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Série N°(3) : flexion simple à l’ELU - section rectangulaire -
Exercice N°(1) :
Soit à déterminer à l’ELU, les sections d’armatures à placer dans la section rectangulaire ci-contre
réalisée en béton armé de résistance à la compression à 28 jours fc28 = 25 MPa, armée par des aciers
HA feE500 (type I) et soumise successivement aux valeurs du moment fléchissant suivantes :
0.193 ; 0.284 et 0.530 MN.m.
Exercice N°(2) :
Soit une poutre simplement appuyée avec console en béton armé de section rectangulaire, soumise à
une combinaison d’actions permanente et d’exploitation comme le montre la figure ci-contre, on vous
demande de calculer le ferraillage longitudinal de cette poutre à l’E.L.U avec schéma de ferraillage
correspondant.
Données :
G = 40 KN/m. Q = 32 KN/m.
G1 = 30 KN/m. Q1 = 30 KN/m.
G2 = 54 KN. Q2 = 46 KN.
Béton :
fc28 = 30 MPa
Acier :
Fe E500 (Type I).
Université Larbi Ben M’Hidi de Oum El Bouaghi
Faculté des Sciences et des sciences appliquées
Département de Génie Civil
3ème
année Licence Génie Civil
Année universitaire : 2019 – 2020
Module : Béton armé II
60 cm
30 cm
55
5
As
50
30
55 cm
Coupe 1-1
As
40
30
45 cm
Coupe 2-2
Q1 G1
5,00 m
Q
G
2,00 m
Q2
G2
A B
1
1
2
2
Q1
Solutions :
Exercice N° (1) :
Paramètres de calcul
b = 0.3 m ; h = 0.6 m ; d = 0.55 m ; d’= 0.05 m
fc28 = 25 MPa ; fbu = 14.2 MPa ; fe = 500 MPa
l = 500/200x1.15 = 2.174 ‰
l = 3.5/(3.5+2.174) = 0.6168
l = 0.8 x 0.6168(1-0.4 x 0.6168) = 0.371
sc = fe/1.15 = 500/1.15 = 435 MPa
N01 N
02 N
03
Mu (MN.m) 0.193 0.284 0.530
= Mu/b.d².fbu 0.150 0.220 0.411
Cas 0.186
Pivot A
0.186 l
Pivot B sans Asc
l
Pivot B avec Asc
0.200 0.314 l = 0.617
Z 0.506 m 0.480 0.414
Ast 8.80 cm² 13.58 cm² 28.94 cm²
Asc 2.39 cm²
Choix de barres 6T14 (9,24 cm2) 7T16 (14,07 cm
2) 5T16 + 4T25 (29,69 cm
2)
3T12 (3,39 cm2)
Exercice N°(2) :
1. Calcul des efforts internes :
qu = 1,35G + 1,50Q = 1,35x40 + 1,50x32
→ qu = 102 KN/m
qu1 = 1,35G1 + 1,50Q1 = 1,35x30 + 1,50x30
→ qu1 = 85,5 KN/m
Pu = 1,35G2 + 1,50Q2 = 1,35x54 + 1,50x46
→ Pu = 141,9 KN
Au niveau de cette poutre, on a deux sections dangereuses :
Section N°1 : au niveau de la travée :
Réaction : VA =
l
lP
l
lqlq uuu 1
2
11
22
ELU : VA= 164,04 KN
Le moment à une distance x de l’appui A, a pour expression : 2
)(2xq
xVxM u
A
ELU : x0 = 1,61 m → max
UM 131,91 KN.m > 0
Q1
5,00 m
Q
G G1
2,00 m
Q2
G2
A B
Section N°2 : sur appui, au niveau de l’encastrement de la console (à x = 2,00 m),
Mmax = 1
211 Pl
2
lq < 0
Mu= 454,8 KN.m
2. calcul du ferraillage longitudinal à l’ELU :
MPa 1785,0
28 bu
b
c
bu ff
f
s = 15,1
500
s
fe
= 434,78 MPa
Section N°1 : Mu = 131,91 KN.m (M > 0 → partie tendue en bas)
Le moment reduit :
103,017)50(30
1091,131
² 2
3
buo
u
fdb
M
< 0.186 pivot A s = 10 % s = MPafe
s
78,43415,1
500
136,0 )21(125,1
28,474,01 cmdZ
Donc, la quantité d’armature tendue sera égale à :
2 42,6 cm
Z
MA
s
u
s
CCoonnddiittiioonn ddee nnoonn ffrraaggiilliittéé ::
228
min 66,123,0
cmf
dfbAA
e
to
s Avec ; ft28 = 0.6 + 0.06fc28 = 2,4 MPa
Condition vérifiée.
