STATİK (MADEN MÜHENDİSLİĞİ)

Dr. Dr. ÖğrÖğr. Üyesi Çağlar YALÇINKAYA. Üyesi Çağlar YALÇINKAYADr. Dr. ÖğrÖğr. Üyesi Çağlar YALÇINKAYA. Üyesi Çağlar YALÇINKAYA(Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü)

Ders notları için: www.caglaryalcinkaya.com

YAPI ELEMANLARINDA OLUŞAN İÇ KUVVETLER10

•Kirişler, köprülerin açıklıklarındagördüğümüz elemanlardır. Genelliklemesnetlerdeki kalınlığı kirişaçıklığındaki kalınlığından dahafazladır.

2

fazladır.

• Neden bu şekilde bir geometriyesahip olurlar? Böylesi tasarımKararlarında iç kuvvetler önem taşır.Bu derste, bu iç kuvvetleri ve onlarınasıl hesaplayacağımızı işleyeceğiz.

165 m yükseklikli Botan Köprüsü / Siirt

İç Kuvvetler10

•Bir yapısal elemanın tasarımı için elemanınbünyesinde oluşan iç kuvvetlerin bilinmesi gerekir.

•Böylece yapısal elemanın yapıldığı malzemenintesireden yüke mukavim şekilde tasarlanması sağlanır.

•İç kuvvetler kesit yöntemi ile bulunabilir. Örneğinsağdaki şekilde B kesitine etkiyen iç kuvvetleri

3

sağdaki şekilde B kesitine etkiyen iç kuvvetlerihesaplamak için ;

1- öncelikle mesnet reaksiyonları belirlenir.

2- Sonra kirişi B’den hayali olarak kesmemiz ve ikiparçadan birinin SCD’si çizilir. Böylece B’de etkiyen içkuvvetler açığa çıkar ve bunlar serbest cisimdiyagramında dış kuvvet olarak gösterilir.

3- Son olarak, denge denklemleri kullanılarakbilinmeyen iç kuvvetler hesaplanır.

İç Kuvvetler10

•İki boyutlu bir sistemde gelişen temel içkuvvetler normal/eksenel kuvvet (N,kesite dik etkir), kesme kuvveti (T, kesityüzüne teğettir) ve eğilme momentidir(M).

•Birçok uygulama için bileşke kuvvetçoğunlukla kesitin geometrik merkezine

Yukarıdaki sistemin B noktasındaki iç kuvvetler, bu noktada kirişin kesilmesi

sonrası oluşan sol ve sağ parça için aşağıdaki gibi gösterilir;

4

çoğunlukla kesitin geometrik merkezineetkir.

•Yandaki şekilde B kesitinin sol yüzüne vesağ yüzüne etkiyen iç kuvvetler eşitbüyüklükte fakat zıt yönlüdür. Çünkükesitin iki yüzü tekrar birleştirildiğindekesitteki net kuvvet sıfır olmalıdır. İçkuvvetlerin pozitif yön kabulü kırmızıçerçeve içinde görüldüğü gibidir.

aşağıdaki gibi gösterilir;

İç Kuvvetler10

•M,N, T kuvvet ve momentlerini göstermek için bir işaretkabulü yapılır (yanda verilmektedir).

Moment (M) elemanı aşağı doğru konkav şekle sokuyorsa,yönü pozitiftir. Bunların tersi yönde etki eden kuvvetler negatifolarak değerlendirilir.Normal kuvvet (N) elemanda çekme etkisi oluşturuyorsa, yönüpozitiftir.Kesme kuvveti (T) elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönü

5

Kesme kuvveti (T) elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönüpozitiftir.

İç Kuvvetlerin Tespitinde İşlem Adımları10

•İç kuvvetler bulunurken aşağıdaki işlem adımları izlenir;

1. İç kuvveti hesaplamak istediğiniz noktada eleman kesilerekikiye ayrılır. İki parçadan hangisinin incelenmesinin dahakolay olduğuna karar verilir (genelde üzerinde daha azsayıda dış kuvvet olan parça seçilir).

2. Eğer gerekliyse tüm parçanın SCD’si çizilir ve mesnetreaksiyonları hesaplanır.

6

reaksiyonları hesaplanır.

3. İncelemek istenen parçanın SCD’si çizilir, kesit alınanyüzeye M, N ve T iç kuvvetleri pozitif yönleriyle (yandakişekilde olduğu gibi) gösterilir.

4. Bir önceki adımda çizile SCD üzerindeki kuvvetler içindenge denklemleri kurulur ve bilinmeyen iç kuvvetlertespit edilir. Bulunan iç kuvvet negatif ise bu kuvvetinpozitif yönün tersi yönünde etkidiğini gösterir.

ÖRNEK-13

• Soru: Şekildeki kirişte C noktasındaki içkuvvetleri belirleyiniz.

• Çözüm: Hayali olarak C noktasından sistemikestiğimizde oluşan iki parçadan sağ taraf (Cnoktası ile B mesneti arası) daha az dış kuvvetiçerdiğinden çalışılması kolay olur. Bu sağparça ile çözümde sadece B mesnetreaksiyonlarının bulunması yeterli olacaktır.

7

reaksiyonlarının bulunması yeterli olacaktır.

• Seçtiğimiz sağ parçanın denge denklemleri;

Tüm sistemin SCD’si

Sağ parçanın SCD’si

ÖRNEK-23

• Soru: Şekildeki kirişte 6 kN’luk kuvvetinsonsuz yakın solundaki B noktasında vesonsuz yakın sağındaki C noktasında oluşaniç kuvvetleri (M,N,V) belirleyiniz. (T kuvveti Vile de gösterilir)

• Çözüm: B ve C noktalarından sistemi hayali olarakkestiğimizde mesnet reaksiyonu tek olan ve dışkuvvet etkimeyen sol parçanın çözümünün kolayolduğu görülür. Bu sebeple önce AB sonra AC

8

olduğu görülür. Bu sebeple önce AB sonra AChattında denge denklemleri yazılır.

• AB hattının denge denklemlerinden;

• AC hattının denge denklemlerinden;

Tüm sistemin SCD’si

AB hattının SCD’si

AC hattının SCD’si

(Tersi yönde 1 kN )

İç Kuvvet Diyagramları (M,N,T Diyagramları)10

•Statik dersi kapsamında iç kuvvet diyagramları kirişler üzerinden anlatılacaktır ancaktüm yapı elemanlarında benzer kuvvetler gelişmektedir.

•Bir kirişin tasarımı, kirişin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç kesme kuvveti (Tveya V) ve eğilme momentinin (M) değişiminin detaylı olarak bilinmesini gerektirir. Busebeple iç kuvvetlerin eleman boyunca değişimi diyagramlar çizilerek gösterilir.

9

•Normal kuvvetin değişimi kirişlerin tasarımında genellikle dikkate alınmaz. Çünküpratikte kirişler genellikle normal kuvvet etkisinde kalmazlar ve kuvvetler kirişeksenlerine dik doğrultuda etkir. Bu kuvvetler sadece kesme kuvveti ve momentoluşturur. Ayrıca tasarım açısından kirişlerin kesmeye ve eğilmeye karşı dayanımlarıeksenel yüke (normal kuvvete) göre dayanımından çok daha önemlidir.

•Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kirişin gerekli enkesitalanını belirlemek için malzeme mekaniği teorisi ve uygun bir mühendislik tasarımyaklaşımı kullanılır.

