Upload
muhamad-husni-mubaraq
View
12.758
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
0
BAHAN AJAR
STATISTIKA INFERENSIAL
KODE MATA KULIAH MAT 201
ROMBEL 410140-03 410140-04 410140-05 410140-06 410140-07
Semester Gasal 2011/2012
Disusun Oleh Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Semarang 2011
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
1
DAFTAR ISI
BAB I PENAKSIRAN PARAMETER
1. Pengertian Penaksiran
2. Menaksir Rata-rata µ
3. Menaksir Proporsi π
4. Menaksir Simpangan Baku σ
5. Menaksir Selisih Rata-Rata
6. Menaksir Selisih Proporsi
BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Pendahuluan
2. Dua Macam Kekeliruan
3. Langkah Pengujian Hipotesis
4. Uji Hipotesis Rata-Rata
5. Uji Hipotesis Proporsi
6. Uji Hipotesis Varians
7. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata
8. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi
9. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians
10. Uji Homogenitas Varians Populasi
BAB III ANALISIS VARIANS
BAB IV ANALISIS REGRESI
BAB V ANALISIS KORELASI
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
2
BAB I
PENAKSIRAN PARAMETER
1. Pengertian Penaksiran
Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi.
Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara
sampling maupun sensus. Namun, karena berbagai faktor untuk
menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian
berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai
populasi dibuat.
Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi
dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis, nilai-
nilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai statistik
dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.
Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan cara-
cara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak
diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang
diambil dari populasi yang bersangkutan.
Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata,
simpangan baku dan proporsi.
Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ (baca: theta). Jadi θ
bisa merupakan rata-rata µ , simpangan baku σ , proporsi π dan sebagainya.
Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga θ (baca: theta topi), maka
θ dinamakan penaksir.
Sangat diharapkan θθ =ˆ , yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ
yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal.
Kenyataan yang sering terjadi adalah:
a. menaksir θ oleh θ terlalu tinggi, atau
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
3
b. menaksir θ oleh θ terlalu rendah.
Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians
minimum dan konsisten.
a. penaksir θ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θ yang
mungkin akan sama dengan θ , ditulis ( ) θθ =ˆE . Penaksir yang tidak
takbias disebut penaksir bias.
b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil
diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika 1θ dan 2θ dua
penaksir untuk θ , jika varians 1θ < varians 2θ , maka 1θ merupakan
penaksir bervarians minimum.
c. Misalkan θ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel
acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran
populasi menyebabkan θ mendekati θ , maka θ disebut penaksir
konsisten.
d. Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir
terbaik.
Jika harga parameter θ ditaksir oleh θ tertentu, maka θ dinamakan penaksir
atau tepatnya titik taksiran (estimasi titik).
Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes.
Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu
dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x = 160 cm. Jika 160 cm ini
digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika
Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa
matematika Unnes.
Secara umum x adalah penaksir atau titik taksiran untuk µ .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
4
Titik taksiran untuk suatu parameter µ , harganya akan berlainan tergantung
pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya
kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval
taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas
dua harga.
Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat
kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut
koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.
Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ (baca: gamma), maka
10 << γ . Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi
dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang
biasa digunakan adalah 95,0=γ atau 99,0=γ .
Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien
kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang
diperlukan.
Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara A dan B adalah:
(I.1) ( ) γθ =<< BAP
Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi
tidak tergantung pada θ .
Bentuk (I.1) dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak
antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel,
maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas
menjadi: kita merasa 100 γ % percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam
interval (A, B).
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
5
2. Menaksir Rata-rata µ
Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan
baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ . Untuk itu
ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu
x dan s . Titik taksiran untuk rata-rata µ adalah x . Dengan kata lain,
nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel.
Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan
interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang
dikehendaki.
a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal
Rumus (I.1) menjadi:
(I.2) γσµσγγ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+<<−
nzx
nzxP ..
21
21
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan γ2
1z = bilangan z dari tabel normal
baku untuk peluang γ21 .
Untuk memperoleh 100 γ % interval kepercayaan parameter µ dapat
digunakan rumus:
(I.3) n
zxn
zx σµσγγ
..2
12
1 +<<−
b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal
Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus (I.2) diganti
(I.4) γµ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+<<−
nstx
nstxP pp ..
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan pt = nilai t dari daftar distribusi
Student dengan ( )γ+= 121p dan dk = (n-1).
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
6
Untuk interval kepercayaannya:
(I.5) nstx
nstx pp .. +<<− µ
Bilangan nstx p .− dan
nstx p .+ masing-masing merupakan batas bawah
dan batas atas kepercayaan.
Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N
yakni %5>Nn , maka rumus (I..3) dan rumus (I.5) menjadi:
(I.6) 1
.1
.2
12
1 −−
+<<−−
−N
nNn
zxN
nNn
zx σµσγγ
(I.7) 1
.1
.−−
+<<−−
−N
nNnstx
NnN
nstx pp µ
c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi
normal
Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit
pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian (b) di atas dapat
digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil.
Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel
kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi
asli dari populasi yang bersangkutan.
Hal ini tidak dibicarakan di sini.
Contoh
Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku
5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah:
a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30
b. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 80
dengan menggunakan kepercayaan 95% .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
7
Penyelesaian
Diketahui x = 68,6
σ = 5,75
γ = 95% = 0,95
γ21 475,0= 475,0z = 1,96
a. Sampel n = 30 %51000
30≤=
Nn
n
zxn
zx σµσγγ
..2
12
1 +<<−
( ) ( )3075,5.96,16,68
3075,5.96,16,68 +<<− µ
66,7054,66 << µ
Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah
66,7054,66 << µ .
Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi
tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66.
b. Sampel n = 80 %51000
80≥=
Nn
1
.1
.2
12
1 −−
+<<−−
−N
nNn
zxN
nNn
zx σµσγγ
( ) ( )11000
801000.3075,5.96,16,68
11000801000
3075,5.96,16,68
−−
+<<−−
− µ
aa +<<− 6,686,68 µ
Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah
aa +<<− 6,686,68 µ .
Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi
tersebut akan ada dalam interval dengan batas a−6,68 dan a+6,68 .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
8
3. Menaksir Proporsi
Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial
berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam
populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk
peristiwa A = nx . Jadi titik taksiran untuk π adalah n
x .
Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran
sampel n cukup besar.
Rumus 100 γ % keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah
(I.8) npqzp
npqzp ..
21
21 γγ
π +<<−
dengan nxp= dan pq −=1 sedangkan
γ21z adalah bilangan z yang
diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ21 .
Contoh
Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan
mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60
orang. Dengan koefisien kepercayaan 95%, taksirlah interval kesukaan
berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut.
Penyelesaian
Diketahui γ = 95% = 0,95
γ21 475,0= 475,0z = 1,96
6,010060
==p q = 0,4
Interval kepercayaan π adalah
npqzp
npqzp ..
21
21 γγ
π +<<−
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
9
( ) ( )( ) ( ) ( )( )100
4,06,0.96,16,0100
4,06,0.96,16,0 +<<− π
696,0504,0 << π
%6,69%4,50 <<π
Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa persentase kesukaan
berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval
dengan batas 50,4 % dan 69,6 %.
4. Menaksir Simpangan Baku σ
Untuk menaksir varians 2σ dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel
varians 2s berdasarkan sampel acak berukuran n.
(I.9) ( )
1
22
−
−= ∑
nxx
s i
Varians 2s adalah penaksir takbias untuk varians 2σ , tetapi simpangan baku
s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ . Jadi titik taksiran s
untuk σ adalah bias.
Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians 2σ , maka 100 γ %
interval kepercayaan untuk 2σ ditentukan dengan menggunakan distribusi
chi-kuadrat.
(I.10) ( )( )
( )( )
212
1
22
212
1
2 11
γγχ
σχ
−+
−<<
− snsn
dengan n ukuran sampel sedangkan ( )2
121 γ
χ+
dan ( )2
121 γ
χ−
diperoleh dari daftar
chi-kuadrat berturut-turut untuk ( )γ+= 121p dan ( )γ−= 12
1p dengan
( )1−= ndk .
Interval taksiran simpangan baku σ diperoleh dengan melakukan penarikan
akar ketidaksamaan dalam rumus (I.10).
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
10
Contoh
Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif
dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan
koefisien kepercayaan 99%, taksirlah interval dari simpangan baku populasi.
Penyelesaian
Diketahui n = 31
s = 6
γ = 99 % = 0,99
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7,53230,995,0
2131,99,012
12
,121 ===
−++χχχ
γ dk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,13230,005,0
2131,99,012
12
,121 ===
−−−χχχ
γ dk
Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah
( )( )
( )( )
212
1
22
212
1
2 11
γγχ
σχ
−+
−<<
− snsn
( )( ) ( )( )8,13
61317,53
6131 22
2 −<<
− σ
( )( ) ( )( )8,13
61317,53
6131 22 −<<
− σ
8465,84846,4 << σ
Jadi, kita merasa 99% yakin (percaya) bahwa simpangan baku populasi tersebut
akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.
5. Menaksir Selisih Rata-Rata
Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan
rata-rata dan simpangan baku masing-masing 1µ dan 1σ untuk populasi
pertama, 2µ dan 2σ untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah
sampel acak dengan ukuran 1n dan 2n dari masing-masing populasi. Rata-rata
dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut 1x , 1s dan 2x , 2s .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
11
Akan ditaksir selisih rata-rata )( 21 µµ − .
Titik taksiran untuk adalah )( 21 µµ − adalah )( 21 xx − .
Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut:
a. Dalam hal 21 σσ =
Jika kedua populasi normal dan memiliki σσσ == 21 yang besarnya
diketahui, maka 100 γ % interval kepercayaan untuk )( 21 µµ − adalah
(I.11) 212
12121212
12111)(11)(nn
zxxnn
zxx ++−<−<+−− σµµσγγ
dengan γ2
1z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ21 .
Jika kedua populasi normal dan memiliki σσσ == 21 tetapi besarnya tidak
diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan
dengan 2s .
(I.12) ( ) ( )2
11
21
222
2112
−+−+−
=nn
snsns
Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student.
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan )( 21 µµ − adalah
(I.13) 21
212121
2111.)(11.)(nn
stxxnn
stxx pp ++−<−<+−− µµ
dengan s diperoleh dari rumus (I.12) dan pt diperoleh dari daftar distribusi
Student dengan ( )γ+= 121p dan 221 −+= nndk .
b. Dalam hal 21 σσ ≠
Untuk populasi normal dengan 21 σσ ≠ teori di atas tidak berlaku dan teori
yang ada hanya bersifat pendekatan.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
12
Dengan memisalkan 11 σ=s dan 22 σ=s untuk sampel-sampel acak
berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal.
Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh:
(I.14) 2
22
1
21
212121
2
22
1
21
2121 )()(
ns
nszxx
ns
nszxx ++−<−<+−−
γγµµ
dengan γ2
1z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ21 .
c. Observasi berpasangan
Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua
dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing xµ dan yµ . Diambil
sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama, nnn == 21 .
Diperoleh data sampel ( )nxxx ,,, 21 K dan ( )nyyy ,,, 21 K , dan bila data
observasi ini berpasangan maka
1x berpasangan dengan 1y
2x berpasangan dengan 2y
M
nx berpasangan dengan ny
Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata
yxB µµµ −= , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu
111 yxB −= , 222 yxB −= ,…, nnn yxB −= .
Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari 1B , 2B ,…, nB , dihitung
rata-rata B dan simpangan baku Bs dengan menggunakan
nB
B i∑= dan ( )
( )1
221
−
−= ∑ ∑
nnBBn
s iB
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan Bµ adalah
(I.15) n
stBn
stB Bp
Bp .. B +<<− µ
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
13
dengan pt diperoleh dari daftar distribusi Student dengan ( )γ+= 121p dan
( )1−= ndk .
Contoh (Sudjana)
Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I
dilakukan 50 kali yang menghasilkan 1x = 60,2 dan 21s = 24,7. Cara II dilakukan
60 kali dengan 2x = 70,4 dan 22s = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95%
mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.
Penyelesaian
Diketahui 1x = 60,2 ; 21s = 24,7
2x = 70,4 ; 22s = 37,2
Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.
