσι-: υι,\,αnτlIoΓ|:τoυ G(./-1(9(d))),(i01) ciρct τo 11 ε[ι,αι διoφoρi.oψio]αv εi.ναι τo G.
'Αxρι6ιbg αγαλoγεg εινα'ι οι θειυρi1oειg για τηγ πεQιπτσJση τιυν μoριριilν. Nlιιr
συγαQτη.ση ω γtα τηγ oπoια ω(J) € Ωp(ru,,) για ;αθε j. € ]ι1 oνoμα'tεταιp-μoaφt oτηv πολλαπλ6τητα λΙ. Aν f : |Υ + [!n ι:|γαι 6να oυιiτημα oυ_ντεταγμ6νων, τιiτε i1 f*ω^ εLνυ't μια trl_μogcρη οτo ΙΙ.. οq/ξo.ιlριε ττ.lγ ι,,να εiγαιδιαφoρioιμη αγ εiνc,ι η.f-ω' Mια p-|-ιoqφi', o"ηr, ποιλλπι6τητα,Λ1 μιπoρεi νιrγραφεi,
t)
\-./- ι'),;'..'..i'''tΙΙ:ι| Λ . . . Λ cΙ:ιiLι'
?r,
Eδιb oι oυναρτηoειg Θi1'...'ir' oρiξoνται pι6νo oτη ,41. o oριoμog τr1g rlιυ πιlυδοθηxιl oτo πρor1γoυμuuo xεφαλαιο δε θα εi1ε νor1μα εδω. μιJxαι δ.u i1r,. ν6ημαη Di(ω;,,..'i)' Mπoqotpιε παντιυg να πρo1αlρησoυμε σ'6ναν ευλoγo nρrrμi, iηgc]ω'
5-3 Θειbqημα. Υπd'qyε:ι 1ιclναδιxlj (1l + 1)-μιlqφfi ιΙ'ιυ oτην πoλλιιπλιjτl|τα Ι[τ!'τoιcι ilατε ^γιτι xciθε oiloτη1rα o.,rrr,:io1rμl')r,,i i ilι,- - a" ,,o !:yclυ1.ιε
J*QΙo) = cl(.f-ω).
Aπoδειξη. Aν J : T|' - 1,r' εiγαι 6γα oυιrτημα ουντεταγ;-ιdν(J]γ |ιε l. - '[(cι)^nαL' υ\.....l.!p+l € λΙ,. ι'πιiQχoι'ν μιoνιιδιxιi tl-:l....,υp*l ιrτλν -Rj'ao.o,o,υrr.af -('ι = υ;' oQiξoυμιε d.υ(r:)(υ1.....,?.i,*1) =,l(.f-ω)(cri(,,,'..... ι{];l-t). i\1πο9ειτενα ελdγξετε ιiτι αυτo< o oριιrμι6g τoυ rl*,(;r)
-a.u'.ηλρ'&"o. ,rio .o ,r.,,ri,1,,..,
ουντεταγμ6νων /. αqγ^1 d.υ εiναι, xιrλιi oριoρι6νη. εiναι επιπ),dor,.τQι]q(ι\,ε: ()τιαυτ6g o οριo1"ιoE επι6αλλεται απι1 τcι πqα.γματα. αρα η ,lιυ εiναι μoι,crδιz.r1. r
Ε[ναι oυ1να απαραiτt1τo να επι),iξoυpιε dναν πρoι-iανατoλισμo'U l1.?. .,,ιιι z.ιι[)ε
εφαπτo1-ιιlνο 1ιbρo Ι1, μιτrg πολλαπ),oτηταg j11. Mια τ6τoιcι επιλoγr1 )'.,,. .r.,εi.ναι ουvεπris (Σxημα -5-6) αν l,ιιr Nαθε'ουt"ημ,c, olru...,rfμ6uλ l,ΙΙ- - EτιαL 01i] e Ι'Ιi η οx6oη
lf-(r,'),,), . . .' J-(('eκ).)l = β'.tk)
ιιryυει ι:ιxρι6ι-bg τ6τε οται,
L}"{'{r').;).... /-ι(,,,;r11 - 11.f (3\.
(l()4) Σ'τ_N'Ι': Στο ιτr1lιεiο ιιι'τιl o (j1'',",'υ(]ι1 ειι: cιzιl7ιlυ(Ι:ι τι1ν πραzτιιl1 υπozατcioτιιοt1ι μιιr.ζ ιlιlγαρ-τηoηq απο μicι τιlπιxtj ει2-()\'(ι τ]lt-. ..,'', .7...,,i τ,l H1.11,,.,., ,o,,/1 ,.l,';;ci? ,ι.qii)lj ;'"i .λG " f 'og (πoι ορi'ιlr,τιιι ιιι'τa1 τ./ :τιoι.ι:).
120 OΛOKΛΗPQsΗ -Ε Πι.|.ι\ \Π \oΤΗΤΕΣ
συγεπαγετc(ι oτι
(6)
ΣXΗMA 5-6. (cι) Σr'urπrjg xcιι (6) (/'σ1)νε'τιζ ι:πιλoylj πρoτlcινατολιoρκiν.
Αζ υποΘ6oουμε oτι η επιλoγrj πqoοανατoλιoμιilv μ'. d1ει γiνει με oυν6τεAν f : W + ρ''' ε(,γαι 6να otoτημια oυντεταγμ6ν.o,
"6.oι,o',bοru
[Λ((e1)"), ..., f-(("μ)")l = μJk])
για 6να, xαι επομ6νιDζ για xυ'Θε α, e ΙΙ,'' τ6τε τo otοτημα / λ6με 6τι διατη.qεi τov πqoοανατολιομ6. Αγ τo oυoτημα ουντεταγμιdνru ,i au διατr1ρε[ τι:πqooαvατoλιoμ6 xαι T : Rk + f|l;: ε(,ναι iναg γρα1"ιμιx6g μu"ooxη1-,o.ιoμ6; ι ,
det7 - -1. τ6τε τo ιrrioτημα oυντεταγ;-ι6νιυν '/o7 διατηqεL τoν προoανατoλιoιι_Συvεπιbg υπαρxει 6να oυοτr1μα oυντεταγμι6νωv γυρω απ6 xαθε oημεi,o, τo oπoιδιατηgε| τoγ πQoσαγατoλιαμο. Aν f xcιt g διατηρoυν τoγ πQOσαγατoλιομιj z.,_,r = J@) = s(β)' τoτε η o16o11
Γf -('(e')"),... ,l"((.l ).,)] - lt,τ =[g-((e,)ρ), '.. 's-('e)il]
_ ,- 1\1.:
\,\ 1
[(.q ' o "f).((., 1,, ). (g Ι, .f)'('('el)")] = [(eι)ρ,...,(eι)οl,
)
ιιε σUνdπει(
.ιε ι)τι, διατl1.ι)ιιιτtlQεi τιlii1ιιιl'τιoμι6c ιιεrr{ι\,ατoλισlιO
ειο. τo oπιlι,''1τOi!ι.σμ6 Ζ(ι
rl
l
ΠE \ΙA KΑΙ MoΡΦEΣ ΣΕ ΠoΛΛΑΠ.\OΤΗΤΕ- 121
ιl0_5) Σ.τ.M.: Ferιllnιιnιl Mijbius (l790-1868). Ι-ερμιανιi1 μαOημιrτιxιic 1-ιε ιrιlνι:ιoqloριiq oε διr1φoρclιlgτoιιεiq ταlγ Mαθ11μιrτιz"ιilν (Τοτcli.ιl','iιι. Γειlμετρiιι. cl.).i'ιi' ιιιt Ειριrq-ιoιηιiνα Mιrθηματι,xα). Εiιιrιδιιioημοq ο qlι:ριbνιrμιιlι μετιι(Ιlllιι(1τισιι''' .f ' C 'C γιε' f 1z) = r# αδ - |)^γ /0.
ΣΧΗMΑ 5-7' Ιt λωρiδctτο'ι'' Mijbiιιs,lll) 1ιιυ-μL] πQ()σ(1ν(1ττl)'[oι1ιl1 πι'lλλcιπλι)τητcι' Mιcι,iriι'lη ξε:xινα ιιπ'τcl P xαι, xινc'lιiριε:νη JτQoζ τel δεξια, ,rulrρ!,q'r:, oτcl rlηpιε[ιl εxxil,lJιττJζιι t: τ rly clντ /θ ε'τ o πQ o σαy ατ ο λ πμ 6.
αρα" det(g l o J)' } 0' xατι' πoυ αξι.ξεL τoγ χ6πo \'α ΟUμdται χCtγε]ι,ζ.Mια πoλ)ια"πλoτr1τα ,11 για" την oπoια.εiγαι δυγιrτt1 1-ιιct συ\,επli: ιlτιz'ιl.,,l1
πQoσανατoλιoμιιilν μ-.. xαλεiτ'αι πQοσαγατoλiοιμη xαι μiα'oυ^,,xιlxρ,μo.;η ,r",.-i1.επιλoγη πρooανατo),ιoμιιδν μ.,' oυγιοτιi 6ναν πqoοαvατιlλιoμ6 μ τηl _11. '\1ιrιτoλλαπλoτητα 1"ιcιξi pιε iναν πρoοανατoλιoμ6 1l_o'op,,iξu.;;;aooαι,ατoi.ιoμει,11πoλλαπλ6τητα. Kλαoιxo παραδειγμια μη πQoσαγατoλloιμιηG πoλλαπλoτr1τιi.: ιζ:τιl_τελε[ η λωρiδα του Mδbius. 'Eνα μιoντi:λo μπoρεi nα nr)''ri,o"r'l-rαoτεi α\, σι'ι]τΟε-Ψ9υμιε ελιxoειδιbg μια λοlρiδα xαρτιoυ χαι στη ουνdxει.α cρ6ρoυμιε ,o oι1,"., ,.r,1 i,,δυo αxρα τηq (Σ1ημα _5-7).
Oι oριομιoi. πoυ δ6θηxαν.για διιrνυομcιτι'xα πεδiιι. μoρφig χαι πQoσcl.\,ci.τ()/'ι-oμιoilg μπoρoυγ να επεxτι:ιθoιiγ oτην πεlρi.πτιlοη πo},λcιπλλτrii.uν-μιε-otνoρo. Αr,-]1 εir'αι μια λ_διιiοτατη πoλλαπλ6τητα-1-ιε-oυνoqo "ΛαL E €d,11. τoτε o (Ο]1),'ε'iναι εναc ('ζ' l)-διιi,rτιιτoc ι'πο7υ)οι)( τοι, Α'_ιλo..r.o,, o, ,,u,,uι,""' r",''r,:;;;;i1,, Σ^ιlγ9πιbg υπαρxoυν αxρι6ιυq δiλ μοναδιαi.α διανiloματα oτoν ,i1, ιυ'0ετιl.oτoν (δJl1)," η διαxριοr1 τoυq γ[νετα"ι ι,iq εξriq (Σxημα 5 s). λ' } 'ιτ.' - -17,, ε[-
(α)
122 oΛoKΛHΡΩsΗ sΕ ΠΟ \ \.\Π-\oΤΗΤΕΣ
6-
ΣXΗMΑ '5-E. Mεριxα μrlναδκl'lαπ o λλαπλoτη τ εg- ρι ε' -oιiνο ρ ιl rττιrν R3.
(6)
(.,
xc|-θετα διrlνιiιτματα μ'ε φοqα πρoq τα
γαι 6γα. ουοτηρια ουντεταγμ6νωv με ΙΙ C l?.Λ](tΟb) xcιι f 0| = r,(107) τoτε ι,εvιι απo αυτα τιι μονιιδr,ιiα διανδorr,ιτα'oι"r, / ,,';;';,rr';:r=o,o ,, ;."}:Πρ6xειται l/ια τo μovαδιαio xιiΘετo δ,rirroμo με φoqιi πQoE τα i:ξι'ι r.r,''. -
-
( ll16) Σ'τ'M': Στην πιgiπταlοr1 μιιrg πoλλαπλ6τt1τcιg-μtε_oυνιlgo ,41 ε1oυμε ιiτι γιιr ./ € '_0Ι[ υπ(ιρy'ε'ι ενα οiιττηριιlι oυντιlτιιn,ριdνιυν oπιυq πρo6λεπετιrι cιπ6 τη oυνθι1τιη (Σ) (oξηγrioτu.μπoροtiμε να υπoΘdoουριε οτι ΙΙ. c ε:oιυτε:ριιo ΙΙk|1 ,ru τιilρα r e Θλt'η οιν()ηxl1 (Σ) θα 'τ1 ,_νιr τριlπιlπoιη.εi.' ιτι.,'2εnρ1ugγα τo ουr,oλο ΙJ' 0α ι:il,α. τηg μoρφr1g ΙΥ, ο ΙΙk.6πoιl Ι,Γ, ιιι,ι, .-oυνoλo τιlυ R'z xcιι. πρoφcrνιi;q. Ι1-'i ιτυr,otrlo ΙΙk +a.Eπε.δl, τιilρα τιl o{,voρo -FIΑ' ε[γιrι o 77 :
τo Α = ΙΓ'n oυνορo f'i' εiu,,ι ιιr,οι;ιτιi o.n,ni'u.ou;il.';";;;';;j:""r,. τoγ πιjQιO.l _
Jl;,/ :'].* ειν((ι' (ι ι (νιl_ιj, Ο τι ιl ι''f f '\1' 1 g 1ε7ει τciξη k - 1 yιcι'y e A.
