STK 211 Metode Statistika

PENGUJIAN HIPOTESIS

Pendahuluan

● Dalam mempelajari karakteristik populasi sering telah memiliki hipotesis tertentu.– pemberian DHA pada anak-anak akan menambah

kecerdasannya atau – pemberian vaksin polio akan mengurangi jumlah

anak-anak yang menderita penyakit ini

● Diperlukan pengumpulan data– Apakah data mendukung hipotesis tersebut

Pendahuluan

● Hipotesis dalam statistika dinyatakan dalam dua bentuk yaitu:– H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan

yang umumnya ingin kita tolak– H1 / HA (hipotesis alternatif): pernyataan lain yang

akan diterima jika H0 ditolak

Kesalahan dalam Keputusan

● Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahan yaitu:– Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0

padahal H0 benar– Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima

H0 padahal H1 benar

● Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagai berikut:– P(salah jenis I) = P(tolak H

0 | H

0 benar) = α

– P(salah jenis II) = P(terima H0 | H1 benar) = β

H 0 b e n a r H 0 s a l a h

T o l a k H 0P e l u a n g s a l a h j e n i s I

( T a r a f n y a t a ; α )K u a s a p e n g u j i a n

( 1 - β )

T e r i m a H 0T i n g k a t k e p e r c a y a a n

( 1 - α )P e l u a n g s a l a h j e n i s I I

( β )

Efek α dan β

● Teladan : Andaikan suatu perusahaan A akan menerima dari suplier apabila produknya minimal mengandung 55% zat X. Untuk meyakinkan maka diambil 9 contoh (dgn asumsi simpangan baku sebesar 2%).

● Sisi suplier : Ingin semua diterima

● Dengan μ=65% hampir semua kiriman suplier diterima.

● Kondisi ini tentu tidak menguntungkan suplier. Bagaimana apabila kriteria β diturunkan?

.

● Terlihat bahwa apabila beta diperkecil dgn kondisi yg lain tetap → Tidak menguntungkan sisi konsumen

● Bagaimana supaya menurunkan keduanya?

● Untuk menurukan kedua-duanya secara simultan → hanya ada satu cara yaitu dengan meningkatkan banyaknya contoh

Sampel berukuran 25 diambil secara acak dari populasi normal(µ;σ2 = 9). Hipotesis yang akan diuji,H0 : µ = 15

H1 : µ = 10

Tolak H0 jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 12.5

Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ?

Jawab:

P(salah jenis I) = P(tolak H0|µ = 15)

= P(z ≤ (12.5-15)/(3/√25))

= P(z ≤ - 4.167 ) ≅ 0

P(salah jenis II) = P(terima H0|µ = 10)

= P(z ≥ (12.5-10)/(3/√25))

= P(z ≥ 4.167 )

= 1 - P(z ≤ 4.167 ) ≅ 0

● Sayangnya kita tahu bahwa parameter populasi sering kali tidak diketahui

● Sehingga dalam pengujian hipotesis hanya nilai salah jenis I (α) yang dapat dikendalikan.

● Akan timbul pertanyaan :– Berapa nilai α yang digunakan?

Tergantung resiko keputusan yang akan diambil

STK 211 STK 211 Metode StatistikaMetode Statistika

Pengujian Hipotesis:Pengujian Hipotesis:- Nilai Tengah Populasi- Nilai Tengah Populasi

- Selisih Dua Nilai Tengah - Selisih Dua Nilai Tengah PopulasiPopulasi

Langkah-langkah dalam Pengujian Hipotesis

(1) Tuliskan hipotesis yang akan diuji Ada dua jenis hipotesis:

– Hipotesis sederhanaHipotesis nol dan hipotesis alternatif sudah ditentukan pada nilai tertentu•H0 : µ = µ0 vs H1 : µ = µ1

•H0 : σ2 = σ02 vs H1 : σ2 = σ1

2 •H0 : P = P0 vs H1 : P = P1

– Hipotesis majemukHipotesis nol dan hipotesis alternatif dinyatakan dalam interval nilai tertentub.1. Hipotesis satu arah