İç Kuvvet (M,N, T) Diyagramlarının Çizilmesi –Kesit Yöntemi10

Kesit yönteminde önce N, sonra T ve en son Mdiyagramları çizilir. Bu çizimlerde aşağıdaki işlem sırasıizlenir;

1. M,N,T diyagramı çizilecek kiriş üzerinde açıklıksayısı kadar kesim yapılır. Kesim sayısını yayılı yük,tekil yük, momentler ve düğüm noktaları gibisüreksizlik noktaları belirler (bu noktaların / yayılı

10

süreksizlik noktaları belirler (bu noktaların / yayılıyüklerin sağında ve solunda hesap yapılmalıdır)

2. Kesim yapılan noktaya soldan ya da sağdanyaklaşarak, kesim yapılan noktadaki 3 iç kuvvete(sırasıyla N,T,M) ait fonksiyonlar dengedenklemleri yazılarak elde edilir.

3. Elde edilen fonksiyonların belirli noktalar içinaldığı değerler hesaplanır ve fonksiyonderecelerine bağlı olarak diyagramlar çizilir.

İç Kuvvet (M,N, T) Diyagramlarının Çizilmesi –Kesit Yöntemi10

Kesitteki iç kuvvetler parçalardan herhangi

birine denge denklemlerinin

yazılmasıyla elde edilebilir.

11

Çözümlerde kullanılacak pozitif

yönleri bir daha hatırlayalım

Bir elemanın baştan ve sondan kesilmesi durumu

Elemanın üzerindeki bir noktanın sonsuz yakın solundan ve

sağından kesilmesi durumu

İç Kuvvet (M,N, T) Diyagramlarının Çizilmesi –Kesit Yöntemi10

12

ÖRNEK-33

• Soru: Şekildeki basit mesnetli kirişin N, M ve Tdiyagramlarını çiziniz.

• Çözüm:

Önce tüm sistemin SCD’si kullanılarak mesnetreaksiyonları bulunur.

13

Kaç kesim gerekir? Açıklıkta 1 adet tekil yükbulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağındaolmak üzere iki parça halinde incelenmelidir.

Tüm sistemin SCD’si

ÖRNEK-33

Kesim, sol parçada tekil kuvveti dışarıda bırakacakşekilde yapılır. Kesilen sağ uca N,M,T tesirleri işaretkuralına göre yerleştirilir:

Sol parça Sağ parça

14

İkinci kesim sağ parçada tekil kuvveti dışarıdabırakacak şekilde yapılır. Kesilen sol uca N,M,T işaretkuralına göre yerleştirilir, bu uca göre moment alınır;

Sol parçanın SCD’si

Sağ parçanın SCD’si

ÖRNEK-33

Bir alternatif olarak bir önceki çözümdebulunan sağ parçanın iç kuvvetleri, yalnızcasoldan (A mesnetinden) “x” kadar kesimle dehesaba katılarak tespit edilebilirdi (5 kN’lukkuvveti de içeriyor).

15

x=2 için M= 5 kN.m, x=4 m için (yani C mesnetinde) M= 0 kN.m elde edilir.

ÖRNEK-33

Diyagramların çiziminde önceki sayfadabulunan değerler sağdaki gibi kiriş boyuncaişlenir. Önce N, sonra T ve en son Mdiyagramında işaretlemeler yapılır.

Bu soruda iki parça için de kesme kuvveti xmesafelerinden bağımsız sabit bir değeralmıştır.

16

Moment eşitliklerinde ise mesnetlerde sıfırolarak elde edilen momentler orta açıklıktamaksimum değere ulaşmıştır. Kesmekuvveti x’e bağlı olmadığından momentdiyagramı bir üst derecede denkleme sahipolarak (1°) yani doğrusal bir şekilde artışgösterir.

Şu dört püf noktasına dikkat edin: 1-Yatay bir kuvvet olmadığından N diyagramıkuvvet içermemektedir, 2-kesme kuvveti mesnetin ve tekil yükün olduğu noktada anideğişim göstermektedir, 3- moment diyagramının pozitif tarafı genellikle kirişin altkısmında gösterilir, 4- açıklıkta kesme kuvveti sıfırdan geçerken moment maksimumdeğerine ulaşır.

ÖRNEK-43

• Soru: Şekildeki basit mesnetli kirişin N, M ve Tdiyagramlarını çiziniz.

• Çözüm:

Önce tüm sistemin SCD’si kullanılarak mesnetreaksiyonları bulunur.

4 t3 t

17

Sistemde iki adet tekil yükün sınırladığı üç adet bölgevardır. Soldan AC ve CD, sağdan ise BD bölgeleri içinkesimler yapılır;

İlk kesim (sol parça) için 0<x1<3m:

Tüm sistemin SCD’si

İlk sol parçanın (AC) SCD’si

ÖRNEK-43

İkinci kesim (sol parça) için 0<x2<2m:

İkinci sol parçanın (CD için) SCD’si

18

Not: Kesilen uca göre moment alınır.

Üçüncü kesim (sol parça) için 0<x3<3m:

Sağ parçanın (BD) SCD’si

ÖRNEK-43

Bulunan değerler çözüm yönüne görealınan x mesafelerine dikkat ederek,yani kritik bölgeleri doğru belirleyereksırayla N, T ve M diyagramlarına işlenir. Busoruda kritik bölgeler tekil yüklerdir.

Diyagramların türü ve birimi muhakkakbelirtilmelidir. Bu soruda Normal kuvvet vekesme kuvveti birimi ton, moment birimi ise

19

kesme kuvveti birimi ton, moment birimi iset.m’dir. Ayrıca bölgelerin işaretleri (+,-)muhakkak belirtilmelidir.

Bir nüans olarak moment diyagramınınpozitif kısmı aşağıda gösterilir.

Diyagramların mesnet bölgelerindekapandığına dikkat ediniz.

Kesme kuvvetinin işaret değiştirdiği yerdemomentin maksimum olduğuna dikkatediniz.

ÖRNEK-53

• Soru: Şekilde yükleme durumu verilen kirişinN, M ve T diyagramlarını çiziniz.

• Çözüm:

Önce mesnet reaksiyonları bulunur;

20

Sistem yayılı yükün bittiği B noktasındanikiye ayrılarak AB sol parçası için soldan veCB sağ parçası sağdan çözümlenir.

Tüm sistemin SCD’si

ÖRNEK-53

Sol parça (AB) için 0<x1<2m:

Sol parça (AB)

21

Sağ parça (CB) için 0<x2<1m:

Sağ parça (CB)

ÖRNEK-53

Bulunan değerler çözüm yönüne görealınan x mesafelerine dikkat ederek,yani kritik bölgeleri doğru belirleyereksırayla N, T ve M diyagramlarına işlenir. Busoruda kritik bölgeler tekil yüklerdir.

Ankastre mesnet moment taşıdığından Amesnetinde diyagramın -18 tm’denbaşladığına dikkat ediniz.

22

Düzgün yayılı yük, kesme diyagramınıbirinci derece (x’e bağlı) oluşturduğundanmoment diyagramında bu bölgede 2.derece (x2’ye bağlı) eğri oluştuğuna dikkatediniz.

A’dan B’ye doğru kesme kuvvetiazaldığından moment eğrisinin azalarakarttığına (eğimi düşerek) çizimde dikkatediniz.

Kiriş ucundaki tekil momentin momentdiyagramını kapattığına dikkat ediniz.

ÖRNEK-63

• Soru: Şekilde yükleme durumu verilen kirişinN, M ve T diyagramlarını çiziniz.

• Çözüm:

Önce mesnet reaksiyonları bulunur;

23

Mesnet ve tekil yüklerle sınırlanmış AB, BCparçaları soldan, DC parçası sağdançözümlenir

Tüm sistemin SCD’si

ÖRNEK-63

İlk sol parça (AB) için 0<x1<2m:

İkinci sol parça (BC) için 0<x2<3m:

İlk sol parça (AB için)

24

Sağ parça (DC) için 0<x3<3m:

İkinci sol parça (BC için)

Sağ parça (DC için)

ÖRNEK-63

Bulunan değerler çözüm yönüne görealınan x mesafelerine dikkat ederek, yanikritik bölgeleri doğru belirleyerek sırayla N,T ve M diyagramlarına işlenir. Bu sorudakritik bölgeler tekil yüklerdir.

B’de moment -4 t.m, C’de ise +2,6 t.mbulunmuştu. Moment diyagramının işaretdeğiştirerek çubuk eksenini kestiğigörünmektedir. Bu noktanın koordinatı bir

25

görünmektedir. Bu noktanın koordinatı birönceki sayfada “İkinci sol parça (BC) için0<x2<3m” kısmındaki moment eşitliği sıfıraeşitlenerek (2.2x2-4=0) veya BC arasındakimoment diyagramı doğrusunun eğimindenbulunabilir. Eğim kullanılarak;

Mesnet üstündeki tekil momentin momentdiyagramını kapattığına dikkat ediniz.

4 2,61,82

3x m

x x

x=1,82 m

İç Kuvvet (M,N, T) Diyagramlarının Çizilmesi – Alan Yöntemi10

Alan yönteminde diyagramlar kirişteki yüklemelerindeğiştiği süreksizlik noktaları ve kritik noktalar(mesnetler / düğüm noktaları) dikkate alınarak şuesaslara göre çizilir;

1. Yukarı yönlenmiş kuvvetlerin bulunduğu yerlerdekesme diyagramı yukarı doğru çizilir. Aşağıya doğruyönlenmiş kuvvetler durumunda tersidir.

26

2. Kuvvet bulunmayan aralıklarda kesme kuvvetidiyagramı sabit bir değerdeyken (kirişe paralel birdoğru şeklinde) düzgün yayılı yük olan bölgelerdeeğimli bir doğru ve üçgen yayılı yük için de ikincidereceden bir eğridir.

3. Bir noktadaki eğilme momenti, kendisinden bir öncekieğilme momentinden, bu iki nokta arasındaki kesmekuvveti diyagramının alanın eklenmesiyle (+ veya -)elde edilir.

4. Eğilme momenti diyagramının derecesi kesmekuvvetinin derecesinden bir fazladır.

2°

İç Kuvvet (M,N, T) Diyagramlarının Çizilmesi – Alan Yöntemi10

Alan yöntemi ile çizim yaparken sisteme tekil bir yük veya tekil bir moment etkidiğindediyagramı doğru çizebilmek için kesim yöntemine başvurmamız gerekir.

Tekil yük veya momentin etkidiği noktanın sağında (kirişin solundan çizime başlanır) diyagramınnasıl devam ettiğini anlamak için tekil etki altındaki noktanın sonsuz yakın sağından ve solundankesim yaparak bu küçük parçada denge denklemlerini yazarız. Bu sayede aşağıdaki örnekteolduğu gibi tekil ekti sonrası (sağ) parçanın diyagram değeri tespit edilir.

27

Tekil kuvvet Tekil momentdx/2 dx/2

Msol Msağ

Tsol Tsağ

P

dx/2 dx/2

Msol

Tsol

Msağ

Tsağ

Mtek 0

0

y

sol sağ

sağ sol

F

T P T

T T P

A0

0A

sol sağ

sağ sol

M

M M

M M

0

0

y

sol sağ

sağ sol

F

T T

T T

0

0A

sol tek sağ

sağ sol tek

M

M M M

M M M

Not: dx sonsuz küçük bir mesafe olduğundan kesme kuvvetlerinin momenti sıfırdır.

ÖRNEK-73

• Soru: Şekilde yükleme durumu verilen kirişinN, M ve T diyagramlarını çiziniz.