( ) ( ) 975,095,012112
1 =+=+= γp ; 10826050 =−+=dk
Karena kedua populasi normal dan memiliki σσσ == 21 tetapi besarnya tidak
diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 53,3126050
2,371607,241502
11
21
222
2112 =
−+−+−
=−+−+−
=nn
snsns
Maka interval kepercayaan
21
212121
2111.)(11.)(nn
stxxnn
stxx pp ++−<−<+−− µµ
6053,31
5053,31.)2,604,70(
6053,31
5053,31.)2,604,70( 108;975,021108;975,0 ++−<−<+−− tt µµ
( ) ( ) ( ) ( )08,1.984,1)2,604,70(08,1.984,1)2,604,70( 21 +−<−<−− µµ
34,1206,8 21 <−< µµ
Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa selisih rata-rata pengukuran dari
kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.
6. Menaksir Selisih Proporsi
Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa
yang sama masing-masing 1π dan 2π . secara independen dari tiap populasi
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
14
diambil sebuah sampel acak berukuran 1n dan 2n . Proporsi untuk peristiwa
yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah 1
11 n
xp = dan 2
22 n
xp = dengan
1x dan 2x menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.
Akan ditentukan interval taksiran untuk ( )21 ππ − dengan menggunakan
pendekatan oleh distribusi normal asalkan 1n dan 2n cukup besar.
Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan selisih ( )21 ππ − adalah
(I.16)
( ) ( )2
22
1
11
212121
2
22
1
11
2121 n
qpnqp
zppn
qpnqp
zpp ++−<−<+−−γγ
ππ
dengan 11 1 pq −= dan 22 1 pq −= sedangkan γ2
1z diperoleh dari daftar
normal baku untuk peluang γ21 .
Contoh (Sudjana)
Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700
pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325
pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95%
mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran
dan menyukainya.
Penyelesaian
Diketahui
persentase pemudi yang menyukai pameran %65%100500325
1
11 =×==
nxp
persentase pemuda yang menyukai pameran %57%100700400
2
22 =×==
nxp
Jadi, %35%6511 11 =−=−= pq dan %43%5711 22 =−=−= pq
Maka interval kepercayaan
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
15
( ) ( )2
22
1
11
212121
2
22
1
11
2121 n
qpnqp
zppn
qpnqp
zpp ++−<−<+−−γγ
ππ
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )700
43,057,0500
35,065,057,065,0700
43,057,0500
35,065,057,065,095,0.2
12195,0.21 ++−<−<+−− zz ππ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0284,096,157,065,00284,096,157,065,0 21 +−<−<−− ππ
136,0024,0 21 <−< ππ
Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa perbedaan persentase pemuda dan
pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval
yang dibatasi oleh 2,4% dan 13,6%.
LATIHAN
1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan
kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika:
a. diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan
kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien
kepercayaan 95%.
b. diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan
kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ;
63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99%.
2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138,
175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal,
tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata berat tomat.
3. Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi.
Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45
Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63
Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 %, jika:
a. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar yaitu 9,5.
b. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak
diketahui nilainya.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
16
c. simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.
4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi
tanaman padi sbb:
Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9.
Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2.
Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 %,,
taksirlah selisih rata-ratanya.
5. Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin
produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran
100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah
lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk selisih kedua
perbandingan.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
17
BAB II
PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Pendahuluan
Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil
kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan
kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis.
Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk
menjelaskan hal tersebut yang sering dituntut untuk melakukan
pengecekannya.
Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya
mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis
statistik.
Contoh hipotesis
a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5.
b. 25 % masyarakat termasuk golongan A.
c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.
Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian
sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk
menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian
hipotesis.
2. Dua Macam Kekeliruan
Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti
bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya
menerima atau menolak hipotesis saja.
Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat
terjadi, yaitu:
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
18
a. Kekeliruan tipe I ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,
b. Kekeliruan tipe II ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.
Tipe Kekeliruan Ketika Membuat Kesimpulan tentang Hipotesis
Keadaan Sebenarnya Kesimpulan Hipotesis Benar Hipotesis Salah Terima Hipotesis BENAR SALAH
(Kekeliruan tipe II) Tolak Hipotesis SALAH
(Kekeliruan tipe II) BENAR
Kedua tipe kekeliruan dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang membuat
kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan α (alpha) maka disebut pula
kekeliruan α dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β
(beta) dikenal dengan kekeliruan β .
α disebut taraf signifikan (level of significan) atau taraf arti atau sering
disebut taraf nyata.
Jika α diperkecil, maka β menjadi besar dan demikian sebaliknya.
Harga α yang biasa digunakan adalah 01,0=α atau 05,0=α .
Misalnya, dengan 05,0=α atau sering disebut taraf nyata (taraf signifikansi)
5%, artinya kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa akan menolak
hipotesis yang harusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin
bahwa telah dibuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan
bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti mungkin salah
dengan peluang 0,05.
3. Langkah Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis akan membawa pada kesimpulan untuk menerima atau
menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, dimana digunakan
perumusan seperlunya agar lebih terperinci dan lebih mudah dalam penentuan
di antara dua pilihan tersebut.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
19
Hipotesis yang biasa dinyatakan dengan H, perlu dirumuskan dengan singkat
dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Agar tampak adanya dua
pilihan, maka hipotesis H ini didampingi pernyataan lain yang isinya
berlawanan yang disebut dengan hipotesis tandingan (alternatif) yang
dinyatakan dengan A.
Pasangan hipotesis H dan A, tepatnya H melawan A, akan menentukan
kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan
hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering disebut dengan daerah kritis.
Bila menguji parameter θ (θ dapat berupa rata-rata µ , proporsi π ,
simpangan baku σ , dll), maka:
a. Hipotesis mengandung pengertian sama
Pengujian sederhana lawan sederhana
1) H : 0θθ =
A : 1θθ =
dengan 10 ,θθ dua nilai berbeda yang diketahui.
Pengujian sederhana lawan komposit
2) H : 0θθ =
A : 0θθ ≠
3) H : 0θθ =
A : 0θθ >
4) H : 0θθ =
A : 0θθ <
b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum (pengujian komposit lawan
komposit)
H : 0θθ ≤
A : 0θθ >
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
20
c. Hipotesis mengandung pengertian minimum pengujian komposit lawan
komposit)
H : 0θθ ≥
A : 0θθ <
Berikut hanya akan dipelajari pengujian terhadap hipotesis yang
perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan,
disebut hipotesis nol 0H melawan hipotesis tandingannya 1H , yang
mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil. 1H harus
dipilih dan ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.
Pasangan 0H dan 1H yang telah dirumuskan dituliskan dalam bentuk berikut.
⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
θθθθ
atau
⎩⎨⎧
>=
01
00
: H : H
θθθθ
atau
⎩⎨⎧
<=
01
00
: H : H
θθθθ
Selanjutnya, pilih bentuk statistik yang akan digunakan, apakah z, t, 2χ , F
atau lainnya. Harga statistik yang dipilih dihitung besarnya berdasarkan data
sampel yang dianalisis. kriteria pengujian ditentukan berdasarkan pilihan taraf
nyata α atau disebut ukuran daerah kritis.
Peran hipotesis tandingan 1H dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai
berikut:
1) Jika 1H mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung
distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
21
α21 . Karena adanya dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis
dinamakan uji dua pihak.
Kedua daerah dibatasi oleh d1 dan d2 (pada contoh gambar d1 dinyatakan
dengan nilai z = -1,96 dan d2 dinyatakan dengan z = 1,96) yang harganya
diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan
oleh α .
Kriteria yang digunakan: terima 0H jika harga statistik yang dihitung
berdasarkan data penelitian terletak diantara d1 dan d2, selain itu tolak 0H .
2) Jika 1H mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah
kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
22
Harga d (pada contoh gambar d dinyatakan dengan nilai z = 1,96) diperoleh
dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α ,
menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan 0H .
Kriteria yang digunakan: tolak 0H jika statistik yang dihitung berdasarkan
sampel tidak kurang dari d, selain itu terima 0H .
Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.
3) Jika 1H mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik
yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah
kiri. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .
Gambar daerah penerimaan dan penolakan akan sama dengan pada option 2)
di atas, namun daerah penolakan terletak disebelah kiri.
Kriteria yang digunakan: terima 0H jika statistik yang dihitung berdasarkan
penelitian lebih besar dari d, selain itu tolak 0H .
Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri.
Secara ringkas langkah pengujian hipotesis adalah:
1. Rumuskan hipotesis pengujian yang akan digunakan.
2. Tentukan besarnya taraf nyata α .
3. Tentukan kriteria pengujian.
4. Tentukan nilai statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang
diambil.
5. Menarik kesimpulan menerima atau menolah 0H berdasarkan hasil 3 dan 4.
4. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ
dan simpangan baku σ . Untuk menguji parameter rata-rata µ , diambil
sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik x dan s .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
23
a. Dalam hal σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
µµµµ
dengan 0µ sebuah harga yang
diketahui.
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( ) ( )αα −−<<−
12112
1 zzz , selainnya tolak 0H .
Dengan ( )α−121z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang ( )α−121 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
(II.1)
n
xz σµ0−
=
dengan x adalah rata-rata sampel, 0µ nilai yang diketahui, σ adalah
simpangan baku populasi.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar
800 jam. Namun timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah.
Maka dilakukan pengujian terhadap 50 lampu untuk menentukan hal ini. Ternyata
diperoleh rata-ratanya 792 jam. Berdasarkan pengalaman diketahui simpangan
baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan
95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.
Penyelesaian
Diketahui x = 792 ; n = 50 ; σ = 60
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
24
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
µµµµ
yaitu ⎩⎨⎧
≠=
800 : H 800 : H
1
0
µµ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( ) ( )αα −−<<−
12112
1 zzz
( ) ( )05,012105,012
1 −−<<− zzz 96,196,1 <<− z
Dengan ( )α−121z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
( )α−121 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
94,0
5060
8007920 −=−
=−
=
n
xzσµ
5. Kesimpulan : karena 94,0−=hitungz terletak dalam daerah penerimaan
0H maka 0H diterima. Jadi, 800=µ . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%
hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu
masih 800 jam.
b. Dalam hal σ tidak diketahui
Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka
digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika αα 2112
11 −−<<− ttt
, selainnya tolak 0H .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
25
Dengan α2
11−t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)
dengan peluang α211− dan 1−= ndk .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
(II.2)
ns
xt 0µ−=
(II.3) ( )
12
−
−= ∑
nxx
s i
dengan x adalah rata-rata sampel, 0µ nilai yang diketahui, s adalah
simpangan baku sampel.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Untuk contoh sebelumnya (kasus masa hidup lampu pijar), dimisalkan simpangan
baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel diperoleh s = 55 jam. Selidikilah
dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah
atau belum.
Penyelesaian
Diketahui x = 792 ; n = 50 ; s = 55
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
µµµµ
yaitu ⎩⎨⎧
≠=
800 : H 800 : H
1
0
µµ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika αα 2112
11 −−<<− ttt
dengan dk = 50 - 1 = 49
( ) ( )05,012105,012
1 −−<<− ttt 01,201,2 <<− t
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
26
029,1
5055
8007920 −=−
=−
=
ns
xt µ
5. Kesimpulan : karena 029,1−=hitungt terletak dalam daerah penerimaan
0H maka 0H diterima. Jadi, 800=µ . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%
hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu
masih 800 jam.
5. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Satu Pihak
Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dan diambil sebuah
sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik x dan s .
Uji Pihak Kanan
a. Dalam hal σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
>=
01
00
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz , selainnya 0H diterima.
Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang ( )α−5,0 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal σ tidak diketahui
Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka
digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
27
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
>=
01
00
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−≥ 1tt , selainnya 0H diterima.
Dengan α−1t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)
dengan peluang α−1 dan 1−= ndk .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi
memiliki varians 2,3. metode baru diusulkan untuk mengganti metode lama jika
rata-ratanya per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan
apakah metode akan diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata
rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil risiko
5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan
labih dari 16 buah. Apakah keputusan yang akan diambil pengusaha?
Penyelesaian
Diketahui x = 16,9 ; n = 20 ; σ = 3,2 , 0µ =16
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
µµµµ
yaitu ⎩⎨⎧
>=
16 : H 16 : H
1
0
µµ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz 64,105,05,05,0 == −− zz α
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
28
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
65,2
203,2169,160 =
−=
−=
n
xzσµ
5. Kesimpulan : karena 64,165,2 5,0 =>= −αzzhitung terletak pada daerah kritis
maka 0H ditolak. Jadi, 16>µ . Sehingga dapat disimpulkan bahwa dengan
risiko 5% metode baru dapat menggantikan metode lama.