''ι'1vl': Αιlτο |ιπoυιl1t11g r'α το ι'τοΟι|ιτιlι'ιιε. ι\ιιiτι cιν f (cl) =:Ι' a € Π/. μπoρoυμε γcι πιioιτηoiνΘεor1 f "g:|Ι: α--R,, ο:τι.ιΙΙ' α={ιι., α,ιι;EΙ.4,.} ^ΛtιLg1]μιετιlφoρcl ι7-α(a/ , oυ\'υρo FΙl'. ,ιn,ι Ιl' ,, H, , ' l ( ^\\l 9 lι \l'
.Ι*(ι') : lι(.ι'
ΠΕΔΙΑ KΑΙ MoΡΦEΣ ΣE Πo.\.\.\Π \ ''τ-
_rio δηλιbνεται με n(r)'δεν εiγαι δtoxoλo γLα τoγ ανσ'^ι/\'(')στll \'1_ι ()ιiι.τι1_]τ1'-lι]ει_' σ'Uτ6ζ o oQισμιoζ δεν εξαqταται απ6 τo συστη|-ια σU\/τετCi'l/ιιε\'ι'|\'''.
'Εοτοl μ, 6γαE πQoσανατoλιoμ6g xαπoιαg k-διαoτcLτl"]: το).)., ι.τi.ιrτilτι ι:-|.ιε-'',ορo,41. Αγ r e aλΙ, επιλ6γoυμε ?.)1 .....t]tr' 1 e (0']1 l' ετσt ιδoτε
.r),?.,ι. ...''Uk ι) = β". Aν αληΘευεt επισηζ oτι [rι(r:). il'ι.... ' Ll''1, 1f _ [ι.,.- τε [?]1 ,...,Uλ 1] xαι [rr',....?ι,λ, tl εiγαι o iδιo-< πρooci\'α'τo).ισμo:'i/ια τoν
-11),.. Δηλωνoυμιε αυτ6ν τoν πQoσανατoλιoμ6 με (δ1ι)... Ευz-οr'cι διαπιoτιbνε-_ : oτι oι π8οσαγατoλιoμo| (0μ)", για r € δ,l1. oυγιoτoυr,uια ουνεπη επιλo^1t1
ο δ,Λ1. Eπoμι6vωg αν 11 πoλλαπλoτητα ,\1 εlναι πρoocrνατoλioιμη. τo d,11: \'[it επισl'lζ πQoσαγατoλloιpιη πoλλαπλoτητα. xαι 6ναg πQoσαγατoλιopιog μ .1ια-" _11 xαΘoρiξει 6ναν πQoσαγατoλιoμ6 δμ για τo δ,i11. o oπoiog xαλεiται επα-','oμεγoζ πQoσαγατoλιομ6g. Eφαρpιdξovταg αυτotE τoυζ oQισ!-ιoυg oτιlν ΙΙk' ψu_,., oυνηΘr1 πqοοανατoλιoμ6. 6ρioxoυμιε 6τι 9 gnc(.16μιεvoζ π8oσανατoλιιrμog oτoι,Ri t
= {r € gk; ' "k -
Ο} ε|γαι (-1)k φoq6g o oυνηθηg πρooανατoλιoμog. Στην:τo1-ιενη παqαγραφo θα γινεt φανερoq o λ6^1og 1.ιιαq τ6τoιαg επιλoγηg.
Aγ ,41 εiναι μιια πρcloανατclλιoμlνη (n - 1)-διαoτατη πoλλαπλoτητα oτονE". μπoρoυμιε να oqiooυ1"ιε €νcr υπoxαταοτατo γtα 1"ιoναδιαi,α xαΘετα διανυoματα,ε φoρα πQoζ τα 6ξω, ιboτε γα xαλυπτεταt χαι η περiπταloη που r1 ,l1 δεγ εlναι:ιl oυvoρo μιι'αg n-διαατατηE πoλλαπλ6τηταg. Αν [ιl1,..., U,,-r] - β.r, επιλθ.1oυμιε,l'α n(r:) oτoν Ril pιε τρ6πο ιi.loτε τo rι(r) να εiναι μoναδιαio διανυoμια xαθετo.τoγ ,Λ1,.. xαι [n(r), ?]1,...,υ,, 1] να εlγαι ο oυνr1θηg πρooανατoλιομ6g τoυ -Ril.Και οτt1ν πεqlπτωot1 αυτη xαλoriμε τo n(r) μιoναδιαLo xαθετo διανυαμια oτr1ντoλλαπλoτητcι λ[ με φoρα πQoζ τα 6ξω (xαθοqιξομιενo απ6 τον μ).(lιlε) Tα)ιανυοματα rι(r:) μετα6αλλoνται μιε oυνε1η τρoπo oτη ,41 l{αι ειναι πρoιρανig τιlτi οη;"ιαlνει αυτ6" ΑντloτQoφα. αν μια ουνεxηg oιxoγ6νεια 1"ιoνα"δια(,ιυν zαθετιυγδιανυoματοlν ru(:r) ορiξεται o' oλη την πολλαπλ6τητα i1. τ6τε μπορoilμιε ναε/oυι-ιε 6ναν πqooανατoλιοpιo για τη ,/Ι1. Απo crυτ6 πqoxυπτει 6τι pιιc,ι τiτoιcrουνε1r1G επιλo./η xαΘεταiν διανυoματιυγ ε(,ναι αδυνατη Λ/ια τη λιυqiδα τoυ Mδbiιιs.Στo 1αρτινο 1-ιoντ6λo τηg λιυρiδαg τoυ Mδbius τιg δυo πλευρdg του 1αρτιoυ (τoοπolo 61ει πα1og) pιπορουμε γα τιζ oxεφτoυμιε οlζ τo oυνoλo τιυγ απoλi1ξεων{ L()9)
τιυν ;-ιoναδιαiιυγ xαθετων διανυομιαταiγ xιrι πQoζ τιζ δυo zατευθυνoειq. Ηcιδυναμi,α επιλoγηE xα0ετιυγ διανυo1-ιατιυν μιε ουl,ε1r1 τqιiπo xαθqειρτlξεται στ}lντερ(,φημη ιδι6τ11τα τoυ 1αqτινoυ 1"ιoντ6λoυ: αν α.ρ1iooυμε να 6αcρoυ1-ιε τt1 μicl.πλευqα τoυ θα παταλr1ξoυμε να τo 6αιiloυμε πα.γτoυ' με αλλα. λoγια, αν επι)'dξοι'μιεci.υOαiρετα 6vα rι(lυ) oε xαπoιο or1pιεi-o xαι επεxτεi,ι,oυιιε τ'ην επιλo^1r1 pιcιq oε ιi)'i'ιroημιε(,α αε66pιενoι τr1ν απαi-τr1ol-1 .1ια oυνfxεια' θα xαταλriξoυμε στllγ αντiθετt1επιλoγη τoυ n(r) οτo crρ1ιxo or1μιε[o.
(1(]ιJ) Σ.τ.M.: To Πριi6λι1μιr 5 11 ι:ξιιοιiιιi.itε:ι τi1 oιtrιφι,lνiα τι|]ν ι\ιrο oqιoμοlν .1ια το μoνcιδιcι[oz,dιΘε:τo διd.νυoμα με: ιρορir πQoΞ τ.] ε'Ξι.,. οτt1r'τερiττι,loi1 πoυ t1 πoi'λαπi"ιiτητα -Λ-1 ε|νιrι το ιrtνoρo
μιcrg n-διr1oτατηg πoλλαπλ6τi1τιr;'l lι)()) Σ.τ.M.: Δr1i.ιιδr| τ('l. f t ι_l, /τ'"\
L
t24 oΛoΚΛΗPΩsΗ sE Π{_) \.\ \Π \oΤΗ'ΓΕΣ
ΠΡoB'\HMATΑ
5-9. Δεiξτε ιiτι ο l1-Ιr- αrτOτε).ειτcιι ιι.τo τα εψαπτoμιενα διανtoματα στo t τιl)γ παμ"τι'i'
1 στην πολλαπ).6τητα( 11()) -]/ ιιε ^'(1) = '1'
5-10. 'Εoτιυ C μια ιiυλλoγr1 οιοτηματοl'' nuu.u.α.1ι-ιεγιυγ για την πoλλαπλ6τ11τα 'lir. τετι
ωoτε: (1j Για xιiΘε:L' € -11 υπirρxει f e C πoν εlναι oυοτr1μα συγτεταγμiνο]γ^,'ιι'
απo τO r. (2) αν f 'g e C' τoτε det(./ Ι " 9')' } 0. Δεiξτε oτι υπαρ1ει μoνιrδι,: :
,.ρon,ruo"oλ,oμ6< ηq--η1 τετoιo-< ιboτε τo ουοτr1μα ουντεταγ1-ιενιυν ./ να διατηρει -
πριloανατo)*ομιo αν / e C.
5-11. Αγ -Λ1 ε[γαι μια n.-διαoτιrτη πολλιrπλ6τητα-μιε-ιrυνιlQo στoγ l?". οqiξιlυμε \Ια ει''
1r, o ουνηΘηg πQoσαγατoλιoμι6g τoυ ΔΙ' - R|}; (ο πρoοανατoλι,ιrμ6< μ ποι oρ[ξε
xατ. αυτ6γ τoν τροπιl εi,ναι o <rυνriΘηg πρooανατολιoμ6g τηq -Λ1). Αν r € cl''δεiξτε ιiτι οι δυο oριιrμoi του n(r) που δ60r1xαν πιιl παγιυ oτιl xιliμιενιl συ|-ιφι!]\ι-
μιετcrξυ του_<.
5'12. (α) Αγ εiναι ll ενα διαφορiοιμo δια-νυoμιατιz6 πεδiο ι:την πoλλαπλιiτr1τα Ι1 c Eδεiξτε 6τι υπαρxει -ιrνοιxτo
oυγoλo A l ΙΙ ιαι διαφορloιμo διανυ(JμCιτ"
πι:δ[oFoτoΑμιεF(r)_,Ιr(r)γκireλΙ.Υπιjδειξη:Aφoυαντιμιετα)πι.:-τo πρo6λημια ι:ε τιlπιxη 6αιrη, 1qηιτιμιoπoιηοτε οτη ουνΔ1ειιr διαμιεqi.ιrει: : :
μoναδιrg.(6) Aν η πoλλιlπλoτr1τα Λ1 εi-γctι xλειιrτ6 ουγολo, δεiξτε 6τι μπoρoυμε να πirqι''
A = RrΙ.
5-13. 'Eοταl g'. A - Rp οπιο_c oQισOηχε στο ΘεiirQημια 5-1'
(α) aν Ι: e λΙ = 9 1(0). αq εiναι Ιτ : (] - 17?ι o oυοιαοτιxα μoνοιδιz.ιi;διcιφoqoμιορφιοfιοg .f-τc,ιog ιilιlτε ι7 o h'(μ) = (μτι' P+1 ,"',!]") xαι h(Ο) =
oρi.ξoυμιετην/:RnΙ,-R,ιμε/(α)=h(0,α).Δεi,ξτε6τιoμετασχηματι(]ι. :
/--.iuor, 1-1 xαι ουνεπιbq τ,αn-'p διοινtoματα.f-(("r)ο),'",f*('(e'rr'- p)ο) ει
γραμμιz.ιi.ig ανεξαρτητα.(6) Δεiξτε οτι η ,\1 εiναι πρoοανατολiοιμη.(γ) Αν p - 1, δεi,ξτε oτι ιlι oυγιoτιilιrε_< εν6g xαΘετιlυ διι:ινtopιατοq στo 1 ιιε l+ι
-
π8οζ τα θ_ξιυ εiναι λD1g@),... 'λD',,g(r) '1ια xαπιlιo λ e R - 0'
5-14. Aγ λΙ C R', εtναι μιιιr πριlοανιrτoλiοιμιr1 (rι 1)-διαοτατη πoλλαπλ6τ11τα, δεlξτε - -
υπιiρ1ει αγoιxτ6 oυγολo Α C R" χαι διcιq]oQισιpιη oυναρτr1oηg A - l? 6τιrι ι''-'Ι\Ι _ 9'1 (Ο) xαι ο πiναxιr_< gl(r) νιι 61ει τα_Eη 1για r e λΙ' Υπ6δε:ιξη: To Π.6λημα 5-4 αντιμεταlπlξει επιτυxιbq την xαταoταor1 oε τιlπιxr\ 6αoη. Xqηοιμιοπoιl. -
τoγ πρoσαγατoλιoμ6 για τηγ επrιογli oυνεπιi_lγ τoπιχd)γ λυοειυγ χαι στη σι\'ε7',:
ερ.1ιrοτεiτε με διαμερi.oει-q τηg μοναδαg.
5-15. ',E'oτιυ -Λ1 μια (n '1)-διαιrτατη ποiJ,απ}'ιiτητα στ()ν l?".Aζ εlναι,Δ/(ε) τo σι'\'ι
τοlν απoλr1ξει|]γ τo]γ xil-Θετι'lι, διαl,υομιiτο_lγ (xαι πρog τιg δυο xιrτευOυνoειg) μιr1z'
ε χαι αζ δεxΘoυμι: 6τι o : ε:iι,cLι ιιρxετα μιxροq 6τοι ιbοτε το ,\'Ι(ε) να εiγαι ετι
μια (r-ι - 1)-διαoτα'τη πο7.i'ιiπi.oτητα. Δεiξτε 6τι το ,Λ1(ε) εiναι πριlιτανατο).i'_.
πoλλαπi'ιαγ Λ/ εil
5-16. 'Εοταl 9δι,αιρορiι-6τι υπαq
Υ ποδε ι.
πQor{ ιι\'
'Τo(r\ ε)''iι7
τoι aΙ ι
ε π ι7'υ ιτc
ιιε /r -y1\ιLl =
[ι ιτ7'ε τι:τ Qιr ι]'+
Lιιgr;:l
:'ι 1l Γ
(l10) Σ.τ.M(111) Σ.τ.M
Δε|τε τιl Πglιiδ7.l1ιιcι -1 1-1 ^'ιιι τo σ7'ετιz'o OQισι-ι().
Eξrμρ1oτ ε ιr ι'τ ιj τ ο " ι] ι' (] ι 11 ι]τ ι'l. (ι ιι oι'α δ ι z.ιjξ " .
