Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej

Elementy statystyku opisowejSzereg rozdzielczy punktowy

Średnie klasyczne

Statystyka opisowa. Wykład I.

Elementy statystyki opisowej

Edward Kozłowski

e-mail:[email protected]

Edward Kozłowski Elementy statystyki opisowej


Średnie klasyczne

Spis treści

1 Elementy statystyku opisowej

2 Szereg rozdzielczy punktowy

3 Średnie klasyczne



Średnie klasyczne

Elementy statystyku opisowej

Definicja

Statystyka jest to nauka o metodach badania prawidłowościwystępujących w zbiorowościach.

Statystyka matematyczna zajmuje się opisywaniem i analizązjawisk masowych za pomoca metod rachunku prawdopodobieństwa.

Statystyka opisowa zajmuje się wstępnym opracowaniem próbkibez posługiwania się rachunkiem prawdopodobieństwa.



Średnie klasyczne


Definicja






Średnie klasyczne


Definicja






Średnie klasyczne

Metody statystyki:

· opis statystyczny· wnioskowanie statystyczne

Opis statystyczny jest to liczbowy opis badanych zbiorowości:· opis tabelkowy (szeregi, tablice)· opis graficzny (wykresy)· opis parametryczny (charakterystyki liczbowe, parametry, średnie,dominanta, mediana).

Wnioskowanie statystyczne wykorzystuje się, gdy badaniustatystycznemu nie jest poddawana cała zbiorowość (tzw.populacja), tylko część tej zbiorowości wybrana na drodze losowania(tzw. próba losowa). Wnioskowanie statystyczne polega nauogólnieniu wyników otrzymanych w badaniu próby losowej na całąpopulację, z której ta próba pochodzi.



Średnie klasyczne

Metody statystyki:






Średnie klasyczne

Metody statystyki:






Średnie klasyczne

Podmiotem badania statystycznego jest zbiorowość statystyczna.Zbiorowość statystyczna (zwana także populacją lub populacją generalną)jest to jednoznacznie określony zbiór osób, przedmiotów lub zdarzeńpoddanych badaniom statystycznych.Elementy badanej zbiorowości nazywamy jednostkami statystycznymi.Jednostki wchodzące w skład badanej zbiorowości odznaczają siępewnymi właściwościami, które nazywają się cechami statystycznymi(stałe lub zmienne).

Wśród metod analizy statystycznej można wyróżnić trzy podstawowe:

metody analizy struktury zbiorowości

metody analizy współzależności

metody analizy dynamiki (tzn. zmiana zjawisk w czasie).



Średnie klasyczne








Średnie klasyczne








Średnie klasyczne








Średnie klasyczne

Właściwości wspólne (identyczne) jednostek statystycznychwchodzących w skład jednej zbiorowości, nazywamy cechamistałymi.Wyróżniamy trzy rodzaje cech stałych:· cecha rzeczowa – co lub kto jest przedmiotem badania· cecha przestrzenna – gdzie występują i skąd pochodzą jednostkibadania· cecha czasowa – z jakiego okresu lub momentu pochodzą jednostkibadani

Cechy zmienne – to właściwości, którymi różnią się poszczególnejednostki statystyczne.Wyróżniamy następujące rodzaje cech zmiennych:· cechy jakościowe – (opisowe/niemierzalne) nie dają się zmierzyć,lecz tylko pisać słownie· cecha (liczbowe lub mierzalne) dają się zmierzyć, wynik pomiaruwyrażamy za pomocą liczb w odpowiednich wymiarach (jednostkach)



Średnie klasyczne

Właściwości wspólne (identyczne) jednostek statystycznychwchodzących w skład jednej zbiorowości, nazywamy cechamistałymi.Wyróżniamy trzy rodzaje cech stałych:· cecha rzeczowa – co lub kto jest przedmiotem badania· cecha przestrzenna – gdzie występują i skąd pochodzą jednostkibadania· cecha czasowa – z jakiego okresu lub momentu pochodzą jednostkibadani

Cechy zmienne – to właściwości, którymi różnią się poszczególnejednostki statystyczne.Wyróżniamy następujące rodzaje cech zmiennych:· cechy jakościowe – (opisowe/niemierzalne) nie dają się zmierzyć,lecz tylko pisać słownie· cecha (liczbowe lub mierzalne) dają się zmierzyć, wynik pomiaruwyrażamy za pomocą liczb w odpowiednich wymiarach (jednostkach)