Uji Pihak Kiri
a. Dalam hal σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
<=
01
00
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−−≤ 5,0zz , selainnya 0H diterima.
Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang ( )α−5,0 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal σ tidak diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
<=
01
00
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−−≤ 1tt .
Terima 0H jika α−−> 1tt .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
29
Dengan α−1t diperoleh dari daftar distribusi Student t dengan peluang
α−1 dan 1−= ndk .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan kaleng tidak
sesuai dengan yang tertera pada kemasannya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,
23 kaleng makanan diteliti secara acak. Dari sampel tersebut diperoleh berat rata-
rata 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 5%, bagaimanakah
pendapat anda mengenai keluhan masyarakat tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x = 4,9 ; n = 23 ; s = 0,2 ; 0µ = 5
Langkah pengujian hipotesis dengan varians populasi tidak diketahui:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
µµµµ
yaitu ⎩⎨⎧
<=
5 : H 5 : H
1
0
µµ
Jika rata-rata berat makanan kaleng tidak kurang dari 5 ons tentu masyarakat
tidak akan mengeluh.
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−−≤ 1tt 72,105,011 −=−=− −− tt α dengan dk = 23 - 1 = 22
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
398,,2
232,0
59,40 −=−
=−
=
ns
xt µ
5. Kesimpulan : karena 72,1398,2 1 −=−<−= −αtthitung terletak pada daerah kritis
maka 0H ditolak. Jadi, 5<µ . Sehingga dapat disimpulkan penelitian tersebut
menguatkan keluhan masyarakat mengenai berat makanan kaleng yang kurang
dari berat yang tertera pada kemasan yaitu 5 ons.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
30
6. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai populasi binomial dengan proporsi peristiwa A adalah π .
Untuk menguji parameter proporsi π , diambil sebuah sampel acak berukuran
n dari populasi dan menghitung proporsi sampel peristiwa A sebesar nx .
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
ππππ
dengan 0π sebuah harga yang diketahui.
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( ) ( )αα −−<<−
12112
1 zzz , selainnya tolak 0H .
Dengan ( )α−121z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang ( )α−121 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
(II.4) ( )
n
nx
z00
0
1 ππ
π
−
−=
dengan nx adalah proporsi peristiwa A dari sampel dan 0π adalah
proporsi yang diuji.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Akan diuji distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah
sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri atas 2.458 laki-laki.
Dalam taraf nyata 5%, apakah benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah
sama.
Penyelesaian
Diketahui x = 2.458; n = 4800 ; 0µ = 0,5
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
31
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
01
00
: H : H
ππππ
yaitu ⎩⎨⎧
≠=
5,0 : H 5,0 : H
1
0
ππ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( ) ( )αα −−<<−
12112
1 zzz
( ) ( )05,012105,012
1 −−<<− zzz 96,196,1 <<− z
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
( ) ( )68,1
48005,015,0
5,048002458
1 00
0=
−
−=
−
−=
n
nx
zππ
π
5. Kesimpulan : karena 68,1=hitungz terletak dalam daerah penerimaan 0H maka
0H diterima. Jadi, 5,0=µ . Artinya, benar distribusi kedua jenis kelamin
tersebut adalah sama.
7. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Satu Pihak
Uji Pihak Kanan
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
>=
01
00
: H : H
ππππ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz .
Terima 0H jika α−< 5,0zz .
Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
( )α−5,0 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.4).
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
32
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Uji Pihak Kiri
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
<=
01
00
: H : H
ππππ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−−≤ 5,0zz , selainnya terima 0H .
Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
( )α−5,0 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.4).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Berbagai media memberitakan bahwa dari seluruh wanita 60% nya suka
menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya. Untuk menyelidiki kebenaran
berita tersebut, maka diambil sampel acak 100 orang wanita dan setelah
diwawancarai ternyata yang suka menonton sinetron hanya 40 orang. Dengan α =
5%, ujilah kebenaran pernyataan berita tersebut dengan alternatif bahwa wanita
suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya kurang dari 60%.
Penyelesaian
Diketahui x = 40 n = 100
6,0%600 ==π
Langkah pengujian hipotesis uji pihak kiri:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
<=
01
00
: H : H
ππππ
yaitu ⎩⎨⎧
<=
6,0 : H 6,0 : H
1
0
ππ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
33
Tolak 0H jika α−−≤ 5,0zz 005,05,0 −−≤ zz 45,0zz −≤ 64,1−≤z
Terima 0H jika α−−> 5,0zz 64,1−>z
α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang ( )α−5,0 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)
( ) ( )08,4
1006,016,0
6,010040
1 00
0−=
−
−=
−
−=
n
nx
zππ
π
5. Kesimpulan: karena α−−=−<−= 5,064,108,4 zzhitung maka 0H ditolak.
Jadi, 0ππ < . Artinya, pemberitaan di media mengenai kesukaan wanita
menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya tidak benar.
8. Uji Hipotesis Varians 2σ : Uji Dua Pihak
Pada pengujian rata-rata µ untuk populasi normal diperoleh hal dimana
simpangan baku σ diketahui yang umumnya diperoleh dari pengalaman dan
untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk itu dimisalkan
populasi berdistribusi normal dengan varians 2σ dan daripadanya diambil
sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya 2s dihitung
dengan rumus:
( )1
22
−−
= ∑n
xxs i atau
( )( )1
222
−
−= ∑ ∑
nnxxn
s ii
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=2
02
1
20
20
: H
: H
σσ
σσ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika 2
211
22
21 αα
χχχ−
<< , selainnya tolak 0H .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
34
Dengan 2
21 α
χ dan 2
211 α
χ−
diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat
dengan 1−= ndk dan masing-masing peluang α21 dan ( )α2
11− .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
(II.5) ( )20
22 1
σχ sn −
=
(II.6) ( )
1
22
−
−= ∑
nxx
s i atau
(II.7) ( )
)1(
222
−
−= ∑ ∑
nnxxn
s ii
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Pada kasus sebelumnya tentang masa hidup lampu, diambil σ = 60 jam dengan
ukuran sampel n = 50 diperoleh s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi
normal, benarkah σ = 60 jam dalam taraf nyata 5%.
Penyelesaian
Diketahui σ = 60 jam ; n = 50 ; s = 55 jam
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=2
02
1
20
20
: H
: H
σσ
σσyaitu
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=
3600 : H
3600 : H2
1
20
σ
σ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika 2
211
22
21 αα
χχχ−
<< dengan 491501 =−=−= ndk
205,0.2
1122
05,0.21 −
<< χχχ 2975,0
22025,0 χχχ <<
4,714,32 2 << χ
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
( ) ( )( ) 174,413600
025,3150120
22 =
−=
−=
σχ sn
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
35
5. Kesimpulan : karena 174,412 =χ terletak dalam daerah penerimaan 0H maka
0H diterima. Jadi, 36002 =σ . Artinya, benar σ = 60 jam dalam taraf nyata
5%.
9. Uji Hipotesis Varians 2σ : Uji Satu Pihak
Uji Pihak Kanan
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
>
=2
02
1
20
20
: H
: H
σσ
σσ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika 21
2αχχ −≥ , selainnya terima 0H .
Dengan 21 αχ − diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan
1−= ndk dan peluang ( )α−1 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Uji Pihak Kiri
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
<
=2
02
1
20
20
: H
: H
σσ
σσ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika 22αχχ ≤ , selainnya terima 0H .
Dengan 2αχ diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan 1−= ndk
dan peluang α .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
36
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh (Walpole)
Seorang pengusaha pembuat baterai menyatakan umur baterainya berdistribusi
hampir normal dengan simpangan baku sama dengan 0,9 tahun. Diambil sampel
acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1,2 tahun. Gunakan taraf
nyata 5% untuk menguji apakah σ > 0,81 tahun!
Penyelesaian
Diketahui 0σ = 0,81 tahun ; n = 10 ; s = 1,2 tahun
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
>
=2
02
1
20
20
: H
: H
σσ
σσyaitu
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
=
81,0 : H
81,0 : H2
1
20
σ
σ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika 21
2αχχ −≥ , selainnya terima 0H .
919,16205,0.2
1 =χ dengan 91101 =−=−= ndk
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
( ) ( )( ) 0,1681,0
44,31110120
22 =
−=
−=
σχ sn
5. Kesimpulan : karena 919,1616 205,0.2
12 =<= χχ terletak dalam daerah
penerimaan 0H maka 0H diterima. Jadi, 81,02 =σ . Artinya, tidak ada alasan
meragukan bahwa simpangan baku umur baterai adalah 0,9 tahun.
10. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Dua Pihak
Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua populasi.
Misalnya membandingkan hasil belajar, daya kerja suatu obat, dsb. Maka
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
37
akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya
selisih rata-rata dan selisih proporsi.
Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan
rata-rata dan simpangan baku masing-masing 1µ dan 1σ untuk populasi
pertama, 2µ dan 2σ untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah
sampel acak dengan ukuran 1n dan 2n dari masing-masing populasi. Rata-rata
dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut 1x , 1s dan 2x , 2s .
Akan diuji tentang rata-rata 1µ dan 2µ .
a. Dalam hal σσσ == 21 dan σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
a. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
211
210
: H : H
µµµµ
b. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
c. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( ) ( )αα −−<<−
12112
1 zzz, selainnya tolak 0H .
Dengan ( )α−121z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang ( )α−121 .
d. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
(II.8)
21
21
11nn
xxz+
−=σ
e. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal σσσ == 21 tetapi σ tidak diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
211
210
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
38
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika αα 2
11211 −−
<<− ttt , selainnya tolak 0H .
Dengan α2
11−t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)
dengan peluang α211− dan 221 −+= nndk .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
(II.9)
21
21
11nn
s
xxt+
−=
(II.10) ( ) ( )2
11
21
222
2112
−+−+−
=nn
snsns
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh (Sudjana)
Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk
jangka waktu tertentu. Ingin diketahui makanan mana yang lebih baik bagi ayam.
Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi
makanan B. Hasil percobaan pertambahan berat badan ayam (ons) sebagai berikut
Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4
Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7
Bila populasinya dianggap normal, ujilah pada taraf nyata 5%, apakah kedua
makanan tersebut sama baiknya atau tidak!
Penyelesaian
Diketahui dari data di atas Ax = 3,22 ; Bx = 3,07 ; 2As = 0,1996 ; 2
Bs = 0,1112.
Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun
sama besar.
Langkah pengujian hipotesis dalam hal σσσ == 21 tetapi σ tidak diketahui
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
211
210
: H : H
µµµµ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
39
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika αα 2
11211 −−
<<− ttt dengan 1921011221 =−+=−+= nndk
αα 2112
11 −−<<− ttt
05,0.21105,0.2
11 −−<<− ttt 09,209,2 <<− t
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
Simpangan baku gabungan ( ) ( )2
11
21
222
2112
−+−+−
=nn
snsns diperoleh s = 0,397.
( )862,0
101
111397,0
07,322,311
21
21 =+
−=
+
−=
nns
xxt
5. Kesimpulan : karena 09,2862,009,2 <=<− hitungt terletak dalam daerah
penerimaan 0H maka 0H diterima. Jadi, 21 µµ = . Artinya, kedua macam
makanan tersebut memberikan pertambahan berat badan ayam yang sama,
sehingga kedua makanan tersebut sama baiknya.
c. Dalam hal 21 σσ ≠ dan keduanya tidak diketahui
Untuk kasus ini belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan.
Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik
t′ .
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
211
210
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika 21
2211
21
2211
wwtwtwt
wwtwtw
++
<′<++
− , untuk harga t yang
lain 0H ditolak.
Dengan 1
21
1 nsw = ;
2
22
2 nsw =
( ) ( )1,2111
1−−=
ntt
α dan ( ) ( )1,2
1122−−
=n
ttα
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
40
mt ,β diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan
mdk = .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
(II.11)
2
22
1
21
21
ns
ns
xxt+
−=′
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh (Sudjana)
Suatu barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah
kedua proses itu menghasilkan barang yang sama kualitasnya ditinjau dari rata-
rata daya tekannya. Maka diadakan percobaan sebanyak 20 kali masing-masing
dari hasil proses pertama maupun kedua. Diperoleh informasi 1x = 9,25 kg ; 2x =
10,4 kg ; 1s = 2,24 kg ; 2s = 3,12 kg. Bila populasinya dianggap normal dengan
varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 5%, ujilah bagaimana
hasilnya!