τo 1 τ0)ν χαtιi
τi.oτriτα ,11. τ:-_'r'τετciγ|ιdrτ,ir. .
ι.τiιρ7ει μoνr1 ]
'l r,α διατl'iοε -
ο-lιΞουμε r,ιι :
ιt]: /l noυ oιrι:,:,1l.ΑγΙΞ,'.ειιιε\,ο (rιιιφι''.
:/.()τητα _11 - ,Qιιιο διαt,ι,οιι,_l-]i.' tι\,τtμετ(l):τ| _ :_ιι διαμερi'crει: -. :
5lι'μιε r,ιr πciι,,
:,_ι ιιol,αδιzιl1: ι ιcLι /ι(0) -ιιετι{σ/llματt]-_
.
'-t(e r, p)o) t'.'
: .]iτο .r βε Tι.,- rl.
..τt1τrr. δεiΞτε . -
- -R d'τoι ι', --:cειΞr: Tο ΠιΧι]]lσttto;τoι t],--:ιιι ιrτη σι'r,ε,7,:
ι1(Ξ) τo σι\,.tι'r'ιlειζ) ιιti;,.,ι'1l 61,,'111 5τ1,-Jι]r_rc11,1rao7., o,.
ΠΕΔΙA KΑΙ MoPΦEΣ ΣΕ Πo,\.\-\Π-\ΟΤΗΤE- 125
πoλλιrπλ6τητα (αx6μη χαι στηγ περ[πτωoη πoU η rη..1 δεγ ε[ι,ciι). Ποιο ει\"(ιι το 'll1(-)αγ ,4..1 εiγαι η λωqiδα του Mijbius;
5-16. 'Eoτω g '. A - E'p 6ποlζ oρlιrθηxε οτo Θειbqημια 5-1. Αι, \ .f '' R,' - 'i7 εir,ιlιδιαφoρloιριη xαι τo μεγιοτo (rj ελα1ιoτο) τηs "/ oτo 11 1(0) οημειιδr'ετιlι ιlτο ct. δεiΞτεoτι υπαq1oυν λ1 ,... , λp e .R', τdτoια ιbοτε
'Ι)
(1) Dif @') =|x.υ,si{o) j =1.... .n.i.-1
Yπ6δειξη: Αυτη η ιτ16oη μπoqεl να γραιρεi df (ο') = |r/ rx''agiφ) xαι εiναιπροφανηE αν g(r) = (xrι P+Ι ,. . .
''Ιn').Tο μ6γιoτο (η το ελα1ιoτo) τηs ./ oτo g 1(Ο) xιrλεiται oριομι6νε< φoq6q μ6γιoτo(η ελιixιoτo) τηg / υπ6 τι5 oυνΘrixεg 9i = 0. MποQεi νιr επι1ειqηΘε[ o πqooδιοριομ6gτoυ α με επ[λυoη τoυ ιrυοτtjματοg (1). Συγxεxριμ6νιΙ' α\ g : A n _R., πρdπει ναεπιλυooυμε n + 1 εξιoιbοειq
D1'f k) _ λD,9@),
g@) =0,
με n+1 ιr'1νιiloτου< al '...'α'n,λ,Nατι' oυxνα πoλυ απλ6 αγ αφr1ooυμε την εξioιυoηg(α) = 0 τελευταiα. Αυτr1 εiνιιι η μiΘoδοg τoυ Lagrange.(l12) χαι το 1ρηoιριo ι:ιλλααοxετo λ εiγαι 6να9 πολλαπλαοιαoτηg Lagrange. To πq66λr1μα πoυ αxoλουΘεi,πqooφερει μια 6μoριρη εφαqμο.1η oε Θεωρητιιιi επ[πεδo τιυν πολλαπλαιτιαoτιbγLagrange.
5-17. (α) Εoτοl T '. R'ι - R,'j iγιrζ αυτooυξυγη< .1ραμ1.ιιx6q με]τασχηματι(rμog μιε πlναxαA = (rl'ir)' οπ6τε αii = αrr.(113) ιy f (r) -ζ Tr.r )= Σα;.i:ι:rr.i, δε[,ξτεoτι D1'f 1'r1 _ 2Σ'; ,αs'ilj ' Πιιiρν,lvτιιg τυ με'ι,ιυτ(t .o,, . ir..r ' υτllν(n- 1)-oφαiρα S" 1, δεΙ.ξτε ιiτιυπαρ1ει Ι € S|Ι l xαι λ e -R,με .].r =λr.Aν Ι,'= {'μ e R" '.1:ι:,,ι1}_ Ο}, δεiξτε oτι T(Γ) C 'Ιl(11'1) xαι οτι o T: Y - Ι.'εiναι αυτooυξυ.1r1q.
Δεiξτε oτι ο RΙ' θ1ει μια [iαι:η απιi ιδιoδιιιγυομιrτα.(115)
l112) Σ.τ.M.: Joseph Lagrange (1736 18ι3). διclοt1ιιιl: Γιr)'i.o< μιrθr1μctτιπoq r,.ιrι φιlοιx(lq !ιε σr1μα\,τι-zιiτατεq αυνειοφορ69 οτην Αναλιοη. oτr1r' Α7",,ει1οιι. οτι< Πι(}ανoτητε( χαι ιrλλου. Για τη ξι'lι1 z,clιτο εργo τιlυ Lagrange δεiτε τr1 ,'7ιτι;,.l1 ι\,ι,τ]|τ1 ( οτι,r,iτO(ilτo τιiιιιl τoιl Ε.1'. Bell ,.oι
μκrθηpιατιzoi.'(Π.Ε.K. 1992).(113) Σ.τ.M.: Δεlτε τo Πρoti).r]1ια -1-ll.(1t4) Σ.τ.M.: Στην περiπτιoιτη ciι,τt1 i'ιlιιε ιiτι ο Ι
- ειr'ιιι Ζ-ιrνcr),λdiοlτο:.(r15) Σ.τ.M.: Δεi.ξτε τo lδιο .',ιcι τιlι, \
_.
(6)
(γ)
Aπoδειξη.'Ε1oυμε
126 oΛoK^F{ΡΩsH .Ε Πl].\.\\Π \oΤH.ΓΕΣ
1] .,:":-ω ιιια p-μoQφli σε ιιια Α'-διαoτατι1εναc ιδιαξυlν ρ-xδ6oc oτη .1/. ogi Ι'oι,ιιε
To ΘΕ!ιPHΙΙA ToΥ STDΚΕ,SΣΕ Πol|ΛAΠΛoTHTΕ,Σ
_ t ^+ .- Jru.,1,' ' -
πoλλαπλ6τητα-με-oυνoρo λΙ γ'ct.t
αxqι6ωg oπο.lg πριv' oλoxληgιbpιατα πανω απ6 p-αλυoiδεg oρiξoνται επi,οηg οτ :πQιν' Στην περi'πτωση p: k υπαρ1ει τo εvδε1oμuro i,;-;;;υμε 6να ανoL7.τoυγoλo ]{' , [9,1]A xαi *o-rιo.ημo our"uroγμ6νων / : \Ιl '- ,17,, ι-bοτε '.ιoxιiει 1l(r) = f (r) για r € [0,11ιJ'dνα1 k xtdλg oril r,oiιor,ιο"ητα '41 .υπoτiθεται παγτα 6τι ε[ναι αυlorj-του rrr,ou. Aν η,41 εiναι πρooαvατoλιoμει,θα λfμε oτι o ιδιαξωl,Ι:i^:r:, i a,ιιrηqui τoγ πQoσαγατoλιαμ6 αγ τoγ διατt1g,.τo oυoτι1μια σUντεταγ|ιενων ./ .
5-4 Θε6ρημα' Aν 1l,fz : [0, Ιlk * Λ,Ι ε[ναι c)υο ιc\ιαξclντεE xιi6oι oτην IQO() ''νατoλιoμ!νη k-διc1'oτατη niλl'o'rs.6rη'" il ",
.r"lir, ο'r*,,a]ω'r'.ou rnooo.,,,. -λιoψo και ω εlναι ',',1 k-ηnqφη o'η'ii'r|lruro ιboτε ω =0 !ξοl απ6 τc.l oιil,ιl';.γr([0, ]]λ) n ]2([0,'1]k1, τ6τε
/,'
/^,,'= ./^,,o
^,[o = ./,,, r,0
'iΦ'= /,o'u,
fu ^,,:' = ;f dr1 ι'..ι,1ιLεχoυμε
(llt "rr).ii(-).
xc,ιι θdooυριε g =^|'l ο11 , τ6τε απ6 το Θειbρημα 1'
[,o =
/u',u"
(Εδω η oυναρτηor1 1, ι o^ll oρiξεται oε υπoουγολo pι6νo τoυ [0, 1lk xcιιη δευτει,,ιoιiτητα 6αοiξεται oτo γεγoν6g 6τι ω = 0 dξιυ απ6 τo oωoλo 11([0,1]Al1Ζ([0, 1]fr).) Αρxεi urroμεnrg ""λ;i;;r;',
t (ri' o r,).J ΓU. ]lA
);*'= l ω.J 1t
(ι1' ": r)-_i(;) = g'γ'f cΙ,τl ι' .' ι c]rΙ,1
= ( f .'q). cletgl' cΙr| ^... ^
ι7rk'
= (.f , g).ideτg,!'cΙrΙ ι'..ιc]rk
rι'\'oQo λ'I xctl
1τciι επισr.]E o:τ( .ιιιε dνα αγoι7-i
- R" ιbοτε .ιτ)"oτr1τα ,\1 t,
ι]σανατoλισ|.ιε\']aι\' τoγ διατt1ι.ι
'.ι,ι oτηy πQοσ|'-τO\' πQoσαγC/'τ1 _
' ,ιπ6 τcl αιiνcl) '
',' ZαL η δευτεg';n;,r([ο.llΑ)
:ο Θειbρr1μα -1 "
ΤΟ ΘFaPF{ΝΙΑ TOY SΤOKΕS ΣΕ ΠoΛ',\.\Π-\ΟΤΙ1 1t: ι27
ιιια χαι detq' - det(i;1 o ^'1)/ ) 0. To ξητoυμενo τιiJQt/. πQoz'ι';ττει (1:τι) τoΘειbρημια 3-12. l
Η τελε:υταiα ιιlιiτητα o' αυτ{ν την απ6δειξt1 xαθιιiτιi ευεξt1','ητl1 τη o7o)'α-oτιxoτητα που δε|ξαμε o1ετιxα ι-ιε τoυζ πρooανατoλισμουζ.
Αg εiναι ω μια k-pιoρφη oε μια πρoοανατoλιoμιiνη λ -διαοτcιoη πo)')'απλoτr1τα'11. Aν υπαq1ει, ιδιαξων k-xt6og 1 oτη ,11, πoυ διατηρεi τoν πρoοα"νατoλιoμιo,τ6τoιog ιboτε ω = 0 iξιυ απ6 τo otγoλo f([0,1]A), oρiξoυμιε
Τo Θειiiqημα 5-4 δεixνει 6τι τιl .[", -' δεν εξαρταται απo τr1ν εxλoγr1 τOU l'.Yπoθ6τoυμε τιbρα 6τι 61oυμε;.ιια τυ1αiα λ-μoρφη ω στην πoλλαπλ6τητα,\1.Yπαρ1ει αγoιxτ6 xαλυμιμα o τr1g πoλλαπλoτr1τcιq ,/l1 τiτοι,ο ιilιrτε: 1lι6x 2gdβ6
U e O να υπιiρ1ει 6ναg ιδιαξωv i--xi6oE 1l ιJτη ,\1 o oποio-q διατηρεl τoντρooανατoλιoμ6 με (Ι ι ΙΙ C i,'([0,1]k).(r16) Ag εiνιιι Φ μια διαμιilριoη τηq
μιoναδcιg γtα τη ,\1 xυριαρ1oυμενη ιιπ6 ιιυτo τιl xαλυμμα. oqiξoυμε,I/ *'=Σ l ,_.*'Jιl a',Jιl
υπ6 την προijπιlθειlη ιiτι τo αθριtιιiμα ιrυγπλ|νει xιιτα την iγγoια τηg ουξrjτrior1gπoυ πρoηγηOηxε τoυ Θειυρηματog 3-11 (ιiυτη εiναι 6i6αια η πεglπτοloη αγ ιlπoλλαπλoτητα λΙ εiνcιι oυμιπαγrjg)' Mε 6να επιxε[ρημα αναλογo εz.εiνoυ πoυδoθηxε oτo Θειbqημα 3-11 μπoρεi xανε(,q γα δε[ξει oτι τo /"-- δεν εξιιρτιiτcιιcrπo τo xαλυμμα 0 \ απ6 tη διαμι6ριoι1 Φ.
'oλoι oι oqιopιo| μαg 0α' μιπoρotοαν να εi1ιrν δOΘει γtα μιιcL λ-διαιiτιi.τr1πoλλαπλ6τητα-1"ιε-otνoρo ,lΙ1 τηg oπoi,αζ o πQoσαγατoλιoμ(lg εiναι 1r' Α: ε7'ειτo δΙ/ τoν επαγo;-ιεγo πQoσαγατoλιιlμιil aμ. Ag εiναι i' fγιιζ k-y.υ6ο: ιiτr1 -11ιl ιlπoi,oq διατηρεL τoγ πQoσαγατoλιoμ6 xαι τ6τoιog ιiloτε t1 (,k,0)-oq'r1 τoι, \'{ι
xεiται oτo δΙ1 χαι να εlναι. η μoνη oιilη με εσ(DτεQtχiι οημεiα oτo l'11.(l1-l 'Qτr 'rΞ
.,,iνεταL οαφ6g απ6 τιq παρατηρηoειg μιιlτα τον oqιο1-ιo τoιl 0μ' o l(l,.ιlr διrιτl|,_rιιτoν πQoσανατoλιopι6 αγ o k εiνιιι αqτιo-q. oxι 6μαlg αν o k εi,ναι περιττο;.'Eτιτι.αγ ε|γαι, ω μια (k i)-μoρφrj oτr1ν πo}'λαπλοτητα,\1, μηδενι.zη dξιl (r'τιl τιll([0,1]Α').θα 61oυμε
(1ι6) Σ.τ.M.: Aq ε|νcιι /:Ιd: - .R" i:νιr ιrυιrι1μcι ιlυντετα.,,μi:νοlν.,,υρω απo τo.r €,1-Ι. τoιlπoio διατηρεt τoγ πρoσαγατoi'ιoμ6. Mε xατriλληi'l1 1-ιετιlιιριlριi xιrι δι,ιιιrτoλ{. ιrν ε:iγαι απιrριriτητο.
μποqoιiμι: νιlι ιlπoθi:οιlι1.ιε: 6τι ΙΙ' l [0. 1lλ' zαι r = J'{.α'1 .,,ια zιiπoιο rl' e (),1)λ'. oρ|ξουμε ιrτr1
ιτυνi1ιlιιrτονιδιιiξιlντιikzi,6ιl^;μι,^/(]/)=ftμl()αd1oυ1ιετoτεr€1((0, 1)λ')=Un,11 cf(ι0, 1]k) για z'ιιτιiλληλo ιιγιlιzτιr ιiι'ι'oi'ιl [Ι τorl -Rlι. Αν η παραπανω διαδιxαοicι αxολoυ010εi .1ια
τ'ι(ι0ε'ι:' 0α πqοxυr1lει dνcL ανoι;,.τιi zci7'ι'μιιια τoι,επι()υpιι]τιlυ τ1'ιπoιr 1l/ι.(Ι την πoλλιrπλιiτt1τιr,4.1.(l17) Σ.τ.M.: T'oουνολoτι,ll'ι](,ι]τιψιΖι'l\'ιJllιιιιι!r\',tι,τrlEτllζo1ι1<εiναιφυοιxιiτoi17,,.n,((0, 1)λ'r).
[^,'-['
rrI u=ι |l'' l,/^,λ,,, Jt)λΙ
ι28 oΛoK.,\t{ΡΩsΗ sF ΠΟ ι\ \Π \oΤΗΤΕΣ
Απo τηv αλλη. o οι,ι,τεz.ειiτt1: ΤoL,^ 1'.η1 στo a] εiναι ( 1)i,. Αρα
T6τε
ω =0.
H επιλoγrj τoυ 0μ 6γινε με oτoyo να εξoυδετερωθotν τυ1oν αqνητιxα ποι, -o' αυτην τr1 o1doη xαΘιδg χαι στo Θεωρημα πoυ αχoλoυθει.
5-5 Θειbqημα (Θειhqημα του Stokes). Aν ΛΙ ε/ναι 1ιιrι or,μπuyηg, lρr'''.τoλιoμ!'νη k-διαoτατη πολλrιπλοτι1τα-με-oιiνoQo χαL ω εiναi μrα'(k 1;-ι,,
_oτη λΙ, τoτε
(Εδω τo 0λt t.1φι τoν επαγ6μιεγo πQoσαγατολιομ6.)
Aπoδειξη. Yπo_θετoυμε αρ1ιxα 6τι υπαρ1ει dvαg ιδιαξιυν k-zi6og l στη\/ '-τ.r .
πλ6τητα Ι1 0LI o oπolog διατηρεi, .on ,rρoorrατολιομo, .o.oιog ο_ioτε -' =6ξιυ απ6 τo 1([0,1]A). Απo τo Θειilρημα 4-13 No'ι -ou oρ.oμ., τηg cl"υ i7οιιιε
/r^'= /,,''r ,,, 'J(ι13)
_ ' "u
/^,,o'o'' = /un,'
,l',0' = /un'''
/^,o' = /,,,'u^''-(''u'
_ /u,'u^'d(^t-ω)
= /u,^l'*' ='/,,^,,
1,,,n*'= l,,'=/,,
/^,"o = l^,0' - /u,'= /or,
-
δεδομ6νoυ οτι ω = 0 οτo δi,.(tlg) Απo την ιiλλη. '[aν, = 0 μια χαL., = ιlaΛΙ.
.. Yπoθdτoυμε στη oυνd1εια 6τι υπαρ1ει r.διαξοiν ,k-xυ6oq i, oτη ,41 o o:τ.,διατηqε[ τoν πQoσανατoλιopιo, τ6τoιog ιboτε η 1i, ο1-ο,μη .ou uo xε[ται oτο ,:
χα.ι νC{ ε[ναι η μ6νη 6ιpη Ι-ιε ι]σσ.)τεQι,χα οημεLα oτo 0ΙΙ'' Αν ι,, = 0 iξοl ιl'πι,i 1[0. 1lΛ'1. τoτε
Περνιi1"ιε τιi'lρα oτη^γεl,ιxr1 περi.πτιυor1. Yπcig1ει αγoιxτιi xιiλυμμα Ο . :πoλλαπλoτηταq '11 zαι διαμiριοη τηg μoναδ"q o γi" τη Ι1 xυριαρxouμuu,i,,=
(]1E) Σ.τ.M.: Η ιooτt1τα ιιi7ι'ει διι)τι l1 ; εiι,ιιι Ο oτιg ciλ}.εq οr1lει,E.ιrι,τo ε:ξη",,εi,τιrι ιrπ6 το ιiτι ειrεξιυ απo τo 1([0. 1|L ) ,.r,., (i:ιι] τυ .,,ι.,,ι)\,o: oτι ειν(ιι ιrι!γεχ)iζ 1ιo'ξ C-).(1-l9)
Σ'τ'N'[': Tο ε:πι7ε:iρl1μιcι:τΟι'σΖι(ι','Ο(ιq11θl1'z-ι,oτr1ν πρoη.1oιiμενη Σ.τ.M. zciλιπτε:ι τιυριr zιιιik. ιl1'ιir1'i] ιιΙ(l Ζ(1l o _^
.zειτιιι .]τil\ τι]i )..i:τ7'Oτl1τα i1 - ΘλΙ.
i- 1!
-:- 1.r
\ qlιr
ιι9r,l1τιxα πριlι
ι:τ(ι)/i ζ, πQO(Ι,ι ιc.ι (k - 1)1ιι,'
lι.r: ^, στην πoi,τιl19g 1-i.1i116 *,
'-t 11ω 6xoυμιε
'' '/-U"L |n = () ιrτ
-τr1 ,11 o oπoιι]:,. zεiται στo ,',,'_= () dξω απο τι
,.,_ι7'υμιμα O τi1:ιιl7clυμεvl1 απι,
Ι() τ(l ()τl ι|ν(/i
:--ει τιilριt zιiι τl1l
:
Τo ΘEΩPHMΑ TOΥ STOKΕS ΣΕ ΠO.\.\r'Π.\( /ΤΗl'Ξτ 179
0=d(1)=d
Σφ€Φ
d9l'*'-Ο.
Ι1 εiναι oυμπαγηg, αυτ6 τo ciθρoιομα εiναι πεπεραoμιdνo xαι .r,oμ6urg
dω φ.(Ιω CΙφ^ω+φ.ιΙ'ω
τo (, τ6τoια ιboτε για ν"αΘε φ € Φ η μoρφη 9ΖατηγoQιεζ πoυ 61oυμε εξεταοει.(l2())'Εχoυμε
.ω γα α\/}jΖει σε ιιιtι cιτo τι: δι'ο
- \-,r -- 1- "1''φeΦ
(:')
Αοα
(1Qα
Επειδη ηε1oυμε
(120) Σ.τ.M.: Προιlιιριιιiιlτι zιιτcιi'z.l1i.ιr
.ou ;Γ,'- ι..(12]) Σ.τ.M.: Eγr,ιlεiτ1a1 1)1|ρ111,t11. i-ιl''') Σ.τ.V.: Αr' _' ,l . _'
Σ [ d;n*,=0.ur€Φ '' 'ιl
/", =Σ l"9,€Φ " '' ι
=Σiγ:€Φ " ''l
= /on,
-Ρ-l'=Γ/
fr1q,'Ιυ'ιl
ΠPOBΛHMATΑ
5-Ι8. Αγ ,\1 ε[γιrι pιιιr rι-διιioτατη πoλλιrπλ6τητα (η πoλλαπλoτητα-μι:-ουι,ιlρο) oτι]ι' Ei,.με τοr' ιrυνηΘη πQoσανατoλιομo. δι:iξτι: ιiτι το ./|, 'f
ιΙιι:1 ι... ^'
r!rτ1. ilποl; οριι-lτl1.z.ειlτην παρουοα παρα'1qαιρο, ι:ιγαι τo ,| ur l. ('nn.'g oqiιlτηxε oτo Kεφιiλciιο 3.
5'19' (α) Δεlξτε oτι τo Θειilρημα 5-_5 δεν ιo1υει. αν η πολλαπλoτητα ,41 δεγ ιli.νctι ιJι,ιι;τιι.,,}l:.(6) Δεlξτε 6τι το. Θε:ιi'lρημια 5_'5 ιoxi-rει για μιη oιψιπαγη πολλαπλoτητ,, -11 ι,τu τ,1,
προi1πoΘι:ιrη 6τι η μoρqlη ω 1-ιηδι:νlξετιιι iξω crπ6 ενιr oυμπα.1εq υποιτι,r,οi'ιl τl1:Λt
5-20. Αγ ω εiγαι μιιd(k - 1)-μιlριρr1 οε oυμπιrγr1 λ:-διrioτατη πολλαπλoτητα li-Ι. δεi'ξτε ιiτι['ι,l d'= Ο. Διilοτε: αντιπιrραδει.1μ,, o.η,,i περlπτιLlοη πoυ η ,Δ1 δεr, εiναι ,rι'ι,r,r.,,i:.
5'21. 'F'νcι< απ6λυτο9 /t-τrrι'υοτri; (rτo\' πQιt1i/ιι(Ιτιx6 διανυο1-ιατιxιi 7ιbρo 1.:(12t) εliι,αι μιcrιlυγιlQτηιrη η:1,'Ι'- .R τ1lζ μιoqlψr1< ω1 για ω,6 οι1γl1.(r::) ιl,ciαπ6ιυτη k-μορφη
d(φ'')
I
τ(ι εΖτε]tJεντ(( ιττη oιlξr1τηιτt1 πιlυ προηγr10ηzε τoι, oQι.oμιoυ
Ιι]:ε J' = α . ;' ι... /,'fΑ:
.υ(r)(t.,..u.,) - 6.1 (,,ι, )
130 oΛoKΛΗPQ-Η sΕ :l1 .) \ \' {Π.\(l ] ΗΤΕΣ
ιrτt1ν πολ)'"ιrπl'οτr1τιι l1 ειr',.ιι tιιιι 1]ι'\'ιιQτ)lση r7 τ6τoιιr ιi.loτε τιl η(r) να εiνrιι εlαπ6λυτoq il-τα"r'ι'ι'iτl1: στι)\' '\1l. \ει _Ξτε οτι το
'/^- r7 μποqεi νιr οριoτεi αx6μr1 ;.
οτην περlπτιι)ση :τι)ι, l1 '11 δεl, ει\,.ιL ,τι]o1]σ"\,ιrτoλiiiiμυ1.
5'22. Ay Ι[1 C RΙΙ εiγcrι μιιιt tl-διcιοτιtτι] τoλ7.ιiπλοτητα-1.ιε-ιτ'$νoρo Nιιι ΛΙl C λ[1 d'εiνιrι, μι|α rl.-διαoτιιτr1 .τoi./.lι.τ/.ι]τ1lτ,ι-|.ιι-ιrυνoQo, τ6τε. υπιi τr1ν πρo1jπoΘεoη δτιλΙ1' ΛΙ2 εiνιrι oυ1-ιπιrγεi:. δεiΞτε ιiτι
['rl,-l*'.'lυ'\t .l;J\l:
,j:τ,,ι'.'εiνιιι μια(ll l)-ιlιlρι1 11 υτη.\Ι1.λιιlΙιJ'υΛtΙ.υ.\Ι2il.ol,ντι)ι,cπρ(}{I({\,(1τ,oμουq που gnα.1oνται ιrπ6 τoυg oυνr1()ειg πqoιrαl,ιιτολιιrpιοiq ταlν Ιt|. λΙ2 αγτloτοι.Yπιiδειξη: Bqε[τε μια πoλλαπλoτr1τα-1.ιε-ιrυνoρο 'Δ1 τετιlιιi. ιbοτε: rJ]_\1 - θΛΙl l'' c)
xιιι o ι:πcr'16μιεγo-q πQοσαγατoλιι_lμclq ιlτo c)rl.1 να oυμφωνεi. pιιl ι:z,ε|νoν τoυ i)'l-Ι1 --dλ[1 xcl"ι μιε τοr, αντiΘετo του l),l./: οτο EiΙ1.
To ΣToIΧΕ'Ιo oΓΚoΥ'E'οτοl ,41 ;-ιια Α.-διι1.oτατr1 πoλλαπλoτητα ({ πoλλαπλoτητα-μιε-oυνoqo) στoν -Rμε πQoσανατoλιοpι6 1l. Αν r € Ι1, τoτε o |ιΙ !ιCιL τO εσσJτεQtχ6 γινoμεΙ. πoυ oqioαμε oε πqoηγoυμιεvη παραγραφιl παθoρ|'ξoυγ iγα oτοι1εi,o 6i,-z
'.r(r) ε Ωk(Ι1,) Kατ' αυτ6γ τoν τρ6πo πqozυπτει μιcιk-μιoρφrj , o.l1 ,U. η urr.δε μηδενlξεται πoυθεγα χαι απoτελεl τo oτoι1εio ιlγxoυ οτη ,tI (xαθoριξoμιεαπ6 τoγ μ), δηλιδνεται δε ;-ε dV rιy xαι δεγ ε|γαι εγ Υi:γει τo διαφoριx6 xαποι :(λl - l)-μoρφηq' o 6γz.οE τηg πoλλαπλoτητcιg ,41 oρ|ξεται ωζ τo /"- ιlΓ. υπιi τ,πqoijπ6θεol'1 oτι τo oλoxληqιυμα υπαρ1ει. xατι τo oποlo εiναι i'_iαoφαλιoμιι,oτην πεq|πτωση πoυ η,l1 εiναι oυμπα1ιig. o 6γxog oυνriΟιυq oνιl;-ιαξεται μr1;ιι,:xαι εμ6αδ6v επιφαvεiαζ. για πoλλαπλoτητεg διαoταoηg L Nαι2 αντioτoιxα.oτIao-η πεq|πταloη η dl/ oυμ6oλlξεται ds (τo "oτoι1εio μr1xoυg") χαι στη δε:υτε,_dA |i dsl (τo "οτoι1εio [επιφανε(,αc] εμ6αδot',).