• H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0

• H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0

b.2. Hipotesis dua arah

• H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0

(2). Tetapkan tingkat kesalahan/Peluang salah jenis I/taraf nyata α

(3). Deskripsikan data sampel yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll)

(4). Hitung statistik ujinyaStatistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga parameter yang diujiTELADANH0: µ = µ0 maka maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z) atau

ns

xth

/0µ−

=n

xzh

/0

σµ−

=

(5) Tentukan batas kritis atau daerah penolakan H0

Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari

bentuk hipotesis alternatif (H1)

TELADAN H1: µ < µ0 Tolak H0 jika th < -t(α; db)(tabel)

H1: µ > µ0 Tolak H0 jika th > t(α; db)(tabel)

H1: µ ≠ µ0 Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db)(tabel)

(6).Tarik keputusan dan kesimpulan

Pengujian Nilai Tengah Populasi

Kasus Satu Populasi– Suatu contoh acak diambil

dari satu populasi Normal berukuran n

– Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ sebesar nilai tertentu, katakanlah µ0

PopulasiX~N(µ,σ2)

Sampel

Acak Uji µ

• Hipotesis yang dapat diuji:Hipotesis satu arah:•H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0

•H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0

Hipotesis dua arah:•H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0

• Statistik uji:

– Jika ragam populasi (σ2) diketahui :

– Jika ragam populasi (σ2) tidak diketahui:

ns

xth

/0µ−

=

n

xzh

/0

σµ−

=

• Daerah kritis pada taraf nyata (α)– Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari

bidang yang sedang dikaji – Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari

bentuk hipotesis alternatif (H1) dan statistik uji yang digunakan. Teladan di bawah untuk statistik uji T.

H1: µ < µ0 Tolak H0 jika th < -t(α; db=n-1)(tabel)

H1: µ > µ0 Tolak H0 jika th > t(α; db=n-1)(tabel)

H1: µ ≠ µ0 Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db=n-1)(tabel)

• TELADANBatasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahan tersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkan perusahaan tersebut mendapat ijin ?

• Hipotesis yang diuji:H

0 : µ <= 50 vs H

1 : µ > 50

• Statistik uji: th= (55-50)/√(4.2/20)=10.91

• Daerah kritis pada taraf nyata 0.05Tolak H

0 jika th > t(0,05;db=19) = 1,729

• Kesimpulan:Tolak H

0, artinya emisi gas CO

kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi

Kasus Dua Sample Saling Bebas

– Setiap populasi diambil sampel acak berukuran tertentu (bisa sama, bisa juga tidak sama)

– Pengambilan kedua sampel saling bebas

– Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ1 sama dengan parameter µ2

Populasi IX~N(µ1,σ1

2)

Sampel I(n1)

Populasi IIX~N(µ2,σ2

2)

Sampel II(n2)

Acak dan saling bebas

µ1 ??? µ2

• Hipotesis– Hipotesis satu arah:

H0: µ1- µ2 ≥δ0 vs H1: µ1- µ2 <δ0

H0: µ1- µ2 ≤ δ0 vs H1: µ1- µ2 >δ0

– Hipotesis dua arah:H0: µ1- µ2 =δ0 vs H1: µ1- µ2 ≠δ0

• Statistik uji:– Jika ragam kedua populasi diketahui

katakan σ12 dan σ2

2 :

– Jika ragam kedua populasi tidak diketahui:

)(

021

21

)(

xxh

xxz

−

−−=

σδ

)(

021

21

)(

xxh s

xxt

−

−−=

δ

( )

≠+

=+

=−

22

21

2

22

1

21

22

21

21

;

;11

21

σσ

σσ

n

s

n

s

nns

s

g

xx

≠

=−+=

22

21

22

21

;

;221

σσσσ

efektifdb

nndb

• Daerah kritis pada taraf nyata (α)– Pada prinsipnya sama dengan kasus satu

sampel, dimana daerah penolakan H0

sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1)

