Stabilité des ouvrages/ Matériaux. René Motro. 2005 Matériaux. _____ René Motro Université Montpellier II

Stabilité des ouvrages/ Matériaux. René Motro. 2005

Matériaux.

_____

René MotroUniversité Montpellier II


• Galilée : traction sur des fils métalliques• Hooke : élasticité linéaire• Young : module de déformation longitudinale

« E »• Poisson module transversal « »• Cauchy contraintes « » et déformations

relatives « »

Introduction

n normale à dS au point P

dF effort supporté par dS au point P

dSdS

dFdensurcomposante

dS

dFdeplanlesurcomposanteFigure 1


DEFORMATION

• Cas d’un essai de traction:– déplacement– déformation absolue

l– déformation relative

= l/lo

(lo distance initiale entre A et B)

• Valeurs acceptables – 3,5 pour mille (béton)– 10 pour mille (acier pour

béton armé)

1 Caractérisation des matériaux

Figure 2


– Matériaux homogènes : même composition en tous points. Problème d’échelle et de modélisation (voir le béton)

– Matériaux hétérogènes : plusieurs composants différents (béton + acier pour le béton armé)

– Matériaux composites : matrice + renfort (ferro ciment = pâte de ciment + paillettes d’acier)

1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.1Composition


• Matériaux composites

1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.1 Composition

Figure 3


1 Caractérisation des matériaux 1.1 Définitions 1.1.2 Propriétés mécaniques

• Caractéristiques des matériaux– isotropie, anisotropie– homogénéité, hétérogénéité– ----Bois anisotrope Textile orthotrope

Figure 4


1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement

• Les essais– sollicitations

simples (traction, compression, cisaillement)

– dureté– fatigue– fluage– relaxation– -------

Figure 5


LO

I D

E C

OM

PO

RTEM

EN

T

• Exemple de loi de comportement (acier doux)

• OA comportement élastique linéaire

• AE écoulement plastique :si on supprime l’action au point B, le retour se fait selon BC

• OC est la déformation rémanente

1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.1 Essais unidirectionnels

Figure 6


Figure 7

• Loi de comportement expérimentale

• Modélisation réglementaire

1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.2 Modélisation


LO

I D

E C

OM

PO

RTEM

EN

T

• Elasticité linéaire

= E. l/lo = E.(loi de Hooke)

E module de déformationlongitudinale (module d’Young)

E module de déformationlongitudinale (module d’Young)

1 Caractérisation des matériaux 1.2 Lois de comportement 1.2.3 Exemples

Figure 8


LO

I D

E C

OM

PO

RTEM

EN

T

• Elasticité • Linéarité


Figure 9



Loi de comportement

Elasto plastique

Plastique parfait

Parabole rectangle

Figure 10


• Les valeurs caractéristiques sont transformées en valeurs de calcul ou de dimensionnement par des coefficients de pondérations :

– m pour les matériaux, F pour les actions

• La valeur de calcul est définie par

1 Caractérisation des matériaux 1.3 Exploitation des essais

m

tiquecaractérisvaleurcalculdevaleur


1 Caractérisation des matériaux 1.3 Exploitation des essais

m dépend de plusieurs facteurs : État limite considéré (ELS,ELU) Types d’actions appliquées Sollicitations

Pour l’acier de béton armé par exemple

Pour le béton la contrainte de calcul est donnée par

s

esd

f

b

28cbu .

f.85,0f


2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés MOMENT RESISTANT


• L’objectif est de déterminer la « résistance d’une section » (en flexion on cherche le moment fléchissant correspondant à cette résistance)

• La démarche à respecter est la suivante :– Diagramme des déformations relatives dans la section

(hypothèse de Navier Bernouilli)– Diagramme des contraintes dans la section (combinaison des

déformations et de la loi de comportement)– Détermination de l’effort de compression : intensité (volume

du diagramme des contraintes), position (support passe par le centre de gravité du diagramme des contraintes)

– Calcul du moment équilibré (moment du couple compression traction)

2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés MOMENT RESISTANT


2.1 Déformations relatives longitudinales

2 Déformations relatives, contraintes et efforts associés

z’

Gh

z’

21 c'z.c

(Hypothèse de planéité des sections – Navier Bernoulli)

Figure 11


2.1 Déformations relatives longitudinales


z’

2c

z’

21 c'z.c

z’

'z.c1

Compressionou

Traction simples

Flexion simple Flexion composée

Figure 12


2.2 Répartition des contraintes normales


)esintcontradesdiagramme('zcôtedefibrelapour

eintcontraladonnantfonctionlaest)'z(f

)'z(f))'z(f(falors

)'z(fet)(f

casnotredans*

)t(f))t(f(fyalors

)t(fxet)x(fy

uesmathématiqderappel*

3

321

21

321

21


• On peut calculer l’effort normal associé aux contraintes de compression

2.3 Effort normal associé aux contraintes


•Direction perpendiculaire à la section•Sens de la compression•Intensité : volume du diagramme des contraintes (pour les sections de largeur constante « b » : b x surface du diagramme des contraintes )•Support : la force passe par le centre de gravité du diagramme des contraintes (pour les sections de largeur constante, il faut déterminer le cdg du diagramme des contraintes)

Rappel : utiliser les moments statiques pour calculer la position du cdg

z’

cF

Gc

Figure 13




z’

z’

dz’

G

z’

dz’

z’

y’G

b

Figure 14


2.5 Exemples


z’

z’dz’

GneutrefibrelasurestG

simpleflexionladecasledans

dFF

'dz.bdA

dA).'z(dF

imummax'z

neutrefibre'z

Si Gc est le centre de gravité du diagramme des contraintes, on peut calculer sa côte z’, avec les moments statiques (pris par exemple par rapport à G’)

diagrammeduaire

'dz)'z('z

z

dS'zdiagrammeduairez

érieuresupfibre'z

neutrefibre'z'Gc

érieuresupfibre'z

neutrefibre'z

'Gc



2.5 Exemples


Exemple 1Cas d’une section rectangulaire en flexion simple.b = 20 cm, h = 42 cmLoi de comportement linéaire E = 40 000 MPa

Déformation relative maximale =0,5x10-3

Exemple 2Cas d’une section rectangulaire en flexion simple.b = 20 cm, h = 40 cmLoi de comportement élasto plastique E = 200 000 MPa, fe = 400 MPa

Déformation relative maximale =4x10-3


3.1 Introduction

3 Calcul élastique, calcul plastique

Exemple du cas de l’acier

Elasto plastique


3.2 Modules de flexion 3.2.1 Module de flexion élastique Wel


z’

z’

Gh Y’

'GYI

'z.M)'z(

2

hz '

max

2hI

W

:WelélastiqueflexiondeModule

'GYel

acier'ldeélastiqueitelimf

fWM

:MelélastiqueMoment

y

yelel

Figure 15


3.2 Modules de flexion 3.2.2 Module de flexion plastique Wpl


z’

fy

Fcompression Gc

fy

GtFtraction

G

La section est totalement plastifiée : on parle de rotule plastique




z’

F

F

A aire totale de la sectionRecherche du centre de gravité Gc de la partie comprimée.Utilisation des moments statiques

A/S2

2AS

GG

érieuresuppartieladeAire

neutreaxe/érieuresuppartieladeSstatiqueMomentGG

c

c




plyypl

ypl

cncompressiotcncompressiopl

pl

yncompressio

WfS2fM

A/S222

AfM

GG2FGGFM

:MplastiqueMoment2

AfF

neutreaxe'làrapportpar

érieuresuppartiedemie

ladestatiquemomentS

S.2W

plastiqueModule

pl

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