Dispositions Constructives :
L’armature inférieure : Aadoptée = AS (6T12) = 6,79 cm2
L’armature supérieure (de montage) : A’s (3T12) = 3,39 cm2
Section N°2 : Mu = 454,8 KN.m (M < 0 → partie tendue en haut)
Le moment reduit :
557,017)40(30
108,454
² 2
3
buo
u
fdb
M
> 0.186 pivot B on calcule μl = 0,8αl(1 – 0,4αl)
D’après le théorème des triangles semblables, on a : l00
0
000
l5,3
5,3
et l = 510215,1
500
xxE
fe
ss
= 2,17 x 10-3 = 2,17 ‰
αl = 0,617
μl = 0,372
On remarque que μ = 0,557 > μl = 0,372 section doublement armée (As’≠ 0)
Moment absorbé par le béton seul :
Ml = μl b d2 fbu = 0,372 x 30 x 40
2 x 17
Ml = 303552 N.m = 303,552 KN.m
Donc ; la section d’armature tendue sera égale à :
78,434)540(
10)552,3038,454(
78,43440753,0
10552,303
753.0617.04,014,01)(
33
'
x
xx
xA
xavecdd
MM
d
MA
s
ll
s
lu
sl
l
s
As = 23,18 + 9,94 As = 33,12 cm2
Et la section d’armature comprimée sera égale à :
D’après le théorème des triangles semblables, on a :
617,0
)40
5617,0(5.3)(5,3
'
000
'
xd
d
l
l
s
s’= 2,79 ‰ > l = 2,17 ‰ σs
’= MPa
fe
s
78,43415,1
500
78,434)540(
10)552,3038,454( 3'
x
xAs
As’ = 9,94 cm
2
CCoonnddiittiioonn ddee nnoonn ffrraaggiilliittéé ::
228
min 32,123,0
cmf
dfbAA
e
to
s Avec ; ft28 = 0.6 + 0.06fc28 = 2,4 MPa
Dispositions Constructives :
L’armature supérieure : Aadoptée = AS(7T25) = 34,36cm2
L’armature inférieure : A’s (9T12) = 10,18 cm2
''
'
)( s
lus
dd
MMA
55 cm
30 cm
6T12
3T12
(Cadre + étrier)T8
45 cm
30 cm
9T12
7T25
(Cadre + étrier)T8
Série N°(4) : flexion simple à l’ELU - section en Té -
Exercice N° (1) :
Déterminer les armatures à l’E.L.U.R de la section en BA sous forme de T, montrée sur la
figure ci-dessous sollicitée en flexion simple et dont les caractéristiques sont les suivantes :
Matériaux :
béton : fc28 = 16 MPa.
acier : HA fe = 400 MPa (type 1);
Moment appliqué : Mu = 370 000 N.m
Exercice N° (2 :
Déterminer les armatures à l’E.L.U.R de la même section en BA sous forme de T, donnée dans
l’exercice N°1 sollicitée en flexion simple et dont les caractéristiques des matériaux restent
inchangeables Moment appliqué : Mu = 640 000 N.m
Exercice N°(3) :
Soit une poutre console en béton armé de 2 m de portée et de section en Té, soumise à une
combinaison d’actions permanente et d’exploitation comme le montre la figure ci-contre.
On vous demande de calculer le ferraillage longitudinal de cette console à l’E.L.U. et de vérifier les
contraintes à l’E.L.S. si la fissuration est non préjudiciable.
Données :
G = 25 KN/m.
Q = 20 KN/m.
Béton :
fc28 = 20 MPa
Acier :
Fe E400 (Type I)
Université Larbi Ben M’Hidi de Oum El Bouaghi
Faculté des Sciences et des sciences appliquées
Département de Génie Civil
3ème
année Licence Génie Civil
Année universitaire : 2019 – 2020
Module : Béton armé II
As
8
54
20
96
12
45
20
80 cm
55 cm
2 m
Q G
Solutions :
Exercice N°(1) :
1. calcul du ferraillage longitudinal à l’ELU :
MPa 07,985,0
28 bu
b
c
bu ff
f
Position de l’AN :
MT = fbu . bh0.(d – h0/2) = 9,07 x 96 x 8 (54 – 4) x 10-3 → MT = 348,288 KN.m
On remarque que Mu = 370 KN.m > MT = 348,288 KN.m → l’AN est dans la nervure et le calcul se
fait pour une section en Té.
Moment developpé par les débords : Md = fbu . (b – b0).h0.(d – h0/2)
Md = 9,07 x (96 – 20) x 8 (54 – 4) x 10-3 → Md = 275,728 KN.m
Moment developpé par la nervure : Mn = Mu – Md = 370 – 275,728
→ Mn = 94,272 KN.m
Le moment reduit :
178,007,9)54(20
10272,94
² 2
3
0
bu
n
fdb
M
< 0.186 pivot A s = 10 ‰ s = 15,1
400
s
fe
= 347,83 MPa
247,0 )21(125,1
901,04,01
Donc, la quantité d’armature tendue sera égale à :
83,34754901,0
10272,94
83,347)2
854(
10728,275
)2
(
33
0
xx
x
x
xA
d
M
hd
MA
s
s
n
s
d
s
2 42,21 cmAs
CCoonnddiittiioonn ddee nnoonn ffrraaggiilliittéé ::
2280
min 97,023,0
cmf
dfbAA
e
t
s Avec ; ft28 = 0.6 + 0.06fc28 = 1,56 MPa Condition
vérifiée
Donc, l’armature inférieure : Aadoptée(7T20) = 21,99 cm2
l’armature supérieure (armature de montage) : A’s (3T12) = 3,39 cm2
Exercice N°(2) :
Calcul du ferraillage longitudinal à l’ELU :
MPa 07,985,0
28 bu
b
c
bu ff
f
Position de l’AN :
MT = fbu . bh0.(d – h0/2) = 9,07 x 96 x 8 (54 – 4) x 10-3
→ MT = 348,288 KN.m
On remarque que Mu = 640 KN.m > MT = 348,288 KN.m → l’AN est dans la nervure et le calcul se
fait pour une section en Té.
