Stabilità per E.D.O. (I):Stabilità per E.D.O. (I):

STABILITÀ LINEARIZZATASTABILITÀ LINEARIZZATA

MarinaMarina ManciniMancini19-Maggio-200619-Maggio-2006

22

Sistema autonomoSistema autonomo

Consideriamo un sistema di equazioni ed incognite:Consideriamo un sistema di equazioni ed incognite:

..

..

funzioni continue di variabili reali funzioni continue di variabili reali

è definita e continua inè definita e continua in

nxxFdt

dx,...11

1

nnn xxFdt

dx,...1

iF nxxx .., 21

nxxxx ...,: 21 xFxFxF n,...: 1

xF axx ||||

n n

n

33

(1)(1)

Se partiamo dalla condizione iniziale: Se partiamo dalla condizione iniziale:

esiste un’ unica soluzione di (1) che esiste un’ unica soluzione di (1) che verificaverifica

..

Definizione:Definizione:

Un punto dove tutte le funzioni Un punto dove tutte le funzioni sono uguali a zero è detto sono uguali a zero è detto punto fissopunto fisso del sistema del sistema autonomo (1).autonomo (1).

Sistema autonomo(2)Sistema autonomo(2)

00 xtx 00 ,; xttx

00 xtx

nf xxx ,...: 1 iF

xFdt

dxx

44

Un sistema autonomo come (1) è lineare se e solo se Un sistema autonomo come (1) è lineare se e solo se tutte le funzioni sono funzioni lineari omogenee di tutte le funzioni sono funzioni lineari omogenee di , e: , e:

, i=1…n, i=1…n

. .

. (2) . (2)

Il sistema (2) ha come soluzione .Il sistema (2) ha come soluzione .

Sistema autonomo lineareSistema autonomo lineare

iF kx

ninii xaxadt

dx ...11

nnxaxaxax 12121111 ...

nnnnnn xaxaxax ...2211 00 xtx

Axx

ijaA

000 ,; xexttx At

55

Sia , allora .Sia , allora .

E soddisfa le seguenti proprietà :E soddisfa le seguenti proprietà :

1.1. , ,, ,

2.2. , e, e

3.3. vettore.vettore.

Inoltre vale:Inoltre vale:

Se sono autovalori di t.c.Se sono autovalori di t.c.

Norma di una matriceNorma di una matrice

nMB 1||||:||||max|||| xBxB

|||||||||||| BABA |||||||||||| BAAB cAccA ||||||||||xxAAx ||||||||||||

n ,...1 nMA

ReRi Ati ||||0,00Re te

nMBA ,

66

Stabilità alla Lyapunov delle Stabilità alla Lyapunov delle soluzioni soluzioni

DEFINIZIONE: DEFINIZIONE:

Sia soluzione di (1) che soddisfa:Sia soluzione di (1) che soddisfa:

(a)(a) è definita per , e è definita per , e

(b)(b) appartiene all’insieme appartiene all’insieme

allora è detta allora è detta stabilestabile se: se:

(c)(c) t. c. ogni soluzione soddisfa t. c. ogni soluzione soddisfa (a)(a) e e (b)(b) con con

,e,e

(d)(d) Fissato t. c. implica Fissato t. c. implica

00 ,; xttxtx tx 0tt tx axx ||||

tx

0 |||| 01 xx

10 ,; xttx

0 ,0,0 |||| 10 xx

,||,;,;|| 1000 xttxxttx0tt

77

DEFINIZIONE:DEFINIZIONE:

La soluzione di (1) è La soluzione di (1) è asintoticamente asintoticamente stabilestabile se è stabile e t. c. se è stabile e t. c. implica implica

Una soluzione che non è stabile è detta Una soluzione che non è stabile è detta instabileinstabile..

Stabilità asintotica delle soluzioniStabilità asintotica delle soluzioni

00 ,; xttxtx ,0,0 |||| 10 xx

0||,;,;|| 1000lim

xttxxttxt

88

Consideriamo il sistema autonomo non lineare:Consideriamo il sistema autonomo non lineare:

(3)(3)

e sia la soluzione di (3) all’istante t, a e sia la soluzione di (3) all’istante t, a partire dalla condizione iniziale .partire dalla condizione iniziale .

Un punto è un punto fisso per (3), , se:Un punto è un punto fisso per (3), , se:

In generale sappiamo che i punti fissi di (3) sono tutte le In generale sappiamo che i punti fissi di (3) sono tutte le soluzioni reali di: soluzioni reali di:

pertantopertanto

Riduzione alle soluzioni nulleRiduzione alle soluzioni nulle

xhx 00 ,; xttxtx

00 xtx

fx 0tt

ff xttxx ,; 0

0fxh

0xh

99

Sia punto fisso di (3).Sia punto fisso di (3).