Penyelesaian
Diketahui 1x = 9,25 kg ; 2x = 10,4 kg ; 1s = 2,24 kg ; 2s = 3,12 kg.
Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun
sama besar.
Langkah pengujian hipotesis dalam hal 21 σσ ≠ dan keduanya tidak diketahui
1. Hipotesis pengujian
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠
=
berbeda yang tekan daya rata-rata kualitasdengan barangan menghasilk proses kedua; : Hsama yang tekan daya rata-rata kualitasdengan barangan menghasilk proses kedua; : H
211
210
µµ
µµ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika 21
2211
21
2211
wwtwtwt
wwtwtw
++
<′<++
−
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
41
2509,0200176,5
1
21
1 ===nsw ; 4867,0
207344,9
2
22
2 ===nsw
( ) ( ) ( ) ( ) 09,219;975,0120,05,0.2111,2
1111
=====−−−−
ttttnα
( ) ( ) ( ) ( ) 09,219;975,0120,05,0.2111,2
1122
====−−−−
ttttnα
Sehingga 21
2211
21
2211
wwtwtwt
wwtwtw
++
<′<++
−
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )4867,02509,0
09,24867,009,22509,04867,02509,0
09,24867,009,22509,0++
<′<++
− t
09,209,2 <′<− t
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
339,1
207344,9
200176,5
4,1025,9
2
22
1
21
21 =+
−=
+
−=′
ns
ns
xxt
5. Kesimpulan : karena 09,2339,109,2 <=′<− t terletak dalam daerah
penerimaan 0H maka 0H diterima. Jadi, 21 µµ = . Artinya, kedua proses
menghasilkan barang dengan kualitas yang sama baiknya.
d. Observasi berpasangan
Untuk observasi berpasangan, maka diambil yxB µµµ −= .
Jika 111 yxB −= , 222 yxB −= ,…, nnn yxB −= , maka data 1B , 2B ,…,
nB menghasilkan rata-rata B dan simpangan baku Bs .
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
0 : H0 : H
1
0
B
B
µµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika αα 2
11211 −−
<<− ttt , selainnya tolak 0H .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
42
Dengan α2
11−t diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang
α211− dan 1−= ndk .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.
(II.12)
nsBt
B=
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
11. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Satu Pihak
Serupa dengan uji dua pihak, pada uji satu pihak juga dimisalkan dipunyai dua
buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing
1µ dan 2µ dan simpangan baku 1σ dan 2σ .
Uji Pihak Kanan
a. Dalam hal 21 σσ =
Langkah pengujian hipotesis:
1) Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
>=
211
210
: H : H
µµµµ
2) Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3) Kriteria pengujian.
Terima 0H jika α−< 1tt , dan tolak 0H untuk harga t yang lain.
Dengan 221 −+= nndk dan peluang ( )α−1 dari daftar distribusi t.
4) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10).
5) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal 21 σσ ≠
Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik
t′ .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
43
Langkah pengujian hipotesis:
a) Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
>=
211
210
: H : H
µµµµ
b) Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
c) Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika 21
2211
wwtwtwt
++
≥′ , dan terima 0H jika terjadi sebaliknya.
Dengan 1
21
1 nsw = ;
2
22
2 nsw =
( ) ( )1,2111
1−−=
ntt
α dan ( ) ( )1,2
1122−−
=n
ttα
Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah ( )α−1 sedangkan
derajat kebebasannya masing-masing ( )11 −n dan ( )12 −n .
d) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t′ yang sama dengan rumus (II.11).
e) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
c. Observasi berpasangan
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
>=
0 : H0 : H
1
0
B
B
µµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−≥ 1tt , selainnya terima 0H .
Dengan α−1t diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang α−1
dan 1−= ndk .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.12).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
44
Uji Pihak Kiri
a. Dalam hal 21 σσ = dan keduanya tidak diketahui
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
<=
211
210
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−−≤ 1tt , dan terima 0H untuk harga t yang lain.
Dengan α−1t diperoleh dari daftar distribusi t dengan 221 −+= nndk
dan peluang ( )α−1 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal 21 σσ ≠
Pendekatan yang diggunakan adalah statistik t′ .
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
<=
211
210
: H : H
µµµµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika 21
2211
wwtwtwt
++
−≤′ , dan terima 0H jika terjadi
sebaliknya.
Dengan 1
21
1 nsw = ;
2
22
2 nsw =
( ) ( )1,2111
1−−=
ntt
α dan ( ) ( )1,2
1122−−
=n
ttα
Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah ( )α−1 sedangkan
derajat kebebasannya masing-masing ( )11 −n dan ( )12 −n .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
45
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t′ yang sama dengan rumus (II.11).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
c. Observasi berpasangan
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
<=
0 : H0 : H
1
0
B
B
µµ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika ( )1),1( −−−≤ ntt α , dan terima 0H untuk ( )1),1( −−−> ntt α .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.12).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
12. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai dua populasi binomial yang di dalamnya didapat proporsi
peristiwa A sebesar 1π dan 2π . Secara independen dari tiap populasi diambil
sebuah sampel acak berukuran 1n dan 2n . Proporsi untuk peristiwa yang
diperhatikan pada sampel tersebut adalah 1
1
nx dan
2
2
nx .
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
: H : H
211
210
ππππ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( ) ( )αα −−<<−
12112
1 zzz , selainnya tolak 0H .
Dengan ( )α−121z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang ( )α−121 .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
46
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan pendekatan distribusi normal.
(II.13)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
−=
21
2
2
1
1
11nn
pq
nx
nx
z
dengan 21
21
nnxxp
++
= dan pq −=1
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Di kecamatan Semarang Barat dari 250 siswa SD, 150 orang suka matematika.
Di kecamatan Gunungpati dari 300 siswa SD, 162 orang suka matematika.
Dengan α = 5%, ujilah adakah perbedaan yang signifikan tentang kesukaan
matematika di kedua kecamatan tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x1 = 150 n1 = 250
X2 = 162 n2 = 300
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
≠=
: H : H
211
210
ππππ
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( ) ( )αα −−<<−
12112
1 zzz
( ) ( )05,012105,012
1 −−<<− zzz
96,196,1 <<− z
( )α−121z dari daftar distribusi normal baku dengan peluang ( )α−12
1 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)
5673,0300250162150
21
21 =++
=++
=nnxxp
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
47
4327,05673,011 =−=−= pq
( )( )43,1
3001
25014327,05673,0
300162
250150
11
21
2
2
1
1
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
−=
nnpq
nx
nx
z
5. Kesimpulan: karena 96,143,196,1 <=<− hitungz maka 0H diterima.
Jadi, 21 ππ = . Artinya tidak ada perbedaan yang signifikan kesukaan
matematika di kecamatan Semarang Barat maupun di kecamatan Gunungpati.
13. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Satu Pihak
Uji Pihak Kanan
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
>=
: H : H
211
210
ππππ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz dan Terima 0H jika α−< 5,0zz .
Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
( )α−5,0 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.13).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Uji Pihak Kiri
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
<=
: H : H
211
210
ππππ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
48
Tolak 0H jika α−−≤ 5,0zz , dan terima 0H jika α−−> 5,0zz .
Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
( )α−5,0 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.13).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh (Sudjana)
Terdapat dua kelompok A dan B, masing-masing terdiri atas 100 pasien yang
menderita suatu penyakit. Kepada kelompok A diberika obat tertentu sedangkan
pada kelompok B tidak. Dalam waktu 1 bulan, terdapat 80 orang yang sembuh
dari kelompok A dan 68 orang yang sembuh dari kelompok B. Dengan α = 1%,
ujilah adakah penelitian dengan pemberian obat ini membantu menyembuhkan
penyakit!
Penyelesaian
Diketahui xA = 80 nA = 100
xB = 68 nB = 100
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧
>=
: H : H
B1
B0
ππππ
A
A
2. Taraf signifikansi α = 5%.
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz dan Terima 0H jika α−< 5,0zz .
64,105,05,05,0 == −− zz α
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)
74,01001006880
=++
=++
=BA
BA
nnxxp
26,074,011 =−=−= pq
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
49
( )( )94,1
1001
100126,074,0
10068
10080
11=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
−=
BA
B
B
A
A
nnpq
nx
nx
z
5. Kesimpulan: karena 64,194,1 >=hitungz maka 0H ditolak.
Jadi, B ππ >A . Artinya, pada taraf 5%, pemberian obat dapat membantu
penyembuhan penyakit.
Bagaimanakah bila penelitian ini diuji dengan taraf nyata 1%, apakah masih
memberikan hasil yang sama dengan kesimpulan di atas!
14. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Dua Pihak
Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan atau perbedaan dua
rata-rata ditekankan asumsi bahwa kedua populasi memiliki varians yang
sama agar menaksir dan menguji bisa dilakukan. Dalam hal varians yang
berbeda, hingga saat ini hanya digunakan cara pendekatan. Oleh karena itu,
maka perlu dilakukan pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih.
Populasi-populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi
dengan varians yang homogen. Bila populasi tersebut memiliki varians yang
berbeda disebut populasi dengan varians yang heterogen.
Berikut akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi.
Misalkan dipunyai dua populasi normal dengan varians 21σ dan 2
2σ .
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=2
22
11
22
210
:: H
: H
σσ
σσ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( ) ( ) ( )1,1211,1,2
11 2121 −−−−−<<
nnnnFFF
αα, selainnya tolak 0H .
Dengan ( )nmF ,β diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan
dk pembilang m dan dk penyebut n.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
50
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil jika
sampel dari populasi pertama berukuran 1n dengan variansi 21s dan sampel
dari populasi kedua berukuran 2n dengan variansi 22s .
(II.14) 22
21
ssF =
Statistik lain yang digunakan
(II.15) terkecilVariansterbesarVariansF =
Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika ( )21 ,21 vv
FFα
≥ .
Dengan ( )21 ,21 vv
Fα
diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang α21
dan derajat kebebasan v1 dan v2.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Dari dua populasi siswa diukur hasil prestasi belajar siswa. Dari populasi pertama
diukur 10 orang siswa ternyata 21s = 24,7. Dari populasi kedua diukur 13 siswa
ternyata 22s = 37,2. Dengan α = 10%, ujilah apakah kedua populasi tersebut
homogen.
Penyelesaian
Diketahui 21s = 24,7 n1 = 10
22s = 37,2 n2 = 13
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=2
22
11
22
210
:: H
: H
σσ
σσ
2. Taraf signifikansi α = 10%.
3. Kriteria pengujian.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
51
Terima 0H jika ( ) ( ) ( )1,1211,1,2
11 2121 −−−−−<<
nnnnFFF
αα
( )( ) ( ) ( ) ( )113,110,1,021113,110,1,02
11 −−−−−<< FFF
( ) ( )12,9,05,012,9,95,0 FFF <<
( )( )12,9,05,0
12,9,05,0
1 FFF
<<
80,207,31
<< F
80,23257,0 << F
Dengan ( )nmF ,β diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan
dk pembilang m dan dk penyebut n.
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)
664,02,377,24
22
21 ===
ssF
5. Kesimpulan: karena 80,2664,03257,0 <=< hitungF maka 0H diterima.
Jadi, 22
1 σσ = . Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi
tersebut homogen.
Bila digunakan statistik lain
506,17,242,37===
terkecilVariansterbesarVariansF
Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika ( )21 ,21 vv
FFα
≥ ( )( ) 07,39,121,02
1 =≥ FF .
Dengan ( )21 ,21 vv
Fα
diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang α21 dan
derajat kebebasan v1 dan v2.
Kesimpulan: karena 07,3506,1 <=hitungF maka 0H diterima.
Jadi, 22
1 σσ = . Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi tersebut
homogen.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
52
15. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Satu Pihak
Uji Pihak Kanan
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
>
=2
22
11
22
210
:: H
: H
σσ
σσ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika ( )1,1 21 −−≥ nnFF α , selainnya terima 0H .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik yang sama dengan rumus (II.14)
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Uji Pihak Kiri
Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪⎨⎧
<
=2
22
11
22
210
:: H
: H
σσ
σσ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak 0H jika ( )( )1,11 21 −−−< nnFF α , selainnya terima 0H .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil
menggunakan statistik yang sama dengan rumus (II.14).
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
16. Uji Homogenitas Varians Populasi
Berikut merupakan perluasan untuk menguji kesamaan k buah ( )2≥k varians
populasi yang berdistribusi normal.
Misalkan dipunyai k ( )2≥k buah populasi berdistribusi independen dan
normal massing-masing dengan varians 222
21 ,,, kσσσ K .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
53
Akan diuji hipotesis
⎩⎨⎧ ===
berlakutidakdengan sama tandasatu sedikitaling : H : H
1
222
210
pkσσσ K
berdasarkan sampel acak yang diambil dari setiap populasi.
Terdapat beberapa metode untuk melakukan pengujian homogenitas varians
populasi, antara lain uji Bartlett.
LATIHAN
1. Pengusaha ban mobil X mengatakan bahwa produksi bannya tahan pakai
dalam pemakaian mobil sejauh 80.000 km. Timbul dugaan bahwa masa pakai
ban telah berubah, untuk menentukan hal ini dilakukan penelitian dengan cara
menguji 50 ban dan diperoleh rata-rata pemakaian 79.200 km. Dari
pengalaman diketahui simpangan baku mas apakai ban 6000 km dengan taraf
nyata 5%. Selidiki apakah kualitas ban tersebut telah berubah atau belum!
2. Diambil sampel sebanyak 20 mahasiswa FMIPA dengan nilai matematika
sbb: 65, 66, 67, 60, 62, 64, 70, 72, 60, 62, 63, 64, 65, 65, 66, 65, 64, 64, 63,
65. Dengan menggunakan taraf signifikansi α = 5% dan α = 1%, ujilah
hipotesis yang mengatakan bahwa rata-rata penguasaan matematika
mahasiswa FMIPA adalah 65.
3. Ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan (berarti) dari prestasi hasil
belajar siswa dengan penerapan dua metode pembelajaran yang berbeda yaitu
Metode A dan Metode B. Diketahui informasi dari sampel yang diberi Metode
A yaitu n = 30 dan x = 60. Sedangkan dari sampel yang diberi Metode B
dengan n = 32 dan x = 62. Dan diketahui dari pengalaman bahwa 21 σσ = =6
dan α = 5%.
4. Dua jenis makanan ternak A dan B diberikan pada sapi secara terpisah dalam
jangka waktu tertentu. Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik
untuk ternak tersebut, untuk itu diambil sampel 11 ekor sapi diberi makanan A
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
54
dan 10 ekor sapi lain diberi makanan B. Setelah pemberian makanan ternak
tersebut dalam waktu 1 minggu, dicatat pertambahan berat sapi (dalam kg)
sbb:
Makanan A : 3,4 4,0 3,8 2,7 3,6 3,0 2,6 2,9 3,3 3,0 3,1
Makanan B : 3,7 2,6 3,0 3,0 2,9 3,3 3,2 3,4 2,9 2,7
Dengan α = 5%, tentukan apakah kedua jenis makanan ternak tersebut sama
baiknya jika diasumsikan:
a. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi sama tapi
tidak diketahui.
b. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi tidak sama
tidak diketahui.
5. Dilakukan penelitian untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan
kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika. Berdasarkan
sampel yang diambil secara acak, dan setelah ditest diperoleh kemampuan
pegawai pria (X1) dan kemampuan pegawai wanita (X2) sebagai berikut:
X1 : 70 80 76 40 80 70 90 99 60 50 76 41 72 90 50
X2 : 70 70 90 40 90 80 70 40 50 90 70 40 72 80 42
Buktikan hipotesis tersebut dengan α = 5%!
6. Diadakan eksperimen pembelajaran matematika dengan Model I dan Model
II. Digunakan sampel berpasangan sejumlah 12 pasang. Setelah dilakukan
eksperimen diperoleh hasil tes matematika sbb:
Model I 60 64 52 70 53 100 20 40 30 45 66 65
Model II 58 62 54 70 50 96 22 38 35 42 65 66
Dengan α = 5%, ujilah apakah rata-rata hasil belajar dari kedua populasi
tersebut sama atau berbeda secara signifikan!
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
55
BAB III
ANALISIS VARIANS
Analisis varians (ANAVA) atau analysis of variance (ANOVA) adalah suatu
teknik statistik yang memungkinkan untuk mengetahui apakah dua atau lebih
mean populasi bernilai sama dengan menggunakan sampel dari masing-masing
populasi yang diuji. Analisis varians merupakan teknik analisis yang fungsinya
hampir sama dengan teknik t-tes, yaitu untuk menguji perbedaan mean (rata-rata)
dari sampel. Kelebihan analisis varians dibandingkan dengan uji-t dalam
rancangan penelitian eksperimen adalah dalam menguji beda mean analisis
varians tidak hanya terbatas pada mean dua sampel namun dapat digunakan untuk
menguji kesamaan atau perbedaan antar rata-rata dari k buah ( )2>k populasi
yang berdistribusi normal.
Dasar pemikiran penggunaan analisis varians adalah bahwa varians total semua
subjek dalam suatu eksperimen dapat dianalisis dari dua sumber, yaitu variansi
antar kelompok dan variansi di dalam kelompok.
Asumsi dasar dari analisis varians adalah sebagai berikut:
Populasi yang diamati memiliki distribusi normal.
Pengambilan sampel dilakukan secara acak dan setiap sampel independen/tidak
terikat sampel yang lain.
Populasi-populasi dimana nilai sampel diperoleh memiliki varians populasi yang
sama atau dapat ditulis 222
21 , kσσσ === K dengan k jumlah populasi.
Dikenal beberapa jenis varians sampel 2s , salah satunya dihitung dengan rumus
( )1
22
−−
= ∑n
xxs i dan varians populasi adalah 2σ .
Varians untuk sekumpulan data ini melukiskan derajat perbedaan atau variansi
nilai data individu yang ada dalam kelompok atau kumpulan data tersebut.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
56
Variansi ini dihitung dari nilai rata-rata kumpulan data. Selain itu dikenal pula
varians sampling berbagai statistik, untuk rata-rata diberi lambang 2xσ , untuk
proporsi dengan lambang 2
nxσ , dan sebagainya.
Langkah-langkah Analisis varians adalah sebagai berikut:
1. Rumuskan hipotesis nol ( 0H ) dan hipotesis tandingannya ( 1H ).
0H : mean k populasi ( )2>k yang berdistribusi normal adalah sama.
1H : diantara k populasi ( )2>k terdapat mean populasi yang berbeda.
(minimum ada satu tanda sama dengan tidak berlaku)
Atau secara matematis
kH µµµµ ==== K3210 :
k
k
kH
µµµµµµµµµµµµ
≠≠≠≠≠=≠====≠
K
K
K
321
321
3211 :
2. Ambil sampel acak dari k buah ( )2>k populasi sbb:
Sampel I Sampel II Sampel III ... Sampel k 11x 12x 13x ... kx1
21x 22x 23x ... kx2
31x 32x 33x ... kx3 M M M ... M
1nx 2nx 3nx ... nkx
1x 2x 3x ... kx 3. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
4. Gunakan statistik F (Fisher)
kelompokdalamiansmeansantarians
VDKVAMFhitung var
var==
( )1
1
2
22
−
−===∑=
k
xxnnSVAM
k
jj
xσ , 1−= kdk
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
57
( )( )1
1 1
2
−
−=∑∑= =
nk
xxVDK
n
i
k
jjij
Dengan x mean dari semua mean sampel
jx mean sampel ke-j, j = 1, 2, ..., k
ijx nilai data observasi ke-i dari sampel ke-j
5. Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( )( )1,1; −−≤ nkkhitung FF α .
Tolak 0H jika ( )( )1,1; −−> nkkhitung FF α .
6. Mengambil kesimpulan berdasarkan hasil 4 dan 5.
7. Jika 0H diterima maka pengujian berakhir.
Jika 0H ditolak, analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut salah satunya
dengan menggunakan Uji α
21LSD (Least Significant Different).
( ) dnk
StLSD .1,2
11211 −−−
=αα
ji
d ns
nsS
22
+= , VDKs =2
Kriteria pengujian Uji lanjut α
211−
LSD
Bandingkan antara ix dan jx : ji xx ≠ jika α
211−
>−= LSDxxd jiij .
Contoh
Diterapkan model pembelajaran dengan 3 metode, kemudian dilakukan tes dan
diperoleh skor hasil tes sbb:
Sampel ke-
Metode I Metode II Metode III
1 25 22 22 2 29 25 21 3 28 24 26 4 30 25 23
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
58
a. Dengan anava selidikilah apakah ada perbedaan diantara tiga mean skor
hasil belajar dengan ketiga metode tersebut.
b. Bila terdapat perbedaan, dengan uji lanjut selidikilah model pembelajaran
yang manakah yang terbaik. Gunakan α = 5%.
Penyelesaian
Diketahui 1x = 28 2x = 24 3x = 23
x = 25
Langkah-langkah Analisis varians:
Merumuskan hipotesis uji
3210 : µµµ ==H
1H : paling sedikit ada satu tanda sama dengan tidak berlaku.
Sampel acak dari 3 buah populasi seperti tertera pada soal di atas.
Taraf signifikansi α = 5%..
Gunakan statistik F (Fisher)
( )( ) ( ) ( ){ } 28
132523252425284
1
2221
2
=−
−+−+−=
−
−=∑=
k
xxnVAM
k
jj
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
78,391
14328232826
28212822
28252824
28252822
28302828
28292825
1
22
22
22
22
22
22
1 1
2
==
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−
+−+−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−
+−+−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−
+−+−
=
−
−=∑∑= =
nk
xxVDK
n
i
k
jjij
41,778,3
28===
VDKVAMFhitung
Kriteria pengujian.
Terima 0H jika ( )( )1,1; −−≤ nkkhitung FF α
Tolak 0H jika ( )( )1,1; −−> nkkhitung FF α
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
59
( )( ) ( )( ) ( ) 26,49,2;05,0143,13;05,01,1; === −−−− FFF nkkα
Kesimpulan : karena ( )( ) 26,441,7 1,1; =>= −− nkkhitung FF α maka 0H ditolak.
Artinya, ada perbedaan diantara ketiga mean skor hasil belajar dengan
ketiga metode tersebut.
Karena 0H ditolak, maka analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut menggunakan
Uji α
211−
LSD
3748,1478,3
478,322
=+=+=ji
d ns
nsS , 78,32 ==VDKs
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 11,33748,1.26,2
3748,1.
3748,1..
9,975,0
143,05,02111,2
11211
==
=
==−−−−−
t
tStLSD dnkαα
Kriteria pengujian Uji lanjut α
211−
LSD
Bandingkan antara ix dan jx : ji xx ≠ jika α
211−
>−= LSDxxd jiij .
11,3424282112112 =>=−=−=
− αLSDxxd . Berarti 1x > 2x .
11,3523282113113 =>=−=−=
− αLSDxxd . Berarti 1x > 3x .
11,3123242113223 =<=−=−=
− αLSDxxd . Berarti 2x = 3x .
Kesimpulan : Metode pembelajaran yang paling efektif adalah model
pembelajaran I, yang paling berbeda diantara ketiga metode tersebut.
LATIHAN
1. Dilakukan penelitian tentang produksi susu sapi dari 3 lokasi. Diambil 10 sapi
sebagai sampel dari masing-masing lokasi. Penelitian selama 3 bulan tercatat
hasil seperti pada data berikut.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
60
Jawa Madura Bali 341 360 302 323 300 304 356 296 286 289 223 245 343 250 235 335 296 216 361 284 287 298 200 296 300 208 264 Pr
oduk
si su
su (l
iter)
309 231 259 Dengan taraf signifikansi α = 5%, selidiki apakah ada perbedaan
perbandingan produksi susu sapi di 3 lokasi tersebut? Jika ada perbedaan
manakah yang paling berbeda!
2. Dilakukan pengamatan terhadap hasil tes UAN siswa SMA. Para siswa itu
dikelompokkan dalam 3 kategori (1) SMA Favorit, (2) SMA Negeri, dan (3)
SMA Swasta. Diperoleh data pengamatan sebagai berikut:
No SMA Nilai No SMA Nilai No SMA Nilai 1 favorit 4,25 8 negeri 4,00 15 swasta 4,00 2 favorit 5,00 9 negeri 3,00 16 swasta 3,50 3 favorit 4,75 10 negeri 3,50 17 swasta 3,75 4 favorit 3,75 11 negeri 3,75 18 swasta 3,00 5 favorit 4,50 12 negeri 3,50 19 swasta 3,25 6 favorit 4,25 13 negeri 3,25 20 swasta 3,50 7 favorit 4,00 14 negeri 4,25 21 swasta 2,75
Selidiki apakah ketiga kelompok tersebut memiliki nilai rata-rata UAN yang
sama dengan taraf signifikansi α = 5%.
3. Dilakukan penelitian mengenai berat badan mahasiswa berdasarkan sarapan
yang dimakan dari 4 kelompok sampel dan diperoleh data berat badan (dalam
kg) sbb:
Sampel ke-
Mie instan
Nasi Roti Singkong
1 45 46 47 43 2 55 54 58 52 3 40 45 44 40 4 65 64 65 48 5 60 62 63 58 6 58 59 62 60 7 57 54 59 55
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
61
Dengan taraf signifikansi α = 5%, selidiki sarapan manakah yang membuat
berat badan mahasiswa lebih tinggi dari yang lain!
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
62
BAB IV
ANALISIS REGRESI
1. Pendahuluan
Metode analisis yang telah dibahas sebelumnya adalah analisis terhadap data
mengenai sebuah karakteristik atau atribut (data kualitatif) dan mengenai
sebuah variabel, diskrit maupun kontinu (data kuantitatif). Namun, kenyataan
yang terjadi, banyak persoalan yang meliputi lebih dari sebuah variabel.
Misalkan, hasil belajar siswa tergantung pada waktu belajar, hasil produksi
padi tergantung pada cuaca serta penggunaan pupuk, dan lain sebagainya.
Oleh karena itu perlu untuk mempelajari analisis data yang terdiri atas banyak
variabel.
Jika dipunyai data yang terdiri atas dua atau lebih variabel, maka dapat
dipelajari bagaimana variabel-variabel tersebut berhubungan. Hubungan yang
diperoleh umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang
menyatakan hubungan fungsional antara variabel. Studi yang mmempelajari
hubungan antar variabel ini dikenal dengan analisis regresi.
Tujuan dari bab ini adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan atau
persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua variabel.
Yang akan dibahas adalah regresi garis sederhana, dimana akan dibahas
mengenai hubungan antara dua variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan
dalam suatu garis lurus. Selanjutnya tujuan dari penggunaan persamaan
regresi adalah memperkirakan nilai dari suatu variabel pada nilai tertentu dari
variabel lain dengan kata lain persamaan regresi digunakan untuk peramalan.
2. Hubungan Fungsional Antara Variabel
Dalam analisis regresi, variabel akan dibedakan menjadi dua, yaitu variabel
bebas (variabel prediktor) dan variabel takbebas (variabel respon). Variabel
yang mudah diperoleh atau tersedia dapat digolongkan ke dalam variabel
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
63
bebas sedangkan variabel yang terjadi karena variabel bebas, merupakan
variabel takbebas. Dalam analisis regresi, variabel bebas akan dinyatakan
dengan kXXX ,,, 21 K ( )1≥k sedangkan variabel takbebas dinyatakan
dengan Y.
Telah diketahui bahwa statistika bertujuan untuk menyimpulkan populasi
dengan menggunakan hasil analisis data sampel. Untuk analisis regresi juga
akan ditentukan hubungan fungsional yang diharapkan berlaku untuk populasi
berdasarkan data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.
Hubungan fungsional ini akan dituliskan dalam bentuk persamaan matematik
yang disebut dengan persamaan regresi yang akan bergantung pada
parameter-parameter.
Secara umum model atau persamaan regresi untuk populasi dapat ditulis
dalam bentuk
(IV.1) ( )mkxxxy XXXk
θθθµ ,,,,,, 2121,,,. 21KKK =
Dengan mθθθ ,,, 21 K parameter-parameter yang ada dalam regresi.
Model regresi sederhana untuk populasi dengan sebuah variabel bebas yang
biasa dikenal dengan regresi linier sederhana adalah
(IV.2) Xxy 21. θθµ +=
Dalam hal ini parameternya adalah 1θ dan 2θ .
Berdasarkan sebuah sampel, akan ditentukan atau ditaksir persamaan regresi
populasi pada rumus (IV.1). Hal ini dapat dilakukan dengan jalan menaksir
parameter-parameter mθθθ ,,, 21 K .
Untuk kasus regresi linier sederhana, perlu ditaksir parameter 1θ dan 2θ . Jika
1θ dan 2θ ditaksir oleh a dan b , maka persamaan regresi berdasarkan
sampel adalah
(IV.3) bXaY +=ˆ
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
64
Regresi dengan X merupakan variabel bebas dan Y variabel takbebasnya
dinamakan regresi Y atas X.
Model regresi populasi pangkat dua atau parabola untuk sebuah variabel bebas
dengan parameter 1θ , 2θ dan 3θ adalah
(IV.4) 2321. 2 XXxxy θθθµ ++=
Dan berdasarkan sampel acak, parameter-parameter 1θ , 2θ dan 3θ perlu
ditaksir dengan persamaan berikut
(IV.5) 2ˆ cXbXaY ++=
Dengan a , b dan c masing-masing diperoleh dari perhitungan berdasarkan
data penelitian yang berturut-turut merupakan taksiran untuk 1θ , 2θ dan 3θ .
Berikut cara menentukan persamaan regresi, apabila dimiliki data
pengamatan.
3. Metode Tangan Bebas
Metode ini merupakan metode kira-kira dengan menggunakan diagram pencar
(scatter diagram) dengan data yang diperoleh berdasarkan hasil pengamatan.
Jika variabel yang diamati meliputi variabel bebas X dan variabel takbebas Y,
maka data pengamatan yang diperoleh digambarkan pada sebuah diagram
dengan X dinyatakan pada sumbu mendatar dan Y pada sumbu tegak sehingga
terbentuk diagram pencar yang menunjukkan titik-titik tertentu.
Ada dua manfaat dari penggunaan diagram pencar ini yaitu: (1) Membantu
menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat antara dua variabel,
(2) Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan
antara kedua variabel tersebut. Seperti yang tertulis dalam manfaat yang
kedua, dari letak titik-titik pada diagram pencar, dapat diperkirakan bentuk
regresinya. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar garis lurus, maka
dapat diduga terjadi regresi linier. Namun, hubungan yang terbentuk tidak
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
65
selalu harus berupa garis lurus. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar
garis lengkung, maka dapat diduga terjadi regresi nonlinier.
Hubungan yang tergambar pada diagram pencar dapat berupa hubungan
positif (atau langsung) antar dua variabel yaitu jika variabel bebas meningkat
maka variabel takbebas juga meningkat. Namun, adapula kemungkinan pada
variabel tertentu terdapat hubungan yang negatif (atau berlawanan) yaitu jika
variabel bebas meningkat maka variabel takbebas akan menurun. Atau bahkan
tidak ada hubungan sama sekali antara variabel (titik-titik yang terbentuk pada
diagram pencar tidak menunjukkan pola tertentu).
4. Metode Kuadrat Terkecil Untuk Regresi Linier
Metode ini berdasarkan pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua (kuadrat)
dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus
sekecil mungkin.
Untuk pengamatan yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan variabel
takbebas Y di mana model regresi linier untuk populasi seperti rumus (IV.2)
telah dapat diduga, maka perlu ditaksir parameter-parameter regresi sehingga
diperoleh persamaan seperti rumus (IV.3). Jadi untuk populasi, model regresi
linier adalah
Xxy 21. θθµ +=
Harga parameter 1θ dan 2θ ditaksir oleh a dan b , sehingga persamaan
regresi menggunakan data sampel adalah
bXaY +=ˆ
Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat dihitung
dengan rumus
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
66
(IV.6)
( )( ) ( )( )( )
( )( )( )22
22
2
∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
−
−=
−
−=
ii
iiii
ii
iiiii
XXn
YXYXnb
XXn
YXXXYa
Jika terlebih dahulu dihitung koefisien b , maka koefisien a dapat pula
ditentukan dengan rumus
(IV.7) XbYa −=
dengan X dan Y masing-masing adalah rata-rata untuk variabel X dan Y.
Dalam regresi linier, koefisien b berarti perubahan rata-rata Y untuk setiap
perubahan satu unit variabel X. Perubahan nilai Y bertambah apabila nilai b
bertanda positif dan berkurang untuk tanda b negatif.
Contoh (Supranto)
Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan
X : persentase kenaikan biaya iklan
Y : persentase kenaikan hasil penjualan
X 1 2 4 5 7 9 10 12
Y 2 4 5 7 8 10 12 14
Berapakah besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya
iklan dinaikkan menjadi 15 %.
Penyelesaian
X Y 2X XY
1 2 1 2
2 4 4 8
4 5 16 20
5 7 25 35
7 8 49 56
9 10 81 90
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
67
10 12 100 120
12 14 144 168
∑ = 50iX
25,6=X
∑ = 62iY
75,7=Y
∑ = 4202iX ∑ = 499iiYX
Untuk menghitung ramalan presentase kenaikan penjualan, terlebih dahulu
dicari persamaan regresi dari data tersebut.
( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )
04,1860892
50420862504998
222==
−−
=−
−=
∑∑∑∑∑ii
iiii
XXn
YXYXnb
( ) 25,125,604,175,7 =−=−= XbYa
Sehingga diperoleh persamaan XbXaY 04,125,1ˆ +=+=
Nilai koefisien 04,1=b artinya setiap ada kenaikan 1% biaya iklan, maka
hasil penjualan akan naik sebesar 1,04 %.
Persamaan XbXaY 04,125,1ˆ +=+= selanjutnya dapat digunakan untuk
meramalkan presentase kenaikan penjualan apabila terjadi perubahan
(kenaikan atau pengurangan) biaya iklan.
Jika biaya iklan dinaikkan menjadi 15 %, maka ramalan presentase kenaikan
penjualan adalah
XY 04,125,1ˆ += dengan X = 15 % diperoleh ( ) 85,161504,125,1ˆ =+=Y .
Jadi besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya iklan
dinaikkan menjadi 15 % adalah 16,85.
5. Berbagai Varians Sehubungan dengan Regresi Linier Sederhana
Untuk analisis selanjutnya tentang regresi linier sederhana, terdapat beberapa
asumsi yang harus diambil.
Asumsi pertama, mengenai kekeliruan prediksi atau galat prediksi atau
perbedaan YYe ˆ−= yang terjadi, mengingat hasil pengamatan variabel
takbebas Y belum tentu sama nilainya dengan harga yang diharapkan yaitu Y
yang diperoleh dari regresi hasil pengamatan (sampel). Dalam populasi, galat
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
68
prediksi dimisalkan berbentuk variabel acak yang mengikuti distribusi normal
dengan rata-rata nol dan varians 2σ .
Asumsi kedua, untuk setiap harga X yang diberikan, variabel takbebas Y
independen dan berdistribusi normal dengan rata-rata ( )X21 θθ + dan varians 2
.XYσ . Varians 2.XYσ dimisalkan sama untuk setiap X maka dapat dinyatakn
oleh varians kekeliruan taksiran ( )2εσ dan kekeliruan baku taksiran xy.σ .
5.1. Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Sederhana
Kesalahan baku atau selisih taksir standar merupakan indeks yang
digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan regresi dan koefisien regresi
atau mengukur variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi. Dengan
kesalahan baku, batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam
meramalkan data dapat diketahui (Hasan, 2010). Apabila semua titik
observasi berada tepat pada garis regresi maka kesalahan baku akan bernilai
sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa perkiraan yang dilakukan
pada data pengamatan sesuai dengan data yang sebenarnya.
Berikut rumus yang digunakan untuk menghitung kesalahan baku regresi
dan koefisien regresi.
a. Kesalahan baku untuk regresi
2
.2
−
−−= ∑ ∑ ∑
nXYbYaY
Se
b. Kesalahan baku untuk koefisien regresi a (parameter a )
( )22
2
∑∑∑
−
−=
XXn
SXS e
a
c. Kesalahan baku untuk koefisien regresi b (parameter b )
( )nX
X
SS e
b 22 ∑∑ −
=
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
69
Coba Anda hitung kesalahan baku regresi, koefisien regresi a dan
koefisien regresi b dengan data dari contoh soal sebelumnya!
5.2. Pendugaan Interval Koefisien Regresi
6. Regresi Non Linier
Seringkali regresi linier tidak dapat digunakan pada beberapa data karena
hipotesis kelinieran telah ditolak. Hal ini juga dapat dilihat dari bentuk
diagram pencar yang tidak menunjukkan bentuk garis lurus, sehingga model
regresi linier akan menyimpang dari letak titik-titik dalam diagram pencar.
Hal ini perlu diperbaiki dengan menggunakan regresi nonlinier.
Beberapa model regresi nonlinier yang mudah dan sering digunakan, antara
lain:
6.1. Model Parabola kuadratik
Persamaan umum model ini ditaksir oleh
(IV.8) 2ˆ cXbXaY ++=
Dengan koefisien-koefisien cba ,, harus ditentukan berdasarkan data
hasil pengamatan. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka
cba ,, dapat dihitung dengan sistem persamaan:
∑∑∑ ++= 2iii XcXbnaY
∑∑∑∑ ++= 32iiiii XcXbXaYX
∑∑∑∑ ++= 4322iiiii XcXbXaYX
6.2. Model Parabola Kubik
Persamaan umum model ini ditaksir oleh
(IV.9) 32ˆ dXcXbXaY +++=
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
70
Dengan koefisien-koefisien dcba ,,, dihitung dari data pengamatan.
Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk menentukan dcba ,,,
adalah:
∑∑∑∑ +++= 32iiii XdXcXbnaY
∑∑∑∑∑ +++= 432iiiiii XdXcXbXaYX
∑∑∑∑∑ +++= 54322iiiiii XdXcXbXaYX
∑∑∑∑∑ +++= 65433iiiiii XdXcXbXaYX
Semakin tinggi pangkat X dalam persamaan regresi, maka semakin
banyak pula sistem persamaan yang harus diselesaikan.
6.3. Model Eksponen
Persamaan umum model ini ditaksir oleh
(IV.10) XbaY =ˆ
Bentuk ini dapat dikembalikan kepada model linier apabila diambil
logaritmanya. Dalam logaritma persamaannya akan menjadi
(IV.11) ( )XbaY loglogˆlog +=
Apabila diambil YY ˆlogˆ =′ , aa log=′ , dan bb log=′ , maka diperoleh
model XbaY ′+′=′ˆ yang adalah model linier seperti pada rumus (IV.3).
dengan rumus (IV.6), maka a′ dan b′ dapat dihitung, selanjutnya karena
aa log=′ dan bb log=′ , maka a dan b juga dapat dihitung.
Dalam logaritma, maka a dan b dapat dicari dari rumus
(IV.12) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑∑
nX
bn
Ya ii log
loglog
( ) ( )( )( )∑ ∑
∑∑∑−
−= 22
logloglog
ii
iiii
XXn
YXYXnb
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
71
Model eksponensial dalam rumus XbaY =ˆ sering pula disebut model
pertumbuhan karena sering digunakan dalam menganalisis data hasil
pengamatan yang berhubungan dengan fenomena yang sifatnya tumbuh.
Dalam hal ini, model persamaannya menjadi
(IV.13) bXeaY =ˆ
dengan e adalah bilangan pokok logaritma asli.
6.4. Model Geometrik
Persamaan umum model ini ditaksir oleh
(IV.14) bXaY =ˆ
Bentuk ini dapat dikembalikan kepada model linier dan apabila diambil
logaritmanya, maka
(IV.15) XbaY loglogˆlog +=
Bentuk ini merupakan model linier dalam Xlog dan Ylog . Koefisien a
dan b dapat dihitung dari:
(IV.16) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑∑
nX
bn
Ya ii loglog
log
( ) ( )( )( )∑ ∑
∑∑∑−
−= 22 log)log(
loglogloglog
ii
iiii
XXn
YXYXnb
6.5. Model Logistik
Model paling sederhana model logistik dapat ditaksir oleh
(IV.17) XabY 1ˆ =
Untuk Y yang tidak sama dengan nol, maka bentuk di atas dapat pula
ditulis sebagai XabY=ˆ
1 .
Jika diambil logaritmanya, diperoleh
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
72
(IV.18) ( )XbaY
loglogˆ1log +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Yang merupakan model linier dalam variabel-variabel X dan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Y1log .
Koefisien-koefisien a dan b dapat dicari dengan menggunakan rumus
(IV.19) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑∑
nX
bn
Ya ii log
loglog
( ) ( )( )( )∑ ∑
∑∑∑−
−= 22
logloglog
ii
iiii
XXn
YXYXnb
Dengan Ylog diganti oleh ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Y1log .
6.6. Model Hiperbola
Persamaan umum yang sederhana untuk model hiperbola dapat dituliskan
dalam bentuk
(IV.20) bXa
Y+
=1ˆ
Atau jika tidak ada Y berharga nol dapat ditulis menjadi
(IV.21) bXaY
+=ˆ1
Yang merupakan bentuk linier dalam variabel-variabel X dan Y1 .
Koefisien-koefisien a dan b dapat dihitung dengan rumus
(IV.22) ( )( ) ( )( )
( )∑ ∑∑∑∑∑
−
−= 22
2
)( ii
iiiii
XXn
YXXXYa
( ) ( )( )( )∑ ∑
∑∑∑−
−= 22 )( ii
iiii
XXn
YXYXnb
Apabila variabel Y diganti oleh Y1 .
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
73
7. Regresi Linier Ganda
Sebelumnya telah dibahas hubungan linear dari dua variabel X dan Y dengan
menggunakan persamaan regresi linier bXaY +=ˆ .
Dalam kenyataan, banyak data pengamatan yang terjadi dengan melibatkan
lebih dari dua variabel. Misalnya hasil panen padi (Y) dipengaruhi oleh
penggunaan pupuk ( 1X ), luas sawah ( 2X ) dan curah hujan ( 3X ). Secara
umum, data hasil pengamatan Y dapat terjadi atau dipengaruhi oleh variabel-
variabel bebas kXXX ,,, 21 K .
Akan ditentukan hubungan antara Y dan kXXX ,,, 21 K sehingga diperoleh
regresi antara Y dan kXXX ,,, 21 K . Yang akan ditinjau hanyalah garis regresi
sederhana yang dikenal dengan nama regresi linier berganda. Model regresi
linier ganda atas kXXX ,,, 21 K akan ditaksir oleh
(IV.23) kk XbXbXbaY ++++= K2211ˆ
dengan kbbba ,,,, 21 K merupakan koefisien-koefisien yang harus ditentukan
berdasarkan data pengamatan. Perhatikan bahwa regresi linier bXaY +=ˆ
merupakan hal istimewa dari rumus (IV.23) untuk 021 ===== kbbba K .
Koefisien-koefisien kbbba ,,,, 21 K ditentukan dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil (Least Square Method) yang menghasilkan persamaan normal
sebagai berikut
(IV.24) ∑∑ ∑ ∑ =++++ YXbXbXban kkK2211
∑∑ ∑ ∑∑ =++++ YXXXbXXbXbXa kk 112122
111 K
∑∑ ∑ ∑∑ =++++ YXXXbXbXXbXa kk 222
221212 K
M
∑∑ ∑ ∑∑ =++++ YXXbXXbXXbXa kkkkkk2
2211 K
Bila persamaan tersebut diselesaikan, maka akan diperoleh nilai
kbbba ,,,, 21 K . Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi berganda.
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
74
Apabila persamaan regresi telah diperoleh, maka dapat diramalkan nilai Y
dengan syarat bila nilai kXXX ,,, 21 K sebagai variabel bebas sudah
diketahui.
Sama halnya dengan regresi linier, dalam regresi linier ganda perubahan rata-
rata Y memperhatikan nilai dan tanda koefisien dari masing-masing variabel
X. Pada rumus (IV.23) maka koefisien 1b menyatakan perubahan rata-rata Y
untuk setiap perubahan satu unit variabel 1X apabila kXXX ,,, 32 K
semuanya dianggap tetap. Koefisien 2b menyatakan perubahan rata-rata Y
untuk setiap perubahan satu unit variabel 2X apabila kXXX ,,, 31 K
semuanya dianggap tetap, demikian seterusnya. Jelas bahwa setiap koefisien
hanya memberikan gambaran parsial apa yang terjadi pada Y untuk perubahan
X yang berhubungan dengan koefisien yang bersesuaian. Oleh karena itu
koefisien-koefisien kbbba ,,,, 21 K disebut pula koefisien regresi parsial.
Contoh (Supranto)
Perhatikan file PDF
LATIHAN 1. Dengan menggunakan persamaan garis regresi bXaY +=ˆ , hitunglah ramalan
nilai Y jika X = 16 dari kedua data berikut a.
X 2 4 3 8 9 10 15 13
Y 1 2 5 7 8 11 13 14
b. X 1 3 4 7 9 11 13
Y 12 11 9 8 6 5 4
2. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes
X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
75
Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes
X 7 6 8 9 10 5 4 9 7 3
Y 6 8 9 7 9 6 5 8 8 4
a. Dengan menggunakan persamaan regresi, berapakah nilai ujian Statistika
jika nilai ujian Kalkulus yang diperoleh sebesar 8,5.
b. Tuliskan persamaan regresi linier sederhana, berapakah besarnya nilai
koefisien regresi? Jelaskan arti dari nilai-nilai tersebut!
c. Tentukan kesalahan baku regesi, koefisien regresi a dan koefisien regresi
b .
d. Dalam soal ini bolehkan variabel Y memiliki nilai negatif? Berikan alasan
Anda!
3. Dipunyai kumpulan data berikut
X ni XXXX ,,,,, 21 KK
Y ni YYYY ,,,,, 21 KK
Jika ( )( )
( )∑∑
−
−−= 2XX
YYXXb
i
ii dan XbYa −=
dengan ∑= iXn
X 1 dan ∑= iYn
Y 1
Tunjukkan bahwa:
a. ( )( )( )22 ∑∑
∑∑∑−
−=
ii
iiii
XXn
YXYXnb
b. ( )∑=
=−−n
ii XbaY
1
0
4. Sebuah perusahaan mencatat hasil penjualan dari tahun ketahun sebagai
berikut. Tahun 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Hasil Penjualan
(jutaan Rp)
83 60 54 21 22 13 13
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
76
Terlihat adanya kemunduran dalam hasil penjualan tersebut. Dengan menggunakan trend parabola 2ˆ cXbXaY ++= , hitung berapa ramalan hasil penjualan untuk tahun 1987 dan 1988? Gambarkan grafik Y dan Y dalam satu gambar!
5. Perhatikan data berikut
X : harga barang perunit dalam ribuan rupiah
Y : hasil penjualan barang X dalam jutaan rupiah
X 20 35 60 100 150 300 500 800
Y 150 125 105 100 92 77 62 58
Dengan menggunakan trend eksponensial XbaY =ˆ , berapakah ramalan hasil
penjualan jika X = 900!
6. Perkembangan jumlah pabrik pada suatu daerah selama 6 tahun adalah sebagai berikut.
Tahun 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Banyaknya pabrik 4 8 12 18 18 20
Dengan menggunakan trend logistik XabY 1ˆ = , hitung ramalan banyaknya
pabrik yang dibangun pada tahun 1987?
7. PT ANGIN MOBAT MABIT menerapkan stategi promosi untuk meningkatkan pendapatan penjualan mesin jahit. Akan dilihat pengaruh iklan melalui televisi dan koran terhadap pendapatan. Berikut data mingguan yang tercatat:
Iklan TV (juta rupiah)
Iklan Koran (juta rupiah)
Pendapatan (juta rupiah)
1 2 4 6 7 9
2 4 5 7 8
10
1 3 6 8 9
11
Dengan menggunakan persamaan regresi linier berganda, berapakah ramalanpendapatan penjualan mesin jahit jika promosi dengan Iklan TV sebesar 10 juta rupiah dan promosi dengan Iklan koran sebesar 12 juta rupiah!
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
77
BAB V
ANALISIS KORELASI
1. Pendahuluan
Jika data hasil pengamatan terdiri dari banyak variabel, maka hal yang perlu
diketahui berikutnya adalah seberapa kuat hubungan antara variabel-variabel
tersebut terjadi. Dengan kata lain, perlu ditentukan derajat hubungan antara
variabel-variabel. Studi yang membahas tentang derajat hubungan antara
variabel dikenal dengan nama analisis korelasi. Sedangkan ukuran yang
digunakan untuk mengetahui derajat hubungan, terutama untuk data
kuantitatif, dinamakan koefisien korelasi.
Adanya hubungan (korelasi) antara variabel yang satu dengan variabel lainnya
dapat dinyatakan dengan perubahan nilai variabel. Dalam bab ini hanya akan
dibahas mengenai hubungan linier antara dua variabel X dan Y .
Apabila dua variabel X dan Y mempunyai hubungan, maka nilai variabel X
yang sudah diketahui dapat digunakan untuk memperkirakan/menaksir atau
meramalkan Y. Ramalan pada dasarnya merupakan perkiraan/taksiran
mengenai terjadinya suatu kejadian (nilai suatu variabel) untuk waktu
mendatang, misalnya ramalan harga beras bulan depan, ramalan jumlah
penduduk 10 tahun mendatang, dan lain sebagainya.
Serupa dengan analisis regresi, variabel Y yang nilainya akan diramalkan
disebut variabel takbebas, sedangkan variabel X yang nilainya digunakan
untuk meramalkan nilai Y disebut variabel bebas atau variabel peramal
(predictor) atau sering disebut variabel yang menerangkan (explanatory).
2. Koefisien Korelasi
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
78
Hubungan dua variabel dapat merupakan hubungan positif maupun negatif.
Hubungan X dan Y dikatakan positif apabila kenaikan (penurunan) X pada
umumnya diikuti oleh kenaikan (penurunan) Y. Sebaliknya dikatakan negatif
jika kenaikan (penurunan) X pada umumnya diikuti oleh penurunan
(kenaikan) Y.
Jika antara variabel X dan Y ada hubungan, bentuk diagram pencarnya akan
mulus/teratur. Apabila terdapat hubungan positif, maka diagram pencar akan
bergerak dari kiri bawah ke kanan atas, sedangkan apabila terdapat hubungan
negatif, maka diagram pencar akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.
Bila bentuk diagram pencar tidak teratur, artinya kenaikan/penurunan X pada
umumnya tidak diikuti oleh naik turunnya Y, dikatakan X dan Y tidak
berkorelasi. Atau dengan kata lain, X dan Y dikatakan saling bebas
(independent) jika naik dan turunnya varianel X tidak mempengaruhi Y atau
antara X dan Y tidak ada hubungan atau hubungnnya sangat lemah sehingga
dapat diabaikan.
Apabila hubungan X dan Y dapat dinyatakan dengan fungsi linier, maka kuat
hubungan antara X dan Y diukur dengan suatu nilai yang disebut Koefisien
Korelasi. Nilai koefisien korelasi.ini paling sedikit -1 dan paling besar 1. Jika
r adalah koefisien korelasi,maka nilai r dapat dinyatakan sebagai
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
79
11 ≤≤− r
Jika
1=r , hubungan X dan Y sempurna dan positif (mendekati 1, hubungan sangat
kuat dan positif)
1−=r , hubungan X dan Y sempurna dan negatif (mendekati -1, hubungan
sangat kuat dan negatif)
0=r , hubungan X dan Y lemah sekali atau tidak ada hubungan.
X dikatakan mempengaruhi Y, jika perubahan nilai X menyebabkan adanya
perubahan nilai Y, artinya naik turunnya nilai X akan mengakibatkan naik
turunnya nilai Y, sehingga nilai Y akan bervariasi. Namun, naik turunnya nilai
Y tidak hanya disebabkan oleh variabel X, karena masih ada faktor lain yang
menyebabkannya. Misalnya naik turunnya hasil panen padi (Y) dipengaruhi
oleh penggunaan pupuk ( 1X ), namun juga dapat dipengaruhi faktor-faktor
lain misalnya luas sawah, curah hujan dan lain-lain. Selanjutnya dapat
dihitung besar kontribusi dari X terhadap naik turunnya nilai Y dengan suatu
koefisien yang disebut koefisien penentuan/koefisien determinasi (coefficient
of determination).
Jika koefisien determinasi ditulis KD, maka untuk menghitung KD sebagai
berikut
2rKD =
Besar koefisien determinasi menunjukkan besarnya sumbangan variabel bebas
terhadap variabel takbebas. Total nilai koefisien determinasi sebesar 100 %,
jika koefisien determinasi bernilai kurang dari 100 % maka sisanya
dipengaruhi oleh faktor lain.
Cara menghitung r adalah sebagai berikut
Rumus 1
∑∑
∑
==
==n
ii
n
ii
n
iii
yx
yxr
1
2
1
2
1
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
80
XXx ii −= ∑=
=n
iiX
nX
1
1
YYy ii −= ∑=
=n
iiY
nY
1
1
atau
Rumus 2
∑ ∑∑ ∑
∑∑∑
= == =
===
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
n
i
n
iii
n
i
n
iii
n
ii
n
ii
n
iii
YYnXXn
YXYXnr
1
2
1
2
1
2
1
2
111
Contoh (Supranto)
Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan
X : persentase kenaikan biaya iklan
Y : persentase kenaikan hasil penjualan
X 1 2 4 5 7 9 10 12
Y 2 4 5 7 8 10 12 14
Hitunglah r!
Penyelesaian
Untuk menghitung r, dibuat tabel berikut
Dengan rumus 1 X Y
( )xXX −
( )yYY −
2x 2y xy
1 2 - 5,25 - 5,75 27,5625 33,0625 30,1875
2 4 - 4,25 - 3,75 18,0625 14,0625 15,9375
4 5 - 2,25 - 2,75 5,0625 7,5625 6,1875
5 7 - 1,25 - 0,75 1,5625 0,5625 0,9375
7 8 0,75 0,25 0,5625 0,0625 0,1875
9 10 2,75 2,25 7,5625 5,0625 6,1875
10 12 3,75 4,25 14,0625 18,0625 15,9375
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
81
12 14 5,75 6,25 33,0625 39,0625 35,9375
∑ = 50iX
25,6=X
∑ = 62iY
75,7=Y
∑ = 0ix
∑ = 0iy
∑ = 5,1072ix
∑ = 5,1172
iy
∑ = 5,111ii yx
99,0389,1125,111
5,1175,1075,111
1
2
1
2
1 ====
∑∑
∑
==
=
n
ii
n
ii
n
iii
yx
yxr
Hubungan antara X dan Y sebesar 0,99 yang menunjukkan hubungan yang
sangat kuat dan positif, artinya kenaikan biaya iklan pada umumnya
menaikkan hasil penjualan.
Koefisien determinasi %989801,02 === rKD artinya sumbangan iklan
terhadap variasi Y (naik turunnya hasil penjualan) adalah 98 %, dan 2 %
sisanya disebabkan oleh faktor-faktor lainnya.
Dengan rumus 2
X Y 2X 2Y XY
1 2 1 4 2
2 4 4 16 8
4 5 16 25 20
5 7 25 49 35
7 8 49 64 56
9 10 81 100 90
10 12 100 144 120
12 14 144 196 168
∑ = 50iX ∑ = 62iY ∑ = 4202iX ∑ = 5982
iY ∑ = 499iiYX
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
82
∑ ∑∑ ∑
∑∑∑
= == =
===
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
8
1
28
1
28
1
28
1
2
8
1
8
1
8
1
88
8
i iii
i iii
ii
ii
iii
YYXX
YXYXr
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )22 625988504208
62504998
−−
−=r
99,0075,899
892940860
892===
3. Korelasi Rank (Peringkat)
Misalkan ada dua orang Adi dan Bayu yang sama-sama minuman ringan
dalam kemasan. Kedua orang tersebut diminta untuk memberikan penilaian
terhadap 10 merk minuman ringan dalam kemasan. Minuman ringan yang
paling digemari diberi nilai 1 dan seterusnya sampai minuman ringan yang
tidak disenangi diberi nilai 10. Sehingga dalam hal ini Adi dan Bayu
memberikan rank (peringkat) terhadap merk minuman ringan tersebut.
Pemberian peringkat ini dapat juga dibalik, minuman ringan yang paling
digemari diberi nilai 10 dan seterusnya sampai yang tidak disenangi diberi
nilai 1. Diperoleh hasil pemberian rank sebagai berikut
No Merk Minuman Ringan Rank dari Adi Rank dari Bayu 1 Coca Cola 9 8 2 Fanta 5 3 3 Sprite 10 9 4 Frestea 1 2 5 Mizone 8 7 6 Pulpy Orange 7 10 7 Teh Sosro 3 4 8 Pepsi Blue 4 6 9 Fruittea 2 1
10 Tebs 6 5
Untuk menghitung koefisien korelasi antara rank dari Adi dan Bayu terhadap
10 merk minuman ringan dalam kemasan tersebut digunakan Koefisien
Korelasi Rank (Rank Spearman).
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
83
( )16
1 2
2
−−= ∑
nnd
r irank
dimana
id = selisih dari pasangan rank ke-i
n = banyaknya pasangan rank (dalam hal ini n = 10)
Contoh
Carilah koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10
merk minuman ringan.
Penyelesaian
Rank Adi 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5
Rank Bayu 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6
Selisih Rank (d) -1 -2 -1 1 -1 3 1 2 -1 -1 2d 1 4 1 1 1 9 1 4 1 1
Sehingga
( )( )
( ) 85,08545,01455,01110010
1141611
61 2
2
==−=−
++++−=
−−= ∑ K
nnd
r irank
Jadi, koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10 merk
minuman ringan sebesar 0,85.
Contoh (Supranto, 1992: 159)
Ada 10 calon sales yang diuji mengenai teknik penjualan. Setelah mereka
selesai diuji kemudian ditugaskan untuk melakukan penjualan. Diperoleh data
hasil ujian (X) dan hasil penjualan tahun pertama (Y). Nilai X dan Y dari 10
sales termasuk rank-nya adalah sebagai berikut.
Sales Nilai Ujian (X)
Rank Hasil Penjualan
(Y)
Rank Selisih Rank (d)
2d
A 48 3 312 2 1 1 B 32 6 164 8 -2 4 C 40 5 280 4 1 1 D 34 7 196 7 0 0
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
84
E 30 8 200 6 2 4 F 50 1,5 288 3 -1,5 2,25 G 26 9 146 10 -1 1 H 50 1,5 361 1 0,5 0,25 I 22 10 149 9 1 1 J 43 4 252 5 -1 1
Karena F dan H memiliki nilai yang sama maka rank mereka harus sama yaitu
5,12
21=
+ . Mula-mula F diberi nilai 1 dan H diberi nilai 2 (atau sebaliknya,
kemudian dirata-rata). Apabila terdapat 3 objek yang memiliki nilai yang
sama, maka diurutkan dan dicari rata-ratanya.
Sehingga
( )( )
( ) 9061,00939,01110010
1141611
61 2
2
=−=−
++++−=
−−= ∑ K
nnd
r irank
Jadi, koefisien korelasi rank antara rank nilai ujian dan hasil penjualan sebesar
0,9061.
LATIHAN
1. Berikan contoh pasangan variabel yang memiliki hubungan positif dan
negatif.
2. Tentukan apakah hubungan variabel X dan Y berikut positif atau negatif.
Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian
interpretasikan hasilnya.
a. X 2 4 3 8 9 10 15 13
Y 1 2 5 7 8 11 13 14
b. X 1 3 4 7 9 11 13
Y 12 11 9 8 6 5 4
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
85
3. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes
X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes
Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes
X 7 6 8 9 10 5 4 9 7 3
Y 6 8 9 7 9 6 5 8 8 4
Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian
interpretasikan hasilnya.
4. Amat dan Budi diminta untuk memberikan rank berdasarkan suka dan
tidaknya terhadap merk rokok tertentu. Rokok yang paling disenangi diberi
nilai 10 dan yang paling tidak disenangi diberi nilai 1. Diperoleh hasil rank
sebagai berikut.
No Merk Rokok Rank dari Amat Rank dari Budi 1 AAA 2 9 2 BBB 10 4 3 CCC 8 3 4 DDD 3 6 5 EEE 4 5 6 FFF 1 7 7 GGG 5 8 8 HHH 2 6
Hitung koefisien korelasi rank berdasarkan data tersebut!
5. Tabel berikut menunjukkan nilai 10 mahasiswa yang telah berbentuk rank,
yang diperoleh dari hasil ujian kuliah Statistika dan Praktikum. Carilah
korelasi ranknya.
Praktikum 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5
Statistika 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6
Bahan ajar Statistika Inferensial
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
86
DAFTAR PUSTAKA
Hasan, I. 2001. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Edisi Kedua.
Bumi Aksara. Jakarta.
Sudjana. 1996. Metoda Statistika Edisi ke 6. Penerbit Tarsito. Bandung.
Sugiyono. 2005. Statistik Untuk Penelitian. Penerbit Alfabeta. Bandung.
Supranto, J. 1992. Statistik Teori dan Aplikasi. Jilid 1. Erlangga. Jakarta.
Walpole, R & Myers, R. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan
Ilmuan. Terjemahan. Penerbit ITB. Bandung.