Statistika, Biostatistika pro kombinované studiumkra0220/tutorialy_sta/t1_KombTP.pdf · 2019-03-22 · Kombinatorika Úvod do teorie pravdepodobnostiˇ Statistika, Biostatistika

KombinatorikaÚvod do teorie pravdepodobnosti

Pravdepodobnost a statistikapro kombinované studium

Letní semestr 2019/2020

Tutoriál c. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravdepodobnosti

Jan Krací[email protected]


Kombinatorika


Kombinatorika zkoumá pocty ruzných výberu z danéhosouboru.

Príklady:Kolika zpusoby lze seradit balícek mariášových karet?Kolika zpusoby lze vylosovat 6 z 49 císel?Kolik je trojciferných císel složených z císlic 1, 2 a 3?

Využití: základní pravdepodobnostní úlohy, . . .Jaká je pravdepodobnost výhry prvního poradí ve Sportce?


Kombinatorické pravidlo soucinu

Pocet všech usporádaných k -tic, jejichž 1. clen lze vybrat n1zpusoby, 2. clen n2 zpusoby atd., je roven n1 · n2 · . . . · nk .

Príklad:Na jídelním lístku jsou 2 predkrmy, 3 polévky, 5 hlavních jídel a2 moucníky. Kolik ruzných obedu lze z této nabídky sestavit?

Rešení:2 (predkrmy) · 3 (polévky) · 5 (hl. jídel) · 2 (moucníky) = 60












Zpusoby výberu:

podle usporádání prvku (“Záleží na poradí?”)

usporádané (variace, permutace)neusporádané (kombinace)

podle opakování prvku (“Mohou se prvky opakovat?”)

s opakovánímbez opakování


Zpusoby výberu:

podle usporádání prvku (“Záleží na poradí?”)usporádané (variace, permutace)neusporádané (kombinace)

podle opakování prvku (“Mohou se prvky opakovat?”)

s opakovánímbez opakování


Zpusoby výberu:

podle usporádání prvku (“Záleží na poradí?”)usporádané (variace, permutace)neusporádané (kombinace)

podle opakování prvku (“Mohou se prvky opakovat?”)s opakovánímbez opakování


bez opakování s opakováním

variace V (n, k) = n!(n−k)! V ?(n, k) = nk

permutace P(n) = V (n, n) = n! P?(n1, n2, . . . , nk ) =(n1+n2+...+nk )!

n1!·n2!·...·nk !

kombinace C(n, k) =(n

k

)= n!

(n−k)!k! C?(n, k) =(n+k−1

k

)= (n+k−1)!

(n−1)!k!

Znacení:

faktoriáln! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1

kombinacní císlo (nk

)=

n!

(n − k)!k !


bez opakování s opakováním

variace V (n, k) = n!(n−k)! V ?(n, k) = nk

permutace P(n) = V (n, n) = n! P?(n1, n2, . . . , nk ) =(n1+n2+...+nk )!

n1!·n2!·...·nk !

kombinace C(n, k) =(n

k

)= n!

(n−k)!k! C?(n, k) =(n+k−1

k

)= (n+k−1)!

(n−1)!k!

Znacení:

faktoriáln! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1

kombinacní císlo (nk

)=

n!

(n − k)!k !


Príklad:Kolika zpusoby lze obsadit stupne vítezu v závode s 20úcastníky?

Rešení:1. místo lze obsadit 20 zpusoby.2. místo lze obsadit 19 zpusoby (všichni krome 1.).3. místo lze obsadit 18 zpusoby (všichni krome 1. a 2.)celkem: 20 · 19 · 18 = 6840 zpusobu


Rešení s využitím vzorecku:

Vybíráme 3 závodníky z 20.Záleží na poradí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) 6= (1.Tonda, 2. Franta, 3. Jarda)Bez opakování

Jedná se tedy o variace 3. trídy z 20 prvku bez opakování.

V (20,3) =20!