Moment developpé par les débords : Md = fbu . (b – b0).h0.(d – h0/2)
Md = 9,07 x (96 – 20) x 8 (54 – 4) x 10-3 → Md = 275,728 KN.m
Moment developpé par la nervure : Mn = Mu – Md = 640 – 275,728
→ Mn = 364,272 KN.m
Le moment reduit :
689,007,9)54(20
10272,364
² 2
3
0
bu
n
fdb
M
60 cm
20 cm
7T20
3T12
(Cadre + étrier)T8
96 cm
8
> 0.186 pivot B on calcule μl = 0,8αl(1 – 0,4αl)
D’après le théorème des triangles semblables, on a :
l000
000
l5,3
5,3
et l = 5
ss 10x2x15,1
400
E
fe
= 1,74 x 10
-3 = 1,74 ‰
αl = 0,668 μl = 0,392
On remarque que μ = 0,689 > μl = 0,392 section doublement armée (As’≠ 0)
Moment absorbé par le béton seul :
Ml = μl b0 d2 fbu = 0,392 x 20 x 54
2 x 9,07
Ml = 207353 N.m = 207,353 KN.m
Donc la section d’armature comprimée sera égale à :
D’après le théorème des triangles semblables, on a : 668,0
)54
6668,0(5.3)(5,3
'
000
'
xd
d
l
l
s
s’= 3,01 ‰ > l = 1,74 ‰ σs
’= MPa
fe
s
83,34715,1
400
2
3' 4,9
83,347)654(
10)353,207272,364(cm
x
xAs
Et la section d’armature tendue sera égale à :
83,347)654(
10)353,207272,364(
83,34754733,0
10353,207
83,347)2
854(
10728,275
733.0668.04,014,01)(
)2
(
333
'0
x
xx
x
x
xA
xavecdd
MM
d
M
hd
MA
s
ll
s
ln
sl
l
s
d
s
As = 15,85 + 15,06 + 9,40 As = 40,31 cm2
CCoonnddiittiioonn ddee nnoonn ffrraaggiilliittéé ::
2280
min 97,023,0
cmf
dfbAA
e
t
s Avec ; ft28 = 0.6 + 0.06fc28 = 1,56 MPa Condition
vérifiée.
's
'ln'
s)dd(
MMA
Donc, l’armature inférieure : Aadoptée(13T20) = 40,84 cm2
l’armature supérieure (armature de montage) : A’s (3T20) = 9,42 cm2
Exercice N°(3) :
1. Calcul des efforts internes :
qu = 1,35G + 1,50Q
= 1,35x25 + 1.5x20
qu = 63,75 KN/m
qser = G + Q = 25 + 20
qser = 45 KN/m
à x = 0 m (section d’encastrement) → Mmax
=
2
2
q l et
Mu = - 127,5 KN.m
Mser = - 90 KN.m
Puisque le moment M < 0, les fibres tendues dans la section en Té seront en haut par rapport à l’A.N.
et les fibres comprimées seront en bas donc la forme en Té sera dans la partie tendue qui est selon les
hypothèses du BAEL à l’ELU négligée → le calcul se fait pour une section rectangulaire (b0 x d)
2. Calcul du ferraillage longitudinal à l’ELU :
280,8511,33 MPac
bu bu
b
ff f
Le moment reduit :
3
2
0
127,5.100,225
² 20 (50) 11,33bu
Mu
b d f
60 cm
20 cm
13T20
3T20
(Cadre + étrier)T8
96 cm
8
As
AN
b0
M < 0
d
Partie comprimée du
béton
> 0.186 pivot B on calcule μl = 0,8αl(1 – 0,4αl)
D’après le théorème des triangles semblables, on a :
l000
000
l5,3
5,3
et l = 5
400
1,15 2 10s s
fe
E x x = 1,74 x 10
-3 = 1,74 ‰
αl = 0,668 μl = 0,392
On remarque que μ = 0,225 < μl = 0,392 section simplement armée (As’= 0)
s = 15,1
400fe
s
= 347,83 Mpa
1,25 1 (1 2 ) 0,323
1 0,4 43.55 Z d cm
28,42 U
s
s
MA cm
Z
CCoonnddiittiioonn ddee nnoonn ffrraaggiilliittéé ::
20 28min
0,231,04 t
s
e
b dfA A cm
f
Avec ; ft28 = 0.6 + 0.06fc28 = 1,8 MPa
Dispositions constructives :
L’armature supérieure :
Aadoptée(6T14) = 9,24cm2
L’armature inférieure : montage
A’s (3T12) = 3,39 cm2
55 cm
20 cm
3T12
6T14
(Cadre + étrier)T8
80 cm
12
3. vérification des contraintes à l’ELS :
Mser = 90 KN.m et As = 9,24 cm2
Puisque la fissuration est peu préjudiciable, il faut vérifier la condition : bc 0.6 fc28 = 12 MPa
Position de l’AN:
0)yd(A15yb2
1s
2 210 138,6 6930 0y y
544,44 y = 20,29 cm
Moment d’inertie :
)yd(A153
byI 2
s
3
I = 178 027,15 cm
4
6
4
90 10 20,29 10
178027,15 10bc
x x x
x = 10,26 MPa < 12 MPa (condition vérifiée)
6
4
( ) 15 90 10 (50 20,29) 10225,3
178027,15 10
serst
n M d yMPa
I
Série N°(5) : flexion simple à l’ELS
Exercice N°(1) :
Vérifiez l'état limite service pour une section (25 × 50) sollicitée par un moment de flexion à l'E.L.S
Mser = 0,2 MN.m. avec fc28 = 25 MPa et FeE400 ; d' = 5 cm ;
Ast = 6T25 = 29,45 cm² ; Asc = 3T12 = 3,39 cm²
Fissuration préjudiciable.