H1: H1: µ1- µ2 <δ0 Tolak H0 jika th < -t(α; db)(tabel)

H1: µ1- µ2 >δ0 Tolak H0 jika th > t(α; db)(tabel)

H1: µ1- µ2 ≠δ0 Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db)(tabel)

Teladan• Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas

karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :

– Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%

55506565606540556050Persh. B

40504545256045503530Persh. A

Jawab:– Rata-rata dan ragam kedua sampel:

– Perbandingan kekuatan karton• Hipotesis:

– H0: µ1= µ2 vs H1: µ1≠µ2

( )

( )66.94

10(9)

(565)-32525)(10

)1(5,56

10

556050

106.9410(9)

(425)-19025)(10

)1(5,42

10

403530

222

2222

222

1211

==−

−==+++=

==−

−==+++=

∑ ∑

∑ ∑

nn

xxnsx

nn

xxnsx

i

i

• Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan σ1

2 ≠ σ22 )

• Daerah kritis pada taraf nyata 10%:Tolak H0 jika |th| > t(0,05;17) = 1,740

• Kesimpulan:Tolak H0, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat daripada karton A

36,310/94,10610/94,66

05,425,56

)/()/(

)()(

1212

22

1212 =+

−−=+

−−−=nsns

xxth

µµ

1710,17

9/)10/8.18(9/)10/10.34(

)10/8.1810/10.34(

)1/()/()1/()/(

)//(2222

222

22

2221

21

21

22

221

21

≈=++=

−+−+=

nnsnns

nsnsdb

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi Berpasangan

Kasus Dua Sample Saling Berpasangan

– Setiap populasi diambil sampel acak berukuran n (wajib sama)

– Pengambilan kedua sampel berpasangan, ada pengkait antar kedua sampel (bisa waktu, objek, tempat, dll)

– Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ1 sama dengan parameter µ2

Populasi IX~N(µ1,σ1

2)

Sampel I(n)

Populasi IIX~N(µ2,σ2

2)

Sampel II(n)

Acak dan berpasangan

µ1 ??? µ2

Pasangan 1

Pasangan …

Pasangan n

• Hipotesis–Hipotesis satu arah:

H0: µ1- µ2 ≥δ0 vs H1: µ1- µ2 <δ0 atau

H0: µD ≥δ0 vs H1: µD<δ0

H0: µ1- µ2 ≤ δ0 vs H1: µ1- µ2 >δ0 atau

H0: µD ≤ δ0 vs H1: µD>δ0

–Hipotesis dua arah:H0: µ1- µ2 =δ0 vs H1: µ1- µ2 ≠δ0 atau

H0: µD = δ0 vs H1: µD≠δ0

• Statistik uji: Gunakan t atau z jika ukuran contoh n besar

Dimana d adalah simpangan antar pengamatan pada sampel pertama dengan sampel kedua

• Daerah Kritis: (lihat kasus satu sampel)

dn d3d2d1D = (X1-X2)

x2n x23x22x21Sampel 2 (X2)

x1n x13x12x11Sampel 1 (X1)

n…321Pasangan

ns

dth

/0δ−

=

• Ilustrasi

Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:

Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!

5666744535D=X1-X2

86868785858786878685Sesudah (X2)

91929391929190928990Sebelum (X1)

10987654321

PesertaBerat Badan

Jawab:• Karena kasus ini merupakan contoh

berpasangan, maka:• Hipotesis:

H0 : µD ≥ 5 vs H

1 : µD < 5

• Deskripsi:

• Statistik uji:

1,510

51 === ∑n

dd i ( )

43,1)9(10

)51()273(10

)1(

2222 =−=

−−

= ∑ ∑nn

ddns iid

20,143,1 ==ds

26,010/20,1

51,5 =−=−

=−

=

nsd

s

dt

d

d

d

d µµ

• Daerah kritis pada α=5%Tolak H0, jika th < -t(α=5%,db=9)=-1.833

• Kesimpulan:Terima H0, artinya program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg