VYSOKÉ U�ENÍ TECHNICKÉ V BRN� FAKULTA STAVEBNÍ

ING. JI�Í KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D.

STATIKA II

MODUL BD04-MO1

ROZŠÍ�ENÝ PR�VODCE

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Statika II

- 2 (70) -

Vážení uživatelé tohoto u�ebního textu,

dovolujeme si Vás požádat o malé strpení pro využívání této u�ební pom�cky pro Vaše studi-um. P�i záv�re�né kontrole byly navrženy další vylepšující úpravy, které p�isp�jí ke zlepšení kvality u�ebního textu. Rovn�ž je pot�ebné provést formální úpravy, a to zejména nové p�e-�íslování rovnic, obrázk� i tabulek, aby se shodovaly s ozna�ením kapitol.

Z �asových d�vod� však nebylo možné úpravy dosud realizovat. P�edpokládáme, že opravy provedeme za�átkem roku 2006. Pose�kejte proto prosím se stahováním a používáním, do-kud nezmizí tento upozor�ující text.

D�kují auto�i

© Ji�í Kytýr, Petr Frantík, Brno 2005

Obsah

- 3 (70) -

OBSAH

1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot�ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí�ová slova.........................................................................................5

2 Deforma�ní metoda ......................................................................................7 2.1 Vznik a vývoj deforma�ní metody........................................................7 2.2 Výpo�tový model rovinného rámu .......................................................7 2.3 Stupe� p�etvárné neur�itosti..................................................................9 2.4 Podstata deforma�ní metody...............................................................11 2.5 Obecná deforma�ní metoda ve skalárním tvaru..................................11

2.5.1 Ilustrativní obecn� �ešený p�íklad.........................................12 2.5.2 Vyjád�ení koncových sil pomocí parametr� deformace .......14 2.5.3 Vyjád�ení lokálních koncových sil pomocí globálních

parametr� deformace ............................................................15 2.5.4 Lokální koncové síly kloubov� p�ipojeného prutu ...............16 2.5.5 Ilustrativní obecn� �ešený p�íklad – pokra�ování .................16

3 Maticová forma obecné deforma�ní metody............................................19 3.1 Analýza prutu......................................................................................19 3.2 Analýza p�ímého prutu v lokální sou�adnicové soustav� ...................20

3.2.1 Prut oboustrann� monoliticky p�ipojený...............................21 3.2.2 Prut pravostrann� kloubov� p�ipojený ..................................25 3.2.3 Prut oboustrann� kloubov� p�ipojený ...................................26

3.3 Prut konstantního pr��ezu ...................................................................26 3.4 Geometrická transformace do globální soustavy ................................27

3.4.1 Transformace pro složky koncových sil ...............................29 3.4.2 Transformace u pravoúhlých rám� .......................................30

3.5 Globální vektory prutové soustavy .....................................................30 3.5.1 Globální matice a vektory prutu ...........................................31 3.5.2 Soustava rovnic.....................................................................32

3.6 Lokalizace ...........................................................................................33 3.7 Dokon�ení �ešení prut� .......................................................................34

3.7.1 Výpo�et koncových sil a pr�b�hy vnit�ních sil.....................34 3.7.2 Pružná deformace prutu ........................................................34 3.7.3 Výpo�et reakcí a kontrola �ešení...........................................35

3.8 Numerické p�íklady.............................................................................36 3.8.1 Pravoúhlý rám.......................................................................36 3.8.2 Nosník s vnit�ním kloubem...................................................40

4 Další možnosti �ešení ..................................................................................45 4.1 Jiný tvar globální matice a vektoru prutu............................................45 4.2 Spojitý nosník .....................................................................................46 4.3 Pruty prom�nného pr��ezu..................................................................46

Statika II

- 4 (70) -

4.4 Deforma�ní zatížení............................................................................ 47 4.4.1 Vliv zm�ny teploty ............................................................... 47 4.4.2 Dané nepružné p�emíst�ní podpor........................................ 48

4.5 P�íhradový nosník............................................................................... 50 4.6 Zjednodušená deforma�ní metoda...................................................... 50

4.6.1 Rekapitulace postupu �ešení rámu ZDM s pruty konstantního pr��ezu ......................................................... 55

5 Tabulky ....................................................................................................... 63 6 Studijní prameny ....................................................................................... 69

6.1 Seznam použité literatury ................................................................... 69 6.2 Seznam dopl�kové studijní literatury................................................. 69 6.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny......................................... 69

Úvod

- 5 (70) -

1 Úvod

1.1 Cíle

Úkolem p�edm�tu Statika II je zvládnout �ešení prutových konstrukcí další metodou, a to metodou deforma�ní. Její význam pro �ešení rozsáhlejších staticky neur�itých prutových konstrukcí je nenahraditelný, nebo� v tomto ohledu nemá konkurenci v metod� silové. Základní p�edností deforma�ní metody je p�ehlednost p�i maticovém zápisu a rovn�ž možnost její algoritmizace.

Naším cílem bude �ešení nosných staticky neur�itých prutových stavebních konstrukcí a získání pr�b�h� vnit�ních sil i složek reakcí jako prost�edek pro jejich dimenzování podle jednotlivých materiál�.

1.2 Požadované znalosti

Statika II bezprost�edn� navazuje na p�edm�t Statika I. Využívá znalosti získa-né v p�edm�tu Základy stavební mechaniky (zejména �ešení pr�b�h� vnit�ních sil), v p�edm�tu Pružnost a pevnost i v p�edm�tu Statika I (aplikace silové me-tody je nezbytná pro odvození primárního i sekundárního stavu). Studenti by m�li být obeznámeni se základními pojmy z maticové analýzy.

Z matematického aparátu využijeme zejména goniometrické funkce, vektorový a maticový po�et i �ešení soustav lineárních algebraických rovnic.

1.3 Doba pot�ebná ke studiu

Modul p�edstavuje rozší�ený pr�vodce a obsahuje základní látku probíranou v pr�b�hu tém�� celého semestru. Doba pot�ebná k nastudování jednotlivých kapitol �i odstavc� se liší od n�kolika desítek minut až po hodiny. Záleží ze-jména na p�edchozí pr�prav� studenta ve výše citovaných p�edcházejících p�edm�tech, ale i na obtížnosti daného tématu. Pot�ebná doba ke studiu �iní 50 až 60 hodin.

1.4 Klí�ová slova

mechanika, statika, síla, reakce, interakce, rovnováha, poddajnost, tuhost, vek-tor, matice, modul pružnosti, momenty setrva�nosti, transformace, prut, pruto-vá soustava, nosník, rám, p�íhradová konstrukce

Statika II

- 6 (70) -

Deforma�ní metoda

- 7 (70) -

2 Deforma�ní metoda

Ve srovnání se silovou metodou probranou ve Statice I je metoda deforma�ní nep�ímá, nebo� se za neznámé veli�iny volí deformace (složky p�emíst�ní) a sestavují se silové podmínky rovnováhy. Jako základní soustava se volí p�e-tvárn� ur�itá soustava (nehybná), vytvo�ená p�idáním fiktivních vazeb.

2.1 Vznik a vývoj deforma�ní metody

Základy deforma�ní metody položil dánský v�dec A. Ostenfeld, který v roce 1926 publikoval dílo „Die Deformationsmethode“. Metoda p�edstavovala vel-mi ú�inný teoretický nástroj pro �ešení složitých rámových soustav (v�etn� kloub�). Vedlo to však na �ešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic, což tehdy byla st�ží p�ekonatelná p�ekážka.

Nutnost �ešení soustav rovnic vynikajícím zp�sobem odstranil americký profe-sor Hardy Cross, který v roce 1929 v �lánku „Continuity as a Factor in Rein-forced Concrete Design“ publikoval metodu rozd�lování moment pro rámo-vé soustavy. Ke správnému �ešení se však dosp�lo pouze u rám� s neposuvnými sty�níky. Jedná se v podstat� o itera�ní metodu �ešení soustavy rovnic, p�i níž je jednotlivým krok�m iterace p�isouzen názorný fyzikální vý-znam. P�i �ešení se nepo�ítají všechna pooto�ení uzl� sou�asn�, nýbrž postupn� uvol�ováním jednotlivých uzl�, p�i�emž ostatní uzly jsou nehybné. Metoda je p�ibližná a iterativním postupem se dosahuje požadované p�esnosti.

Pro rámy s posuvnými sty�níky rozší�il Crossovu metodu �eský akademik Václav Dašek tzv. metodou rozd�lování sil a moment, která se stala ve �ty-�icátých a padesátých letech dvacátého století nejrozší�en�jší metodou �ešení rámových soustav.

Renesance p�vodní deforma�ní metody p�išla až s rozvojem samo�inných po�í-ta�� (asi od šedesátých let dvacátého století). Zna�nou výhodou je p�ehledný a jednozna�ný postupu �ešení (algoritmus). Zpo�átku byla více používána zjed-nodušená deforma�ní metoda, vhodná zejména pro pravoúhlé rámy. U této varianty vedla závislost odpovídajících posuv� uzl� vzájemn� spojených pruty p�i zanedbání osové deformace prut� k podstatnému snížení po�tu rovnic.

Praktické uplatn�ní v posledních desetiletích nachází metoda kone�ných prv-k jako univerzální metoda �ešení úloh mechaniky kontinua.

2.2 Výpo�tový model rovinného rámu

Výpo�tový model p�edstavuje idealizovaný tvar rovinného rámu, tvo�ený st�ednicemi prut� s p�isouzenými pr��ezovými charakteristikami a fyzikálními vlastnostmi materiálu prut�. Idealizované jsou styky prut�, vn�jší vazby a rov-n�ž zatížení rámu.

Vzájemné spojení prut� soustavy v uzlech (sty�nících), viz obr. 10.1. Uzel m�že být monolitický (rámový, tuhý) nebo kloubový (nerámový).

Statika II

- 8 (70) -

Obr. 10.1: Sty�níky rovinné prutové soustavy

Podle zp�sobu p�ipojení konc� prutu k uzl�m pak dostáváme prut oboustrann� monoliticky p�ipojený, jednostrann� kloubov� p�ipojený a nebo oboustrann� kloubov� p�ipojený. Sty�ník m�že být volný (nepodep�ený) nebo podep�ený (vázaný). Volný sty�ník vykoná p�i deformaci v rovin� xz (obr.10.2) t�i složky p�emíst�ní u, w, ϕ (neboli parametry deformace), které p�edstavují t�i stupn� volnosti. Kladné složky posunutí jsou ve sm�ru kladných sou�adnicových os a kladné pooto�ení je proti sm�ru pohybu hodinových ru�i�ek.

Obr. 10.2: T�i složky p�emíst�ní monolitického sty�níku

Všechny konce prut�, jdoucí do jednoho sty�níku, mají stejné posuny. U monolitického sty�níku (obr. 10.2) jsou i všechna pooto�ení konc� prut� stejná. Prut kloubov� p�ipojený do sty�níku (obr. 10.3) má jiné pooto�ení než monoliticky p�ipojené pruty. U kloubového sty�níku (obr. 10.4) jsou pooto�ení konc� jednotlivých prut� naprosto nezávislá.

Obr. 10.3: P�ipojení prutu kloubem Obr. 10.4: Dv� složky p�emíst�ní k monolitickému sty�níku kloubového sty�níku

Deforma�ní metoda

- 9 (70) -

Obr. 10.5: Vn�jší vazby rovinné prutové soustavy

Vn�jší vazby mohou být nepoddajné, poddajné �i jednostranné. Nepoddajné (obr. 10.5) odebírají uzlu odpovídající stupn� volnosti (váží složky p�emíst�ní).

Tab. 10.1: Po�et neznámých parametr� deformace

2.3 Stupe� p�etvárné neur�itosti

Stupe� p�etvárné neur�itosti p�edstavuje celkový po�et stup� volnosti rovin-né prutové soustavy. Udává celkový po�et nezávislých složek p�emíst�ní (pa-rametr� deformace) u, w, ϕ sty�ník� prutové soustavy a sou�asn� po�et rovnic nezbytných pro vy�ešení prutové soustavy. Lze ho ur�it pomocí vztahu

np = 3t + 2k + p – pv , (10.6)

kde zna�í t po�et monolitických (tuhých) sty�ník�, k po�et kloubových sty�ní-k�, p po�et jednoduchých posuvných podep�ení (posuvný kloub, kyvný prut) a pv po�et vn�jších vazeb umíst�ných u sty�ník� (p�epo�tených na jednonásobné vazby). Stupe� p�etvárné neur�itosti m�žeme rovn�ž ur�it rozborem jednotli-

Statika II

- 10 (70) -

vých p�ípad sty�ník a podpor (nap�. podle tabulky 10.1). V této tabulce jsou u p�ípad� 8 a 9 uvedeny dv� alternativy podle toho, zda uvažujeme prut oboustrann� upnutý (alternativa 1), nebo jednostrann� kloubov� ukon�ený do podpory (alternativa 2).

Obr. 10.6: Výpo�tový model rovinné prutové soustavy

Jako p�íklad uve�me ur�ení stupn� p�etvárné neur�itosti rámu z obr. 10.6a. Úložné podmínky v podporách f, g budeme hned respektovat. Do vztahu (10.6) dosadíme t = 4 (uzly a, b, c, e), k = 1 (uzel d), p = 0 a pv = 1 (uzel c), takže

np = 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 + 0 – 1 = 13.

Pro rozbor jednotlivých sty�ník� a podporových bod� rozepíšeme jednotlivé neznámé parametry deformace. Uzel a má volné parametry ua , wa , ϕa , uzel b parametry ub , wb , ϕb , uzel c pouze wc , ϕc (vodorovný posun uc je vázán kyv-ným prutem), uzel d pouze u , wd (spole�né pooto�ení ϕd uzlu neexistuje) a uzel e má volné parametry ue , we , ϕe , tedy celkem np = 13. P�itom prut 3–7 (jdoucí do podpory g) se uvažoval jako jednostrann� kloubov� p�ipojený s pooto�ením ve skute�nosti ϕg ≠ 0, ale uvažovaným smluvní hodnotou nulo-vou ϕg = 0, nebo� p�i uvažovaném zp�sobu p�ipojení prutu 3–7 nelze pooto�e-ní ϕg ur�it. Tímto postupem jsme získali minimální hodnotu stupn� p�etvárné neur�itosti.

Obr. 10.7: Vliv p�evislého konce na sty�ník prutové soustavy

Stupe� p�etvárné neur�itosti mohou ovlivnit další faktory, nap�. zp�sob mode-lování p�evislého konce. P�evislý konec m�žeme

• nahradit ekvivalentním silovým ú�inkem do sty�níku (obr. 10.7),

• uvažovat konzolu jako

– oboustrann� monoliticky ukon�ený prut a p�idat parametry uh , wh , ϕh ,

Deforma�ní metoda

- 11 (70) -

– jednostrann� kloubov� ukon�ený prut na volném konci a p�idat neznámé parametry uh , wh , p�i�emž pooto�ení ϕh bude mít smluvní nulovou hodnotu.

2.4 Podstata deforma�ní metody

Stru�n� m�žeme podstatu obecné deforma�ní metody vystihnout tak, že pro každý uvoln�ný uzel a podporový bod sestavíme p�íslušné globální statické podmínky rovnováhy. Ve výsledném tvaru je musíme vyjád�it pomocí nezná-mých veli�in – globálních parametr� deformace u, w, ϕ jednotlivých uzl�. Síly p�sobící na sty�níky vyšet�ujeme jako koncové síly prutu, nejvýhodn�ji v lokální sou�adnicové soustav� prutu pomocí lokálních parametr� deformace. Vazbu mezi lokálními a globálními veli�inami (silami i deformacemi) zpro-st�edkují transforma�ní vztahy.

Vysv�tlení podstaty deforma�ní metody provedeme ve skalárním tvaru. Pro vlastní �ešení pak bude výhodn�jší a p�ehledn�jší maticová forma zápisu.

2.5 Obecná deforma�ní metoda ve skalárním tvaru

Po p�iložení zatížení se prutová soustava pružn� zdeformuje (sty�níky se posu-nou a pooto�í) a soustava se ustálí v rovnovážném stavu. P�itom obvykle zane-dbáváme malý vliv posouvajících sil na p�etvo�ení. Deformaci prutu (obr. 10.8) ovliv�uje jednak zatížení prutu (ozna�íme jako primární stav) a pružná p�emís-t�ní konc� prut� prost�ednictvím uzl� (ozna�íme jako sekundární stav).

Obr. 10.8: Deformace prutu a–b pružn� upnutého do sty�ník� a, b

V monolitickém uzlu (obr. 10.9) sestavíme t�i statické podmínky rovnováhy

0,0,0 === ���a

ya

za

x MFF , (10.4)

v kloubovém uzlu (obr. 10.10) pak dv� statické podmínky rovnováhy

0,0 == ��d

zd

x FF . (10.5)

Statika II

- 12 (70) -

Obr. 11.1: Složky interakcí a uzlové zatížení monolitického uzlu

2.5.1 Ilustrativní obecn� �ešený p�íklad

Postup �ešení rovinného rámu deforma�ní metodou ve skalárním tvaru ukáže-me na obecn� �ešeném p�íkladu jednoduchého kosoúhlého rámu (obr. 11.2). P�etvárn� neur�ité veli�iny (p�i uvážení úložných podmínek) jsou u1 , w1 , ϕ1 a u2 , w2 , ϕ2 , takže stupe� p�etvárné neur�itosti np = 6.

Obr. 10.10: Složky interakcí v kloubovém uzlu

Podmínky rovnováhy v uzlech 1 a 2 (obr. 11.2b) vyjád�íme pomocí globálních koncových sil Xa,b , Za,b , Ma,b ve tvaru

0:0

0:0

0:0

0:0

0:0

0:0

4,21,22,

24,21,22,

4,21,22,

3,12,11,

3,12,11,

3,12,11,

=−−=

=+−−=

=−−=

=−−=

=−−=

=−−=

������

MMM

FZZF

XXF

MMM

ZZF

XXF

i

iz

ix

i

iz

ix

(11.1)

Koncové síly na prutech ur�íme nejsnadn�ji v jednotlivých lokálních sou�ad-nicových soustavách x*, z*. Pro sestavení podmínek rovnováhy (11.1) je proto nutné provést geometrickou transformaci (obr. 11.3) a lokální koncové síly p�evést do globálních koncových sil pomocí vztah�

Deforma�ní metoda

- 13 (70) -

γγπγγ

γγπγγ

cossin2

sinsin

sincos2

coscos

****

****

ZXZXZ

ZXZXX

−=��

���

� ++=

−=��

���

� ++= (11.2)

Obr. 11.2: Globální (b) a lokální (c) interakce na prutech a v uzlech

Obr. 11.3: Transformace koncových sil

Statika II

- 14 (70) -

Podmínky rovnováhy (11.1), vyjád�ené v lokálních koncových silách pomocí (11.2), pak nabudou tvar

0

0cossincossin

0sincossincos

0

0cossincossin

0sincossincos

*4,2

*1,2

4,2*

4,24,2*

4,22,1*

1,22,1*

1,2

4,2*

4,24,2*

4,22,1*

1,22,1*

1,2

*3,1

*2,1

3,1*

3,13,1*

3,12,1*

2,12,1*

2,1

3,1*

3,13,1*

3,12,1*

2,12,1*

2,1

=+

=+++

=−+−

=+

=+++

=−+−

MM

ZXZX

ZXZX

MM

ZXZX

ZXZX

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

(11.3)

Lokální koncové síly X*, Z*, M* = M v (11.3) je nutné vyjád�it pomocí nezná-mých geometrických veli�in, tj. globálních parametr� deformace u1 , w1 , ϕ1 , u2 , w2 , ϕ2 .

2.5.2 Vyjád�ení koncových sil pomocí parametr deformace

Uvažujme prizmatický prut (konstantního pr��ezu) oboustrann� pružn� upnu-tý do sty�ník�, umíst�ný v lokální sou�adnicové soustav� x*, z* (obr. 10.8). Nezávisle na sob� m�žeme vyšet�it dva stavy, a to osové namáhání a p�í�né namáhání. Každý zp�sob namáhání p�itom rozložíme na stav

• primární (ozna�íme pruhem) od daného silového zatížení p�i nehyb-nosti rámové soustavy, tj. p�i neposuvnosti koncových bod� prutu,

• sekundární (ozna�íme st�íškou) od p�íslušných pružných zm�n prutu (jako vliv deforma�ního zatížení p�sobícího v koncích prutu).

Uplatn�ním principu superpozice pak získáme výsledný stav.

Obr. 11.4: Globální parametry deformací a lokální koncové síly prutu

Osové namáhání vyvolá koncové osové síly, a to primární koncové síly ** , baab XX od osového silového zatížení (�ešíme silovou metodou, b�žné p�ípady

lze najít v tabulkách) a sekundární koncové síly ** ˆ,ˆbaab XX od osové dilatace

prutu. Výsledné lokální koncové osové síly vyjád�ené pomocí lokálních para-metr� deformace jsou

)( ****ab

ab

ababab uu

lEA

XX −−= ,

Deforma�ní metoda

- 15 (70) -

)( ****ab

ab

abbaba uu

lEA

XX −+= . (11.6)

P�í�né namáhání vyvolá p�í�né koncové síly a koncové momenty, a to pri-mární koncové síly **** ,,, baabbaab ZZMM (�ešíme silovou metodou, b�žné p�ípady lze najít v tabulkách) a sekundární koncové síly od koncových posunutí

** , ba ww a koncových pooto�ení ϕa ,ϕb . Sekundární momentové složky �ešíme silovou metodou pro deforma�ní zatížení a sekundární p�í�né síly získáme uplatn�ním podmínek rovnováhy pro sekundární momentové složky. Výsledné lokální koncové síly vyjád�ené pomocí lokálních parametr� deformace pak jsou dány výrazy

���

����

� −−++=

���

����

� −−++=

���

����

� −−++=

���

����

� −−++=

ab

baba

ab

abbaba

ab

baba

ab

ababab

ab

baba

ab

abbaba

ab

baba

ab

ababab

lww

lEI

ZZ

lww

lEI

ZZ

lww

lEI

MM

lww

lEI

MM

**

2

**

**

2

**

****

****

26

26

322

322

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

(11.9)

2.5.3 Vyjád�ení lokálních koncových sil pomocí globálních pa-rametr deformace

Lokální složky posunutí (obr. 11.5) u*, w* vyjád�íme pomocí globálních složek u, w, p�íslušných celé �ešené soustav�, pomocí výraz�

γγγγ cossin,sincos ** wuwwuu +−=+= (11.10)

Obr. 11.5: Transformace složek posunutí

Vztahy (11.6) a (11.9) pak nabudou tvar

[ ]abababab

ab

ababab wwuu

lEA

XX γγ sin)(cos)(** −+−−=

[ ]�

��

−−−−+−= abababab

ab

ba

ab

ababab wwuu

llEI

ZZ γγϕϕ cos)(sin)(26

2

**

Statika II

- 16 (70) -

[ ]�

��

−−−−++= abababab

ab

ba

ab

ababab wwuu

llEI

MM γγϕϕ cos)(sin)(3

22**

[ ]abababab

ab

abbaba wwuu

lEA

XX γγ sin)(cos)(** −+−+=

[ ]�

��

−−−−++= abababab

ab

ba

ab

abbaba wwuu

llEI

ZZ γγϕϕ cos)(sin)(26

2

**

[ ]�

��

−−−−++= abababab

ab

ba

ab

abbaba wwuu

llEI

MM γγϕϕ cos)(sin)(3

22** (11.11)

2.5.4 Lokální koncové síly kloubov� p�ipojeného prutu

Uvažujme prizmatický prut (konstantního pr��ezu) pravostrann� kloubov� p�ipojený ke sty�níku, umíst�ný v lokální sou�adnicové soustav� x*, z* (obr. 10.?). Obdobným postupem jako v odst. 2.4.3 získáme lokální koncové síly

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]�

��

−−−−+=

−+−+=

�

��

−−−−+=

�

��

−−−−−=

−+−−=

ababababab

aab

abbaba

ababababab

abbaba

ababababab

aab

ababab

ababababab

aab

ababab

ababababab

ababab

wwuull

EIZZ

wwuul

EAXX

wwuull

EIMM

wwuull

EIZZ

wwuul

EAXX

γγϕ

γγ

γγϕ

γγϕ

γγ

cos)(sin)(13

sin)(cos)(

cos)(sin)(13

cos)(sin)(13

sin)(cos)(

2

**

**

**

2

**

**

(11.12)

2.5.5 Ilustrativní obecn� �ešený p�íklad – pokra�ování

Další postup �ešení ukážeme na d�íve obecn� �ešeném p�íkladu jednoduchého kosoúhlého rámu z obr. 11.2. Do podmínky rovnováhy (11.3) dosadíme kon-krétní obecné výrazy pro lokální koncové síly vyjád�ené pomocí globálních parametr� deformace, a to ze vztah� (11.11) ur�íme *

3,1*

3,1*

3,1 ,, MZX , *

1,2*

1,2*

1,2*

2,1*

2,1*

2,1 ,,,,, MZXMZX a z výraz� (11.12) pak *4,2

*4,2

*4,2 ,, MZX .

Výslednou soustavu rovnic vyjád�enou v neznámých globálních parametrech deformace lze v obecném tvaru zapsat p�ehledn� do tabulky 11.1.

Deforma�ní metoda

- 17 (70) -

Tab. 11.1: Obecný tvar soustavy rovnic kosoúhlého rámu z obr. 11.2a

(ci, j = cos γi, j , si, j = sin γi, j)

Statika II

- 18 (70) -

Otázky 1. Význam globální a lokální sou�adnicové soustavy p�i �ešení prutové kon-

strukce.

2. Které veli�iny se volí za neznámé a jaké podmínky se k tomu využívají?

3. Význam koncových sil (interakcí pro �ešení konstrukcí deforma�ní me-todou.

4. Vyjád�ení koncových sil u prutu.

5. Význam primárních a sekundárních složek koncových sil.

6. Výhody a nevýhody skalární formy.

Shrnutí

Seznámili jsme se s principem obecné deforma�ní metody. Ukázali jsme si, jak se vytvo�í výpo�tový model prutové konstrukce a stanoví po�et stup�� volnos-ti, tj. po�et neznámých složek p�emíst�ní a sou�asn� i po�et rovnic. Ve skalár-ním tvaru jsme v jednotlivých krocích sledovali p�evedení obecn� zapsaných podmínek rovnováhy v uzlu do tvaru rozepsaného v globálních složkách p�e-míst�ní.

Skalární tvar je vhodný pouze k objasn�ní podstaty metody, pro praktické �eše-ní �i algoritmizaci je však málo použitelný. V další kapitole probereme matico-vou formu obecné deforma�ní metody, použitelnou zejména ve spojení s výpo�etní technikou.

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 19 (70) -

3 Maticová forma obecné deforma�ní metody

Pro každý prut prutové soustavy je k sestavení podmínek rovnováhy ve sty�ní-cích pot�ebné vyjád�it globální koncové síly pomocí globálních parametr� deformace prutu (3 složky v každém uzlu). Výhodné bude posléze provést ana-lýzu na prutu v lokální sou�adnicové soustav� a pak pomocí geometrické trans-formace p�evést do globálních složek.

3.1 Analýza prutu

Uvažujme obecn� šikmý prut (obr. 11.6a) oboustrann� monoliticky p�ipojený do sty�ník� s obecným tvarem st�ednice a s obecným zatížením.

Obr. 11.6: Analýza oboustrann� monoliticky p�ipojeného prutu

Po uvoln�ní prutu ze sty�ník� p�sobí na jeho koncích (obr. 11.6b) celkem šest globálních složek koncových sil (interakcí). Ty m�žeme vyjád�it samostatn� pro dokonale upnutý prut od vlivu daného silového zatížení (obr. 11.6c), tzv. primární stav, v n�mž vzniknou primární koncové síly, a od vlivu p�sobení neznámých uzlových deformací (obr. 11.6d) p�i p�emíst�ní jednotlivých uzl� a tedy i koncových bod� prutu, tzv. sekundární stav, v n�mž vzniknou sekun-dární koncové síly.

Primární koncové síly závisí na konkrétním daném zatížení, takže je nem�že-me blíže specifikovat. Sekundární koncové síly vyjád�íme (aplikací principu superpozice a úm�rnosti) jako lineární funkce globálních parametr� deformace u, w, ϕ . Superpozicí primárního a sekundárního stavu získáme výsledné glo-bální koncové síly

Statika II

- 20 (70) -

bbbaaababa

bbbaaababa

bbbaaababa

bbbaaaabab

bbbaaaabab

bbbaaaabab

kwkukkwkukXX

kwkukkwkukXX

kwkukkwkukXX

kwkukkwkukMM

kwkukkwkukZZ

kwkukkwkukXX

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

666564636261

__

565554535251

__

464544434241

__

363534333231

__

262524232221

__

161514131211

__

++++++=

++++++=

++++++=

++++++=

++++++=

++++++=

(11.19)

kde kij (i, j = 1, … , 6) jsou tuhostní sou�initele (konstanty úm�rnosti).

Maticov� zapíšeme výrazy (11.19) obecn� platným vztahem, platným pro prut zcela obecného tvaru

abababab rRR k+= , (11.20)

kde zna�í sloupcový vektor výsledných globálních koncových sil prutu ab

{ }Tbababaabababab MZXMZX ,,,,,=R , (11.21)

sloupcový vektor primárních globálních koncových sil prutu ab

{ }Tbababaabababab MZXMZX ,,,,,=R , (11.22)

�tvercovou globální matici tuhosti prutu ab

��������

�

�

��������

�

�

=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

abk (11.23)

a sloupcový vektor globálních parametr deformace prutu ab

{ }Tbbbaaaab wuwu ϕϕ ,,,,,=r . (11.24)

P�ímé ur�ení globálního vektoru (11.22) a globální matice (11.23) obecn� umíst�ného prutu je obtížn�jší. Jednodušeji se realizuje v lokální sou�adnico-vé soustav� x*z*.

3.2 Analýza p�ímého prutu v lokální sou�adnicové soustav�

Pro obecn� šikmý prut umíst�ný v globální soustav� xz zvolíme po�átek a pru-tu, �ímž je definována lokální sou�adnicová soustava x*z* (obr. 11.7). Oriento-vaný úhel γab odm��ujeme po sm�ru chodu hodinových ru�i�ek od kladné glo-bální osy x ke kladné lokální ose x*.

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 21 (70) -

Obr. 11.7: Orientace prutu

Pro pruty rzn� p�ipojené se v lokální sou�adnicové soustav� odvodí

– prvky lokálního primárního vektoru a

– prvky lokální matice tuhosti.

Získáme je �ešením jednoduchého staticky neur�itého nosníku silovou meto-dou. Jako základní soustavu v silové metod� volíme prostý nosník. Ur�íme základní deforma�ní sou�initele prutu (míry poddajnosti prutu), a to

• od silového zatížení

– osového, je to koncová osová dilatace δ 0 ,

– p�í�ného, což jsou koncová pooto�ení ϕab , ϕba ,

• od jednotkových koncových ú�ink� (deforma�ní zatížení), které vyja-d�ují p�etvárné vlastnosti prutu (uvažujeme je v absolutní hodnot�)

– koncová osová dilatace δ 1 ,

– koncová pooto�ení αa , αb , β.

Základní deforma�ní sou�initele ur�íme nap�. z Maxwellova–Mohrova vztahu. Postupn� vyšet�íme obecné p�ípady neprizmatického prutu

– oboustrann� monoliticky p�ipojeného

– jednostrann� kloubov� p�ipojeného

– oboustrann� kloubov� p�ipojeného

Zjednodušíme pak na p�ípady prizmatického prutu r�zn� p�ipojeného.

3.2.1 Prut oboustrann� monoliticky p�ipojený

Primární stav ur�íme pro prut na obou koncích nehybn� upnutý, p�i�emž na prut p�sobí dané silové zatížení. Základní p�etvárn� ur�itý p�ípad je t�ikrát sta-ticky neur�itý a �eší se silovou metodou (3 p�etvárné podmínky a 3 podmínky rovnováhy). Koncové síly (interakce) pak tvo�í lokální primární vektor (lišící se podle druhu zatížení)

{ }T******* ,,,,,, bababaabababab MZXMZX=R . (11.25)

Statika II

- 22 (70) -

Prvky vektoru (11.25) p�edstavují lokální primární koncové osové síly ** , baab XX , primární koncové p�í�né síly ** , baab ZZ a primární koncové momenty

** , baab MM . �ešení složek koncových sil provedeme silovou metodou.

Pro osové zatížení uplatn�ním p�íslušné p�etvárné podmínky vychází

1

0*

δδ−=baX (11.27)

a ze silové podmínky rovnováhy pak získáme

RRXX baab −=−−=1

0**

δδ

(11.30)

Pro p�í�né zatížení sestavíme dv� p�etvárné podmínky, jejichž obecné �ešení je

2

*

2

*

βαααϕβϕβαα

βϕαϕ

−−=

−−=

abba

abbaabba

abba

babaabab

M

M

(11.29)

a ze dvou momentových podmínek rovnováhy dostaneme

MZZMZZ babaabab ∆+=∆−= *0,

**0,

* , (11.31)

kde *0,

*0, , baab ZZ p�edstavují svislé složky reakcí základní soustavy (prostého

nosníku) a dále platí pro momentový dopln�k

lMM

lM

abba

baababbabaab

)()()(

)(1

2

***

βααϕβαϕβα

−+−+=+=∆ (11.32)

Primární vektor oboustrann� dokonale upnutého prutu obecn� prom�nného pr��ezu pak má tvar

(11.33)

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 23 (70) -

Obr. 11.12: Jednotkové deforma�ní stavy oboustrann� monoliticky p�ipojeného prutu

Sekundární stav vyšet�ujeme pro prut nezatížený, jehož konc�m se postupn� ud�lují lokální deformace (ve smyslu lokálních složek parametr� deformace)

{ }T******* ,,,,, bbbaaaab wuwu ϕϕ=r . (11.34)

To vyvolá sekundární koncové síly. Ud�líme-li jednotkové deformace (obr. 11.12), lze koncové síly sestavit do matice

��������

�

�

��������

�

�

=

*66

*65

*63

*62

*56

*55

*53

*52

*44

*41

*36

*35

*33

*32

*26

*25

*23

*22

*14

*11

*

0000

00000000

0000

kkkk

kkkk

kk

kkkk

kkkk

kk

abk , (11.37)

Statika II

- 24 (70) -

která p�edstavuje lokální matici tuhosti oboustrann� upnutého prutu. Nulové prvky v matici (11.37) jsou d�sledkem nezávislého vlivu osových posun�

** , ba uu a p�í�ných posun� ** , ba ww s pooto�eními ** , ba ϕϕ .

Ukažme si odvození prvk� lokální matice tuhosti oboustrann� upnutého pru-tu. Uvoln�nému prutu postupn� ud�líme jednotkové velikosti lokálních para-metr� deformace (obr. 11.12). Silovou metodou postupn� vyšet�íme šest de-forma�ních stav�, jimiž jsou vyvolané lokální sekundární koncové síly (r�z-ných fyzikálních rozm�r�).

První deforma�ní stav ( *au = 1) vede na p�etvárnou podmínku, z níž plyne

1

*11

1δ

=k (11.39)

Ze silové podmínky rovnováhy pak ur�íme

1

*11

*41

1δ

−=−= kk (11.40)

Druhý deforma�ní stav ( *aw = 1) vede k prutové výchylce. �ešením p�etvár-

ných podmínek získáme

(11.43)

a z rovnováhy pak

(11.44)

T�etí deforma�ní stav ( *aϕ = 1) vede na p�etvárné podmínky, jejichž �ešením

dostaneme

(11.46)

a z rovnováhy

(11.47)

�tvrtý až šestý deforma�ní stav �ešíme analogicky.

Lokální matice tuhosti oboustrann� upnutého prutu obecn� prom�nného pr�-�ezu má tvar

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 25 (70) -

(11.48)

kde hodnota determinantu je

D = αab αba – β 2. (11.49)

Matice tuhosti (11.48) je symetrická (d�sledek Bettiho v�ty) a je tvo�ena sedmi r�znými prvky, vyjád�enými pomocí deforma�ních sou�initel� δ1 , αab , αba , β a délkou l.

3.2.2 Prut pravostrann� kloubov� p�ipojený

Primární stav se �eší na levostrann� vetknutém a pravostrann� kloubov� ulože-ném nosníku a sekundární stav na pravostrann� kloubov� ukon�eném prutu podobn� jako v odst. 3.2.1.

Primární vektor pravostrann� kloubov� p�ipojeného prutu obecn� prom�nné-ho pr��ezu má tvar

(11.54)

Lokální matice tuhosti pravostrann� kloubov� p�ipojeného prutu obecn� pro-m�nného pr��ezu je

Statika II

- 26 (70) -

(11.62)

3.2.3 Prut oboustrann� kloubov� p�ipojený

Podobn� ur�íme pro prut oboustrann� kloubov� p�ipojený primární vektor

(11.66)

a lokální matice tuhosti

(11.68)

U p�íhradové konstrukce s pouze sty�níkovým zatížením pak je 0R =*ab .

3.3 Prut konstantního pr�ezu

V odst. 3.2 byly odvozeny primární vektory (11.33), (11.54), (11.66) a lokální matice tuhosti (11.48), (11.62), (11.68). Platí pro pruty r�zným zp�sobem upnuté s obecn� prom�nným pr�ezem. Jsou vyjád�eny pomocí základních deforma�ních sou�initel δ1 , αab , αba , β prostého nosníku (v absolutní hod-not�) a sou�initel� δ0 , ϕab , ϕba a veli�in R, *

0,*

0, , baab ZZ od daného silového zatí-

žení prostého nosníku.

Prizmatický prut (prut konstantního pr��ezu, prut stálého pr��ezu, prut ne-prom�nného pr��ezu) má A = konst. a I = konst. Podle principu virtuálních

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 27 (70) -

prací (Maxwellova-Mohrova vztahu) �ešíme deforma�ní sou�initele jako p�e-tvo�ení základní soustavy (prostého nosníku). Pro osovou poddajnost platí

EAl=1δ (11.69)

a pro ohybovou poddajnost (základní deforma�ní úhly) je

EIl

EIl

baab 62,

3===== αβααα . (11.70)

Pomocí nich m�žeme sestavit p�ímo použitelné tvary lokálních matic tuhosti prutu konstantního pr��ezu, viz tabulka 11.3.

Dále pomocí (11.69) a (11.70) vyjád�íme úpravou vztah� (11.30) a (11.27) osové koncové síly a z výraz� (11.29) koncové momenty oboustrann� monoli-ticky p�ipojeného prutu; obdobn� i pravostrann� kloubov� p�ipojeného prutu. Takto upravené vztahy však obsahují sou�initele δ0 , ϕab , ϕba závislé na kon-krétním daném silovém zatížení. Nap�íklad pro plné spojité rovnom�rné zatí-žení p�sobící po st�ednici prutu (rozložené na osové n = konst. a p�í�né q = konst.) získáme

EAnl 2

0 21=δ (11.74)

a dále

EIql

baab

3

241== ϕϕ , (11.75)

R = nl, qlZZ baab 21*

0,*

0, −== . (11.76)

Pomocí nich sestavíme p�ímo použitelné tvary primárních vektor� koncových sil prutu konstantního pr��ezu, viz tabulka 11.2.

Velmi �asto využíváme tabulky primárních moment (event. i reakcí nebo posouvajících sil) oboustrann� �i jednostrann� dokonale vetknutého nosníku konstantního pr��ezu (nap�. tabulky 14.10 a 14.11 na str. 416 – 420 u�ebnice [1]). Obvykle je nutné p�izp�sobit tabelární výrazy konvenci použité p�i �ešení obecnou deforma�ní metodou.

3.4 Geometrická transformace do globální soustavy

Pruty v prutové soustav� jsou uspo�ádány zcela libovoln�. S výhodou se vyšet-�ují v lokálních sou�adnicových soustavách. Parametry deformace (složky p�emíst�ní u, w, ϕ) jsou globální pro celou �ešenou konstrukci (obr. 11.20). Proto je nutné použít geometrickou transformaci.

Prutu ab p�ísluší vektor globálních parametr deformace

{ }Tbbbaaaab wuwu ϕϕ ,,,,,=r . (11.90)

Vzájemný p�evod parametr� deformace znázor�uje obr. 11.5. Platí vztahy (11.10) a opa�n� je

Statika II

- 28 (70) -

γγγγ cossin,sincos **** wuwwuu +=−= , (11.91)

p�i�emž

ϕ = ϕ*. (11.92)

Obr. 11.20: Globální a lokální parametry prutu

Podle (11.10) a (11.92) lze transformaci zapsat maticov�

ababab rTr =* (11.93)

Transforma�ní matice Tab definuje geometrickou závislost lokálních složek na globálních, takže

��������

�

�

��������

�

�

−

−

=

1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos

T

abab

abab

abab

abab

ab

γγγγ

γγγγ

(11.94)

Podle vztah� (11.91) a (11.92) platí obrácen� **1ab

Tabababab rTrTr == − . (11.95)

Rovn�ž platí ETTTT == −− 1T1 , abababab .

Úsporn�jší zápis (11.94) m�žeme provést pomocí submatic, takže platí

���

�

���

�=�

�

���

�=

Tab

TabT

abab

abab

t

t

t

t

0

0,

0

0TT (11.96)

���

�

�

���

�

�

−=100

0cossin

0sincos

abab

abab

ab γγγγ

t (11.97)

V numerických výpo�tech rovn�ž využijeme vztahy

lxx

cl

zzs ab

abab

ab

−==−== γγ cos,sin (11.98)

22 )()( abab zzxxl −+−= (11.99)

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 29 (70) -

����

�

����

����

�

����

�

+−+

+−+

==

����

�

����

����

�

����

�

=

b

bb

bb

a

aa

aa

abab

b

b

b

a

a

a

ab

cwsu

swcu

cwsu

swcu

w

u

w

u

ϕ

ϕ

ϕ

ϕrTr

*

*

*

*

*

*

* (11.100)

3.4.1 Transformace pro složky koncových sil

Vektor výsledných lokálních koncových sil, získaný p�i analýze prutu, má tvar

{ }T

bababaabababab MZXMZX ******* ,,,,,=R (11.101)

Analogicky ke vztah�m (11.93) a (11.95) platí

ababab RTR =* (11.102)

*T*1ababababab RTRR == −T . (11.103)

P�itom pro momentové složky platí M = M∗. Obdobn� i pro sekundární vektory

abababababTababab

Tabab

Tabab rkrTkTrkTRTR ==== ****ˆˆ , (11.104)

kde kab je globální matice tuhosti prutu

ababTabab TkTk *= . (11.105)

Globální matice tuhosti prizmatických prut� jsou explicitn� vyjád�eny v tabulce 11.4. V numerických výpo�tech m�žeme vyjád�it globální primární vektor vztahem

����

�

����

����

�

����

�

+

−

+

−

==

����

�

����

����

�

����

�

=

*

**

**

*

**

**

*

ba

baba

baba

ab

abab

abab

abTab

ba

ba

ba

ab

ab

ab

ab

M

cZsX

sZcX

M

cZsX

sZcX

M

Z

X

M

Z

X

RTR (11.106)

Pro vy�íslení globální matice tuhosti oboustrann� upnutého prutu (tab. 11.4(a)) je vhodné p�edem vypo�ítat koeficienty

,6

,12

,12

23322

3

21 s

lEI

KcslEI

lEA

KslEI

cl

EAK =�

�

���

� −=+=

2

,4

,6

,12 6

76252

3

24

KK

lEI

KclEI

KclEI

sl

EAK ===+= (11.145)

a pro prut jednostrann� kloubov� ukon�ený (tab. 11.4(b)) koeficienty

Statika II

- 30 (70) -

,3

,3

,3

23322

3

21 s

lEI

KcslEI

lEA

KslEI

cl

EAK =�

�

���

� −=+=

lEI

KclEI

KclEI

sl

EAK

3,

3,

3625

2

3

24 ==+= (11.146)

3.4.2 Transformace u pravoúhlých rám

V t�chto p�ípadech se transformace podstatn� zjednoduší. Transforma�ní mati-ce Tab (11.94) resp. tab (11.97) obsahuje jen hodnoty 0, 1 a –1. Vodorovný prut ab p�i x ≡ x* má γab = 0 (tedy sin γab = 0, cos γab = 1), takže

ETT == Tabab (11.107)

a proto **** ,,, abababababababab kkRRRRrr ==== . (11.108)

U svislého prutu ab lze osu x∗ lze volit dv�ma zp�soby. V p�ípad�, že osa x∗ sm��uje dol�, platí γab = π / 2 (sin γab = 1, cos γab = 0) a matice (11.97) má tvar

���

�

�

���

�

�

−=100001010

abt . (11.109)

V p�ípad�, že osa x∗ sm��uje nahoru, je γab = 3π / 2 (sin γab = –1, cos γab = 0) a matice (11.97) má tvar

���

�

�

���

�

� −=

100001010

abt . (11.110)

3.5 Globální vektory prutové soustavy

V analýze prutové soustavy p�ísluší globální matice a vektory prutové soustavy celé �ešené prutové soustav� (konstrukci). Pro ukázkový p�ípad �ešení rámu (obr. 11.2a) máme p�itom dv� možnosti volby výpo�tového modelu, a to p�i np = 6 volíme prut 2–4 jako pravostrann� kloubov� ukon�ený a smluvn� platí ϕ4 = 0. P�i np = 7 uvažujeme prut 2–4 jako oboustrann� monoliticky p�ipojený, takže ϕ4 ≠ 0 je další neznámý parametr deformace.

Globální vektor parametr� deformace r obsahuje všechny volné globální slož-ky p�emíst�ní uzl� celé prutové soustavy, sestavuje se v po�adí �íslování uzl� (v�etn� podporových bod�) a pro každý i–tý uzel je stejné po�adí parametr� ui , wi , ϕi .

Používají se v podstat� dv� varianty globálního vektoru parametr� deformace, a to:

• První varianta (zkrácená), v níž se vázané (nulové) parametry deformace neuvažují. Vektor r má rozm�r (np, 1) a neobsahuje nulové �leny. Úložné

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 31 (70) -

podmínky jsou již uplatn�ny. Tatáž konstrukce p�i r�zných úložných pod-mínkách p�edstavuje jiné �ešení.

