Statistika & Probabilitas

Sumber: Materi Kuliah StatistikaDr. Ir. Rinaldi Munir, M.T

Kejadian adalah himpunan bagian (subset) dari ruangsampel S. Dapat dipahami, kejadian adalah himpunandari hasil – hasil yang mungkin.

Notasi: A Contoh: Kejadian A adalah hasil lemparan dadu yang

habis dibagi tiga maka A = {3, 6} Karena A ≤ S, maka ada 3 kemungkinan:

1. A = { } kejadian mustahil2. A = S3. A < S

Kejadian

Misalkan A dan B adalah kejadian, maka:1. A ∪ B : kejadian “salah satu dari A atau B atau

keduanya” gabungan dari dua kejadian2. A ∩ B : kejadian “baik A maupun B” irisan dari dua

kejadian3. A' : kejadian “bukan A” komplemen kejadian A4. A – B : kejadian “A tetapi bukan B”

Jika A ∩ B = ∅, maka kejadian A dan B saling terpisahatau saling meniadakan (mutually exlusive).

A' = S – A

Kejadian

Contoh 1.Mahasiswa FTI-UKSW sedang ada di dalam ruang kelas Statistika.Seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan A adalah kejadianmahasiswa yang dipilih merupakan anggota komunitas jaringan,dan B adalah kejadian mahasiswa yang dipilih berasal dari Papua.Maka,

• S : semua mahasiswa FTI-UKSW yang sedang ikut kelas Statistika.

• A ∩ B : kejadian “mahasiswa yang dipilih adalah anggotakomunitas jaringan dan berasal dari Papua”

• A ∪ B : kejadian “mahasiswa yang dipilih adalah anggotakomunitas jaringan atau berasal dari Papua”

• A' : kejadian “mahasiswa yang dipilih bukan anggota jaringan”

• A – B : kejadian “mahasiswa yang dipilih adalah anggotakomunitas jaringan tetapi tidak berasal dari Papua”

Contoh 2.Sebuah koin dilempar dua kali. Sisi permukaan koin adalah angka(A) dan gambar (G). Misalkan P adalah kejadian “setidaknya munculsatu gambar” dan Q adalah “lemparan kedua menghasilkan angka”.Maka:

• S = {AG, AA, GA, GG}

• P = {GA, GG, AG}

• Q = {AA, GA}

• P ∩ Q = {GA}

• P ∪ Q = {GA, GG, AG, AA}

• P' = { AA}

• P – Q = {GG, AG}

• Q – P = {AA}

Semua kalimat di bawah ini adalah ketidak-pastian:1. Kecil kemungkinan Indonesia lolos untuk ajang

piala dunia 2014 di Brasil!2. Kemungkinan besar besok hujan turun deras!

Derajat ketidakpastian (atau kepastian) dari suatu kejadian dapat dihitung

Peluang: derajat tingkat kepastian atau keyakinan terjadinya suatu kejadian dari eksperimen acak.

Nilai peluang adalah dari 0 sampai 1.

Peluang Suatu Kejadian

Jika suatu kejadian diyakini pasti terjadi, maka peluangnya adalah 1 atau 100%.

Jika kita tidak yakin suatu kejadian tidak akan terjadi, maka peluangnya adalah 0.

Jika suatu kejadian diyakini hanya 50% akan terjadi, maka peluangnya adalah ½.

Jika hanya 25% kemungkinan terjadinya, makapeluangnya adalah ¼

Jika hanya 25% peluang suatu kejadian akanterjadi, maka 75% tidak akan terjadi.

Peluang Suatu Kejadian

Mari kembali ke topik ruang sampel!• Untuk ruang sampel yang elemennya diskrit,

peluang munculnya suatu elemen di antara titik sampel disebut peluang diskrit.

• Misalkan ruang sampel S beranggotakan n elemen: S = {x1, x2, …, xn} maka peluang kemunculan xi didalam S disimbolkan dengan P(xi).

• Peluang diskrit memiliki sifat sebagai berikut:

Peluang Suatu Kejadian

Contoh 3 & 4.