Si consideri come nuova variabile:Si consideri come nuova variabile:

Il sistema dinamicoIl sistema dinamico

ha punto fisso nell’origine poiché:ha punto fisso nell’origine poiché:

CONCLUSIONE:CONCLUSIONE:

Non è insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un Non è insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un sistema autonomo con punto fisso nell’origine.sistema autonomo con punto fisso nell’origine.

Riduzione alle soluzioni nulle(2)Riduzione alle soluzioni nulle(2)0fx

fxxz :

zhz fxzhzh :

00 fxhh

1010

Il processo di linearizzazione ci consente di determinare Il processo di linearizzazione ci consente di determinare l’l’equivalenteequivalente lineare di un sistema non lineare lineare di un sistema non lineare nell’intorno di un punto fisso.nell’intorno di un punto fisso.

Consideriamo il sistema non lineare:Consideriamo il sistema non lineare:

con punto fisso .con punto fisso .

Il punto fisso può essere preso come punto Il punto fisso può essere preso come punto iniziale per un’espansione in serie della iniziale per un’espansione in serie della funzione .funzione .

Arrestando tale espansione al primo ordine si ottiene:Arrestando tale espansione al primo ordine si ottiene:

Approssimazione lineareApprossimazione lineare

xhx 0fx

)(xh0fx

xhxhxh n,...: 1

nxxx ,...: 1

xoxxhdx

dhxh x 00

1111

Dove:Dove:

è l’incremento rispetto al punto fissoè l’incremento rispetto al punto fisso

indica tutti i termini di ordine superiore al indica tutti i termini di ordine superiore al primoprimo

è nullo per definizione di punto fisso.è nullo per definizione di punto fisso.

è un termine lineare descrivibile, quindi, è un termine lineare descrivibile, quindi, inin modo matriciale: modo matriciale:

Il comportamento del sistema non lineare, in un intorno Il comportamento del sistema non lineare, in un intorno del punto fisso, può quindi essere descritto, in modo del punto fisso, può quindi essere descritto, in modo approssimato, dal sistema lineare:approssimato, dal sistema lineare:

Approssimazione lineare(2)Approssimazione lineare(2)

x)()( xfxo

)0(h

xxhdx

dx 0)(

,)( 0 xAxxhdx

dx 0)(: 0 hJxh

dx

dA x

xAx

1212

Se e sono funzioni scalari non negative Se e sono funzioni scalari non negative continue per continue per

è una costante non negativa eè una costante non negativa e

alloraallora

Lemma di GronwallLemma di Gronwall

)(tu )(tv,0 t

0,)()()(0

tperdssusvtut

.0,)( 0 tperetu

tdssv

1313

DimostrazioneDimostrazione

Se allora la disuguaglianza data implica che:Se allora la disuguaglianza data implica che:

Integrando ambo i membri da a si ha:Integrando ambo i membri da a si ha:

Lemma di Gronwall(2)Lemma di Gronwall(2)

,0

)()()(

)()(

0

tvdssusv

tvtut

0 t

ttdssvdssusv

00,)(lg)()(lg

1414

Ciò implica cheCiò implica che

Se il risultato vale e implica Se il risultato vale e implica che che è identicamente nulla e la disuguaglianza è è identicamente nulla e la disuguaglianza è banalmente soddisfatta.banalmente soddisfatta.

Lemma di Gronwall(3)Lemma di Gronwall(3)

.)()()( 0

0

t

dssvtedssusvtu

,0 ,01 01 )(tu

1515

Consideriamo il sistema non lineare nella forma:Consideriamo il sistema non lineare nella forma:

(4)(4)

termine lineare termini di ordine superiore al I

Con e soddisfa:Con e soddisfa:

i.i. è continua per eè continua per e

ii.ii. cioè concioè con

La condizione La condizione i.i. assicura la locale esistenza delle soluzioni, assicura la locale esistenza delle soluzioni,

ii.ii. implica quindi è soluzione di (4). implica quindi è soluzione di (4).

Un risultato per i sistemi non lineariUn risultato per i sistemi non lineari

xfAxx

ijaA xfxfxf n,...1 xf ax ||||

0

||||

||||lim

0||||

x

xfx

|||||||| xoxf 0|||| x

00 f 0)( tx

nn

1616

Se è una matrice costante con polinomio Se è una matrice costante con polinomio caratteristico caratteristico

stabile e soddisfa le condizioni stabile e soddisfa le condizioni i.i. e e ii. ii. , allora la , allora la soluzionesoluzione

del sistema del sistema

è asintoticamente stabile.è asintoticamente stabile.

