TC. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 1448

AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 771

‹STAT‹ST‹K

YazarlarProf.Dr. Ali Fuat YÜZER (Ünite 1, 2)Prof.Dr. Embiya A⁄AO⁄LU (Ünite 3, 13)Prof.Dr. Hüseyin TATLID‹L (Ünite 4, 5, 6)Prof.Dr. Ahmet ÖZMEN (Ünite 7, 8, 9, 14)Prof.Dr. Emel fiIKLAR (Ünite 10, 11, 12)

EditörProf.Dr. Ali Fuat YÜZER

ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹

Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›fl haklar› Anadolu Üniversitesine aittir.“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.

‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›tveya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.

Copyright © 2003 by Anadolu UniversityAll rights reserved

No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmittedin any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹

Genel Koordinatör Prof.Dr. Levend K›l›ç

Genel Koordinatör Yard›mc›s›Yard.Doç.Dr. Müjgan Bozkaya

Ö¤retim Tasar›mc›s›Yard.Doç.Dr. Melih Zeytino¤lu

Grafik Tasar›m YönetmenleriProf. T. Fikret Uçar

Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z

Televizyon Programlar› Yöneticisi Prof. Yalç›n Demir

Dil ve Yaz›m Dan›flmanlar›Yard.Doç.Dr. Hülya Pilanc›

Okt. Ayd›n F›nd›ko¤luOkt. Meral Aflkar

Ölçme De¤erlendirme Sorumlular›Ö¤r.Gör. Reha Akgün

Kitap Koordinasyon BirimiYard.Doç.Dr. Feyyaz Bodur

Uzm. Nermin Özgür

Kapak DüzeniProf. T. Fikret Uçar

DizgiAç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi

‹statistik

ISBN 975 - 06 - 0183 - 1

2. Bask›

Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 75.000 adet bas›lm›flt›r.ESK‹fiEH‹R, Eylül 2004

‹çindekiler

Sunufl ............................................................................................................. ixKullan›m K›lavuzu ........................................................................................ x

Temel Kavramlar .................................................................... 1G‹R‹fi ............................................................................................................. 3B‹R‹M, DE⁄‹fiKEN VE ‹STAT‹ST‹K KÜTLES‹ (ANA KÜTLE) ..................... 4Birim .............................................................................................................. 4

Birim Türleri ............................................................................................ 4Maddesel Bir Varl›¤a Sahip Olan ya da Olmayan Birimler .................. 4Sürekli ya da Ani Birimler ...................................................................... 4Do¤al ya da Do¤al Olmayan Birimler ................................................... 4Gerçek ya da Varsay›msal Birimler ....................................................... 5

De¤iflken (Özellik) ........................................................................................ 5De¤iflken (Özellik) Türleri ...................................................................... 5

‹statistik Kütlesi (Ana Kütle) ........................................................................ 5Kütle Türleri ............................................................................................ 6

VER‹ DERLEME ............................................................................................. 6Birim Seçimi .................................................................................................. 7De¤iflken ve fi›klar›n Belirlenmesi .............................................................. 7Kütlenin S›n›fland›r›lmas› ............................................................................. 7Veri Derleme Türleri .................................................................................... 7

Ani ya da Sürekli Veri Derleme ............................................................. 7Genel ya da K›smi Veri Derleme ........................................................... 8

Kendimizi S›nayal›m .................................................................................... 9Yan›t Anahtar› ............................................................................................. 10Yararlan›lan Kaynaklar ................................................................................ 10

‹statistik Serileri (Frekans Da¤›l›mlar›) ............................... 11G‹R‹fi ........................................................................................................... 13SER‹ TÜRLER‹ ............................................................................................. 13Zaman ve Mekan Serileri ........................................................................... 13Da¤›lma Serileri ........................................................................................... 14Birikimli Seriler ........................................................................................... 19Bileflik Seriler .............................................................................................. 21SER‹LER‹N GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹ ..................................................... 22Frekans Serilerinin Grafikle Gösterilmesi ................................................. 22S›n›fland›r›lm›fl Serilerin Grafikle Gösterilmesi ......................................... 23

Histogram ............................................................................................... 23Frekans Poligonu ................................................................................... 25

Birikimli Serilerin Grafikle Gösterilmesi .................................................... 27Bileflik Serilerin Grafikle Gösterilmesi ....................................................... 29Kendimizi S›nayal›m ................................................................................... 31Yan›t Anahtar› ............................................................................................. 33Yararlan›lan Kaynaklar ............................................................................... 33

‹ ç indek i ler iii

ÜN‹TE 1

ÜN‹TE 2

Merkezi E¤ilim ve De¤iflkenlik Ölçüleri .............................. 35G‹R‹fi ........................................................................................................... 37MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹ (ORTALAMALAR) ...................................... 37Duyarl› Ortalamalar .................................................................................... 37

Aritmetik Ortalama ................................................................................ 37Aritmetik Ortalaman›n Özellikleri ........................................................ 41Tart›l› Aritmatik Ortalama ..................................................................... 43Geometrik Ortalama ............................................................................. 45Kareli Ortalama ..................................................................................... 46

Duyarl› Olmayan Ortalamalar ................................................................... 49Medyan .................................................................................................. 49Mod ....................................................................................................... 53

Serinin Simetri Durumuna Göre Ortalamalar Aras›ndaki ‹liflki ............... 57DE⁄‹fiKENL‹K ÖLÇÜLER‹ ........................................................................... 59De¤iflim Aral›¤› ........................................................................................... 60Standart Sapma ........................................................................................... 60De¤iflim Katsay›s› ........................................................................................ 62Kendimizi S›nayal›m ................................................................................... 65Yan›t Anahtar› ............................................................................................. 66Yararlan›lan Kaynaklar ............................................................................... 66

Olas›l›k .................................................................................... 67G‹R‹fi ............................................................................................................ 69DENEY, SONUÇ VE ÖRNEKLEM UZAYI .................................................. 69Basit ve Bileflik Olaylar .............................................................................. 71

Basit Olay .............................................................................................. 72Bileflik Olay ........................................................................................... 72

OLASILIK HESAPLAMA .............................................................................. 74Olas›l›¤›n ‹ki Özelli¤i .................................................................................. 74Olas›l›¤a Üç Kavramsal Yaklafl›m .............................................................. 75

Klasik Olas›l›k ........................................................................................ 75Olas›l›¤›n Göreli S›kl›k Kavram› ........................................................... 76Öznel Olas›l›k Kavram› ......................................................................... 78

SAYMA KURALI .......................................................................................... 79B‹LEfiEN (MARJ‹NAL) VE KOfiULLU OLASILIKLAR .................................. 79AYRIK OLAYLAR ........................................................................................ 83BA⁄IMSIZ VE BA⁄IMLI OLAYLAR ........................................................... 85‹ki Önemli Nokta ....................................................................................... 87TAMAMLAYICI (BÜTÜNLEY‹C‹) OLAYLAR ............................................. 87OLAYLARIN ARA KES‹T‹ VE ÇARPMA KURALI ...................................... 89Olaylar›n Ara Kesiti .................................................................................... 89Çarpma Kural› ............................................................................................ 90Ba¤›ms›z Olaylar ‹çin Çarpma Kural› ........................................................ 92Ayr›k Olaylar›n Bileflik Olas›l›¤› ................................................................ 94OLAYLARIN B‹LEfi‹M‹ VE TOPLAMA KURALI ......................................... 95Olaylar›n Bileflimi ....................................................................................... 95Toplama Kural› ........................................................................................... 96Ayr›k Olaylar ‹çin Toplama Kural› ............................................................ 97Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 101Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 102Yararlan›lan Kaynaklar ...............................................................................102

‹ ç indek i leriv

ÜN‹TE 3

ÜN‹TE 4

Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› ............. 103G‹R‹fi ........................................................................................................... 105RASSAL DE⁄‹fiKENLER ............................................................................ 105Kesikli Rassal De¤iflken ............................................................................. 105Sürekli Rassal De¤iflken ............................................................................. 106KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹fiKEN‹N OLASILIK DA⁄ILIMI ....................... 107KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹fiKEN‹N ORTALAMASI VESTANDART SAPMASI ................................................................................. 111Kesikli Bir Rassal De¤iflkenin Ortalamas› ................................................. 111Kesikli Bir Rassal De¤iflkenin Standart Sapmas› ...................................... 112Standart Sapman›n Yorumu ...................................................................... 114FAKTÖR‹YELLER VE KOMB‹NASYONLAR .............................................. 115Faktöriyeller ................................................................................................ 115Kombinasyonlar ......................................................................................... 116B‹NOM (‹K‹ TER‹ML‹) OLASILIK DA⁄LIMI ............................................. 118Binom Deneyi ............................................................................................ 118Binom Olas›l›k Da¤›l›m› ve Binom Formülü ........................................... 119Baflar› Olas›l›¤› ve Binom Da¤›l›m›n›n Biçimi ......................................... 125Binom Da¤›l›m›n›n Ortalama ve Standart Sapmas› ................................. 126PO‹SSON OLASILIK DA⁄ILIMI ................................................................. 128Poisson Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Ortalama .................................................... 132Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 133Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 134Yararlan›lan Kaynaklar .............................................................................. 134

Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m ................. 135G‹R‹fi ........................................................................................................... 137SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIMI .................................................................. 137Normal Da¤›l›m .......................................................................................... 140Normal Olas›l›k Da¤›l›m› ........................................................................... 140Standart Normal Da¤›l›m ........................................................................... 142Normal Da¤›l›m›n Standartlaflt›r›lmas› ....................................................... 147Normal Da¤›l›m Uygulamalar› ................................................................... 152NORMAL DA⁄ILIM E⁄R‹S‹ ALTINDAK‹ ALAN B‹L‹N‹YORKEN z VE x DE⁄ERLER‹N‹N BULUNMASI ................................................... 156B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAfiIMI .......................... 160Kendimizi S›nayal›m ................................................................................... 164Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 165Yararlan›lan Kaynaklar ............................................................................... 165

Örnekleme ............................................................................ 167G‹R‹fi .......................................................................................................... 169TAMSAYIM VE ÖRNEKLEM ..................................................................... 169ÖRNEKLEME YAPMAYI GEREKL‹ KILAN NEDENLER ........................... 171ÖRNEKLEME SÜREC‹N‹N AfiAMALARI ................................................... 173Ana Kütlenin Tan›mlanmas› ..................................................................... 173Çerçevenin Belirlenmesi ........................................................................... 174Örnekleme Yönteminin Seçimi ................................................................ 174Örneklem Hacminin Belirlenmesi ............................................................ 174

‹ ç indek i ler v

ÜN‹TE 5

ÜN‹TE 6

ÜN‹TE 7

Nitel De¤erlendirmede Esas Olan Faktörler ....................................... 175Nicel Yöntemler ................................................................................... 175

Örneklemin Seçimi .................................................................................... 177ÖRNEKLEME YÖNTEMLER‹ ...................................................................... 177Olas›l›kl› Olmayan Örnekleme Yöntemleri .............................................. 177

Kolayda Örnekleme ............................................................................. 177Yarg›sal Örnekleme ............................................................................. 178Kota Örneklemesi ................................................................................ 178Kartopu Örneklemesi .......................................................................... 179

Olas›l›kl› Örnekleme Yöntemleri .............................................................. 179Basit Rassal Örnekleme ....................................................................... 180Tabakal› Örnekleme ............................................................................. 181Sistematik Örnekleme .......................................................................... 183Küme Örneklemesi .............................................................................. 183

ÖRNEKLEME DA⁄ILIMI ............................................................................ 184Örneklem Ortalamas› Örnekleme Da¤›l›m› ................................... 185

Ortalama ve Standart Hata .................................................................. 186Merkezi Limit Teoremi .............................................................................. 187Örneklem Oran› p’nin Örnekleme Da¤›l›m› ............................................ 188Ortalama ve Varyans .................................................................................. 190Da¤›l›m fiekli ve Merkezi Limit Teoremi .................................................. 191ÖRNEKLEMEDE HATA KAVRAMI VE STANDART HATA ...................... 191Örnekleme Hatas› - Standart Hata ............................................................ 191Örnekleme D›fl› Hatalar ............................................................................ 192Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 193Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 194Yararlan›lan Kaynaklar .............................................................................. 194

‹statistiksel Tahminleme....................................................... 195G‹R‹fi ........... .............................................................................................. 197‹STAT‹KSEL TAHM‹NLEME ...................................................................... 197‹STAT‹KSEL TAHM‹NLEME TÜRLER‹ ...................................................... 198Nokta Tahminlemesi.......... ....................................................................... 198

Ana Kütle Aritmetik Ortalamas› m ’nün Nokta Tahminlemesi........ 198Ana Kütle Oran› p ’nin Nokta Tahminlemesi.................................. 199

Aral›k Tahminlemesi ................................................................................. 200Ana Kütle Aritmetik Ortalamas›n›n Aral›k Tahminlemesi .............. 201

Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 208Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 209Yararlan›lan Kaynaklar .............................................................................. 209

Hipotez Testleri .................................................................... 211G‹R‹fi ........................................................................................................... 213‹STAT‹ST‹KSEL H‹POTEZ VE ‹STAT‹ST‹KSEL H‹POTEZ TEST‹ ............. 213H‹POTEZ TEST‹ TÜRLER‹ ......................................................................... 215H‹POTEZ TEST‹ SÜREC‹N‹N ADIMLARI .................................................. 215Hipotezlerin ‹fade Edilmesi ...................................................................... 215Anlaml›l›k Düzeyinin Belirlenmesi ........................................................... 218Verilerin Derlenmesi ................................................................................. 219Test ‹statisti¤inin Seçilmesi ....................................................................... 219‹statistiksel Karar›n Verilmesi ................................................................... 220

X'n›n

‹ ç indek i lervi

ÜN‹TE 8

ÜN‹TE 9

Probleme ‹liflkin Karar›n Verilmesi ........................................................... 222TEK ANAKÜTLE PARAMETRES‹YLE ‹LG‹L‹ H‹POTEZ TESTLER‹ ........... 223Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Hipotez Testleri ....................................... 223Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Büyük Örneklem Testi ............................ 223Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Küçük Örneklem Testi ............................. 227Anakütle Oran›na ‹liflkin Test .....................................................................230Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 235Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 236Yararlan›lan Kaynaklar .............................................................................. 236

Ki-Kare Testi ......................................................................... 237G‹R‹fi .......................................................................................................... 239K‹-KARE BA⁄IMSIZLIK TEST‹ .................................................................. 239K‹-KARE HOMOJENL‹K TEST‹ .................................................................. 242K‹-KARE UYGUNLUK (‹Y‹ UYUM) TEST‹ ................................................ 244KONTENJANS KATSAYISI ......................................................................... 246Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 248Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 249Yararlan›lan Kaynaklar .............................................................................. 249

Basit Do¤rusal Regresyon .................................................... 251G‹R‹fi ........................................................................................................... 253SERP‹LME D‹YAGRAMI ............................................................................. 253BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYON .............................................................. 255Basit Do¤rusal Regresyon Modeli ............................................................. 255Basit Do¤rusal Regresyon Denkleminin Kestirimi ................................... 256Katsay›lar›n En Küçük Kareler (EKK) Kestirimleri ................................... 256VARYANSIN (s2 ) KEST‹R‹M‹ ................................................................... 261BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYONDA ARALIK KEST‹R‹M‹ ........................ 262REGRESYON KATSAYILARININ ANLAMLILIK TESTLER‹ ........................ 264Kendimizi S›nayal›m ................................................................................... 265Yan›t Anahtar› ............................................................................................. 266Yararlan›lan Kaynaklar .............................................................................. 266

Korelasyon ............................................................................. 267G‹R‹fi .......................................................................................................... 269KORELASYON KATSAYISI ....................................................................... 269BEL‹RL‹L‹K KATSAYISI ............................................................................. 272KORELASYON KATSAYISININ ANLAMLILIK TEST‹ ............................... 274Kendimizi S›nayal›m ................................................................................. 275Yan›t Anahtar› ........................................................................................... 275Yararlan›lan Kaynaklar .............................................................................. 276

‹ndeksler ................................................................................. 293G‹R‹fi ........................................................................................................... 279‹NDEKSLER ................................................................................................. 280

Mekan ‹ndeksleri .................................................................................. 280Zaman ‹ndeksleri .................................................................................. 281

Basit ve Bileflik ‹ndeksleri ......................................................................... 283

‹ ç indek i ler vii

ÜN‹TE 10

ÜN‹TE 11

ÜN‹TE 12

ÜN‹TE 13

Basit ‹ndeksler ...................................................................................... 283Bileflik ‹ndeksler ................................................................................... 284Fisher ‹ndeksi ....................................................................................... 289

Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 291Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 292Yararlan›lan Kaynaklar .............................................................................. 292

Zaman Serisi Çözümlemesi ................................................. 293G‹R‹fi ........................................................................................................... 295ZAMAN SER‹S‹N‹N TANIMI VE GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹ ................... 295Zaman Serisi Tan›m› .................................................................................. 295Zaman Serisinin Grafikle Gösterilmesi ..................................................... 296ZAMAN SER‹LER‹N‹ ETK‹LEYEN FAKTÖRLER .........................................297Zaman Serisini Etkileyen Temel Faktörler (Bileflenler) ............................297Yan›lt›c› Faktörler ....................................................................................... 300ZAMAN SER‹S‹ ÇÖZÜMLEMES‹ ................................................................ 301Zaman Serisi Çözümlemesi Tan›m› .......................................................... 301Zaman Serisi Çözümlemesinde Hareketli Ortalamalar ............................ 302ZAMAN SER‹S‹ ÇÖZÜMLEMES‹NDE B‹LEfiENLERE AYIRMAYÖNTEM‹ ................................................................................................... 304Genel Aç›klamalar ...................................................................................... 304Yönteme ‹liflkin Modeller .......................................................................... 304Bileflenlere Ay›rma Yöntemiyle Çözümlemede Aflamalar ....................... 305

Serinin Yan›lt›c› Faktörlerin Etkisinden Ar›nd›r›lmas› ........................ 305Çarp›msal Modelin Uygulanmas› ......................................................... 305

Kendimizi S›nayal›m .................................................................................. 319Yan›t Anahtar› ............................................................................................ 320Yararlan›lan Kaynaklar ............................................................................... 320

Sözlük ................................................................................ 324Dizin ................................................................................... 326

‹ ç indek i lerviii

ÜN‹TE 14

Sunufl

Anadolu Üniversitesi uzaktan e¤itim uygulayan ‹ktisat ve ‹flletme Fakültelerin-de yürütülen istatistik dersleri kapsam›na ve uzaktan ö¤retim koflullar›na görehaz›rlanan bu kitap, istatisti¤in temel konular›n›n ele al›nd›¤› ondört ünitedenoluflmufltur.

Kitab›n haz›rlanm›fl amaçlar› uyar›nca konular ifllenirken ilgili kavramlar dahaçok sezgiye dayal› yaklafl›mlarla verilmeye özen gösterilerek, teorik anlat›mlardankaç›n›lmaya çal›fl›lm›flt›r. Bu nedenle her ünitede, ele al›nan kavram ve tekniklereiliflkin yeterli say›da çözümlü örne¤e yer verilmifltir.

Metin içerisinde s›ra sizde bafll›¤› alt›nda, ifllenen konuyla do¤rudan ilgili al›fl-t›rmalarla ö¤renilenlerin, basit de olsa, günlük yaflamdaki baz› sorunlar›n çözü-münde kullan›larak verilen kavram ve tekniklerin pekifltirilmesi amaçlanm›flt›r.

Ünitelerin sonunda kendimizi s›nayal›m bafll›¤› alt›nda, ilgili ünitenin yan› s›-ra, önceki ünitelerde ö¤renilenleri de s›namaya yönelik, cevaplar› ünitenin sonun-da bulunan ve sizleri s›nava haz›rlamay› amaçlayan, çoktan seçmeli test türü soru-lar yer almaktad›r. Ancak çözüm için gerekli çabay› harcamadan cevaplara bakma-y›n›z. Unutmay›n›z ki ö¤renmek keflfetmek demektir. Özveri, sab›r ve çaba ister.Ö¤renebilmek için kaleminizi kullan›n›z. E¤er karfl›laflt›¤›n›z problemlerin çözü-münde güçlüklerle karfl›lafl›yorsan›z, ilgili konular› tekrar tekrar gözden geçiriniz.Örnek çözümleri ve al›flt›rmalar› yeniden çözünüz. Baflard›¤›n›z› göreceksiniz.

Elinizdeki kitap, genifl bir ekibin uzun süren çal›flmalar› sonucunda ortayaç›kan bir üründür. Bu ekibin oluflturulmas› ve çal›flmas›nda her türlü olana¤› sa¤-layan Anadolu üniversitesi Rektörü Prof.Dr.Engin ATAÇ’a ve genel koordinatörProf.Dr.Levend KILIÇ’›n flahs›nda kitab›n haz›rlanmas›nda tüm eme¤i geçenlere,editör ve yazarlar olarak teflekkür ederiz.

Prof.Dr. Ali Fuat YÜZER Mart 2003

Sunufl ix

xx Kul lan ›m K › lavuzu

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak: Ça-l›flma biçimiyle ilgili bölümde, ünite-de yeralan konular› daha iyi kavraya-bilmeniz için neler yapman›z gerekti-¤i maddeler halinde s›ralanmaktad›r.

endi kendine ö¤renmeilkelerine göre

haz›rlanm›fl olan bu kitab›nifllevlerini ö¤renmek içinhaz›rlanan “Kullan›mK›lavuzu”, konular›anlaman›zda ve s›navlarahaz›rlanman›zda sizlerefayda sa¤layacakt›r.

K

‹çerik Haritas›: ‹çerik haritas›, üniteiçinde yeralan ana konular› ve bukonulara ba¤l› alt düzey konular›gösterir.

Amaçlar›m›z: Amaçlar›m›zbölümünde, okudu¤unuz

ünite sonunda kazanaca¤›n›z bilgi vebeceriler sunulmaktad›r.

�

Amaç: Amaçlar›m›zbölümünde s›rala-nan sorular›n ya-

n›tlanmas› için gerekli bilgive becerilerin ifllendi¤i bö-lümleri gösterir.

3A M A �

Kul lan ›m K › lavuzu xi

Yanyaz›: Ünitenin içinde yer alan baz›önemli kavram ve bilgilere yöneliktan›m ya da aç›klamalar› sayfan›n yanbofllu¤unda bulabilirsiniz.

Örnek: Üniteler içinde çal›flt›¤›n›z konuyu dahaiyi kavraman›z, bilgi ve beceri kazanman›z›sa¤layacak, çok say›da örnek problem veçözümleri bulabilirsiniz.

Yan›t Anahtar›: Kendimizi s›nayal›mbölümlerinde yan›tlad›¤›n›z çoktanseçmeli sorular›n yan›tlar› kitab›n›z›nsonunda sunulmufltur.

Yararlan›lan Kaynaklar: Ünitelerde çal›flt›¤›n›z konu-larla ilgili baflvurabilece¤inizdi¤er kaynaklar kitab›n›z›nsonunda yer almaktad›r.

Kendimizi S›nayal›m: Ünitelerinsonunda, kendi kendinizi testedebilmenizi amaçlayan çoktanseçmeli sorular sunulmufltur. Busorular, s›navda karfl›laflt›¤›n›zsorularla ayn› türdendir.

S›ra Sizde: Herhangi birbafll›k alt›nda yap›lanaç›klamalar›n bitiminde

ya da aras›nda sizlerin aç›klanankonuyu kavray›p kavramad›¤›n›z›ölçmenize yard›mc› olmak içinsorulan sorulard›r.

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak:• Tüm kavramlar dikkatle gözden geçirilmeli,• Kavramlar aras› iliflkilere dikkat edilmelidir.

1

Temel Kavramlar 1

‹s tat ist ik2

Amaçlar:‹statisti¤in temel kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.Veri derleme kavram›n› aç›klayabilecek ve veri derleme türlerini s›n›fland›-rabileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• B‹R‹M, DE⁄‹fiKEN VE ‹STAT‹ST‹K KÜTLES‹ (ANA KÜTLE)

• Birim• De¤iflken (Özellik)• ‹statistik Kütlesi (Ana Kütle)

• VER‹ DERLEME • Birim Seçimi• De¤iflken ve fi›klar›n Belirlenmesi• Kütlenin S›n›fland›r›lmas›• Veri Derleme Türleri

��

G‹R‹fi‹statistik sözcü¤ü farkl› yaklafl›mlara göre de¤iflik anlamlar tafl›r. Günlük dilde is-tatistik ya da istatistikler denildi¤inde, belirli bir olaya iliflkin derlenmifl say›sal bil-giler akla gelir. Örne¤in, d›flal›m, d›flsat›m, turizm, inflaat istatistikleri ve benzerle-ri gibi.

Metodoloji aç›s›ndan istatistik sözcü¤ü, istatisti¤e konu olabilen olaylar›n göz-lenerek ilgili verilerin derlenmesi, ifllenmesi, analizi ve yorumlanmas›nda kullan›-lan tekniklerin tümünü ifade eder.

XX. yüzy›l›n bafllar›nda istatistik alan›ndaki geliflmeler, istatistik sözcü¤üne tek-nik içerikli yeni bir anlam kazand›rm›flt›r. Ba¤l› olarak istatistik sözcü¤ü, hakk›n-da bilgi edinilmek istenen ve ana kütle olarak isimlendirilen y›¤›na iliflkin say›salkarakteristikleri (parametreleri) tahminleyebilmek amac›yla, ilgili kütleden belirlikurallara göre seçilen istatistik birimlerinin oluflturdu¤u ve örneklem ad› verilentoplulu¤a iliflkin say›sal karakteristikler anlam›nda da kullan›lmaktad›r.

‹statistik de tüm di¤er bilim dallar› gibi olaylar› konu al›r. Olay varsa istatistikvard›r. Ancak her olay da istatisti¤e konu oluflturamaz. ‹statistik y›¤›n olaylarla il-gilenir. Y›¤›n olay, bir olaylar kümesinde tek bir olay›n di¤erlerini, ba¤l› olarak daait oldu¤u kümeyi temsil edemeyen olaylard›r. E¤er bir olaylar kümesinde tek birolay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa, bu tür olaylara tipik olay denir.Ancak istatistik tipik olaylarla ilgilenmez. Örne¤in, ideal koflullar alt›nda ve uygunbir laboratuvar ortam›nda iki hidrojen ve bir oksijen atomu bir araya getirilirse, suelde edilir. Bu deney ayn› koflullar alt›nda kaç kez tekrarlan›rsa tekrarlans›n, herdeneyin sonucunda su elde edilecektir. Görülece¤i gibi, bu örnekte tek bir deneyilgili deneyler kümesini temsil edebilmektedir. Dolay›s›yla bu olay tipik olayd›r.Ancak günlük yaflamdaki olaylar bu örnekteki olaya benzemez. Örne¤in, firmala-r›n y›ll›k cirolar›, trafik kazalar›, evlenmeler, boflanmalar, do¤umlar, ölümler vebenzeri gibi her gün karfl›lafl›lan olaylar, birer y›¤›n olay niteli¤indedir.

‹statistik, belirli amaç ya da amaçlar do¤rultusunda gözlenen y›¤›n olaylardanderlenen say›sal verilerin ifllenerek, ilgili olaylar›n oluflturdu¤u y›¤›nlar›n bilimselolarak incelenmesinde kullan›lan teknik ve yöntemler bilimi olarak tan›mlanabilir.

Tan›mdan da anlafl›labilece¤i gibi, çeflitli etkenlerin etkisini tafl›yan y›¤›n›n, ilgi-lenilen özellik ya da özelliklerinin ald›¤› de¤erler, rakamlarla ifade edilebilmelidir.

Günümüzde, istatistik, deney ya da gözlemlere dayal› tüm bilim dallar›nda, ge-nifl bir uygulama alan›na sahiptir.

Daha önce de de¤inildi¤i gibi, istatistik y›¤›n olaylar›n gözlenerek incelenme-si ve analizinde kullan›lan teknikler toplulu¤udur. ‹lgilenilen olay›n kavranabilme-si ve yap›lacak deney ya da gözlemlerin say›sal olarak analiz edilebilmesi için ön-celikle deney ya da gözlemlere konu olan olay›n ilgilenilen özellik ya da özellik-lerinin belirlenmesi, sonra da bunlar›n say›lmas› ya da ölçülmesi gerekir. Bu afla-maya, verilerin toplanmas› ya da verilerin derlenmesi ad› verilir.

Veriler derlenirken, ilgilenilen kütleye iliflkin birimler say›l›r ya da ölçülürken,öte yandan da bu birimlerin ilgilenilen özellik ya da özellikleri aç›s›ndan hangifl›klara sahip oldu¤u belirlenir ve kaydedilir.

Yukar›da de¤inilen kütle, birim, özellik ve fl›k kavramlar›, izleyen kesimlerdeyeterli ayr›nt›yla ele al›nacakt›r.

Ünite 1 - Temel Kavramlar 3

Bir olaylar kümesinde tek birolay kümedeki di¤er olaylar›temsil edemiyorsa, bu türolaylara y›¤›n olay denir veistatistik y›¤›n olaylar› konual›r.

‹statistik, belirlenen amaçya da amaçlar do¤rultusunda gözleneny›¤›n olaylardan derlenensay›sal verilerin ifllenerek,ilgili olaylar›n oluflturdu¤uy›¤›nlar›n bilimsel olarak incelenmesinde kullan›lanteknik ve yöntemler bilimidir.

B‹R‹M, DE⁄‹fiKEN VE ‹STAT‹ST‹K KÜTLES‹ (ANA KÜTLE)

‹statisti¤in temel kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.

BirimY›¤›n olay niteli¤indeki her olaya birim ad› verilir. Kolayl›kla anlafl›labilece¤i gibitüm canl› ve cans›z varl›klar birer istatistik birimidir. Ancak, maddesel bir varl›¤asahip olmayan olaylar ve sosyal kurumlar da birer istatistik birimi olabilirler. Birolay›n birim olabilmesi için, ölçülmeye ya da say›lmaya elveriflli olmas› gerekir.Ölçülemeyen ya da say›lamayan nesneler ve olaylar istatistiksel anlamda birimoluflturamazlar. Örne¤in; insan, bina, araba ve hayvan gibi canl› ve cans›z varl›k-lar istatistik birimleridir. Öte yandan, do¤um, ölüm, evlenme, iflas ve trafik kaza-s› gibi olaylar da birim oluflturabilirler. Ancak sevinçler, korkular, rüyalar ve renk-ler say›lamad›klar› ya da ölçülemedikleri için birim olamazlar.

Birim Türleri Birimler farkl› ölçütlere göre s›n›fland›r›labilirler. ‹zleyen paragraflarda birimlerinmaddesel bir varl›¤a sahip olup olmamalar›na, ömür sürelerine, do¤al olup olma-d›klar›na ve gerçek ya da varsay›msal olufllar›na göre s›n›fland›r›larak k›saca eleal›nacakt›r.

Maddesel Bir Varl›¤a Sahip Olan ya da Olmayan Birimler E¤er birimler insan, araba ve benzeri gibi canl› ya da cans›z maddesel bir varl›¤asahipse, bu tür birimlere, maddesel varl›¤a sahip birimler ad› verilir. E¤er birim-ler, do¤um, ölüm, trafik kazas› ve benzeri gibi olay niteli¤indeyse bu tür birimle-re de maddesel varl›¤a sahip olmayan birimler ad› verilir.

Sürekli ya da Ani Birimler ‹statisti¤in ilgi alan›na giren olaylar, do¤al olarak, s›n›rl› bir ömre sahiptir. Belirlibir zaman aral›¤› içinde herhangi bir anda gözlenebilen istatistik birimlerine sü-rekli birimler ad› verilir. Örne¤in; insan, bina, ticari bir kurulufl ve benzerleri gi-bi. Bu tür birimler varl›klar›n› sürdürdükleri süre içinde herhangi bir anda göz-lemlenebilirler. Dolay›s›yla bu tür birimler, istenilen bir zamanda yap›lacak bir sa-y›m için uygun bir ortam olufltururlar. Maddesel bir varl›¤a sahip birimler süreklibirimlerdir.

Öte yandan; evlenme, boflanma, trafik kazas› gibi bir olay ya da bir fiil biçi-minde ortaya ç›kan birimler, oldukça k›sa ömürlüdürler. Ani birimler olarakisimlendirilen bu tür birimler, zaman içinde da¤›lm›fl olarak ortaya ç›karlar. Ko-layl›kla anlafl›labilece¤i gibi, “ani birimler” maddesel bir varl›¤a sahip olmayanbirimlerdir.

Do¤al ya da Do¤al Olmayan Birimler Nitelikleri aç›s›ndan bir bütün oluflturan, parçalanmalar› yada birlefltirilmeleri ha-linde niteliklerini kaybeden birimlere “do¤al birim” ad› verilir. Örne¤in bir canl›parçaland›¤›nda, canl› olma niteli¤ini kaybeder ve her parça da daha küçük bircanl› oluflturmaz. Bir TV al›c›s› ya da bir otomobil için de durum ayn›d›r. Öte yan-dan, iki ö¤renci bir araya getirilerek, daha uzun boylu, daha a¤›r ya da daha ze-

‹s tat ist ik4

A M A �

1

Bir nesne ya da olay›n, birimolabilmesi için, ölçülmesi yada say›lmas› yeterlidir.

ki bir ö¤renci oluflturulamaz. Kolayl›kla anlafl›labilece¤i gibi, do¤al birimler biraraya getirilerek ya da parçalanarak ayn› nitelikte birimler elde edilemezler.

Nitelikleri aç›s›ndan bir bütün olma özelli¤i göstermeyen birimlere do¤al ol-mayan birim ad› verilir. Bu tür birimlerin, birlefltirildikleri ya da parçaland›klar› za-man, nitelikleri de¤iflmez. Örne¤in bir arsa bir kaç parçaya bölünürse, daha kü-çük arsalar ortaya ç›kar. Arsan›n, arsa olma niteli¤i de¤iflmez.

Gerçek ya da Varsay›msal Birimler Gerçekte var olan birimlere “gerçek birim” ad› verilir. Bir birimin gerçek birimolabilmesi için mutlaka maddesel bir varl›¤a sahip olmas› gerekmez. Örne¤in; ev,arsa, insan, bisiklet gibi maddesel bir varl›¤a sahip birimler gerçek birimlere ör-nek olufltururken, do¤um, ölüm, evlenme, iflas gibi olay ya da fiil biçiminde or-taya ç›kan birimler de gerçek birimlerdir. Bir birimin, gerçek birim olabilmesi için,ortaya ç›km›fl olmas› yeterlidir.

Öte yandan kuramsal olarak oluflturulabilecek birimler de söz konusudur. Ör-ne¤in on ö¤renci aras›ndan, üçer ö¤renciden oluflacak her grup da bir birim ola-rak görülebilir. Bu tür birimlere de “varsay›msal birimler” ad› verilir.

De¤iflken (Özellik) ‹statistik birimlerinin sahip olduklar› özellikler birer de¤iflken olarak görülebilir.Örne¤in bir ö¤renci grubu göz önüne al›nd›¤›nda, bu ö¤rencilerin do¤um yerleri,yafllar›, a¤›rl›klar› ve boy uzunluklar› ayn› de¤ildir. Ö¤renciden ö¤renciye de¤iflir.Bu özelliklerin farkl› ortaya ç›k›fl biçimlerine, baflka bir anlat›mla de¤iflkenlerin al-d›klar› de¤erlere ise “fl›k” ad› verilir.

Yukar›da sözü edilen ö¤renci grubunun boy uzunluklar› ve a¤›rl›klar›yla ilgi-lenilecekse, boy uzunlu¤u ve a¤›rl›k “de¤iflkenleri (özellikleri)”, her ö¤rencininayr› ayr› boy uzunlu¤u ve a¤›rl›¤› da bu de¤iflkenlere iliflkin “fl›klar›” oluflturur.

De¤iflken (Özellik) Türleri De¤iflkenler de farkl› ölçütler esas al›narak s›n›fland›r›labilir. Ancak bu ünitede de¤ifl-kenler zaman, mekan ve maddesel de¤iflkenler bafll›klar› alt›nda s›n›fland›r›lacakt›r.

E¤er bir de¤iflkenin fl›klar› mekana göre olufluyorsa, bu tür de¤iflkenlere “me-kan de¤iflkeni”, zamana göre olufluyorsa bu tür de¤iflkenlere de “zaman de¤iflke-ni” ad› verilir. Mekan ve zaman de¤iflkenleri d›fl›ndaki tüm de¤iflkenlere ise “mad-desel de¤iflken” ad› verilir. Örne¤in; do¤um yeri ve üniversitelerin bulunduklar›flehirler mekan de¤iflkenlerine, do¤um y›l› ve üniversitelerin kurulufl y›llar› da za-man de¤iflkenlerine örnekler oluflturur. Öte yandan, insanlar›n medeni durumu,bir iflletmedeki birim de¤iflken maliyetler ve bir s›n›fta belirli bir dersten al›nannotlar da maddesel de¤iflkene örnekler oluflturur.

‹statistik Kütlesi (Ana Kütle)Y›¤›n olay niteli¤inde ve ayn› cins birimlerin oluflturdu¤u toplulu¤a “istatistikkütlesi” ya da “ana kütle” ad› verilir. Ancak, bir istatistik kütlesinden söz edebil-mek için, öncelikle kütleyi oluflturan birimlerin, ayn› genel nedenlerin etkisindeolmas› gereklidir. Ayr›ca kütle, istatistik birimlerinin toplam›ndan farkl› bir yap›-ya da sahip olmamal›d›r. Bir ülkede yaflayan insanlar, belirli bir bölgedeki evler,bir y›l süresince belirli bir yerleflim merkezinde gözlenen do¤umlar, ölümler, tra-fik kazalar›, istatistik kütlesi için örnekler oluflturur. Ancak, Anadolu Üniversite-si, ö¤renci ve ö¤retim üyelerinden oluflmufl bir istatistik kütlesi olarak de¤erlen-

Ünite 1 - Temel Kavramlar 5

‹statistik birimlerinin sahipoldu¤u özelliklere“de¤iflken”, de¤iflkenlerinald›klar› de¤erlere ise “fl›k”ad› verilir.

Y›¤›n olay niteli¤indeki ayn›cins birimlerin oluflturdu¤utoplulu¤a “ana kütle” ad›verilir.

dirilemez. Üniversite, ö¤renci ve ö¤retim üyelerinin toplam›ndan farkl›, tüzel ki-flili¤e sahip bir varl›kt›r.

Kütle Türleri‹statistik kütlelerini de, kütleyi oluflturan birimlerin niteliklerine göre s›n›fland›r-mak mümkündür. Böyle bir s›n›fland›rma afla¤›da ana çizgileriyle ele al›nm›flt›r.

Gerçek ya da Varsay›msal Kütleler Gerçek birimlerin oluflturduklar› kütlelere, “gerçek kütle” ad› verilir. Bir üniversi-tenin ö¤rencileri, bir yerleflim merkezinde bir y›lda gözlenen trafik kazalar› ve do-¤um olaylar›n›n oluflturduklar› kütleler, gerçek kütlelere örnek olufltururlar.

Henüz oluflmam›fl, ancak oluflturulmas› mümkün olan kütlelereyse “varsay›m-sal kütle” ad› verilir. Kolayl›kla görülebilece¤i gibi varsay›msal kütleler, varsay›m-sal birimlerim oluflturdu¤u kütlelerdir. Örne¤in, 30 kiflilik bir s›n›ftan rasgele seçi-lecek 5 kiflilik bir grup için farkl› seçim yap›labilir. 142.506 farkl› 5kiflilik gruplar›n oluflturdu¤u kütle varsay›msal bir kütledir.

Sonlu ya da Sonsuz Kütleler E¤er bir kütledeki birimler sonlu say›daysa baflka bir anlat›mla say›labiliyorsa, butür kütlelere “sonlu (belirli)”, kütleyi oluflturan birim say›s› say›lam›yorsa, bu türkütlelere de “sonsuz (belirsiz)” kütle ad› verilir. Örne¤in, bir ülkede yaflayan in-sanlar›n say›s› say›labilece¤inden bu ülkede yaflayan insanlar›n oluflturdu¤u kütlesonlu bir kütledir. Marmara Denizinde yaflayan canl›larsa say›lamayacaklar› içinsonsuz bir kütle olufltururlar.

Sürekli ya da Süreksiz Kütleler Parçaland›klar› ya da birlefltirildikleri zaman, niteliklerini kaybettikleri için, do¤albirimlerden oluflan kütleler süreksiz, parçaland›klar› ya da birlefltirildiklerinde, ni-teliklerini kaybetmedikleri için de do¤al olmayan birimlerden oluflan kütlelerse,sürekli kütleler olufltururlar.

Zaman ve mekan birimleri do¤al birimler olmad›klar› için, her zaman süreklikütleleri olufltururlar.

1. Günümüzde istatisti¤in hangi nedenlerle genifl bir uygulama alan›na sahip oldu¤unuaç›klay›n›z.

2. ‹statistik ne tür olaylarla ilgilenir, nedenleriyle aç›klay›n›z.

3. Maddesel varl›¤› olmayan trafik kazas›, do¤um, evlenme ve grev gibi olaylar›n niçinbirim olabildiklerini aç›klay›n›z.

VER‹ DERLEME

Veri derleme kavram›n› aç›klayabilecek ve veri derleme türlerinis›n›fland›rabileceksiniz.

Veri derleme; belirlenen amaçlar do¤rultusunda gözlemlenecek birimlerin ölçül-mesi ya da say›lmas›, sonra da bunlar›n, ilgilenilen de¤iflkenlere göre, hangi fl›k-lara sahip oldu¤unun belirlenmesi ve kaydedilmesi ifllemlerini içerir.

C 30 5 = 142.506

‹s tat ist ik6

SIRA S ‹ZDE

A M A �

2

Yukar›daki tan›mdan da anlafl›labilece¤i gibi, belirlenen amaçlar do¤rultusun-da istatistiksel bir çal›flma bafllat›l›rken, öncelikle araflt›rma konusuna uygun biri-min ve ilgilenilen de¤iflken ya da de¤iflkenlerin dikkatli bir biçimde belirlenmesigerekir.

Birim SeçimiBelirlenen amaç ya da amaçlar do¤rultusunda, ilgilenilen y›¤›n olay›n tan›mlan-mas›yla “birim seçme” ifllemi gerçeklefltirilmifl olur. Baflka bir anlat›mla, kimlerinya da nelerin gözlenece¤i belirlenir. Ancak birim seçilirken, amaca uygunluk veuygulanabilirlik özelliklerinin öncelikle göz önünde bulundurulmas› gerekir. Bu-nun için de birim belirlenirken, birim tan›m›n›n kesin, amaca uygun ve uygulama-ya elveriflli olmas› gerekir.

Tan›m›n kesin olmas›, uygulamac›larca ilgilenilen y›¤›n olaya iliflkin ayn› fleyinanlafl›lmas›, baflka bir anlat›mla kuflkulara yer açmayacak biçimde aç›k olmas›d›r.

Tan›m›n kesin olmas›n›n yan› s›ra, tan›m›n amaca uygunlu¤u ve kolayl›kla uy-gulanabilirli¤i de gözden uzak tutulmamal›d›r.

De¤iflken ve fi›klar›n BelirlenmesiAç›kt›r ki, bir kütleyi oluflturan istatistik birimleri üzerinde bir çok de¤iflken tan›m-lanabilir. Veri derlenirken sadece belirlenen amaçlar do¤rultusundaki de¤iflkenlergöz önünde tutulmal›d›r. Uygulamalarda fazla ayr›nt› sorunlara neden olabilir.

Öte yandan uygulamalarda gözlem say›s› kesinlikle sonlu bir say› olacakt›r.Ayr›ca, gözlemlere ba¤l› olarak ilgili de¤iflkenlerin alacaklar› de¤erler de (fl›klarda) ilgili de¤iflken sürekli ya da süreksiz olsun, sonlu olacakt›r.

fi›klar belirlenirken, gözden uzak tutulmamas› gereken önemli bir nokta dagözlemlerde kullan›lan ölçü biriminin araflt›rman›n do¤as›na uygun olmas› gere¤i-dir. Örne¤in; ayçiçek ya¤› üreten bir firman›n, ayl›k üretimi için kilo, flifle, tenekeya da ton makul ölçülerken, bir sarraf›n bir günde satt›¤› bilezikler için gram uy-gun bir ölçü olur.

Kütlenin S›n›fland›r›lmas›Bir istatistiksel araflt›rma planlan›rken, araflt›rman›n nerede, kimlerle ve nelerlegerçeklefltirilece¤i, ne kadar zamanda tamamlanaca¤› ve araflt›rma için ayr›lankaynaklar, ayr›ca gözlem say›s›n›n sonlu olmas›, kütlenin mekan ve zaman aç›s›n-dan s›n›rland›r›lmas›n› zorunlu k›lar.

Baflar›l› bir s›n›rland›rma uygulamac›lara büyük kolayl›k sa¤lar.

Veri Derleme TürleriVeri derleme süreci kabaca, sürekli ya da ani ve k›smi ya da genel olmak üzereiki bafll›k alt›nda toplanabilir.

Ani ya da Sürekli Veri Derleme E¤er gözlemlenecek kütledeki birimler sürekli karakterdeyse, istenilen bir andagözlenmeye haz›r olan bu tür birimlerin gözlenmesi ya da kaydedilmesi ifllemle-rine “ani veri derleme” denir. Nüfus say›mlar› ve ifl yeri say›mlar› bu tür veri der-lemeye örnek oluflturur.

E¤er ilgilenilen kütle ani birimlerden oluflmuflsa (bu tür birimler zamana yay›l-d›¤›ndan), belli bir zaman aral›¤›nda gözlenmeleri ve kaydedilmeleri gerekir. Butür ifllemlere “sürekli veri derleme” denir. Belirli bir bölgede ve zaman aral›¤›nda

Ünite 1 - Temel Kavramlar 7

evlenmeler, boflanmalar, trafik kazalar›, do¤umlar ve ölümlere iliflkin derlenen ve-riler, bu tür veri derlemeye örnek oluflturur.

Genel ya da K›smi Veri Derleme Hakk›nda bilgi edinilmek istenen kütlenin tamam›n›n gözlenmesine “genel veriderleme” ad› verilir. Genel nüfus ve tar›m say›mlar› birer genel veri derlemedir.Aç›kt›r ki, bu tür veri derleme hem pahal› hem de güçtür. Öte yandan, genel ve-ri derlemede bilgi edinilmek istenen kütlenin zaman içindeki de¤iflim h›z› daönem tafl›r. E¤er kütlenin de¤iflimi, araflt›rmada öngörülen zaman içinde sonuçla-r› etkileyebilecek düzeydeyse, genel veri derleme kendisinden beklenen yararlar›sa¤layamayaca¤› için tercih edilmemelidir. Ayr›ca gözlem ya da deneyler, gözlen-dikleri anda fiziksel zararlara u¤ruyorsa, böyle durumlarda da genel veri derlemeuygulanamaz. Örne¤in, yeni bir teknolojiyle üretilen top mermilerinin hedef üze-rindeki etkilerinin denenmesi gibi. Harcanan her mermi yok olaca¤›ndan, isteni-len sonuçlara ne derece ulafl›ld›¤›, ancak üretilen mermilerin bir k›sm›n›n denen-mesiyle araflt›r›labilir. Elbette ki genellemelerin yap›labilmesi için, denenecekmermilerin belirli kurallara göre seçilmesi gerekir.

Hakk›nda bilgi edinilmek istenen kütleyi oluflturan birimler aras›ndan, belirle-nen amaçlar do¤rultusunda yaln›zca bir k›sm›n›n seçilip gözlenmesine, “k›smi ve-ri derleme” ad› verilir.

K›smi veri derleme, genel veri derlemenin pahal› oluflu, zaman al›fl›, gözlembirimlerinin fiziksel zarara u¤ramas› gibi nedenlerle yap›lmak istenmedi¤i zamanuygulan›r.

An›msanaca¤› gibi belirlenen amaçlar do¤rultusunda hakk›nda bilgi edinilmekistenen y›¤›n›n tümüne ana kütle (ya da sadece kütle) ad› verilir. Bir ana kütle-den uygun tekniklerle seçilen birimlerin oluflturdu¤u toplulu¤aysa “örneklem”ad› verilir.

Belirlenen amaçlar uyar›nca bir örneklem oluflturulurken, örne¤i oluflturmakiçin seçilen tekni¤e göre de k›smi veri derleme, rassal ve iradi olama üzere iki k›s-ma ayr›l›r. Konu örnekleme bölümünde ayr›nt›lar›yla ele al›naca¤›ndan, buradasadece tan›mlarla yetinilecektir.

E¤er örneklem seçilirken, ana kütledeki birimlerin hepsine örnekleme girebil-mek için eflit flans verilirse oluflturulan örnekleme, “rassal örneklem” ad› verilir.E¤er, bir örneklem oluflturulurken, kütledeki tüm birimlere eflit seçilme flans› ve-rilmez, örne¤e girmesi mümkün birimler aras›nda fark gözetilirse, “iradi örnekle-me” yap›lm›fl olur.

1. Veri derleme kavram›n› aç›klay›n›z.

2. Birim seçilirken dikkat edilmesi gereken noktalar› aç›klay›n›z.

3. Bir istatistik kütlesi hangi nedenlerle s›n›rlanmak zorundad›r, aç›klay›n›z.

‹s tat ist ik8

Ana kütleden uyguntekniklerle seçilen birimlerinoluflturdu¤u alt toplulu¤a“örneklem” ad› verilir.

S IRA S ‹ZDE

9

Kendimizi S›nayal›m1. Afla¤›dakilerden hangisi istatistik birimi olarak al›namaz?

a. Co¤rafi bölgeb. Do¤umc. Kokud. Boykote. Aile

2. Afla¤›dakilerden hangisi ani birimdir?a. Ö¤rencib. Ailec. Derslikd. Kavgae. Evli çiftler

3. Afla¤›dakilerden hangisi sürekli bir de¤iflkendir? a. Medeni halb. Do¤um y›l›c. Bir ülkede yaflayanlar›n say›s› d. Ülkelerin yüzölçümüe. Apartmanlar›n daire say›s›

4. Afla¤›dakilerden hangisi maddesel bir de¤iflkendir?a. Do¤um tarihib. Medeni halc. Do¤um yerid. ‹flletmelerin kurulufl yerie. Günün saatlerine göre ortalama s›cakl›k

5. Birimlerle ilgili afla¤›da verilen ifadelerden hangisiyanl›flt›r?

a. Tüm olaylar istatistik birimi olufltururlar.b. Canl› ve cans›z varl›klar istatistik birimi olabilirler.c. Birimin mutlaka maddesel bir varl›¤a sahip olma-

s› gerekmez.d. Say›lamayan ya da ölçülemeyen olaylar ya da nes-

neler birim olamazlar.e. Maddesel bir varl›¤a sahip birimler, sürekli birimlerdir.

6. Afla¤›dakilerden hangisi do¤al birim de¤ildir?

a. Otomobilb. Ö¤rencic. Banknotd. Kitape. Uzunluk

7. Kütlelere iliflkin afla¤›daki ifadelerden hangisido¤rudur?

a. Do¤al birimlerden oluflan kütleler süreklidir.b. Bir istatistik kütlesi, istatistik birimlerinin topla-

m›ndan farkl› bir yap›ya sahip olabilir.c. Zaman birimlerinden oluflan kütleler, süreksiz

kütlelerdir.d. Mekan birimlerinden oluflan kütleler, sürekli

kütlelerdir.e. Do¤al olmayan birimlerden oluflan kütleler sürek-

siz kütlelerdir.

8. Afla¤›daki olaylardan hangisi ani veri derlemeye konuoluflturur?

a. Nüfus say›m›b. Belirli bir yerde ve zaman aral›¤›ndaki do¤umlarc. Belirli bir yerde ve zaman aral›¤›ndaki iflaslard. Belirli bir yerde ve zaman aral›¤›ndaki boflanmalare. Belirli bir yerde ve zaman aral›¤›ndaki grevler

9. Belirlenen amaçlar do¤rultusunda hakk›nda bilgi edi-nilmek istenen y›¤›n›n tümüne ne ad verilir?

a. Toplulukb. Örneklemc. Grupd. Örneke. Ana Kütle

10. Afla¤›dakilerden hangisi varsay›msal kütledir?a. Bir kütüphanedeki kitaplarb. Bir üniversitedeki ö¤rencilerc. Belirli bir bölgede ve zaman aral›¤›nda oluflan

trafik kazalar›d. 30 kiflilik bir s›n›ftan rasgele seçilecek farkl› dör-

der kiflilik ö¤renci gruplar›e. Bir fakültedeki ö¤retim üyeleri

Ünite 1 - Temel Kavramlar

10

Yan›t Anahtar›1. c2. d3. d4. b5. a6. e7. d8. a9. e

10. d

Yararlan›lan KaynaklarAVRAO⁄LU, Zeki: ‹statistik, 2. Bask›, Ankara ‹ktisadi

ve Ticari ‹limler Akademisi Yay›n› 14, Ankara, 1977.ÇÖLMEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknik-

leri, 2. Bask›, Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1994. GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araflt›rma Metodla-

r›, ‹stanbul Üniversitesi Yay›nlar›, No 2265, ‹stanbul,1977.

ÖZMEN, Ahmet: Uygulamal› Araflt›rmalarda Ör-nekleme Yöntemleri, Anadolu Üniversitesi Ya-y›nlar›, No 1257, Eskiflehir, 2000.

SERPER, Özer: Uygulamal› ‹statistik I, Filiz Kitabevi,‹stanbul, 1986.

TURANLI, M. GÜR‹fi, S. AYAYDIN, A.: ‹statistik TemelKavramlar ve Uygulamalar, M. Ü. Nihad SayarE¤itim Vakf› Yay›nlar›, No 452-685, ‹stanbul, 1993.

‹s tat ist ik

Bafllang›çta ilgi alan› astronomi idi. Airy’nin hatalar teorisi üzerinde çal›fl›rken, istatis-

ti¤e ilgisi artm›flt›r.

1919’da rassall›k kavram›na iliflkin çal›flmalar› s›ras›nda varyans analizini, 1921’de de Li-

kelihood (Benzerlik) kavram›n› gelifltirmifltir.

1921’de kuramsal yap›y› önde tutarak, istatisti¤e iliflkin yeni bir tan›m vermifltir.

Sonraki y›llarda küçük örneklemler için uygun yöntemler gelifltiren Fisher, modern istatis-

ti¤in kurucular›ndan biri olarak görülür.

RONALD AYLMER FISHER (1890-1962)

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak • Ünite dikkatle gözden geçirilmeli,• Örnekler dikkatle incelenmelidir.

11

‹statistik Serileri(Frekans Da¤›l›mlar›)2

AmaçlarGözlem de¤erlerinden hareketle istatistik serileri oluflturabileceksiniz.‹statistik serilerinin grafiklerini çizebileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• SER‹ TÜRLER‹

• Zaman ve Mekan Serileri• Da¤›lma Serileri• Birikimli Seriler• Bileflik Seriler

• SER‹LER‹N GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹• Frekans Serilerinin Grafikle Gösterilmesi• S›n›fland›r›lm›fl Serilerin Grafikle Gösterilmesi• Birikimli Serilerin Grafikle Gösterilmesi• Bileflik Serilerin Grafikle Gösterilmesi

12 ‹stat ist ik

��

G‹R‹fiDerleme sonucunda elde edilen veriler, bir veri y›¤›n› oluflturur. Böyle bir y›¤›n-dan belirlenen amaçlar do¤rultusunda ihtiyaç duyulan bilgilerin elde edilebilme-si, ancak verilerin belirli esaslara göre düzenlenmesiyle mümkün olur. Bunun içinde ilk akla gelen, verileri büyüklüklerine göre s›ralamakt›r. Böyle bir s›ralama so-nucu elde edilen rakamlar dizisine, istatistik serisi ad› verilir.

Bir istatistik serisi gözlem amaçlar›na uygun de¤iflken ya da de¤iflkenlerin al-d›klar› de¤erlerden (fl›klardan) olufltu¤u için ilgilenilen y›¤›n olay›n gerek yap›s›,gerek de¤iflimlerine iliflkin ayr›nt›l› ipuçlar› içerir. Bu nedenle de istatistik serileri,ilgili y›¤›n olay›n kavranmas› aç›s›ndan etkin bir araç olup, istatistik analizlere te-mel oluflturur.

SER‹ TÜRLER‹

Gözlem de¤erlerinden hareketle istatistik serileri oluflturabile-ceksiniz.

De¤iflik ölçütler temel al›narak istatistik serileriyle ilgili farkl› s›n›fland›rmalar yap-mak mümkündür. Ancak bu ünitede, zaman serileri ayr› bir ünitede ele al›naca-¤›ndan, zaman ve mekan serilerine k›saca de¤inilecek, da¤›lma serileri de yeterliayr›nt›yla ele al›nacakt›r.

Zaman ve Mekan SerileriE¤er gözlem sonuçlar› y›l, ay, hafta, gün ya da saat gibi bir zaman de¤iflkenininfl›klar›na göre s›ralan›rsa, oluflturulan seriye “zaman serisi” ad› verilir. Y›llara göreülke nüfuslar› ve belirli bir noktada günün saatlerine göre trafik yo¤unlu¤u, bu türserilere örnek olarak gösterilebilir. Afla¤›daki tabloda, zaman serilerine örnek ola-rak, Eskiflehir ilindeki aylara göre ortalama s›cakl›klar verilmifltir:

Aylar Ortalama S›cakl›k (C°)

OCAK -1.5

fiUBAT 1.3

MART 4.9

N‹SAN 10.4

MAYIS 15.1

HAZ‹RAN 18.8

TEMMUZ 21.4

A⁄USTOS 21.2

EYLÜL 17.1

EK‹M 12.0

KASIM 6.7

ARALIK 2.2

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › ) 13

A M A �

1

Genifl anlamda istatistikserileri, gözlem de¤erlerininbüyüklüklerine göre s›ralanmas›yla oluflturulur.

Tablo 2.1 Eskiflehirilindeki aylara göreortalama s›cakl›klar(72 y›ll›k gözlemortalamalar›).

Kaynak: Türkiye ‹statistik Y›ll›¤› 2000.

E¤er gözlem sonuçlar› ülke, bölge, flehir ya da köy gibi bir mekan (yer) de¤ifl-keninin fl›klar›na göre s›ralan›rsa, elde edilen seriye “mekan serisi” ad› verilir. fie-hirlere göre elektrik tüketimi, bölgelere göre tah›l üretimi bu tür serilere örnekolarak gösterilebilir.

Afla¤›daki tabloda, mekan serisine örnek olarak, baz› illerin denizden yüksek-likleri verilmifltir:

‹ller Denizden

Yükseklik (m)

ANKARA 891

BALIKES‹R 147

ÇANAKKALE 6

D‹YARBAKIR 677

ESK‹fiEH‹R 801

GAZ‹ANTEP 855

‹ZM‹R 29

KARS 1755

MU⁄LA 646

R‹ZE 9

S‹VAS 1285

TRABZON 30

VAN 1661

ZONGULDAK 137

Da¤›lma SerileriGözlem sonuçlar›n›n maddesel bir de¤iflkenin fl›klar›na göre s›ralanmas›yla olufl-turulan serilere, “da¤›lma serileri” ad› verilir. Da¤›lma serileri ana çizgileriyle nicelve nitel da¤›lma serileri olmak üzere ikiye ayr›l›r. Ancak bu ünitede, ifllemlere el-veriflli olmas› nedeniyle sadece nicel da¤›lma serileri ele al›nacakt›r. Nicel da¤›lmaserileri de basit seriler (diziler), frekans serileri ve s›n›fland›r›lm›fl (grupland›r›lm›fl)seriler olmak üzere üç alt bafll›k alt›nda incelenebilir.

E¤er derlenen veriler ilgilenilen konunun d›fl›nda baflka bir yönde, örne¤in;gözlem s›ras›na göre s›ralanm›flsa, bu s›ralamaya “liste” ad› verilir. Aç›kt›r ki, der-lenen verilerden ihtiyaç duyulan bilgilerin bir liste yard›m›yla elde edilmesi verisay›s› artt›kça giderek zorlafl›r. Çünkü, her aflamada listedeki sonuçlar›n tekrartekrar gözden geçirilmesi gerekir.

Konunun kolayl›kla anlafl›labilmesi için, derlenen verilerden hareketle s›ras›y-la basit, frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerin elde edilmeleri afla¤›daki örnek temelal›narak gösterilecektir.

14 ‹stat ist ik

Tablo 2.2 Baz› illerindenizden yükseklikleri.

Kaynak: Türkiye ‹statistik Y›ll›¤› 2000.

E¤er gözlem sonuçlar›, birzaman de¤iflkenininfl›klar›na göre s›ralan›rsazaman, mekan de¤iflkenininfl›klar›na göre s›ralan›rsamekan, zaman ve mekande¤iflkenlerinin d›fl›nda birde¤iflkenin fl›klar›na göres›ralan›rsa da¤›lma serilerielde edilir.

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

ÇÖ

ZÜ

M

Tablo 2.3’de bir do¤um evinde do¤an 100 bebe¤in a¤›rl›klar›, do¤um s›ra-s›na göre verilmifltir:

Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›kS›ras› (kg) S›ras› (kg) S›ras› (kg) S›ras› (kg)001 2.0 026 3.0 051 2.3 076 1.8002 2.5 027 2.0 052 2.8 077 2.8003 2.6 028 3.3 053 2.5 078 2.7004 1.7 029 3.5 054 2.7 079 2.8005 2.6 030 2.6 055 1.7 080 1.9006 2.8 031 3.5 056 2.7 081 3.0007 2.5 032 1.7 057 2.0 082 2.5008 1.5 033 2.8 058 3.0 083 2.7009 2.5 034 3.1 059 2.4 084 3.2010 2.7 035 2.3 060 2.2 085 2.6011 2.3 036 3.1 061 2.6 086 2.1012 3.0 037 2.9 062 2.5 087 2.8013 2.4 038 2.5 063 1.6 088 2.3014 1.9 039 2.5 064 2,8 089 2.7015 3.2 040 2.7 065 2.5 090 3.2016 2.2 041 2.6 066 3.0 091 2.6017 3.4 042 2.2 067 2.8 092 1.9018 2.7 043 2.8 068 2.7 093 3.1019 3.5 044 2.1 069 1.9 094 2.5020 1.8 045 2.1 070 2.6 095 2.8021 3.5 046 2.4 071 2,4 096 2.7022 2.5 047 2,8 072 3.1 097 2.6023 2.8 048 2.5 073 2.2 098 2.5024 2.3 049 2.7 074 3.1 099 2.9025 2.9 050 2.6 075 2.5 100 2.3

Tablo 2.3’de do¤an bebeklerin a¤›rl›klar› do¤um s›ras›na göre kaydedildi¤inden,oluflturulan tablo bir liste niteli¤indedir.fiimdi bu listeden yararlanarak, 3.2 kg’›n üzerinde kaç bebe¤in do¤du¤u araflt›r›ls›n.

Verilen listenin incelenmesiyle gözlem (do¤um) s›ras›na göre, 017, 019, 021, 028,029 ve 031’inci s›rada do¤an bebeklerin 3.2 kg’›n üzerinde oldu¤u görülür. Ancakbu sonuca ulaflabilmek için, listenin en az bir kez bafltan sona kadar gözden ge-çirilmesi gerekir.

E¤er liste belirlenen amaçlar do¤rultusunda düzenlenirse, baflka bir anlat›mlabir frekans da¤›l›m› oluflturulursa, istenilen sonuçlara daha k›sa zamanda ulafl›la-bilir. Örne¤in 3.2 kg’dan daha a¤›r do¤an bebek say›s›na, tüm veriler gözden ge-çirilmeden kolayl›kla ulafl›labilir. Böyle bir s›ralama sonucu elde edilen istatistikserisine “basit seri” ad› verilir.

100 bebe¤in a¤›rl›klar› hafiften a¤›ra do¤ru s›ralanarak oluflturulan basit seriafla¤›da Tablo 2.4’de verilmifltir.

15

Ö R N E K 1

Tablo 2.3 Bebeka¤›rl›klar› (kg)(Liste).

A¤›rl›k (kg)

1.5 1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2,8 2,9 3,1

1.6 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2

1.7 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2

1.7 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2

1.7 2.1 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,3

1.8 2.1 2.3 2.5 2.6 2.7 2.7 2,8 3,0 3,4

1.8 2.1 2.3 2.5 2.6 2.7 2.8 2,8 3,1 3,5

1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,8 3,1 3,5

1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 3,1 3,5

1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 3,1 3,5

Tablo 2.4 yard›m›yla, yap›lan gözlemler çerçevesinde en a¤›r do¤an bebekle-rin say›s›n›n 4 oldu¤u bir bak›flta kolayl›kla görülebilir.

E¤er en a¤›r do¤an bebekler de¤il de örne¤in 2.5 kg do¤an bebeklerin say›s›ylailgilenilirse, 2.5 kg do¤an bebek say›s› tablodan tek tek say›larak elde edilebilecektir.

Aç›kça görülebilece¤i gibi gözlem say›s› artt›kça, istenilen bilgilere ulaflmak dagiderek zorlaflacakt›r.

Tablo 2.4 incelendi¤inde, gözlem de¤erlerindeki tekrarlar dikkat çekecektir.Verilerin daha kolay kavranmas› aç›s›ndan, gözlem de¤erlerinin yan›na gözlemde¤erinin kaç kez tekrarland›¤› kaydedilerek oluflturulan seriye “frekans serisi”,tekrarlara da “frekans” ad› verilir.

Tüm bu sözü edilenler do¤rultusunda oluflturulan frekans serisi afla¤›da verilmifltir:

A¤›rl›k (kg) FrekansX f1.5 11.6 11,7 31.8 21.9 42.0 32.1 32.2 42.3 62.4 42.5 142.6 102.7 112.8 122.9 33,0 53.1 53.2 33.3 13.4 13.5 4

Toplam Frekans 100

16 ‹stat ist ik

Tablo 2.4 Bebeka¤›rl›klar› (BasitSeri).

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

Yukar›daki frekans serisinden, örne¤in 2.5 kg do¤an bebeklerin say›s›n›n 14oldu¤u bir bak›flta görülebilmektedir.

Frekans serilerinin basit serilere göre kavranmalar› daha kolay olmakla birlik-te, yine de ayr›nt›l›d›r. Aç›kt›r ki, gözlem say›s› artt›kça bu tür serilerinde kavran-malar› giderek zorlafl›r.

Deney ya da gözlem say›lar› çok iken, deney ya da gözlem sonuçlar›n›n belir-li aral›klar (s›n›flar) içinde kalan fl›klara göre düzenlenmesiyle oluflturulan istatis-tik serisine s›n›fland›r›lm›fl ya da grupland›r›lm›fl seri ad› verilir. Örne¤in bir do-¤um evinde dünyaya gelen 100 bebe¤in a¤›rl›klar› için farkl› büyüklükteki s›n›fla-ra göre, afla¤›daki gibi frekans da¤›l›mlar› oluflturulabilir:

A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar(kg) f (kg) f

1.50 - 1.75 5 1.2 - 1.7 21.75 - 2.00 6 1.7 - 2.2 152.00 - 2.25 10 2.2 - 2.7 382.25 - 2.50 10 2.7 - 3.2 362.50 - 2.75 35 3.2 - 3.7 92.75 - 3.00 15 1003.00 - 3.25 133.25 - 3.50 23.50 - 3.75 4

100

S›n›fland›r›lm›fl seriler oluflturulurken dikkat edilmesi gereken önemli bir nok-ta, e¤er sürekli bir de¤iflkene iliflkin gözlem de¤erleri s›n›fland›r›l›yorsa, her s›n›-f›n üst s›n›r›yla onu izleyen s›n›f›n alt s›n›r› aras›ndaki fark›n sonsuz küçük olacakflekilde oluflturulmas› gere¤idir. Örne¤in yukar›daki s›n›fland›r›lm›fl serilerin ilkin-de 2.50 - 2.75 s›n›f› göz önüne al›ns›n. 2.50 dahil olmak üzere 2.75’den küçük tümgözlem de¤erleri bu s›n›f içinde, 2.75 dahil olmak üzere 3.00’den küçük tüm göz-lem de¤erleri de izleyen s›n›f içinde yer almal›d›r.

E¤er gözlem de¤erleri sürekli olmayan (kesikli) bir de¤iflkene iliflkinse, örne¤in100 ö¤rencinin istatistik dersinden ald›¤› notlar afla¤›daki gibi s›n›fland›r›labilir:

Not S›n›flar› Frekanslar(Puanlar) f

0-15 116-31 1032-47 3348-63 3464-79 1080-95 10

96 ve daha çok 2100

17

ÇÖ

ZÜ

M

Bir s›n›f›n alt ve üst s›n›rlar› aras›ndaki farka, “s›n›f aral›¤›” ya da “s›n›f büyük-lü¤ü” ad› verilir ve h ile gösterilir. Yukar›daki not da¤›l›m› örne¤inde s›n›f büyük-lü¤ü 15 puand›r. Dikkat edilirse ayn› seride son s›n›f, 96 ve daha çok olarak yeralm›flt›r. Bu durum en büyük puan›n 100 olmas›ndan kaynaklanm›flt›r. E¤er s›n›f-land›rmaya ayn› sistematikle devam edilmifl olsayd›, son s›n›f›n 96 - 111 biçimin-de olmas› gerekirdi. Bafllang›ç ve bitifl s›n›rlar› belirtilmeyen bu tür s›n›flara “aç›ks›n›flar” denir. Aç›k s›n›flar›n kullan›lmalar› halinde, en küçük ya da en büyük de-¤er bilinemeyece¤inden baz› hesaplamalarda ve grafik çizimlerinde güçlüklerlekarfl›lafl›lacakt›r. Herhangi bir zorunluluk olmad›kça, aç›k s›n›flar›n kullan›lmas›n-dan kaç›n›lmal›d›r.

Kuramda s›n›flar›n oluflturulmas›na iliflkin kesin bir kural yoktur. S›n›f say›s›n›do¤rudan araflt›rmac› belirler. Ancak s›n›f say›s›n›n, karfl›lafl›lan özel probleminyap›s›na ve araflt›rman›n amaçlar›na uygun bir biçimde belirlenmesi gerekir.

E¤er s›n›flama yap›l›rken s›n›f aral›¤› dar seçilirse, s›n›f say›s› artar ve frekansda¤›l›m›n›n kavranmas› giderek zorlafl›r. Aksi durumdaysa, s›n›f say›s› azal›r. An-cak da¤›l›ma iliflkin baz› ayr›nt›lar gizli kal›r.

Uygulamalarda bir frekans da¤›l›m›na iliflkin s›n›f say›s›n›n 7 - 20 ya da 10 - 30aras›nda olmas›n›n uygun sonuçlar verdi¤i görülmüfltür.

Gerçekte verilerin s›n›fland›r›lmas› çok say›daki verinin kavranmas›n› büyükölçüde kolaylaflt›r›rken, baz› bilgi kay›plar›na da neden olur. Örne¤in 100 bebe-¤in a¤›rl›klar›na iliflkin frekans serisinden 2.6 kg do¤an bebek say›s›n›n do¤rudan10 bebek oldu¤u görülebilir. Buna karfl›n ayn› veri s›n›fland›r›ld›¤›nda, s›n›fland›-r›lm›fl seride do¤rudan kaç bebe¤in 2.6 kg olarak do¤du¤u görülemez. ‹lgili veri-ye iliflkin ilk s›n›fland›r›lm›fl seri göz önüne al›nd›¤›nda 2.6 kg, 2.50 - 2.75 s›n›f›n›niçinde yer almakta ve bu s›n›f›n frekans› da 35 olarak görülmektedir. Gerçekte2.50 - 2.75 s›n›f›nda, 2.50 ve 2.7499... kg do¤an tüm bebekler yer almaktad›r.

S›n›fland›r›lm›fl serilerde s›n›flar› temsil edebilecek de¤iflken de¤erinin ne ola-ca¤› da bir sorun olarak ortaya ç›kar. Uygulamada gözlem de¤erlerinin ilgili s›n›fiçinde düzgün da¤›ld›¤› varsay›larak s›n›f orta noktalar›, ilgili s›n›fa iliflkin de¤ifl-ken de¤eri olarak kabul edilir.

Konuyla ilgili olarak afla¤›daki örne¤i dikkatlice gözden geçiriniz.

Afla¤›da verilen frekans da¤›l›m›nda, ilgili s›n›flara karfl› gelen de¤iflkende¤erlerini belirleyiniz.

S›n›flar f0 – 4 44 – 8 108 – 12 1712 – 16 2516 – 20 1420 – 24 624 – 28 4

80

S›n›f orta noktalar› ilgili s›n›flara iliflkin de¤iflken de¤eri olaca¤›ndan, her s›n›f›norta noktas› ilgili s›n›fa de¤iflken de¤eri olarak atan›r.

18 ‹stat ist ik

Ö R N E K 2

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

ÇÖ

ZÜ

M

19

S›n›f Orta Noktalar›S›n›flar f X

0 – 4 4 (0+4) / 2 = 24 – 8 10 (4+8) / 2 = 68 – 12 17 (8+12) / 2 = 1012 – 16 25 (12+16) / 2 = 1416 – 20 14 (16+20) / 2 = 1820 – 24 6 (20+24) / 2 = 2224 – 28 4 (24+28) / 2 = 26

80

Birikimli SerilerBir frekans da¤›l›m›nda, her s›n›f›n frekans›na bir önceki s›n›f›n frekans› eklene-rek oluflturulan seriye “birikimli seri”, bu tür oluflturulan frekanslara da “birikimlifrekanslar” ad› verilir.

Birikimli seriler, küçükten büyü¤e ya da büyükten küçü¤e do¤ru oluflturulabi-lirler. E¤er birikimli seriler küçükten büyü¤e do¤ru oluflturulmuflsa “-den az”, bü-yükten küçü¤e do¤ru oluflturulmuflsa “-den çok” olarak isimlendirilirler.

Bir do¤um evinde do¤an 100 bebe¤e iliflkin s›n›fland›r›lm›fl seriyi elealarak küçükten büyü¤e ve büyükten küçü¤e do¤ru birikimli serilerioluflturunuz.

A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar(kg) f (-den az) (-den çok)

1.50 - 1.75 5 5 95 + 5 = 1001.75 - 2.00 6 6 + 5 = 11 85 + 6 = 952.00 - 2.25 10 10 + 11 = 21 79 + 10 = 892.25 - 2.50 10 10 + 21 = 31 69 + 10 = 792.50 - 2.75 35 35 + 31 = 66 34 + 35 = 692.75 - 3.00 15 15 + 66 = 81 19 + 15 = 343.00 - 3.25 13 13 + 81 = 94 6 + 13 = 193.25 - 3.50 2 2 + 94 = 96 4 + 2 = 63.50 - 3.75 4 4 + 96 = 100 4

100

Birikimli seriler, uygulamada, genellikle gözlem de¤erlerinin büyüklüklerine görekaç›nc› s›rada yer ald›klar›n›n belirlenmesinde kullan›l›r. Yukar›daki örnekte bebek-lerin a¤›rl›k s›n›flar› göz önüne al›n›rsa -den az serisi yard›m›yla, 66 bebe¤in a¤›r-l›klar›n›n 2.75 kg’dan daha az oldu¤u bir bak›flta görülebilir. Ayr›ca den çok serisiyard›m›yla da 34 bebe¤in 2.75 kg’dan daha a¤›r do¤du¤u do¤rudan görülebilir.

Konuyu yeterince pekifltirebilmek için afla¤›daki örne¤i dikkatlice gözdengeçiriniz.

Bir frekans da¤›l›m›nda, hers›n›f›n frekans› kendindenönceki s›n›f›n frekans›naeklenerek oluflturulan seriye“birikimli seri”, bu türfrekanslara da “birikimlifrekanslar” denilir.

Ö R N E K 3

‹s tat ist ik

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

20

Ö R N E K 4

Ö R N E K 5

S›n›flar -den az0 – 5 45 – 10 610 – 15 1615 – 20 3120 – 25 5125 – 30 6330 - 35 70

serisi verilmifltir.a. Serideki toplam gözlem say›s›n› belirleyiniz.b. Say›sal de¤eri 25’den küçük gözlem say›s›n› belirleyiniz.c. Say›sal de¤eri 15 ve 15’den büyük, 30’dan küçük gözlem say›s›n›

belirleyiniz.

a. Verilen seriye göre say›sal de¤eri 35’den küçük olan gözlem say›s› 70 oldu¤un-dan, toplam gözlem say›s› 70’dir.

b. Say›sal de¤eri 25’den küçük gözlem say›s› 51’dir.c. Say›sal de¤eri 30’dan küçük gözlem say›s› 63 ve say›sal de¤eri 15’den küçük

gözlem say›s› 16 oldu¤undan, say›sal de¤erleri 15 ile 30 aras›ndaki gözlem sa-y›s› 63 - 16 = 47 olarak elde edilir.

-den az ve -den çok serileri, frekans serileri için de oluflturulabilir.

Afla¤›da verilen frekans serisi için -den az ve -den çok serilerini oluflturunuz.

X f5 310 515 820 625 330 5

30

X f (-den az) (-den çok)5 3 3 3010 5 8 2715 8 16 2220 6 22 1425 3 25 830 5 30 5

30

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

ÇÖ

ZÜ

M

Bileflik Seriler Birimlerin birden fazla de¤iflkene göre da¤›l›mlar›n› bir arada gösteren serilere“bileflik seri” ad› verilir. Bir bileflik seri oluflturulurken, ilk sütunda bir de¤iflkeningözlem de¤erleri büyüklük s›ras›na göre yaz›l›rken, di¤er sütunlarda da ilgili de-¤iflkenlerin ilk de¤iflkene göre durumlar› yer al›r.

Bir s›n›ftan rasgele seçilen 5 ö¤rencinin boy uzunluklar› ve a¤›rl›klar›afla¤›daki gibidir:

Uzunluk (m) A¤›rl›k (kg)Ö¤renci Gözlem No X Y

1 1.72 682 1.68 703 1.80 764 1.74 735 1.76 71

‹lgili frekans da¤›l›m›n› oluflturunuz.

Verilen problemde birim ö¤rencidir. Boy uzunlu¤u ve a¤›rl›k ise ayn› birim üze-rinde tan›mlanm›fl iki farkl› de¤iflkendir. Bu duruma göre ilgili frekans da¤›l›m›,bir bileflik seri biçiminde oluflturulmal›d›r.Uzunluk ba¤›ms›z, a¤›rl›k da ba¤›ml› de¤iflken olarak al›nd›¤›nda, istenilen fre-kans da¤›l›m› afla¤›daki gibi olmal›d›r.

Uzunluk (m) A¤›rl›k (kg)X Y

1.68 701.72 681.74 731.76 711.80 76

E¤er a¤›rl›k ba¤›ms›z, uzunluk da ba¤›ml› de¤iflken olarak al›n›rsa, ayn› veriye ilifl-kin bileflik seri;

A¤›rl›k (kg) Uzunluk (m)Y X68 1.7270 1.6871 1.7673 1.7476 1.80

biçiminde oluflturulur.

21

Ö R N E K 6

Birden fazla de¤iflkeninda¤›l›mlar›n› bir aradagösteren serilere “bileflikseri” ad› verilir.

1. Frekans da¤›l›m› kavram›n› aç›klay›n›z.

2. Bir radar taraf›ndan gelifl s›ras›na göre 50 araban›n h›z› (km/saat) afla¤›daki gibiölçülmüfltür:

82.7 105.6 127.5 107.3 112.2 131.0 105.5 87.9 114.1 116.788.4 99.8 101.8 86.5 92.4 80.6 82.4 97.6 125.0 137.0

130.2 87.5 95.6 83.9 94.2 117.3 95.5 120.4 85.7 121.5103.5 83.0 96.2 95.1 99.9 97.1 134.2 136.3 133.9 81.491.3 93.6 88.8 136.0 108.2 129.3 139.1 83.6 97.5 113.1

Yukar›daki veri kümesini kullanarak s›n›f büyüklü¤ü 5 km/saat ve ilk s›n›f da 80 – 85olacak biçimde bir frekans da¤›l›m› oluflturunuz (NOT: H›z›n sürekli bir de¤iflken ol-du¤una dikkat ediniz).

3. Bir X de¤iflkenine iliflkin 50 gözlem de¤eri gözlem s›ras›na göre afla¤›da verilmifltir:

11 5 18 38 13 7 32 20 14 63 16 36 19 27 9 16 47 9 20

12 11 24 21 42 43 19 49 28 159 3 13 42 5 12 27 32 41 486 7 44 4 23 29 41 8 40 5

Yukar›daki veri kümesini kullanarak ve ilk s›n›f 2 – 6 olacak flekilde bir frekansda¤›l›m› oluflturunuz (NOT: X de¤iflkeninin kesikli bir de¤iflken oldu¤una dikkatediniz).

SER‹LER‹N GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹

‹statistik serilerinin grafiklerini çizebileceksiniz.

Da¤›lma serilerine iliflkin grafikler gözden geçirilirken önce frekans ve s›-n›fland›r›lm›fl serilerin, sonra da birikimli ve bileflik serilerin grafiklerinede¤inilecektir.

Frekans Serilerinin Grafikle GösterilmesiAn›msanaca¤› gibi, frekans serileri biri gözlem de¤erleri di¤eri de gözlem de¤er-lerine karfl› gelen frekanslar› gösteren iki sütundan oluflur. Frekans serilerinde fre-kanslar gözlem de¤erlerine göre de¤iflti¤inden gözlem de¤erleri yatay eksende,frekanslarsa dik eksende gösterilir. Grafik, yatay eksende belirlenen de¤erlerdenuzunluklar› ilgili frekanslar kadar olan dik do¤ru parçalar›yla oluflturulur. Bu türgrafiklere “çubuk grafik” ad› verilir.

22 ‹s tat ist ik

S IRA S ‹ZDE

A M A �

2

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

ÇÖ

ZÜ

M

X de¤iflkenine iliflkin gözlem sonuçlar› afla¤›da bir frekans serisi halindeverilmifltir. Verilen serinin grafi¤ini çiziniz.

X f2 14 36 78 410 2

17

Gözlem de¤erleri yatay, frekanslar da dik eksende gösterilerek grafik afla¤›dakigibi oluflturulur:

S›n›fland›r›lm›fl Serilerin Grafikle GösterilmesiS›n›fland›r›lm›fl seriler, “histogram” ya da “frekans poligonu” ad› verilen grafikler-le gösterilirler. Ad› geçen grafiklerin çizimi, afla¤›da ayr›nt›lar› ile ele al›nm›flt›r.

HistogramHistogram; alan› ilgili s›n›f›n frekans›na ve taban› da ilgili s›n›f›n aral›¤›na eflit, bir-birine bitiflik dikdörtgenlerden oluflan bir grafik gösterimdir.

Bir histogram çizilmeden önce, sözü edilen dikdörtgenlerin uzunluklar›n›nayarlanmas› gerekir. Bunun için frekanslar s›n›f aral›¤›na bölünerek, dikdörtgenle-rin alanlar› ilgili s›n›flar›n frekanslar›na eflit hale getirilir.

Konuyla ilgili olarak afla¤›daki örne¤i dikkatlice gözden geçiriniz.

23

Ö R N E K 7

fiekil 2.1 Çubukgrafik.

0 2 4 6 8 10

02

46

810

..

.

.

.

Histogram ve frekanspoligonu s›n›fland›r›lm›flserilerin grafikleridir.

ÇÖ

ZÜ

M

Sürekli bir X de¤iflkenine iliflkin gözlem sonuçlar› afla¤›daki seriyleverilmifltir:

S›n›flar frekanslar0 – 4 124 – 8 168 – 12 2012 – 16 2416 – 20 2020 – 24 8

100

Verilen serinin histogram›n› çiziniz.

Histogram›n çizilebilmesi için öncelikle frekanslar›n ayarlanmas› gerekir. Ayarlan-m›fl frekanslar›n elde ediliflleri afla¤›da gösterilmifltir.

S›n›f Aral›klar› Ayarlanm›fl FrekanslarS›n›flar f h f / h0 – 4 12 4 12 / 4 = 3.04 – 8 16 4 16 / 4 = 4.08 – 12 20 4 20 / 4 = 5.0

12 – 16 24 4 24 / 4 = 6.016 – 20 20 4 20 / 4 = 5.020 – 24 8 4 8 / 4 = 2.0

100

Birinci ve son sütundan yararlan›larak histogram afla¤›daki gibi çizilir:

E¤er verilen seride s›n›f aral›klar› eflit de¤ilse, histogram yine ayn› yöntemleoluflturulur.

24 ‹s tat ist ik

Ö R N E K 8

fiekil 2.2 Eflit aral›kl›s›n›flar için histogram. 0 4 8 12 16 20 24

01

23

45

6

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

ÇÖ

ZÜ

M

Afla¤›daki serinin histogram›n› çiziniz.

S›n›flar f0 – 2 202 – 4 304 – 6 366 – 8 208 – 12 1612 – 16 12

128

S›n›flar f h f / h0 – 2 20 2 10.02 – 4 30 2 15.04 – 6 36 2 18.06 – 8 20 2 10.08 – 12 16 4 4.0

12 – 16 12 4 3.0134

Frekans PoligonuFrekans poligonu, histogram›n tepe orta noktalar›n›n birlefltirilmesiyle elde edilen,s›n›fland›r›lm›fl serilere iliflkin, di¤er bir grafik türüdür. Histogram›n tepe orta nok-talar›, ilgili s›n›flara iliflkin de¤iflkenlerin de¤erlerini ifade etti¤inden, frekans poli-gonu, de¤iflkenlerin de¤erlerine göre oluflturulmufl bir grafiktir. Konuyla ilgili birörnek afla¤›da verilmifltir.

25

Ö R N E K 9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

05

1015

20

fiekil 2.3 Farkl› büyüklükteki s›n›flariçin histogram.

ÇÖ

ZÜ

M

Afla¤›da verilen serinin frekans poligonunu çiziniz.

S›n›flar frekanslar10 – 15 1015 – 20 1520 – 25 2025 – 30 3030 – 35 1535 – 40 1040 – 45 5

105

Öncelikle ayarlanm›fl frekanslar oluflturularak histogram, sonra da histogram›n te-pe orta noktalar› birlefltirilerek frekans poligonu elde edilir.

S›n›flar f X h f / h10 – 15 10 12.5 5 215 – 20 15 17.5 5 320 – 25 20 22.5 5 425 – 30 30 27.5 5 630 – 35 15 32.5 5 335 – 40 10 37.5 5 240 – 45 5 42.5 5 1

105

Frekans poligonun alt›nda kalan alan frekanslar toplam›na eflittir.

Histogram ve frekans poligonunun sürekli de¤iflkenler için uygun grafikler ol-du¤una dikkat ediniz.

26 ‹s tat ist ik

Ö R N E K 1 0

fiekil 2.4 Frekanspoligonu. 0 10 20 30 40 50

01

23

45

6

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

E¤er gözlem say›s› artarken s›n›f aral›¤› sonsuz küçültülürse, frekans poligonubir frekans e¤risi flekline dönüflür.

Uygulamada s›kça karfl›lafl›lan frekans e¤rileri fiekil 2.5’de gösterilmifltir.

Birikimli Serilerin Grafikle GösterilmesiBirikimli serilerin grafikleri çizilirken s›n›flar yatay, birikimli frekanslarsa dik ek-sende gösterilir.

-den az serilerinin grafikleri çizilirken, koordinat sisteminde s›n›f üst s›n›rlar›ylailgili s›n›fa karfl› gelen birikimli frekanslar›n belirledikleri noktalar birlefltirilerekgrafik oluflturulur.

-den çok serilerinin grafikleri oluflturulurken, s›n›f alt s›n›rlar›yla ilgili s›n›fa kar-fl› gelen birikimli frekanslar›n belirledikleri noktalar birlefltirilerek çizim tamamlan›r.

-den az e¤risi ilk s›n›f›n frekans›ndan bafllayarak sürekli artan, -den çok e¤risiise son s›n›f›n frekans›na kadar sürekli azalan bir e¤ridir.

Konuyla ilgili bir örnek afla¤›da verilmifltir.

27

fiekil 2.5 Baz›frekans e¤rileri.

(a) Simetrik Tek Modlu E¤ri (b) Sa¤a E¤ik E¤ri

(c) Sola E¤ik E¤ri (d) Ters J E¤risi

(e) J E¤risi (f) U E¤risi

ÇÖ

ZÜ

M

Afla¤›da verilen seri için -den az ve -den çok serilerini oluflturarak, eldeetti¤iniz serilerin grafiklerini çiziniz.

S›n›flar Frekanslar0 – 10 310 – 20 1220 – 30 2530 – 40 3040 – 50 1550 – 60 1060 – 70 5

100

S›n›flar Frekanslar -den az -den çok0 – 10 3 3 10010 – 20 12 15 9720 – 30 25 40 8530 – 40 30 70 6040 – 50 15 85 3050 – 60 10 95 1560 – 70 5 100 5

100

28 ‹s tat ist ik

fiekil 2.6 Birikimliserilerin grafikleri.

Ö R N E K 1 1

0 20 40 60 80

020

4060

8010

0

-den az

-den çok

Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

ÇÖ

ZÜ

M

Bileflik Serilerin Grafikle GösterilmesiBileflik serilerin grafikleri oluflturulurken, ilk de¤iflkenin de¤erleri yatay, di¤er de-¤iflkenin de¤erleriyse dik eksende yer al›r. Bu de¤erlere koordinat sisteminde kar-fl› gelen noktalar belirlenerek grafik elde edilir.

Bileflik serilerin grafiklerine serpilme diyagram› ad› da verilir.Afla¤›da bileflik serilerin grafiklerinin çizilmesine iliflkin bir örnek

verilmifltir.

Afla¤›da 5 ö¤rencinin istatistik ve matematik derslerinden ald›klar› notlarbir bileflik seri biçiminde verilmifltir.

‹statistik Notu Matematik NotuX Y35 2540 5050 5560 4075 60

Verilen serinin grafi¤ini çiziniz.

29

Ö R N E K 1 2

0 20 40 60 80 100

020

4060

8010

0

Mat

emat

ik N

otu

(y)

‹statistik Notu (x) fiekil 2.7 Serpilmediyagram›.

1. Bir histogram oluflturulurken, dikkat edilmesi gereken noktalar› belirleyiniz.

2. Bir s›n›ftaki 50 ö¤rencinin boylar› (m) gözlem s›ras›na göre afla¤›da verilmifltir:

1.62 1.56 1.86 1.65 1.79 1.72 1.80 1.84 1.90 1.941.74 1.92 1.89 1.64 1.71 1.66 1.79 1.76 1.77 1.831.58 1.75 1.56 1.78 1.87 1.76 1.92 1.76 1.73 1.781.63 1.68 1.78 1.76 1.55 1.78 1.64 1.87 1.70 1.681.74 1.83 1.67 1.88 1.93 1.81 1.70 1.83 1.68 1.79

a. Verilen veri kümesini kullanarak ve ilk s›n›f 1.53 – 1.58 olacak biçimde eflit aral›kl›bir frekans da¤›l›m› oluflturunuz.

b. Oluflturdu¤unuz frekans da¤›l›m›n›n histogram›n› çiziniz.

3. Bir karayolunda meydana gelen hasarlar aras› uzakl›klar (km) afla¤›daki gibidir:

21.23 9.23 13.27 23.34 75.47 56.25 62.51 60.64 30.21 50.268.45 76.48 18.83 68.23 22.78 47.94 67.29 21.71 37.58 36.45

63.71 17.68 52.91 31.96 59.45 45.26 28.75 40.17 42.95 47.9012.36 25.57 43.41 71.13 64.32 37.93 70.36 31.29 72.27 71.8019.44 54.21 34.84 57.65 48.19 53.81 43.34 10.24 45.90 18.45

a. Yukar›daki veri kümesini kullanarak, uygun görece¤iniz bir s›n›f aral›¤›na göre fre-kans da¤›l›m›n› oluflturunuz.

b. Oluflturdu¤unuz frekans da¤›l›m›n›n frekans poligonunu çiziniz.

30 ‹s tat ist ik

S IRA S ‹ZDE

Kendimizi S›nayal›m1. Birimlerin iki de¤iflkene göre da¤›l›mlar›n› bir aradagösteren serilere ne ad verilir?

a. Basit serib. Frekans serisic. S›n›fland›r›lm›fl serid. Birikimli serie. Bileflik seri

2. S›n›flar Frekanslar0 – 5 25 – 10 410 – 15 715 – 20 1320 – 25 325 – 30 1

30

Yukar›da verilen serinin, frekans e¤risinin görünümüafla¤›dakilerden hangisidir?

a. Sa¤a e¤ikb. Sola e¤ikc. U d. Je. Ters J

3. X f2 14 36 78 710 1012 514 2

35

Yukar›da verilen seri için -den az serisi oluflturul-mak istendi¤inde, birikimli frekanslar afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. -den az b. -den az c. -den az4 1 3511 4 3418 11 3128 18 2433 28 1735 33 740 35 2

d. -den az e. -den az1 13 410 1117 1827 2832 3435 35

4. Bir frekans da¤›l›m›na iliflkin -den az serisi afla¤›daverilmifltir.

S›n›flar -den az

2 – 8 68 – 14 1014 – 20 1720 – 26 2226 – 32 3432 – 38 3738 – 44 4544 – 50 46

Yukar›da verilen seriye iliflkin gözlenen frekanslar afla¤›-dakilerden hangisidir?

a. f b. f c. f

2 6 68 4 47 8 75 3 54 11 1210 9 38 5 84 1 1

d. f e. f

3 67 47 35 68 79 54 514 9

31Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

5. Bir frekans da¤›l›m›na iliflkin -den çok serisi afla¤›daverilmifltir.

S›n›flar -den çok

13,5 – 17,5 5617,5 – 21,5 5121,5 – 25,5 4325,5 – 29,5 3929,5 – 33,5 3233,5 – 37,5 2537,5 – 41,5 1241,5 – 45,5 10

Yukar›da verilen seriye iliflkin gözlenen frekanslar afla¤›-dakilerden hangisidir?

a. f b. f c. f9 10 74 2 93 13 47 7 411 7 313 4 62 8 1210 5 5

d. f e. f5 68 94 27 17 1213 132 210 10

6. Gözlem No ‹flletme Notu Ekonomi Notu

1 70 902 50 703 80 604 50 405 60 50

5 ö¤rencinin iflletme ve ekonomi derslerinden ald›klar›notlar› gösteren yukar›daki tabloya iliflkin afla¤›dakiifadelerden hangisi do¤rudur?

a. Tablodaki veriler basit bir seri oluflturur.b. Tablodaki veriler bir frekans serisi oluflturur.c. Tablodaki veriler s›n›fland›r›lm›fl bir seri oluflturur.d. Tablodaki veriler bileflik bir seri oluflturur.e. Tablodaki veriler bir istatistik serisi oluflturmaz.

7. Gözlem sonuçlar›n›n maddesel bir de¤iflkenin fl›klar›-na göre s›ralanmas›yla oluflturulan serilere ne ad verilir?

a. Zaman serisib. Bileflik seric. Mekan serisid. Birikimli serie. Da¤›lma serisi

8. Serilere iliflkin afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?a. Bölgelere göre tah›l üretimi zaman serileri için uy-

gun bir örnektir.b. Derlenen veriler ilgilenilen konunun d›fl›nda bir

temele göre s›ralanm›flsa, bu s›ralamaya liste ad›verilir.

c. Gözlem de¤erlerinin yan›na, gözlenen de¤erlerintekrar say›s› yaz›larak oluflturulan seriye, s›n›flan-d›r›lm›fl seri denir.

d. E¤er s›n›fland›rma yap›l›rken s›n›f aral›¤› küçük se-çilirse, ilgili da¤›l›ma iliflkin baz› ayr›nt›lar gizli kal›r.

e. Uygulamalarda 20 ile 50 aras› s›n›f say›s›, en uy-gun s›n›f say›s›d›r.

9. Afla¤›da bir frekans da¤›l›m›na iliflkin -den az ve -dençok serileri birlikte verilmifltir.

S›n›flar -den az -den çok0 – 4 1 504 – 8 5 498 – 12 12 4512 – 16 22 3816 – 20 34 2820 – 24 44 1624 - 28 50 6

Yukar›daki tabloya göre, say›sal de¤eri 20’den küçük göz-lem say›s› kaçt›r?

a. 44b. 38c. 34d. 22e. 16

10. Serilere iliflkin afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r?

a. -den az serileri, her s›n›f›n frekans›na bir öncekis›n›f›n frekans› eklenerek oluflturulur.

b. Basit serilerin grafiklerine histogram denir.c. Bileflik serilerin grafiklerine serpilme diyagram› denir.d. Bir seriye iliflkin frekans poligonunun alt›nda ka-

lan alan, seriye iliflkin frekanslar toplam›na eflittir.e. Bir seriye iliflkin histogramda, dikdörtgenlerin alan-

lar› toplam› seriye iliflkin frekanslar toplam›na eflittir.

32 ‹s tat ist ik

Yan›t Anahtar›1. e2. b3. b4. c5. d6. e7. e8. b9. c10. b

Yararlan›lan KaynaklarÇÖMLEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri,

2. Bask›, Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1994.GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›, ‹s-

tanbul Üniversitesi Yay›nlar›, No 2265, ‹stanbul, 1977.HARPER, W.M.: Statistics, 4. ed., Pitman Pub. Comp.,

1988.JOHNSON, Robert: Elementary Statistics, 6. ed., PSW-

KENT Pub. Comp., Boston, 1992.MELNYK, M.: Principle of Applied Statistics, Perga-

mon Press Inc., New York, 1974.

33Ünite 2 - ‹stat ist ik Ser i ler i (Frekans Da¤› l ›mlar › )

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak: • Önceki ünitelerde verilen kavramlar› yeniden gözden geçirmeli,• Verilen örnekleri dikkatle incelemelidir.

35

Merkezi E¤ilim ve De¤iflkenlik Ölçüleri3

‹s tat ist ik36

�

�

Amaçlar:Merkezi e¤ilim ölçüleri kavram›n› aç›klayabilecek ve istatistik serilerinin or-talamalar›n› hesaplayabileceksiniz.De¤iflkenlik ölçüleri kavram›n› aç›klayabilecek ve istatistik serilerine iliflkinde¤iflkenlik ölçülerini hesaplayabileceksiniz.

‹çindekler• G‹R‹fi• MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹ (ORTALAMALAR)

• Duyarl› Ortalamalar• Duyarl› Olmayan Ortalamalar• Serinin Simetri Durumuna Göre Ortalamalar Aras›ndaki ‹liflki

• DE⁄‹fiKENL‹K ÖLÇÜLER‹• De¤iflim Aral›¤›• Standart Sapma• De¤iflim Katsay›s›

G‹R‹fiMerkezi e¤ilim ölçüleri, ad›n›n da ça¤r›flt›raca¤› gibi bir veri kümesinin ortas›n›belirleme e¤iliminde olan say›sal de¤erlerdir. Ortalama terimi genelde bu ölçüler-le ilgilidir.

Bu ünitede öncelikle merkezi e¤ilim ölçüleri (ortalamalar) ele al›nacak, sonrada de¤iflkenlik ölçülerine yer verilecektir.

MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹ (ORTALAMALAR)

Merkezi e¤ilim ölçüleri kavram›n› aç›klayabilecek ve istatistik se-rilerinin ortalamalar›n› hesaplayabileceksiniz.

Bir ortalama ile, nüfus, h›z, ›fl›k y›l›, ›s› ve benzeri gibi ölçülebilen ya da say›labi-len bir olay ya da nesneye iliflkin derlenen veri kümesini temsil edebilen, tek birde¤er hesaplan›r. Ancak bir kaç tane olan merkezi e¤ilim ölçülerinin her biri, ay-n› veri kümesi için farkl› bir tablo çizer.

Genifl anlamda ortalama, bir istatistik serisindeki gözlem de¤erlerinin, etraf›n-da toplanma e¤ilimi gösterdi¤i de¤er olarak tan›mlan›r.

Konuya aç›kl›k kazand›rmas› aç›s›ndan afla¤›daki örne¤i göz önüne alal›m.9 dairelik bir apartmanda oturan ailelerin ayl›k gelirleri milyon TL olarak afla-

¤›daki gibi olsun.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

Bu ailelerin normal geliri nedir sorusunun cevab›, muhtemelen gelirlerin orta-lamas›d›r biçiminde olacakt›r.

‹zleyen kesimlerde örnekte sözü edilen normal gelirin hesaplanmas›nda kulla-n›lan merkezi e¤ilim ölçüleri, baflka bir anlat›mla ortalamalar ayr›nt›lar›yla gözdengeçirilecektir.

Ana çizgileriyle ortalamalar, duyarl› ve duyarl› olmayan ortalamalar olmak üze-re, iki ana bafll›k alt›nda incelenebilir.

Duyarl› OrtalamalarDuyarl› ortalamalar, serideki tüm gözlem de¤erlerinden etkilenen ortalamalard›r.

Bu ünitede duyarl› ortalamalardan sadece aritmetik, geometrik ve kareli orta-lamalar ele al›nacakt›r.

Aritmetik OrtalamaAritmetik ortalama, bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri toplam›n›n, gözlem

say›s›na oran› olarak tan›mlan›r.Seriyi oluflturan gözlem de¤erleri x1, x2, ..., xn aritmetik ortalama da ile

gösterilirse tan›m uyar›nca,

olarak hesaplan›r.

x = x1 + x2 + ...+ xnn

=xi×

i=1

n

n

x

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 37

A M A �

1

Ortalama, bir seride enküçük de¤erle en büyükde¤er aras›nda yer al›r. (Xmin < ortalama < X max)

Bir seride aritmetik ortalama, seriyi oluflturangözlem de¤erleri toplam›gözlem say›s›na bölünerekhesaplan›r.

ÇÖ

ZÜ

M

‹s tat ist ik38

Ö R N E K 1

x = 6930∑

Ö R N E K 2

ÇÖ

ZÜ

M

En kolay hesaplanan ve en çok kullan›lan ortalama, aritmetik ortalamad›r.E¤er ne tür oldu¤u belirtilmeden bir ortalamadan söz ediliyorsa, muhtemelen kas-tedilen aritmetik ortalamad›r.

Yukar›da verilen 9 dairelik apartmanda oturan ailelerin normal gelirini,aritmetik ortalama kullanarak hesaplay›n›z.

X, ailelerin ayl›k gelirlerini göstermek üzere gelirlerden oluflan basit seri afla¤›da-ki gibi olacakt›r :

x (milyon TL)520580670700700700860

10001200

Ailelerin toplam geliri 6930 milyon TL oldu¤undan tan›m do¤rultusunda, toplamgelir aile say›s›na bölünerek ortalama gelir,

olarak hesaplan›r.

Afla¤›da verilen basit serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

Gözlenen de¤erlerin toplam› 85 ve gözlem say›s› da 5 oldu¤undan

olarak hesaplan›r.

x =x∑

n = 85

5 = 17

x =x∑

n = 6930

9 = 770 milyon TL

x101316202685

ÇÖ

ZÜ

M

Öte yandan frekans serilerinde her gözlem de¤eri frekans› kadar tekrarland›-¤›ndan, aritmetik ortalama hesaplan›rken gözlem de¤erleri frekanslar›yla çarp›la-rak toplan›r ve bu sonuç frekanslar toplam›na bölünür.

Afla¤›daki örne¤i dikkatle inceleyiniz.

Afla¤›da verilen frekans serisinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

Verilen seri, 2 tane 10, 3 tane 12, 6 tane 15, 4 tane 19 ve 1 tane de 21 de¤e-rinden oluflmufltur.16 gözlem de¤erinin toplam›,

olarak elde edilir.Bu toplam, gözlem de¤eri frekanslar ile çarp›larak afla¤›daki gibi kolayl›kla eldeedilebilir.

x f xf10 2 10. 2 = 2012 3 12. 3 = 3615 6 15. 6 = 9019 4 19. 4 = 7621 1 21. 1 = 21

16 243

Hesaplanan gözlem de¤erleri toplam› , frekanslar toplam›na bö-lünerek aritmetik ortalama,

olarak hesaplan›r.Örnekten de görülebilece¤i gibi, frekans serilerinde aritmetik ortalama,

ile hesaplan›r.

x =xf∑f∑ = 243

16 = 15,1875

f∑xf∑

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i r i 39

x∑ = 10 + 10 + 12 + 12 + 12 + 15 + 15 + 15+ 15 + 15 + 15 + 19 + 19 + 19 + 19 + 21

x∑ = 2 10 + 3 12 + 6 15 + 4 19 + 21

= 20 + 36 + 90 + 76 + 21 = 243

2 3 6 4 1

x f10 212 315 619 421 1

16

Ö R N E K 3

x = x1f1 + x2f2 + ... + xnfnf1 + f2 + ... + fn

=xifi∑

i = 1

n

fi∑i = 1

n

‹s tat ist ik40

Ö R N E K 4

x f10 1215 2020 2525 2530 1535 3

100

ÇÖ

ZÜ

M

x =xf∑f∑ = 2100

100 = 21

Ö R N E K 5

S›n›flar f10 -14 414 - 18 518 -22 822 - 26 626 -30 2

f∑ = 25

Afla¤›da verilen serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

x f xf10 12 12015 20 30020 25 50030 25 62535 15 45030 3 105

100 2100

olarak elde edilir.Aritmetik ortalama s›n›fland›r›lm›fl serilerde de frekans serilerinde oldu¤u gibi he-saplan›r. Ancak dikkat edilmesi gereken, de¤iflken de¤erleri olarak s›n›f orta nok-talar›n›n al›nmas›d›r.

Afla¤›da verilen serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

ÇÖ

ZÜ

M

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i r i 41

Ö R N E K 6

x f u23 1 2325 25 2526 26 2628 28 100

102 80 174

ÇÖ

ZÜ

M

xf∑ = 488 f∑ = 25

x =xf∑f∑ = 488

25 = 19,52

S›n›flar f x xf10 - 14 4 12 4814 - 18 5 16 8018 - 22 8 20 16022 - 26 6 24 14426 - 30 2 28 56

Buradan,

olarak elde edilir.Ancak dikkat etmek gerekir ki, s›n›flamadaki kay›plar nedeniyle, s›n›fland›r›lm›flserilerde aritmetik ortalama, yaklafl›k olarak hesaplanabilmektedir.

Aritmetik Ortalaman›n Özellikleri• Aritmetik ortalama duyarl› bir ortalamad›r ve serideki afl›r› de¤erlerden do¤ru-

dan etkilenir.

Aritmetik ortalama afla¤›daki serilerin hangisinde daha temsilidir?

Görülece¤i gibi serideki bir tek de¤erin de¤iflmesi bile, ortalamay› etkilemektedir.x serisinin ortalamas› seriyi oluflturan gözlem de¤erlerine oldukça yak›n, baflka biranlat›mla temsil yetene¤i daha yüksektir. y ve u serilerinde ise gözlem de¤erle-rindeki afl›r› k›ymetlerin büyüklü¤üne ba¤l› olarak, ortalamalar›n temsil yetene¤iazalm›flt›r.

x =x∑

n = 102

4 = 25.5

y =y∑

n = 80

4 = 20.0

u =u∑

n = 174

4 = 43.5

‹s tat ist ik42

• Gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n›n toplam› s›f›rd›r.

Baflka bir anlat›mla olur.

Bu özellik afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir :

E¤er verilen seri bir frekans serisiyse, her gözlem de¤erinden aritmetik ortala-ma ç›kart›l›r ve ilgili gözlem de¤erinin frekans›yla çarp›ld›ktan sonra, toplam de-¤er hesaplan›r. ‹fllemler afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir :

• Gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n›n kareleri top-lam› minimumdur.Bu özellik de afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir:

x =xf∑f

= 115016

= 71.875

x =x∑

n = 150

5 = 30

xi - x = 0∑i=1

n

Ö R N E K 7 x10 10 - 30 = -2020 20 - 30 = -1030 30 - 30 = 0040 40 - 30 = 1050 50 - 30 = 20

150

x -x

x - x ∑ = 00

Ö R N E K 8

x f xf (x - ) (x - ) f50 1 50 50 - 71.875 = -21.875 -21.87560 3 180 60 - 71.875 = -11.875 -35.62570 6 420 70 - 71.875 = -1.875 -11.25080 4 320 80 - 71.875 = 8.125 32.50090 2 180 90 - 71.875 = 18.125 36.250

16 1150 -68.750

68.750

xx

x - x ∑ = 00,000

Verilen X serisinde, aritmetik ortalamadan daha küçük (25) ya da daha büyükbir de¤er (40) ç›kart›l›rsa sonuçlar,

olarak elde edilir.Aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n kareleri toplam› 1000’dir. Ancak bu

ortalamadan küçük (25) ve büyük (40) de¤erler ç›kart›ld›¤›nda, görülece¤i gibicebirsel sapmalar›n kareleri toplam› 1000’den büyük ç›kmaktad›r.

Tart›l› Aritmatik OrtalamaE¤er bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri aras›nda önem derecesine göre farklarvarsa ve bu farklar ortalama hesab›nda göz önüne al›nmak isteniyorsa, böyle du-rumlarda tart›l› ortalama hesaplan›r.

t, tart›y› ’de tart›l› aritmetik ortalamay› göstermek üzere, tart›l› aritmetik or-talama basit serilerde,

frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde ise,

eflitlikleriyle hesaplan›r.

xt =xtf×tf×

xt =xt×t×

xt

x - 25 2∑ = 1125 ve x - 40 2∑ = 1500

x = 30

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i r i 43

Ö R N E K 9x (x - ) (x - )2

10 -20 40020 -10 10030 00 00040 10 10050 20 400

xx

x - x 2∑ = 1000

x x - 25 (x - 25)2 (x - 40) (x - 40)2

10 -20 225 -30 90020 -5 25 -20 40030 5 25 -10 10040 15 225 00 00050 25 625 10 100

x - 25 2∑ = 1125 x - 40 2∑ = 1500

Gözlem de¤erleri aras›ndakiönem derecesine göre farklar, ortalamahesaplan›rken göz önüneal›nmak istenirse, tart›l›ortalama hesaplanmal›d›r.

‹ktisadi ve ‹dari Bilimler Fakültesi ‹flletme Bölümü’ndeki birinci s›n›f ö¤-rencisinin güz döneminde ald›¤› dersler, baflar› notlar›, baflar› notlar›n›nkatsay›lar› ve kredi de¤erleri afla¤›da verilmifltir:

Ö¤rencinin dönem not ortalamas›n› katsay› cinsinden hesaplay›n›z.

Dersler Baflar› Notlar› Katsay›lar Kredi De¤erleri xt

Genel Matematik I AA 4.0 5 20.0Türkçe I AB 3.7 2 7.4Makro Ekonomi I CC 2.0 3 6.0Genel iflletme BC 2.7 3 8.1A.‹.‹.T AB 3.7 2 7.4

15 48.9

olarak hesaplan›r.

Tart›l› ortalamalarda tart›lar›, gözlem de¤erlerini önem derecesine göre farkl›k›lan de¤erler oluflturur. Tart› kavram›yla ilgili olarak afla¤›daki örne¤i dikkatlegözden geçiriniz.

Matematik, ‹statistik, Fizik, Kimya ve Biyoloji bölümlerinden oluflan birFen Fakültesinde, tüm bölümlerin birinci s›n›flar›na güz döneminde veri-len Genel Matematik I dersinin birinci ara s›nav sonuçlar›na iliflkin bölümbaflar› ortalamalar› afla¤›da verilmifltir:

Genel Matematik I dersinin fakülte düzeyindeki baflar› ortalamas›n›bulunuz.

xt =xt∑t∑ = 48,9

15 = 3.26

‹s tat ist ik44

Ö R N E K 1 0

Dersler Baflar› Notlar› Katsay›lar Kredi De¤erleri

Genel Matematik I AA 4.0 5Türkçe I AB 3.7 2Makro Ekonomi I CC 2.0 3Genel iflletme BC 2.7 3A.‹.‹.T AB 3.7 2

15

Ö R N E K 1 1

Bölümlerin Bölümlerin Ö¤renciBölümler Baflar› Ortalamalar› Say›lar›

f

Matematik 70 70‹statististik 65 60Fizik 68 50Kimya 50 40Biyoloji 50 25

x

ÇÖ

ZÜ

M

Bölümler Baflar› Ortalamas› Ö¤renci Say›s›

f xf

Matematik 70 70 4900‹statististik 65 60 3900Fizik 68 50 3400Kimya 50 40 2000Biyoloji 50 25 1250

245 15450

olarak hesaplan›r.

Uygulamada ortalamalar›n ortalamas›, oranlar›n ortalamas› ve baz› bileflik in-deksler tart›l› ortalama kullan›larak hesaplan›r.

Geometrik OrtalamaGeometrik ortalama, seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin çarp›m›n›n gözlem de-¤eri say›s›na eflit mertebeden kökü olarak tan›mlan›r. E¤er seriyi oluflturan gözlemde¤erleri x1, x2, ..., xn ile ve geometrik ortalama da G ile gösterilirse geometrikortalama,

eflitli¤i ile hesaplan›r. Ancak seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin say›s› artt›¤›n-da, geometrik ortalamay› yukar›daki formül yard›m›yla hesaplamak güçleflir.Böyle durumlarda geometrik ortalama logaritma yard›m›yla afla¤›daki eflitliklehesaplan›r.

Görülece¤i gibi geometrik ortalaman›n logaritmas›, gözlem de¤erlerinin logarit-malar›n›n aritmetik ortalamas›na eflittir.

Afla¤›daki basit serinin geometrik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

logG = 1n

log xi×i = 1

n

G = x1 . x2 . ... .xnn

= xiPi = 1

nn

xt =xf∑f∑ = 15450

245 = 63,06

x

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 45

ÇÖ

ZÜ

M

Oranlar›n ortalamas›, ortalamalar›n ortalamas› vebaz› bileflik indeksler, tart›l›ortalama kullan›larak hesaplan›r.

Bir serinin geometrik ortalamas›, serideki gözlemde¤erleri çarp›m›n›n, gözlemde¤eri say›s›na eflit mertebeden kökü al›narakhesaplan›r.

Ö R N E K 1 2

x25820

‹s tat ist ik46

ÇÖ

ZÜ

M Geometrik ortalaman›n tan›m› do¤rultusunda,

olarak elde edilir.

Frekans serilerinde ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde geometrik ortalama,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

E¤er bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri, bir önceki gözlem de¤erine ba¤l›olarak de¤ifliyor ve de¤iflimin h›z› belirlenmek isteniyorsa bu durumda geometrikortalama hesaplan›r.

Uygulamada milli gelir, nüfus, bileflik faiz ve baz› bileflik indekslerin hesaplan-mas›nda geometrik ortalama kullan›l›r.

Kareli OrtalamaKareli ortalama, seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin karelerinin toplam›n›n göz-lem say›s›na oran›n›n kare kökü olarak tan›mlan›r.

Kareli ortalama K ile gösterilirse kareli ortalama,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

K = x1 2 + x1

2 +... + xn 2

n =

xi 2×

i = 1

n

n

log G = 1

fi×i = 1

n fi log xi×i = 1

n

G = 2.5.8.204

= 16004

= 6.32

ya da,

log G = 14 log2 + log5 + log8 + log20

= 1

4 0.30103 + 0.69897 + 0.90309 + 1.30103

= 14 3.20412

= 0.8010

G = 6.32

Afla¤›da verilen basit serinin kareli ortalamas›n› hesaplay›n›z.

x x2

1 13 95 257 498 6410 100

248olarak elde edilir ve kareli ortalama,

olarak hesaplan›r.

Frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde kareli ortalama,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

Afla¤›daki serinin kareli ortalamas›n› hesaplay›n›z.

K =x2f×f×

K = x2

n = 248

6 = 6.4291

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 47

Ö R N E K 1 3

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 1 4

S›n›flar f0 - 4 14 - 8 48 - 12 812 - 16 516 - 20 2

20

Kareli ortalama, seriyioluflturan gözlemde¤erlerinin kareleritoplam›n›n, gözlem say›s›naoran›n›n kare kökü al›narakhesaplan›r.

x1357810

ÇÖ

ZÜ

M

‹s tat ist ik48

Ö R N E K 1 5

ÇÖ

ZÜ

M

Hesaplamalar afla¤›daki gibidir: S›n›flar f x x2 x2f

0 - 4 1 2 4 44 - 8 4 6 36 1448 - 12 8 10 100 80012 - 16 5 14 196 98016 - 20 2 18 324 648

20 2576Kareli ortalama,

olarak elde edilir.

Görülece¤i gibi, kareli ortalama da tüm gözlem de¤erlerinin büyüklüklerindenetkilenen, duyarl› bir ortalamad›r.

Duyarl› Olmayan OrtalamalarDuyarl› olmayan ortalamalar, seriyi oluflturan tüm gözlem de¤erlerinin büyüklük-lerinden etkilenmeyen ortalamalard›r.

‹zleyen paragraflarda duyarl› olmayan ortalamalardan sadece medyan ve modele al›nacakt›r.

MedyanBir istatistik serisinde tam ortaya düflen ve dolay›s›yla seriyi iki eflit k›sma bölengözlem de¤erine medyan denir.

Afla¤›daki basit serinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Verilen seriyi tam ortadan ikiye bölen gözlem de¤eri 3. gözlem de¤eri olan 15’dir.

Med = 15

Görülece¤i gibi, seride bu de¤erden küçük ve büyük olmak üzere 2’fler gözlemde¤eri bulunmaktad›r. Ünitenin bafl›nda verilen 9 ailenin ayl›k gelirler (milyon TL) serisini tekrar gözönüne alal›m.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

K = x2ff× = 2576

20 = 11.3490

x1012151720

Bir serinin medyan›, ilgiliseriyi tam eflit iki k›smabölen gözlem de¤eridir.

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 49

ÇÖ

ZÜ

M

Aritmetik ortalama kullanarak ayn› apartmanda oturan ailelerin ayl›k ortalamageliri 770 milyon TL bulunmufltu. Görülece¤i gibi, 3 ailenin ayl›k geliri aritmetikortalamadan büyük, 6 ailenin de ayl›k geliri aritmetik ortalamadan küçüktür.

Bu grubun ayl›k gelirinin, gelirler büyüklük s›ras›na kondu¤unda tam ortada-ki ailenin geliri taraf›ndan temsil edilmesi istenebilir. Bu durumda ortalama gelir,medyan kullan›larak hesaplanmal›d›r.

Ayl›k gelirler serisini tam eflit iki k›sma bölen gelir, baflka bir anlat›mla ilgili se-rinin medyan› 5. gözlem de¤eri olan 700 milyon TL’dir. Dikkat edilirse 700 mil-yon TL’den küçük 3, büyük de 3 gelir düzeyi vard›r.

E¤er söz konusu apartmanda 9 de¤il de 10 aile ikamet ediyor olsayd›, budurumda orta aile (5,5. aile) söz konusu olmayacakt›r. Böyle durumlarda medyantam ortaya düflen iki gözlem de¤erinin aritmetik ortalamas› al›narak hesaplan›r.

Afla¤›da 8 gözleme iliflkin sonuçlar, gözlem s›ras›na göre verilmifltir :

2, 7, 3, 8, 7, 3, 4, 10

Gözlem de¤erlerine iliflkin medyan› hesaplay›n›z.

Öncelikle gözlenen de¤erler büyüklük s›ras›na konmal›d›r (Bir istatistik serisioluflturulmal›d›r).

x233477810

Görülece¤i gibi, verilen seride tam ortaya 4 ve 7 olmak üzere 2 de¤er düflmekte-dir. Yukar›daki aç›klamalar do¤rultusunda medyan, bu iki gözlem de¤erinin arit-metik ortalamas› olacakt›r.

olarak hesaplan›r.

Süreksiz serilerde medyan›n hangi s›radaki gözlem de¤eri oldu¤u, n seridekigözlem say›s›n› göstermek üzere, ile bulunur.

Yukar›daki 8 gözlemde oluflan örnekte medyan, s›radaki göz-

lem de¤eridir. 4 ve 5. gözlem de¤erleri s›ras›yla 4 ve 7 oldu¤undan medyan bu

de¤erlerin aritmetik ortalamas› al›narak hesaplanm›flt›r.Buna göre 7 gözlem de¤erinden oluflan bir seride medyan, göz-

lem de¤eri, 100 gözlem de¤erinden oluflan bir seride ise medyan, 100 + 1

2 = 50.5

7 + 12

= 4.

8 + 12

= 4.5

n + 12

Med = 4 + 72

= 112

= 5,5

Ö R N E K 1 6

gözlem de¤eri, baflka bir anlat›mla 50 ve 51. gözlem de¤erlerinin aritmetik ortala-mas› al›narak hesaplanacakt›r.

Frekans serilerinde de medyan›n kaç›nc› gözlemin de¤eri oldu¤u, ile

elde edilir. Hangi gözlem de¤erinin bu s›rada yer ald›¤›, birikimli frekanslar yar-

d›m›yla kolayl›kla bulunur. ‹fllemler afla¤›daki örnekte gösterilmifltir.

Afla¤›da verilen frekans serisinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Hangi s›radaki gözlem de¤erinin medyan de¤eri oldu¤unu bulabilmek için, kolay-l›k aç›s›ndan öncelikle -den az ya da -den çok serilerinden birisi oluflturulur.Bu örnekte den az serisinden yararlan›lm›flt›r.

x f den az10 2 212 3 515 6 1117 5 1620 1 17

17Toplam gözlem say›s› 17 oldu¤undan medyan de¤eri,

ki gözlem de¤erinin 15 oldu¤u bir bak›flta görülür. Buradan,

Med = 15

sonucuna ulafl›l›r.

S›n›fland›r›lm›fl serilerde de medyan yine birikimli frekanslar yard›m›yla hesap-lan›r. Ancak, s›n›fland›r›lm›fl serilerde seriyi iki eflit k›sma bölen gözlem de¤eri birs›n›f içinde yer alacakt›r. Medyan de¤erini içinde bulunduran s›n›fa medyan s›n›f›ad› verilir. Medyan s›n›f›, frekanslar toplam›n›n yar›s›n› içinde bulunduran s›n›ft›r.

Medyan s›n›f› belirlendikten sonra medyan,la : medyan s›n›f›n›n alt s›n›r›,N : frekanslar toplam› fa : medyan s›n›f›na kadar olan s›n›flar›n frekanslar› toplam›,fm : medyan s›n›f›n›n frekans›,hm: medyan s›n›f›n›n büyüklü¤ü,olmak üzere,

f× ,

n + 12

‹s tat ist ik50

x f10 212 315 617 520 1

17

ÇÖ

ZÜ

M

n + 12

= 182

= 9. s›radaki gözlem de¤erine eflit olacakt›r.den az serisinden 9.s›rada-

Ö R N E K 1 7

eflitli¤iyle hesaplan›r.Ancak dikkat etmek gerekir ki elde edilen sonuç, s›n›flama nedeniyle yaklafl›k

olacakt›r.S›n›fland›r›lm›fl serilerde medyan s›n›f›n›n bulunmas› ve medyan›n hesaplan-

mas› afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir.

Afla¤›daki serinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Öncelikle medyan s›n›f›n› bulabilmek için den az serisi oluflturulur.

S›n›flar f -den az10 - 14 3 314 - 18 4 7

(18 - 12) 8 1512 - 16 6 2116 - 20 1 22

22

Bu tür s›n›fland›r›lm›fl serilerde de¤iflken sürekli oldu¤undan, medyan

gözlem de¤eri olacakt›r. -den az serisinden 11. gözlem de¤erinin

(18 – 22) s›n›f›nda oldu¤u kolayl›kla görülür. (18 – 22) s›n›f›, medyan s›n›f›d›r.

Medyan s›n›f› belirlendikten sonra,

la = 18,

fa = 7,fm = 8,hm= 4,

de¤erleri yukar›da verilen eflitlikte yerine konarak,

N2 = 11,

N2 = 22

2 = 11.

Med = la +N2

- fa

fm . hm

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 51

S›n›flar f10 - 14 314 - 18 418 - 22 822 - 26 626 - 30 1

22

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 1 8

‹s tat ist ik52

Ö R N E K 1 9

S›n›flar f0 - 4 44 - 8 68 - 12 1012 - 16 816 - 20 620 - 24 324 - 28 3

40

ÇÖ

ZÜ

M

fiekil 3.1 Medyan›ngrafik yard›m›yla elde edilmesi.

olarak elde edilir. ( Bulunan de¤erin medyan s›n›f›n›n içinde kald›¤›na dikkatediniz.)

Medyan› grafik yard›m›yla da hesaplamak mümkündür. Bunun için -den azya da den çok e¤rilerinden birisinin grafi¤i çizilir. Sonra dik eksende frekanslartoplam›n›n yar›s› belirlenir ve bu noktadan yatay eksene bir paralel çizilir. Budo¤runun birikimli serinin grafi¤ini kesti¤i noktan›n apsis de¤eri medyan› belirler.

Afla¤›daki verilen serinin medyan›n› grafik yard›m›yla bulunuz.

Öncelikle birikimli serilerden birisi, örne¤in den az serisi oluflturulur.S›n›flar f -den az0 - 4 4 44 - 8 6 108 -12 10 20

12- 16 8 2816 - 20 6 3420 - 24 3 3724 - 28 3 40

40Oluflturulan birikimli serinin grafi¤i çizilir.

Frekanslar toplam›n›n yar›s› 20 ol-du¤undan dik eksende bu noktadanyatay eksene çizilen paralelin -denaz e¤risini kesti¤i noktan›n apsisi be-lirlenir.Belirlenen de¤er 12 oldu¤undan ve-rilen serinin medyan›,Med = 12 olarak elde edilir.

Med = 18 + 11 - 78

. 4

= 18 + 2 = 20

Medyan (12)

0 5 10 15 20 25 30

010

2030

40

ÇÖ

ZÜ

M

Medyan uygulamada, ilgilenilen seride afl›r› k›ymetlerin varl›¤› ya da aç›k (altya da üst s›n›r› belli olmayan) s›n›flar›n bulunmas› durumunda uygun sonuçlar ve-ren bir merkezi e¤ilim ölçüsüdür.

ModBir seride en çok tekrarlanan de¤ere mod ad› verilir. Tan›m uyar›nca basit seriler-de ve frekans serilerinde mod, en çok tekrarlanan gözlem de¤erinin belirlenmesiile kolayca hesaplan›r.

Ünitenin bafl›nda verilen 9 ailenin ayl›k gelirler serisini (milyon TL) tekrargöz önüne alal›m.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

Bu gelir grubunda ortalama gelirin en çok tekrarlanan gelir düzeyi taraf›ndantemsil edilmesi istenebilir. Bu durumda 9 aileye iliflkin ortalama gelir, tan›m uya-r›nca mod hesaplanarak elde edilir. En çok tekrarlanan gelir düzeyi 700 milyonTL oldu¤undan yukar›daki seri için,

Mod = 700 milyon TL

olarak hesaplan›r.

Dikkat edilecek olursa, seride mod de¤erinden küçük 3 ve büyük de 3 gelirdüzeyi vard›r.

Daha önce de de¤inildi¤i gibi, mod ve medyan gibi duyarl› olmayan ortalama-lar göz önüne al›nd›¤›nda seride afl›r› k›ymetlerin oluflu, bu ortalamalar›n sonucu-nu etkilemeyecektir. Örne¤in ilk gelir düzeyi 100 milyon TL ya da son gelir düze-yinin 3.000 milyon TL olmas› mod ve medyan de¤erlerini etkilemeyecek ancakduyarl› bir ortalama olan aritmetik ortalamay› do¤rudan etkileyecektir. Afla¤›dakiörnekleri dikkatle inceleyiniz.

Afla¤›daki serinin modunu hesaplay›n›z.

Bu seride her gözlem de¤eri yaln›z bir kez tekrarland›¤›ndan, serinin moduyoktur.

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 53

Bir serinin modu, seride ençok tekrarlanan de¤erdir.

Ö R N E K 2 0

x1012141720

Afla¤›da verilen serinin modunu hesaplay›n›z.

Bu basit seride en çok tekrarlanan gözlem de¤eri 12 oldu¤undan,

Mod = 12olarak hesaplan›r.

Afla¤›daki frekans serinin modunu hesaplay›n›z.

Verilen frekans serisinde 14 de¤eri 8 kez gözlenmifltir. En çok tekrarlanan göz-lem de¤eri 14 oldu¤undan serinin modu,

Mod = 14olarak kolayl›kla elde edilir.

E¤er modu hesaplanmak istenilen seri s›n›fland›r›lm›fl bir seriyse, en büyükfrekans bir gözlem de¤erine de¤il bir s›n›fa karfl› gelecektir.

En çok tekrarlanan gözlem de¤erini içinde bulunduran s›n›fa mod s›n›f› ya damodal s›n›f ad› verilir.

Mod s›n›f› belirlendikten sonra mod, la : mod s›n›f›n›n alt s›n›r›,

: mod s›n›f›n›n frekans›yla ondan bir önceki s›n›f›n frekanslar› aras›ndaki mutlak fark,

: mod s›n›f›n›n frekans›yla ondan bir sonrakis›n›f›n frekanslar› aras›ndaki mutlak fark,

h : s›n›f aral›¤›,olmak üzere,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

Mod = la + D1

D1 + D2 . h

D2

D1

‹s tat ist ik54

Ö R N E K 2 1 x101212121415

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 2 2

x f10 213 514 816 719 3

25

ÇÖ

ZÜ

M

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 55

Ö R N E K 2 3

S›n›flar f10 - 14 214 - 18 4

(18 - 22) 722 - 26 526 - 30 3

21

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 2 4

S›n›flar f10 - 20 420 - 30 730 - 40 2240 - 50 1850 - 60 2260 - 70 1570 - 80 780 - 90 5

100

Afla¤›da verilen serinin modunu hesaplay›n›z.

Verilen seride, en büyük frekans 7’dir. Bu nedenle mod s›n›f› (18 – 22) olacakt›r.Mod s›n›f› belirlendikten sonra,

la = 18

= 7 - 4 = 3

= 7 - 5 = 2h = 4

de¤erleri, yukar›da verilen eflitlikte yerlerine konarak,

olarak hesaplan›r. (Mod de¤erinin mod s›n›f› içinde kald›¤›na dikkat ediniz.)

Bazan bir seride ayn› maksimum frekansa sahip iki ya da daha çok gözlem de-¤eri ya da s›n›f bulunabilir. Böyle durumlarda, ilgili seri frekans serisiyse s›n›flan-d›r›larak, s›n›fland›r›lm›fl seriyse farkl› bir s›n›f aral›¤› kullanarak yeniden s›n›flan-d›rmak suretiyle modun hesaplanmas› mümkün olur.

Afla¤›daki verilen serinin modunu hesaplay›n›z.

Mod = 18 + 33 + 2

. 4

Mod = 20

D2

D1

S›n›flar f10 - 30 11

(30 - 50) 4050 - 70 3770 - 90 12

100

olarak elde edilir. Buradan da,

olarak hesaplan›r.

S›n›fland›r›lm›fl serilerde mod, grafik yard›m›yla da kolayl›kla bulunabilir. Bu-nun için önce verilen serinin histogram› çizilir. Histogram üzerinde mod s›n›f›nailiflkin dikdörtgenin üst köfleleriyle, komflu dikdörtgenlerin üst köfleleri birer do¤-ruyla birlefltirilir. Bu do¤rular›n kesiflme noktas›n›n apsis de¤eri, serinin modunugösterir.

Afla¤›daki örnekte modun grafik yard›m›yla bulunmas› gösterilmifltir.

Afla¤›daki serinin modunu grafik yard›m›yla bulunuz.

Mod = 30 + 2929 + 3

. 20

= 30 + 18.125 = 48.125

‹s tat ist ik56

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 2 5

S›n›flar f10 - 20 1020 - 30 3030 - 40 5040 - 50 2050 - 60 4060 - 70 2070 - 80 10

180

S›n›flar f f/h10 - 20 10 120 - 30 30 330 - 40 50 540 - 50 20 250 - 60 40 460 - 70 20 270 - 80 10 1

180

Verilen serinin modu grafik yard›m›yla,

Mod = 34

olarak bulunur.

Mod k›ymet olarak serideki gözlem de¤erlerinin büyük bir k›sm›na uydu¤un-dan, ortalamalar aras›nda en temsili olan›d›r. Ancak, matematiksel ifllemlere uy-gun bir ortalama de¤ildir. Ayr›ca U, J ve ters J serileri için de anlaml› bir orta-lama de¤ildir.

Serinin Simetri Durumuna Göre OrtalamalarAras›ndaki ‹liflkiTek modlu ve e¤ik serilerde medyan aritmetik ortalama ve mod aras›nda yer al›r.E¤er seri simetrikse, aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eflit olur. Serininsimetri durumuna göre ortalamalar aras›ndaki iliflkiler fiekil 3.3.’de gösterilmifltir.

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 57

ÇÖ

ZÜ

M

fiekil 3.2 Modungrafik yard›m›yla ede edilmesi.

0 20 60 80

01

23

45

6

Mod (34)

Mod, U, J ve ters J fleklindekifrekans e¤rileri için uygunbir ortalama de¤ildir

1. Bir ö¤encinin istatistik dersine iliflkin, birinci, ikinci ara s›navlar ve dönem sonu s›na-v›ndan ald›¤› notlar afla¤›da verilmifltir:

Ayr›ca, baflar› notunu birinci ara s›nav % 15, ikinci ara s›nav % 25 ve dönem sonu s›na-v› da % 60 oran›nda etkilemektedir.Ö¤rencinin baflar› puan›n› hesaplay›n›z.

‹s tat ist ik58

fiekil 3.3 Serininsimetri durumunagöre ortalamalararas›ndaki iliflkiler.

3 (a). Simetrik (b) Sa¤a E¤ik E¤ri

(c) Sola E¤ik E¤ri

xMed

Mod

xMedMod

x Med Mod

SIRA S ‹ZDE

S›n›flar Puan1. Ara S›nav 70II. Ara S›nav 60Dönem Sonu 50

2. Afla¤›da verilen seri için uygun ortalamay› hesaplay›n›z.

3. U, J, ve ters J e¤rileri için modun neden uygun bir ortalama olamayaca¤›n› aç›klay›n›z.

DE⁄‹fiKENL‹K ÖLÇÜLER‹

De¤iflkenlik ölçüleri kavram›n› aç›klayabilecek ve istatistik seri-lerine iliflkin de¤iflkenlik ölçülerini hesaplayabileceksiniz.

‹statistik serilerinin incelenmesinde ve karfl›laflt›r›lmas›nda ortalama gerekli bir öl-çüdür. Ancak tek bafl›na yeterli de¤ildir. Gerçekte ortalamalar› eflit olan seriler, bi-ribirinden çok farkl› olabilir.

Afla¤›daki ortalamalar› ayn› olan x ve y serilerini göz önüne alal›m :

Görülece¤i gibi x serisinde gözlem de¤erleri y serisine göre ortalamaya da-ha yak›n konumlanm›flt›r.

Bu basit örnekten de görülebilece¤i gibi, bir ortalama de¤er bir frekans da¤›l›-m›n› karakterize etmede yetersiz kalmaktad›r. Bu nedenle bir frekans da¤›l›m›n›nözellikleri araflt›r›l›rken, ortalama de¤erin yan› s›ra, gözlem de¤erlerinin ortalamaetraf›ndaki yay›l›fl›na iliflkin ölçülere de ihtiyaç vard›r.

Ana çizgileriyle, bir seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin de¤er itibariyle biribi-rinden ya da herhangi bir ortalamadan uzakl›klar›, seriyi oluflturan gözlem de¤er-lerinin nas›l yay›ld›¤›n›, baflka bir anlat›mla ilgili serinin de¤iflkenli¤ini ifade eder.

Bu ünitede istatistikte s›kça kullan›lan belli bafll› de¤iflkenlik ölçüleri eleal›nacakt›r.

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 59

S›n›flar f5 - 10 310 - 15 615 - 20 720 - 25 525 ve daha çok 4

25

x y30 232 1435 2036 4437 90

X = 34 Y = 34

Bir seriyi oluflturan gözlemde¤erlerinin de¤er itibariylebiribirinden ya da herhangibir ortalamadan uzakl›klar›esas al›narak oluflturulanölçülere, de¤iflkenlik ölçüleriad› verilir.

A M A �

2

De¤iflim Aral›¤›De¤iflkenlik ölçülerinin en basiti olan de¤iflim aral›¤›, bir serideki en büyük de¤erile en küçük de¤er aras›ndaki fark olarak tan›mlan›r.

De¤iflim aral›¤› k›saca D.A. ile gösterilirse,

D.A. = xmax - xmin

olarak ifade edilir.Yukar›daki ortalamalar› ayn› olan x ve y serilerini göz önüne al›n›rsa, bu se-

rilere iliflkin de¤iflim aral›klar›,D.A.(x) = 37 - 30 = 7D.A.(y) = 90 - 2 = 88

olarak hesaplan›r.De¤iflim aral›¤›, farkl› say›da gözlem de¤eri içeren ve farkl› ölçü birimlerine gö-

re oluflturulmufl serilerin karfl›laflt›r›lmalar›nda kullan›lamaz. Bu de¤iflkenlik ölçüsü,uygulamada eflit say›da küçük örneklemlerin de¤erlendirildi¤i alanlarda, örne¤inistatistik kalite kontrolünde s›kça kullan›lmaktad›r.

Standart SapmaStandart sapma, bir seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadanfarklar›n›n kareli ortalamas› olarak tan›mlan›r ve s (sigma) ile gösterilir.

Basit serilerde standart sapma,

eflitli¤i yard›m›yla hesaplan›r.

Afla¤›da verilen basit serinin standart sapmas›n› hesaplay›n›z.

s =xi - x 2×

i = 1

n

n

‹s tat ist ik60

De¤iflim aral›¤›, bir seridekien büyük gözlem de¤erindenen küçük gözlem de¤eriç›kart›larak hesaplan›r.

Standart sapma, bir seriyioluflturan gözlemde¤erlerinin aritmetik ortalamadan farklar›n›nkareli ortalamas› al›narakhesaplan›r.

Ö R N E K 2 6

x1457910

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 61

ÇÖ

ZÜ

M

x (x - )2

1 1 - 6 = -5 254 4 - 6 = -2 45 5 - 6 = -1 17 7 - 6 = 1 19 9 - 6 = 3 910 10 - 6 = 4 16

56n = 6

olarak elde edilir.

Frekans serilerinde ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde standart sapma,

ile hesaplan›r.

Afla¤›da verilen frekans serisinin standart sapmas›n› hesaplay›n›z.

x f xf (x - ) (x - )2 (x - )2.f2 1 2 -3.875 15.0156 15.01564 3 12 -1.875 3.5156 10.54685 6 30 -0.875 0.7656 4.59368 4 32 2.125 4.5156 18.06249 2 18 3.125 9.7656 19.5312

16 94 67.7496

olarak elde edilir.

xxx

s =xi - x 2fi×

i = 1

n

fi×i = 1

n

s =xi - x 2×

i = 1

n

n = 56

6 @ 3.055

x = 6

xx -x

Ö R N E K 2 7

x f2 14 35 68 49 2

16

ÇÖ

ZÜ

M

x =xf×f× = 94

16 = 5.875 s = 67.7496

16 = 4.23435 @ 2.0577

‹s tat ist ik62

Ö R N E K 2 8

S›n›flar f0 - 2 22 - 4 44 - 6 66 - 8 58 - 10 3

20

ÇÖ

ZÜ

M

Afla¤›da verilen s›n›fland›r›lm›fl serisinin standart sapmas›n› hesaplay›n›z.

S›n›flar x f xf (x - ) (x - )2 (x - )2 - f

0 - 2 1 2 2 -4.3 18.49 36.982 - 4 3 4 12 -2.3 5.29 21.164 - 6 5 6 30 -0.3 0.09 0.546 - 8 7 5 35 1.7 2.89 14.458 - 10 9 3 27 3.7 13.69 41.07

20 106 114.20

olarak elde edilir.

Standart sapma, uygulamada matematiksel ifllemlere elveriflli olmas› nedeniyleen çok kullan›lan de¤iflkenlik ölçüsüdür.

Bazan s yerine de¤iflkenlik ölçüsü olarak s2 kullan›l›r. s2 ’ye varyans ad› ve-rilir. (Standart sapma, varyans›n pozitif kare köküdür.)

Standart sapmayla ilgili baz› özellikler, afla¤›da ispats›z olarak verilmifltir :• Kareli ortalaman›n karesiyle aritmetik ortalaman›n karesi aras›ndaki fark, var-

yansa eflittir. Baflka bir ifadeyle,

’dir.• Bir seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin her birine sabit bir say› eklenir ya da

ç›kart›l›rsa, serinin standart sapmas› de¤iflmez.• Bir seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin tümü c gibi bir say›yla çarp›l›rsa elde

edilen serinin standart sapmas›, ilk serinin standart sapmas›n›n c kat› olur.

De¤iflim Katsay›s›Buraya kadar ele al›nan de¤iflkenlik ölçüleri, mutlak de¤iflkenlik ölçüleridir. Bunedenle farkl› ölçü birimlerine göre oluflturulan serilerin de¤iflkenlikleri, bu ölçü-lerle karfl›laflt›r›lamaz. Ayr›ca mutlak de¤iflkenlik ölçüleri, seriyi oluflturan gözlemde¤erlerinin büyüklüklerinin de etkisi alt›ndad›r.

K2 - x 2 = s2

s = 114.220

= 5.71 @ 2.39

x = 10620

= 5.3

xxx

Konuya aç›kl›k kazand›rmas› aç›s›ndan, afla¤›daki örne¤i göz önüne alal›m.

Görülece¤i gibi, sy > sx’dir. Ancak bu sonuç, y serisindeki gözlem de¤erleri-nin x serisine göre daha büyük olmas›ndan kaynaklanm›fl olabilir.

E¤er, sadece standart sapmalarla bu iki seri karfl›laflt›r›l›rsa, y serisindeki de¤ifl-kenli¤in x serisine göre daha büyük oldu¤u ifade edilecektir.

E¤er karfl›laflt›r›lan serilerin standart sapmalar› iliflkin olduklar› serilerin ortala-ma de¤erinin bir yüzdesi olarak ifade edilirse, karfl›laflt›rmalarda ölçü birimlerin-deki farkl›l›klar ve gözlem de¤erlerinin büyüklü¤ünden oluflan sak›ncalar, gideri-lebilir. Bu yaklafl›mla hesaplanan de¤iflkenlik ölçüsüne, de¤iflim katsay›s› ad› ve-rilir ve k›saca D.K. ile gösterilir.

olarak formüle edilir.

Yukar›da verilen serilere iliflkin de¤iflkenlik, serilerin de¤iflim katsay›lar›yla bu-lunursa,

olarak elde edilir.

Görülece¤i gibi, gerçekte X serisindeki de¤iflkenlik, Y serisine göre daha fazlad›r.

D.K.(x) = 2.738613

. 100 @ %21.066 D.K.(y) = 2.7386

13 . 100 @ %20.9426

D.K.(x) = sx

. 100

x serisi için x = 13 ve sx = 2.7386 y serisi için y = 57 ve sy = 11.9373'tür.

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 63

x f10 4311 4813 5814 6317 7365 285

Farkl› seriler de¤iflim katsay›s› yard›m›ylakarfl›laflt›r›labilir.

1. Afla¤›da verilen serinin,a. De¤iflim aral›¤›n›,b. Standart sapmas›n›,

hesaplay›n›z.

2. Afla¤›da verilen iki seriden hangisinde de¤iflkenli¤in daha çok oldu¤unu belirleyiniz.

3. Afla¤›da verilen serinin varyans›n› hesaplay›n›z.

‹s tat ist ik64

SIRA S ‹ZDE

x f12 214 618 720 326 2

20

x1 (kg) f x2 (lt) f0 - 4 4 0 - 10 74 - 8 4 10 - 20 12

8 - 12 8 20 - 30 2012 - 16 6 30 - 40 1116 - 20 5 40 - 50 520 - 24 3 55

30

S›n›flar f0 - 5 15 - 10 410 - 15 1015 - 20 2020 - 25 1525 - 30 1030 - 35 5

65

Ünite 3 - Merkez i E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüler i 65

Kendimizi S›nayal›m1.

Yukar›da verilen serinin aritmetik ortalamas› kaçt›r?a. 20.12b. 27.13c. 29.42d. 30.86e. 32.15

2. 5 birimden oluflan bir basit seride gözlem de¤erleri-nin toplam› oldu¤una göre, serinin aritmetikortalamas› kaçt›r?

a. 3b. 4c. 5 d. 6e. 15

3. 15 gözlem de¤erinden oluflan bir basit serinin aritme-tik ortalamas› 50 ise bu serideki gözlem de¤erlerinin top-lam› kaçt›r?

a. 60b. 150c. 600d. 750e. 840

4. Bir ö¤rencinin Olas›l›k dersinden birinci, ikinci ara s›-nav ve final notlar› afla¤›daki tabloda verilmifltir. (Sonucubirinci ara s›nav %10, ikinci ara s›nav %20 ve final notuda %70 oran›nda etkileyecektir.)

Buna göre bu ö¤rencinin baflar› notu kaçt›r?a. 45.5b. 50.5c. 55.0d. 60.0e. 65.0

5.

Yukar›da verilen serinin medyan› kaçt›r? a. 15b. 18c. 20d. 22e. 27

x∑

x∑ = 30

S›n›flar f

10 - 16 416 - 22 322 – 28 728 – 34 1534 – 40 840 – 46 546 - 52 2

44

S›n›flar Puan

1. Ara S›nav 75

II. Ara S›nav 50

Final 40

S›n›flar f

5 - 10 110 - 15 415 – 20 620 –25 1030 - 35 535 - 40 340 - 45 1

30

66 ‹s tat ist ik

6. Bir seri için kareli ortalama K = 10 ve aritmetik ortala-ma olarak hesaplanm›flt›r. Bu serinin standartsapmas› kaçt›r?

a. 4b. 8c. 50d. 64e. 72

7. Kareli ortalamas› K= 20 ve aritmetik ortalamas› olan bir serinin tüm gözlem de¤erleri 3 ile çarp›larak ye-ni bir seri oluflturulmufltur. Yeni serinin varyans› kaçt›r?

a. 12b. 16c. 20d. 144e. 256

8.

Yukar›da verilen serinin modu kaçt›r?a. 47/12b. 23/4c. 12 d. 50/3e. 18

9. 4, 3, 5, 7, 2, 8, 2, 6, 4, 9 serisinin medyan› kaçt›r?a. 2b. 3c. 4d. 5e. 6

10.Aritmetik ortalamas› ve varyans› s2= 144olan bir serinin de¤iflim katsay›s› yüzde kaçt›r?

a. 1.44b. 12c. 14.4d. 28e. 56

Yan›t Anahtar›1. d2. c3. d4. a5. d6. b7. d8. d9. d10. b

Yararlan›lan KaynaklarÇÖMLEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri,

2. Bask›, Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1994.FOX, William: Social Statistics Using Micro Case, Mic-

ro Case Corp., Washington, 1992.GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›, ‹s-

tanbul Üniversitesi Yay›nlar›, No 2265, ‹stanbul, 1977.NEWBOLD, Paul: (Çeviren: Ümit fienesen), ‹flletme ve

‹ktisat ‹çin ‹statistik, Literatür Yay›nlar›, ‹stanbul,2000.

YATES, D. , MOORE D. , McCABE G. The Practice of

Statistics, W.H. Freeman, New York, 1999.

x = 100

x = 12

x = 6

S›n›flar f

0 - 4 44 - 8 78 - 12 12

12 - 16 316 - 20 420 - 24 1224 - 28 328 - 32 2

44

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak: • Verilen tan›mlar iyice incelenmeli,• Örnek sorular çözülürken dikkatli olunmal›,• Kavramlar birbiriyle kar›flt›r›lmamal›,• Al›flt›rmalarda verilen bilgiler iyi de¤erlendirilerek istenenlerin neler oldu¤u

net bir biçimde ortaya konmal›d›r.

67

Olas›l›k 4

Amaçlar:Deney ve sonuçlar›ndan hareketle, örneklem uzay›n› yazabileceksiniz.Verilen tan›mlar› uygulayarak, olas›l›klar hesaplayabileceksiniz.Olaylardaki aflama say›s›na ba¤l› olarak, toplam sonuç say›s›n› yazabileceksiniz.Bileflen ve bileflik olas›l›klar aras›ndaki fark› aç›klayabileceksiniz.Ayr›k olay kavram›n› aç›klayabileceksiniz.Ba¤›ms›z ve ayr›k olaylar aras›ndaki fark› yazabileceksiniz.Tamamlay›c› olaylar kavram›n› aç›klayabileceksiniz.Ayn› anda ortaya ç›kan olaylar›n olas›l›¤›n› hesaplayabileceksiniz.Olaylardan en az birinin ortaya ç›kmas›na iliflkin olas›l›¤› hesapla-yabileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• DENEY, SONUÇ VE ÖRNEKLEM UZAYI • OLASILIK HESAPLAMA

• Olas›l›¤›n ‹ki Özelli¤i• Olas›l›¤a Üç Kavramsal Yaklafl›m

• SAYMA KURALI• B‹LEfiEN (MARJ‹NAL) VE KOfiULLU OLASILIKLAR• AYRIK OLAYLAR• BA⁄IMSIZ VE BA⁄IMLI OLAYLAR• TAMAMLAYICI (BÜTÜNLEY‹C‹) OLAYLAR• OLAYLARIN ARA KES‹T‹ VE ÇARPMA KURALI

• Olaylar›n Ara Kesiti• Çarpma Kural›• Ba¤›ms›z Olaylar ‹çin Çarpma Kural›• Ayr›k Olaylar›n Bileflik Olas›l›¤›

• OLAYLARIN B‹LEfi‹M‹ VE TOPLAMA KURALI• Olaylar›n Bileflimi• Toplama Kural›• Ayr›k Olaylar ‹çin Toplama Kural›

is tat ist ik68

���������

G‹R‹fi Olas›l›k, günlük yaflam›m›zda s›kça kulland›¤›m›z, yararland›¤›m›z bir kavramd›r.Örne¤in meteoroloji uzman› sabah haberlerinde o gün % 80 olas›l›kla ya¤mur ya-¤aca¤›n›, sa¤l›k uzmanlar› sigara içenlerin içmeyenlere oranla kansere yakalanmariskinin daha yüksek olaca¤›n›, s›nav› baflar›s›z geçmifl bir ö¤renci o dersten geç-me flans›n›n çok az olaca¤›n› söyler.

Herhangi bir olay›n meydana gelme flans›n› ölçmeyle ilgilenen olas›l›k, istatis-ti¤in önemli bir bölümünü oluflturmaktad›r. ‹statisti¤in ç›karsama (öngörü) teme-lini oluflturan olas›l›k, belirsizlik durumunda sa¤l›kl› kararlar vermeyi sa¤lad›¤›için, planlama çal›flmalar›nda yo¤un bir biçimde kullan›lmaktad›r. Örne¤in bir fir-man›n gelecek y›ldaki sat›fl kestirimleri, bir k›sm› gerçekleflecek bir k›sm› gerçek-leflmeyecek bir çok varsay›ma dayal›d›r. Bu nedenlerden dolay› olas›l›k kuram›,bizlere belirsizlik alt›nda ya da mevcut bilgilerin tam ve sa¤l›kl› olmamas› gibi du-rumlarda do¤ru ve sa¤l›kl› kararlar verebilmede yard›mc› olacakt›r. Bu bölümdeilk olarak ilgili temel kavramlar verilecek, daha sonra olas›l›k hesaplama kuralla-r›ndan önemli olanlar› basit bir biçimde gösterilecek ve son olaraksa kesikli veri-lerin en temel da¤›l›mlar›ndan biri olan Binom da¤›l›m› anlat›lacakt›r.

DENEY, SONUÇ VE ÖRNEKLEM UZAYI

Deney ve sonuçlar›ndan hareketle, örneklem uzay›n› yazabileceksiniz.

Vida üreten bir firmada kalite kontrol uzman› olarak görev yapan Rag›p Keskin-göz üretim hatt›ndan rasgele bir vida alarak vidan›n hatal› olup olmad›¤›n› ince-ler. Rag›p Keskingöz’ün bir viday› inceleme eylemi istatistiksel deneye bir örnek-tir. Bu inceleme sonucunda vida hatas›z ya da hatal› biçiminde de¤erlendirilecek-tir. Bu iki gözlem bilgisine deneyin sonucu (outcome) denirken, bu sonuçlar›nbirlikte ele al›nmas› neticesindeyse bu deneyin örneklem uzay› oluflur.

Pek çok gözlemden sadece bir tanesinin gerçekleflmesi sürecine “deney”, bugözlemlere “deneyin sonuçlar›” ve bu sonuçlar›n tümüne ise “deneyin örneklemuzay›” denmektedir.

Bir örneklem (örnek) uzay› S harfiyle ifade edilmekte olup yukar›da verilenvida inceleme deneyine iliflkin örneklem uzay›,

S = {hatas›z, hatal›}

biçiminde gösterilmektedir. Bu örneklem uzay›n›n elemanlar›na da örneklemnoktalar› denmektedir.

Ünite 4 - Olas›l›k 69

A M A �

1

Tablo 4.1 Deney,sonuç ve örneklemuzay› örnekleri.

Pek çok gözlemden sadecebir tanesinin gerçekleflmesisürecine “deney”, bugözlemlere deneyinsonuçlar› ve bu sonuçlar›ntümüneyse “deneyin örneklem uzay›” ad› verilir.

Deney Sonuçlar Örneklem Uzay›

Paran›n bir kez at›lmas› Yaz›, Tura S = { Yaz›, Tura }

Zar›n bir kez at›lmas› 1, 2, 3, 4, 5, 6 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Paran›n iki kez at›lmas› YY, YT, TY, TT S = { YY, YT, TY, TT }

Do¤acak bebe¤in cinsiyeti Erkek, K›z S = { Erkek, K›z }

Ö¤rencinin s›nav sonucu Baflar›l›, Baflar›s›z S = { Baflar›l›, Baflar›s›z }

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

Bir deneyin örneklem uzay› Venn ya da a¤aç diyagram› çizilerek de oluflturu-labilmektedir. Venn diyagram›, bir deneyin tüm olas› sonuçlar›n›n (kare, dikdört-gen ya da daire gibi) bir resimle gösterilmesidir. A¤aç diyagram›ndaysa her bir so-nuç, a¤ac›n bir dal›yla ifade edilmektedir. Venn ve a¤aç diyagramlar› olas›l›k kav-ramlar›n›n, görsel ifade yoluyla kolay anlafl›lmas›na yard›mc› olmaktad›r.

Paran›n bir kez at›lmas› deneyinin Venn ve a¤aç diyagramlar›n› çiziniz.

Bu deneyin iki olas› sonucu yaz› ve tura olup örneklem uzay› Y = Yaz›, T = Turaolmak üzere,

S = {Y, T}

biçimindedir.

Bu örne¤in Venn diyagram› olarak bir dikdörtgen çizilir ve bu dikdörtgen içe-risinde iki sonucu göstermek üzere iki nokta konarak yaz› ve tura iflaretlenir. Ör-neklem uzay›n› belirtmek üzere de dikdörtgenin d›fl›na S harfi yaz›l›r (fiekil 4.1 a).

Bu örne¤in a¤aç diyagram›ysa ayn› noktadan bafllayan iki dal çizilmekte vedallardan biri yaz›y› di¤eri turay› ifade etmek üzere dallar›n sonuna da sonuçlar(Y ve T) yaz›lmaktad›r (fiekil 4.1 b).

Paran›n iki kez at›lmas› deneyinin Venn ve a¤aç diyagramlar›n› çiziniz.

Bu deney, paran›n ilk ve ikinci at›l›fl›nda yaz› ya da tura gelme durumuna göre ikibölümde flekillenir. ilk para at›l›fl›nda yaz› geldi¤inde ikincisinde yaz› ya da turagelebilecektir. Yani yaz› geldi¤inde YY (birinci ve ikinci at›flta yaz›), turageldi¤indeyse YT (birinci at›flta yaz›, ikinci at›flta tura) sonucuyla karfl›lafl›lafl›lacakt›r.Bu durumun tersi de düflünülebilir. ‹lk at›fl tura, ikinci at›fl yaz› (TY) gelebilir. Öteyandan ilk at›fl tura iken, ikinci at›flda tura (TT) gelebilir. Sonuç olarak iki kezat›lan para deneyinin örneklem uzay›,

S = {YY, YT, TY, TT}

biçimindedir ve bu deneye iliflkin Venn ve a¤aç diyagramlar› da afla¤›daki fiekil4.2’deki gibidir.

is tat ist ik70

Ö R N E K 1

fiekil 4.1 Paran›n birkez at›lmas›deneyinin (a) Vennve (b) A¤aç diyagram›..

YY

T

Nihai Sonuçlar

Yaz›

Tura

T

S

(a) (b)

Ö R N E K 2

Bir iflyerinde çal›flan personel aras›nda rasgele iki tanesinin seçildi¤i vecinsiyetlerinin ( E = Erkek, K= Kad›n ) kaydedildi¤i düflünülsün. Bu dene-yin tüm sonuçlar›n› yaz›n›z, Venn ve a¤aç diyagramlar›n› çiziniz.

Bu deney de paran›n iki kez at›lmas› deneyiyle ayn›d›r. Çünkü para atma dene-yindeki Y ve T biçimindeki iki sonuç, bu deneyde E ve K olarak görülecektir.Afla¤›daki Venn ve a¤aç diyagramlar›nda da (fiekil 4.3) görülece¤i gibi bu dene-yin sonuçlar› da EE, EK, KE, KK biçiminde dört noktayla ifade edilmektedir, ör-neklem uzay› da,

S = {EE, EK, KE, KK}

biçiminde yaz›lmaktad›r.

Basit ve Bileflik OlaylarOlay, bir deneyin bir ya da daha çok sonucundan oluflur.

Olay: Bir olay, bir deneyin bir ya da daha çok sonucunun kümesidir.Olay, basit ya da bileflik olabilmektedir. Basit olaya ayn› zamanda “elementer

olay” denirken, bileflik olaya da “kat›fl›k olay” denir.

Ünite 4 - Olas›l›k 71

Y

Y

T

NihaiSonuçlar

T

S

(a)

Y T

Y

T

Y

T

Y Y

Y T

T Y

T T

‹kinci at›fl‹lk at›fl

(b)

fiekil 4.2 Paran›n ikikez at›lmas›deneyinin (a) Vennve (b) A¤aç diyagram›.

Ö R N E K 3

ÇÖ

ZÜ

M

EE

E

K

NihaiSonuçlar

EK

S

(a)

KE KK

E

K

E

K

EE

EK

KE

KK

‹kinci seçim‹lk seçim

(b)

fiekil 4.3 ‹ki personelseçilmesi deneyinin(a) Venn ve (b) A¤açdiyagram›.

Olay: Bir olay, bir deneyin birya da daha çok sonucunun kümesidir.

Basit OlayHerhangi bir deneyin nihai sonuçlar›na basit olay denir. Yani bir basit olay sade-ce ve sadece bir tane sonuç içermekte ve E1, E2, E3, .... ya da A, B, C, ....biçimin-deki harflerle gösterilmektedir.

Yukar›da verdi¤imiz örnek 4.3. deki iki personel seçimi deneyinde, eldeedilen (EE EK KE KK) verdi¤imiz dört nihai sonucun her biri bu dene-yin basit olaylar›d›r ve s›ras›yla E1, E2, E3 ve E4 biçiminde gösterilir.

E1 = (EE), E2 = (EK) , E3 = (KE) , E4 = (KK)

Bileflik OlayBir bileflik olay birden çok sonuçtan oluflmaktad›r.

Bileflik olaylar A, B, C, D,.... ya da A1, A2, A3, ....., B1, B2, B3,.... biçiminde gös-terilmektedir.

Bir iflyerinde çal›flan personel aras›ndan rasgele iki personelin seçilmesive cinsiyetlerinin kaydedilmesi biçimindeki, örnek 4.3. tekrar düflünülsünve A olay›, en çok bir erke¤in seçilmifl oldu¤u durum olarak tan›mlans›n.A olay› hiç erkek olmamas› ya da bir erkek olmas› durumunda gerçekle-flecektir ve afla¤›daki gibi gösterilecektir.

A = {EK, KE, KK}

A olay›, birden çok sonuçlu oldu¤u için bir bileflik olayd›r. Bu olay›n Venn di-yagram› yard›m›yla grafiksel gösterimi afla¤›dad›r.

Bir grup insandan bir k›sm›, genetik kopyalamay›, olumlu bulup destekle-mekte, geri kalan› karfl› ç›kmaktad›r. Bu gruptan rasgele iki kifli seçilmiflve genetik kopyalamaya iliflkin görüflleri sorulmufltur. Kaç farkl› sonuçsöz konusudur? Bu deneye iliflkin Venn ve a¤aç diyagramlar›n› çiziniz.Afla¤›da verilen olaylar›n içerdi¤i sonuçlar› listeleyiniz ve bu olaylar›nbasit mi yoksa bileflik mi oldu¤unu belirtiniz.a) Her iki kifli de genetik kopyalamay› destekliyor.b) En çok bir kifli genetik kopyalamaya karfl›d›r.c) Kesinlikle bir kifli genetik kopyalamay› destekliyor.

is tat ist ik72

Basit olay:Bir deneyin sadece ve sadecebir nihai sonucunu içerenolaya basit olay denmekte vegenellikle Ei biçiminde gösterilmektedir.

Ö R N E K 4

Bileflik olay:Bir deneyin birden çok sonucundan oluflan kümeyebileflik ya da kat›fl›k olay denmektedir.

Ö R N E K 5

S

EKEE

KE KK

A

fiekil 4.4 A Bileflikolay›n›n Venn diyagram›.

Ö R N E K 6

ÇÖ

ZÜ

M

D = Genetik kopyalamay› destekliyor, K = Genetik kopyalamaya karfl› olmaküzere dört sonuç afla¤›dad›r.

DD = Her iki kifli de genetik kopyalamay› destekliyor.

DK = Birinci kifli genetik kopyalamay› desteklerken ikincisi karfl›d›r.

KD = Birinci kifli genetik kopyalamaya karfl›yken ikincisi destekliyor.

KK = Her iki kifli de genetik kopyalamaya karfl›d›r.

Bu deneyin dört nihai sonucuna iliflkin Venn ve a¤aç diyagram› flöyledir.

a) “Her iki kifli de genetik kopyalamay› destekliyor” olay›n›n gerçekleflmesi A ileifade edilmek üzere, A = {DD} biçiminde gösterilir ve bu olay, deneyin dörtnihai sonucundan sadece bir tanesini içerdi¤i için “basit olayd›r”.

b) “En çok bir kifli genetik kopyalamaya karfl›” olay›n›n gerçekleflmesi iki kiflininya da iki kifliden birinin genetik kopyalamay› desteklemesi durumlar›nda sözkonusudur. B ile ifade edilen olay, B = {DD, DK, KD} sonuçlar› nedeniyle(birden çok sonuç) “bileflik olayd›r”.

c) “Kesinlikle bir kifli genetik kopyalamay› destekliyor” olay›n›n gerçekleflmesi,iki kifliden birisinin genetik kopyalamay› desteklerken, di¤er kiflinin karfl› ol-du¤u durumda söz konusudur. C ile ifade edilen ve C = {DK, KD} biçimindegösterilen olay birden çok say›da sonuç içermesi nedeniyle “bileflik olayd›r”.

1. Deney, sonuç, örneklem uzay›, basit olay, bileflik olay kavramlar›n› aç›klay›n›z.

2. Afla¤›daki istatistiksel deneyler için basit olaylar› S örneklem uzay›n› yaz›n›z.a. Bir zar›n bir kez at›lmas›,b. Bir paran›n üç kez at›lmas›,c. Bir paran›n bir kez ve bir zar›n bir kez at›lmas›.

3. Devlet bütçesindeki a盤›n kapat›labilmesi için zenginlerden al›nan verginin artt›r›l-mas›n› baz› seçmenler isterken, baz›lar› karfl› ç›kmaktad›r. Seçmenler aras›ndan ras-gele üç kifli seçilip görüflleri sorulacak olursa, toplam kaç olas› sonuçla karfl›lafl›l›r?Bu deneyin a¤aç diyagram›n› çiziniz ve sonuçlar› S örneklem uzay›nda gösteriniz.

Ünite 4 - Olas›l›k 73

fiekil 4.5 Deneyinin(a) Venn ve (b) A¤açdiyagram›.

DD

D

K

NihaiSonuçlar

DK

S

(a)

KD KK

D

K

D

K

DD

DK

KD

KK

‹lk kifli

(b)

‹kinci kifli

SIRA S ‹ZDE

OLASILIK HESAPLAMA

Verilen tan›mlar› uygulayarak, olas›l›klar hesaplayabileceksiniz.

Olas›l›k (probability) bir olay›n meydana gelme, ortaya ç›kma flans›n› ifade ederve P ile gösterilir. Ei ile gösterilen bir basit olay›n olas›l›¤› P (Ei), A bileflik olay›-n›n olas›l›¤›ysa P (A) biçiminde gösterilmektedir.

Olas›l›¤›n ‹ki Özelli¤iOlas›l›¤›n iki önemli özelli¤i flunlard›r:1. Bir olay›n olas›l›¤› her zaman s›f›r ve bir aral›¤›nda yer al›r.

Olay ister basit, isterse bileflik olsun meydana gelme olas›l›¤› hiçbir zaman s›-f›rdan az, birden çok olamaz. Matematiksel notasyonlarla bu özellik flöyle ifa-de edilir:

0 ≤ P (Ei) ≤ 1

0 ≤ P (A) ≤ 1

Meydana gelmeyen bir olay›n olas›l›¤› s›f›r olup, bu tür olaya olanaks›z ad› ve-rilir. Ortaya ç›kma, meydana gelme olas›l›¤› bir olan bir olaya kesin olay ad›verilir ve afla¤›daki biçimde gösterilir.

P (M) = 0 ; M olanaks›z olay için

P (C) = 1 ; C kesin olay için

2. Bir deneydeki tüm basit olaylar›n olas›l›klar› toplam› Â P (Ei) biçimin-de gösterilir ve her zaman birdir.Bu özellik nedeniyle,

 P (Ei) = P (E1) + P (E2) + P (E3) +............... = 1

eflitli¤i yaz›labilmektedir. Bu özellikten yararlanarak paran›n bir kez at›lmas›deneyi için

P (Y) + P (T) = 1

Paran›n iki kez at›lmas› deneyi için

P (Y Y) + P (Y T) + P (T Y) + P (T T) = 1

Süper Ligde oynayan bir futbol tak›m›n›n maç sonucu içinse

P (Galibiyet) + P (Ma¤lubiyet) + P (Beraberlik) = 1

eflitlikleri yaz›labilir.

is tat ist ik74

A M A �

2Olas›l›k: Olas›l›k, bir olay›nmeydana gelme flans›n›nsay›sal bir ölçüsüdür.

 P (Ei) = P (E1) + P (E2) +P (E3) +............... = 1

0 ≤ P (Ei) ≤ 1

0 ≤ P (A) ≤ 1

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

Olas›l›¤a Üç Kavramsal Yaklafl›mOlas›l›¤a üç kavramsal yaklafl›m: 1) klasik olas›l›k, 2) olas›l›¤›n göreli s›kl›kkavram› ve 3) öznel olas›l›k kavram›d›r. Olas›l›¤›n bu üç kavram›n›n aç›klama-lar› afla¤›dad›r.

Klasik Olas›l›kSonuçlar›n ortaya ç›kma olas›l›klar› ayn› ise buna eflit olas›l›kl› (benzer) sonuçlardenir. Klasik olas›l›k kural›, tüm sonuçlar› eflit olas›l›kl› olan deneylerin sonuçlar›-na iliflkin olas›l›klar› hesaplamada kullan›lmaktad›r.

Klasik olas›l›k kural›na göre bir deneydeki basit bir olay›n olas›l›¤› 1’in tüm so-nuç say›s›na bölünmesine eflittir.

Bu ifadeden de anlafl›lmaktad›r ki, bir deneyin tüm nihai sonuçlar›n›n olas›-l›klar toplam› 1’dir ve tüm nihai sonuçlar eflit olas›l›kl›d›r. Öte yandan, A bileflikolay›n›n olas›l›¤›ysa, A olay›nda içerilen sonuç say›s›n›n toplam sonuç say›s›na bö-lünmesiyle elde edilmektedir.

Klasik Olas›l›k Kural›

Paran›n bir kez at›lmas› deneyinde bir yaz› ve bir tura elde edilmesi ola-s›l›¤›n› bulunuz.

Bu deneyde yaz› ve tura olmak üzere iki sonuç bulunmaktad›r ve bu sonuçlar eflitolas›l›kl›d›r. Bu nedenle,

sonuçlar› elde edilir.

Zar›n bir kez at›lmas› deneyinde çift say› elde edilmesi olas›l›¤›n› bulunuz.

Bu deneyde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olmak üzere alt› sonuç bulunmaktad›r ve tüm so-nuçlar eflit olas›l›kl› sonuçlard›r. A bileflik olay› 2, 4 ve 6 gelmesi biçiminde tan›m-lan›rsa,

A = {2, 4, 6}

örneklem uzay›ndaki toplam alt› sonucun üç tanesi A olay›nca içerilmifl olur ve Aolay›n›n olma olas›l›¤›,

P (Yaz›) = 1Toplam sonuç say›s›

= 12

P (Tura) = 1

2 = 0.5

P (E i ) = 1Deneyin toplam sonuç say›s›

P (A) = A olay›nda içerilen sonuç say›s›

Deneyin toplam sonuç say›s›

Ünite 4 - Olas›l›k 75

Eflit olas›l›kl› sonuçlar:‹ki ya da daha çok sonucun(ya da olay›n) ortaya ç›kmaolas›l›¤› ayn›ysa bunlara eflitolas›l›kl› sonuç (ya da olay)denir.

Ö R N E K 7

P (Ei ) =1

Deneyin toplam sonuç say›s›

P (A) =A olay›nda içerilen sonuç say›s›

Deneyin toplam sonuç say›s›

Klasik olas›l›k kural›:

Ö R N E K 8

ÇÖ

ZÜ

M

olarak bulunur.

Bir derne¤in 60’› erkek ve 40’› kad›n olmak üzere toplam 100 üyesi bulun-maktad›r. Bu üyeler aras›nda bir tanesi dernek baflkan› olmak için rasge-le seçilecektir. Bir kad›n üyenin dernek baflkan› seçilme olas›l›¤› nedir?

Seçim rasgele olaca¤› için derne¤in 100 üyesinin de seçilme olas›l›¤› ayn›d›r. Ya-ni bu deneyde toplam olarak 100 tane eflit olas›l›kl› sonuç vard›r. Burada iste-nense 40 kad›n üyeden bir tanesinin seçilmesidir. Bu da,

biçiminde bulunur.

Olas›l›¤›n Göreli S›kl›k Kavram›‹lk olarak afla¤›daki olas›l›klar›n hesaplanmak istendi¤ini düflünülsün.

1. Bir otomobil fabrikas›nca bundan sonra üretilecek otomobilin kusurlu olmaolas›l›¤›,

2. Rasgele seçilmifl bir ailenin y›ll›k gelirinin 5.000.000.000 TL’den fazla olmas›olas›l›¤›,

3. Bir hastanede bundan sonra do¤acak çocu¤un cinsiyetinin k›z olmas› olas›l›¤›,4. 80 yafl›ndaki birinin en az bir y›l daha yaflamas› olas›l›¤›,5. Hileli bir paran›n at›lmas› sonucunda yaz› gelmesi olas›l›¤›,6. Cival› bir zar›n at›lmas› sonucunda 1 gelmesi olas›l›¤›.

Bu deneylerdeki sonuçlar eflit olas›l›kl› olmad›¤› için, yukar›da s›ralananolaylara iliflkin olas›l›klar klasik olas›l›k hesaplama kural›yla hesaplanamaz. Ör-ne¤in fabrikada bundan sonra üretilecek ilk araba kusurlu ya da kusursuz ola-bilir. Ancak burada kusurlu ya da kusursuz sonuçlar›n›n elde edilmesi olas›l›k-lar› eflit de¤ildir.

Yukar›da oldu¤u gibi, sonuçlar› eflit olas›l›kl› olmayan deneylerde, deney de-falarca tekrar edilerek veri üretilmektedir. Böylesi durumlarda olas›l›klar› hesapla-mak için ya eski verilerden yararlan›lmakta ya da deney çok kez tekrarlanmak su-retiyle yeni veri üretilmektedir. Bu verilerden yararlanarak bir olaya iliflkin (yakla-fl›k) olas›l›k de¤eri için göreli s›kl›klardan yararlan›lmaktad›r. Bu yönteme “olas›-l›¤›n göreli s›kl›k kavram›” ad› verilmektedir. Çünkü deneyin tekrarlanmas› sonu-cunda göreli s›kl›klar elde edilmekte ve bunlardan yararlan›larak da olas›l›klar he-saplanmaktad›r. Deneyin her tekrar›ndan sonra göreli s›kl›klar de¤iflece¤inden,olas›l›klar da de¤iflecektir. Ancak bu olas›l›klar›n de¤ifliminin azalt›lmas›, örnek-lem hacminin art›r›lmas› yoluyla sa¤lanabilmektedir.

P Bir kad›n›n dernek baflkan› seçilmesi = 40100

= 0.4

P A = A olay›nca içerilen sonuç say›s›Deneyin toplam sonuç say›s›

= 36 = 0.5

is tat ist ik76

Ö R N E K 9

ÇÖ

ZÜ

M

Yaklafl›k Olas›l›k ‹çin Göreli S›kl›kE¤er bir deney n kez tekrarlanm›fl ve f kez bir A olay› gözlenmifl ise olas›l›¤›n gö-reli s›kl›k kavram›na göre olas›l›k,

biçiminde bulunur.

Bir otomobil fabrikas›nda üretilen otomobillerden rasgele 500 tanesi se-çilmifl ve 10 tanesinin kusurlu oldu¤u görülmüfltür. Kusurlu üretim yap-man›n da rasgele oldu¤unu düflünerek, ilk üretilecek otomobilin kusurluolmas› olas›l›¤› nedir?

Örneklemdeki (seçilen) otomobil say›s›na n = 500, kusurlu otomobil say›s›naf = 10 denecek olursa, göreli s›kl›k kural› gere¤ince olas›l›k,

elde edilir. Bu olas›l›k 500 otomobilden elde edilen göreli s›kl›ktan hesaplanm›flözel bir de¤erdir. Afla¤›daki Tablo 4.2’de bu örnek için s›kl›k ve göreli s›kl›k da-¤›l›mlar› verilmifltir.

Bu tablodaki göreli s›kl›k sütunu yaklafl›k olas›l›klar sütunu olarak kullan›l-maktad›r. Bu sütundan,

P (‹lk üretilecek otomobil kusurlu) = 0.02

P (‹lk üretilecek otomobil kusursuz) = 0.98

de¤erleri bulunur. Burada unutulmamas› gereken, göreli s›kl›klar›n gerçek olas›-l›klar de¤il sadece yaklafl›k olas›l›klar oldu¤udur. Göreli s›kl›klardan elde edilenolas›l›klar›n gerçek olas›l›klar olabilmesi için deneyin çok (sonsuz) kez tekrarlan-mas› gerekir ki buna “Büyük Say›lar Yasas›” ad› verilir.

Büyük Say›lar Yasas›Bir deney çok (sonsuz) kez tekrarlan›rsa, bir olay›n göreli s›kl›klar› kuramsal ola-s›l›¤a yaklafl›r.

Ayfle, Ankara’da rasgele seçilen bir ailenin ev sahibi olma olas›l›¤›n› belir-lemek istemektedir. Bu olas›l›¤› acaba nas›l belirleyecektir?

P ‹lk üretilecek otomobil = fn = 10

500 = 0.02

P ( A) = fn

Ünite 4 - Olas›l›k 77

Yaklafl›k olas›l›k için görelis›kl›k: E¤er bir deney n keztekrarlanm›fl ve f kez bir Aolay› gözlenmifl iseolas›l›¤›n göreli s›kl›kkavram›na göre olas›l›k.

biçiminde bulunur.

P ( A) = fn

Ö R N E K 1 0

Otomobil f Göreli S›kl›k

Kusursuz 490 490 | 500 = 0.98

Kusurlu 10 10 | 500 = 0.02

Toplam 500 1.00

Tablo 4.2 Otomobilörne¤inin s›kl›k vegöreli s›kl›kda¤›l›mlar›.

Büyük Say›lar Yasas›:Bir deney çok (sonsuz) keztekrarlan›rsa, bir olay›n göreli s›kl›klar› kuramsalolas›l›¤a yaklafl›r.

Ö R N E K 1 1

ÇÖ

ZÜ

M Ankara’dan rasgele seçilmifl bir aile için ev sahibi olma ya da olmama gibi iki so-nuç bulunmaktad›r. Bu iki olay eflit olas›l›kl› de¤ildir. Çünkü; Ankara’da ikametedenlerin ne kadar›n›n ev sahibi oldu¤u bilinmemektedir. Bu nedenle klasik ola-s›l›k kural› uygulanamamaktad›r. Böylesi durumlarda ayn› deney çok kez tekrar-lanarak olas›l›k de¤eri (yaklafl›k olarak) göreli s›kl›klardan hesaplanmaktad›r. Ay-fle’de bu durumu bildi¤i için Ankara’dan rasgele 1.000 aileyi seçerek bunlardan670 tanesinin ev sahibi, 330 tanesinin ise ev sahibi olmad›¤›n› belirledi. Bu sonuç-lar ›fl›¤›ndaki gibi,

n = örneklem hacmi = 1.000

f = ev sahibi olanlar›n say›s› = 670

olmak üzere olas›l›k de¤erleri,

olarak buldu.

Öznel Olas›l›k Kavram›Ço¤u kez, ne sonuçlar› eflit olas›l›kl›, ne de veri üretmek için tekrarlanabilen de-neylerle karfl›laflabiliriz. Böylesi durumlarda olaylar›n olma olas›l›klar›, klasikolas›l›k kural› ya da göreli s›kl›k kavram› kullan›larak hesaplanamamaktad›r. Ör-ne¤in, ‹statisti¤e Girifl dersini alan Ahmet’in dönem sonunda o dersten A alarakgeçme (baflar›l› olma) olas›l›¤› nedir? Sorusuna cevap vermek gerçekten güçtür.Çünkü Ahmet bu dersten geçebilmek için test s›nav›na (s›navlar›na) bir kez gi-recek ve s›navdaki baflar› durumuna göre A notu alacak ya da alamayacakt›r. Buolay için söz konusu olan A notu alma ya da almama gibi iki sonuç bulunmak-la birlikte, bu sonuçlar›n ortaya ç›kmas› eflit olas›l›kl› de¤ildir. Bu gibi durumlar-da düflünülen (öngörülen) olas›l›¤a öznel olas›l›k denmektedir. Bu olas›l›k bi-reyin de¤er yarg›s›na, deneyimine, düflüncesine göre de¤iflmektedir. Gerçektende Ahmet bu dersten A notu alma olas›l›¤›n› yüksek görürken, dersin hocas› da-ha düflük görebilir.

Öznel olas›l›k keyfi bir de¤er olup, öngörüde bulunan kiflinin deneyiminden,yanl›l›¤›ndan ve be¤enisinden etkilenir.

1. Üç olas›l›k yaklafl›m›n› k›saca aç›klay›n›z ve bu üç yaklafl›m için birer örnek veriniz.

2. Afla¤›dakilerden hangilerinin olaylara iliflkin olas›l›klar olamayaca¤›n› nedenleri ilebirlikte söyleyiniz.1 / 5 0.97 -3.5 1.56 5 / 3 0.0 -2 / 7 1.0

3. Çoktan seçmeli bir test s›nav›nda sorular için befl seçenek bulunmaktad›r. Herhangibir sorunun cevab› rasgele iflaretlenecek olursa; cevab›n a) Do¤ru olma olas›l›¤›n›,b) Yanl›fl olma olas›l›¤›n› bulunuz.

P Rastgele seçilen ailenin ev sahibi olmas› = fn

= 6701,000

= 0.670

is tat ist ik78

Öznel olas›l›k:Bir olay için öznel de¤eryarg›s›na, deneyim, bilgi vedüflünceye dayal› olas›l›kt›r.

S IRA S ‹ZDE

ÇÖ

ZÜ

M

SAYMA KURALI

Olaylardaki aflama say›s›na ba¤l› olarak, toplam sonuç say›s›n›yazabileceksiniz.

Bu bölümde flu ana kadar karfl›lafl›lan deneylerde az say›da sonuç oldu¤u için, so-nuçlar›n listelenmesinde herhangi bir sorunla karfl›lafl›lmad›. Ancak, sonuç say›s›n›nçok olmas› durumunda sonuçlar› listelemek çok da kolay olmamaktad›r. Böylesidurumlarda toplam sonuç say›s›n› bulmak için sayma kural›ndan yararlan›lmaktad›r.

Sayma Kural›E¤er bir deneyde; ilk aflamada m tane, ikinci aflamada n tane ve üçüncü aflamadak tane sonuç olmak üzere üç aflama bulunuyorsa, bu deneyin toplam sonuç say›s›= m . n . k 'd›r.

Sayma kural›, deneydeki aflama say›s›n›n üçten az ya da çok olmas› durumun-da da kullan›labilmektedir.

Bir paran›n üç kez at›lmas› deneyini düflünelim. Bu deneyde üç aflama bu-lunmaktad›r; ilk kez at›fl, ikinci kez at›fl ve üçüncü kez at›fl. Her aflama-n›n da yaz› ve tura olarak iki sonucu olacakt›r. Bu nedenle sayma kura-l›na göre toplam sonuç say›s› = 2 . 2 . 2 = 8 olacakt›r. Deney sonuçlar›aç›k olarak; YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT biçimde olacakt›r.

Bir otomobil sat›c›s›, kredili otomobil sat›fllar›nda, sabit ve de¤iflen faizoranlar›yla 36, 48 ve 60 ay vade uygulamaktad›r. Otomobil sat›c›s›n›nkaç farkl› sat›fl yapmas› söz konusudur ?

Bu deneyde iki aflama bulunmaktad›r. Aflamalardan ilki sabit ve de¤iflen faiz oran-l› (iki sonuçlu) faiz uygulama aflamas›, ikincisiyse 36, 48 ve 60 ayl›k (üç sonuç-lu) vade süresi uygulama aflamas›d›r. Bu durumda,

Toplam sonuç say›s› = 2 . 3 = 6 ' d›r.

Süper ligdeki bir tak›m›n sezon boyunca 16 maç oynayaca¤› ve her maç›nda galibiyet, malubiyet ve beraberlik biçiminde üç sonucu bulundu¤u bi-linmektedir. Bu durumda bir tak›m için sezon boyunca,

Toplam sonuç = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 316 =43.046.721

farkl› sonuç söz konusudur.

1. Kusursuz bir zar 2 kez at›lm›flt›r. Toplam sonuç say›s›n› bulunuz.

2. Kusursuz bir para 5 kez at›lm›flt›r. Toplam sonuç say›s›n› bulunuz.

3. Kusursuz bir para n kez at›lm›flt›r. Toplam sonuç say›s›n› bulunuz.

B‹LEfiEN (MARJ‹NAL) VE KOfiULLU OLASILIKLAR

Bileflen ve bileflik olas›l›klar aras›ndaki fark› aç›klayabileceksiniz.

Ünite 4 - Olas›l›k 79

A M A �

3

Sayma kural›: E¤er birdeneyde; ilk aflamada mtane, ikinci aflamada n taneve üçüncü aflamada k tanesonuç olmak üzere üçaflama bulunuyorsa, budeneyin toplam sonuç say›s› = m . n . k ’d›r.

Ö R N E K 1 2

Ö R N E K 1 3

Ö R N E K 1 4

SIRA S ‹ZDE

A M A �

4

Bir firmada çal›flan 100 kifliye, üst düzey yöneticilere çok yüksek ücretler öden-mesini onaylay›p onaylamad›klar› sorulmufl ve afla¤›daki tabloda verilen sonuçlarelde edilmifltir:

Yukar›daki tabloda 100 çal›flan; cinsiyet (erkek ya da kad›n) ve görüfl (onayl›-yor ya da onaylam›yor) özelliklerine (de¤iflken – karakteristik) göre s›n›flanm›flt›r.Bu s›n›flamaya (da¤›l›m) çapraz tablo (contingency table) ad› verilmekte olup, sa-y›lar›n bulundu¤u kutulara da göze ya da hücre (cell) ad› verilmektedir.

Dikkat edilecek olursa, tabloda dört gözede iki karakteristi¤e ait s›kl›klar bu-lunmaktad›r. Örne¤in; bu gözelerin ilkinde bulunan 15 çal›flan, erkek ve yüksekücret verilmesini onaylayanlar, olmak üzere iki karakteristi¤i ifade etmektedir.

Yukar›daki tabloya sat›r ve sütun toplamlar›n›n eklenmesi sonucunda tablo,afla¤›daki biçime dönüflmektedir.

Çal›flanlar aras›ndan rasgele bir çal›flan seçildi¤inde, bu çal›flan sadece cinsiyetya da görüfl karakteristiklerinden birine göre de s›n›flanabilir. E¤er tek karakteris-tik dikkate al›nacak olursa; seçilen çal›flan, erkek olabilir, kad›n olabilir, onayl›yorolabilir ya da onaylam›yor olabilir. ‹flte bu dört karakteristik ya da olay›n olas›l›k-lar›na bileflen (marjinal) olas›l›k ad› verilmektedir. Bu olas›l›klara bileflen ya da ba-sit olas›l›klar denmesinin nedeni, bu olas›l›klar›n sat›r ya da sütun toplamlar›n›ngenel toplama bölünmesiyle bulunmas›d›r.

Bileflen Olas›l›k: Basit olas›l›k olarak da bilinen bileflen olas›l›k, herhangibaflka olay dikkate al›nmaks›z›n, sadece bir olaya iliflkin olas›l›kt›r.

Yukar›daki Tablo 4.4’e iliflkin dört bileflen olas›l›k flöyle hesaplan›r:

Yukar›da belirtildi¤i gibi, erkek çal›flanlara iliflkin (sat›r) toplam de¤erleriningenel toplama bölünmesiyle elde edilen bu de¤er gibi, öteki üç bileflen olas›l›k dakolayl›kla bulunur.

Elde edilen bileflen olas›l›klar›n da eklenmesiyle afla¤›daki tablo oluflturulur:

P Kad›n = 40100

= 0.40

P Onayl›yor = 19

100 = 0.19

P Onaylam›yor = 81

100 = 0.81

P Erkek = Erkeklerin say›s›Tüm çal›flanlar›n say›s›

= 60100

= 0,60

is tat ist ik80

Cinsiyet Onayl›yor Onaylam›yor

Erkek 15 45

Kad›n 4 36

Tablo 4.3Çal›flanlar›n cevaplar›na iliflkiniki yönlü s›n›flama.

Tablo 4.4Çal›flanlar›n ikiyönlü s›n›flamas›.

Cinsiyet Onayl›yor Onaylam›yor Toplam

Erkek 15 45 60

Kad›n 4 36 40

Toplam 19 81 100

Bileflen olas›l›k:Basit olas›l›k olarak da bilinen bileflen olas›l›k, herhangi baflka olay dikkateal›nmaks›z›n sadece bir olaya iliflkin olas›l›kt›r.

Bu durumda, seçilen kiflinin, üst düzey yöneticilere yüksek ücret verilmesinionayl›yor olmas› olas›l›¤› nedir? Bu olas›l›k flöyle ifade edilebilir:

P (Onayl›yor | Erkek) biçiminde ifade edilen olas›l›¤a, “onaylaman›n koflulluolas›l›¤›” denmektedir ve bu gösterim “çal›flan›n erkek oldu¤u bilindi¤inde (veril-di¤inde) seçilen çal›flan›n onaylama olas›l›¤›” olarak okunmaktad›r.

Koflullu Olas›l›k: Koflullu olas›l›k bir olay›n olufltu¤unun bilinmesi duru-munda di¤er olay›n olma olas›l›¤›d›r. Örne¤in A ve B iki olay olmak üzere Aolay›n›n koflullu olas›l›¤›,

P (A | B)

biçiminde gösterilir ve B olay› oldu¤unda A olay›n›n olmas› olas›l›¤› biçimde okunur.

Yukar›da Tablo 4.4’te verilmifl olan 100 çal›flana iliflkin sonuçlardanP ( Onayl›yor | Erkek ) koflullu olas›l›¤›n› bulunuz.

P (Onayl›yor | Erkek) koflullu olas›l›¤›nda rasgele seçilen bir çal›flan›n erkek ol-du¤u biliniyor ve bu kiflinin onaylama olas›l›¤›n›n bulunmas› isteniyor. Burada ilkolarak Tablo 4.4’ün birinci sat›r› ele al›nm›fl, seçilmifl olan bu kiflinin de, 60 taneerkek çal›flandan biri oldu¤u düflünülerek, bu sat›r tekrar yaz›lm›flt›r.

Cinsiyet Onayl›yor Onaylam›yor Toplam

Erkek 15 45 60

Onaylayan erkekler Çal›flan toplam erkek

Bu bilgiler ›fl›¤›nda aranan koflullu olas›l›k;

olarak bulunur. Bu hesaplamadan da görülece¤i gibi koflullu olas›l›k hesaplan›rkengerçekleflen olay›n de¤eri (erkek çal›flanlar) paydaya, olas›l›¤› bulunmak istenenolay›n de¤eri (onaylayan erkek) paya yaz›lmaktad›r.

P Onayl›yor | Erkek = Onaylayan erkek say›s›Toplam erkek say›s›

= 1560

= 0.25

Ünite 4 - Olas›l›k 81

Tablo 4.5 Bileflenolas›l›kl› iki yönlü s›n›flama.

Cinsiyet Onayl›yor ( A ) Onaylam›yor ( B ) Toplam

Erkek ( E ) 15 45 60 P ( E ) = 0.60

Kad›n ( K ) 4 36 40 P ( K ) = 0.40

Toplam 19 81 100

P ( A ) = 0.19 P ( B ) = 0.81

“Verildi¤inde” biçiminde okunur

P ( Onayl›yor | Erkek )

Olas›l›¤›

hesaplanacak olayGerçekleflmifl olay

Koflullu olas›l›k:Koflullu olas›l›k bir olay›nolufltu¤unun bilinmesidurumunda di¤er olay›nolma olas›l›¤›d›r. Örne¤in Ave B iki olay olmak üzere Aolay›n›n koflullu olas›l›¤›,

P ( A | B )

biçiminde gösterilir ve Bolay› oldu¤unda A olay›n›nolmas› olas›l›¤› biçimdeokunur.

Ö R N E K 1 5

ÇÖ

ZÜ

M

ÇÖ

ZÜ

M

Afla¤›daki a¤aç diyagram›, koflullu olas›l›¤›n daha kolay anlafl›lmas›n› sa¤lamakamac›yla Örnek 4.15 için haz›rlanm›flt›r:

Tablo 4.4’te verilen sonuçlardan yararlanarak, rasgele seçilen kiflinin üstdüzey yöneticilere yüksek ücret verilmesini onaylad›¤› bilindi¤ine göre,bu kiflinin kad›n çal›flan, olma olas›l›¤›n› bulunuz.

Burada aranan olas›l›k,

P ( Kad›n | Onayl›yor ) = ?

biçimindedir. Yukar›daki örne¤e benzer olarak, Tablo 4.4’te ilk sütun olan onay-layanlar sütunu dikkate al›nmaktad›r.

Onayl›yorErkek 15Kad›n 4 ¨ Onaylayan kad›nlar›n say›s›Toplam 19 ¨ Toplam onaylayanlar›n say›s›

Bu bilgiler ›fl›¤›nda aranan olas›l›k de¤eri,

olup örne¤e iliflkin a¤aç diyagram› afla¤›dad›r.

P Kad›n | Onayl›yor = Onaylayan kad›n say›s›Toplam onaylayanlar›n say›s›

= 419

= 0.211

is tat ist ik82

Ö R N E K 1 6

Olas›l›¤› aranan olay Onayl›yor | Erkek

Verilen (bilinen) olay

Erkek 60 / 100

Kad›n 40 / 100

Onaylam›yor | Erkek

Onayl›yor | Kad›n

15 / 60 Aranan olas›l›k

45 / 60

4 / 40

36 / 40Onaylam›yor | Kad›nfiekil 4.6 A¤aç diyagram›.

fiekil 4.7 A¤aç diyagram›.

Erkek I Onayl›yor

Verilen (bilinen) olay

Onayl›yor 19 / 100

Onaylam›yor 81 / 100

Kad›n I Onayl›yor

Erkek I Onaylam›yor

15 / 19

4 / 19

45 / 81

36 / 81 Kad›n I Onaylam›yor

Olas›l›¤› aranan olay

Aranan olas›l›k

1. Olaylar›n bileflen ve koflullu olas›l›klar› aras›ndaki fark› k›saca aç›klay›n›z ve birerörnek veriniz.

2. Bir firmada çal›flan 420 kifliye sigara içip içmedikleri ve üniversite mezunu olup ol-mad›klar› sorularak afla¤›daki iki yönlü tablo oluflturulmufltur.

Sigara Üniversite mezunu Üniversite mezunu de¤il‹çiyor 35 80‹çmiyor 130 175

Bu kiflilerden rasgele bir tanesi seçildi¤inde ;a. Üniversite mezunu olma,b. Sigara içmiyor olma,c. Sigara içti¤i bilindi¤ine göre üniversite mezunu olmama,d. Üniversite mezunu oldu¤u bilindi¤ine göre sigara içmiyor olma,

olas›l›klar›n› bulunuz.

3. Bir araflt›rmada 2000 eriflkine kürtaja karfl› olup olmad›klar› sorulmufl ve elde edilensonuçlar, cinsiyetlere göre afla¤›da verilmifltir.

Cinsiyet Karfl› de¤il Karfl›Erkek 495 405Kad›n 620 480

Bu gruptan rasgele seçilen bir kiflinin; a. Kürtaja karfl› olmamas›,b. Kürtaja karfl› olmas›,c. Kürtaja karfl› olmad›¤› bilindi¤ine göre kiflinin kad›n olmas›,d. Kiflinin erkek oldu¤u bilindi¤ine göre kürtaja karfl› olma olas›l›klar›n› bulunuz.

AYRIK OLAYLAR

Ayr›k olay kavram›n› aç›klayabileceksiniz.

Birlikte olamayan olaylara karfl›l›kl› (ya da tamam›yla) ayr›k olaylar denmektedirve bu tür olaylar›n ortak sonuçlar› bulunmamaktad›r. E¤er iki ya da daha çok olaykarfl›l›kl› ayr›k ise, deneyin her tekrar›nda bu olaylardan en çok bir tanesi ortayaç›kmaktad›r ve bu nedenle bir olay›n ortaya ç›kmas›, di¤er olay ya da olaylar›n or-taya ç›kmas›n› d›flta tutmaktad›r.

(Karfl›l›kl›-Tamam›yla) Ayr›k Olaylar: Birlikte ortaya ç›kmayan olaylara,(karfl›l›kl›) ayr›k olaylar denmektedir.

Herhangi bir deney için, deneyin herhangi bir tekrar›nda ortaya ç›kacak sade-ce bir sonuç oldu¤u için nihai sonuçlar her zaman (karfl›l›kl›) ayr›kt›r. Örne¤in, birparan›n iki kez at›ld›¤› bir deneyde, YY, YT, TY ve TT biçiminde dört sonuç var-d›r ve bu sonuçlar (karfl›l›kl›) ayr›kt›r. Çünkü bir para iki kez at›ld›¤›nda, bu so-nuçlardan sadece bir tanesi ortaya ç›kacakt›r.

Ünite 4 - Olas›l›k 83

SIRA S ‹ZDE

A M A �

5

(Karfl›l›kl› - Tamam›yla)Ayr›k olaylar: Birlikteortaya ç›kmayan olaylara,(karfl›l›kl›) ayr›k olaylar den-mektedir.

ÇÖ

ZÜ

M

Zar›n bir kez at›lmas› deneyine iliflkin olarak afla¤›daki olaylar düflünü-lecek olursa;

A = çift say› elde edilmesi = {2, 4, 6}B = tek say› elde edilmesi = {1, 3, 5}C = 5’den küçük say› elde edilmesi = {1, 2, 3, 4}

bu olaylara iliflkin olarak, a) A ve B olaylar› ayr›k m›d›r? b) A ve C olaylar› ayr›k m›d›r?

Afla¤›daki fiekil 4.8 ve 4.9’dan da görülece¤i gibi, A ve B olaylar›n›n hiçbir ortaknoktas› yoktur. Zar›n bir kez at›lmas› durumunda A ve B olaylar›ndan sadece birtanesine iliflkin bir sonuç ortaya ç›kacakt›r. Bu nedenle A ve B olaylar› ayr›k olay-lard›r. Öte yandan, A ve C olaylar›n›n ortak noktas›da bulunmaktad›r. Baflka biranlat›mla zar›n bir kez at›lmas› durumunda 2 ya da 4 say›lar›n›n da gelebilece¤i,bu iki noktan›n, her iki olay›n da eleman› olmas›, bir gerçektir. Bu yönüyle A veC olaylar› ayr›k olmayan olaylard›r.

Büyük bir firmada çal›flanlardan rasgele bir kifli seçilmifl ve afla¤›dakiiki olay tan›mlanm›fl olsun.

D = seçilen kifli üniversite mezunudurN = seçilen kifli üniversite mezunu de¤ildir

Tan›mlanan D ve N olaylar› ayr›k m›d›r?

Yukar›da tan›mlanan D olay› üniversite mezunu çal›flanlar›, N olay›ysa üniversi-te mezunu olmayan çal›flanlar› göstermektedir. Bu olaylar afla¤›daki flekilde gös-terilmifltir.

is tat ist ik84

Ö R N E K 1 7

ÇÖ

ZÜ

M

S

1

A

3

5

2

4 6

B

fiekil 4.8 Ayr›k A veB olaylar›.

S

1

A

3

5

2

46

C

Ö R N E K 1 8

fiekil 4.9 Ayr›kolmayan A ve Colaylar›.

D ve N olaylar›n›n tan›m›ndan ve flekilden de anlafl›laca¤› gibi bu iki olaydafarkl› çal›flanlar ifade edilmektedir. ‹ki olay›n ortak sonucu bulunmad›¤› için D veN olaylar› ayr›k olaylard›r.

1. Bir çift zar at›ld›¤›nda; A olay› zarlardan birinin 4, B olay›ysa zarlar toplam›n›n 11 ol-ma olas›l›¤› olsun. A ve B olaylar›n›n ayr›k olaylar oldu¤unu gösteriniz.

2. Bir para 3 kez at›lm›flt›r. En az iki tura gelme olay› A, B ise üç at›flta da ayn› yüzüngelme olaylar›yken, A ve B olaylar›n›n ayr›k olaylar olup olmad›¤›n› araflt›r›n›z.

3. ‹ki farkl› para ayn› anda at›lm›flt›r. A olay›, iki paran›n da yaz› gelme, B olay›ysa ikin-ci paran›n tura gelme olay› olsun. A ve B olaylar›n›n ayr›k olmad›¤›n› gösteriniz.

BA⁄IMSIZ VE BA⁄IMLI OLAYLAR

Ba¤›ms›z ve ayr›k olaylar aras›ndaki fark› yazabileceksiniz.

Ba¤›ms›z olaylar söz konusu oldu¤unda, bir olay›n ortaya ç›kmas› öteki olay›n or-taya ç›kma olas›l›¤›n› de¤ifltirmemektedir.

Ba¤›ms›z Olaylar: E¤er bir olay›n ortaya ç›kmas› öteki olay›n ortaya ç›kmaolas›l›¤›n› etkilemiyorsa, bu iki olaya ba¤›ms›z olaylar denir. Baflka bir anlat›mla,A ve B olaylar›n›n ba¤›ms›z olabilmeleri için,

P (A | B) = P (A) veya P (B | A) = P (B)

koflulu sa¤lanmal›d›r.Bu koflullardan biri do¤ruysa ötekinin de do¤ru oldu¤u ya da koflullardan bi-

ri yanl›flsa ötekinin de yanl›fl oldu¤u kolayl›kla gösterilebilir. Sonuç olarak bir ola-y›n ortaya ç›kmas›, bir baflka olay›n ortaya ç›kma olas›l›¤›n› etkiliyorsa, bu olayla-ra ba¤›ms›z olmayan ya da ba¤›ml› olaylar denmekte ve yukar›daki koflullar›n iki-si de sa¤lamamaktad›r.

P (A | B) ≠ P (A) , P (B | A) ≠ P (B)

Ünite 4 - Olas›l›k 85

S

ND fiekil 4.10 Ayr›k D veN olaylar›.

A M A �

6

Ba¤›ms›z olaylar: E¤er birolay›n ortaya ç›kmas› ötekiolay›n ortaya ç›kmaolas›l›¤›n› etkilemiyorsa, buiki olaya ba¤›ms›z olaylardenir. A ve B olaylar›n›nba¤›ms›z olabilmeleri için,

P ( A | B ) = P ( A ) veya P ( B | A ) = P ( B )

koflulu sa¤lanmal›d›r.

S IRA S ‹ZDE

ÇÖ

ZÜ

M

Tablo 4.4’te verilmifl olan 100 çal›flana iliflkin örnekte; kad›n (K) veonayl›yor (O) olaylar› tan›mlanm›fl olsun. Bu olaylar ba¤›ms›z m›d›r?

E¤er K ve O olaylar› için,

P (K) = P (K | O)

koflulu sa¤lan›yorsa bu olaylar ba¤›ms›z, sa¤lanm›yorsa ba¤›ml› olaylard›r.

Tablo 4.4’te verilenlerden yararlanarak,

P (K) = 40 / 100 = 0.40 ve P (K | O) = 4 / 19 = 0.211

olas›l›klar› hesaplanabilmektedir. Bu iki olas›l›k ayn› olmad›¤› için bu olaylar ba-¤›ms›z olaylar de¤ildir. Bu olaylar›n ba¤›ml› olmalar›n›n nedeniyse üst düzey yö-neticilere yüksek ücret verilmesini onaylayan ve onaylamayan erkek çal›flanlar›nyüzdelerinin, kad›n çal›flanlardan farkl› olmas›d›r. Bu örne¤e iliflkin olarak P (O)ve P (O | K) olas›l›klar›n›n da ayn› olmad›¤› kolayl›kla görülebilir.

Bir kutuda, I. Makinede üretilmifl 60, II. Makinede üretilmifl 40 olmaküzere toplam 100 kaset bulunmaktad›r. I. Makinede üretilen 60 kasetin 9tanesi, tüm kasetlerinde 15 tanesi bozuktur. Bu durumda rasgele seçilenbir kasetin bozuk olmas› D ve bu kasetin I. Makinede üretilmifl olmas› Aolay›n› göstermektedir. A ve D olaylar› ba¤›ms›z m›d›r?

Soruda verilen bilgilerden,

P (D) = 15 | 100 = 0.15 ve P (D | A) = 9 / 60 = 0.15

olas›l›klar› bulunur. P (D) = P (D | A) oldu¤u için, A ve D olaylar› ba¤›ms›z olay-lard›r.

Bu örnekte, I. ve II. Makinede üretilen bozuk kaset yüzdesi ayn› oldu¤u için,(9 / 60 = 6 / 40) her iki makinenin de bozuk kaset üretme olas›l›¤› 0.15 oldu¤uiçin, bu olaylar ba¤›ms›z olaylard›r.

Gerçekten de soruda verilen bilgiler kullan›larak afla¤›daki tablo oluflturulabilir.

Bu tablodan yararlanarak da yukar›daki olas›l›klar kolayl›kla bulunabilmekte vebu olas›l›klardan da A ve D olaylar›n›n ba¤›ms›z olaylar olduklar› görülmektedir.

P (D) = 15 / 100 = 0.15 ve P (D | A) = 9 / 60 = 0.15

is tat ist ik86

Ö R N E K 1 9

Ö R N E K 2 0

ÇÖ

ZÜ

M

Tablo 4.6 ‹ki yönlüs›n›flama tablosu.

Makine Bozuk ( D ) Sa¤lam ( S ) Toplam

Makine I ( A ) 9 51 60

Makine II ( B ) 6 34 40

Toplam 15 85 100

‹ki Önemli NoktaAyr›k, ba¤›ms›z ve ba¤›ml› olaylarla ilgili iki önemli nokta flunlard›r:1. ‹ki olay ya ayr›k ya da ba¤›ms›zd›r. Baflka bir ifade ile,

a) Ayr›k olaylar her zaman ba¤›ml›d›r,b) Ba¤›ms›z olaylar hiçbir zaman ayr›k de¤ildir.

2. Ba¤›ml› olaylar ayr›k olabilirler de olmayabilirler de.

1. Kusursuz bir para 3 kez at›lm›flt›r. X, Y ve Z olaylar› s›ras›yla ilk iki at›fl›n yaz› gelme,üçüncü at›fl›n tura gelme ve üç at›flta iki tura gelme olaylar› iken,a. X ve Y olaylar›n›n,b. Y ve Z olaylar›n›n,ba¤›ms›z olaylar olup olmad›¤›n› araflt›r›n›z.

2. Bir firmada çal›flan 420 kifliye sigara içip içmedikleri ve üniversite mezunu olup ol-mad›klar› sorularak afla¤›daki iki yönlü tablo oluflturulmufltur.

Sigara Üniversite mezunu Üniversite mezunu de¤il‹çiyor 35 80‹çmiyor 130 175

“Sigara içme” ve “Üniversite mezunu olmama” olaylar› ba¤›ms›z olaylar m›d›r?

3. Bir araflt›rmada 2000 eriflkine kürtaja karfl› olup olmad›klar› sorulmufl ve elde edilensonuçlar, cinsiyetlere göre afla¤›da verilmifltir.

Cinsiyet Karfl› de¤il Karfl›Erkek 495 405Kad›n 620 480

“Kad›n” ve “Karfl› de¤il” olaylar› ba¤›ms›z olaylar m›d›r?

TAMAMLAYICI (BÜTÜNLEY‹C‹) OLAYLAR

Tamamlay›c› olaylar kavram›n› aç›klayabileceksiniz.

‹ki ayr›k olay bir deneyin tüm sonuçlar›n› içeriyorsa bu olaylara, tamamlay›c›ya da bütünleyici olaylar denmektedir. Tamamlay›c› olaylar her zaman ayr›kolaylard›r.

Tamamlay›c› Olaylar: A olay›n›n tamamlay›c›s› ile gösterilmekte ve A ta-mamlayan› denmektedir. olay›, bir deneyde A olay› taraf›ndan içerilmeyen tümsonuçlar› içermektedir.

Afla¤›daki fiekil 4.11’deki Venn diyagram›ndan da anlafl›laca¤› gibi A ve olaylar› birbirlerinin tamamlay›c›s›d›r.

A

AA

Ünite 4 - Olas›l›k 87

SIRA S ‹ZDE

A M A �

7

S

A A fiekil 4.11 ‹kiTamamlay›c› olay›nVenn diyagram›.

Tamamlay›c› olaylar:A olay›n›n tamamlay›c›s› ile gösterilmekte ve Atamamlayan› denmektedir.

olay›, bir deneyde Aolay› taraf›ndan içerilmeyentüm sonuçlar› içermektedir.

A

A

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

Tamamlay›c› olaylar›n bir deneyin tüm sonuçlar›n› içermesi nedeniyle, tamam-lay›c› olaylar›n olas›l›klar toplam› 1’dir.

P (A) + P ( ) = 1 ; P (A) = 1 - P ( ) ; P ( ) = 1 - P (A)

Bu eflitlikler nedeniyle herhangi bir olay›n olma olas›l›¤› biliniyorsa, bu olay›ntamamlay›c›s›n›n olas›l›¤›, verilen olas›l›¤›n 1’den ç›kart›lmas›yla bulunabilmektedir.

Befl çamafl›r makinesinden iki tanesi bozuktur. Bu makinelerden bir tane-sinin rasgele seçilmesi deneyinde tamamlay›c› olaylar ve bunlar›n olas›-l›klar› nedir?

Bu deney için iki tamamlay›c› olay;

A = seçilen makine bozuktur= seçilen makine bozuk de¤ildir

biçimindedir. Deneydeki befl makinenin üçü sa¤lam, ikisi bozuk oldu¤u için yu-kar›da tan›mlanan olaylar›n olas›l›klar›,

P (A) = 2 / 5 = 0.40 ve P ( ) = 3 / 5 = 0.60

olup, olas›l›klar toplam› 1’dir. Bu örne¤in Venn diyagram› afla¤›da verilmifltir:

Bir üniversitede 90 tanesi (ayn› zamanda) doktora derecesine de sahip120 profesör bulunmaktad›r. Bu üniversiteden, bir profesörün rasgele se-çilmesi deneyinde, tamamlay›c› olaylar ve olas›l›klar nedir?

Bu deneyde tamamlay›c› olaylar;

A = seçilen profesörün doktora derecesine sahip olmas›= seçilen profesörün doktora derecesine sahip olmamas›

biçimindedir. Bunlara iliflkin olas›l›klar;

P (A) = 90 / 120 = 0.75 ve P ( ) = 1 – 0.75 = 0.25

olup, Venn diyagram› afla¤›da verilmifltir:

A

A

A

A

AAA

is tat ist ik88

Ö R N E K 2 1

Ö R N E K 2 2

fiekil 4.12 Örne¤inVenn diyagram›.

S

A A

1. Zar›n bir kez at›lmas› deneyinde A olay›, sonucun 3’ten küçük bir say› gelmesidir. Aolay›n›n ortaya ç›kma olas›l›¤› nedir? A olay›n›n tamamlay›c› olay› ve olas›l›¤› nedir?

2. D‹E taraf›ndan yap›lan bir araflt›rmada 7183 kiflinin birden çok gelir getirici ifli oldu-¤u, bunlardan 4054 tanesininse erkek oldu¤u bulunmufltur. Bu 7183 kifliden rasgelebir tanesinin seçilmesi durumunda ortaya ç›kacak iki tamamlay›c› olay ve bunlar›nolas›l›klar› nedir?

3. Eriflkinlerin her gün gazete okuma olas›l›¤› 0.65’tir. Bu olay›n tamamlay›c› olay› veolas›l›¤› nedir?

OLAYLARIN ARA KES‹T‹ VE ÇARPMA KURALI

Ayn› anda ortaya ç›kan olaylar›n olas›l›¤›n› hesaplayabileceksiniz.

Bu bölümde iki olay›n ara kesiti (ortak bölge) ve olaylar›n ara kesitinin olas›l›¤›-n› hesaplamada kullan›lan çarpma kural› verilecektir.

Olaylar›n Ara Kesiti‹ki olay›n ara kesiti, ayn› sonuçlar iki olayda da ortaksa oluflmaktad›r.

OLAYLARIN ARA KES‹T‹: Bir örneklem uzay›nda A ve B olaylar› tan›mlan-m›fl olsun. A ve B’nin ara kesiti, hem A hem de B’de yer alan sonuçlar› ifade eder,A ve B biçiminde gösterilir.

A ve B olaylar›n›n ara kesiti (kesiflimi) A « B ya da AB olarak afla¤›daki flekil-de gösterilmifltir.

Ünite 4 - Olas›l›k 89

fiekil 4.13 Örne¤inVenn diyagram›.

S

A A

SIRA S ‹ZDE

A M A �

8

Olaylar›n ara kesiti: Birörneklem uzay›nda A ve Bolaylar› tan›mlanm›fl olsun.A ve B’nin ara kesiti, hem Ahem de B’de yer alansonuçlar› ifade eder, A ve Bbiçiminde gösterilir.

fiekil 4.14 A ve Bolaylar›n›n ara kesiti.

S

A B

U

A B ya da AB

ÇÖ

ZÜ

M

Çarpma Kural›A ve B gibi birlikte ortaya ç›kan olaylar›n olas›l›¤›na bileflik olas›l›k ad› verilir ve

P (A ve B) biçiminde gösterilir.

‹ki olay›n ara kesitinin olas›l›¤›, bir olay›n bileflen olas›l›¤›yla ile ikinci olay›n

koflullu olas›l›¤›ndan elde edilir ve bu kurala çarpma kural› denir.

A ve B olay›n›n bileflik olas›l›¤› P (A « B) ya da P (AB) olarak da gösterilir.

Afla¤›daki tabloda bir firmada çal›flanlar›n cinsiyetlerine ve üniversitemezunu olup olmad›klar›na göre da¤›l›mlar› verilmifltir.

Çal›flanlardan bir tanesi iflçi yönetim komitesi için rasgele seçilecek olur-sa, seçilenin kad›n ve üniversite mezunu olma olas›l›¤› nedir?

‹stenen olas›l›k, “Kad›n (K)” ve “Üniversite mezunu (M)” olaylar›n›n ara kesitiolup,

P (K ve M) = P (K) P (M | K)

eflitli¤inden hesaplanmaktad›r. Afla¤›daki flekilde de görülece¤i gibi,

toplam 40 çal›flan›n 13 tanesi kad›nd›r ve olas›l›¤› P (K) = 13 / 40 ‘d›r. Ayn› biçim-de P (M | K) olas›l›¤›n› bulmak da kolayd›r. Çünkü seçilecek kifli 13 kad›ndan bi-ridir ve bunlar aras›ndan sadece 4 tanesi üniversite mezunudur. Bu nedenle

P (M | K) = 4 / 13

de¤erinden yararlanarak K ve M bileflik olas›l›¤›,

P (M ve K) = P (K) P (M | K) = (13 / 40) (4 / 13) = 0.100

olarak bulunur.

Bu örnekte istenen olas›l›k, çarpma kural› kullan›lmadan da bulunabilir. Çün-kü yukar›da verilmifl bulunan tablo ve flekilden de kolayca anlafl›laca¤› gibi, top-lam 40 çal›flandan “Kad›n” ve “Üniversite mezunu” özelliklerini tafl›yan sadece 4çal›flan bulunmaktad›r. Yani, aranan bileflik olas›l›k P (M ve K) = 4 / 40 = 0.10'dur.

is tat ist ik90

Bileflik olas›l›k:‹ki olay›n ara kesitininolas›l›¤›na, bunlar›n bileflikolas›l›¤› ad› verilir ve

P (A ve B) olarak gösterilir.

Çarpma kural›:A ve B olaylar›n›n ara kesiti-nin olas›l›¤› P (A ve B) = P (A) P (B | A)‘d›r.

Ö R N E K 2 3

Tablo 4.7 ‹ki-YönlüS›n›flama Tablosu.

Cinsiyet Üniversite mezunu Üniversite mezunu de¤il Toplam

Erkek 7 20 27

Kad›n 4 9 13

Toplam 11 29 40

fiekil 4.15 ‹ki olay›nara kesiti.

ÜniversiteMezunu

S

4Kad›n

Kad›n ve Üniversite mezunu

ÇÖ

ZÜ

M

Benzer biçimde; “Erkek (E)” ve “Üniversite mezunu de¤il (N)” olaylar› da dik-kate al›nd›¤›nda yukar›daki tabloya iliflkin di¤er bileflik olas›l›klar kolayca eldeedilebilir.

P (E ve M) = P (E) P (M | E) = (27 / 40) (7 / 27) = 0.175P (E ve N) = P (E) P (N | E) = (27 / 40) (20 / 27) = 0.500P (K ve N) = P (K) P (N | K) = (13 / 40) (9 / 13) = 0.225

Afla¤›daki a¤aç diyagram›, dört bileflik olas›l›¤› göstermektedir. Örnekte bulun-mas› istenen olas›l›k koyu renkle gösterilmifltir.

Bir kutuda 4 tanesi bozuk, toplam 20 kaset bulunmaktad›r. Bu kasetler-den (seçilen yerine konulmaks›z›n) iki tanesi rasgele seçilmifltir. Seçileniki kasetin de bozuk olma olas›l›¤› nedir?

Bu deneyle ilgili olarak, önce olaylar tan›mlanacak olursa olaylar;

S1 = ‹lk seçilen kasetin sa¤lam olmas›B1 = ‹lk seçilen kasetin bozuk olmas›S2 = ‹kinci seçilen kasetin sa¤lam olmas›B2 = ‹kinci seçilen kasetin bozuk olmas›

biçimindedir. Burada istenen B1 ve B2 olaylar›n›n, bileflik olas›l›klar› olup,

P (B1 ve B2) = P (B1) P (B2 | B1)

eflitli¤inden elde edilecektir. Toplam 20 kasetin 4 tanesi bozuk oldu¤u için ilk se-çilen kasetin bozuk olma olas›l›¤› P (B1) = 4 / 20 'dir. ‹lk seçilen kasetin bozukoldu¤u bilindi¤ine göre, kutuda üçü bozuk 19 tane kaset kalm›flt›r. O halde, ikin-ci seçilen kasetin de bozuk olma olas›l›¤› P (B2 | B1) = 3 / 19 'dur ve istenen ola-s›l›ksa,

P (B1 ve B2) = P (B1) P (B2 | B1) = (4 / 20) (3 / 19) = 0.032

olarak bulunur.

Afla¤›daki flekilde, istenen olas›l›k P (B1 ve B2) koyu renkli olarak belirtilerekdört nihai sonuç (bileflik olas›l›k) verilmifltir.

Ünite 4 - Olas›l›k 91

Erkek / Kad›n Üniversite mezunu de¤il Nihai Sonuçlar

27 / 40

13 / 40

E

K

7 / 27

9 / 13N / K

M / K 4 / 13

N / E 20 / 27

M / E

P (E ve M) = (27 / 40) (7 / 27) = 0,175

P (E ve N) = (27 / 40) (20 / 27) = 0,500

P (K ve M) = (13 / 40) (4 / 13) = 0,100

P (K ve N) = (13 / 40) (9 / 13) = 0,225fiekil 4.16 A¤aç diyagram›.

Ö R N E K 2 4

ÇÖ

ZÜ

M

Alt bölüm, 4.4’de verilmifl olan koflullu olas›l›k konusu hat›rland›¤›ndave bir Aolay›n›n olma olas›l›¤› biliniyorsa, yine A ve B olay›n›n bileflik olas›l›¤› biliniyor-sa, bu bilgilerden yararlanarak A olay› bilindi¤inde B olay›n›n koflullu olas›l›¤›n›bulmak kolayd›r.

Koflullu Olas›l›k: E¤er A ve B, P (A) ≠ 0 ve P (B) ≠ 0 durumunda iki olayise bunlara iliflkin koflullu olas›l›klard›r.

Mühendislik fakültesinden rasgele seçilen bir ö¤rencinin k›z olma olas›l›-¤› 0.20, bu ö¤rencinin bilgisayar mühendisli¤i ö¤rencisi ve k›z ö¤renci ol-mas›n›n bileflik olas›l›ysa ise 0.03 'tür. Seçilen ö¤rencinin k›z oldu¤u bilin-di¤inde, bu ö¤rencinin bilgisayar mühendisli¤i ö¤rencisi olmas›n›n koflul-lu olas›l›¤›n› bulunuz.

Önce örnekle ilgili iki olay tan›mlanacak olursa;

A = Seçilen ö¤renci k›zB = Seçilen ö¤renci bilgisayar mühendisli¤i ö¤rencisi

biçimindedir. Bu bilgiler ›fl›¤›nda P (A) = 0.20 ve P (A ve B) = 0.03 kullan›larak,

sonucuna ulafl›l›r ki bu de¤er seçilen ö¤rencinin k›z oldu¤u bilindi¤inde bu ö¤-rencinin bilgisayar mühendisli¤i ö¤rencisi olmas› (koflullu) olas›l›¤›d›r.

Ba¤›ms›z Olaylar ‹çin Çarpma Kural›Burada verilecek olan çarpma kural›, iki olay›n ba¤›ms›z olmas› durumunda kul-lan›lmaktad›r. A ve B gibi iki olay›n ba¤›ms›z olduklar› düflünüldü¤ünde,

P (A) = P (A | B) ve P (B) = P (B | A)

yaz›labilmektedir. Bu durumda P (B | A) yerine P (B) yaz›lacak olursa, yukar›daverilen A ve B olaylar›n›n bileflik olas›l›¤›na iliflkin formül,

P (A ve B) = P (A) P (B | A) = P (A) P (B)

biçimine dönüflür.

P B | A = P (A ve B)

P (A) ve P (B) = P (A ve B)

P (B)

is tat ist ik92

P (B1

/ B2) = (4 / 20) (3 / 19) = 0,032

‹lk seçim ‹kinci seçim Nihai Sonuçlar

16 / 20

4 / 20

S1

P (S1

ve S2) = (16 / 20) (15 / 19) = 0,632

P (S1

/ B2) = (16 / 20) (4 / 19) = 0,168

P (B1

/ S2) = (4 / 20) (16 / 19) = 0.16,

B1

S2

/ S1

15 / 19

B2

/ S

4 / 19

S2

/ B1

16 / 19

B2

/ B1

3 / 19fiekil 4.17 ‹ki kasetseçimi.

Koflullu olas›l›k: E¤er A ve B,P (A) ≠ 0 ve P (B) ≠ 0 durumunda iki olay ise bunlara iliflkin koflullu olas›l›klard›r.

P B | A =P (A ve B)

P (A)

ve

P (B) =P (A ve B)

P (B)

Ö R N E K 2 5

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

Ba¤›ms›z Olaylar ‹çin Çarp›m Kural›: A ve B gibi ba¤›ms›z iki olay›n bile-flik olas›l›¤›

P (A ve B) = P (A) P (B)

‘dir.

Bir ifl han›nda iki tane yang›n dedektörü bulunmaktad›r. Bir yang›n s›ras›n-da bu dedektörlerden herhangi birinin çal›flmamas› olas›l›¤› 0.02’ dir. Biryang›n s›ras›nda her iki dedektörün de çal›flmama olas›l›¤›n› bulunuz.

Bu örnekte iki yang›n dedektörü birbirinden ba¤›ms›zd›r. Çünkü, yang›n s›ras›n-da dedektörlerden birinin çal›flmamas› ötekini etkilememektedir. Bu durumdaafla¤›daki iki olay tan›mlanabilir.

A = ‹lk dedektörün çal›flmamas›B = ‹kinci dedektörün çal›flmamas›

A ve B olaylar› ba¤›ms›z olduklar›ndan, bunlar›n bileflik olas›l›¤›,

P (A ve B) = P (A) P (B) = (0.02) (0.02) = 0.0004

olarak bulunur.

Afla¤›daki örnekte de görülece¤i gibi çarpma kural›, ikiden çok olay olmas›durumunda da bileflik olas›l›¤›n bulunmas›nda kullan›lmaktad›r.

Penisilinin hastada alerji yapmas› olas›l›¤› 0.20’ dir. Bu ilac›n üç hastayaverildi¤i bir durumda;a) Üç hastaya da alerji yapmas› b) En az bir hastaya alerji yapmamas› olas›l›klar›n› bulunuz.

Bu örnekte, A, B ve C, s›ras›yla penisilin verilen birinci, ikinci ve üçüncü hastala-r› göstersin.

a) Penisilin verilen üç hastada alerji yapmas›, bu üç hastan›n bileflik olas›l›¤›ndanelde edilecektir. Hastalardan birinin alerji olmas› ötekileri etkilemeyece¤i içinA, B ve C olaylar› birbirinden ba¤›ms›zd›r. Yani,

P (A ve B ve C) = P (A) P (B) P (C) = (0.20) (0.20) (0.20) = 0.008

istenen olas›l›k de¤eridir.

, ve tan›mlanm›fl olan A, B ve C olaylar›n›n tamamlay›c›lar› olmak üzerebu deneyin tüm sonuçlar› a¤aç diyagram› üzerinde kolayca gösterilebilir:

CBA

Ünite 4 - Olas›l›k 93

Ba¤›ms›z olaylar içinçarp›m kural›: A ve B gibiba¤›ms›z iki olay›n bileflikolas›l›¤›

P (A ve B) = P (A) P (B)

dir.

Ö R N E K 2 6

Ö R N E K 2 7

ÇÖ

ZÜ

M

b) Burada da,

G = Üç hasta da alerjiktirH = En az bir hasta alerjik de¤ildir

olaylar› tan›mlanm›fl olsun. Tan›mlanan G ve H olaylar› tamamlay›c› olaylard›r. Bunedenle,

P (G) = P (A ve B ve C) = 0.008

sonucundan ve tamamlay›c› olay kural›ndan yararlanarak,

P (H) = 1 - P (G) = 1 – 0.008 = 0.992

de¤eri bulunur.

Ayr›k Olaylar›n Bileflik Olas›l›¤›Önceki tart›flmalardada dile getirildi¤i gibi, ayr›k olaylar birlikte meydana gelmez-ler. Bu nedenle, iki ayr›k olay›n bileflik olas›l›¤› s›f›rd›r.

Ayr›k Olaylar›n Bileflik Olas›l›¤›: ‹ki ayr›k olay›n bileflik olas›l›¤› her za-man s›f›rd›r ve bu durum, A ve B ayr›k olaylarsa P (A ve B) = 0 biçiminde gös-terilir.

Otomobil kredisi almak için gerekli baflvuru formunun doldurulmas›nailiflkin afla¤›daki iki olay tan›mlanm›fl olsun;

O = Kredi baflvurusu onayland›R = Kredi baflvurusu reddedildi

O ve R’nin bileflik olas›l›¤› nedir?

Örnekte tan›mlanan O ve R olaylar› ayr›k olaylar oldu¤u için bileflik olas›l›¤› s›f›rd›r.

(P (O ve V) = 0)

is tat ist ik94

‹lk hasta

0.20

0.80

A

A

B 0.80

0.20

B

B 0.80

0.20

B

C 0,20

C 0.80

C 0.20

C 0.80

C 0.20

C 0.80

C 0.20

C 0.80

P ( A B C ) = 0,008

P ( A B C ) = 0,032

P ( A B C ) = 0,032

P ( A B C ) = 0,128

P ( A B C ) = 0,032

P ( A B C ) = 0,128

P ( A B C ) = 0,128

P ( A B C ) = 0,512

‹kinci hasta Nihai sonuçlarÜçüncü hasta

fiekil 4.18 A¤aç diyagram›.

Ayr›k olaylar›n bileflikolas›l›¤›: ‹ki ayr›k olay›nbileflik olas›l›¤› her zamans›f›rd›r ve bu durum, A ve Bayr›k olaylar ise P (A ve B) = 0 biçiminde gösterilir.

Ö R N E K 2 8

1. ‹ki olay›n ara kesitinin anlam›n› aç›klay›n›z ve bir örnek veriniz.

2. ‹ki olay›n bileflik olas›l›¤›n›n anlam›n› aç›klay›n›z ve bir örnek veriniz.

3. Afla¤›da verilen de¤erler için, A ve B olaylar›n›n bileflik olas›l›¤›n› bulunuz.a) P (B) = 0.59 ve P (A | B) = 0.77b) P (A) = 0.28 ve P (B | A) = 0.15

OLAYLARIN B‹LEfi‹M‹ VE TOPLAMA KURALI

Olaylardan en az birinin ortaya ç›kmas›na iliflkin olas›l›¤›hesaplayabileceksiniz.

Bu alt bölümde olaylar›n bileflimi (bileflik olaylar) incelenecek ve bileflik olaylar-da olas›l›k bulmada kullan›lan toplama kural›ndan söz edilecektir.

Olaylar›n BileflimiA ve B gibi iki olay›n bileflimi; A’da ya da B’de ya da A ve B’de birlikte yer alantüm sonuçlar› içermektedir.

Olaylar›n Bileflimi: Ayn› örneklem uzay›nda tan›ml› A ve B olaylar›n›n bile-flimi A’da ya da B’de ya da A ve B’de birlikte yer alan tüm olaylar›n bileflkesi olupA ya da B biçiminde gösterilir.

ABD üniversitelerinde 12.439 milyon ö¤renci ö¤renim görmektedir. Bun-lardan 6.868 milyonu k›z ö¤renci, 7.211 milyonu tam zamanl› ö¤renci ve3.786 milyonu k›z ve tam zamanl› ö¤rencilerdir. “K›z” ve “Tam zamanl›ö¤renci” olaylar›n›n bileflimini tan›mlay›n›z.

Burada; “K›z ö¤renci” ve “Tam zamanl› ö¤renci” olaylar›n›n bileflimi, k›z ya da tamzamanl› ya da her iki grupta da yer alan ö¤rencilerden oluflmaktad›r. Bu ö¤renci-lerin say›s› ise 6.868 + 7.221 – 3.786 = 10.303 milyondur. Burada en önemli nok-ta, iki olay›n içerdi¤i toplam 6.868 + 7.221 = 14.089 milyon kifliden 3.786 milyonu-nun her iki grupta (olay) yer almas›, yani iki olay›n ara kesiti olmas› nedeniyle top-lamdan ç›kart›lmas›d›r. Afla¤›daki tablo ve grafikten de görülece¤i gibi bu de¤erle-rin toplamdan ç›kart›lmamas› iki kez say›lmas›na yani tekrara neden olacakt›r.

* iki kez tekrarlanan

Ünite 4 - Olas›l›k 95

SIRA S ‹ZDE

A M A �

9

Ö R N E K 2 9

Olaylar›n bileflimi: Ayn›örneklem uzay›nda tan›ml› Ave B olaylar›n›n bileflimiA’da ya da B’de ya da A veB’de birlikte yer alan tümolaylar›n bileflkesi olup A yada B biçiminde gösterilir.

Tablo 4.8 ‹ki yönlüs›n›flama tablosu.

Cinsiyet Tam-zamanl› Yar›-zamanl› Toplam

Erkek 3.435 2.136 5.571

K›z 3.786 * 3.082 6.868

Toplam 7.211 5.218 12.439

fiekil 4.19 “K›zö¤renci” ve “Tam-zamanl› ö¤renci”olaylar›n›n bileflimi.

K›zö¤renci

Tam-zamanl›ö¤renci

arakesit

ÇÖ

ZÜ

M

Toplama Kural›Olaylar›n bileflimine iliflkin olas›l›k hesaplamada kullan›lan yönteme, toplama ku-ral› denir ve afla¤›daki gibi tan›mlan›r.TOPLAMA KURALI: A ve B olaylar›n›n bilefliminin olas›l›¤›,

P (A veya B) = P (A) + P (B) - P (A ve B)

biçiminde bulunmaktad›r.Bu eflitlik gere¤ince A ve B olaylar›n›n bileflen olas›l›klar›n›n toplam›ndan bun-

lar›n bileflik olas›l›klar›n›n ç›kart›lmas›yla bu olaylar›n bilefliminin olas›l›¤› bulunur.

Bir üniversite rektörü, tüm ö¤rencilerin etik konusunda bir dersi (zorun-lu) almas›n›n yararl› olaca¤›n› düflünmektedir. Bu konuda ö¤retim ele-man› ve ö¤rencilerden oluflan toplam 300 kifliye düflüncesini sormufl ve el-de edilen sonuçlardan afla¤›daki tablo oluflturulmufltur.

Bu gruptan rasgele seçilen birinin ö¤retim eleman› ya da kat›l›yor olmaolas›l›¤›n› bulunuz.

‹lk olarak afla¤›daki olaylar tan›mlanacak olursa;

A = Seçilen kifli ö¤retim eleman›B = Seçilen kifli düflünceye kat›lmakta

biçimindedir. Tablo bilgilerinden yararlanarak bu olaylara iliflkin olas›l›klar,

P (A) = 70 / 300 = 0.233P (B) = 135 / 300 = 0.450P (A ve B) = P (A) P (B | A) = (70 / 300) (45 / 70) = 0.150

olarak bulunur. Aranan olas›l›k de¤eriyse toplama kural›ndan yararlan›larak,

P (A veya B) = P (A) + P (B) - P (A ve B) = 0.233 + 0.450 – 0.150 = 0.533

elde edilir.

Ayn› sonucu toplama kural› kullanmadan sadece tablo bilgilerinden yarar-lanarak bulmak da olanakl›d›r.

45 + 15 + 10 + 90 = 160 P (A veya B) = 160 | 300 = 0.533

is tat ist ik96

Toplama kural›: A ve B olaylar›n›n bilefliminin olas›l›¤›,P (A veya B) = P (A) +P (B) - P (A ve B)biçiminde bulunmaktad›r.

Ö R N E K 3 0

Tablo 4.9 ‹ki yönlüs›n›flama tablosu. Görüfl

Sorulan Kat›l›yor Karfl› Çekimser Toplam

Ö¤retim eleman› 45 15 10 70

Ö¤renci 90 110 30 230

Toplam 135 125 40 300

ÇÖ

ZÜ

M

Yap›lan bir araflt›rmadan 7225 kiflinin birden çok ifli oldu¤u bulunmufl-tur. Bu kiflilerden 4115 tanesi erkek, 1742 tanesi bekar ve 905 tanesiyseerkek ve bekard›r. Rasgele seçilen birinin erkek ya da bekar olmaolas›l›¤›n› bulunuz.

‹stenen olas›l›k de¤erini bulmak için olaylar› tan›mlamak ve bu olaylara iliflkinolas›l›klar› yazmak gerekir.

E = Rasgele seçilen kifli erkek B = Rasgele seçilen kifli bekar

P (E) = 4.155 / 7.225 = 0.570P (B) = 1.742 / 7.225 = 0.241P (E ve B) = 905 / 7.225 = 0.125

Bu sonuçlar›n toplama kural›nda kullan›lmas›yla aranan olas›l›k de¤eri,

P (E veya B) = P (E) + P (B) - P (E ve B) = 0.570 + 0.241 - 0.125= 0.686

olarak bulunur.

Ayr›ca örnekte verilen bilgiler (koyu renkli) kullan›larak afla¤›daki tablo olufl-turulabilir ve aranan olas›l›k bu bilgilerden yararlan›larak da bulunabilir.

P (E) = 4.155 / 7.225 = 0.570P (B) = 1.742 / 7.225 = 0.241P (E ve B) = 905 / 7.225 = 0.125P (E veya B) = P (E) + P (B) - P (E ve B) = 0.570 + 0.241 - 0.125

= 0.686

Ayr›k Olaylar ‹çin Toplama Kural›Olas›l›k konusunun önceki alt bölümlerinde, iki ayr›k olay›n bileflik olas›l›kde¤erinin s›f›r oldu¤u söylenmiflti. Bu nedenle A ve B ayr›k olaylar olmak üzereP (A ve B) de¤eri s›f›r oldu¤u için, toplama kural›nda kullan›lan formülden ç›kar-t›lmakta ve iki ayr›k olay›n bilefliminin olas›l›¤›, bu iki olay›n bileflen olas›l›klar›n›ntoplam›ndan elde edilmektedir.

Ayr›k Olaylar ‹çin Toplama Kural›: A ve B ayr›k olaylar›n›n bileflimininolas›l›¤›

P (A veya B) = P (A) + P (B)

‘dir.

Ünite 4 - Olas›l›k 97

Ö R N E K 3 1

Tablo 4.10 ‹ki yönlüs›n›flama tablosu.

Cinsiyet Bekar Evli Toplam

Erkek 905 3.210 4.115

Kad›n 837 2.273 3.110

Toplam 1.742 5.483 7.225

Ayr›k olaylar için toplamakural›: A ve B ayr›k olaylar›n›nbilefliminin olas›l›¤›

P (A ya da B) = P (A) + P (B)

dir.

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

Kamuoyunun ›rk ayr›m›na karfl› düflüncesinin ortaya konmas›n› amaç-layan bir araflt›rmada; erkek ve kad›nlardan oluflan 300 kifli ile görüflül-müfltür. Görüfllerin ›rk ayr›m›na “karfl›” , “destekliyor” ve “çekimser”olarak kaydedilmesi sonucunda afla¤›daki tablo oluflturulmufltur.

Bu gruptan rasgele seçilen bir kiflinin ›rk ayr›m›na karfl› ya da çekimserolma olas›l›¤› nedir ?

‹lk olarak afla¤›daki olaylar tan›mlan›r;

K = Çekilen kifli ›rk ayr›m›na karfl›C = Çekilen kifli ›rk ayr›m› konusunda çekimser

Bu örnek için tan›mlanan olaylar, afla¤›daki fiekil 4.20’den de görülece¤i gibi ay-r›k olaylard›r. Çünkü seçilen kifli ›rk ayr›m›na ya karfl› olacakt›r ya da çekimserolacakt›r. Yani her iki görüflte olmas› söz konusu de¤ildir.

Yukarda verilen bilgilerden,

P (K) = 130 / 300 = 0.43P (C) = 40 / 300 = 0.133P (K veya C)= P (K) + P (C) = 0.43 + 0.133 = 0.563

elde edilir.

Toplama kural› formülü ikiden çok olay olmas› durumlar›nda dakullan›labilmektedir.

Zar›n iki kez at›ld›¤› bir deneyde, iki at›fl sonunda toplam 5, ya da 7 yada 10 elde edilmesi olas›l›¤›n› bulunuz.

Bir zar›n iki kez at›lmas› deneyinde toplam 36 sonuç bulunmaktad›r. Eflit olas›l›k-l› bu sonuçlar Tablo 4.12’de verilmifltir.

is tat ist ik98

Ö R N E K 3 2

Tablo 4.11. ‹ki yönlüs›n›flama tablosu.

Cinsiyet Karfl› Destekliyor Çekimser Toplam

Erkek 45 15 12 72

Kad›n 85 115 28 228

Toplam 130 130 40 300

CK

fiekil 4.20 K ve Cayr›k olaylar›.

Ö R N E K 3 3

ÇÖ

ZÜ

M

‹ki say›n›n toplam›n›n 5, ya da 7 ya da 10 oldu¤u olaylar tabloda iflaretlenmifltir.Burada “toplam 5”, “toplam 7” ve “toplam 10” biçimindeki üç olay ayr›k olaylar-d›r. Toplam› 5 olan dört sonuç, toplam› 7 olan alt› sonuç ve toplam› 10 olan üçsonuç bulundu¤u için aranan olas›l›k,

P (5 veya 7 veya 10) = P (5) + P (7) + P (10) = (4 / 36) + (6 / 36) + (3 / 36) = 13 / 36 = 0.361

olarak bulunur.

Kamuoyunun %55’inin genetik mühendisli¤ini destekledi¤i, %45’ininse kar-fl› oldu¤u bilinmektedir. Rasgele iki kifli seçilerek ve bu kiflilerin genetikmühendisli¤ini destekleyip desteklemedikleri ö¤renilmek istenmektedir.a) Bu deneyin a¤aç diyagram›n› çiziniz.b) ‹ki kifliden en az birinin genetik mühendisli¤ini desteklemesi olas›l›¤›n›bulunuz.

a) Deneyin olaylar› tan›mlanacak olursa;

D = Genetik mühendisli¤inin desteklenmesiK = Genetik mühendisli¤ine karfl› olunmas›

biçimindedir. Bu deneyde dört nihai sonuç bulunmaktad›r.

Ünite 4 - Olas›l›k 99

‹kinci at›fl

1 2 3 4 5 61 (1. 1) (1. 2) (1. 3) (1. 4) (1. 5) (1. 6)2 (2. 1) (2. 2) (2. 3) (2. 4) (2. 5) (2. 6)3 (3. 1) (3. 2) (3. 3) (3. 4) (3. 5) (3. 6)4 (4. 1) (4. 2) (4. 3) (4. 4) (4. 5) (4. 6)5 (5. 1) (5. 2) (5. 3) (5. 4) (5. 5) (5. 6)6 (6. 1) (6. 2) (6. 3) (6. 4) (6. 5) (6. 6)

‹lk

at›fl

Tablo 4.12 Bir zar›niki kez at›lmas›ndanelde edilen sonuçlar.

Ö R N E K 3 4

0,55

P (DD) = (0,55) (0,55) = 0,3025

D

K

D

K

0,45

0,55

0,45

D 0,55

K 0,45

Nihai sonuçlar ve olas›l›klar‹kinci kifli‹lk kifli

P (DK) = (0,55) (0,45) = 0,2475

P (KD) = (0,45) (0,55) = 0,2475

P (KK) = (0,45) (0,45) = 0,2025fiekil 4.21 A¤aç diyagram›.

b) ‹ki kifliden en az birinin genetik mühendisli¤ini desteklemesi DD, DK ve KDsonuçlar›n› içermektedir ve bu üç ayr›k olay›n bilefliminin olas›l›¤›,

P (en az bir kifli destekliyor) = P (DD, DK ya da KD) = P (DD) + P (DK) + P (KD)= 0.3025 + 0.2475 + 0.2475= 0.7975

‘dir.

1. ‹ki olay›n bilefliminin anlam›n› aç›klay›n›z ve bir örnek veriniz.

2. Afla¤›daki toplama kural›, hangi durumdaki A ve B gibi iki olay›n bilefliminin, olas›l›¤›n›bulmada kullan›l›r?P (A veya B) = P (A) + P (B)

3. Afla¤›daki durumlar için P (A ya da B) olas›l›¤›n› bulunuz. a) P (A) = 0.18 , P (B) = 0.49 ve P (A ve B) = 0.13b) P (A) = 0.83 , P (B) = 0.71 ve P (A ve B) = 0.68

is tat ist ik100

SIRA S ‹ZDE

Kendimizi S›nayal›m1. 3 farkl› para ayn› anda at›lm›flt›r. Bu deneye iliflkin ör-neklem uzay›nda kaç örneklem noktas› olacakt›r?

a. 3b. 6c. 8d. 12e. 16

2. Biri beyaz di¤eri de k›rm›z› olmak üzere bir çift zarat›lm›flt›r. A zarlar›n üste gelen yüzeydeki say›lar›n top-lam›n›n çift, B’de k›rm›z› zar›n üste gelen yüzündekisay›n›n tek say› olmas› olaylar› iken, (A»B) olay›nda kaçörneklem noktas› olacakt›r?

a. 12b. 16c. 18d. 36e. 40

3. Bir s›n›fta 10 k›z 20 erkek ö¤renci vard›r. K›z ö¤ren-cilerin de erkek ö¤rencilerin de yar›s› bursludur. Bu s›n›f-tan gelifligüzel bir ö¤renci seçilmifltir. Bu ö¤rencinin er-kek ya da burslu olma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

4. Bir çift zar at›lm›flt›r. Üste gelen yüzeylerdeki say›lar›ntoplam›n›n 7 oldu¤u biliniyorsa, bu zarlardan birinin 3 ol-ma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

5. 52 kartl›k bir oyun ka¤›d› destesinden pefl pefle ikikart çekilmifltir. Birinci kart ikili iken, ikinci kart›n da ikiliolma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

6. Bir s›n›ftaki ö¤rencilerin %30’u matematik, %20’si is-tatistik ve %10’u da hem matematik hem de istatistik ders-lerinden baflar›s›zd›r. Bu s›n›ftan gelifligüzel seçilen birö¤rencinin matematik ya da istatistik derslerinin birindenbaflar›s›z olma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 0.20b. 0.30c. 0.35d. 0.40e. 0.45

7. Ayn› s›n›ftaki iki ö¤rencinin Türk Dili dersi s›nav›ndanbaflar›l› olma olas›l›klar›n›n s›ras›yla 0.6 ve 0.8 oldu¤ubiliniyorsa bu iki ö¤renciden birisinin baflar›l› olma olas›l›¤›afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 0.30b. 0.48c. 0.50d. 0.75e. 0.92

8. 1’den 15’e kadar (15 dahil) olan tam say›lar aras›ndanrasgele seçilen bir say›n›n 3 ve 5 ile bölünebilen bir say›olma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 115

b. 13

c. 35

d. 1015

e. 1315

a. 36

b. 3

5

c. 4

6 d. 4

5

e. 5

6

Ünite 4 - Olas›l›k 101

a. 118

b. 13

c. 25

d. 37

e. 12

a. 1221

b. 7360

c. 11101

d. 752

e. 1152

9. Bir A dersi s›nav›na giren 200 ö¤rencinin cinsiyetlerinegöre baflar› durumu afla¤›daki tabloda gösterilmifltir.

S›nava giren ö¤renciler aras›ndan rasgele seçilen bir ö¤-rencinin erkek ve baflar›l› olma olas›l›¤› afla¤›dakilerdenhangisidir?

10. Bir futbol tak›m›n›n ilk üç maç› kazanmas›na iliflkinolas›l›klar s›ras›yla 0.3, 0.5 ve 0.8 olarak belirlenmifltir. Butak›m›n üç maç› da kazanma olas›l›¤› afla¤›dakilerden han-gisidir?

a. 0.10b. 0.12c. 0.15d. 0.18e. 0.20

Yan›t Anahtar›1. c2. d3. e4. b5. a6. d7. e8. a9. b10. b

Yararlan›lan KaynaklarHOEL, P.G. and JESSEN, R.J.: Basic Statistics for Busi-

ness and Economics, Wiley, NewYork, 1971.MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2nd Edition, Wiley,

New York, 1995.O’HAGAN, A., Probability: Metods and Measurement,

Chapman and Hall, London, 1988.WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: Introductory

Statistics, 4th Edition, Wiley, Singapore, 1985.

is tat ist ik102

BAfiARILI BAfiARISIZ TOPLAM

ERKEK 80 40 120

KIZ 60 20 80

TOPLAM 140 60 200

Baflar›

Cinsiyet

a. 15

b. 25

c. 35

d. 23

e. 710

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak: • Tan›mlar ve kavramlar iyice incelenmeli,• Örnekler tam olarak anlafl›lmal›,• Sorulan sorularda nelerin istendi¤i kesin olarak anlafl›ld›ktan sonra çözüme

geçilmeli,• Al›flt›rmalar›n tümü mutlaka çözülmelidir.

103

5Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar›

is tat ist ik104

�����

�

Amaçlar:Rassal de¤iflken kavram›n› aç›klayabileceksiniz.Kesikli rassal de¤iflkenlerin ortalama ve standart sapmas›n› hesaplayabileceksiniz.Kesikli rassal de¤iflkenlerin olas›l›k da¤›l›m›n› oluflturabileceksiniz.Faktöriyel kavram›n› aç›klayabilecek, kombinasyon hesaplayabileceksiniz.Kesikli rassal de¤iflkenlerin önemli da¤›l›mlar›ndan Binom da¤›l›m›n› kulla-narak ilgili olas›l›klar› hesaplayabilecek, da¤›l›m›n ortalama ve standartsapmas›n› hesaplayabileceksiniz.Kesikli rassal de¤iflkenlerin di¤er önemli bir da¤›l›m› olan Poisson da¤›l›m›-n› kullanarak ilgili olas›l›klar›, da¤›l›m›n ortalama ve standart sapmas›n›hesaplayabileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• RASSAL DE⁄‹fiKENLER

• Kesikli Rassal De¤iflken• Sürekli Rassal De¤iflken

• KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹fiKEN‹N OLASILIK DA⁄ILIMI• KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹fiKEN‹N ORTALAMASI VE STANDART SAPMASI

• Kesikli bir rassal de¤iflkenin ortalamas›• Kesikli bir rassal de¤iflkenin standart sapmas›• Standart Sapman›n Yorumu

• FAKTÖR‹YELLER VE KOMB‹NASYONLAR• Faktöriyeller• Kombinasyonlar

• B‹NOM (‹K‹ TER‹ML‹) OLASILIK DA⁄ILIMI• Binom Deneyi• Binom Olas›l›k Da¤›l›m› ve Binom Formülü• Baflar› Olas›l›¤› ve Binom Da¤›l›m›n›n Biçimi• Binom Da¤›l›m›n›n Ortalama ve Standart Sapmas›

• PO‹SSON OLASILIK DA⁄ILIMI

G‹R‹fi Bir önceki bölümde olas›l›k kavram›ndan ve kurallar›ndan söz edilmiflti. Bu bö-lümdeyse olas›l›k kavram› geniflletilerek olas›l›k da¤›l›mlar›ndan söz edilecektir.Hat›rlanaca¤› gibi bir önceki bölümde, bir istatistiksel deneyin birden çok sonucuoldu¤u ve bu sonuçlardan hangisinin gerçekleflece¤inin önceden bilinmedi¤i, an-cak baz› belirsizlikler alt›nda kestirilebilece¤i vurgulanm›flt›. Örne¤in loto oynayanbir kifli kazan›p kazanamayaca¤›n› önceden bilmemektedir. E¤er kazanamayaca-¤›n› bilse kuflkusuz oynamazd›. Ancak, loto oynayan kifli sadece (çok net olmasada) kazanma flans›n›n oldu¤unu bilmektedir.

Bu bölümde, bir istatistiksel deneyin, çok kez tekrarlanmas› durumunda ne türsonuçlar›n elde edilece¤i konu edilecektir. Yukar›da verilmifl olan loto oyuncusuörne¤inde, kiflinin sürekli loto oynamas› durumunda, (ortalama) kazanma ya dakaybetme olas›l›klar›n›n hesaplanmas› üzerinde durulacakt›r.

‹zleyen alt bölümlerde, rassal de¤iflken ve türleri aç›klanacak, olas›l›k da¤›l›m-lar›yla bu da¤›l›mlar›n ortalama ve standart sapmalar›n›n bulunmas› ele al›nacakve son olarak da kesikli rassal de¤iflkenler için önemli da¤›l›mlardan olan Binomve Poisson da¤›l›mlar› incelenecektir.

RASSAL DE⁄‹fiKENLER

Rassal de¤iflken kavram›n› aç›klayabilecek ve kesikli rassal de-¤iflkenler için olas›l›k da¤›l›m›n› oluflturabileceksiniz.

Afla¤›daki tabloda 2000 ailenin sahip olduklar› otomobil say›lar›na göre s›kl›k vegöreli s›kl›k da¤›l›mlar› verilmifltir:

Bu gruptan rassal bir aile seçilmifl ve ailenin sahip oldu¤u otomobil say›s› X ilegösterilmifl olsun. Yukar›daki tablonun ilk sütununda da görülece¤i gibi X (de¤ifl-ken )’in alabilece¤i befl de¤er (0 , 1, 2 , 3 , 4 ) bulunmaktad›r ve X ‘in de¤eri se-çilen aileye göre de¤iflim göstermektedir. Yani bu de¤er rassal deneyin sonuçlar›-na ba¤l› ve bu X de¤iflkenine “rassal de¤iflken” ya da “flans de¤iflkeni” ad› veril-mektedir.

Rassal De¤iflken: Bir deney ya da gözlemin flansa ba¤l› sonucu bir de¤iflkeninald›¤› de¤er olarak düflünülürse, olas›l›k ve istatistikte böyle bir de¤iflkene rassalde¤iflken ad› verilir.

Bir rassal de¤iflken, afla¤›da aç›klanaca¤› gibi kesikli (discrete) ya da sürekli(continuous) olabilmektedir.

Kesikli Rassal De¤iflkenBir kesikli de¤iflken, de¤erleri say›mla elde edilen de¤iflkendir. Baflka bir deyifllebir kesikli de¤iflkenin birbirini izleyen de¤erleri aras›nda belirli boflluklar vard›r.

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 105

A M A �

1

Tablo 5.1 Sahip Olunan OtomobilSay›lar›na Göre Ailelerin S›kl›k veGöreli S›kl›k Da¤›l›mlar›.

Otomobil Say›s› S›kl›k Göreli S›kl›k0 30 30 / 2000 = 0.0151 470 470 / 2000 = 0.2352 850 850 / 2000 = 0.4253 490 490 / 2000 = 0.2454 160 160 / 2000 = 0.080

N = 2000 Toplam = 1.000

Kesikli Rassal De¤iflken: Genel anlamda bir rassal de¤iflken say›labilir de¤erleral›yorsa, bu de¤iflkene kesikli rassal de¤iflken denir.

Yukar›daki tabloda verilmifl olan, sahip olunan otomobil say›s› kesikli rassalde¤iflkene örnektir. Çünkü X ile gösterilmifl bulunan kesikli rassal de¤iflken sade-ce say›labilir 0 ,1, 2, 3 ve 4 de¤erlerini alabilmektedir.

Afla¤›da kesikli rassal de¤iflken için baz› örnekler verilmifltir.1. Bir galerinin herhangi bir ayda satm›fl oldu¤u otomobil say›s›.2. Herhangi bir günde bir tiyatroya gelen izleyici say›s›.3. Bir kiflinin sahip oldu¤u ayakkab› say›s›.4. Bir para üç kez at›ld›¤›nda yaz› gelme say›s›.5. Bir ailenin çocuk say›s›.

Sürekli Rassal De¤iflkenDe¤erleri ölçüm ya da tart›mla elde edilen, bir baflka anlat›mla say›mla elde edi-lemeyen bir de¤iflkene sürekli rassal de¤iflken denir. Sürekli bir rassal de¤iflkeninde¤erleri aral›klar halinde tan›mlan›r.

Sürekli Rassal De¤iflken: alaca¤› herhangi bir de¤erle, bir ya da daha fazlaaral›kta tan›mlanan de¤iflkene, sürekli rassal de¤iflken denir.

Bir aral›kta sonsuz say›da de¤er olaca¤› için, sürekli rassal bir de¤iflkenin ala-bilece¤i de¤er say›s› da sonsuz kabul edilir ve bu de¤erlerin say›lmas› olanaks›z-d›r denir. Örne¤in bir pilin ömrü 40 , 40.25 ya da 40.247 saat olabilmektedir. An-cak bilinmektedir ki bir pilin ömrü en çok 200 saattir. Bu örnek için X, rassal se-çilen bir pilin ömrü olmak üzere, X’in alabilece¤i de¤erler 0 ile 200 aras›nda ola-cakt›r. Afla¤›da gösterildi¤i gibi X, 0 ile 200 aras›nda sonsuz say›da de¤er alabile-ce¤i için sürekli rassal bir de¤iflkendir.

Bu aral›ktaki herhangi bir nokta X ile gösterilen bir pilin ömrü olabilmektedir.Bu aral›kta sonsuz say›da nokta olaca¤›ndan, bu noktalar›n temsil etti¤i de¤erlersay›lamayacak sonsuzluktad›r.

Afla¤›da sürekli rassal de¤iflken için baz› örnekler verilmifltir.1. Bir kiflinin boy uzunlu¤u.2. S›navda bir sorunun çözülme süresi.3. Bir bebe¤in a¤›rl›¤›.4. Bir evin de¤eri (fiyat›).5. Bir flifle sütün a¤›rl›¤›.Daha çok kesikli rassal de¤iflkenlere ve da¤›l›mlar›na ayr›lan bu bölümü izle-

yen bölümde, sürekli rassal de¤iflkenler ve da¤›l›mlar› ayr›nt›l› olarak verilecektir.

1. Rassal de¤iflken, kesikli rassal de¤iflken ve sürekli rassal de¤iflken kavramlar›n› aç›k-lay›n›z. Kesikli ve sürekli rassal de¤iflken için birer örnek veriniz.

2. Afla¤›daki rassal de¤iflkenleri kesikli ve sürekli olarak s›n›flay›n›z.a. Bir s›n›ftaki ö¤renci say›s›b. Bir kutu biran›n hacmic. Bir çiftlikteki inek say›s›

is tat ist ik106

0 200

SIRA S ‹ZDE

ÇÖ

ZÜ

M

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 107

Ö R N E K 1

Tablo 5.2 SahipOlunan OtomobilSay›lar›na GöreAilelerin S›kl›k veGöreli S›kl›kDa¤›l›mlar›.

d. Bir evin yafl›e. Bir kitapta en az bir hata olan sayfa say›s›f. Bir doktorun bir hastay› muayene süresi

3. Afla¤›daki rassal de¤iflkenlerden hangilerinin kesikli hangilerinin sürekli oldu¤u-nu söyleyiniz.a. Bir banka flubesinde herhangi bir günde aç›lan hesap say›s›b. Bir maratonu koflma süresic. Bir konser biletinin fiyat›d. Rassal seçilen bir kutudaki çürük yumurta say›s›e. Bir futbol maç›n›n sonucuf. Rassal seçilen bir paketin a¤›rl›¤›

KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹fiKEN‹N OLASILIK DA⁄ILIMI

Kesikli rassal de¤iflkenlerin olas›l›k da¤›l›m›n› oluflturabileceksiniz.

X kesikli bir rassal de¤iflken olmak üzere, X‘in olas›l›k da¤›l›m›, X‘in alabilece¤ide¤erlere göre olas›l›klar›n›n nas›l da¤›ld›¤›n› aç›klamaktad›r.

Kesikli Bir Rassal De¤iflkenin Olas›l›k Da¤›l›m›, rassal de¤iflkenin ala-bilece¤i de¤erle bunlara ait olas›l›klar›n listesidir.

Afla¤›daki Örnek 5.1’de; kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› kavram›-n› aç›klanmaktad›r.

Tablo 5.1’de verilmifl olan ailelerin sahip olduklar› otomobil say›lar›nailiflkin s›kl›k ve göreli s›kl›k da¤›l›m› tekrar yaz›lacak olursa,

biçimindedir. X rassal seçilen bir ailenin sahip oldu¤u otomobil say›s› ol-mak üzere, X‘in olas›l›k da¤›l›m›n› yaz›n›z.

Bir önceki bölümde (Bölüm 4) bir deneyden ya da örneklemden elde edilen gö-reli s›kl›klar›n, yaklafl›k olas›l›klar gibi kullan›labildi¤inden söz edilmiflti. Ancak birkütle için göreli s›kl›klar›n bilinmesi, sonuçlar›n gerçek (kuramsal) olas›l›klar›n›vermektedir. Bu nedenle Tablo 5.2’de verilmifl olan göreli s›kl›klar kullan›larak Xkesikli rassal de¤iflkeninin olas›l›k da¤›l›m› do¤rudan yaz›labilmektedir (Tablo 5.2,son sütun).

Kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› afla¤›daki iki özelli¤i tafl›r.1. x de¤iflkenin alabilece¤i her bir de¤erin olas›l›¤› 0 ile 1 aras›nda olup

0 ≤ P(x) ≤ 1 biçiminde gösterilir.2. x de¤iflkenin alabilece¤i tüm de¤erlerin olas›l›klar toplam› 1’dir ve

S P(x) = 1 olarak gösterilir.

Otomobil Say›s› (x) S›kl›k Göreli S›kl›k Olas›l›k (P(x))0 30 0.015 0.0151 470 0.235 0.2352 850 0.425 0.4253 490 0.245 0.2454 160 0.080 0.080

N = 2000 Toplam = 1.000 S P(x) = 1.00

A M A �

2

is tat ist ik108

fiekil 5.1 Tablo5.2.’de VerilenOlas›l›k Da¤›l›m›n›nGrafiksel Gösterimi.

Olas›l›k Da¤›l›m›n›n ‹ki Özelli¤i, kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›afla¤›daki iki özelli¤i tafl›r.

1. 0 ≤ P(x) ≤ 1; x‘in her de¤eri için2. S P(x) = 1

Bu iki özellik, bir olas›l›k da¤›l›m›n›n (kesinlikle) sa¤lamak zorunda oldu¤u ikikoflul olarak da bilinmektedir. Bu nedenle yukar›daki tabloda verilmifl tüm olas›-l›klar 0 ile 1 aras›ndad›r ve olas›l›klar toplam› da 1’dir. Bu durumda yaz›lm›fl bu-lunan P(x) de¤erleri X‘in olas›l›k da¤›l›m›n› oluflturur.

Tabloda, örne¤in, rassal seçilen bir ailenin iki otomobili olma olas›l›¤› 0.425olup,

P(x = 2) = 0.425

biçiminde gösterilir. Ayr›ca, seçilen bir ailenin ikiden çok otomobile sahip olmaolas›l›¤› soruldu¤unda ise olas›l›klar toplanmaktad›r.

P(x > 2) = P(x = 3) + P(x = 4) = 0.245 + 0.080 = 0.325

Kesikli bir rassal de¤ifl-kenin olas›l›k da¤›l›m›, ma-tematiksel bir formül, birtablo ya da bir grafik biçi-minde gösterilebilmektedir.Afla¤›daki grafikte, yatayeksen X‘in ald›¤› de¤erler,dikey eksense bu de¤erle-re karfl›l›k gelen olas›l›klar(yükseklik) olmak üzereTablo 5.2.’nin de¤erleri kul-lan›larak çizilmifltir. Bu türgrafiklere çizgi ya da hatgrafi¤i ad› verilir.

Afla¤›daki tablolarda baz› x de¤erleri ve bunlara iliflkin olas›l›klar liste-lenmifltir. Bu tablolar›n her birinin geçerli bir olas›l›k da¤›l›m› olup olma-d›¤›n› araflt›r›n›z.

Ö R N E K 2

a) x P(x) b) x P(x) c) x P(x)0 0.08 2 0.25 7 0.701 0.11 3 0.34 8 0.502 0.39 4 0.28 9 -0.203 0.27 5 0.13

0.015

0.235

0.425

0.245

0.080

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

P(x)

x

ÇÖ

ZÜ

M

a) Bu tabloda verilmifl olan tüm olas›l›klar 0 ile 1 aras›nda olduklar› için olas›l›kda¤›l›m›n›n birinci koflulunu sa¤lamaktad›r. Ancak olas›l›klar toplam› (S P(x)= 0.08 + 0.11 + 0.39 + 0.27 = 0.85) 1 olmad›¤› için ikinci koflul sa¤lanma-makta, yani bu tablo, geçerli bir olas›l›k da¤›l›m› göstermemektedir.

b) Bu tabloda verilmifl olan olas›l›klar›n tümünün 0 ile 1 aras›nda olmas› ve olas›-l›klar toplam›n›n (S P(x) = 0.25 + 0.34 + 0.28 + 0.13 = 1.00) 1 olmas› nedeniy-le, iki koflulda sa¤land›¤› için bu, geçerli bir olas›l›k da¤›l›m› göstermektedir.

c) Bu tabloda verilmifl olan olas›l›klar toplam› (S P(x) = 0.70 + 0.50 - 0.20 = 1.00)1 oldu¤u halde, olas›l›klardan bir tanesinin negatif olmas› nedeniyle ilk koflulsa¤lanmamakta ve bu tablo da geçerli bir olas›l›k da¤›l›m› göstermemektedir.

Eski verilerden yararlan›larak bir makinenin birer hafta süresince yap-t›¤› ar›za say›lar› listelenerek afla¤›da verilmifltir.

a) Olas›l›k da¤›l›m›n› grafiksel olarak gösteriniz.b) Bu makinenin verilen bir hafta içerisinde afla¤›daki ar›za say›lar›na

iliflkin olas›l›klar› bulunuz.i) Kesinlikle ikiii) S›f›r iki aras›iii)Birden çokiv) En çok bir

Yukarda verilmifl olan bilgilerden yararlan›larak, X: verilen bir hafta içerisindemakinenin ar›za say›lar›n› göstermek üzere olas›l›k da¤›l›m›,

biçiminde yaz›l›r.a) Olas›l›k da¤›l›m› bilgilerinden yararlanarak olas›l›k da¤›l›m grafi¤i afla¤›daki

biçimde çizilir.

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 109

Ö R N E K 3

Haftal›k ar›za 0 1 2 3Olas›l›k 0.15 0.20 0.35 0.30

ÇÖ

ZÜ

M

Tablo 5.3 Ar›zaSay›lar›n›n Olas›l›kDa¤›l›m›.

fiekil 5.2 Tablo5.3.’deki Olas›l›kDa¤›l›m›n›n Grafi¤i.

x P(x)

0 0.15

1 0.20

2 0.35

3 0.30

∑ P(x) = 1.00

0.15

0.20

0.35

0.30

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 x

P(x

ÇÖ

ZÜ

M

is tat ist ik110

Ö R N E K 4

fiekil 5.3 A¤açDiyagram›.

b) Yukar›da verilmifl olan Tablo 5.3’den yararlanarak istenen olas›l›klar bulunur.i) Kesinlikle iki ar›za olma olas›l›¤›;

P (Kesinlikle iki ar›za) = P(x = 2) = 0.35ii) S›f›r-iki ar›za olma olas›l›¤› (0, 1 ve 2 ar›za durumlar›n›n toplam›d›r).

P (0 - 2 ar›za) = P(0 ≤ x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)= 0.15 + 0.20 + 0.35 = 0.70

iii) Birden çok ar›za olma olas›l›¤› (2 ve 3 ar›za durumlar›n›n toplam›d›r).P (Birden çok ar›za) = P(x > 1) = P(x = 2) + P(x = 3)

= 0.35 + 0.30 = 0.65iv) En çok bir ar›za olma olas›l›¤› (0 ve 1 ar›za durumlar›n›n toplam›d›r)

P (En çok bir ar›za) = P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)= 0.15 + 0.20 = 0.35

Yap›lan bir araflt›rmaya göre; üniversite ö¤rencilerinin % 60’›n›n matema-tik derslerini sevmedikleri (fobi) ve s›navlar›ndan korktuklar› elde edil-mifltir. x matematik derslerini sevmeyen ö¤renci say›s›n› göstermek üze-re, bu gruptan rassal seçilen iki ö¤renci için deneyin olas›l›k da¤›l›m›n›yaz›n›z.

Deney için tan›mlanmas› gereken iki olay;

N = Seçilen ö¤rencide matematik fobisi yokM = Seçilen ö¤rencide matematik fobisi var

biçimindedir.Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi bu deneyin dört olas› sonucu bulunmak-

tad›r (NN - her iki ö¤rencide de matematik fobisi yok , NM - ilk ö¤rencide ma-tematik fobisi yok ikincide var, MN – ilk ö¤rencide matematik fobisi var ikincideyok, MM - her iki ö¤rencide de matematik fobisi var). Yukar›da verilen bilgiler-den P (M) = 0.60 oldu¤u bilinmektedir ve P (N) = 1 - P (M) = 1 - 0.60 = 0.40 ola-ca¤› kolayl›kla görülür. Bu durumda deneyin sonuçlar›,

P(x = 0) = P (NN ) = 0.16P(x = 1) = P (NM ya da MN ) = P (NM ) + P (MN ) = 0.24 + 0.24 = 0.48P(x = 2) = P (MM ) = 0.36

biçiminde ifade edilir.

N 0.40

M 0.60

Nihai sonuçlar ve olas›l›klar‹kinci ö¤renci‹lk ö¤renci

N 0.40

M 0.60

N 0.40

M 0.60

P(NN) = (0.40) (0.40) = 0.16

P(NM) = (0.40) (0.60) = 0.24

P(MN) = (0.60) (0.40) = 0.24

P(MM) = (0.60) (0.60) = 0.36

Yukar›da verilmifl olan olas›l›k de¤erlerinden, olas›l›k da¤›l›m› tablo biçimindede yaz›labilir.

1. Kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›n›n ne oldu¤unu aç›klay›n›z. Kesikli birrassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›n›n hangi üç farkl› yolla ifade edildi¤ini söyleyiniz.

2. Kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›n›n iki özelli¤ini (koflullar›n› ) k›sacaaç›klay›n›z.

3. Afla¤›daki üç tabloda bir dizi x de¤eri ve bunlara iliflkin olas›l›klar verilmifltir. Bun-lardan hangileri olas›l›k da¤›l›m›n›n koflullar›n› sa¤lamaktad›r.

KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹fiKEN‹N ORTALAMASI VE STANDART SAPMASI

Kesikli rassal de¤iflkenlerin ortalama ve standart sapmas›n›hesaplayabileceksiniz.

Kesikli Bir Rassal De¤iflkenin Ortalamas›Kesikli bir rassal de¤iflkenin ortalamas› m ile gösterilir ve bu de¤er ayn› zamandaolas›l›k da¤›l›m›n›n da ortalamas›d›r. X kesikli de¤iflkeninin ortalamas›na, bekle-nen de¤er (expected value) ad› verilmekte ve E(x) biçiminde gösterilmektedir.Kesikli bir rassal de¤iflkenin ortalamas›, deneyin çok kez tekrarlanmas› durumun-da ortaya ç›kacak sonuçlar›n ortalama de¤eridir. Örne¤in bir otomobil galerisininhaftal›k ortalama sat›fl› 2.4 otomobildir ifadesinde, bu galerinin gelecek haftadakesinlikle 2.4 otomobil sataca¤› anlam› ç›kar›lmamal›d›r. Uzun haftalar›n kay›tla-r›ndan (araba sat›fllar› baz› haftalar s›f›r, bazen bir, bazen iki ya da daha çok ola-bilir) galerinin ortalama sat›fl miktar› 2.4 otomobil olarak bulunmufltur.

Kesikli bir rassal de¤iflkenin ortalamas›, x de¤iflken de¤erlerinin kendilerinekarfl›l›k gelen olas›l›klarla çarp›l›p toplanmas› ifllemiyle hesaplan›r.

Kesikli bir rassal de¤iflkenin ortalamas›, her x ile buna karfl› gelen P(x)olas›l›klar›n›n çarp›mlar›n›n toplam› al›narak elde edilir.

m = S x P(x) = E(x)

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 111

A M A �

3

x P(x)

0 0.16

1 0.48

2 0.36

∑ P(x) = 1.00

Tablo 5.4 MatematikFobisi BulunanÖ¤rencilerin Olas›l›kDa¤›l›m›.

a) x P(x) b) x P(x) c) x P(x)5 -0.36 1 0.16 0 0.156 0.48 2 0.24 1 0.007 0.62 3 0.49 2 0.358 0.24 3 0.50

SIRA S ‹ZDE

Örnek 5.3’de bir makinenin bir haftada yapt›¤› ar›za say›lar›na iliflkinafla¤›daki olas›l›k da¤›l›m›n›n ortalamas›n› bulunuz.

Yukar›da belirtildi¤i gibi bu makinenin bir hafta süresince yapaca¤› ortalama ar›-za say›s›n› (beklenen de¤er) bulmak için, X ‘in ald›¤› de¤erlerle bu de¤erlere kar-fl›l›k gelen olas›l›klar›n çarp›mlar›n›n toplanmas› gerekmektedir. Bu yolla olufltu-rulan tablo afla¤›dad›r.

Elde edilen m = S x P(x) = 1.80 de¤erinin anlam›, bu makinenin incelenen sü-rede, haftada 1.8 kez ar›za yapmas›n›n beklendi¤idir. Ancak bulunan bu de¤erortalama (kuramsal) bir de¤er olup, gelecek haftalarda da makine bazen hiç ar›-za yapmayacak, bazen 1, bazen 2 ya da daha çok kez ar›za yapacakt›r.

Kesikli Bir Rassal De¤iflkenin Standart Sapmas›Kesikli bir rassal de¤iflkenin standart sapmas›, olas›l›k da¤›l›m›n›n yay›lmas›n›n(saç›lmas›n›n) bir ölçüsü olup s ile gösterilir. Standart sapma de¤erinin büyük ol-mas›, x de¤erlerinin ortalama etraf›nda genifl bir aral›kta de¤erler ald›¤›n› gösterir-ken, küçük standart sapma de¤eri bu aral›¤›n dar oldu¤unu, gözlenen x de¤erle-rinin ortalamaya çok yak›n de¤erler ald›¤›n› ifade eder. Kesikli bir rassal de¤iflke-nin standart sapmas›,

eflitli¤inden hesaplan›r.Kesikli bir rassal de¤iflken olan X ‘in olas›l›k da¤›l›m›n›n yay›lma ölçüsü olan

standart sapma,

eflitli¤inden hesaplanmaktad›r.‹statistiksel de¤erlendirmelerde, kesikli bir rassal de¤iflkenin standart sapmas›

oldu¤u kadar (hatta daha çok) standart sapman›n karesi al›narak bulunan ve s2

ile gösterilen varyans de¤eri de kullan›lmaktad›r.

s = x2× P x – m2

s = × x – m 2 P x = × x2 P x – m2

is tat ist ik112

x P(x)0 0.151 0.202 0.353 0.30

Ö R N E K 5

Tablo 5.5 Ar›zaSay›lar›na ‹liflkinOlas›l›k Da¤›l›m›n›nOrtalamas›n›nHesaplanmas›.

x P(x) x P(x)

0 0.15 0(0.15) = 0.00

1 0.20 1(0.20) = 0.20

2 0.35 2(0.35) = 0.70

3 0.30 3(0.30) = 0.90

S x P(x) = 1.80

ÇÖ

ZÜ

M

ÇÖ

ZÜ

M

Bir elektrik firmas› bilgisayar parçalar› üreterek sat›fla sunmaktad›r.Üretilen her parça tek tek kalite kontrolünden geçirildikten sonra piyasa-ya sürülmektedir. Ancak tüm bu titiz kontrollere karfl›n, az say›da da ol-sa baz› bozuk (ar›zal›) parçalar da gözden kaçabilmektedir. x ar›zal›parça say›s›n› göstermek üzere, 400 parçal›k bir sevkiyat›n olas›l›k da¤›-l›m› afla¤›da verilmifltir. x de¤erinin standart sapmas›n› bulunuz.

x ‘in standart sapmas›n›n elde edilmesi için gerekli hesaplamalardan afla¤›dakitablo oluflturulmufltur.

x rassal de¤iflkeninin standart sapmas›n›n bulunmas› için flu ad›mlar izlenir :

Ad›m 1: Kesikli rassal de¤iflkenin ortalamas› hesaplan›r.

m = S x P(x) = 2.50(400 parça aras›nda ortalama ar›zal› parça say›s› )

Ad›m 2: S x2 P(x) de¤erinin hesaplanmas›.x rassal de¤iflkeninin alabilece¤i de¤erlerin kareleri al›n›p, olas›l›k de¤erleri

olan P(x) de¤eriyle çarp›lmas› ve çarp›mlar›n›n toplanmas›yla elde edilmektedir.

S x 2 P(x) = 7.70

Ad›m 3: Bulunan m ve S x2 P(x) de¤erlerinin formülde yerine konarak x ‘in stan-dart sapmas› hesaplan›r.

Sonuç olarak 400 parçadan oluflan sevkiyat›n, 1.2 standart sapma de¤eriyle or-talama 2.5 tanesi ar›zal›d›r.

Yeni bir mutfak aleti üreterek piyasaya sürmeyi planlayan bir firman›nfinansal kaynaklar bölümü; bu ürüne yüksek talep olursa y›lda 4.5 trilyonTL, normal talep olursa 1.2 trilyon TL kar edeceklerini, düflük talep olur-sa y›lda 2.3 trilyon TL zarar edeceklerini hesaplam›flt›r. Bu üç talep bek-lentisine iliflkin olas›l›klar s›ras›yla 0.32, 0.51 ve 0.17 oldu¤u göre,

a) x y›ll›k kar› göstermek üzere, x‘in olas›l›k da¤›l›m›n› yaz›n›z.b) x ‘in ortalama ve standart sapma de¤erlerini bulunuz.

s = x2∑ P x – m2 = 7.70 – 2.5 2= 1.45 @ 1.20

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 113

Ö R N E K 6

Tablo 5.6 StandartSapma ‹çin GerekliHesaplamalar.

x P(x) x P(x) x2 x2 P(x)

0 0.02 0.00 0 0.00

1 0.20 0.20 1 0.20

2 0.30 0.60 4 1.20

3 0.30 0.90 9 2.70

4 0.10 0.40 16 1.60

5 0.08 0.40 25 2.00

S x P(x) = 2.50 S x2 P(x) = 7.70

Ö R N E K 7

x 0 1 2 3 4 5P(x) 0.02 0.20 0.30 0.30 0.10 0.08

ÇÖ

ZÜ

M a) Firman›n zarar etmesi durumu negatif kar olarak gösterilerek olas›l›k da¤›l›m›afla¤›daki gibi elde edilir.

b) x rassal de¤iflkeninin ortalama ve standart sapma de¤erlerinin hesaplanmas›n-da kullan›lacak bilgiler afla¤›da Tablo 5.7’de verilmifltir.

Bu bilgilerden m = S x P(x) = 1.661 trilyon TL ortalama kar ve

standart sapma de¤eri bulunur.

Standart Sapman›n YorumuKesikli bir rassal de¤iflkenin standart sapmas› da öteki veri kümelerine benzer bi-çimde yorumlan›r. Örne¤in birden büyük bir de¤er olmak üzere Chebyshev te-oremine göre e¤ri alt›nda kalan alan›n en az [ 1 – (1 / k2) ] . kadar› ortalama et-raf›nda ± k standart sapma s›n›rlar› aras›nda kalmaktad›r. Örne¤in k = 2 al›n›rsa,toplam alan›n % 75’i m – 2s ile m + 2s s›n›rlar› aras›nda yer al›r. Bu teorem ge-re¤ince, Örnek 6’ da m = 2.50 ve s = 1.20 olarak elde edilen de¤erlerden,

m – 2s = 2.50 – 2(1.20) = 0.10m + 2s = 2.50 + 2(1.20) = 4.90

sonuçlar› bulunur ve 400 parçal›k sevkiyatlar›n en az %75’inin ar›zal› parça say›-s›n›n 0.10 ile 4.90 aras›nda olaca¤› söylenir.

1. Afla¤›da verilmifl bulunan olas›l›k da¤›l›mlar›n›n ortalama ve standart sapmalar›n›bununuz.

2. x, bir kitaptan rassal seçilmifl bir sayfadaki yaz›m hatalar›n›n say›s› olmak üzere, afla-¤›da verilmifl olan olas›l›k da¤›l›m›n›n ortalama ve standart sapmas›n› bulunuz.

s = x2∑ P x – m2 = 8.1137 – 1.661 2 = 2.314 trilyon TL.

is tat ist ik114

x P(x)4.5 0.321.2 0.51-2.3 0.17

x P(x) x P(x) x2 x2 P(x)

4.5 0.32 1.440 20.25 6.4800

1.2 0.51 0.612 1.44 0.7344

-2.3 0.17 -0.391 5.29 0.8993

S x P(x) = 1.661 S x2 P(x) = 8.1137

Tablo 5.7 Ortalamave Standart Sapma‹çin Gerekli Bilgiler.

SIRA S ‹ZDE

a) x P(x) b) x P(x)0 0.12 6 0.361 0.27 7 0.262 0.43 8 0.213 0.18 9 0.17

x 0 1 2 3 4P(x) 0.73 0.16 0.06 0.04 0.01

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

3. Elektrik malzemeleri sat›lan bir ma¤azada yap›lan incelemede bir günde sat›lan elekt-rik prizi say›s›na iliflkin olas›l›k da¤›l›m› afla¤›dad›r. Olas›l›k da¤›l›m›n›n ortalama vestandart sapmas›n› bulunuz, buldu¤unuz ortalama de¤erini yorumlay›n›z.

FAKTÖR‹YELLER VE KOMB‹NASYONLAR

Faktöriyel kavram›n› aç›klayabilecek, kombinasyon hesaplayabileceksiniz.

Faktöriyeller“ ! ” sembolü faktöriyel iflareti olup, verilen de¤erden 1’e kadar tüm pozitif tam-say›lar›n çarp›m›ndan oluflur. Örne¤in 7!, yedi faktöriyel olarak okunur ve 7’den1’e kadar tüm pozitif tam say›lar›n çarp›m›ne eflittir.

Faktöriyeller, n! (n faktöriyel) n’den 1’e kadar tüm pozitif tam say›lar›n çarp›-m›n› ifade eder ve

n! = n (n – 1) (n – 2 ).....3. 2. 1biçiminde gösterilir. Bu tan›m gere¤ince 0! = 1’dir.

7! de¤erini bulunuz.

7! de¤erini bulmak için 7’den 1’e kadar tüm tamsay›lar›n çarp›lmas› gerekir.

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 5.040

10! de¤erini bulunuz.

Burada da yine 1 ‘den 10 ‘a kadar tüm tamsay›lar›n çarp›m›ndan 10! de¤eri eldeedilir.

10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 3.628.800

(12 – 4) ! de¤erini bulunuz.

Burada ilk olarak parantez içindeki ifllem yap›l›r ve daha sonra faktöriyel de¤eribulunur.

(12 – 4) ! = 8 ! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 40.320

(5 – 5) ! de¤erini bulunuz.

Yukar›da da belirtilmifl oldu¤u gibi burada da önce parantez içerisindeki ifllem ya-p›l›r ve daha sonra farktöriyel de¤eri hesaplan›r.

(5 – 5) ! = 0 ! = 1

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 115

Sat›lan priz 0 1 2 3 4 5 6Olas›l›k 0.05 0.12 0.23 0.30 0.16 0.10 0.04

A M A �

4

Ö R N E K 8

Ö R N E K 9

Ö R N E K 1 0

Ö R N E K 1 1

ÇÖ

ZÜ

M

15 ! de¤erini bulunuz.

15 ! = 15 . 14 . 13. ...... 2 . 1 = 1.307.674.368.000

(Not: Faktöriyel de¤erlerinin kolay bulunmas›n› sa¤layan haz›r tablolar gelifl-tirilmifl olup. bu amaçla baz› hesap makinelerinde ! fonksiyon anahtar› (tuflu)bulunmaktad›r.)

KombinasyonlarBir süre sonra, bir grup içerisinden az say›da birimin çekilmesi konusu incelene-cektir. Örne¤in bir ö¤renci dört soruluk bir s›navda iki soruyu cevaplayacakt›r.Ya da bir fakültedeki 20 profesör aras›ndan üç kiflilik bir komite seçilecektir. Buörneklerde ortak sorun, seçimin kaç farkl› yolla yap›labilece¤idir. Örne¤in, s›na-va giren ö¤renci dört soru aras›ndan iki soruyu alt› farkl› flekilde seçebilir. Bun-lar (1 ve 2) (1 ve 3) (1 ve 4) (2 ve 3) (2 ve 4) (3 ve 4) biçiminde listelene-bilir. Listedeki tüm olas› seçimlere bir kombinasyon denmektedir. Bu alt› kombi-nasyonda farkl› sorular bulunmaktad›r. Kombinasyonlarda seçilme s›ras› önemlide¤ildir. Yukar›daki örnekler için (1 ve 2) ile (2 ve 1) soru seti eflde¤er (ayn›) dir.

Kombinasyonlar›n Gösterimi, Kombinasyonlar; n eleman aras›ndan x tane-sinin seçilme yollar› say›s›n› vermekte ve toplam kombinasyon say›s›,

ya da

biçiminde gösterilerek “ n eleman aras›ndan her seferinde x tanesinin seçilmesin-de kombinasyon say›s›” olarak okunmaktad›r.

x tane eleman›n, aras›ndan seçilecek toplam eleman say›s› n olarak düflünül-dü¤ünde;

ifadesinden yararlan›lmaktad›r.

Kombinasyonlar›n Say›s›, n tane farkl› eleman aras›ndan x tanesinin seçimin-deki kombinasyon say›s›

formülünden bulunmaktad›r. Burada n! , x! , (n - x ) ! faktöriyellerdir.Kombinasyon formülünde,

n ! = n (n – 1) (n - 2)........ 2 . 1x ! = x (x – 1) (x - 2)........ 2 . 1

(n - x) ! = (n - x) (n - x - 1) (n - x - 2)........ 2 . 1

nx

= n!x! n – x !

Cnxn

x

is tat ist ik116

Ö R N E K 1 2

n = toplam eleman say›s›

= n eleman aras›nda her seferinde x eleman seçilmesinde kombinasyon say›s›

x = her seferinde seçilecek eleman say›s›

nx

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

olup, burada n de¤eri x de¤erinden büyük ya da en az›ndan eflit olmak zorunda-d›r. Aksi durumda x eleman›n n ‘den küçük bir gruptan seçilmesi söz konusu ol-mayacakt›r.

Yukar›da verilmifl olan dört soru aras›ndan iki tanesinin seçilmesi dene-yinde, farkl› seçim say›s›n› kombinasyon formülünü kullanarak bulunuz.

Bu örnekte

n = toplam soru say›s› = 4x = seçilecek soru say›s› = 2

oldu¤u için, bir ö¤rencinin seçebilece¤i farkl› küme say›s›,

olarak bulunur.

Befl kifli aras›ndan üç kiflinden oluflacak bir jüri, kaç farkl› yolla seçilebilir?

Burada da n = 5 ve x = 3 oldu¤u için kombinasyon formülünden,

elde edilir. E¤er A, B, C, D ve E ile ifade edilecek olunursa, olas› jüriler; ABC,ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE biçiminde gösterilir.

1. Bir üniversitenin ‹statistik Bölümünde 15 ö¤retim üyesi görev yapmaktad›r. Bunlararas›ndan rassal olarak iki tanesi, fakülte komitesine üye olarak seçilecektir. Kaçfarkl› seçim yap›laca¤›n› bulunuz.

2. Bir ilçenin kaymakam›, gelecek hafta, ilçesinde bulunan 12 ilkö¤retim okulundan 3tanesini ziyaret edecektir. Kaç farkl› olas› seçim yapaca¤›n› bulunuz.

3. Bir yat›r›mc›, g›da sektöründe faaliyet gösteren ve hisseleri menkul k›ymetler borsa-s›nda ifllem gören 20 firmadan 5 tanesinin hisse senetlerinden almak istemektedir.Yat›r›mc› kaç farkl› seçim yapabilecektir.

5

3 = 5!

3! 5 – 3 ! = 5!

3! 2! = 120

6 . 2 = 10

4

2 = 4!

2! 4 – 2 ! = 4!

2! 2! = 4 . 3 . 2 . 1

1 . 2 . 1 . 2 = 6

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 117

Ö R N E K 1 3

Ö R N E K 1 4

SIRA S ‹ZDE

B‹NOM (‹K‹ TER‹ML‹) OLASILIK DA⁄ILIMI

Kesikli rassal de¤iflkenlerin önemli da¤l›mlar›ndan Binom da¤›l›-m›n› kullanarak ilgili olas›l›klar› hesaplayabilecek, da¤›l›m›n or-talama ve standart sapmas›n› hesaplayabileceksiniz.

Binom olas›l›k da¤›l›m›, X’in kesikli rassal de¤iflken olmas› durumunda en yay-g›n kullan›lan da¤›l›mlardan biridir. Binom olas›l›k da¤›l›m›, n tekrarl› bir deney-de x kez istenen sonuç gelmesi durumunda, olas›l›klar›n bulunmas› amac›ylakullan›lmaktad›r. Örne¤in bir fabrikada üretilen TV setlerinin ar›zal› olma olas›l›-¤› % 5 olarak verilmiflse bu fabrikada üretilen TV setlerinden üç tanesinin seçil-mesi durumunda, bunlardan bir tanesinin ar›zal› olma olas›l›¤›n›n bulunmas›ndakullan›lmaktad›r.

Binom olas›l›k da¤›l›m›n›n uygulanabilmesi için X de¤iflkeninin iki sonuçlu (ke-sikli) bir rassal de¤iflken olmas› gerekir. ‹ki sonuçlu (kesikli) rassal de¤iflkenin an-lam›, deneyin her tekrar›ndan sonra bu iki sonuçtan birinin ortaya ç›kmas›d›r.

Binom da¤›l›m›, afla¤›da ayr›nt›l› bir biçimde verilecek dört koflulu sa¤layan bi-nom deneylerine uygulanmaktad›r ki bu deneydeki her tekrara deneme, Bernoul-li denemesi ya da s›namas› (trial - Bernoulli trial) ad› verilmektedir. Örne¤in de-ney, bir paran›n bir kez at›lmas› olarak tan›mlan›rsa ve bu deney 10 kez tekrarla-n›rsa buradaki her tekrara (at›fl) bir deneme ad› verilir ve bu deneyde toplam 10deneme yap›lm›fl olur.

Binom DeneyiE¤er bir deney afla¤›daki dört koflulu sa¤l›yorsa bu deneye binom deneyidenmektedir.

1. n tane özdefl deneme vard›r. Yani verilen deney n kez özdefl (ayn› ) koflul-larda tekrarlanmaktad›r.

2. Her denemenin sadece ve sadece iki sonucu vard›r. Bu sonuçlara genellik-le baflar› ya da baflar›s›zl›k denmektedir.

3. p baflar› olas›l›¤›, q ise baflar›s›zl›k olas›l›¤› olmak üzere p + q = 1 dir.p ve q olas›l›klar› her deneme için ayn›d›r.

4. Bir denemenin sonucu öteki denemenin sonucunu etkilememektedir. Yanidenemeler ba¤›ms›zd›r.

Bir Binom Deneyinin Koflullar›: Bir binom deneyi afla¤›daki dört koflulusa¤lamak zorundad›r.

1. n tane özdefl deneme olmal›d›r.2. Her denemenin sadece iki olas› sonucu olmal›d›r.3. ‹ki sonucun olas›l›klar› hep ayn› olmal›d›r.4. Denemeler birbirinden ba¤›ms›z olmal›d›r.Yukar›da da belirtildi¤i gibi, bir denemenin, baflar› ve baflar›s›zl›k olarak ifade

edilen iki sonucu vard›r. Ancak burada baflar›, gerçek baflar› ya da arzulanan birsonuç anlam›na gelmemektedir. Ayn› biçimde baflar›s›zl›k da istenmeyen, bir du-rum olmay›p, baflar› ve baflar›s›zl›k sadece, iki farkl› sonucu ifade etmek için kul-lan›lmaktad›r. Sonuç olarak, karfl›lafl›lan özel problemde istenen sonuca baflar›, is-tenmeyen sonucaysa baflar›s›zl›k denmektedir.

is tat ist ik118

A M A �

5

ÇÖ

ZÜ

M

Hatas›z bir paran›n 10 kez at›ld›¤› bir deney, bir binom deneyi midir?

Afla¤›da ayr›nt›l› bir biçimde gözden geçirilece¤i gibi, hatas›z bir paran›n 10 kezat›lmas› deneyi gerekli dört koflulu da sa¤lad›¤› için bir binom deneyidir.1. Burada ayn› türden (özdefl ) 10 deneme (at›fl ) vard›r ve 10 denemenin tümü

de de ayn› koflullardad›r.2. Her denemenin yaz› ve tura olmak üzere iki olas› sonucu vard›r ve burada ya-

z› gelmesi baflar›, tura gelmesi ise baflar›s›zl›k olarak nitelenmektedir.3. Herhangi bir at›flta yaz› (baflar› ) gelme olas›l›¤› 1 / 2 , tura (baflar›s›zl›k) gel-

me olas›l›¤› da 1 / 2 olup,

p = P (Y) = 1 / 2 ve q = P (T) = 1 / 2

olas›l›klar toplam› 1 ‘dir ve bu de¤erler bütün denemelerde ayn›d›r.4. Denemeler birbirinden ba¤›ms›zd›r ve herhangi bir denemede yaz› gelmesi,

izleyen denemenin sonucunu etkilememektedir.Sonuç olarak bir paran›n 10 kez at›lmas› deneyi bir binom deneyidir.

Bir firma taraf›ndan üretilen TV setlerinin % 5’inin kusurlu (ar›zal› ) ol-du¤u bilinmektedir. Bu firmaca üretilen TV setlerinden rassal üç tanesi-nin seçilmesi ve kalite kontrol uzmanlar›nca dikkatli bir biçimde incelen-mesi deneyi, bir binom deneyi midir?

1. Bu örnekte üç tane ayn› türden (özdefl) deneme vard›r.2. Her denemede (ar›zal› ve ar›zas›z) iki sonuç vard›r ve bu sonuçlar baflar› ve

baflar›s›zl›k olarak de¤erlendirilmektedir.3. TV setinin ar›zal› (baflar›) olma olas›l›¤› p = 0.05, ar›zas›z (baflar›s›z) olma ola-

s›l›¤› q = 0.95 olup olas›l›klar toplam› 1’dir. 4. Denemeler birbirinden ba¤›ms›zd›r. Çünkü incelenen herhangi bir TV setinin

ar›zal› olmas› daha sonra incelenecek olanlar›n ar›zal› ya da ar›zas›z olmas›n›etkilememektedir.

Bu dört koflulun sa¤lanmas› nedeniyle bu deney de bir binom deneyidir.

Binom Olas›l›k Da¤›l›m› ve Binom FormülüBir binom deneyinde n denemede elde edilen baflar› say›s› X ile ifade ediliyorsa,X rassal de¤iflkenine binom rassal de¤iflkeni, da¤›l›m›naysa binom olas›l›k da¤›l›-m› ya da k›saca binom da¤›l›m› denmektedir. Binom da¤›l›m›, n denemeden x ba-flar›l› sonucun elde edildi¤i binom deneyinde olas›l›k hesaplamak amac›yla kulla-n›lmaktad›r. Burada X ’in kesikli rassal de¤iflken oldu¤u unutulmamal›d›r. Nitekimyukar›da incelenmifl olan TV seti örne¤inde baflar›l› sonuç say›s› 0, 1, 2 ve 3’denbir tanesi olacakt›r.

Binom Formülü, Bir binom deneyinde, n denemeden x tane baflar›l› sonuçelde edilmesinin olas›l›¤›, afla¤›daki binom formülüyle bulunmaktad›r.

Burada; n = toplam deneme say›s›p = baflar›l› sonuç elde edilme olas›l›¤›q = 1 - p = baflar›s›z sonuç elde edilme olas›l›¤›x = baflar›l› sonuç say›s›n - x = baflar›s›z sonuç say›s›d›r.

P x = nx

px . qn–x, x = 0,1, ..., n

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 119

Ö R N E K 1 6

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 1 7

Yukar›da verilen ve ar›zal› olma olas›l›¤› % 5 olan TV seti örne¤inde, ras-sal seçilmifl olan 3 TV setinden sadece bir tanesinin ar›zal› olma olas›l›¤›nedir?

Burada ilk olarak,

D = Seçilmifl bir TV setinin ar›zal› olmas›G = Seçilmifl bir TV setinin ar›zal› olmamas›

olaylar› tan›mlan›r. Afla¤›daki a¤aç diyagram›ndan da görülece¤i gibi buradaortaya ç›kacak 8 olas› sonuçtan sadece üç tanesiyle ilgilenilmektedir. Bunlar,

DGG, GDG, GGD

dir.

Burada rassal seçilen birTV setinin ar›zal› olma olas›-l›¤› p = P(D) = 0.05 ve ar›za-s›z olma olas›l›¤› da q = P(D)= 0.95 dir. Çok genifl bir küt-leden seçildi¤i düflünüldü-¤ünde, seçimler birbirindenba¤›ms›z olacakt›r. Burada il-gilenilen üç durumun (sade-ce bir tanesinin ar›zal› olma-s›) olas›l›klar›, eski bilgiler-den yararlan›larak kolayl›klabulunur.

P(DGG) = P(D) P(G) P(G) = (0.05) (0.95) (0.95) = 0.0451

P(GDG) = P(G) P(D) P(G) = (0.95) (0.05) (0.95) = 0.0451

P(GGD) = P(G) P(G) P(D) = (0.95) (0.95) (0.05) = 0.0451

Burada DGG, D, G ve G olaylar›n›n arakesiti ya da bu üç olas›l›¤›n P(DGG)

biçiminde bileflik olas›l›¤›d›r. Bu sonucun ortaya ç›kma olas›l›¤› (bileflik olas›l›k),

çarpma kural›yla elde edilmifltir.

Öteki iki durum için de benzer yorumlar yap›labilir. Sonuç olarak istenen

olas›l›k,

P (3 TV setinden 1 tanesinin ar›zal› olmas› ) = P (DGG ya da GDG ya da GGD)

= P (DGG) + P (GDG) + P (GGD)

= 0.0451 + 0.0451+ 0.0451

= 0.1353olarak bulunur.

is tat ist ik120

Ö R N E K 1 8

fiekil 5.4 Üç TV setineiliflkin a¤aç diyagram›.

ÇÖ

ZÜ

M

ÇÖ

ZÜ

M

fiimdi ise ayn› sonuç binom formülü ile bulunacakt›r.n = toplam deneme say›s› = 3x = baflar›l› sonuç say›s› = 1 n - x = baflar›s›z sonuç say›s›d›r = 3 – 1 = 2p = P (baflar›l›) = 0.05q = P (baflar›s›z) = 0.95

olmak üzere binom formülünden,

elde edilir.

Yüksek kalitede hizmet sunan bir kargo flirketinin, paketlerinden sadece% 2’sini belirlenen sürede yerine ulaflt›ramad›¤› bilinmektedir. Bir müflte-ri 10 tane paketi bu kargo firmas›na getirerek, belirli bir sürede üzerle-rinde yaz›l› adreslere ulaflt›r›lmas›n› istemifltir.a) Bu paketlerden bir tanesinin belirlenen sürede yerine ulaflmama olas›l›-

¤› nedir?b) Bu paketlerden en çok bir tanesinin belirlenen sürede yerine ulaflma-

ma olas›l›¤› nedir?

Burada paketin yerine ulaflmamas› baflar›, ulaflmas›ysa baflar›s›zl›k olarak tan›mlan›rsa,

n = toplam paket say›s› = 10p = P (baflar›l›) = 0.02q = P (baflar›s›z) = 1 – p = 1 – 0.02 = 0.98

de¤erleri yaz›l›r.a) Sadece bir paketin ulaflmamas› durumuyla ilgilenildi¤inden,

x = baflar›l› sonuç say›s› = 1 n - x = baflar›s›z sonuç say›s›d›r = 10 – 1 = 9

de¤erleri de kullan›larak istenen olas›l›k bulunur.

P x = 1 =10

1 0.02 1 0.98 9 = 10!

1! 9! 0.02 1 0.98 9

= 10 0.02 0.8337 = 0.1667

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 121

3 denemeden 1 baflar›l› Baflar›l› sonuç Baflar›s›z sonuçsonuç elde etme olas›l›¤› say›s› say›s›

Baflar› olas›l›¤› Baflar›s›zl›k olas›l›¤›

P x = 1 =3

1 0.05 1 0.95 2 = 3 0.05 0.9025 = 0.1353

Ö R N E K 1 9

is tat ist ik122

b) En çok bir paketin yerine ulaflmamas› durumuyla ilgilenildi¤indeyse x = 0 vex = 1 olmaktad›r. Bu durumda

P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)

sonucu elde edilmektedir.

Bir araflt›rma sonucunda 6 yafl›ndan küçük çocuklu, evli kad›nlar›n %60’›n›n ev han›m› olmad›klar› bulunmufltur. Bu gruptan evli üç kad›n ras-sal olarak seçilmifltir. x, ev han›m› olmayan kad›n say›s›n› göstermeküzere , üç kad›n›n da ev han›m› olmama olas›l›¤›n› bulunuz, x rassal de-¤iflkeninin olas›l›k da¤›l›m›n› yazarak grafi¤ini çiziniz.

x, 3 birimlik kad›n örnekleminde ev han›m› olmayan kad›n say›s›, n - x ise evhan›m› kad›n say›s› olmak üzere,

n = toplam kad›n say›s› = 3p = P (ev han›m› olmayan kad›n) = 0.60q = P (ev han›m› kad›n) = 1 - p = 1 - 0.60 = 0.40

bilgilerinden yararlanarak istenen olas›l›k bulunur. Burada x rassal de¤iflkeni0, 1 , 2 ve 3 de¤erlerini alacak ve istenen olas›l›k , bu olas›l›k de¤erleri aras›ndanseçilecektir.

P(x = 0, 1, 2 , 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)

Soruda istenen olas›l›k P(x = 3) = 0.2160 d›r.

Yukar›da elde edilen olas›l›k de¤erlerinden yararlanarak x ‘in olas›l›k da¤›l›m›-

n› ve olas›l›k da¤›l›m›n›n grafi¤i afla¤›da verilmifltir.

=3

0 0.60 0 0.40 3 +

3

1 0.60 1 0.40 2 +

3

2 0.60 2 0.40 1

+3

3 0.60 3 0.40 0

= 0.0640 + 0.2880 + 0.4320 + 0.2160 = 1

=10

0 0.02 0 0.98 10 +

10

0 0.02 1 0.98 9

= 1 1 0.8171 + 10 002 0.8337 = 0.9838

Ö R N E K 2 0

ÇÖ

ZÜ

M

ÇÖ

ZÜ

M

Bir araflt›rma sonucunda tüketicilerin % 20’sinin indirim yapan market-lerden al›flverifl yapt›klar› bulunmufltur. Bu tüketiciler aras›ndan rassalseçilen 6 kifli için afla¤›daki de¤erleri bulunuz.a) 3 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›n›.b) En çok 2 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma ola-

s›l›¤›n›.c) En az 3 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›-

l›¤›n›.d) Tüketicilerden 1 - 3 tanesinin indirim yapan marketlerden al›flverifl

yapma olas›l›¤›n›.e) x rassal de¤iflkeni indirim yapan marketlerden al›flverifl yapan tüke-

ticilerin say›s›n› göstermek üzere x ‘in olas›l›k da¤›l›m›n› yaz›n›z veolas›l›k da¤›l›m›n›n grafi¤ini çiziniz.

‹stenen olas›l›k de¤erlerinin bulunabilmesi için

n = toplam tüketici say›s› = 6x = indirim yapan marketlerden al›flverifl yapan kifli say›s›

= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6p = P (indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma) = 0.20q = P (indirim yapan marketlerden al›flverifl yapmama) = 1 - p = 1 - 0.20

= 0.80

de¤erlerine gereksinim vard›r.

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 123

Tablo 5.8 x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›.

x P(x)

0 0.0640

1 0.2880

2 0.4320

3 0.2160

Toplam 1.0000

fiekil 5.5 x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›n›nGrafi¤i.

Ö R N E K 2 1

0.2880

0.4320

0.2160

0.0640

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0 1 2 3 x

P(x)

a) 3 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›,

b) En çok 2 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›,

P(x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)

= 0.2621 + 0.3932 + 0.2458 = 0.9011

c) En az 3 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›,

P(x ≥ 3) = P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6)

ya da

1 - P(x>2 = 1 - 0.9011 = 0.0989

= 0.0819 + 0.0154 + 0.0015 + 0.0001 = 0.0989

d) Tüketicilerden 1 - 3 tanesinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapmaolas›l›¤›,

P(1 ≤ x ≤ 3) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)

= 0.3932 + 0.2458 + 0.0819 = 0.7209

dur.e) x rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m ve olas›l›k da¤›l›m grafi¤i afla¤›daki gibidir.

P x = 3 =6

3 0.20 3 0.80 3 = 0.0819

is tat ist ik124

x P(x)

0 0.2621

1 0.3932

2 0.2458

3 0.0819

4 0.0154

5 0.0015

6 0.0001

Toplam 1.0000

Tablo 5.9 x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›.

fiekil 5.6 x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›n›nGrafi¤i.

0.3932

0.2458

0.0819

0.0154 0.0015 0.0001

0.2621

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0 1 2 3 4 5 6 x

P(x)

Baflar› Olas›l›¤› ve Binom Da¤›l›m›n›n Biçimin deneme durumunda,

1. E¤er p = 0.50 ise binom da¤›l›m› simetrik,2. E¤er p , 0.50’den küçük ise binom olas›l›k da¤›l›m›n›n sa¤a do¤ru çarp›k,3. p , 0.50’den büyük ise binom olas›l›k da¤›l›m›n›n sola do¤ru çarp›k,

oldu¤u gösterilebilir.Bu durumlar afla¤›da verilmifltir:

1. n = 4 ve p = 0.50 olarak al›nacak olursa, x olas›l›k da¤›l›m› ve olas›l›k da¤›-l›m›n›n simetrik grafi¤i afla¤›daki gibidir.

2. n = 4 ve p = 0.30 (0.50’den küçük) olarak al›nacak olursa, x ‘in olas›l›k da-¤›l›m› ve sa¤a do¤ru çarp›k grafi¤i afla¤›daki gibidir.

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 125

x P(x)

1 0.2500

2 0.3750

3 0.2500

4 0.0625

Toplam 1.0000

Tablo 5.10 n = 4 ve p= 0.50 için x'inOlas›l›k Da¤›l›m›

fiekil 5.7 x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›n›nGrafi¤i.

x P(x)

0 0.2401

1 0.4116

2 0.2646

3 0.0756

4 0.0081

Toplam 1.0000

Tablo 5.11 n = 4 ve p= 0.30 için x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›.

0.2500 0.2500

0.3750

0.06250.0625

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4

P(x)

x

3. n = 4 ve p = 0.80 (0.50’den büyük) olarak al›nacak olursa, x ‘in olas›l›k da-¤›l›m› ve sola do¤ru çarp›k grafi¤i afla¤›daki gibidir.

Binom Da¤›l›m›n›n Ortalama ve Standart Sapmas›Daha önce, kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›n›n ortalama ve standartsapmas›n›n nas›l hesaplanaca¤›na de¤inilmiflti. Buradaysa kesikli rassal de¤iflke-nin binom da¤›l›m›na sahip olmas› durumunda, ortalama ve standart sapman›n el-de edilmesinde kullan›lan, daha uygun ve basit formüller incelenecektir.

Binom Da¤›l›m›n›n Ortalama ve Standart Sapmas›, Bir binom da¤›l›m›n›nortalama ve standart sapmas›,

m = n p

is tat ist ik126

fiekil 5.8 x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›n›nGrafi¤i.

x P(x)

0 0.0016

1 0.0256

2 0.1536

3 0.4096

4 0.4096

Toplam 1.0000

Tablo 5.12 n = 4 vep = 0.80 için x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›.

fiekil 5.9 x ‘inOlas›l›k Da¤›l›m›n›nGrafi¤i.

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.00810.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

P(x)

x

0.00160.0256

0.1536

0.4096 0.4096

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

P(x)

x

ÇÖ

ZÜ

M

ve

biçiminde olup, burada n toplam deneme say›s›, p baflar› olas›l›¤› ve q ise bafla-r›s›zl›k olas›l›¤›d›r.

Afla¤›daki örnekte, bir binom da¤›l›m› için ortalama ve standart sapman›n he-saplanmas› verilecektir.

Yap›lan bir araflt›rmayla bir kasabadaki eriflkinlerin % 58’inin psikolojiksorunu oldu¤u bulunmufltur. Bu kasabadan rassal 25 eriflkin seçilmifltir.x , bu örneklemdeki psikolojik sorunu olan kifli say›s›n› göstermek üzere,x ‘in olas›l›k da¤›l›m›n›n ortalama ve standart sapmas›n› bulunuz.

25 denemesi olan bu deneyde, psikolojik sorunu olan ve olmayan eriflkinler ol-mak üzere iki sonuç bulunmaktad›r. Burada baflar› olarak düflünülen sonuç p =0.58 ve baflar›s›zl›k olarak de¤erlendirilen sonuç ise q = 0.42 dir. Bu örnekte bi-nom olas›l›k da¤›l›m›na iliflkin ortalama ve standart sapma formülleri kullan›lma-dan da istenen de¤erleri bulmak olanakl› ancak yorucudur. Oysa ki yukar›da ve-rilmifl olan formüllerden yararlan›larak ortalama ve standart sapma de¤erleri s›ra-s›yla,

m = n p = 25 (0.58) = 14.50

olarak kolayca bulunabilir. Bu de¤erlerin anlam›; seçilen 25 kifliden 2.47 standartsapmayla ortalama 14.50 tanesinin psikolojik sorunlu olmas› beklenmektedir.

1. Afla¤›daki kavramlar› k›saca aç›klay›n›z.a) Bir binom deneyib) Bir denemec) Bir binom rassal de¤iflkeni

2. Afla¤›dakilerden hangilerinin binom deneyi oldu¤unu söyleyiniz.a) Bir zar›n çok kez at›larak sonuçlar›n›n okunmas›.b) Bir zar›n çok kez at›larak sonuçlar›n›n tek say› m› yoksa çift say› m› oldu¤unun

okunmas›.c) Bir ülkedeki tüm seçmenlerin % 54’ünün mevcut iktidar partisini destekledi¤i bi-

linmektedir. Bu kitleden (seçmenler) rassal seçilen az say›da seçmene, mevcutiktidar partisini destekleyip desteklemediklerinin sorulmas›.

3. x , binom da¤›l›m› gösteren kesikli bir rassal de¤iflken olmak üzere, binom formü-lünden yararlanarak afla¤›daki olas›l›klar› bulunuz.a) n = 8 ve p = 0.60 için P(x = 5)b) n = 4 ve p = 0.30 için P(x = 3)c) n = 6 ve p = 0.20 için P(x = 2)

s = n p q = 25 0.58 0.42 = 2.47

s = n p q

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 127

Ö R N E K 2 2

SIRA S ‹ZDE

PO‹SSON OLASILIK DA⁄ILIMI

Kesikli rassal de¤iflkenlerin di¤er önemli bir da¤›l›m› olan Poissonda¤›lm››n› kullanarak ilgili olas›l›klar›, ortalama ve standart sap-mas›n› hesaplayabileceksiniz.

Frans›z matematikçi Simeon D. Poisson’un ad›yla an›lan Poisson olas›l›k da¤›l›m›,binom da¤›l›m› gibi X’in kesikli bir rassal de¤iflken olmas› durumunda (yayg›n)kullan›lan da¤›l›mlardan biridir. Örne¤in bir kavflakta trafik kazas› olmas› aydabirkaç kez rastlanan bir olayd›r. Burada istenen, gelecek ay o kavflakta iki trafikkazas› olmas› olas›l›¤›d›r. Bu örnek Poisson olas›l›k da¤›l›m›na uygundur ve herkaza olmas›; meydana gelme ya da tekrar olma (occurrence) biçiminde ifade edi-lir. Bu durumda Poisson da¤›l›m›n›n, rassal ve ba¤›ms›z olayl› deneylerde kulla-n›ld›¤› söylenebilir. Kaza örne¤inde oldu¤u gibi, Poisson da¤›l›m›nda olaylar ras-sald›r, herhangi bir s›ra izlemedikleri gibi önceden kestirilmeleri de olanakl› de¤il-dir. Burada olaylar›n ba¤›ms›zl›¤›n›n anlam›, bir olay›n bir kez meydana gelmesive kendisini izleyen olaylar›n meydana gelmesi ya da gelmemesi üzerinde etkisi-nin bulunmamas›d›r. Olaylar›n meydana gelifli, hep bir aral›kta ele al›n›r (trafik ör-ne¤inde bir ay gibi). Bu aral›k bir zaman aral›¤›, bir uzay aral›¤› olabilece¤i gibibir hacim aral›¤› da olabilmektedir. ‹ncelenen bir aral›kta olay›n tekrar› rassal veba¤›ms›zd›r. E¤er verilen bir aral›kta tekrar say›s›n›n ortalamas› biliniyorsa, Pois-son olas›l›k da¤›l›m› kullan›larak, x ile gösterilen tekrar say›s›na iliflkin herhangibir de¤erin olas›l›¤› hesaplanabilmektedir.

Poisson Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Uygulanma Koflullar›, Poisson olas›l›k da¤›-l›m›n›n uygulanabilmesi için afla¤›daki üç koflulun sa¤lanmas› gerekir.

1. x kesikli rassal de¤iflkendir.2. Tekrarlar rassald›r.3. Tekrarlar ba¤›ms›zd›r.Konuya aç›kl›k kazand›r›lmas› aç›s›ndan afla¤›da, Poisson olas›l›k da¤›l›m›n›n

uygulanabilece¤i baz› örnekler ele al›nm›flt›r..1. Bir hastanenin acil servisine belirli bir zaman aral›¤›nda (bir saat, bir gün)

gelen hasta say›s›. Burada hasta geliflleri (tekrar) rassald›r ve gelen hasta sa-y›s› 0, 1, 2,.... olabilir. Hasta geliflleri (tekrar) ba¤›ms›zd›r. Çünkü gelifllertek tektir ve gelen iki hasta aras›nda iliflki yoktur.

2. Bir makinede üretilecek 100 parçadan, kusurlu parça say›s› da Poisson da-¤›l›m›na uygundur. Çünkü burada bir hacim aral›¤› (100 parça) söz konu-su olup, kusurlu parça say›lar› (tekrar) rassal ve bir parçan›n kusurlu olma-s›, bir di¤erinden ba¤›ms›zd›r.

3. 5 metre uzunlu¤unda bir demir çubuktaki hava kabarc›klar› (kusur) incele-niyor olsun. Bu örnekte aral›k bir uzay aral›¤› olup hava kabarc›¤› say›s›rassald›r ve bu hava kabarc›klar› birbirinden ba¤›ms›zd›r.

Bu örneklere benzer bir biçimde olan afla¤›daki örnekler de Poisson olas›l›kda¤›l›m›na uygundur.

1. Bir otoyolda bir haftal›k süredeki kaza say›s›.2. Bir manava bir saatlik sürede gelen müflteri say›s›.3. Bir ma¤azada bir haftal›k sürede sat›lan TV seti say›s›.

is tat ist ik128

A M A �

6

Öte yandan bir doktorun muayenehanesine gelen hasta say›s› bunlardan fark-l›d›r. Çünkü gelecek hastalar daha önce randevu ald›klar›ndan rassal bir say› ol-may›p, kaç kiflinin gelece¤i daha önceden (yaklafl›k olarak) bilinmektedir. Ayn›biçimde bir hava alan›ndan kalkacak ya da bu hava alan›na inecek uçak say›s› darassal de¤ildir ve önceden bilinmektedir. Bu nedenle rassal olma koflulu sa¤lan-mad›¤› için bu tür verilere Poisson olas›l›k da¤›l›m› uygulanamamaktad›r.

Poisson olas›l›k da¤›l›m›nda ortalama tekrar (meydana gelme) say›s› l (Lam-da) ile, verilen aral›ktaki tekrar say›s› da x ile gösterilmektedir. Poisson olas›l›k da-¤›l›m› kullan›larak, l ortalama tekrar say›s› biliniyorken, verilen bir aral›kta x tek-rarlanma say›s›n›n olas›l›¤› elde edilmektedir.

Poisson Olas›l›k Da¤›l›m› Formülü, Poisson olas›l›k da¤›l›m›na göre, biraral›kta x tekrar›n gözlenmesi olas›l›¤›,

eflitli¤iyle bulunmaktad›r. Burada l verilen aral›kta ortalama tekrar say›s›d›r(e=2.71828).

Bir aral›ktaki ortalama tekrar say›s› l , Poisson olas›l›k da¤›l›m›n›n parametre-si ya da k›saca Poisson parametresi olarak bilinir. Yukar›daki formülden de anla-fl›laca¤› gibi, x tekrar say›s›n›n olas›l›¤›n›n bulunabilmesi için, sadece l de¤erininbilinmesi yeterlidir. Çünkü formüldeki e-l de¤eri, ya hesaplanmakta ya da haz›rtablolardan bulunmaktad›r.

Yap›lan bir araflt›rmadan 18-24 yafl grubundaki tüketicilerin ayda ortala-ma 6.9 kez al›flverifle ç›kt›lar› bulunmufltur. Poisson olas›l›k da¤›l›m›nauydu¤u düflünülen rassal de¤iflken için, 18-24 yafl grubunun ayda 5 kezal›flverifle ç›kmas› olas›l›¤›n› bulunuz.

Ortalama al›flverifl say›s› olan 6.9 da¤›l›m›n ortalamas› ve olas›l›¤› bulunmas› is-tenen tekrar say›s› x ise 5 al›narak istenen olas›l›k de¤eri, Poisson da¤›l›m› formü-lünden elde edilir.

Bir çamafl›r makinesi, ayda ortalama, üç kez s›kma ar›zas› yapmaktad›r.Poisson olas›l›k da¤›l›m›ndan yararlanarak bu makinenin gelecek aya) ‹ki kez ar›zalanmas›,b) En çok bir kez ar›zalanmas› olas›l›klar›n› bulunuz.

P x = 5 = lx e -l

x! = 6.9 5 e -6.9

5!

=15640.31349 0.001008

120 = 0.1314

P x = lx e -l

x!

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 129

Ö R N E K 2 3

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 2 4

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM Ayda ortalama üç kez s›kma ar›zas› oldu¤una göre l = 3 dür. Bu durumda;

a) Gelecek ay iki kez s›kma ar›zas› olma olas›l›¤›;

olarak bulunur.b) Gelecek ay, en çok bir s›kma ar›zas› ifadesiyle; hiç ar›za olmamas› ve sadece

bir ar›za olmas› kastedilmektedir.

P (En çok bir ar›za) = P(x ≤ 1) = P (0 ya da 1) = P(x = 0) + P(x = 1)

olarak elde edilir.Poisson olas›l›k da¤›l›m›nda l ve x ‘in aral›klar› ayn› olmal›d›r. Aksi takdirde

eflitli¤in sa¤lanmas› için l ortalamas›n›n tekrar tan›mlanmas› gerekir.

Bir firma yeni üretti¤i bir ürünün pazar bulabilmesi için, bu ürünü alan-lardan be¤enmeyenlere, 7 günlük süre içerisinde ürünü geri getirdikleritakdirde, paralar›n›n iadesi kampanyas› bafllatm›flt›r. Geçen süre içeri-sinde sat›lan 10 üründen 2 tanesinin paras›n›n, iade edildi¤i görülmüfl-tür. Poisson olas›l›k da¤›l›m›ndan yararlanarak gelecekte sat›lacak 40üründen 6 tanesinin paras›n›n iade edilmesi olas›l›¤›n› bulunuz.

Burada önemli bir sorunla karfl›lafl›lmaktad›r. Bu sorun, yukar›da de¤inildi¤i gibi;ortalama de¤erin aral›¤› ile x‘in aral›¤›yla farkl› olmas›d›r. Çünkü l = 2 de¤eri 10sat›fltan elde edilmiflken gelecekte yap›lacak 40 sat›fltan 6 tanesine para iadesi so-rulmaktad›r. Bu durumda x = 6 ayn› kalacak, ancak l ortalama de¤eri, istenenaral›k için tekrar tan›mlanacak, bu de¤er de l = 8 olacakt›r. Ortalaman›n yenidentan›mlanmas›n›n ard›ndan Poisson olas›l›k da¤›l›m›ndan yararlanarak istenen ola-s›l›k;

bulunur.Asl›nda Poisson olas›l›k da¤›l›m›, nadir karfl›lafl›lan ya da tekrarlanan (olas›l›¤›

çok küçük) olaylar için kullan›lmaktad›r. Oysa yukar›daki örnekte olas›l›k de¤eriP = 2 / 10, tekrar say›s› n = 40 ve olas›l›¤› bulunmas› istenen tekrarlanma say›s› x= 6 olarak düflünüldü¤ünde, deney bir binom deneyi olarak düflünülür ve istenenolas›l›k binom da¤›l›m› formülünden de elde edilebilir.

Bu duruma, binom da¤›l›m› yaklafl›m›nda Poisson da¤›l›m›n›n kullan›lmas› ad›verilir ve özellikle n say›s›n›n çok büyük olmas› durumunda binom da¤›l›m›ylaolas›l›k bulman›n zaman kaybettirmesini ortadan kald›rmak amac›yla kullan›l›r.

P x = 6 =40

6 = 0.20 6 0.80 34 = 40!

6! 34! = 0.20 6 0.80 34 = 0.1246

P x = 6 = lx e -l

x! = 8 6 e -8

6! =

262144 0.000335

720 = 0.1220

is tat ist ik130

P x = 2 = lx e -l

x! = 3 2 e -3

2! =

9 0.049787

2 = 0.2240

Ö R N E K 2 5

ÇÖ

ZÜ

M

Bolkazanç bankas›n›n K›z›lay fiubesinde her gün ortalama iki tane yenihesap açt›r›ld›¤› bilinmektedir. Verilen bir günde, a) 6 yeni hesapb) En çok 3 yeni hesapc) En az 7 hesap açt›r›lmas› olas›l›klar›n› bulunuz.

Önce, formülde kullan›lacak de¤erler tan›mlanmal›d›r.

l= Her gün aç›lan ortalama yeni hesap say›s›.x = Verilen günde aç›lacak yeni hesap say›s›.

Bu bilgiler ›fl›¤›nda Poisson olas›l›k da¤›l›m formülü kullan›larak istenenolas›l›klar;a)

b) P(x ≤ 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)= 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804 = 0.8571

c) P(x ≥ 7) = 1 – P(x < 7)= 1 – { P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)

+ P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6) }= 0.0045

olarak bulunur.

Bir otomobil galerisinde günde ortalama 0.9 otomobil sat›lmaktad›r. x,ver-ilen bir günde sat›lan otomobil say›s›n› göstermek üzere, Poisson olas›l›kda¤›l›m›n› bulunuz ve olas›l›k da¤›l›m›n›n grafi¤ini çiziniz.

Poisson olas›l›k da¤›l›m› için gerekli de¤eri l = 0.9 bilinmektedir. Ancak sat›lanotomobil say›s› x ise 0, 1, 2, 3, 4, ...., olabilecektir. Böylesi durumlarda x de¤erininsay›s›, bulunan olas›l›k de¤erine bak›larak belirlenmektedir. Olas›l›k de¤erinin ih-mal edilebilecek düzeyde olmas› durumunda (yaklafl›k s›f›r) olas›l›¤› bulunan xde¤eri durdurulmaktad›r. Bu düflünce ›fl›¤›nda oluflturulan Poisson olas›l›k da¤›l›m›ve olas›l›k da¤›l›m›n›n grafi¤i afla¤›da verilmifltir.

P x = 6 = lx e -l

x! = 2 6 e -2

6! = 0.0120

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 131

Ö R N E K 2 6

Ö R N E K 2 7

Tablo 5.13 l = 0.9için Olas›l›kDa¤›l›m›.

x P(x)

0 0.4066

1 0.3659

2 0.1647

3 0.0494

4 0.0111

5 0.0020

6 0.0003

ÇÖ

ZÜ

M

Poisson Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Ortalamas› Poisson da¤›l›mda ortalama ve varyans parametrelerinin her ikisi de l d›r. Stan-dart sapma, varyans›n pozitif kare kökü oldu¤undan bu da ’dir.

m = ls2 = ls =

Örne¤in, yukar›daki Örnek 5.27 için bu de¤erler;

m = l = 0.9s2 = l = 0.9

otomobil olmaktad›r.

1. Poisson olas›l›k da¤›l›m›n›n uygulanabilmesi için sa¤lanmas› gereken koflullar nelerdir?

2. Poisson da¤›l›m›n›n parametresi nedir ? Ne anlama gelmektedir?

3. Poisson formülünden yararlanarak afla¤›daki olas›l›klar› bulunuz.a) l = 4 için P(x ≤ 1)b) l = 5.3 için P(x = 8)

l

l

is tat ist ik132

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0 1 2 3 4 5 6 x

P(x)

fiekil 5.10 Olas›l›kDa¤›l›m›n›n Grafi¤i.

SIRA S ‹ZDE

133

Kendimizi S›nayal›m1. Dayan›kl› tüketim mal› satan bir ma¤azan›n son 100 iflgünündeki günlük sat›fllar› afla¤›daki tabloda verilmifltir.

Sat›fl say›lar› 2 3 4 5 6Gün say›lar› 12 21 34 19 14

Yukar›daki tabloya göre X, günlük sat›fl› göstermek üze-re, P(X<4) olas›l›¤› kaçt›r?

a. 0.04b. 0.17c. 0.21d. 0.33e. 0.50

2. X, rassal de¤iflkeninin olas›l›k da¤›l›m›, afla¤›daki tablo-da verilmifltir.

k P(x)0 0.121 0.272 0.433 0.18

Yukar›daki tabloya göre, X’ in ortalamas› ve standart sap-mas› kaçt›r?

a. m = 1.670s = 0.906

b. m = 2.472s = 0.906

c. m = 1.670s = 1.127

d. m = 1.528 s = 1.417

e. m = 1.740s = 2.180

3. Bir firma piyasa koflullar›n›n olumsuzlu¤u nedeniyle16 çal›flan›ndan 2 tanesini rastgele seçerek ifllerine sonverecektir. Yap›labilecek farkl› seçim say›s› kaçt›r?

a. 40b. 70c. 100d. 120e. 130

4. X, p = 0.3 ve q = 0.7 olmak üzere Binom da¤›lm›fl birrassal de¤iflkendir. X’ in varyans› 2.1 ise n kaçt›r?

a. 2b. 4c. 5d. 7e. 10

5. Günlük gazete okurlar›n›n 0.60’› okuduklar› gazetelerigüvenilir bulmaktad›r. Bu okuyucular aralar›ndan rastge-le seçilen 3 kiflinin okuduklar› gazeteleri güvenilir bul-

mama olas›l›¤› nedir?a. 0.064b. 0.216c. 0.310d. 0.370e. 0.421

6. Bir basketbolcunun serbest at›fldaki baflar›s› 0.85’ dir.Basketbolcunun deneyece¤i 3 at›fltan, ikisini say›ya dö-nüfltürme olas›l›¤› nedir?

a. 0.216b. 0.325c. 0.442d. 0.467e. 0.518

7. Bir havayolu flirketinin merkezine hergün ortalama 9.7flikayet telefonu gelmektedir. Herhangi bir günde 7 flika-yet gelmesi olas›l›¤› nedir? (Yol gösterme: Poisson da¤›l›-m›ndan yararlan›n›z.)

a. 0.0982b. 0.1740c. 0.2234d. 0.2401e. 0.3547

8. Ekonomik kriz yaflayan ülkemizde çok say›da küçükve orta boy iflletme kapanmaktad›r. Konuyla ilgili olarakEskiflehir’de yap›lan bir araflt›rmada hergün ortalama 1.3iflyerinin kapand›¤› belirlenmifltir. Verilen bir günde Eskiflehir’de 3’ den az iflyerinin kapan-ma olas›l›¤› nedir?

a. 0.0294b. 0.1714c. 0.3740d. 0.5343e. 0.8571

9. X, ortalamas› 1.8 olan Poisson da¤›lm›fl bir rassal de¤ifl-ken oldu¤una göre standart sapmas› nedir?

a. 0.04b. 0.17c. 0.21d. 1.34e. 1.50

Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar›

134

10. Bir A firmas›nda istenilen verimin elde edilmesi vesürdürülebilmesine iliflkin olarak çal›flanlara uygulananbir anket sonucunda, çal›flanlar›n 0.50’ si çal›flma koflulla-r›n›n en önemli faktör oldu¤unu belirtmifllerdir.A firmas› çal›flanlar›ndan rastgele seçilen 10 kifliden ençok 5 tanesinin çal›flma koflullar›n›n en önemli etken ol-du¤unu iflaretleme olas›l›¤› nedir?

a. 0.2051b. 0.2725c. 0.3770d. 0.6230e. 0.7730

Yan›t Anahtar›1. d2. a3. d4. e5. a6. b7. a8. e9. d10. d

Yararlan›lan KaynaklarHOEL, P.G. and JESSEN, R.J.: Basic Statistics for

Business and Economics, Wiley, NewYork, 1971.MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2nd Edition, Wiley,

New York, 1995.O’HAGAN, A., Probability: Metods and Measurement,

Chapman and Hall, London, 1988.WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: Introductory

Statistics, 4th Edition, Wiley, Singapore, 1985.

is tat ist ik

1700’lü y›llar›n sonlar›nda astronomi alan›ndaki çal›flmalar›yla dikkat çekti. ‹zleyen

y›llarda integral, sonlu uzaylar ve differansiyel denklemler üzerinde çal›flt›.

1812’de, 1779 y›l›nda yay›nlad›¤› bir makalesini temel alarak olas›l›k kavram› üzerinde

çal›flmaya bafllad›. Sonraki y›llarda Gauss ve Legendre’nin de ilgilendi¤i en küçük kareler

yöntemine iliflkin çal›flmas›n› tamamlad›. 1819’da olas›l›k konusunda yazd›¤› “Theorie

des Probabilités” adl› kitab› yay›nland›.

PIERRE SIMON LAPLACE (1749-1827)

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak • Sorulan sorularda nelerin istendi¤i kesin olarak anlafl›ld›ktan sonra çözüme

geçilmeli,• Al›flt›rmalar›n tümü mutlaka çözülmelidir.

135

Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 6

‹s tat ist ik136

�

�

�

Amaçlar:Sürekli olas›l›k da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabilecek ve normal da¤›l›m› anaçizgileriyle inceleyecek, normal da¤›l›ma iliflkin olas›l›klar› hesaplayabile-ceksiniz.Normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan biliniyor iken Z ve X de¤erlerini belir-leyebileceksiniz.Binom ve normal da¤›l›m aras›ndaki iliflkiyi aç›klayabileceksiniz.

‹çindekiler• G‹R‹fi• SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIMI

• Normal Da¤›l›m• Standart Normal Da¤›l›m• Normal Da¤›l›m›n Standartlaflt›r›lmas›• Normal Da¤›l›m›n Uygulamalar›

• NORMAL DA⁄ILIM E⁄R‹S‹ ALTINDAK‹ ALAN B‹L‹N‹YORKEN Z VE X DE⁄ERLER‹N‹N BEL‹RLENMES‹

• B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAfiIMI

G‹R‹fi Bir önceki bölümde kesikli rassal de¤iflkenler ve da¤›l›mlar incelenmiflti. Bu bö-lümdeyse herhangi bir aral›kta çok say›da de¤erler alabilen sürekli bir rassal de-¤iflken konu edilecektir.

Sürekli bir rassal de¤iflkenin olas› de¤erleri sonsuz ve say›lamaz olarak kabuledilmektedir. Örne¤in sabah evden ifle giderken harcanan zaman, sürekli bir ras-sal de¤iflkendir. Çünkü bu zaman en az 5 dakika, en çok ise 130 dakika olmaküzere, bu aral›ktaki yüzlerce hatta saniyeler dikkate al›nacak olursa milyonlarcade¤er, zaman› gösteren X sürekli rassal de¤iflkenin de¤eri olmaktad›r. Bu örnek-te X zaman de¤iflkeninin alabilece¤i de¤erler 5-130 dakika aras›nda olmakta vebu aral›¤a (daha sonra ayr›nt›l› verilece¤i gibi) tan›m aral›¤› ad› verilmektedir.

Sürekli bir rassal de¤iflkenin uygulanaca¤› pek çok olas›l›k da¤›l›m› bulunmak-la birlikte, burada sadece normal olas›l›k da¤›l›m› ve binom da¤›l›m›na yaklaflannormal da¤›l›mla karfl›laflt›rmalarda (test amac›yla) kullan›lan Student t da¤›l›m› in-celenecektir.

SÜREKL‹ OLASILIK DA⁄ILIMI

Sürekli olas›l›k da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabilecek ve normal da-¤›l›m› ana çizgileriyle inceleyecek, normal da¤›l›ma iliflkin olas›-l›klar› hesaplayabileceksiniz.

Yukar›da belirtilmifl oldu¤u gibi, de¤erleri say›lamayan bir rassal de¤iflkene, “sü-rekli bir rassal de¤iflken” denilmektedir. Baflka bir anlat›mla, sürekli bir rassal de-¤iflken bir aral›kta (veya aral›klarda) her de¤eri alabilmektedir. Çünkü bir aral›ktabu de¤iflkenin alabilece¤i sonsuz say›da de¤er oldu¤u varsay›lmakta ve bu de¤er-lerin say›lamayacak çoklukta oldu¤u kabul edilmektedir. Örne¤in; (bir önceki bö-lümde verilmifl olan) bir pilin ömrü, kiflilerin boy uzunlu¤u, bir s›nav›n tamamlan-ma süresi, yeni do¤mufl bebeklerin a¤›rl›¤› gibi de¤iflkenler, sürekli rassal de¤ifl-kenlerdir.

Bir üniversitede ö¤renim gören 5000 erkek ö¤rencinin a¤›rl›klar› X rassal de-¤iflken olarak düflünülerek kg cinsinden afla¤›da verilmifltir:

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 137

A M A �

1

Tablo 6.1 Erkekö¤rencilerina¤›rl›klar›na iliflkingöreli s›kl›k da¤›l›m›.

A¤›rl›k f Göreli

x S›kl›k

60-61 9 0.018

61-62 170 0.034

62-63 460 0.092

63-64 750 0.150

64-65 970 0.194

65-66 760 0.152

66-67 640 0.128

67-68 440 0.088

68-69 320 0.064

69-70 220 0.044

70-71 180 0.036

N = 5,000 Toplam= 1.000

Yukar›da verilmifl olan göreli s›kl›klar, belirlenmifl s›n›flar›n yaklafl›k olas›l›kla-r› olarak kullan›labilmektedir.

Afla¤›da fiekil 6.1.’de göreli s›kl›k da¤›l›m›n›n histogram ve poligonu, fiekil6.2.’deyse bu verilere iliflkin düzeltilmifl (smooted) poligonu verilmifltir. Düzeltil-mifl poligon, x sürekli rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› e¤risine bir yaklafl›md›r.

Yukar›daki tabloda s›n›f geniflli¤i 1 birim olarak al›nm›flt›r. Bu genifllik 1 birim-den fazla al›nacak olursa, bu kez de önce göreli s›kl›k yo¤unluklar› yeniden el-de edilir ve yo¤unluk de¤erlerinin grafi¤i çizilerek da¤›l›m e¤risi bulunur. Bir s›-n›f›n göreli s›kl›k yo¤unlu¤u, bir s›n›ftaki göreli s›kl›¤›n s›n›f geniflli¤ine bölün-mesiyle elde edilmektedir. Göreli s›kl›k yo¤unluklar›, bir histogramdaki dikdört-genlerin alanlar› toplam›n› 1.0 yapmak için bulunmaktad›r. Sürekli bir rassal de-¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m e¤risine, olas›l›k yo¤unluk fonksiyonu da denmektedir.

Sürekli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› afla¤›daki iki özelli¤i sa¤lamal›d›r.1. Bir aral›kta herhangi bir de¤er alan x ‘in olas›l›¤› 0 – 1 aras›ndad›r.2. x ’in ald›¤› tüm de¤erlerin olas›l›klar› toplam› 1’dir.‹lk özellik, x sürekli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan,

0 ve 1 aras›ndaki aland›r (fiekil 6.3). ‹kinci özellikse, sürekli bir rassal de¤iflkeninolas›l›k da¤›l›m e¤risi alt›nda kalan alan toplam›n›n her zaman 1.0 veya % 100 ol-du¤udur (fiekil 6.4).

‹s tat ist ik138

fiekil 6.1 A¤›rl›klar›n histogram vepoligonu.

0

0.1

0.2

0.3

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Gör

eli S

›kl›k

x

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

0

0.1

0.2

0.3

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Gör

eli S

›kl›k

x

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

fiekil 6.2 A¤›rl›klar›n olas›l›k da¤›l›me¤risi.

fiekil 6.3 E¤ri alt›ndaki alan iki noktaaras›ndad›r.

Taral› alan0 ile 1 aras›ndad›r.

x = a x = b x

Taral› alan 1.0 ya da% 100 dür.

x

fiekil 6.4 Bir olas›l›k da¤›l›m e¤risialt›ndaki toplam alan.

Sürekli bir rassal de¤iflkenin bir aral›kta ald›¤› varsay›lan de¤erlerin olas›l›¤›,afla¤›daki fiekil 6.5.’den de anlafl›laca¤› gibi, bir aral›¤›n iki limiti aras›nda ve e¤rialt›ndaki aland›r. fiekildeki (e¤ri alt›nda) a ve b aras›ndaki taral› (gri zeminli) alan,X ‘in a ve b aras›nda olma olas›l›¤›n› vermektedir. Bu da,

P (a ≤ x ≤ b) = E¤ri alt›nda a ve b noktalar› aras›ndaki alan biçiminde gös-terilmektedir. Burada x; a’ya eflit ya da büyük, b’ye eflit ya da küçüktür.

Erkek ö¤rencilerin a¤›rl›klar› örne¤ine dönülecek olursa, bu gruptan rassal se-çilen bir ö¤rencinin a¤›rl›¤›n›n 65 – 68 kg aras›nda olmas› olas›l›¤› (yukar›daki fie-kil 6.6.’da verildi¤i gibi)a¤›rl›klar›n da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan olarak gösteril-mektedir.

P (65 ≤ x ≤ 68)

olarak gösterilen olas›l›k de¤erinde, x, 65 kg’a eflit ya da büyük, 68 kg’a eflit yada küçüktür.

Sürekli bir olas›l›k da¤›l›m›nda olas›l›k, her zaman bir aral›k için hesaplan-maktad›r. Nitekim bu olas›l›k yukar›daki grafikte taral› olan 65 – 68 kg aral›¤›için bulunmufltur.

X gibi bir sürekli rassal de¤iflkenin alabilece¤i tek bir de¤erin olas›l›¤› her za-man s›f›rd›r. Çünkü; verilen bir noktan›n alan› s›f›rd›r. Örne¤in; yukar›daki erkekö¤rencilere iliflkin örnekte, rassal seçilen bir erkek ö¤rencinin a¤›rl›¤›n›n 67 kg ol-ma olas›l›¤› s›f›rd›r ve,

P ( x = 67) = 0

biçiminde gösterilir. Bu durum grafik olarak da afla¤›daki biçimde gösterilir.Genel ifadesiyle, a ve b, X ‘in ald›¤› iki de¤er oldu¤unda, bu de¤erlere iliflkin

olas›l›klar;

P (a) = 0 ve P (b) = 0

dir. Buradan da sürekli bir rassal de¤ifl-ken için,

P (a ≤ x ≤ b) = P (a < x < b)

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 139

fiekil 6.5 Olas›l›¤›n e¤ri alt›ndaki alanolarak ifadesi.

Taral› alanP ( a ≤ x ≤ b )olas›l›¤›n› vermek

x = a x = b x

Taral› alanP ( 65 ≤ x ≤ 68 )olas›l›¤›n› vermek

65 x68

fiekil 6.6 (65-68) kg aral›¤›ndaki x 'inolas›l›¤›.

P ( x = 68 ) = 0

0,7 x

fiekil 6.7 x 'in tekbir de¤erininolas›l›¤› s›f›rd›r.

yaz›labilmektedir. Bir baflka ifadeyle, verilen s›n›r de¤erlerine eflitlik (olas›l›k de-¤eri s›f›r oldu¤undan) sonucu de¤ifltirmemektedir (E¤er aral›k, "65 ve 68 aras›n-da" biçiminde ifade edilirse anlam› "65 < x < 68" dir. E¤er aral›k, "65’den 68'e ka-dar" biçiminde ifade edilirse "65 ≤ x ≤ 68" dir). Erkek ö¤rencilerin a¤›rl›klar›nailiflkin örnek için de bu özellik grafik olarak afla¤›da verilmifltir.

Normal Da¤›l›mNormal da¤›l›m, sürekli bir rassal de¤iflkenin uydu¤u önemli olas›l›k da¤›l›m›ndanbiridir. Bu nedenle günlük yaflamda karfl›lafl›lan pek çok de¤iflken (kesinlikle yada yaklafl›k olarak), normal da¤›l›r. Örne¤in insanlar›n boy uzunluklar›, a¤›rl›kla-r›, s›nav sonuçlar›, paketlerin a¤›rl›klar›, bir flifledeki sütün miktar›, ampul - TV se-ti - pil gibi nesnelerin ömrünün hep (yaklafl›k) normal da¤›ld›¤› kabul edilir.

Normal olas›l›k da¤›l›m› ya da normal e¤ri (curve), çan biçiminde bir flekillegösterilmektedir. fiekil 6.9’da gösterilmifl olan bu e¤rinin ortalamas› m ve standart

sapmas› s dir. Normal da¤›l›mgösteren sürekli bir rassal de¤ifl-kene, “normal rassal de¤iflken”denir (ancak çan e¤risine benze-yen her flekil normal da¤›l›m e¤-risi de¤ildir).

Normal Olas›l›k Da¤›l›m›Çizildi¤inde çan fleklinde bir e¤risi olan normal olas›l›k e¤risinde;

1. E¤ri alt›ndaki toplam alan 1.0’d›r.2. E¤ri ortalamaya göre simetriktir.3. E¤rinin iki ucu (kuyru¤u) sonsuza gitmektedir. Normal da¤›l›m›n tafl›mak zorunda oldu¤u bu üç özelli¤in aç›klamas› afla¤›dad›r:

1. Normal da¤›l›m e¤risi al-t›ndaki toplam alan 1.0 ya da %100 dür.

2. Bir normal da¤›l›m e¤risiortalamaya göre simetrik olup,e¤ri alt›ndaki toplam alan›n ya-r›s› ortalaman›n sa¤›nda, yar›-s›ysa solunda yer al›r.

‹s tat ist ik140

fiekil 6.8 65 ve 68kg aras›ndaki ve65'den 68 kg'akadar›n olas›l›¤›.

Taral› alan P ( 65 ≤ x ≤ 68 )olas›l›¤› olup bu daP ( 65 < x < 68 )’e eflittir.

65 x68

fiekil 6.9 m ortalamave s standart sapmal› normal da¤›l›m.

s = standart sapma

xm = ortalama

fiekil 6.10 Bir normal e¤rialt›ndaki toplamalan.

Taral› alan 1.0 ya da% 100 dür.

xm

3. Bir normal e¤rinin iki kuyru¤u yatay eksene asimptottur (dokunmayacak vekesmeyecek bir biçimde tan›ms›z olarak -istendi¤i kadar- uzayabilmektedir). Birnormal da¤›l›m e¤risi hiçbir zaman yatay eksene dokunmamakla birlikte; (m - 3s)dan küçük ve (m + 3 s) dan büyük aral›kta e¤ri alt›nda kalan alan›n s›f›r oldu-¤u düflünülmektedir.

Normal da¤›l›m›n parametreleri; m (ortalama) ve s (standart sapma) ’d›r. Bu ikiparametrenin verilmesi halinde, bir normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki, herhangi biraral›¤a karfl›l›k gelen alan bulunabilmektedir. Ancak normal da¤›l›m e¤risi tek ol-may›p, bir ailedir. Çünkü her m ve s seti için farkl› normal da¤›l›m söz konusu-dur. Bu parametrelerden m, yatay eksen üzerinde bir normal da¤›l›m›n merkezinibelirtirken, s ‘da da¤›l›m›n yay›l›m›n› ifade etmektedir. Afla¤›daki fiekil 6.13’de, or-talamas› ayn›, ancak standart sapmas› farkl› üç de¤iflik normal da¤›l›m e¤risi veril-mifltir. Yine afla¤›da fiekil 6.14’deyse standart sapmalar› ayn›, ancak ortalamalar›farkl› üç normal da¤›l›m e¤risi verilmifltir.

Normal olas›l›k da¤›l›m›n›n matematiksel eflitlikle gösterimi,

biçimindedir. Ancak izleyen alt bölümde bu eflitlik (fonksiyon) kullan›lmayacak, onun yeri-

ne bu eflitlik kullan›larak oluflturulan "Standart Normal Da¤›l›m Tablosu" ’ndan ya-rarlan›lacakt›r (Ek: Tablo 1).

f (x) = 1s . 2 p

e- 1/2 x - m / s 2

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 141

% 50

xm

% 50

fiekil 6.11 Bir normal e¤ri ortalamaya

göre simetriktir.

% 50

xm

% 50

0,50,5

fiekil 6.12 Bir normal e¤rinin iki

kuyru¤u.

m = 20 x

s = 5 s = 5 s = 5

m = 30 m = 40

fiekil 6.13 Ortalama ayn› standartsapma farkl› üç normal da¤›l›m e¤risi.

s = 16

s = 10

s = 5

m = 50x

fiekil 6.14 Standart sapma ayn› ortalamafarkl› üç normal da¤›l›m e¤risi.

Standart Normal Da¤›l›mStandart normal da¤›l›m, normal da¤›l›m›n m = 0 ve s = 1 oldu¤u özel birdurumudur.

STANDART NORMAL DA⁄ILIMm = 0 ve s = 1 olan normal da¤›l›ma, “standart normal da¤›l›m” denir.

Yandaki fiekil 6.15.’den de gö-rülece¤i gibi, standart normal da-¤›l›mda rassal de¤iflken z ile gös-terilmektedir. Standart normal da-¤›l›m›n birimi olan z de¤erlerine zskorlar›, standart birimler ya dastandart skorlar da denir.

z DE⁄ERLER‹ YA DA z SKORLARI Standart normal e¤rinin yatay ekseni üzerinde iflaretlenmifl birimlere z de¤er-

leri ya da z skorlar› denir. z ‘nin özel bir de¤eri; ortalama ve z ile ifade edilennoktan›n, standart sapma cinsinden uzakl›¤›d›r.

fiekil 6.15’de z de¤erlerini gösteren yatay eksende, ortalaman›n sa¤›ndaki zde¤eri pozitif, solundakilerse negatiftir. Yatay eksen üzerindeki bir noktan›n z de-¤eri, ortalamayla o nokta aras›ndaki uzakl›¤›n standart sapma cinsinden de¤eridir.Örne¤in, z = 2 ’nin anlam›, sa¤ tarafta o noktan›n ortalamaya iki standart sapmauzakl›kta oldu¤udur. Ayn› biçimde z = - 2 ‘nin anlam›yla sol tarafta yine iki stan-dart sapma uzakl›kta oldu¤udur.

Ek’te verilmifl olan standart normal da¤›l›m tablosu, standart normal e¤ri alt›n-da; z = 0 ile 0.00 ’dan 3.09’a kadar olan z de¤erleri aras›ndaki alanlar› vermek-tedir. Bu tablonun okunmas›na, standart normal da¤›l›m›n ortalamas› olan z = 0noktas›ndan bafllanmaktad›r. Daha önce de söz edildi¤i gibi, normal da¤›l›m e¤-risi alt›ndaki toplam alan 1.0 ’dir ve simetriklik nedeniyle ortalaman›n her iki ta-raf›ndaki alan da 0.5 yani % 50 ’dir.

Yukar›da ortalaman›n solundaki zde¤erlerinin negatif oldu¤u söylen-miflti. Ama, burada unutulmamas› ge-reken fley, alan kavram› nedeniyle soltaraftaki e¤ri alt›nda kalan alan›n dapozitif oldu¤udur.

Standart normal e¤ri alt›nda, ikinokta aras›ndaki alan z de¤erinin bu

aral›k içerisindeki de¤erleri alabilme olas›l›¤›d›r. Afla¤›daki örnek 6.1 – 6.4 ileEk’de verilen tablolardan yararlan›larak, standart normal e¤ri alt›ndaki alanlar›nbulunmas› aç›klanmaktad›r.

‹s tat ist ik142

fiekil 6.15 Standartnormal da¤›l›me¤risi.

s = 1

z

m = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

fiekil 6.16 Standartnormal e¤rialt›ndaki alan.

0,50,5

-3 -2 -1 0 1 2 3z

ÇÖ

ZÜ

M

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 143

Ö R N E K 1Standart normal e¤ri alt›nda; z = 0 ile z = 1.95 aras›ndaki alan› bulunuz.

Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi, burada aranan alan z = 0 ile z = 1.95 nok-talar› aras›ndaki aland›r.Bu istenen alan›n say›sal de¤eri, Ek’te verilmifl olan Standart Normal Da¤›l›m Tab-losundan yararlan›larak bulunmaktad›r. Tabloda verilen z de¤erinin ondal›knoktan›n solundaki haneyle sa¤›ndaki ilk hane (1.9 ), tablonun ilk sütunu olarakverilen de¤erlerden seçilir. Ondal›knoktas›n›n sa¤›ndaki ikinci haneyse(0.05) tablonun ilk sat›r›ndan seçilirve seçilmifl olan sütunla sat›r›n kesi-flim noktas›ndaki de¤er, aranan alande¤eridir. Bu de¤er 0.4744 olarak bu-lunur. Ayr›ca,

P (0 < z < 1.95) = 0.4744

olarak da gösterilebilir. Unutulmamal›d›r ki, sürekli bir rassal de¤iflkenin tek birde¤eri alma olas›l›¤› s›f›rd›r. Baflka bir ifadeyle,

P (z = 0) = 0 ve P (z = 1.95) = 0

d›r ve yine yukar›da ayr›nt›lar›yla verilmifl oldu¤u gibi,

P (0 < x < 1.95 ) = P (0 ≤ x ≤ 1.95) = 0.4744

dür.

Standart normal e¤ri alt›ndaki z = - 2.17 den z = 0’a kadar olan alan›bulunuz.

Normal da¤›l›m, ortalamaya göre simetrik oldu¤u için z = - 2.17 ’den z = 0’a ka-dar olan alan, z = 0 ’dan z = 2.17’ye kadar olan alanla eflittir. Bu nedenle sadecez = 0 ile pozitif z de¤erleri aras›ndaki alanlar› veren Ek’deki tablo de¤erlerinden,bu durum için de yararlan›labilmektedir. Tabloda;2.1 de¤eri ilk sütundan, 0.07 de¤eriyse ilk sat›rdan bulunarak, bu sat›r vesütunun kesifltikleri yerde bulunan 0.4850 de¤eri, z = - 2.17 ile z = 0 noktala-r› aras›nda kalan aland›r. Ayr›ca bu de-¤er, z de¤erinin verilen iki s›n›r de¤e-ri aras›ndaki alanda bulunma olas›l›¤›-d›r.

- 2.17 ’den 0’a kadar olan alan = P (-2.17 ≤ z ≤ 0 ) = 0.4850olarak elde edilir.

ÇÖ

ZÜ

M

0 z1.95

fiekil 6.17 z = 0 ilez = 1.95 aras›ndakialan.

Ö R N E K 2

z = 0 zz = -2.17

% 48.50

fiekil 6.18 z = -2.17ile z = 0 noktalar›aras›ndaki alan.

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

Standart normal e¤ri alt›ndaki alanlar› bulunuz.a) z = 2.32’nin sa¤›ndaki alan›b) z = - 1.54’ün solundaki alan›

a) Daha önce de söylendi¤i gibi, normal da¤›l›m tablosundaki de¤erler z = 0 ilebafllamakta ve verilen noktayla ortalama (z = 0 ) aras›ndaki alan› vermektedir. Bu-radaysa verilen noktan›n sa¤›nda kalan alan sorulmaktad›r.Bu durumda yine verilen noktayla ortalama aras›ndaki alan tablodan bulunup,sa¤ taraf›n toplam de¤eri olan 0.5’den ç›kart›l›rsa, istenen de¤er elde edilir.‹stenen alan : P ( z ≥ 2.32 ) = 0.500 – 0.4898 = 0.0102 olarak elde edilir.

b) Ayn› biçimde, burada da önce z = 0 ile z = - 1.54 aras›ndaki alan bulunurve bulunan alan de¤eri 0.5 de¤erinden ç›kart›l›rsa, istenen alan de¤erine ulafl›l›r.‹stenen alan : P ( z < -1.54 ) = 0.5000 – 0.4382 = 0.0618olarak hesaplan›r.

Standart normal e¤ri alt›ndaki afla¤›da verilen olas›l›klar› bulunuz.a) P ( 1.19 < z < 2.12 )b) P (-1.56 < z < 2.31 )c) P ( z > -0.75 )

a) Afla¤›daki flekilde de görülebilece¤i gibi, P ( 1.19 < z < 2.12 ) olas›l›k de¤e-ri z = 1.19 ile z = 2.12 noktalar› aras›ndaki aland›r.‹stenen olas›l›k de¤erini (alan›) bulmak için önce ortalamayla z = 2.12 aras›ndakialan bulunur: P (z < 2.12 )= 0.4830. Daha sonra ortalamayla z = 1.19 aras›ndakialan bulunur: P (z < 1.19 ) = 0.3830. Bu de¤er ilk bulunan de¤erden ç›kart›lmaksuretiyle istenen (alan) olas›l›k de¤eri elde edilir.

P ( 1.19 < z < 2.12 ) = 0.4830 – 0.3830 = 0.1000

(Dikkat: E¤er verilen her iki nokta daortalaman›n bir taraf›ndaysa, ilk ola-rak ortalamayla bu noktalar aras›nda-ki alanlar bulunur. Daha sonraysa kü-çük alan büyük alandan ç›kart›l›r.)

‹s tat ist ik144

Ö R N E K 3

z = 0 zz = 2.32

% 1.020.4898

fiekil 6.19 z = 2.32 de¤erinin sa¤›ndaki

alan.

z = 0 zz = -1.54

% 6.180.4332

fiekil 6.20 z = -1.54 de¤erinin solundakialan

Ö R N E K 4

0 z1.19

% 10.0

2.12

fiekil 6.21 P ( 1.19

< z < 2.12 )

de¤eri.

b) Burada istenilen olas›l›k de¤eri, standart normal e¤ri alt›nda z = -1.56 ilez = 2.31 noktalar› aras›ndaki aland›r. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi veri-len iki nokta, ortalaman›n iki farkl› taraf›ndad›r. Bu nedenle istenen olas›l›k (alan)de¤erinin bulunabilmesi için önce ortalamaysa z = -1.56 ve z = 2.31 aras›ndakialanlar bulunur, daha sonraysa bu alanlar toplan›r.-1.56 ile 0 aras›ndaki alan P ( - 1.56 ≤ z ≤ 0 ) = 0.44060 ile 2.31 aras›ndaki alan P (0 ≤ z ≤ 2.31 ) = 0.4896

-1.56 ile 2.31 aras›ndaki alan P (- 1.56 ≤ z ≤ 2.31 )= 0.4406 + 0.4896 = 0.9302

(Dikkat: E¤er verilen iki nokta ortala-man›n farkl› taraflar›ndaysa ilk olarakortalamayla bu noktalar aras›ndakialanlar bulunur. Sonra bu iki alan top-lan›r. )

c) P (z > -0.75 )de¤eri de verilennoktan›n sa¤›ndaki tüm aland›r.Burada istenen alan iki bölümdenoluflmaktad›r. ‹lki, verilen noktayla or-talama aras›nda kalan alan,

P (- 0.75 ≤ z ≤ 0 )= 0.2734ikincisiyse ortalaman›n sa¤›ndaki(tüm) aland›r.

P (z > 0 ) = 0.50

Bu iki alan de¤erinin toplanmas› sonucunda (0.2734 + 0.5000 = 0.7734) istenenolas›l›k de¤eri % 77.34 olarak bulunur.Daha önce de de¤inilmifl oldu¤u gibi, standart sapmaya iliflkin üç (ampirik)kura-l›n do¤rulu¤u, simetriklik özelli¤i gösteren normal da¤›l›m için, tablo de¤erindenyararlan›larak gösterilebilir.1) Ortalaman›n bir standart sapma sa¤›nda ve solunda kalan noktalar aras›ndakialan, toplam alan›n % 68.26’s› olarak bulunur. Burada söz edilen alan z = -1.0 denz = 1.0 ’e kadar olan aland›r. Yandakiflekilden de görülece¤i gibi ortalamaile z = 1.0 noktas› aras›ndaki alan %34.13 ’dür. Simetrik bir da¤›l›m oldu-¤u için z = -1.0 ile ortalama aras›nda-ki alan da ayn› (%34.13) olaca¤›ndantoplam alan % 68.26 d›r.

2) Ortalaman›n iki standart sapma sa¤›nda ve solunda kalan noktalar aras›ndakialan, toplam alan›n % 95.44’ü olarak bulunur. Burada da (yukar›dakine benzer bi-çimde), z = -2.0 ile z = 2.0 noktalar› aras›ndaki alan›n bulunmas› için önce orta-lamayla z = 2.0 noktas› aras›nda kalan alan bulunur ve bulunan de¤erin iki kat›(simetriklik özelli¤i) al›narak istenen alan de¤eri (0.4772 + 0.4772 = 0.9544) eldeedilir.

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 145

0 z-1.56 2.31

fiekil 6.22P (-1.56 ≤ z ≤ 2.31) de¤eri.

0 z-0.75

% 27.34

fiekil 6.23P (z > -0.75 )de¤eri.

0 z-1.0 1.0

0.3413 + 0.3413 = 0.6826

fiekil 6.24 Bir stan-dart sapma s›n›rlar›içerisindeki alan.

ÇÖ

ZÜ

M

3) Ortalaman›n üç standart sapmauzakl›¤›ndaki s›n›rlar aras›ndaki alan›toplam alan›n % 99.74’ü olarak bulu-nur. Bulunmas› istenen alan z = -3.0dan z = 3.0’e kadar olan aland›r. Or-talamayla z = 3.0 noktas› aras›ndakialan % 49.87 oldu¤u için toplam alan% 99.74 olarak bulunur.

Bu özellik nedeniyle, Ek 1.’de veril-mifl olan standart normal da¤›l›m tab-losunda z = 0 dan z = 3.09’a (yada z = -3.09’dan z = 0’a)kadar olande¤erler için olas›l›k (alan) de¤eri bu-lunabilmektedir.

Standart normal e¤ri için afla¤›daki olas›l›klar› bulunuz.a) P (0 < z < 5.67 )b) P (z < -5.35 )

a) Standart normal e¤ri için istenen bu olas›l›¤›n bulunmas›nda, standart normalda¤›l›m tablosundan yararlan›rken bir sorunla karfl›lafl›lmaktad›r. Bu sorun tablo-da olas›l›k de¤eri olarak bulunabilecek en son de¤erin z = 3.09 olmas›d›r. Budurumda ortalaman›n sa¤›nda kalan toplam alan (% 50.0) sorunun cevab› olmak-tad›r.0 ile 5.67 aras›ndaki alan = P (0 < z < 5.67)= 0.50

b) P (z < -5.35 )de¤eri için de yinestandart normal da¤›l›m tablosununkullan›m›nda benzer sorunla karfl›la-fl›lmaktad›r. Ortalaman›n solundakitoplam alan % 50.0 ’dir. z = -5.35 ileortalama aras›ndaki alan da yaklafl›k% 50.0 ’dir. Bu durumda istenenolas›l›k de¤eri s›f›rd›r.

- 5.35 ile 0 aras›ndaki alan = P (z< -5.35 )= 0.5 – 0.5 = 0.0

‹s tat ist ik146

0 z-2.0 2.0

0.4772 + 0.4772 = 0.9544

fiekil 6.25 ‹ki stan-dart sapma s›n›rlar›içerisindeki alan.

0 z-3.0 3.0

0.4987 + 0.4987 = 0.9974

fiekil 6.26 Üç stan-dart sapma s›n›rlar›içerisindeki alan.

Ö R N E K 5

0z

5.67

% 50

fiekil 6.27 z = 0 ile

z = 5.67 s›n›rlar›

aras›ndaki alan.

0 z-5.35

0.5 - 0.5 = 0fiekil 6.28z = - 5.35 ’in solun-daki alan.

ÇÖ

ZÜ

M

Normal Da¤›l›m›n Standartlaflt›r›lmas›Yukar›daki alt bölümlerde, Ek 1.’de verilen standart normal da¤›l›m tablosundanyararlan›larak standart normal e¤ri alt›ndaki çeflitli alanlar›n bulunmas› incelendi.Ancak gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal de¤ifl-ken, s›f›rdan farkl› ortalama ve birden farkl› standart sapma de¤eriyle normal da-¤›l›m göstermektedir. Böylesi durumlarda Ek 1.’de verilen tablonun kullan›labil-mesi için, normal da¤›l›m gösteren sürekli bir rassal de¤iflkenin, bir dönüfltürmeneticesinde standart normal da¤›l›ml› bir de¤iflkene çevrilmesi gerekmektedir. Buamaçla normal da¤›l›m gösteren x rassal de¤iflkeninin, standart normal da¤›l›mgösteren z rassal de¤iflkenine dönüfltürülmesi yap›lacakt›r ve bu dönüfltürmeyestandartlaflt›rma ad› verilmektedir.

x DE⁄ER‹N‹N z DE⁄ER‹NE DÖNÜfiTÜRÜLMES‹x normal da¤›l›m gösteren rassal bir de¤iflkenin herhangi bir de¤erinin z de¤ericinsinden ifadesinde

formülünden yararlan›lmaktad›r. Burada m ve s, s›ras›yla ilgili normal da¤›l›m›-n›n ortalama ve standart sapmas›d›r.

Standartlaflt›rmada önce x rassal de¤iflkeninin ortalama ve standart sapmas›hesaplanmakta, daha sonraysa x de¤erinden ortalama ç›kart›larak, fark de¤eristandart sapmaya bölünmektedir.

x, ortalamas› 50 ve standart sapmas› 10 olan bir normal da¤›l›m göster-mektedir. Standartlaflt›rma formülünden yararlanarak afla¤›daki x de-¤erlerini z de¤erlerine dönüfltürünüz.

a) x = 55b) x = 35

a) Yukar›da verilmifl olan formül kullan›larak x = 55 de¤erinin z cinsinden de¤eri,

olarak bulunur. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi x rassal de¤iflkenin da¤›l›-m›yla z rassal de¤iflkenin da¤›l›m› aras›nda, standart sapmalar aç›s›ndan fark yok-tur. Çünkü x da¤›l›m›nda x = 55 noktas› m = 50 ortalamas›n›n 1 / 2 standartsapma sa¤›nda iken, z = 0.5 de¤eri yine ortalamas› s›f›r ve standart sapmas› birolan z standart normal da¤›l›m›nda ortalaman›n 1 / 2 standart sapma sa¤›nda-d›r.

z = x - ms

= 55-5010

= 0.50

z = x - ms

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 147

Ö R N E K 6

ÇÖ

ZÜ

M

b) x = 35 de¤erine karfl›l›k gelen zde¤eri de yine ayn› biçimde,

olarak bulunur. Bulunan z de¤eri gi-bi, verilmifl olan x = 35 de¤eri de or-talamadan küçük oldu¤u için ortala-man›n solunda bir noktad›r. Ancak xde¤eri negatif olmad›¤› halde z de-¤eri negatiftir. Bunun nedenide z dö-nüfltürmesinde da¤›l›m ortalamas›n›ns›f›r noktas›na tafl›nm›fl olmas›d›r.

Normal da¤›l›ml› bir x de¤iflkenininiki de¤eri aras›ndaki alan›n bulun-mas› için önce, her iki x de¤eri de zde¤erine dönüfltürülmekte, daha son-raysa standart normal e¤ri alt›ndakiiki z de¤eri aras›ndaki alan bulun-maktad›r. Bu alan, ayn› zamanda ve-rilmifl olan x ’ler aras›ndaki aland›r.

x sürekli rassal de¤iflkeni 25 ortalama ve 4 standart sapmayla normalda¤›lmaktad›r. Afla¤›da verilen noktalar aras›ndaki alan› bulunuz.a) x = 25 ve x = 32 aras›b) x = 18 ve x = 34 aras›

Verilen normal da¤›l›mda m = 25 ve s = 4 dür.a) Burada ilk ad›m, verilmifl olan x = 25 ve x = 32 de¤erlerinin standart nor-mal z de¤erlerine dönüfltürülmesidir.

‹kinci ad›m z = 0.00 ile z = 1.75 noktalar› aras›ndaki alan›n Ek 1.’de verilmifl olantablodan bulunmas›d›r. Bu de¤er,

P (25 < x < 32) = P ( 0 < z < 1.75 ) = 0.4599

olarak bulunur.

z = x - ms

= 25-254

= 0.00

z = x - ms

= 32-254

= 1.75

z = x - ms

= 35-5010

= 1.50

‹s tat ist ik148

xx = 55

z0

m = 50

m = 50 ve s = 10

ile normal da¤›l›m

m = 0 ve s = 1

ile standart normalda¤›l›m

0.5fiekil 6.29 x = 55’inz de¤eri

x

0

35z

m = 50

-1.50fiekil 6.30 x = 35’inz de¤eri.

Ö R N E K 7

b) x = 18 ve x = 34 de¤erleri deyine standart normal de¤erlere dö-nüfltürülür.

olarak hesaplan›r.

Daha sonraysa afla¤›daki flekildende görülece¤i gibi z = -1.75 ilez = 2.25 noktalar› aras›ndaki alanbulunur. Burada verilen noktalar,ortalaman›n solunda ve sa¤›nda ol-du¤u için, toplam alan, bulunacakiki alan›n toplam›ndan oluflacakt›r.

P (18 < x < 25) = P (-1.75 < z < 0)= 0.4599

P (25 < x < 34) = P (0 < z < 2.25) = 0.4878

P (18 < x < 34) = 0.4599 + 0.4878 = 0.9477

X rassal de¤iflkeni, 40 ortalama ve 5 standart sapmayla normal da¤›l›mgöstermektedir. Afla¤›daki olas›l›klar› normal da¤›l›m için bulunuz.a) P ( x > 55 )b) P ( x < 49 )

Normal da¤›l›mda m = 40 ve s = 5 olarak verilmifltir.a) x rassal de¤iflkenin 55’den büyük de¤er almas› bu fl›kta istenen olas›l›k, normalda¤›l›m e¤risinden (Ek 1.’de verilmifl standart normal da¤›l›m tablosundan yarar-lan›larak) bulunacakt›r. Bunun için x = 55 de¤erinin z de¤erine dönüfltürülmesigerekir.

Bu de¤er, yandaki flekilden de gö-rülebilece¤i gibi, e¤rinin sa¤ uçnoktas›ndaki küçük bir alan› d›fltab›rakmaktad›r ve buras› istenenolas›l›kt›r.Sonuç olarak istenen olas›l›k de-¤eri,

x = 55 için z = 55-405

= -3.00 ; P (0 < z < 3.00) = 0.4987

x = 18 için z = 18-254

= -1.75

x = 34 için z = 34-254

= -2.25

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 149

x25

0z

1.75

32

0.4599

Bu alanlar eflit

0.4599

fiekil 6.31 x = 25ve x = 32 aras›n-daki alan.

x

0

z

3.0

0.49780.5 - 0.4987 = 0.0013

40 55fiekil 6.33P (x > 55 ) de¤eri.

Ö R N E K 8

ÇÖ

ZÜ

M

x

0z

2.25

0.48780.4599

-1.75

0.4599 + 0.4878 = 0.9477

fiekil 6.32 x = 18 vex = 34 aras›ndakialan.

ÇÖ

ZÜ

M

P (x > 55) = P (z > 3.00) = 0.5 – 0.4987 = 0.0013

olarak bulunur.

b) Burada da yine x = 49 de¤erinin z de¤erine dönüfltürülmesinden,

elde edilir. Yandaki flekilde de gö-rülebilece¤i gibi burada x de¤eriiçin üst s›n›r verilmifl, alt s›n›r içinhiçbir k›s›t getirilmemifltir.Bu nedenle, ortalaman›n sol ta-raf›ndaki alan (0.5 ) ve z = 0 ilez = 1.80 aras›nda kalan alan top-lanarak, toplam alan (olas›l›k) eldeedilmektedir.

P (x < 49) = P (z < 1.80) = 0.50 + 0.4641 = 0.9641

x sürekli rassal de¤iflkeni m = 50 ve s = 8 ile normal da¤›l›m göstermeküzere, P (30 ≤ x ≤ 39) de¤erini bulunuz.

m = 50 ve s = 8 olmak üzere, verilen x = 30 ve x = 39 de¤erlerinin (her iki-si de ortalaman›n solunda) z cinsinden de¤erleri,

olarak bulunur. Ortalamayla buiki nokta aras›ndaki alanlar bulu-narak, büyük alandan küçük ala-n›n ç›kart›lmas›yla istenen olas›l›k(alan) de¤eri elde edilir.

P (30 ≤ x ≤ 39 ) = P (-2.50 ≤ z ≤ -1.38) = 0.4938 – 0.4162 = 0.0776

x = 30 için z = 30-508

= -2.50

x = 39 için z = 39-508

= -1.38

x = 49 için z = 49-405

= 1.80

‹s tat ist ik150

0.5000 + 0.4641 = 0.9641

40 49 x

0.46410.5000

0 1.80z

fiekil 6.34 P (x < 49)de¤eri.

Ö R N E K 9

x

0

z

3.0

0.49780.5 - 0.4987 = 0.0013

40 55fiekil 6.35P (30 ≤ x ≤ 39)de¤eri.

ÇÖ

ZÜ

M

x sürekli rassal de¤iflkeni m = 80 ve s = 12 ile normal da¤›l›m›n› göster-mek için, normal da¤›l›m e¤risi alt›nda kalan afla¤›daki alanlar› bulunuz.

a) x = 70 den x = 135’e kadarb) x = 27’nin sol taraf›

Verilen x noktalar›n›n z cinsinden de¤erleri,

olarak bulunur. Bu noktalar or-talaman›n iki taraf›nda yer ald›¤›için, tablodan elde edilecek alan(olas›l›k) de¤erleri toplan›r.

P (70 ≤ x ≤ 135 )= P (- 0.83 ≤ z ≤ 4.58) = 0.2967 + 0.5000 = 0.7967

b) x = 27’nin sol taraf›ndaki ala-n› ya da x ’in 27’den küçük de-¤er alma olas›l›¤›n› bulmak içinz de¤eri bulunarak sonuca gidi-lir.x = 27 için

P (x < 27) = P (z < – 4.42) = 0.5 – P (– 4.42 < z < 0) = 0.5 – 0.5 = 0.0

z = 27-8012

= -4.42

x = 70 için z = 70-8012

= -0.83

x = 135 için z = 135-8012

= 4.58

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 151

Ö R N E K 1 0

0.2967 + 0.5000 = 0.7967

x

0

70 80

-0.83 4.58z fiekil 6.36 x = 70 ile

x = 135 aras›ndakialan.

0.5 - 0.5 = 0.0

x

0

80

-4.42

27

z fiekil 6.37 x = 27’nin solundaki alan.

ÇÖ

ZÜ

M

Normal Da¤›l›m Uygulamalar›Buraya kadarki alt bölümlerde; normal da¤›l›mdan, normal da¤›l›m›n standartnormal da¤›l›ma dönüfltürülerek, normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan›n bulunma-s›ndan söz edildi. Afla¤›daysa normal da¤›l›m›n gerçek verilerle uygulanmas› ko-nu edilecektir.

ZENG‹N ülkesinde aile bafl›na düflen gelir 44.483 dolar ortalama ve 10.500 dolar standartsapmayla normal da¤›l›m göstermektedir. Bu ülkeden rassal seçilen bir ailenin 30.000 –50.000 dolar aras›nda gelire sahip olma olas›l›¤›n› bulunuz.

x rassal de¤iflkeni, m = 44.483 ve s = 10.500 dolar de¤erleriyle normal da¤›lmak-tad›r. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi verilen s›n›r de¤erleri, ortalaman›n so-lunda ve sa¤›nda yer almaktad›r. Ortalamayla s›n›r de¤erleri aras›ndakibu olas›l›klar (alan ), z dönüflümüyle elde edilir.Bulunan z de¤erleri kullan›larak standart normal da¤›l›m tablosundan gerekli ola-s›l›k de¤erlerine ulafl›l›r ve sonuç bulunur.

P (30.000 ≤ x ≤ 44.483) = P (- 1.38 ≤ z ≤ 0 = 0.4162P (44.483 ≤ x ≤ 50.000) = P (0 ≤ z ≤ 0.53) = 0.2019P (30.000 ≤ x ≤ 50.000) = P (-1.38 ≤ z≤ 0.53) = 0.6181

Sonuç olarak rassal seçilen bir aile-nin gelirinin 30.000 – 50.000 dolararas›nda olma olas›l›¤› % 61.81 dir.

‹s tat ist ik152

Ö R N E K 1 1

0.4162 + 0.2019 = 0.6181

x

0

30,000 44,483

-1.38

0.20190.4162

50,000

0.53z

fiekil 6.38x = 30,000 –50.000 aras›ndakialan.

ÇÖ

ZÜ

M

Oyuncak üreten bir firmada, bir iflçinin, oyuncak bir yar›fl otomobilinimonte etme süresi; 55 dakika ortalama ve 4 dakika standart sapmaylanormal da¤›lmaktad›r. ‹flyerinin saat 17:00’de kapand›¤› bilindi¤ine göre,saat 16:00’da montaja bafllayan bir iflçinin kapan›fl saatine kadar ifli bi-tirme olas›l›¤›n› bulunuz.

Oyuncak bir yar›fl otomobilinin montaj süresi; m = 55 dakika ve s = 4 dakikaylanormal da¤›l›m göstermektedir. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi, burada is-tenen, montaj›n en çok 60 dakikada bitmesidir.Standart normal da¤›l›m tablo de¤erinden yararlanabilmek için gerekli z de¤eri,

olarak bulunduktan sonra istenenolas›l›k hesaplan›r. Bunun için ön-ce ortalaman›n solundaki tüm alan(0.5) ve ortalaman›n sa¤›ndaki z= 1.25’e kadar olan alan (0.3944)toplan›r ve sonuç de¤eri,

P (x ≤ 60) = P (z ≤ 1.25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944

elde edilir.

Meflrubat üreten bir firmada, üretilen sodalar›n 12 cl olmas› gerekmekte-dir. Ancak otomatik makinelerce yap›lan fliflelemede, flifle içerisindeki so-da miktar› bazen 12 cl’den çok ya da az olabilmektedir. Firmaca üretilensodalar›n incelenmesinde flifle içindeki soda miktar›n›n 12 cl ortalama ve0.015 cl standart sapmayla normal da¤›ld›¤› bulunmufltur.

a) Rassal seçilen bir flifle içerisindeki soda miktar›n›n 11.97 ile 11.99 claras›nda olma olas›l›¤› nedir ?

b) fiiflelerin 12.02 ile 12.07 cl aras›nda, soda bulundurma yüzdesi nedir?

x = 60 için z = 60-554

= 1.25

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 153

Ö R N E K 1 2

0.50 + 0.3944 = 0.8944

x

0z

0.50

55

1.25

0.3944

60 fiekil 6.39 x = 60noktas›n›n solun-daki alan.

Ö R N E K 1 3

ÇÖ

ZÜ

M X rassal de¤iflkeni flifle içerisindeki soda miktar›n› göstermekte, m = 12 cl ve s =0.015 cl ile normal da¤›lmaktad›r.a) Daha önceki örneklerde oldu¤u gibi ilk olarak verilen x de¤erleri z de¤erleri-ne dönüfltürülür.

Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi, ortalaman›n solundaki iki alan›n fark› al›-narak, istenen olas›l›k de¤eri bulunur.

P (11.97 ≤ x ≤ 12.00) = P (-2.00 ≤ z ≤ 0.00) = 0.4772P (11.99 ≤ x ≤ 12.00) = P (-0.67 ≤ z ≤ 0.00) = 0.2486P (11.97 ≤ x ≤ 11.99) = P (-2.00 ≤ z ≤ - 0.67) = 0.2286

Sonuç olarak fliflelerin % 22.86’s›ndaki soda miktar›, 11.97 cl ile 11.99 cl aras›ndad›r.b) Yukar›daki fl›kka benzer biçimde z de¤erleri,

olarak bulunur ve afla¤›daki flekilden de anlafl›laca¤› gibi, ortalaman›n sa¤›ndakiiki alan de¤erinin fark› al›narak, sorunun cevab› elde edilir.

x = 12.02 için z = 12.02 - 12.000.015

= 1.33

x = 12.07 için z = 12.07 - 12.000.015

= 4.67

x = 11.97 için z = 11.97 - 12.000.015

= -2.00

x = 11.99 için z = 11.99 - 12.000.015

= -0.67

‹s tat ist ik154

0.4772 - 0.2486 = 0.2286

x

0z

11.97

-2.00

11.90 12

-0.67

fiekil 6.40x = 11.97 ile x = 11.99aras›ndaki alan.

0.5 - 0.4082 = 0.0918

x

0z

12.02

1.33

12

4.67

12.07fiekil 6.41x = 12.02 ile x = 12.07aras›ndaki alan.

ÇÖ

ZÜ

M

P (12.00 ≤ x ≤ 12.02) = P (0.00 ≤ z ≤ 1.33) = 0.4082P (12.00 ≤ x ≤ 12.07) = P (0.00 ≤ z ≤ 4.67) = 0.5000P (12.02 ≤ x ≤ 12.07) = P (1.33 ≤ z ≤ 4.67) = 0.0918

Sonuç olarak fliflelerin % 9.18’inde 12.02 cl ile 12.07 cl soda vard›r.

Hesap makinesi üreten bir firma, üretti¤i aletlerin ömürlerinin 54 ay or-talama ve 8 ay standart sapmayla normal da¤›l›m gösterdi¤ini bulmufl-tur. Firma yetkilileri bir kampanya bafllatarak ilk 36 ay içerisinde ar›za-lanan hesap makinelerini yenisiyle de¤ifltirme yükümlülü¤üne girmifltir.Rassal sat›lan bir hesap makinesinin yenisyle de¤ifltirilme olas›l›¤› nedir?

Bu örnekte m = 54 ve s = 8 ayd›r. Verilmifl olan x = 36 ay de¤erinin z cinsin-den de¤eri,

dir. Afla¤›daki flekilden de anlafl›laca¤› gibi,

P (x < 36) = P (z < – 2.25) = 0.50 – 0.4878 = 0.0122

de¤erinden sat›lan bir hesap makinesinin yenisiyle de¤ifltirilme olas›l›¤›n›n % 1.22oldu¤u bulunur.

1. X rassal de¤iflkeni bir maratonun koflulma süresi olmak üzere, 195 dakika ortalamave 21 dakika standart sapmayla normal da¤›l›m göstermektedir. Bu maratona kat›lanbir atlet rassal seçildi¤inde bu atletin maratonu;a) 150 dakikadan önce tamamlam›fl olma,b) 205 ile 245 dakika aras›nda tamamlam›fl olma,olas›l›klar›n› bulunuz.

x = 36 için z = 36 - 548

= -2.25

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 155

Ö R N E K 1 4

0.50 - 0.4878 = 0.0122

x

0z

-2.25

36 54 fiekil 6.42x = 36 ’n›n solundaki alan.

SIRA S ‹ZDE

ÇÖ

ZÜ

M

2. ABD’de ilkö¤retim okullar›nda görev yapan ö¤retmenlerin y›ll›k maafllar›; 35.104 do-lar ortalama ve 3.200 dolar standart sapmayla normal da¤›l›m göstermektedir. Bugruptan rassal seçilen bir ö¤retmenin,a) 38.700 dolardan çok kazanmas›,b) 32.625 ile 38.830 dolar aras›nda kazanmas›,olas›l›klar›n› bulunuz.

3. ‹stanbul-Ankara otoyolunu kullanan özel otomobillerin h›zlar› saatte; 69 mil ortalamave 3.5 mil standart sapmayla normal da¤›lmaktad›r. Bu otoyolu kullanan özel otomo-billerden;a) Saatte 61 – 66 mil yapanlar›n,b) Saate 65 – 74 mil yapanlar›n,yüzdelerini bulunuz.

NORMAL DA⁄ILIM E⁄R‹S‹ ALTINDAK‹ ALAN B‹L‹N‹YORKEN z VE x DE⁄ERLER‹N‹N BULUNMASI

Normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan biliniyor Z ve X de¤erlerinibelirleyebileceksiniz.

Buraya kadar ele al›nan kesimlerde, verilen bir z ya da x aral›¤›na düflen (normalda¤›l›m e¤risi alt›ndaki) alan›n bulunmas› konu edildi. Burada ise tersi bir durumele al›nacak; normal da¤›l›m e¤risi alt›ndaki alan biliniyorken, bu alan› s›n›rlayanz ya da x de¤erlerinin bulunmas› ele al›nacakt›r.

Standart normal e¤ri alt›nda 0 ile bir z de¤eri aras›nda kalan alan 0.4251dir. Bu alan›n üst s›n›r› olan pozitif z de¤erini bulunuz.

Afla¤›daki flekilde de görülece¤i gibi, verilen alan, sa¤ tarafta 0 ile z s›n›rlar› ara-s›ndad›r ve de¤eri 0.4251 dir.z de¤erinin bulunmas›nda da yine, Ek 1.’de verilen standart normal da¤›l›m tab-losundan yararlan›lacakt›r. Yukar›daki örneklerde verilen, bir z de¤erine karfl›l›kgelen alan›n bulunmas›nda, tablonun ilk sütunundaki tam say›yla kesir noktas›n›nsa¤›ndaki ilk say›ya ve tablonun ilk sat›r›ndan ya kesir noktas›n›n sa¤›ndaki ikin-

ci say›ya bak›l›yordu. Burada yaönce, tablo içerisinden verilen alande¤eri bulunacak, daha sonra yada o de¤erin bulundu¤u sat›r vesütun bafllar›ndaki z de¤eriyaz›larak istenen z de¤eri elde edi-lecektir.Bu örnekte 0.4251 de¤eri, tablo içe-

risinden bulunduktan sonra, bu de¤erin sat›r bafl›nda 1.4, sütun bafl›ndaysa 0.04de¤erleri kaydedilir. Bu iki de¤erin birlefltirilmesi sonucunda aranan z de¤eri(1.44 olarak) elde edilir.

‹s tat ist ik156

SIRA S ‹ZDE

A M A �

2

Ö R N E K 1 5

0.4251

zz0

fiekil 6.43z de¤erinin bulunmas›.

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

Standart normal da¤›l›m e¤risi alt›nda, sa¤ uçtaki (kuyruk) 0.005 alan›n›belirleyen z de¤erini bulunuz.

Burada verilen alan, sa¤ uçta yer alan bir aland›r. Yani alan›n üst s›n›r› belirsiz(sonsuz) olaca¤› için, alt s›n›r›n bulunmas› gerekir. Ancak, daha önce de belirtil-di¤i gibi, Ek 1.’de verilen normal da¤›l›m tablosundaki alan de¤erleri, ortalama(z = 0) ile verilen z de¤erleri aras›ndad›r. Bu nedenle öncelikle da¤›l›m›n sa¤›ndayer alan bu noktayla z = 0 noktas› aras›ndaki alan›n bilinmesi gerekir. Normalda¤›l›m›n simetrik olmas› ve ortalaman›n sa¤›ndaki toplam alan›n 0.5 oldu¤u bil-gilerinden hareketle, 0 ile z noktas› aras›ndaki alan,

0.5000 – 0.0050 = 0.4950

olarak bulunur.Tablo içerisindeki alan de¤erleri ara-s›ndan 0.4950 de¤eri yaklafl›k ola-rak (0.4949 ve 0.4951)belirlenir veiliflkin z de¤eri 2.58 (ya da 2.57)ola-rak elde edilir. Sonuç olarak z = 2.58noktas›n›n sa¤›nda kalan alan, top-lam alan›n 0.005’idir.

Standart normal e¤ri alt›nda sol uçtaki 0.05 alan›n›n z de¤erini bulunuz.

Bir önceki örnekte oldu¤u gibi, burada da ortalaman›n sol ucunda yer alan biralan verilmifltir. Bu alan›n sol taraf›ndaki nokta belirsiz olup sa¤ taraf›ndaki nok-tan›n bulunmas› gerekir. Yine ortalamayla aranan nokta aras›ndaki alan buluna-rak çözüme ulafl›lacakt›r. Söz konusu alan,

0.500 – 0.050 = 0.450

dir ve bu alan› soldan s›n›rlayan nokta, (z de¤eri)–1.65 olarak (yaklafl›k de¤er)elde edilir.Önceki alt bölümlerde, standart nor-mal olmayan, normal da¤›l›m e¤risialt›nda verilen x noktalar› aras›ndakalan alan›n bulunmas›nda, m ve sde¤erlerinden yararlan›larak verilenx de¤erine karfl›l›k gelen z de¤erle-ri bulunmufl ve standart normal da-¤›l›m tablosu kullan›larak çözümeulafl›lm›flt›. Buradaysa ise z = (x -m) / s eflitli¤i kullan›larak, yani, m ve s de¤erleri bilinen ve alan de¤eri verilmiflnormal da¤›l›m›n x de¤erinin bulunmas› ele al›nacakt›r.

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 157

Ö R N E K 1 6

0.005

zz0

0.4950

bulunacak de¤er

fiekil 6.44z de¤erinin bulunmas›.

Ö R N E K 1 7

0.05

zz 0

0.4500

bulunacak de¤er

fiekil 6.45z de¤erinin bulun-mas›.

ÇÖ

ZÜ

M

NORMAL DA⁄ILIM ‹Ç‹N B‹R x DE⁄ER‹N‹N BULUNMASIm ve s de¤erleri, bilinen bir normal e¤ri alt›nda, ortalamayla x noktas› aras›nda-ki alan için x de¤eri,

x = m + z s

biçiminde bulunur.

Bir firma taraf›ndan üretilen hesap makinelerinin ömürleri 54 ay ortala-ma ve 8 ay standart sapmayla normal da¤›lmaktad›r. Firma yetkilileri sa-t›fllar› art›rmak için bir garanti süresi uygulamak istemektedir. Ancakgaranti kapsam›nda de¤ifltirilecek hesap makinesinin, toplam sat›fl›n %1’inden daha fazla olmas›n› da istenmemektedir. Garanti uygulanacak busüreyi bulunuz.

Afla¤›daki flekilde de görülece¤i gibi, normal da¤›l›m›n parametreleri (m = 54 ayve s = 8 ay olarak) bilinmektedir. Burada istenen, hesap makinesi sat›n alanlarauygulanacak garanti süresinin bulunmas›d›r.

‹lk olarak ortalamayla veri-len nokta aras›ndaki alan0.5000 – 0.0100 = 0.4900 el-de edilir. Ek 1.’de verilentablodanda bu alan de¤eri-ne karfl›l›k gelen z = – 2.33de¤eri bulunur ve yukar›daverilmifl olan eflitlik kullan›-larak aranan x de¤eri,

x = m + z s = 54 + (– 2.33) (8) = 54 – 18.64 = 35.36

elde edilir. Sonuç olarak üretici firma (yaklafl›k olarak) 35 aydan önce kullan›md›fl› kalan hesap makinelerini garanti kapsam›na al›p, yenisiyle de¤ifltirmeyi ka-bul ederse, toptan sat›fl›n sadece % 1’ini de¤ifltirecektir.

Bilgin Fen Lisesinin, ö¤renci seçmek amac›yla, geçen y›llarda uygulad›¤›s›nav sonuçlar›n›n 904 puan ortalama ve 153 puan standart sapmaylanormal da¤›ld›¤› ve bu lisenin yöneticilerinin her y›l yap›lan s›nav sonu-cunda ilk % 10’a giren ö¤rencilerin kayd›n› yapt›¤› bilinmektedir. BilginFen Lisesi s›nav›na haz›rlanan Arif H›rsl›’n›n (puanlar›n geçen y›llarlaayn› olaca¤› varsay›m› alt›nda)bu liseye girebilmesi için en az kaç puanalmas› gerekir?

‹s tat ist ik158

Ö R N E K 1 8

0.01

xx m = 54

0.4900

bulunacak de¤er

0-2.33z

fiekil 6.46z de¤erinin bulunmas›.

Ö R N E K 1 9

ÇÖ

ZÜ

M

x rassal de¤iflkeni, m = 904 ve s = 153 parametreleriyle normal da¤›l›m göster-mektedir. Burada istenen, ortalaman›n sa¤ ucunda yer alacak % 10 ‘luk alan›n alts›n›r›n›n belirlenmesidir. Bu s›n›rla ortalama aras›ndaki alan 0.5000 – 0.1000 =0.4000 olaca¤›ndan bu alana karfl›l›k gelen z de¤eri (tablodan) 1.28 bulunur.

Bu de¤er eflitlikte yerine kona-rak, aranan x de¤eri,

x = m + z s = 904 + (1.28) (153)= 904 + 195.84 @ 1100

olarak bulunur. Yani, Arif H›rs-l›’n›n Bilgin Fen Lisesine girebil-mesi için, en az 1100 puan al-mas› gerekmektedir.

1. Standart normal e¤ri alt›nda afla¤›daki alanlar› veren z de¤erlerini bulunuz.a) 0 ile aras›nda 0.4772 alan olan pozitif z de¤eri.b) 0 ile aras›nda 0.4785 alan olan negatif z de¤eri.c) Sol uçtaki 0.3565’lik alan.d) Sa¤ uçtaki 0.1530’luk alan.

2. Standart normal e¤ri alt›nda, afla¤›daki alanlar› veren z de¤erlerini bulunuz.a) Sa¤ uçtaki 0.0500’lik alan.b) Sol uçtaki 0.0250’lik alan.c) Sol uçtaki 0.0100’lik alan.d) Sa¤ uçtaki 0.0050’lik alan.

3. X sürekli rassal de¤iflkeni 200 ortalama ve 25 standart sapmayla normal da¤›lmaktad›r.a) Normal e¤ri alt›nda, solunda yaklafl›k 0.6330’luk alan bulunan x de¤erini bulunuz.b) Normal e¤ri alt›nda, sa¤›nda yaklafl›k 0.05’lik alan bulunan x de¤erini bulunuz.c) Normal e¤ri alt›nda, sa¤›nda 0.8051’lik alan bulunan x de¤erini bulunuz.d) Normal e¤ri alt›nda, solunda 0.0150’lik alan bulunan x de¤erini bulunuz.e) Normal e¤ri alt›nda, m ile aras›nda 0.4525’lik alan bulunan m ‘den küçük x de-

¤erini bulunuz.f) Normal e¤ri alt›nda, m ile aras›nda 0.4800’lik alan bulunan m ‘den büyük x de¤e-

rini bulunuz.

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 159

%10

xxm = 904

0.4000

bulunacak de¤er

0 1.28z

fiekil 6.47z de¤erinin bulun-mas›.

SIRA S ‹ZDE

B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAfiIMI

Binom ve normal da¤›l›m aras›ndaki iliflkiyi aç›klayabileceksiniz.

Bir önceki bölümde binom da¤›l›m›yla ilgili verilenler hat›rlanacak olursa,1. Binom da¤›l›m› kesikli rassal de¤iflkenlere uygulanmaktad›r,2. Binom deneyinin her tekrar›nda; baflar› ve baflar›s›zl›k olarak adland›r›lan iki

olas› sonuç bulunmaktad›r,3. ‹ki olas› sonuca iliflkin olas›l›klar her tekrar için ayn›d›r,4. Denemeler birbirinden ba¤›ms›zd›r,biçimindedir n denemede x baflar›l› sonuç elde etme olas›l›¤›, afla¤›daki binomformülüyle hesaplanmaktad›r.

n deneme say›s›n›n çok büyük olmas› durumunda, binom formülüyle olas›l›khesaplamak oldukça güç oldu¤undan, böylesi durumlarda, binom formülüyle bu-lunacak kesin olas›l›k de¤erleri yerine, normal da¤›l›mdan yararlanarak, yaklafl›kolas›l›klar elde edilebilmektedir. Ancak, n çok büyük ve p olas›l›k de¤erinin de0.5’e yak›n olmas› durumunda, normal da¤›l›mdan elde edilen yaklafl›k olas›l›kde¤erleri de kesin de¤erlere eflit olmaktad›r. Çünkü p = 0.5 olmas› durumunda bi-nom da¤›l›m› da simetrik oldu¤undan, yine simetrik bir da¤›l›m olan normal da-¤›l›ma, daha çok benzeyecektir.

B‹NOM DA⁄ILIMINA NORMAL DA⁄ILIM YAKLAfiIMIn . p > 5 ve n . q > 5 olmas› durumunda, binom da¤›l›m›na yaklafl›m amac›yla,normal da¤›l›m kullan›labilmektedir.

Afla¤›daki tablo ve flekilden de görülece¤i gibi n = 12 ve p = 0.5 (n . p > 5 ven . q > 5 )için binom da¤›l›m›n›n biçimi, normal da¤›lma çok yak›n olmaktad›r.

P x = nx

px qn - x

‹s tat ist ik160

A M A �

3

x P (x )

0 0.0002

1 0.0029

2 0.0161

3 0.0537

4 0.1208

5 0.1934

6 0.2256

7 0.1934

8 0.1208

9 0.0537

10 0.0161

11 0.0029

12 0.0002

Tablo 6.2 n = 12 ve p = 0.5için Binom Olas›l›k Da¤›l›m›

fiekil 6.48 n = 12 vep = 0.5 için binomolas›l›k da¤›l›m›n›nhistogram›.

0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

P(x)

ÇÖ

ZÜ

M

Bir araflt›rmaya göre Ankara’da yaflayan eriflkinlerin % 50’sinin en az birkredi kart› bulunmaktad›r. Bu gruptan rassal seçilen 30 eriflkinden 19 ta-nesinde en az bir kredi kart› bulunmas› olas›l›¤› nedir?

Bu soruda istenen olas›l›k de¤eri binom formülü kullan›larak bulunabilir. Çünküörnekte,

n = 30, p = 0.5; x = 19, q = 1 – p = 1 – 0.5 = 0.5 ve n – x = 30 – 19 = 11

dir. Bu de¤erler formülde yerine konacak olursa,

de¤eri elde edilir. Ayr›ca bu örnekte n p = 30 (0.5)= 15 ve n q = 30 (0.5)= 15oldu¤u için, istenen olas›l›k de¤eri normal da¤›l›m yard›m›yla da elde edilebil-mektedir. Bu yaklafl›mda üç aflama izlenmektedir.

Aflama 1. Binom da¤›l›m› için m ve s ‘nin hesaplanmas›d›r.Normal da¤›l›m›n kullan›labilmesi için da¤›l›m›n ortalama ve standart sapmas›n›nbilinmesi gerekir. Binom da¤›l›m› için bu parametreler,

biçiminde bulunur.

Aflama 2. Kesikli rassal de¤iflkenin sürekli bir rassal de¤iflkene dönüfltürülmesidir.Binom da¤›l›m› kesikli rassal de¤iflkenlere, normal da¤›l›ma sürekli de¤iflkenlereuygulanan da¤›l›mlard›r. Bu nedenle binom da¤›l›m›n›n normal da¤›l›ma yaklafl›-m›n› sa¤lamak amac›yla “süreklilik düzeltmesi” yap›lmaktad›r.

SÜREKL‹L‹K ‹Ç‹N DÜZELTME FAKTÖRÜNormal da¤›l›m›n binom da¤›l›m›na yaklafl›m›n› sa¤lamak için n denemede x ba-flar›l› sonuç say›s›na ± 0.5 de¤eri eklenir.

Verilen örnekte, x = 19 oldu¤u için, süreklilik düzeltmesi sonucunda 18.5 ve 19.5de¤erleri elde edilir. Bu durumda, binom da¤›l›m›nda P (x = 19)olas›l›k de¤eri ye-rine, normal da¤›l›mda P (18.5 ≤ x ≤ 19.5) olas›l›k de¤eri bulunacakt›r.

Aflama 3. Normal da¤›l›m kullan›larak istenen olas›l›¤›n hesaplanmas›d›r.Daha önceki örneklere benzer biçimde standart normal da¤›l›m tablosundan ya-rarlanabilmek için, x s›n›r de¤erlerine karfl›l›k gelen z de¤erlerinin bulunmas› ge-rekir.

x = 18.5 için z = 18.5 - 152.7386

= 1.28

x = 19.5 için z = 19.5 - 152.7386

= 1.64

m = n . p = 30 0.5 = 15

s = n . p . q = 30 0.5 0.5 = 2.7386

P x = 19 = 3019

0.5 19 0.5 11 = 0.0509

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 161

Ö R N E K 2 0

ÇÖ

ZÜ

M

z de¤erinin bulunmas›n›n ard›ndan iki alan de¤eri bulunur ve büyük alandan kü-çük alan ç›kart›larak aranan olas›l›k de¤erine ulafl›l›r.

P (0 ≤ z ≤ 1.64) = 0.4495 ; P (0 ≤ z ≤ 1.28) = 0.3997 P (1.28 ≤ z ≤ 1.64) = 0.4495 – 0.3997 = 0.0498

Normal da¤›l›m yaklafl›m› sonu-cunda elde edilen (yaklafl›k) ola-s›l›k de¤eriyle binom formülün-den elde edilmifl olan kesin olas›-l›k de¤erleri aras›nda (0.0509 –0.0498 = 0.0011) çok küçük birfark bulunmaktad›r ve bu fark daihmal edilebilecek düzeydedir.Süreklilik düzeltmesi, hep normalda¤›l›m yaklafl›m›n›n kullan›lma-

s›nda uygulanmaktad›r. Yukar›da eflitlik durumda süreklilik verilmiflti. Ancak; ba-zen binom da¤›l›m›nda istenen olas›l›k bir aral›k olabilece¤i gibi, eflitsizlik durum-lar› da olabilmektedir. Örne¤in P (7 ≤ x ≤ 12) olas›l›k de¤erinin normal da¤›l›myaklafl›m›nda aranan olas›l›k de¤eri P (6.5 ≤ x ≤ 12.5), P (x ≥ 9) için P (x≥ 8.5) ve P (x ≤ 10) içinse P (x ≤ 10.5) olarak bulunmaktad›r.

Yap›lan bir pazar araflt›rmas› neticesinde, çamafl›r makinesi kullanan evhan›mlar›ndan % 63’ünün yerli mal› çamafl›r makinesini tercih ettikleribulunmufltur. Bu gruptan, rassal seçilen 100 ev han›m›ndan, 55 – 60 tane-sinin, yerli mal› çamafl›r makinesi tercih etme olas›l›¤›n› bulunuz.

‹ki sonuçlu (binom) bu deneyde,

n = 100 ; p = 0.63 , q = 1 – p = 1 – 0.63 = 0.37

dir ve istenen olas›l›k P (55 < x < 60) ‘dir. Burada n p > 5 ve n q > 5 olma-s› nedeniyle istenen olas›l›k de¤eri, normal da¤›l›m yaklafl›m›yla bulunabilir. An-cak; burada aranacak olas›l›k P (54.5 ≤ x ≤ 60.5) biçimindedir.‹lk olarak m ve s de¤erleri hesaplanacak olursa,

biçimindedir. Daha sonra gerekli z de¤erleri hesaplan›r.

x = 54.5 için z = 54.5 - 634.8280

= -1.76

x = 60.5 için z = 60.5 - 634.8280

= -0.52

m = n p = 100 0.63 = 63

s = n p q = 100 0.63 0.37 = 4.8280

‹s tat ist ik162

x

0z

18.5 19.515

1.28 1.64

fiekil 6.49 x = 18.5ve x = 19.5aras›ndaki alan.

Ö R N E K 2 1

ÇÖ

ZÜ

M

Bu de¤erlerin kullan›m› sonu-cunda ortalaman›n solunda yeralan iki alan bulunur ve büyükalandan küçük alan›n ç›kart›l-mas› sonucunda istenen olas›-l›k de¤erine ulafl›l›r.

P (–1.76 ≤ z ≤ 0) = 0.4608P (–0.52 ≤ z ≤ 0) = 0.1985P (–1.76 ≤ z ≤ – 0.52) = 0.2623

18 yafl›n üzerindeki nüfusu hedef alan bir kamuoyu araflt›rmas› sonucun-da, milli piyangodan ikramiye ç›kaca¤›na inananlar›n oran› % 54 olarakbulunmufltur. Bu kitleden rassal seçilen 100 kifliden 60 ya da daha fazlakiflinin piyangodan ikramiye ç›kaca¤›na inanmas› olas›l›¤›n› bulunuz.

Yukar›daki örneklerde oldu¤u gibi, binom deneyine uyan bu deney de, normalda¤›l›m yaklafl›m›yla çözülebilir.

Bu de¤erlerden yararlanarak P (x≥ 59.5)olas›l›k de¤eri standart nor-mal da¤›l›m tablosundan elde edi-lir.

P (x ≥ 59.5) = P (z ≥ 1.10) = 0.5 – P (z < 1.10) = 0.5 – 0.3643 = 0.1357

1. Hangi koflullarda normal da¤›l›m binom da¤›l›m›na yaklafl›m amac›yla kullan›l›r?2. Bir binom da¤›l›m›nda n = 25 ve p = 0.40 olarak verilmifltir.

a) Binom formülünü kullanarak P (8 ≤ x ≤ 12 ) de¤erini bulunuz.b) Normal da¤›l›m yaklafl›m›ndan yararlanarak P (8 ≤ x ≤ 12) de¤erini bulunuz.

3. Bir binom da¤›l›m› için n = 120 ve p = 0.60 ‘d›r. x 120 denemedeki baflar›l› sonuçsay›s›n› göstermek üzere;a) Binom da¤›l›m›n›n ortalama ve standart sapmas›n› bulunuz.b) Normal da¤›l›m yaklafl›m›yla P (x ≤ 70) de¤erini bulunuz.c) Normal da¤›l›m yaklafl›m›yla P (67 ≤ x ≤ 71) de¤erini bulunuz.

n = 100 ; p = 0.54 , q = 1 - p = 1 - 0.54 = 0.46

m = n p = 100 0.54 = 54

s = n p q = 100 0.54 0.46 = 4.9840

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 163

x

0z

6360.554.5

0.4608 - 0.1985 = 0.2623

-0.52-1.76

fiekil 6.50 x = 54.5ve x = 60.5 aras›n-daki alan.

Ö R N E K 2 2

x

0z

59.554

%13.57

1.10

fiekil 6.51 x ≥ 59.5‘in olas›l›k de¤eri.

SIRA S ‹ZDE

x = 59.5 için z = 59.5 - 544.9840

= 1.70

‹statistik164

Kendimizi S›nayal›m1. Standart normal da¤›l›mda, 1.5 standart sapma s›-n›rlar› (m - 1.5s ve m + 1.5s) aras›nda kalan alannedir?

a. 0.0220b. 0.4332c. 0.8664d. 0.8814e. 0.9212

2. Z, standart normal da¤›lm›fl bir rassal de¤iflkenoldu¤una göre, P (z < -2.04) olas›l›¤› nedir?

a. 0.0207b. 0.0603c. 0.0968d. 0.1841e. 0.2178

3. Z, standart normal da¤›lm›fl bir rassal de¤iflkenoldu¤una göre, P (z > -0.78) olas›l›¤› nedir?

a. 0.4713b. 0.7823c. 0.8234d. 0.8873e. 0.9564

4. X, sürekli rassal de¤iflken, m = 25 ve s = 6 olmak üze-re normal da¤›lm›flt›r. Bu bilgilere göre, P(22 < x < 33)olas›l›¤› nedir?

a. 0.2178b. 0.3336c. 0.4599d. 0.5564e. 0.5997

5. X, sürekli rassal de¤iflkeni, ortalamas› 100 ve varyans›225 olmak üzere normal da¤›lm›flt›r. Bu bilgilere göre, P(115 < x < 130) olas›l›¤› nedir?

a. 0.0437b. 0.0948c. 0.1056d. 0.1359e. 0.1443

6. Tek tip vida üreten otomatik makinelerden üretilen vi-dalar›n boylar›; ortalamas› 3.0 cm. ve standart sapmas› da0.009 cm. olmak üzere normal da¤›lmaktad›r. Üretilen vi-dalar›n boyu 2.98 cm.’ den k›sa olanlarla 3.02 cm.’ denuzun olanlar kusurlu olduklar› için kullan›lmamaktad›r.Bu makinede üretilen vidalar›n yüzde kaç› kusurludur?

a. 1.17b. 2.10c. 2.64d. 3.00e. 3.15

7. Bir A bölgesinde 20 000 konuta iliflkin ayl›k elektrikenerjisi tüketimi, ortalamas› 1 650 kilovat saat ve standartsapmas› da 320 kilovat saat olmak üzere normal da¤›l-maktad›r. Bu bölgede kaç konutun elektrik tüketim miktar›n›n 900- 1.300 kilovat saat aras›nda olmas› beklenir?

a. 1.854b. 2.566c. 2.700d. 2.850e. 3.204

8. Otomobillerin ya¤ de¤iflimini yapan bir servis istasyo-nunda servis süresinin, ortalamas› 15 dakika ve standartsapmas› da 2.4 dakika olmak üzere normal da¤›ld›¤› bi-linmektedir. Servis sorumlusu, daha çok müflteri çekebil-mek amac›yla, bir kampanya bafllatmak istemektedir.Kampanya süresince, belirlenen süreden fazla bekleyenmüflterilerden servis ücretinin yar›s› al›nacakt›r. Ancak,servis maliyeti dikkate al›narak, yar› ücret al›nacak müfl-teri say›s›n›n, toplam müflteri say›s›n›n % 5’ inden fazlaolmas› istenmektedir. Buna göre öngörülecek beklemesüresi kaç dakikad›r?

a. 12 b. 15 c. 19 d. 22 e. 25

Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 165

9. Yap›lan bir anket sonucunda belirli bir bölgedeki ailereislerinin 0.90 ’›n›n kendilerini ekonomik yönden fakirgördükleri belirlenmifltir.Bu bölgeden rasgele seçilen 400 aile reisinden 355 ya dadaha fazlas›n›n kendini fakir görme olas›l›¤› nedir?

a. 0.1427b. 0.2218c. 0.3715d. 0.5219e. 0.8212

10. Bilgisayar yan ürünleri üreten A firmas›, bilgisayarüreten B firmas›na, ürünlerini 2 000 birimlik partiler ha-linde göndermektedir. B firmas›, gelen her partiden rast-gele 100 birimi incelemekte ve üretici firman›n en çok %5 ar›zal› birim garantisine karfl›l›k 7 ya da daha fazla bi-rimin ar›zal› ç›kmas› durumunda partiyi iade etmektedir.Yeni gönderilecek partinin B firmas›nca kabul edilme ola-s›l›¤› nedir?

a. 0.4217b. 0.5314c. 0.5819d. 0.6741e. 0.7549

Yan›t Anahtar›1. c2. a3. b4. e5. d6. c7. b8. c9. e

10. e

Yararlan›lan KaynaklarHOEL, P.G. and Jessen, R.J.: Basic Statistics for Business

and Economics, Wiley, New York, 1971.MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2nd Edition, Wiley,

New York, 1995.O’HAGAN, A.: Probability: Metods and Measurement,

Chapman and Hall, London, 1988.WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: ‹ntroductory

Statistics, 4th Edition, Wiley, Singapore, 1985.

Yoksul ve e¤itimsiz bir ailenin çocu¤u olan Gauss 25 yafl›ndan önce, matematik ve astro-

nomi alan›ndaki çal›flmalar›yla ün kazanm›flt›r. Say›lara ve hesaplamaya karfl› erken yaflla-

r›ndaki tutkusu, cebir, analiz, geometri, olas›l›k, hata teorisi, astronomi, haritalama, jeodezi,

jeomagnetizma, elektromagnetizma ve aktüerya gibi farkl› dallarda baflar› kazanmas›na

neden olmufltur.

Gauss, tüm zamanlar›n en büyük bilim ustas› olarak gösterilmektedir.

GAUSS (1777-1855)

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak • Kavramlar ve bu kavramlar aras›ndaki iliflkiler dikkatle incelenmeli,• Örnekler ve örnek çözümleri dikkatle incelenmeli, sorunlarla karfl›lafl›l›rsa

kavramsal aç›klamalara geri dönülmelidir.

167

Örnekleme 7

Amaçlar:Tamsay›m ve örneklem kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.‹statistiksel araflt›rmalarda, örneklemenin, tamsay›ma tercih edilmesindekinedenleri, kavrayarak aç›klayabileceksiniz.Bir örnekleme plan sürecinin aflamalar›n› belirleyebileceksiniz.Örnekleme yöntemlerini s›n›fland›rabileceksiniz.Örnekleme da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabileceksiniz.Örnekleme uygulamalar›nda ifllenecek hata türlerini aç›klayabileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• TAMSAYIM VE ÖRNEKLEM• ÖRNEKLEME YAPMAYI GEREKL‹ KILAN NEDENLER • ÖRNEKLEME SÜREC‹N‹N AfiAMALARI

• Ana Kütlenin Tan›mlanmas›• Çerçevenin Belirlenmesi• Örnekleme Yönteminin Seçimi• Örneklem Hacminin Belirlenmesi• Örneklemin Seçimi

• ÖRNEKLEME YÖNTEMLER‹• Olas›l›kl› Olmayan Örnekleme Yöntemleri• Olas›l›kl› Örnekleme Yöntemleri

• ÖRNEKLEME DA⁄ILIMI• Örneklem Ortalamas› ’n›n Örnekleme Da¤›l›m›• Örneklem Oran› p’nin Örnekleme Da¤›l›m›

• ÖRNEKLEMEDE HATA KAVRAMI VE STANDART HATA• Örnekleme Hatas› - Standart Hata• Örnekleme D›fl› Hatalar

X

‹s tat ist ik168

��

����

G‹R‹fiGenel olarak bir istatistiksel araflt›rma sürecinin ilk aflamas›nda, ilgili ana kütle ta-n›mlan›r. Sonraki aflamalarda, tan›mlanan ana kütlenin ilgilenilen parametrelerihakk›nda bilgi üretilmeye çal›fl›l›r. Tan›mlanan ana kütle hakk›nda bilgi üretmedebaflvurulabilecek ilk yöntem, bu ana kütle tan›m› içinde yer alan bütün birimlerüzerinden, de¤iflken ya da de¤iflkenlerle ilgili veri derlemek, tamsay›m yapmakt›r.Ancak tamsay›m, çeflitli nedenlerle her zaman mümkün olmaz. Bu durumda, iste-nilen bilginin üretilebilmesi, ancak, tan›mlanan ana kütleden, onu temsil edebile-cek s›n›rl› say›da birimin, yani bir örneklemin seçilmesi ve bu örneklem birimleriüzerinden, gereken verilerin derlenmesiyle mümkün olur.

Uygulamada, örneklemden elde edilen, verilerden hesaplanan örneklem ista-tistikleri yard›m›yla, ana kütle parametreleri hakk›nda bilgi üretilebilir.

Örnekleme, bir araflt›rma sürecinin bütün aflamalar›yla iç içelik gösteren enönemli aflamas›d›r ve araflt›rmac›lar›n vazgeçemedikleri önemli u¤rafllar›ndan biri-dir. Bu ünitede, öncelikle, örneklemenin temel kavramlar› üzerinde durulacak,uygulamada yayg›n olarak, neden örneklemeye baflvurulur, sorusu yan›tlanacak-t›r. Sonra da bir örnekleme sürecinde izlenecek aflamalar tan›t›lacakt›r. Daha son-ra olas›l›kl› olmayanla, olas›l›kl› örnekleme yöntemleri ve önemli türleri hakk›ndabilgi verilerek, ne tür bir örneklem seçilecektir sorusuna yan›t aranacakt›r. Seçilenörneklemler için, hesaplanan örneklem istatistikleri da¤›l›mlar›n›n özellikleriyle il-gili bilgiler verilecektir. Bu ünite, örneklemede hata kavram›na iliflkin aç›klamalar-la tamamlanm›fl olacakt›r.

TAMSAYIM VE ÖRNEKLEM

Tamsay›m ve örneklem kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.

Ulusal yay›n yapan ve habercilikte de iddial› bir TV kanal›n›n yöneticileri, ‹ç Ana-dolu bölgesinde, kanallar›n›n etkinli¤ini belirleyebilmek amac›yla, bir araflt›rmayap›lmas›n› kararlaflt›rm›flt›r. Konuyla ilgili öngörülen bütçe ve sonuçlar›n iki ayiçinde al›nmas› kofluluyla bir araflt›rma firmas›yla anlaflmaya var›lm›flt›r.

Araflt›rmay› üstlenen firma, s›n›rl› zaman ve parasal koflullar alt›nda, araflt›rma-y› gerçeklefltirebilmek için, nas›l bir yol izlemelidir?

‹lk akla gelen, bölgedeki tüm TV izleyicileriyle birebir görüflme yapmakt›r. An-cak, ne zaman, ne de öngörülen bütçe, genel olarak elveriflli olmaz.

Ancak bu ve benzeri sorunlar›n üstesinden, konuyla ilgili gelifltirirlen istatistik-sel teknikler yard›m›yla gelinebilir.

Araflt›rmalar›n pek ço¤undaki amaç, bir ana kütlenin parametreleri hakk›ndabilgi elde etmektir. Genifl anlam›yla ana kütle, bir araflt›rma için verilen tan›m çer-çevesinde yer alan bütün birimlerin oluflturdu¤u kümedir. Ana kütle bazan evrenolarak da isimlendirilir. Ana kütlenin özelliklerini belirleyen say›sal karakteristik-lere “parametre” ad› verilir. Parametre de¤erleriyse örne¤in, bir s›n›ftaki ö¤renci-lerin dönem ortalama baflar› puan›, belirli bir marka ürüne bir co¤rafi bölgede ba-¤›ml› olan tüketici oran› gibi say›lard›r. Ana kütle parametreleri hakk›ndaki bu tür-den bilgiler, tam say›m yap›larak ya da seçilen bir örneklemin incelenmesiyle el-de edilebilir. Tam say›m, sonlu bir ana kütlenin bütün birimlerinin incelenmesi yada say›lmas› ifllemidir.

Ünite 7 - Örnekleme 169

A M A �

1

Genifl anlamda ana kütle,bir araflt›rmada tan›mçerçevesinde yer alan tümbirimlerin oluflturdu¤ukümedir.

Ana kütlenin özelliklerinibelirleyen say›sal karakteristiklere, parametread› verilir.

‹s tat ist ik170

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 1

Tamsay›m genellikle küçük hacimli ana kütlelere uygulan›r. Bununla birlikte,büyük hacimli ana kütlelerde bütün birimlere ulaflabilmek olanakl›ysa ya daaraflt›rmada ana kütlenin bütün birimlerinden veri derlenmesi isteniyorsa, yinetamsay›m yap›l›r. Baflka bir ifadeyle, karfl›lafl›lan özel problemin çözümü içinmümkün bütün verilerin elde edilmesine gereksinim varsa ve bu mümkünse,tamsay›m yap›lmal›d›r.

Yeni bir ücret sisteminin uyguland›¤› 50 iflçisi olan bir iflletmede, iflçilerinbu yeni ücret sisteminden memnuniyetleri araflt›r›lmak istenmektedir.Tamsay›m yap›labilir mi?

Burada ana kütle hacmi N= 50 iflçiden oluflmaktad›r ve küçük hacimli bir ana küt-ledir. ‹flçilerin her birine ulaflmak ve onlardan memnuniyetleri konusunda veri el-de etmek kolayd›r. Bu nedenle tamsay›m yap›labilir.

Bir bankan›n flube müdürü genel müdürlükte yap›lacak bir toplant› için,flubesinin, toplant› öncesindeki son ifl günü itibariyle mevduat durumunailiflkin bilgiye ihtiyaç duymaktad›r. fiubenin 150.000 mevduat müflterisibulunmaktad›r. Ad› geçen flubenin yeterli bilgisayar donan›m›na sahip ol-du¤u ve mevduat hesaplar›na iliflkin bir veri taban›n›n da oldu¤u bilindi-¤ine göre, ihtiyaç duyulan bilgi, tamsay›m yap›larak elde edilebilir mi?

Ana kütle hacmi N = 150.000 müflteridir. Büyük hacimli bir ana kütledir. Ancakflubenin bilgisayar donan›m›na sahip olmas› ve mevduat hesaplar›yla ilgili veri-lerin veri taban›nda bulunmas› nedeniyle, ana kütle hacmi büyük bile olsa, çokk›sa zamanda gerekli bilginin elde edilmesi, baflka bir anlat›mla tamsay›m yap›l-mas› mümkündür.

Ana kütlenin ilgilenilen özelliklerini yans›tmas› amac›yla, ana kütleden belirliyöntemlerle seçilmifl birimlerin oluflturdu¤u toplulu¤a, örneklem ad› verilir. Birbaflka ifadeyle örneklem, ana kütlenin bir alt kümesidir.

26.000 ö¤rencisi bulunan bir üniversitede, ö¤rencilerin kendilerine sunu-lan hizmetleri yeterli bulup bulmad›klar›n› belirlemek amac›yla, bir arafl-t›rma planlanm›fl ve seçilen 500 ö¤renciden görüflleri al›nm›flt›r. Bu arafl-t›rmada ana kütle hacmi nedir, örneklem nedir, neden tamsay›mdan kaç›-n›lm›flt›r, aç›klay›n›z.

Ana kütle hacmi N = 26.000 ö¤rencidir. Büyük hacimli sonlu bir ana kütledir. 500ö¤renciden oluflan topluluk örneklemdir. 26.000 ö¤rencinin görüflüne bafl vur-mak, onlara ulaflmak gerçekte çok zaman al›r. Ö¤renciler her gün okula gelmeye-bilirler. Onlara ulaflmak mümkün olsa bile görüfllerini çeflitli nedenlerle bildirme-yebilirler. Bu nedenlerle tamsay›m oldukça zordur.

Bir fabrikada üretilen bisküvi paketlerinin, planlanan a¤›rl›kta üretilipüretilmedi¤inin araflt›r›lmas› amac›yla, üretilen paketler aras›ndan 250paket seçilmifltir. Bu araflt›rmada ana kütle ve örneklem nedir, belirtiniz.Ayr›ca tamsay›m›n yap›l›p yap›lamayaca¤›n› aç›klay›n›z.

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 2

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 3

Bir kütlenin ilgilenilenözelliklerini yans›tmas›amac›yla, sözü edilenkütleden belirli yöntemlerleseçilmifl birimlerinoluflturdu¤u toplulu¤aörneklem ad› verilir.

Ö R N E K 4

Tam say›m, sonlu birkütlenin tüm birimlerininsay›lmas› ifllemidir.

Ana kütle sonsuzdur. Aç›kt›r ki bu tür ana kütleler üzerinde tam say›m yap›lamaz,örnekleme zorunludur. Örneklem, 250 bisküvi paketinden oluflan topluluktur.

En iyi örneklem ana kütleyi iyi temsil eden örneklemdir. E¤er ilgilenilen özel-likler bak›m›ndan ana kütle ve örneklemdeki birimler benzer da¤›l›m gösteriyor-sa, oluflturulan örneklem ana kütle için temsili bir örnektir denir. Örne¤in, tan›m-lanan ana kütle hacmi 1000 kifli olsun, bunlar›n %50’si erkek ve erkeklerin de%30’u 60 yafl›n üzerinde oldu¤u varsay›ls›n. Bu ana kütleden 200 kiflilik bir örnek-lem seçilmifltir. Seçilen 200 kifliden oluflan bu örneklemin temsili olabilmesi için,200 kifliden %50’sinin erkek ve onlar›n da %30’unun 60 yafl›n üzerinde olmas›beklenir.

Örneklemler kendi bafllar›na bir anlam ifade etmezler. Onlar›n önemi, seçildik-leri ana kütleyi temsil etmedeki gücünde yatmaktad›r. Bunun bir ölçüsü de örnek-lem istatisti¤inin do¤ruluk ve güvenilirlik derecesidir.

Örneklemenin temel amac› temsili örneklem oluflturmakt›r. Örnekleme, tan›m-lanan ve ilgilenilen özellikleri bak›m›ndan, hakk›nda genellemelerin yap›lmas› dü-flünülen bir ana kütleden belirli yöntemlerle s›n›rl› say›da birimin seçilmesi, bu bi-rimlerden oluflan örneklemin ilgilenilen özellik (özellikler) aç›s›ndan incelenmesive gerekli istatistiklerin hesaplanmas› ve bu istatistiklerin ana kütle hakk›nda ge-nelleme yapmak amac›yla kullan›lmas› ifllemleridir. Bir baflka flekilde ifade etmekgerekirse örnekleme, örneklem’e dayanan bir araflt›rmay› planlama ve yönetmesürecidir. Bu sürecin aflamalar›yla ilgili bilgiler izleyen kesimlerdeki “örneklemesürecinin aflamalar›” bafll›¤› alt›nda verilmifltir.

1. Büyük hacimli ana kütlelere tamsay›m uygulanabilir mi?

2. Örneklemenin temel amac› nedir?

3. Tamsay›m›n yap›lamad›¤› durumlarda parametre de¤erleri hesaplanabilir mi?

ÖRNEKLEME YAPMAYI GEREKL‹ KILAN NEDENLER

‹statistiksel araflt›rmalarda, örneklemenin, tamsay›ma tercih edil-mesindeki nedenleri, kavrayarak aç›klayabileceksiniz.

Hakk›nda araflt›rma yap›lacak ana kütle sonsuz bir kütle oldu¤u zaman, tamsay›mimkans›z oldu¤u için ilgilenilen özelliklere iliflkin bilgi ancak bir örneklem yard›-m›yla elde edilebilir. Daha önce de de¤inildi¤i gibi ilgilenilen bu ana kütle sonlubir ana kütleyse, istenilen bilgi mümkünse, tamsay›m yap›larak, de¤ilse, yine uy-gun bir örneklem yard›m›yla elde edilebilir. Ancak, bir araflt›rma için gerekli olanbütün verileri derlemek mümkünse ve isteniyorsa aç›kt›r ki, örneklemeye ihtiyaçyoktur. Uygulamalarda, afla¤›daki nedenlerden dolay› örnekleme, tamsay›ma ter-cih edilmektedir.

Maliyet: Örnekleme bütçesi, örneklemi tamsay›ma tercih etmede en önemlibelirleyicidir. Örnekleme, tamsay›ma göre daha az maliyetle bilgi üretme imkan›sa¤lar.

Tamsay›m›n yap›l›p yap›lmayaca¤›na karar verilirken örnekleme bütçesi ,önem-li s›n›rlay›c›lardan biridir.

Ünite 7 - Örnekleme 171

ÇÖ

ZÜ

M

Bir örneklem yard›m›ylailglilenilen kütleye iliflkingenelleme yapma sürecine,örnekleme denir.

S IRA S ‹ZDE

A M A �

2

Belirli bir bölge için planlanan bir siyasi araflt›rmada, partilerin bugünküoy da¤›l›m› hakk›nda bilgi edinmek amaçlanm›fl olsun. Bu araflt›rmadakiana kütle, ilgili bölgedeki seçmen say›s›d›r. ‹stenen bilginin üretilmesiamac›yla, tamsay›m yapmaya karar verilirse, üstlenilmesi gereken mali-yet, bölgedeki genel seçim maliyetine eflde¤er olacakt›r. Ad› geçen bölgeiçin yap›lm›fl genel seçim harcamalar›na bak›ld›¤›nda, bunun bir araflt›r-mac› kifli ya da kurulufl taraf›ndan karfl›lanmas› oldukça zor görülmek-tedir. Kald› ki, genel seçimlerde bütün seçmenler oy kullanmamakta vekullan›lan baz› oylar da geçersiz say›lmaktad›r. Tamsay›m yapman›n im-kans›z ve maliyetli oldu¤u bu gibi durumlarda, en ak›lc› yol, ad› geçenaraflt›rma için uygun bir örneklemden yararlanmakt›r.

Öte yandan, e¤er ana kütle hacmi küçükse ve tamsay›m yapmak bütçe ola-naklar›yla da mümkünse, tamsay›m tercih edilmelidir. Burada dikkat edilmesi ge-reken nokta, tamsay›m yapma maliyeti elde edilecek bilginin de¤erinden küçükolmas› gere¤idir. Aksi durumda örneklemeye baflvurmak uygun olacakt›r.

Zaman: Bir araflt›rma sonunda ulafl›lacak bilgiye duyulan ihtiyac›n zaman s›-n›rlar›, tamsay›mla m› yoksa örneklemeyle mi yap›laca¤›na karar vermek, di¤erönemli bir etkendir. Örnekleme, tamsay›ma göre daha k›sa zamanda ve yeterli ay-r›nt›da bilgi elde etme olana¤› verir. Örneklemenin bu özelli¤i ve üstünlü¤ü bilgi-ye çok h›zl› gereksinim oldu¤u zaman bilhassa önemlidir.

Hem bir tamsay›mdan, hem de bir örneklemden elde edilecek bilgi için gerek-li olan zaman, bir alternatif maliyet de üstlenmeyi gerektirir. Çünkü; bilgi elde et-me süresine ba¤l› olarak verilecek karar›n, erken ya da geç oluflu, kazanç kadarkay›plara da neden olabilir.

Bilindi¤i gibi, seçmenlerin oy verme tercihleri üzerinde, pek çok faktörünetkisi bulunmaktad›r. Partilerin, bu günkü oy da¤›l›m›n› belirlemeye yö-nelik bir araflt›rma uzun bir zamana yay›l›rsa, seçmenlerin araflt›rmayabaflland›¤› günkü görüflleriyle, araflt›rman›n sonuçland›¤› zamandaki gö-rüflleri aras›nda baz› farklar oluflabilece¤inden, üretilen bilginin de¤eride giderek azalacakt›r.

Do¤ru Veri Elde Etme: Tamsay›m yap›lan araflt›rmalarda, örnekleme hatas›ifllenmez. Ancak, örneklemede hata kavram› bafll›¤› alt›nda, ileride aç›klanacakolan, örnekleme d›fl› baz› hatalar da söz konusu olabilir. Örneklemeye baflvurul-du¤u zaman, hem örnekleme hatalar› hem de örnekleme d›fl› hatalar ifllenmifl ola-bilir. Bu nedenle tamsay›m, örneklemden daha tutarl› veri elde etme imkan› verir.Ancak, tamsay›m yap›labilmesi için gerekli olan say›da ve istenen özelliklere sa-hip, veri derleme hatas› yapmayacak gözlemci ya da görüflmeci bulmak ya da ye-tifltirmek oldukça zor, hatta olanaks›zd›r. Bu nedenlerle örnekleme uygulama-lar›nda büyük önem tafl›maktad›r.

Örne¤e Giren Birimlerin Fiziksel Zarara U¤ramas›: Tan›mlanan ana kütle-de yer alan birimler, veri derlemek ya da ölçüm yapmak amac›yla fiziksel zararau¤rat›l›yorsa, aç›kt›r ki örneklemeye baflvurmak zorunludur. Örne¤in, bir savun-ma sanayii kuruluflunda, üretilen mermilerin içerisindeki hatal› mermi oran›n›nbelirlenmesi için yap›lacak bir araflt›rmada tam say›m benimsenirse, gerekli bilgi-lerin derlenmesi amac›yla üretilen tüm mermilerin teste tabi tutulmas› gerekir. Budurumda üretimin amac› gerçekleflmemifl olur. Bu anlams›z bir testtir. Bu gibi du-rumlarda örneklemeden yararlanmak kaç›n›lmaz olur.

‹s tat ist ik172

Ö R N E K 5

Ö R N E K 6

1. Tamsay›m yapmay› engelleyen nedenleri aç›klay›n›z.

2. Ana kütle hacmi küçük, parasal imkanlar›n yeterli oldu¤u bir araflt›rma için, tam sa-y›m m› yoksa uygun bir örneklem mi tercih edersiniz, aç›klay›n›z.

3. 35.000.000 seçmenin oldu¤u bir ülkede yap›lacak bir kamuoyu yoklamas› için, ör-nekleme mi ya da tam say›m m› yapars›n›z?

ÖRNEKLEME SÜREC‹N‹N AfiAMALARI

Bir örnekleme plan› sürecinin aflamalar›n› belirleyebileceksiniz.

Genel olarak örnekleme süreci alt› aflamadan oluflmaktad›r. Birbirleriyle ve biraraflt›rma sürecinin di¤er aflamalar›yla s›k› s›k›ya iliflki içinde olan bu aflamalar,afla¤›da ele al›nm›flt›r :

Ana Kütlenin Tan›mlanmas›Örnekleme süreci öncelikle ana kütlenin tan›mlanmas›yla bafllar ve bir araflt›rmasürecinde araflt›rmac›n›n ilk önce yapaca¤› ifllerden biridir.

Ana kütle, belirli bir tan›ma uyan ve hakk›nda bilgilerin üretilece¤i, ç›karsama-lar›n yap›laca¤› birimlerden, daha aç›k bir ifadeyle nesnelerden, olaylardan, ku-rumlardan ya da bireylerden oluflan topluluktur. Ana kütlenin, ayr›nt›l› bir biçim-de tan›mlanmas›yla, hangi birimlerin örneklemde yer alabilece¤i, hangilerinindeyer alamayaca¤› belirlenir.

Örneklemede, araflt›rman›n konusuyla ilgili verilerin derlendi¤i birimlere “göz-lem birimi” ad› verilir. Bu birimler ayn› zamanda örnekleme seçilen birimler deolabilir. Bu durumda gözlem birimiyle örnekleme birimi ayn› fleydir. Gözlem bi-rimlerine iliflkin örneklemeyle ilgili olarak izleyen paragraflarda tan›mlanacakolan bir çerçevenin temin edilemedi¤i ya da (bir çerçeve oluflturman›n çok mas-rafl› ve çok zaman alabilece¤i) durumlarda, örnekleme uygulamas›n› kolaylaflt›r-mak, zaman ve maliyet tasarrufu sa¤lamak gibi nedenlerle örnekleme birimi kav-ram›na kuramda yer verilir. K›saca, örnekleme giren birimlere örnekleme birimiad› verilir. Yeri gelmiflken vurgulamak gerekir ki örnekleme birimi birden fazlagözlem birimini kapsayacak flekilde de tan›mlanabilir.

Bir il merkezindeki tüketicilerin, bulafl›k deterjan› tercih nedenlerini be-lirlemek için bir araflt›rma planlanm›fl olsun. Araflt›rma, ilgili il merkezin-de, 18 yafl›n›n üstündeki bayanlar aras›ndan, bir örneklem seçilerek ger-çeklefltirilebilir. Bu durumda, gözlem birimi ve örnekleme birimi (ayn› bi-rim), 18 yafl›n üstündeki bayanlar olur. Alternatif olarak araflt›rma, hanehalklar›n› örnekleme birimi olarak tan›mlayarak da gerçeklefltirilebilir.Bu durumda, hane halklar› örnekleme birimi, seçilen hane halklar›ndaki18 yafl›n üstündeki bayanlarsa gözlem birimi olur. Son durumda örnekle-me birimi ve gözlem birimi ayn› de¤ildir. Öte yandan, ana kütleyi olufltu-ran birimler yer ve zaman bak›m›ndan da tan›mlanarak s›n›rland›r›labi-lir. Hangi co¤rafi s›n›rlar içindeki birimlerin ana kütle tan›m› içinde yeralaca¤›n›n belirlenmesine “yer bak›m›ndan s›n›rland›rma”, hangi zamannoktas›ndaki ya da aral›¤›ndaki birimlerin ana kütle tan›m› içinde yeralaca¤›n›n belirlenmesine de “ana kütlenin zaman bak›m›ndan s›n›rland›-r›lmas›” denir. Tüketicilerin bulafl›k deterjan› tercihini etkileyen nedenle-rin belirlenmesi konulu araflt›rmada sözü edilen il Eskiflehir ise, yer Es-kiflehir il merkezi olur. Araflt›rma May›s-2002 tarihinde yap›lacaksa za-man May›s-2002 olur.

Ünite 7 - Örnekleme 173

SIRA S ‹ZDE

A M A �

3

Örneklemede verilerin der-lendi¤i birimlere, “gözlembirimi” ad› verilir.

Ö R N E K 7

Bir araflt›rman›n amaçlar›na ulaflabilmesi için ana kütle tan›mlanmas›nda; aç›k-l›k, kesinlik, araflt›rma amac›na uygunluk ve uygulama güçlü¤ü yaratmamas› gibiilkelerin göz önünde tutulmas› gerekir.

Çerçevenin BelirlenmesiÖrneklem oluflturma sürecinin ikinci aflamas›, çerçevenin belirlenmesidir. Çerçe-ve, sonlu bir ana kütlenin bütün birimlerinin yer ald›¤› bir listedir. ‹dari bak›mdanuzun bir geçmifle sahip ülkelerde nüfus kay›tlar›, seçmen kütükleri, tapu ve sicilkay›tlar› ticaret ve sanayi odalar› üye listeleri, ekonomik büyüklüklere göre sana-yi kurulufllar›n›n s›ra listesi, telefon rehberi, ö¤renci kay›t listeleri v.b. çerçeve ola-rak kullan›labilecek araçlard›r.

Örneklemeye bafllamadan önce, amaca uygun bir çerçevenin var olup olmad›-¤›, yoksa, sa¤lan›p sa¤lanamayaca¤›, öncelikle araflt›r›lmal›d›r. Araflt›rmaya uygunbir çerçevenin var olmas› durumunda bu çerçevenin güncel olup olmad›¤›n›naraflt›r›lmas› da önemli bir konudur. Dikkat edilmelidir ki çerçeve olmadan ne tamsay›m ne de örnekleme yap›labilir.

Bir çerçeve yoksa ya da oluflturulam›yorsa bu durumda yeni bir çerçevenin ha-z›rlanmas› problemiyle karfl›lafl›l›r.Yeni bir çerçevenin haz›rlanmas›nda, çerçevemaliyeti ve kapsam hatas› özellikle göz önünde tutulmal›d›r. Bazen, tan›mlananana kütlenin baz› birimleri, çerçevede yer alamayaca¤› gibi, tan›mlanan ana küt-lenin d›fl›nda kalmas› gereken birimler de çerçevede yer alabilir ya da baz› birim-ler tekrarlanarak çerçevede yer alabilir. Böyle bir özellikteki çerçevenin kullan›l-mas›, çerçeve (kapsam) hatas›na neden olur. Uygulamada kabul edilebilir çerçe-ve hatas›, sa¤lad›¤› maliyet tasarrufuyla iliflkilendirilerek belirlenir.

Çerçeve, kabul edilebilir bir çerçeve hatas› düzeyinde, ana kütle birimlerininçok büyük bir k›sm›n› kapsamal›d›r. fiüphesiz amaç, ana kütle tan›m›nda yer alanbütün birimleri kapsamas›d›r.

Örnekleme Yönteminin SeçimiÖrnekleme girecek birimlerin belirlenmesine imkan veren yöntemlere, örneklemeyöntemleri denir. Örnekleme yöntemleri, örneklem için birim seçiminde uygula-n›lan usulün keyfi ya da rassal (tesadüfi) olufluna göre iki s›n›fa ayr›l›r. Birinci du-rumda olas›l›kl› olmayan örnekleme, ikinci durumdaysa olas›l›kl› örnekleme sözkonusu olur. Örnekleme yönteminin seçimiyle ilgili en önemli karar, bir örnekle-me plan›nda, ne tür bir örnekleme yöntemi (olas›l›kl›, olas›l›kl› olmayan) uygula-naca¤›d›r. Bu konu, izleyen bölümlerde, örnekleme yöntemleri bafll›¤› alt›nda, ay-r›nt›l› bir biçimde ele al›nacakt›r.

Örneklem Hacminin BelirlenmesiÖrneklem hacmi, örnekleme girecek birimlerin say›s›n› gösterir. Bu say›n›n neolaca¤›na iliflkin kesin yan›t vermek mümkün de¤ildir. Ancak, bu sorunun yan›t-lanabilmesi için, afla¤›da aç›klanan faktörlere iliflkin yap›lacak, nitel de¤erlendir-melere ve nicel yöntemlere baflvurulur.

‹s tat ist ik174

Sonlu bir ana kütlede tümbirimlerin yer ald›¤› listeye,çerçeve ad› verilir.

Nitel De¤erlendirmede Esas Olan Faktörler• Ana Kütlenin Homojenli¤i: Ele al›nan ana kütlenin ilgilenilen de¤ifl-

ken/özellik bak›m›ndan homojen ya da heterojen olmas› örneklem hacmi-nin belirlenmesine etki eder. E¤er ana kütlenin bütün birimleri ilgilenilende¤iflken itibar›yla ayn› de¤ere sahipse, bir birimin incelenmesi, amacaulaflmak için yeterlidir. Ancak heterojenlik artt›kça, ana kütleyi temsil ede-bilecek bir örneklem oluflturabilmek için, örneklem hacminin de giderekbüyümesi gerekir.

• Araflt›rmada Verilecek Karar›n Önemi: Önemli kararlar için olabildi¤in-ce çok ve ayr›nt›l› bilgiye gereksinim vard›r. Böyle durumlar, büyük ha-cimli bir örneklem üzerinden araflt›rma yapmay› gerekli k›lar. Ancak, ör-neklem hacmi artt›kça maliyet ve gereksinim duyulan zaman ve niteliklipersonel say›s› da artar. Burada dikkat edilmesi gereken husus, bir yandanküçük hacimli örneklem oluflturmak suretiyle, bu örneklemin ana kütleyitemsil etmesi bak›m›ndan yetersiz kalmas›n› engellemek, di¤er taraftan dagereksiz yere çok büyük hacimli örneklem seçerek, zaman ve maliyet yö-nünden kayba u¤ramamak için, uygun büyüklükte bir örneklem hacminibelirlemektir.

• Araflt›rman›n Yap›s›: Araflt›rman›n do¤as› da örneklem hacmi üzerindeetkilidir. Uygulamada genellikle nitel araflt›rmalarda küçük hacimli örnek-lemlerle, nicel araflt›rmalardaysa daha büyük hacimli örneklemlerle çal›fl›l›r.

• Benzer Çal›flmalarda Kullan›lan Örneklem Hacimleri: Örneklem hac-mi, benzer çal›flmalarda kullan›lan örneklem hacimlerinin ortalamalar›ndanyararlanarak da belirlenebilir. Özellikle, olas›l›kl› olmayan örnekleme yön-temleri kullan›ld›¤› zaman, bu tür yaklafl›m, örneklem hacmi konusundakabaca fikir verir.

• Kaynaklarla ‹lgili S›n›rlay›c›lar: Örneklem hacminin belirlenmesiyle ilgi-li karar, zaman ve parasal imkanlarla s›n›rl›d›r. Ancak veri derleme konusun-da iyi yetiflmifl eleman bulma hususu da bu ba¤lamda önemli s›n›rlay›c›d›r.

Nicel Yöntemler• Karfl›lanabilecek Maliyeti Esas Alan Yöntem: Örneklem hacmi n, arafl-

t›rma bütçesine ba¤l› olarak,

eflitli¤i ile hesaplan›r. Burada,C = Araflt›rma bütçesini,C0 = Araflt›rman›n sabit maliyetini, Ct = Örnekleme birimi için de¤iflken maliyeti gösterir.

Araflt›rma bütçesinin 2.200.000.000 TL. ile s›n›rl› oldu¤u bir araflt›rmada,sabit maliyet 800.000.000 TL. ve örnekleme seçilecek her örnekleme birimiiçin maliyet ise 5.000.000 TL. d›r. Bu bütçeyle oluflturulabilecek örneklemhacmi en fazla ne olabilir?

n = C – c0

Ct

Ünite 7 - Örnekleme 175

Ö R N E K 8

gözlem birimi olmal›d›r.

• Kabul Edilebilir Hata Düzeyini Esas Alan Yöntem: Örneklem istatisti¤i-nin da¤›l›m›n›n normal oldu¤u varsay›m› alt›nda bu yöntemle örneklemhacminin belirlenmesi için afla¤›daki eflitlikten yararlan›l›r.

Burada,z , Araflt›rmac› taraf›ndan belirlenen anlaml›l›k düzeyi (hata düzeyi) için stan-

dart normal da¤›l›m tablo de¤eri,

s2 , Ana kütle varyans›,

Araflt›rmac› taraf›ndan a anlaml›l›k düzeyi için belirlenen kabuledilebilir yan›lg› pay›n› gösterir. (Bu bir örneklem istatisti¤inin de¤eriyle ilgili pa-rametre de¤eri aras›ndaki mutlak fark olarak belirlenebilece¤i gibi, ilgilenilen pa-rametrenin oransal bir de¤eri olarak da ifade edilebilir.)

Örneklem hacminin yukar›daki eflitlikle hesaplanabilmesi için araflt›rmac›n›n aanlaml›l›k düzeyini ve h2 de¤erini belirlemesi ve ana kütle varyans› hakk›ndabilgiye sahip olmas› gerekir. Ana kütle varyans› genellikle bilinmez. Bu du-rumda, ile ilgili bilgi geçmifl y›llarda yap›lm›fl olan ayn› ya da benzer konuda-ki çal›flmalardan elde edilebilece¤i gibi, bir pilot çal›flmadan ya da en büyük de-¤erli gözlem de¤eri xmax ve en küçük de¤erli gözlem de¤eri xmin biliniyorsa ve xirassal de¤iflkeni normal da¤›l›yorsa, a = 0.01 için

tahminleyicisi kullan›larak da hesaplanabilir.

Bir araflt›rmac›, X ilinin merkez ilçesinde ikamet eden ailelerin ortalamaayl›k mutfak harcama tutar›n› tahminlemek istiyor. Ayr›ca bu tahminle-mede 0.05 anlaml›l›k düzeyinde en fazla 10 milyon TL’lik bir yan›lg› pay›amaçl›yor. Örneklem hacmi ne olmal›d›r? Benzer amaçla bu il merkezin-de yap›lan araflt›rmalardan ailelerin ayl›k mutfak giderleriyle ilgili stan-dart sapman›n 30 milyon TL oldu¤u ö¤renilmifltir.

a = 0.05s = 30 milyon TL.z0.05 = 1.96

= 10 milyon TL’dir. Bu verilerden hareketle

olarak elde edilir.

n =1.96 2 . 30 2

10 2 = 34 aile

h = z . sx

s = xmax - xmin

6

s2s2

s2

h = z . sx

n = z2 s2

h2

n = C – c0

Ct 2200.000.000 – 800.000.000

5.000.000 = 280 a

‹s tat ist ik176

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 9

ÇÖ

ZÜ

M

Örneklemin SeçimiÖrnekleme sürecinin bu son aflamas›nda, örnekleme girecek birimler seçilerek,veri derlenir. Bu, uygun özellikte büro ve çal›flma ortam›yla nitelikli ifl görenlerinteminini gerektirir. Önceki aflamalarda al›nan yanl›fl kararlar ve dikkatsizlikler buaflamada büyük sorunlar›n yaflanmas›na neden olur.

1. Örnekleme sürecinin aflamalar›n› s›ralay›n›z.

2. Anadolu Üniversitesi’nin Aç›kö¤retim Fakülteleri’ne kay›tl› olan ö¤rencilere iliflkinyap›lacak bir araflt›rmada, anakütle nedir?

3. Aç›kö¤retim Fakülteleri ö¤rencilerine iliflkin çerçeve bulunabilir mi, bulunabilirsegüncel midir? Aç›klay›n›z.

ÖRNEKLEME YÖNTEMLER‹

Örnekleme yöntemlerini s›n›fland›rabileceksiniz.

Örnekleme yöntemlerini olas›l›kl› olmayan ve olas›l›kl› yöntemler fleklinde s›n›flan-d›r›labilecek ve bu yöntemlerin önemli türleri hakk›nda bilgi sahibi olacaks›n›z.

Olas›l›kl› Olmayan Örnekleme YöntemleriAraflt›rmay› planlayan ya da (örnekleme uygulamas›n› yapan) kifli yada grubun is-tekleri ve de¤er yarg›lar›, örnekleme seçilecek birimlerin ve örneklem hacmininbelirlenmesinde etkili oluyorsa, yap›lan örneklemeye “olas›l›kl› olmayan örnekle-me” denir.

Olas›l›kl› olmayan örnekleme, örneklem için birim seçiminde, keyfi seçim usu-lünün uyguland›¤› örneklemedir. Örneklem oluflturulurken, tan›mlanan ana kütle-yi oluflturan birimler aras›nda fark gözetilir ve bütün birimlere, bilinen bir olas›l›k-la seçilme flans› verilmezse, söz konusu olan seçim, keyfi seçimdir.

Temsili örneklem oluflturma bak›m›ndan olas›l›kl› olmayan örnekleme yönte-minin baflar›s›, örnekleme uygulamas›n› yürüten kifli ya da grubun araflt›rma ko-nusuyla ilgili deneyimine, tan›mlanan ana kütlenin özellikleri hakk›ndaki öncülbilgilerine ve bu ana kütlenin ilgilenilen özellik ya da özellikler bak›m›ndan ho-mojenli¤ine ba¤l›d›r.

Sosyal araflt›rmalarda s›kça kullan›lan olas›l›kl› olmayan örnekleme yöntemle-rinden baz›lar› afla¤›da ele al›nm›flt›r.

Kolayda ÖrneklemeBu örneklemede amaç, kolayca ulafl›labilir birimlerin seçilmesiyle örnekleminoluflturulmas›d›r. Örne¤in; uygun görülen sokaktan, uygun görülen zamanda ge-lip geçen bireylerle görüflme yap›lmas› ya da bir konferansa kat›lan belirli say›da-ki kat›l›mc›dan araflt›rma konusuyla ilgili görüfllerinin al›nmas›, birer kolayda ör-nekleme uygulamas›d›r.

En k›sa zamanda ve en az maliyetle bilgi üretilmesine ihtiyaç duyuldu¤u du-rumlarda kolayda örnekleme yöntemi bir seçenektir.

Bu örnekleme yönteminde en önemli sorun, seçilen örneklemin ilgili ana küt-leyi ne kadar temsil edebildi¤idir. Betimleyici ve iliflki araflt›r›c› araflt›rmalarda ko-layda örnekleme uygun bir yöntem de¤ildir.

Ünite 7 - Örnekleme 177

SIRA S ‹ZDE

A M A �

4

Yarg›sal ÖrneklemeBu örnekleme de bir tür kolayda örneklemedir. Yarg›sal örnekleme, örnekleminaraflt›rmac›n›n ya da örneklemecinin kiflisel arzu, düflünce ve deneyimlerine göreseçilmifl oldu¤u örneklemedir. Bu yöntemin kolayda örneklemeden fark›, örnek-lem seçimi için araflt›rmac›n›n belirli ölçütler belirlemesi ve bu ölçütlerin temsilibir örneklem oluflturacak ölçütler oldu¤una inan›yor olmas›d›r. Kolayda örnekle-mede oldu¤u gibi bu örneklemede de örnekleme birimlerine kolayca ulafl›labilirve verilerin çok h›zl› biçimde derlenmesi mümkün olur. Bir A üniversitesinin so-runlar›n› araflt›rmak amac›yla bu üniversitenin üst düzey yöneticilerinin örnekle-me seçilmesi yarg›sal örnekleme için bir örnektir. Çünkü üniversite üst düzey yö-neticilerinin bu araflt›rma için temsili bir örneklem olaca¤› düflünülebilir.

Yarg›sal örnekleme, pazarlama araflt›rmas›nda, kamuoyu araflt›rmalar›nda vebiyolojik araflt›rmalarda yayg›n olarak kullan›lmaktad›r.

Kota ÖrneklemesiÖrneklem için birim seçiminin keyfi olarak yap›ld›¤› yöntemlerden biri de kotaörneklemesidir. Bu yöntemin baflar›yla uygulanabilmesi için tan›mlanan ana küt-leye iliflkin bir çerçevenin var olmas›, ilgili ana kütle hakk›nda öncül bilgiye sahipolunmas›, ana kütlenin tabakalara bölünebilmesi ve tabaka hacimlerinin bilinme-si gerekir.

Kota örneklemesi sürecinde aflamalar afla¤›daki gibidir :• Ana kütle hacmi N ve tabaka hacimleri Nh, (h = 1, 2, ...) belirlenir.• Örneklem hacmi n keyfi olarak belirlenir.

• Her tabakan›n, ana kütle hacmi içindeki oran› belirlenir.

• Her tabakadan keyfi seçimle say›da birim seçilir ve bu seçilen

birimler örneklemi oluflturur.

Anadolu Üniversitesi yönetimi, verdi¤i aç›kö¤retim hizmetlerinden mem-nun olan ö¤rencilerinin oran›n› belirlemek amac›yla bir araflt›rma planla-m›flt›r. Bu araflt›rmay› gerçeklefltirecek grup araflt›rmay›, kota örnekle-mesi uygulamak suretiyle tamamlamay› düflünmektedir.

Cinsiyet tabakalama kriterine göre ö¤rencilere iliflkin bilgiler;

N = 600.000 Ana kütle hacmi.NE = 400.000 Erkek ö¤renci hacmiNK = 200.000 K›z ö¤renci hacmin = 3000 Örneklem hacmi

Erkek ö¤renciler tabakas›ndan (nE) seçilecek ö¤renci hacmi;

olarak bulunur.Benzer hesaplama k›z ö¤renciler tabakas› için de yap›l›rsa nK =1000 ö¤rencibulunur.Erkek ve k›z ö¤renci tabakalar›ndan s›ras›yla 2000 ve 1000 ö¤renci keyfi seçimleseçmek suretiyle n = 2000 +1000 hacimli örneklem seçilmifl olur. Bu örneklem üzerinden ilgili veriler derlenir ve istenilen bilgi üretilir.

nE =NEN

. n = 400.000600.000

. 3000 = 2000 ö¤renci

nh = Nh

N . n

NhN

‹s tat ist ik178

Ö R N E K 1 0

ÇÖ

ZÜ

M

Kartopu ÖrneklemesiKartopu örneklemesi, özellikle bir çerçevenin mevcut olmamas› ya da oluflturul-mas›n›n imkans›z oldu¤u durumlarda, faydal› bir örneklemedir. Bu yöntemde, ör-nekleme süreci tan›mlanan evrende yer alan bir bireyin, genellikle rassal olarakseçilmesiyle bafllar. Belirlenen bu birey örneklemeye giren birinci birimdir. Bu bi-reyle ayn› ana kütle tan›m›nda yer alan tan›d›¤› bir bireyin olup olmad›¤› araflt›r›-l›r. Varsa, bu bireye ulafl›l›r. Böylece örneklemde yer alacak olan ikinci birim be-lirlenmifl olur. Bu süreç keyfi olarak belirlenen n hacimli örneklem oluflturulunca-ya kadar sürdürülür.

Bir bölgedeki uyuflturucu madde kullananlar üzerinde bir araflt›rma ya-p›lacak olsun. Bu bölgede uyuflturucu kullananlarla ilgili bir liste bulmakmümkün de¤ildir. Bölgeye gidilir, ya bir ya da iki uyuflturucu kullanan ta-n›mlanabilirse, kartopu örnekleme süreci bafllar. Örnekleme seçilmifl olanbu kifli ya da kiflilere uyuflturucu kullanan arkadafllar›n›n ya da tan›d›k-lar›n›n olup olmad›¤› sorulur. Varsa adresleri ö¤renilir. Bu kiflilere ulafl›-l›r ve bunlar da örnekleme seçilirler. Bu süreç, keyfi olarak belirlenen nhacimli örneklem oluflturuluncaya kadar sürdürülür.

Çete üyeleri ve bir ülkeye yasal olmayan yollarla girmifl olan kiflilerle ilgiliaraflt›rmalarda da kartopu örneklemesi uygulan›r. Kartopu örneklemesi endüstri-yel ürün alan ve satanlar hakk›nda yap›lacak araflt›rmalarda da kullan›labilir. Buyöntem uyguland›¤›nda temsili örneklem oluflturmak olanakl›d›r. Kartopu örnek-lemesinin örneklem oluflturma maliyeti ve örneklem varyans› düflüktür.

Tüm olas›l›kl› olmayan örnekleme yöntemlerinde, örne¤e girecek birimlerinseçiminin keyfi olmas›, tek yönlü hatalara (sistematik hatalara) neden olur. Bu türhatalardan kaç›nmak için, izleyen paragraflarda ele al›nacak olan olas›l›kl› örnek-leme yöntemleri kullan›l›r.

Olas›l›kl› Örnekleme YöntemleriRassal örnekleme yöntemleri olarak da an›lan bu yöntemler, örnekleme planlar›n-da yayg›n olarak uygulan›r. Bu tür örneklemede, örnekleme girecek birimlerin se-çimi rassal olarak yap›l›r. Rassal seçim, ana kütleden, örnekleme girecek birimle-ri seçerken, herhangi bir ayr›cal›¤›n uygulanmad›¤› seçimdir. Rassal seçim yapmaimkan› veren çeflitli seçim uygulamalar› bulunmaktad›r. Bunlar, kura usulü, rassalsay›lar tablosu, rassal say› türeten bilgisayar programlar› ve sistematik seçim ola-rak say›labilir.

Rassal seçim için kura usulü uygulamas›nda önce, oluflturulan çerçevedeki bü-tün birimlere numara verilir. Sonra bu numaralar fifllere yaz›l›r ve bir torbaya at›-l›r. Fifller iyice kar›flt›r›ld›ktan sonra, çekilen fifl torbaya iade edilmeksizin (ya daiade edilerek) n tane fifl seçilir. Ç›kan fifllerdeki numaralara karfl› gelen birimler,rassal örneklemi oluflturur. Rassal seçim uygulamalar› için kullan›lan rassal say›lartablosu ve rassal say› türeten bilgisayar programlar› kura usulüyle seçimin güçlük-lerini ortadan kald›ran rassal seçim araçlar›d›r. Bu araçlar›n birim seçim sürecindenas›l kullan›laca¤›na de¤inilmemifltir.

E¤er rassal seçim için, sistematik seçim uygun görülürse, afla¤›daki aflamalarizlenir:

• k = N/n oran› hesaplan›r. Bu oran “büyütme faktörü” olarak isimlendirilir. • 1,2, ..... ,k adet say› aras›ndan rassal olarak bir say› çekilir. Çekilen say› a

ile gösterilsin. a, örnekleme girecek birinci birimin s›ra numaras›n› gösterir.

Ünite 7 - Örnekleme 179

Ö R N E K 1 1

• a’›nc›, a+k’›nc›, a+2k'›nc›, ...... ,a+(n-1)k’›nc› s›ra nolu birimlerin seçilmesiy-le n hacimli örneklem oluflturulur.

Hem kura usulü seçimde, hem de sistematik seçimde, seçilecek bir birimin be-lirlenen n hacimli örneklemde yer almas› olas›l›klar› ayn› (n/N) olmas›na ra¤men;olas› örneklemlerden birinin incelenen örneklem olma olas›l›klar› farkl›d›r. Buolas›l›klar s›ras›yla ve 1/k’ d›r.

Rassal seçim ve rassal seçim usullerini aç›klad›ktan sonra, olas›l›kl› örneklemetan›m›n› yapmak kolaylaflmaktad›r. En basit tan›m›yla, örneklem için birim seçi-minde rassal seçimin uyguland›¤› yöntemlere “olas›l›kl› örnekleme yöntemleri”ad› verilir. Genifl anlam›yla olas›l›kl› örnekleme, ilgili ana kütledeki her örnekle-me birimine hesaplanabilir ve s›f›rdan farkl› bir olas›l›kla seçilme imkan› veren ör-neklemedir. Tan›mda belirtilen özelliklere sahip örneklemse “olas›l›kl› örneklem”olarak isimlendirilir.

Olas›l›kl› örneklemenin üç önemli üstünlü¤ü vard›r :• Örneklemden elde edilen verilerden hesaplanan istatistikler, ana kütle pa-

rametreleri hakk›nda genelleme yapmak amac›yla kullan›labilir. • Örnekleme hatas›n›n büyüklü¤ü hakk›nda bilgi elde edilebilir.• Keyfi seçimde söz konusu olabilecek yanl›l›k (sistematik hata) giderilmifl

olur. Olas›l›kl› örneklem oluflturma prensibi esas olmak üzere, uygulamada ya birim

seçim ifllemini kolaylaflt›rmak ya da ana kütleyi temsil edecek daha iyi bir örnek-lemin oluflturulmas›n› sa¤lamak üzere, çeflitli örnekleme yöntemleri gelifltirilmifltir.‹zleyen kesimlerde, uygulamada en çok kullan›lan olas›l›kl› örnekleme yöntemle-ri aç›klanacakt›r.

Basit Rassal ÖrneklemeÖrnekleme planlar›nda, örnekleme girecek birimlerin seçiminde, rassal seçiminkolayl›kla uygulanabilece¤i olas›l›kl› örnekleme yöntemi, basit rassal örneklemedir.

Basit rassal örnekleme, hacmi N olan sonlu bir ana kütleden, birbirinden fark-l› ve n hacimli oluflturulabilecek say›daki olas› örneklemlerin her birine, ince-lenecek örneklem olmas› bak›m›ndan eflit flans tan›yan örnekleme yöntemidir. Butan›mda belirtilen özellikleri tafl›yan say›daki örneklemlerin her birine, “basitrassal örneklem” denir. Bu örnekleme yöntemi, ana kütledeki bütün birimlere,hacmi n olarak belirlenen örnekleme girmeleri bak›m›ndan, bilinen ve birbirineeflit (n/N) seçilme olas› sa¤lar.

Uygulamalarda, basit rassal örneklemin seçimi için afla¤›daki süreç izlenir:• Güncel çerçeve temin edilir ya da haz›rlan›r. Seçilecek örneklemin temsili

olabilmesi için, çerçevenin güncel olmas› çok önemlidir. • Örneklem hacmi belirlenir. • Çerçevede yer alan N say›daki birime, onlar› tan›mlay›c› numara ya da ifla-

ret verilir. • Ana kütledeki her birime eflit, 1/N seçilme flans› vermek suretiyle, örnekle-

me girecek birinci birim seçilir. Seçim için kura usulü, rassal say›lar tablo-su ya da rassal say› türeten bilgisayar programlar› kullan›l›r.

• Geriye kalan N-1 birimin her birine eflit flans vermek suretiyle ikinci birimseçilir.

• Bu birim seçim süreci, n hacimli örneklem seçilinceye kadar tekrarlan›r.

C

N n

C

N n

1/C

N n

‹s tat ist ik180

Aç›klanan seçim sürecinde, her çekiliflte seçilen birim incelendikten sonra, anakütleye iade edilmedi¤i için, bu seçim sürecine “iadesiz rassal seçim süreci” ad›verilir. E¤er, basit rassal örnekleme planlar›nda, önceki çekiliflte seçilen birim, in-celendikten sonra ana kütleye iade ediliyorsa, baflka bir ifadeyle, birimler tekrartekrar seçilme flans›na sahipse, bu seçim sürecine “iadeli rassal seçim süreci” ad›verilir. ‹adeli rassal seçim sürecinde, ana kütle hacmi çekiliflten çekilifle de¤iflmez.

Sonlu bir ana kütleden iadeli çekiliflle bir basit rassal örneklem seçilirse, son-suz ana kütleden basit rassal örnekleme yap›yormufl gibi bir anlam ifade eder.Bu çekilifl sürecinde ana kütlenin her birimi, yap›lacak çekilifllerin her birindebirbirine eflittir, 1/N olan seçilme olas›l›¤›na sahiptir ve birbirini izleyen çekilifllerba¤›ms›zd›r.

Sonlu ana kütlelerde, kütle hacminin büyük ya da küçük oluflu, iadeli ve iade-siz seçim için önemli farkl›l›klar gösterir. Ana kütle hacmi büyük, örneklem oran›(n/N) çok küçük oldu¤u zaman, iadeli ve iadesiz örneklemler benzer özellik gös-terirler. Çünkü; iadeli çekilifl uyguland›¤›nda, önceki çekilifllerde seçilmifl olan birbirimin yeniden örnekleme seçilmesi olas›l›¤› çok küçüktür. Ancak, ana kütle hac-mi küçükse, iadeli ve iadesiz rassal çekiliflle oluflturulan ayn› hacimli örneklemleriçin hesaplanan örneklem istatistikleriyle ana kütle parametreleri karfl›laflt›r›l›rsa,iadesiz basit rassal çekiliflle oluflturulan örneklem, iadeli olana göre daha az ha-tayla tahminleme imkan› sa¤lar. Bu özellik nedeniyle de iadesiz rassal çekilifl, uy-gulamada genellikle baflvurulan yöntem olmaktad›r.

Araflt›rmalarda ilgilenilen özellik aç›s›ndan, ana kütlenin homojen olmas› du-rumunda, basit rassal örnekleme, tercih edilmesi gereken bir yöntemdir.

Örnekleme planlar›nda, basit rassal örnekleme yönteminin tercihini etkileyenönemli s›n›rlay›c›lar vard›r. Bunlardan birincisi, güncel bir çerçeve oluflturmak yada haz›rlamak oldukça zordur. ‹kincisi, tan›mlanan ana kütlenin birimleri genifl birco¤rafik alana yay›lm›flsa, basit rassal örnekleme uygulamas› çok zaman al›r veveri derleme maliyeti giderek artar. Üçüncüsü, e¤er tan›mlanan ana kütle homo-jen de¤ilse, basit rassal örneklem sonuçlar›n›n baflar›s› di¤er olas›l›kl› örneklemeyöntemleri sonuçlar›n›n baflar›s›ndan düflüktür.

Tabakal› Örnekleme Örnekleme planlar›nda amaç, ana kütleyi, ilgilenilen de¤iflken(ler) aç›s›ndan eniyi temsil edebilecek örneklemi oluflturmakt›r. Baflka bir anlat›mla, ana kütle pa-rametre tahminine iliflkin varyans›n, olabildi¤ince küçük olmas›n› sa¤lamakt›r.Üzerinde araflt›rma yap›lacak ana kütle, ilgilenilen de¤iflken(ler) yönünden hete-rojen oldu¤unda, bu imkan› veren örnekleme yöntemi tabakal› örnekleme yönte-midir.

Tabakal› örnekleme dört aflamal› bir süreçtir. Bu aflamalar afla¤›daki gibis›ralanabilir:

• Öncelikle, incelenecek özellikler aç›s›ndan önemli farkl›l›klar gösteren Nhacimli bir ana kütlenin birimlerini, birbirine daha çok benzeyen birimler-den oluflacak alt kütlelere, baflka bir ifadeyle, tabakalara ay›rmada kullan›-lacak, tabakalama de¤iflkenleri belirlenmelidir. Burada dikkat edilmesi ge-reken nokta, tabakalama de¤iflkenleri seçilirken, seçilecek de¤iflkenlerin,bir tabakadaki birimlerinin olabildi¤ince homojen, farkl› tabakalardaki bi-rimlerinin de olabildi¤ince heterojen olmas›n› sa¤layarak, ayn› zamanda,uygulama ve ölçme kolayl›¤› da yaratmak suretiyle maliyeti artt›rmadan,tahminleme hatas›n› azaltmas› gere¤idir. Tabakalama amac›yla kullan›labi-

Ünite 7 - Örnekleme 181

lecek de¤iflkenlere, demografik özellik, tüketici türü, sosyoekonomik s›n›f,meslek grubu, firma büyüklü¤ü, co¤rafik yerleflim yeri vb. örnek olarakgösterilebilir.

• Belirlenen tabakalama de¤iflkeni itibariyle, N hacimli bir ana kütle daha ho-mojen L say›da ve hacimleri N1 , N2 , ... , NL olan alt tabakalara ayr›l›r. Buaflamada önemli olan, tan›mlanan ana kütledeki her bir birimin yaln›z birtabakaya ait olmas› ve hiçbir birimin aç›kta kalmamas›n›n sa¤lanmas›d›r.Baflka bir ifadeyle,

olmal›d›r. Tabaka say›s› L artt›kça tabakalar›n homojenli¤i de artaca¤›ndan tabaka var-yanslar› giderek küçülecek ve buna ba¤l› olarak da tahminlerin güvenilirli-¤i giderek artacakt›r. Tabaka say›s›n›n artmas› maliyetleri yükseltir ve uygu-lama zorlu¤u yarat›r. Bu nedenlerle tabaka say›s› L belirlenirken tabaka sa-y›s›n›n yarataca¤› maliyet, uygulama zorlu¤u ve elde edilecek tahminleringüvenilirli¤i birlikte de¤erlendirilmelidir. Deneyimler ve uygulamalar, taba-ka say›s›n›n alt›dan fazla olmamas›n›, ço¤u zaman iki ya da üç tabakan›nyeterli olabilece¤ini göstermektedir.

• Her tabakadan basit rassal seçimle s›ras›yla n1 , n2 , ... , nL hacimli alt ör-neklemler oluflturulur. Alt örneklem hacimleri toplam›, örneklem hacmineeflittir. Baflka bir ifadeyle, n örneklem hacmini göstermek üzere,

n =

olmal›d›r. • Nihayet, oluflturulan alt örneklem birimleri üzerinden derlenen bilgiler kul-

lan›larak, araflt›rma amaçlar› için gerekli olan istatistikler hesaplan›r ve buistatistiklere dayanarak, istatistiksel ç›karsamalar yap›l›r.

Daha önce de vurguland›¤› gibi, tabakalar içi homojenlik artt›kça tabakalar içivaryanslar küçülür. Bu da ilgili ana kütle parametre tahminleyicisinin varyans›n›küçültür. Bu sonuca göre, heterojen kütlelerde ayn› örneklem hacmi için basitrassal örnekleme uygulamas›n›n örnekleme hatas›, tabakal› örneklemenin örnek-leme hatas›ndan büyük olur. Baflka bir deyiflle, heterojen evrenler için tabakal› ör-nekleme yöntemi daha etkindir.

Tabakal› örneklemenin di¤er bir üstünlü¤ü, ilgilenilen ana kütlenin yan› s›ra,her tabaka için de ayr› bilgi elde etme olana¤› sa¤lamas›d›r. Uygulamada ana küt-leye göre tabakalar için çerçeve oluflturmak daha kolay olabilir. Ancak sa¤lad›¤›bu kolayl›klara ra¤men, tabakal› örneklemenin baz› güçlükleri de vard›r. Öncelik-le tabakal› örnekleme uygulamas› için, tabaka hacimleri ve bunlar›n toplam› olanana kütle hacminin bilinmesi gerekir. Bunu kolayca belirlemek her zaman müm-kün olamamaktad›r. Ayr›ca ilgilenilen ana kütlenin homojen olup olmad›¤›n›n tes-pit edilebilmesi için de bu ana kütle hakk›nda pek çok öncül bilgiye de gereksi-nim vard›r.

n1 + n2 + ... + nL = ×h = 1

Lnh

N1 + N2 + ... + NL = ×h = 1

LNh = N

‹s tat ist ik182

Sistematik Örnekleme Örneklem için birim seçiminin afla¤›da ele al›nan bir sistemati¤e uygun olarak ya-p›ld›¤› örnekleme sürecine sistematik örnekleme ad› verilir. Bu yöntemin s›n›rla-y›c›lar›, ilgili ana kütleye iliflkin bir çerçevenin var olmas› ve birimlerin do¤al birs›raya sahip olmas›d›r.

Bir sistematik örneklem oluflturma sürecinde flu aflamalar izlenir:• Ana kütledeki birimler 1’den N’e kadar numaraland›r›l›r. • Araflt›rma için yeterli olacak örneklem hacmi (n) belirlenir. • (k=N/n) örneklem aral›¤› belirlenir. • 1 ile k aras›nda bir tam say› rassal olarak seçilir. Bu say› a ile gösterilirse, a

örnekleme girecek birinci birimin s›ra numaras› olur. • a’›nc› birimi k aral›klar›yla izleyen a+k’›nc›, a+2k’›nc›, ....., a+(n-1) k’›nc›

s›ra nolu birimler örnekleme seçilir ve n hacimli sistematik örneklemoluflturulur.

• Oluflturulan örneklemden elde edilen veriler kullan›larak ilgilenilen istatis-tikler hesaplan›r.

Sistematik örnekleme yönteminde bir birimin seçilecek n hacimli örneklemdeyer almas› olas›l›¤›, basit rassal örneklemede oldu¤u gibi (n/N)’dir.

Sistematik örnekleme, önceki rassal örnekleme yöntemlerine göre daha az ma-liyetli ve daha kolayd›r.

Öte yandan, ilgili ana kütleye iliflkin çerçevenin yap›s› hakk›nda bilgi sahibi ol-maks›z›n da sistematik örnekleme uygulanabilir. Bu durumda, ana kütle birimle-rinin do¤al bir s›raya sahip olmas› gerekir. Örne¤in; bir süper marketten ayr›lanher k’›nc› müflteriyle görüflme yap›larak yürütülen araflt›rmalar gibi.

Çerçevenin do¤al yap›s›nda tekrarlamalar varsa, sistematik örnekleme kullan›l-mamal›d›r. Örne¤in; veriler ayl›k olarak düzenlenmifl ve k = 12 al›nm›flsa, bu du-rumda her y›l›n ayn› ay› örnekleme girece¤inden, bu tür bir uygulama tek yönlühatalara neden olabilir.

Küme ÖrneklemesiBu örnekleme yöntemi, ana kütle hacminin çok büyük, birimlerin genifl bir co¤-rafik alana yay›lm›fl olmas› ya da örnekleme girecek birimlere iliflkin bir çerçeveoluflturman›n mümkün olmad›¤› zaman tercih edilmesi gereken bir yöntemdir. Buteknikte seçim, kümeler aras›ndan yap›l›r.

Küme örneklemesi sürecinde afla¤›daki aflamalar izlenilir:• ‹lgili ana kütledeki birimler (e¤er mümkünse) co¤rafik bir ölçüte göre kü-

melere ayr›l›r. Kümeler, okullar, üniversiteler, flehirler, devletler gibi do¤alolarak var olan birimlerden oluflur.

• Kümeler aras›ndan rassal olarak belirli say›da küme seçilir. • Seçilen kümelerdeki birimler üzerinden veri derlenir. Seçilen kümelerdeki

birimlerin say›s›, örneklem hacmini gösterir. Kümeleme örneklemesi, kümelemenin ve örneklemenin herhangi bir aflamada

yap›lmas› fleklinde de uygulanabilir. Bu tür küme örneklemesine “aflamal› kümeörneklemesi” ad› verilir.

Ünite 7 - Örnekleme 183

60 mahallesi olan bir il merkezinde partilerin seçim öncesindeki oy da¤›-l›m› araflt›r›lacak olsun. Araflt›rmac› her mahalledeki seçmenleri birerküme olarak tan›mlar, mahalleler aras›ndan rassal olarak mahalle seçerve seçilen mahallelerden de yine rassal olarak belirli say›da sokak seçer-se ve seçilen sokaklardaki bütün seçmenleri incelemeye al›rsa iki aflama-l› küme örneklemesi uygulam›fl olur. Rassal seçim aflama say›s›, benzer flekilde artt›r›ld›¤›nda, çok aflamal›küme örneklemesi uygulanm›fl olur.

1. Örnekleme yöntemlerini s›n›fland›r›n›z.

2. Olas›l›kl› örneklemeyle olas›l›kl› olmayan örnekleme aras›ndaki temel farkl›l›k ne-dir, aç›klay›n›z.

3. Sistematik örneklemede örnekleme girecek birimler nas›l seçilir, aç›klay›n›z.

ÖRNEKLEME DA⁄ILIMI

Örnekleme da¤›l›m› kavram›n› aç›klayabileceksiniz.

Buraya kadar yap›lan aç›klamalarda, bir istatistiksel araflt›rmada önemli amaçlar-dan birinin de ele al›nan ana kütlenin ilgilenilen özelliklerini belirlemek oldu¤u,tamsay›m›n mümkün olmad›¤› durumlardaysa bunun uygun bir örneklem yard›-m›yla nas›l gerçeklefltirilebilece¤i ve uygun örnekleminde nas›l seçilebilece¤i ko-nular› ele al›nd›.

Daha önce de de¤inildi¤i gibi, bir ana kütleye iliflkin say›sal karakteristiklereparametre ad› verilir ve bir parametre genel olarak q simgesiyle gösterilir. Dahaaç›k bir anlat›mla, parametre tam say›mla elde edilen x1 , x2 , ... , xN ölçümleri-nin kullan›lmas›yla hesaplanan ve ana kütle hakk›nda bilgi üreten say›sal karak-teristiklerin genel ad›d›r. Tamsay›m›n yap›lamad›¤› durumlarda hesaplanamayanq parametresine iliflkin bilgi, q’ya iliflkin bilgi üreten örneklem istatistiklerindenyararlan›larak elde edilebilir. Örneklem istatistikleri genel olarak simgesiylegösterilir. Örneklem istatisti¤i ya da sadece istatistik, rassal olarak seçilen n hacim-li örneklemden elde edilen x1 , x2 , ... , xN gözlem de¤erlerinin kullan›lmas›ylahesaplanan, say›sal karakteristiklerin genel ad›d›r.

Örnekleme sürecinde rassal olarak seçilen n hacimli bir örneklem için hesap-lanan istatistikler, bafllang›çta kendi bafl›na bir anlam ifade etmezler ve sadece aitolduklar› örneklem için bilgi niteli¤indedirler. Çünkü incelenen bu n hacimli ör-neklem birbirinden farkl› ayn› hacimli mümkün örneklemlerden sadece biridir veher mümkün farkl› örneklem için hesaplanan istatistikler birbirinden farkl› de¤er-lere sahip olabilirler. Bu nedenle, örneklem istatistiklerinden yararlanarak, anakütle parametreleri hakk›nda bilgi üretme sürecinde, bir örnekleme plan›nda ras-sal olarak seçilen n hacimli bir örneklemin hesaplanan istatistiklerinden de¤il, oistatistiklerin mümkün örneklemlerde alaca¤› de¤erlerin da¤›l›m›ndan, bu da¤›l›-m›n özelliklerinden ve fleklinden yararlan›l›r. Bir baflka ifadeyle, örneklem istatis-tiklerinden yararlanmak suretiyle ana kütle parametreleri hakk›nda bilgi nas›l üre-tilir sorusunun yan›t› için bilinmesi gereken en önemli kavram, örneklem istatisti-¤inin örnekleme da¤›l›m› ya da sadece örneklem da¤›l›m› kavram›d›r.

q

‹s tat ist ik184

Ö R N E K 1 2

SIRA S ‹ZDE

A M A �

5

N hacimli bir ana kütleden rassal olarak seçilebilecek n hacimli mümkün bü-tün örneklemlerin seçildi¤i ve her örneklem için istatisti¤i hesapland›¤› varsa-y›ld›¤›nda istatistikleri hesaplanm›fl olur. Hesaplanm›fl olan is-tatistiklerinin da¤›l›m›na, bu istatisti¤in örnekleme da¤›l›m› ad› verilir.

Örnekleme planlar›nda ilgili ana kütleden rassal olarak çekilen n hacimli sa-dece bir tek örneklem gözönüne al›n›r ve bu örnekleme iliflkin istatistik hesapla-n›r. Bu durumda örnekleme da¤›l›m› tan›m›, oluflturulacak n hacimli basit rassalörneklemden elde edilecek olan x1 , x2 , ... , xn gözlem de¤erlerinin , X1 , X2, ... , Xn rassal de¤iflkenlerinin gözlenen de¤erleri oldu¤u ve bu gözlem de¤er-lerini kullanarak hesaplanan istatisti¤inin de bir rassal de¤iflken oldu¤u gerçe-¤inden kaynaklanmaktad›r. Buna göre örnekleme da¤›l›m›, bir rassal de¤iflkenolan istatisti¤inin olas›l›k da¤›l›m›d›r.

Çeflitli amaçlar için örnekleme yapmaya karar verildi¤i zaman, dikkatlerin ençok odaklaflt›¤› parametreler ana kütle aritmetik ortalamas› m ve ana kütle oran› ∏olmaktad›r. Bu nedenle, izleyen bölümlerde bu parametreler hakk›nda bilgi üre-ten örneklem istatistiklerinin, s›ras›yla örneklem aritmetik ortalamas› ’n›n ve ör-neklem oran› p’nin örnekleme da¤›l›mlar› ve özellikleri ele al›nacakt›r.

Örneklem Ortalamas› ’n›n Örnekleme Da¤›l›m›Ana kütle aritmetik ortalamas› m , ilgili ana kütleye iliflkin önemli bir say›sal ka-

rakteristiktir. m , N hacimli sonlu ana kütlelerde tam say›m yap›ld›¤›nda gözlemde¤erleri x1 , x2 , ... , xn olarak gösterildi¤inde,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

X s›n›f›nda 4 ö¤renci bulunsun. Bu ö¤rencilerin simgesel isimleri ve bafla-r› puanlar› Tablo-1 de verilmifltir. Ana kütle aritmetik ortalamas›n› he-saplay›n›z.

Tamsay›m›n yap›lamad›¤› ve örneklemeye baflvuruldu¤u durumlarda aç›kt›r kiµ hesaplanamaz. Bu durumda µ hakk›nda bilgi üretme sorunuyla karfl›lafl›l›r. Busorunun çözümlenebilmesi için, rassal olarak seçilen n hacimli bir örneklem içinhesaplanan örneklem aritmetik ortalamas› ve bu istatisti¤in da¤›l›m›ndan yararla-n›l›r. Örneklemden elde edilen gözlem de¤erleri x1 , x2 , ... , xn ise,

X = ×i=1

nxi

n

m = 90 + 80 + 60 + 704

= 75 puan

m = ×i=1

Nxi

N

X

X

q

q

q1 , q2 , ... , qC N n

q

Ünite 7 - Örnekleme 185

Ö R N E K 1 3

Ö¤renci Ad› Baflar› Puan›A 90B 80C 60D 70

formülü ile hesaplan›r. Yukar›daki örnek tekrar göz önüne al›ns›n. N=4 ö¤renci olan ana kütleden ba-

sit rassal örneklemeyle A ve D isimli ö¤rencilerin seçilmesiyle n=2 ö¤renci olanbir rassal örneklem seçildi¤inde, örneklemdeki ö¤rencilerin baflar› puan› ,

olarak bulunur.

Örnek 1’de verilen sonlu ana kütleden n=2 birim olan birbirinden farkl›mümkün tüm basit rassal örneklemleri oluflturunuz ve her örneklem içinaritmetik ortalamay› hesaplay›n›z.

4 birimden 2 birim, farkl› flekillerde seçilir. Sonuçlar afla¤›daki tabloda verilmifltir:

Yukar›daki örnekte ilgilenilen ana kütledeki birim say›s› az oldu¤u için ’›nörnekleme da¤›l›m› kolayl›kla oluflturulabilir. Ancak, uygulamada, ilgilenilen anakütleden elde edilecek mümkün tüm örneklemleri ve bunlara iliflkin aritmetik or-talamalar› hesaplamak hem çok külfetli hem de anlams›zd›r. Bunun yerine birrassal de¤iflken olarak al›n›p onun kuramsal da¤›l›m›ndan yararlan›l›r. Bir tan›mvermek gerekirse, bir ana kütleden ayn› hacimde seçilebilecek mümkün her ör-neklem için farkl› de¤erler alabilen rassal de¤iflkeninin da¤›l›m›na, ’›n örnek-leme da¤›l›m› ad› verilir.

Belirlenen her örneklem hacmi için, ’›n farkl› örnekleme da¤›l›m› vard›r. ’›n örnekleme da¤›l›m›, rassal de¤iflkeninin ortalamas› ve standart sapmas› (stan-dart hata) ile belirlenir.

Ortalama Ve Standart HataÖrneklem hacmi artt›kça, ’›n örnekleme da¤›l›m›n›n ortalamas› ana kütle arit-metik ortalamas› µ’ye yaklafl›r. ’›n beklenen de¤eri (ya da ayn› anlama gelen ’›n örnekleme da¤›l›m›n›n ortalamas›) E( ) ile gösterilirse,

E( ) = µ

olur.’›n örnekleme da¤›l›m›n›n standart sapmas› (standart hata), örneklem hacmi

artt›kça küçülür. ’›n standart sapmas› simgesiyle gösterilir ve ’›n örnekle-me da¤›l›m›n›n de¤iflkenli¤ini ölçer. , basit rassal örneklemede,

sx = sn

sx

XsxXX

X

XXX

X

XXX

XX

X

X

X = 90 + 702

= 80

‹s tat ist ik186

Ö R N E K 1 4

Örneklem No Örneklem Birimleri Gözlem De¤erleri Örneklem Ortalamalar›1 A,B 90,80 852 A,C 90,60 753 A,D 90,70 804 B,C 80,60 705 B,D 80,70 756 C,D 60.70 65

eflitli¤i ile hesaplan›r. Standart hatan›n karesi, örnekleme da¤›l›m›n›n varyans›n›ifade eder ve simgesiyle gösterilir. Eflitlikten de anlafl›labilece¤i gibi, standarthata, ana kütle standart sapmas› s’ya ve örneklem hacmi n’e ba¤l›d›r. Bir baflkaifadeyle, ana kütle de¤iflkenli¤i büyükse, herhangi bir n hacimli örneklem için ’›n örneklem da¤›l›m›n›n de¤iflkenli¤i büyük olur. Örneklem hacmi büyüdükçedaha do¤ru ve güvenilir bilgi üretme olana¤› da artar. Öte yandan, standart hataile örneklem hacminin kare kökü aras›nda ters bir iliflki oldu¤u için, örneklemhacmini artt›rmak suretiyle standart hatay› azaltmak baz› güçlüklere yol açar. Ör-ne¤in; örneklem hacmi n=100 birim iken, ’›n standart sapmas›n› yar›ya indire-bilmek için örneklem hacmi 4 kat artt›r›lmal›d›r.

Ana kütle standart sapmas› genellikle bilinmedi¤inden, hesaplan›rken syerine onun yans›z bir tahminleyicisi olan örneklem standart sapmas› s kullan›l›r.Bu durumda standart hata simgesiyle de¤il simgesiyle gösterilir ve

ile hesaplan›r.Örneklem standart sapmas› da,

fleklinde hesaplan›r.

E¤er ilgilenilen ana kütle sonlu bir ana kütle ve örnekleme oran› n/N ≥ 0.05 ise,

standart hata hesaplan›rken fleklindeki bir çarpan, düzeltme faktörü ola-

rak kullan›l›r.Basit rassal örneklemede örneklem hacmi artt›kça, ’›n örnekleme da¤›l›m›

normal da¤›l›ma yaklafl›r. Bu sonuca, istatistikte önemli bir yeri olan, afla¤›daki te-orem yard›m›yla ulafl›l›r.

Merkezi Limit TeoremiAna kütlelerin da¤›l›m flekli ne olursa olsun, basit rassal örneklem hacmi büyü-dükçe, ’›n örnekleme da¤›l›m› normal da¤›l›ma yaklafl›r. Bu da¤›l›m›n ortalamas› m , varyans› / n’ dir. Örneklem hacmi n için yeterli büyüklük, kesin olma-makla birlikte uygulamada n ≥ 30 birim olarak kabul edilmektedir.

E¤er , ortalamas› m ve varyans› olan normal da¤›l›ml› bir ana kütledenseçilmifl n hacimlik bir basit rassal örneklemin ortalamas›ysa, ’›n örnekleme da-¤›l›m› ortalamas› m , varyans› / n olan bir normal da¤›l›md›r.

rassal de¤iflkeninin da¤›l›m› normal oldu¤undan,

eflitli¤iyle standart de¤iflkene dönüfltürülür. Böylece, normal da¤›l›m›n özelliklerikullan›larak ana kütle aritmetik ortalamas› m hakk›nda, bilgi üretmek kolaylafl›r.

z = X – ms / n

Xs2

Xs2X

s2X

X

N – nN – 1

s = × Xi – X 2

n – 1

sx = sn

Sxsx

sx

X

X

s2x

Ünite 7 - Örnekleme 187

Örneklem Oran› p’n›n Örnekleme Da¤›l›m› Örnekleme planlar›nda ele al›nan ana kütlenin araflt›r›lmak istenen özelliklerininbaz›lar› iki sonuçlu olmaktad›r. Örne¤in bir fabrikada üretilen ürünler, hatal› ya dahatas›z ürün, bir fakültedeki ö¤renciler, baflar›l› ya da baflar›s›z ö¤renci olmaküzere iki grupta toplanabilir. Bu iki sonuçtan birisi örne¤in baflar›l› ö¤renci A di-¤eride ile gösterilsin.

‹ki sonuçlu ana kütleler üzerinde yap›lan örnekleme uygulamalar›nda, sözüedilen bu iki sonuçtan birinde, örne¤in A sonucunda, yer alan birimlerin oran›ylailgilenilebilir. Bu durumda ana kütle oran›, ana kütlenin birimleri içindeki ilgileni-len türden özelli¤e sahip olanlar›n oran› biçiminde tan›mlan›r.

Y s›n›f›ndaki ö¤rencilerin genel baflar› durumu afla¤›da verilmifltir. Bu s›-n›f›n baflar›l› ö¤renci oran› nedir?

Örnekte s›n›ftaki baflar›l› ö¤renci oran›, ana kütle oran›d›r ve ∏ ile gösterilir.Bu ana kütledeki ilgilenilen türden özelli¤e sahip (baflar›l›) birim (ö¤renci) say›s›R ile gösterilirse, ana kütle oran› ∏,

eflitli¤i ile hesaplan›r. Burada R = 0,1,2...,N de¤erlerini alabilece¤i için, ∏’nin de-¤er aral›¤› 0 ≤ ∏ ≤ 1 olur. S›n›ftaki baflar›s›z ö¤renci say›s› (ilgilenilmeyen türdenözelli¤e sahip birim say›s›) N-R oldu¤u için, baflar›s›z ö¤renci oran› Q,

olur.Yukar›daki örnekte baflar›l› ö¤renci say›s›, R=3 oldu¤u için

olarak bulunur. Bu sonuca göre, s›n›ftaki ö¤rencilerin %75’i baflar›l›d›r. Bu kesinbir sonuçtur.

Tam say›m yap›lamad›¤› zaman R bilinemez ve ∏ hesaplanamaz. Örneklemeplanlar›nda ∏ parametresi hakk›nda bilgi, bu parametre hakk›nda bilgi üreten ör-neklem istatistiklerinden yararlanarak üretilebilir.

Hacmi n olan bir basit rassal örneklemden, bu örneklemin seçildi¤i ana kütle-nin ∏ parametresi hakk›nda bilgi üretebilmek için iki örneklem istatisti¤i söz ko-nusudur. Birincisi, hacmi n olan bir basit rassal örneklemdeki ilgilenilen türdenözelli¤e sahip olan birimlerin say›s›d›r ve r ile gösterilir. ‹kincisi, ilgilenilen türden

∏ = 34 = 0.75

Q = N – RN

= 1 – ∏

∏ = RN

A

‹s tat ist ik188

Ö R N E K 1 5

Ö¤renci Ad› Baflar› DurumuA Baflar›l›B Baflar›s›zC Baflar›l›D Baflar›l›

özelli¤e sahip olan örneklemdeki birimlerin oran›d›r. Örneklem oran› p simgesiy-le gösterilir ve

eflitli¤i ile hesaplan›r. Burada r = 0,1,...,n de¤erlerini alabilir. r’nin de¤erlerine ba¤-l› olarak p' de 0 ≤ p ≤ 1 aral›¤›nda bir de¤ere al›r. Örneklemi oluflturan birimleraras›nda ilgilenilen türden sonuca sahip olmayan birimlerin oran›ysa q ile göste-rilir. Bu sonuca sahip birimlerin say›s› n - r oldu¤u için

olur. Yukar›da verilen örnekte ele al›nan N = 4 birimlik bir ana kütleden, basit ras-

sal örneklemeyle hacmi n = 2 ö¤renci olan bir örneklem seçildi¤inde örneklem-deki baflar›l› ö¤renci oran›,

olarak hesaplanm›fl olur. Öte yandan, anakütle oran›na iliflkin varyans,

fleklinde ifade edilir. Varyans›n pozitif kare kökü de standart sapmay› verdi¤inden,

fleklinde yaz›l›r.Örneklem varyans› ve standart sapmas› da benzer flekilde s›ras›yla

s2 = p ( 1 – p )

ve

olarak gösterilir.

‹ki sonuçlu bir ana kütleden, mümkün bütün n hacimli basit rassal örneklemlerinseçildi¤ini ve her örneklem için p oran›n›n hesapland›¤› varsay›ld›¤›nda, pi oran-lar›ndan oluflan bir da¤›l›m elde edilir. Bir ana kütleden seçilebilecek ayn› hacim-li, mümkün bütün örneklemler için, hesaplanan örneklem oranlar›n›n oluflturdu-¤u da¤›l›ma, oranlar›n örnekleme da¤›l›m› ad› verilir.

Örnekleme planlar›nda tan›mlanan ana kütleden rassal olarak n hacimli sade-ce tek bir örneklem oluflturulur ve bu örneklem için p oran› hesaplan›r. p rassal

s = p 1 – p

s = ∏ 1 – ∏

s2 = ∏ 1 – ∏

p = rn = 1

2 = 0.5

q = n – rn

= 1 – p

p = rn

Ünite 7 - Örnekleme 189

de¤iflkeninin çekilmesi mümkün tüm n hacimli örneklemlerde ald›¤› de¤erlerinda¤›l›m›na, “oranlar›n örnekleme da¤›l›m›” ad› verilir.

Ortalama ve VaryansAna kütle oran› ∏ hakk›nda araflt›r›lmak istenen bilgi n hacimli tek bir örneklemiçin hesaplanan p istatisti¤ine de¤il, bir rassal de¤iflken olan p istatisti¤inin örnek-leme da¤›l›m›n›n özelliklerinden yararlan›larak üretilir. Bu da¤›l›m›n özellikleri da-¤›l›m›n, aritmetik ortalamas› ve varyans›yla belirlenebilir.

Sonsuz bir ana kütleden seçilen n hacimli basit rassal örneklem için hesapla-nan p oran›n›n örnekleme da¤›l›m›n›n aritmetik ortalamas› mp ana kütle oran›∏’ye eflittir. Bu durum örneklem oran› p’nin ana kütle oran› ∏’nin yans›z (siste-matik hata içermeyen) tahminleyicisi oldu¤unu gösterir. Bu sonuca göre,

E(p) = ∏

yaz›l›r.Sonsuz ana kütlelere ya da örnekleme oran› n/N ≤ 0.05 olan bütün sonlu ana

kütlelere uygulanan basit rassal örnekleme planlar›nda, örneklem oran› p’nin da-¤›l›m›n›n varyans› ve standart hatas› da ile gösterilir.

E¤er, ana kütle varyans› biliniyorsa,

eflitlikleriyle, ana kütle varyans› bilinmiyorsa,

eflitlikleriyle hesaplan›r. Uygulanan bir basit rassal örnekleme plan›nda ilgilenilen ana kütle sonlu ve

örnekleme oran› n/N<0.05 ise, örneklem oran› p’nin örnekleme da¤›l›m›n›n var-yans› ve standart hatas› ;ana kütle varyans› biliniyorsa,

ana kütle varyans› bilinmiyorsa,

eflitlikleri kullan›larak hesaplan›r.

sp2 = p 1 – pn

. N – nn

, sp =p 1 – p

n . N – n

N

sp2 = ∏ 1 – ∏

n . N – n

N – 1 , sp = ∏ 1 – ∏

n N – n

N – 1

spsp2

sp2 = p 1 – pn

, s =p 1 – p

n

s2

sp2 = ∏ 1 – ∏

n , sp = ∏ 1 – ∏

n

s2spsp

2

‹s tat ist ik190

Da¤›l›m fiekli Ve Merkezi Limit TeoremiOranlar›n örnekleme da¤›l›m›n›n flekli e¤er E(p) = ∏ < 0.5 ise sa¤a çarp›k,E(p) = ∏ > 0.5 ise sola çarp›k ve E(p) = ∏ = 0.5 ise simetrik bir da¤›l›m göste-rir. Kolayl›kla görülebilece¤i gibi, E(p) = ∏’nin de¤eri 0 ve 1’e yaklafl›rken da¤›l›-m›n çarp›kl›¤› artar.

Merkezi Limit Teoremine göre bir örnekleme plan›nda, seçilen basit rassal ör-neklemin hacmi n büyürken örneklem oran› p’nin örnekleme da¤›l›m› normal da-¤›l›ma yaklafl›r. Uygulamada n∏ ≥ 5 ve n(1 – ∏) ≥ 5 koflullar›n› birlikte sa¤layanörneklem büyüklü¤ü, yeterli örneklem büyüklü¤ü olarak kabul edilir. Ayn› teore-me göre rassal örneklem hacmi n ≥ 30 birim olmas› ve ana kütle oran› ∏’nin 0 yada 1’e yak›n de¤erler almamas› koflullar›yla oranlar›n örnekleme da¤›l›m›, normalda¤›l›ma yaklafl›r. Bu koflullar› sa¤layan oranlar›n örnekleme da¤›l›m›yla ilgiliproblemlerin çözümlerinde normal da¤›l›m›n özelliklerinden yararlan›l›r. Bu amaç-la p rassal de¤iflkeni standartlaflt›r›lm›fl Z de¤iflkeni

fleklinde yaz›l›r. Bu standart de¤iflken kullan›larak, ana kütle oran› hakk›nda bilgiüretmek mümkün olur.

1. Örnekleme da¤›l›m› kavram›n› aç›klay›n›z.

2. Merkezi Limit Teoremi istatisti¤e ne tür kolayl›klar getirmifltir, aç›klay›n›z.

3. E(p) < 0.45 ise, oranlar›n örnekleme da¤›l›m›n›n flekli nas›ld›r?

ÖRNEKLEMEDE HATA KAVRAMI VE STANDART HATA

Örnekleme uygulamalar›nda ifllenecek hata türlerini aç›klayabileceksiniz.

‹statistiksel araflt›rmalarda iki tür hatadan söz edilir. Bunlar, örnekleme hatas› veörnekleme d›fl› hatalard›r.

Örnekleme Hatas› - Standart HataÖrneklem istatistikleri, hacmi sonsuz ya da N birimlik bir ana kütlenin sadece nbiriminden (n<N) oluflan örneklemlerden derlenen veriler kullan›larak hesaplan-d›¤› için, genellikle (bir dereceye kadar) hata içerirler. Bu nedenle, örneklem is-tatistiklerinin, ana kütle parametrelerine eflit ç›kmas› beklenmez.

Örneklemden örnekleme de¤iflen de¤erler alan istatistiklerin ana kütle para-metre de¤erlerine göre gösterdikleri sapmalara ( - q’lara), örnekleme hatas› ad›verilir. Herhangi bir sapma pozitifse üst tahminleme, negatifse alt tahminleme ya-p›l›yor demektir ve hata söz konusu olur. Sapmalar›n s›f›r olmas› durumunda, ya-p›lacak tahmin sapmas›zd›r ve bu durumda hata söz konusu olmaz. Örneklemehatalar› s›f›r, negatif ya da pozitif de¤erler alabildi¤i için, bunlar›n ortalamas› ka-reli ortalamayla hesaplan›r. Bu de¤er, ilgilenilen örneklem istatisti¤inin standarthatas›n› gösterir. Standart hata asl›nda bir örneklem istatisti¤ine ait da¤›l›m›n de-¤iflkenli¤inin bir ölçüsüdür ve baflka bir deyiflle standart sapmad›r.

q

Z = p – ∏sp

Ünite 7 - Örnekleme 191

SIRA S ‹ZDE

A M A �

6

Standart hata, hakk›nda bilgi elde edilecek ana kütle parametresine, ana küt-lenin da¤›l›m flekline, örnekleme birim seçim usulüne ve örneklem hacminin bü-yüklü¤üne göre farkl› tahminleyicilerle hesaplan›r. Bu tahminleyiciler örneklemeda¤›l›m› bafll›¤› alt›nda aç›klanm›flt›r. Hesaplanan standart hata de¤eri, örneklemistatisti¤inin de¤erinin ana kütle parametresi de¤erinden ortalama olarak ne kadarsapt›¤›n› gösterir. Bu de¤erin s›f›ra yaklaflmas› örneklem istatisti¤inden yararlana-rak üretilen bilginin güvenilir oldu¤unu gösterir. Standart hata giderilemeyece¤i-ne göre, bu hatan›n kabul edilebilir bir düzeyin üstüne ç›kmamas› istenir.

Standart hatan›n de¤eri, örneklem hacmiyle ters yönde, ana kütle de¤iflkenli-¤iyle do¤ru yönde iliflkilidir. Ana kütle de¤iflkenli¤i veri durumunda oldu¤u için,standart hatay› azaltabilmek amac›yla örneklem hacmini artt›rmak gerekir.

Örnekleme D›fl› Hatalar‹ster örneklemeden, ister tam say›m sonucu oluflmufl olsun, veri derleme sürecin-de ifllenen hatalara, örnekleme d›fl› hatalar denir. Bu hatalar;

• Veri derleme ve kaydetme yönteminden, • Yanl›fl anlamaya yol açan sorular›n varl›¤›ndan,• Çerçevenin kapsam hatas› içermesinden ya da ayn› örnekleme birimin çer-

çevede birden fazla yer almas›ndan, • Örnekleme seçilen birimlerin bir k›sm›ndan bilgi derlenememesi nedeniy-

le, ortaya ç›kar›labilir.Hataya neden olan bu unsurlar ortadan kald›r›l›rsa, örnekleme d›fl› hata söz

konusu olmaz.

1. Örnekleme sonucu ifllenecek hatalar nelerdir?

2. Örnekleme uygulamas› sonucu ifllenebilecek bütün hatalar istenirse giderilebilir mi?

3. Örnekleme hatas›n› azaltabilmek için ne yap›lmal›d›r?

‹s tat ist ik192

SIRA S ‹ZDE

Kendimizi S›nayal›m1. Afla¤›dakilerden hangisi, örnekleme yapmay› gereklik›lan nedenlerden biri de¤ildir?

a. Maliyetb. Zamanc. Kesin sonuç elde etmed. Do¤ru veri elde etmee. Ölçüm için birimlerin fiziksel zarara u¤ramas›

2. Örneklemenin temel amac› afla¤›dakilerden hangisidir?a. Ana kütleyi temsil eden bir örneklem oluflturmak.b. Ana kütleyi temsil eden, mümkün bütün örnek-

lemleri oluflturmak.c. Ana kütlenin bütün birimlerini incelemek.d. Örneklemdeki bir birimin incelenmesi.e. Örneklemdeki birimler aras›ndan, birimler seçmek.

3. Afla¤›dakilerden hangisi, bir ana kütlenin tan›mlanma-s› için kullan›lan bileflenlerden biri de¤ildir?

a. Yerb. Ana kütle hacmic. Zamand. Örnekleme birimie. Gözlem birimi

4. Bir örnekleme plan›nda, kota örneklemesi uygulan-mas› benimsenerek, ilgilenilen ana kütle A, B ve C taba-kalar›na ayr›lm›flt›r. Tabaka hacimleri NA = 1000, NB =2000: ve NC = 3000 birimdir. Örneklem hacmi n = 600 bi-rim olarak belirlendi¤ine göre, B tabakas›ndan seçilecekbirim say›s› kaçt›r?

a. 186b. 200c. 210d. 222e. 250

5. Afla¤›dakilerden hangisi, tan›mlanan bir anakütleden

rassal olarak seçilen n = 36 hacimli, mümkün bütün

örneklemler için hesaplanan, p istatisti¤inin meydana

getirdi¤i da¤›md›r?a. Oranlar›n örnekleme da¤›l›m›b. Ortalamalar›n örnekleme da¤›l›m› c. Örneklem oranlar› aras›ndaki fark›n örnekleme

da¤›l›m›d. Örneklem ortalamalar› aras›ndaki fark›n örnek-

leme da¤›l›m›e. Hacmi n = 36 olan örneklemin oran›

6. Örneklem oran›n›n de¤er aral›¤› afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. 0 ≤ ∏ ≤ 1b. -1 < ∏ < 0c. -1 < ∏ < 1d. ∏ < -1e. ∏ > 1

7. Ana kütlenin tümüne ulafl›lamad›¤› durumlarda, anakütleyle ilgili bir yarg› elde etmek amac›yla, üzerinde is-tatistiksel de¤erlerin hesapland›¤› gruba ne ad verilir?

a. Kontrol grubub. Örneklemec. Örneklemd. Verie. Parametre

8. Afla¤›dakilerden hangisi ana kütle hacmi büyük oldu-¤unda, tam say›m yapmay› engelleyen nedenlerden biri

de¤ildir?

a. Parametrelerin kesin de¤erinin bulunmas›b. Masraflar› karfl›layacak yeterli paran›n olmamas›c. Yetenekli iflgücü bulunmamas›d. Çok zaman almas›e. Her zaman pratik olarak mümkün olmamas›

9. Anadolu Üniversitesi ö¤rencilerinin boy uzunlu¤uylailgili bir araflt›rma yapmak için sadece Fen Fakültesi ö¤-rencilerinden rassal olarak belirli say›da ö¤renci seçilmifl-tir. Fen Fakültesi ö¤rencilerinin oluflturdu¤u toplulu¤a nead verilir?

a. Hedef kütleb. Örneklem hacmic. Örneklenen ana kütled. Gözlem birimie. Örnekleme birimi

10. Ana kütle hacmi küçük oldu¤unda, örnekleme seçi-len bir birimin di¤erlerinin seçilme flans›n› etkilememesiiçin afla¤›daki seçim yöntemlerinden hangisi kullan›l›r?

a. ‹adeli b. ‹adesiz c. Sistematikd. Karmae. Keyfi

Ünite 7 - Örnekleme 193

Yan›t Anahtar›1. c2. a3. b4. b5. a6. a7. c8. a9. c10. a

Yararlan›lan KaynaklarFINK, Arlene: How to Sampling in Surveys, Sage Pub-

lication, London, 1995.GÜRSAKAL, Necmi: Bilgisayar Uygulamal› ‹statistik I,

Marmara Kitapevi, Bursa, 1997.MALHOTRA, Naresh K: Marketing Research An Appli-

ed Orientation 2nd Edition, Prentice-Holl Internati-onal, Inc, New Jersey, 1996.

NETER,J; WASSERMAN,W, WH‹TMORE, G.A.: Applied

Statistics, Simon and Schuster, Inc, Boston, 1993.SERPER, Özer; AYTAÇ, Mustafa: Örnekleme, Ezgi Kita-

pevi, Bursa, 2000.SERPER, Özer: Uygulamal› ‹statistik II, Filiz Kitapevi,

‹stanbul, 1986.TRYFOS, Peter: Sampling Methods for Applied Rese-

arch, John Wiley and Sons Inc., New York, 1996.

‹s tat ist ik194

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak:• Verilen tan›mlar iyice özümsenmeli,• Örnek sorular ve çözümleri dikkatle incelenmeli,• Kavramlar aras›ndaki farkl›l›klar göz önüne al›nmal›,• ‹stenenlerin neler oldu¤u net bir biçimde ortaya konulmal›d›r.

195

‹statistiksel Tahminleme 8

Amaçlar:‹statistiksel tahminleme tan›m›n› kavrayarak, tahminleme sürecinin aflama-lar›n› gerçeklefltirebileceksiniz.Örneklem istatistiklerini kullanarak nokta ve aral›k tahminlemesiyapabileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• ‹STAT‹ST‹KSEL TAHM‹NLEME• ‹STAT‹ST‹KSEL TAHM‹NLEME TÜRLER‹

• Nokta Tahminlemesi• Aral›k Tahminlemesi

‹s tat ist ik196

�

�

G‹R‹fiÖrnekleme konusu gözden geçirilirken de de¤inildi¤i gibi, örneklemler ana kütleparametreleri hakk›nda bilgi üretmek amac›yla seçilirler. Seçilen örneklemler içinhesaplanan istatistikler, bu parametreler hakk›nda bilgi üretirler. Örneklem istatis-tiklerinden yararlanarak ana kütle parametreleri hakk›nda genelleme yapma süre-ci, istatistiksel yorumlama olarak ifade edilir.

Ana kütle parametreleri hakk›nda yorumlama iki aflamada gerçeklefltirilir. Bun-lardan ilki bilmeyen parametre de¤erinin tahminlenmesi, di¤eri de bu parametre-nin de¤eri hakk›nda karar vermedir. ‹statistiksel tahminleme bu ünitede, kararvermeyse hipotez s›namalar› ad› alt›nda izleyen ünitede ele al›nacakt›r.

Bu ünitede önce istatistiksel tahminleme ve istatistiksel tahmin kavramlar›aç›klanacak sonra da istatistiksel tahminleme türleri, nokta tahminlemesi ve aral›ktahminlemesi ele al›narak ana çizgileriyle aç›klanacakt›r.

‹zleyen paragraflarda kolayl›k aç›s›ndan, ana kütle parametresi yerine “para-metre”, örneklem istatisti¤i yerine de “istatistik” ifadeleri kullan›lacakt›r.

‹STAT‹ST‹KSEL TAHM‹NLEME

‹statistiksel tahminleme tan›m›n› kavrayarak, tahminleme süreci-nin aflamalar›n› gerçeklefltirebileceksiniz.

2500 iflçi çal›flt›ran bir iflyeri, çal›flanlar›n›n ulafl›m sorununa kolayl›k sa¤lamas› aç›-s›ndan iflyerine gelifl ve dönüfl için servis hizmeti vermeyi planlamaktad›r. Bununiçin de çal›flanlar›n ikametgahlar›yla iflyeri aras›ndaki ortalama uzakl›¤a iliflkin bil-giye ihtiyaç duyulmaktad›r. Neler yap›labilir?

Günlük yaflam›n hemen hemen her alan›nda parametre tahminlemesiyle karfl›-lafl›l›r. Bu nedenle, tahminleme araflt›rmalar›n önemli bir evresini oluflturur. Biraraflt›rma sürecinin en önemli aflamas› olan örneklemeyle tahminleme biribirininayr›lmaz birer parças›d›r.

Bir tan›m vermek gerekirse, tahminleme, tan›mlanan ana kütleden seçilen ras-sal örneklemden hesaplanan istatistikler yard›m›yla, bu ana kütlenin uydu¤u da-¤›l›m›n parametre de¤erlerini araflt›rmakt›r denilebilir.

Tan›mdan da anlafl›labilece¤i gibi, bir tahminleme sürecinde afla¤›daki aflama-lar söz konusudur :

• Tan›mlanan ana kütleden önceden belirlenen n hacimli rassal bir örneklemseçilir.

• Bu gözlem de¤erleri kullan›larak tahminlenecek parametre için bilgi ürete-cek istatistikler hesaplan›r.

• Parametre için bilgi üreten istatisti¤in örnekleme da¤›l›m›n›n özelliklerin-den yararlan›larak parametre de¤eri tahminlenir.

Hem örneklem için, hem de ana kütle için bilgi üreten istatisti¤e iliflkin formü-lasyona “tahminleyici” örneklem, gözlem de¤erlerinin bir tahminleyiciye uygulan-mas›yla hesaplanan de¤ereyse “tahmin” ad› verilir. Tahminleyici, tahminin nas›lyap›laca¤›n› gösterir. Tahminse say›sal bir de¤erdir. Örne¤in,

X =Xi×

i=1

n

n

Ünite 8 - ‹stat ist iksel Tahminleme 197

A M A �

1Tahminleme, tan›mlananana kütleden seçilen rassalörneklemden hesaplananistatistikler yard›m›yla, ilgiliana kütlenin parametrede¤erini araflt›rmakt›r.

Ana kütle için bilgi üretenistatisti¤e iliflkin formülasy-ona tahminleyici, tahmin-leyici yard›m›yla hesaplanande¤ere de tahmin denilir.

formülü ile tan›mlanan örneklemin aritmetik ortalamas›, ana kütle aritmetik orta-lamas› için bir tahminleyicidir. Bu formül yard›m›yla hesaplanan de¤erse, ana küt-le aritmetik ortalamas›n›n bir tahminidir.

Parametreleri, istatistiklerden hareketle, bir say› ve bu say›y› kapsayan bir ara-l›¤›n s›n›rlar›yla tahminlemek mümkündür. Birinci durumda nokta tahminlemesi,ikinci durumdaysa aral›k tahminlemesi söz konusu olur. Nokta ve aral›k tahmin-lemesi izleyen bölümlerde ayr›nt›l› olarak ele al›nacakt›r.

1. ‹statistiksel tahminleme nedir?

2. Bir istatistiksel tahminleme sürecinde hangi aflamalar izlenir?

3. Tahmin ve tahminleme kavramlar› aras›ndaki fark› aç›klay›n›z.

‹STAT‹ST‹KSEL TAHM‹NLEME TÜRLER‹

Örneklem istatistiklerini kullanarak, nokta ve aral›k tahminlemesiyapabileceksiniz.

‹statistiksel tahminleme, nokta ve aral›k tahminlemesi olmak üzere iki ana bafll›kalt›nda s›n›fland›r›l›r. ‹zleyen paragraflarda bu tahmin türleri yeterli ayr›nt›da eleal›nm›flt›r.

Nokta TahminlemesiBir rassal örneklemden hesaplanan istatisti¤inin de¤erini ilgili ana kütle para-metresi q de¤erine eflit kabul eden tahminleme sürecine, “nokta tahminlemesi”denir. Bu süreçte, dikkat edilmesi gereken nokta, örneklem seçilmeden önce is-tatistik rassal bir de¤iflkendir ve ilgili ana kütle parametresinin bir nokta tahmin-leyicisi durumundad›r. Örneklem seçildikten sonra bu tahminleyici yard›m›yla he-saplanan istatistik, bir say›d›r ve ilgili parametrenin nokta tahminidir.

Tahminleme sürecinde önce, tan›mlanan ana kütleden, belirlenen n birimlik(hacimli) bir basit rassal örneklem seçilir. Bu örneklemdeki birimler üzerinden il-gilenilen de¤iflken itibariyle veriler derlenir. Sonra bu veriler kullan›larak tahmin-lenecek parametre q için tahminleyici olan istatisti¤i hesaplan›r. Bu istatisti¤inde¤eri q parametresi için bir tahmin olarak kabul edilir.

Ana Kütle Aritmetik Ortalamas› m ’nün Nokta TahminlemesiBir örneklemin aritmetik ortalamas› ’nin hesaplanabilmesi için X1,X2,......Xn göz-lem de¤erlerine gereksinim vard›r. Örneklem oluflturulmadan önce ayn› ana küt-leden seçilebilecek ayn› hacimli farkl› örneklemlerde farkl› de¤erler alabilecekolan , bir rassal de¤iflkendir ve m’nün nokta tahminleyicisi olarak isimlendirilir.Örneklem oluflturulduktan sonra (X1,X2,......Xn gözlem de¤erleri elde edildiktensonra) hesaplanan de¤eri, m’nün nokta tahminidir.

Gerçekte N birimlik bir anakütleden n birimlik örneklemler kadar farkl›biçimde seçilebilece¤inden, ilgilenilen q parametresi için tane nokta tahminisöz konusu olur.

Bir rassal de¤iflken olan ’nin de¤erinin bu istatisti¤in bilgi üretti¤i m’nün de-¤erine eflit olan tahminlemeye m’nün nokta tahminlemesi, hesaplanan de¤eri-ne de m’nün nokta tahmini denir.

Yap›lan aç›klamalar› bir örnek üzerinde görelim.

XX

CNn

CNn

X

X

X

q

q

‹s tat ist ik198

SIRA S ‹ZDE

A M A �

2

Bir rassal örneklemdenhesaplanan istatisti¤inde¤erini, ilgili ana kütleparametre de¤erine eflitkabul eden tahminlemesürecine nokta tahminlemesidenilir.

ÇÖ

ZÜ

M

Ünite 8 - ‹stat ist iksel Tahminleme 199

Ö R N E K 1Bir telefon idaresi, abonelerinin 2001 y›l›ndaki ortalama ayl›k telefonödeme tutarlar›n› tahminlemek istemektedir. Bu amaçla rassal olarak 80abone seçilmifl ve bu abonelerin ortalama ayl›k ödeme tutar›n›n 45.000.000TL ve standart sapmas›n›n da 2000 TL. oldu¤u hesaplanm›flt›r. Ayl›k öde-me tutar›n› tahmin ediniz.

= 45.000.000 TLs = 2000 TLn = 80 m = ?

80 birimlik rassal örne¤in aritmetik ortalamas›, anakütle ortalamas›n›n bir nok-ta tahmini oldu¤undan, ayl›k ortalama ödeme tutar›na iliflkin tahmin 45.000.000TL. olacakt›r.

Ancak bu nokta tahminlemeyle, gerçekte ana kütle ortalamas› m’nün 45.000.000TL.’ye yak›n bir de¤er oldu¤u yorumu yap›labilir.

Ana kütle ortalamas› m bilinmezken, = m olan tek bir örneklem düflünülebilir mi?Düflünmemelisiniz.

Ana Kütle Oran› π’nin Nokta TahminlemesiÖrnekleme uygulamalar›n›n pek ço¤unda ana kütle oran› p hakk›nda bilgi eldeedilmesi istenir. Bu durumda p için bilgi üreten istatistik örneklem oran p olur.

Ana kütle oran› p’ye iliflkin nokta tahminlemesi bir rassal örnekleme plan›ndaoluflturulan n hacimli örneklem için, r bir birom rassal de¤iflken olmak üzere,hesaplanan oran›n›n de¤erini p’ye eflit olan bir tahminleme sürecidir.Burada eflitli¤i tahminleyici, hesaplanacak p de¤eri de tahmindir.

p oran›na iliflkin nokta tahmini

E(p) = p

fleklinde gösterilir.

Bir TV film yap›mc›s› gösterime giren filmini be¤enenlerin oran›n› tah-minlemek istiyor. Bu amaçla filmi izleyenler aras›nda rassal olarak 100kifli seçiyor ve bunlar›n 65’inin filmi be¤endiklerini ö¤reniyor. ‹stenentahmini nokta tahmini olarak yap›n›z.

n = 100 kifli

r = 65 kifli

p = ?

E(p) = p = 0,65

olur. Örneklem oran› p = 0,65 de¤eri ana kütle oran› p’nin yans›z tahminidir.

p = rn

= 65100

= 0,65

p = rn

p = rn

X

X

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 2

Aral›k TahminlemesiDaha önce aç›kland›¤› gibi, bir tahminleme sürecinde, küçük varyansa (ya dastandart hataya) sahip olan tahminleyicinin tercih edilmesi, önemli bir kriterdir.Standart hatan›n küçüklü¤ü tahminin güvenilirli¤iyle ilgilidir. Güvenilir tahmin, ta-n›mlanan ana kütleden seçilen ayn› hacimli farkl› örneklemlerde büyük ölçüdefarkl›l›k göstermeyen tahmindir. Nokta tahminlemesi tahminin güvenilirli¤i hak-k›nda bilgi veremedi¤i için s›n›rl› bir tahminlemedir.

Güvenilirli¤i somut bir flekilde ortaya koymak için güven aral›¤› kavram› gelifl-tirilmifltir. Bu kavram, tahminlenecek parametre de¤erini kapsayacak alan› belirle-yen bir çift s›n›r de¤eri kullanmaktad›r.Güven s›n›rlar› ad› verilen bu s›n›rlardanbiri alt s›n›r (A), de¤eri üst s›n›r (Ü) olarak tan›mlan›r.

Bir parametrenin aral›k tahminlemesi (ya da güven aral›¤›) tahminlenecek pa-rametrenin içinde yer alabilece¤i ve bu parametrenin nokta tahmini etraf›nda si-metrik olan bir çift s›n›r de¤erinin, örneklemin planlanmas› aflamas›nda belirlenenbir olas›l›¤a (güven düzeyine)göre hesaplanmas› sürecidir. Bu tan›ma göre q pa-rametresinin aral›k tahminlemesinin gösterimi, genel olarak;

A ≤ q ≤ Ü

fleklinde yap›l›r.Örneklem istatistiklerinin de¤erleri ve standart hatalar› örneklemden örnekle-

me de¤iflti¤inden güven aral›¤›n›n s›n›r de¤erleri de¤iflir; güven aral›¤› genifller yada daral›r.Bu nedenle baz› güven aral›klar› parametre de¤erini kapsar, baz›lar›kapsamaz. Bu sebeple tahminleme sürecinde alt ve üst s›n›rlar birer rassal de¤ifl-ken, bu s›n›rlar›n belirledi¤i aral›k da rassal aral›k niteli¤indedir. Aral›k tahminle-mesi sürecinde, araflt›rmac› taraf›ndan önceden belirlenen olas›l›k düzeyi ya dagüven düzeyi (G.D.) do¤ru aral›k tahminlemesinin yap›ld›¤› parametre de¤erinikapsayan güven aral›¤›n›n tahminlendi¤i olas›l›¤› ifade eder ve 1-a ile gösterilir.G.D=1-a de¤eri büyük seçilirse tahminlenen aral›¤›n q’y› kapsayan bir aral›k ol-ma olas›l›¤› artm›fl, fakat tahminlerin güvenilirli¤i azalm›fl olur.

Bir aral›k tahminlemesi sürecinde, güven s›n›rlar› A ve Ü’nin tahminlenebilme-si için flu ad›mlar izlenir:

• Güven düzeyi G.D=1-a belirlenir. Uygulamada genellikle güven düzeyiG.D=1- a, % 95 ya da % 99 olarak seçilmektedir. Güven düzeyi tan›mla-nan ana kütleden, n hacimli, mümkün pek çok farkl› örneklemler çekilirsebu, örneklemler için hesaplanan güven aral›klar›n›n, parametreyi kapsamaolas›l›¤›n› gösterir. Bu nedenle, parametreyi kapsayan güven aral›klar›, do¤-ru güven aral›¤› olarak isimlendirilir.Burada a anlaml›l›k düzeyini gösterir.Güven düzeyi örne¤in % 95 seçildi¤inde, anlaml›l›k düzeyi a = 1 - 0.95 =0.05 olur.

• Hacmi n olan bir basit rassal örneklem seçilir. Tahminlenecek parametre

için, bilgi üretecek istatisti¤i hesaplan›r.

• Bu istatisti¤in da¤›l›m›yla ilgili bilgilerden yaralanarak güven aral›¤› oluflturulur.

Hesaplanan istatisti¤inin da¤›l›m› normalse, güven s›n›rlar›n›n belirlenebil-

mesi için afla¤›daki eflitliklerden yararlan›l›r.

Alt S›n›r,

q

q (x, s, p...)

‹s tat ist ik200

Bilinmeyen anakütle parametresini, istenen birolas›l›kla, bir aral›k içindetahminleme sürecine, aral›ktahminlemesi denilir.

Güven aral›¤›n›n tahminindeparametre de¤erini kapsayan olas›l›¤a güvendüzeyi denilir.

ya da

Üst S›n›r,

Bu eflitliklerde:

: Örneklem istatisti¤inin de¤erini,

: Belirlenen güven düzeyi için, standart normal da¤›l›m tablo de¤erini,

s : s bilindi¤inde standart hata tahminini gösterir.

S : s bilinmedi¤inde (s yerine onun yans›z tahminini s kullan›ld›¤›nda)

standart hata tahminini gösterir. Belirlenen güven düzeyi için ve istatisti¤inin örnekleme da¤›l›m›n›n normal ol-du¤u varsay›m› alt›nda parametresi için aral›k tahminlemesi

ya da

fleklinde ifade edilir. Aral›k tahminlemesinde güven aral›¤›n›n mümkün oldu¤u ölçüde dar tutulma-

s› arzu edilir.Çünkü dar aral›¤›n s›n›rlar› parametre de¤erine daha yak›nd›r. Bu gü-ven düzeyine ve örneklem hacmine ba¤l›d›r. Güven düzeyi % 99’dan % 95’e düfl-tü¤ünde daha dar güven aral›¤› elde edilir. Belirlenen örneklem hacmi için hesap-lanan standart hatan›n küçük olmas› durumunda da güven aral›¤› daral›r.

Ana Kütle Aritmetik Ortalamas›n›n Aral›k TahminlemesiAna kütle aritmetik ortalamas› m için 1-a güven s›n›rlar›n›n ya da güven aral›¤›-n›n belirlenmesi ifllemlerine m’nün aral›k tahminlemesi denir. Bu tahminleme sü-recinde flu aflamalar izlenir:

• G.D = 1-a belirlenir,• Hacmi n olan bir rassal örneklem seçilir,

• Bu örneklem için ve s istatistikleri hesaplan›r,

• ’n›n standart hatas› hesaplan›r ya da tahminleyicisi yard›m›yla

tahminlenir,

• ’n›n da¤›l›m flekliyle ilgili bilgilerden yararlanarak X

sxsxX

X

q - Za2 Sq < q < q + Za

2 Sq

q - Za2 sq < q < q + Za

2 sq

q

q

q

Z a2

q

Ü = |q + Z a

2 S

|q

A = q – Z a2 S q

Ünite 8 - ‹stat ist iksel Tahminleme 201

güven aral›¤› tahminlenir. Burada; ve aral›¤›n›n s›ras›yla, alt ve üst s›n›rde¤erlerini gösterirler.

Örneklem hacmi n , ’nin da¤›l›m fleklini belirleyen önemli bir belirleyici ol-du¤u için, m ’nün aral›k tahminlemesiyle ilgili aç›klamalar örneklem hacminin ye-terli büyüklükte olup olmamas› durumuna göre iki alt bafll›kta aç›klanm›flt›r.

Büyük Örneklemlerde m ’nün Aral›k TahminlemesiBilindi¤i gibi büyük örneklem hacmi için yeterli büyüklük, n ≥ 30 birim kabuledilmektedir.

Rassal örneklem hacmi yeterli büyüklükteyse, ana kütle bölünme flekli ne

olursa olsun, ’n›n örnekleme da¤›l›m›, ortalamas› m ve varyans› olan nor-

mal da¤›l›ma uyar. rassal de¤iflkeninin da¤›l›m› normal da¤›l›m özelli¤ine sahip

oldu¤undan, Z standart rassal de¤iflkeni,

ile dönüfltürülür.‹statistiksel yorumlama amac›yla yap›lacak çözümlemelerde büyük kolayl›klar

sa¤layan bu dönüfltürmeden yararlanarak birer rassal de¤iflken olan ve gü-ven s›n›rlar›

eflitlikleri yard›m›yla hesaplanabilir. Burada ZA = –Z ve ZÜ = +Z olmak üzerebelirlenecek güven aral›¤›n›n alt s›n›r de¤eri,

ve üst s›n›r de¤eri de

olur.Daha önce de aç›kland›¤› gibi , m ’nün yans›z tahminleyicisi oldu¤una gö-

re, bilinmeyen anakütle parametresi m için güven aral›¤›

fleklinde oluflturulur.Yukar›daki formüllerde z de¤eri, araflt›rmac› taraf›ndan bafllang›çta belirlenen

1-a güven düzeyine ba¤l› olarak standart normal e¤ri alanlar› tablosundan bulu-nur. Baz› 1-a güven düzeyleri için z de¤erleri afla¤›daki tabloda verilmifltir.

X – Za2 < m < X + Za

2

X

XÜ = m + Za2

XA = m – Za2

ZA = XA - msx

ZÜ = XÜ - msx

XÜXA

Z = X - msx

X

s2

nX

X

XÜXA

XA ≤ m ≤ XÜ

‹s tat ist ik202

’n›n standart hatas› , örnekleme oran› n/N<0.05 ise ve örneklemin seçi-minde iadeli seçim uygulan›rsa, ya da tan›mlanan ana kütle sonsuz hacimliyse,

formülüne göre, buna karfl›l›k örneklemin seçiminde iadesiz seçim uygulan›yor ya

da örnekleme oran› n/N > 0.05 oldu¤unda, , yukar›daki eflitli¤e çar-

pan› ilave edilerek hesaplan›r. Ana kütle aritmetik ortalamas› m ’nün aral›k tahminlemesiyle ilgili yukar›da ya-

p›lan aç›klamalar ana kütle standart sapmas› s ’n›n bilindi¤i durum için geçerlidir.Ne var ki, gerçek yaflamda karfl›laflt›¤›m›z problem çözümlemelerinde s genellik-le bilinmez. Bu durumda standart hata, s yerine onun tahmini olan örneklemstandart sapmas› s kullan›larak tahminlenir ve s simgesiyle gösterilir. ’n›n ör-nekleme da¤›l›m› n ≥ 30 birim oldu¤unda normal da¤›l›ma uydu¤u için, bu yak-lafl›m önemli bir hataya neden olmaz. Rassal örneklem hacmi yeterli büyüklükteoldu¤unda, 1 - a güven düzeyi için, m ’nün güven aral›¤›

fleklinde bulunur.Ortalaman›n standart hatas›n›n tahmini; örnekleme birim seçiminde iadeli se-

çim uygulan›r, örnekleme oran› n/N<0.05 olur, tan›mlanan ana kütle sonsuzolursa

formülüne göre hesaplan›r. Buna karfl›l›k birim seçimi iadesiz yap›l›r ya da örnek-leme oran› n/N>0.05 olursa,

formülüyle hesaplan›r.

Bir ekmek fabrikas›n›n üretim sürecinde, 100 ekmeklik bir rassal örnek-lem seçilmifltir. Bu ekmeklerin ortalama a¤›rl›¤› 375 gr ve standart sapmas=15 gr olarak hesaplanm›flt›r. Üretilen ekmeklerin ortalama a¤›rl›¤›n›% 95 güven düzeyiyle tahminleyiniz.

sx = sn . N – 1

N – n

sX = sn

X – Za2 < m < X + Za

2

Xx

N - 1N - n

sx

sx = sn

sxX

Ünite 8 - ‹stat ist iksel Tahminleme 203

Tablo 8.1 Baz› (1-a)de¤erleri için tablo de¤erleri.

Za2

1-a 1-a

0.99 2.576 0.80 1.2820.95 1.960 0.60 0.8420.90 1.645 0.50 0.674

Za2

Za2

Ö R N E K 3

n = 100 Ekmek = 375 gr

s = 15 grG.D = 1 - a = 0.95

dolay›s›yla

a = 0.05

olur.Problemde ana kütlenin de¤iflkenli¤i ve bölünme flekli hakk›nda bilgi

bulunmamaktad›r. Örneklem hacmi n=100 birim (n>30 birim) oldu¤u için ’nin örnekleme bö-

lünmesi normaldir (Merkezi Limit Teoremi). Bu bilgilere göre = ±1.96 d›r.Ana kütle hacmi sonsuzdur. Buna göre

ve güven aral›¤›

375 – 1.96(1.5) < m < 375 + 1.96(1.5)

372.06 < m < 377.94

olarak hesaplan›r.

Üretilen ekmeklerin ortalama a¤›rl›¤› % 95 güvenle 372.06 gr ile 377.94 gr ara-s›nda bir de¤erdir. Baflka bir ifadeyle 372.06 – 377.94 gr aral›¤›n›n üretilen ekmek-lerin gerçek ortalama a¤›rl›¤›n› kapsayaca¤›na % 95 güvenebilirsiniz.

Küçük Örneklemlerde m ’nün Aral›k TahminlemesiÖrneklem hacmi küçük (n<30 birim) oldu¤u zaman, örneklem ortalamalar›n›n

standart de¤erleri yukar›da aç›kland›¤› gibi normal da¤›l›ma sahip olmaz. Bu du-rumda m için aral›k tahminlemesi, tan›mlanan ana kütlenin, normal da¤›l›ma sa-hip olup olmad›¤›n›n bilinmesine ba¤l›d›r.

Normal da¤›lan bir ana kütleden, rassal olarak seçilebilecek birbirinden farkl›,n < 30 birim hacimli, mümkün bütün örneklemlerin seçildi¤ini, her örneklem için

ve onlar›n standart de¤erlerinin hesapland›¤›n› düflünelim. De-¤er aral›¤› -∞ ve +∞ olan istatisti¤i u = n-1 serbestlik derecesin-de t da¤›l›m› ad› verilen sürekli bir da¤›l›ma uyar ve

fleklinde gösterilir.

t = X - msx

X – m / sx

X – m / sxX

Z = X – msx

X – Za2 < m < X + Za

2

sx = 15100

= 1510

= 1.5 gr.

Za2

X

X

‹s tat ist ik204

ÇÖ

ZÜ

M

t da¤›l›m› ortalamas› s›f›r olan tek modlu ve simetrik bir da¤›l›md›r. Bu da¤›l›-m›n flekli normal da¤›l›m›n flekline benzer fakat de¤iflkenli¤i daha fazlad›r. Bilin-di¤i gibi örneklenen ana kütlenin da¤›l›m› normal oldu¤unda, ( - m) / is-tatisti¤i standart normal da¤›l›ma sahip olur. Ana kütle de¤iflkenli¤i ’nin bilin-medi¤i durumlarda ’nin yerine ’nin ikame edilmesi; bu standart de¤iflkenüzerinde ilave bir de¤iflkenli¤i tan›mlar ve t istatisti¤i bu de¤iflkenli¤i do¤ru birflekilde dikkate al›r. Örneklem hacmi artarken, serbestlik derecesi u = n - 1 bü-yür, ’nin kullan›lmas› nedeniyle ortaya ç›kan de¤iflkenlik küçülür ve t da¤›-l›m› standart normal da¤›l›ma yaklafl›r.

Yukar›da verilen bilgilerin ›fl›¤›nda ilgilenilen ana kütle normal da¤›l›ma sahipoldu¤unda, m için güven aral›¤› büyük örneklerdekine benzer flekilde afla¤›dakigibi ifade edilir. Tek fark z yerine t istatisti¤inin kullan›lmas›d›r.Tan›mlanan ana kütle normal da¤›l›yorsa, m için 1 - a güven aral›¤›

fleklinde belirlenir.Burada;t: 1 - a güven düzeyinde ve n - 1 serbestlik derecesine ba¤l› olarak t de¤erleri tab-losundan bulunur. t tablosu örne¤i ekte verilmifltir.

: Ortalaman›n standart hata tahminidir ve

tahminleyiciyle tahminlenir.

Otomobil lasti¤i üreticisi bir fabrikan›n yönetim organ› üretilen lastikle-rin ortalama ömrünü km olarak tahminlemek istemektedir. Bu amaçlarassal olarak 26 lastik seçilmifl ve bu lastiklerin ortalama ömrünün 30.000km ve standart sapmas›n›n da 1500 km oldu¤unu tespit edilmifltir. % 99güven düzeyi için istenen tahminlemeyi yap›n›z.

n = 26 lastik = 30.000 Km

s = 1500 KmG.D. = 0.99a = 0.01

Üretilen lastiklerin ortalama ömrünün normal bölünmeye sahip olabilece¤ini,çok fazla çarp›k olamayaca¤›n› biliyoruz. Bu nedenle

güven aral›¤› uygulanabilir. Belirlenen G.D = 1 - a = 0.99 ve serbestlik derecesi

u = n - 1 = 26-1 = 25 dir.

% 99 güven düzeyi (a =0.01) ve u = 25 serbestlik derecesi için t Tablo De¤erit0.01;25 = 2.787 elde edilir.

X – t sx < m < X + t sx

X

sx = sn – 1

sx

X – t sx < m < X + t sx

sx

sxsx

ssxX

Ünite 8 - ‹stat ist iksel Tahminleme 205

Ö R N E K 4

ÇÖ

ZÜ

M

Ortalaman›n standart hatas›ysa

bulunur.

Örneklem ortalamas›, tahmininden yararlan›larak % 99 güven aral›¤›,

30000-2.787(300) < µ 30.000 + 2.787 (300)

29163.9 < m < 30836.1

biçiminde oluflturulur.

Üretilen bu otomobil lastiklerinin ortalama ömrü % 99 güvenle 29163.9 km ile30836.1 km aras›nda bir de¤erdir.

Ana kütlenin da¤›l›m› normal de¤ilse, verilerin bir matematiksel dönüflümlenormale yaklaflt›rabilece¤i düflüncesinden hareketle, m’nün güven aral›¤›n›n tah-minlenmesinde, (yukar›da aç›klanan uygulama) dönüfltürülmüfl verilere uygulan›r.

Örne¤in logaritmik dönüflüm bu amaçla s›kça kullan›l›r. Çünkü; dönüfltürül-müfl logaritmik veriler, dönüfltürülmemifl verilere göre daha az çarp›kt›r.

Ana Kütle Oran›n›n Aral›k Tahminlemesi Bu parametre için aral›k tahmini prosedürü, örneklem hacmi büyük ( n ≥ 30

birim) ya da n/ N ≤ 0.05 oldu¤u hallerde uygulan›r. Daha önce de aç›kland›¤›gibi, büyük örneklemler için örneklem oran›, p’nin örnekleme da¤›l›m›, yaklafl›knormal da¤›l›m gösterir. Ayn› zamanda biliniyor ki, bu da¤›l›m›n ortalamas› E(p)= π, standart hatas›

d›r.Buradan, rassal örneklem hacmi yeterli büyüklükteyse, örneklem oranlar›n›n

standart de¤erlerinin,

standart normal da¤›l›ma sahip oldu¤u söylenebilir ve anakütle ortalamas› aral›ktahmininde oldu¤u gibi, 1- a güven düzeyinde ana kütle oran› π’nin aral›k tah-mini için güven aral›¤›,

fleklinde hesaplan›r.

p – Za2 sp < π < p + Za

2 sp

z = p – psp

sp =p 1 – p

n

sx

sx = sn – 1

= 150025

= 300 km

‹s tat ist ik206

Bir bölgedeki sigara içen insanlar›n aras›nda kanser hastas› olanlar›noran›n›n belirlenmesi amaçlanmaktad›r. Bu amaçla rassal seçimle 1500kiflilik bir örneklem oluflturulmufl ve 1500 kiflinin içinde 375 kiflinin kan-ser hastas› oldu¤u belirlenmifltir. Bu bölgedeki sigara içen insanlar›n için-deki kanserli hasta oran›n› 1 – a = 0.95 güven düzeyinde tahmin ediniz.

n = 1500 sigara içen

r = 375 sigara içen ve kanser hastas› olan kifli say›s›

π = ?

1 – a = 0.95

a = 0.05

Za/2 = ± 1.96

1 - p = 0.75

0.25-1.96(0.011) < π < 0.25 + 1.96 (0.011)

0.25-0.02156 < π < 0.25 + 0.02156

0.22844 < π < 0.27156

olarak elde edilir.Bu bölgede sigara içenler aras›ndaki kanserli hasta oran› % 95 güvenle, %

22.84 ile % 27.16 aras›nda bir de¤er olarak elde edilir.

1. Örneklem ortalamas›n›n da¤›l›m›n›n normal olabilmesi için gerekli koflullar nelerdir?

2. Standart hata, ne ölçüsüdür? Bu hatay› tamamen ortadan kald›rabilir misiniz, kal-d›ramazsan›z nedenleriyle aç›klay›n›z.

3. Uygulamada nokta tahminlemesine mi, yoksa aral›k tahminlemesine mi güvenirsiniz?Nedenleriyle aç›klay›n›z.

sp = 0.25 x 0.75n

= 0.011

p = rn = 375

1500 = 0.25

Ünite 8 - ‹stat ist iksel Tahminleme 207

ÇÖ

ZÜ

M

Ö R N E K 5

SIRA S ‹ZDE

Kendimizi S›nayal›m1. Bir ana kütlenin aritmetik ortalamas›n›n güven s›n›rla-r›n› % 99.34 güvenle tahmin edebilmek için kullan›lacakstandart hata katsay›s› kaçt›r?

a. 2.66b. 2.68c. 2.70d. 2.72e. 2.74

2. Normal da¤›l›ma sahip bir ana kütleden rasgele seçilen226 birimlik örne¤in ortalamas› 16. standart sapmas›ysa 4tür. Buna göre, ana kütle ortalamas›, % 99.30 güvenlehangi aral›kta yer al›r?

a. 14.20 – 16.72b. 14.28 – 17.72c. 15.26 – 16.74d. 15.28 – 16.72e. 15.28 – 17.72

3. Ana kütle ortalamas›n›n 0.99 güvenle tahminlenebil-mesi için rassal olarak seçilen 15 birimlik örne¤in ortala-mas› 160. standart hatas› ise 16 olarak hesaplanm›flt›r.Tahminlemede kullan›lacak tablo de¤eri kaçt›r?

a. –1.5b. 2.718c. 2.977d. 2.947e. 3.105

4. Bir ilaç firmas›nda belirli bir ilac›n günde ortalama kaçkg. üretildi¤i tahmin edilmek istenmektedir. Bu amaçla ila-c›n 81 günlük üretimi incelenmifl ve ortalama üretimin 892kg., standart sapmas›n›nsa 27 kg. oldu¤u belirlenmifltir. a= 0.05 için, istenen tahmin afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 876.15 – 896.88b. 886.12 – 897.88c. 989.88 – 886.12d. 912.15 – 926.10e. 985.10 – 986.18

5. Aral›k tahminlemesinin nokta tahminlemesine tercihedilmesinin nedeni afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Aral›k tahminlemesi, tahminin güvenilirli¤ini belir-leme imkân› verir.

b. Nokta tahminlemesi, tahminin güvenilirli¤ini belir-leme imkân› verir.

c. Aral›k tahminlemesi parametre de¤erini kapsar.d. Nokta tahminlemesiyle parametre de¤eri aras›nda

fark daima s›f›rd›r.e. Aral›k tahminlemesi sadece örneklem istatisti¤ine

iliflkindir.

6. Seçim yap›lacak bir ilçede, partilerin oy oranlar›n›ntahminlenmesi amac›yla oluflturulacak rassal örneklemiçin, uygun örneklem afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Geçen seçimde oy kullanm›fl bütün seçmenler ör-nekleme al›n›r.

b. ‹lçedeki seçmen listelerinden rasgele isimler seçilir.c. Her seçmen efliyle birlikte örnekleme al›n›r.d. Yaln›zca okuryazar seçmenler örnekleme al›n›r.e. ‹lçede oturan bütün seçmenler örnekleme al›n›r.

7. Normal da¤›l›ma sahip bir ana kütleden rasgele seçi-len 81 birimlik örneklemler için ortalaman›n standart ha-tas› 0.25 olarak hesaplanm›flt›r. ‹lgili da¤›l›m›n standartsapmas› kaçt›r?

a. 2.25 b. 4.50c. 5.06d. 12.25e. 20.25

8 ve 9. sorular afla¤›daki bilgilere göre cevap-land›r›lacakt›r.Bir üniversitede sigara içen ö¤renci oran› tahminlenmekistenmektedir. Bu amaçla rassal seçimle n = 1 000 ö¤ren-ciden oluflan bir örneklem oluflturulmufltur. Bu örneklem-den 300 ö¤rencinin sigara içti¤i belirlenmifltir.

8. Bu üniversitede sigara içen ö¤renci oran›na iliflkin,yaklafl›k olarak % 99 güven düzeyi için üst s›n›r de¤erikaçt›r?

a. 0.263b. 0.284c. 0.337d. 0.420e. 0.990

9. Yukar›daki bilgilere göre, ortalama hata düzeyi kaçt›r?a. 0.0048b. 0.0100c. 0.0370d. 0.2570e. 0.3280

10. Bir s›n›f›n ortalama baflar› düzeyini tahminlemek ama-c›yla rassal olarak 16 ö¤renci seçilmifl ve bu ö¤rencilerinortalama baflar›s›n›n 4 üzerinden 2.224 oldu¤u hesap-lanm›flt›r. % 95 güven düzeyi için yap›lacak bir tahminle-mede kullan›lacak serbestlik derecesi kaçt›r?

a. 0.95b. 2.24c. 15d. 16e. 24

Za2

‹s tat ist ik208

Yan›t Anahtar›1. d2. d3. c4. b5. a6. b7. a8. c9. c10. c

Yararlan›lan KaynaklarFINK, Arlene: How to Sampling in Surveys, Sage Pub-

lications, London, 1995.GÜRSAKAL, Necmi: Bilgisayar Uygulamal› ‹statistik I,

Marmara Kitabevi,Bursa, 1997.MALTHORA, Naresh K.: Marketing Research An Appli-

ed Orientation, 2nd Edition, Prentice-Hall Internati-onal Inc, New Jersey, 1996.

NETER, J; WASSERMAN, W, WHITMORE, G.A.: Applied

Statistics, Simon and Schuster Inc, Boston, 1993.ÖZMEN, A., ÖZDAMAR, K., ODABAfiI, Y., HOfiCAN, Y.,

B‹R, A.A., KIRCAAL‹‹FTAR, G., UZUNER, Y., Sosyal

Bilimlerde Araflt›rma Yöntemleri, TC. Anadolu Üni-versitesi Yay›nlar› No:1081; Aç›kö¤retim Fakültesi Ya-y›nlar› No:601, Eskiflehir, 1999.

PÜSKÜLCÜ Halis, ‹K‹Z Fikret: ‹statisti¤e Girifl, (2. Bas-k›), E.Ü. Mühendislik Fakültesi Yay›n No: 601, EgeÜniversitesi Bas›mevi, ‹zmir, 1986.

SERPER, Özer, AYTAÇ Mustafa: Örneklem, Ezgi Kitabe-vi, Bursa, 2000.

SERPER, Özer: Uygulamal› ‹statistik II, Filiz Kitabevi,‹stanbul, 1986.

TRYFOS, Peter: Sampling Methods for Applied Rese-

arch, John Wiley & Sons Inc., New York, 1996.TULL, Donald S., HAWKINS, Del I.: Marketing Research

Measurement and Method, 6th Edition, MacMillanPublishing Company, New York, 1993.

Ünite 8 - ‹stat ist iksel Tahminleme 209

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak• Bu üniteyi kolayca anlayabilmeniz için Örnekleme ve ‹statistiksel Tahminleme

isimli üniteler özümsenmifl olmal›,• Kavramlar ve bu kavramlar aras›ndaki iliflkiler dikkatle incelenmeli,• Örnekler ve örnek çözümleri dikkatle incelenmeli, sorunlarla karfl›lafl›l›rsa

kavramsal aç›klamalara geri dönülmelidir.

211

Hipotez Testleri 9

‹s tat ist ik212

��

�

�

Amaçlar:‹statistiksel hipotez ve istatistiksel hipotez testi kavramlar›n› aç›klayabileceksiniz.Parametrik ve parametrik olmayan teknikler aras›ndan seçim yaparken,dikkat edilecek kriterleri aç›klayabileceksiniz.Bir istatistiksel test sürecinin aflamalar›nda, hangi ifllemlerin yap›laca¤›n›s›ralayabileceksiniz.Anakütle aritmetik ortalamas›na ve anakütle oran›na iliflkin hipotez testiuygulamalar›n› yapabileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• ‹STAT‹ST‹KSEL H‹POTEZ VE ‹STAT‹ST‹KSEL H‹POTEZ TEST‹• H‹POTEZ TEST‹ TÜRLER‹• H‹POTEZ TEST‹ SÜREC‹N‹N ADIMLARI

• Hipotezlerin ‹fade Edilmesi• Anlaml›l›k Düzeyinin Belirlenmesi• Verilerin Derlenmesi• Test ‹statisti¤inin Seçilmesi• ‹statistiksel Karar›n Verilmesi• Probleme ‹liflkin Karar›n Verilmesi

• TEK ANAKÜTLE PARAMETRES‹YLE ‹LG‹L‹ H‹POTEZ TESTLER‹• Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Hipotez Testleri• Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Büyük Örneklem Testi• Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Küçük Örneklem Testi• Anakütle Oran›na ‹liflkin Test

G‹R‹fiÖrnekleme teorisi, anakütle parametrelerinin tahminlenmesi yan›nda, istatistikselhipotezlerin test edilmesine de imkan vermektedir. Yorumsal istatistikte gelenek-sel karar alma ifllemi olarak hipotez testi, örneklem bilgilerinden yararlanarak buörneklemin çekildi¤i anakütlenin bir ya da daha fazla parametresi hakk›nda yo-rum yapma konular›n› içerir. Burada, örneklem gözlem de¤erleri kullan›larak he-saplanan istatisti¤in de¤eriyle, bu istatisti¤in bilgi üretti¤i parametrenin öncedenbelirlenmifl, bilinen de¤eri aras›ndaki farkl›l›¤›n, istatistiksel olarak anlaml› olupolmad›¤› belirlenir. Farkl›l›k varsa, bu farkl›l›¤›n öneminin, s›f›r hipotezini reddet-mek için yeterli olup olmad›¤›na karar verilir. E¤er sözkonusu farkl›l›k anlaml› birfarkl›l›ksa s›f›r hipotezi reddedilir, tersi durumda kabul edilir.

Genellikle, parametrenin önceden belirlenmifl, bilinen de¤erinin de¤iflmedi¤i-nin ifade edildi¤i s›f›r hipotezine iliflkin karar verebilmek için, örneklem bilgileri-nin olas›l›¤a dayanarak genellefltirilmesi gerekir. Bu durum, ilgilenilen parametrehakk›nda bilgi üreten istatisti¤in örnekleme da¤›l›m›n›n bilinmesini gerektirir.

Bu ünitede; anakütle aritmetik ortalamas› ve anakütle oran›na iliflkin hipotez-lerin test edilmesinde, olas›l›k ve örnekleme da¤›l›m› kavramlar›n›n, nas›l uygula-naca¤› gösterilmifltir. Bu amaçla ünitede, önce hipotez ve hipotez testi kavramla-r› aç›klanm›fl, sonra da bir hipotez testi sürecinin aflamalar› s›ras›yla aç›klanarak,hipotez türleri hakk›nda bilgi verilmifltir. Daha sonra da tek anakütle aritmetik or-talamas›na ve oran›na iliflkin hipotez testleri, örnekler üzerinde, ayr›nt›l› bir flekil-de aç›klanm›flt›r.

‹STAT‹ST‹KSEL H‹POTEZ VE ‹STAT‹ST‹KSEL H‹POTEZ TEST‹

‹statistiksel hipotez ve istatistiksel hipotez testi kavramlar›n›aç›klayabileceksiniz.

F çimento fabrikas› ürünlerini, üzerinde ortalama 50 kg. yazan torbalarla, pazarla-maktad›r. Z inflaat firmas›, fabrika yetkililerine baflvurarak, son al›nan 100 torbal›kbir partinin ortalamas›n›n 47.5 kg. oldu¤unu bildirerek, zarara u¤rad›¤›n› öne sür-müfl ve fabrika yetkililerinden aç›klama istemifltir. Fabrika yetkilileri, e¤er kendiürünlerini kullanmaya devam ederlerse, baflka partilerin ortalamas›n›n 50 kg. danfazla ç›kabilece¤ini ve zaman içinde giderek fark›n s›f›rlanaca¤›n› belirterek, bi-linçli bir eksik (ya da fazla) doldurman›n söz konusu olmad›¤›n› ifade etmifllerdir.

Fabrika yetkililerinin savunmalar›nda ne kadar hakl› olduklar› (ya da olmad›k-lar›) istatistiksel tekniklerle araflt›r›labilir. Bu ünitede, benzer problemlerin çözüm-lerinde kullan›lan teknikler, yeterli ve ayr›nt›lar›yla ele al›nm›flt›r.

Genel olarak hipotez, karfl›lafl›lan özel duruma iliflkin bir önermedir. ‹statistik-sel hipotez, bir araflt›rmada ilgilenilen bir ya da daha fazla parametrenin de¤erihakk›nda ileri sürülen ve do¤rulu¤u, geçerlili¤i bu parametre(ler) hakk›nda bilgiüreten istatistik(ler)den ve bu istatistik(ler)in örnekleme da¤›l›m›yla ilgili bilgiler-den yararlanarak araflt›r›labilen önermelerdir. ‹statistiksel hipotezler bir ya da da-ha fazla anakütle parametre de¤eriyle ilgili olabilirler. ‹statistiksel hipotezleri di-¤er hipotezlerden ay›ran özellik, bu hipotezlerin bir frekans da¤›l›m›na ait olma-s›d›r. Baz› istatistiksel hipotez örnekleri afla¤›da verilmifltir.

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 213

A M A �

1

Hipotez, karfl›lafl›lan özeldurumu iliflkin bir önermedir.

‹statistiksel hipotez, herhangi bir ana kütle parametresine iliflkin olarakileri sürülen ve do¤rulu¤uolas›l›k kurallar›ylaaraflt›r›labilen önermedir.

Örnekler:1) Günlük ortalama üretimi 750 kg. olan bir ilaç fabrikas›nda, uygulanan yeni

üretim tekni¤i, ortalama üretimi art›rm›flt›r.2) Bir üretim sürecinde üretilen tereya¤› paketleri ortalama 500 gr a¤›rl›¤›ndad›r.3) Bir yerleflim yerinde ikamet eden ailelerin %10’u al›flverifllerini süper mar-

ketlerden yapmaktad›r.

Anakütle parametreleri hakk›ndaki hipotezler (önermeler), parametre de¤er-(ler)i hakk›nda, daha önceden bilinen bir düzey, standart bir de¤er ya da varsa-y›msal bir de¤er olabilir. Birinci örnekte, ilk ilaç üretim yönteminin ortalama üre-tim düzeyi olan 750 kg. bilinen bir de¤erdir. ‹kinci örnekteki tereya¤› paketlerininplanlanan a¤›rl›¤› olan 500 gr. standart bir de¤erdir. Son örnekteki süper market-lerden al›flverifl yapan ailelerin oran› olan %10 varsay›msal de¤erdir.

Bir istatistiksel hipotez, do¤ru ya da yanl›fl olabilir. Çünkü bu bir önermedir.Gerçe¤i ö¤renebilmek için, anakütle parametresi q’n›n de¤erini hesaplamak ge-rekir. Bu da tamsay›m yapmay› gerektirir. Ancak, örnekleme yapmay› gerektirennedenlerden dolay› bu, her zaman mümkün de¤ildir. Bu durumda istatistiksel hi-potezlerin geçerlili¤i ya da do¤rulu¤u konusunda karar verebilmek için, bu hipo-tezlerin, tan›mlanan anakütleden seçilen örneklemin gözlem de¤erlerinden he-saplanan örneklem istatisti¤inden ( ’dan), bu istatisti¤in ( ’n›n) örnekleme da-¤›l›m›n›n özelliklerinden yararlanarak test edilmesi gerekir. ‹statistiksel hipoteztesti, örneklem istatistiklerini kullanarak, bir hipotezin do¤ru olup olmad›¤›n› or-taya koymaya yönelik yap›lan çal›flmalard›r. Yorumsal istatistikte hipotez testi, ör-neklem gözlem de¤erlerinden yararlanarak, bu örneklemin seçildi¤i anakütlenindurumu hakk›nda yorum yapmakt›r.

Daha önceki ünitede de belirtildi¤i gibi, anakütleden rassal örneklem al›nm›flolsa bile, örneklem gözlemlerinden hesaplanan bir istatisti¤in, bu istatisti¤in bilgiüretti¤i parametre hakk›nda ileri sürülen de¤ere (q0) eflit olmas› beklenemez. Ya-ni örneklem istatistikleri, ayn› hacimli farkl› örneklemlerde farkl› de¤erler alabildi-¤i için ya da gibi farklar olabilir. Bu nedenle, is-tatistiksel test sonucu verilecek karar›n, güvenilir oldu¤u konusunda, kesin kararverilemez. Fakat, olas›l›k kuram›ndan yararlanarak, bir hipotezin istatistiksel testlene derece güvenle (ne derece hatayla) kabul ya da reddedilece¤ini belirlemekolanakl› olmaktad›r. Burada önemli olan, fark›n›n istatistiksel olarak an-laml› olup olmad›¤›n› belirlemektir. Baflka bir anlat›mla, farklar›n gerçek de¤iflme-yi mi aç›klad›¤›, yoksa rassal olarak m› meydana geldi¤ini belirlemektir. Anlaml›farkl›l›k belirlenmiflse hipotez, belirli bir hata pay›yla reddedilir. Tersi durumdakabul edilir.

1. ‹statistiksel hipotez nedir?

2. ‹statistiksel hipotez testinin konusu nedir?

3. ‹statistiksel hipotez neden do¤ru ya da yanl›fl olabilir aç›klay›n›z.

q – q0

q – q0 < 0q – q0 > 0 , q = q0 – 0

qq

‹s tat ist ik214

SIRA S ‹ZDE

H‹POTEZ TEST‹ TÜRLER‹

Parametrik ve parametrik olmayan teknikler aras›nda seçim ya-parken, dikkat edilecek kriterleri aç›klayabileceksiniz.

Hipotez testleri, ilgilenilen de¤iflken(ler)in ölçülmesinde benimsenen ölçe¤e ba¤-l› olarak, parametrik hipotez testleri ve parametrik olmayan hipotez testleri flek-linde s›n›fland›r›l›rlar. Parametrik testler de¤iflkenlerinin ölçülmesinde eflit aral›kl›ya da oranl› ölçe¤in kullan›ld›¤› hipotez testleridir. Çünkü; bu iki ölçekle de eldeedilen veriler üzerinde aritmetik ifllemler yapmak mümkündür. Parametrik hipo-tez testlerinde, hipotezde bilinen bir olas›l›k fonksiyonundaki q parametresininönceden bilinen, q0 de¤erine eflit ya da bundan büyük, küçük ya da farkl› oldu-¤u ileri sürülebilir.

Parametrik testler örneklem say›s›n›n tek ya da iki olufluna ve iki örnekleminvarl›¤›nda, bu örneklemlerin ba¤›ms›z ya da ba¤›ml› olufluna ba¤l› olarak s›n›f-land›r›l›rlar. En önemli parametrik testler z ve t testleridir. Bu ünitede tekanakütle (ya da tek örneklem) ortalamas›na iliflkin z ve t testleriyle tek ana-kütle (ya da tek örneklem) oran›na iliflkin z testi ayr›nt›l› olarak incelenmifltir.

Parametrik olmayan testler, anakütle da¤›l›m› nas›l olursa olsun uygulanabilentestlerdir. Bu testlerde, parametrelerle ilgilenilmeyip, hipotezler, ilgili de¤iflkeninbelirli bir nitel özelli¤ine göre oluflturulur.

Parametrik olmayan testler, de¤iflkenlerinin ölçülmesinde, s›n›flay›c› ya da s›-ralay›c› ölçe¤in kullan›ld›¤› hipotez testleridir. Bu tür testlerde, parametrik testler-de oldu¤u gibi, anakütlenin (örneklemin) tek ya da iki olufluna ve iki anakütle(iki örneklem) sözkonusu oldu¤unda da örneklemlerin ba¤›ms›z ve ba¤›ml› olu-fluna göre s›n›fland›r›l›rlar.

Parametrik olmayan hipotez testlerine iliflkin “Ki-Kare Testi” ayr› bir ünitedeincelenmifltir.

1. De¤iflkenlerin ölçülmesinde benimsenen ölçe¤e ba¤l› olarak, istatistiksel hipotezlernas›l s›n›fland›r›l›r?

2. De¤iflkenlerin ölçülmesindeki, eflit aral›kl› ölçe¤in kullan›lmas›nda, hangi test türükullan›l›r?

3. Parametrik olmayan testlere hangi durumlarda baflvurulur?

H‹POTEZ TEST‹ SÜREC‹N‹N ADIMLARI

Bir istatistiksel test sürecinin aflamalar›nda, hangi ifllemlerin ya-p›laca¤›n› s›ralayabileceksiniz.

Anakütle parametre de¤erleri hakk›nda ileri sürülen iddialar›n test edilmesindeafla¤›daki ad›mlar izlenir:

Hipotezlerin ‹fade Edilmesi‹statistiksel hipotezlerin testinde, iki hipotez söz konusudur. Bunlar; “s›f›r hipote-zi” ve “karfl›t hipotez” olarak isimlendirilirler. Bu aflamada, s›f›r hipotezinin ve kar-fl›t hipotezin nas›l ifade edilece¤ine karar verilir.

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 215

A M A �

2

SIRA S ‹ZDE

A M A �

3

S›f›r hipotezi H0 simgesiyle gösterilir ve hangi hipotezin test edilece¤ini ifadeeder. H0 hipotezinde test süreci tamamlan›ncaya kadar örneklem istatisti¤i de-¤eriyle q parametresinin de¤eri hakk›nda ileri sürülen q0 , ile q parametreleri-nin de¤erleri aras›ndaki fark›n örnekleme hatas›ndan kaynaklanabilece¤i, bu ikide¤er aras›nda gerçekte anlaml› bir farkl›l›k olmad›¤›, farkl›l›¤›n istatistiksel ola-rak, s›f›r oldu¤u ifade edilir. S›f›r hipotezi; parametrenin önceden belirlenmifl, bi-linen de¤erinde, hiçbir farkl›l›¤›n (etkinin) beklenmedi¤inin ifade edildi¤i hipotez-dir. Bu aç›klamalar›n ›fl›¤›nda H0 hipotezi,

H0 : q = q0

fleklinde ifade edilir.H0 hipotezinin test edilebilmesinde, bu hipotezden farkl› bir hipotezin de ifa-

de edilmesi gerekir. H1 simgesiyle gösterilen bu hipoteze “karfl›t hipotez” ad› ve-rilir. H1 hipotezi H0 hipotezinin belirli bir olas›l›kla reddedilmesi durumunda ka-bul edilen ve genellikle araflt›rma hipotezinin incelendi¤i hipotezdir. Karfl›t hipo-tez, parametrenin önceden belirlenmifl, bilinen de¤erinde baz› farkl›l›¤›n ya da et-kinin beklendi¤inin ifade edildi¤i hipotezdir. Bu hipotez araflt›rman›n amac›naba¤l› olarak, afla¤›daki üç farkl› flekilden birisiyle ifade edilmifl olur:

H1 : q ≠ q0H1 : q > q0H1 : q < q0

Birinci ifadede, H0 hipotezi; verilecek karar›n, anakütle parametre de¤erinden,her iki yöndeki (hem küçük hem de büyük yöndeki), anlaml› farkl›l›klardan etki-lenece¤ini ifade eder. ‹kinci ifadede, verilecek karar›n, anakütle parametre de¤e-rinde, sadece büyük yöndeki anlaml› sapmadan etkilenece¤ini, son ifadedeyse sa-dece küçük yöndeki anlaml› farkl›l›¤›n, verilecek karar› etkileyece¤ini ifade eder.

Hipotez testlerinde H1 hipotezi, testin yönünü ya da H0 hipotezinin reddedile-ce¤i bölgenin yerini belirleyen hipotezdir. Red bölgesi, H0 hipotezinin reddedil-mesine (H1 hipotezinin kabul edilmesine) neden olan örneklem istatisti¤i (yada test istatisti¤i) ile ilgili de¤erler aral›¤›d›r. Kabul bölgesiyse, H0 hipotezinin ka-bul edilmesine (H1 hipotezinin reddedilmesine) neden olan örneklem istatisti¤i (test istatisti¤i) ile ilgili de¤erler aral›¤›d›r. Hipotez testleri, H1 hipotezinin ifadeedilifl flekline göre: “‹ki yönlü test”, “tek yönlü üstkuyruk testi” ve “tek yönlü altkuyruk testi” olarak isimlendirilirler. Bu testlere iliflkin hipotezlerin ifade edilifl bi-çimi afla¤›da verilmifltir.

‹ki Yönlü Testlerde Hipotezler:H0 : q = q0H1 : q ≠ q0

Tek Yönlü ÜstKuyruk Testlerinde Hipotezler:H0 : q = q0H1 : q > q0

q

q

q q

‹s tat ist ik216

S›f›r hipotezi (H0), ilgili anakütle parametresinin bilinende¤erinde herhangi birfarkl›l›¤›n beklenmedi¤iniifade eden hipotezdir.

Karfl›t hipotez (H1), ilgiliana kütle parametresininbilinen de¤erinde istatistiksel olarak anlaml›farklar›n beklendi¤ini ifadeeden hipotezdir.

Tek Yönlü AltKuyruk Testlerinde Hipotezler:H0 : q = q0H1 : q < q0

fleklinde belirlenir.Yukar›daki her hipotez tak›m›nda kullan›lan isim, H1 hipotezinde q için veri-

len de¤erler aral›¤›n› aç›klamaktad›r. Bu durum, örneklem istatisti¤inin ’n›n nor-mal da¤›l›ma sahip oldu¤u kabul edilerek afla¤›daki flekillerle aç›klanm›flt›r. Örne-¤in iki yönlü hipotezlerde H1 hipotezi fiekil 9.1’de görüldü¤ü gibi q0’›n her iki ta-raf›ndaki q ile ilgili de¤erleri kapsamaktad›r. Baflka bir ifadeyle örneklem istatisti-¤i ’n›n belirli bir A1 de¤erinden küçük ya da belirli bir A2 de¤erinden büyükolan de¤erleri H1 hipotezi yönünde, H0 hipotezinin red bölgesinde yer alan de-¤erlerdir.

Tek yönlü üstkuyruk testlerinde, H1 hipotezi, q0’dan büyük olan q ile ilgili de-¤erleri içerdi¤i için, bu isim verilmifltir. Tek yönlü üstkuyruk testlerinde, H1 hipo-tezi, (fiekil 9.2’de görüldü¤ü gibi) ’n›n, q0’dan büyük olmak üzere, belirli bir Ade¤erinden büyük de¤erleri H1 hipotezi yönünde, H0 hipotezinin red bölgesindeyer almaktad›r.

Tek yönlü altkuyruk testlerindeyse tek yönlü üst kuyruk testinin tam tersine,(fiekil 9.3’de görüldü¤ü gibi) q0’›n solunda ve ’nin A’dan küçük olan de¤erleri,H0 hipotezinin red bölgesinde yer alan de¤erlerdir.

qi

qi

qi

q

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 217

fiekil 9.1 ‹ki YönlüTestlerde RedBölgeleri.

fiekil 9.2 Tek YönlüÜst KuyrukTestlerinde RedBölgesi.

Hipotez testlerinde kabul yada red edilen hipotez H0’d›r.

H0 Kabul Bölgesi

H0Red Bölgesi

a / 2

H0Red Bölgesi

a / 2

A1 q0A2

Z1

qi

0

1- a

H0 Kabul Bölgesi

H0Red Bölgesi

a

q0

Z1

qi

0

1- a

A

Anlaml›l›k Düzeyinin BelirlenmesiBir istatistiksel hipotez testinde ya s›f›r hipotezinin reddedilmesi ya da kabul edil-mesi fleklinde karar verilir. Bu iki karar aras›nda seçim yaparken, örneklem ista-tisti¤inden yararlan›ld›¤› için, hatal› karar verme riski vard›r. Çünkü; ayn› anaküt-leden rassal olarak seçilen, ayn› hacimli farkl› örneklemler için hesaplanan istatis-tikler, örneklemden örnekleme de¤iflen de¤erler ald›¤›ndan, anakütle parametrede¤erinden farkl›l›k göstermektedirler.

Hipotez testlerinde, s›f›r hipotezinin yanl›fll›kla reddedilmesi ya da kabul edil-mesi sonucu ifllenen hataya “yorumlama (ç›karsama) hatas›” ad› verilir. ‹ki tür yo-rumlama hatas› vard›r: Bunlar; gerçekte do¤ru olan s›f›r hipotezinin reddedilme-si durumunda ifllenen hatayla, gerçekte yanl›fl olan s›f›r hipotezinin kabul edil-mesi durumunda ifllenen hatad›r. Gerçekte do¤ru olan s›f›r hipotezinin reddedil-mesi durumunda ifllenen hataya I. Tip hata ya da a tipi hata ad› verilir. Araflt›r-malarda a tipi hata ifllemenin maksimum olas›l›¤›na “testin anlaml›l›k düzeyi” de-nir. Anlaml›l›k düzeyinin belirlenmesi, do¤ru olan s›f›r hipotezinin, örneklemdenelde edilen bilgilere dayanarak reddedilmesi olas›l›¤›n› belirleyen a’n›n seçilme-sidir. a anlaml›l›k düzeyi, araflt›rmac› taraf›ndan, hipotezler ifade edilip veri der-lemeye bafllamadan önce seçilmelidir. Sosyal bilim araflt›rmalar›nda a için genel-likle %5 ve %1 de¤erleri seçilmektedir. Yap›lan bu seçimle birlikte, do¤ru olanH0 hipotezinin reddedilme olas›l›¤›, belirlenmifl olur. Bu olas›l›k örnekleme da¤›-l›m›yla iliflkilendirilerek kullan›l›r. Bu durumda, a anlaml›l›k düzeyi, do¤ru olans›f›r hipotezinin reddedilmesi olas›l›¤›na eflit olan, örnekleme da¤›l›m›ndaki oran-sal alan› göstermifl olur. Örnekleme da¤›l›m›nda, do¤ru olan s›f›r hipotezinin, red-dedilmesi olas›l›¤›na eflit olan oransal, alana “red bölgesi” denir. Örnekleme da¤›-l›m›n›n bu bölgesi, s›f›r hipotezi do¤ru oldu¤unda, beklenmeyen örneklem istatis-ti¤i de¤erlerini temsil eder. Örnekleme da¤›l›m›nda, red bölgesini tan›mlamadanönce, örnekleme da¤›l›m›n› tan›mlamak gerekir. Örneklem istatisti¤inin normalda¤›l›ml› olmas› durumu için red ve kabul bölgeleri fiekil 9.1, 9.2 ve 9.3’te göste-rilmifltir. fiekillerdeki A, A1 ve A2 noktalar› red bölgelerinin bafllang›ç noktalar›d›r.

Di¤er taraftan, s›f›r hipotezi gerçekte yanl›fl olabilir ve araflt›rmac› yanl›fl olanbu hipotezi kabul ederse, yine hatal› karar vermifl olur; bu tür hataya II. Tip ha-ta ya da b tipi hata denir. Bu türden hata yapman›n maksimum olas›l›¤› da b ilegösterilir.

‹s tat ist ik218

fiekil 9.3 Tek YönlüAlt KuyrukTestlerinde RedBölgesi.

H0 do¤ruyken test sonucunda reddedilirse a (I.tip) tipi hata, H0 do¤rude¤ilken test sonucundakabul edilirse b (II. tip) tipihata gerçekleflmifl olur.

H0 Kabul Bölgesi

H0 Red Bölgesi

a

A q0

Z1

qi

0

1- a

a tipi hata yapman›n maksimum olas›l›¤›na testinanlam düzeyi ad› verilir.

‹statistiksel uygulamalarda a tipi hatadan daha çok sak›n›l›r ve genellikle sade-ce a tipi hata kontrol edilir.

Araflt›rmalarda H0 hipotezinin do¤ru oldu¤una inanan araflt›rmac›, a anlaml›l›kdüzeyini çok küçük bir de¤er olarak seçebilir. H0 hipotezinin kabul edilmesi risk-lise, büyük kay›plara neden oluyorsa, a olas›l›¤› büyük tutulmal›d›r.

Örneklem hacmi sabit oldu¤unda, a tipi hata ifllemenin azalmas› (artmas›), btipi hata iflleme olas›l›¤›n›n artmas›na (azalmas›na) neden olur.

Verilerin DerlenmesiBir araflt›rma plan›nda, hipotezlerin ifade edilmesiyle araflt›rman›n genel çerçeve-si ortaya konur, problem ve de¤iflkenler tan›mlanm›fl olur. ‹fade edilen hipotezle-rin test edilebilmesi için, gerekli uygun a anlaml›l›k düzeyi belirlendikten sonra,belirlenen ana kütleden, hangi hacimde bir örneklem seçilece¤i kararlaflt›r›l›r. Da-ha sonra da ilgili anakütleden belirlenen hacimde rassal bir örneklem seçilerekveriler derlenir. Bu veriler kullan›larak, test edilecek parametre hakk›nda bilgiüreten örneklem istatistikleri hesaplan›r.

Test ‹statisti¤inin SeçilmesiDaha önce de belirtildi¤i gibi, anakütleden rassal örneklem al›nm›fl olsa bile, he-saplanan örneklem istatisti¤inin anakütle parametresi hakk›nda, önceden bilinen,belirlenen de¤ere eflit olmas› beklenmez. Bu durumda flu soru akla gelebilir: Ör-neklem istatisti¤inin de¤eriyle bu istatisti¤in bilgi üretti¤i parametrenin s›f›r hipo-tezinde ifade edilen de¤eri aras›nda nas›l bir farkl›l›k vard›r? Baflka bir ifadeyle, s›-f›r hipotezi do¤ruysa, anlams›z bir fakl›l›¤› veren bir örneklem istatisti¤i elde et-mek mümkün müdür?

Bu sorunun yan›tlanabilmesi, için, s›f›r hipotezinin test edilebilmesinde, örnek-lem istatisti¤inin da¤›l›m›n›n bilinmesine ve uygun test istatisti¤ine gereksinimvard›r.

Test istatisti¤i, örneklem istatisti¤inin de¤eriyle anakütlenin, s›f›r hipotezindeifade edilen de¤eri aras›ndaki fark›n, standartlaflt›r›lm›fl de¤eri olarak tan›mlan›r.Baflka bir ifadeyle test istatisti¤i, örneklem istatisti¤inin ile q0 aras›ndaki fark›n›standart hata birimiyle ifade eden ölçüdür. Test istatisti¤i örneklemin s›f›r hipote-zine ne kadar uydu¤unu gösterir. Bu nedenle de test istatisti¤i test sonunda veri-lecek karar›n dayand›r›ld›¤› bir örneklem istatisti¤idir.

Bir örneklem istatisti¤inin de¤eri, bu örneklem istatisti¤inin da¤›l›m›n›n bir de-¤eridir. Mümkün her örneklem istatisti¤inin de¤eri için, bir test istatisti¤i de¤erihesaplanabilece¤ine göre, test istatisti¤i örnekleme da¤›l›m›ndan söz edilebilir.Test istatistikleri genellikle normal da¤›l›m (z da¤›l›m›), t da¤›l›m› ya da Ki-Kareda¤›l›m› v.b. gibi bilinen da¤›l›mlara uyar.

Hipotez testi türleriyle ilgili bilgiler verilirken aç›kland›¤› gibi, hipotez testleriiçin de uygun test istatisti¤inin seçimesiyle ilgilenilen de¤iflkenlerin ölçülmesindekullan›lan ölçek türü, örneklem hacmi, örneklem say›s›; (örneklem say›s› iki oldu-¤unda örneklemlerin ba¤›ms›z ya da ba¤›ml› olmas›) gibi hususlar›n bilinmesi ge-rekir.

Bu ünitede, baz› parametrelere iliflkin hipotezlerin testinde, z ve t test istatis-tiklerinin seçilme gerekçeleri ve uygulamalar›na yer verilmifltir.

q

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 219

Hipotez testlerinde, örneklem istatisti¤ininda¤›l›m›n›n bilinmesizorunludur.

‹statistiksel Karar›n Verilmesi‹statistiksel karar vermekle efl anlaml› olan hipotez testi, asl›nda a anlaml›l›k dü-zeyinde H0 hipotezinin kabul edilmesi ya da reddedilmesi karar›d›r. Bu karar›nverilebilmesi için bir ölçütün belirlenmesi gerekir. Test istatisti¤inin, kritik de¤eriolarak isimlendirilen bu ölçüt, istatisti¤inin örnekleme da¤›l›m›nda, red ve ka-bul bölgelerini birbirinden ay›ran bir de¤erdir. Test istatisti¤inin kritik de¤eri, birörnekleme da¤›l›m›nda, red bölgesinin bafllama noktas›n› gösteren de¤erdir. Kri-tik de¤er, seçilen a anlaml›l›k düzeyine, H1 hipotezinin ifade edilifl biçimine veörneklem istatisti¤inin da¤›l›m flekline ba¤l›d›r. ‹zleyen aç›klamalar örneklemistatisti¤inin ve bu istatisti¤in standart de¤eri olan

test istatisti¤inin normal da¤›l›ma sahip oldu¤u kabul edilerek yap›lm›flt›r. Aç›kla-malarda a = 0.05 seçilmifltir.

E¤er karfl›t hipotez H1 : q ≠ q0 fleklinde ifade edilmiflse, red bölgesi fiekil 8.4’tegösterildi¤i gibi istatisti¤ine iliflkin normal da¤›l›m›n her iki ucunda simetrik ola-rak tan›mlanm›fl olur ve her birinin alan› oransal olarak a/2 = 0.05/2 = 0.025’tir.Buna ba¤l› olarak kritik de¤erler istatisti¤ine iliflkin normal da¤›l›m›n her ikikuyru¤undaki, q0’a göre simetrik, A1 ve A2 de¤erleri olmaktad›r.

Ancak; istatistiksel hipotez testlerinde, örneklem istatisti¤i yerine, standart-laflt›r›lm›fl de¤er kullan›lmaktad›r. Bu durumda kritik de¤erler A1 ve A2’nin

standart de¤erleri olur. A1 örneklem de¤eri q0’›n solunda (A1 q0’dan küçük de-¤erli) oldu¤u için, z1 negatif ve A2 örneklem de¤eri q0’›n sa¤›nda (A2 q0’dan bü-yük de¤erli) oldu¤u için, z2 pozitif de¤er olarak ifade edilir. z1 ya da z2 kritik de-¤erleri a = 0.05 anlaml›l›k düzeyi için Ek-1’de verilen Standart Normal E¤riAlanlar› Tablosundan yararlan›larak belirlenir. Z tablo de¤eri (ztab),

z1 =A1 – q0

sq

ve z2 =A2 – q0

sq

q

q

q

z = q – q0s

q

q

q

‹s tat ist ik220

fiekil 9.4 ‹ki YönlüTestlerde RedBölgeleri ve KritikDe¤erler.

H0 Kabul Bölgesi

A1 q0A2

Z

qi

0

1- a

H0Red Bölgesi

a / 2 = 0.5/2 = 0.025

H0Red Bölgesi

a / 2 = 0.025

Z1= -1.96 Z2= +1.96

ztab = z0,5–0,025 = z0.4750 = 1.96 d›r.

ztab = ±1.96 de¤eri standart normal da¤›l›mda %47.5’luk oransal alana karfl›gelen örneklem istatisti¤inin standart de¤eridir. ‹ki yönlü testte H0 hipotezininreddedilmesi için,

koflulunun sa¤lanmas› gerekir. Tersi durumda H0 hipotezi kabul edilir.

E¤er H1 : q > q0 ya da H1 : q < q0 fleklinde ifade edilmiflse, H0 hipotezinin

red bölgesi, birinci durumda, istatisti¤ine iliflkin normal da¤›l›m›n üstkuyru¤un-

da, ikinci durumda altkuyru¤unda tan›mlanm›flsa alan a = 0.05 olur. Buna ba¤l›

olarak kritik de¤erler s›ras›yla (fiekil 9.5’te gösterildi¤i gibi) istatisti¤ine iliflkin

normal da¤›l›m›n üst kuyru¤undaki A de¤eri ya da bunun standart de¤eri

ve (fiekil 9.6’da gösterildi¤i gibi) istatisti¤ine iliflkin normal da¤›l›m›n alt kuyru-¤undaki A de¤eri ya da bunun standart de¤eri

olur. Bu z de¤erleri birbirinin simetri¤idir. ÜstKuyruk testinde, z pozitif, altKuy-ruk testinde, z negatif iflaretlidir. z de¤erleri a = 0.05 için Ek-1’de verilen Stan-dart Normal E¤ri alanlar› tablosundan yararlan›larak belirlenirler.

ztab = z0.5–0.05 = z0.4500 = 1.64 tür.

ztab = 1.64 de¤eri, standart normal da¤›l›mda, %45’lik oransal alana karfl› ge-len, örneklem istatisti¤inin standart de¤eridir. Tek yönlü üstkuyruk testi söz konu-

z1 =A – q

sq

q

z1 =A – q0

sq

q

q

zhes = q – q0s

q

> ztab= 1.96

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 221

fiekil 9.5 Tek YönlüÜst KuyrukTestlerinde RedBölgesi ve KritikDe¤er.

H0 Kabul Bölgesi

q0A

Z1

qi

0

1- a

H0Red Bölgesi

a = 0.05

Z = 1.64

su oldu¤unda ztab = +1.64, tek yönlü altkuyruk sözkonusu oldu¤unda ztab = -1.64 al›n›r. Bu bilgilere göre H0 hipotezinin reddedilmesi için, tek yönlü üstkuy-ruk testinde;

olmal›d›r.

Tek yönlü altkuyruk testinde H0’›n reddedilebilmesi için,

koflulunun sa¤lanmas› gerekir. Tersi durumda H0 hipotezi kabul edilir. H0 hipotezinin reddedilmesi yönündeki kararlar, örneklem de¤eri ile ana-

kütle parametresi aras›nda, a anlaml›l›k düzeyinde anlaml› bir farkl›l›¤›n var oldu-¤unu, H0 hipotezinin kabul edilmesi durumundaysa olan farkl›l›¤›n örneklemehatas›ndan kaynakland›¤› anlam›na gelir.

Probleme ‹liflkin Karar›n VerilmesiHipotez testlerinde önemli olan, istatistiksel karar›n, araflt›rma problemine ilifl-kin karara dönüfltürülmesidir. Bu konu ünitede örnek problemler üzerindeaç›klanm›flt›r.

1. Hangi hipotez test edilecek hipotezdir?

2. Hangi durumda iki yönlü teste baflvurursunuz?

3. I. Tip hata ne demektir, bu hatan›n büyüklü¤ü nas›l belirlenir?

q

zhes = q – q0s

q

> ztab = 1.64

zhes = q – q0s

q

> ztab = 1.64

‹s tat ist ik222

fiekil 9.6 Tek YönlüAlt KuyrukTestlerinde RedBölgesi ve KritikDe¤er.

SIRA S ‹ZDE

H0 Kabul Bölgesi

A1 q0

Zi

qi

0

1- aH0 Red Bölgesi

a = 0.05

Ztab= -1.64

TEK ANAKÜTLE PARAMETRES‹YLE ‹LG‹L‹ H‹POTEZTESTLER‹

Anakütle aritmetik ortalamas›na ve anakütle oran›na iliflkin hi-potez testi uygulamalar›n› yapabileceksiniz.

Pek çok araflt›rmada, tek bir anakütlenin bir parametresinin de¤erine iliflkin, hipo-tezlerin ileri sürüldü¤ü görülmektedir. Baflka bir ifadeyle, bir anakütlenin ilgileni-len bir de¤iflkeni hakk›nda, bilinen ya da belirlenen bir standarta göre yorumlar›nyap›ld›¤› görülmektedir. Afla¤›daki hipotezler tek anakütle parametresiyle ilgili hi-potez testine örnek verilebilir: A ürününün reklam›n› be¤enenlerin oran› en az%45’tir. Günlük ortalama üretimi 100 Ton olan bir üretim sürecinde yap›lan de¤i-fliklik, günlük ortalama üretim miktar›n› artt›rm›flt›r (vb.) gibi. Bu tür hipotezlerintestinde, tan›mlanan bir anakütlenin ilgilenilen bir de¤iflkenine iliflkin öncedenbelirlenen (ya da bilinen) bir parametre de¤erinin (q0’›n) de¤iflmedi¤i fleklindekis›f›r hipotezi test edilir. Böylece, verilen karara göre, karfl›t hipotezde (araflt›rmahipotezinde) ileri sürülen iddian›n, kabul edilip edilmeyece¤i ortaya ç›kar.

Bu testlerde karar verilirken örneklem istatisti¤inin de¤eriyle bu istatisti¤in bil-gi üretti¤i parametrenin bilinen ya da belirlenen q0 de¤eri karfl›laflt›r›l›r.

Ünitenin izleyen bölümlerinde, uygulamada s›kça karfl›lafl›lan tek anakütle pa-rametresiyle ilgili olarak, anakütle ortalamas›na iliflkin testlerle anakütle oran›nailiflkin testler ele al›nm›flt›r.

Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Hipotez TestleriBu testlerde, tan›mlanan anakütleden rassal olarak seçilen bir örneklem için he-saplanan de¤eriyle, bu örneklemin seçildi¤i anakütlenin aritmetik ortalamas›m ile ilgili, önceden belirlenen (ya da bilinen) m0 gibi bir de¤er aras›ndaki farkl›-l›¤›n istatistiksel olarak anlaml› olup olmad›¤› araflt›r›l›r. Belirlenen farkl›l›¤›n, s›-f›r hipotezini reddetmek için, yeterli olup olmad›¤›na karar verilir.

Anakütle ortalamas›na iliflkin hipotez testleri uygulamada, s›kça kullan›lanönemli parametrik testlerdir.

Bu hipotezlerin test edilmesine iliflkin aç›klamalar, örneklem hacminin büyükolmas› (n ≥ 30 birim) ve örneklem hacminin küçük olmas› (n < 30 birim) durum-lar› için, alt bafll›klar alt›nda, afla¤›daki örnek problemler üzerinde ayr›nt›l› olarakele al›nm›flt›r.

Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Büyük Örneklem TestiBu test türünde :

• Örneklem rassal olarak seçilir.• Örneklem hacminin yeterli büyüklükte (n ≥ 30) birimden olufltu¤u ya da

anakütle normal da¤›l›ml› ve de¤iflkenli¤inin biliniyor olmas› gereklidir.• H0 : m = m0 hipotezi, seçilecek bir a anlaml›l›k düzeyi için test edilir.

X

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 223

A M A �

4

Bir peynir üretim sürecinde, üretimin 500 gr.’l›k paketler halinde gerçek-lefltirilmesi planlanm›flt›r. Üretimin planland›¤› gibi gerçekleflip gerçek-leflmedi¤ini kontrol amac›yla rassal olarak 100 paket seçilmifl ve bu pa-ketler için ortalama a¤›rl›k 495 gr., standart sapma da 20 gr. olarak he-saplanm›flt›r. a = 0.05 anlam düzeyi için, üretimin planland›¤› gibi gerçek-leflti¤i söylenebilir mi? Karar veriniz.

1. Ad›m: Hipotezlerin ifade edilmesiPeynir paketlerinin belirlenen ortalama a¤›rl›¤› (standart a¤›rl›k) 500 gr.d›r. Bu ne-denle, burada s›f›r hipotezi, üretilen peynir paketlerinin ortalama a¤›rl›¤›n›n 500 gr.oldu¤u yönündedir. Bu iddiay›, 500 gr.’dan hem küçük, hem de büyük yöndekianlaml› a¤›rl›k farkl›l›klar› çürütecektir. Baflka bir ifadeyle, bu anlaml› farkl›l›klarüretimin planland›¤› gibi gerçekleflmedi¤ini gösterecektir. Buna göre yap›lacaktest, iki yönlü test olup, hipotezler:

H0 : m = 500 gr.H1 : m ≠ 500 gr.

fleklinde ifade edilmelidir.

2. Ad›m: ‹statistiksel testBu örnekte tan›mlanan anakütleler sonsuz olurlar. Anakütlenin da¤›l›m› ve de¤ifl-kenli¤i hakk›nda bilgi yoktur. Örneklem hacmi n = 100 pakettir ve n ≥ 30 oldu-¤undan, (daha önce aç›klanm›fl oldu¤u gibi) örneklem aritmetik ortalamas›n›n ör-nekleme da¤›l›m›, normal da¤›l›md›r. Kullan›lmas› gereken test istatisti¤ide örnek-lem aritmetik ortalamas›n›n standart de¤eri olan z istatisti¤idir. Bu nedenle bura-da z testi uygulanmal›d›r.

Anakütle standart sapmas› bilinmedi¤i için ’n›n tahmini olan kullan›lmal›d›r.

3. Ad›m: Anlaml›l›k düzeyinin belirlenmesiProblemde do¤ru olan hipotezinin reddedilmesi olas›l›¤› a, %5 seçilmifltir. Redbölgeleri, ortalaman›n örnekleme da¤›l›m›n›n her iki kuyru¤unda tan›mland›¤›için, red bölgelerinin her birinin oransal büyüklü¤ü, dir.

4. Ad›m: H0’›n red bölgesinin belirlenmesiH1 hipotezi, testin red bölgesinin yönünü belirledi¤ine göre, bu testte red böl-gesi örneklem ortalamas›n›n, örnekleme da¤›l›m›n›n simetrik olmas› nedeniylehem alt kuyru¤unda hem de üst kuyru¤unda tan›mlanm›flt›r. Bu durum fiekil9.7’de gösterilmifltir.

a2= 0.05/2 = 0.

s x = sn

s x s x

z = X – m0s x

‹s tat ist ik224

Ö R N E K 1

ÇÖ

ZÜ

M

5. Ad›m: Test istatisti¤inin hesaplanmas›n = 100 paket

s = 20 gr.m0 = 500 gr.a = 0.05

ve

olarak hesaplan›r.

’n›n örnekleme da¤›l›m› normal oldu¤u için, bu da¤›l›m› oluflturan de¤erle-

rin standart de¤erleri olan z test istatisti¤inin örnekleme da¤›l›m›, standart normal

da¤›l›m gösterir. ‹ki yönlü bir test oldu¤u için red bölgesi fiekil 9.7'de gösterildi¤i

gibi bu da¤›l›m›n her iki kuyru¤unda tan›mlanm›flt›r ve oransal büyüklükleri

dir. Buna göre, bu da¤›l›m›n alt kuyruk bölgesinde tan›mla-

nan red bölgesinin s›n›r de¤eri z1 = –1.96, üstkuyruk bölgesinde tan›mlanan red

bölgesinin s›n›r de¤eri z2 = 1.96 olacakt›r.

Hesaplanan test istatisti¤i oldu¤undan H0 hipotezireddedilir, dolay›s›yla H1 kabul edilir. Ayr›ca ayn› karar fiekil 9.7’de zhes = –2.5standart de¤erinin Zi eksenindeki red bölgesinde yer ald›¤›n› söylemek suretiylede aç›klanabilir.

zhes= 2.5 > ztab= 1.96

a/2 =0,052

= 0.02

x

z =X – m0sx

= 495 – 5002

= –2.5

s x = sn

= 20100

= 2

X = 495 gr.

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 225

H0 Kabul Bölgesi

A1 A2

Zi0

H0Red Bölgesi

a / 2 = 0.5/2 = 0.025

H0Red Bölgesi

a / 2 = 0.025

Z1= -1.96 Z2= +1.96Zhes= -2.5

m = 500XiX = 495

l - a = 0.95

fiekil 9.7 AnakütleOrtalamas› m ‹çin ‹kiYönlü Test Sonuçlar›

ÇÖ

ZÜ

M

H0 hipotezinin reddedilmesi, üretilen peynir paketlerinin ortalama a¤›rl›¤›n›n500 gr. olmad›¤›n›, üretim sisteminin planland›¤› gibi üretimi gerçeklefltirmedi¤inigösterir.

Bir firman›n pazarlama yöneticisi, üniversite ö¤rencilerinin ayl›k ortala-ma gazl› içecek tüketimlerinin en az 20 lt. olabilece¤ini düflünmektedir.E¤er yöneticinin bu düflüncesi do¤rusa üniversite ö¤rencilerine yönelikyeni stratejiler gelifltirilecektir. Bu amaçla, rassal olarak seçilen, 1000üniversite ö¤rencisi üzerinden veriler derlenmifl ve bu ö¤rencilerin orta-lama gazl› içecek tüketiminin 22 lt. ve standart sapmas›n›n da 8 lt. oldu¤uhesaplanm›flt›r. Yöneticinin düflüncesinin do¤ru olup olmad›¤›na a = 0.01anlam düzeyini kullanarak karar veriniz.

1. Ad›m: Hipotezlerin ifade edilmesiBurada verilecek karar, ortalama gazl› içecek tüketiminin 20 lt.’den fazla olmad›-¤›d›r. Araflt›rma hipoteziyse 20 lt. ve daha fazla oldu¤udur. Buna göre hipotezler:

H0 : m = 20 lt.H1 : m > 20 lt.

fleklinde ifade edilmelidir.

2. Ad›m: ‹statistiksel testÖrneklem hacmi n = 1000 ö¤renci (n > 30 birim) oldu¤u için ’n›n örneklemeda¤›l›m› normaldir. ’n›n standart sapmas› ya da standart hata birimi cinsin-den de¤erinin bilinen m = 20 de¤erinden ne kadar farkl›l›k gösterdi¤iniölçmek için standartlaflt›r›lm›fl z de¤iflkeni kullan›l›r. z standartlaflt›r›lm›fl test is-tatisti¤i olarak ifade edilir.

’n›n örnekleme da¤›l›m› normal oldu¤u için m = m0 = 20 oldu¤u zaman, z stan-dart normal da¤›l›ma sahip, rassal de¤iflkendir. Bu nedenle, bu hipotezlerin testiiçin z testi uygulanmal›d›r.

3. Ad›m: Anlaml›l›k düzeyinin belirlenmesiFirma yöneticisi, do¤ru olan H0 hipotezinin reddedilmesi olas›l›¤› a’y›, 0.01 ola-rak seçmifltir. a’n›n küçük seçilmifl olmas› yöneticinin, düflüncesinde çok fazlakararl› olmad›¤›n› gösterir. Çünkü H0 hipotezinin kabul bölgesinin oransal bü-yüklü¤ü 1 – a = 0.99’dur. Red bölgesinin büyüklü¤ü a = 0.01’dir. Bu durum fie-kil 9.8’de gösterilmifltir.

4. Ad›m: H0’›n red bölgesine karar verilmesiBu testte H1 > 20 lt. olarak ifade edildi¤i için H0 hipotezinin red bölgesi (fiekil9.8’de gösterildi¤i gibi) da¤›l›m›n üst kuyru¤unda tan›mlanm›flt›r. Yani hipotez,tek yönlü üst kuyruk testiyle test edilecektir.

x

z = x – m0s x

x = 22

s x x x

‹s tat ist ik226

Ö R N E K 2

5. Ad›m: Test istatisti¤inin hesaplanmas›

m0 = 20 lt.

s = 8 lt.

n = 1000 ö¤renci

a = 0.01

oldu¤u ya da hesaplanan zhes = 7.905 de¤eri (fiekil 9.8’de görüldü¤ü gibi) redbölgesinde kald›¤› için H0 hipotezi red (dolay›s›yla H1 hipotezi kabul) edilir.

Yukar›daki istatistiksel karara göre, ö¤rencilerin ayl›k ortalama gazl› içecek tü-ketimi 20 lt. den fazlad›r. Yönetici, üniversite ö¤rencilerine yönelik yeni stratejilergelifltirmelidir.

Anakütle Ortalamas›na ‹liflkin Küçük Örneklem TestiAraflt›rmalar›n bir ço¤unda araflt›rmaya ayr›lan para, zaman ve di¤er imkanlar›ns›n›rl› olmas› gibi nedenlerle, örneklem hacmini, daha önceki aç›klamalar›m›zdabelirtilen büyüklükte (genellikle n ≥ 30 birim) sa¤lamak mümkün olmayabilir. Ör-ne¤in; çok nadir görülen bir hastal›kla ilgili araflt›rmada vaka say›s›n›, uzun sürendeneylere dayanan araflt›rmalarla ve maliyeti yüksek olan laboratuar çal›flmalar›ylaörneklem hacmini artt›rmak çok güçtür. Örneklem hacminin az oldu¤u bu gibidurumlarda, küçük örneklemler için gelifltirilmifl test yöntemlerine baflvurulur. Bu

sx = sn = 8

1000 = 8

31.62= 0.253

Z =x – m0sx

Z = 22 – 200.253

= 7.905

Zhes= 7.905 >Ztab= 2.33

X = 22 lt.

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 227

fiekil 9.8 AnakütleOrtalamas› ‹çin TekYönlü ÜstKuyrukTesti Sonuçlar›.

H0 Kabul Bölgesi

A2

Zi0

H0Red Bölgesi

a = 0.01

Z2= 2.33

m = 20

l - a

Zhes= 7.905

qiX = 22

bölümde, tek anakütle ortalamas› için kurulan hipotezlerin, küçük örneklemler (n< 30 birim) kullan›larak, nas›l test edilece¤i konusu ele al›nm›flt›r.

Önceki bölümde aç›klanan tek anakütle ortalamas›na iliflkin büyük örneklemtestinde, s›f›r hipotezinin testi için, örnekleme da¤›l›m› olarak, normal da¤›l›mkullan›lm›flt›. Çünkü; örneklem hacminin en az 30 birim olmas› ya da anakütleda¤›l›m›n›n normal ve de¤iflkenli¤i s’n›n biliniyor olmas› durumlar›, göz önüneal›nm›flt›.

Anakütle standart sapmas› bilindi¤inde, ortalaman›n örnekleme da¤›l›m› or-

talamas› m ve standart sapmas› (standart hatas›) olan, normal da¤›l›m›

gösterir.Genellikle s bilinmez. Araflt›rmac› tek anakütle ortalamas›na iliflkin hipotez

testi için s yerine onun tahmini olan örneklem standart sapmas› s’yi kullanarakortalaman›n örnekleme da¤›l›m›n›n standart hatas›n› ( ’y›) tahminler. Bu du-rumd, ortaman›n standart hata tahmini ( ) afla¤›daki gibi yaz›l›r:

ve büyük bir hata ifllenmemifl olur.Örneklem hacminin küçük olmas› durumunda, s yerine s’nin kullan›lmas› is-

tatistiksel test üzerinde etkili olur. Çünkü; s yerine s’nin kullan›lmas› durumundatahmin edilen istatistik standart normal da¤›l›m göstermemekte, do-lay›s›yla büyük örneklemlerde izlenen yöntem geçerli olmamaktad›r. Normal da-¤›l›ma sahip ve de¤iflkenli¤i bilinmeyen bir anakütleden seçilen 30’dan daha azbirim içeren bir örneklemin aritmetik ortalamas›, n – 1 serbestlik derecesiyle t da-¤›l›r. t istatisti¤i,

fleklindedir. Burada , örneklem ortalamas›n›n standart hata tahminini gösterirve

eflitli¤i ile hesaplan›r.t da¤›l›m› da normal da¤›l›m gibi simetrik bir da¤›l›md›r ve örneklem hacmi

büyüdükçe normal da¤›l›ma yaklafl›r.Küçük örneklem kullan›larak yap›lan tek ana kütle ortalamas›na iliflkin hipo-

tez testleri, kullan›lan test istatisti¤i d›fl›nda tek anakütle ortalamas›na iliflkin bü-yük örneklem testlerine benzemektedir. Afla¤›daki örnek problem üzerinde butestin uygulan›fl biçimi test sürecinin ad›mlar› itibariyle aç›klanm›flt›r.

Tek anakütle ortalamas›na iliflkin büyük örneklem testinde oldu¤u gibi, küçükörneklem testinde de örneklem aritmetik ortalamas› ile anakütlenin ortalamas›hakk›nda daha önceden bilinen ya da belirlenen bir de¤er m0 aras›ndaki fark›n is-tatistiksel olarak anlaml› olup olmad›¤› araflt›r›l›r.

x

s x = sn – 1

s x

t = x – m0s x

x – m0 / s x

s x = sn

s x s x

s x = sn

‹s tat ist ik228

Küçük örneklem testlerindetest istatisti¤i,

’dir.t =x – m0

s x

ÇÖ

ZÜ

M

Bir okuldan geçmifl y›llarda mezun olan ö¤rencilerin ortalama mezuni-yet puan› 66 puand›r. Bu y›l mezun olan ö¤renciler aras›ndan 26 ö¤ren-ci rassal olarak seçilmifl ve bunlar›n ortalama mezuniyet puan›n›n 70puan ve standart sapmas›n›n 10 puan oldu¤u hesaplanm›flt›r. Geçmifly›llarda mezun olan ö¤rencilerin ortalama mezuniyet puan›yla bu y›l me-zun olanlar›n ortalama puanlar› aras›nda farkl›l›k var m›d›r? a = 0.01için test ediniz.

1. Ad›m: Hipotezlerin ifade edilmesiBu problemde, iki dönemdeki mezuniyet ortalamalar› aras›nda bir farkl›l›k olma-d›¤› yönündeki s›f›r hipotezi test edilecektir. Buna göre hipotezler

H0 : m = 66 puanH1 : m ≠ 66 puan

fleklinde ifade edilmelidir.

2. Ad›m: ‹statistiksel testÖrneklem hacmi n = 26 ö¤rencidir ve ö¤rencilerin geçmifl y›llardaki mezuniyetpuanlar›n›n da¤›l›m› normal da¤›l›ma sahiptir. 26 ö¤rencinin oluflturdu¤u örnek-lem küçük örneklemdir. H0 hipotezinin testi için küçük örneklem testlerinde kul-lan›lan t test istatisti¤i

kullan›l›r. Bu nedenle de t testi uygulanmal›d›r.

3. Ad›m: Anlaml›l›k düzeyinin belirlenmesiProbleme iliflkin testte, m = m0 = 66 puan oldu¤unda, testin kontrolünün olas›l›kdüzeyi %1 olarak düflünülmüfltür.

4. Ad›m: H0’›n red bölgesinin belirlenmesiH0 hipotezi, iki yönlü testle test edilecektir. Hipotezin red bölgeleri, t da¤›l›m›n›nher iki kuyru¤unda tan›mlanm›flt›r. fiekil 9.9’daki taral› alanlar H0 hipotezinin redbölgeleridir.

5. Ad›m: Test istatisti¤inin hesaplanmas›

n = 26

s = 10

m0 = 66

u = 26 – 1 = 25

ve

s x = sn – 1

= 1025

= 2

x = 70

t = x – m0s x

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 229

Ö R N E K 3

olarak elde edilir.

Test edilecek hipotez iki yönlüdür. a = 0.01 ve n = 26 için t tablo de¤eri(ttablo)

ttablo = t (1 – a/2 ; u = n – 1) = 2.787 olarak belirlenir.(thes = 2) < (ttablo = |2.787|)

Oldu¤undan, istatistiksel karar H0 kabul, H1 red edilir fleklinde olacak-t›r. fiekil 9.9’da görüldü¤ü gibi hesaplanan test istatisti¤i de¤eri, kabul bölgesin-de yer almaktad›r.

Yukar›daki istatistiksel karara göre, eski ve yeni ö¤rencilerin mezuniyet puan-lar› aras›ndaki farkl›l›k, örnekleme hatas›ndan kaynaklanmaktad›r; eski ve yeniö¤rencilerin ortalama mezuniyet puanlar› aras›nda anlaml› bir fark yoktur.

Anakütle Oran›na ‹liflkin TestPek çok araflt›rmada ilgilenilen de¤iflken, iki fl›kl› ya da iki fl›kka indirgenmifl de-¤iflken olabilir. Örne¤in Anadolu Üniversitesi ö¤rencileri, cinsiyet de¤iflkeni bak›-m›ndan erkek kad›n, baflar› de¤iflkeni bak›m›ndan da baflar›l› baflar›s›z olmak üze-re iki fl›kl›d›r.

Daha önce de aç›kland›¤› gibi, bir anakütlenin, ilgilenilen iki fl›kl› bir de¤iflke-ninin, herhangi bir fl›kk›na sahip birimlerinin oran›na “anakütle oran›” denir ve ’simgesiyle gösterilir. Ünitenin bu kesiminde, anakütle oran› ’’nin de¤eri hakk›n-da ileri sürülen bir önermenin, nas›l test edilece¤i konusu ele al›nm›flt›r. Tek ana-kütle oran›na iliflkin test olarak isimlendirilen bu testin, örneklem oran› p ile ana-

t = x – m0s x

= 70 – 662

= 2

‹s tat ist ik230

fiekil 9.9 KüçükÖrneklemlerde m ‹çin‹ki Yönlü TestSonuçlar›.

0

H0 Kabul Bölgesi

H0Red Bölgesi

a / 2 = 0.005

H0Red Bölgesi

a / 2 = 0.005

A1 m = 20 A2

XX = 20

z = – 2.787 z hes= 2 z = +2.787

l - a = 0.99

kütle oran› ’’nin iddia edilen de¤eri ’0 aras›ndaki fark›n istatistiksel olarakanlaml› olup olmad›¤› araflt›r›l›r. Örneklem hacmi yeterli büyüklükte oldu¤unda(n > 30 birim), anakütle oran› ’ hakk›ndaki testler daha önce aç›klanan anakütleortalamas› m için büyük örneklem testlerindekilere benzer flekilde yap›l›r. Ancak,test için örneklem istatisti¤i olarak örneklem oran› p ve bu istatisti¤in örneklemeda¤›l›m› kullan›l›r. n ≥ 30 oldu¤unda, örneklem oran› p’nin örnekleme da¤›l›m›,yaklafl›k normal da¤›l›ma sahip olur. Bu durumda, p örneklem istatisti¤i da¤›l›m›-na iliflkin standart de¤erlerin da¤›l›m›n›n da normal olaca¤› aç›kt›r.

Anakütle oran› ’’ye iliflkin testlerde örneklem hacmi büyük oldu¤unda, stan-dartlaflt›r›lm›fl z test istatisti¤i kullan›l›r:

Burada, sp örneklem oran›, p’nin örnekleme da¤›l›m›n›n standart sapmas›n›gösterir ve

eflitli¤i ile hesaplan›r.

Bir yönetici, iflletmesinde toplam kalite yönetimi uygulamay› düflünmek-tedir. E¤er iflçilerinin en az %60’› bu düflünceden yanaysa yönetici düflün-cesini uygulamaya karar verecektir. Bu amaçla rassal olarak 750 iflçiseçilmifl ve bunlar›n 495’inin toplam kalite yönetimi düflüncesini benim-sedi¤i tespit edilmifltir. Yönetici, toplam kalite yönetimine geçmeli midir?a = 0.01 anlam düzeyi kullanarak karar veriniz.

1. Ad›m: Hipotezlerin ifade edilmesiBu örnekte; s›f›r hipotezi, toplam kalite yönetimi uygulamas›n› düflünenlerin oran›%60 ve daha azd›r fleklindedir. S›f›r hipotezi tek yönlü karfl›t (araflt›rma) hipoteziile test edilecektir. Hipotezler:

H0 : ’ = 0.60H1 : ’ > 0.60

fleklinde ifade edilir.

2. Ad›m: ‹statistiksel testH1 : ’ > ’0 = 0.60 oldu¤undan, H0’›n kabul ya da reddi için uygulanacak test anakütle oran›na iliflkin tek yönlü üst kuyruk testi olmal›d›r.

3. Ad›m: Anlaml›l›k düzeyinin belirlenmesiRed bölgesi, (fiekil 9.10’da gösterildi¤i) gibi oranlar›n örnekleme da¤›l›m›n›nüstkuyru¤unda tan›mlanm›flt›r. Anlaml›l›k düzeyi a = 0.01 benimsenmifltir. Testinred bölgesinin oransal büyüklü¤ü 0.01’dir.

sp =’0 1 – ’0

n

z =p – ’0

sp

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 231

E¤er örneklem oran› p ileana kütle oran› ’’nin ilerisürülen ’0 de¤eriaras›ndaki fark›n, istatistiksel olarak anlaml›olup olmad›¤› araflt›r›l›yorsaana kütle oran›na iliflkintest uygulan›r ve test

istatisti¤i ’dir.z =p – ’0

sp

Ö R N E K 4

ÇÖ

ZÜ

M

4. Ad›m: H0’›n red bölgesinin belirlenmesiÖrneklem oran›n›n %60’a eflit ve küçük olmas› durumunda H0 hipotezinin red-dedilmesi söz konusu de¤ildir.

5. Ad›m: Test istatisti¤inin hesaplanmas›Test istatisti¤inin hesaplanmas› problemde belirtildi¤i gibi, 750 iflçinin 495’i top-lam kalite yönetimi uygulamas›ndan yana düflünceye sahiptir yani örneklemoran› p:

d›r.

Örneklem oran› p = 0.66 ile anakütle oran› ’ hakk›ndaki hipotez de¤eri’0 = 0.60 aras›ndaki fark, istatistiksel olarak anlaml› bir farkl›l›k m›d›r? Baflka birifadeyle örneklem oran› p=0.66 olmas› örnekleme hatas›ndan m› kaynaklanm›fl-t›r? Bu sorunun yan›tlanabilmesi için, test istatisti¤inin hesaplanmas› gerekir.

n = 750 iflçi (n ≥ 30 birim) oldu¤u için, örneklem oran›n›n örnekleme da¤›l›m›,normal da¤›l›m gösterir. Buna göre uygulanacak test istatisti¤i:

olur. Örnek için, standart hata:

ve

olarak elde edilir.

Test istatisti¤inin da¤›l›m› normal oldu¤u ve a = 0.01 için kritik ztablo de¤eri

(standart normal e¤ri alanlar› tablosundan) ztablo = 2.33 olarak belirlenir. Bu

de¤er standart normal da¤›l›m›n oransal olarak 0.495’lik alan›na karfl› gelmektedir.

z test istatisti¤inin hesaplanan de¤eri zhes = 3.35 , ztablo = 2.33 de¤erinden büyük

oldu¤u (zhes = 3.35 > ztablo = 2.33) için H0 : ’ = 0.60 hipotezi reddedilir (dolay›s›y-

la H1 hipotezi kabul edilir). Örneklem oran› p = 0.66 de¤eri istatistiksel olarak an-

laml› bir farkl›l›¤› göstermektedir; örneklem oran› p = 0.66 de¤eri için standart

de¤er zhes = 3.35 red bölgesinde yer almaktad›r.Bu karar›n anlam›: Toplam kalite yönetimini benimseyen iflçinin oran›

%60’tan büyüktür; yönetici toplam kalite yönetimine geçme düflüncesini uy-gulamal›d›r.

z = 0,66 – 0.600.0179

= 3.35

sp =P0 1 – P0

n = 0.60 0.40

750 = 0.0179

z =p – ’0

sp

p = rn = 495

750 = 0.66

‹s tat ist ik232

ÇÖ

ZÜ

M

Pazarlama yöneticisi, Üniversite ö¤rencileri aras›nda günde 2 ve dahafazla gazl› içecek tüketenlerin oran›n›n en fazla %40 oldu¤una inanmak-tad›r. E¤er bu do¤ruysa yönetici, üniversite ö¤rencilerine yönelik pazar-lama stratejileri uygulamaya karar verecektir. Bu amaçla, üniversite ö¤-rencileri aras›ndan rassal olarak 120 ö¤renci seçilmifl ve onlar›n 42’siningünde 2 ve daha fazla gazl› içecek içti¤i tespit edilmifltir. a = 0.05 içinyönetici üniversite ö¤rencilerine yönelik pazarlama stratejileri uygulamal›m›d›r? Karar veriniz.

1. Ad›m: Hipotezlerin ifade edilmesiBu örnekte günde 2 ve daha fazla gazl› içecek tüketen ö¤renci oran›n›n 0.40 vedaha fazla oldu¤u hipotezi test edilecektir. Araflt›rma hipotezi bu oran›n 0.40 ‘danaz oldu¤u fleklindedir. Buna göre hipotezler

H0 : ’ = 0.40H1 : ’ < 0.40

fleklinde ifade edilir.

2. Ad›m: ‹statistiksel testH1 hipotezi ’ < 0.40 fleklinde ifade edildi¤inden, H0’›n kabul ya da reddi için uy-gulanacak test, ana kütle oran›na iliflkin tek yönlü alt kuyruk testi olmal›d›r.

3. Ad›m: Anlaml›l›k düzeyinin belirlenmesiTestin red bölgesi, oranlar›n örnekleme da¤›l›m›n›n altkuyru¤undad›r. Anlamdüzeyi a = 0.05 seçildi¤i için, testin red bölgesinin oransal büyüklü¤ü 0.05’tir. Bu%5’lik bölgede yer alan örneklem oranlar› H0 hipotezinin reddedilmesine nedenolacak örneklem istatistikleridir.

4. Ad›m: H0’›n red bölgesinin belirlenmesi

zhes > ztablo için H0 reddedilecektir.

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 233

0

H0 Kabul Bölgesi

l - a = 0.99

H0Red Bölgesi

a = 0.01

’0= 0.60 A

ZiZ hes= 3.35

Pip = 0.66

Z = 2.33fiekil 9.10 AnakütleOran› ’ ‹çin TestSonuçlar›.

Ö R N E K 5

5. Ad›m: Test istatisti¤inin hesaplanmas›

120 ö¤rencinin içinde günde 2 ve daha fazla gazl› içecek içen ö¤renci say›s› 42

kiflidir. tir. Örneklem büyük örneklemdir. Örneklem oran›

p’nin da¤›l›m› normaldir ve standart hatas›,

ve test istatisti¤i:

olarak elde edilir.

Hesaplanan z test istatisti¤inin de¤eri, zhes = 1.11 a = 0.05 anlam düzeyindestandart normal da¤›l›m tablo de¤erinden (ztablo = 1.64) küçük oldu¤u için, H0hipotezi kabul edilirse H1 hipotezi reddedilir. Burada ztablo = 1.64 de¤eri standartnormal da¤›l›mda 0.45’lik alana karfl› gelen de¤erdir.

Bu karar›n anlam›, üniversite ö¤rencileri aras›nda günde 2 ve daha fazla gazl›içecek tüketen ö¤rencilerin oran› %40 tan az de¤il fazlad›r. Yöneticinin ö¤rencileriçin ayr› bir pazarlama stratejisi planlamas›na gerek yoktur.

1. Örneklem hacmi n ≥ 30 birim oldu¤unda, tek anakütle ortalamas›na iliflkin bir test-te, hangi test istatisti¤i kullan›l›r? Nedenini aç›klay›n›z.

2. Tek anakütle ortalamas›na iliflkin bir testte, ne zaman test istatisti¤i kullan›l›r?

3. Anakütle oran›na iliflkin bir testte, test istatisti¤inin kullan›lmas›n›n koflullar›nelerdir?

z = 0.35 – 0.400.045

= 1.11

sp =P0 1 – P0

n = 0.40 0.60

120 = 0.24

120 = 0.045

p = rn = 42

120 = 0.35

‹s tat ist ik234

0

H0 Kabul Bölgesi

H0 Red Bölgesi

A p = 0.35

Ziz = - 1.64 Z hes= 1.11

l - a = 0.95a = 0.05

’0= 0.40

qi

fiekil 9.11 AnakütleOran› ’ ‹çin TestSonuçlar›.

SIRA S ‹ZDE

Ünite 9 - Hipotez Test ler i 235

Kendimizi S›nayal›m1. ‹statistik dersine ait notlar›n ortalamas›n›n, 80’den bü-yük olup olmad›¤›, s›nanmak istenmektedir. Bu s›namadakurulacak s›f›r hipotezi nedir?

a. m > 80b. m = 80c. m ≠ 80d. m < 81e. m > 81

2. 0.02 anlam düzeyinde s›nanan bir hipotez için, do¤ruolan s›f›r hipotezini reddederek hatal› karar verme olas›-l›¤› kaçt›r?

a. 0.01b. 0.02c. 0.05d. 0.98e. 0.99

3. Bir hipotez s›namas›nda red bölgesinin yönünü afla¤›-dakilerden hangisi belirler?

a. H0

b. H1

c. H0 ve H1

d. a hatas›e. b hatas›

4. Bir iflyerinde, her birinde 50’fler iflçiden oluflan iki grup,verimlilik bak›m›ndan karfl›laflt›r›lacakt›r. Tek yönlü bir hi-potez s›namas› yap›ld›¤›nda, 0.05 olas›l›k düzeyinde tablo-dan okunacak kritik de¤er afla¤›dakilerden hangisidir?

a. t = 2.750b. t = 2.042c. z = 1.960d. z = 1.645e. z = 1.276

5. Çift yönlü bir hipotez s›namas›nda t de¤eri 2.861 ise,örnek büyüklü¤ü ve anlam düzeyi afla¤›dakilerin hangi-sinde birlikte verilmifltir?

a. 19 - 0.01b. 19 - 0.02c. 20 - 0.01d. 20 - 0.02e. 21 - 0.05

6. Normal da¤›l›ma sahip bir ana kütlenin ortalamas›n›n53 olup olmad›¤›n›n s›nanmas›nda, rasgele seçilen bir ör-ne¤in ortalamas› 56, standart hatan›n tahmini de¤eri 1.3tür. Ortalaman›n dönüfltü¤ü z de¤erinin sa¤›nda kalanbölgenin oranlanm›fl alan› kaçt›r?

a. 0.0107b. 0.4893c. 0.4898d. 0.5000e. 0.9893

7 ve 8. sorular afla¤›daki bilgilere göre cevap-land›r›lacakt›r.Bir iflletmede, üretilen ampullerin 450 saat olan dayanmasüresini art›rmak için, yeni bir hammaddenin kullan›m›düflünülmektedir. Bu hammadde kullan›larak 1 000 ürünüretilmifl ve ortalama dayanma süresi 462 saat olarak he-saplanm›flt›r. Hammaddenin olumlu sonuç verip vermedi-¤i %95 güvenle s›nanacakt›r.

7. Bu s›namada örnekleme da¤›l›m›n›n red bölgesi afla¤›-dakilerden hangisidir?

a. Sa¤ uçta, %2.5 lik alan b. Sol uçta %2.5 lik alanc. Sa¤ uçta, %5 lik aland. Sol uçta %5 lik alane. Sa¤ uçta. %10 luk alan

8. Bu s›namadaki alternatif hipotez nedir?a. m ≠ 450b. m > 462c. m = 450d. m ≠ 462e. m > 450

9. Boylar› 170 cm’den uzun olan erkeklerin a¤›rl›k orta-lamas›n›n 72 kg olup olmad›¤› s›nanmak istenmektedir.Bu s›namadaki s›f›r hipotezi nedir?

a. m ≠ 170b. m ≠ 72c. m > 170d. m = 72e. m = 170

10. Ana kütle ortalamas›n›n 200 olup olmad›¤›n›n %99güvenle test edilmesi için seçilen 15 birimlik rassal örnek-lemin ortalamas› 160, standart sapmas› 60 t›r. Örnek orta-lamas›na karfl› gelen test istatisti¤inin de¤eri kaçt›r?

a. –1b. –1.5c. –2d. –2.5e. –3

236 ‹s tat ist ik

Yan›t Anahtar›1. b2. d3. b4. c5. c6. b7. c8. e9. d10. d

Yararlan›lan KaynaklarCANKÜYER, Ersoy, AfiAN, Zerrin: Parametrik Olmayan

‹statistiksel Teknikler, Anadolu Üniversitesi Yay›n-lar›, No:1266, Eskiflehir, 2001.

ÇÖMLEKÇ‹, Necla: Bilimsel Araflt›rma Yöntemi ve ‹s-

tatistiksel Anlaml›l›k S›namalar›, Bilim Teknik Ya-y›nevi, ‹stanbul, 2001.

FINK, Arlene: How to Sampling in Surveys, Sage Pub-lications, London, 1995.

GÜRSAKAL, Necmi: Bilgisayar Uygulamal› ‹statistik I,Marmara Kitabevi, Bursa, 1997.

HINKLE, Dennir E; WIERSMA, Williams; JURS, StephenG: Applied Statics For The Bhavioral Sciences,Boston, 1998.

MALTHORA, Naresh K.: Marketing Research An Appli-

ed Orientation, 2nd Edition, Prentice-Hall Internati-onal Inc, New Jersey, 1996.

NETER, J, WASSERMAN, W, WHITMORE, G.A.: Applied

Statistics, Simon and Schuster, Inc, Boston, 1993.ÖZMEN, A., ÖZDAMAR, K., ODABAfiI, Y., Hoflcan, Ya-

flar., B‹R, A. At›f, KIRCAAL‹‹FTAR, G., UZUNER, Y›l-d›z.: Sosyal Bilimlerde Araflt›rma Yöntemleri, TC.Anadolu Üniversitesi Yay›nlar›, No:1081, Aç›kö¤retimFakültesi Yay›nlar›, No: 601, Eskiflehir, 1999.

PÜSKÜLCÜ, Halis, ‹K‹Z, Fikret: ‹statisti¤e Girifl, (2. Bas-k›), E.Ü. Mühendislik Fakültesi Yay›n No: 601, EgeÜniversitesi Bas›mevi, ‹zmir, 1986.

SERPER, Özer; Aytaç Mustafa: Örnekleme, Ezgi Kitabevi,Bursa, 2000.

SERPER, Özer: Uygulamal› ‹statistik II, Filiz Kitabevi, ‹s-tanbul, 1986.

TRYFOS, Peter: Sampling Methods for Applied Rese-

arch, John Wiley & Sons Inc., New York, 1996.TULL, Donald S., HAWKINGS, Del I.: Marketing Rese-

arch Measurement and Method, 6th Edition, Mac-Millan Publishing Company, New York, 1993.

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak• Üniteyi anlayabilmeniz için, örnekleme ve hipotez testleri üniteleri, yeterince

özümsenmifl olmal›,• Örnekler dikkatlice incelenmeli, sorunlarla karfl›lafl›l›rsa ilgili ünitelere

dönülmelidir.

237

Ki-Kare Testi10

AmaçlarSay›sal olmayan de¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin varl›¤›n› test edebileceksiniz.Farkl› örneklemlerin ayn› ana kütleden seçilip seçilmedi¤ini testedebileceksiniz.n hacimli bir örneklemin, ilgili ana kütleyi, iyi temsil edip edemedi¤inibelirleyebileceksiniz.Say›sal olmayan iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin derecesinibelirleyebileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• K‹-KARE BA⁄IMSIZLIK TEST‹• K‹-KARE HOMOJENL‹K TEST‹• K‹-KARE UYGUNLUK (‹Y‹ UYUM) TEST‹• KONTENJANS KATSAYISI

238 ‹stat ist ik

��

�

�

G‹R‹fiDaha önce de belirtildi¤i gibi, istatistikte de¤iflkenler, say›sal (nicel) de¤iflkenlerve say›sal olmayan (nitel) de¤iflkenler olmak üzere iki grupta s›n›fland›r›lmaktad›r.Günümüzde yap›lan bir çok araflt›rmada say›sal olmayan de¤iflkenlerin dikkateal›nd›¤› gözlemlenmektedir. Örne¤in, insanlar›n medeni durumlar›yla seçtiklerimeslek gruplar› aras›ndaki bir iliflki incelenmek istendi¤inde, medeni durumun vemeslek grubunun rakamlarla ifade edilmesi olas› de¤ildir. Medeni durum “evli”,“bekar”, “boflanm›fl” ve “dul” fleklinde gösterilirken meslek gruplar› da “serbestmeslek”, “devlet memurlu¤u”, “iflçi”, vb. fleklinde grupland›r›labilir.

‹flte say›sal olmayan de¤iflkenler aras›nda herhangi bir iliflkinin varolmad›¤›n›ileri sürerek (H0 hipotezi), bu hipotezin red edilip edilemeyece¤inin incelenme-sinde uygulanan test Ki-Kare testi’dir.

Bir örneklemin gözlemlenmesi sonucunda elde edilen frekans da¤›l›m›n›n bi-nom, Poisson, normal vb. gibi genellenmifl bir da¤›l›ma uygun olup olmad›¤›nakarar verebilmek için kullan›lan test yine Ki-kare testi olacakt›r. Di¤er yandan ikiya da daha fazla örneklemin ayn› ana kütleden seçilip seçilmedikleri konusundakarar verilirken de ki-kare testinden yararlan›l›r.

1900 y›llar›nda Karl Pearson taraf›ndan bulunan ve ismi de onun taraf›ndan ve-rilen bu istatististiksel testin uygulanmas›nda önce, ki-kare’nin ve serbestlik dere-cesinin nas›l hesaplanaca¤›n›n bilinmesi gerekir. Bunlar ba¤›ms›zl›k, homojenlikve uygunluk testleri için ünite bölümlerinde ayr› ayr› gösterilecektir.

K‹-KARE BA⁄IMSIZLIK TEST‹

Say›sal olmayan de¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin varl›¤›n› testedebileceksiniz.

Bir seçim sonras›, bir il merkezindeki yerel bas›n, seçime kat›lan partilerin ald›k-lar› oylarla, seçmenlerin e¤itim düzeyleri aras›nda, göz ard› edilemeyecek, bir ilifl-kinin varl›¤›n› ileri sürmektedir. Oy da¤›l›m›na iliflkin farkl› görüfl tafl›yan A parti-si yöneticileri, yerel bas›n›n bu konuda ne kadar hakl› oldu¤unu belirlemek ama-c›yla bir araflt›rman›n yapt›r›lmas›n› kararlaflt›rm›flt›r. Araflt›rma, yeterli görülen birörneklem üzerinden gerçeklefltirilecektir.

Bu ve benzeri problemlerin çözümlenmesinde uygun bir istatistiksel teknik de,afla¤›da yeterli ayr›nt›yla ele al›nacak olan ki-kare testidir.

‹ki ya da daha fazla s›n›fl› iki nitel de¤iflken aras›nda ba¤›ms›zl›k olup olmad›-¤›n› incelemek için, ki-kare ba¤›ms›zl›k testine baflvurmak gerekir. Bu test yap›l›r-ken, Kontenjans tablosundan yararlan›lmaktad›r. Bu tablo, incelenen iki de¤iflke-nin fl›klar›na düflen gözlenen frekanslar›n yaz›ld›¤›, yatay (sat›rlar) ve düfley (sü-tunlar) bantlardan oluflan, çift yönlü tablodur. Ki-kare ba¤›ms›zl›k ve homojenliktestlerini yapabilmek üzere haz›rlanacak kontenjans tablosunun yap›s› Tablo10.1’de gösterilmifltir.

239Ünite 10 - K i-Kare Test i

A M A �

1

‹ki ya da daha çok s›n›fl›nitel de¤iflkenler aras›ndakiba¤›ms›zl›k, ki-kareba¤›ms›zl›k testiylearaflt›r›l›r.

‹s tat ist ik

ÇÖ

ZÜ

M

2. De¤iflkenin fi›klar›

Aralar›nda ba¤›nt› bulundu¤u düflünülen birinci de¤iflkenin r fl›kk› (sat›r), iki-nici de¤iflkenin c fl›kk› (sütun) varsa rxc TABLOSU olarak da isimlendirilen tablooluflturulur. Sat›r ve sütunlar›n kesifltikleri yerlerde bulunan gözelerdeyse ilgili fre-kanslar kaydedilir.

Ki-kare ba¤›ms›zl›k testinin nas›l uyguland›¤›n› bir örnek yard›m›yla aç›klayal›m.

Bayan Televizyon izleyicilerinin ö¤renim düzeyleri ve TV programlar›ndan tercih ettikleritürler sorgulanarak, bu iki de¤iflken aras›nda bir ba¤›nt› bulunup bulunmad›¤›n›, baflkabir anlat›mla, iki de¤iflkenin birbirinden ba¤›ms›z olup olmad›¤›n›, ortaya koymaya çal›-fl›ls›n. Bu amaçla, 200 kifliyi kapsayan bir örneklem üzerinde yap›lan gözlem sonuçlar›afla¤›daki tablo ile verilmifltir:

Tercih edilen TV program türüne iliflkin ö¤renim düzeyinin etkili olup olmad›¤›n› a=0.01anlaml›l›k düzeyinde araflt›r›n›z.

Tabloda yer alan say›lar “gözlenen frekanslard›r”. Tercih edilen TV program› türüüzerinde ö¤renim düzeyinin etkisi olup olmad›¤›n› test edebilmek için (ba¤›ms›z-l›k testini yapabilmek için), izlenmesi gereken ad›mlar› s›ras›yla yerine getirelim:

1. Ad›m : Hipotezlerin ifade edilmesiS›f›r hipotezi (H0): Bayan TV izleyicilerinin ö¤renim düzeyiyle TV progra-m›, birbirinden ba¤›ms›z de¤iflkenlerdir. Bu iki de¤iflken aras›nda bir iliflki(ba¤›nt›) yoktur.Karfl›t Hipotez (H1): Ö¤renim düzeyiyle TV program› aras›nda bir iliflki (ba-¤›nt›) vard›r.

240

Tablo 10.1 Kontenjantablosunun yap›s›.

1. De¤iflkenin 1 2 3 .......... j .......... c Toplamfi›klar›

1 n11 n12 n13 .......... n1j .......... n1c n1

2 n21 n22 n23 .......... n2j .......... n2c n2

3 n31 n32 n33 .......... n3j .......... n3c n3

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

i ni1 ni2 ni3 .......... ni j .......... nic ni

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

r nr1 nr2 nr3 . nrj .......... nrc nr

Toplam n.1 n.2 n.3 .......... n.j .......... n.c n..= n

Ö R N E K 1

Tablo 10.2 Gözlenenfrekanslar.

Tercih edilen TV Ö¤renim Düzeyi

program türü ‹LK ORTA YÜKSEK TOPLAM

D‹Z‹ F‹LM 50 20 10 80

E⁄LENCE 20 30 10 60

MAGAZ‹N 20 10 30 60

TOPLAM 90 60 50 200

2. Ad›m: ‹statistiksel test‹ki say›sal olmayan de¤iflken aras›ndaki iliflkinin varl›¤›n› araflt›ran bir testolan c2 (ki-kare) ba¤›ms›zl›k testi olmal›d›r.

3. Ad›m : Anlaml›l›k düzeyinin belirlenmesic2 = 0.01 olarak belirlenmifltir.

4. Ad›m: H0’›n red bölgesinin belirlenmesiBunun için hesaplanan test istatisti¤i, belli bir anlaml›l›k düzeyine ven = (r–1)(c–1) serbestlik derecesine göre “c2 de¤erleri tablosu”ndanbulunan “kritik de¤er” ile karfl›laflt›r›l›r. Örne¤imiz için serbestlik dere-cesi n = (3–1) (3–1) = 4 olup a = 0.01 düzeyinde c2 tablosundan bulunankritik de¤er c2

k=13’tür. E¤er hesaplanan c2 istatisti¤inin de¤eri tablodanbulunan c2

k kritik de¤erden büyük ç›karsa H0 red edilecektir.

5. Ad›m: c2 test istatisti¤inin hesaplanmas›Test istatisti¤i

formülüyle elde edilebilir. Formülde,

G= Gözlenen frekanslar›B= Beklenen frekanslar›

ifade etmektedir. Test istatisti¤inin hesaplanabilmesi için öncelikle bekle-nen (kuramsal) frekanslar›n hesaplanmas› gerekmektedir. Herhangi bir gö-zenin beklenen frekans› bulunurken, o gözenin yer ald›¤› sat›r toplam fre-kans›yla sütunun toplam frekans› çarp›l›p genel toplam frekansa bölün-mektedir. Örne¤imiz için, beklenen frekanslar›, ilk gözeden bafllamak üze-re s›ras›yla hesaplayal›m:

B11 (birinci sat›r ve birinci sütunda yer alacak frekans)B11 = (birinci sat›r toplam› x birinci sütun toplam›) / (genel toplam)

= (80 x 90) / (200) = 36B12 = (birinci sat›r toplam› x ikinci sütun toplam›) / (genel toplam)

= (80 x 60) / (200) = 36

Ayn› yöntemle hesaplanan beklenen frekanslar› ve gözlenen frekanslar›kontenjans tablosunda gösterelim (G=Gözlenen frekanslar, B=Beklenenfreakanslar).

c2 = (G – B)2

B ∑

241Ünite 10 - K i-Kare Test i

Kontenjans tablolar›ndaserbestlik derecesi, sat›r vesütun say›lar›ndan birerç›kart›larak, bunlar›nçarp›lmas› suretiyle eldeedilir.

Kuramsal (beklenen)frekanslar, ilgili gözenin yerald›¤› sat›r toplam›yla sütuntoplam› çarp›larak geneltoplama bölünmek suretiyleelde edilir.

Tablo 10.3 Kontenjantablosu (Gözlenen vebeklenen frekanslar).

Tercih edilen Tv Ö¤renim Düzeyi

program türü ‹LK ORTA YÜKSEK TOPLAM

G B G B G B

D‹Z‹ F‹LM 50 36 20 24 10 20 80

E⁄LENCE 20 27 30 18 10 15 60

MAGAZ‹N 20 27 10 18 30 15 60

TOPLAM 90 60 50 200

Test istatisti¤i:c2 = (50–36)2/(36) + (20–24)2/(24) + (10–20)2/(20) + (20–27)2/(27) +

(30-18)2/(18) + (10–15)2/(15) + (20–27)2/(27) + (10–18)2/(18) +(30–15)2/(15) = 42.93

6. Ad›m: ‹statistiksel Karar‹statistiksel karar verilirken, red bölgesinin tan›m› gere¤i, c2 > c2

k oldu¤un-da s›f›r hipotezi red edilir, c2 ≤ c2

k oldu¤undaysa s›f›r hipotezi reddedile-mez. S›f›r hipotezinin red edilmesi, de¤iflkenlerin birbirinden ba¤›ms›z ol-mad›¤› (di¤er bir ifadeyle, de¤iflkenler aras›nda iliflki bulundu¤u) anlam›n›tafl›r. Buna göre örne¤imizde,

c2 = 42.93 c2k = 13.28 ve c2 > c2

k

oldu¤undan H0 hipotezi red edilecektir. Baflka bir anlat›mla, bayan TV iz-leyicilerinin ö¤renim düzeyiyle izledikleri program türleri aras›nda iliflkivard›r.

1. Ki-kare testi hangi durumlarda yap›l›r? Aç›klay›n›z.

2. Ki-kare ba¤›ms›zl›k testinde hipotezler nas›l ifade edilir? Aç›klay›n›z.

3. Ki-kare ba¤›ms›zl›k testinde serbestlik derecesi nas›l hesaplan›r?

K‹-KARE HOMOJENL‹K TEST‹

Farkl› örneklemlerin ayn› ana kütleden seçilip seçilmedi¤ini testedebileceksiniz.

Ki-kare homojenlik testi ana çizgileriyle, iki ya da daha fazla ba¤›ms›z örneklemin,ayn› anakütleden seçilip seçilmedi¤inin araflt›r›lmas›nda kullan›l›r. Testin uygula-mas›, ki-kare ba¤›ms›zl›k testinde oldu¤u gibidir. Yine nitel de¤iflkenlerle ve ayn›örneklem istatisti¤iyle çal›fl›l›r. Ancak, dikkat edilmelidir ki, ba¤›ms›zl›k testinde eleal›nan de¤iflkenler aras›nda bir iliflkinin varl›¤› araflt›r›l›rken, homojenlik testindeba¤›ms›z örneklemlerin ayn› ana kütleden seçilip seçilmedi¤i araflt›r›lmaktad›r.

Bölgesel sat›fl yapan bir üretim iflletmesi, 2 yeni ürün gelifltirerek piyasa-ya sürmüfltür. Tüketicilerin bu ürünlerle ilgili görüfllerini (be¤endikleri,be¤enmedikleri ya da ilgisiz kald›klar›) belirlemek amac›yla, birinci veikinci ürünlerle ilgili olarak iki rassal örneklem oluflturulmufltur. ‹lkürünle ilgili birinci örneklemde 100 tüketiciyle, ikinci ürünle ilgili ikinciörneklemde de 150 tüketiciyle görüflülmüfltür. Veriler afla¤›daki tablodabelirtilmifltir. Seçilen örneklemlerin, ayn› anakütleye ait olup olmad›¤›n›,%5 anlaml›l›k düzeyinde test ediniz. Tüketici görüflleri; fiyat, kalite, kolay ulaflabilme vb. gibi objektif ölçütler-le ve piyasadaki benzer ürünlerle mukayese sonucu oluflmufltur.

242 ‹stat ist ik

S IRA S ‹ZDE

A M A �

2

Farkl› örneklemlerin ayn›ana kütleden seçilipseçilmedi¤i, ki-kare homojenlik testiylearaflt›r›l›r.

Ö R N E K 2

Ünite 10 - K i-Kare Test i

ÇÖ

ZÜ

M

243

Tüketici GörüflleriÜrünler Be¤enen Be¤enmeyen ‹lgisiz Toplam

G B G B G B

I. Ürün 60 56 30 32 10 21 100

II. Ürün 80 84 50 48 20 18 150

Toplam 140 80 30 250

GÖZLENEN FREKANSLAR

Ürünler Tüketici Görüflleri Toplam

I. Ürün 60 30 10 100

II. Ürün 80 50 20 150

Toplam 140 80 30 250

Çözüm ad›mlar› afla¤›daki gibidir:

1. Ad›m: Hipotezlerin oluflturulmas›S›f›r Hipotezi (H0): ‹ki örneklem de ayn› anakütleden seçilmifltir.Karfl›t Hipotez (H1): Örneklemler farkl› anakütlelerden seçilmifltir.

2. Ad›m: ‹statistiksel Test‹ki örneklemin ayn› anakütleden gelip gelmedi¤i test edilece¤inden, ilgilitest, ki-kare homojenlik testi olmal›d›r.

3. Ad›m: Anlaml›l›k Düzeyia = 0.05

4. Ad›m: H0’›n ret bölgesinin belirlenmesiHesaplanan test istatisti¤i n = (2-1)(3-1) = 2 serbestlik derecesi ve a = 0.05anlaml›l›k düzeyi için ki-kare tablosundan bulunan kritik de¤er,c2

k = 5.99’dur. E¤er hesaplanan c2 istatisti¤inin de¤eri, c2k = 5.99’dan bü-

yük ç›karsa, H0 ret edilecektir.

5. Ad›m: c2 test istatisti¤inin hesaplanmas›Hat›rlanaca¤› gibi, test istatisti¤inin hesaplanabilmesi için, öncelikle, bekle-nen frekanslar›n hesaplanmas› gerekir. Homojenlik testinde de her hangibir gözenin beklenen frekans›, ba¤›ms›zl›k testindeki gibi, ilgili gözenin yerald›¤› sat›r toplam frekans›yla sütun toplam frekans› çarp›l›p, genel toplamfrekans›na bölünerek elde edilir. ‹lgili kontenjans tablosu afla¤›daki gibidir:

Test istatisti¤i:

c2 = (60–56)2/(56) + (30–32)2/(32) + (10–12)2/(12) + (80–84)2/(84) +(50-48)2/(48) + (20–18)2/(18) = 1.04

olarak elde edilir.

6. Ad›m: ‹statistiksel kararHat›rlanaca¤› gibi, c2 < c2

k ise H0 hipotezi kabul edilir. Örne¤imizde c2 =1.04 ve c2

k = 5.99 oldu¤undan, H0 kabul edilecektir. Baflka bir anlat›mla,ilgili örneklemler ayn› anakütleden seçilmifltir.

ÇÖ

ZÜ

M

1. Ba¤›ms›zl›k ve homojenlik testleri hangi aç›lardan birbirinden farkl›d›r? Aç›klay›n›z.

2. Ba¤›ms›zl›k ve homojenlik testlerinde beklenen frekanslar nas›l hesaplan›r? Aç›klay›n›z.

3. Serbestlik derecesi n = 10 ve a = 0.01 için c2k nedir?

K‹-KARE UYGUNLUK (‹Y‹ UYUM) TEST‹

n hacimli bir örneklemin, ilgili ana kütleyi, iyi temsil edip edeme-di¤ini belirleyebileceksiniz.

Ki-kare uygunluk testinin esas›n›, n hacimli (birimlik) bir örneklemin anakütleyiiyi temsil edip edemeyece¤ini araflt›rmak oluflturur. Bu testte, yine c2 de¤iflkeni-nin do¤as› gere¤i, gözlenen ve beklenen frekanslardan yararlan›l›r. Testin nas›lyap›laca¤›, özellikle beklenen frekanslar›n nas›l hesaplanaca¤›, afla¤›daki örnekyard›m›yla aç›klanmaya çal›fl›lm›flt›r.

Belirli bir bölgede, Z marka margarin kullanan aile oran›, 3/8 olarak ön-görülmektedir. Her anketör, rassal olarak seçilen 5 aileyle görüflmek üze-re, 200 anketör kullan›larak ilgili bölgede bir anket düzenlenmifl ve anketsonuçlar› afla¤›daki frekans da¤›l›m›yla verilmifltir:

Elde edilen bu sonuçlar için,

formunda bir binom da¤›l›m› öngörülmektedir. Öngörülen da¤›l›m›n, eleal›nan problem için, uygun bir model olup olmad›¤›n› a = 0.05 anlaml›l›kdüzeyi için test ediniz.

1. Ad›m: Hipotezlerin oluflturulmas›

H0: X rassal de¤iflkeni, n = 5 ve parametre de¤erleriyle binom da-

¤›lm›flt›r. (Binom da¤›l›m›nda q+p=1 oldu¤unu hat›rlay›n›z.)

H1: X rassal de¤iflkeni, n = 5 ve parametre de¤erleriyle binom

da¤›lmam›flt›r.

p = 38

p = 38

P(x) =C5

x 38

x 58

5-x , x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

0 , di¤er durumlarda

244 ‹stat ist ik

S IRA S ‹ZDE

A M A �

3n birimlik örneklemin çekildi¤i, anakütleyi, iyitemsil edip edemeyece¤i, ki-kare uygunluk testi ilearaflt›r›l›r.

Ö R N E K 3

Görüflülen 5 aile içinde Z markamargarin kullanan aile say›s› Anketör Say›s›

X f0 181 572 693 424 115 3

200

Ünite 10 - K i-Kare Test i

2. Ad›m: ‹statistiksel testc2 uygunluk (iyi uyum) testi

3. Ad›m: Anlaml›l›k düzeyia = 0.05

4. Ad›m: H0’›n red bölgesinin belirlenmesiHat›rlanaca¤› gibi, red bölgesi, hesaplanan c2 de¤erinin öngörülen anlam-l›l›k düzeyi ve belirlenen serbestlik derecesine göre, c2 tablosundan bulu-nan kritik de¤eriyle karfl›laflt›r›larak belirlenir. Uygunluk testinde serbestlikderecesi, s›n›f say›s›ndan ilgili da¤›l›m›n parametre say›s›n›n ç›kart›lmas›ylaelde edilir. Ancak, uygunluk testlerinde örneklem hacmi de¤iflken oldu¤un-dan, örneklem hacmi de bir parametre gibi de¤erlendirilir. Gerçekte binomda¤›l›m›n›n n ve p olmak üzere iki parametresi vard›r. Art› toplam frekansda bir parametre olarak görülece¤inden, serbestlik derecesi, s›n›f say›s› ek-si 3 olarak belirlenecektir. Buna göre, n = 6–3 = 3 olur. 3 serbestlik derece-si ve a = 0.05 anlaml›l›k düzeyi için, kritik c2

k de¤eri, c2 tablosundan, 7.81olarak bulunur. Red bölgesi, c2 > 7.81 olarak belirlenir.

5. Ad›m: Ki-kare istatisti¤inin hesaplanmas›Beklenen frekanslar›n, ilgili s›n›fa iliflkin olas›l›k toplam frekans›n çarp›m›oldu¤u an›msan›rsa, ilgili olas›l›klar,

olas›l›k fonksiyonu yard›m›yla, x’e s›ras›yla 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 de¤erleri veri-lerek, afla¤›daki gibi hesaplan›r:

Kuramsal frekanslar›n bulunabilmesi için bu olas›l›klar, frekanslar›n topla-m›yla çarp›l›r.

P(x) =C5

x 38

x 58

5-x , x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

0 , di¤er durumlarda

245

Ki-kare uygunluk testindeserbestlik derecesi, ilgilida¤›l›m›n parametresay›s›na bir eklenip s›n›fsay›s›ndan ç›kart›lmaksuretiyle hesaplan›r.

Olas›l›klarX f P(x)0 18 0.09541 57 0.28612 69 0.34333 42 0.20604 11 0.06185 3 0.0074

∑f = 200 1.0000

Olas›l›klarx f P(x) P(x).∑f0 18 0.0954 19.081 57 0.2861 57.222 69 0.3433 68.663 42 0.2060 41.204 11 0.0618 12.365 3 0.0074 1.48

∑f = 200 1.0000 200.00

Ki-kare uygunluk testindeherhangi bir s›n›fa iliflkinkuramsal frekans, ilgilis›n›f›n olas›l›¤›yla toplamfrekans çarp›larak eldeedilir.

eflitli¤i uyar›nca,

olarak elde edilir.

6. Ad›m: ‹statistiksel Karar

c2 = 1.7758c2

k = 7.81

olarak bulunmufltur. Bu sonuçlara göre,

c2 < c2k

oldu¤undan H0 kabul edilecektir. Baflka bir anlat›mla, eldeki frekans da-

¤›l›m›, n = 5 ve için binom da¤›lm›fl bir anakütleden çekilmifl bir

örneklemdir.

1. Ki-kare uygunluk testi, hangi amaçla yap›l›r? Aç›klay›n›z.

2. Ki-kare uygunluk testind,e serbestlik derecesi nas›l hesaplan›r?

3. Ki-kare uygunluk testinde, H0’›n ret ve kabul bölgesi nas›l belirlenir? Aç›klay›n›z.

KONTENJANS KATSAYISI

Say›sal olmayan iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin derecesinibelirleyebileceksiniz.

Ki-kare ba¤›ms›zl›k testiyle, iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin varl›¤›yla ilgili kararverebiliyordu. Oysa ki baz› hallerde, iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin kuvveti hak-k›nda da bilgi sahibi olmak istenebilir. ‹flte kontenjans katsay›s› r x c kontenjanstablolar›ndan (r > 2 ve c > 2) hesaplanan c2 de¤erinin gösterdi¤i iliflki düzeyinisaptamak amac›yla kullan›lan bir katsay›d›r. ‹ki de¤iflken aras›nda bir iliflki bulun-muyorsa c = 0 de¤eri verir. Buna karfl›l›k iki de¤iflken aras›nda en üst düzeydekiiliflki katsay›s› her zaman 1 ç›kmaz, 1’e çok yak›n bir de¤er olur. c ile gösterilenkontenjans katsay›s›n›n formülü,

fleklindedir.

c = c2

c2 + n

p = 38

c2 = (18 – 19.08)2

19.08 + (57 – 57.22)2

57.22 + (69 – 68.66)2

68.66 + (42 – 41.20)2

41.20

+ (11 – 12.36)2

12.36 + (3 – 1.48)2

1.48 c2 = 0.0611 + 0.0008 + 0.0017 + 0.0015 + 0.1496 + 1.5611 = 1.7758

c2 = (G – B)2

B ∑

246 ‹s tat ist ik

S IRA S ‹ZDE

A M A �

4

Say›sal olmayan iki de¤iflkenaras›ndaki iliflkinin derecesi, kontenjans katsay›s›yla belirlenir.

ÇÖ

ZÜ

M

Örnek 1’de bayan televizyon izleyicilerinin ö¤renim düzeyleri ve TV prog-ramlar›ndan tercih ettikleri türler sorgulanm›fl ve bu iki de¤iflken aras›n-da ba¤›nt› bulunup bulunmad›¤› (iliflki olup olmad›¤›) test edilmiflti. fiim-di kontenjans katsay›s›yla iliflkinin derecesini araflt›ral›m.

c2 = 42.93 ve n = 200

oldu¤una göre,

elde edilir. Bu durumda, orta düzeyde bir iliflkinin oldu¤u konusunda kararverilebilir.

1. Kontenjans katsay›s›, hangi amaçla kullan›l›r?

2. Kontenjans katsay›s›n›n de¤eri, hangi durumda s›f›r olur?

3. Gözlem say›s› 150 olan bir araflt›rmada c2 test istatisti¤i 52.17 oldu¤una göre, kon-tenjans katsay›s›n›n de¤eri ne olacakt›r? Hesaplay›n›z.

c = 42.9342.93 + 200

c = 0.42

247Ünite 10 - K i-Kare Test i

Ö R N E K 4

SIRA S ‹ZDE

‹s tat ist ik248

Kendimizi S›nayal›m(1 - 6. sorular afla¤›daki bilgilere göre cevapland›r›-

lacakt›r.)

Bir araflt›rma sonucunda elde edilen gözlem sonuçlar›afla¤›daki tabloda gösterilmifltir.

1. Yukar›daki tabloya göre, s›f›r hipotezinin do¤ru ifade-si afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Sigara içme al›flkanl›¤›yla cinsiyet birbirineba¤›ml›d›r.

b. Sigara içme al›flkanl›¤›yla cinsiyet birbirindenba¤›ms›zd›r.

c. Bayanlarda sigara içme al›flkanl›¤› daha yayg›nd›r.d. Erkeklerde sigara içme al›flkanl›¤› daha yayg›nd›r.e. Bayanlarla erkekler ayn› miktarda sigara içerler.

2. Yukar›da verilen tabloya iliflkin serbestlik derecesikaçt›r?

a. 1b. 2c. 3d. 4e. 5

3. Yukar›da verilen tablonun, ilk sat›r›ndaki ikinci gözeninki-kare de¤erine katk›s› kaçt›r?

a. 1,5b. 1,18c. 0,40d. 0,38e. 0,18

4. Yukar›da verilen tabloya göre, sigara içme al›flkan-l›¤›yla cinsiyet aras›nda bir ba¤›nt› olup olmad›¤›n›, 0,05anlam düzeyinde test ederken, H0 hipotezinin red bölgesiafla¤›dakilerden hangisidir?

a. c2 > 9,21b. c2 > 6,64c. c2 > 5,99d. c2 > 3,84e. c2 > 2,71

5. Yukar›da verilen tabloya göre, c2 test istatisti¤ininde¤eri kaçt›r?

a. 0.42b. 0.67c. 0.95d. 1.15e. 2.5

6. Yukar›da verilen tabloya iliflkin kontenjans katsay›s›n›nde¤eri kaçt›r?

a. 0b. 0.006c. 0.017d. 0.07e. 0.5

7. Gözlem say›s› 100 olan bir araflt›rmada kontenjans kat-say›s› 0,40 olarak bulunmufltur. Buna göre, c2 istatisti¤ininde¤eri kaçt›r?

a. 10.4301b. 12.3205c. 19.0476d. 20.1313e. 22.1864

8. Bir araflt›rmada c2 istatisti¤inin de¤eri 14.06 ve kon-tenjans katsay›s› (c) 0.6 olarak hesaplanm›flt›r. Bu bilgileregöre, gözlem say›s› (n) kaçt›r?

a. 15b. 25c. 40d. 45e. 50

9. Bir X rassal de¤iflkenine iliflkin frekans da¤›l›m› veX’lere karfl› gelen olas›l›klar [P(x) de¤erleri] afla¤›dakitabloda verilmifltir.

Yukar›daki tabloya göre, X = 2 için kuramsal frekans kaçt›r?a. 4.87b. 8.14c. 9.00d. 16.13e. 32.05

Sigara ‹çme Al›flkanl›¤›

Cinsiyet ‹çenler ‹çmeyenler Toplam

Bayan 35 20 55

Erkek 25 20 45

Toplam 60 40 100

X f P(x)

0 6 0.16671 15 0.50002 8 0.30003 1 0.0333

30 1.0000

249Ünite 10 - K i-Kare Test i

10. X rassal de¤iflkeninin frekans da¤›l›m› afla¤›daki tablo-da verilmifltir.

X rassal de¤iflkeninin normal da¤›ld›¤› biliniyorkenyukar›daki örneklemin, da¤›l›m› iyi temsil edip etmedi¤iniaraflt›rmak için ki-kare uygunluk testi uygulanacakt›r.Yukar›daki tabloya ve bu bilgilere göre serbestlik derece-si kaçt›r?

a. 5b. 6c. 7d. 8e. 9

Yan›t Anahtar›1. b2. a3. e4. d5. b6. d7. c8. b9. c10. a

Yararlan›lan KaynaklarCANKÜYER, Ersoy, AfiAN Zerrin: Parametrik Olmayan

‹statistiksel Teknikler, Anadolu Üniversitesi Yay›n-lar›, No:1266, Eskiflehir, 2001

NEWBOLD, Paul: ‹flletme ve ‹ktisat ‹çin ‹statistik,Çeviren: Ümit fienesen, 4. Bas›m, Literatür Yay›nc›l›k,2000.

SERPER, Özer: Uygulamal› ‹statistik II, 4. Bask›, EzgiKitabevi, Bursa, 2000

YÜZER, Ali Fuat: Olas›l›k ve ‹statistik, Anadolu Üniver-sitesi Yay›nlar›, No: 911, Eskiflehir, 1996.

S›n›flar f

0 – 5 25 – 10 610 – 15 1115 – 20 1520 – 25 1425 – 30 830 – 35 335 – 40 1

60

KARL PEARSON (1857 - 1936)

Temel ilgi alan› genetiktir. 1892’de “The Grammar of Science” adl› kitab›

yay›nland›.‹zleyen y›llarda kal›t›m ve evrim süreçlerine iliflkin çal›flmalar› s›ras›nda istatis-

tikle ilgilendi. Regresyon ve korelasyon konular›ndaki önemli katk›lar›n›n yan› s›ra, kuram-

da kendi ad›yla an›lan ve gözlem de¤erlerinin olas›l›k da¤›l›mlar›na iliflkin Pearson e¤ri

sistemini ve 1912 y›l›nda da Ki-kare testini gelifltirdi.

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak: • Kavramlar ve bu kavramlar aras›ndaki iliflkiler dikkatle incelenmeli,• Örnekler ve örnek çözümleri dikkatle incelenmeli, sorunlarla karfl›lafl›l›rsa il-

gili ünitelere geri dönülmelidir.

251

Basit Do¤rusal Regresyon 11

‹s tat ist ik252

�

�

�

�

�

Amaçlar:Serpilme diyagram› yard›m›yla, de¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin, ne tür birfonksiyonla ifade edilebilece¤ini araflt›rabileceksiniz.Basit do¤rusal regresyon modelinde yer alan katsay›lar›, en küçük karelertekni¤ine göre hesaplayabileceksiniz.Basit do¤rusal regresyon modeliyle elde edilen kestirimlerin standart hatas›-n› hesaplayabileceksiniz.Basit do¤rusal regresyonda, parametrelerin nokta kestiriminden sonra genel-leme yapabilmek için, parametrelere iliflkin aral›k kestirimi yapabileceksiniz.Basit do¤rusal regresyon denkleminde elde edilen parametre kestirimlerinin,istatistiksel olarak anlaml›l›¤›n› test edebileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• SERP‹LME D‹YAGRAMI• BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYON

• Basit Do¤rusal Regresyon Modeli• Basit Do¤rusal Regre¤syon Denkleminin Kestirimi• Katsay›lar›n En Küçük Kareler (EKK) Kestirimleri

• VARYANSIN ( s2) KEST‹R‹M‹• BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYONDA ARALIK KEST‹R‹M‹• REGRESYON KATSAYILARININ ANLAMLILIK TESTLER‹

G‹R‹fiRegresyon (ba¤lan›m); sözlük anlam›yla, bir fleyi baflka bir fleye ba¤lama ifli ve bi-çimidir. Bilimsel olarak regresyon terimi bir de¤iflkenle baflka bir (ya da birdençok) de¤iflken aras›nda iliflki kurma iflini ve iliflkinin biçimini anlat›r.

‹statistiksel anlamda, iki de¤iflken aras›ndaki iliflki, bunlar›n de¤erlerinin karfl›-l›kl› de¤iflmeleri aras›nda bir ba¤l›l›k fleklinde anlafl›l›r. (X) de¤iflkeninin de¤erle-ri de¤iflirken, buna ba¤l› olarak (Y) de¤iflkeninin de¤erleri de de¤ifliyorsa, bu ikide¤iflken aras›nda bir iliflki oldu¤u söylenebilir. Örne¤in, pancar üretimi artt›¤›n-da fiyat› düflüyorsa ya da azald›¤›nda fiyat› yükseliyorsa, insanlar›n boy uzunlu-¤uyla birlikte a¤›rl›¤› da art›yorsa bunlar, de¤iflkenler aras›nda iliflki oldu¤unugösterir. Asl›nda de¤iflkenler aras›ndaki bu iliflki neden-sonuç iliflkisidir. ‹flte de-¤iflkenler aras›ndaki neden sonuç iliflkisinin matematiksel bir fonksiyonla ifadeedilmesi regresyon analizinin konusunu oluflturmaktad›r. Regresyon, bir ba¤›ml›(aç›klanan) de¤iflken, di¤eri de ba¤›ms›z (aç›klay›c›) de¤iflken olarak en az iki de-¤iflken aras›ndaki ortalama iliflkinin matematik bir fonksiyon fleklinde ifade edil-mesidir. Bu fonksiyona regresyon denklemi ad› verilmektedir. Bu ünitede ilk ola-rak, regresyon çözümlemesinde kullan›lan serpilme diyagram› hat›rlat›lacak, dahasonraysa basit do¤rusal regresyon modeli ele al›nacak, son olarak da basit do¤ru-sal regresyon modeline iliflkin katsay›lar›n, en küçük kareler yöntemiyle, kestirim-lerinin elde edilmesi ele al›nacakt›r.

SERP‹LME D‹YAGRAMI

Serpilme diyagram› yard›m›yla, de¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin,ne tür bir fonksiyonla ifade edilebilece¤ini araflt›rabileceksiniz.

Bir marketler zinciri E flehrinin farkl› semtlerinde flubeler açmay› hedeflemektedir.Ancak, planlama bölümü, aç›lacak flube say›s›n›n belirlenebilmesinde ad› geçenflehirde hane bafl›na perakende sat›fllar›n, hane bafl›na harcanabilir gelirle olaniliflkisine ihtiyaç duymaktad›r.

‹htiyaç duyulan iliflki, ilgili bölgeden derlenecek veriler ›fl›¤›nda, uygun istatis-tiksel teknikler uygulanarak, bir matematiksel model halinde ifade edilebilir.

Bu ünitede, iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin matematiksel bir modelle ifadeedilme süreci, kitab›n amaçlar› uyar›nca sadece basit do¤rusal regresyon düzeyin-de ele al›nm›fl ve konuya iliflkin kavramlar örneklerle pekifltirilmeye çal›fl›lm›flt›r.

‹ki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin ne tür bir fonksiyon tipine uydu¤u, yaklafl›kolarak serpilme diyagram› çizerek belirlenebilir. De¤iflkenlerin aras›ndaki iliflkiyigöstermenin en iyi yolu, iliflkinin derecesini say›sal olarak belirlemektir. ‹liflkiyigöstermenin di¤er bir yolu da grafik yöntemidir. X ve Y gözlem ikilileri bir grafiküzerinde birer nokta halinde gösterilsin. ‹flaretlenen bu noktalar›n oluflturdu¤uflekil an›msanaca¤› gibi “serpilme diyagram›” olarak isimlendirilir.

Ünite 11 - Basi t Do¤rusal Regresyon 253

A M A �

1

Regresyon, de¤iflkenleraras›ndaki ortalamailiflkinin matematiksel birfonksiyonla ifade edilmesidir.

ÇÖ

ZÜ

M

Serpilme diyagram›nda noktalar›n durumu ve genel seyri, iki de¤iflken aras›n-da iliflki olup olmad›¤›n› ve varsa iliflkinin ne tür bir fonksiyon tipine uydu¤ununbelirlenmesinde yard›mc› olur.

Serpilme diyagram› yaln›z iliflkinin olup olmad›¤›n› ve fonksiyonel fleklini gös-termekle kalmaz, iliflkinin derecesi hakk›nda da bilgi verir. Bunun için, noktalar›nen d›flta kalanlar› birlefltirilerek, bir flekil elde edilir. Söz konusu fleklin durumunagöre iliflkinin derecesi hakk›nda tahminde bulunulur. E¤er flekil, oldukça dar birelipse benziyorsa, iliflki kuvvetlidir. Elips geniflledikçe iliflki zay›flar.

Eskiflehir ilinde sat›fl yapan bir ma¤aza ürünlerini, yerel radyodaki rek-lamlarla tan›tmaktad›r. Firman›n 6 hafta süresince belirli bir ürün içinharcad›¤› reklam tutar› ve sat›lan ürün say›s› afla¤›daki tabloyla veril-mifltir. Serpilme diyagram›n› çizelim.

Kartezyen koordinat sis-teminde X ve Y ’ye ait ve-rileri iflaretledi¤imizde, ikide¤iflken aras›ndaki iliflki-nin do¤rusal oldu¤unugörebiliriz.

‹s tat ist ik254

fiekil 9.1 SerpilmeDiyagram›.

Ö R N E K 1

Serpilme diyagram›,de¤iflkenler aras›ndaki iliflkitipinin belirlenmesine yard›mc›olur.

fiekil 9.2 ReklamHarcamalar›na‹liflkin SerpilmeDiyagram›.

X

Y

X

Y

Do¤rusal ‹liflki Durumu E¤risel ‹liflki Durumu

X

Y

0

10987654321

10 20 30 40 50

Reklam harcamas› (X) Sat›fllar (Y)(Milyon TL) (Adet)

10 320 430 640 750 10

1. Serpilme diyagram›yla ne belirlenir?

2. Serpilme diyagram›, iki de¤iflken aras›nda iliflki olup olmad›¤› ve fonksiyonel fleklid›fl›nda, baflka ne hakk›nda bilgi verir?

3. Bir A ülkesinde, 1995-2000 y›llar› aras›ndaki erkek nüfus art›fl h›z›, y›llara göreafla¤›daki tabloda verilmifltir. Serpilme diyagram›n› çiziniz.

BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYON

Basit do¤rusal regresyon modelinde yer alan katsay›lar›, en kü-çük kareler tekni¤ine göre hesaplayabileceksiniz.

Regresyon analizinde ba¤›ms›z (aç›klay›c›) de¤iflken say›s› bir oldu¤unda basitregresyon modelinden, iki ya da daha fazla oldu¤undaysa çoklu regresyon mode-linden söz edilir. Örne¤in enflasyon oran›yla para arz› aras›ndaki ya da hem paraarz› hem de kamu harcamalar› aras›ndaki iliflkinin araflt›r›lmas›nda oldu¤u gibi.Regresyon analizinde de¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin do¤rusal olup olmad›¤› daönemlidir. Dolay›s›yla de¤iflkenler aras›ndaki iliflki do¤rusal oldu¤unda do¤rusalregresyon modeli, do¤rusal olmad›¤›ndaysa do¤rusal olmayan regresyon modelisöz konusu olur. Kitab›n amaçlar› do¤rultusunda burada, sadece basit do¤rusalregresyon konusuna yer verilecektir.

Basit Do¤rusal Regresyon ModeliBasit do¤rusal regresyon modeli

Yi = b0 + b1 Xi + ei i = 1, 2, ...., N

fleklinde stokastik(olas›l›kl›) bir modeldir. b0 ve b1 bilinmeyen regresyon kat-say›lar›d›r. ei , i ’inci gözleme karfl›l›k gelen hata terimidir. X (ba¤›ms›z) ve Y (ba-¤›ml›) de¤iflkenlerinin anakütlelerini oluflturan ve bu de¤iflkenler için akla gelebi-lecek bütün de¤erlere sahip olunmas› uygulamada imkans›z oldu¤undan, söz ko-nusu de¤iflkenler için örneklemeye baflvurulur. Böylece b0 ve b1 parametrelerininkestirimi olan b0 ve b1 bulunabilir ve kestirimi elde edilen iliflki,

Yi = b0 + b1 Xi + ei

fleklinde yaz›l›r.b0 , do¤rusal modelin sabit terimidir ve X = 0 oldu¤unda regresyon do¤rusu-

nun dikey eksen Y ‘yi kesti¤i noktay› göstermektedir. b1 ise do¤rusal modelin

Ünite 11 - Basi t Do¤rusal Regresyon 255

SIRA S ‹ZDE

YILLAR Erkek Nüfus Art›fl H›z› (%)

1995 18.501996 19.001997 20.001998 20.401999 21.602000 22.90

A M A �

2

e¤imini vermektedir ve regresyon analizinde, ba¤›ms›z X’deki bir birimlik de¤ifl-menin, ba¤›ml› de¤iflken Y’de, ne kadarl›k bir de¤iflmeye yol açaca¤›n› gösterenregresyon katsay›s›d›r. b0 ve b1 ise anakütle regresyon katsay›lar›n›n (b0 ve b1’in) kestirimleridir.

Basit Do¤rusal Regresyon Denkleminin Kestirimi‹ki de¤iflken aras›nda gerçek do¤rusal bir iliflki varsa regresyon denklemi, b0 veb1 ’in Yi – art›klar›n› küçük yapabilen kestiricilerin elde edilmesiyle bulunur.Varyans kavram› göz önünde tutuldu¤unda bunun bir ölçüsü art›klar›n karelertoplam›d›r. Bu toplam› en küçükleyen b0 ve b1 kestiricilerinin elde edilmesine ilifl-kin kestirim yöntemi, En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi’dir. b0 ve b1 ve s2’ inkestirimlerinde s›kça bu yöntem kullan›lmakla birlikte, bir baflka kestirim yöntemide en çok olabilirlik yöntemidir. Burada sadece yayg›n olarak kullan›lan, EKKyöntemiyle regresyon modelinin kestirimine yer verilecektir.

Katsay›lar›n En Küçük Kareler (EKK) Kestirimleri

Y = b0 + b1 X + e

do¤rusal iliflkisi, X ve Y de¤iflkenlerinin anakütleleri için geçerlidir. ‹statistiksel ça-l›flmalar›n ço¤unda oldu¤u gibi, regresyon analizinde de anakütleye iliflkin verile-rin tümüne ulafl›lamad›¤›ndan, bu anakütleden seçilen örnek verileriyle analiz ya-p›l›r. Örnek verilerinden hareketle anakütle parametreleri olan b0 ve b1 ’in kesti-rimlerini elde edebilmek için en küçük kareler yönteminden yararlan›labilir. Bu-nun için, öncelikle, gözlem ikililerini bir serpilme diyagram›nda gösterdi¤imizivarsayal›m. Serpilme diyagram› incelendi¤inde do¤rusal bir e¤ilim görülüyorsa,Y’in X’e göre matematik fonksiyonunun do¤rusal oldu¤una (kesin olmasa da) ka-rar verilebilir. Ancak, gözlem noktalar› aras›ndan, çok say›da do¤rusal fonksiyongeçirilebilir. Bu do¤rusal fonksiyonlardan en uygunu, Yi gözlem de¤erlerine enyak›n kuramsal (tahmin) de¤erini veren do¤rusal fonksiyon olacakt›r. Bir bafl-ka ifadeyle, belirli bir X de¤eri için, elimizde iki ordinat de¤eri olacakt›r; birincisigözlem de¤eri, ikincisiyse bu noktan›n do¤ru ya da e¤ri üzerinde teorik olarakhesaplanacak ordinat de¤eridir. ‹flte, kuramsal de¤erlerle, Yi gözlem de¤erle-ri aras›ndaki farklar, hata terimlerini oluflturur.

E = Yi - fleklinde hesaplanan hata terimleri, “pozitif” ya da “negatif” ya da“s›f›r” de¤erlerine sahip olurken, bu farklar›n cebirsel toplam› s›f›ra eflittir:

En küçük kareler yönteminin esas› b0 ve b1 ’in kestirimleri olan b0 ve b1 ’i sözkonusu farklar›n kareleri toplam›n› minimum, yani

olacak flekilde belirlemektir.

ei2×

i=1

n = Yi – Y

2 = min.×

i=1

n

ei×i=1

n = Yi – Yi = 0×

i=1

n

Yi

Yi

Yi

Yi

‹s tat ist ik256

b0 ve b1 ’in EKK kestirimleri, yukar›daki en küçükleme yöntemi için

ifadesinin b0 ve b1 ’e göre türevleri al›n›p s›f›ra eflitlenerek:

bulunur, elde edilen bu iki eflitlikten,

denklemleri elde edilir. Bu denklemler “normal denklemler” olarak isimlen-dirilir. Do¤ru denklemleri ve katsay›lar›n›n en küçük kareler kofluluna uygunolarak hesaplanmas›, bu iki denklemin çözümüyle gerçekleflebilir. Normal denk-lemlerdeki di¤er de¤erler n, ÂXi , ÂYi , ÂXi

2 ve ÂXi Yi d›r ve denklemlerdekiXi ve Yi de¤erleri “s›f›r orijinine” göre ifade edilmifllerdir. Bu de¤erleri seri k›y-metlerine dayanarak hesaplad›ktan sonra, basit do¤rusal regresyon modelindekib0 ve b1 ’in kestirimleri olan b0 ve b1 ’i normal denklemlere dayanarak kolayl›k-la çözmek mümkündür. b0 ve b1 gibi iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde bukatsay›lar hesapland›¤›nda Y ’in X ’e göre do¤rusal regresyon denklemi

fleklinde ifade edilecektir.

Örnek 1’de verdi¤imiz probleme tekrar dönelim. Eskiflehir ilinde sat›flyapan bir ma¤aza ürünlerini, yerel radyodaki reklamla tan›tmaktad›r.Firman›n 5 hafta süresince, belirli bir ürün için harcad›¤› reklam tutar›ve sat›lan ürün say›s› tabloda verilmifltir. Sat›fl miktar›n›n, reklam har-camalar›na göre, basit do¤rusal regresyon denkleminin kestirimini, enküçük kareler tekni¤iyle elde ediniz.

Y = b0 + b1X

Yi× = b0n + b1 Xi×

Xi Yi× = b0 Xi× + b1 Xi2×

∂e∂b0

= –2 Yi – b0 – b1 Xi = 0× ∂e

∂b1 = –2 Xi Yi – b0 – b1 Xi = 0×

Yi – Yi2 = Yi – b0 – b1 Xi

2×i=1

n ×

i=1

n

Ünite 11 - Basi t Do¤rusal Regresyon 257

Ö R N E K 2

Y=bo+b1X Basit do¤rusalregresyonda, do¤ru denkleminin parametreleri (bo,b1) enküçük kareler (EKK) tekni¤iile hesaplan›r.

Reklam harcamas› (X) Sat›fllar (Y)(Milyon TL) (Adet)

10 320 430 640 750 10

‹s tat ist ik258

ÇÖ

ZÜ

M Basit do¤rusal regresyon denklemi ’i oluflturabilmek için b0 veb1 katsay›lar›n› normal denklemler yard›m›yla hesaplayal›m. Normal denklemler:

’dir. Bu durumda, ÂX, ÂY, ÂX2 ve ÂX Y de¤erlerinin hesaplanmas› gerekir.

X Y XY X2

10 3 30 10020 4 80 40030 6 180 90040 7 280 160050 10 500 2500

=150 =30 =1070 =5500

30 = 5b0 + 150b11070 = 150b0 + 5500b1

Bu iki denklemin b0 ve b1 katsay›lar›;

b0 = 0.9 ; b1 = 0.17

olarak hesaplan›r. Buna göre, regresyon do¤rusu denklemi,

= 0.9 + 0.17

fleklinde elde edilir. Regresyon katsay›s› 0.17 bulundu¤undan, X ba¤›ms›z de¤ifl-kenindeki bir birimlik de¤iflme, Y ba¤›ml› de¤iflkeninde 0.17 birimlik de¤iflmeyeneden olacakt›r.

Normal denklemlerde X ve Y de¤erleri yerine bunlar›n aritmetik ortalamalar›n-dan sapmalar› olan x ve y de¤erlerinin konulmas›yla;

denklemleri elde edilir. Tan›m gere¤ince xi = X – ve yi = Y – oldu-¤undan aritmetik ortalaman›n temel özelliklerinden birincisine göre (aritmetik or-talamadan cebirsel sapmalar›n toplam› s›f›rd›r.) Sxi = 0 ve Syi = 0 ’d›r. Böyleceson iki eflitlikten

ya da

b1 =xiyi×xi2×

b1 =xiyi×xi2×

YX

yi× = b0n + b1 xi×

xiyi× = b0 xi× + b1 xi2×

Y

X2×XY×Y×X×

Y× = b0n + b1 X×

XY× = b0 X× + b1 X2×

Y = b0 + b1X

Regresyon do¤ru denklemleri, s›f›r ya da ortalamalar orijinine görehesaplanabilir.

ÇÖ

ZÜ

M

xi yi xiyi xi2

-20 -3 60 400-10 -2 20 1000 0 0 010 1 10 10020 4 80 400

0 0 170 1000

Ünite 11 - Basi t Do¤rusal Regresyon 259

Ö R N E K 3

elde edilir. b0’in 0’a eflit olmas›, ortalamalar orijinine göre, regresyon do¤rusu-nun, de¤iflkenlerin ortalamalar›yla tan›mlanan bir noktadan geçti¤ini ortaya koy-maktad›r. Bu durumda regresyon denklemi

fleklinde yaz›labilir.Bir regresyon do¤rusu ister s›f›r orijinine, ister ortalamalar orijinine göre yaz›l-

s›n, e¤imi de¤iflmez. Bu nedenle her iki orijine göre hesaplanan b1 katsay›s› ay-n›d›r. Buna karfl›l›k b0 ise

SYi = nb0 + b1SXi

eflitli¤inden hareketle elde edilir. Eflitli¤in her iki taraf› n ile bölündü¤ünde

ve

sonucuna ulafl›l›r. ve bu flekilde elde edildi¤ine göre, veriler için en iyi do¤-ru denklemi;

fleklinde yaz›labilir.

Örnek 2’deki veriler için, Y’nin X’e göre regresyon denklemini, ortalama-lar orijinine göre, en küçük kareler tekni¤iyle elde edelim.

Basit do¤rusal regresyon denklemini ortalamalar orijinine göre yazabilmek için, ilkolarak, X ve Y serisinin aritmetik ortalamalar›n› ve x, y, xy ve x2 ’leri elde edelim.

b0 = 0

X =Xi×

n = 150

5 = 30 Y =

Yi×n

= 305

= 6

Y = b0 + b1 X

b0 = Y – b1 X

Yi×n

= nb0n

+b1 Xi×

n

Y = b0 + b1X

y = b1xi veya y = byxxi

‹s tat ist ik260

Ö R N E K 4

ÇÖ

ZÜ

M

Bu durumda, ortalamalar orijinine göre, Y’nin X’e göre regresyon denklemi,

fleklinde yaz›l›r.Yukar›daki aç›klamalarda Y de¤iflkeni ba¤›ml› de¤iflken, X de¤iflkeniyse ba-

¤›ms›z de¤iflken kabul edilmiflti. X de¤iflkeni ba¤›ml› Y de¤iflkeni ba¤›ms›z de¤ifl-ken oldu¤undaysa do¤ru denklemi;

olarak ifade edilecektir. Bu durumda b0 ve b1

ya da

ve

formülleri yard›m›yla bulunur. b0 ve b1 ’in kestirimleri olan b0 ve b1 ’in ve byxformülleri incelendi¤inde, her ikisi de daima ayn› iflareti tafl›r, fakat ayn› de¤erdede¤ildir.

Örnek 1’de verdi¤imiz reklam harcamas› ve sat›lan ürün say›s› problemiiçin bu kezi) X’in Y ’ye ve ortalamalar orijinine göre, regresyon denklemini,ii) X’in Y’ye ve s›f›r orijinine göre, regresyon denklemini hesaplayal›m.

i) X’in Y’ye ve ortalamalar orijinine göre regresyon katsay›s›

olup, regresyon denklemi

fleklinde elde edilir.

x = 5.66 y

bxy =xiyi×yi2× = 170

30 = 5.66

b0 = X – b1 Y

bxy =xiyi×yi2×

b1 =xiyi×yi2×

X = b0 + b1Y

y = 0,17x

b1 = byx =xiyi×Xi

2× = 170

1000 = 0.17

Ünite 11 - Basi t Do¤rusal Regresyon 261

X Y3 25 47 69 5

ii) X’in Y’ye göre ve s›f›r orijinine göre, regresyon denklemini yazabilmemiz içinb0 ’› hesaplamam›z gerekir.

ve regresyon denklemi

fleklinde elde edilir.

1. Bir ö¤retim üyesi, ö¤rencilerin A dersinden ald›klar› final notlar›n›n, ö¤rencilerin vi-ze notlar›na ba¤l› oldu¤unu düflünmektedir. Ö¤retim üyesinin bu düflüncesiyle olufltu-rulabilecek bir do¤rusal regresyon denklemindeki ba¤›ml› ve ba¤›ms›z de¤iflkenlerneler olacakt›r?

2. Ba¤›ml› de¤iflkenin sahip oldu¤u de¤erle, bu ba¤›ml› de¤iflken için, do¤rusal regres-yon denkleminden elde edilen tahmin de¤eri aras›ndaki farka ne ad verilir?

3. Afla¤›da (X) ve (Y) de¤iflkenleri için gözlem de¤erleri verilmifltir. (X) ba¤›ms›z de¤ifl-ken ve (Y) de ba¤›ml› de¤iflken olarak al›n›rsa, en küçük kareler yöntemine göre reg-resyon denklemi ne olacakt›r?

VARYANSIN (s2 ) KEST‹R‹M‹

Basit do¤rusal regresyon modeliyle elde edilen kestirimlerin stan-dart hatas›n› hesaplayabileceksiniz.

Basit do¤rusal regresyon modelinde, b0 ve b1 ’in kestirimlerine ek olarak, aral›kkestirimlerinde ve hipotez testlerinde gerekli olan s2’in kestirimine de gereksinimvard›r.

s2, ei hata terimlerinin ortak varyans›d›r. ei’in kestirimi ei hata terimi oldu¤un-dan ei’lerin varyans› da s2’in bir kestirimi olacakt›r. Hatalar›n kareler toplam›,

yaz›labilir. HKT’in serbestlik derecesine bölümüyle elde edilen

HKT = ei2×

= Yi – Yi2

×

X = –3.96 + 5.66 Y

X = b0 + b1Y

b0 = X – b1Y

b0 = 30 – 5.66(6)

b0 = –3.96

A M A �

3

SIRA S ‹ZDE

ÇÖ

ZÜ

Mhata kareler ortalamas›, (bir baflka ifadeyle hatalar›n varyans›) s2’in bir kestirimi-dir. Basit do¤rusal regresyon modeliyle hatalar›n hesaplanmas›nda, b0 ve b1 ’inkestiricileri b0 ve b1 kullan›ld›¤›ndan, serbestlik derecesi (n-2) olarak yaz›l›r.

HKO ’un kare kökü al›nd›¤›ndaysa denklemin standart hatas› elde edilir ve ile gösterilir.

Örnek 1’deki verileri kullanarak, regresyon denklemine dayanarak yap›-lacak kestirimlerin standart hatas› ( )’› hesaplayal›m.

’› hesaplayabilmek için öncelikle, ’lar› daha sonra da ve ’leri hesaplayal›m.

2.6 0.4 0.164.3 -0.3 0.096 0 0

7.7 -0.7 0.499.4 0.6 0.36

1.1

buradan,

olarak elde edilir.

1. ei hata terimlerinin ortak varyans› nedir?

2. Basit do¤rusal regresyon modelinde serbestlik derecesi ne olacakt›r?

3. ’in kestirimi nerelerde kullan›l›r?

BAS‹T DO⁄RUSAL REGRESYONDA ARALIK KEST‹R‹M‹

Basit do¤rusal regresyonda, parametrelerin nokta kestirimindensonra genelleme yapabilmek için, parametrelere iliflkin aral›k kes-tirimi yapabileceksiniz.

s

s = 1,15 – 2

= 0.36 = 0.6

Y – Y2

Y – YY

Y = 0,9 + 0,17X

Y – Y2

Y – YYs

s

s = HKO

=Yi – Yi

2×

n – 2

s

HKO = HKTn – k

‹s tat ist ik262

Ö R N E K 5

SIRA S ‹ZDE

A M A �

4

Ünite 11 - Basi t Do¤rusal Regresyon 263

Ö R N E K 6

SIRA S ‹ZDE

ÇÖ

ZÜ

M

‹statistiksel ç›karsamalarda yap›lan kestirimlerin, gerçek de¤erlerle genellen-mesi aral›k kestirimleriyle yap›l›r. Regresyon çözümlemesi, örneklem verileriyleyap›ld›¤›ndan, elde edilen b0 ve b1 ’lerin anakütle parametreleri, b0 ve b1’e iliflkinaral›k testlerinde de elde edilmelidir.b0 katsay›s› için t örnekleme da¤›l›m› yard›m›yla b0 için güven aral›¤›

fleklinde verilir. Sb0, b0 ‘in standart hatas›d›r ve

formülüyle hesaplan›r, ta ise a anlaml›l›k düzeyi n-2 serbestlik derecesinde t tab-losundan bulunan de¤erdir.b1 için güven aral›¤›

formülüyle elde edilir. Sb1, b1 ‘in standart hatas›d›r ve

fleklinde hesaplan›r.

Örnek 2’de örnek 1’in verilerini kullanarak b1 = 0.17 olarak hesaplanm›fl-t›r. Bu sonuca göre, b1 katsay›s›n›n %95 güven aral›¤›n› hesaplayal›m.

ve n=3 serbestlik derecesinde t tablo de¤eri 3.182’dir. Buna göre b1 için %95güven aral›¤›

0.17 ± (3.182)(0.019)P(0.109 < b1 < 0.23) = 0.95

olarak hesaplan›r.Regresyon katsay›s› b1 ’in 0.95 olas›l›kla alabilece¤i de¤erler 0.109 ile 0.23

olacakt›r.

1. b0 katsay›s›n›n güven aral›¤› oluflturulurken, hangi örnekleme da¤›l›m› kullan›l›r?

2. b1 = 0.48 , = 0.002 , a = 0.05 , n = 5 için t tablo de¤eri t = 2.571 iken, b1 kat-say›s›n›n %95 güven aral›¤›n› hesaplay›n›z?

3. Basit do¤rusal regresyonda, parametreler hakk›nda genellemeler yapabilmek için,hangi tekni¤e ihtiyaç duyulur?

s b 1

b1 = 0,17

s b 1 =sXi – X 2×

= 0.61000

= 0.631.6

= 0.019

s b 1 =s

Xi – X2×

P (b1 – ta . s b 1 ≤ b1 ≤ b1 + ta . s b 1) = 1 – a

s b 0 = s 1n

+ X2

Xi – X2×

P (b0 – ta . s b 0 ≤ b0 ≤ b0 + ta . s b 0) = 1 – a

‹s tat ist ik264

Ö R N E K 7

ÇÖ

ZÜ

M

REGRESYON KATSAYILARININ ANLAMLILIK TESTLER‹

Basit do¤rusal regresyon denkleminde elde edilen parametre kes-tirimlerinin, istatistiksel olarak anlaml›l›¤›n› test edebileceksiniz.

Basit do¤rusal regresyon analizinde, bir ba¤›ml› bir ba¤›ms›z de¤iflken olmas› ne-deniyle, test edilecek parametreler b0 ve b1 olacakt›r. Daha önce aç›kland›¤› gibi,b0 ’›n kestirimi b0 regresyon sabitidir ve b1 ise b1 ’in kestirimi olup regresyon kat-say›s›d›r.

Basit do¤rusal regresyon modelindeki regresyon katsay›s›na iliflkin yap›lantest, regresyon do¤rusunun anlaml›l›¤›n› da test etmektedir. fiöyle ki:

H0 : b1 = 0H1 : b1 ≠ 0

hipotezleri

istatisti¤inden yararlan›larak test edilir. a anlam düzeyinde n-2 serbestlik dere-cesinde t tablosundan bulunan de¤er, hesaplanan t test istatisti¤inden büyükseH0 : b1 = 0 hipotezi kabul edilir ve regresyon do¤rusu anlaml› de¤ildir. Di¤erbir ifadeyle Y’deki de¤iflimler X’deki de¤iflmelerden kaynaklanmamaktad›r (Xve Y aras›nda do¤rusal bir iliflki yoktur.). t istatisti¤inin de¤eri t tablo de¤erin-den büyükse H0 reddedilir, yani, regresyon do¤rusu anlaml›d›r. Elde edilendo¤rusal regresyon modeli amaca uygun olarak kullan›labilir.

Ayn› örne¤imiz için regresyon katsay›s›n›n anlaml›l›k testini yapal›m.

H0 : b1 = 0H1 : b1 ≠ 0

Hipotezlerini test edelim. , örneklem küçük oldu¤u için benimsenen

t, n = n-2 = 5-2 = 3 serbestlik derecesiyle t da¤›l›r.

a = 0.05 ve n-2 = 5-2 = 3 serbestlik derecesi ile t 0.05= 3.182 oldu¤undant > t 0.05 dir ve H0 reddedilecektir, b1 kestirimi istatistiksel olarak anlaml›d›r.

1. Regresyon denklemi ve katsay›lar›n standart hatalar› s(b0) =0.29 , s(b1) = 0.067 olarak verilmifltir. Katsay›lar›n anlaml›l›¤›n›, %5 anlam düzeyinegöre test ediniz.

2. Basit do¤rusal regresyon modelinde katsay›n›n istatistiksel olarak anlaml› olmas›n›npratik anlam› nedir?

3. Regresyon katsay›lar›n›n testi için hipotezler nas›l kurulur?

Y = 5.08 + 1.58 X

t = b1s b 1

= 0.170.019

= 8.94

t h =b1s b 1

t h =b1s b 1

SIRA S ‹ZDE

A M A �

5

Basit do¤rusal regresyonmodelinde regresyonkatsay›s›na iliflkin test,regresyon do¤rusununanlaml›l›¤›n› da test eder.

265

Kendimizi S›nayal›m1. X ve Y de¤iflkenleri aras›ndaki iliflkiyi gösteren mate-matiksel fonksiyona ne ad verilir?

a. Regresyon denklemib. Korelasyon denklemic. Anlaml›l›k testid. Hipotez testie. Ba¤›ml› de¤iflken

2. De¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin gösterilmesinde kulla-n›lan grafik yöntemi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. Histogramb. Standart normal e¤ric. Serpilme diyagram›d. Kök-yaprak diyagram›e. Poligon

3-4 ve 5. sorular afla¤›daki bilgilere göre cevapland›-

r›lacakt›r.

x : 40, 20, 22, 14y : 12, 15, 14, 18 bileflik serisi verilmifltir.

3. Yukar›daki verilere göre, Â XY de¤eri kaçt›r? a. 750b. 825c. 1250d. 1340e. 2340

4. Yukar›da verilen serinin basit do¤rusal regresyon denk-lemini afla¤›dakilerden hangisidir?

a. = 50 + 8.2X

b. = 18.35 – 0.15X

c. = 18.35 + 0.15X

d. = 50 – 8.2X

e. = 0.15 + 18.35X

5. Yukar›da verilen bileflik seri için ortalamalar orjininegöre regresyon denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. = 18.35x

b. = 0.15x

c. = -0.15x

d. = -18.35x

e. = 8.2x

6. Ba¤›ml› de¤iflken (Yi ) ile bu de¤iflken için regresyondenkleminden elde edilen tahmin de¤eri ( i ) aras›ndakifarka ne ad verilir?

a. Standart hatab. Tahmin hatas›c. Standart sapmad. Varyanse. Regresyon katsay›s›

7. , n = 6 olan basit do¤rusal regres-yon denklemiyle elde edilen tahminlerin standart hatas›kaçt›r?

a. 0.36b. 0.55c. 0.60d. 0.75e. 0.91

8-9 ve 10. sorular afla¤›daki bilgilere göre cevaplan-

d›r›lacakt›r.

Regresyon denklemi = 1.1 + 0.81X , s(b1) = 0.09 ve n= 6 olarak verilmifltir.

8. Regresyon katsay›s›n›n 0.01 anlam düzeyinde testedilmesi istedi¤inde, test istatisti¤inin de¤eri afla¤›dakiler-den hangisidir?

a. t = 9b. t = 3c. t = 2.9d. t = 1.9e. t = 0.9

9. Yukar›daki verilere göre, hipotez testinde s›f›r hipote-zinin red bölgesi afla¤›dakilerden hangisidir?

a.b.c.d. t < 3.182e. t < 2.132

10. Yukar›daki verilere göre, regresyon denklemi = 1.1+ 0.81X oldu¤unda, (b) regresyon katsay›s› afla¤›dakiler-den hangisinde do¤ru olarak ifade edilmifltir?

a. X’deki bir birimlik artma (ya da azalma) Y’de 0.81birimlik art›fla (ya da azalmaya) neden olur.

b. X’in de¤eri s›f›r oldu¤unda Y’nin de¤eri de s›f›rolur.

c. Y’de bir birimlik azalma X’de de bir birimlik azal-maya neden olur.

d. Y’de 1.1 birimlik azalma X’de 2 birimlik art›fla ne-den olur.

e. X’deki art›fl Y’yi etkilemez.

Y

t > 2.776 t > 3.182 t > 3.747

Y

× Yi – Y2 = 2,2

Y

YYYYY

YYYYY

Ünite 11 - Basi t Do¤rusal Regresyon

266

Yan›t Anahtar›1. a2. c3. d4. b5. c6. b7. d8. a9. b10. a

Yararlan›lan KaynaklarORHUNB‹LGE, Neyran: Uygulamal› Regresyon ve

Korelasyon Analizi, ‹. Ü. ‹flletme Fakültesi, No : 267,‹stanbul, 1996.

ÇÖMLEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri,Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1989.

NEWBOLD, Paul: ‹flletme ve ‹ktisat için ‹statistik,

Çeviren : Ümit fienesen, 4. Bas›m, Literatür Yay›nc›l›k,2000.

SERPER, Özer: “Uygulamal› ‹statistik II”, 4. Bask›, EzgiKitabevi, Bursa, 2000.

‹s tat ist ik

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak • Kavramlar ve bu kavramlar aras›ndaki iliflkiler dikkatle incelenmeli,• Örnekler ve örnek çözümleri dikkatle incelenmeli, sorunlarla karfl›lafl›l›rsa il-

gili ünitelere geri dönülmeli,• Regresyon konusu yeterince özümsenmelidir.

267

Korelasyon 12

Amaçlar‹ki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin yönünü ve derecesini belirleyebileceksiniz.Ba¤›ml› de¤iflkendeki de¤iflmenin yüzde kaç›n›n ba¤›ms›z de¤iflken taraf›n-dan aç›kland›¤›n› belirleyebileceksiniz.Anakütlede korelasyon olup olmad›¤› yolundaki hipotezleri, belirli anlamdüzeyinde test edebileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• KORELASYON KATSAYISI• BEL‹RL‹L‹K KATSAYISI• KORELASYON KATSAYISININ ANLAMLILIK TEST‹

268 ‹stat ist ik

��

�

G‹R‹fiBir önceki ünitede iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin do¤rusal regresyon modeliylegösterimi üzerinde durulmufltu. Bu ünitedeyse iki de¤iflken aras›ndaki iliflkininyönü ve derecesinin belirlenmesi konusu “korelasyon analizi” ele al›nacakt›r.Bu tip analizin arac› korelasyon katsay›s›d›r. Hemen belirtelim ki korelasyon veregresyon birbirleriyle yak›n iliflkileri olan konulard›r.

KORELASYON KATSAYISI

‹ki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin yönünü ve derecesinibelirleyebileceksiniz.

Turistik bir bölgede, elde edilen turizm geliriyle yatak say›s› aras›ndaki iliflkininderecesi bölgeye, yeni yat›r›mlar›n yap›lmas›na gösterge oluflturacakt›r. Bölgeyeyat›r›m yap›lmas›n› isteyen bir grup, yatak say›s› artt›r›l›rsa, daha çok turist gele-ce¤ini ileri sürmektedir. Bu ve benzer iddialar›n geçerlili¤i yine uygun istatistikselteknikler kullan›larak araflt›r›l›r.

Bu ünitede de¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin derecesi ve yönünün belirlenme-sinde kullan›lan istatistiksel teknikler ele al›nm›flt›r.

‹ki de¤iflken aras›ndaki do¤rusal iliflkinin derecesi, “ r ” simgesiyle gösterilenkorelasyon katsay›s›yla ölçülür. Korelasyon katsay›s› iki de¤iflkenin de¤iflimlerin-de, ne dereceye kadar uygunluk oldu¤unu belirler. Fakat hiç bir flekilde neden -sonuç iliflkisi kurmaz.

Asl›nda bir çok durumda, modelin de¤iflkenlerinden hangisinin ba¤›ms›z de-¤iflken, hangisinin ba¤›ml› de¤iflken oldu¤u bilinmez. ‹flte bu gibi durumlarda,iliflkinin derecesinin belirlenmesinde oransal bir ölçü olan, “korelasyon katsay›-s›”ndan yararlan›l›r.

Korelasyon katsay›s›n›n alabilece¤i en küçük de¤er –1, en büyük de¤erse +1olur, baflka bir anlat›mla korelasyon katsay›s› r,

–1 ≤ r ≤ +1

aras›nda de¤er al›r.Korelasyon katsay›s›n›n iflareti pozitifse, de¤iflkenlerden birinin de¤eri artarken

(azal›rken) di¤erinin de artt›¤›n› (azald›¤›n›) gösterir. Korelasyon katsay›s›n›n ifla-reti negatifse, de¤iflkenlerden birinin de¤eri artarken (azal›rken) di¤erinin de¤eri-nin azald›¤›n› (artt›¤›n›) gösterir. Yani ters yönlü bir iliflki söz konusudur.

r = 0 oldu¤undaysa de¤iflkenler aras›nda do¤rusal bir iliflkinin bulunmad›¤›söylenebilir.

r ’nin +1’e eflit olmas›, de¤iflkenler aras›nda pozitif ve tam do¤rusal bir iliflki-nin varl›¤›n› ortaya koyar.

r ’nin -1’e eflit olmas›ysa, de¤iflkenler aras›nda negatif ve tam do¤rusal bir ilifl-kiyi belirler. De¤iflkenler aras›ndaki iliflki kuvvetlendikçe ±1’e, zay›flad›kça da s›-f›ra yaklaflan bir korelasyon katsay›s› elde edilir.

Korelasyon katsay›s›,

ile hesaplan›r.

r =xi yi∑

xi2∑ yi

2∑ =

Xi – X Yi – Y∑

Xi – X2∑ Yi – Y

2∑

269Ünite 12 - Kore lasyon

A M A �

1‹ki de¤iflken aras›ndakido¤rusal iliflkinin yönü vederecesi korelasyonkatsay›s›yla ölçülür.Korelasyon katsay›s› r ilegösterilir.

Korelasyon katsay›s› neden sonuç iliflkilerininkurulmas›nda yeterli olmaz.

Korelasyon katsay›s› r, –1ile +1 aras›nda de¤erleral›r (–1 ≤ r ≤ +1 ).

ÇÖ

ZÜ

M

Ö¤rencilerin istatistik dersinde ara s›navdan ald›klar› notlarla dönem so-nu s›nav›ndan ald›klar› notlar aras›nda bir iliflki oldu¤u düflünülmekte-dir. Bu iliflkinin yönünü ve derecesini belirleyelim.

‹statistik Dersi ‹statistik Dersi DönemAra S›nav Notlar› Sonu S›nav Notlar›

X Y45 8354 7855 8068 7230 4548 26300 384

Ö¤rencilerin ara s›nav notlar›yla dönem sonu notlar› aras›ndaki iliflkinin derecesi-ni korelasyon katsay›s›yla belirleyebiliriz.

oldu¤undan,

dönüflümüyle,

xi yi xiyi xi2 yi

2

–5 19 -95 25 6314 14 56 16 1965 16 80 25 256

18 8 144 324 64–20 –19 380 400 361–2 –38 76 4 1444

641 794 2682

olarak hesaplan›r.

Ö¤rencilerin, istatistik dersiyle ilgili, ara s›nav notlar›yla dönem sonu s›navnotlar› aras›nda, pozitif yönde, kuvvetli olmayan bir iliflki söz konusudur.

Korelasyon katsay›s›, regresyon katsay›lar›ndan da yararlan›larak afla¤›dakieflitlikle hesaplanabilir.

r = ± byx . bxy

r =xi yi∑

xi2∑ yi

2∑ = 641

794.2682 = 641

1459 = 0.439

xi = Xi – X yi = Yi – Y

X =Xi∑

n = 300

6 = 50 Y =

Yi∑n

= 3846

= 64

270 ‹stat ist ik

Ö R N E K 1

Korelasyon katsay›s› r,regresyon katsay›lar›yard›m›yla da hesaplanabilir

r = ± byx . bxy .

ÇÖ

ZÜ

M

formüldeki,

byx = Y’nin X’e göre regresyon katsay›s›bxy = X’in Y’ye göre regresyon katsay›s›d›r.

Burada, dikkat edilmesi gereken nokta, e¤er regresyon katsay›lar› pozitifse rpozitif, e¤er her iki regresyon katsay›s› da negatifse r negatif olacakt›r. E¤er reg-resyon katsay›lar›ndan biri pozitif, di¤eri de negatifse, de¤iflkenler aras›nda iliflkiyoktur.

Örnek 1’de yer alan veriler için, korelasyon katsay›s›n›, regresyon katsa-y›lar›ndan yararlanarak hesaplayal›m.

Bu yaklafl›mla, korelasyon katsay›s›n› hesaplayabilmek için öncelikle, regresyonkatsay›lar›n› elde edelim :

olarak elde edilir. Bu sonuçlardan,

olarak elde edilir (Her iki regresyon katsay›s›n›n da pozitif oldu¤una dikkat ediniz).

Çözümlerden de görülece¤i gibi, korelasyon katsay›s› hangi yaklafl›mla hesap-lan›rsa hesaplans›n, ayn› sonuca ulafl›lacakt›r. Burada dikkat edilmesi gereken hu-sus fludur: Regresyon katsay›lar›n›n iflaretiyle korelasyon katsay›s›n›n iflareti ayn›olacakt›r.

Alfa üretim iflletmesinin belirli bir döneme iliflkin üretim miktar›yla birimde¤iflken maliyetleri afla¤›daki gibidir:

Üretim Miktar› Birim De¤iflken Maliyetler(Bin Ton) (Milyon TL)

X Y1 112 93 84 75 515 40

Regresyon katsay›lar›ndan yararlanarak korelasyon katsay›s›n› hesaplayal›m.

r = + 0.807 . 0.239 = + 0.912 r = + 0.439

byx =yi xi∑xi

2∑ = 641

794 = 0.807

bxy =yi xi∑yi

2∑ = 641

2682 = 0.239

271Ünite 12 - Kore lasyon

Ö R N E K 2

Ö R N E K 3

ÇÖ

ZÜ

M Öncelikle regresyon katsay›lar›n› bulal›m. Bunun için ilgili hesaplamalar afla¤›daverilmifltir:

Xi Yi xiyi xi2 yi

2

1 11 –2 3 –6 4 92 9 –1 1 –1 1 13 8 0 0 0 0 04 7 1 –1 –1 1 15 5 2 –3 -6 4 9

15 40 0 0 -14 10 20

bu sonuçlardan hareketle regresyon katsay›lar›,

olarak hesaplan›r. Buradan,

olarak elde edilir (her iki regresyon katsay›s›n›n da negatif oldu¤una dikkat ediniz).

Üretim hacmiyle birim de¤iflken maliyetler aras›nda, ters yönde, kuvvetli biriliflki vard›r.

1. Korelasyon katsay›s› hangi amaçla kullan›l›r?

2. Korelasyon katsay›s›n›n alabilece¤i en küçük ve en büyük de¤er nedir?

3. X ve Y de¤iflkenleri için korelasyon katsay›s› r = 0,85 bulundu¤una göre, sonucuyorumlay›n›z.

BEL‹RL‹L‹K KATSAYISI

Ba¤›ml› de¤iflkendeki de¤iflmenin yüzde kaç›n›n ba¤›ms›z de¤ifl-ken taraf›ndan aç›kland›¤›n› belirleyebileceksiniz.

Regresyon denkleminin verilere olan uyumunun sa¤lan›p sa¤lanmad›¤›n›n birgöstergesi de aç›klanabilen de¤iflimin toplam de¤iflime olan oran›d›r. Bu oran, be-lirlilik katsay›s› olarak isimlendirilir ve ba¤›ml› de¤iflkendeki de¤iflimin ne kadar›-n›n ba¤›ms›z de¤iflkence aç›klanabildi¤ini gösterir. Korelasyon katsay›s›n›n karesi-ne eflit olan belirlilik katsay›s›n›n alabilece¤i en küçük ve en büyük de¤erler s›-f›rla art› birdir.

0 ≤ r2 ≤ 1

r = ± byx . bxy = ± (–1.4)(–0.7) = -0.9899

byx =xiyi∑xi

2∑ = –14

10 = –1.4

bxy =xiyi∑yi

2∑ = –14

20 = –0.7

X = 3 Y = 8

yi = Yi – Y xi = Xi – X

272 ‹stat ist ik

S IRA S ‹ZDE

A M A �

2

Belirlilik katsay›s› r2 ,ba¤›ml› de¤iflkendekide¤iflimin ne kadar›n›nba¤›ms›z de¤iflkenceaç›kland›¤›n› ifade eder.

ÇÖ

ZÜ

M

Örneklem verilerinden hareketle, kestirimi yap›lan regresyon do¤rusu, ser-pilme diyagram›nda, noktalar aras›ndan geçmektedir. Belirlilik katsay›s› nokta-lar›n do¤ruya yak›nl›k derecesini gösterir. Fakat sadece flekle bakarak bunu gör-mek olas› de¤ildir. Bu nedenle, belirlilik katsay›n›n say›sal olarak elde edilmesigerekir.

r2 = 1 ise Y’deki de¤iflimin %100’ünün X ba¤›ms›z de¤iflkeni taraf›ndan aç›k-lanabildi¤i kabul edilir ve serpilme diyagram›nda tüm noktalar regresyon do¤ru-su üzerindedir.

r2 = 0 ise X ba¤›ms›z de¤iflkeni, Y ba¤›ml› de¤iflkenini hiç aç›klayam›yordemektir.

Özetle r2 s›f›rdan küçük ve birden büyük olamaz.

Örnek 1’deki veriler için belirlilik katsay›s›n› hesaplayal›m.

Belirlilik katsay›s›n›n korelasyon katsay›s›n›n karesine eflit de¤er oldu¤una göre,

r2 = (0.439)2

r2 = 0.192

olarak elde edilir. Belirlilik katsay›s›n›n de¤eri s›f›ra yak›n ç›kmas› nedeniyle, dö-nem sonu s›nav›nda al›nan notla, ara s›nav notlar›ndan çok az etkilenmifltir.

1. Belirlilik katsay›s›n›n bire yak›n olmas› durumunda serpilme diyagram›nda noktalarnas›l yer al›r?

2. Belirlilik katsay›s› ne amaçla kullan›l›r?

3. X ba¤›ms›z de¤iflkeni Y ba¤›ml› de¤iflkenini hiç aç›klam›yorsa r2 hangi de¤erialacakt›r?

273Ünite 12 - Kore lasyon

fiekil 12.1 r2 = 1olmas› durumu.

fiekil 12.2 r2 = 0olmas› durumu (hiçiliflki yok).

Ö R N E K 4

SIRA S ‹ZDE

Belirlilik katsay›s› r2 , 0 ile1 aras›nda de¤erler al›r.

X

Y

X

Y

ÇÖ

ZÜ

M

KORELASYON KATSAYISININ ANLAMLILIK TEST‹

Anakütlede korelasyon olup olmad›¤› yolundaki hipotezleri, be-lirli anlam düzeyinde test edebileceksiniz.

Anakütle iliflki katsay›s› r = 0 olan bir anakütleden seçilen örneklemlerin r katsa-y›lar› normal da¤›l›ma sahiptir. Bu nedenle,

H0 : r = 0H1 : r ≠ 0

hipotezleri formüle edildikten sonra

buradan

test istatisti¤i hesaplan›r.Korelasyon katsay›s›n›n hesaplanmas›, ço¤u zaman, küçük örneklemlere da-

yand›¤› için formülde, r = 0 hipotezine göre yap›lacak testte bu formülü kullan-mak mümkün olur. Formülde sr , r’nin standart hatas›d›r. n – 2 serbestlik derece-li a anlam düzeyinde tablodan bulunan t de¤eriyle t istatisti¤inin de¤eri karfl›lafl-t›r›l›p, istatistiksel olarak anlaml› olup olmad›¤›na karar verilir.

Örnek 1’de hesaplanan r = 0.439 de¤erinin anlaml›l›¤›n› a = 0.05 içins›nayal›m.

Hipotezler

H0 : r = 0H1 : r ≠ 0

Anlaml›l›k düzeyi a = 0.05

t0.05 = 2.776 > t = 0.97 oldu¤undan H0 kabul edilecektir. Anakütlede korelasyonolmad›¤› yolundaki H0 hipotezi %5 anlam düzeyinde kabul edilecektir.

1. Anakütle iliflki katsay›s› p = 0 olan bir anakütleden çekilen r katsay›lar› nas›l bir da-¤›l›ma sahiptir?

2. sr neyi gösterir?

3. t0.05 = 2.776 < t = 3.105 olarak verilmifltir. Sonucu yorumlay›n›z.

t = r n – 2

1 – r2 (n < 30)

t = 0.439 6 – 2

1 – 0.192 = 0.878

0.898 = 0.97

t = r n – 2

1 – r2

t = r - rsr

= rsr

274 ‹stat ist ik

A M A �

3

Ö R N E K 5

SIRA S ‹ZDE

Ünite 12 - Kore lasyon 275

Kendimizi S›nayal›m1. X ve Y de¤iflkenleri aras›ndaki iliflkinin derecesini,afla¤›dakilerden hangisi belirler?

a. Regresyon katsay›s›b. t istatisti¤ic. Korelasyon katsay›s›d. Aritmetik Ortalamae. Otokorelasyon katsay›s›

2. Afla¤›daki korelasyon katsay›lar›ndan hangisi, X ve Yde¤iflkenleri aras›nda, ters yönde tam do¤rusal bir iliflki-nin varl›¤›n› gösterir?

a. r = 1b. r = 0.5c. r = 0d. r = –0.5e. r = –1

3. Y’nin X’e göre regresyon katsay›s› byx = 0.86, X’in Y’yegöre regresyon katsay›s› byx = 0.90 ise korelasyon katsa-y›s› (r) kaçt›r?

a. r = 0.88b. r = 0.78c. r = 0d. r = –0.78e. r = -0.88

4. Korelasyon katsay›s›yla ilgili afla¤›daki ifadelerden han-gisi yanl›flt›r?

a. –1 ≤ r ≤ 1b. –1 ≤ r2 ≤ 1c. byx > 0 ise r > 0’d›r.d. byx < 0 ise r < 0’d›r.e. r2 = 0

5. X ve Y de¤iflkenleri için korelasyon katsay›s› r = 0.75ise afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?

a. X ve Y de¤iflkenleri aras›ndaki iliflki zay›ft›r.b. X ve Y de¤iflkenleri aras›nda iliflki yoktur.c. X ve Y de¤iflkenleri aras›nda ters yönlü ve zay›f

bir iliflki vard›r.d. X ve Y de¤iflkenleri aras›ndaki do¤ru yönlü ve

kuvvetli bir iliflki vard›r.e. X ve Y de¤iflkenleri aras›nda do¤ru yönlü ve çok

zay›f bir iliflki vard›r.

6. Belirlilik katsay›s›n›n kullan›m amac› afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. X ve Y de¤iflkenleri aras›ndaki regresyonuaç›klamak

b. X ve Y de¤iflkenleri aras›nda hata miktar›n›göstermek

c. Ba¤›ml› de¤iflkendeki de¤iflimin ne kadar›n›n ba¤›ms›zde¤iflkence aç›klanabildi¤ini göstermek

d. Tahminlerin hesaplamas›nda kullanmake. Standart hatay› azaltmak

7. X ve Y de¤iflkenleri aras›ndaki iliflkiyi gösteren korelas-yon katsay›s› r = 0,82 oldu¤unda, belirlilik katsay›s›afla¤›dakilerden hangisidir?

a. r2 = 0.75b. r2 = 0.67c. r2 = 0d. r2 = -0.67e. r2 = -1

8. X ba¤›ms›z de¤iflkeni Y ba¤›ml› de¤iflkenini hiç aç›k-lam›yorsa r2 de¤eri kaçt›r?

a. r2 = -1b. r2 = -0.5c. r2 = 0d. r2 = 0.5e. r2 = 1

9. Korelasyon katsay›s›n›n anlaml›l›k s›namas›nda s›f›rhipotezinin ifadesi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. H0 : p = 0b. H0 : p > 0c. H0 : p < 0d. H1 : p = 0e. H1 : p < 0

10. Örneklem büyüklü¤ü n = 8, r = 0.72 de¤erinin anlam-l›l›¤›n› s›namak için hesaplanan test istatisti¤inin de¤eriafla¤›dakilerden hangisidir?

a. t = 3.55b. t = 2.55c. t = 2d. t = 1.764e. t = -3

‹statistik276

Yan›t Anahtar›1. c2. e3. a4. b5. d6. c7. b8. c9. a10. b

Yararlan›lan KaynaklarORHUNB‹LGE, Neyran: Uygulamal› Regresyon ve

Korelasyon Analizi, ‹. Ü. ‹flletme Fakültesi, No: 267,‹stanbul, 1996.

ÇÖMLEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri,Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1989.

NEWBOLD, Paul: ‹flletme ve ‹ktisat için ‹statistik,Çeviren: Ümit fienesen, 4. Bas›m, Literatür Yay›nc›l›k,2000.

SERPER, Özer: Uygulamal› ‹statistik II, 4. Bask›, EzgiKitabevi, Bursa, 2000.

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak• Ortalamalar konusunu yeniden gözden geçirilmeli,• Tan›mlar› dikkatle okunmal›,• Örnekleri dikkatle gözden geçirilmelidir.

277

‹ndeksler 13

Amaç

‹ndeks kavram›n› aç›klayabilecek, basit ve bileflik indeksler hesaplayabile-ceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• ‹NDEKSLER

• Mekan ve Zaman ‹ndeksleri• Basit ve Bileflik ‹ndeksler

278 ‹stat ist ik

�

G‹R‹fiÖzellikle, a¤›r bir enflasyonun yafland›¤› ülkemizde, indeks sözcü¤ü kula¤a pekyabanc› gelmemektedir. Ekonomik haber ve yorumlarda, örne¤in; geçen y›l›n Xay›ndaki toptan eflya fiyatlar› indeksiyle içinde bulunulan y›l›n X ay›ndaki toptaneflya fiyatlar› indeksi aras›ndaki yüzde flu kadar art›fl›n ya da azal›fl›n gerçekleflme-sinden hareketle, ülke ekonomisinin geldi¤i nokta ve gelece¤ine iliflkin olumlu yada olumsuz tablolar ve yaflanan enflasyonun kaç›n›lmaz sonuçlar› toplumun bek-lentilerini önemli ölçüde etkilemektedir.

Bir ülkedeki sosyo ekonomik nitelikteki e¤ilimlerin belirlenebilmesi ve bu ko-nuda verilecek kararlar›n yerindeli¤i, ancak do¤ru, güvenilir ve zaman›nda ulafl›-labilir istatistiksel bilgilerle gerçeklefltirilebilir. Sözü edilen bilgilerin üretilmesindeönemli bir istatistiksel araç da indekslerdir.

Bu ünitede indeks konusu, yeterli ayr›nt›yla ele al›nm›flt›r.

‹NDEKSLER

‹ndeks kavram›n› aç›klayabilecek, basit ve bileflik indekslerhesaplayabileceksiniz.

‹ndeks, bir istatistiksel olaya iliflkin gözlem de¤erlerinin, zaman ya da mekana gö-re gösterdi¤i oransal de¤iflimler, olarak tan›mlan›r. Tan›m uyar›nca, indekslerdebiri temel, di¤eri de karfl›laflt›r›lan (cari) de¤er olmak üzere, iki de¤er söz konu-sudur. ‹ndeks hesaplan›rken karfl›laflt›r›lan de¤er paya, temel de¤er paydaya yaz›-l›r ve k›yaslamay› daha basit ifade edebilmek için sonuç 100 ile çarp›l›r. Böyle-ce temel de¤er 100 olmak üzere di¤er de¤erlerdeki de¤iflimlerin, temel de¤eregöre kaç olaca¤› belirlenir.

Tüm bu sözü edilenler, I indeksi, x0 temel de¤eri xi ve de i. gözlem de¤erinigöstermek üzere,

biçiminde formüle edilir.

Afla¤›da, belirli bir bölgedeki bu¤day üretimi y›llara göre verilmifltir. 1990y›l› de¤erini temel alarak indeks de¤erlerini hesaplay›n›z. 1993, 1994 ve1997 y›llar›na iliflkin indeks de¤erlerini yorumlay›n›z.

I =xix0

. 100

279Ünite 13 - ‹ndeksler

A M A �

1

‹ndeks, bir istatistikselolaya iliflkin gözlemde¤erlerinin zaman ya damekana göre gösterdi¤ioransal de¤iflimlerinölçüsüdür.

Ö R N E K 1

Y›llar Bu¤day Üretimi(1000 ton)

1990 4501991 3751992 4001993 5251994 4501995 4001996 3251997 3001998 3751999 405

‹s tat ist ik

ÇÖ

ZÜ

M 1990 y›l› de¤eri temel kabul edildi¤inden, (1990 = 100) olarak gösterilir veher y›l›n de¤eri temel de¤ere bölünüp, 100 ile çarp›larak, indeks de¤erlerihesaplan›r.‹lgili ifllemler afla¤›da gösterilmifltir:

Y›llar Bu¤day Üretimi ‹ndeks(1000 ton) (1990 = 100)

1990 450 (450 / 450) . 100 = 100.001991 375 (375 / 450) . 100 = 83.331992 400 (400 / 450) . 100 = 88.891993 525 (525 / 450) . 100 = 116.671994 450 (450 / 450) . 100 = 100.001995 400 (400 / 450) . 100 = 88.891996 325 (325 / 450) . 100 = 72.221997 300 (300 / 450) . 100 = 66.671998 375 (375 / 450) . 100 = 83.331999 405 (405 / 450) . 100 = 90.00

Bu sonuçlar, 1993 y›l› bu¤day üretiminde 1990 y›l›na göre % 16.67’lik bir ar-t›fl›n, 1994 y›l›ndaysa 1990 y›l›na göre herhangi bir art›fl ya da azal›fl›n olmad›-¤›n› ve 1997 y›l›ndaysa 1990 y›l›na göre % 33.33’lük bir azalman›n oldu¤unuifade etmektedir.

Kuramda, indeks türüne ve kapsam›na uygun farkl› yöntemler gelifltirilmifltir.Kolayl›k aç›s›ndan, hesaplama yöntemleri indeks türleriyle birlikte ele al›nacakt›r.

Bu ünitede indeksler, mekan ve zaman indeksleri ve basit ve bileflik indeks-ler olarak iki ana bafll›k alt›nda ele al›nacakt›r.

Mekan ve Zaman ‹ndeksleriAna çizgileriyle, e¤er, indeksler bir mekan serisinden hareketle hesaplan›yorsa butür indekslere “mekan”, bir zaman serisine dayand›r›l›yorsa bu tür indekslere de“zaman indeksleri” ad› verilir.

‹zleyen bölümlerde mekan ve zaman indeksleri ayr›nt›lar›yla ele al›nacakt›r.

Mekan ‹ndeksleriÜretim ve fiyat gibi olaylara iliflkin de¤erlerin bölgeler, flehirler, kasabalar, köylervb. gibi bir mekan içindeki oransal de¤iflimlerin ölçüsüne, “mekan indeksi” ad›verilir.

Mekan indekslerinin hesab›nda temel de¤er olarak, seriyi oluflturan de¤erlerinaritmetik ortalamas› al›n›r. ‹ndeks say›lar› seriyi oluflturan de¤erlerin aritmetik or-talamaya bölünerek 100 ile çarp›lmas› suretiyle elde edilir. Baflka bir anlat›mla,mekan indeksleri

eflitli¤i ile hesaplan›r. Böylece, seriyi oluflturan de¤erlerin aritmetik ortalamaya gö-re de¤iflimleri belirlenir.

I = xi x

. 100

280

Mekan indeksleri ile verilenmekan serisinin aritmetikortalamaya göre de¤iflimleriaraflt›r›l›r.

ÇÖ

ZÜ

M

Afla¤›da, 6 yerleflim bölgesi için 2000 y›l› Ocak ay›na iliflkin bir X madde-sinin fiyatlar› verilmifltir. Mekan indeksini hesaplay›n›z ve ilk ikisiyle ilifl-kin sonuçlar› yorumlay›n›z.

Öncelikle, verilen serinin aritmetik ortalamas› hesaplan›r, sonra da gözlem de¤er-leri aritmetik ortalamaya bölünerek, indeks say›lar› elde edilir.

‹ller Fiyatlar ‹ndeks(milyon TL)

xAnkara 69 (69 / 73,6) . 100 = 93.75Antalya 75 (75 / 73,6) . 100 = 101.90K›rklareli 70 (70 / 73,6) . 100 = 95,10Eskiflehir 79 (79 / 73,6) . 100 = 107.33Konya 75 (75 / 73,6) . 100 = 101.90

Elde edilen sonuçlara göre, Ankara’da X maddesinin fiyatlar› verilen 6 ilin ortala-ma fiyat›na göre % 6.25 (100 – 93.75 = 6.25) daha düflük, Antalya’daysa % 1.9 da-ha yüksektir.

Zaman ‹ndeksleriÜretim ve fiyat gibi istatistiksel olaylara iliflkin de¤erlerin y›l, ay, hafta, gün vb. gi-bi, zaman içindeki oransal de¤iflimlerinin ölçüsüne, “zaman indeksi” ad› verilir.

Zaman indeksleri, uygulamada en çok kullan›lan indeks türüdür.Zaman indeksleri, sabit ve de¤iflken esasl› (zincirleme) indeksler olarak iki alt

bafll›k alt›nda toplanabilir.

Sabit Esasl› ‹ndekslerSabit esasl› zaman indekslerinin hesab›nda temel prensip, devrelerden birinin de-¤eri temel kabul edilerek, di¤er devrelerin k›ymetlerinin, seçilen temel devre k›y-metinin yüzdesi olarak ifade edilmesidir.

Gözlem de¤erleri xi, temel devre de¤eri de x0 ile gösterilirse sabit esasl›indeks,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

I =xix0

. 100

x = 73,6

281Ünite 13 - ‹ndeksler

Ö R N E K 2

‹ller Fiyatlar(milyon TL)

Ankara 69Antalya 75K›rklareli 70Eskiflehir 79Konya 75

Zaman indeksleri ile verilenzaman serisinin zaman için-deki oransal de¤iflimleriaraflt›r›l›r.

ÇÖ

ZÜ

M

Turistik bir bölgede, önemli bir müzeyi ziyaret eden turist say›lar›,afla¤›da verilmifltir. 1996 y›l› de¤erini temel kabul ederek, sabit esasl›indeks say›lar›n› hesaplay›n›z ve 1997 ile 2001 y›l› indeks say›lar›n›yorumlay›n›z.

‹lgili hesaplamalar afla¤›daki gibidir:

Y›llar Turist Say›s› ‹ndeks(000)

1996 16 (16 / 16) . 100 = 100.001997 15 (15 / 16) . 100 = 93.751998 16 (16 / 16) . 100 = 100.001999 17 (17 / 16) . 100 = 106.252000 14 (14 / 16) . 100 = 87.502001 20 (20 / 16) . 100 = 125.00

1997 y›l›nda, 1996 y›l›na göre, müzeyi ziyaret eden turist say›s› (100 - 93.75 =6.25), % 6.25 oran›nda azalm›fl, 2001 y›l›ndaysa % 25 oran›nda artm›flt›r.

De¤iflken Esasl› (Zincirleme) ‹ndekslerE¤er indeks hesab›nda her de¤er, bir önceki dönemin de¤eriyle karfl›laflt›r›lmakistenirse, oluflturulan indekslere “de¤iflken esasl›” ya da “zincirleme indeks” ad›verilir.

xi, i. gözlem de¤erini gösteren de¤iflken esasl› indeks,

eflitli¤i ile hesaplan›r.

Örnek 3’teki verileri kullanarak de¤iflken esasl› indeks say›lar›n› hesap-lay›n›z ve 1997 ile 1998 y›llar›na iliflkin sonuçlar› yorumlay›n›z.

I =xi

xi - 1 . 100

282 ‹stat ist ik

Ö R N E K 3

Y›llar Turist Say›s›(000)

1996 161997 151998 161999 172000 142001 20

Ö R N E K 4

ÇÖ

ZÜ

M

‹lgili ifllemler afla¤›daki gibidir:

Y›llar Turist Say›s› ‹ndeks(000)

xi

1996 16 –1997 15 (15 / 16) . 100 = 93.751998 16 (16 / 15) . 100 = 106.661999 17 (17 / 16) . 100 = 106.252000 14 (14 / 17) . 100 = 82.352001 20 (20 / 14) . 100 = 142.85

1996 y›l› için 1995 y›l›na iliflkin de¤erler bilinemedi¤inden de¤iflken esasl› indekshesaplanamaz. Bu nedenle tabloda yeri bofl b›rak›lm›flt›r.1997 y›l›nda müzeyi ziyaret eden turist say›s› 1996 y›l›na göre %6.25 oran›ndaazalm›fl, 1998 y›l›ndaysa 1997 y›l›na göre % 6.66 oran›nda artm›flt›r.

Basit ve Bileflik ‹ndeksler‹ndeksler kapsad›klar› maddelere göre dikkate al›nd›¤›nda basit ve bileflik indeks-ler olmak üzere iki grupta incelenebilirler.

‹zleyen bölümde basit ve bileflik indeksler ayr›nt›lar›yla ele al›nm›flt›r.

Basit ‹ndekslerTek bir maddeyi kapsayan indekslere “basit indeksler” ad› verilir. Basit indeksler-le, bir maddeye iliflkin fiyat ya da miktardaki oransal de¤iflimler araflt›r›l›r.

Basit indeks, ilgili maddenin fiyat›ndaki oransal de¤iflimlerin hesaplanmas›amac›yla oluflturuluyorsa “basit fiyat indeksi”, miktar›ndaki oransal de¤iflimlerinbelirlenmesi amac›yla oluflturuluyorsa “basit miktar indeksi” ad›n› al›r.

p0 temel devre fiyat› ve p1 de i. devre fiyat› olmak üzere basit fiyat indeksi,

q0 temel devre miktar› ve qi de i. devre miktar› olmak üzere basit miktar indeksi,

eflitlikleriyle hesaplan›r.

Belirli bir maddenin 2000 y›l› fiyat› 175.000 TL ve 2001 y›l› fiyat› ise 225.000TL olsun. 2000 y›l› fiyat›n› temel kabul ederek, ad› geçen maddenin 2001y›l›ndaki fiyat art›fl oran›n› bulunuz.

I =qiq0

. 100

I =pip0

. 100 ,

283Ünite 13 - ‹ndeksler

Sabit ve de¤iflken esasl›indeksler, zaman serileriiçin hesaplanabilir.

Tek bir madde içinhesaplanan indekse basitindeks denir.

Ö R N E K 5

ÇÖ

ZÜ

MÇ

ÖZ

ÜM

‹lgili ifllemler afla¤›da gösterilmifltir:

2000 2001p0 p1

175.000 225.000

‹lgili maddenin fiyat›, 2001 y›l›nda 2000 y›l›na göre % 28.57 oran›nda art›flgöstermifltir.

Bir A bölgesinde narenciye üretimi 2000 y›l›nda 2500 ton, 2001 y›l›nda ise2400 ton olarak gerçekleflmifltir. 2000 y›l›na göre 2001 y›l›ndaki narenci-ye üretimindeki düflüfl oran›n› bulunuz.

‹lgili ifllemler afla¤›da gösterilmifltir:

2000 2001q0 q1

2.500 2.400

2001 y›l›nda A bölgesinde narenciye üretiminde 2000 y›l›na göre %4 oran›ndadüflüfl kaydedilmifltir.

Bileflik ‹ndeksler‹ki ya da daha çok maddeyi kapsayan indekslere “bileflik indeks” ad› verilir. Bile-flik indeksle, indeksin kapsad›¤› maddelere iliflkin fiyat ya da miktarlar›n zamaniçindeki oransal de¤iflimleri araflt›r›l›r.

Bileflik indeks hesab›nda kullan›lan teknikler, “basit toplam indeks”, “basitindekslerin tart›s›z aritmetik ortalamas›” ve “basit indekslerin tart›l› aritmetikortalamas› (ya da tart›l› toplam indeks)” olmak üzere üç ana bafll›k alt›ndatoplan›r.

Sözü edilen teknikler afla¤›da ayr›nt›lar›yla ele al›nm›flt›r.

Basit Toplam ‹ndeksBasit toplam indeks hesaplan›rken, indekse girecek maddelerin indeksi hesapla-narak (cari) devredeki fiyatlar› toplan›r ve temel devre fiyatlar toplam›na bölüne-rek, sonuç 100 ile çarp›l›r.

I =q1q0

= 24002500

. 100 = %96

I =p1p0

= 225.000175.000

. 100 = % 128.57

284 ‹stat ist ik

Ö R N E K 6

‹ki ya da daha çok maddeyikapsayan indekslere bileflikindeksler ad› verilir.

ÇÖ

ZÜ

M

Temel devre fiyatlar› toplam› ve cari devre fiyatlar› toplam› da ile gösterilirse, indeks,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

Afla¤›da 4 maddenin 2001 ve 2002 y›llar› Nisan ay› kg fiyatlar› verilmifltir.2001 y›l›na iliflkin basit toplam indeksi hesaplay›n›z.

Maddeler Fiyatlar2001 2002

p0 p1

Beyaz Peynir 2.725.660 3.831.389

Süt 724.348 1.026.073

Yo¤urt 1.373.302 1.531.306

Tereya¤› 6.751.502 8.553.892

Maddeler Fiyatlar2001 2002

p0 p1

Beyaz Peynir 2.725.660 3.831.389Süt 724.348 1.026.073Yo¤urt 1.373.302 1.531.306Tereya¤› 6.751.502 8.553.892

2002 Nisan ay›nda 2001 y›l› Nisan ay›na göre verilen 4 maddenin fiyat›, ortalamaolarak % 29,096 oran›nda art›fl göstermifltir.

Basit ‹ndekslerin Tart›s›z Aritmetik Ortalamas›Bu teknikte cari y›ldaki fiyatlar, temel devre fiyatlar›na bölünür ve aritmetik orta-lama hesaplan›r. Elde edilen sonuç 100 ile çarp›larak, indeks say›s› elde edilir.Baflka bir anlat›mla, bu teknikte temel y›la göre her madde için hesaplanan basitindekslerin aritmetik ortalamas› 100 ile çarp›l›r.

I =

p1p0

∑

n ◊ 100

I =∑p1

∑p0 . 100

= 14.942.66011.574.812

. 100

= 129,096

∑p1 = 14.942.660∑p0 = 11.574.812

I =∑p1

∑p0 . 100

p1∑p0∑

285Ünite 13 - ‹ndeksler

Ö R N E K 7

Kaynak: D.‹.E. Ayl›k‹statistik Bülteni,Haziran, 2002.

ÇÖ

ZÜ

M

Örnek 7’de verilen 4 madde için 2002 y›l›na iliflkin basit indekslerin tart›-s›z aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

Maddeler Fiyatlar2001 2002

p0 p1 p1/p0

Beyaz Peynir 2.725.660 3.831.389 (3.831.389 / 2.725.660) = 1.41Süt 724.348 1.026.073 (1.026.073 / 724.348) = 1.42Yo¤urt 1.373.302 1.531.306 (1.531.306 / 1.373.302) = 1.12Tereya¤› 6.751.502 8.553.892 (8.553.892 / 6.751.502) = 1.27

olarak elde edilir.Elde edilen sonuca göre verilen 4 maddenin fiyat›, 2002 y›l› Nisan ay›nda 2001 y›-l› Nisan ay›na göre ortalama olarak % 30.5 oran›nda artm›flt›r.

Basit ‹ndekslerin Tart›l› Aritmetik Ortalamas›E¤er bir bileflik fiyat indeksinin kapsad›¤› maddelerin fiyatlar› aras›nda önem dere-cesi aç›s›ndan farklar söz konusuysa ve indeks hesab›nda bu farklar›n da göz önü-ne al›nmas› istenirse, bu durumda indekslerin tart›l› olarak hesaplanmas› gerekir.

Tart›, ilgili maddelerin oransal fiyat› için kullan›l›r. t tart›y› gösterirken basit in-dekslerin tart›l› ortalamas›,

eflitli¤i ile hesaplan›r.Uygulamada kullan›lan tart›lar indeksin türüne göre de¤iflir. Genel olarak tart›lar,

ilgili maddelerin üretilen ya da tüketilen miktar›yla, fiyat›n›n çarp›lmas› sonucunda el-de edilir. Ancak, tart›lar oluflturulurken “temel y›l fiyat›” esas al›n›r. Baflka bir ifadeyle,

t = p0 . q

olur.Yukar›daki eflitli¤e dikkat edilirse, tart› hesab›nda p0 temel devre fiyat›d›r. An-

cak q’nun hangi devreye ait oldu¤u belirtilmemifltir. Tart› hesaplan›rken, q yerineq0 ya da q1 de¤erlerinden birisi konabilir. Aç›kt›r ki, bu durumda farkl› sonuçlarelde edilecektir. Baflka bir anlat›mla, iki farkl› indeks hesaplanacakt›r.

I =

p1p0

◊ t∑

t∑ ◊ 100

I =

p1p0

×

n ◊ 100

= 1004

5.22

= 130.5

p1 / p0∑ = 5.22p1∑ = 14.942.660p0∑ = 11.574.812

286 ‹s tat ist ik

Ö R N E K 8

ÇÖ

ZÜ

M

Sözü edilen indeksler afla¤›da ayr› ayr› ele al›nacakt›r.

Temel Devre Miktarlar›n›n Kullan›lmas› (Laspeyres ‹ndeksi)

t = p0 . q

eflitli¤inde, temel devre miktar› olarak q0 al›n›rsa,

t = p0 . q0

olacakt›r. Bu tart›, basit indekslerin tart›l› aritmetik ortalamas› formülünde yerinekonursa,

olur ve gerekli k›saltmalar yap›l›rsa,

sonucu elde edilir.Bu indekse “Laspeyres (Lasper okunur) indeksi” ad› verilir.

Afla¤›da 4 maddenin belirli bir bölgedeki 2000 ve 2001 y›llar›na iliflkin fiyatve miktarlar› verilmifltir. 2000 y›l›n› temel devre kabul ederek, 2001 y›l› içinLaspeyres fiyat indeksini hesaplay›n›z ve elde etti¤iniz sonucu yorumlay›n›z.

Maddeler 2000 2001Fiyat (TL) Miktar (ton) Fiyat (TL) Miktar (ton)

Portakal 700.000 125 850.000 145Mandalina 850.000 130 950.000 155Elma 500.000 150 700.000 130Armut 650.000 100 800.000 135

‹lgili ifllemler afla¤›daki gibidir:

Maddeler 2000 2001Fiyat (TL) Miktar (ton) Fiyat (TL) Miktar (ton)

p0 q0 p1 q1 p1 . q0 p0 . q0(000) (000)

Portakal 700.000 125 850.000 145 106.250 87.500Mandalina 850.000 130 950.000 155 123.500 110.500Elma 500.000 150 700.000 130 105.000 75.000Armut 650.000 100 800.000 135 80.000 65.000

414.750 338.000

I = p1 ◊ q0∑

p0 ◊ q0∑ ◊ 100

I =

p1p0

◊ t∑

t∑ ◊ 100

=

p1p0

◊ p0 ◊ q0∑

p0 ◊ q0∑ ◊ 100

287Ünite 13 - ‹ndeksler

Ö R N E K 9

ÇÖ

ZÜ

M

2001 y›l› için verilen 4 maddenin Laspeyres fiyat indeksi 122.70’tir. 2001 y›l›ndaverilen 4 maddenin fiyat›nda 2000 y›l›na göre % 22.70’lik bir art›fl gerçekleflmifltir.

‹ndeks Devresi Miktarlar›n›n Kullan›lmas› (Paasche ‹ndeksi)E¤er t = p0 . q eflitli¤inde q indeks devresi miktar› olarak al›n›rsa,

t = p0 . q1

olur. Bu ifade basit indekslerin tart›l› aritmetik ortalamas› formülünde yerinekonulursa,

olur ve gerekli k›saltmalar yap›l›rsa,

olarak elde edilir.Bu indekse “Paasche (Paafle okunur) indeksi” ad› verilir.

Örnek 9’da verilen 4 madde için Paasche fiyat indeksini hesaplay›n›z veelde etti¤iniz sonucu yorumlay›n›z.

Çözüme iliflkin hesaplamalar afla¤›daki gibidir:

Maddeler 2000 2001Fiyat (TL) Miktar (ton) Fiyat (TL) Miktar (ton)

p0 q0 p1 q1 p1 . q1 p0 . q1(000) (000)

Portakal 700.000 125 850.000 145 123.250 101.500Mandalina 850.000 130 950.000 155 147.250 131.750Elma 500.000 150 700.000 130 91.000 65.000Armut 650.000 100 800.000 135 108.000 87.750

469.500 386.000

I = p1 ◊ q1∑

p0 ◊ q1∑ ◊ 100

I =

p1p0

◊ t∑

t∑ ◊ 100

=

p1p0

◊ p0 ◊ q1∑

p0 ◊ q1∑ ◊ 100

I = p1 ◊ q0∑p0 ◊ q0∑

◊ 100

= 414.750338.000

◊ 100

= 122.70

288 ‹s tat ist ik

Ö R N E K 1 0

ÇÖ

ZÜ

M

2001 y›l›nda verilen 4 maddenin fiyatlar› 2000 y›l›na göre % 21.63 oran›ndayükselmifltir.

Fisher ‹ndeksiLaspeyres ve Paasche indeksleri, kullan›lan farkl› tart›lar nedeniyle, do¤al olarak,farkl› sonuçlar verir. Söz konusu farklar; Laspeyres indeksinde tart› olarak temeldevre miktar› kullan›lmas› nedeniyle, fiyat art›fllar›n›, oldu¤undan fazla, Paascheindeksi de fiyat art›fllar›n› oldu¤undan az gösterir.

Fisher, fiyatlardaki art›fl ya da azal›fllar›n gerçeklere daha yak›n hesaplanabil-mesi için, Laspeyres ve Paasche indekslerinin geometrik ortalamas›n›n al›nmas›n›önermifltir. Bu teknikle hesaplanan indekse Fisher indeksi ad› verilir.

Fisher indeksi,

eflitli¤iyle hesaplan›r.Fisher indeksine “‹deal indeks” ad› da verilir.

Örnek 9’da verilen 4 madde için Fisher indeksini hesaplay›n›z ve elde et-ti¤iniz sonucu yorumlay›n›z.

Çözüme iliflkin hesaplamalar afla¤›daki gibidir:

Maddeler p0 q0 p1 q1 p1 . q0 p0 . q0 p1 . q1 p0 . q1(000) (000) (000) (000)

Portakal 700.000 125 850.000 145 106.250 87.500 123.250 101.500Mandalina 850.000 130 950.000 155 123.500 110.500 147.250 131.750Elma 500.000 150 700.000 130 105.000 75.000 91.000 65.000Armut 650.000 100 800.000 135 80.000 65.000 108.000 87.750

414.750 338.000 469.500 386.000

2001 y›l›nda verilen 4 maddenin fiyat› 2000 y›l›na göre, %22.16 oran›nda yükselmifltir.

I =p1 ◊ q0∑

p0 ◊ q0∑ ◊ p1 ◊ q1∑

p0 ◊ q1∑ ◊ 100

= 414.750338.000

◊ 469.500386.000

◊ 100

= 1.2270 ◊ 1.2163 ◊ 100

= 122.16

I =p1 ◊ q0∑

p0 ◊ q0∑ ◊ p1 ◊ q1∑

p0 ◊ q1∑ ◊ 100

I = p1 ◊ q1∑

p0 ◊ q1∑ ◊ 100

= 469.500386.000

◊ 100

= 121.63

289Ünite 13 - ‹ndeksler

Fisher indeksi, Laspeyres vePaasche indeksleriningeometrik ortalamas›al›narak hesaplan›r.

Ö R N E K 1 1

Dikkat edilecek olursa, Laspeyres, Paasche ve Fisher indekslerinin hesaplan-mas›nda ayn› veriler kullan›lm›flt›r. Sonuçlar karfl›laflt›r›lacak olursa art›fl, Laspey-res indeksi için %22.70, Paasche indeksi için %21.63 ve Fisher indeksi için %22.16bulunmufltur. Görülece¤i gibi, Laspeyres ve Paasche indekslerinin geometrik orta-lamas› olan Fisher indeksine iliflkin indeks say›s›, Paasche ve Laspeyres indeks sa-y›lar›n›n aras›nda yer alm›flt›r.

Bilindi¤i gibi, indeksler, temel kabul edilen bir y›la göre hesaplan›rlar. Ancakuygulamada, temel y›l olarak rasgele bir y›l seçilmemelidir. Temel y›l, ekonomiközellikler aç›s›ndan fazla hareketli olmayan (normal) bir y›l olmal›d›r. Aksi durum-da gerçekleri iyi yans›tmayan sonuçlar elde edilecektir. Örne¤in; fiyatlar›n, her-hangi bir nedenle yüksek oldu¤u bir y›l, temel y›l olarak seçilirse, buna göre he-saplanan fiyat indekslerinde fiyatlar düflüyormufl gibi, aksi durumdaysa yükseli-yormufl gibi görünecektir. Bu nedenle, harp ve kriz y›llar›, indeks hesab›nda te-mel y›l olarak kullan›lmamal›d›r.

Temel y›l zaman içerisinde de¤ifltirilebilir. Gerçekte temel y›l eskidikçe, indekssay›lar› büyür ve karfl›laflt›rmalar da giderek zorlafl›r.

1. ‹ndeks kavram›n› aç›klay›n›z.

2. Afla¤›da verilen seri için de¤iflken esasl› indeksi hesaplayarak 1987 ve 1991 y›llar›nailiflkin indeks de¤erlerini yorumlay›n›z.

3. Afla¤›da 3 maddenin 2001 ve 2002 y›llar›na iliflkin fiyat ve miktarlar› verilmifltir. 2001y›l›n› temel alarak 2002 y›l›na iliflkin Paasche, Laspeyres ve Fisher indekslerini hesap-lay›n›z. Hangi indeksin gerçe¤e daha yak›n sonuç verdi¤ini nedenleriyle aç›klay›n›z.

Maddeler 2001 2002Fiyat (TL) Miktar (ton) Fiyat (TL) Miktar (ton)

Pirinç 1.362.170 750 1.935.186 600Makarna 530.109 800 1.029.163 850Bulgur 675.301 400 1.119.285 450

290 ‹s tat ist ik

S IRA S ‹ZDE

Y›llar X1985 301986 401987 251988 341989 271990 301991 341992 37

Kendimizi S›nayal›m1. 1994 y›l›nda bir X maddesinin kilosu 650000 TL ve1998 deyse 975000 TL’dir. 1994 y›l› temel devre ol-mak üzere, 1998’deki fiyat art›fl oran› afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. 110b. 140c. 150d. 155e. 160

2. Afla¤›daki tabloda 3 maddenin 1998 ve 2000 y›l› fiyat-lar› verilmifltir.

1998 y›l›n› temel y›l kabul ederek, 2000 y›l›na iliflkin ba-sit toplam indeks de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 114.22b. 132.50c. 141.10d. 150.32e. 154.33

3. Afla¤›daki tabloda iki maddenin 2000 ve 2001 y›llar›nailiflkin fiyat ve miktarlar› verilmifltir.

2000 2001Maddeler Fiyat Miktar Fiyat Miktar

(TL) (ton) (TL) (ton)Portakal 575 10 625 11Mandalina 645 15 715 17

Yukar›daki tabloya göre 2000 y›l› temel y›l kabul edil-di¤inde, 2001 y›l›na iliflkin Laspeyres fiyat indeksininde¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 90.85b. 92.15c. 110.04d. 110.45e. 112.09

4. Afla¤›daki tabloda iki maddenin 2000 ve 2001 y›llar›nailiflkin fiyat ve miktarlar› verilmifltir.

2000 2001

Maddeler Fiyat Miktar Fiyat Miktar

(TL) (ton) (TL) (ton)Patates 10.000 5 15.000 5So¤an 12.000 6 18.000 8

Yukar›daki tabloya göre 2000 y›l› temel kabul edilerekhesaplanacak Paasche fiyat indeksinin de¤eri afla¤›daki-lerden hangisidir?

a. 110.40b. 122.18c. 132.40d. 150.00e. 157.14

5. Afla¤›daki tabloda bir A maddesine iliflkin 5 y›ll›kfiyatlar verilmifltir.

Yukar›daki tabloya göre, 1997 y›l› de¤iflken esasl› indeksde¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 103.40b. 105.42c. 108.34d. 110.04e. 112.43

6. Befl maddeye ve istenilen bir y›la iliflkin indeksler he-saplanmak istenmektedir. Bu amaçla yap›lan baz› hesap-lama sonuçlar› afla¤›da verilmifltir.

Bu sonuçlara göre, Paasche indeks de¤eri afla¤›dakiler-den hangisidir?

a. 114,4116b. 121,2766c. 124,1312d. 125,1810

e. 127,1419

p0∑ ◊ q1 = 3.760.000

p1∑ ◊ q1 = 4.560.000

p0∑ ◊ q0 = 3.853.000

p1∑ ◊ q0 = 4.784.000

291Ünite 13 - ‹ndeksler

Maddeler Fiyatlar1998 2000

A 500 750B 450 680C 600 900

Y›llar Fiyat (TL)1995 450.0001996 500.0001997 517.0001998 522.0001999 530.000

7. Üç maddeye ve istenilen bir y›la iliflkin Laspeyres fiyatindeksi de¤eri 122.13 ve Paasche fiyat indeksi de¤eri ise124.17 olarak hesaplanm›flt›r. Fisher fiyat indeks de¤eri,afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 122.18b. 122.43c. 122.56d. 123.15e. 124.03

8. 6 maddeye ve istenilen bir y›la iliflkin Laspeyres fiyatindeksi 140.18, Fisher fiyat indeksiyse 142.78578 olarakhesaplanm›flt›r. Paasche fiyat indeksi afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. 127.15000b. 132.18754c. 140.14075d. 141.13715e. 145.44859

9. 4 maddeye ve istenilen bir y›la iliflkin Paasche fiyatindeksi 120.15, Fisher fiyat indeksiyse 124.25 olarak he-saplanm›flt›r. Laspeyres fiyat indeksi afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. 123.1000b. 125.1476c. 128.4899d. 129.1411e. 130.1541

10. Dört maddeye iliflkin baz› hesaplama sonuçlar› afla¤›-da verilmifltir.

Bu sonuçlara göre, Fisher fiyat indeksinin de¤eri afla¤›da-kilerden hangisidir?

a. 115.42143b. 117.58467c. 118.41100d. 120.13451e. 121.42138

Yan›t Anahtar›1. c2. d3. c4. d5. a6. b7. d8. e9. c10. b

Yararlan›lan KaynaklarBOWEN, Earl K., STARR Martin K.: Basic Statistics for

Business and Economics, McGraw-Hill Inc., 1994.GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›,

‹stanbul Üniversitesi Yay›nlar›, No 2265, ‹stanbul, 1977.HARNETT, Donald L.: Statistical Methods, 3rd Edition,

Addison Wesley Pub. Comp., London, 1982.McCLAVE James T., BENSON P.George, SINCICH Terry:

Statistics for Business and Economics, 7th Edition,Prentice-Hall International Inc., 1998.

p0∑ ◊ q1 = 630

p1∑ ◊ q1 = 738

p1∑ ◊ q0 = 838

p0∑ ◊ q0 = 710

292 ‹s tat ist ik

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak• Verilen tan›mlar iyice özümsenmeli,• Örnek sorular ve çözümleme süreci dikkatle incelenmeli,• Kavramlar aras›ndaki farkl›l›klar belirlenmeli,• ‹stenenlerin neler oldu¤u net bir biçimde ortaya konulmal›d›r.

293

Zaman Serisi Çözümlemesi14

AmaçlarZaman serilerini grafikle gösterebileceksiniz.Zaman serilerini etkileyen temel ve yan›lt›c› faktörleri aç›klayabileceksiniz.Zaman serisi çözümlemesi kavram›n› aç›klayabilecek ve hareketli ortalama-lar hesaplayabileceksiniz.Mevsimsel olmayan ve mevsimsel serilerin, betimsel ve öngörü amaçlar›ylaçözümlenmesinde, bileflenlerine ay›rma modellerini uygulayabileceksiniz.

‹çerik Haritas›• G‹R‹fi• ZAMAN SER‹S‹N‹N TANIMI VE GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹

• Zaman Serisi Tan›m›• Zaman Serisinin Grafikle Gösterilmesi

• ZAMAN SER‹LER‹N‹ ETK‹LEYEN FAKTÖRLER• Zaman Serilerini Etkileyen Faktörler (Bileflenler)• Yan›lt›c› Faktörler

• ZAMAN SER‹S‹ ÇÖZÜMLEMES‹• Zaman Serisi Çözümlemesi Tan›m›• Zaman Serisi Çözümlemesinde Hareketli Ortalamalar

• ZAMAN SER‹S‹ ÇÖZÜMLEMES‹NDE B‹LEfiENLERE AYIRMA YÖNTEM‹• Genel Aç›klamalar• Yönteme ‹liflkin Modeller• Bileflenlere Ay›rma Yöntemiyle Çözümlemede Aflamalar

294 ‹stat ist ik

���

�

G‹R‹fi‹ktisatç›lar ve ifl idarecileri, bir mal ya da hizmetin üretilmesi, pazarlanmas› vemüflteri memnuniyetinin araflt›r›lmas› aflamalar›nda, zaman içinde de¤iflen de¤er-ler alan pek çok de¤iflkenle ilgilenmek zorunda kal›rlar. Bir iflletmenin sat›fl tuta-r›, likidite düzeyi, iflgücü devir h›z›, bir ülkeye gelen yabanc› turist say›s›, bir ül-kenin enflasyon düzeyi ve benzerleri, bu tür de¤iflkenlere örnek olarak verilebi-lir. An›msanaca¤› gibi, zamanla iliflkili olarak tan›mlanan bu de¤iflkenler hakk›ndayap›lan ölçümleri, zamana göre s›ralanm›fl olarak gösteren serilere “zaman serisi”denir.

Ekonomik, sosyal, psikolojik vb. çeflitli nedenlerin, zamanla iliflkili de¤iflkenlerüzerindeki etkisi, yön ve fliddetinin farkl› olmas› nedeniyle, zaman serisi gözlemde¤erlerinde baz› de¤iflmeler gözlenir. Bu de¤iflmeler zaman serilerini etkileyenfaktörler ya da bileflenler olarak ifade edilirler ve Trend Bilefleni, Mevsimsel Bile-flen, Konjonktürel Bileflen ve Rassal Bileflen olarak isimlendirilirler.

Zaman serileri, yukar›da sözü edilen bu de¤iflmeler nedeniyle, çözümlenme-den bir anlam ifade etmezler. En basit anlamda, zaman serisi çözümlemesi, seri-nin özelliklerini aç›klamakt›r. Zaman serilerinin özelliklerini aç›klayabilmek için,bu serilerin rassal bileflenin yan›nda, di¤er üç bileflenden hangi(ler)inin etkisindeoldu¤unu belirlemek ve bu bileflenlerin etkilerini tahminlemek gerekir. Zaman se-risi çözümlemesinin ikinci, belki de en önemli amac› öngörü yapmakt›r. Öngörüamac›yla zaman serisi çözümlemesi; seriyi etkileyen bileflenlerin, belirlenmesi be-lirlenen bileflenlerinin etkilerinin tahminlenmesi ve hesaplanan tahminlerden ya-rarlanarak, serinin gelecek dönemlerine iliflkin öngörü çal›flmalar›n› kapsar.

Bu ünitede önce zaman serisi ve zaman serisi çözümlemesiyle ilgili tan›m veaç›klamalar yap›lacak, daha sonra da zaman serilerinin aç›klanmas› amac›yla çö-zümlemelerde kullan›lan “Bileflenlere Ay›rma Yöntemi” tan›t›lacak ve örnek uygu-lamalara yer verilecektir.

ZAMAN SER‹S‹N‹N TANIMI VE GRAF‹KLE GÖSTER‹LMES‹

Zaman serilerini grafikle gösterebileceksiniz.

Zaman Serisi Tan›m›Zaman de¤iflkeniyle iliflkili bir de¤iflken hakk›nda, elde edilen gözlem de¤erleri-ni zamana göre s›ralanm›fl olarak gösteren serilere, “zaman serisi” denir. Bu ta-n›m genel bir tan›md›r. Zaman serilerini konu alan pek çok çal›flmada, serileringözlem de¤erlerinin eflit aral›kl› zaman noktalar›nda elde edilmifl oldu¤u görül-mektedir. Eflit aral›kl› zaman noktalar› (baflka bir ifadeyle zaman de¤iflkenininfl›klar›), günler (günlük hava s›cakl›¤›nda oldu¤u gibi), aylar (ayl›k sat›fl miktarla-r›nda oldu¤u gibi) ve y›llar (y›ll›k ihracat tutarlar›nda oldu¤u gibi) olabilir. Za-man serisi çözümlemelerinde zaman de¤iflkeninin fl›klar› genellikle t = 1, 2,...., nile ifade edilmektedir. Buna göre bir zaman serisi, eflit aral›kl› t = 1, 2,...., nzaman noktalar›nda Y de¤iflkeniyle ilgili elde edilen y1, y2, ....., yt , ...... yn göz-lem de¤erlerini zamana göre s›ralanm›fl olarak gösteren seri olarak tan›mlan›r.Kuramda kesikli zaman serisi tan›m› olarak bilinen bu tan›m, bu ünitede zamanserisi tan›m› olarak benimsenmifltir.

295Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

A M A �

1

Zaman serileri gözlem de¤erlerinin elde edilmesinde benimsenen yaklafl›m,zaman serilerinin zaman de¤iflkeninin fl›klar›na göre isimlendirilmesidir. Örne¤ingözlem de¤erleri zaman de¤iflkeninin ay fl›kk›na göre elde edilmiflse “ayl›k zamanserisi” (Tablo 14.1’de gösterildi¤i gibi), zaman de¤iflkeninin y›l fl›kk›na göre eldeedilmiflse “y›ll›k zaman serisi”ad› verilir.

Zaman serileri iki flekilde oluflturulur: • ‹lgilenilen zamana ba¤l› de¤iflkenin, belirlenen eflit zaman aral›klar› itibariy-

le alm›fl oldu¤u de¤erlerin, toplam› ya da ortalamas› al›n›r. Örne¤in; Tablo14.1’deki 1997 y›l›na iliflkin ihracat tutar› 26.261 milyon ABD Dolar›, 01 Ocak1997 - 31 Aral›k 1997 zaman döneminde yap›lan ihracat tutarlar›n›n toplam›-n› gösterir.

• ‹lgilenilen zamana ba¤l› de¤iflkenin belirlenen eflit zaman aral›klar›nda birtek ölçümü yap›l›r. Örne¤in; bir bankan›n ayl›k vadesiz mevduat zaman se-risini oluflturan gözlem de¤erleri, aylar›n son iflgünü itibariyle bu bankan›nvadesiz mevduat hesab›ndaki bakiyeleri gösterir.

Zaman Serisinin Grafikle GösterilmesiZaman serileri genel olarak “kartezyen koordinatl›” bir grafikle gösterilir. Grafi¤inapsis ekseninde zaman de¤iflkeninin fl›klar› (ya da bu fl›klara karfl› gelen kod nu-maralar›), ordinat ekseninde bu fl›klar itibariyle Y de¤iflkeninin ald›¤› de¤erler,gözlem de¤erleri yt yer al›r. Belirlenen eflit aral›kl› t zaman noktalar› (t = 1, 2...., n)ile bu zaman noktalar›nda zamana ba¤l› y de¤iflkeninin ald›¤› y1, y2, ..., yt ,..., yngözlem de¤erlerini efllefltirmek suretiyle kartezyen koordinat sistemi üzerinde ifla-retlenen noktalar›n meydana getirdi¤i flekle, kartezyen grafik ya da serpilme di-yagram› ad› verilir. Tablo 14.1’de verilen zaman serisinin kartezyen grafi¤i örnekolarak fiekil 14.1’de gösterilmifltir.

296 ‹stat ist ik

yt yt‹hracat Tutar› ‹hracat Tutar›

Y›llar t (milyon $) Y›llar t (milyon $)

1989 1 11.625 1996 8 23.224

1990 2 12.959 1997 9 26.261

1991 3 13.593 1998 10 26.974

1992 4 14.715 1999 11 26.578

1993 5 15.345 2000 12 27.775

1994 6 18.106 2001 13 31.187

1995 7 21.637

Tablo 14.1Türkiye'nin (1989-2001 dönemi)ihracat tutar› y›ll›kzaman serisi.

Kaynak:http://tcmbf40.tcmb.gov.tr/cbt.html

Kartezyen grafikteki noktalar›n oluflturdu¤u flekle bakarak, zaman de¤iflke-niyle ihracat tutar› de¤iflkeni aras›ndaki iliflkiyi betimlemek mümkündür. Baflkabir anlat›mla, zaman serisinin kartezyen grafi¤ini incelemek suretiyle, izleyen k›s-m›nda aç›klanacak olan, zaman serisini etkileyen temel bileflenlerden hangileri-nin, bu seriyi etkiledi¤ini, görsel olarak belirlemek mümkündür.

1. Zaman serisi nedir?

2. Zaman serileri kaç flekilde oluflturulur?

3. Kartezyen grafik nedir?

ZAMAN SER‹LER‹N‹ ETK‹LEYEN FAKTÖRLER

Zaman serilerini etkileyen temel ve yan›lt›c› faktörleriaç›klayabileceksiniz.

Zaman serilerini etkileyen faktörleri, Temel Faktörler (Bileflenler) ve Yan›lt›c› Fak-törler bafll›klar› alt›nda ele almak mümkündür.

Zaman Serisini Etkileyen Temel Faktörler (Bileflenler)Zaman serilerinin gözlem de¤erlerinde, zaman içinde azalma ya da artma fleklin-de, baz› de¤iflmeler gözlenir. Ekonomik, sosyal, psikolojik vb. çeflitli nedenlerinzaman serisi gözlem de¤erleri üzerindeki, yön ve fliddetinin farkl› olmas›ndan ile-ri gelen bu de¤iflmeler; Trend (T), Mevsimsel De¤iflmeler (M), Konjonktürel De-¤iflmeler (K) ve Rassal De¤iflmeler (R) olarak say›labilir. Bu de¤iflmelere, genelolarak, Zaman Serisi Bileflenleri ya da temel faktörleri ad› verilir.

Zaman serileri üzerinde etkili olabilen bu bileflenlerin her birinin etkileriniaraflt›rmaya geçmeden önce, sözü edilen bileflenlerin özellikleri ele al›nacakt›r.

Trend Bilefleni: Zaman serisi gözlem de¤erinin uzun zaman döneminde (enaz 7 y›l) artma ya da azalma yönünde gösterdi¤i genel e¤ilime “trend” ad› verilir.Bu e¤ilimi aç›klayan bileflene de “Trend bilefleni” denir. Trend bilefleni, zamanaba¤l› de¤iflken üzerindeki genel e¤ilime neden olan uzun dönemli etkileri aç›klar.Bu etkileri genel olarak, demografik özelliklerdeki, co¤rafi da¤›l›mdaki, kifli bafl›-

297Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

A M A �

2

Bir zaman serisininbileflenleri; Trend (T),Mevsimsel de¤iflmeler (M),Konjonktürel de¤iflmeler (K)ve Rassal de¤iflmeler(R)’den oluflur.

S IRA S ‹ZDE

30

20

10

2 4 6 8 10 12t

yt

Zaman

‹hra

cat

fiekil 14.1Türkiye'nin (1989-2001 dönemi)ihracat zamanserisinin grafi¤i.

‹s tat ist ik298

Bir zaman serisinde gözlemde¤erlerinin uzun dönemdeartma ya da azalmayönünde gösterdi¤i genele¤ilime Trend ad› verilir.

na gelirdeki, teknolojik geliflmelerdeki, tüketici zevk ve al›flkanl›klar›ndaki de¤ifl-melerdeki ve fiyat de¤iflmelerindeki etkiler olarak s›ralamak mümkündür.

Yukar›da belirtilen etkilerin fliddetine ba¤l› olarak, art›fl ve azal›fl yönündekide¤iflmeler, bazan artabilir ya da yavafllayabilir, yani trend ayn› kalmaz. Trend fie-kil 14.2a, b, c, d’de gösterildi¤i gibi do¤rusal ya da e¤risel olabilir. fiekil 14.2’deyer alan trend türleri uygulamada s›k karfl›lafl›lan türlerdir.

Zaman içinde art›fl ya da azal›fl göstermeyen, hemen hemen ayn› düzeyde ka-rarl›l›k gösteren serilerin trendi yoktur. fiekil 14.2e trendinin olmad›¤› durumugöstermektedir.

yt

t

Zaman2(a)

C2

yt

t

Zaman2(b)

C3

yt

t

Zaman2(c)

C4

yt

t

Zaman2(d)

C5

yt

t

Zaman2(e)

C7

fiekil 14.2 Çeflitlitrend türleri

Mevsimsel Bileflen : Mevsimsel bileflen birbirini izleyen y›llar›n, mevsimlerin,çeyrek y›llar›n, aylar›n ya da günlerin ayn› zaman noktalar›nda zaman serisi göz-lem de¤erlerindeki bir artma ve bir azalma fleklindeki düzenli de¤iflmeleri, mev-simsel de¤iflmeleri aç›klar. Mevsimsel de¤iflmeler, genellikle iklimle, saatle ya dageleneklerle iliflkilidir. Örne¤in; ülkemiz deniz turizmi için önemli bir ülke oldu-¤undan, yaz mevsimlerinde ülkemize gelen yabanc› turist say›s› artar, k›fl mevsim-lerinde azal›r; ‹fle gidifl ve iflten dönüfl saatlerinde flehir içi toplu tafl›ma araçlar›n-da yolcu say›lar› artar, di¤er saatlerde azal›r; cumartesi ve pazar günleri tatil ol-du¤u için büyük al›flverifl merkezlerinin sat›fllar› artar, hafta içi günlerde azal›r.

Mevsimsel de¤iflme gösteren C2 zaman serisinin kartezyen grafi¤i örne¤i fiekil14.3’de verilmifltir. Çeyrek y›ll›k gözlem de¤erlerinden oluflan bu serinin kartezyengrafi¤i incelendi¤inde, serinin rassal dalgalanmalar›n yan›nda trend ve birbirini iz-leyen y›llar›n IV. çeyreklerinde maksimum, II. çeyreklerinde minimum de¤erler al-ma e¤ilimine sahip olan mevsimsel bileflenin etkisi alt›nda oldu¤u söylenebilir.

Birbirini izleyen iki mevsimsel de¤iflmenin maksimum noktalar› aras›ndaki za-man aral›¤›na dalga uzunlu¤u ad› verilir ve L simgesiyle gösterilir. Genellikle mev-simsel de¤iflmelerin dalga uzunluklar› birbirine eflittir. fiekil 14.3 incelendi¤indemevsimsel de¤iflmelerin dalga uzunluklar›n›n L = 4 çeyrek y›l oldu¤u görülmek-tedir. Ayl›k zaman serilerinde L = 12 ayd›r.

Mevsimsel de¤iflmeler, dalga uzunluklar›n›n birbirine eflit olmas› nedeniyle pe-riyodik, tekrar tekrar meydana gelmifl olmalar› nedeniyle de döngüsel özelli¤e sa-hip de¤iflmelerdir.

Bir mevsimsel de¤iflmenin maksimum ve minimum noktas› aras›ndaki yüksek-lik fark›na dalga fliddeti ad› verilir. Mevsimsel de¤iflmelerin dalga fliddetleri, fiekil14.3’de görüldü¤ü gibi, farkl› ya da eflit olabilir.

E¤er bir zaman serisindeki mevsimsel de¤iflmelerinin dalga fliddetleri trend et-kisinin belirledi¤i genel e¤ilimden ba¤›ms›zsa, bu serinin, eflit mevsimsel dalgafliddetine sahip mevsimsel de¤iflme gösterdi¤i , ba¤›ml›yla eflit olmayan dalga flid-detine sahip mevsimsel de¤iflme gösterdi¤i söylenir.

Mevsimsel de¤iflmelerin dalga uzunlu¤unun ve dalga fliddetinin do¤ru olarakbelirlenmesi, zaman serisi çözümlemelerinde en önemli konulardand›r. Çünkü;bu durum, çözümleme amac›yla kullan›lan yöntem türünün ve model tipinin be-lirlenmesine etki eder. Mevsimsel de¤iflmeler düzenli de¤iflmeler oldu¤undan,herhangi bir zaman dönemi için etkileri daha kolay tahminlenebilir.

299Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

Biribirini izleyen y›l, mevsimvb. ayn› zaman noktalar›ndaartma ya da azalma fleklindeki düzenlide¤iflmelere, mevsimselde¤iflmeler ad› verilir.

5

Dalga Uzunlu¤u

10 15 20t

yt

5500

4500

3500

2500

C2Dalga fiiddeti

Zaman

fiekil 14.3 Çeyreky›ll›k bir örnekzaman serisininkartezyen grafi¤i.

Konjonktürel Bileflen: Ekonomi ve ifl idaresialanlar›yla ilgili de¤iflkenlerde genellikle, sabit biroranda art›fl ya da azal›fl görülmez. Trend düzeyi et-raf›nda, iki ile on y›l ya da daha fazla y›l zaman ara-l›klar›yla, herhangi bir dönemde, artma ya da azal-ma fleklinde tekrarlanabilen de¤iflmeler gözlenir.Konjonktürel de¤iflme ad› verilen bu de¤iflmelerinetkisini aç›klayan bileflene “konjonktürel bileflen”denir. Örne¤in, ülkemizde yaflanan fiubat-2001 kri-ziyle birlikte pek çok ekonomi ve ifl idaresiyle ilgilide¤iflken azalan ya da artan de¤erler alma e¤ilimi-ne girmifltir. Yat›r›mlar azalm›fl, hatta durmufl, üre-tim azalm›fl, dolay›s›yla gelirler azalm›fl, özetle eko-

nomi durgunluk dönemine girmifltir. Bu e¤ilimin yönü, al›nan çok yönlü tedbir-lerle artan ya da azalan yönde e¤ilime dönüfltürülmeye çal›fl›lmaktad›r. Bu durum,yeniden; yat›r›mlarda, üretimde ve gelirde art›fllara yol açacak, pek çok de¤iflke-nin zaman içindeki de¤erlerinde art›fllara ya da azal›fllara sebep olabilecektir. An-cak, unutulmamal›d›r ki, uzun bir zaman dönemi içinde, herhangi bir zamandayeni benzer ya da baflka türlü bir krizle karfl›lafl›labilir. Aç›klanan türden de¤iflme-ler tekrarlan›r gider. Konjonktürel de¤iflme gösteren örnek bir grafik, fiekil 14.4’teverilmifltir.