• Çözüm:

Önce mesnet reaksiyonları bulunur;

28

Sistemin SCD’si

ÖRNEK-73

A mesnetinden başlanarak soldan sağa doğru N ve Tdiyagramı çizilir. Normal kuvvet olmadığından Ndiyagramı her bölgede sıfırdadır.

T diyagramı çizilirken yukarı yönlü olan 1 t mesnettepkisi +1 işaretlenir ve AB arası boş olduğundansabittir. B noktasındaki aşağı yönlü 2 t tekil kuvvetsonucu 1-2=-1 t seviyesine ani geçiş olur. BC arasıboş olduğundan sabittir. C noktasında 2t tekil kuvvetsonucu -1-2=-3 t seviyesine ani geçiş olur. CD ve DE

29

sonucu -1-2=-3 t seviyesine ani geçiş olur. CD ve DEarasında tekil kuvvet olmadığından sabittir (tekilmoment T’yi değiştirmez). E mesnet reaksiyonu 7 tsebebiyle -3+7=4 t seviyesine sıçrama olur. EFarasında düzgün yayılı yük olduğundan ve aşağıdoğru etkidiğinden F noktasına kadar 4-2*2=0 tonalineer (1. derece) düşüş olur.

A mesnetinden başlanarak soldan sağa Tdiyagramının alanı her bölge için işaretleriyle eklenirve M moment diyagramı çizilir. M diyagramı çizilirkenilgili bölge için T diyagramının derecesinin bir üstüderecede bir fonksiyon oluşur. Bu örnekte T sabit isemoment diyagramı 1. derece (doğru), T eğimli ise (1.derece) 2. derece (eğri) bir diyagram çizilir.

ÖRNEK-83

• Soru: Şekilde yükleme durumu verilenkonsol kirişin N, M ve T diyagramlarınıçiziniz.

• Çözüm:

Önce mesnet reaksiyonları bulunur;

30

Sistemin SCD’si

ÖRNEK-83

Sıfır noktasının

31

Bu alanı hesaplamak uğraştırıcı olduğundan

300 kg.m kesim yöntemiyle bulundu.

Sıfır noktasının konumu, kesim

yönteminde AB arası moment eşitliği sıfıra eşitlenerek bulunur.

ÖRNEK-93

• Soru: Şekilde yükleme durumu verilen kirişinN, M ve T diyagramlarını çiziniz.

• Çözüm:

Önce mesnet reaksiyonları bulunur;

32

Sistemin SCD’si

ÖRNEK-93

Kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği nokta CD arasındaki kesme kuvveti doğrusunun eğiminden

bulunur.

33

Faydalanılan kaynaklar:Mühendislik Mekaniği - Statik, R.C. Hibbeler, S.C. Fan(Mühendislik Mekaniği – Statik’in Pearson yayınevi tarafından hazırlanan İngilizce sunumları)kisi.deu.edu.tr/serkan.misir – statik ders notlarıkisi.deu.edu.tr/burak.felekoglu – statik ders notları (sorular, çoğu kiriş çizimi ve denklemleri buradan

alınmıştır)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik – statik ders notları (sorular buradan alınmıştır)kisi.deu.edu.tr/sadik.girgin – statik çözümlü soruları (sorular buradan alınmıştır)

10

34

https://www.emlakpencerem.com/turkiye-de-ondan-yuksegi-yok-165-metre-yukseklige-sahip-kopru-tamamlanmak-uzere/103418/

Teşekkürler:

• Dr. Yalçınkaya; ders notlarından, çevirilerinden, sunumlarından ve çizimlerindenfaydalandığı Dr. Girgin, Dr. Mısır, Dr. Felekoğlu ve Dr. Özçelik’e sonsuzteşekkürlerini sunar. Bu dersin ana kaynağı “Mühendislik Mekaniği - Statik, R.C.Hibbeler, S.C. Fan” kitabı ve Pearson yayınevinin sunumlarıdır. Dr. Yalçınkayayayınevlerine ve yazarlara teşekkürü borç bilir.