Pada pelemparan dadu, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Peluangmunculnya setiap angka adalah sama, yaitu 1/6 dan

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 6 x 1/6 = 1

Sebuah koin dilempar empat kali. Berapa peluangmunculnya sisi angka (A) sebanyak 3X?

Jawaban: Ruang sampel S berukuran 2 x 2 x 2 x 2 = 16.Jumlah kemungkinan munculnya A sebanyak3X adalah C(4, 3) = 4, sehingga peluangmunculnya sisi A sebanyak 3X adalah 4/16 = ¼.

Contoh 5.

Pada percobaan melempar dadu, berapa peluang kejadianmunculnya angka ganjil?

Jawaban: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {1, 3, 5}

P(1) = 1/6,

P(2) = 1/6,

P(3) = 1/6

maka P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½

Perhatikan bahwa

P(S) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

Contoh 6.

Sebuah koin dilempar dua kali. Berapa peluang kejadianpaling sedikit muncul sisi angka (A) satu kali?

Jawaban:

S = {AA, AG, GA, GG} |S| = 4

Misal B adalah kejadian paling sedikit muncul sisiangka (A) satu kali, maka B = {AA, AG, GA} dan |B| = 3, maka P(B) = 3/4

Contoh 7.

Dua buah dadu dilemparkan. Berapa peluang munculnyaangka dadu yang jumlahnya 8?

Jawaban: Ruang sampelnya adalah

S = {(1,1), (1, 2), …, (1, 6), (2, 1), (2, 2), … , (2, 6), …, (6, 1), (6, 2), …, (6, 6)}, jumlah titik sampelnya adasebanyak 6 x 6 = 36 (gunakan kaidah perkalian!).

Kejadian munculnya jumlah angka sama dengan 8adalah A = {(2,6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} sehingga P(A) = 5/36.

Contoh 8.

Sebuah dadu dilempar sekali. Misalkan A adalahkejadian angka yang muncul genap dan B kejadian angkayang muncul habis dibagi 3, maka A ∪ B adalah kejadianangka yang muncul genap atau habis dibagi 3 dan A ∩ B adalah kejadian angka yang muncul adalah genap danhabis dibagi 3.

A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}, maka A ∪ B = {2, 3, 4, 6} danA ∩ B = {6}.

P(A ∪ B) = |A∪B|/|S| = 4/6 danP(A ∩ B) = | A ∩ B|/|S| = 1/6

Latihan.....

Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang kejadian munculnya angka2 (dua) atau 5 (lima)?

Pada contoh-contoh sebelumnya, kita mengasumsikan koin dan dadu adalah fair, artinyatidak berat ke salah satu sisi, sehingga peluang kemunculan setiap muka pada koin adalah sama yaitu ½, dan peluang kemunculan setiap angka padadadu adalah sama yaitu 1/6.

Jika dilakukan percobaan yang tidak fair, makapeluang kemunculan setiap angka pada dadu dan setiap muka pada koin tidak lagi sama. Perhatikan contoh-contoh pada slide berikut........

Contoh 9.

Sebuah dadu diberi pemberat sedemikian rupa sehingga peluangmunculnya angka genap adalah dua kali peluang munculnyaangka ganjil. Berapa peluang kejadian munculnya angka genap?

Jawaban:

Angka genap ada tiga buah yaitu 2, 4, 6 dan angka ganjil juga tigabuah yaitu 1, 3, 5. Misalkan peluang tiap angka ganjil adalah x, maka peluang tiap angka genap adalah 2x. Karena jumlahpeluang semua titik di dalam ruang sampel adalah 1, maka

3(2x) + 3x = 1 9x = 1 x = 1/9.

Misalkan A adalah kejadian munculnya angka genap, maka

A = {2, 4, 6}, sehingga P(A) = 2/9 + 2/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3

Contoh 10.Di dalam kelas Statistika terdapat 5 orang mahasiswa progdi TI, 6 orangmahasiswa progdi DKV, dan 7 orang mahasiswa progdi SI. Secara acakdipilih satu orang untuk maju mengambil undian. Berapa peluangmahasiswa yang terpilih adalah:

(a) dari Prodi DKV

(b) dari prodi TI atau SI

Jawaban:

a) Ada 6 orang mahasiswa DKV dari 18 orang di dalam kelas, maka ada6 kemungkinan hasil terpilihnya mahasiswa DKV. Jika A adalahkejadian yang terpilih adalah mahasiswa DKV, maka P(A) = 6/18.

b) Misal B adalah kejadian terpilihnya mahasiswa TI dan SI adalahkejadian terpilihnya mahasiswa SI, maka

P(B ∪ C) = (5 + 7)/18 = 12/18 = 2/3

Contoh 11.Kartu remi (poker) seluruhnya 52 kartu. Keseluruhan kartu ini terdiridari 13 jenis kartu, setiap jenis ada 4 kartu. Tiga belas jenis kartu ituadalah 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, king (jack), as, ratu, dan raja. Setiappemain mendapat 5 kartu. Berapa peluang setiap pemain mendapat 3 kartu As dan 2 kartu king?

Jawaban:

Jumlah cara mengambil 5 kartu adalah

C(52, 5) = 2.598.960 jumlah titik sampel S

Banyaknya cara mendapat 3 dari kartu as adalah C(4, 3) = 4 danbanyaknya cara mendapat 2 dari kartu king adalah C(4, 2) = 6. Dengankaidah perkalian, maka terdapat 4 x 6 = 24 cara mendapat 3 kartu As dan 2 kartu joker.

Misalkan A adalah kejadian mendapatkan 3 kartu As dan 2 kartu king, maka P(A) = |A|/|S| = 24/2.598.960 = 0.000009

Contoh 12.Berapa peluang kartu yang terambil adalah 4 buah kartu as?

Jawaban:

Jumlah cara mendapat 4 kartu dari 4 kartu As adalah C(4, 4) = 1. Satu kartu lainnya diambil dari 48 kartu yang tersisa, dan ini adasebanyak C(48, 1) cara. Jadi, ada 1 x C(48, 1) cara untukmendapatkan 4 kartu As dan 1 kartu jenis lainnya.

Misalkan A adalah kejadian mengambil 5 kartu yang 4 diantaranyaadalah kartu As, maka

P(A) = |A|/|S| = 1 x C(48, 1) / C(52, 5) = 0.0000185

Contoh 13.

Berapa peluang dari 5 kartu itu mengandung 4 kartu darijenis yang sama?

Jawaban:

Jumlah cara mengambil satu jenis kartu dari 13 jenis adalah C(13, 1). Jumlah cara mengambil 4 kartu dari kartu yg sejenis adalah C(4, 4). Jumlah cara mengambil satu kartu lagi dari 48 kartu yang tersisaadalah C(48, 1).

Misalkan A adalah kejadian mengambil 5 kartu yang mengandung4 kartu dari jenis yang sama adalah

P(A) = |A|/|S| = C(13, 1)C(4,4)C(48,1)/C(52,5) = 0.00024

Suatu kejadian dapat merupakan gabungan atau irisandari dua atau lebih kejadian lain. Kita dapat menghitungpeluang suatu kejadian apabila diketahui peluangkejadian lain.

Ada beberapa aturan yang dapat dipakai.1. Aturan penjumlahan2. Peluang bersyarat3. Aturan perkalian4. Aturan Bayes

Beberapa Hukum Peluang

Teorema 1: Bila A dan B adalah kejadian sembarang,maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Pembuktian: Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi dari teoriHimpunan, |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Maka P(A ∪ B) = |A ∪ B| / |S|

= (|A| + |B| - |A ∩ B|) / |S|= (|A|/|S| + |B|/|S| - |A ∩ B|) / |S|= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Aturan Penjumlahan

• Pada dua kejadian yang saling meniadakan (terpisah), P(A ∩ B) = 0, sehingga P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

• Untuk n kejadian yang saling terpisah, makaP(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

Teorema 2: Untuk tiga kejadian sembarang A,B, dan C, maka P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Aturan Penjumlahan

Contoh 14.