Średnie klasyczne

Klasyfikacja badańZe względu na regularność przeprowadzanych badań statystycznychwyróżniamy:

badania ciągłe

badania okresowe

badania doraźne



Średnie klasyczne


badania ciągłe

badania okresowe

badania doraźne



Średnie klasyczne


badania ciągłe

badania okresowe

badania doraźne



Średnie klasyczne

Etapy badań

programowanie badania obejmuje następujące czynnościprzygotowawcze:– określenie przedmiotu badania (zbiorowości statystycznej)– określenie zakresu badania (cech zmiennych)– określenie metody działania (pełne lub częściowe).

obserwacje statystyczne polegają na gromadzeniu informacji ocechach zmiennych u wszystkich jednostek zbiorowości (badaniapełne lub w próbie – badanie częściowe). Uzyskany w ten sposóbzbiór danych nazywamy materiałem statystycznym.

opracowanie i prezentacja wyników obserwacji statystycznej polegana gromadzeniu surowego materiału, który następnie jestopracowywany (celowi temu służy podporządkowanie danychklasyfikacja cech zmiennych) i odpowiednio prezentowany (w formieszeregów, tablic lub wykresów).

analiza statystyczna wykorzystuje metody opisów statystycznych imetody wnioskowania statystycznego do wykrycia prawidłowości (lubnieprawidłowości) występujących w danej zbiorowości.



Średnie klasyczne

Etapy badań







Średnie klasyczne

Etapy badań







Średnie klasyczne

Etapy badań







Średnie klasyczne

Szereg rozdzielczy

Definicja

Szeregiem rozdzielczym – nazywamy uporządkowany i pogrupowanymateriał statystyczny.

Niechx1, ..., xn

będzie n−elementową próbką, gdzie n <= 30 oraz elemnty powtarzająsię. Jako klasy definiujemy rózne elementy z tej próby.Liczbę elementów próbki zawartych i i−tej klasie nazywamy liczebnością i

oznaczany jako nj . Oczywiściek∑j=1

nj = n.



Średnie klasyczne

Otrzymany szereg przedstawiamy w postaci histogramu, gdzie na osipoziomej zaznaczamy klasy xj , j = 1, ..., k, a na osi pionowej liczebnośćnj .Na osi pionowej czasami zaznaczamy częstotliwość

wj =njn

lub procentyvj =

wjb

Łącząc punkty o współrzędnych(x1 − b, 0) , (x1, w1) , (x2, w2) , ..., (xk, wk) , (xk + b, 0) lub(1 − b, 0) , (x1, v1) , (2, v2) , ..., (xk, vk) , (xk + b, 0) otrzymujemy łamanączęstości.



Średnie klasyczne

Przykład 1.Dla populacji 5.3, 5.2, 5.7, 5.6, 5.6, 5.5, 5.4, 5.1, 5.5, 5.7, 5.6, 5.6, 5.6,5.6, 5.6, 5.4, 5.6, 5.5, 5.1, 5.2, 5.4, 5.3 utwórz szereg rozdzielczy, narysujhistogram i łamaną częstości.Rozwiązanie.Zatem szereg rozdzielczy jest postaci

xi ni wi1 5.1 2 0.092 5.2 2 0.093 5.3 2 0.094 5.4 3 0.145 5.5 3 0.146 5.6 8 0.367 5.7 2 0.09∑

22 1



Średnie klasyczne

Rysunek: Histogram.

Rysunek: Łamana częstości.Edward Kozłowski Elementy statystyki opisowej


Średnie klasyczne

Szereg rozdzielczy przedziałowy

Rozstępem badanej cechy X nazywamy różnicę

R = xmax − xmin

gdzie xmax i xmin oznaczają odpowiednio wartość największą inajmniejszą w próbce.

Przy większej liczebności próbki (n 30) wartości próbki grupujemy wklasy (przedziału o jednakowej długości, gdzie zakładamy że wartościznajdujące się w danej klasie są identyczne ze środkiem tej klasy).



Średnie klasyczne

Liczbę klas k ustalamy w zależności od liczebności próby

k ¬ lnn, k ≈ 1 + 3.322 lnn, k ≈√n

Długość klasy określamy jako

b ≈ R

k

(przybliżenie z nadmiarem, czyli bk R). Punkty stanowiące granice klasustala się zwykle z dokładnością do 12α, gdzie α− oznacza dokładność.Klasy ustalamy jako(

xmin −12α+ bj, xmin −

12α+ b (j + 1)

)gdzie j = 0, ..., k − 1.



Średnie klasyczne

Jeżeli liczebność n 30 (dokonujemy podziału na klasy) to dokonuje sięgrupowania, w wyniku którego otrzymujemy szereg rzdzielczy, pary liczb:środki klas xj oraz liczebność nj . Sposób w jaki liczebności są rozłożonew poszczególnych klasach nazywamy rozkładem liczebności badanejcechy.Otrzymany szereg przedstawiamy w postaci histogramu, gdzie na osipoziomej zaznaczamy środki klas xj , j = 1, ..., k (lub granice klas(xj − 12b, xj + 1

2b)) a na osi pionowej liczebność nj . Na osi pionowej

czasami zaznaczamy częstotliwość

wj =njn

lub procentyvj =

wjb

Łącząc punkty o współrzędnych(x1 − b, 0) , (x1, w1) , (x2, w2) , ..., (xk, wk) , (xk + b, 0) lub(x1 − b, 0) , (x1, v1) , (x2, v2) , ..., (xk, vk) , (xk + b, 0) otrzymujemyłamaną częstości.



Średnie klasyczne

Przykład 2.Zapotrzebowanie na dobro (w tys. szt.) w kolejnych miesiącach I.2006 –VI.2008 kształtowało się na poziomie: 53, 54, 57, 50, 68, 49, 59, 62, 54,55, 52, 52, 55, 47, 53, 61, 64, 54, 57, 59, 53, 58, 59, 51, 49, 45, 47, 52,50, 51. Utwórz szereg rozdzielczy, narysuj histogram i łamaną częstości.Rozwiązanie.Dla powyższej próbki mamy xmin = 45 oraz xmax = 68 natomiast rozstępR = 23. Jako liczbę klas k = 6

(k ≈√

30), natomiast długość klasy

b = 4(b ≈ 236

)a dokładność przyjmujemy α = 1 (ponieważ wyniki mamy

z dokładnością do wartości jednostkowych). Zgodnie z powyższym szeregrozdzielczy jest postaci

klasy xi ni wi1 (44.5; 48.5) 46.5 3 0.12 (48.5; 52.5) 50.5 9 0.33 (52.5; 56.5) 54.5 8 0.274 (56.5; 60.5) 58.5 6 0.25 (60.5; 64.5) 62.5 3 0.16 (64.5; 68.5) 66.5 1 0.03∑

30



Średnie klasyczne

Rysunek: Histogram.

Rysunek: Łamana częstości.Edward Kozłowski Elementy statystyki opisowej


Średnie klasyczne

Średnie klasyczne

Średnią arytmetyczną liczb x1, ..., xn nazywamy

x =1n

n∑i=1

xi

lub średnią arytmetyczną warzoną

x =1n

k∑i=1

xini

gdzie ni− liczebość wyniku (lub klasy) xi.



Średnie klasyczne

Średnią geometryczną dodatnich liczb liczb x1, ..., xn nazywamy

g = n

√√√√ n∏i=1

xi = n√x1 · ... · xn

lub średnią geometryczną ważoną

g = n

√√√√ k∏i=1

xnii = n

√xn11 · ... · x

nkn




Średnie klasyczne

Średnią harmoniczną liczb x1, ..., xn różnych od zera nazywamy

h =

(1n

n∑i=1

1xi

)−1lub średnią harmoniczną warzoną

h =

(1n

k∑i=1

nixi

)−1




Średnie klasyczne

Przykład 3.Średnia arytmetyczna dla zbiorowości z przykładu 1

xi ni xini1 46.5 3 139.52 50.5 9 454.53 54.5 8 4364 58.5 6 3515 62.5 3 187.56 66.5 1 66.5∑

30 1635wynosi

x =163530

= 54.5


Documents

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej