Statystyka opisowa

Robert Pietrzykowskiemail: robert_pietrzykowski@sggw.pl

www.ekonometria.info

2

Statystyka jest jak kostium bikini: pokazuje wiele, ale nie pokazuje najwa żniejszego.

Aaron Levenstein

Jeśli mój s ąsiad codziennie bije swoj ą żonę, ja zaś nie bij ę jejnigdy, to w świetle statystyki obaj bijemy je co drugi dzie ń.

George Bernard Shaw

Śmier ć jednostki to tragedia - milion zabitych to tylko st atystyka.Józef Stalin

• Sprawy bieżące

• Prowadzący

• Zasady zaliczenia

• Konsultacje

• Inne

3

Na dziś…

Sprawy ogólne czyli co nas czeka…

• Zaliczenie przedmiotu

– Część ćwiczeniowa – praktyczna

– Część wykładowa - teoretyczna

• Obecność na zajęciach– Dopuszczalna liczba nieobecność na zajęciach wynosi 20%

z całości. Powyżej tej liczby student zostaje skreślony z listy studentów i jest nie klasyfikowany. (8 zjazdów czyli 20% to 1,6 zjazdu, a zatem uznajemy 1 nieobecność na zajęciach jako dopuszczalną)

Zasady zaliczenia przedmiotuKażda część przedmiotu (ćwiczenia, wykład) musi zostać zaliczona na

minimum 51%

Część ćwiczeniowa – praktyczna:

Dwa sprawdziany (po 20 pkt) w laboratoriach komputerowych. Zaliczenie od 21 pkt (max. 40 pkt).

Część wykładowa – teoretyczna:

Trzy sprawdziany (po 20 pkt) w trakcie semestru na wykładach (test wielokrotnego wyboru lub test uzupełnień). Zaliczenie od 31 pkt (max. 60 pkt).

Punkty dodatkowe:Osoby z pierwszej 10 (lista rankingowa) uzyskują dodatkowe punkty wynikające z pozycji na liście i tak: pierwsza osoba z listy 10pkt, druga 9pkt itd.. Lista pierwszej 10 zostaje zamknięta po drugim sprawdzianie na ćwiczeniach. Dodatkowe punkty można wykorzystać w dowolnej części przedmiotu (ćwiczenia lub egzamin).

Data Zjazd Ćwiczenia Data Wykład

20

14

27-09-14 1Szereg szczegółowy. Miary położenia i

zmienności.26-09-14

Wstęp. Miary położenia i zmienności. Rozkłady normalny.

11-10-14 2Szereg rozdzielczy. Miary położenia i

zmienności. Asymetria i kurtoza.10-10-14 Wsp. Giniego, asymetria i kurtoza

25-10-14 3 Wsp. Giniego. Indeksy proste. 24-10-14SPRAWDZIAN I.

Indeksy proste i złożone.

15-11-14 4 SPRAWDZIAN PIERWSZY 14-11-14 Szeregi czasowe

29-11-14 5 Indeksy agregatowe 28-11-14 Korelacja i regresja.

13-12-14 6 Szeregi czasowe. 12-12-14SPRAWDZIAN II.

Statystyka matematyczna. Estymatory.

20

15

10-01-15 7 Korelacja i regresja. 09-01-15Przedziały ufności. Hipotezy

statystyczne.

24-01-15 8 SPRAWDZIAN DRUGI 23-01-15 Repetytorium. SPRAWDZIAN III.

06-02-15 SESJA

14-02-15Sesjapop

POPRAWA ĆWICZEŃ 13-02-15SESJA POP.

Poprawa wykładu

Literatura

• Wasilewska E. (2009): Statystyka opisowa od podstaw, Wydawnictwo SGGW

• Piłatowska M. (2006): Repetytorium ze statystyki, PWN• Aczel A. D. (2006): Statystyka w zarządzaniu, PWN• Sobczyk M. (2005): Statystyka, PWN• Parlińska M., Parliński J. (2011): Statystyczna analiza danych

z Excelem, Wydawnictwo SGGW• Kisielińska J., Skórnik-Pokorowska U. (2005): Podstawy

statystyki z przykładami w Excelu, Wydawnictwo SGGW

• materiały wykładowe • www.ekonometria.info, www.statystyka.info• www.ibuk.pl

ZADANIE PROBLEMOWE 1• Dane pochodzą z GUS. Obserwujemy liczbę

bezrobotnych mężczyzn i kobiet w okresie od 2005 do 2010 roku. Zadanie 1 to porównanie liczby bezrobotnych ze względu na płeć. Zadanie 2 to określenie dynamiki zmian liczby bezrobotnych w latach.

• Zbiorowość statystyczna podlegając badaniu to bezrobotni w Polsce. Cechy badane to: liczba bezrobotnych mężczyzn i liczba bezrobotnych kobiet. Obserwowane cechy są ilościowe, skokowe.

• Narzędzia statystyczne: miary zróżnicowania (odchylenie standardowe), położenia (średnia i mediana), średnia geometryczna.

Miary Mężczyźni Kobiety

średnia 92993,3 97791,4

Me 87883 96710

S 36797,3 39307,4

Tabela 1. Porównanie liczby bezrobotnych mężczyzn i kobiet na podstawie wybranych wskaźników w I kwartale roku 2006

W roku 2006 średnio liczba bezrobotnych mężczyzn była mniejsza niż bezrobotnych kobiet. Typowy obszar zmienności dla mężczyzn wynosił (56 196; 129 791), a dla kobiet (58 484; 137 099).

Zmiany liczby bezrobotnych w latach 2005 - 2010 na koniec I kwartału

Dla mężczyzn i kobiet obliczono tempo zmian w badanym okresie (2005 - 2010). Srednia geometryczna dla mężczyzn wyniosła 0,9345, a dla kobiet 0,9172. Oznacza to, że z roku na rok w pierwszym kwartale malała liczba bezrobotnych kobiet i mężczyzn odpowiednio o 8,3% i 6,6%.

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

2005 2006 2007 2008 2009 2010

Mężczyźni

Kobiety

Anex

• Wzory wykorzystanych miar statystycznych

• Wykorzystane pozycje literatury

– (Piłatowska M. (2006): Repetytorium ze statystyki, PWN, str. 12 def. typowy obszar zmienności)

– (Kobus P. Statystyka opisowa wykład 2. Miary położenia i zmienności, http://www.statystyka.info dn. 29.09.2013, str. 1 wzór średniej)

ZADANIE PROBLEMOWE 2• Dane zebrano od studentów WNE z II roku

Zarządzania. Obserwujemy wzrost mężczyzn i kobiet z WNE II roku Zarządzania niestacjonarnych. Zadanie to graficzna prezentacja badanego zjawiska.