Exercice N°(2) :
Vérifiez l'état limite de service pour une section en Té dont les dimensions
sont représentées ci-dessous, sollicitée par un moment de flexion
à l'E.L.S Mser = 520,625 KN.m.
fc28 = 28 MPa et FeE 400 (type I) ;
As = 36,06 cm² ;
Fissuration non préjudiciable.
Exercice N°(3) :
Soit une section rectangulaire en béton armé, soumise à un moment de flexion à l’ELU : MU = 306
KN.m et à l’ELS : Mser = 217,5 KN.m comme le montre la figure ci-contre, on vous demande de :
Calculer le ferraillage longitudinal à l’E.L.U.
Vérifier les contraintes à l’E.L.S. si la fissuration est nuisible.
Recalculer le ferraillage longitudinal à l’E.L.S. si les contraintes ne vérifient pas.
faire le schéma de ferraillage correspondant.
Béton : fc28 = 28 MPa Acier : Fe E400 (Type I)
Exercice N°(4) ;
Soit une section rectangulaire en béton armé, soumise à un moment de flexion à l’ELU :
MU = 0,364 MN.m et Mser = 0,251 MN.m comme le montre la figure ci-contre, on demande de :
Calculer le ferraillage longitudinal à l’Etat Limite Ultime (E.L.U.) et de faire le schéma de
ferraillage correspondant.
Vérifier les contraintes à l’E.L.S. si la fissuration est nuisible.
Recalculer les armatures si les contraintes ne sont pas vérifiées.
Béton : Acier :
fc28 = 20 MPa Fe E400 (Type I)
Université Larbi Ben M’Hidi de Oum El Bouaghi
Faculté des Sciences et des sciences appliquées
Département de Génie Civil
3ème
année Licence Génie Civil
Année universitaire : 2019 – 2020
Module : Béton armé II
As
8
65
30
75 cm
70 cm
As
60
54
30
30
70
65
Solutions :
Exercice N°(1) :
Il faut vérifier les deux conditions :
1).bc 0.6 fc28 = 15 MPa
2).st st
Position de l’AN:
2 '30 ( ') 30 ( ) 0 s sby A y d A d y 225 15 3.39( 5) 15 29.45(45 ) 0y x y y
225 985,2 40265 0y y
2235,45
y = 25,01 cm
Moment d’inertie :
3' 2 215 ( ') 15 ( )
3s s
byI A y d A d y
I = 327 248,34 cm
4
9
4
0,2 10 25,01 10
327248,34 10bc
x x x
x = 15,3 MPa > 15 MPa (non vérifiée)
La contrainte de traction dans les aciers:
9
4
( ) 15 0,2 10 (45 25,01) 10183,25
327248,34 10
serst
n M d yMPa
I
Puisque la fissuration est nuisible 28
2min , 110
3s tfe f
f t28 = 0.6 + 0.06fc28 = 2.1 MPa = 1,6 (acier à haute adhérence).
min 266,66 ; 201,63 201,63MPa.s
183,25 201,63sst MPa MPa condition vérifiée
La contrainte de compression dans les aciers:
9
4
( ') 15 0,2 10 (25,01 5) 10183,44
327248,34 10
sersc
n M y dMPa
I
Exercice N°(2) :
Vérification des contraintes à l’ELS :
Mser = 520,625 KN.m et As = 36,06 cm2
Position de l’AN:
0)yd(A15by2
1s
2 0)y65(06,3615y5,37 2
05,35158y9,540y5,37 2 31,2359
y = 24,25 cm > h0 = 8 cm L’AN est dans la nervure
As
8
65
30
75 cm
70 cm
L’équilibre des moments statiques : 0)yd(A15)2
hy(h)bb(yb
2
1s
000
20
05,36598y9,900y15 2 22,1734 y = 27,78 cm
Moment d’inertie :
)yd(A153
)hy)(bb(
3
byI 2
s
300
3
I = 1 169 206,1 cm
4
1) La contrainte de compression dans le béton :
I
y.Mserbc
4
6
10x1,1169206
10x78,27x10x625,520 = 12,37 MPa 0,6fc28 = 16,8 MPa (vérifiée)
2) La contrainte de traction dans les aciers:
MPa 6,248101,1169206
10)78,2765(10625,52015
I
)yd(M n
4
6ser
st
Puisque la fissuration est peu nuisible, il n’ya pas de limitation de la contrainte st
Exercice N°(3) :
1. calcul du ferraillage longitudinal à l’ELU : Mu= 306 KN.m
MPa 87,15ff85,0
f bub
28cbu
s = 15,1
400fe
s
= 347,83 MPa
Le moment reduit :
152,087,15)65(30
10306
f²db
M
2
3
buo
u
< 0.186 pivot A s = 10 s = s
fe
207,0 )21(125,1
cm 62,594,01dZ
2
s
us cm 76,14
Z
MA
CCoonnddiittiioonn ddee nnoonn ffrraaggiilliittéé ::
2
e
28tomins cm 56,2
f
dfb23,0AA Avec ; ft28 = 0.6 + 0.06fc28 = 2,28 MPa Condition
vérifiée.
2. vérification des contraintes à l’ELS : Mser = 217,5 KN.m et As = 14,76 cm2
Position de l’AN:
0)yd(A15yb2
1s
20
215 221,4 14391 0y y
955,24 y = 24,46 cm
Moment d’inertie :
)yd(A153
ybI 2
s
30 I = 510 211,16
cm
4
a) La contrainte de compression dans le béton :
6
4
217,5 10 24,46 10
510211,16 10bc
x x x
x = 10,43 MPa < 16,8 MPa (vérifiée)
b) La contrainte de traction dans les aciers: 6
4
( ) 15 217,5 10 (65 24,46) 10259,23
510211,16 10
serst
n M d yMPa
I
Puisque la fissuration est nuisible, il faut que :
st
28ts f110 , fe3
2min min 266,67 , 210,1 210,1 MPa.
On remarque que st = 259, 23 MPa > s 210,1 MPa. Il faut recalculer le ferraillage à l’E.L.S.
3. Recalculer As à l’ELS :
Calcul de αs en utilisant la méthode analytique :
On calcule λ = 1 + (30 Mser/(bd2 σs)) = 1,245
puis cos φ = λ-3/2
= 0,720 φ = 43,95° ;
On trouve αs = 1 + 2√ λ .cos (240° + φ /3) =0,409.
