SSC Inmultire 2

nmulireanmulirea prin deplasare i adunare

Tehnica Booth

nmulirea ntr-o baz superioar

nmulirea matriceal

Arborele Wallace

Circuite de nmulire pipeline

16.03.2015 1Structura sistemelor de calcul (02-3)

Se examineaz mai muli bii ai nmulitorului Y n fiecare pas crete viteza operaiei

nmulire n baza 4: sunt examinai 2 bii 00: nu se execut adunare

01: se adun X la produsul parial

10: se adun 2X la produsul parial

11: se adun X + 2X la produsul parial

Calculul X + 2X poate fi evitat prin utilizarea tehnicii Booth n baza 4


y2i+1 y2i y2i-1 Operaii

0 0 0 Deplasare la dreapta cu dou poziii

0 0 1 Adunare X, deplasare la dreapta cu dou poziii

0 1 0 Adunare X, deplasare la dreapta cu dou poziii

0 1 1 Adunare 2X, deplasare la dreapta cu dou poziii

1 0 0 Adunare -2X, deplasare la dreapta cu dou poziii

1 0 1 Adunare -X, deplasare la dreapta cu dou poziii

1 1 0 Adunare -X, deplasare la dreapta cu dou poziii

1 1 1 Deplasare la dreapta cu dou poziii


Un alt nume al tehnicii Booth n baza 4: nmulirea cu triplei suprapui

Registrul A trebuie s aib o poziie suplimentar

Avantaj suplimentar: metoda poate fi utilizat pentru numere fr semn i pentru numere cu semn reprezentate n C2

Versiunea n baza 8 a tehnicii Booth: trebuie s se genereze valoarea 3X



Tehnica Booth


nmulirea matriceal

Arborele Wallace



Progresele VLSI au permis realizarea unor circuite combinaionale de nmulire

Logic suplimentar care permite calculul produsului ntr-un pas Matrice de elemente combinaionale simple adunare, deplasare

Considerm nmulirea a dou numere binare ntregi fr semn:

X = xn -1x1x0Y = yn -1y1y0


Produsul P se poate scrie:

sau:

Fiecare termen produs de 1 bit xiyj se poate calcula cu ajutorul unei pori I


1

0

1

0

22n

j

j

jn

i

i

i yxYXP

1

0

1

0

22n

i

n

j

j

ji

i yxP

O matrice de n n pori I poate calcula toi termenii xiyj simultan

Termenii sunt nsumai cu o matrice den(n-1) sumatoare elementare

Circuitul rezultat este similar cu un sumator bidimensional cu transport succesiv

Deplasrile implicate de factorii 2i i 2j sunt implementate prin deplasarea spaial a sumatoarelor pe direcia x i y


Exemplu: nmulirea a dou numere de cte 4 bii, X = x3x2x1x0 , Y = y3y2y1y0


x3 x2 x1 x0

y3 y2 y1 y00 0 0 0 x3y0 x2y0 x1y0 x0y00 0 0 x3y1 x2y1 x1y1 x0y1 0

0 0 x3y2 x2y2 x1y2 x0y2 0 0

0 x3y3 x2y3 x1y3 x0y3 0 0 0

P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0

Biii produsului final:P0 = x0y0P1 = x1y0 + x0y1P2 = x2y0 + x1y1 + x0y2P3 = x3y0 + x2y1 + x1y2 + x0y3P4 = x3y1 + x2y2 + x1y3P5 = x3y2 + x2y3P6 = x3y3


Funcia de adunare i funcia I logic pot fi combinate ntr-o singur celul M

16.03.2015 Structura sistemelor de calcul (02-3) 12

Celula implementeaz expresia aritmetic:Tout S = a plus xy plus Tin

La intrarea a se conecteaz un bit al produsului parial din linia precedentUn circuit de nmulire de n n bii poate fi realizat utiliznd n2 celule de acest tip

Unele celule vor avea intrrile setate la 0

Avantaj: structur uniform permite implementarea ntr-un circuit VLSI


Pentru creterea vitezei se pot utiliza sumatoare cu salvarea transportului (SST)

Propagarea transportului ntre sumatoarele elementare din acelai rnd este eliminat

Propagarea transportului este amnat pnla ultimul etaj al circuitului

Exemplu: Circuit de nmulire matricealpentru numere de cte 8 bii care utilizeaz SST


Circuitul anterior este practic pentru valori moderate ale lui nPentru valori mari ale lui n, este necesar un numr mare de sumatoare SST Sumatorul poate fi partiionat n ksegmente de cte m bii fiecare

Sunt generate doar m produse pariale Procesul este repetat de k ori

Exemplu: Structur cu dou treceri



Tehnica Booth


nmulirea matriceal

Arborele Wallace



nmulirea a dou numere de cte n bii necesit adunarea a n produse pariale

Circuitele de nmulire anterioare executnmulirea ntr-un timp O (n)

Timpul poate fi redus la O (log n) prin utilizarea unui arbore

Arborele cel mai simplu: combin perechi de produse pariale numrul produselor pariale ar fi redus de la n la n/2