• Druhá varianta (nezkrácená), v níž se uvažují všechny parametry defor-mace všech uzl� (v�etn� podporových bod�). Vektor r má rozm�r (3n, 1), kde n je celkový po�et uzl� a podporových bod� a obsahuje všechny složky p�emíst�ní uzl� a podporových bod�, tj. i �leny s nulovou hodnotou. Úlož-né podmínky se uplat�ují dodate�n� až po sestavení soustavy rovnic. Tímto zp�sobem lze �ešit jednu konstrukci p�i r�zných úložných podmínkách jako jediné zadání �ešené prutové soustavy (používá se nap�. v systému AN-SYS).

V uvedeném p�íkladu z obr. 11.2a je p�i zkrácené (první) variant� p�i np = 6 resp. np = 7 je

r = {u1, w1, ϕ1, u2, w2, ϕ2}T, (11.13)

r = {u1, w1, ϕ1, u2, w2, ϕ2, ϕ4}T, (11.14)

p�i nezkrácené (druhé) variant� pak

r = {u1, w1, ϕ1, u2, w2, ϕ2, u3, w3, ϕ3, u4, w4, ϕ4}T. (11.16)

Vektor (11.13) souhlasí se záhlavím tabulky 11.1. Vynecháním nulových pa-rametr� na 7. až 11. pozici (resp. na 12. pozici) v d�sledku vazeb p�ejde (11.16) na (11.14), resp. na (11.13).

Globální vektor uzlového zatížení S má stejný rozm�r a strukturu jako vektor r. Obsahuje osam�lé silové a momentové zatížení p�sobící v uzlech. Jsou to kladné síly a momenty p�sobí na kladných smyslech posunutí a pooto�ení. Síly a momenty p�sobící v podporách jsou zachyceny vn�jšími vazbami a p�i �ešení se neuplatní.

V uvedeném p�íkladu z obr. 11.2a je p�i zkrácené (první) variant� s np = 6

S = {0, 0, 0, 0, F2, 0}T (11.15)

a p�i nezkrácené (druhé) variant�

S = {0, 0, 0, 0, F2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}T (11.17)

Vektor (11.15) je sou�ástí pravé strany v tabulce 11.1.

3.5.1 Globální matice a vektory prutu

Globální matice a vektory prutu p�íslušejí globální sou�adnicové soustav�, v níž je popsána celá �ešená konstrukce. Pro každý prut se výhodn� v lokální sou�adnicové soustav� získá lokální primární vektor *

abR a lokální matice tu-hosti *

abk .

Pro komplexní vyjád�ení spole�ného ú�inku všech prut� je nutné geometrickou transformací vytvo�it globální vektor primárních koncových sil Rab a globální matici tuhosti kab .

Statika II

- 32 (70) -

3.5.2 Soustava rovnic

Z globálních vektor� abR a matic kab jednotlivých prut� sestavíme lokalizací soustavu lineárních algebraických rovnic

FKr = (11.140)

kde K je (globální) matice tuhosti prutové soustavy (np, np), r (globální) vek-tor parametr deformace prutové soustavy (np, 1), F je zat�žovací vektor prutové soustavy (np, 1), tj. pravá strana. Každá rovnice soustavy (11.140) p�edstavuje jednu silovou (�i momentovou) podmínku rovnováhy. V nezkrácené (druhé) variant� se v rozm�rech vektor� a matic nahradí parame-tr np velikostí 3n.

Pravou stranu F soustavy rovnic vytvo�íme superpozicí r�zn� definovaných ú�ink� podle vztahu

RSF −= , (11.141)

kde S je globální vektor uzlového zatížení, který obsahuje osam�lé silové a momentové složky zatížení p�sobící v uzlech, ve sm�rech a kladných smyslech globálních parametr� deformace, nap�. pro ob� uvád�né varianty ve tvarech (11.15) a 11.17), R je primární vektor prutové soustavy, jenž zahrnuje vliv silového zatížení prut� prost�ednictvím globálních primárních koncových sil; záporné znaménko vyjad�uje, že globální koncové síly je nutné p�evést na uz-lové síly.

Obr. 11.25: Lokalizace matice tuhosti rámu

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 33 (70) -

3.6 Lokalizace

Lokalizace se používá k ur�ení primárního vektoru R a matice tuhosti K celé prutové soustavy. Prvky matic kab se umístí na odpovídající místa matice K (levé strany rovnic) podle pozice jednotlivých neznámých parametr� deforma-ce a prvky vektor� abR na odpovídající místa vektoru R pro ur�ení ú�inku zatížení prut� na pravé stran�.

Postup je takový, že se pro každý prut sestaví vektor globálních parametr deformace rab a postupn� se zpracují všechny pruty, p�i�emž nezáleží na jejich po�adí.

Názorn� si ukažme lokalizaci na p�íkladu kosoúhlého rámu (obr. 11.2a) v alternativ� s ϕ4 ≠ 0 a np = 7. Globální vektor parametr� deformace prutové soustavy je

T

wuwu�

�� =

74

62

52

42

31

21

11 ,,,,,, ϕϕϕr , (11.142)

kde �íslice p�edstavují lokaliza�ní indexy. Uzly 1 – 4 mají o�íslovány parame-try deformace takto:

(1, 2, 3), (4, 5, 6), (0, 0, 0), (0, 0, 7).

Kódové �íslo prutu p�edstavuje šestici �ísel, definující po�adí globálních pa-rametr� deformace obou konc� prutu. Pro pruty 3–1, 1–2, 2–4 jsou vektory globálních parametr� deformace

{ } { }{ }T

TT

wu

wuwuwu

42224,2

2221112,11111,3

,0,0,,,

,,,,,,,,,0,0,0

ϕϕ

ϕϕϕ

=

==

r

rr (11.143)

a jejich kódová �ísla jsou

(0, 0, 0, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 0, 0, 7). (11.144)

Obr. 11.26: Lokalizace primárního vektoru rámu

Dvojice lokaliza�ních index� (i, j) podle ozna�ení �ádk� a sloupc� matice prutu kab (obr. 11.25a) p�edstavuje adresu pro p�i�azení prvku do matice tuhosti kon-

Statika II

- 34 (70) -

strukce K. Existuje i velmi názorná (ale prakticky nerealizovatelná) p�edstava, a to vytvo�ení lokalizovaných matic Kab (np, np) stejného rozm�ru jako glo-bální matice tuhosti a jejich následná superpozice do výsledné matice K, jak znázor�uje obr. 11.25b.

Lokalizace zat�žovacího vektoru probíhá analogicky (viz obr. 11.26), p�i-�emž lokaliza�ní index p�edstavuje pouze ozna�ení �ádku vektoru.

3.7 Dokon�ení �ešení prut

P�i dokon�ení �ešení prut� se vracíme zp�t k analýze prutu. �ešením soustavy rovnic (11.140) jsme získali vektor globálních parametr deformace pruto-vé soustavy r (np , 1). Pro každý prut vybereme z tohoto vektoru r podle kódo-vého �ísla prutu globální vektor parametr deformace prutu rab (6, 1) podle obr. 11.4 ve tvaru (11.90), v n�mž parametry deformace ui, wi, ϕi mají již kon-krétní �íselné hodnoty. Nulový lokaliza�ní index p�edstavuje nulovou hodnotu složky p�emíst�ní (vn�jší vazba nebo nesledovaný parametr).

Lokální vektor složek deformací na prutu (11.90) ur�íme podle transforma�ní-ho vztahu (11.93), pop�. m�žeme p�i numerickém �ešení využít explicitního vyjád�ení (11.100).

3.7.1 Výpo�et koncových sil a prb�hy vnit�ních sil

Vektor lokálních složek koncových sil vy�ešíme z lokálního primárního vekto-ru (viz tabulka 11.2), lokální matice tuhosti (viz tabulka 11.3) a z lokálního vektoru známých složek deformací (11.93) ze vztahu

****abababab rkRR += . (11.89)

Jiná varianta �ešení spo�ívá v tom, že pomocí rab se ze vztahu

abababababab rkRRRR +=+= ˆ (11.139)

ur�í vektor Rab a teprve pak se transformuje podle vztahu (11.102) na lokální vektor *

abR .

Na uvoln�ném prutu necháme p�sobit jak dané silové zatížení, tak koncové síly (interakce). Na základ� t�chto údaj� vykreslíme prb�hy všech složek výslednice vnit�ních sil N, V, M. Konvence pro jejich vynášení je na obr. 11.4.

3.7.2 Pružná deformace prutu

Pružnou deformaci libovolného prutu m�žeme ur�it jako

• relativní deformaci na vyjmutém prutu považovaném za prostý nosník �i konzolu se silovým zatížením a koncovými reakcemi v lokální sou�adnico-vé soustav� (metodami pro �ešení p�etvo�ení staticky ur�itých nosník�),

• celkovou deformaci ve vybraném pr��ezu vzhledem ke globální sou�adni-cové soustav�, a to p�idáním deformace prutu jako tuhého celku od p�etvo-�ení koncových bod� (uzl�) k pružné lokální deformaci (po transformaci);

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 35 (70) -

nejjednodušší je p�idání nadbyte�ného uzlu p�ímo do místa hledané defor-mace (i když na úkor v�tšího po�tu neznámých).

3.7.3 Výpo�et reakcí a kontrola �ešení

Pro ur�ení globálních složek reakcí a kontrolu �ešení celé prutové soustavy pomocí podmínek rovnováhy v uzlech musíme znát u každého prutu vektor globálních složek koncových sil, získaný nap�. transformací

**1ab

Tabababab RTRTR == − (11.103)

nebo výpo�tem z globálního vektoru složek deformací prutu ab (11.139). Vý-po�et reakcí se liší podle toho, zda podporový bod je

• koncem prutu, pak vektor Rab poskytne interakce, tj. globální složky reak-cí (ve vektoru rab a v kódovém �ísle jim odpovídají nuly),

• p�edstavuje ukon�ení více prut (obr. 11.27); pak se z konc� jednotlivých prut� se p�evezmou globální interakce do uzlu a ve vetknutí se sestaví t�i statické podmínky rovnováhy pro t�i složky reakcí, v pevném kloubu pak dv� podmínky rovnováhy.

Jako kontrolu provedeme

• posouzením vy�ešeného deforma�ního stavu z globálního vektoru r,

• rovnováhu globálních koncových sil v uzlech (obr. 11.1),

• statickou rovnováhu celé prutové soustavy podle zadaného zatížení a vypo�tených složek reakcí.

Obr. 11.27: Výpo�et složek reakcí ve vetknutí

Nej�ast�jší chyby, které se p�i �ešení prutové soustavy obecnou deforma�ní metodou vyskytují, jsou

• p�i zadávání (korektn� se vy�eší jiný výpo�tový model), tj. zadají se jiné fyzikáln� geometrické vlastnosti, jiné úložné podmínky (vazby), event. ji-nak p�sobící zatížení (zm�na znaménka),

• p�i ru�ním �ešení (m�že nastat chyba v kterémkoli kroku výpo�tu), nej�as-t�ji jsou to chybn� ur�ená znaménka goniometrických funkcí pro transfor-maci, nesprávn� sestavené matice a vektory prut�, chybné �ešení soustavy rovnic �i chybný výb�r hodnot parametr� deformace prutu atd.

Statika II

- 36 (70) -

3.8 Numerické p�íklady

3.8.1 Pravoúhlý rám

P�íklad 3.1

Zadání

Vy�ešte jednoduchý pravoúhlý rovinný rám (obr. 11.34) s pruty konstantního pr��ezu a modulem pružnosti E = 2 ⋅ 107 kPa. Sloupy mají pr��ezovou plochu A = 6 ⋅ 10–2 m2 a moment setrva�nosti I = 4 ⋅ 10–4 m4, p�í�el má A = 9 ⋅ 10–2 m2, I = 12 ⋅ 10–4 m4. Rám je zatížen uzlovými silami F1 = 4 kN, F2 = 5 kN, F3 = 10 kN a spojitým rovnom�rným zatížením q = 3 kNm–1 na p�í�li.

Obr. 11.34: Jednoduchý pravoúhlý rám

�ešení

Uvažujme prut 2–4 jako levostrann� kloubov� uložený. Protože u3 = w3 = ϕ3 = u4 = w4 = ϕ4 = 0, stupe� p�etvárné neur�itosti np = 6 a vektor uzlových parame-tr� deformace rámové soustavy je

r = {u1 , w1 , ϕ1 , u2 , w2 , ϕ2}T.

Vektor uzlového zatížení rámu má tvar

S = {F1 , F2 , 0 , 0 , F3 , 0}T = {4, 5, 0, 0, 10, 0}T.

Prut 3–1:

r3,1 = {0, 0, 0, u1 , w1 , ϕ1}T, kódové �íslo (0, 0, 0, 1, 2, 3),

l3,1 = 4 m, c3,1 = 0, s3,1 = –1, A3,1 = 6 ⋅ 10–2 m2, I3,1 = 4 ⋅ 10–4 m4,

1,3*

1,3 RR = = {0, 0, 0, 0, 0, 0}T.

Rozdílné prvky pro lokální matici tuhosti podle tabulky 11.3(a) jsou

EA/l = 300 000, 2EI/l = 4 000, 4EI/l = 8 000, 6EI/l2 = 3 000,

12EI/l3 = 1 500

a podle vztah� (11.145) získáme

K1 = 1 500, K2 = 0, K3 = –3 000, K4 = 300 000, K5 = 0, K6 = 8 000,

K7 = 4 000,

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 37 (70) -

takže matice tuhosti pouze s prvky pot�ebnými k lokalizaci je

Prut 1–2:

r1,2 = {u1 , w1 , ϕ1 , u2 , w2 , ϕ2}T, kódové �íslo (1, 2, 3, 4, 5, 6),

l1,2 = 6 m, c1,2 = 1, s1,2 = 0, A1,2 = 9 ⋅ 10–2 m2, I1,2 = 12 ⋅ 10–4 m4.

Podle tabulky 11.2(a) pro q = 3 kNm–1 a n = 0 ur�íme

2,1*

2,1 RR = = {0, –9, 9, 0, –9, –9}T.

Pro matici tuhosti podle tabulky 11.3(a) vypo�teme

EA/l = 300 000, 2EI/l = 8 000, 4EI/l = 16 000, 6EI/l2 = 4 000,

12EI/l3 = 1 333,33

a pak

Prut 4–2:

r4,2 = {0, 0, 0, u2 , w2 , ϕ2}T, kódové �íslo (0, 0, 0, 4, 5, 6),

l4,2 = 3 m, c4,2 = 0, s4,2 = –1, A4,2 = 6 ⋅ 10–2 m2, I4,2 = 4 ⋅ 10–4 m4,

2,4*

2,4 RR = = {0, 0, 0, 0, 0, 0}T.

Do tabulky 11.3(c) pot�ebujeme

EA/l = 400 000, 3EI/l = 8 000, 3EI/l2 = 2 666,66; 3EI/l3 = 888,88

a pro tabulku 11.4(c) podle vztah� (11.146) vy�íslíme

K1 = 888,88; K2 = 0, K3 = –2 666,66; K4 = 400 000, K5 = 0, K6 = 8 000,

takže

Statika II

- 38 (70) -

Analýza prutové soustavy vychází

�ešením soustavy rovnic (11.140) získáme vektor globálních parametr� de-formace

Z vektoru r stanovíme výb�rem pomocí kódových �ísel vektory globálních p�emíst�ní prut� r3,1 , r1,2 = *

2,1r a r4,2 . Pro svislé pruty 3–1, 4–2 je podle (11.100) p�evedeme do lokálních tvar�. Z rovnice (11.89) pak získáme vektory lokálních koncových sil jednotlivých prut�:

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 39 (70) -

V podporových pr��ezech 3 a 4 jsou p�ímo vypo�teny složky reakcí, ale vzhle-dem k lokálním sou�adnicovým soustavám jednotlivých prut� (obr. 11.35d). V uzlech 1 a 2 pak snadno m�žeme zkontrolovat globální rovnováhu. Pr�b�hy složek vnit�ních sil a velikosti složek reakcí vn�jších vazeb rámu jsou uvedeny na obr. 11.35.

Obr. 11.35: Diagramy vnit�ních sil a reakce pravoúhlého rámu

Statika II

- 40 (70) -

3.8.2 Nosník s vnit�ním kloubem

P�íklad 3.2

Zadání

Vy�ešte oboustrann� vetknutý nosník s vnit�ním kloubem z obr. 11.38a. Nosník je konstantního pr��ezu (A = 0,18 m2, I = 3 ⋅ 10–3 m4) s modulem pružnosti E = 2 ⋅ 107 kPa a se zatížením q = 4 kNm–1, F = 5 kN, M = 8 kNm.

�ešení

Uvažujme oba pruty oboustrann� monoliticky p�ipojené (obr.11.38b). Vzhle-dem k absenci osového zatížení je u2 = 0. Vložený kloub v uzlu 2 zp�sobí roz-dílná pooto�ení obou p�ipojených prut�, tedy ϕ2,1 ≠ ϕ2,3 . Každé z nich je pak ozna�eno jiným �íslem parametru deformace. Stupe� p�etvárné neur�itosti je np = 3 a vektor uzlových parametr� deformace je

r = {w2 , ϕ2,1 , ϕ2,3}T.

Obr. 11.38: P�ímý nosník s vnit�ním kloubem

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 41 (70) -

Prut 1–2:

r1,2 = {0, 0, 0, 0, w2 , ϕ2,1}T, kódové �íslo (0, 0, 0, 0, 1, 2).

Pro l1,2 = 5 m, q = 4 kNm–1 a n = 0 je podle tabulky 11.2(a)

2,1*

2,1 RR = = {0; –10; 8,33; 0, –10; –8,33}T.

Pomocí EA/l = 720 000, 2EI/l = 24 000, 4EI/l = 48 000, 6EI/l2 = 14 400 a 12EI/l3 = 5 760 sestavíme podle tabulky 11.3(a)

Prut 2–3:

r2,3 = {0, w2 , ϕ2,3 , 0, 0, 0}T, kódové �íslo (0, 1, 3, 0, 0, 0).

Podle tabulky 11.2(d) pro M = 8 kNm, l = 4 m, a = b = 2 m vyjád�íme

3,2*

3,2 RR = = {0, 3, –2, 0, –3, –2}T.

S hodnotami EA/l = 900 000, 2EI/l = 30 000, 4EI/l = 60 000, 6EI/l2 = 22 500, 12EI/l3 = 11 250 ur�íme z tabulky 11.3(a)

Pro celou prutovou soustavu získáme lokalizací

a �ešení soustavy rovnic je

r = {2,410347; –0,549493; 0,937213}T ⋅ 10–3.

Lokální vektory koncových sil obou prut� podle (11.89) pak vycházejí *

2,1R = {0; –15,971; 29,854; 0; –4,029; 0}T,

*3,2R = {0; 9,029; 0; 0; –9,029; –28,116}T

Statika II

- 42 (70) -

a pomocí nich jsou vykresleny diagramy V, M a schéma složek reakcí na obr. 11.38c–e.

Pokud bychom ur�ovali pouze jedno z pooto�ení ϕ2,1 nebo ϕ2,3 , potom druhý prut než je ten, u n�hož hledáme pooto�ení, se uvažuje jako kloubov� p�ipojený do uzlu 2.

Chceme-li daný nosník �ešit s co nejmenším po�tem rovnic, volíme jinou va-riantu �ešení s ob�ma pruty kloubov� p�ipojenými (odst. …) ke sty�níku 2 (obr. 11.38f) a s nulovými smluvními hodnotami pro pooto�ení ϕ2,1 = ϕ2,3 = 0. Pak vysta�íme pouze s jedinou rovnicí, nebo� v uzlu 2 zbude jen svislý posuv w2 a je tedy np = 1, r = {w2}. Pro oba pruty jednostrann� kloubov� p�ipojené vyjde

Z toho získáme

K = {4,2525} ⋅ 103; F = S –R = {5} – {–7,5 +2,25} = 10,25;

r = {w2} = 3102525,4

25,10⋅

= 2,410347 ⋅ 10–3 m

a vektory koncových sil vyjdou stejn� jako v p�vodní variant�.

Otázky 1. Výhody a nevýhody maticové formy deforma�ní metody.

2. Jednotlivé fáze �ešení prutové soustavy deforma�ní metodou.

3. Co p�edstavuje analýza prutu a v jaké sou�adnicové soustav� se realizu-je?

4. Maticový zápis výraz� pro složky koncových sil; význam jednotlivých vektor� a matic.

5. P�i jakém uložení prutu se vyšet�uje primární a sekundární stav?

6. Význam primárního vektoru.

7. Význam jednotlivých sloupc� matice tuhosti prutu a zp�sob ur�ení jejich prvk�.

Maticová forma obecné deforma�ní metody

- 43 (70) -

8. Pro� jsou v lokální matici tuhosti p�ímého prutu n�které prvky nulové?

9. Co je p�í�inou symetrie matice tuhosti prutu?

10. Pro� se pooto�ení u kloubového p�ipojení jednostrann� kloubov� ulože-ného prutu nemusí uvažovat jako neznámý parametr deformace?

11. Jakou závislost definuje transforma�ní matice; jak se ur�í globální pri-mární vektor a globální matice tuhosti prutu?

12. Zjednodušení p�i transformaci u pravoúhlého rámu.

13. Princip sestavení soustavy rovnic pro ur�ení neznámých globálních pa-rametr� deformace.

14. Postup lokalizace a význam kódového �ísla.

15. Které parametry deformace se využijí k výpo�tu koncových sil?

16. Možnosti výpo�tu globálních složek reakcí.

17. Kdy je výhodné modelovat pro kloubovou podporu prut jednostrann� kloubov� ukon�ený?

18. Možnosti modelování vnit�ního kloubu v rámu.

19. Lze �ešit základní p�etvárn� ur�itý p�ípad prutu jednostrann� monoliticky p�ipojeného deforma�ní metodou?

Shrnutí

Odvození pot�ebných vztah�, matic a vektor� v obecné deforma�ní metod� je pon�kud zdlouhavé a na první pohled mén� p�ehledné. Vlastní algoritmus �e-šení prutové soustavy obecnou deforma�ní metodou je však velmi p�ehledný, snadno algoritmizovatelný a m�žeme ho shrnout do t�chto bod�:

• Analýza prut

– ur�ení lokálních vektor� a matic prut� *abR , *

abk ,

– geometrická transformace do globálních sou�adnic (matice Tab),

– ur�ení globálních vektor� a matic prut� abR , kab .

• Analýza prutové soustavy

– ur�ení matice tuhosti celé konstrukce a pravé strany K , F ,

– �ešení soustavy rovnic (podmínek rovnováhy) a získání vektoru r.

• Analýza prut

– výb�r globálních parametr� deformace prutu rab ,

– ur�ení lokálních parametr� deformace prutu *abr ,

– ur�ení vektoru lokálních koncových sil *abR ,

– vykreslení prb�h N, V, M ,

– ur�ení vektoru globálních koncových sil Rab .

Statika II

- 44 (70) -

• Kontrola �ešení prutové soustavy

– globální rovnováha ve sty�nících podle rovnic (10.4), resp. (10.5),

– ur�ení globálních složek reakcí,

– globální rovnováha prutové soustavy (zatížení a reakce).

Na rozdíl od silové metody, která využívá staticky ur�itou základní soustavu, se v obecné deforma�ní metod� �eší naprosto stejným algoritmem prutové kon-strukce staticky ur�ité i staticky neur�ité. Platí to zejména p�i použití programu. P�i ru�ním �ešení bychom vzhledem k náro�nosti obecné deforma�ní metody �ešili staticky ur�itou konstrukci pouze s využitím podmínek rovnováhy.

P�i �ešení prutové konstrukce deforma�ní metodou je vždy vhodné zkontrolo-vat i statickou neur�itost, abychom omylem nezadávali do programu �i ne�ešili rušn� mechanismus.

Další možnosti �ešení

- 45 (70) -

4 Další možnosti �ešení

V této kapitole se stru�n� zmíníme o n�kterých alternativních �ešení �i varian-tách, s nimiž se m�žeme p�i použití obecné deforma�ní metody také setkat. Uvedeme rovn�ž další možnosti, jako je nap�. vliv deforma�ního zatížení, pop�. specifikujeme možnosti �ešení u jiných typ� prutových konstrukcí, než byly d�íve citované rámové soustavy. Poslední poznámka se bude týkat základních úprav pro zjednodušenou deforma�ní metodu s podstatnou redukcí po�tu rov-nic.

4.1 Jiný tvar globální matice a vektoru prutu

V odst. 3.5 jsme uvedli, že se používají dv� varianty vytvo�ení globálních vek-tor�, a to varianta zkrácená, u níž se uvažují jen volné globální parametry de-formace a po�et neznámých je np , a varianta nezkrácená, u níž se uvažují pa-rametry všech uzl� v�etn� podporových bod� a po�et neznámých je 3n.

Nezkrácenou variantu si osv�tlíme na obecn� �ešeném p�íkladu rámu z obr. 11.2a. Pro 4 uzly a podporové body se sestavuje vyšší po�et rovnic, a to np = 3n = 12. Každý uzel má vždy celou trojici �ísel pro parametry deformace, takže v p�íkladu je

(1, 2, 3), (4,5,6), (7, 8, 9), (10, 11, 12).

Podtržená �ísla neznámých p�edstavují vázané parametry (úložné �i okrajové podmínky). Vektory parametr� deformace (11.16) a uzlových sil (11.17) mají rozm�ry 3n.

Lokalizace matice K z matic kab a vektoru R z vektor� abR pak probíhá pod-le kódových �ísel

(7, 8, 9, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 10, 11, 12).

Soustava rovnic (11.140) v po�tu 3n však nemá jednozna�né �ešení, nebo� ma-tice K je singulární a její determinant je roven nule. Je to d�sledek dosud ne-uplatn�ných úložných podmínek (konstrukce zatím není nehybná). Pro zajišt�-ní regulární matice tuhosti se soustava rovnic musí upravit. Obvykle se pone-chá p�vodní rozm�r matice K i vektoru F, ale dodate�n� se ošet�í vliv uložení. Realizuje se tak, že

– každý �ádek odpovídající vazb� v matici K a ve vektoru F se vynu-luje,

– z d�vodu symetrie K se vynulují i odpovídající sloupce,

– do diagonálního prvku matice K se p�i�adí „1“,

– vytvo�í se vlastn� podmínky rovnováhy formou triviální rovnice ri ⋅ 1 = 0.

Podrobnosti v�etn� grafického ztvárn�ní uvedeného postupu lze nalézt v u�eb-nici [1] na str. 286 – 287.

Statika II

- 46 (70) -

4.2 Spojitý nosník

Vodorovný spojitý nosník se v zásad� �eší jako kterákoliv rámová konstrukce. Zvláštností je, že globální osa x je totožná s lokálními osami x∗ všech prut�, proto se nemusí provád�t geometrická transformace (cos γab = 1, sin γab = 0, Tab = E) a k sestavení soustavy rovnic se využijí p�ímo lokální matice a vekto-ry. Uzly jsou pouze dvojnásobné a vkládají se obvykle pouze nad podpory.

P�i ru�ním �ešení obecnou deforma�ní metodou m�žeme (pro úsporu práce) rozlišit tyto alternativy �ešení:

• Nosník má více vazeb proti osovému posunu a obecné zatížení. Pak �e-šení probíhá stejn� jako u rovinného rámu.

• Existuje pouze jediná vazba proti osovému posunu a zatížení je obecné. Pak v p�ípad�, že nás zajímají osové dilatace, probíhá �ešení jako u ro-vinného rámu. V p�ípad�, že nesledujeme osové dilatace, �ešení se zjednoduší, nebo� m�žeme uvažovat smluvní hodnoty ui = 0.

• Má-li nosník pouze jedinou vazbu proti osovému posunu a jen p�í�né zatížení, bude vždy ui = 0 a jedinými neznámými veli�inami z�stanou volná pooto�ení ϕi , takže dostáváme minimální po�et neznámých np. S podobnými výhodami je �ešen i d�íve uvedený numerický p�íklad 3.2.

Obr. 11.18: Pruty s výškovými náb�hy

4.3 Pruty prom�nného pr�ezu

Náb�hy mohou být výškové (jsou staticky ú�inn�jší) nebo ší�kové. Realizují se u konc� monoliticky p�ipojených do uzl�. Zp�sobují zak�ivení st�ednice, které se obvykle zanedbává, takže se uvažuje p�vodní p�ímá osa (obr. 11.18).

Pro neprizmatické pruty jsou primární vektory *abR a lokální matice tuhosti *

abk vyjád�eny ve vztazích (11.33), (11.54), (11.66) a (11.48), (11.62), (11.68) po-mocí základních deforma�ních sou�initel δ1, αab, αba, β prostého nosníku a sou�initel δ0, ϕab, ϕba s veli�inami R, Zab,0 , Zba,0 daného silového zatížení prostého nosníku.

Obr. 11.39: Nosník s p�ímkovým náb�hem

Další možnosti �ešení

- 47 (70) -

Nej�ast�jším p�ípadem je prut s výškovým p�ímkovým náb�hem oboustranným (symetrickým) nebo jednostranným (viz obr. 11.18).

Každý prut s náb�hem (obr. 11.39) lze pomocí dalšího um�le vloženého uzlu rozd�lit na �ást s konstantním pr��ezem a na �ást pouze s náb�hem. Základní deforma�ní sou�initele lze pak ur�it

• numerickou integrací (nap�. Simpsonovo pravidlo),

• vyjád�ením explicitních výraz (s použitím Maxwellova-Mohrova vztahu), viz nap�. obr. 11.19; odvození pro prut s výškovým p�ímko-vým náb�hem je provedeno v u�ebnici [1] na str. 264 – 266.

• pomocí tabulek deforma�ních úhl� prut� s náb�hy (nap�. tabulky 14.6 a 14.7 v u�ebnici [1]).

Obr. 11.19: Prut s lineární zm�nou výšky pr��ezu

4.4 Deforma�ní zatížení

4.4.1 Vliv zm�ny teploty

P�edpokladem �ešení je lineární pr�b�h teploty po výšce pr��ezu a konstantní hodnota teploty po ší�ce pr��ezu. Vliv zm�ny teploty na prut se vyjad�uje (obr. 11.22) oteplením st�ednice prutu ∆t0 a rozdílem ∆t1 p�ír�stku teploty dolních (∆td) a horních (∆th) vláken pr��ezu. Oba p�ípady lze vyšet�ovat odd�len�.

Obr. 11.22: Rozklad lineární zm�ny teploty po výšce pr��ezu

Teplotní rozdíl

∆t1 = ∆td – ∆th (11.111)

Statika II

- 48 (70) -

obsahuje ve znaménku konvenci p�edpokládaného p�etvo�ení prutu. Zm�na teploty st�ednice záleží na tom, zda t�žišt� leží uprost�ed výšky pr��ezu (nap�. obdélník), pak

– obecná poloha t�žišt� po výšce pr��ezu

10 thh

tt th ∆+∆=∆ (11.113)

Lokální matice tuhosti kab prutu z�stává stejná jako u silového zatížení.

Rovnom�rné oteplení zm�ní délku prutu o δδδδ0 p�i obecné funkci ∆t0

a p�i konstantní funkci ∆t0

kde αt je sou�initel tepelné roztažnosti.

Zm�na délky prutu vyvolá u prizmatického prutu primární koncovou sílu

0

**tEAXX tabba ∆−=−= α (11.117)

a p�i ∆t0 = konst.

Lineární zm�na teploty po výšce pr��ezu vyvolá ohyb prutu.

Koncová pooto�ení p�i obecné funkci ∆t1

a p�i konstantní funkci ∆t1 u prizmatického prutu

Ohyb prutu vyvolá primární koncové momenty

a p�i ∆t1 = konst. u prizmatického prutu

1

** 1tEI

hMM tbaab ∆=−= α (11.120)

P�í�né primární síly (∆t1 = konst.)

4.4.2 Dané nepružné p�emíst�ní podpor

Další možnosti �ešení

- 49 (70) -

Obr. 11.23: Popušt�ní podpory

{ }Taaaab wu 0,0,0,~,~,~~ ϕ=r (11.124)

ababab rkR ~~ = (11.125)

Podporové body se mohou – pružn� deformovat (zde nevyšet�ujeme)

– nepružn� p�emís�ovat

Vlastnosti:

– hodnoty p�emíst�ní se zadávají v globální sou�adnicové soustav�

– vliv daného p�emíst�ní se vyjad�uje prost�ednictvím prutu – p�evádí se

na primární ú�inky Rab

– matice tuhosti prutu kab z�stává stejná jako u silového zatížení

Podporový bod a se p�emístí o zadanou hodnotu

– vodorovného posunu ua

– svislého posunu wa

– pooto�ení ϕa

Primární stav vytvo�íme:

– vynulujeme neznámé parametry deformace

volných uzl� (zajistíme nehybnou soustavu)

– podporovým bod�m s daným p�emíst�ním

p�id�líme dané složky p�emíst�ní

– sestavíme globální vektor daných složek

p�emíst�ní prutu ab

– ur�íme vyvolaný globální primární vektor

(jako sekundární �ást)

Statika II

- 50 (70) -

– pruty nedot�ené daným p�emíst�ním mají

Rab = 0

Výpo�et koncových sil prut

– vektor rab obsahuje neznámé parametry deformace a u vazby hodnoty

– transformací p�evedeme rab na rab a �ešíme jako u silového zatížení

4.5 P�íhradový nosník

Obr. 11.41: P�íhradový nosník

4.6 Zjednodušená deforma�ní metoda

Zjednodušená deforma�ní metoda – skalární tvar

P�edpoklady – p�etvo�ení prutu je vyvoláno jen ohybem

– zanedbáváme vliv N (prut je nestla�itelný) a V

– použitelné pouze pro pravoúhlé rámy,

v�tšinou s pruty stálého pr�ezu np,z … pomocí základní deforma�n� ur�ité soustavy

(vkládáním nezbytn� nutného po�tu fiktivních vazeb

pro vytvo�ení nehybné soustavy)

Další možnosti �ešení

- 51 (70) -

Obr. 12.1: T�i fiktivní vazby volného sty�níku

Neznámé veli�iny:

– pooto�ení sty�ník� ϕ

– posunutí celých skupin sty�ník� (na spole�né pr�b�žné p�í�li, pr�b�žném sloupu)

u, w → ∆I , ∆II , … → ψab

Koncové síly

Ozna�ují se jako složky vnit�ních sil

Nab , Vab , Mab , Nba , Vba , Mba

Znaménková konvence: N , V … jako v silové metod�

(pružnostní konvence):

N – tahové

V – pootá�í prutem ve smyslu

chodu hodinových ru�i�ek

M – otá�í koncem prutu ve smyslu

chodu hodinových ru�i�ek Koncové momenty – oboustrann� upnutý prut

Koncové momenty závisí na:

– silovém zatížení … primární stav

– deformaci prutu … sekundární stav

uvažují se pooto�ení (kladná ve sm�ru chodu hodinových ru�i�ek):

– koncových pr��ez� ϕa , ϕb

– prutová ψab (prutová výchylka)

Výsledné koncové momenty

kde jsou prutové konstanty:

a – ohybová tuhost konce prutu koncové momenty

b – p�evedená tuhost konce prutu od jednotkových

c – výchylková tuhost konce prutu deformací ; platí

Statika II

- 52 (70) -

nebo� podle Maxwellovy v�ty je

Prutové konstanty lze vyjád�it pomocí základních deforma�ních úhl� prostého nosníku

kde

Pro prut stálého pr�ezu je

takže prutové konstanty jsou

Zavedeme-li (skute�nou) ohybovou tuhost prutu stálého pr��ezu

získáme základní vztahy zjednodušené deforma�ní metody

nebo vyjád�ené místo ψab pomocí ∆wab (12.1):

Jednostrann� kloubov� p�ipojený prut Koncový moment obecn�

kde aba,k , cba,k je ohybová a výchylková tuhost konce prutu s kloubem:

Pro prut konstantního pr�ezu vychází

a pro koncový moment platí

neboli

kde

Pomocí ∆wab (12.1) lze vyjád�it

Prut stálého pr�ezu – pom�rné tuhosti

P�i ru�ním �ešení zjednodušenou deforma�ní metodou se nepracuje se skute�nou ohybovou tuhostí (dále zna�ena ∗)

ale s pom�rnou ohybovou tuhostí kde konstanta c (stejná pro všechny pruty rámu) je volena tak, aby všechny kab byly �ádov� v jednotkách; nej�ast�ji c = 103 nebo c = 104.

Platí vztah mezi tuhostmi

a mezi pooto�eními

Zatížení – silové … lze použít pom�rné ohybové tuhosti

– deforma�ní … nutno použít skute�né ohybové tuhosti

Vnit�ní síly p�ímého prutu (stálého pr��ezu)

Na prut p�sobí

– dané silové zatížení

– koncové momenty Mab , Mba

(v konvenci zjednodušené def. metody)

Mezipodporový moment kde Mx,0 je ohybový moment na

Další možnosti �ešení

- 53 (70) -

prostém nosníku od daného zatížení.

Posouvající síla v libovolném pr��ezu

kde Vx,0 je posouvající síla prostého

nosníku od daného zatížení, pro koncové

momenty Mab , Mba platí (12.18).

V koncových pr��ezech:

neboli

kde

Prut levostrann� kloubov� ukon�ený Mab,k = 0, Mba,k (12.25),

platí (12.37) s jedním nulovým koncovým momentem, nebo:

kde

Normálové síly v koncových pr��ezech prut� se �eší

ze sou�tových podmínek rovnováhy

uvoln�ných sty�ník�:

výpo�et normálových sil

… sestavení sty�níkové rovnice (viz dále)

Postup �ešení N:

a dále nap�. v pr��ezu x :

Výskyt staticky neur�ité �ásti v rámu:

Pr�b�žný prut (nap�. a–b–c–d)

oboustrann� neposuvn� uložený v a, d

poskytuje pouze 2 silové podmínky

do vodorovné osy (v uzlech b, c)

pro 3 neznámé osové síly Nab, Nbc, Ncd.

Zp�sob �ešení:

– jako osov� staticky neur�itá �ást

– obecnou deforma�ní metodou

Sty�níková rovnice Za rovnovážného stavu (po deformaci rámu) musí být v každém uzlu spln�na momentová podmínka rovnováhy

kde Mai jsou koncové momenty monoliticky p�ipojených prut�,

Ma je momentové zatížení uzlu.

Statika II

- 54 (70) -

Po rozepsání (12.46)

kde

Sty�níková rovnice uzlu a

Patrová rovnice

– sestavuje se pro každý nezávislý posun u, w → ∆ → ψ

– vyjad�uje silovou podmínku rovnováhy uvoln�né �ásti rámu (odd�le-nou �ezem) se všemi uzly spole�ného posunu

P�íklad sestavení patrových rovnic:

T�i fiktivní silové vazby brání

– vodorovnému posunu �ásti a–b–c … ∆I

– vodorovnému posunu �ásti e–d … ∆II

– svislému posunu �ásti e–b … ∆III

Nezávislé posuny ∆ vyjád�íme pomocí zvolených nezávislých pruto-vých pooto�ení Závislá prutová pooto�ení (ur�íme z geometrických rovnic):

V p�íkladu sestavíme – 5 sty�níkových rovnic pro ϕa , ϕb , ϕc , ϕd , ϕe

– 3 patrové rovnice pro ψI , ψII , ψIII

Pro zajišt�ní symetrické soustavy rovnic p�i použití ψ je nutno dodr-žet zásady:

– �ezem m�žeme p�etnout pouze jeden prut s nezávislým ψ , všechny ostatní pruty

mají závislá ψ (nesmíme �ezem p�etnout prut s jiným nezávislým ψ)

– celou rovnici roznásobíme délkou prutu s nezávislým ψ

Patrová rovnice pro ψψψψI podle obr. (d)

– �ez vedeme hlavami sloup� a–f , c–g

a uvolníme celou horní �ást

– ú�inek odstran�né spodní �ásti

nahradíme kladnými posouvajícími

silami Vaf , Vcg

– silová podmínka:

kde

takže po úprav� získáme obecný tvar

Další možnosti �ešení

- 55 (70) -

P�i použití �ezu podle obr. (g) p�etneme prut b–e s jiným nezávislým pooto�ením ψII, rovnice by byla použitelná (soustava �ešitelná), ale sou-stava by byla nesymetrická.

Patrová rovnice pro ψψψψII podle obr. (e) – uvolníme horní �ást rámu

(jediná možnost)

– silová podmínka

kde

a po úprav�

Patrová (sloupová) rovnice pro ψψψψIII podle obr. (f) – vyjmeme sloup b–e

– silová podmínka do svislé osy

kde

a podobn� sestavíme obecný tvar patrové rovnice.

Alternativa sestavení patrových rovnic

P�i použití neznámých patrových posun� ∆ vedeme �ezy tak, aby každá vyjmutá �ást rámu obsahovala všechny uzly se spole�ným posunem ∆ :

Podmínka rovnováhy

dává patrovou rovnici

Další p�íklady vedení patrových �ez Posuvná kloubová podpora

Posun vnit�ního kloubu

4.6.1 Rekapitulace postupu �ešení rámu ZDM s pruty konstantní-ho pr��ezu

•••• Pom�rné ohybové tuhosti – prut oboustrann� upnutý

(12.31)

– prut jednostrann� kloubov� ukon�ený

(12.26)

•••• Koncové momenty – prut oboustrann� upnutý

(12.18)

– prut jednostrann� kloubov� ukon�ený

(12.25)

Statika II

- 56 (70) -

•••• Koncové posouvající síly

(12.37)

•••• Sestavení sty�níkových a patrových rovnic

v neznámých pooto�eních ϕ , ψ . �ešení soustavy rovnic.

•••• Výpo�et – koncových moment�

– koncových posouvajících sil

– normálových sil

– mezipodporových moment�

– reakcí

•••• Vykreslení prb�h složek vnit�ních sil

•••• Kontrola rovnováhy

– moment� v uzlech

– posouvajících sil a vn�jšího zatížení v patrových �ezech

– celé rámové soustavy

abbaababbababa

ababbabaababab

cbaMM

cbaMM

ψϕϕψϕϕ

−++=−++=

(12.3)

)32(

)32(

abababbaba

abbaababab

kMM

kMM

ψϕϕψϕϕ

−++=−++=

(12.18)

)(23

)22(' ,,, abbabkbaabbabkbakba kMkMM ψϕψϕ −+=−+= (12.25)

ab

baabx

xxx

lxMxM

M

MMM

−+=

=∆+='

0,

0,

(12.35)

ab

baabxxxx l

MMVVVV

+−=∆+= 0,0, (12.36)

),,,( edcbiMM aai ==� (12.46)

Další možnosti �ešení

- 57 (70) -

Obr. 12.2: Základní deforma�n� ur�itá soustava

Obr. 12.5: Složky vnit�ních sil N, V, M, v koncových pr��ezech prutu

Statika II

- 58 (70) -

Obr. 12.6: Prut oboustrann� pružn� upnutý

Obr. 12.10: Pružn� upnutý prut s p�í�ným zatížením

Další možnosti �ešení

- 59 (70) -

Obr. 12.13: Monolitický sty�ník rovinného rámu

Obr. 12.14a: Rovinný patrový rám s nepr�b�žným sloupem

Obr. 12.14b: Rovinný patrový rám s nepr�b�žným sloupem

Obr. 12.14c: Rovinný patrový rám s nepr�b�žným sloupem

Statika II

- 60 (70) -

Obr. 12.14d: Rovinný patrový rám s nepr�b�žným sloupem

Obr. 12.14e: Rovinný patrový rám s nepr�b�žným sloupem

Obr. 12.14f: Rovinný patrový rám s nepr�b�žným sloupem

Obr. 12.14g: Rovinný patrový rám s nepr�b�žným sloupem

Obr. 12.16: Jednoduchý rovinný rám s vnit�ním kloubem

Otázky 1. Zp�sob �ešení vlivu nerovnom�rné zm�ny teploty na pruty rovinného

rámu.

2. Zp�sob vyšet�ování vlivu daného nepružného p�emíst�ní podpor rámu.

3. Kdy je matice tuhosti prutové soustavy singulární a jak singularitu od-straníme?

4. V jakém p�ípad� uvažujeme u spojitého nosníku nulové osové posuvy?

Další možnosti �ešení

- 61 (70) -

5. Pro� nelze �ešit p�íhradovou soustavu zjednodušenou deforma�ní meto-dou?

Shrnutí

Pro ú�ely budoucí statické analýzy prutových konstrukcí byly zaveden a osv�t-len pojem kvadratických moment� rovinných obrazc�. Definovali jsme pojmy momenty setrva�nosti a devia�ní momenty jednoduchých obrazc�. k pooto�eným sou�adným osám, abychom analyticky i graficky (Mohrova moment setrva�nosti.

Statika II

- 62 (70) -

Tabulky

- 63 (70) -

5 Tabulky

V této kapitole jsou pro prizmatický prut (prut konstantního pr��ezu) uvedeny obecn� použitelné tabulky, vhodné pro ukázkové ru�ní �ešení jednoduchých rámových konstrukcí.

Tab. 11.2: Primární vektory koncových sil *abR (obr. 11.2) prizmatického prutu

Statika II

- 64 (70) -

Obr. 11.2: Konvence koncových sil k tab. 11.2 a 11.5

Tab. 11.3: Lokální matice tuhosti prutu konstantního pr��ezu

Tabulky

- 65 (70) -

Tab. 11.4: Globální matice tuhosti prizmatického prutu

Statika II

- 66 (70) -

Tab. 11.4: Globální matice tuhosti prizmatického prutu (pokra�ování)

Tabulky

- 67 (70) -

Tab. 11.5: Primární vektory koncových sil *abR (obr. 11.2) prizmatického prutu

od zm�ny teploty

Statika II

- 68 (70) -

Studijní prameny

- 69 (70) -

6 Studijní prameny

6.1 Seznam použité literatury

[1] Kadl�ák, J., Kytýr, J. Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neur�ité prutové konstrukce. U�ebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004

[2] Benda, J. a kol. Statika stavebních konstrukcí II. Skriptum. CERM, Brno 1996

[3] Kadl�ák, J., Kytýr, J. Statika stavebních konstrukcí III. Skriptum. VUT v Brn�, Brno 1991

6.2 Seznam dopl�kové studijní literatury

[4] Chobot, K., Draho�ovský, Z., Hájek, V., Novotná, H. Statika staveb-ních konstrukcí III. U�ebnice. SNTL/ALFA, Praha 1985

[5] Sobota, J. Statika stavebných konštrukcií 2. ALFA, Bratislava 1991

[6] Harvan�ík, J., Pekarovi�, J., Sobota, J. Stavebná mechanika – príklady. ALFA/SNTL, Bratislava 1986

[7] Cais, S. Statika stavebních konstrukcí – D�jiny stavební mechaniky. Dopl�ková skripta. VUT, Praha 1991

6.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny

[8] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians

Statika II

- 70 (70) -

Poznámky