Embed Size (px)
Citation preview
Güven aralığı ve Hipotez testi
2
Veriler , bir değer aralığında hangi değeri gösteriyor?
(Parametrenin gerçek değeri hakkında bir bilgimiz yok.)
Veriler , daha önceden belirlenmiş bir değeri
gösteriyor mu?
(Parametrenin değeri hakkında bir fikrimiz var.)
µ? µ?
µ 0?
Güven aralığı
Hipotez nedir?
3
Hipotez, karşılaşılan bir durum hakkında
yapılan bir önermedir.
İstatistikte, hipotez, bir anakütle
paramatresi hakkında yapılan
bir önermedir:
Mesela, anakütle ortalaması
Örnek: Bu şehirdeki ortalama aylık cep
telefonu faturası μ = 42TL
Hipotez Testi nedir?
4
Bir hipotez testi, iki tür hipotez oluşturmakla başlar:
Sıfır hipotezi
Alternatif (Karşıt) hipotez
Sıfır hipotezi, “arada fark yoktur”, “fark sıfırdır” şeklinde kurulur.
Hipotez testi, sıfır hipotezinin (H0) doğru olduğu varsayımı ile başlar.
Bir hipotez testinin amacı, sıfır hipotezinin (karşıt hipotez leyhine) reddedilip edilmemesine karar vermektedir.
Sıfır hipotezi, H0
5
Test edilecek varsayımı ifade eder.
Örnek: Amerikan evlerindeki ortalama TV sayısı 3’tür.
Her zaman bir anakütle parametresi hakkındadır,
asla örneklem istatistiği hakkında değildir.
3μ:H0
3μ:H0 3X:H0
Sıfır hipotezi, H0
6
Anakütle parametresinin önceden belirlenmiş,
bilinen değerinde herhangi bir farklılığın
beklenmediğini ifade eden hipotezdir.
Her zaman şu işaretleri içerir : “=” , “≤” , “≥”
H0’a aykırı yeterli kanıt bulunmadıkça bu hipotez
geçerli sayılır.
Suçluluğu ispat edilene kadar masum olma durumu
gibi.
Alternatif (Karşıt) Hipotez, H1
7
İlgili anakütle parametresinin bilinen değerinde
istatistiksel olarak anlamlı farkların beklendiğini
ifade eder.
Ör. Amerikan evlerindeki ortalama TV sayısı 3 değildir:
( H1: μ ≠ 3 )
Asla şu işaretleri içermez : “=” , “≤” , “≥”
Eğer doğru olduğunu destekleyen yeterli kanıt
bulunursa, H1 desteklenir ve H0 reddedilir.
8
Alternatif (Karşıt) Hipotez, H1
Eğer amaç, µ ‘nün belirli bir değerden (µ₀), farklı olup
olmadığını belirlemek ise, alternatif hipotezi şu şekilde yazılır :
H1: µ ≠ µ₀ Bu durumda, hipotez testine iki-yönlü denir.
Eğer amaç, µ ‘nün belirli bir değerden (µ₀) düşük olup
olmadığını belirlemek ise, alternatif hipotezi şu şekilde yazılır :
H1: µ < µ₀ Bu durumda, hipotez testine tek yönlü (sol taraflı)
denir.
Eğer amaç, µ ‘nün belirli bir değerden (µ₀) yüksek olup
olmadığını belirlemek ise, alternatif hipotezi şu şekilde yazılır :
H1: µ > µ₀ Bu durumda, hipotez testine tek yönlü (sağtaraflı)
denir.
Hipotezleri tanımlama
Örnek : Anakütle ortalamasının 3 olmadığını test edin.
Etaplar:
Soruyu istatistiksel olarak yazın : (µ ≠ 3)
Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın (µ = 3)
Bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcı olacak şekilde olmalı.
Alternatif hipotezi seçin (µ ≠ 3)
Yazılmış olan iki önermeden içinde şu işaretlerden birini
bulunduranı seçin : ≠, <, >
Sıfır hipotezini seçin (µ = 3)
9
Soruyu istatistiksel olarak yazın : µ = 12
Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın: µ ≠ 12
Alternatif hipotezi seçin : H1: µ ≠ 12
Sıfır hipotezini seçin : H0: µ = 12
Anakütlenin ortalama TV seyretme süresi
12 saat midir?
Hipotezleri tanımlama
10
Soruyu istatistiksel olarak yazın : µ ≠ 12
Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın: µ = 12
Alternatif hipotezi seçin : H1: µ ≠ 12
Sıfır hipotezini seçin : H0: µ = 12
Anakütlenin ortalama TV seyretme süresi
12 saatten farklı mıdır?
Hipotezleri tanımlama
11
Soruyu istatistiksel olarak yazın : µ ≤ 20
Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın : µ > 20
Alternatif hipotezi seçin : H1: µ > 20
Sıfır hipotezini seçin : H0: µ = 20
Bir şapkanın ortalama maliyeti 20$’dan az
ya da ona eşit midir?
Hipotezleri tanımlama
12
Soruyu istatistiksel olarak yazın µ > 25
Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın : µ ≤ 25
Alternatif hipotezi seçin : H1: µ > 25
Sıfır hipotezini seçin : H0: µ = 25
Bir kitapçıda yapılan ortalama harcama
25 $’dan fazla mıdır?
Hipotezleri tanımlama
13
Hipotez testinde yapılan hatalar
Karar Doğal durum
H0 Doğru H0 Yanlış
H0’ın red edilmemesi
Doğru karar
Olasılık :1 – α II. Tip hata
Olasılık : β
H0’ın reddi I. Tip hata
Olasılık : α
(anlamlılık düzeyi)
Doğru karar
Olasılık :1 – β
( testin gücü)
14
I. Ve II. Tip Hatalar arasındaki ilişki
15
I. ve II. Tip hatalar aynı anda gerçekleşemez.
I. Tip hata yalnızca H0 doğru olduğunda olur.
II. Tip hata yalnızca H0 yanlış olduğunda olur.
Eğer I. Tip hata olasılığı artarsa (), II. Tip hata
olasılığı azalır (β)
Anlamlılık seviyesi () arttıkça, testin gücü de
(1 – β) artar.
Anlamlılık seviyesi,
16
H0 doğru olduğunda, örneklem istatistiğinin
alabileceği pek mümkün olmayan değerlerin
oranını verir.
Örnekleme dağılımında red bölgesini tanımlar.
, ile gösterilir
Yaygın kullanılan seviyeler 0,01 ; 0,05 ; 0,10
Araştırmacı tarafından test başlangıcında
belirlenir.
Testin kritik değer(ler)ini verir.
Anlamlılık seviyesi ve Red bölgesi
17
H0: μ ≥ 3
H1: μ < 3 0
H0: μ ≤ 3
H1: μ > 3
Kritik değer
Sol taraflı test
Anlamlılık seviyesi =
0 Sağ taraflı test
İki yönlü test
Red bölgesi
taralı olarak
gösteriliyor.
/2
0
/2 H0: μ = 3
H1: μ ≠ 3
Ortalama için Hipotez testi (σ biliniyor)
18
Amaç : Anakütle ortalaması, µ, için hipotez testi uygulamak
Varsayımlar: Rasgele örneklem
Normal anakütle
σ biliniyor
Etap 1: Sıfır hipotezi H0 : µ = µ₀, belirlenir. Alternatif
hipotez olarak da aşağıdaki 3 durumdan biri belirlenir.
H1: µ ≠ µ₀ veya H1: µ < µ₀ veya H1: µ > µ₀
(iki yönlü) (sol taraflı) (sağ taraflı)
Etap 2: Anlamlılık seviyesi α belirlenir
Etap 3: Sıfır hipotezinde geçen değerin z değeri hesaplanır.
𝑧0 =𝑥 − 𝜇0
𝜎/ 𝑛
Step 4: Kritik değerler bulunur
±zα/2 veya – zα veya zα
(İki yönlü) (Sol taraflı) (Sağ taraflı)
19
Ortalama için Hipotez testi (σ biliniyor)
Etap 5: Eğer z0 red bölgesine düşüyorsa, H0 reddedilir,
yoksa, H0 reddedilmez.
Etap 6 : Hipotez testinin sonuçları yorumlanır.
20
Ortalama için Hipotez testi (σ biliniyor)
İki yönlü Sol taraflı Sağ taraflı
red red red red
H0 red edilemez H0 red
edilemez H0 red
edilemez
Tek taraflı Test İki taraflı Test
H0: µ = µ0 H0: µ = µ0
Ha: µ < or > µ0 Ha: µ ≠ µ0
Test istatistiği: Test istatistiği:
Red bölgesi: Red bölgesi:
| z | > zα | z | > zα/2
x
xz
0
x
xz
0
Ortalama için Hipotez testi (σ biliniyor)
21
Örnek1: Ortalama için sağ taraflı test
22
Telefon sanayiindeki bir yönetici müşterilerin
aylık cep telefonu faturalarında bir artış
olduğunu ve artık ortalama faturanın 52TL’nin
üstünde olduğunu düşünüyor. Şirket bu
düşünceyi test etmek istiyor. ( = 10)
H0: μ ≤ 52 ortalama 52 TL‘den yüksek değil.
H1: μ > 52 ortalama 52 TL‘den yüksek.
(yani, yöneticinin düşüncesini destekleyen yeterli
kanıt var.)
Hipotezleri tanımla:
Örnek1: Red bölgeleri bulunur.
23
Test için anlamlılık seviyesi = 0.10 seçildi.
Red bölgesi:
H0 Reddedilir H0 reddedilemez
= 0.10
1.28 0
H0 red
1.28nσ/
μxz 0
Eğer ise, H0 reddedilir.
24
Örneklemden yola çıkarak, test istatistiği hesaplanır
Şu değerleri veren bir örneklem varsayıyoruz:
n = 64, x = 53.1
( = 10)
Test istatistiği:
0.88
64
10
5253.1
n
σ
μxz 0
Örnek1 : Örneklem sonucu
Örnek1 : Karar
25
H0 reddedilir H0 reddedilemez
= 0.10
1.28 0
H0 reddilir
H0 reddedilemez çünkü z = 0.88 < 1.28
Yorum: telefon faturalarının 52 TL’nin üstünde olduğunu destekleyen yeterli kanıt yoktur.
z = 0.88
Örnek 2
26
«Amerika’da evlerde bulunan ortalama
TV sayısı 3’tür» önermesini test edin. (σ = 0.8 olarak varsayalım)
Sıfır ve alternatif hipotezleri yazın
H0: μ = 3 , H1: μ ≠ 3 (Bu bir iki yönlü test olacaktır)
Anlamlılık seviyesini belirleyin
Bu test için = 0.05 seçilmiş olsun
Örneklem büyüklüğü seçin.
n = 100 olacak şekilde bir örneklem seçilmiştir.
Örnek 2
27
2.00.08
.160
100
0.8
32.84
n
σ
μXz 0
Kritik değerleri belirleyin
= 0.05 için kritik z değerleri ±1.96’dır.
Test istatistiğini hesaplayın
Örneklem sonuçlarının şu şekilde olduğunu varsayalım.
n = 100, x = 2.84 (σ = 0.8)
Öyleyse, test istatistiği :
Örnek 2
28
Test istatistiği red bölgesinde mi?
H0 reddedilir H0 reddedilemez
= 0.05/2
– z = – 1.96 0
Eğer z < –1.96
veya z > 1.96
ise, H0’ı
reddederiz.
Aksi durumda,
H0 reddedilmez.
= 0.05/2
H0 reddedilir
+z = +1.96
z = – 2.0 < – 1.96, Demekki
test istatistiği red bölgesinde.
Örnek 2
29
Sonucu yorumla!!!
–2.0
z = – 2.0 < – 1.96 olduğu için sıfır hipotezini reddettik.
Demekki, Amerika’da evlerde bulunan ortalama TV
sayısının 3 olmadığı yönünde yeterli kanıt vardır.
= 0.05/2
–z = –1.96 0
= 0.05/2
+z = +1.96
H0 reddedilir H0 reddedilemez H0 reddedilir
Örnek 3
Futbol hakemleri tarafından kuralların yeniden yorumlanması
sonucunda maç başına düşen sarı kart sayısında bir artış
olması bekleniyor. Şimdiye kadar maç başına düşen ortalama
sarı kart sayısı 4, standart sapması da 0,5 olsun.
121 maçlık bir örneklemden elde edilen verilere göre maç
başına ortalama 4,7 sarı kart çıktığı hesaplanmıştır.
%5’lik anlamlılık seviyesinde, gerçekten sarı kartlarda
artış olmuş mudur?
30
• Hipotezleri oluşturun:
• H0: μ = 4 , H1: μ ≠ 4 ( İki yönlü test)
• Anlamlılık seviyesi 0,05
• Kritik z değerleri ±1,96’dır.
Örnek 3
31
Örneklem ortalaması 𝒙 = 4,7 Örneklem büyüklüğü n = 121
Test istatiğini hesaplayın:
Sonuç ve yorum: z₀ red bölgesine düştüğü için, H0 reddedilir.
Demekki,sarı kart sayısında bir artış olduğu konusunda yeterli
kanıt vardır.
94,10064,0
47,400
xs
xz
H0 reddedilmez
H0 reddedilir H0 reddedilir
0,025 0,025
-1,96 +1,96 10,94