Arborele binar nu poate fi implementat utiliznd sumatoare elementare

C. S. Wallace a artat c produsele pariale pot fi adunate mai rapid utiliznd nivele multiple de SST arbore Wallace

n fiecare nivel al arborelui, numerele sunt grupate cte trei

Se utilizeaz cte un SST pentru adunarea numerelor din fiecare grup


Procesul continu pn cnd rmn numai dou numere de adunat

Pentru adunarea lor se utilizeaz un SPT

Fiecare nivel reduce numrul termenilor care trebuie adunai cu un factor de 1,5 O (log1,5 n)

Exemplu: Schema bloc pentru nmulirea a dou numere de cte 8 bii


Metoda arborelui Wallace poate fi combinat cu alte metode pentru creterea vitezeiArbore Wallace combinat cu tehnica Booth

Tehnica Booth este utilizat pentru a genera produsele parialeSe utilizeaz un arbore Wallace pentru adunarea produselor pariale

Exemplu: nmulirea a dou numere de cte 8 bii (arbore Wallace + tehnica Booth)



Tehnica Booth


nmulirea matriceal

Arborele Wallace



Operaiile aritmetice pot fi implementate printr-un sistem pipeline

Tehnica pipelineUtilizeaz paralelismul

Se suprapun etapele de execuie ale unei operaii aritmetice

Fiecare etap este executat de un etaj al sistemului pipeline

Etaj: registru + circuit de prelucrare


Considerm nmulirea a dou numere ntregi de n bii X = xn-1xn-2x0, Y = yn-1yn-2y0Circuitele de nmulire matriceal pot fi modificate n mod simplu pentru a utiliza tehnica pipeline

Exemplu: Circuit de nmulire matricealpipeline care utilizeaz celula M de 1 bit de nmulire i adunare

Cele n celule din fiecare etaj Ei calculeaz un produs parial Pi = Pi-1 + X 2

i yi16.03.2015 27Structura sistemelor de calcul (02-3)

Un circuit de nmulire matriceal pipelinecu n etaje poate suprapune calculul a nproduse nmulirea vectorilor ntregi

Poate genera un nou rezultat n fiecare ciclu de ceas

Dezavantaj: viteza redus a logicii de propagare a transportului din fiecare etaj

Numrul celulelor M necesare: n2

Capacitatea tuturor registrelor buffer: ~3n2

costisitor din punct de vedere hardware16.03.2015 29Structura sistemelor de calcul (02-3)

Tehnica de adunare cu salvarea transportului avantajoas pentru implementarea pipeline

Se pot aduna m numere printr-o reea de sumatoare cu salvarea transportului rezultatul este sub forma (S, T)

S i T trebuie adunate printr-un sumator convenional cu propagarea transportului

Metoda arborelui Wallace


Circuitul de nmulire prin deplasare i adunare implementeaz metoda de nmulire obinuit

Circuitul poate fi optimizat pentru a utiliza registre de n bii i un sumator de n bii

nmulirea prin tehnica Booth poate reduce numrul operaiilor de adunare

Permite operaii cu numere cu semn (n C2)

nmulirea ntr-o baz superioar reduce numrul etapelor prin examinarea mai multor bii ai nmulitorului n fiecare etap


nmulirea matriceal utilizeaz o matrice de circuite combinaionale pentru creterea vitezei

Se pot utiliza sumatoare cu salvarea transportului

Arborele Wallace se utilizeaz pentru adunarea mai rapid a unor produse pariale

Produsele pariale sunt grupate cte trei

Se utilizeaz cte un SST pentru adunarea lor

Tehnica pipeline permite creterea vitezeiEste avantajoas pentru circuite de nmulire combinaional (matriceal, arbore Wallace)


Versiunea final a circuitului de nmulire prin deplasare i adunare

Versiunea final a algoritmului de nmulire prin deplasare i adunare

Execuia operaiei de nmulire prin tehnica Booth

Avantaje ale tehnicii de nmulire Booth

Principiul nmulirii ntr-o baz superioar

Tehnica de nmulire Booth n baza 4


Principiul nmulirii matriceale

Circuit de nmulire matriceal utiliznd sumatoare cu propagarea succesiv a transportului

Circuit de nmulire utiliznd celula de 1 bit de nmulire i adunare

Circuit de nmulire matriceal utiliznd sumatoare cu salvarea transportului

Principiul arborelui Wallace


Circuit de nmulire combinaional utiliznd un arbore Wallace pentru nsumarea produselor pariale

Circuit de nmulire matriceal pipelineutiliznd celula de 1 bit de nmulire i adunare

Circuit de nmulire pipeline utiliznd un arbore Wallace pentru nsumarea produselor pariale


1. Care este ideea principal a tehnicii de nmulire Booth?

2. Care sunt avantajele utilizrii tehnicii Booth n baza 4?

3. Care este avantajul circuitelor combinaionale de nmulire?

4. Care este principiul arborelui Wallace?

5. Cum se poate modifica un circuit de nmulire pentru a utiliza tehnica pipeline?


Documents

SSC Inmultire 2