PERTEMUAN 1

MOMENT GENERATING FUNCTION DAN FACTORIAL MOMENT

Efri Diah Utami, M.StatMata Kuliah : Statistika Matematika ISekolah Tinggi Ilmu Statistik, Jakarta

MOMENT GENERATING FUNCTION (MGF)

Definisi:Jika X adalah random variabel, maka

bila X diskret

bila X kontinyu

disebut Moment Generating Function (MGF) dari X jika nilai harapannya ada untuk setiap nilai t dalam interval –h<t<h, dan h>0 atau konvergen.

)()( tXX eEtM

x

tx xfe )(

dxxfetx )(

MOMENT GENERATING FUNCTION (MGF)

Contoh:Diasumsikan X adalah random variable diskret dengan nilai . Maka

MGF

Jika t=0 maka

mxx ,...,1

m

i itx

X xfetM i

1)()(

m

i itx

iX xfextM i

1

' )()(

m

i itxr

irX xfextM i

1)()(

)()()0(1

rm

i iri

rX XExfxM

MOMENT GENERATING FUNCTION (MGF)

Teorema 1.Misalkan X suatu peubah acak dengan MGFmaka:

Teorema 2:Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak dengan MGF masing masing dan Bila untuk setiap nilai t, maka X dan Y mempunyai distribusi peluang yang sama.

)(tM X

'

0

)(k

t

kX

k

dt

tMd

)(tM X )(tMY

)()( tMtM YX

MOMENT GENERATING FUNCTION (MGF)

Teorema 3:Teorema 4: Teorema 5:Teorema 6:Bila peubah acak bebas dengan MGF masing-masingdan maka

)()( tMetM Xat

aX

)()( atMtM XaX

nXXX ,.....,, 21

)(),....,(),(21

tMtMtMnXXX

nXXXY .....21

)().....().()(21

tMtMtMtMnXXXY

)()( atMetM Xbt

baX

MOMENT GENERATING FUNCTION (MGF)

Teorema 7:Jika MGF dari X ada (exist) maka

untuk semua r=1,2,...Dan

)0()( rX

r MXE

1 !

)(1)(

r

rr

X r

tXEtM

MOMENT GENERATING FUNCTION (MGF)

Teorema 8 :Jika dan masing-masing memiliki CDF dan dan MGF dan , maka untuk semua nilai riil x jika dan hanya jika untuk semua t dalam interval –h<t<h untuk h>0

1X 2X )(1 xF

)(2 xF )(1 tM )(2 tM )()( 21 xFxF

)()( 21 tMtM

MOMENT GENERATING FUNCTION (MGF)

Contoh 1. Diketahui random variable X dengan pdf

0,)( xuntukexf x

1,1

1)(

0

tt

dxeetM xtxX

1)0(')( tMXE X

2)0()( 22 tMXE X

MOMENT GENERATING FUNCTION (MGF)Latihan 1 :1. Anggap X adalah random variabel dengan MGF

a. Bagaimana distribusi peluang dari X?b. Berapakah P(X=2)

2. Anggap X adalah random variabel kontinyu dengan pdf untuk c. Tentukan MGFd. Gunakan MGF untuk mendapatkan dan

3. Tentukan MGF dari distribusi geometrik. Gunakan MGF tersebut untuk mendapatkan rata-rata dan varians

FACTORIAL MOMENT

Definisi:Faktorial moment ke-r dari X adalah

Dan factorial moment generating function (FMGF) dari X adalah

Jika nilai harapannya ada / eksis untuk semua t dalam interval 1-h<t<1+hFMGF kadang juga dsb probability generating function

)]1)...(1([ rXXXE

)()( XX tEtG

FACTORIAL MOMENTUntuk nilai non negatif dari random variabel X

Hubungan MGF dan FMGF:

)(ln)()()( ln tMeEtEtG XtXX

X

!

)0()(

)(

r

GrXP

rX

FACTORIAL MOMENTTeorema:Jika X mempunyai sebuah FMGF, maka )(tGX

)]1)...(1([)1(

)]1([)1(

)()1("

'

rXXXEG

XXEG

XEG

rX

X

X

FACTORIAL MOMENT

Latihan 2 :1. Sebuah random variabel diskret dengan pdf jika x=0,1,2,…

a. Tentukan FMGFb. Gunakan FMGF untuk mendapatkan E[X(X-1)(X-2)] dan

kemudian tentukan