Konjonktürel bileflenin aç›klad›¤› de¤iflmeler periyodik olmayan, ancak dön-güsel olan de¤iflmelerdir. Bu de¤iflmeler, ekonomi ve ifl idaresiyle ilgili de¤iflken-ler üzerinde ayn› fliddette olmasa da ayn› yönde etki ederler. Konjonktürün artmayönündeki etkisi, trendin art›fl e¤ilimini h›zland›r›r. Buna karfl›l›k, konjonktürünazalma yönündeki etkisi trendin art›fl h›z›n› yavafllat›r, hatta tamamen durdurabilir.

Konjonktürel de¤iflmelerin sadece ekonomik faktörlerdeki de¤iflmelerdenmeydana gelmesi gerekmez. Örne¤in; iklim koflullar›ndaki de¤iflmeler, tar›mürünlerinin üretim miktarlar›nda konjonktürel de¤iflmelere neden olabilir. Yinemodadaki de¤iflmeler, belirli bir ürünün sat›fllar› üzerinde döngüsel de¤iflmelereneden olabilir.

Rassal Bileflen: Zaman serilerindeki düzensiz de¤iflmelere “rassal de¤iflme”ad› verilir. Rassal de¤iflmeler, beklenmedik olaylar›n zaman serileri üzerindeki et-kisiyle meydana gelen de¤iflmelerdir. Örne¤in; deprem, siyasal kar›fl›kl›klar, sa-vafl, grev ve lokavt, rakip firmalar›n politikalar›ndaki de¤ifliklikler v.b. gibi etkiler,rassal de¤iflmelere neden olur. Rassal Bileflen, zaman serileri üzerinde trendin,mevsimsel bileflenin ve konjonktürel bileflenin etkisi ayr›flt›r›ld›ktan sonra geridekalan etkiyi aç›klayan bileflendir.

Yan›lt›c› FaktörlerBaz› ayl›k zaman serilerinde bir ay›n gözlem de¤eri, ilgili de¤iflkenin o ay içindealm›fl oldu¤u de¤erlerin toplam›ndan oluflmaktad›r. Bu tür zaman serileriningözlem de¤erleri aylar›n gün say›lar›n›n 28 (bazan 29), 30 ve 31 olmas›ndan ya dabayram ve hafta sonu tatilleri nedeniyle, aylar›n iflgünü say›lar›n›n farkl› olmas›ndanetkilenmektedir.

Aylar›n gün ve iflgünü say›lar›ndaki fakl›l›klar zaman serilerinde mevsimsel de-¤iflme varm›fl gibi izlenim yaratt›klar› için, zaman serilerini etkileyen önemli yan›l-t›c› faktörler olarak bilinirler. Ayl›k sat›fl miktarlar›na iliflkin zaman serileri, bu ya-n›lt›c› faktörlerden etkilenen serilere örnek olarak verilebilir.

300 ‹stat ist ik

C2

yt

1980 1990 2000t

Zaman

Uzun vadede trend etraf›ndaartma ya da azalmafleklinde tekrarlanande¤iflmelere, konjonktürelde¤iflmeler ad› verilir.

fiekil 14.4Konjonktürelde¤iflme.

Gözlem de¤erleri para birimiyle ifade edilmifl olan zaman serileri, enflasyonnedeniyle meydana gelen fiyat de¤iflikliklerinin etkisi alt›nda kal›rlar. Fiyat de¤i-fliklikleri, bu tür zaman serilerinde trend etkisi varm›fl gibi izlenim yaratan bir bafl-ka yan›lt›c› faktör olarak bilinmektedir. Y›ll›k ö¤renci yurt ücretleri, zaman serisifiyat de¤iflikliklerinin etkisinde olan serilere örnek olarak verilebilir.

Zaman serilerini çözümlemeye geçmeden önce, e¤er gerekliyse, serileri ayla-r›n gün ve iflgünü say›lar›n›n farkl› olmas› ya da fiyat de¤ifliklikleri gibi yan›lt›c›faktörlerin etkisinden ar›nd›rmak gerekir. Aksi halde çözümleme sonucu, hatal›bilgi üretilmifl olur. Uygulamalarda zaman serisi gözlem de¤erlerinin yan›lt›c› fak-törlerin etkisinden ar›nd›r›lmas› amac›yla, gün say›s›, iflgünü say›s› ya da fiyat de-¤iflikliklerine iliflkin uygun düzeltmelerin yap›lmas› gerekir.

Gün say›s› ve iflgünü say›s›na iliflkin düzeltilmifl gözlem de¤erlerinin hesap-lanmas› için s›ras›yla, afla¤›daki eflitliklerden yararlan›l›r:

Burada,

GSD = Gün say›s› bak›m›ndan düzeltmeyi,‹GSD = ‹flgünü say›s› bak›m›ndan düzeltmeyi,

yt = Düzeltme yap›lacak ay›n gözlem de¤erini göstermektedir.

Zaman serilerini fiyat de¤iflikliklerinin etkisinden ar›nd›rmak için yap›lacak dü-zeltmeyse, cari fiyatlarla verilmifl gözlem de¤erlerinin sabit fiyatlara dönüfltürül-mesi suretiyle yap›l›r. Bu amaçla, cari fiyatlarla verilmifl gözlem de¤erleri toptaneflya fiyatlar› indeksi, tüketici fiyatlar› indeksi v.b. gibi uygun indekse bölünür.

1. Trende neden olan etkileri aç›klay›n›z.

2. Dalga uzunlu¤u nedir?

3. Zaman serilerini etkileyen yan›lt›c› faktörler nelerdir?

ZAMAN SER‹S‹ ÇÖZÜMLEMES‹

Zaman serisi çözümlemesi kavram›n› aç›klayabilecek ve hareketliortalamalar hesaplayabileceksiniz.

Zaman Serisi Çözümlemesi Tan›m›Zaman serisi gözlem de¤erleri üzerinde rassal de¤iflmelerin yan›nda di¤er zamanserisi bileflenlerinden hangilerinin etkili oldu¤unun belirlenmesi çal›flmalar›na,“zaman serisi çözümlemesi” denir. Bu tan›m kapsam›nda, zaman serisi çözümle-mesinin amac›, serinin hangi bileflenlerin etkisinde oldu¤unu belirlemek ve herbileflenin etkisini tahminlemek, (baflka bir anlat›mla) ilgili zaman serisinin özellik-lerini aç›klayabilmektir.

GSD =Ortalama Bir Aydaki Gün Say›s›

Düzeltme Yap›lacak Aydaki Gün Say›s› . yt

‹GSD =Ortalama Bir Aydaki ‹flgünü Say›s›

Düzeltme Yap›lacak Aydaki ‹flgünü Say›s› . yt

301Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

S IRA S ‹ZDE

A M A �

3

Zaman serisi çözümlemesinin ikinci ve en önemli amac›, serinin öngörü ama-c›yla çözümlenmesidir. Zaman serisi gözlem de¤erleri aras›nda ba¤›ml›l›¤›n, iç ba-¤›ml›l›¤›n, var olmas› ve serideki de¤iflmelere neden olan etkilerin gelecekte deayn› flekilde devam edece¤i varsay›m›yla, bir zaman serisinin geçmifl dönem göz-lem de¤erlerini kullanarak, gelecek dönem öngörü de¤erlerini elde etmek müm-kün olabilmektedir. Zaman serileri çözümlemesini, ba¤›ms›z gözlem de¤erlerin-den meydana gelen serilerin çözümlemesinden ay›ran bu önemli özellik, öngörüamac›yla zaman serisi çözümlemesi tan›m› yapma gere¤ini ortaya ç›karmaktad›r.Zaman serilerinin öngörü amac›yla çözümlemesi, bir zaman serisini etkileyen un-surlar›n belirlenmesi, yap›lan belirlemeden yararlanarak geçmiflin aç›klanmas› veistatistiksel aç›dan normale göre gerçekleflen durumun de¤erlendirilmesi, belirle-nen unsurlar›n gelecekte de seriyi ayn› flekilde etkilemeye devam edece¤i varsa-y›m› alt›nda, gelecek dönemler için öngörüler yap›lmas› ve bunlar›n karar vermeve planlama faaliyetleri için kullan›ma sunulmas› çal›flmalar›d›r.

Karar verme ve planlama faaliyetlerine her geçen gün artan gereksinim, zamanserilerinin öngörü amac›yla çözümlemesini önemli bir konu haline getirmektedir.

Ana çizgileriyle çözümlemelerde, zaman serisi bileflenleriyle ilgilenilmektedir.Bu ünitenin izleyen bölümlerinde, zaman serisi çözümlemelerinin bileflenlereay›rma yöntemiyle nas›l incelenece¤i konusu, uygulamal› olarak ele al›nacakt›r.

Zaman Serisi Çözümlemesinde Hareketli OrtalamalarHareketli ortalamalar zaman serilerini mevsimsel ve rassal bileflenlerin etkisindenar›nd›rmak suretiyle, bu serilerin genel e¤ilimini elde etmek amac›yla baflvurulanbir istatistiksel yaklafl›md›r.

Hareketli ortalamalar›n hesaplanmas›ndaki aflamalar, afla¤›da ayr›nt›lar›yla eleal›nm›flt›r.

• Zaman serisinin ilk gözlem de¤erinden bafllamak üzere k say›da y1, y2, ..., ykgözlem de¤erinden oluflan bir küme belirlenir. Bu kümede yer alan gözlemde¤erleri için aritmetik ortalama hesaplan›r. Burada k, oluflturulan küme-deki gözlem de¤eri say›s›n› gösterir. Hesaplanacak hareketli ortalamalar seri-sini etkiledi¤i için k’n›n de¤erini belirlemek önemlidir. Ayl›k serilerde mev-simsel dalga uzunlu¤u L = 12, mevsimlik ve çeyrek y›ll›k serilerde dalgauzunlu¤u L = 4 de¤erleri, k de¤eri olarak al›n›r. k = 3 ya da daha küçük ha-reketli ortalamalar, genellikle ayl›k zaman serilerini rassal bileflenin etkisin-den ar›nd›rmak amac›yla kullan›l›r. Çünkü rassal etkiler üç aydan uzun sür-mez. Hareketli ortalamalar, belirlenen k de¤eriyle isimlendirilirler. Örne¤in; k= 3 ise 3’erli hareketli ortalamalar (3’erli H.O), k = 4 için 4’erli hareketli orta-lamalar (4’erli H.O) gibi.

• ‹lk k say›daki gözlem de¤erleri kümesinin ilk gözlem de¤eri y1 kümedenç›kar›l›r. (k+1)’inci s›radaki gözlem de¤eri yk+1 kümeye dahil edilerek kgözlem de¤erinden oluflan ikinci bir küme oluflturulur ve bu küme için dearitmetik ortalama hesaplan›r.

• Bu ifllemler benzer flekilde sürdürülerek k tek say›ysa n-(k-1) say›da, k çiftsay›ysa n-k say›da gözlem de¤erleri kümeleri oluflturulur ve n-(k-1) ya dan-k say›da aritmetik ortalama hesaplanm›fl olur.

Hesaplanan aritmetik ortalamalar (bir baflka ifadeyle hareketli ortalamalar), aitolduklar› kümenin tam ortalamas›na karfl› gelecek flekilde yaz›l›r. Gözlem say›s›de¤eri tek oldu¤unda, hesaplanan ortalamalar hesapland›klar› kümenin bir terimi-

x2

x1

302 ‹s tat ist ik

Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

ne karfl› gelir. 3’erli H.O’lar Tablo 14.2’de gösterilmifltir. Örne¤in, t=2 zaman döne-mine karfl›l›k gelen 3’erli H.O afla¤›daki gibi hesaplanm›flt›r.

t yt 3’erli H.O

1 10 -

2 31 28

3 43 30

4 16

5 11

6 33

7 45

8 17

9 13 21.,33

10 34

k çiftse, örne¤in 4’erli hareketli ortalamalar›n uygulanmas› halinde hesaplananhareketli ortalamalar ait olduklar› kümedeki herhangi bir gözlem de¤erine (ya dazaman dönemine) karfl› gelmezler. Örne¤in; Tablo 14.3’de 3’üncü sutünda yer alan

ilk dört gözlem de¤erinden oluflan birinci kümenin hesaplanan aritmetik ortala-

mas› = 25 y2 ile y3 gözlem de¤erleri aras›nda t = 2.5 zaman

noktas›na karfl› gelmektedir. Hesaplanan hareketli ortalamalar›n ait olduklar› kü-medeki herhangi bir gözlem de¤erine karfl› gelmesini sa¤lamak amac›yla, yeniden2’flerli hareketli ortalamalar› al›n›r. Bu hareketli ortalamalara “merkezilefltirilmiflhareketli ortalamalar” ad› verilir. Hesaplanan merkezilefltirilmifl ortalamalar Tablo14.3’de gösterilmifltir.

T 4’erli H.O 2’flerli H.O

Merkezilefltirilmifl H.O1 10 -

2 31 -25

3 43 25.1225.25

4 16 25.5025.75

5 11 . .. .

6 33 . .. .

7 45 . .. .

8 17 .27.25 .

9 13 -

10 34 -

10 + 31 + 43 + 164

y1 + y2 + y3

3 = 10 + 31 + 43

3 = 28

303

Tablo 14.2 Üçerlihareketli ortalamalar.

Tablo 14.3 Dörderlihareketli ortalamalar.

Örne¤in birinci ve ikinci dörderli hareketli ortalamalar = 25 ve = 25,25dir. Buna göre birinci merkezilefltirilmifl hareketli ortalama

ifllemiyle bulunmufltur.Hareketli ortalamalar, mevsimsel ve rassal bileflenlerin etkisinden ar›nd›r›lm›fl

trend ve konjonktürel bileflenlerin etkisini gösteren de¤erlerdir. Zaman serilerininçözümlenmesi sürecinde k çift say›ysa merkezilefltirilmifl hareketli ortalamalar, ktek say›ysa hareketli ortalamalar kullan›l›r.

1. Zaman serisi çözümlemesi kavram›n› aç›klay›n›z.

2. Hareketli ortalamalar›n hesaplanmas›nda izlenen aflamalar› s›ralay›n›z.

3. Merkezilefltirilmifl hareketli ortalamalara, hangi özellikteki serilerde gereksinilir?Aç›klay›n›z.

ZAMAN SER‹S‹ ÇÖZÜMLEMES‹NDE B‹LEfiENLEREAYIRMA YÖNTEM‹

Mevsimsel olmayan ve mevsimsel serilerin, betimsel ve öngörüamaçlar›yla çözümlenmesinde, bileflenlerine ay›rma modelleriniuygulayabileceksiniz.

Genel Aç›klamalarBu yöntemin esas›, zaman serisi bileflenlerinin, serinin gözlem de¤erleri üzerinde-ki etkilerini ayr› ayr› tahminlemek ve bu tahminlerden yararlanarak, serinin özel-liklerini aç›klamaya imkan veren bilgiler üretmektir. Ayr›ca; e¤er, çözümlenecekzaman serisinin parametreleri zaman içinde de¤iflmiyorsa (seriyi etkileyen bile-flenlerin etkileri gelecekte de seriyi ayn› flekilde etkilemeye devam ederse), butahminler, nokta öngörülerini hesaplamak amac›yla da kullan›labilir.

Bileflenlere ay›rma yöntemi, geçmiflte yayg›n olarak kullan›lm›fl olan betimselbir yöntem olup, kuramsal yönü oldukça zay›ft›r.

Yönteme ‹liflkin ModellerBir araflt›rmac› bir zaman serisini çözümlemek istedi¤inde, zaman serisi bileflenle-rinin etkilerini araflt›rmak durumundad›r. Çünkü; zaman serileri, rassal bilefleninyan›nda, di¤er üç bileflenin de¤iflik kombinasyonlar›n›n etkisinde, bunlar›n adetaortak bir sonucu niteli¤indedir. Bu durum, zaman serisinin herhangi bir t döne-mindeki yt gözlem de¤eriyle yukar›da belirtilen zaman serisi bileflenleri aras›nda,

yt = Tt . Mt . Kt . Rt çarp›msal

ya da

yt = Tt + Mt + Kt + Rt toplamsal

fleklinde bir iliflkiye yer veren modelle aç›klanmaktad›r.

x1 + x2

2 = 25 + 25.25

2 = 25.12

x2 x1

304 ‹s tat ist ik

A M A �

4

SIRA S ‹ZDE

Burada

yt = Zaman serisinin t zaman dönemindeki gözlem de¤erini,Tt = Trend bilefleni’nin (ya da faktörün) t zaman dönemindeki etkisini,Mt = Mevsimsel bileflenin (ya da faktörün) t zaman dönemindeki etkisini,Kt = Konjonktürel bileflenin (ya da faktörün) t zaman dönemindeki etkisini,Rt = Rassal bileflenin (ya da faktörün) t zaman dönemindeki etkisini,

göstermektedir.Çözümlenmesi istenen zaman serisi, trend artarken (artan ya da azal›rken) aza-

lan dalga fliddetine sahip mevsimsel de¤iflmeler gösteriyorsa ve seriyi aç›klayanparametreler zaman içinde de¤iflmiyorsa, bu zaman serisinin çözümlenmesi içinçarp›msal modelin kullan›lmas› uygundur. ‹lgilenilen zaman serisinin parametre-leri, zaman içinde de¤iflmiyorsa ve seriyi etkileyen mevsimsel de¤iflmelerin dalgafliddetleri birbirine eflitse, (baflka bir ifadeyle trend etkisinden ba¤›ms›zsa) toplam-sal model tercih edilir. Ancak, gerçek yaflamda karfl›lafl›lan serilerin pek ço¤undamevsimsel de¤iflmelerin dalga fliddetleri farkl›l›k gösterdi¤i için, zaman serisi çö-zümlemelerinde, genellikle çarp›msal model kullan›lmaktad›r. Bu nedenle buünitede çarp›msal modele iliflkin kuramsal aç›klamalara ve uygulamalar›na yerverilmifltir.

Bileflenlere Ay›rma Yöntemiyle Çözümlemede Aflamalar

Serinin Yan›lt›c› Faktörlerin Etkisinden Ar›nd›r›lmas›Kimi zaman, serilerinde trend ya da mevsimsel bileflenin etkisi varm›fl gibi izlenimyaratan ve daha önce aç›klanan yan›lt›c› faktörlerin etkisi olabilir. Zaman serileri-ni çözümlemeye geçmeden önce, serilerin e¤er gerekliyse, söz konusu etkilerdenar›nd›r›lmas› gerekir. Bu amaçla yine daha önce sözü edilen (gün say›s›, iflgünüsay›s› ya da fiyat de¤iflmeleri bak›m›ndan) uygun düzeltme ifllemlerine baflvuru-lur. Gerekli olan düzeltme ifllemlerine baflvurmadan yap›lacak çözümlemelerde,zaman serisi bileflenlerine iliflkin tahminler hatal› ve bu tahminleri kullanarak el-de edilecek öngörüler tutars›z olabilir.

Çarp›msal Modelin Uygulanmas›Zaman serilerinin mevsimsel olmayan ve mevsimsel seriler olarak s›n›fland›r›lma-s›, zaman serisi çözümlemelerinde kullan›lan en önemli bir s›n›fland›rmad›r. Bunedenle, yukar›da aç›klanan çarp›msal modellerin uygulamalar›, bu s›n›fland›rma-ya uygun olarak, ayr› ayr› bafll›klar alt›nda yap›lm›flt›r.

Mevsimsel Olmayan Serilerin Çözümlenmesinde Çarp›msal ModelinUygulanmas›

Modele ‹liflkin Aç›klamalarZaman serileri, Rt rassal bileflenin yan›nda di¤er üç bileflenin de mutlaka etkisin-de olmay›p, onlar›n de¤iflik kombinasyonlar›n›n etkisinde olabilmektedir. Örne-¤in; s›k karfl›lafl›lan y›ll›k zaman serileri, mevsimsel bileflenin etkisini göstermez-ler. Mevsimsel olmayan serilerin aç›klanmas›nda

yt = Tt . Kt . Rt

305Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

çarp›msal model uygulanabilir. Bu model türü tercih edildi¤inde, zaman serisinietkileyen Tt , Kt ve Rt bileflenlerine iliflkin tt , kt ve rt tahminlerinin ayr› ayr› he-saplanmas› gerekir. Bu durumda zaman serisinin t dönemine ait tahmin de¤eri,

y't = tt . kt . rt

olur. E¤er, ilgilenilen zaman serisinin gözlem de¤erleri üzerinde, mevsimsel bilefle-

ninin etkisi söz konusu de¤ilse, seri, y›ll›k zaman serisiyse, öngörü amac›yla yap›-lacak çözümlemede kullan›lacak çarp›msal model,

yt = Tt + et

fleklinde ifade edilir ve yt’nin nokta öngörü de¤eri y't = tt olur.

Modelde Yer Alan Bileflenlerin Tahminlenmesi Sürecinde ‹zlenen Aflamalar

Trend Bilefleninin Tahminlenmesi: Çözümlenen y1, y2, ... , yn serisinin t dö-nemindeki Tt bileflenini tahminleyebilmek için, bu serinin gözlem de¤erlerine,genellikle

Tt = b0 + b1t do¤rusal trend

ya da

Tt = b0 + b1t + b2t2 e¤risel trend

eflitlikleri uygulan›r (y1, y2, ... , yn gözlem de¤erleri yan›lt›c› faktörlerin etkisindenar›nd›r›lm›fl oldu¤u varsay›lm›flt›r). Bu uygulamayla zaman ve gözlem de¤erleriaras›nda fonksiyonel bir iliflki kurulmufl olur.

Burada b0, b1 ve b2 tahminlenecek model parametrelerini göstermektedir. Buiki modelden hangisinin, Tt’in tahminlenmesi için kullan›laca¤›na karar verebil-mek amac›yla, serinin kartezyen grafi¤i incelenir. Serinin trendi fiekil 14.2a ve börneklerine benziyorsa, Tt ’in tahminlenmesi için, do¤rusal modelin fiekil 14.2c ved örneklerine benzemesi durumunda e¤risel modelin tercih edilmesi önerilir.Trend bilefleni Tt ’in tt tahmini için do¤rusal model

tt = b0 + b1t

e¤risel model

tt = b0 + b1t + b2t2

eflitlikleri ile ifade edilir. Burada b0, b1 ve b2 s›ras›yla b0, b1 ve b2 ’nin tahminle-rini gösterirler ve afla¤›da verilen “En Küçük Kareler Normal Denklemlerinin” çö-zümlenmesiyle hesaplan›rlar.

Do¤rusal Trend modeline iliflkin En Küçük Kareler Normal Denklemleri

∑yt = nb0 + b1 ∑t

∑yt t = b0 ∑t + b1 ∑t2

306 ‹s tat ist ik

E¤risel Trend modeline iliflkin En Küçük Kareler Normal Denklemleri

∑yt = nb0 + b1 ∑t + b2 ∑t2

∑yt t = b0 ∑t + b1 ∑t2 + b2 ∑t3

∑yt t2= b0 ∑t2+ b1 ∑t3 + b2 ∑t4

eflitlikleriyle ifade edilmektedir.Ancak, bilgisayar deste¤inin olmad›¤› durumlarda, hesaplamalarda kolayl›k

sa¤lad›¤› için, yukar›daki En Küçük Kareler Normal Denklemlerinden de¤il, on-lar›n sadelefltirilmifl yaz›l›mlar›ndan yararlan›l›r. En Küçük Kareler Normal Denk-lemlerinde sadelefltirmeler zaman dönemlerine (daha önce aç›klanm›fl oldu¤u gi-bi) t = 1, 2, ..., n kodlar› vermek yerine, serinin medyan dönemine s›f›r kodu ve-rilmesi ve di¤er dönemlere iliflkin kodlamalarda, ∑t = 0 olacak flekilde, düzenle-me yap›lmas›yla sa¤lanm›fl olur.

Serinin terim say›s› n tek say›ysa medyan dönem vard›r ve bu dönem t = 0 ola-rak kodlan›rsa, di¤er dönemler .... -3, -2 ,-1, 0, 1, 2, 3 .... kodlanm›fl ve dolay›s›y-la ∑t = 0 elde edilmifl olur.

Serinin terim say›s› n çift say›ysa medyan dönem yoktur. En ortadaki iki dö-nemin aritmetik ortalamas› medyan dönem olarak kabul edilir. Böylece iki za-man noktas›n›n aral›¤› iki birim uzunluk olarak tan›mlanm›fl olur. Bu tan›ma gö-re serinin en ortas›ndaki iki dönemden ilkine t = -1 di¤erine t = 1 kodu verilerekdi¤er t dönemleri ... -5, -3, -1, 1, 3, 5, .... fleklinde kodlanm›fl olur. Burada daamaç ∑t = 0’a eflit k›lmakt›r.

Zaman de¤iflkeninin fl›klar›na verilecek kodlar›n cebirsel toplamlar›n›n s›f›raeflitlenecek flekilde düzenlenmesi, En Küçük Kareler Denklemlerini sadelefltirir.Çünkü n bilinmeyenli denklem sistemi n-1 bilinmeyenli denklem sistemine dö-nüfltürülmüfl olur.

Sadelefltirilmifl normal denklemler afla¤›da verilmifltir.

Do¤rusal Modele ‹liflkin Sadelefltirilmifl Normal Denklemler

∑yt = nb0

∑ytt = b1 ∑t2

eflitlikleriyle,

E¤risel Modele ‹liflkin Sadelefltirilmifl Normal Denklemlerse,

∑yt = nb0 + b2 ∑t2

∑yt t = b1 ∑t2

∑yt t2 = b0 ∑t2 + b2 ∑t4

eflitlikleriyle ifade edilir.Tahmin edilen trend do¤rusu ya da e¤risinin zaman serisini aç›klama gücü

∑(yt - tt)2 = minimum koflulunu sa¤lamas›yla iliflkilidir. yt gözlem de¤erleriyle tttrend tahmin de¤erleri aras›nda

∑yt = ∑tt ve yt π tt

307Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

iliflkisi vard›r. Gözlem de¤erleriyle trend tahmin de¤erleri aras›ndaki farklara(yt - tt), tahmin hatalar› ad› verilir. Tahmin hatalar›n›n ortalama ölçüsü standarthata, serideki gözlem de¤eri say›s› n ≥ 30 ise,

Buna karfl›l›k, n < 30 oldu¤unda

eflitli¤i ile hesaplan›r. Burada k, uygulanan trend denklemindeki tahminlenenparametre say›s›n› gösterir. Bu say›, do¤rusal model için k = 2, e¤risel model içink = 3 al›n›r.

Bir zaman serisi trendinin tahmininde tercih edilecek denklem türüne kararverebilmek için, trendi her iki denkleme göre tahmin etmek ve standart hatalar›-n› karfl›laflt›rmak gerekir. Standart hatas› küçük olan di¤erine tercih edilir.

Bu ünitede yer alan örnek çözümlerde, sadece bir trend modelinin uygula-mas›na yer verilece¤i için, seriyi daha iyi aç›klayan trend denkleminin belir-lenmesi kartezyen grafi¤in incelenmesiyle yap›lacak, standart hata ölçüsündenyararlan›lmayacakt›r.

Tablo 14.1’de verilen zaman serisinin trend bileflenini tahminleyiniz.

Tablo 14.1’de verilen zaman serisinin fiekil 14.1’de verilen grafi¤i incelendi¤indeserinin do¤rusal artan bir e¤ilim gösterdi¤i söylenebilir. Seride yan›lt›c› faktörlerinetkisi olmad›¤› varsay›lm›flt›r.Bu görsel tespit nedeniyle, Tt’nin tahminlenebilmesi için seri de¤erlerine

Tt = b0 + b1t

do¤rusal model uygulanm›flt›r. Modelin b0 ve b1 parametrelerinin tahminleri b0 ve b1,En Küçük Kareler Normal Denklemlerinden yararlanarak afla¤›daki gibi hesaplan›r:‹lgili de¤erler Tablo 14.4’den elde edilmifltir.

∑yt = 269.987∑t = 91∑t2 = 819∑ytt = 2197.06

Bu de¤erler normal denklemlerde yerlerine konarak,

269.987 = 13b0 + 91b1 -7(269.978) = -7(13)b0 + (-7)(91)b12197.06 = 91b0 + 819b1 2197.06 = 91b0 + 819b1

-1889.,846 = -91b0 - 637b12197.06 = 91b0 + 819b1

b1 = 1.688

307.214182

=0 + 182b1

182

sy =∑(yt - tt)2

n - k

sy =∑(yt - tt)2

n

308 ‹s tat ist ik

Ö R N E K 1

ÇÖ

ZÜ

M

Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi 309

olarak elde edilir. b1 de¤eri ilk eflitlikte yerine konarak,

269.987 = 13b0 + 91.1688b0 = 8.955

olarak elde edilir. Sonuçlara göre Tt’nin do¤rusal tahmin modeli tt

tt = b0 + b1t = 8.955 + 1.688t

olarak elde edilir. b1 = 1,688 pozitif bir de¤er oldu¤u için serinin trendi, artan e¤i-lime sahiptir (b1 trend do¤rusunun e¤imini gösterir).

t ihracat = yt t2 t . yt tt = 8.955 + 1.688t

1 11.625 1 11.625 10.642

2 12.959 4 25.918 12.33

3 13.593 9 40.779 14.018

4 14.715 16 58.86 15.705

5 15.345 25 76.725 17.393

6 18.106 36 108.636 19.081

7 21.637 49 151.459 20.768

8 23.224 64 185.792 22.456

9 26.261 81 236.349 24.143

10 26.974 100 269.74 25.831

11 26,587 121 292.457 27.519

12 27.775 144 333.3 29.206

13 31.186 169 405.418 30.894

Toplam 269.987 819 2197.058 269.986

Bu tahmin modelinde t için t = 1, 2, ........, 13 de¤erlerini uygulamak suretiyle Tab-lo 14.4’teki tahmin de¤erleri tt hesaplanm›fl olur. Örne¤in, Tablo 14.4’te t = 2 içinhesaplanan t2 = 12.33 trend tahmin de¤eri,

t2 = 8.955 + 1.688 (2) = 12.33

fleklinde elde edilmifltir.

Konjonktürel Bileflenin Tahminlenmesi: Bu tahminleme için, serinin önce,trend bilefleninden ar›nd›r›lmas› gerekir. Bu ar›nd›rma yt gözlem de¤erini tt tah-min de¤erlerine bölmek ( ) suretiyle yap›l›r.

yt' = tt . kt . rt

oldu¤undan

trend bilefleninden ar›nd›r›lm›fl seri de¤erleri, bir baflka ifadeyle Konjonktürel verassal bileflenlerin kt . rt tahminleri elde edilmifl olur. Y›l ya da daha uzun zaman

yt

tt =

tt . kt . rttt

= kt . rt

yt

tt

Tablo 14.4Do¤rusal trend tahminleri.

ÇÖ

ZÜ

M

aral›klar›yla yap›lan ölçümlerden meydana gelen zaman serilerinde Kt konjonktürel

bilefleninin, tahmin de¤eri kt genellikle Rt rassal bilefleninin tahmin de¤eri rt ile

birlikte eflitli¤iyle tahmin edilir. Tahmin edilmifl olan kt . rt tahminleri

sanki, Kt bilefleninin kt tahminiymifl gibi yorumlan›rlar. kt . rt = 1 oldu¤unda za-man, serisinin t dönemindeki gözlem de¤eri üzerinde konjonktürel etkinin gö-rülmedi¤i yorumu yap›l›r. kt . rt > 1 ya da kt . rt < 1 olmas› durumlar›nda serinint dönemindeki gözlem de¤eri üzerinde konjonktürel etkinin oldu¤u yorumu ya-p›l›r. Birinci durumdaki etki, serinin trendin üzerinde de¤er almas›na, ikinci du-rumdaki etkiyse trendin alt›nda de¤er almas›na neden olur. Varolan etkinin dü-zeyi kt . rt - 1 fark› al›narak belirlenir ve yorum kolayl›¤› sa¤lamak için bu fark100 ile çarp›l›r.

Tablo 14.1’deki zaman serisinin konjonktürel bilefleninin etkisinitahminleyiniz.

Tablo 14.1’de verilen seri için kt . rt tahmin de¤erleri Tablo 14.5’te verilmifltir. Ör-ne¤in; t = 2 için y2 = 12.959 ve t2 = 12.33 oldu¤una göre, trend bileflenin etkisin-den ar›nd›r›lm›fl seri de¤eri,

bulunmufl olur. Bu 1.05 de¤eri t = 2 için Konjonktürel ve rassal bileflenlerin t dö-nemindeki k2 . r2 tahmin de¤erini verir.

t ihracat = yt tt = 8.955 + 1.688t yt/tt = kt . rt1 11.625 10.642 1.092

2 12.959 12.33 1.051

3 13.593 14.018 0.97

4 14.715 15.705 0.937

5 15.345 17.393 0.882

6 18.106 19.081 0.949

7 21,637 20.768 1.042

8 23.224 22.456 1.034

9 26.261 24.143 1.088

10 26.974 25.831 1.044

11 26.587 27.519 0.966

12 27.775 29.206 0.951

13 31.186 30.894 1.009

Tablo 14.5 incelendi¤inde, ihracat de¤iflkeni konjonktür etkisiyle örne¤in, 1990 y›-l›nda (t = 2 için) (1.051 - 1) . 100 = %5.1 oran›nda normalin (trend de¤erinin) üze-rinde de¤er alm›fl, buna karfl›l›k 1991 y›l›nda (t = 3 için) (0.970 - 1) . 100 = %-3 ora-n›nda normalin (trend de¤erinin) alt›nda de¤er alm›flt›r denir. Genel olarak kt . rttahminleri 1’e çok yak›n de¤erler oldu¤undan incelenen dönemde ihracat de¤iflke-ni üzeride konjonktürün etkisi yoktur yorumu yap›labilir.

yt

tt =

y2

t2 = 12.959

12.33 = 1.051

kt . rt =yt

tt

310 ‹s tat ist ik

Ö R N E K 2

Tablo 14.5: kt . rt tahminleri

ÇÖ

ZÜ

M

Öngörü De¤erlerinin Türetilmesi: Daha önce de aç›klanm›fl oldu¤u gibi,Konjonktürel ve Rassal Bileflenlere iliflkin güvenilir öngörüler türetilemedi¤i için,öngörü amac›yla çözümlemelerde genellikle bu iki bileflenle ilgilenilmez ve çar-p›msal öngörü modellerinde bu iki bileflene yer verilmez. Bu durumda t+1 ön dö-nem için öngörü modeli

yt+1 = Tt+1 + et+1

olur. Do¤rusal Trend bilefleni t dönemi için

Tt = b0 + b1t

ile aç›kland›¤›ndan bu öngörü modeli afla¤›daki gibi de yaz›labilir:

yt+1 = b0 + b1 tt+1 + et+1

Trend bilefleni Tt ’nin tahmini tt

tt = b0 + b1t

eflitli¤iyle ifade edildi¤inden t+1 ön dönem öngörü de¤eri

y't+1 = tt+1 = b0 + b1(t + 1)

eflitli¤iyle hesaplanm›fl olur.

Tablo 14.1’deki zaman serisi için 2002 y›l› öngörü de¤erini hesaplay›n›z.

‹lgilendi¤imiz örnek için 2002 y›l› t + 1 = 13 + 1 = 14 için

y'14 öngörü de¤eri

y'14 = b0 + b1(t + 1) = 8.955 + 1.688(14) = 32.587

olur. Bu 2002 y›l› için ihracat öngörü de¤erini ifade eder. Bu tahmin modelinde tyerine s›ras›yla t + 2 = 13 + 2 = 15, t + 3 = 13 + 3 = 16 ve ... yazarak di¤er dö-nemler için öngörüler yap›labilir.

Mevsimsel Serilerin Çözümlenmesinde Çarp›msal Modelin Uygulanmas›

Modele ‹liflkin Aç›klamalarBilindi¤i gibi, çeyrek y›ll›k, mevsimlik ve ayl›k zaman serileri, genellikle mevsim-sel bileflenin etkisini gösterirler. An›msanaca¤› gibi, mevsimsel serileri aç›klamakamac›yla kullan›lan çarp›msal model genel olarak,

yt = Tt . Mt . Kt . Rt

ve bu modele iliflkin tahmin modeli de,

y't = tt . mt + kt . rt

311Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

Ö R N E K 3

gibi gösterilir. Ancak, öngörü amac›yla yap›lacak çözümlemelerde de mevsimselolmayan çarp›msal modeller için aç›klanan nedenle, Konjonktürel ve Rassal bile-flenlere yer verilmemektedir. Buna göre, t dönemi için öngörü modeli,

y't = tt . mt

eflitli¤iyle ifade edilmifl olur.

Modelde Yer Alan Bileflenlerin Tahminlenmesi Sürecinde ‹zlenen AflamalarYukar›daki çarp›msal modeller kullan›larak, mevsimsel serilerin çözümlenmesin-de afla¤›daki s›ra izlenir.

Mevsimsel Bileflenin Tahminlenmesi: Bu tahminleme 4 aflamada gerçeklefltirilir:I. Öncelikle serinin mevsimsel dalga uzunlu¤u, L belirlenir. Mevsimsel de¤ifl-

melerin dalga uzunluklar› mevsimlik (ya da çeyrek y›ll›k) serilerde L = 4,ayl›k serilerde L = 12 olup, genellikle birbirine eflittir. Baz› serilerde mev-simsel de¤iflmelerin her birinin dalga uzunluklar› eflit olmayabilir. Bu du-rumda ortalama dalga uzunlu¤u, L de¤eri olarak an›labilir.

II. Serinin hareketli ortalamalar› (ya da merkezilefltirilmifl hareketli ortalamala-r›) hesaplan›r. E¤er k tek say›ysa merkezlefltirilmifl hareketli ortalamalara ge-reksinim duyulmaz. Hesaplanan hareketli ortalamalar mevsimsel ve rassalbileflenlerden (mt . rt) ar›nd›r›lm›fl, trend ve konjonktürel bileflenlerin etkisi-ni gösteren seri de¤erleridir. Bu durum matematiksel olarak t dönemi için,

eflitli¤iyle ifade edilir.III. yt gözlem de¤erleri, hareketli ortalamalara (ya da merkezilefltirilmifl hare-

ketli ortalamalara) bölünerek, Mt . Rt bileflenlerinin tahmini mt . rt afla¤›da-ki eflitlik kullan›larak hesaplan›r.

IV. Son ifllem, mevsimsel bileflenin tahminlenmesidir. Bunun için, Mt . Rt bile-flenlerinin mt . rt tahminlerinden rt etkisinin ar›nd›r›lmas› ve mt tahminininelde edilmesi gerekir. Mevsimsel bilefleni tahminlemek için ayn› zaman dö-nemine karfl› gelen mt . rt tahmin de¤erleri grupland›r›larak ortalamalar› he-saplan›r. Örne¤in; birbirini izleyen y›llar›n ayn› aylar›n›n, mevsimlerinin yada çeyrek y›llar›n›n mt . rt tahmin de¤erleri grupland›r›l›r ve ortalamalar› he-saplan›r. Bu ortalamalar›n say›s› t = 1, 2 .... L olup simgesiyle gösterilir.

olmal›d›r. E¤er bu eflitlik sa¤lanm›yorsa, eflitli¤in sa¤lanmas›

ve mt tahminlerinin elde edilmesi için düzeltmesi yap›l›r.

t = 1, 2 ..., L say›da düzeltilmifl mt. tahminleri, örne¤in; bir y›l›n 12 ay›, 4mevsimi (ya da 4 çeyrek y›l›) için mevsimsel de¤iflmeyi ifade eden tahmin-ler olarak al›n›r.

mt = mt .L

mt∑t = 1

L

mt∑t = 1

L = L

mt

yt

tt . kt = mt . rt

ytmt . rt

=tt . mt . kt . rt

mt . rt = tt . kt

312 ‹s tat ist ik

Mevsimsel Bileflenden Ar›nd›r›lm›fl Seri De¤erlerinin Tahminlenmesi:Bu tahminler dt ile gösterilir ve

eflitli¤inden hesaplan›r.E¤er mt tahmin de¤eri 1’den küçükse buna karfl› gelen mevsimsel de¤iflme-

den ar›nd›r›lm›fl gözlem de¤eri dt, gerçek gözlem de¤eri yt’den büyük de¤erli, mttahmin de¤eri 1’den büyükse dt, yt de¤erinden küçük olur. Mevsim etkisindenar›nd›r›lm›fl gözlem de¤erleri dt trend de¤erlerine yaklafl›rlar. Bir baflka ifadeylemt > 1 oldu¤unda mevsimsel bileflen t dönemindeki gözlem de¤erinin ayn› dö-nemdeki normal de¤erden (normal de¤er Tt . Mt dir) büyük de¤er almas›na ne-den olurken, mt < 1 oldu¤unda tersi söz konusu olur.

Trend Bilefleninin Tahminlenmesi: Trend bilefleninin t dönemine iliflkin Ttbileflenin tt tahmini için mevsimsel olmayan serilere uygulanan çözümleme süre-ci aynen izlenir. Buradaki tek farkl›l›k, trend eflitliklerinin gerçek yt gözlem de¤er-lerine de¤il, mevsimsel bileflenin etkisinden ar›nd›r›lm›fl olan dt serisine uygulana-cak olmas›d›r.

Konjonktürel ve Rassal Bileflenlerin Tahminlenmesi: Mevsim etkisin-den ar›nd›r›lm›fl dt de¤erlerini kullanarak Kt . Rt bileflenlerinin kt . rt ya da kt vert tahminleri için mevsimsel olmayan serilere uygulanan çözümleme süreci ay-nen uygulan›r.

Öngörü De¤erlerinin Hesaplanmas›: Daha önce de aç›kland›¤› gibi, bile-flenlere ay›rma yöntemiyle yap›lan öngörü amaçl› çözümlemelerde konjonktürelve rassal bileflenlerle ilgilenilmemektedir. Bu durumda, t + 1 ön dönem için, yt+1’inöngörü de¤eri y't+1 = tt+1 . mt+1 eflitli¤iyle hesaplan›r.

Tüm yukar›da sözü edilenlere iliflkin uygulama, afla¤›daki örnekte gösterilmifltir.

Afla¤›daki seriyi çarp›msal model kullanarak çözümleyiniz.

Çeyrek Y›llar yt Çeyrek Y›llar yt

1989Q1 2803.27 1992Q1 3549.95

1989Q2 2573.86 1992Q2 3303.34

1989Q3 2568.12 1992Q3 3701.31

1989Q4 3679.43 1992Q4 4160.02

1990Q1 2994.33 1993Q1 3673.27

1990Q2 2745.46 1993Q2 3477.28

1990Q3 2858.71 1993Q3 3561.98

1990Q4 4360.79 1993Q4 4632.53

1991Q1 3378.66 1994Q1 3826.36

1991Q2 2904.93 1994Q2 3830.78

1991Q3 3208.71 1994Q3 4815.19

1991Q4 4101.16 1994Q4 5633.54

dt =ytmt

=tt . mt . rt

mt

313Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

Ö R N E K 4

Tablo 14.6 Çeyreky›ll›k zaman serisi.

‹s tat ist ik

ÇÖ

ZÜ

M

314

Mevsimsel bileflenin tahminlenmesi (Mevsim ‹ndeksinin Tahminlenmesi):fiekil 14.5 incelendi¤inde, serinin rassal bileflenin yan›nda, artan trend ve dalgauzunlu¤u L = 4 olan de¤iflen dalga fliddetli mevsimsel bileflene sahip oldu¤u gö-rülmektedir. Serinin yan›lt›c› faktörlerin etkisinde olmad›¤› varsay›lm›flt›r.

Bu bilgilere göre serinin aç›klanmas›nda kullan›labilecek çarp›msal model,

yt = Tt . Mt . Kt . Rt

fleklinde ifade edilir. Mevsimsel dalga uzunlu¤u L = 4 oldu¤undan, mevsimsel bi-leflenin tahminlenmesi için serinin önce, dörderli (L = k = 4) hareketli ortalamala-r›, sonra da merkezilefltirilmifl hareketli ortalamalar› hesaplanm›flt›r. Tablo 14.7’degösterilmifl olan merkezilefltirilmifl ortalamalar, trend ve konjonktürel bileflenlerintahmin de¤erlerini (tt . kt) ya da mevsimsel ve rassal bileflenlerden (mt . rt) ar›nd›-r›lm›fl de¤erlerini gösterirler. (mt . rt) tahminleri,

eflitli¤i kullan›larak hesaplan›r.

yt

tt . kt = mt . rt

fiekil 14. 5 Tablo 14.6’da verilenzaman serisiningrafi¤i. 5 10 15 20

5500

4500

3500

2500

Index ÇEYREK YIL

MerkezilefltirilmiflHareketli

Çeyrek Ortalama (HO) MevsimY›llar yt tt . kt ‹ndeksi

1989Q1 2803.27 0.971989Q2 2573.86 0.881989Q3 2568.12 2930.06 0.8764 0.921989Q4 3679.43 2975.39 1.2366 1.21990Q1 2994.33 3033.16 0.9871 0.971990Q2 2745.46 3154.65 0.8702 0.881990Q3 2858.71 3287.86 0.8692 0.921990Q4 4360.79 3355.84 1.2994 1.21991Q1 3378.66 3419.52 0.9880 0.971991Q2 2904.93 3430.82 0.8467 0.881991Q3 3208.71 3419.78 0.9382 0.921991Q4 4101.16 3490.99 1.1747 1.21992Q1 3549.95 3602.37 0.9854 0.971992Q2 3303.34 3671.30 0.8997 0.881992Q3 3701.31 3694.07 1.0019 0.921992Q4 4160.02 3731.23 1.1149 1.21993Q1 3673.27 3735.56 0.9833 0.971993Q2 3477.28 3777.20 0.9205 0.881993Q3 3561.98 3855.40 0.9238 0.921993Q4 4632.53 3918.73 1.1821 1.21994Q1 3826.36 4119.56 0.9288 0.971994Q2 3830.78 4401.34 0.8703 0.881994Q3 4815.19 0.921994Q4 5633.54 1,2

Mevsimsel bileflenin tahminlenmesiyle ilgili son ifllem olarak, Tablo 14.7’deki mt . rttahminlerinden, rt bilefleninin etkisinin ar›nd›r›lmas› ve mt mevsimsel bilefleninin tahminedilmesi için, ayn› çeyrek y›llara karfl› gelen mt . rt tahmin de¤erleri, Tablo 14.8’de gös-terildi¤i gibi grupland›r›lm›fl ve her grup için ortalamalar hesaplanm›flt›r.

Çeyrek Y›llarY›llar 1 2 3 4

1989 ----- ------ 0.8764 1.2366

1990 0.9871 0.8702 0.8692 1.2994

1991 0.9880 0.8467 0.9382 1.1747

1992 0.9854 0.8997 1.0019 1.1149

1993 0.9833 0.9205 0.9238 1.1821

1994 0.9288 0.8703 ----- ------

Ortalama = 0.97452 0.88148 0.9219 1.20154

olmal›d›r.

mt∑t = 1

L = 0,9746 + 0,8816 + 0,9220 + 1,2020 = 4,0002

mt∑t = 1

L = L = 4

mt

mt

yt

HO= m t. rt

315Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

Tablo 14.7 Merkezilefltirilmiflhareketli ortalamalar vemevsim indeksleri.

Tablo 14.8Çeyrek y›llaritibar›yla grupland›r›lm›fl mt . rt ve mttahminleri.

hesaplanan bu de¤er 4’e eflit kabul edildi¤i için mevsimsel bileflen tahminlerindedüzeltme yapma gere¤i duyulmam›flt›r. Her bir çeyre¤e iliflkin hesaplanan gruportalamalar› ’lar, Tablo 14.7’de oldu¤u gibi, y›llar›n ilgili çeyrekleri için, mev-sim bileflen tahminleri (mevsim indeksleri) mt olarak al›nm›flt›r.

Serinin Mevsimsel De¤iflmenin Etkisinden Ar›nd›r›lmas›: t dönemi için,

mevsimsel de¤iflmeden ar›nd›r›lm›fl de¤er, dt simgesiyle gösterilir ve

eflitli¤iyle hesaplan›r. Örne¤in, t = 1 için Tablo 14.9’daki

dt = 2889.97 de¤eri fleklinde hesaplanm›flt›r.

Trend Bilefleninin Tahminlenmesi : Bu aflamada Tt bileflenin tt tahmini hesap-lan›r. Hesaplama için, mevsim etkisinden ar›nd›r›lm›fl dt seri de¤erleri kullan›l›r.Bu de¤erler,

bileflenlerinin tahmin de¤erlerini gösterir. Trend bilefleninin t dönemine iliflkintt tahminin de¤erini hesaplamaya geçmeden önce, dt serisinin kartezyen grafi¤ifiekil 14.6’da a ve b incelenir. Bu incelemeyle, dt serisini en iyi aç›klayacaktrend denklemi belirlenir. fiekil 14.6’da a ve b incelendi¤inde uygun olan trendtahmin modelinin,

tt = b0 + b1t + b2t2

e¤risel modeli olabilece¤ine karar verilmifltir.

Bu tahmin modeli afla¤›daki gibi sadelefltirilmifl, En Küçük Kareler Normal Denk-lemleri yard›m›yla tt = 3525 + 37.2t + 0.504t2 olarak tahminlenmifltir. Gerekliolan veriler Tablo 14.9’dan elde edilmifltir. Bu e¤risel tahmin denkleminde, t ye-rine t = -23, -21, ...., 21, 23 de¤erleri yaz›l›rsa, Tablo 14.10’da verilen tt tahmin-leri elde edilmifl olur.

dt =ytmt

= tt . mt . kt . rtmt

= tt . kt . rt

dt =2803.27

0.97 = 2889.97

dt =ytmt

=tt . mt . rt

mt

mt

316 ‹s tat ist ik

0 5 10 15 20 25

3000

4000

5000

Zaman

dt

(a)

0 5 10 15 20 25

3000

4000

5000

Zaman

dt

(b)

fiekil 14.6dt serisinin grafikleri.

Sadelefltirilmifl En Küçük Kareler Normal Denklemleri

∑dt = nb0 + b2 ∑t2 86910,3 = 24b0 + 4600b2

∑dt t = b1 ∑t2 171178,48 = 4600b1

∑dt t2 = b0 ∑t2 + b2 ∑t4 17011448 = 4600b0 + 1583320b2

b1 = 37,2b0 = 3525b2 = 0,504

yt t yt/mt=tt.kt=dt t2 t3 t4 dt . t dt . t2

2803.27 -23 2889.97 529 -12167 279841 -66469.31 1528794.13

2573.86 -21 2924.85 441 -9261 194481 -61421.85 1289858.85

2568.12 -19 2791.44 361 -6859 130321 -53037.36 1007709.84

3679.43 -17 3066.19 289 -4913 83521 -52125.23 886128.91

2994.33 -15 3086.94 225 -3375 50625 -46304.10 694561.50

2745.46 -13 3119.84 169 -2197 28561 -40557.92 527252.96

2858.71 -11 3107.30 121 -1331 14641 -34180,30 375983.30

4360.79 -9 3633.99 81 -729 6561 -32705.91 294353.19

3378.66 -7 3483.16 49 -343 2401 -24382.12 170674.84

2904.93 -5 3301.06 25 -125 625 -16505.30 82526.50

3208.71 -3 3487.73 9 -27 81 -10463.19 31389.57

4101.16 -1 3417.63 1 -1 1 -3417.63 3417.63

3549.95 1 3659.74 1 1 1 3659.74 3659.74

3303.34 3 3753.80 9 27 81 11261.40 33784.20

3701.31 5 4023.17 25 125 625 20115.85 100579.25

4160.02 7 3466.68 49 343 2401 24266.76 169867.32

3673.27 9 3786.87 81 729 6561 34081.83 306736.47

3477.28 11 3951.46 121 1331 14641 43466.06 478126.66

3561.98 13 3871.72 169 2197 28561 50332.36 654320.68

4632.53 15 3860.44 225 3375 50625 57906.60 868599.00

3826.36 17 3944.70 289 4913 83521 67059.90 1140018.30

3830.78 19 4353.16 361 6859 130321 82710.04 1571490.76

4815.19 21 5233.90 441 9261 194481 109911.90 2308149.90

5633.54 23 4694.62 529 12167 279841 107976.26 2483453.98

Toplam 86342,98 0 86910.36 4600 0 1583320 171178.48 17011437.48

Konjonktürel Bileflenin Tahmin Edilmesi: Bu bileflenin tahmin edilmesindeve tahminlerin yorumlanmas›nda izlenen aflamalar mevsimsel olmayan serilerinçözümlenmesine benzer flekilde yap›l›r. Örne¤in, t = -23 dönemi (1989 I’inci çey-re¤i) için konjonktürel ve rassal bileflen tahmini,

olarak hesaplan›r. kt . rt = 0.98 de¤erinden yararlanarak 1989 y›l› I’inci çeyre¤ineiliflkin gözlem de¤eri üzerindeki konjonktürel de¤iflmenin etkisi hakk›nda yorumyap›l›r. Yorum: 1989 y›l› I’inci çeyre¤inde, çeyrek y›ll›k zaman serisi konjonktüretkisiyle (0.98 - 1).100 = %-1 oran›nda normalin (trend ve mevsimsel etkinin) al-t›nda de¤er alm›flt›r.

kt . rt =yt

tt . mt = 0.98

317Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi

Tablo 14.9En Küçük Karelernormal denklemleriveri tablosu.

yt t yt/mt=tt.kt=dt yt=3525+37.2t+0.504t2 mt tt . mt kt . rt

2803.27 -23 2889.97 2935.38 0,97 2847.32 0.982573.86 -21 2924.85 2965.46 0,88 2609.60 0.982568.12 -19 2791.44 2999.56 0,92 2759.60 0.933679.43 -17 3066.19 3037.70 1.20 3645.24 1.002994.33 -15 3086.94 3079.87 0.97 2987.48 1.002745.46 -13 3119.84 3126.08 0.88 2750.95 0.992858.71 -11 3107.30 3176.31 0.92 2922.21 0.974360.79 -9 3633.99 3230.58 1.20 3876.69 1.123378.66 -7 3483.16 3288.88 0.97 3190.21 1.052904.93 -5 3301.06 3351.20 0.88 2949.06 0.983208.71 -3 3487.73 3417.57 0,92 3144,16 1.024101.16 -1 3417.63 3487.96 1.20 4185.55 0.973549.95 1 3659.74 3562.39 0.97 3455.51 1.023303,34 3 3753.80 3640.84 0.88 3203.94 1.033701.31 5 4023.17 3723.33 0.92 3425.47 1.084160.02 7 3466.68 3809.85 1.20 4571.82 0.903673.27 9 3786.87 3900.41 0.97 3783.39 0,973477.28 11 3951.46 3994.99 0.88 3515.59 0,983561.98 13 3871.72 4093.61 0.92 3766.12 0,944632.53 15 3860.44 4196.25 1.20 5035.51 0.913826.36 17 3944.70 4302.94 0.97 4173.85 0.913830.78 19 4353.16 4413.65 0.88 3884.01 0.984815.19 21 5233.90 4528.39 0.92 4166.12 1.155633.54 23 4694.62 4647.17 1.20 5576.60 1.01

Öngörü de¤erlerinin türetilmesi: Bu amaçla y't+1 = tt+1 . mt+1 = (b0 + b1(t + 1) + b2t2(t + 1) mt+1 öngörü modelin-den yararlan›l›r.

tt+1 = 3525 + 37,2 (t + 1) + 0,504 (t + 1)2

t+1, 1995 y›l› 1. çeyre¤i oldu¤undan bu dönemin kod de¤eri 25’tir. Buna göre,

t1995. Q1 = 3525 + 37.2.(25) + 0.504.(252) = 4770

y'1995.Q1 = 4770.0.97 = 4626.9

Burada 0.97, birinci çeyrek y›l için mevsim bileflenin tahmin de¤erini ifade eder.

1. Bileflenlerine ay›rma yöntemiyle çözümlemede, çözümleme aflamalar›n› s›ralay›n›z.

2. E¤er ilgilenilen zaman serisinin gözlem de¤erleri üzerinde mevsimsel bileflenin etki-si söz konusu de¤ilse, öngörü amac›yla kullan›lacak çarp›msal modeli belirleyiniz.

3. Çarp›msal modellerde mevsimsel bileflenin tahminlenmesindeki aflamalar› s›ralay›n›z.

318 ‹s tat ist ik

Tablo 14.10Trend, konjonktürelve rassal bileflen tahminleri.

SIRA S ‹ZDE

Ünite 14 - Zaman Ser is i Çözümlemesi 319

Kendimizi S›nayal›m1. Afla¤›dakilerden hangisi, zaman serilerinin temel bile-fleni de¤ildir?

a. Trend Bileflenib. Rassal Bileflenc. Zaman Bileflenid. Konjonktürel Bileflene. Mevsimsel Bileflen

2. Bir zaman serisinin trend tahmini tt = 25 + 0.8t ’dir. Afla-¤›dakilerden hangisi, bu trend tahmini için söylenemez?

a. Trend do¤rusald›r.b. Trend artan e¤ilim gösterir.c. Trend e¤riseldir.d. Trend azalan e¤ilim gösterir.e. Trendin e¤ilimi 0,8’dir.

3. Y›ll›k zaman serilerinde hangi zaman serisi bileflenininetkisi görülmez?

a. Trend bileflenininb. Mevsimsel bilefleninc. Konjonktürel bileflenind. Rassal bileflenine. Konjonktürel ve Rassal bileflenin

4. Afla¤›dakilerden hangisi, mevsimsel de¤iflmenin dalgauzunlu¤unu ifade eder?

a. Birbirini izleyen iki mevsimsel de¤iflmenin maksi-mum ya da minimum noktalar› aras›ndaki zamanaral›¤›

b. Birbirini izleyen mevsimler aras›ndaki zamanaral›¤›

c. Bir mevsimsel de¤iflmenin maksimum ve minimumnoktalar› aras›ndaki fark

d. Serideki veri say›s›e. En yüksek ve en düflük mevsimsel de¤iflme ara-

s›ndaki fark

5. Zaman serilerinde etkisi mutlaka görülen bileflen afla-¤›dakilerden hangisidir?

a. Trend b. Konjonktürel c. Mevsimsel d. Rassal e. ‹fl gün say›s›n›n farkl›l›¤›

6. Bir zaman serisinin hareketli ortalamalar› hesapland›-¤›nda, seri hangi bileflenlerin etkisinden ar›nd›r›lm›fl olur?

a. Trend – Mevsimsel b. Trend – Konjonktürel c. Mevsimsel d. Trende. Mevsimsel – Rassal

7 ve 8. sorular afla¤›daki tabloya göre cevapland›r›la-

cakt›r.

7. t yt

-3 12-1 151 133 16

Yukar›da verilen zaman serisinin tahmin edilecek do¤ru-sal trend denkleminde e¤imi veren parametre tahminininde¤eri kaçt›r?

a. 0.05b. 0.12c. 0.50d. 0.80e. 1.1

8. Yukar›da verilen tabloya göre, zaman serisi için tah-min edilen trend denklemi tt = 14 + 0,5t ise serinin t = 1için trend tahmin de¤eri kaçt›r?

a. 12.50b. 14.25c. 14.50d. 15.10e. 15.50

9. Y›ll›k bir zaman serisinin bileflenleri çarp›msal modelkullan›larak tahmin edilmek istenmektedir. t = 1 için göz-lem de¤eri 11.625, trend tahmin de¤eri 10.642 hesaplan-m›flt›r. Ayn› döneme iliflkin konjonktürel bileflenin tahminde¤eri kaçt›r?

a. 0.09b. 1.009c. 1.092d. 1.15e. 1.18

‹s tat ist ik320

10. Bir zaman serisinin t dönemine iliflkin mevsimsel bi-leflen tahmini 0.92 dir. Bu de¤eri, afla¤›dakilerden hangisido¤ru olarak ifade eder?

a. Mevsimsel bileflen t dönemindeki gözlem de¤eri-nin normalden %92 büyük de¤er almas›na nedenolmufltur.

b. Mevsimsel bileflen t dönemindeki gözlem de¤eri-nin normalden % 8 küçük de¤er almas›na nedenolmufltur.

c. Mevsimsel bileflen t dönemindeki gözlem de¤eri-nin normalden %8 büyük de¤er almas›na nedenolmufltur.

d. Mevsimsel bileflen t dönemindeki gözlem de¤eri-nin normalden %0,8 büyük de¤er almas›na nedenolmufltur.

e. Mevsimsel bileflen t dönemindeki gözlem de¤eri-nin normalden 0,02 küçük de¤er almas›na nedenolmufltur.

Yan›t Anahtar›1. c2. c3. b4. a5. d6. e7. c8. c9. c10. b

Yararlan›lan KaynaklarBOWERMAN, Bruce L, O’Connell: Forecasting and Ti-

me Series An Applied Approach, 3rd Edition, Wads-worth Inc., California, 1993.

GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›,‹.Ü. Yay›n No: 1941, Sermet Matbaas›, ‹stanbul, 1974.

SERPER, Özer: Uygulamal› ‹statistik II, Filiz Kitapevi,‹stanbul, 1986.

TRYFOS, Peter: Sampling Methods for Applied Rese-

arch, John Wiley and Sons Inc, NewYork, 1996.

Ek 1: “Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m” 321

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.000000 0.003989 0.007989 0.011967 0.015953 0.019939 0.023922 0.027903 0.031881 0.035856

0.1 0.039828 0.043795 0.047758 0.051717 0.055670 0.059618 0.063559 0.067495 0.071424 0.075345

0.2 0.079260 0.083166 0.087064 0.090954 0.094835 0.098706 0.102568 0.106420 0.110261 0.114092

0.3 0.117911 0.121719 0.125516 0.129300 0.133072 0.136831 0.140576 0.144309 0.148027 0.151732

0.4 0.155422 0.159097 0.162757 0.166402 0.170031 0.173645 0.177242 0.180822 0.184386 0.187933

0.5 0.191462 0.194974 0.198468 0.201944 0.205402 0.208840 0.212260 0.215661 0.219043 0.222405

0.6 0.225747 0.229069 0.232371 0.235653 0.238914 0.242154 0.245373 0.248571 0.251748 0.254903

0.7 0.258036 0.261148 0.264238 0.267305 0.270350 0.273373 0.276373 0.279350 0.282305 0.285236

0.8 0.288145 0.291030 0.293892 0.296731 0.299546 0.302338 0.305106 0.307850 0.310570 0.313267

0.9 0.315940 0.318589 0.321214 0.323814 0.326391 0.328944 0.331472 0.333977 0.336457 0.338913

1.0 0.341345 0.343752 0.346136 0.348495 0.350830 0.353141 0.355428 0.357690 0.359929 0.362143

1.1 0.364334 0.366500 0.368643 0.370762 0.372857 0.374928 0.376976 0.378999 0.381000 0.382977

1.2 0.384930 0.386860 0.388767 0.390651 0.392512 0.394350 0.396165 0.397958 0.399727 0.401475

1.3 0.403199 0.404902 0.406582 0.408241 0.409877 0.411492 0.413085 0.414656 0.414207 0.417736

1.4 0.419243 0.420730 0.422196 0.423641 0.425066 0.426471 0.427855 0.429219 0.430563 0.431888

1.5 0.433193 0.434478 0.435744 0.436992 0.438220 0.439429 0.440620 0.441792 0.442947 0.444083

1.6 0.445201 0.446301 0.447384 0.448449 0.449497 0.450529 0.451543 0.452540 0.453521 0.454486

1.7 0.455435 0.456367 0.457284 0.458185 0.459071 0.459941 0.460796 0.461636 0.462462 0.463273

1.8 0.464070 0.464852 0.465621 0.466375 0.467116 0.467843 0.468557 0.469258 0.469946 0.470621

1.9 0.471284 0.471933 0.472571 0.473197 0.473810 0.474412 0.475002 0.475581 0.476148 0.476705

2.0 0.477250 0.477784 0.478308 0.478822 0.479325 0.479818 0.480301 0.480774 0.481237 0.481691

2.1 0.482136 0.482571 0.482997 0.483414 0.483823 0.484222 0.484614 0.484997 0.485371 0.485738

2.2 0.486097 0.486447 0.486791 0.487126 0.487455 0.487776 0.488089 0.488396 0.488696 0.489989

2.3 0.489276 0.489556 0.489830 0.490097 0.490358 0.490613 0.490863 0.491106 0.491344 0.491576

2.4 0.491802 0.492024 0.492240 0.492451 0.492656 0.492857 0.493053 0.493244 0.493131 0.493613

2.5 0.493790 0.493963 0.494132 0.494297 0.494457 0.494614 0.494766 0.494915 0.495060 0.495201

2.6 0.495339 0.495473 0.495603 0.495731 0.495855 0.495975 0.496093 0.496207 0.496319 0.496427

2.7 0.496533 0.496636 0.496736 0.496833 0.496928 0.497020 0.497110 0.497197 0.497282 0.497365

2.8 0.497445 0.497523 0.497599 0.497673 0.497744 0.497814 0.497882 0.497948 0.498012 0.498074

2.9 0.498134 0.498193 0.498250 0.498305 0.498359 0.498411 0.498462 0.498511 0.498559 0.498605

3.0 0.498650 0.498694 0.498736 0.498777 0.498817 0.498856 0.498893 0.498930 0.498965 0.498999

EK 1: NORMAL E⁄R‹ ALANLARI TABLOSU

Ek 2: “t Tablosu”322

Serbestlikderecesi P = 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

1 0.158 0.325 0.510 0.727 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.654

2 0.142 0.289 0.445 0.617 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 0.137 0.277 0.424 0.584 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 0.134 0.271 0.414 0.569 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 0.132 0.267 0.408 0.559 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 0.131 0.265 0.404 0.553 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 0.130 0.263 0.402 0.549 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.449

8 0.130 0.262 0.399 0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 0.129 0.261 0.398 0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 0.129 0.260 0.397 0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 0.129 0.269 0.396 0.540 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106

12 0.128 0.259 0.395 0.539 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055

13 0.128 0.259 0.394 0.538 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012

14 0.128 0.258 0.393 0.537 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977

15 0.128 0.258 0.393 0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 0.128 0.258 0.392 0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921

17 0.128 0.257 0.392 0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898

18 0.127 0.257 0.392 0.534 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878

19 0.127 0.257 0.391 0.533 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

20 0.127 0.257 0.391 0.533 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 0.127 0.257 0.391 0.532 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831

22 0.127 0.256 0.390 0.532 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819

23 0.127 0.256 0.390 0.532 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807

24 0.127 0.256 0.390 0.531 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797

25 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787

26 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779

27 0.127 0.256 0.389 0.531 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771

28 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763

29 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756

30 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750

a 0.12566 0.25335 0.38532 0.52440 0.67449 0.84162 1.03643 1.28155 1.64485 1.95996 2.32634 2.57582

EK 2: "t" TABLOSU

323Ek 3: “c2 Tablosu”

a 0.995 0.990 0.975 0.950 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001r

1 0.00003927 0.000157 0.000982 0.003932 3.841455 5.023903 6.634891 7.879400 10.827360

2 0.010025 0,020100 0.050636 0.102586 5.991476 7.377779 9.210351 10.596530 13.915004

3 0.071723 0.114832 0.215795 0.351846 7.814725 9.348404 11.344882 12.838073 16.265959

4 0,206984 0.297107 0.484419 0.710724 9.487728 11.143262 13.276699 14.860166 18.466226

5 0.411751 0.554297 0.831209 1.145477 11.070483 12.832492 15.086317 16.749648 20.514651

6 0.675733 0.872083 1,.237342 1.635380 12.591577 14.449355 16.811872 18.547513 22.457479

7 0.989251 1.239032 1,689864 2.167349 14.067127 16.012774 18.475324 20.277738 24.321296

8 1.344403 1,646506 2,179725 2.732633 15.507312 17.534545 20.090159 21.954861 26.123931

9 1.734911 2.087889 2,700389 3.325115 16.918960 19.022778 21.666048 23.589275 27.876731

10 2.155845 2.558199 3.246963 3.940295 18.307029 20.483201 23.209287 25.188055 29.587885

11 2.603202 3.053496 3.815742 4.574809 19.675153 21.920023 24.725022 26.756864 31.263507

12 3.073785 3.570551 4.403778 5.226028 21.026055 23.336660 26.216964 28.299660 32.909230

13 3.565042 4.106900 5.008738 5.891861 22.362027 24.735581 27.688184 29.819318 34.527367

14 4.074659 4.660415 5.628724 6.570632 23.684782 26.118935 29.141163 31.319425 36.123867

15 4.600874 5.229356 6.262123 7.260935 24.995797 27.488365 30.577951 32.801491 37.697774

16 5.142164 5.812197 6.907664 7.961639 26.296221 28.845325 31.999861 34.267053 39.251776

17 5.697274 6.407742 7.564179 8.671754 27.587100 30.190983 33.408717 35.718378 40.791109

18 6.264766 7.014903 8.230737 9.390448 28.869321 31.526410 34.805237 37.156386 42.311948

19 6.843923 7.632698 8.906514 10.117006 30.143505 32.852337 36.190775 38.582122 43.819365

20 7.433811 8.260368 9.590772 10.850799 31.410420 34.169581 37.566272 39.996856 45.314218

21 8.033602 8.897172 10.282907 11.591316 32.670558 35.478859 38.932232 41.400943 46.796271

22 8.642681 9.542494 10.982330 12.338009 33.924460 36.780678 40.289448 42.795664 48.267624

23 9.260383 10.195689 11.688534 13.090505 35.172460 38.075609 41.638334 44.181385 49.727643

24 9.886199 10.856349 12.401146 13.848422 36.415026 39.364060 42.979781 45.558363 51.178969

25 10.519647 11.523951 13.119707 14.611396 37.652489 40.646498 44.314014 46.927966 52.618738

26 11.160218 12.198177 13.843881 15.379163 38.885130 41.923138 45.641636 48.289777 54.051136

27 11.807655 12.878468 14.573373 16.151395 40.113266 43.194521 46.962837 49.645035 55.475080

28 12.461281 13.564666 15.307854 16.927876 41.337152 44.460790 48.278166 50.993559 56.891756

29 13.121067 14.256406 16.047051 17.708381 42.556948 45.722279 49.587829 52.335495 58.300642

30 13.786682 14.953464 16.790756 18.492667 43.772954 46.979218 50.892181 53.671868 59.702212

40 20.706577 22.164201 24.433058 26.509296 55.758487 59.341679 63.690771 66.766047 73.402900

50 27.990825 29.706725 32.357385 34.764236 67.504805 71.420194 76.153802 79.489839 86.660312

100 67.327533 70.064995 74.221882 77.929442 124.342101 129.561252 135.806891 140.169714 149.448789

EK 3: c2 TABLOSU

Sözlük324

SözlükAAlfa (a) Tipi Hata (I. Tip Hata): Do¤ru bir hipotezin (H0 do¤-

ru iken) test sonucunda reddedilmesi halinde ifllenecek

hata.

Ana Kütle: Y›¤›n olay niteli¤inde ve ayn› cins birimlerin olufl-

turdu¤u topluluk.

Anlam(l›l›k) Düzeyi: Do¤ru bir hipotezin test sonucunda red-

dedilmesinin maksimum olas›l›¤›.

Aral›k Tahminlemesi: Araflt›r›lan ana kütle parametresini iste-

nilen bir olas›l›kla bir aral›k içinde tahminleme tekni¤i.

Aritmetik Ortalama: Bir seriyi oluflturan de¤erler toplam›n›n,

gözlem say›s›na oran›.

Ayr›k Olaylar: Birlikte ortaya ç›kamayan olaylar.

BBa¤›ms›z Olaylar: Ortaya ç›k›p ç›kmamas›, baflka bir olay›n or-

taya ç›kmas›n› ya da ç›kmamas›n› zorunlu hale getireme-

yen olaylar.

Basit ‹ndeks: Tek bir madde için hesaplanan indeks.

Basit Olay: Örneklem uzay›nda tek örneklem noktas› olan olay.

Basit Seri: Gözlem de¤erlerinin büyüklüklerine göre küçükten

büyü¤e ya da büyükten küçü¤e do¤ru s›ralanmas›yla olufl-

turulan seri.

Belirlilik Katsay›s›: Regresyon analizinde ba¤›ml› de¤iflkende-

ki de¤iflimin ne kadar›n›n ba¤›ms›z de¤iflkence aç›kland›¤›-

n› belirleyen katsay›.

Beta (b) Tipi Hata (II. Tip Hata): Do¤ru olmayan bir hipotezin

(H0 do¤ru de¤ilken) test sonucunda kabul edilmesi halin-

de ifllenecek hata.

Bileflik ‹ndeks: ‹ki ya da daha çok maddeyi kapsayan indeks.

Bileflik Olay: Örneklem uzay›nda birden çok örneklem noktas›

olan olay.

Bileflik Seri: Birimlerin birden fazla de¤iflkene göre da¤›l›m›n›

bir arada gösteren seri.

Birikimli Seri: Bir frekans da¤›l›m›nda her s›n›f›n frekans›na bir

önceki s›n›f›n frekans› eklenerek oluflturulan seri.

DDa¤›lma Serisi: Gözlem sonuçlar›n›n maddesel bir de¤iflkenin

fl›klar›na göre s›ralanmas›yla oluflturulan seri.

De¤iflim Aral›¤›: Bir serideki en büyük de¤er ile küçük de¤er

aras›ndaki fark.

De¤iflken: ‹statistik birimlerinin sahip oldu¤u özellikler.

De¤iflken Esasl› ‹ndeks: Bir zaman indeksinde her de¤erin, bir

önceki dönemin de¤erine göre oransal de¤iflimleri.

Duyarl› Olmayan Ortalama: Serideki afl›r› de¤erlerden etki-

lenmeyen ortalama.

Duyarl› Ortalama: Bir seriyi oluflturan tüm de¤erlerden etkile-

nen ortalama.

FFisher ‹ndeksi: Laspeyres ve Paasche indekslerinin geometrik

ortalamas›.

Frekans Serisi: Bir serideki, gözlem de¤erlerinin kaç kez tek-

rarland›¤›n›, ilgili gözlem de¤erlerinin yan›na, kaydedile-

rek oluflturulan seri.

GGeometrik Ortalama: Bir seriyi oluflturan de¤erlerin çarp›m›-

n›n, gözlem de¤erleri say›s›na eflit mertebeden kökü.

HHareketli Ortalama: Zaman serilerinin mevsimsel ve rassal bi-

leflenlerin etkilerinden ar›nd›rmak suretiyle, bu serilerin

genel e¤ilimini elde etmek amac›yla baflvurulan teknik.

Histogram: S›n›fland›r›lm›fl bir seriye iliflkin, alan› ilgili s›n›f›n

frekans›na ve taban› da ilgili s›n›f›n aral›¤a eflit, birbirine

bitiflik dikdörtgenlerden oluflan grafik.

‹‹ndeks: Bir istatiksel olaya iliflkin gözlem de¤erlerinin zaman ya

da mekana göre gösterdi¤i oransal de¤iflimler.

‹statistik: 1. Belirlenen amaç ya da amaçlar do¤rultusunda göz-

lenen y›¤›n olaylardan derlenen verilerin ifllene-

rek, ilgili olaylar›n oluflturuldu¤u y›¤›nlar›n bilim-

sel olarak incelenmesinde kullan›lan yöntemler

bütünü.

2. Örnekleme iliflkin say›sal karateristikler.

‹statistik Birimi: Ölçülebilen ya da say›labilen y›¤›n olay niteli-

¤indeki her olay.

‹statistik Serisi: Gözlem de¤erlerinin büyüklüklerine göre olufl-

turulan dizi.

‹statistiksel Hipotez: Herhangi bir ana kütle parametresine ilifl-

kin olarak ileri sürülen ve do¤rulu¤u olas›l›k kurallar›yla

araflt›rabilen önerme.

KKareli Ortalama: Bir seriyi oluflturan de¤erlerin karelerinin top-

lam›n›n gözlem say›s›na oran›.

Karfl›t (H1) Hipotez: ‹lgilenilen ana kütle parametresinin bili-

nen de¤erinde, istatiksel olarak anlaml› farklar›n beklendi-

¤ini ifade eden hipotez.

Kontenjans Katsay›s›: Say›sal olmayan de¤iflkenler aras›ndaki

iliflkinin derecesini gösteren katsay›.

Korelasyon Katsay›s›: ‹ki de¤iflken aras›ndaki do¤rusal iliflki-

nin yönünü ve derecesini belirleyen (gösteren) katsay›.

Sözlük 325

LLaspeyres ‹ndeksi: A¤›rl›kl› indekslerde a¤›rl›k katsay›lar›n›n

bafllang›ç zaman›ndaki (ya da yerindeki) de¤erlerden seçil-

mesiyle oluflturulan indeks.

MMedyan: Bir seride, seriyi iki eflit k›sma bölen de¤er.

Mekan ‹ndeksi: Mekan serisi ile verilen bir istatistiksel olay›n

aritmetik ortalamaya göre de¤iflimleri.

Mekan Serisi: Gözlem sonuçlar›n›n ülke, bölge, flehir ya da

köy gibi bir mekan (yer) de¤iflkeninin fl›klar›na göre s›ra-

lanmas›yla oluflturulan seri.

Mod: Bir seride en çok tekrarlanan de¤er.

NNokta Tahminlemesi: Bir rassal örneklemden elde edilen ista-

tisti¤in de¤erini, ilgili ana kütle parametre de¤erine eflit ka-

bul eden tahminleme tekni¤i.

O-ÖOlay: Bir deneyin bir ya da daha çok sonucunu içeren küme.

Ortalama: Bir istatistik serisindeki gözlem de¤erlerinin, etraf›n-

da toplanma e¤ilimi gösterdi¤i de¤er.

Örneklem: Ana kütleden uygun tekniklerle seçilen birimlerden

oluflan alt topluluk.

Örneklem Noktas›: Örneklem uzay›n›n her bir eleman›.

Örneklem Uzay›: Deney ya da gözlem sonuçlar›n›n tümünü

içeren küme.

PPaasche ‹ndeksi: A¤›rl›kl› indekslerde a¤›rl›k katsay›lar›n›n in-

deks devresindeki ( ya da yerindeki) de¤erlerden seçilme-

siyle oluflturulan indeks.

RRegresyon: De¤iflkenler aras›ndaki ortalama iliflkinin matema-

tiksel bir fonksiyonla ifade edilmesi.

S-fiSabit Esasl› indeks: Bir zaman indeksinde devrelerden birisi-

nin de¤erinin temel kabul edilerek, di¤er devrelerin de¤er-

lerinin seçilen temel devreye göre oransal de¤iflimi.

S›f›r (H0) Hipotezi: ‹lgilenilen ana kütle parametresinin bilinen

de¤erinde, herhangi bir fark›n beklenmedi¤ini ifade eden

hipotez.

S›n›fland›r›lm›fl Seri: Deney ya da gözlem sonuçlar›n›n belirli

aral›klar içinde kalan fl›klara göre düzenlenmesiyle olufl-

turulan seri.

Standart Sapma: Bir seriyi oluflturan de¤erlerin aritmetik or-

talamadan farklar›n›n kareli ortalamas›.

fi›k: Bir de¤iflkenin ald›¤› de¤er.

TTahminleme: Bir rassal örneklemden elde edilen istatistikler

yard›m›yla, örne¤in çekildi¤i ana kütleye iliflkin parametre

de¤erlerini araflt›rmak.

Tamamlay›c› Olay: Bir olay›n ortaya ç›kmamas› ile tan›mlanan

olay.

Tart›l› Ortalama: Gözlem de¤erleri aras›ndaki önem dere-

celerini içeren ortalama.

Tipik Olay: Ait oldu¤u kümedeki tüm olaylar› tek bafl›na temsil

edebilen olay.

Trend: Zaman serilerine iliflkin gözlem de¤erlerinin uzun dönem-

de artma ya da azalma yönünde gösterdi¤i genel e¤ilim.

YY›¤›n Olay: Ait oldu¤u kümedeki olaylar› tek bafl›na temsil ede-

meyen olay.

ZZaman ‹ndeksi: Zaman serisi ile verilen bir istatistiksel olay›n,

zaman içindeki oransal de¤iflimleri.

Zaman Serisi: Gözlem sonuçlar›n›n y›l, ay, hafta, gün ya da

saat gibi bir zaman de¤iflkeninin fl›klar›na göre s›ralan-

mas›yla oluflturulan seri.

Dizin326

DizinA

Aç›k S›n›f 18

Aç›klay›c› De¤iflken 253, 255

A¤aç Diyagram› 70, 71, 73, 82, 91, 93, 99, 110, 120

Alt Tahminleme 191

Ana Kütle 5, 8, 9, 173, 174, 191, 192, 199, 213, 216, 219, 228, 231,

233, 235

Anakütle ‹liflki Katsay›s› 274

Ana Kütle Oran› 185, 188, 190, 191, 206, 231, 233

Anakütle Regresyon Katsay›lar› 256

Ana Kütlenin Homojenli¤i 175

Ani Birim 4, 7, 9

Ani Veri Derleme 7, 9

Anlaml›l›k Düzeyi 218, 222, 223, 224, 226, 229, 231, 233, 240,

241, 243, 244, 245, 263, 274

Aral›k Tahminlemesi 199, 200, 201, 202, 204, 206, 207, 208

Araflt›rma Hipotezi 216, 223, 226, 233

Aritmetik Ortalama 37, 41, 42, 43, 57, 198, 199, 201, 202, 208,

223, 228, 258, 259, 275, 280, 281, 284, 285, 286, 287, 288, 302, 303, 307

Artan E¤ilim 309, 319

Art›klar›n Kareler Toplam› 256

Aflamal› Küme Örneklemesi 183, 184

Ayl›k Zaman Serisi 296

Ayr›k Olaylar 68, 83, 84, 85, 87, 94, 97, 98, 99

Ayr›k Olmayan Olaylar 84

Azalan E¤ilim 319

BBa¤›ml› De¤iflken 21, 256, 258, 261, 265, 268, 269, 273, 275

Ba¤›ml› Olaylar 85, 86, 87

Ba¤›ms›z De¤iflken 240, 258, 261, 264, 268, 269, 273, 275

Ba¤›ms›z Olaylar 68, 85, 86, 87, 92, 93

Ba¤›ms›z Örneklemler 242

Ba¤›ms›zl›k 239, 240, 241, 242, 243, 244, 246

Ba¤lan›m 253

Basit Do¤rusal Regresyon 252, 253, 255, 256, 257, 258, 259,

261, 262, 263, 264, 265

Basit Fiyat ‹ndeksi 283

Basit ‹ndeks 283, 284, 285, 286, 287, 288

Basit ‹ndekslerin Tart›l› Aritmetik Ortalamas› 284, 287,

288

Basit ‹ndekslerin Tart›s›z Aritmetik Ortalamas› 284, 286

Basit Miktar ‹ndeksi 283

Basit Olay 71, 72, 73, 74

Basit Rassal Örneklem 180, 181, 182, 183, 185, 186, 187, 188,

189, 190, 191, 198, 200

Basit Seri 14, 15, 16, 17, 31, 38, 43, 45, 47, 48, 53, 54, 60, 65

Basit Toplam ‹ndeks 284, 285, 291

Beklenen De¤er 111, 112, 186

Beklenen Frekanslar 241, 243, 244, 245

Belirlilik Katsay›s› 272, 273, 275

Bernoulli Denemesi 118

Betimleme 297

Bileflen Olas›l›k 80, 81, 96, 97

Bileflenlerine Ay›rma Yöntemi 318

Bileflik ‹ndeks 45, 46, 278, 279, 280, 283, 284

Bileflik Olas›l›k 68, 79, 90, 91, 96, 97, 120

Bileflik Olay 71, 72, 73, 74, 75, 95

Bileflik Seri 12, 21, 22, 29, 31, 32, 265

Binom Da¤›l›m› 69, 104, 118, 119, 125, 126, 127, 128, 130, 137,

160, 161, 162, 163, 244, 245

Binom Deneyi 104, 118, 119, 127, 130, 160, 163

Binom Olas›l›k Da¤›l›m› 104, 118, 119, 125, 127, 160

Binom Rassal De¤iflkeni 119, 127

Birikimli Frekans 19, 27, 31, 50

Birikimli Seri 32, 52

Birim 4, 5, 6, 7, 8, 138, 142, 169, 173, 219

Bütünleyici Olaylar 87

Büyük Say›lar Yasas› 77

Büyütme Faktörü 179

C-ÇChebyshev Teoremi 114

Çapraz Tablo 80

Çarp›msal Model 305, 306, 311, 312, 313, 314, 318

Çarpma Kural› 68, 89, 90, 92, 93, 120

Çerçeve 16, 168, 169, 173, 174, 177, 178, 179, 180, 181, 183, 192,

219

Çerçeve Hatas› 174

Çeyrek Y›llar 299, 312, 313, 315

Ǜkarsama 69, 173, 182, 218, 263

Çizgi Grafik 108

Çoklu Regresyon Modeli 255

Çubuk Grafik 22

DDa¤›l›m 13, 19, 59, 77, 80, 90, 119, 128, 129, 130, 137, 138, 140,

141, 142, 143, 218, 220, 263, 274, 297

Da¤›lma Serisi 32

Dalga fiiddeti 299, 305

Dalga Uzunlu¤u 299, 301, 302, 312, 314, 319

De¤iflim Aral›¤› 36, 60, 64

De¤iflim Katsay›s› 36, 62, 63

De¤iflken Esasl› ‹ndeks 282, 283, 290

De¤iflkenlik 36, 37, 59, 60, 62, 63, 204

De¤iflkenlik Ölçüleri 36, 37, 59, 60, 62

-den Az Serisi 31

-den Çok Serisi 32

Deneme 118, 119, 121, 125, 127, 160, 161, 163

Deney 3, 8, 17, 68, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 83, 84, 87,

88, 89, 93, 98, 104, 105, 107, 110, 111, 117, 118, 119, 127, 130, 133, 160,

162, 163, 177, 178, 182, 227

Do¤al Birim 4, 5, 6, 9

Do¤al Olmayan Birim 9

Do¤rusal Model 255, 306, 307, 308

Do¤rusal Regresyon Modeli 252, 269

Do¤rusal Trend 306, 309, 311, 319

Duyarl› Olmayan Ortalama 36, 37, 48, 53

Duyarl› Ortalama 36, 37

Düzeltme Faktörü 161

EE¤ik Seri 57

E¤ilim 36, 37, 53, 256, 279, 297, 298, 299, 300, 308, 309, 319

E¤risel Model 306, 307, 308, 316

E¤risel Trend 306, 307

Elementer Olay 71

En Çok Olabilirlik Yöntemi 256

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 256

En Küçük Kareler Normal Denklemleri 306, 307, 308, 316,

317

Eflit Aral›kl› Zaman Noktalar› 295

Eflit Olas›l›kl› Sonuçlar 75

FFaktöriyel 104, 115, 116

Farkl›l›k 63, 181, 184, 195, 199, 213, 214, 216, 218, 219, 224, 226,

229, 230, 232, 293, 305, 313

Fisher ‹ndeksi 289, 290

Frekans Da¤›l›m› 15, 18, 19, 21, 22, 30, 31, 32, 59, 213, 239, 244,

246, 248, 249

Frekans E¤risi 27, 31

Frekans Poligonu 23, 25, 26, 27, 30, 32

Frekans Serisi 16, 17, 18, 20, 23, 31, 32, 39, 42, 50, 54, 55, 61

GGenel Veri Derleme 8

Geometrik Ortalama 45, 46, 289, 290

Gerçek Birim 5, 6

Gerçek Kütle 6

Göreli S›kl›k Da¤›l›mlar› 77, 105

Göreli S›kl›k Yo¤unluklar› 138

Gözlem Birimi 173, 176, 193

Gözlem De¤eri 16, 22, 39, 42, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 60,

65, 176, 256, 279, 282, 297, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 308, 309, 310,

313, 317, 319, 320

Grupland›r›lm›fl Seri 12, 17

Güncel Çerçeve 180

Güven Aral›¤› 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 263

Güven Düzeyi 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 208

Güven S›n›rlar› 199, 200, 201, 208

Güvenilir Tahmin 199

HH0 Hipotezi 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 225, 226, 227, 229,

232, 233, 234, 239, 242, 243, 248, 274

H1 Hipotezi 234

Hareketli Ortalama 294, 301, 302, 303, 304, 312, 314, 319

Hata Düzeyi 176, 208

Hata Kareler Ortalamas› 262

Hata Terimi 255, 261

Hatalar›n Kareler Toplam› 261

Hatalar›n Varyans› 262

Hipotez 197, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222,

223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 237, 239,

240, 242, 243, 244, 248, 261, 264, 265, 268, 274, 275

Hipotez Testi 212, 213, 214, 218, 219, 220, 223, 228, 265

Histogram 23, 24, 25, 26, 30, 32, 56, 138, 265

Hücre 80

I-‹I. Tip Hata 218, 222

II. Tip Hata 218

‹adeli Rassal Seçim Süreci 181

‹adesiz Rassal Seçim Süreci 181

‹ki Sonuçlu (Kesikli) Bir Rassal De¤iflken 118

‹ki Yönlü Test 222, 224, 229

‹liflki (Ba¤›nt›) 240

‹liflkinin Derecesi 238, 246, 247, 253, 254, 269, 270, 275

‹ndeks 45, 46, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290,

291, 292, 301, 315, 316

‹ndeks Say›s› 285, 290

‹radi Örnekleme 8

‹statistik 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 15, 17, 29, 32, 36, 37, 48, 49, 58, 59,

60, 69, 73, 101, 105, 169, 171, 180, 182, 183, 184, 185, 187, 188, 191, 196,

197, 198, 199, 201, 212, 213, 214, 218, 219, 228, 233, 239

‹statistik Birimi 4

‹statistik Kütlesi 5, 8, 9

‹statistik Serisi 13, 15, 17, 32, 37, 48, 49

‹statistiksel Ç›karsama 182

‹statistiksel Deney 69, 73, 105

‹statistiksel Hipotez 213, 214, 215, 220

‹statistiksel Karar 222, 227, 230

‹statistiksel Tahminleme 197, 198

‹statistiksel Test 214, 215, 228

‹statistiksel Yorumlama 197

Dizin 327

KKamuoyu Araflt›rmas› 163

Karakteristik 3, 80, 169, 184, 185

Karar Verme 172, 197, 218, 220, 235, 302

Kareli Ortalama 37, 46, 47, 48, 60, 62, 66, 191

Karfl›l›kl› (ya da Tamam›yla) Ayr›k Olaylar 83

Karfl›t Hipotez 215, 216, 220, 223, 240, 243

Kartezyen Grafik 296, 297

Kartopu Örneklemesi 179

Kat›fl›k Olay 71, 72

Kesikli Da¤›l›m 104, 105, 106, 107, 108, 111

Kesikli Rassal De¤iflken 104, 105, 106, 107, 111, 113, 118, 119,

126, 128, 137, 160, 161

Kesikli Rassal De¤iflkenin Ortalamas› 104, 111, 113

Kesikli Bir Rassal De¤iflkenin Standart Sapmas› 104, 111,

112, 113, 114

Kesikli Zaman Serisi 295

Kesin olay 74

Kestirici 256, 262

Kestirim 69, 252, 253, 255, 256, 257, 260, 261, 262, 263, 264, 273

Keyfi Seçim Usulü 177

Ki-Kare Ba¤›ms›zl›k Testi 239, 240, 242, 246

Ki-Kare Da¤›l›m› 219

Ki-Kare Homojenlik Testi 242, 243

Ki-Kare Uygunluk Testi 244, 245, 246, 249

K›smi Veri Derleme 8

Klasik Olas›l›k Kural› 75, 78

Kolayda Örnekleme 177, 178

Kombinasyon 104, 115, 116, 117, 304, 305

Konjonktürel Bileflen 295, 300, 304, 305, 309, 310, 312, 314,

317, 319

Konjonktürel de¤iflme 297, 300, 317

Kontenjans Katsay›s› 246, 247, 248

Kontenjans Tablolar› 241

Korelasyon 249, 266, 267, 268, 269, 270

Korelasyon Analizi 267, 269, 276

Korelasyon Katsay›s› 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275

Koflullu Olas›l›k 81, 83, 92

Kota Örneklemesi 178, 193

Kritik De¤er 220, 221, 222, 235, 241, 245

Kura Usulü 179, 180

Kuramsal Frekanslar 245

Kuramsal Olas›l›k 77, 107

Küme Örneklemesi 183, 184

Kütle 5, 6, 7, 8, 9, 107, 121, 169, 173, 174, 175, 177, 179, 180, 181,

184, 185, 187, 188, 190, 191, 192, 197, 198, 199, 201, 204, 206, 213, 214,

215, 216, 223, 227, 230, 239, 242, 244, 255, 263, 274

LLaspeyres ‹ndeksi 289, 290

Liste 14, 15, 32, 72, 79, 107, 108, 116, 174, 179, 208

Logaritmik Dönüflüm 205

MMaddesel Bir Varl›¤a Sahip Birimler 4, 5, 9

Maddesel Varl›¤a Sahip Olmayan Birimler 4

Marjinal Olas›l›k 80

Medyan 48, 49, 50, 51, 52, 53, 57, 65, 66, 307

Medyan S›n›f› 50, 51, 52

Mekan De¤iflkeni 5, 14

Mekan ‹ndeksi 280, 281

Mekan Serisi 14, 32, 280

Merkezi E¤ilim Ölçüleri 36, 37

Merkezi Limit Teoremi 187, 191, 203

Merkezilefltirilmifl Hareketli Ortalama 303, 304, 314

Mevsim ‹ndeksleri 315, 316

Mevsimsel Bileflen 295, 299, 305, 306, 311, 312, 313, 314, 316,

319

Mevsimsel Faktör 305

Mevsimsel Seriler 294, 304, 305, 311, 312

Mod 27, 48, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 66

Mod S›n›f› 54, 55

Mutlak De¤iflkenlik Ölçüleri 62

NNicel Araflt›rma 175

Nicel De¤iflkenler 239

Nitel Araflt›rma 175

Nitel De¤iflken 239, 242

Nokta Tahmini 198, 199

Nokta Tahminlemesi 196, 197, 198, 199, 207, 208

Nokta Tahminleyicisi 198

Normal Da¤›l›m 136, 137, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 147, 148,

150, 151, 152, 155, 156, 157, 158, 160, 161, 162, 163, 176, 187, 191, 200,

201, 202, 204, 206, 208, 217, 218, 219, 220, 221, 223, 224, 225, 226, 228,

229, 231, 234, 235, 274

Normal Denklemler 257, 258, 306, 307, 308, 317

Normal E¤ri 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 156, 157,

158, 159, 202, 220, 221, 232, 266

Normal Olas›l›k Da¤›l›m› 137, 140, 141

Normal Rassal De¤iflken 140

O-ÖOlanaks›z Olay 74

Olas›l›¤›n Göreli S›kl›k Kavram› 75, 76, 77

Dizin328

Olas›l›k 69, 70, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 107, 108, 118, 125, 128,

132, 137, 140, 156, 160, 199, 213, 215, 218, 245, 249

Olas›l›k Da¤›l›m› 104, 105, †106, 107, 108, 109, 110, 112, 113,

115, 118, 120, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 131, 133, 134, 135, 136,

137, 138, 139, 140, 160, 185

Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Ortalamas› 112

Olas›l›k Düzeyi 199, 229, 235

Olas›l›k Yo¤unluk Fonksiyonu 138

Olas›l›kl› Olmayan Örnekleme 168, 174, 175, 184

Olas›l›kl› Örnekleme 168, 169, 174, 179, 180, 184

Olay 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 37, 68, 69, 71, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81,

82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 100, 101, 110,

120, 129, 132, 173, 279, 281, 300

Olaylar›n Ara Kesiti 68, 89

Olaylar›n Bileflimi 68, 95, 96

Oranlar›n Ortalamas› 45

Oranlar›n Örnekleme Da¤›l›m› 189, 191, 193, 231, 233

Oranl› Ölçek 215

Oransal Büyüklük 225

Oransal De¤iflim 279, 280, 281, 283

Ortalama 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 53, 57,

59, 60, 111, 112, 128, 132, 141, 142, 147, 156, 158, 169, 175, 185, 186, 187,

190, 192, 198, 199, 201, 202, 204, 206, 213, 215, 223, 228, 253, 262, 280,

281, 285, 286, 289, 302, 314

Ortalama ‹liflki 253

Ortalamalar Orijini 258, 259, 260

Ortalamalar›n Ortalamas› 45

Önerme 213, 214

Öngörü 8, 69, 78, 164, 245, 294, 295, 302, 304, 306, 311, 312, 318

Örneklem 3, 8, 9, 60, 69, 75, 169, 171, 172, 173, 174, 177, 178, 179,

180, 181, 183, 184, 185, 187, 188, 190, 191, 192, 198, 199, 201, 204, 206,

213, 218, 219, 220, 227, 231, 263, 264, 273, 274, 275

Örneklem Hacmi 76, 78, 168, 174, 175, 176, 177, 178, 182, 183,

186, 187, 193, 201, 204, 206, 219, 224, 227, 228, 229, 231, 234, 245

Örneklem ‹statisti¤i 171, 176, 184, 188, 192, 197, 200, 208, 214,

216, 217, 218, 219, 220, 221, 223, 231, 242

Örneklem ‹statisti¤inin Örnekleme Da¤›l›m› 184

Örneklem Oran› 168, 181, 189, 190, 193, 206, 230, 231, 232, 234

Örneklem Oran›n›n Örnekleme Da¤›l›m› 232

Örneklem Uzay› 68, 69, 70, 71, 74, 75, 89, 95, 101

Örneklem Varyans› 179, 189

Örnekleme 8, 169, 171, 172, 173, 174, 175, 177, 178, 179, 180, 181,

182, 183, 184, 185, 188, 190, 191, 192, 197, 202, 206, 213, 214, 218, 219,

220, 228, 231, 255, 263

Örnekleme Birimi 173, 180, 193

Örnekleme Da¤›l›m› 168, 184, 185, 186, 187, 190, 191, 192, 193,

197, 200, 201, 202, 206, 263

Örnekleme Da¤›l›m›n›n Varyans› 187, 190

Örnekleme D›fl› Hatalar 168, 172, 191, 192

Örnekleme Hatas› 168, 172, 180, 182, 191, 192, 216, 222, 230,

232

Örnekleme Oran› 187, 190, 202, 203

Örnekleme Plan› 173, 174, 184, 190, 191, 193

Örnekleme Teorisi 213

P-RPaasche ‹ndeksi 289, 290

Parametre 3, 130, 133, 134, 141, 158, 159, 161, 169, 171, 180, 181,

182, 185, 188, 191, 192, 193, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 208, 212, 213,

214, 215, 216, 219, 222, 223, 244, 245, 252, 255, 256, 262, 263, 264, 304,

305, 306, 308

Parametre Tahminleyicisi 182

Parametrik Hipotez Testleri 215

Parametrik Olmayan Hipotez Testleri 215

Poisson Olas›l›k Da¤›l›m› 129, 130, 131, 133, 134

Poligon 23, 25, 26, 27, 32, 138, 266

Rassal Aral›k 199

Rassal Bileflen 295, 300, 302, 304, 305, 309, 310, 311, 312, 313,

314, 317, 318, 319

Rassal Dalgalanma 299

Rassal De¤iflken 105, 106, 107, 108, 111, 112, 118, 126, 128, 129,

137, 140, 142, 147, 152, 160, 161, 185, 186, 187, 189, 190, 191, 198, 199,

201, 226, 244, 248, 249

Rassal De¤iflme 297, 300, 301

Rassal Örneklem 8, 179, 180, 181, 182, 183, 185, 186, 187, 188,

189, 190, 191, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 206, 208, 214, 219, 235,

242

Rassal Örnekleme 179, 180, 181, 182, 183, 186, 187, 189, 190

Rassal Örnekleme Yöntemi 181

Rassal Say›lar Tablosu 179, 180

Rassal Seçim 179, 180, 181, 182, 184, 206, 208

Red Bölgesi 216, 217, 218, 220, 221, 222, 224, 225, 226, 227, 229,

231, 232, 233, 235, 241, 242, 245, 248, 266

Regresyon 249, 252, 253, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262,

263, 264, 267, 269, 270, 271, 272, 273, 275, 276

Regresyon Analizi 253, 255, 256, 264

Regresyon Çözümlemesi 253, 263

Regresyon Denklemi 252, 253, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262,

264, 266, 272

Regresyon Do¤rusu 255, 258, 259, 264, 273

Regresyon Katsay›s› 256, 258, 260, 263, 264, 266, 271, 272, 275

Regresyon Sabiti 264

S-fiSabit Esasl› ‹ndeks 281, 282

Sabit Terim 255

Sadelefltirilmifl Normal Denklem 307

Say›sal (Nicel) De¤iflkenler 239

Say›sal Karakteristik 3, 169, 184, 185

Dizin 329

Say›sal Olmayan De¤iflken 238, 239, 241

Sayma Kural› 79

Serbestlik Derecesi 204, 205, 208, 228, 239, 241, 242, 243, 244,

245, 246, 248, 249, 261, 262, 263, 264

Seri 13, 14, 19, 21, 22, 23, 27, 29, 37, 43, 45, 46, 48, 53, 57, 59, 60,

62, 257, 259, 280, 281, 283, 295, 297, 299, 300, 302, 305, 306, 307, 308,

309, 310, 311, 312, 313, 316, 317

Serpilme Diyagram› 29, 32, 252, 253, 254, 255, 256, 266, 273,

296

S›f›r Hipotezi 213, 215, 216, 218, 219, 223, 224, 228, 229, 231, 235,

240, 242, 243, 248, 266, 275

S›kl›k Da¤›l›mlar› 77, 105, 107

S›n›f Aral›¤› 18, 23, 27, 30, 32, 54, 55

S›n›fland›r›lm›fl Seri 12, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 31, 32, 40, 41,

43, 46, 50, 51, 55, 56, 61, 62

S›n›flay›c› Ölçek 215

S›ralay›c› Ölçek 215

Simetrik Da¤›l›m 145, 160, 191, 204, 228

Sistematik Hata 179, 180, 190

Sistematik Örneklem 183, 184

Sistematik Seçim 179, 180

Sonlu (Belirli) Kütle 6

Sonsuz Kütle 6

Sosyal Araflt›rmalar 177

Standart Birim 142

Standart De¤iflken 187, 191, 204

Standart Hata 168, 186, 187, 190, 191, 192, 199, 200, 201, 202,

203, 204, 205, 206, 207, 208, 219, 226, 228, 232, 234, 235, 252, 261, 262,

263, 264, 265, 274, 275, 308

Standart Normal Da¤›l›m 136, 141, 142, 143, 146, 147, 149,

152, 153, 156, 157, 161, 163, 164, 176, 200, 204, 206, 221, 225, 226, 228,

232, 234

Standart Sapma 36, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 104, 105, 111, 112, 113,

114, 115, 126, 127, 128, 132, 140, 141, 142, 147, 156, 158, 186, 187, 189,

202, 203, 228

Standart Skor 142

Standartlaflt›rma 147

Stokastik (Olas›l›kl›) Model 255

Student t Da¤›l›m› 137

Sürekli Birim 4, 9

Sürekli Da¤›l›m 204

Sürekli Kütle 6, 9

Sürekli Rassal De¤iflken 104, 106, 137, 138, 139, 148, 150, 151,

153, 159, 164

Sürekli Veri Derleme 7

Süreklilik Düzeltmesi 161, 162

Süreksiz Kütle 6, 9

fians De¤iflkeni 105

fi›k 3, 5, 6, 7, 13, 14, 17, 32

Tt ‹statisti¤i 204, 264, 274, 275

t Örnekleme Da¤›l›m› 263

t testi 229

Tabaka 178, 182, 193

Tabakalama De¤iflkeni 182

Tabakalama Kriteri 178

Tabakalar ‹çi Varyans 182

Tabakal› Örnekleme 181, 182

Tahmin 191, 197, 198, 199, 206, 208, 228, 256, 261, 265, 306, 307,

308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319

Tahmin Hatas› 265

Tahminin Güvenilirli¤i 199

Tahminleme 181, 191, 195, 196, 197, 198, 199, 201, 211, 309, 312

Tamamlay›c› Olaylar 68, 87, 88

Tamsay›m 168, 169, 170, 171, 172, 173, 214

Tan›m Aral›¤› 137

Tart› 44, 286, 287, 289

Tart›l› Aritmetik Ortalama 43, 288

Tek Modlu Seriler 57

Tek Yönlü Alt Kuyruk Testi 216

Tek Yönlü Üst Kuyruk Testi 231

Temel De¤er 279, 280

Temel Devre Fiyat› 283, 286

Temel Devre Miktar› 283, 287, 289

Temel Faktörler 297

Temel Y›l Fiyat› 286

Temsili Örneklem 171, 177, 179

Test ‹statisti¤i 216, 219, 220, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230,

231, 232, 234, 235, 241, 242, 243, 247, 248, 264, 266, 274, 275

Testin Anlaml›l›k Düzeyi 218

Testin Yönü 216

Tipik Olay 3

Toplamsal Model 305

Trend 295, 297, 298, 299, 300, 301, 304, 305, 306, 307, 308, 309,

310, 311, 312, 313, 314, 316, 317, 318, 319

Trend Bilefleni 295, 297, 305, 306, 308, 309, 310, 311, 313, 316,

319

U-ÜUzun Dönemli Etkiler 297

Üst Tahminleme 191

VVarsay›msal Birim 5, 6

Varsay›msal Kütle 6, 9

Varyans 10, 62, 64, 66, 113, 134, 135, 164, 176, 179, 181, 182, 187,

189, 190, 199, 201, 252, 256, 261, 262, 266

Dizin330

Venn Diyagram› 70, 72, 87, 88, 89

Veri 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 18, 22, 30, 37, 76, 78, 115, 169, 170, 172,

175, 177, 181, 183, 192, 218, 317, 319

Veri Derleme 2, 6, 7, 8, 9, 169, 172, 175, 181, 192, 218

YYaklafl›k Olas›l›k 77, 107, 138, 160

Yaklafl›k Olas›l›k ‹çin Göreli S›kl›k 77

Yan›lg› Pay› 176

Yan›lt›c› Faktörler 294, 297, 300, 301, 305, 306, 308, 314

Yanl›l›k 180

Yans›z Tahmin 200, 202

Yarg›sal Örnekleme 178

Y›¤›n Olay 3, 4, 5, 7, 13

Y›ll›k Zaman Serisi 296, 306, 313, 317

Yo¤unluk Fonksiyonu 138

Yorumsal ‹statistik 213, 214

Zz Da¤›l›m› 219

z De¤erleri 142, 147, 148, 152, 154, 157, 162, 202, 221

z ‹statisti¤i 224

z Rassal De¤iflkeni 147

z Skorlar› 142

z Testi 215, 226

Zaman De¤iflkeni 5, 13, 14, 137, 295, 296, 297, 307

Zaman ‹ndeksi 281

Zaman Serilerini Etkileyen Faktörler 294, 295, 297

Zaman Serisi 13, 32, 280, 281, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 301,

302, 304, 305, 306, 307, 308, 310, 311, 314, 318, 319, 320

Zaman Serisi Bileflenleri 297, 301, 302, 304, 305

Zaman Serisi Çözümlemesi 294, 295, 301, 302, 304

Zincirleme ‹ndeks 282

Dizin 331