(20− 3)!=

20 · 19 · 18 · 17 · . . . · 117 · 16 · . . . · 1

= 20 · 19 · 18



Vybíráme 3 závodníky z 20.Záleží na poradí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) 6= (1.Tonda, 2. Franta, 3. Jarda)Bez opakování

Jedná se tedy o variace 3. trídy z 20 prvku bez opakování.

V (20,3) =20!

(20− 3)!=

20 · 19 · 18 · 17 · . . . · 117 · 16 · . . . · 1

= 20 · 19 · 18


Príklad:Kolik ruzných trojic závodníku muže stanout na stupních vítezuv závode s 20 úcastníky?

Rešení:

Už víme: Stupne lze obsadit 20 · 19 · 18 = 6840 zpusoby.

Ale: Každá trojice muže stupne obsadit 3 · 2 · 1 = 6zpusoby a je tak v 6840 zapcítána 6 krát.

Ruzných trojic tedy muže na stupních stanout

20 · 19 · 183 · 2 · 1

=6840

6= 1140.


Príklad:Kolik ruzných trojic závodníku muže stanout na stupních vítezuv závode s 20 úcastníky?

Rešení:

Už víme: Stupne lze obsadit 20 · 19 · 18 = 6840 zpusoby.Ale: Každá trojice muže stupne obsadit 3 · 2 · 1 = 6zpusoby a je tak v 6840 zapcítána 6 krát.

Ruzných trojic tedy muže na stupních stanout

20 · 19 · 183 · 2 · 1

=6840

6= 1140.



Vybíráme 3 závodníky z 20.Nezáleží na poradí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) = (1.Tonda, 2. Franta, 3. Jarda)Bez opakování.

Jedná se tedy o kombinace 3. trídy z 20 prvku bez opakování.

C(20,3) =20!

(20− 3)!3!=

20 · 19 · . . . · 1(17 · 16 · . . . · 1)(3 · 2 · 1)

=20 · 19 · 18

3 · 2 · 1


Príklad:Kolika zpusoby lze umístit 10 knih vedle sebe na polici tak, abyurcité 3 byly vedle sebe?

Rešení:

3 vybrané knihy lze usporádat do 3 · 2 · 1 ruzných trojic.Trojici lze umístit 8 zpusoby (1. kniha z trojice muže být na1.–8. míste na polici).7 zbylých knih lze na 7 zbylých pozic rozmístit 7 · 6 · . . . · 1zpusoby.

Knihy lze usporádat celkem 8 · 3! · 7! = 241920 zpusoby.



Není!Variace, permutace, kombinace predstavují pouze základnízpusoby výberu.Nezbývá, než myslet ...


Úvod do teorie pravdepodobnosti


Teorie pravdepodobnosti: Matematická disciplína zabývajícíse popisem zákonitostí týkajících se náhodných jevu.

Náhodný pokus: Dej, jehož výsledek nejsme schopni predemjednoznacne urcit.

Náhodný jev: Tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O jehopravdivosti lze rozhodnout po skoncení pokusu.


Príklad náhodného pokusu: Hod kostkouPrubeh hodu je deterministický proces. Rídí se fyzikálnímizákony.Neznáme však (dostatecne presne):

pocátecní podmínky (orientace kostky, výchozí pozice arychlost hodu, rotace kostky, . . . )vnejší podmínky (polohy prekážek, rozložení hmoty kostky,síly pusobící na kostku . . . )okolní vlivy (vítr, . . . ). . .

I kdybychom znali všechny podmínky pokusu, neumímevyrešit pohybové rovnice s dostatecnou presností.

Náhodnost je dusledkem nedostatku informací a omezenýchschopností.


Príklady náhodných jevu:Na kostce padne c. 3.Na kostce padne liché císlo.Na kostce padne císlo menší než 7 (jev jistý - nastanevždy).Na kostce padne císlo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy).

Pocet príchozích požadavku na web server behemnásledující hodiny bude vetší než 300.Koruna zítra posílí vuci Euru.