Teorema (Stabilità Linearizzata)Teorema (Stabilità Linearizzata)

xf

0tx

xfAxx

nnA

1717

Riscriviamo la definizione di Riscriviamo la definizione di stabilità stabilità per per ::

sia soluzione di (1) che soddisfa:sia soluzione di (1) che soddisfa:(a)(a) è definita per , e è definita per , e(b)(b) appartiene all’insieme appartiene all’insieme allora è detta allora è detta stabilestabile se: se:

(c)(c) t. c. ogni soluzione soddisfa t. c. ogni soluzione soddisfa (a)(a) e e (b) (b) con , e con , e

(d)(d) Fissato t. c. implica Fissato t. c. implica

DimostrazioneDimostrazione

0tx tx 0t tx axx ||||

tx

0|||| 1x

1,0;)( xtxtx

0 ,0,0 |||| 1x

,||,0;|| 1 xtx 0t

0)0,0;()( txtx

1818

Innanzitutto dimostriamo che la soluzione è Innanzitutto dimostriamo che la soluzione è definita per quando è vicino a zero.definita per quando è vicino a zero.

Se è la matrice fondamentale del sistema Se è la matrice fondamentale del sistema t.c. , allora per ipotesi esistono due costanti t.c. , allora per ipotesi esistono due costanti positivepositive e t.c. per . e t.c. per .

Poiché è una matrice costante, la soluzione deve Poiché è una matrice costante, la soluzione deve soddisfare la relazione soddisfare la relazione

che implicache implica

La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida per in ogni intervallo per cui se per in ogni intervallo per cui se prendiamo prendiamo

Dimostrazione(2)Dimostrazione(2)

1,0;)( xtxtx 0t 1x

Atet Axx I )0(

R Rt ||)(|| te 0tA )(tx

t

dssxfstxttx01 ,)()()(

.||)(||||||||)(||01 t st dsesxfRxRetx

t),0[ T atx ||)(||

.|||| 1 ax

1919

Dalla condizione Dalla condizione ii.ii. segue che t.c. segue che t.c. implica . implica .

Se prendiamo allora, per la continuità di , Se prendiamo allora, per la continuità di , esiste esiste t.c. per . Pertanto t.c. per . Pertanto

per . Per il Lemma di Gronwall si ha:per . Per il Lemma di Gronwall si ha:

Ma e sono arbitrari, quindi scegliamo t.c. Ma e sono arbitrari, quindi scegliamo t.c. e t.c. implica e t.c. implica

per . per .

Dimostrazione(3)Dimostrazione(3)

00 dm dx |||| |||||||| xmxf

dx |||| 1 )(tx01 t dtx ||||

t st dsesxmRxRetx01 ||)(||||||||)(||

10 tt .0,||||||)(|| 11 ttexRtx tmR

1x m mmR 10 xx Rdx 2/|||| 1

2/||)(|| dtx 10 tt

10 tt

2020

Poiché è definita per , possiamo prolungare la Poiché è definita per , possiamo prolungare la soluzione , che esiste localmente in ogni puntosoluzione , che esiste localmente in ogni punto , intervallo dopo intervallo, preservando , intervallo dopo intervallo, preservando la condizione . la condizione .

Pertanto, ogni soluzione con , Pertanto, ogni soluzione con , è definita per e soddisfa .è definita per e soddisfa .

Ma può essere piccolo a nostra scelta, ciò implica che Ma può essere piccolo a nostra scelta, ciò implica che è stabile, e implica che è asintoticamente stabile.è stabile, e implica che è asintoticamente stabile.

CONCLUSIONE:CONCLUSIONE:

La stabilità asintotica delle traiettorie dei sistemi lineari è La stabilità asintotica delle traiettorie dei sistemi lineari è preservata.preservata.

Dimostrazione(4)Dimostrazione(4) xf ax ||||

)(txaxtxt ||||,0),,(

2/||)(|| dtx

1,0;)( xtxtx Rdx 2/|||| 1 0t 2/||,0;|| 1 dxtx

d 0)( txmR

2121

Osserviamo che questo risultato vale anche nel caso dei Osserviamo che questo risultato vale anche nel caso dei sistemi non autonomi non lineari che assumono la sistemi non autonomi non lineari che assumono la seguente forma:seguente forma:

soddisfa: soddisfa:

i.i. è continua per , eè continua per , e

ii.ii. uniformemente rispetto a .uniformemente rispetto a .

OsservazioneOsservazione

xtfAxx ,

xtf , 0,|||| tax

0

||||

||,||lim

0||||

x

xtfx

t

xtfxtfxtf n ,,...,, 1

2222

Consideriamo il sistema:Consideriamo il sistema:

Dove ad-bcDove ad-bc≠0, ≠0, sono continue e sono continue e

con con

Per il teorema precedente si ha: Per il teorema precedente si ha:

EsempioEsempio

yxdycxy

yxbyaxx

,

,

2

1

yxi ,

0lim

r

0,

r

yxi 22 yxr

2323

Se le radici del polinomio caratteristico di Se le radici del polinomio caratteristico di

hanno hanno

parte reale negativa, allora (0,0) è un punto fisso parte reale negativa, allora (0,0) è un punto fisso asintoticamente stabile del sistema non lineare .asintoticamente stabile del sistema non lineare .

Esempio(2)Esempio(2)

dc

baA