Sebuah dadu dilemparkan sekali. Berapa peluangmunculnya angka 3 atau 4?

Jawaban:

A = kejadian munculnya angka 3 P(A) = 1/6

B = kejadian munculnya angka 4 P(B) = 1/6

A ∪ B = kejadian munculnya angka 3 atau 4

Tidak mungkin satu kali lemparan menghasilkan 3 dan 4 secarabersamaan, jadi dua kejadian ini terpisah, maka

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Contoh 15.Seorang mahasiswa mengambil 2 mata kuliah (Statistika dan DesainGrafis). Peluang lulus kuliah Statistika adalah 3/5 dan peluang lulus kuliah Desain Grafis adalah 2/3. Peluang lulus kedua mata kuliah tersebut adalah5/6. Berapa peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah?

Jawaban:

A = kejadian lulus mata kuliah Statistika P(A) = 3/5

B = kejadian lulus mata kuliah Desain Grafis P(B) = 2/3

A ∩ B = kejadian lulus Statistika dan Desain Grafis P(A ∩ B) = 5/6

Ditanya P(A ∪ B) = ?

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 3/5 + 2/3 – 5/6

= 18/30 + 20/30 – 25/30

= 13/30

Contoh 16.Dari 100 orang mahasiswa FTI UKSW yang akan diwisuda, ditanya apakah akanbekerja atau kuliah S2 setelah wisuda. Ternyata 50 orang berencana akan bekerja, 30 orang berencana akan S2, dan 36 orang berencana salah satu darikeduanya (bekerja atau S2). Seorang wisudawan dipilih secara acak. Berapapeluang wisudawan yang terpilih berencana bekerja sambil kuliah S2?

Jawaban:

A = kejadian memilih wisudawan yang akan bekerja P(A) = 50/100

B = kejadian memilih wisudawan yang akan S2 P(B) = 30/100

A ∪ B = kejadian memilih wisudawan yang akan bekerja atau S2

P(A ∪ B) = 36/100

Ditanya P(A ∩B) = ?

P(A ∩B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)

= 50/100 + 30/100 – 36/100 = 44/100 = 0.44

Teorema 3: Bila A dan A' adalah dua kejadian yang komplementer, maka P(A') = 1 – P(A)

Contoh: Sebuah koin yang fair dilempar sebanyak 6 kali. Berapa peluang paling sedikit satu kali muncul sisi angka (A)?Jawaban:

S = ruang sampel, |S| = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 = 64E = kejadian paling sedikit satu kali muncul sisi angkaE' = kejadian tidak muncul sisi angka satu buah pun.

P(E') = 1/64Ditanya P(E) = ?

P(E) = 1 – P(E') = 1 – 1/64 = 63/64

Aturan Penjumlahan

Contoh 17.Sebuah kotak berisi 6 bola merah, 4 bola putih, dan 5 bola biru. Sebuah bola diambil dari kotak tersebut. Berapa peluang bahwa bola yang terambil adalah:

(a) merah (b) biru

(c) bukan merah (d) merah atau putih

Jawaban:

M = kejadian yang terpilih bola merah

P = kejadian yang terpilih bola putih

B = kejadian yang terpilih bola biru

a) P(M) = 6/(6 + 4 + 5) = 6/15 = 2/5

b) P(B) = 5/15 = 1/3

c) P(M') = 1 – P(M) = 1 – 2/5 = 3/5

d) M dan P terpisah, maka,

P(M ∪ P)= P(M) + P(P)= 2/5 + 4/15= 2/3

Latihan....Sebuah kartu diambil dari tumpukan kartu remi yang terdiri dari 52 kartu. Ada 13 jenis kartu dan setiap jenis terdiri dari gambarsekop, hati, keriting dan wajik. Berapa peluang kartu yang terambil adalah:

a) Kartu As

b) Kartu Jack bergambar hati

c) Kartu As keriting atau kartu King wajik

d) Sebuah kartu hati

e) Kartu lain kecuali hati

f) Kartu As atau kartu bergambar sekop

g) Bukan kartu As atau kartu yang bergambar sekop

Jawaban....a) A = kejadian kartu yang terpilih adalah kartu As

P(A) = 4/52 = 1/13

b) B = kejadian kartu yang terpilih adalah kartu Jack hati

P(B) = 1/52

c) C = kejadian kartu yang terpilih adalah kartu As keriting ataukartu King wajik

P(C) = 1/52 + 1/52 = 2/52 = 1/26

d) D = kejadian kartu yang terpilih adalah sebuah kartu hati

P(D) = 1/52 + 1/52 + … + 1/52 (13 kali) = 13/52 = ¼

e) E = kejadian kartu yang terpilih bukan kartu hati

P(E) = 1 – ¼ = ¾

Jawaban....f) F = kejadian kartu yang terpilih adalah kartu As atau kartu

bergambar sekop bukan kejadian yang saling meniadakan

P(F) = P(As) + P(sekop) – P(As ∩ sekop)

= 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13

g) G = kejadian kartu yang terpilih bukan kartu As atau kartuyang bergambar sekop

P(G) = 1 – P(As atau sekop)

= 1 – {P(As) + P(sekop) – P(As dan sekop)}

= 1 – (4/52 + 13/52 – 1/52)

= 9/13

Peluang terjadinya suatu kejadian bila diketahui kejadian lain disebut peluang bersyarat.

Misalkan sebuah dadu dilempar satu kali. Kita ingin menghitung berapa peluang angka yang muncul kurang dari 4.

Misalkan B adalah kejadian angka yang muncul kurang dari 4, maka mudah dihitung bahwa P(B) = 3/6 = ½.

Misalkan A adalah kejadian angka yang dihasilkan adalah ganjil. Mudah dihitung P(A) = 3/6 = ½

Berapa peluang kejadian B jika diberikan informasi bahwalemparan tersebut menghasilkan angka ganjil? Peluangbersyarat.

Notasi: P(B|A) Dibaca: peluang B terjadi bila diketahui A terjadi

P(B | A) = P(A ∩ B)/ P(A) bila P(A) > 0

Peluang Bersyarat

Pada contoh sebelumnya, P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3Maka P(B | A) = P(A ∩ B)/ P(A) = 1/3 / ½ = 2/3

Jadi, informasi tambahan bahwa pelemparan dadumenghasilkan angka ganjil membuat peluang naik dari ½ menjadi 1/3.

Dengan kata lain, keterangan tambahan mengubah peluang suatu kejadian. Pada contoh di atas, P(B | A) ≠ P(B) yang menunjukkan bahwa B bergantung pada A.

Peluang Bersyarat

Bus Cepat Sumber Kencono selalu berangkat tepat waktu denganpeluang 0.83, dan peluang sampai tepat waktu adalah 0.82, danpeluang berangkat dan sampai tepat waktu adalah 0.78. Berapa peluang:a) Bus Sumber Kencono sampai tepat waktu bila diketahui berangkat

tepat waktu, danb) Bus Sumber Kencono berangkat tepat waktu jika diketahui sampai

tepat waktu.

Jawaban:A = kejadian bus Sumber Kencono berangkat tepat waktu

P(A) = 0.83B = kejadian bus Sumber Kencono sampai tepat waktu

P(B) = 0.82P(A ∩ B) = 0.78

a) P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.78 / 0.83 = 0.94b) P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.78 / 0.82 = 0.95

Contoh 18.

Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanyaJika P(B | A) = P(B) dan P(A | B) = P(A)Jika tidak demikian dikatakan tidak bebas.

• Pada kasus P(B | A) = P(B), maka terjadinya A samasekali tidak mempengaruhi terjadinya B.

• Begitu pula pada kasus P(A | B) = P(A), maka terjadinyaB sama sekali tidak mempengaruhi terjadinya A.

Perlu diingat!

Dua buah kartu remi diambil berturut-turut dari tumpukan kartu dengan pengembalian (kartu pertamasetelah diambil dikembalikan lagi ke tumpukan). Misalkan A adalah kejadian kartu pertama yang terambiladalah kartu hati dan B adalah kejadian kartu kedua yang terambil adalah kartu wajik. Maka,

P(B) = 13/52 = ¼ sama dengan P(B | A) = 13/52 = ¼

Dikatakan kejadian A dan B bebas.

Contoh 19.

Karena P(B | A) = P(A ∩ B)/ P(A), maka denganmengalikan secara silang diperoleh

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) Dikatakan bahwa kejadian A dan B terjadi secara

serentak. Karena kejadian A ∩ B dan B ∩ A ekivalen, maka juga

berlakuP(A ∩ B) = P(B) P(A | B)

Jadi, tidak penting mengetahui kejadian mana yang terjadi, A atau B.

Aturan Perkalian

Dari sebuah kotak yang berisi 20 bola, lima diantaranya berwarna merah. Dua buah bola diambil satu per satu secara acak tanpa mengembalikan bola pertama ke dalam kotak. Berapa peluang kedua bola yang terambil berwarna merah?

Jawaban:A = kejadian bola pertama yang diambil adalah merahB = kejadian bola kedua yang diambil adalah merah(B terjadi setelah A terjadi)

P(A) = 5/20 = 1/4P(B | A) = 4/19

Ditanya P(A ∩ B) = ?P(A ∩ B) = P(A)P(B | A)

= 1/4 x 4/19 = 1/19

Contoh 20.

Bila kejadian A dan B bebas, maka P(A ∩ B) = P(A)P(B). Inidinyatakan dengan teorema perkalian khusus sbb: Teorema: Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jikaP(A ∩ B) = P(A)P(B).

Contoh: Dari contoh 20 sebelumnya, jika bola pertama dikembalikan kedalam kotak dan isi kotak diacak kembali sebelum mengambil bola kedua, berapa peluang kedua bola yang terambil berwarna merah?

Jawaban:A = kejadian bola pertama yang diambil adalah merahB = kejadian bola kedua yang diambil adalah merahP(A) = ¼ dan P(B) = ¼, maka P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 1/16

Contoh 21.

Latihan....

Dua kartu diambil dari setumpuk kartu remiyang telah dikocok dengan baik. Tentukanpeluang bahwa kedua kartu yang diambil adalahkartu As, jika

(a) Kartu pertama dikembalikan

(b) Kartu pertama tidak dikembalikan

Jawaban....Misalkan

A = kejadian kartu pertama adalah kartu As

B = kejadian kartu kedua adalah kartu As

(a) A dan B bebas; P(A) = 4/52 dan P(B) = 4/52

Ditanya P(A ∩ B) = ?

P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 4/52 x 4/52 = 1/169

(b) B bergantung pada; P(A) = 4/52 dan P(B | A) = 3/51

Ditanya P(A ∩ B) = ?

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) = 4/52 x 3/51 = 1/221

Ada cara lain kah?

Jawaban....Ada! Gunakan kombinatorial.

(a) Ada 4 cara memilih kartu As pertama, dan karena kartu pertama dikembalikan, maka ada 4 cara untuk mengambilkartu As kedua. Seluruhnya ada 4 x 4 cara. Ruang sampeluntuk masalah ini berukuran 52 x 52, sebab ada 52 caramengambil sembarang kartu pertama dan 52 caramengambil sembarang kartu kedua (karena kartu pertama dikembalikan). Maka peluang memperoleh dua kartu As adalah (4)(4)/(52)(52) = 1/169

(b) Mirip dengan (a), tetapi karena kartu pertama tidak dikembalikan, maka ada 4 x 3 cara mengambil dua kartu as. Ruang sampel berukuran 52 x 51. Jadi, eluang memperolehdua kartu As adalah (4)(3)/(52)(51) = 1/221

Sebuah bola diambil secara berurutan dari dalam sebuahkotak. Kotak berisi 6 bola merah, 4 bola putih, dan 5 bola biru. Tentukan peluang bahwa bola-bola yang diambilternyata berurutan merah, putih, dan biru jika:

a) Setiap bola yang diambil dimasukkan kembali kedalam kotak

b) setiap bola yang diambil tidak dimasukkan kembalike dalam kotak

Contoh 22.

M = kejadian mengambil bola merah pada pengambilan pertamaP = kejadian mengambil bola putih pada pengambilan keduaB = kejadian mengambil bola biru pada pengambilan pertamaa) (a) M, P, dan B adalah bebas

P(M ∩ P ∩ B) = P(M) P(P) P(B) = 6/15 x 4/15 x 5/15 = 8/225

b) P bergantung pada M, B bergantung pada M dan PP(M ∩ P ∩ B) = P(M) P(P|M) P(B | M ∩ P )

= 6/15 x 4/14 x 5/13 = 4/91

Jawaban Contoh 22.

Teorema:Misalkan B1, B2, ..., Bn adalah kejadian-kejadian yang terpisah (saling meniadakan) yang gabungannya adalahruang sampel S, dengan kata lain salah satu dari kejadiantersebut harus terjadi. Jika A adalah kejadian sembarangdalam S dengan P(A) ≠ 0, maka

Aturan Bayes memungkinkan kita menentukan peluang berbagai kejadian B1, B2, ..., Bn yang dapat menyebabkanA terjadi.

Aturan (Teorema) Bayes

Tiga orang dosen dicalonkan menjadi Dekan FTI-UKSW yang baru. Mereka adalah yaitu Johan, Wiranto, danDarma. Peluang Johan terpilih adalah 0.3, Wiranto 0.5, dan Darma 0.2. Bila Johan terpilih maka peluang SPP naik adalah 0.8, dan bila Wiranto yang terpilih peluangSPP naik adalah 0.1, dan bila Darma yang terpilih makapeluang SPP naik adalah 0.4. Bila setelah pemilihan diketahui bahwa SPP telah naik(siapa yang terpilih tidak diketahui informasinya), berapakah peluang bahwa Darma yang terpilih?

Contoh 23.

MisalkanA : kejadian orang yang terpilih menaikkan SPPB1 : kejadian Johan yang terpilihB2 : kejadian Wiranto yang terpilihB3 : kejadian Darma yang terpilih

Berdasarkan aturan Bayes, makaP(B3|A) = P(B3 ∩ A) / {P(B1∩A) + P(B2∩A) + P(B3∩A)}

P(B1 ∩ A) = P(B1)P(A|B1) = 0.3 x 0.8 = 0.24P(B2 ∩ A) = P(B2)P(A|B2) = 0.5 x 0.1 = 0.05P(B3 ∩ A) = P(B3)P(A|B3) = 0.2 x 0.4 = 0.08

Jawaban Contoh 23.

P(B3|A) = P(B3 ∩ A) / {P(B1∩A) + P(B2∩A) + P(B3∩A)}= 0.08 / (0.24 + 0.05 + 0.08) = 8/37

Karena 8/37 = 0.216 < 0.5 maka kemungkinan besar bukan Darma yang terpilih sebagai Dekan FTI-UKSW.

Jawaban Contoh 23.

Latihan....

Dalam industri perakitan, tiga mesin yaitu M1, M2, dan M3 menghasilkan 30%, 45%, dan 25% produk. Diketahui dari pengalaman sebelumnyabahwa 2%, 3%, dan 2% dari produk yang dihasilkan setiap mesin mengalami kerusakan(cacat). Diambil satu produk secara acak.

Tentukan peluang bahwa produk yang cacat ituberasal dari mesin M3!

Jawaban....

P(B3|A) = P(B3)P(A|B3)

{P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)}

= (0.25)(0.02)

{(0.3)(0.02) + (0.45)(0.03) + (0.25)(0.02)}

= 10/49

Mau bertanya..?