Versiyon: 7.11.19

STATİK DERSİ ÇALIŞMA SORULARI - A

SORU 1)

Şekildeki kişi AB kablosunu 350 N'luk bir kuvvetle çekmektedir. A noktasına etkiyen bu kuvveti kartezyen formda ifade ediniz ve doğrultusunu belirleyiniz. Çözüm: 350 N'luk kuvveti vektörel olarak ifade edebilmek

için kuvvetin uygulandığı doğrultudaki birim vektör ABu bulunmalıdır. Çekme kuvveti A'dan B'ye doğru olduğuna dikkat edelim. A ve B noktalarının koordinatlarını yazarak başlayalım;

A(0; 0; 9) ve B(3,6; -2,4; 1,8) metredir. ABr bulunurken B'nin koordinatlarından A'nın koordinatları düşülür.

3,6 2,4 7,2ABr i j k m

2 2 2

(3,6 2,4 7,2 )

3,6 ( 2,4) ( 7,2)

0,4286 0,2857 0,8571

ABAB

AB

AB

r i j ku

r

u i j k

Kuvvetin büyüklüğü ile birim vektörün çarpımı sonucu kuvvet, vektörel formda ifade edilmiş

olur;

. 350. 0,4286 0,2857 0,8571AB AB ABF F u i j k N

150 100 300ABF i j k N

Doğrultman kosinüsleri bulunurken ABu birim vektörünün i, j, k bileşenlerinden faydalanılır;

(cos . cos . cos . )ABu i j k 0,4286 0,2857 0,8571ABu i j k

Aşağıdaki işlemleri yaparken hesap makinenizin derece ( ) biriminde olduğuna dikkat ediniz.

1

1

1

cos ( 0,4286) 64,6

cos ( 0,2857) 106,6

cos ( 0,8571) 149,0

Bulunan açılar, yerel koordinat sisteminin pozitif

kolları ile kuvvet arasında kalan açılardır.

Versiyon: 7.11.19

SORU 2)

Şekildeki sistemde F kuvvetinin AB çubuğuna dik ve paralel bileşenlerini hesaplayınız. Çözüm: Öncelikle AB doğrultusundaki

bileşenin tespiti için ABu birim vektörü

bulunmalıdır. .AB AB ABF F u işlemi ile

AB'ye paralel bileşenin büyüklüğü tespit edilir.

A(0; 0; 0) ve B(2; 6; 3) metredir. ABr bulunurken B'nin koordinatlarından A'nın koordinatları düşülür.

(2 6 3 )ABr i j k m

2 2 2

(2 6 3 )

2 6 3

0,286 0,857 0,429

ABAB

AB

AB

r i j ku

r

u i j k

.cos .

300 .(0,286 0,857 0,429 )

300.0,857 257,1

AB AB

AB

AB

F F F u

F j i j k

F N

(skaler çarpımda i.i=1, j.j=1, k.k=1, diğerleri sıfır!)

( 1cos 257,1 300 31 )

ABF vektörel formunu ifade etmek için;

. 257,1.(0,286 0,857 0,429 )

73,5 220 110

AB AB AB

AB

F F u i j k

F i j k N

AB dikF F F ise 300 73,5 220 110dik ABF F F j N i j k N

73,5 80 110dik ABF F F i j k N ve 2 2 2

73,5 80 110 155dikF N

veya 2 2

2 2300 257,1 155dik ABF F F N veya 300.sin31 155dikF N

Önemli Not: F vektörü ve AB doğrultusu arasındaki açı skaler çarpım ile de bulunabilirdi;

1 1

1 1

(2 6 3 ) (300 ). .cos cos cos

(7).(300).

(6).(300) 1800cos cos 31

(7).(300) 2100

ABAB AB

AB

r F i j k jr F r F

r F

Versiyon: 7.11.19

SORU 3)

Şekildeki ağaca etkitilen F kuvvetinin kök noktasına (O noktasına) göre momentini bulunuz. Çözüm: Kuvvet A noktasından B noktasına doğru bir

doğrultuya sahip olduğundan .AB AB ABF F u

işlemi ile 2 kN'luk F kuvvetini vektörel formda ifade edebiliriz.

A(0; 0; 12) ve B(4; 12; 0) metredir. ABr bulunurken B'nin koordinatlarından A'nın koordinatları düşülür.

(4 12 12 )ABr i j k m

2 2 2

(4 12 12 ) (4 12 12 )

17,444 12 ( 12)

0,229 0,688 0,688

ABAB

AB

AB

r i j k i j ku

r

u i j k

. 2.(0,229 0,688 0,688 )

0,458 1,376 1,376

AB AB AB

AB

F F u i j k

F i k k kN

Bir kuvvet vektörünün bir noktaya göre momenti alınırken moment alınacak noktadan

kuvvete doğru (kuvvet bir doğrultu boyunca etkiyor ise moment alınacak noktadan,

doğrultunun herhangi bir noktasına doğru) tanımlanan konum vektörü "r" ile kuvvet "F"

vektörel olarak çarpılır.

0 0

0

(12 ) 0 0 12

0,458 1,376 1,376

(0).( 1,376) (12).(1,376) (0).( 1,376) (12).(0,458) (0).(1,376) (0).(0,458)

16,5 5,5 .

OA AB OA

i j k

M r F r k m M

i j k

M i j kN m

Önemli Not: 0 OB ABM r F çarpımı ile de aynı sonuç bulunur. Çünkü F kuvveti, AB

doğrultusu boyunca etkimektedir ve B noktasına göre de bir OBr tanımlamak mümkündür.

Versiyon: 7.11.19

SORU 4)

Şekildeki F kuvvetinin a) A noktasına göre momentini hesaplayınız. b) z-eksenine göre momentini hesaplayınız. c) AB doğrusuna göre momentini hesaplayınız. Çözüm: Öncelikle F kuvvetini kartezyen formda ifade edelim. F kuvveti CD hattı boyunca

olduğundan CDr bulunurken D'nin koordinatlarından C'nin koordinatları düşülür; D(0; 0,4; 0) ve C(0,2; 0,3; 0,15) m

( 0,2 0,1 0,15 )CDr i j k m

2 2 2

. 1000.

0,2 0,1 0,151000.

( 0,2) 0,1 ( 0,15)

3713,91.( 0,2 0,1 0,15 )

743 371 557

CDCD

CD

rF F u

r

i j k

i j k

F i j k N

a) F kuvvetinin A noktasına göre momentini

2

((0, 2 0) (0,3 0) (0,15 0,15) ) 0,2 0,3 0

743 371 557

(0,3).( 557) (0).(371) (0,2).( 557) (0).( 743) (0,2).(371) (0,3).( 743)

167,1 111,4 297,1 . ( 167,1)

A AC AC A

A A

i j k

M r F r i j k m M

i j k

M i j k N m M

2 2(111,4) (297,1) 358,6 .N m

b) A noktası z-ekseni üzerinde olduğundan MA momentini z-eksenine izdüşürmek yeterlidir.

( ) ( 167,1 111,4 297,1 ) 297,1 .z z AC Az zM u r F k M k i j k N m

(297,1 N.m doğrudan skaler üçlü çarpımla da bulunabilirdi) . 297,1 .z z z zz zM M u k N m

c) A noktası AB üzerinde olduğundan MA'nın AB doğrusu yönündeki bileşenini buluruz.

2 2 2

( ) ( 167,1 111,4 297,1 )

0,2 0,3 0,15( 167,1 111,4 297,1 ) 114 . 114 .

0,2 0,3 ( 0,15)

ABAB AAB

AB

BA

rM u M i j k

r

i j ki j k N m M N m

. ( 114). 0,512 0,768 0,384 58,368 87,552 43,776 .AB AB ABM M u i j k i j k N m

x

y

z

F=1000 N

A

O

C

D B

0,3 m 0,1 m

0,2 m 0,15 m

Versiyon: 7.11.19

SORU 5)

40 kg kütlesindeki kutu şekildeki gibi üç adet halat yardımıyla C, B ve D noktalarına asılmıştır. Halatlar A noktasında düğümlenmektedir. AB, AC ve AD kablolarında oluşan kuvvetleri bulunuz. Çözüm: Kablo kuvvetlerini birim vektörler ile çarparak kartezyen formda ifade ettikten sonra x, y ve z doğrultularındaki denge denklemlerini yazmamız gerekir. B(-3, -4, 8) C(-3, 4, 8)

. .r

F F u Fr

B kablosu için;

2 2 2

3 4 8. .

( 3) ( 4) (8)

0,318 0,424 0,848

ABB B B

AB

B B B B

r i j kF F F

r

F F i F j F k

C kablosu için;

2 2 2

3 4 8. .

( 3) (4) (8)

0,318 0,424 0,848

ACC C C

AC

C C C C

r i j kF F F

r

F F i F j F k

D kablosu için; Kutunun kütlesi;

. .D D DAD

D D

F F u F i

F F i

40W k kgf

0 0,318 0,318 0

0 0,424 0,424 0

0 0,848 0,848 40 0

23,6

15,0

B C Dx

B Cy

B Cz

B C

D

F F F F

F F F

F F F

F F kgf

F kgf

Versiyon: 7.11.19

SORU 6)

Şekildeki sisteme etkiyen kuvvetleri eşdeğer bileşke kuvvete indirgeyiniz ve sütuna etkidiği noktayı tespit ediniz. Çözüm: Önce kuvvetlerin bileşkesi bulunur. Sonra kuvvetlerin O noktasında yarattığı moment tespit edilir ve aynı moment büyüklüğünü ve yönünü oluşturacak şekilde eşdeğer kuvvet O'dan kaydırılır.

300 500 100

700

A B CF F F F

F k N k N k N

F k N

( )

( ) ( 700 ) [(4 ) ( 300 )] [( 4 2 ) ( 500 )] [( 4 ) 100 )]

700 700 [1200 ] [ 2000 1000 ] [ 400 ]

1,14 2

R O O

p R A A B B C C

M M

r F r F r F r F

xi yj k i k i j k j k

xj yi j j i i

x m y m

Negatif uzaklık bileşke kuvvetin x-koordinatının negatifte olduğunu gösterir. Önemli Not: Skaler çözümde sağ el kuralına uygun olarak doğrudan x ve y eksenlerine göre moment alınıp aynı sonuca ulaşılabilir.

( ) 700 (100 .4 ) (500 .2 )

( ) 700 300 .4 500 .4

1,14 2

R x x

R y y

M M y N m N m

M M x N m N m

x m y m

Skaler çözümde seçilen konum Çözümler sonucu bulunan gerçek konum

Versiyon: 7.11.19

SORU 7)

Şekildeki sistemde A ve B mesnetlerinin reaksiyonlarını tespit ediniz. Çözüm: Serbest cisim diyagramı çizilir ve denge denklemleri oluşturulur.

0

18.sin 45 0 12,73

x

x x

F

A A kN

0

3 (10 6) (2 2) (18.sin 45 7)

(18.cos 45 6) (5 9) 12 0

4,46 ( 4,46)

A

y

y

M

B

B kN

0

10 2 2 18.cos 45 5 4,46 0

6,73

y

y

y

F

A

A kN

Önemli Not: Çözüm sonrası bulunan mesnet reaksiyonlarının sağlamasını yapmak için mesnetler dışındaki herhangi bir noktaya göre moment alınır ve değeri sıfır "0" olmalıdır.

0

12,73 7 6,73 6 3 2 2 5 3 4,46 6 0

CM

✓

1,2,3,5 ve 6. sorular "Mühendislik Mekaniği - Statik, R.C. Hibbeler, S.C. Fan" kitabından alınarak kurgulanmıştır.

2 kN

18 kN

2 kN

A

3 kN.m

10 kN 5 kN

B

3 m 2 m 1m1m 2m 3 m

3,5 m

3,5 m

Ax

By

18.sin45° 18.cos45°

Ay

135°

C