Poznámka: Náhodná velicina prirazuje náhodným jevum císelnou hodnotu(pocet príchozích požadavku, zítrejší kurz koruny), viz 2. tutoriál


Príklady náhodných jevu:Na kostce padne c. 3.Na kostce padne liché císlo.Na kostce padne císlo menší než 7 (jev jistý - nastanevždy).Na kostce padne císlo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy).Pocet príchozích požadavku na web server behemnásledující hodiny bude vetší než 300.Koruna zítra posílí vuci Euru.



Príklady náhodných jevu:Na kostce padne c. 3.Na kostce padne liché císlo.Na kostce padne císlo menší než 7 (jev jistý - nastanevždy).Na kostce padne císlo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy).Pocet príchozích požadavku na web server behemnásledující hodiny bude vetší než 300.Koruna zítra posílí vuci Euru.



Elementární jev ω: výsledek náhodného pokusu

Prostor elementárních jevu (základní prostor) Ω: množinavšech elementárních jevu (casto nekonecná)

Náhodný jev A: podmnožina základního prostoru, A ⊂ Ω

Jev A nastal, jestliže ω ∈ A.

Jistý jev: A = Ω, nastane vždy

Nemožný jev: A = ∅, nikdy nenastane


Elementární jev ω: výsledek náhodného pokusu

Prostor elementárních jevu (základní prostor) Ω: množinavšech elementárních jevu (casto nekonecná)

Náhodný jev A: podmnožina základního prostoru, A ⊂ Ω

Jev A nastal, jestliže ω ∈ A.

Jistý jev: A = Ω, nastane vždy

Nemožný jev: A = ∅, nikdy nenastane


Náhodné jevy reprezentujeme množinami→ operace s jevyjsou operace s množinami.

Rovnost jevu: A = B; A nastane, práve když nastane BA je podjev jevu B: A ⊂ B; nastane-li A, nastane BDisjunktní (neslucitelné) jevy: A ∩ B = ∅; A a B nemohounastat soucasneDoplnek jevu A: A = Ω\A; nastane-li A, nenastane A anaopakSjednocení jevu: A ∪ B; nastane A nebo B (nebo oba)Prunik jevu: A ∩ B; nastane A a soucasne BRozdíl jevu: A\B; nastane A a nenastane B


Náhodné jevy reprezentujeme množinami→ operace s jevyjsou operace s množinami.

Rovnost jevu: A = B; A nastane, práve když nastane BA je podjev jevu B: A ⊂ B; nastane-li A, nastane BDisjunktní (neslucitelné) jevy: A ∩ B = ∅; A a B nemohounastat soucasneDoplnek jevu A: A = Ω\A; nastane-li A, nenastane A anaopakSjednocení jevu: A ∪ B; nastane A nebo B (nebo oba)Prunik jevu: A ∩ B; nastane A a soucasne BRozdíl jevu: A\B; nastane A a nenastane B


Pro náhodné jevy platí De Morganova pravidla.

A ∪ B = A ∩ B

A ∩ B = A ∪ B


Úplná množina vzájemne disjunktních jevu A1,A2, . . . ,An:A1,A2, . . . ,An ⊂ Ω

Ai ∩ Aj = ∅ pro i 6= j(žádné dva jevy nenastanou soucasne)⋃n

i=1 Ai = Ω(nastane práve jeden z jevu A1 . . . ,An)

Príklad: hod kostkou

Ω = 1,2,3,4,5,6A1 = 1,2,4,A2 = 3,5,A3 = 6


Úplná množina vzájemne disjunktních jevu A1,A2, . . . ,An:A1,A2, . . . ,An ⊂ Ω

Ai ∩ Aj = ∅ pro i 6= j(žádné dva jevy nenastanou soucasne)⋃n

i=1 Ai = Ω(nastane práve jeden z jevu A1 . . . ,An)

Príklad: hod kostkou

Ω = 1,2,3,4,5,6A1 = 1,2,4,A2 = 3,5,A3 = 6


Pravdepodobnost vyjadruje míru ocekávatelnosti výskytunáhodného jevu.

vyjadrujeme císlem z 〈0; 1〉pravdepodobnost nemožného jevu: 0pravdepodobnost jistého jevu: 1


Klasická definice pravdepodobnosti

Ω se skládá z n elementárních jevu se stejnou šancívýskytupocet elementárních jevu príznivých jevu A je m

P(A) =mn


Príklad:Jaká je pravdepodobnost výhry prvního poradí ve Sportce?

