Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Statika 21. prednáška

Prosté prípady pružnosti:Prostý ohyb

Prosté kroucení vybraných prurezu

Miroslav Vokácmiroslav.vokac@cvut.cz

CVUT v Praze, Fakulta architektury

2. ríjna 2017

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Konzultacní hodiny

Ing. Miroslav Vokác, Ph.D.

Kloneruv ústav, CVUT v PrazeŠolínova 7166 08 Praha 6 - Dejvice

Konzultacní hodiny: Pondelí 14 - 15 hod. v TH9:508

Tel.: 224 353 509E-mail: miroslav.vokac@cvut.czURL: http://15122.fa.cvut.cz

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Organizace výuky

Podmínky k udelení zápoctu ze Statiky II:

1. Docházka na cvicení min. 80 %.

2. Každý student navštevuje cvicení, kde je zapsán v KOSu.Presun není možný.

3. Odevzdané a správne vypracované domácí úkoly (celkem6 úkolu).

4. Termín pro odevzdání domácího cvicení je 14 dní od jehozadání (viz také harmonogram nahttp://15122.fa.cvut.cz).

5. Uzavrení udelování zápoctu v zimním semestru2017/2018 je 2. 2. 2018.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Organizace výuky

Zkouška ze Statiky II: Dle Studijního a zkušebního rádu CVUT v Praze má každý

studen 1 rádný a nejvýše 2 opravné termíny, viz SZR, cl.10, odst. 4. Další opravná zkouška je dle SZR neprípustná.

Podmínkou prihlášení je udelený zápocet ze Statiky II. Odhlášení ze zkoušky 3 dny pred termínem zkoušky. Neomluvená neprítomnost je klasifikována F. Ve zkouškovém období budou termíny zkoušky v pondelí

a ve ctvrtek. V breznu budou 2 termíny, které budou v KOSu otevrené

jen pro opravy. První termín je nutné vycerpat vezkouškovém období!

Pro zimní semestr 2017/2018 je poslední den pro konánízkoušky dle rozhodnutí dekana 16. 3. 2018.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Organizace výuky

Zkouška ze Statiky II: Písemná cást obsahuje 4 cásti:

1. Test – teoretické otázky ze Statiky I a Statiky II.

2. Vnitrní síly na staticky urcité soustave.

3. Príklad na prosté prípady pružnosti.

4. Príklad na ostatní úlohy z pružnosti a pevnosti.

Pomucky ke zkouškové písemce: Kalkulacka, cisté listy papíru, psací potreby. Výpis duležitých vzorcu libovolného zpracování (psaný

text, tiskárna PC, Xerox,...). Omezen je formát papíru na1 list A4. Tato pomucka není povolena pri Testu.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Organizace výukyStatistika výsledku klasifikace STATIKA II v roce 2017/2018:

Zapsáno studentu na predmet: 168 Neudeleno zápoctu: 13 Udeleno zápoctu: 151 Úspešne dokoncilo predmet: 136 Na zkoušku se dostavilo 149 studentu s výsledkem:

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Doporucená literatura

Radmila Vondrová. Statika II. Príklady. Praha : CVUT,2005. ISBN 80-01-03289-2.

Tadeusz Kolendowicz. Stavební mechanika pro architekty.Preložil doc. Ing. Jirí Muk, CSc. Praha : SNTL, 1984. 290s.

Dvorák Jirí. Stavební mechanika. Praha : SOBOTÁLES,1994. ISBN 80-901570-7-6.

Hibbeler, R. C. Structural analysis. Boston : Prentice hall,2009. ISBN 0-13-257053-X.

Puchmajer, P.; Reznícková, J. Sbírka úloh z pružnostia pevnosti. Praha : CVUT, 2002. ISBN 80-01-02448-2.

Horejší, J.; Šafka, J. a kol. Statické tabulky. Technickýpruvodce, svazek 51. Praha : SNTL, 1987.

Žák, J., Pencík, J. Stavební mechanika, statika, pružnosta pevnost. Antikva, 2005. ISBN 80-239-4965-9.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Vnitrní síly a napetí v prurezu

Vnitrní síly

t

x

y

z

Vy

MxVz

Mz

N

My

Napetí

t

x

y

z

σx(y, z)τxy(y, z)

τxz(y, z)

[y, z]

Osy y a z jsou hlavní težišt’ové osy setrvacnosti prurezu. Normálové nap etí σ – pri pusobení N, My , Mz (a Mx ). Tecné nap etí τ – pri pusobení Vy , Vz , Mx .

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prosté prípady pružnosti

U prostých prípadu pružnosti je v prurezu jen jedna vnitrní sílanenulová.

Prosté prípady pružnosti: Prostý tah & tlak – viz Statika I. Prostý smyk – viz Statika I. Prosté kroucení . Prostý ohyb .

Na http://15122.fa.cvut.cz lze na stránkách Statiky Inalézt výklad pro úvod k prostým prípadum pružnosti, napetív prurezu, vnitrní síly, hlavní težišt’ové osy setrvacnosti,momenty setrvacnosti atd.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohybBernoulli-Navierova hypotéza

q

Bernoulli-Navierova hypotéza: Prurez ohýbaného nosníkuzustává po deformaci rovinný a kolmý na pruhybovou cáru.

Z Bernoulli-Navierovy hypotézy a ze základních rovnicpružnosti lze odvodit vztahy pro prostý ohyb, které si budemeuvádet.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohybOdvození vztahu pro krivost

ℓ

ℓ+∆ℓσx(z) σx(z)

z

My My

Predpokládejme prut ohýbanýkonstantním ohybovým momentem My .

Pro ε(z) lze odvodit z podobnostikruhových výsecí:

ℓℓ+∆ℓ

= 11+ε(z) =

+z ⇒ ε(z) = z

Dosazením do Hookeova zákovazískáme: σ(z) = Eε(z) = E z

Dosazením do podmínky ekvivalence:My =

∫Aσ(z) z dA = E

∫A

z2 dA

Proto mužeme vyjádrit:

1=

My

EIy1. . . je krivost

EIy . . . je ohybová tuhost prurezu

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohybOdvození vztahu pro σx u prostého ohybu

Krivost: 1=

My

EIy

Dosadíme vztah ε(z) = z⇒ 1

= ε(z)

z , potom: ε(z)z =

My

EIy

Po dosazení Hookeova zákova σx (z) = Eε(z) ⇒ ε(z) = σx (z)E

získáme: σx (z)Ez =

My

EIy

Odtud plyne vztah:

σx (z) =My

Iyz

x

z

t

My

y

z

tMy

x

z

t

σx

N.O.

N.O.

A σx(A)

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohyb ve svislé rovine xzNormálové napetí v prurezu

Prostý ohyb ve svislé rovine:My 6= 0 ∧ N = Mx = Mz = Vy = Vz = 0

x

z

t

My

y

z

tMy

x

z

t

σx

N.O.

N.O.

A σx(A)

Normálové napetí σx se urcí pro každý bod prurezu:

σx (z) =My

Iyz

Neutrální osa (N.O.) je množina bodu s nulovou hodnotounormálového napetí a rozdeluje prurez na taženou a tlacenouoblast. Z podmínky σx (z) = 0 plyne, že N.O. tvorí prímo osa y .Extrémní normálové napetí je v bodu nejvíce vzdáleném odN.O.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohyb ve svislé rovine xzPodmínka spolehlivosti a prurezový modul

Podmínka spolehlivosti podle dovolených namáhání:

|σx,extr | =|My |

Wy≤ σdov

Wy . . . je prurezový modul (modul prurezu), uvažuje se jakokladné císlo, základní jednotka je m3

Wy =Iy

max(zd , |zh|)

Je-li vzdálenost težište k dolním zd a horním vláknum |zh|odlišná, potom se nekdy také rozlišuje:

Wy ,d =Iyzd

a Wy ,h =Iy|zh|

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohyb ve svislé rovine xzPrurezový modul nekterých základních prurezu

y

z

t

a

a

Wy =16

a3

y

z

t

b

h

Wy =16

b h2

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohyb ve svislé rovine xzPrurezový modul nekterých základních prurezu

t d

ry

z

y

z

Wy =14π r3 =

132

π d3

y

z

t

b

hWy ,h =

124

b h2

Wy ,d =112

b h2

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohyb ve svislé rovine xzOptimalizace rozmeru dreveného ohýbaného nosníku z hraneného reziva

h

b

dr

h

b

z

yt

Hledáme optimální pomer b : hdreveného prurezu.

Wy = 16b h2

d2 = h2 + b2 ⇒ h2 = d2 − b2

Wy (b) = 16b(d2 − b2)

Wy (b) = 16 (b d2 − b3)

W ′y (b) =

16 (d

2 − 3 b2) = 0d2 − 3 b2 = 0

h2 + b2 − 3 b2 = 02b2 = h2

b =√

22 h .

= 0, 7071 h

Pro praktické aplikace se používá bh = 5

7.= 0, 7142 nebo

bh = 7

10 = 0, 7. Závisí také na výrobním sortimentu!

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohyb ve svislé rovine xzPríklad

q = 3kNm−1

ℓ = 3m

Pro dané zatížení navrhnete drevený trámobdélníkového prurezu. Uvažujte σdov = 10 MPa.

Ohybový momet uprostred rozpetí:My = 1

8qℓ2 = 18 . 3 . 32 = 3,375 kNm

Nutný prurezový modul a návrh prurezu:Wy ≥

My

σdov= 3,375

10.103 = 337,5.10−6 m3

Wy = 16bh2= 1

657 h h2 ≥ 337,5.10−6 m3 ⇒

⇒ h ≥ 0,141 m ⇒ b = 57 h ≥ 0,101 m

t

z

yh

b NÁVRH h = 150 mm, b = 100 mm

Posouzení:Wy = 1

6bh2 = 16 . 0,1 . 0,152 = 375.10−6 m3

σx,extr =My

Wy= 3,375

375.10−6 = 9 000 kPaσx,extr = 9,0 MPa < σdov = 10 MPa

NÁVRH VYHOVUJE

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohyb ve vodorovné rovine xyNormálové napetí v prurezu

x

y tMz

y

z

t

Mz

x

y tσxN

.O.

N.O

.A

σx(A)

Prostý ohyb ve vodorovné rovine:Mz 6= 0 ∧ N = Mx = My = Vy = Vz = 0

Normálové napetí σx se urcí pro každý bodprurezu:

σx (y) = −Mz

Izy

Z podmínky σx (y) = 0 plyne, že N.O. tvoríprímo osa z.

Prurezový modul Wz je definován analogickyjako Wy .

Podmínka spolehlivosti má tvar:

|σx,extr | =|Mz |

Wz≤ σdov

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prostý ohyb ve vodorovné rovine xyPríklad konstrukce - paždík

w [kNm−2]

L

B

BB2

B2

pazdık

Paždík nese jen vodorovné zatížení od vetru.

q [kNm−1]

z

y t

L

Mz

Zatížení na paždík:q = w B

Ohybový moment naprostém nosníku:

Mz = 18q L2

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prosté kroucení

t

x

y

z

Mx

t

x

y

z

τxy(y, z)

τxz(y, z)

[y, z]

O prostém kroucení mluvímev prípade, že platí:

Mx 6= 0∧N = My = Mz = Vy = Vz = 0

Podmínka ekvivalence:

Mx =

∫

A

(τxz y − τxy z) dA

Kombinace namáhání rešímesuperponováním (sectením)jednotlivých prípadu pružnosti.

Osy y a z jsou VŽDY hlavní centrální osy setrvacnosti.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Typické konstrukce namáhané kroucenímPudorysne zalomený nosník

x2

x1

F

L1

L2

xVz

+

+

+F

+F

Mx

+

+F L1

0

My

−

−

−F L1

−F L2

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Typické konstrukce namáhané kroucením

Rošty (balkonové nosníky)F

F

F

Pudorysne zakrivené nosníkyF

Nosníky zatížené mimo težišteprurezu (resp. stredu smyku)

F

F

F

e

Prefabrikované nosníkys ozubem

q

t

qe

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Deplanace prurezu u krouceníDeplanace prurezu pri kroucení je posun bodu prurezu mimojeho rovinu. Deformovaný prurez není rovinný.

vsesmerne vetknutı

volny konec

u

x

y

z

Mx

t

Potom rozlišujeme:

1. Volné kroucení - je-li deplanacevolne umožnena (volný konecprutu) nebo u nedeplanujícíchprurezu. V prurezu vniká jentecné napetí τx .

2. Vázané kroucení - je-lideplanace plne (vetknutí) nebocástecne (mezi prurezy vevetknutí a volným koncem)omezena. V prurezu vniká jaktecné napetí τx , tak normálovénapetí σx .

Rešení vázaného kroucení vede na složité diferenciálnírovnice. Proto se u kroucení omezíme jen na vybranépru rezy.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prosté kroucení kruhového prurezu

x

y

z

Mx

t

y

z

t

τx

τx

ρ

τx(ρ)

rMx

Kruhový prurez nedeplanuje.U kruhového prurezu mužemepredpokládat vždy volné kroucení.

Tecné napetí τx lze urcit jako

τx (ρ) =Mx ρ

Ip

Smer τx je dán smykovými carami,které jsou kružnice.

Ip. . . je polární moment setrvacnostik težištiIp = Iy + Iz = 1

2π r4

Maximální tecné napetí τx,max lzeurcit jako

τx,max =Mx r

Ip≤ τdov

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prosté kroucení masívního prurezu mezikruží

y

z

t

τx

τx

ρ

τx(ρ)

r1

r2

Mx

Prurez nedeplanuje.Mužeme predpokládat vždy volnékroucení.

Tecné napetí τx lze urcit jako

τx (ρ) =Mx ρ

Ip

Smer τx je dán smykovými carami,které jsou kružnice.

Ip. . . je polární moment setrvacnostik težištiIp = Iy + Iz = 1

2π(r41 − r4

2 )

Maximální tecné napetí τx,max lzeurcit jako

τx,max =Mx r1

Ip≤ τdov

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Kroucení tenkostenného uzavreného prurezuBredtuv vzorec

Pro tenkostenné prurezy musí platit δ ≪ b a δ ≪ h.

y

z

t

b

h

1

2Ω

Mx

s

τx

τx

τx

δ(s)

δ(s)

s. . . je souradnice po obvoduprurezuδ(s). . . tloušt’ka steny prurezuΩ. . . dvojnásobek opsanéplochy strednicí steny prurezut . . . smykový tok, v prurezu sepredpokládá konstantní, t = Mx

Ωτx . . . se predpokládá potloušt’ce δ(s) konstantní

Bredtuv vzorec:

τx (s) =Mx

Ω δ(s)=

tδ(s)

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prosté kroucení masívního obdélníkovéhoprurezu

τx

τx

y

z

t

b

h

Mx Prurez deplanuje!

Pro výpocet τx se používajípribližné vzorce nebo složitédiferenciální výpocty.

Smer τx je dán smykovýmicarami.

Se vzdáleností od težište t seτx nemení lineárne, ale pokrivce.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prosté kroucení masivního obdélníkovéhoprurezuPríklad prubehu tecných napetí τx ucených metodou konecných prvku (MKP)

Smykové cáry(vetší hustota carodpovídá vetšíhodnote τx )

Vektoryτx = (τxy , τxz)v obdélníkovémprurezu

Sít’ konecnýchprvku a velikost τx

(tmavší odstínodpovídá vetšíhodnote napetí)

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Prosté kroucení masivního obdélníkovéhoprurezuExtrém urcený pomocí tabulky

Extrém tecného napetí τx,extr lze za predpokladu b ≤ h urcit nazáklade soucinitele β z tabulky podle výrazu:

τx,extr =Mx

βhb2

h/b 1,00 1,20 1,50 1,75 2,00β 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246

h/b 2,50 3,00 5,00 10,00 ∞β 0,258 0,267 0,291 0,313 1/3

Mezilehlé hodnoty lze interpolovat.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Predpoklad, že prurez ohýbaného nosníku zustává podeformaci rovinný a kolmý na pruhybovou cáru, nazýváme:

a) Schwedlerova veta

b) Steinerova veta

c) Bernoulli-Navierova hypotéza

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Trámový strop má osové vzdálenosti trámu 1,1 m. Zatíženístropní konstrukce je 3,0 kN/m2. Zatížení jednoho trámu jepotom rovno:

a) 2,73 kN/m

b) 1,65 kN/m

c) 3,30 kN/m

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Pevnost malty v tahu za ohybu se zkouší na trámeccíchprurezu 40 x 40 mm a délky 160 mm. Trámecek se umístí napodpory ve vzdálenosti 100 mm. Zatežuje se sílou uprostredrozpetí. Jestliže dojde k porušení vzorku pri pusobící síle640 N, potom je pevnost v tahu za ohybu rovna:

a) 1,5 MPa

b) 2,4 MPa

c) 0,75 MPa

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Deplanace prurezu je jev, pro který platí:

a) Nastává pri kroucení prutu, kdy prurez po deformacizustává rovinný.

b) Nastává pri kroucení prutu, kdy prurez po deformacinezustane rovinný.

c) Projevuje se u ohybu, kdy prurez po deformaci zustávárovinný a kolmý na pruhybovou cáru ohýbaného nosníku.

Statika 2

M. Vokác

Organizace výuky

Prosté prípadypružnostiProstý ohyb

Prosté kroucení

Kontrolní otázky

Konec prednášky

Dekuji za pozornost.

Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému METAPOST.