Calcul de αs en utilisant l’abaque:
On calcule
3
22
15 217,5 100,123
30 65 210,1
ser
s
nM x x
x xbd
et de l’abaque, on tire αs = 0,41
Et ensuite on calcule
32217,5 10
18,450.41
65 210,1(1 )(1 )33
serS
ss
M xA cm
xd
Vérification de la contrainte dans le béton :
210,1 0,419,73
(1 ) 15(1 0.41)
s sbc
s
xMPa
n
16,8 MPa
4. Dispositions Constructives :
L’armature inférieure :
Aadopt = AS(6T20) = 18,85 cm2
L’armature supérieure (de montage) :
A’sadopt (3T12) = 3,39 cm2
70 cm
30 cm
3T12
6T20
(Cadre + étrier)T8
Exercice N°(4) :
1. calcul du ferraillage longitudinal à l’ELU :
MPa 33,1185,0
28 bu
b
c
bu ff
f
Le moment reduit :
367,033,11)54(30
10.364,0
² 2
6
bufbd
Mu
> 0.186 pivot B on calcule μl = 0,8αl(1 – 0,4αl)
D’après le théorème des triangles semblables, on a : l00
0
000
l5,3
5,3
et l = 510215,1
400
xxE
fe
ss
= 1,74 x 10-3
= 1,74 ‰
αl = 0,668 μl = 0,392
On remarque que μ = 0,367 < μl = 0,392 section simplement armée (As’ = 0) s > l
s = 15,1
400
s
fe
= 347,83 MPa
605,0 )21(125,1
758,04,01
Donc, la quantité d’armature tendue sera égale à :
83,34754758,0
10364,0
6
xx
x
d
MA
s
u
s
→ 2 57,25 cmAs
CCoonnddiittiioonn ddee nnoonn ffrraaggiilliittéé ::
228
min 68,123,0
cmf
bdfAA
e
t
s Avec ; ft28 = 0.6 + 0.06fc28 = 1,8 MPa Condition
vérifiée.
Dispositions constructives :
L’armature inférieure :
Aadoptée(5T20 + 5T16) = 15,71 + 10,05 = 25,76 cm2
L’armature supérieure : (montage)
A’s (3T12) = 3,39 cm2
60 cm
30 cm
5T20 + 5T16
3T12
(Cadre + étrier)T8
2. Vérification des contraintes à l’ELS :
Mser = 0.251 MN.m
Position de l’AN:
0)(152
1 2 ydAby s06,208654,38615 2 yy
74,1183
y = 26,58 cm
Moment d’inertie :
)(153
23
ydAby
I s
I = 478 304,06 cm
4
a) La contrainte de compression dans le béton :
4
9
1006,478304
1058,2610251,0
x
xxx
I
yM ser
bc = 13,95 MPa > 286,0 cb f = 12 MPa (non vérifiée)
Il faut augmenter les dimensions de coffrage de la section ou introduire des aciers comprimés
b) La contrainte de traction dans les aciers:
Fissuration nuisible
28ts f011 , fe3
2min
= 1,6 (acier à haute adhérence).
min 266,66 ; 186,68 186,68MPa.s
9
4
( ) 15 0,251 10 (54 26,58) 10215,84 186,68MPa
478304,06 10
serst s
n M d yMPa
I
(non
vérifiée)
Il faut recalculer le ferraillage à l’E.L.S.
3. Recalculer le ferraillage à l’ELS :
La position limite de l’axe neutre : 15 15 12
0,49115 12 186,6815
s bcs
bc st
y x
d x
Le moment résistant béton, Mrb,:
2 (1 )2 3
bc srb sM b d
= 215,536 KN.m
On remarque que Mser = 251 KN.m > Mrb = 215,536 KN.m section doublement armée (A’s ≠ 0).
Donc, la quantité d’armature tendue sera égale à :
As =
= 29,53 cm
2
Et la quantité d’armature comprimée sera égale à :
sc
rbser
dd
MMA
s
)( '
' avec ;
'15 ( )bc s
sc
s
d
d
= 139,26 MPa
A’s = 5,31 cm2
Dispositions constructives :
L’armature supérieure comprimée :
A’adoptée(3T16) = 6,03 cm2
L’armature inférieure tendue :
Aadoptée(6T20 + 6T16) = 18,85 + 12,06 = 30,91 cm2
60 cm
30 cm
6T20 + 6T16
3T16
(Cadre + étrier)T8