• Zbiorowość statystyczna podlegając badaniu to studenci z WNE II roku Zarządzania niestacjonarnego. Cechy badane to: wzrost studentów [w cm]. Obserwowane cecha jest ilościowa, ciągła.

• Dane zestawiono w szeregu rozdzielczym.

• Narzędzia statystyczne: histogram, wykres kołowy, graficzna, krzywa częstości, graficzna prezentacja typowego obszaru zmienności.

Szereg szczegółowy

• 175 167 163 163 150 166 180 183 186 169 190 177 170 180 170 167 191 181 171 165 175 165 166 169 162 181 167 169 173 190 165 191 157 164 162 159 180 173 171 184 173 175 158 166 164 173 165 171 167 163 165 196 172 162 157 164 168 186 171 158 183 154 191 166 186 184 172 160 177 169 183 160 152 175 177 162 170 185 161 182 165 185 168 172 160 167 179 167 175 165 190 173 179 178 177 162 170 180 162 176

Szereg rozdzielczy Wzrost studenta

(przedział)X_d X_g n_i w_i

150 - 154,6 150 154,6 3 0,03

154,6 - 159,2 154,6 159,2 5 0,05

159,2 - 163,8 159,2 163,8 13 0,13

163,8 - 168,4 163,8 168,4 22 0,22

168,4 - 173 168,4 173 15 0,15

173 - 177,6 173 177,6 15 0,15

177,6 - 182,2 177,6 182,2 10 0,1

182,2 - 186,8 182,2 186,8 10 0,1

186,8 - 191,4 186,8 191,4 6 0,06

191,4 - 196 191,4 196 1 0,01

Razem 100 1

0

5

10

15

20

25

3% 5%

13%

22%

15%

15%

10%

10%

6%

1%

Wzrost studenta

(przedział)X_d X_g n_i w_i

150 - 154,6 150 154,6 3 0,03

154,6 - 159,2 154,6 159,2 5 0,05

159,2 - 163,8 159,2 163,8 13 0,13

163,8 - 168,4 163,8 168,4 22 0,22

168,4 - 173 168,4 173 15 0,15

173 - 177,6 173 177,6 15 0,15

177,6 - 182,2 177,6 182,2 10 0,1

182,2 - 186,8 182,2 186,8 10 0,1

186,8 - 191,4 186,8 191,4 6 0,06

191,4 - 196 191,4 196 1 0,01

Razem 100 1

0

5

10

15

20

25

Rozkład empiryczny badanego zjawiska przedstawiono na histogramie. Najliczniejsza grupa 22 studentów to studenci o wzroście od 163,8 do 168,4. Stanowi to 22% całej badanej zbiorowości. Najmniej liczne grupy studentów to najniżsi studenci (3 osoby 150 – 154,6cm) i najwyżsi (1 student 191,4 do 196cm). W oparciu o uzyskany wykres można mówić o prawostronnej asymetrii.

0

5

10

15

20

25

150 - 154,6 154,6 - 159,2 159,2 - 163,8 163,8 - 168,4 168,4 - 173 173 - 177,6 177,6 - 182,2 182,2 - 186,8 186,8 - 191,4 191,4 - 196

0

5

10

15

20

25

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200

Średnia = 171,58S2 = 90,88S = 9,53

171,58 - 9,53 = 162,05; 171,58 - 9,53 = 181,11

Wzrost 68% studentów jest z zakresu od 162,05 do 181,11 cm.

STATYSTYKA OPISOWA

• Statystyka opisowa to dział statystykizajmujący się metodami opisu danychstatystycznych uzyskanych podczas badaniastatystycznego. Celem stosowania metodstatystyki opisowej jest podsumowanie zbiorudanych i wyciągnięcie pewnych podstawowychwniosków i uogólnień na temat zbioru.

STATYSTYKA

STRUKTURA ZJAWISK

MASOWYCH STRUKTURY

ZALEŻNOŚCI

DYNAMIKI

DYNAMIKA ZJAWISK

MASOWYCH

ZALEŻNOŚCI ZJAWISK

MASOWYCH

OPISOWA MATEMATYCZNA

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W ZAKRESIE

21

STATYSTYKA

ZJAWISK MASOWYCH

rachunkiem prawdopodobie ństwa

22

• PŁEĆ• WZROST• WAGA• LICZBA DZIECI• ZAROBKI• ODŻYWIANIE• KOLOR OCZU

BADANIE PEŁNE

Jakie ma dochody przeci ętny Kowalski?Jak wygl ąda przeci ętny Kowalski?Jak od żywia si ę przeci ętny Kowalski?

POPULACJA ZBIÓR OBIEKTÓW OBJ ĘTYCH BADANIEM STATYSTYCZNYM Z WYRÓŻNIONĄ CECHĄ WSPÓLNĄ

STATYSTYKA OPISOWA

23

POPULACJA

BADANIE WYRYWKOWEREPREZENTACYJNE

PRÓBA

WYBRANA CZĘŚĆ POPULACJI PODLEGAJ ĄCA BADANIU

JAKI WZROST MA PRZECI ĘTNY KOWALSKI ?Jaki s ą zarobki przeci ętnego Kowalskiego?

24

POPULACJA

PRÓBA 153

160

176

175

166

DOŚWIADCZALNICTWO

STAT. MATEMATYCZNA

ANALIZA WYNIKÓW WNIOSKOWANIE STAT.BŁĘDY STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STAT. O POPULACJI

JAKI WZROST MA PRZECI ĘTNY KOWALSKI ?Jaki s ą zarobki przeci ętnego Kowalskiego?

Etapy badania statystycznego

Etapy badania

Opis statystyczny•Miary średnie

•Miary zróżnicowania

•Miary asymetrii

Przygotowania

Obserwacje

• Materiał pierwotny i wtórny

• Weryfikacja materiału

Opracowanie• Porządkowanie

• Prezentacja

• Szeregi

• Tabele

• wykresy 1) Cel2) Jednostka statystyczna3) Zbiorowość statystyczna (populacja, próba)4) Cechy statystyczne5) Metody badania (pełne, częściowe, szacunku)

Etapy badania statystycznego

Przygotowania

Obserwacje

Materiał pierwotny i wtórny

Weryfikacja materiału

Opracowanie

Porządkowanie, Prezentacja, Szeregi, Tabele, wykresy

Opis statystyczny

Miary średnie, Miary zróżnicowania, Miary asymetrii

1) Cel2) Jednostka statystyczna3) Zbiorowość statystyczna (populacja, próba)4) Cechy statystyczne5) Metody badania (pełne, częściowe, szacunku)

Cechy statystyczne

STAŁE

Rzeczowe: co?

Czasowe: kiedy?

Przestrzenne: gdzie?

ZMIENNE

Jakościowe

Ilościowe

28

CECHY — ZMIENNE LOSOWE

ILOŚCIOWE (MIERZALNE)

JAKOŚCIOWE (NIEMIERZALNE)

CIĄGŁE SKOKOWEWZROSTWAGANATĘŻENIE DŹWIĘKU

KOLORSMAKRODZAJ DŹWIĘKU

RZUT KOSTKĄ LICZBA BAKTERIIILOŚĆ PRACOWNIKÓW

Metody badania

Pełne

spisy

Rejestracja bieżąca

częściowe

ankietowe

monograficzne

reprezentacyjne

szacunki

interpolacyjny

ekstrapolacyjny

Prezentacja materiału

statystycznego

tablice szeregi

Szczegółowe (uporzadkowane

i nie)rozdzielcze

Cechy ilościowe (punktowe i

przedziałowe)

Cechy jakościowe

przestrzenne dynamiczne

wykresy

STATYSTYKA

STRUKTURA ZJAWISK

MASOWYCH STRUKTURY

ZALEŻNOŚCI

DYNAMIKI

DYNAMIKA ZJAWISK

MASOWYCH

ZALEŻNOŚCI ZJAWISK

MASOWYCH

OPISOWA MATEMATYCZNA

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W ZAKRESIE

Dane statystyczne

• Szereg szczegółowy

• Szereg rozdzielczy

Miary opisowe

• Położenia

• Zmienności

• Koncentracji

• Skupienia

Struktura zjawisk masowych

Analiza struktury

Dane statystyczne

Miary pozycyjne

Miary klasyczne

Analiza struktury

DANE STATYSTYCZNE

Szereg szczegółowy

(próba prosta)

szereg rozdzielczy

punktowy

przedziałowy

Analiza struktury

Miary pozycyjne

średnie

kwantyle

KWARTYLE (MEDIANA)

DECYLE

CENTYLEdominanta

zróżnicowanie

Odchylenie ćwiartkowe

Pozycyjny wsp. zmienności

asymetriaPozycyjny

współczynnik asymetrii

skupieniePozycyjny

współczynnik skupienia

Analiza struktury

Miary klasyczne

średnie Średnia arytmetyczna

zróżnicowanie

wariancja

współczynnik zmienności

asymetriawspółczynnik

asymetrii

skupieniewspółczynnik

skupienia

KLASYCZNE miary położenia

• Średnia arytmetyczna

• Dominanta (moda)

• Kwantyle (kwartyle, decyle, centyle, percentyle)

POZYCYJNE miary położenia

KWANTYL RZĘDU ALPHA…

KLASYCZNE miary zmienności

• Wariancja

• Odchylenie standardowe

KLASYCZNE miary zmienności

• Odchylenie przeciętne

• Współczynnik zmienności

POZYCYJNE miary zmienności

• Rozstęp

• Odchylenie kwartylowe

• Współczynnik zmienności

1) Cel2) Jednostka statystyczna3) Zbiorowość statystyczna (populacja, próba)4) Cechy statystyczne5) Metody badania (pełne, częściowe, szacunku)

1. Zbadanie jak kształtuje się powierzchnia mieszkań w pewnym mieście

2. Mieszkanie

3. Mieszkania

4. Powierzchnia mieszkania [m2]

5. Pełne/Częściowe

43

CECHA BADANA: powierzchnia mieszkania w m2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35

10 35 45 45 45 45 45 45 45 45 4520 45 45 45 45 45 45 45 45 45 4530 45 45 45 45 55 55 55 55 55 5540 55 55 55 55 55 55 55 55 55 5550 55 55 55 55 55 55 55 55 55 5560 55 55 55 55 55 55 55 65 65 6570 65 65 65 65 65 65 65 65 65 7580 75 75 75 75 75 85 85 85 85 8590 85 85 85 95 95 95 105 105 115 115

44

CECHA BADANA: powierzchnia mieszkania w m2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35

10 35 45 45 45 45 45 45 45 45 4520 45 45 45 45 45 45 45 45 45 4530 45 45 45 45 55 55 55 55 55 5540 55 55 55 55 55 55 55 55 55 5550 55 55 55 55 55 55 55 55 55 5560 55 55 55 55 55 55 55 65 65 6570 65 65 65 65 65 65 65 65 65 7580 75 75 75 75 75 85 85 85 85 8590 85 85 85 95 95 95 105 105 115 115

45

CECHA BADANA: powierzchnia mieszkania w m2

50 100,5 100 34

33

11+23=34

60-50=10

Wzrost studenta

(przedział)X_d X_g n_i n_(i)

zawarto ść liczb w przedziale n

środek w_i w_(i)

150 - 154,6 150 154,6 3 3 1, 2, 3 152,30 0,03 0,03

154,6 - 159,2 154,6 159,2 5 8 4, 5, 6, 7, 8 156,90 0,05 0,08

159,2 - 163,8 159,2 163,8 13 219, 10, 11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 18, 19, 20, 21161,50 0,13 0,21

163,8 - 168,4 163,8 168,4 22 43

22, 23, 24, 25, 26, 27,

28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,

42, 43

166,10 0,22 0,43

168,4 - 173 168,4 173 15 5844, 45, 47, 48, 49, 50,

51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58

170,70 0,15 0,58

173 - 177,6 173 177,6 15 7359, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72,

73175,30 0,15 0,73

177,6 - 182,2 177,6 182,2 10 8374, 75, 76, 77, 78, 79,

80, 81, 82, 83179,90 0,10 0,83

182,2 - 186,8 182,2 186,8 10 9384, 85, 86, 87, 88, 89, 90,

91, 92, 93184,50 0,10 0,93

186,8 - 191,4 186,8 191,4 6 99 94 ,95, 96, 97 ,98, 99 189,10 0,06 0,99

191,4 - 196 191,4 196 1 100 100 193,75 0,01 1,00

Razem 100 1,00

Szereg szczegółowy

• 175 167 163 163 150 166 180 183 186 169 190 177 170 180 170 167 191 181 171 165 175 165 166 169 162 181 167 169 173 190 165 191 157 164 162 159 180 173 171 184 173 175 158 166 164 173 165 171 167 163 165 196 172 162 157 164 168 186 171 158 183 154 191 166 186 184 172 160 177 169 183 160 152 175 177 162 170 185 161 182 165 185 168 172 160 167 179 167 175 165 190 173 179 178 177 162 170 180 162 176

• 150 160 163 165 167 170 173 177 181 186 152 161 164 166 168 171 173 177 181 186 154 162 164 166 168 171 173 177 182 186 157 162 164 166 169 171 175 178 183 190 157 162 165 166 169 171 175 179 183 190 158 162 165 167 169 172 175 179 183 190 158 162 165 167 169 172 175 180 184 191 159 162 165 167 170 172 175 180 184 191 160 163 165 167 170 173 176 180 185 191 160 163 165 167 170 173 177 180 185 196

PYTANIA

1. Dane są następujące obserwacje: 1, 2, 3, 4, 5. Oblicz średnią, medianę, dominantę i odchylenie standardowe.

2. Podano dane w postaci szeregu rozdzielczego.Oblicz: średnią, wariancję i medianę.

3. W jakich przypadkach miary obliczane na podstawie szeregów rozdzielczych będą różnić od obliczanych z próby prostej.

Przedziały Liczebności

10 – 20 1

20 – 30 8

30 – 40 1

1. Jakie są własności poszczególnych miar tendencji centralnej?

2. Badano zarobki w dwóch zakładach pracy A i B. Uzyskano następujące wyniki: średnie w zakładzie A = 1800, B =2000 i mediany w zakładzie A = 2000 i B = 1800. W którym zakładzie wiekszość pracowników ma lepsze zarobki?

3. Wymienić pozycyjne miary położenia.

4. Wymienić klasyczne miary zmienności.

5. Wymienić pozycyjne miary zmienności.

6. W jakich przypadkach nie należy stosować współczynnika zmienności?

7. W pewnej zbiorowości wyznaczono średnia wartość badanej zmiennej i odchylenie standardowe, uzyskując odpowiednio: 100 i 9. Podaj zakres typowej zmienności.

8. Dla pewnego rocznika studentów średni wynik ze statystyki wynosi 3.57 oraz mediana 3.28. Czy większość studentów ma ocenę ze statystyki większą od średniej czy nie? Odpowiedz uzasadnić.

PYTANIA CD…

Zmienna losowa

Skokowa

ciągła jednowymiarowa

wielowymiarowa

PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ

dominanta

Momenty zwykłe i

centralne

kwantyle

wariancja

Wartość oczekiwana

Zmienna losowa i jej rozkład

• Rozkłady teoretyczne

– Normalny

– Dwumianowy

– Poissona

• Funkcje rozkładów

– Funkcja gęstości

– dystrybuanta

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

func

tion(

X) d

norm

(X) (

x)

58

ROZKŁAD NORMALNY

Histogram of rnorm(1000, EX, DX)

rnorm(1000, EX, DX)

Fre

quen

cy

-3 -2 -1 0 1 2 3

020

4060

80

Histogram of rnorm(1000, EX, DX)

rnorm(1000, EX, DX)

Fre

quen

cy

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

020

4060

80

Histogram of rnorm(1000, EX, DX)

rnorm(1000, EX, DX)

Fre

quen

cy

-4 -2 0 2

020

4060

80

Histogram of rnorm(1000, EX, DX)

rnorm(1000, EX, DX)

Fre

quen

cy

-3 -2 -1 0 1 2 3

020

4060

80

Histogram of Zm

Zm

Fre

quen

cy

0 2 4 6 8 10

010

020

030

0

Histogram of Zm

Zm

Fre

quen

cy

0 5 10 15

050

100

150

200

250

Histogram of Zm

Zm

Fre

quen

cy

0 20 40 60

050

100

150

200

Histogram of Zm

Zm

Fre

quen

cy

0 1 2 3

050

100

150

Statystyka opisowa

Robert Pietrzykowskiemail: robert_pietrzykowski@sggw.pl

www.ekonometria.info

2

• Sprawy bieżące

– Za dwa tygodnie (24.10.2014) pierwszy sprawdzian na wykładzie z przerobionego materiału

• Konsultacje

• Inne

3

Na dziś…

Na dziś…

• Powtórzenie z poprzedniego wykładu

• Wykład 2:

– rozkłady prawdopodobieństwa

– rachunek prawdopodobieństwa

– miary koncentracji

– miary skośności

Zmienna losowa

Skokowa

ciągła jednowymiarowa

wielowymiarowa

Zmienna losowa i jej rozkład

• Rozkłady teoretyczne

– Normalny

– Dwumianowy

– Poissona

• Funkcje rozkładów

– Funkcja gęstości

– dystrybuanta

7

8

CECHA X: powierzchnia mieszkania w m2

9

10

11

12

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

func

tion(

X) d

norm

(X) (

x)

14

15

Histogram of rnorm(1000, EX, DX)

rnorm(1000, EX, DX)

Fre

quen

cy

-3 -2 -1 0 1 2 3

020

4060

80

Histogram of rnorm(1000, EX, DX)

rnorm(1000, EX, DX)

Fre

quen

cy

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

020

4060

80

Histogram of rnorm(1000, EX, DX)

rnorm(1000, EX, DX)

Fre

quen

cy

-4 -2 0 2

020

4060

80

Histogram of rnorm(1000, EX, DX)

rnorm(1000, EX, DX)

Fre

quen

cy

-3 -2 -1 0 1 2 3

020

4060

80

Histogram of Zm

Zm

Fre

quen

cy

0 2 4 6 8 10

010

020

030

0

Histogram of Zm

Zm

Fre

quen

cy

0 5 10 15

050

100

150

200

250

Histogram of Zm

Zm

Fre

quen

cy

0 20 40 60

050

100

150

200

Histogram of Zm

Zm

Fre

quen

cy

0 1 2 3

050

100

150

0

5

10

15

20

25

150 - 154,6 154,6 - 159,2 159,2 - 163,8 163,8 - 168,4 168,4 - 173 173 - 177,6 177,6 - 182,2 182,2 - 186,8 186,8 - 191,4 191,4 - 196

0

5

10

15

20

25

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200

Średnia = 171,58S2 = 90,88S = 9,53

171,58 - 9,53 = 162,05; 171,58 - 9,53 = 181,11

25

PrzykładWzrost kobiet jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ześrednią 166 i wariancją 400. Jaki procent kobiet będzie miałwzrost z przedziału od 146 do 186 centymetrów?

POPULACJA: KOBIETY

CECHA X: WZROST JEDNEJ KOBIETY

RODZAJ CECHY: CIĄGŁA

ROZKŁAD CECHY: NORMALNY

Wzrost kobiet jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ześrednią 166 i wariancją 400. Jaki procent kobiet będzie miałwzrost z przedziału od 146 do 186 centymetrów?

FORMALNY ZAPIS PYTANIA: P{X∈∈∈∈(146; 186)}=?

ROZWIĄZANIE:

P{X∈∈∈∈(166-20=146; 166+20=186)}=0.68

68% kobiet będzie miało wzrost od 166

do 186. Do obliczeń wykorzystałem prawo 3 sigm.

ODPOWIEDŹ:

PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ

dominanta

Momenty zwykłe i

centralne

kwantyle

wariancja

Wartość oczekiwana

Momenty zwykłe i centralne

Momenty centralne

• Momentem centralnym nazywamy średnią arytmetyczną z odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej podniesionych do r-tej potęgi.

• Moment centralny drugiego rzędu nazywamy wariancję

• Moment centralny trzeciego rzędu nazywamy współczynnik asymetrii obserwacji (współczynnik skośności)

• Moment centralny czwartego rzędu nazywamy miarę koncentracji obserwacji (współczynnik kurtozy)

Kurtoza

Kurtoza informuje właściwie o tym czy dane są bardziej w centralnej części rozkładu, czy w ogonach.

Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

mezokurtyczne - wartość kurtozy wynosi 3, spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu normalnego (dla którego ekscesu wynosi dokładnie 0)

leptokurtyczne - kurtoza jest dodatnia, wartości cechy bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym

platokurtyczne - kurtoza jest ujemna, wartości cechy mniej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym

geksces = g4 - 3

Krzywa koncentracji Lorentza

Współczynnik Giniego

Przykład

DecyleDochód

[%]

Dochód skumulow

any [%]1 10 102 10 203 10 304 10 405 10 506 10 607 10 708 10 809 10 90

10 10 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Przykład

Decyle

Dochód [%]

Dochód skumulowany [%]

1 1 12 3 43 5 94 7 165 9 256 11 367 13 498 15 649 17 81

10 19 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PYTANIA1. Wymień znane Ci teoretyczne rozkłady prawdopodobieństwa wykorzystywane w statystyce

matematycznej.2. Znając rozkład popytu na pewien towar określ oczekiwany zysk wiedząc, że cena sprzedaży

wynosi 10, a koszty stałe 10000.

3. Jaka jest interpretacja pojecia kurtozy?4. Wyjaśnij pojęcie asymetria prawostronna.5. Dwaj niezależni analitycy badali zużycie paliwa w pewnej firmie. Stwierdzili, że badana cecha ma

rozkład normalny. W wyniku obliczeń analityk A stwierdził, że zużycie paliwa charakteryzuje się silną prawostronną asymetrią, a analityk B który liczył pozycyjny współczynnik asymetrii stwierdził, że jest tam silna asymetria lewostronna. Który z nich miał rację ? Odpowiedź uzasadnij.

6. Badając rozkład dochodów w pewnym powiecie uzyskano następujące udziały w łącznych dochodach dla kolejnych części zbiorowości (równych pod względem liczebności): 5%, 10%, 20%, 65%. Ile wynosi współczynnik Giniego?

7. Wykreśl krzywą Lorenza w oparciu o dane z pytania 6. Jak wyglądałby taki wykres gdyby w całej zbiorowości tylko jedna osoba miała dochody?

8. Co oznacza określenie rozkład leptokurtyczny?9. W pewnej zbiorowości wyznaczono średnia wartość badanej zmiennej, odchylenie standardowe i

dominantę uzyskując odpowiednio: 100, 9 i 113.5. Oblicz wartość współczynnika asymetrii.10. Wzrost kobiet jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 166 i wariancją 400. Jaki

procent kobiet będzie miał wzrost z przedziału od 146 do 186 centymetrów?

Popyt 1000 2000 3000 4000

P(popytu) 0,4 0,3 0,2 0,1

Gini

Decyle

Dochód [%

]D

ochód skum

ulowany

[%]

XY

0,33

00

00%

0%1

11

10%1%

0,0012

34

20%4%

0,0053

59

30%9%

0,0134

716

40%16%

0,0255

925

50%25%

0,0416

1136

60%36%

0,0617

1349

70%49%

0,0858

1564

80%64%

0,1139

1781

90%81%

0,14510

19100

100%100%

0,181R

AZ

EM

:0,67

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

❩❛❞❛♥✐❡ ✶ ❩❛❞❛♥✐❡ ✷ ❩❛❞❛♥✐❡ ✸ ❩❛❞❛♥✐❡ ✹

❙!❛!②$!②❦❛ ❖♣✐$♦✇❛ ✲ ❙♣,❛✇❞③✐❛♥ ■✳

▼❛!❡,✐❛➟② ♣♦♠♦❝♥✐❝③❡

❘♦❜❡$% &✐❡%$③②❦♦✇,❦✐

❙③❦♦➟❛ ●➟'✇♥❛ ●♦*♣♦❞❛-*.✇❛ ❲✐❡❥*❦✐❡❣♦ ✇ ❲❛-*③❛✇✐❡

❙%❛%②,%②❦❛ ❩❛$③→❞③❛♥✐❡ ❙%✉❞✐❛ ♥✐❡,%❛❝❥♦♥❛$♥❡ ✷✵✶✹ ✲ ✷✵✶✺

❩❛❞❛♥✐❡ ✶ ❩❛❞❛♥✐❡ ✷ ❩❛❞❛♥✐❡ ✸ ❩❛❞❛♥✐❡ ✹

❲③♦-② ♣♦❞01❛✇♦✇❡

❙③❡#❡❣ %③❝③❡❣'➟♦✇②

①̄ =∑◆

✐=✶ ①✐

◆

❉♦♠✐♥❛♥&❛ ✲ ❉

▼❡❞✐❛♥❛ ✲ ▼❡

❑✇❛-&②❧❡ ✲ ◗

✶

,◗✷

,◗✸

❱

◗

= ◗

▼❡

❱ = ❙

①̄

◗ = ◗

✸

−◗

✶

✷

❞ =∑◆

✐=✶ |①✐−①̄ |◆

❙

✷ =∑◆

✐=✶(①✐−①̄)✷

◆

❙ =√❙

✷

❆& = ①̄−❉

❙

❆&

◗

= ◗

✸

+◗

✶

−✷▼❡

✷◗

❣

✶

=∑

◆

✐=✶

(①✐

− ①̄)✸/◆/❙✸

❣

✷

=∑

◆

✐=✶

(①✐

− ①̄)✹/◆/❙✹

❩❛❞❛♥✐❡ ✶ ❩❛❞❛♥✐❡ ✷ ❩❛❞❛♥✐❡ ✸ ❩❛❞❛♥✐❡ ✹

❆+②♠❡./✐❛

❙③❡#❡❣ %③❝③❡❣'➟♦✇②

❆♥❛❧✐③❛ ✇'♣)➟❝③②♥♥✐❦)✇ ❛'②♠❡01✐✐ ❆!, ❆!◗

, ❣✶

✳ ❘)➺♥❡ ✇'❦❛③❛♥✐❛

✇'♣)➟❝③②♥♥✐❦)✇ ✇'❦❛③✉❥→ ♥❛ ♥✐❡❥❡❞♥♦③♥❛❝③♥❡ ♦❦1❡➧❧❡♥✐❡ ❦✐❡1✉♥❦✉

❛'②♠❡01✐✐✳

①̄ = ▼❡ = ❉ ❜1❛❦ ❛'②♠❡01✐✐

①̄ < ▼❡ < ❉ ❛'②♠❡01✐❛ ❧❡✇♦'01♦♥♥❛

①̄ > ▼❡ > ❉ ❛'②♠❡01✐❛ ♣1❛✇♦'01♦♥♥❛

❩❛❞❛♥✐❡ ✶ ❩❛❞❛♥✐❡ ✷ ❩❛❞❛♥✐❡ ✸ ❩❛❞❛♥✐❡ ✹

❚②♣ -♦③❦➟❛❞✉

❙③❡#❡❣ %③❝③❡❣'➟♦✇②

❡❦"❝❡" = ❣

✷

− ✸

❞❧❛ ❡❦&❝❡& ❂✵ *♦③❦➟❛❞ ♠❛ ❦&③/❛➟/ ♥♦*♠❛❧♥② ✭*♦③❦➟❛❞

♠❡③♦❦✉*/②❝③♥②✮✱ ❞❧❛ ❡❦&❝❡& ❃ ✵ *♦③❦➟❛❞ ❥❡&/ ❜❛*❞③✐❡❥ ✇②&♠✉❦➟② ♥✐➺

♥♦*♠❛❧♥② ✭*♦③❦➟❛❞ ❧❡♣/♦❦✉*/②❝③♥②✮✱ ✇✐➛❦&③❡ &❦✉♣✐❡♥✐❡ ✇❛*/♦➧❝✐

✇♦❦?➟ ➧*❡❞♥✐❡❥✱ ❞❧❛ ❡❦&❝❡& ❁ ✵ *♦③❦➟❛❞ ❥❡&/ ♠♥✐❡❥ ✇②&♠✉❦➟② ♥✐➺

♥♦*♠❛❧♥② ✭*♦③❦➟❛❞ ♣❧❛/②❦✉*/②❝③♥②✮✱ ✇✐➛❦&③❡ &♣➟❛&③❝③❡♥✐❡ *♦③❦➟❛❞✉✳

❩❛❞❛♥✐❡ ✶ ❩❛❞❛♥✐❡ ✷ ❩❛❞❛♥✐❡ ✸ ❩❛❞❛♥✐❡ ✹

❲③♦-② ♣♦❞01❛✇♦✇❡

❙③❡#❡❣ #♦③❞③✐❡❧❝③②

①̄ =∑◆

✐=✶ ①̇✐♥✐

◆

❉ = ①

❉

+ ❤

❉

♥

❉

−♥

❉−✶

✷♥

❉

−♥

❉−✶−♥

❉+✶

❑✇❛♥$②❧ '③➛❞✉ α

❑α = ①α + ❤α

α·◆−♥(α)

♥α

❱

◗

= ◗

▼❡

❱ = ❙

①̄

◗ = ◗

✸

−◗

✶

✷

❞ =∑◆

✐=✶ |①̇✐−①̄ |·♥✐

◆

❙

✷ =∑◆

✐=✶(①̇✐−①̄)✷·♥✐

◆

❙ =√❙

✷

❆) = ①̄−❉

❙

❆)

◗

= ◗

✸

+◗

✶

−✷▼❡

✷◗

❣

✶

=∑

◆

✐=✶

(①̇✐

− ①̄)✸ · ♥✐

/◆/❙✸

❣

✷

=∑

◆

✐=✶

(①̇✐

− ①̄)✹ · ♥✐

/◆/❙✹

❩❛❞❛♥✐❡ ✶ ❩❛❞❛♥✐❡ ✷ ❩❛❞❛♥✐❡ ✸ ❩❛❞❛♥✐❡ ✹

❲③♦-② ♣♦❞01❛✇♦✇❡

❲!♣#➟❝③②♥♥✐❦ ●✐♥✐❡❣♦

● = |✶−❦∑

✐=✶

(①✐

− ①✐−✶)(②✐ + ②

✐−✶)|

❩❛❞❛♥✐❡ ✶ ❩❛❞❛♥✐❡ ✷ ❩❛❞❛♥✐❡ ✸ ❩❛❞❛♥✐❡ ✹

❲③♦-② ♣♦❞01❛✇♦✇❡

❘❛❝❤✉♥❡❦ ♣)❛✇❞♦♣♦❞♦❜✐❡➠01✇❛

❊❳ =∑

①

✐

♣

✐

❊ (❛❳ + ❜) = ❛❊❳ + ❜

❉

✷

❳ = ❊ (❳ − ❊❳ )✷ = ❊❳

✷ − (❊❳ )✷

❉

✷(❛❳ + ❜) = ❛

✷

❉

✷

❳

❋✉♥❦❝❥❛ ✇ ❊①❝❡❧✉✿ -♦③❦➟❛❞✳♥♦-♠❛❧♥②(❳ , ①̄ , ❙ , ✶)

((−✹, ✹ ≤ ❨ ≤ ✵), ❞❧❛❨ ∽ ◆(✹, ✶✻)

❂-♦③❦➟❛❞✳♥♦-♠❛❧♥②(✵; ✹; ✹; ✶) ✕ -♦③❦➟❛❞✳♥♦-♠❛❧♥②(−✹, ✹; ✹; ✹; ✶)

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

❙!❛!②$!②❦❛ ❖♣✐$♦✇❛ ✲ ❊●❩❆▼■◆

❘♦❜❡$% &✐❡%$③②❦♦✇,❦✐

❙③❦♦➟❛ ●➟'✇♥❛ ●♦*♣♦❞❛-*.✇❛ ❲✐❡❥*❦✐❡❣♦ ✇ ❲❛-*③❛✇✐❡

❙%❛%②,%②❦❛ ❩❛$③→❞③❛♥✐❡ ❙%✉❞✐❛ ♥✐❡,%❛❝❥♦♥❛$♥❡ ✷✵✶✸ ✲ ✷✵✶✹

✭,❡♠❡,%$ ③✐♠♦✇②✮✱ ❲❛$,③❛✇❛ ✸✶ ,%②❝③♥✐❛ ✷✵✶✹

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

)②+❛♥✐❛ ♣♦❞2+❛✇♦✇❡ ✭+❡2+ ✇②❜♦7✉ ✕ ✸♠✐♥ ♥❛ ❦❛➺❞❡ ♣②+❛♥✐❡✮

❨❚❆◆■❊ ✶

✶✳ ❲$♣&➟❝③②♥♥✐❦ ❦♦/❡❧❛❝❥✐ ❡❛/$♦♥❛✿

✶

♣!③②❥♠✉❥❡ ✇❛!*♦➧❝✐ ③ ③❛❦!❡0✉ ✭✲✶✱ ✶✮

✷

♣!③②❥♠✉❥❡ ✇❛!*♦➧❝✐ ③ ③❛❦!❡0✉ (−✸σ, ✸σ)

✸

✇0❦❛③✉❥❡ ♥❛ ③❛❧❡➺♥♦➧➣ ♠❛❧❡❥→❝→ ✇ ♣!③②♣❛❞❦✉ ❦✐❡❞② ρ > ✵

✹

❥❡0* ♠✐❛!→ ❧✐♥✐♦✇❡❥ ③❛❧❡➺♥♦➧❝✐

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

)②+❛♥✐❛ ♣♦❞2+❛✇♦✇❡ ✭+❡2+ ✇②❜♦7✉ ✕ ✸♠✐♥ ♥❛ ❦❛➺❞❡ ♣②+❛♥✐❡✮

❨❚❆◆■❊ ✷

✷✳ ▼✐❛&❛ ③❛♣✐)❛♥❛ ✇③♦&❡♠

∑◆

✐=✶

(①✐

− ①̄)✷

◆

❥❡)0✿

✶

♠✐❛#→ ❧✐❝③❡❜♥♦➧❝✐

✷

❦✇❛❞#❛0❡♠ ✇1♣3➟❝③②♥♥✐❦❛ ③♠✐❡♥♥♦➧❝✐

✸

♠✐❛#→ ③#3➺♥✐❝♦✇❛♥✐❛

✹

❦✇❛❞#❛0❡♠ ♦❞❝❤②❧❡♥✐❛ 10❛♥❞❛#❞♦✇❡❣♦

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

)②+❛♥✐❛ ♣♦❞2+❛✇♦✇❡ ✭+❡2+ ✇②❜♦7✉ ✕ ✸♠✐♥ ♥❛ ❦❛➺❞❡ ♣②+❛♥✐❡✮

❨❚❆◆■❊ ✸

✸✳ ◆❛ ❞➟✉❣♦➧➣ ♣-③❡❞③✐❛➟✉ ✉❢♥♦➧❝✐ ✇♣➟②✇❛✿

✶

❧✐❝③❡❜♥♦➧➣ ♣+,❜②

✷

✇❛+0♦➧➣ ❡10②♠❛0♦+❛ λ

✸

✇❛+✐❛♥❝❥❛

✹

♣♦③✐♦♠ ✉❢♥♦➧❝✐

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

)②+❛♥✐❛ ♣♦❞2+❛✇♦✇❡ ✭+❡2+ ✇②❜♦7✉ ✕ ✸♠✐♥ ♥❛ ❦❛➺❞❡ ♣②+❛♥✐❡✮

❨❚❆◆■❊ ✹

✹✳ ❑❧❛&②❝③♥❡ ♠✐❛.② .♦③♣.♦&③❡♥✐❛ 1♦✿

✶

✇❛"✐❛♥❝❥❛✱ ♦❞❝❤②❧❡♥✐❡ ➣✇✐❛"/❦♦✇❡

✷

♦❞❝❤②❧❡♥✐❡ 1/❛♥❞❛"❞♦✇❡✱ ✇❛"✐❛♥❝❥❛

✸

❦✇❛"/②❧❡

✹

➧"❡❞♥✐❛ ❛"②/♠❡/②❝③♥❛✱ ♠❡❞✐❛♥❛✱ ❞♦♠✐♥❛♥/❛

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

)②+❛♥✐❛ ♣♦❞2+❛✇♦✇❡ ✭+❡2+ ✇②❜♦7✉ ✕ ✸♠✐♥ ♥❛ ❦❛➺❞❡ ♣②+❛♥✐❡✮

❨❚❆◆■❊ ✺

✺✳ ❲$♣&➟❝③②♥♥✐❦ ●✐♥✐❡❣♦ 2♦✿

✶

♠✐❛#❛ #♦③♣#♦'③❡♥✐❛ ♣#③②❥♠✉❥→❝❛ ✇❛#0♦➧❝✐ ③ ③❛❦#❡'✉ ❬✵✱ ✶❪

✷

♠✐❛#❛ ❦♦♥❝❡♥0#❛❝❥✐ ♣#③②❥♠✉❥→❝❛ ❞♦✇♦❧♥❡ ✇❛#0♦➧❝✐ ❞♦❞❛0♥✐❡

✸

♠✐❛#❛ ❦♦♥❝❡♥0#❛❝❥✐ ♣#③②❥♠✉❥→❝❛ ❞♦✇♦❧♥❡ ✇❛#0♦➧❝✐ ③

③❛❦#❡'✉ ❬✵✱ ✶❪

✹

♠✐❛#❛ ❦♦♥❝❡♥0#❛❝❥✐ ♣#③②❥♠✉❥→❝❛ ❞♦✇♦❧♥❡ ✇❛#0♦➧❝✐ ③

③❛❦#❡'✉ ❬✲✶✱ ✶❪

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

)②+❛♥✐❛ /③❝③❡❣4➟♦✇❡ ✭♣:❛✇❞❛✴❢❛➟/③ ✕ ✶♠✐♥ ♥❛ ❦❛➺❞❡ ♣②+❛♥✐❡✮

❨❚❆◆■❆ ✻✲✶✵

②"✳✻ ❑♦'❡❧❛❝❥❛ ❞♦❞❛"♥✐❛ ♣♦❧❡❣❛ ♥❛ "②♠✱ ➺❡ 5♣❛❞❦♦✇✐ ✇❛'✲

"♦➧❝✐ ❥❡❞♥❡❥ ❝❡❝❤② "♦✇❛'③②5③② ✇③'♦5" ➧'❡❞♥✐❡❥ ✇❛'"♦➧❝✐

❞'✉❣✐❡❥

②"✳✼ ❈❡❝❤② ❝✐→❣➟❡ "♦✿ ③✉➺②❝✐❡ ♣❛❧✐✇❛✱ ✇✐❡❦✱ ♣'♦❝❡♥" ❜❡③'♦✲

❜♦"♥②❝❤ ✇ ❣♠✐♥✐❡

②"✳✽ ❉♦ ♣♦③②❝②❥♥②❝❤ ♠✐❛' ♣♦➟♦➺❡♥✐❛ ♠♦➺❡♠② ③❛❧✐❝③②➣

❦✇❛♥"②❧❡ ✐ ❞♦♠✐♥❛♥"➛

②"✳✾ ❙③❡'❡❣ ❝③❛5♦✇② 5❦➟❛❞❛ 5✐➛ ③ ❢✉♥❦❝❥✐ "'❡♥❞✉✱ ❢✉♥❦❝❥✐ ✇❛✲

❤❛➠ ✐ ✒❜✐❛➟❡❣♦ 5③✉♠✉✑

②"✳✶✵ ❲5♣P➟❝③②♥♥✐❦ ③♠✐❡♥♥♦➧❝✐ ✇ 5❦'❛❥♥②❝❤ ♣'③②♣❛❞❦❛❝❤

♣'③②❥♠✉❥❡ ✇❛'"♦➧❝✐ ✉❥❡♠♥❡

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

❩♥❛❥♦♠♦➧➣ ✇③♦23✇ ✭③❛♣✐7 ✺♠✐♥✮

❨❚❆◆■❆ ✶✶

❩❛♣✐$③ ✇③'( ♠✐❛(② ✇ $③❡(❡❣✉ (♦③❞③✐❡❧❝③②♠ ✐ ✇②❥❛➧♥✐❥

✉➺②6❡ $②♠❜♦❧❡

●❘❯#❆ ❆

▼

❡

= ①✵.✺

+ · · ·

●❘❯#❆ ❇

❙

✷ =

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

)*♦,-❡ ♦❜❧✐❝③❡♥✐❛ ✐ ✐♥-❡*♣*❡-❛❝❥❛ ✭♦❜❧✐❝③❡♥✐❛ ✕ ✺♠✐♥✮

❨❚❆◆■❆ ✶✷

❲ ♣❡✇♥❡❥ ③❜✐♦*♦✇♦➧❝✐ ✇②③♥❛❝③♦♥♦✿ ➧*❡❞♥✐→ ✇❛*2♦➧➣

❜❛❞❛♥❡❥ ③♠✐❡♥♥❡❥✱ ♦❞❝❤②❧❡♥✐❡ 82❛♥❞❛*❞♦✇❡ ♦*❛③

❦✇❛*2②❧❡✿ ❞♦❧♥②✱ ➧*♦❞❦♦✇② ✐ ❣;*♥② ✉③②8❦✉❥❛❝

♦❞♣♦✇✐❡❞♥✐♦✿ ✶✵✵✱ ✾ ♦*❛③ ✾✸✱ ✶✵✵ ✐ ✶✵✼✳ ◆❛ ♣♦❞82❛✇✐❡

♣♦✇②➺8③②❝❤ ✇②♥✐❦;✇ ♦❜❧✐❝③✿

●❘❯#❆ ❆

❱ =

●❘❯#❆ ❇

❆

◗

=

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

)*♦,-❡ ♦❜❧✐❝③❡♥✐❛ ✐ ✐♥-❡*♣*❡-❛❝❥❛ ✭♦❜❧✐❝③❡♥✐❛ ✕ ✺♠✐♥✮

❨❚❆◆■❆ ✶✸

❆♥❛❧✐③✉❥→❝ ✇❛+,♦➧➣ 0♣+③❡❞❛➺② 0❛♠♦❝❤♦❞8✇ ✇ ❧❛,❛❝❤

✷✵✶✷✲✷✵✶✸ ♦ +8➺♥②❝❤ ♣♦❥❡♠♥♦➧❝✐❛❝❤ 0✐❧♥✐❦8✇ ✭♣♦♥✐➺❡❥

✶✵✵✵ ❝♠

✸

❀ ✶✹✵✵ ❝♠

✸

♦+❛③ ♣♦✇②➺❡❥ ✷✵✵✵ ❝♠

✸

✮ ✉③②0❦❛♥♦

✐♥❞❡❦0 ✇❛+,♦➧❝✐ 0♣+③❡❞❛➺② ♥❛ ♣♦③✐♦♠✐❡ ✵✱✾✼✽✷ ♦+❛③

✐♥❞❡❦0② ❋✐0❤❡+❛ ❝❡♥ ✐ ✐❧♦➧❝✐✿ ✶✱✵✷✶❀ ✵✱✾✺✽✶✳

❩✐♥,❡+♣+❡,✉❥ ✉③②0❦❛♥→ ✇✐❡❧❦♦➧➣ ✐♥❞❡❦0✉✿

●❘❯#❆ ❆

■

❋

♣

●❘❯#❆ ❇

■

❋

"

❈❩❺➅❶ ❆ ❈❩❺➅❶ ❇ ❈❩❺➅❶ ❈ ❈❩❺➅❶ ❉ ❈❩❺➅❶ ❊

●*❛✜❝③♥❛ ♣*❡③❡♥2❛❝❥❛ ❞❛♥②❝❤ ✐ ♣♦❝❤♦❞♥❡ ✭*②:✉♥❡❦ ✕ ✺♠✐♥✮

❨❚❆◆■❆ ✶✹

❲②③♥❛❝③ ❣'❛✜❝③♥✐❡ ✇❡❞➟✉❣ ♣♦♥✐➺2③②❝❤ ❞❛♥②❝❤✳

●❘❯#❆ ❆ ✕ ❉❖▼■◆❆◆❚❺

❈❡❝❤❛ ① ♥

✐

✷✵✲✸✵ ✺

✸✵✲✹✵ ✽

✹✵✲✺✵ ✸✺

✺✵✲✻✵ ✹✵

✻✵✲✼✵ ✶✵

✼✵✲✽✵ ✷

●❘❯#❆ ❇ ✕ ▼❊❉■❆◆❺

❈❡❝❤❛ ① ♥

✐

♥(✐)

✷✵✲✸✵ ✺ ✺

✸✵✲✹✵ ✽ ✶✸

✹✵✲✺✵ ✸✺ ✹✽

✺✵✲✻✵ ✹✵ ✽✽

✻✵✲✼✵ ✶✵ ✾✽

✼✵✲✽✵ ✷ ✶✵✵