Mια oυγxεxqιμ6νη περlπτο-loη ;-ιε ιδιαiτερo ενδιαφ6ρov l/ια μιαζ εiγcl'ι :oτoιxεlo 6γxoυ ι-ιιαζ πQοσανατoλιoμι6νηg επιφανειιιq (διδιαoτατη πο7,λαπλιiτr1τ,(1 oτoι,.E'. Αg εir,αι rι(r) τo ;-ιοναδιαi,o xιiθετo διciνυιrμια στo l?: € ,l1 μιε φο1πQog τα 6ξαi. Αν ο τα"νυoτηg ω(:r) e Ω2(r11,) οq[ξεται 1-ιε
τι1τε ω(r)(tl. ιι,) = l α\l τ(/. ι' γ"U'L ιι' oυγιoτoυν μια oqOoxανoνιxti 6αοη τoυ -1'μιε [υ, Lυl = /ιΙ'. Επιτοε-τ,,ι'τcι: (]το .,' νιι xινε[ται στηγ πoλλαπλοτητα ,41. ιπρoxυι1lει μια.2-μoρq11 ; οτi] '11. r1 oπιliα. μιε 6αιrη τα πιr.qαπαναi Οα πρ6πει l
ειναι τo στoι7.ετoν ιlριομιo τοι
Επειδr1 τo i' .r
cιιl [υ, α,,] = 1l11. Οα πρ6πει^ πoυ διατl'19ε
Ε('α) -|
F(α) =l
G(α) =[
Τιjτε
).9.,,1ψ 11lμ ||φ1l
Πρoιρα.r'ι-,
ι]ll!-ια' εUτυ/.ι1):
Επιπqooθiτι,.l:gi. cι.
5'6 Θειbρι1μι,i πoλλαπ)"rjτ,r'oqα πρoq τcL
(1)
Εlιπλ!'oν, !7cl
(2)
13)
(1)
ι] η(J:) να ει\,(lι [''ι1 oQιστει αχoιι1l
.ιη(}L!π(ltJειΙ}l ι]τ
_'' τ()ι]ζ πE)oσα\,ατ'. _l1l . i12 αγτι(Ιτι).-,
-:, i)'\Ι = θΙΙι ι- ιl":7lΕt\/()V τoυ l]li\1: -_
-rrιlγOQo) στoγ _R
. ,τεQιχ6 γιγoιιε,'.'.1 στοtχειo o^,,7.i
-' (Ιτη 1η1. η o'τιrl] -r (xαθιlριξopιε,
):,.ιι1οριNιi χαποι, :.'' |
', ιΙV , Uπo τl
1ι εξασφαλtσιιεi] ι oμιαξετιrι μi1ι.o;
_ 1ι\'τιστOιχα. στ1" i Ζαι στ].l δευτει,'
' ιιΙ μαζ εiναι τ-'l .τoiι)ιαπλoτl1τr l
'| .1 € Λ[ Lιε φO9
.lii dιiοη τoυ '''l1lτi'oτr1τα λΙ, Θι
', , Οα πQ6πει \,(
(1) cJΑ = rιΙ rΙ'!)
Επιπλ!ιlν, !yoιlρι'ε: oτη λ[
(2)
(3)
(4)
|ι c] z + n'2 c]z ^
dr + n3 cΙι Λ cΙ,μ .
tlΙ ιΙ-λ - dυ ι' rΙz.71
ll ιl'1-Lι^' /\α,τ.
;,: ,]^λ = d.l' ι, cΙμ.
To ΣTOΙΧEΙO oΓKO\ 131
ε|γαιτo στoιχειo εμ6crδoυ c1--Ι. Απo την αλλη. ω(r:)(υ.ω) -1 ι.Υ' ι!''ll(.ι.)} α"ποτov οριoμo τoυ U X tι,. 'Ετoι i7ιlυμε
r1-4(.ι)(ι.'' ιι-,) =1 ?l X ?l.I, n(.r) > .
Eπειδri τo ι] Χ ι0 ειναι 6γιr πoλ),απ},ιioιo τoυ rι(r) ^1ια l].'α.r € l\1,'. oιlνα^1oυl-ιε 6τι
dA(:r)('ιl''ιο) = μ r rr'1
αν [υ.?Ul =ll,'. Αγ επιθυμoιi1-ιε uo ur.,,1o.1iooυ|"ιε τo εμ6αδ6v τr1q πολλαπλoτηταq'11' θcι πρ6πει να" επαληθευσoυι-ιε τo Ιμl 11.^t-(ΙA) για xιiπoιoν ιc\ιαξoντα'z-x;tc-'δ-l πoυ δια"τηρε| τoν πρoαιrνατoλιoμo. oρi,ξουμε
Ε(α) =[Dργ,(o)l, * lD'^,r(u)l' + 1D1i,](α)]2.F (α) =p'^ l
@.) . DηΙ 1α1 + D,^,,21α.1 . D2^72(α) + D ρ13 (α1' D2^i3 (α),
G(α') =[D2^1'(u)]. * |D'^1Ζ@)l2 + [D213(rr)]2.
Τ6τε:
i- (dΑ)((r.1) o, kz)n') = cΙA(1-('('e 1),, ), l. ((t :).,))= (Dι^tL(α'1. D912(α), D1l3(α))
x (Dz^tl1α1' Dη21α), 12]_r(α))1
λ6γοl τιlυ Πqo6λr1ματοg 4-9. 'Ετοι
l ^\.1A)=l urεc, r,J|ιr.l1 ./1rl.li
Πρoφαr,ιbq n ur.n19γισ[ι6c εμ6ιrδoυ ε:πιιpανεi,αq απoτε}ιεi παρciτοi-ιιιl ε.,,7ει-Qημα' εUτυχ(bc oπανια 1ρεια_ξεται να γνιυqi,tει xαγεiζ τo εμι6αδ6ν μι(.t: ε._τLq ι1\'ιLιι_Fπιπρooθ6τιυ9. υπιiρ1ει μιια απλη dxιρqααli γtα τo dΑ η oπoiα αρxε[ .,,ιcι τl1 t]ει ,
ρi.α.
5'6 Θειbρημα. Aq ε[ναι Λ[ μια πgι'lα-ανατclλιopιiνη c\ιδιαrττατl1 πιl).)-cl:).ιiτt1τrι(fi πclλλιιπλoτητcl'-με'oι'lνoρo) oτcll, R3 χ(Ι"L'rι' το ριoνctδια[o x(l'θετo c\ιrit,ι,ιlιιcl- ιιεφoρ(ι πρoq τcι !ξοl. T6τε
132 oΛoΙζΛΗPΩ'Η ΣΕ ΠΟ \ \ \Π \ΟΤΗΤΕΣ
Aπoδειξη. Η (1) εlr,αι ιooδι'ι'cιμιη μιε τr1 o16oη
dΑ(ι'. u') = det
Αυτo διαπιoτιilγεται αγ αγαπτυχΘε| η oρ|ξουοα xατα τηv τελευταi.α γραμιιiνα απoδεiξoυμε τtζ αλλεg o16oειg. παiqνoυ;-ιε 6γα z € R1''. Eπειδη υ x iυ - ογια xιiπoιo α e R' 6xoυμε
1 z,rι,(r) ) . { υ x u,n(r') }=ζ zln(r) > cι -ζ Zlαn(r) }=ζ z'ιl x' ιι'
ΠαLqνoνταg 2 = e7ι e2 X(ιL e3. 61oυμε τo ξητoυμενo. Ξ
Πqoooxη: αν o ταγυστηs , e Ω'(.R}) oqiξεται με
ω =nl(α) dy(α) ιdz(α)+rιΖ(α;.dz(α) ιdr(α,) +n31α1 .cΙr(α) Λdμ(αl
δεv 61oυμε, για παραδειγμα,
nι(rr) . ω = dy(α) ι dz(α).
oι δiο πλευg6g δiγoυγ τo i,διo απoτ6λεoμα μ6vo αv εφαqμooτoυν oτo (ι..Ι.[,' x Ι\f ,,.
Στο oημιεio αυτ6 θα πq6πει να γ(,νουν μεριx6g παqατηρηoειg για τη δι;,.
λoγηαη τoυ oριoμoti πoυ διbοαμε για τo μηxog xαι για τo εμ6αδ6ν επιφcι\'εAν η xαμπυλη 1:[0,1] - R''εiναι διαφoρioψιη χαι τo ουγολo 1([0,1]) ε
πολλαπλoτητα-με-otνοqo διαοταοη< 1, μπoροriριε να δεiξoυμε. αλλα η απιiδι'-ε[ναι αqxετα μπεgδεμΔνr1' oτι τo μηxo< τηg 1([0,1]) ε[ναι τo μιxρoτεροφQαγμα τιυν μιηxιilν τσ.)γ εγγεγQαμμ6νων o' αυτην τεθλαoμ6νων γραμμιbι,, :-
6xoυμε 6ναν διαφορloιμo. ιδιαtoyτα.2-xυ6o J στoγ _R.". αυτ6 πoυ λoγιxα πε1' '
νει xανεig εiγαι 6τι τo εμι6αδor,τηζ 1([0. 1]2) Θα δ|νεται απ6 το μιιxqoτεροφQαγμα των εμ6cιδιb\l τι!)\, ε:τtφανειιi.lν πoυ ουναπαqτ|ξoγται απ6 τq[γιυr,ιι .
oπoLωγ oι xoρυφε< 6qiozor,ται oτη ^,([0. 1]2). Παραδ6ξωq 6μωg. αυτ6 το μιι;,..,τεqo ανω φραγμcι δεr,υπcιQ/ει oι,r,l1θιl: μπορεi xανεig vα 6qει εγγεγQαιιιιε\J:
("ι,)
:\Η\,. ;'ιt Dι- : ')iι!
_ i llΙ
ε/ εUταια γQαμμ}i a.-τειδηUX?l,1 =.f,,.
l }=( z'υ x 1Ι. -:
'Ι.ι:(ιι,) ι dy(α).
--τιlιlν ιrτo (,ι.,. ιι. l
'rεL: για τr1 διιcιι,_lιιδιlγ επιφανεicl:,.';.o 7([0,1l) εil.. rt)')ιcι 11 απoδειΞ:ι, ιιιxρoτ'εqo cil,
,l, .1ραμριιbν. Α:ι]1,)"gγ1χα πεQιιι:-τιl μιιxql6τερo αr'- _!'.ιO τQιγωνα τ':. cιυτo τo μι7.Qι _
ι ε.,,γεγραμιμι6νε:
ΣXHMA 5-9. Mια ε:πιcγriνt'ιct cιlclgτ[ξε'τcιι clπιj 2() τρ|1,α1γ,' ε1,1lεyρα1ιρι!να oε: τριημαxυλi'νδρoυ' Αν cl r'ριθμι) 'ζ τιυl'τοι^,'ιηl'ι'll'ιlι'Ξl]()εi rrρ"rr1r, μrrρrr iro'io, τjoιl yρειi"ξεταιτιg 6c1'oε:ιg τ(υν τριι,ιΔl,ι,l'ι'-3' 1' l' 8 z-.l"l., τιl ιτι''νιlλιx6 ε:μ6αc\ιiν τηg εyyε1lρcιριμ!νηq'ε π ιφ (ιν ε: ιcιg 1'ι πο ρ ε i ι, α cL ι' ξη θ t i z' rl.τ' ε l ι [) ι' ιι | οl,.
Γo Σl'()Ι\Εl( l ()ΓΙ\(..)\ 133
.ι-t:.:i_--]
oΛoKΛΗPΩΣΗ rE Πι].ι\.\Π \oΤΗΤEΣ
πoλυγωνιxθg επιφαr'ειε: οιτο θεl.ει ;,.οr'τα oτη 1([0, 1]') μu αυθα"ιρ6τιυ< μιε'
εμ6αδ6ν! Αυτo φαir'ετt/.ι '|'ιci' τηι' περlπτοloη εν6g xυλLνδqoυ οτo Σ7l-1ιl
9. 'E1oυν πρoταθεi διiιφoqοι οριoμoi τoυ εμι6αδoυ επιφανεLαζ oι oπoι'oυμφιυνoυν μεταξυ τoυ:. cLi'i'iι εtr'αι oυ!ιφιrγol |-ιε τoν διx6 μιαζ oQισμιι-
διαφoρ[,oιμεg επιφανειεg. Γιcι μιια oυξr1τηoη πανω ο' αυτα τα δι]οπoλα θει
παραπ6μιπoυμε τoγ 11γc,'.1νιboτιl oτo [3l η oτo [15] .
ΠPoBΛΗMATA
5-23. Aγ ,\.1 εiγαι |-ιια πQoσαγατoλιoμ6νη πoλλαπλoτητα διαοταor1g 1
xα1-ιπυλη 1 : IO, 1l - Λ1 διατr1ρεi τιlν πρoιτιινατoλιιrμo. δεl,ξτε 6τι
r.(d.s) - lr,u
5-24. Αγ ,\.1 εiγαι 1-ιιιr rι-διαoτιrτη πoλλαπλ6τητα στoν -Rl]. μιε τιlν ουνl10η πElιloανιrτο7'ι,
δι:lξτε 6τι ι]V = c]':ι1 Λ..'Λ d:l,'?'ι' ιrυγεπιbq ο 6'1xclg τr1g ,Λ1. 6πωE ορlοτηxε σ' (:ιι
την παqαγραφο, ιliναι o oγπιlg ιiπωg ιlρioτηxε oτιl Kεφαλαιo 3. (Σr1μειιilιlτε 6τι ι,
εξαφτιiτιrι απ6 τιlγ ιrqιΘμητιxιi παρα",,11γ111 ι;τoν οριι;pιo του ιυ n 17.)
5-25. Γεγιxευοτε το Θειbqr1μιl _5-6 οτr1ν περiπτιυor1 ιιιαζ πQoσανατo/ιι.(rμεγ1lζδιαoτατr1g πoλλαπλιiτr1ταg οτoν .R|}.
5-26. (α) Αι, η / : [ο, il] * -R ε[γαι μιη αqνητιzr1 xιl"ι το "1ραglriμα τηζ 'f oτo επ[πεδο .,l'
περιοτραφεl .,,υqω.απ6 τιlν αξονα τιυγ r: ιbοτε γιr διi:oει μια επκραr'εια iI οτ
.R3. δεiξτε oτι τo εμ6ιrδιiν τη_< Λ1 εiνclιι
r,, lI z.t\fr'',14,J ,,
([i) Yπoλογiι'lτε το εpι6ιrδoν τηg 52.
5-27. Αy T'. R|Ι + fi'?/ ε[γαι ενα<'iριrμιμιx6_< pιεταιiy"ηματιομog πιlυ διατηρεl τη ι'6ριιι'.τ6τι:1-ιιcι k-διαιrτιrτη πολλαπλ1lτητcι,Λ'/ oτoν R" tγει τoγ lδιo oγxo 1.ιε τo T(.Λ/).
5-28. (α) Αγ l'\1 ε[ναι μιιr λ-ι\ιαοτατη πο).λαπλoτητα, δε[ξτε oτι 1-ιπορεi να oqιoτεi ΔνcL:
ιrπoλυτοq i:-τιrνυιrτη< dl'. ιrzoμr1 /,αι αν η i1I δεν εi.νιrι πqoοανατo}'iιiι1.ιi.oυτιυq ιbιlτε: νcr 1ιπoρουμιε r,ιr ορiοoιlμ.ιε.,rγ $r1xιl τηg Λ-Ι ιυg το /.- dΓ!.
(6) Αν η 1 : [0.2πl ;< ( 1.1) ' -R_] ορit'ετιrι pιε 1'(u,υ) _ (2cosu+ιlsin(u/2)cοs ιι.
2 sin u + ι'sin(ui 2) sitt ιι. ι'cos ιl,/2). δι:iξτε 6τι τo 1([0, 2τl ι' ( '1 . 1)) εiναι μιιι,.
λαlρiδα' τοι' N1ijbius zιιι ι'το7"ιl','iιrτε τo εμ6cιδιiν τηc.
5-29. Aγ υπιrρ1ει μια λ-ιιιlqq11 ιlε ιιιιι l'-ι)ιcioτcl'τt1 τoiλαπλ6τητιr 'ΔiΙ πoυ δε pιηδενiξετιιιπου0ενα. δεiξτε οτι r1 '11 ειr ι1ι .τιrι]ιτιι\'(/τοl.[οιμιη.
(α) Αν l1 .l
1(r) =
(6) Δε[Ξτc1r.rq'l
1 . τιlτ
5-31. Θεωρoι1ιι
(α)(6)
(.1 )
Γιιιστι]
Γ.J \-(1Θ
δειδιι\δl1)
ι)ε ι
Α::τc
\'(i
ο'7
1{(1i
-Ιι
τi
ιιιι']
(δ)
[(r1)']2 * + [(1")'12
TO Σ1'OΙΧΕΙO oΓΙ\O\ r.35
ι ιlετΟ_)ζ |-tΕ}ct /-ι__
,]τι) Σχημα" -<-
Οt oπoιoι δ:1: oQισμ6 ','ι]
ιj 7' O )ν(l' θi;-ιcl'τ,
]τOγ -R'7ι χ(1ι
:,.] ιl(laιγατoλι (]ιι ι'
.'ι,_rτη7,ε σ' (xυτl '
'ι; ιl.tιjτε 6τι cιι'τ,_
'rιιε\'ηζ (Ιl, - 1
-τ. επιπεδo :ι',' ] ιι\'εια Ι1 ιrτι,'
.τilQει, τrl νoQιιl.lιιι το'l(r1-a).
, .1 ιrQι,στει θγα;'a,.σανατoλισιJ.ιl
:;dv.- :'sin(u/2) cο: ,,
1.1)) εiναι μιι,.
δε μr1δενitετιι
τιυγ ι-Πlχιl)γ τιDγ
lι ( .. . Ξt,,' =
5-30. (α) Αu η .f : [0. 1] -.
^/(/) - (:ε, "f
(.r)).R ειι'ιιι διιιιρoρ[ι:ι1-ιη χαι η 1 : [0,1l - 'R2 oqii'ετιrι μιε
δεiΞτε ιlτι το ^,([0,1]) ε1ει μr1xog
[,'
(6) Δι:lξτε 6τι αυτil το μr1zιli εiναι τo μιxριlτεqo ανιl-) q]Qα'/μα
.γ^1..1qoμμ.u,υν τεθ7,ιl.ομιiνων '1ραμψιιbν' Yπιiδειξη: Αγ 0 = tο {
l. τoτε
L.(t;) - ^i(t, r)l =
για xα-ποιο si e [fi 1,frl'
5-3Ι. Θειυρoυ1-ιε τr1 2-μιlρι1'r1 ω oqιopιiνr1 oτο -R3 0 αlq εξrlg:
l r', /, ι)] . ι l'(l ;Ι ' .γ1t ; 'll)
, _ rιl'μ ι cΙz +'!]ι1z ι ιΙr + zc]:r ι ι]!/
'-
-(.r2
: y2 a 2Ζ'f 12
(") Δεi'ξτε 6τι η ω εiνιrι zλειoτr1'
(6) Δεi.ξτι: οτι / η\ ν '1ι1 ι)'>ω(p)(ιl7,. ιιp) -
Γιcι r ) 0 θi'τoυμε Sr(r) = {p e R3 : 1r-)l = ι}. Δι:iξτε ιjτι o'τι]Qιoρισιιo: τll:.,'
oτον ειριιπτ(lμuno x,bρλ.ηq s'(r) ι'iνιir 1/r2 φιlρεg το o1ο1x1ι| ιi'"z'ιlι'z'ιιι ιlτι
Jr",,rJ -aπ. Αρα',η) δε;v εiναιοιzqι6t\-c. Παρ'ιiλιr ιιυτα δr1λιilr'ιlιtιιε τ}l\'*'ιιε
rlΘ μι.ιi zαι.. oπolζ Θcι ι\oυμιε. 11 ω εiναι το.ιrναλο",,ι'l τηg 1-μιoρι1r1; dθ ιττο R] ι]'
(γ) Αν ,ιl, εiναι .uo uφor..ομ'πo'δι,''nυnμ" τετιlιιl ιi-lοτε ι'' = λ'p '1tιι z'c)'τιlιιl λ - Ιt'δεiEτι, ιiτι dΘ( ρ)( ι',,. ιι'1'\ _ () ^,'l({ ιrΛ(( τ({ /Ι'i '' Αι' ιιιu :tο()ιil/'\'{'τ''i''':l" "
διδιιiοτατη "oιl,o-Ι6.η'i,r -Λ-Ι οτον ,17] εiι'αι τμη1ιι:ι ιlνilg 1ι'εγιu'ε]ι'ιιε\'οι' 7'ι )\'ι)]'"
δηλαδη t1 ,\1 εiνιrι η ilνωιn1 τμη1-ιιiτιυν cιzτiνοlγ που δι.ερxιlντιrι α-πιl τll\' ιιι)/ll l'
δεiξτε 6τι / ,, _ u.
.l ,\t
(δ) Αs ε[ι,ιl-ι Λ1 a R3 0 μια ουμιπα.1lig. πρooιrr'ατολιιrμιε1ντ1 c\ιδιιLιlτιιτl1
πιlλλιrπλoτr1τo'-μ.-.rΩqo τL.ο,cr ,il,ττε x,iι,ε ,rx.iucι πoυ διiq1ι:τιl'ι ιιτιj τo ('t
γcr τtlγ τi:μινει τιl ποi'ιi oε 1lνιr ιrt]μιliιl (Σ1l1μιr 5 10). Η ilνοlol] ι:z.εir'ι!)\' τ(')\'
αxτiνιυγ πoι, διiQχογτιl'ι ιl-πιi το 0 z'ι;ιι τiμνιlιlν τr1 '1-Ι
εi-νιrι Δνι;ιg ιiτι:ρειi< z'ιbr'ο:
iι1'ιr1. Η οτερεΙ'γοl'iιι τι_lιl ι]J'τι)τι]ιγετιtι ιrπιi τι1ν πολλαπ}'ιiτr1τα' i-1 ορ1ξετιιι
οlι τιl εμ.ι6crδοu..''." l'ι'l 1) '5]' t1 ι'tιlδi'ι'(tι-ι(Ι (])ζ 1/r2 φοqεg τιl ι:pι6αδoν του
iiι'r}ii, i,ιr) ^,,ιιL l' > ι). ΔεiΞτi ιiτι η oτερεir .,,ιυνiα πιlιl ιπoτιli-γιlται ι,πιj
.η'ii'.ι"ιr,'l .i,, dΘ. }'-τr1δ."ιξl7: Παρτε τιl r' ιrρzετιi μιl"ρo ιbιiτι: νιr υπιiρxει
μιια τqιδιιiυτιιτr1 rιl7.7'ιι-τi-ιl.,1.i,-,.,.-ni,"uρο λ (6ποl_ι ιlτο Σy'r1μα 5-1()) τiτοιιr
ι.bοτε τιl iJ.\ r,ιι .ι,:,,, '1 .,', ,,r,l .,lζ
",_'',λi,rrλ,i.l'1"ικ Ι1. του 1i('\/) n 52(r')
+ \f ')2
136 oΛoKΛHPΩΣH sΕ Πo.ι\.\Π-\oΤΗΤΕΣ
χαι τμιl!lατo: ει'ο: .,,εr Ζει'|lε\,()l, Ζ(itνoυμια πoλλα:τ)'οτi1τα_ιιε-.,,ι,lι,ιε; δεiτε τfπαqαγριiφoυ.)
(Στην πQcιγματιχ6τητα η N θcιπαQατηQησειζ οτο τελog τηζ εrτιrι
t(f,Φ = # /.,,,,o'
5-33. (α)
Δει:τεχαιι'τι,Αγ r(u
oπoι'
ΔεiξτεΣxημιrlΔεγ εi.'
με τoπρο5i-rυπoi'ο',
Αν (α.
ι] (:
Αγ ειr'ιoilνοοο
(α)
(6)
(γ)
v/- ι/\ι, \lΑg εiι'c|"ιε τα :τ
(o', j'.ιrημεiα- ι
πληoιci:λΙ =d'(o, 3.^
(5) Yπo0ετιστατ}l :τ
7r,(t2-.ι l ,,
ΣΧHMΑ 5-]0(123)
(124)Σ.τ.M.: Αναι1ιΣ.τ.M.: Δr17.ιιt
ιτιΖι)τητα η -Λy' Θα εl-τo τελοg τηg επιiιιε
::l:: zαμπυλεq. oρι:cr-l-3-i)
\1t
(")
(6)
Δεiξτε ilτιxιrμπυλιilν.Αν r(u' υ)
ι)π()ι]
rlΘ6α.i].-l) -
Aγ εiναι ,11
ιlυνι'lι'lιl οτιlγ
-ΓO Σ Ι'oΙΧΕΙO ΟΓι'(]\ 137
1ftιf.gl λ_ l dΘ.
αν το ξεilγoq (i', G) εiνcl'ι μια ιlμιοτοπiα 1-ιη τεμνclμιi.rτυr, xi,ειoτιbντ6τε /(ll1, G0) - l(r'1, Gl ).= l"f (,r) q(ι.,) , δεlξτε 6τι
Ι('f ' g) = π# .A(ιι'.ιi)cΙιιcΙι
(l: α)ιΙu ,η' cΙ'z + (!] i])dz ι ιL;t + (z - ^ι)cΙ.;ι: lι cΙ'μ
L('ι * n)2 + (u - 3)2 + (z ^i2]3l2
oυμπαγrj<. πρoοανιrτολιιτμ6r,η, διδιιioτατr1 πor.i.ιι.τ i'οτl1 τ ι ι - ιι. -
xαt (α' 3'-i') € l'\lt, ορi,ξουμε:
# /"' /,,'
/ ( J'ι )'( ,' l ι .[' l'ι u ) i.l r,),i ιl.1 '
\A(ιι. υΙ deι | (q]}'(ι. l ιg2't,l''1 (-,/,),(,.) l
\ /|ιrl 91 ι,'] J''(ιιt ll \ι.) '[]\'') ιlJ('.) /
.')./
(.r) Δε[ξτε oτι ι(f 'g) = 0 ιrν oι f xclι q xε:iγται οτο επiπιlδo :t,μ. ot xαμιπυλεg τουΣ1ημιιrτog,tr-5(6)δiνοντιrιμε/(u)-(cοsi-ι.sin,ιr',0) xαιg('υ) =(1+cοsι.l,0,sinιl)Δεγ ε:iγαι. δυoxoλo γα δι.απιιrτιboετε: 6τι η απιiπειρcr υπoλιl"1ιομιlυ τoυ /(/', q)|-ιε τo παQαπανοl ολοxλt1ριυμιr δεν 61ει τυxη ιr'αυτην τt1ν περiπταlιlη. Toπριi6λημια πoυ αxo).oυθεl δεi1vιlι πιb-< γcr 6ρiιrxετε τoν l(./. q) xο;ρi.q ιrνrrλιτιxιlι]qυπολo.1ιομιoυq.
5-33. (α} Αν (ιl..J. 1) ι R1. oρiiιlυμε
|-ιι(,Ι
,R3
Ω(α' 3'1') dΘ(o,i':,τ)
(123) Σ.τ.M.: Αναφερεται (rτ(.{ zι'ιθετα διcινiομlατι{ σε ιτr1μιε:[,α τιlυ ΛΙ - aΛ.Ι.(124) Σ.τ.M., Δηλαι\r1 αν η / δει, ιiι,τoτι:1ιr,ετιrι.
Αg εiναι (α'i3,^i) 6να ιiημεiιl oτιlγ R3 πoυ 6λiπει οτην iδια πi'ειρci τi]: _1l'
με τα πθqrατα ταlι, xα0ετιυγ διιrνυo1-ιιiτιυν οτη Ι1 με φoρα πQoζ τα /'Ξι'ir 1]-l ,,,,(α',3',1') Δνα oημεio πoυ 6λεπει οτr1ν αλλη πλε:υριi. Δεiξτε 6τi ιlγ τα δι,ιl ιtι,τιtοημεiα εiναι clρxετιi xoντα τιl i:γα οτo αλλo' η διαφιlρα Ω(α,13,1) !2(α, . ')| . ^ '}πληοιαξει oτo 4π οοιl τo επιΘυμoυμι:. Yπιiδε:ιξη: Δεiξτε: πριi_lτα" ιjτι ιιι,,11 = 6γ. τ6τε Ω(ιι, i3'^l') = *1τ \|L(ι (α,β,1) e 1/ ΛΙ y'αt ο1α,,.i,i) = 0^,,ια.@'β'^l) Φ |{.
(6) Yπoθiτoυ1-ιε 6τι /(t0, 1]) _ 0ΙΙ ιια xciπoιιr oυpιπα^1rj, πqοιrανατoλιoμiνη. διδιci._
-|.ΙfΙ-ll "oλλ,:"λδτητα-με-οilνoρo ,lit. (Αν δεν υπαρ1oυν xoρι6ιxα oημιε:|α 1i/ια τη\,
/.!lΖ+' ιιια τετoια πoλ).απλ6τητα,j11 υπαρ1ει παγτα. αxoμη xαι οτην περiπταlιτη
=1,
oΛoKΛΗPΩΣΗ sΕ ΠΟ \ \ \Ιl-\oΤΗΤΕΣ
πoι' l] / .Tι1oιl ,g1 ,,- | '/Ιιτ1]' τlιl|Ιιατα ι,ιΖoν({ {(vαλυ7η εχεi vηC τ(lιl Σ/,5-3(α) [δεiτε το [6l. οεlιδrι 1_lδ] .,), v-.,oι.uui u επioηg oτι 6ποτε η 9 τειι. :,Λ'1 oε z,α-τoιιl οt-1ιιειo .ι.. τιl εφcrττoμενo ι\ιciνυoμα U τηζ ,(l25) 5.u ανr1zει --1{, o" τo n- δi1i.r,lι'ει τιlν αρι0μο τιι)ν τομ(;γ,r.,g or.oιu; τo z: 6λ6πει τιl.,: -iδtα z,ιτεilΘι,\'σll ]Ιε ,. z.iΟ.τi, j,,,u,,,r1,n
in",l oρ.. πQoC τα εξιυ zαι .,. , ' -
-αριUΙlo τιllι'αi.i.r'll" ΤΟllιilι,. δεi:τε οτι ,1'υ,.r|,,ρι ιt : n' - n ισ()ι!ται llΓ
Ετιτq6πoυμιε ,
ιτo μ6νo9 τor
5-7 Θειilρι1μ,lτατη πclλ)'αl:iναι διαφclρι
iEδιb η Ι1 ε7\,ατoλισμι6 πoτoυ Qoλoγιoι'.
.\πoδειξη. Πιl(cιcΙr,+ βdμ)
5-8 Θειbqημ(Jτατη Ιτo)')'('ι:lι(:r,) τo γιol'cιδιαφclρloιμc', ,
Aποδειξη. orΤιiτι: rJω - c1rι
(128) Σ.τ.M.: Ge( l29) Σ τ.Ν{.: lεπc;ι"1o1ιε:νο.
u1 /,nn(γ) Δεiξτε oτι
(μ-,3)ιΙz-(:-l)dα-------r-l
(z - ^γ)cΙ:r - (r cl)dz
-
,Ι'3
(l-α)ιΙa-(lt -.J\ι].τ.r.3
οπoυ r(r. .!]
' z) = )(r, υ
' z))
(δ)*;';1 Tl
."*::::::1i,lil-l.] ,::ι-,αι μιε τo ολozληριllμα τιlυ Πρo6).11ιι,
Z,",(|),,:' :,' ::i::'f :: :: :" j::: j " s ":i;λ : η;- ;;"Aχtl:.';.'. ; i }:; i' }',2' !,',!'i !','n' : :: :,: : l'l* "*., ;.; ;;;;; :;i δj' :il 1:ι|i :; ; :' l' !,!,|,=,'
]:i:Ιi.:.1,S.}::J i,] t 7] oi απι.δεi Ξι]ιc πο. ;;;;;;;;;;:1,"J;:u:i:,';-το [4] oε},. 409-1L1.δεi'i επiιlη<'. i13], i;;';:";λ:i-'];;l;
D1Ω@, u'^,l = /,D2Ω@.ιl,ω= f ,DjΩ(α', r',",l = /,
TA Κ^AΣIΚA ΘΕΩPHMATA'Εxει
^1iνει λoιπclν η απαqα"iτr1τη πQoπαQαοxευη 11111 τr1 διατυπιυoη xαι απιlδειΞτιυγ xλαoιxωr' θεωρημαrru ,,o, uιr,r,'oμ,,.o'ur.o μu';; b;;;ημ," τoυ Stoke.
(
(126) Σ'τ'M': O "'''λ'n''ig,δiοιοc oτo επiπεδo :l:'μ {.y'ει'τoν oι,νriθr] πqoοανιιτιlλιoμo. ε:ι,ιυ llιττo Σ1rjμα 1-6(61 t7ει ιρoριi.διrrγριiι1'rjc ιrυμφιυνη μ. .ηu ,iu,]oη το,u δειλιilγ τιlι, ρολoγιιli'. Στrπε:ρiπτιooι1 τoι-' Σxηματoc
16ιγl η φoρα δια'γριrq,ηa.|.9 ο* d1ει ιlι]μrrοiα trιια xαι υποΘdτογτα. ιι:
H::*:Jff::';:Ι;,,r:*'τεριzιi" .η..μ,1i,, οc, z.α.αλ',1Ξoψ., ,.ηu .u.ιo..,. φuρ,i δ.,rγρuq,i.:,,(127i Σ.τ.M.: Crrl F. G.l
::γ.,ffi :*,TΙi::Ιli::''irJ*i:,'::'li;.: j:.,}-ilT;,ιlΤJxi:,ll.,ii#l,]'l'l.,i,.
ανcl-φοqιi ιrτη lιlr1 ,.,,, .,., :;.,';'.:i:,;i::,l":::"ο'τιz"r1 φιοιογνιυμιtιr τιυν uuu.Lρru 1ριil,ιoι,. Εrr.,j,,_
(ΙΙ.E.K. ι992).
Ay α'β.^' :
εxδοy1j τl7< l
l'tlt
:;{ει\ηlζ τoU Σχliιι '-ιlτοτε }l , τι.Ιι\'.'_'' δεv rινtjzεl --
_: :ι),-?] 6λdπει πQ(l: _
]: εΞCl) χαL τO /2' ισoUτ(Ιι.
ριε
τοι' Πρo6λ11μιιιτ. elτι l'('.f
' g) = 1
'l=()ανoι.f;'''Lιι1τιΙ αι]τα )it
. 1\' εδ(i] εiνιrι rl-
Ζc,(ι απoδει:ιr1 τoU Stoki'
".ιιlμο.61'1,1 11
_tιlr'o^1ιιl1i. |7,το()/.τoντιr: ιl ι, οιαγριiφη: .,,
l { ()a)\,()ιlυi. ,
τal: τ}l! εnΟll]:.rtr\'(,)ν. _Εzτε\'l _
,:,]ι". Τoιιoi,\
Aν cι:.3,^1 : ΛΙ * Ιlεzι\ι ι y.li τ tl c πιtat ι:τ,il,,,,
επιl'^i6ιιι:νo
TΑ KΛΑΣΙKΑ CjΕΩPH\Ι.\T.\ 1_]9
oEJΙ;:|::tσJoγ εαUτo lιαξ μιια μιχρη διiση xλα"oιxoυ σULι6oi.tσιιoι, .τι)ι,ιιιi"dει
5-7 Θειbqημα (Θειbqημα τoυ Greefl.(ΙιS) ,Εoτc,l Λt c R2 |'ιια (JL1ιι:τ(L^,/lj ;' διc}ια-('τστη Jτολλαπλδτητα-1ιε-σιiνoQ()' γπλθ!ro.ι , '":- -'ε[ναι ι\ιcιφυqιoιριε''. Τ6τε
)|ιε oτL oι σι)ναQτtiσειE cι' '):'11 _ f|
t αrl.ι. + '1j 11
Jι)\t D2α)ιΙl: ι d.y
dn\--litμ )
= [ ιυ'l-
= l/^,(#(Eδω η Λ[ {'γει "" ::::1J,1gl^οανατ,oλισρι6 χαι τo i)λ.Ι τον επαγoμεγo πQoσ(Ι_χJffff.ffυ! ιυE γγ(ι)στoν' υπαγoρευει t1 αντiθε.η ,ιuηo|-u*ιur, ,u,', δε:ιxτωγ
:t:::y; rtf:"δ,"; !';':;:|:,i'};'i περiπτιυoη τoυ Θεωqr1ριατog 5-5. αφo{
'8 Θειbρι1μα (Θειbqημα Aπoxλio^εωg). 'Εclτω
.Λ[ C R3 1ιιιι αιlμπαyljq τqιδιci-στ(ιτtl ;τι'λλα'ιλδτ11τcι'με-rτιiνιlqρ(l2'l) ;;' ; το .c)ιcινιlo1ιrιr,"li ,r|ai' ιττo 0ΛΙ ριεn(.ι') τυ ιι()ι'(((\ιαιo ,,::: ,,, ,\,iir,,,,,',r-
''.,,, ,n uρ,i .-τQ()ζ τ(ι ι':(υ. Aι, ι'ιναι F ι:ν,ιδ ι cιφ' ο q I o ι ριιl r\ ι α.ν.ι l cl 1ι cιτ ι x i π ε c\ ι ιl,l τ η λ Ι' i τ) τ ε
Aπoδειξη. oρiξoυιιε γ.ι::Ψ|η.υ
ιlτη,4-Ι βE] w, = FΙcΙ,yιclz+F'2cΙz^ι.L'l.+F.,cΙ.l', ι].ιlΤoτε '1*'- ιliv Γιll'. Σι;ttq,',vιt ιrι,τ. Θεu,ψι,,,-., n.',1.. i,i[ ;^|,in,,
ιΙ:τ:d. μ .
.f " '.ιl'i'ι: Fc|v { l-. lι > ,lA.
:,^:r:: δr"φ'ρiιlιμεq oιlναqτηoε:ιg, !γoι'1ιε τl1 l, ι:)'cιrlιzljσχε(Ιη ζ-'
1lιln + ,,2 'J + lι3^ 1,!S'
ll1d'Α = r],υ /,' ιΙz'n2r!Α - rΙz Λ τ],;ι: .
tι3r/Α=ι1'.l:Λr]'u.
=t
///^,(#. ,#.*)o, = ll,^,
Σ.τ.M.: Kιrι Εδιil ()2i,,o,,,,,,,, ,,.,
.\',',,z.ιll μιι(}r1μιιrτιzoc.l1 '11 ε7ιι τor, οι,νri(.}ιl πρoιrιιr,cιτιl/.to1.ιιj ιιlι τo i)l,l1 το'
140 oΛoKΛΗΡa'Η sΕ Πo \ \-\Π.\oΤΗTΕΣ
Eπoμ6νωg oτo cJi1 ε7ουμιε
ζ F.rl. > d-1= FΙnΙdΑ+ F2n2dA+ F3n3d'A
= FΙ dμ ι dz + F2dz ι dr + F3 d':r ι dμ_,]
Αqα. απ6 τo Θεωρημα 5-5 παiρνoυ1-ιε
/n,otuFdv = f- { F'rι > dA. I
5-9 Θειbρημα (Θειbqημα τoυ Stokes). 'Ε,ατοl Ι[ C R3 μια oυριπαyfig,νατολιoμlvη, διδιι1"oτατη πoλλαπλciτητα-με-oιiνoQ0 }lαL rι τιl πεδlcl oτt1 |ι-
n(r) τcl μclναδιαlo xιj"θετo διανιlclμα ριε φορα jτQoζ τα !ξω' 6πωq το xαθι'':o rτQοσανατoλιoμ1E τηg λΙ. Δεy6ριαoτε 6τι τo 0ΛΙ lyει τoν επαy1lμ€Υo iTQι
νατclλιoμ6. Ag ε[ναιΤ τo διcιν'ι'loματιx6 πεδlo oτo 0]\Ι με ds(T) =1' xα"ι Fc\ιcιφoqloιμo διανιloματιx6 πεδ[o oε ανoιxτ6 oιiνoλo που πεqιlyει τη Λ[. Τ'
<(v F.Τ > rΙs.
Aιlτi1 η oyloη μεqιx6q φoQiq γραφεται
l αrΙr+.3d μ + ld'- -J at r
Mπoqεtδυο πλε'
Συγεπιb
Eτοι, ι
ΣrF) Nαεγ6ζ ιε|γαι,\/.(l:ιασυμπταoητo oλ,
xαλεiI
ιrωl(13ι)
ioη με( 132)
(1 33)
ηλεπτ4Οε:ιορi
εν6q ι
Qιζ εξ
oπot
ηλεil(τct
τγlζ
o'= Ιon'= /,,n
r.F).n >(lA= / -
'J ;lιιI,
ll,l. (# #)."' (# -#)."' (# #)1,,
-
Aπoδειξη. oρiξoυμε τη μoaφη ω στη ,41 pιε ιυ = Flr]l:+ Fzdy + F3dz. E'πειδ,τo πεδio V x f 6xει ουνιoτιboεg D2F3 DsFz' D:F| - DΙF3' D1F2 D:Γπqoxυπτει, 6πω9 οτην απ6δειξη τoυ Θειυρηματog 5-8, 6τι οτt1 ,41 θ1oυμε
< (V x F),rι ) dA -(D2F3 - D3F2)du ι d'z
+ (DιF1 - D'F31d'z Λ d,r + (DlF2 D2F1)dr ι dμ
=d"t.
Aπ6 την αλλη. επειδη ds(T) = 1. oτo δΙ1 d1oυμε
ΤΙcΙs - dr'Τ1 ι'].s = r'Ι'μ
'Τ3 ι]s = r]::.
I, ,'i .c /ι cΙ!)
'-- ι]A. !
ι'ι rlυμπcιyfig, l,.'τιl πεδ[rl ιτττ1 -
'
'''' ril71ρg Trl χaθι''- -, 1' επ(Ιy1)μεy() :τa, Ι-:(T) =7 xcιι F.'t|-)ιι:'χει τη '|1. 1 _
,l .ξ
OJtL, -
-|,ΙιΙ + F3c'lz. Επε.:
) F3^ D1F2 _ D:Fli ll εχoυιιε
: - DrFl 1,lr /\ (l .,
TA KΛΑΣΙK-\ ιjΕΩΡΗi'i ]. . ]' ι-l1
{Mπoqεiτε γα ελ6γξετε τi1ν oρΘoτητα αυτιbγ τιυγ σχ6σειl)\'εφ(1Qιιι]:Ο\'τιι:7-c1ι τι:
ουo πiευρ6g oτo T(r). γtα rc € δ11, μια χαι. τo 7.(r:) ε;να.ι δciol. ^"ιιι τι]\'(a']/)r'.)
Συνεπιbg στo aΙl ισχιεt
< F'Τ } cΙs = FrT| ι1,s + F2T2c]s + f.3Ζ_'ι1s
= F1d,r + F2d'μ + F3 d7'
_ ψ',
Eτοι, απι1 τo Θειbρr1μα 5-5 παi.ρνoυμε
Ι^'.,' x F),rι > (ΙA= .[n
o'- /unuo
_ lon,<
F'T ) ds' .lΣτα Θειυρημιιιτα _5-8 ιαt 5-9 6αοiξoνται τα oγ6ι-ιατα div ]7 (απιixλιoη του
F) xαι curΙ F (oτρo6ιλιoμ69 τoυ F). Aγ εiγαι F(r) τo δ^ιανυoμα τα1υτητα.c
.uoq ρuuoroιi οτo r (xαπoια 1ρovιxη οτι"1μr1). τι1τε τo .[un, < F'rι > dA
εiναι η πooιiτητα τοι-l ρειlιlτoυ που "'απoxλιγει"(l30) απ6 τr1ν πoλλαπλoτr1τα,1/.(13ι)'Επoμ6νiυ-< η ουνθrjxη divf, =0 εxφρα-tει τo γεγ_oνog oτι τo ρειoτ6 εLναι
αoυμιπlεoτο. Αv η ,Δ-[ εiγαι 6να9 δiοxoE'(132) τιiτε τo Ιοι,l ' F'T ) μετρα την
ταoη τoυ ρευoτoυ να οτρo6ιλιοτε| γiριυ απ6 τo xiντρο του δiοzoυ. Αν αυτo
τo oλoxληρωμια εi.ναι 0 για oλoυg τoυq δ|oxoυg. τ6τε V x F = 0 xαι τo gευoτo
zαλε|ται αoτρ66ιλo.Αυτ6q οιtερμηνεiog ταlγ div F γ"αt curl F oφεlλoνται στoγ ,1**.11(t:'r) [13] .
l/,r \ lπ)l'''
ι13()) Σ.τ.M.: Δηλαδη εxρ1lει.(13l) Σ.τ.M.: Φ'ιloιια τι1 xρονιν'f ιrτι.1μη τοlν θειL-lρt1oι:ιilν μιιc (η πυινoτητα τιrυ ρειlιlτιlil λαμι[iανετιrι
i,lι1 με l )(]']2) :.τ.ιι., t'μημ., διδιrιοτιιτιlι'επιπl:ι\oιl με: zdντριl ουμμετρiιi<'(133) Σ.τ.M.: Jamcs C. MaxwelΙ (1831-1s79): Διαoημoc Αγγλog φυοιxoi-ιιr[)ηματιxo_<. ι:ιο'ιμρ1τr1g τη!
ηλεxτρoμιr.,,νητιι.r1g 0εolρi.cιg του φιυτ(rg. Σημιrντιzilc iπi.ιrηq υπllqξαν oι iρειlνi; τοι-r στα πλαloια τηg
εi.orριir<'"oru ,r.ρiuin. n, ir,,iι.q εi1αι,ιυ_-q απδτ(:λι,oμcι τιlν προιrι\ιοριιrpιo τoι' μιεooυ ι\ρ6μκlι τc'-lν μoρtωνεν1liαφi,oιl xαθιilg zαι. τoυ oυντελεoτη εοιυτεριz,rjc τρι6rjq των αε:ρi'olν'
' i; μαθηματιz"6 μoντελo τηg ηλεxτρoμα.,,νl1τιιηc Oεc,lρiαq απoτελε:i,τιlιι απιi τιg αxιi}'oυθεc τθooι:-
ρι-q εξιιrιboει.q (c εirιιι ι1 τα1i'τητιr τoυ φιrlτ6g):
(1) ιurΙ E =1aΒ-Γ (jτ
+;r 1 dD'"'Ι' _- . 1\ι'l1ιocτoι,Αmpeι')ι' r'df
(3) div D -'lπρ (εξioοlιτη oυνε7'εια-c)
(,1) ιliν -B - 0 (δεν ι,πιiρ7'ο1,ν μα.,,νητιxi:_< πι1.1i;).
6πoυ i- ε1r,cιι τo ηλι:zτριLil πεδiο. 11 τo μιιγνητιzo πιlι\1o. B η μιr.'1νr1τιxr1 επα^,'ιυ^,'r1. J η πιzr'6τ11τα
ηλεy'τQLχoi] ρεiμιατoq. 1) η ι\υ]λεxτριr'rj μετατoπιιrη χαL ρηπι'zγοτtlτα ιρoρτioιl.'oλιr αυτιi τα μεγi0η
(τιr πθντε: πριbτα ι\ιcινυιrμιιrτιz'1r) ι:iναι ιr'ι,γcrQτrlιτειζ τιΙ)ν τQιι;γ μετιιfiλr1τιον 1o1l xιi)ρoυ :ι:1 ,l:1 '13 xcl'ι
τη_< μετα6}"ητ11g τo'υ 1ρ6νoυ l.
oΛoKΛHPQΣΗ ΣΕ Πa) \-\-\Π-\ι]ΤΗΤΕΣ
Στην πραγμιατιz.oτητcι ο \Ιaιιι'e11 δουi"ειpε 1"ιε τo αντiΘετo τηζ div F τοον6μαοε, xατ'αναi,ο';'Lrl'ι'. oι1^,'z-)-ι.J,/ τoυ f-. Για τo πεδio V x F, €|xε τc,,''-'"1-ιε ;-ιεγαλr1 διoταzτιz'oτilτt/- τo\' ogo zεριorρoφη τoυ F' o ατυ1r'1g cιι'τ.':oδηγηoε οτη oυντμηοi1 rot -Γ τi1ι, oπoiα ουναντoυμιε αxoμη πoυ xαι πoi'.
Tα xλαoιxα θεωρημιατα cιυτr1q τηq παqαγqαφoυ διατυπιbνoνται σι'\'1]i :
πιo γενιxotg 69oυ9 απ' o.τι εδιb. Eπi, παραδεlγματι. τo Θειbρημιιι τοιιo1υει για τετqαγωνα χαt τo Θειilρημα Aπoxλloεωg ιo1υει για χιj6oυ(. Αl. -,:δio oυγxεxριμθνεg περιπτιi_lοει_< απOδειχγtoνται αν πQoσε^i/γιστεi τo τετ1'.'
{ o xυ6og μιε πoλλαπλ6'τητεg-1-ιε-oiνoρo. Mια εντεληg γεγιχευση τιυν Oεο.lρi' . -
αυτlig τηg παqαγqlαφου περνα pι6oα απo την 6ννoια τηq πoλλαπλoτr1τ' :'.1ων|εG' μια Α:-διαoτατr1 τ6τoια πoλλαπλ6τητα στoγ R'" εlναι 6γα υποοi'r'ιli.'R,' τo οπoi,o απoτελε:l τoπιxα' με πρoο6γγιο11 διαcρoqoμιlρφιoμoυ. μεQc':l?λ oqιoθετr]μ6γo(1:+) απo τμηματα (k - 1)-διαoτατωγ επιπ6διυγ. o ιριi.ιr)αναγνιboτηg xαλεlται να oρ|oει μιε αυoτηρ6 τρ6πo τt1ν 6ννι'lια τηg πoλλαπl.ιlτ, -
μιε-γωνiεg χαι να διεqευνtioει τo πιi.lg μιπoqoriν γα γεγιχευτoυγ τα αποτεi.ε..'6λoυ τoυ Kεφαλαioυ 5.
ΠPoRΛHMΑTA
5-34. Nιr γενιzευτεi τo Θειυρr1μα ιlπoxλiοεοlq στγlγ περ|πτιυoη μιαζ n-διιι,': _
πολλαπλ6τηταq-με-oυνoρο οτογ .R'.
5-35. Eφιrρμι6ξoντιrq τo .1ενιxι:υ1-ιi:νο Θειbqημια αποxλi.οεο;q oτη μπαλα ,\1 - {r: : R]r ζ α} χαι στo πεδio fl(r) = r:r;. 6Qε[τε .ou 6γXo τηg 57ι t = {rr e P"rι '. ,1' -6ιioει τoυ n-διαοτατoυ 6.1xoυ τηg μπαλα_< Βγ, ={r e R|ι'. lr < 1}.(Αυτoc ο,,".
. ), l''τ"' l
εiναι i,, ): σu o n ι'iναt αρτrοc. zαι ,.., r1...,, αν ο /i ι'iναι περιττοc.)
5-36. oqiξουμιε τo πε:δio F oτoγ ,R3 με F(r) = (Ο.O,1l3),,,.(l_]_5) y.o"L (J'Ξ εlγαι 'l1ιτυμπαγr!g. τριδιαιrτιrτη πoλλιrπλ(lτr1τιr-με-ιrυνιlριl. με,Λ1 c {ι: 13 < 0}. Mπορο.να ι:qμιηνευιrOUμι] τ() fl ωE τr1ν πQοζ τα xατοl πi,εoη εν6q qευοτοt πυzr,οτtl-i' περιε1οpι6νoι στo {:r : r] < 0}. Mια xαι iνιr ρευιττ6 ιrιrNεi iιrη πiι:ιll1 r,.'ιiλεq τιg xατευOυνoειg, oρiξoυμε την ανιυoη πoυ δ61εται η πολλαπλoτητα -11. .
αιτiαg τιlυ ρευιlτιlυ. αlq '[un, < F.ll, } rlΑ. Απoδεi,ξτε: τo αxoλουΘo'. Θt:ιbqη'(Aρyιμjδηg(\36)). H ανοlοη πιlυ δ61εται η πιrλλιrπλιiτητιr,Λ1 ιoουται με το 6ιι9.τιlυ ρευιlτιlυ πιlυ εzτoπiξεται clπo τη ,Λ1.
(131) Σ.τ.M.: Mεριzιilg ιlριοθετημιl:ι'ο.(135) Σ.τ.M.: i, ) 0.
(136) Σ.τ.M.: Aρ1ι1ι11δt]: ο !ι'υιι;,.clι'ιlιο: (]S7 212 τ.Χ.): o μi^,,ιoτoq φι-loιxoμιιΘηpιιιτιx6g τt']g clρ7'crι
oτητcιg z,αι απo τoι; μι:',,ιι7.ι'τεqlιlι': ιl).1 l\'τ(,)\'ετο7ιilι,. Ενδιαφερoντα ιττιlι1εi.ιr "7rιr τl1 ξιor1 xιrι τιiq.,,o τιlυ μπιlρεi ι,cr ιlρει zr'rc: ]]-ι :τ1_\l lτι) Ζtl1(ι/lιιo του Α/ τ6pιoιl τoιl ερ.1oιr του E.T. BcΙΙ ''()ι
μιιr0ημιιrτιιιli". (Π.E.K. 19ι)] 1.
3. Ce
-+- ιt5. Di
6. Fι
7.G
8.Η9.Ε10. l11. l12. Ι
1
13. i
1.1. l
15. Ι
l
ι6.
ι1.
fril E|fi iβffi[ |iitr iiI iEHI iffi iiθiE iiι ΗιEg7ξ9rO73n(t61,:
€l&ΦΣ; 2laftΦ{}ι0"i'l
.' ι.] ]
ioΓ Σλ1;i Ιι .]a]'Λ:Φ']'.\ι]] l]Tιi:i r"r,l i