Losuje se 6 z 49 císel.pocet elementárních jevu: n =

(496

)= 13983816

každá šestice císel je vylosována se stejnou šancípocet príznivých jevu: m = 1

P(A) =1

13983816


Príklad:Jaká je pravdepodobnost výhry prvního poradí ve Sportce?

Losuje se 6 z 49 císel.pocet elementárních jevu: n =

(496

)= 13983816

každá šestice císel je vylosována se stejnou šancípocet príznivých jevu: m = 1

P(A) =1

13983816


Axiomatická (Kolmogorovova) definice pravdepodobnosti

Definuje pojem pravdepodobnosti, ale neudává návod na jejístanovení.

Pravdepodobnost je funkce P prirazující každémunáhodnému jevu A ⊂ Ω císlo P(A) z intervalu 〈0; 1〉.

P musí splnovat následující podmínky:P(Ω)=1pro posloupnost vzájemne neslucitelných jevu A1,A2, . . .platí

P

( ∞⋃n=1

An

)=

∞∑n=1

P(An)


Axiomatická (Kolmogorovova) definice pravdepodobnosti

Definuje pojem pravdepodobnosti, ale neudává návod na jejístanovení.

Pravdepodobnost je funkce P prirazující každémunáhodnému jevu A ⊂ Ω císlo P(A) z intervalu 〈0; 1〉.

P musí splnovat následující podmínky:P(Ω)=1pro posloupnost vzájemne neslucitelných jevu A1,A2, . . .platí

P

( ∞⋃n=1

An

)=

∞∑n=1

P(An)


Z definice pravdepodobnosti prímo plyne rada vlastností:

P(∅) = 0P(A) = 1− P(A)

A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

P(B\A) = P(B)− P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

. . .

Poznámka: príklad


Z definice pravdepodobnosti prímo plyne rada vlastností:

P(∅) = 0P(A) = 1− P(A)

A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

P(B\A) = P(B)− P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

. . .

Poznámka: príklad


Podmínená pravdepodobnost

Predpoklad: A,B náhodné jevy; P(B) > 0.

Pravdepodobnost, že nastane jev A za podmínky, že nastal jevB se nazývá podmínená pravdepodobnost. Znací se P(A|B),cteme “pravdepodobnost jevu A za podmínky B”.

Podmínená pravdepodobnost P(A|B) je definována vztahem

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B).

Odtud plyne:P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)






P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B).







P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B).



Nezávislost jevu

Náhodné jevy A, B jsou nezávislé, práve když platí

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Je li P(B) > 0, pak pro nezávislé jevy A, B platí:

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

P(A)P(B)

P(B)= P(A)

Skutecnost, že nastal jev B, neprináší žádnou informaci opravdepodobnosti výskytu jevu A.


Nezávislost jevu


P(A ∩ B) = P(A) · P(B).


P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

P(A)P(B)

P(B)= P(A)



Nezávislost jevu


P(A ∩ B) = P(A) · P(B).


P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

P(A)P(B)

P(B)= P(A)



Veta o úplné pravdepodobnosti

Necht’ B1,B2, . . . ,Bn tvorí úplný systém vzájemneneslucitelných jevu.

Pro náhodný jev A pak platí:

P(A) =n∑

i=1

P(A|Bi) · P(Bi).


Príklad:Ve tríde je 70% chlapcu a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10%chlapcu a 80% dívek.Jaká je pravdepodobnost, že náhodne vybraný student mádlouhé vlasy?

Rešení:D (vybrána dívka) a CH (vybrán chlapec) tvorí úplný systémdisjuktních jevu

P(DV ) = P(DV ∩ D) + P(DV ∩ CH)

= P(DV |D) · P(D) + P(DV |CH) · P(CH)

= 0.8 · 0.3 + 0.1 · 0.7 = 0.31


Príklad:Ve tríde je 70% chlapcu a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10%chlapcu a 80% dívek.Jaká je pravdepodobnost, že náhodne vybraný student mádlouhé vlasy?


P(DV ) = P(DV ∩ D) + P(DV ∩ CH)

= P(DV |D) · P(D) + P(DV |CH) · P(CH)

= 0.8 · 0.3 + 0.1 · 0.7 = 0.31


Bayesuv vzorec

Necht’ B1,B2, . . . ,Bn tvorí úplný systém vzájemneneslucitelných jevu a A je náhodný jev takový, že P(A) > 0. Pakplatí

P(Bk |A) =P(A|Bk ) · P(Bk )∑ni=1 P(A|Bi) · P(Bi)

.

Poznámka: Obrázky


Bayesuv vzorec

Necht’ B1,B2, . . . ,Bn tvorí úplný systém vzájemneneslucitelných jevu a A je náhodný jev takový, že P(A) > 0. Pakplatí

P(Bk |A) =P(A|Bk ) · P(Bk )∑ni=1 P(A|Bi) · P(Bi)

.

Poznámka: Obrázky


Príklad:Ve tríde je 70% chlapcu a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10%chlapcu a 80% dívek.Náhodne vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká jepravdepodobnost, že je to chlapec?


P(CH|DV ) =P(CH ∩ DV )

P(DV )=

=P(DV |CH) · P(CH)

P(DV |CH) · P(CH) + P(DV |D) · P(D)

=0.1 · 0.7

0.1 · 0.7 + 0.8 · 0.3.

= 0.23


Príklad:Ve tríde je 70% chlapcu a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10%chlapcu a 80% dívek.Náhodne vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká jepravdepodobnost, že je to chlapec?


P(CH|DV ) =P(CH ∩ DV )

P(DV )=

=P(DV |CH) · P(CH)

P(DV |CH) · P(CH) + P(DV |D) · P(D)

=0.1 · 0.7

0.1 · 0.7 + 0.8 · 0.3.

= 0.23


Príklad:1.Rodina Chocholouškova má papouška a dve kocky Alenu aBohouše. Alena má 20 % bílých chlupu, Bohouš 60 %. Vcerase jedna z kocek opet pokusila papouška sežrat.Chocholouškovi vedí, že kocky nikdy neloví spolecne a žeAlena útocí na papouška dvakrát casteji než Bohouš. Na místecinu zustal po pachateli jediný chlup. Která z kocek se cinudopustila s vetší pravdepodobností, víme-li že nalezený chlupje bílé barvy?


Príklad:1.Rodina Chocholouškova má papouška a dve kocky Alenu aBohouše. Alena má 20 % bílých chlupu, Bohouš 60 %. Vcerase jedna z kocek opet pokusila papouška sežrat.Chocholouškovi vedí, že kocky nikdy neloví spolecne a žeAlena útocí na papouška dvakrát casteji než Bohouš. Na místecinu zustal po pachateli jediný chlup. Která z kocek se cinudopustila s vetší pravdepodobností, víme-li že nalezený chlupje bílé barvy?


Rešení:Náhodné jevy: A - útocila Alena, B = A - útocil Bohouš, C -nalezen bílý chlup

Ze zadání víme:

P(A) =23

P(B) = P(A) = 1− P(A) =13

P(C|A) = 0.2P(C|B) = 0.6


Rešení:Náhodné jevy: A - útocila Alena, B = A - útocil Bohouš, C -nalezen bílý chlup

Ze zadání víme:

P(A) =23

P(B) = P(A) = 1− P(A) =13

P(C|A) = 0.2P(C|B) = 0.6


K rešení potrebujeme urcit P(A|C) a P(B|C).

P(A|C) =P(C|A)P(A)

P(C)

=P(C|A)P(A)

P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)

=0.2 · 2

3

0.2 · 23 + 0.6 · 1

3

= 0.4

P(B|C) = 1− P(A|C) = 0.6

S vetší pravdepodobností útocil Bohouš.



P(A|C) =P(C|A)P(A)

P(C)

=P(C|A)P(A)


=0.2 · 2

3

0.2 · 23 + 0.6 · 1

3

= 0.4

P(B|C) = 1− P(A|C) = 0.6




P(A|C) =P(C|A)P(A)

P(C)

=P(C|A)P(A)


=0.2 · 2

3

0.2 · 23 + 0.6 · 1

3

= 0.4

P(B|C) = 1− P(A|C) = 0.6



Príklad:Telegrafní zpráva se skládá z tecek a cárek. V prumeru jezkresleno 4 % tecek (na cárky) a 2% cárek (na tecky). Vevysílané zpráve se tecky a cárky vyskytují v pomeru 5:3.

Urcete pomer tecek a cárek v prijaté zpráve.Jaká je pravdepodobnost, že byla odeslána tecka, pokudbyla tecka prijata?

Rešení:Náhodné jevy: OT - odeslána tecka, PT - prijata tecka

Ze zadání víme:

P(OT ) =58

P(PT |OT ) = 0.04P(PT |OT ) = 0.02





Ze zadání víme:

P(OT ) =58

P(PT |OT ) = 0.04P(PT |OT ) = 0.02





Ze zadání víme:

P(OT ) =58

P(PT |OT ) = 0.04P(PT |OT ) = 0.02


Pravdepodobnost prijetí tecky:

P(PT ) =

P(PT |OT )P(OT ) + P(PT |OT )P(OT )

= [1− P(PT |OT )]P(OT ) + P(PT |OT )[1− P(OT )]

= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075

Pravdepodobnost odeslání tecky, byla-li prijata tecka:

P(OT |PT ) =P(PT |OT )P(OT )

P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988



P(PT ) = P(PT |OT )P(OT ) + P(PT |OT )P(OT )


= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075



P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988





= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075



P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988





= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075



P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988





= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075



P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988





= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075


P(OT |PT ) =

P(PT |OT )P(OT )

P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988





= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075



P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988





= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075



P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988





= (1− 0.04) · 58

+ 0.02 · (1− 58

) = 0.6075



P(PT )

=[1− P(PT |OT )]P(OT )

P(PT )

=(1− 0.04) · 5

80.0675

.= 0.988


Príklad:Informacní systém obsahuje tyto kritické komponenty: webserver, sql server a 3 vzájemne zálohované disky (je potreba,aby fungoval alespon jeden disk). Pravdepodobnosti poruchjendotlivých komponent jsou znázorneny v obrázku. Jaká jepravdepodobnost, že systém bude funkcní, pokud jsou poruchykomponent nezávislé?


Rešení:Systém bude funkcní (náhodný jev F ) práve tehdy, když budezároven funkcní web server, sql server a alespon jeden z disku.

P(F ) = P(PW ) · P(PS) · P(D1 ∩ D2 ∩ D3)

= P(PW ) · P(PS) · (1− P(PD1)P(PD2)P(PD3))

= (1− 0.1) · (1− 0.05) · (1− 0.2 · 0.2 · 0.2).

= 0.85


Rešení:Systém bude funkcní (náhodný jev F ) práve tehdy, když budezároven funkcní web server, sql server a alespon jeden z disku.

P(F ) = P(PW ) · P(PS) · P(D1 ∩ D2 ∩ D3)

= P(PW ) · P(PS) · (1− P(PD1)P(PD2)P(PD3))

= (1− 0.1) · (1− 0.05) · (1− 0.2 · 0.2 · 0.2).

= 0.85

Documents

Statistika, Biostatistika pro kombinované studiumkra0220/tutorialy_sta/t1_KombTP.pdf · 2019-03-22 · Kombinatorika Úvod do teorie pravdepodobnostiˇ Statistika, Biostatistika