池田　陽一池田　陽一(( 東大 東大 / / 理研理研 ))

共同研究者共同研究者佐藤　透 佐藤　透 (( 阪大阪大 )) 、 鎌野　寛之 、 鎌野　寛之 (JLab)(JLab)

KEKKEK 理論センター研究会「原子核・ハドロン物理」理論センター研究会「原子核・ハドロン物理」 @KEK@KEK （（ 8/11 8/11 `09`09 ））

Strange dibaryon resonanceStrange dibaryon resonancewithwith

coupled-channel chiral dynamicscoupled-channel chiral dynamics

目次目次

　はじめに（研究の背景と目的）　はじめに（研究の背景と目的）

　　 KKbarbar N N 相互作用の模型相互作用の模型

　チャンネル結合　チャンネル結合 FaddeevFaddeev 方程式方程式

　数値計算結果　数値計算結果

　議論とまとめ　議論とまとめ

はじめにはじめにはじめにはじめに

ΛΛ 系列の第一励起状態系列の第一励起状態

……

Λ(1405)Λ(1405) 共鳴状態共鳴状態

Λ(1405)Λ(1405) の性質 の性質 (PDG)(PDG) スピン・パリティ＝ 1/2- ，ストレンジネス＝－１，アイソス

ピン＝０

質量 ： 1406±4 MeV (Kbar N 閾値より下 )

崩壊幅 : 50±2 MeV (πΣ へ崩壊 )様々な実験により、その存在は確立されて様々な実験により、その存在は確立されているいる

ΛΛ(1405)(1405) の構造はどのようなものなのか？？の構造はどのようなものなのか？？

構成クォーク模型での構成クォーク模型での Λ(1405)Λ(1405)

Λ(1405)Λ(1405)

構成クォーク模型では、構成クォーク模型では、

　　　　理論値は実験値より大きく出て　　　　理論値は実験値より大きく出てしまうしまう

構成クォーク模型だけで、構成クォーク模型だけで、

　　　　　　　　 Λ(1405)Λ(1405) を記述するのは難しそを記述するのは難しそう、、、う、、、

Isgur, Karl (1978)Isgur, Karl (1978)

ハドロン反応模型でのハドロン反応模型での Λ(1405)Λ(1405)

　　 Chiral DynamicsChiral Dynamics

　　 Effective Hamiltonian ApproachEffective Hamiltonian Approach

メソンメソン -- バリオンのバリオンの分子共鳴的分子共鳴的な描像な描像

共鳴状態　→　共鳴状態　→　 TT 行列要素（散乱振幅）の行列要素（散乱振幅）の polepole で表現で表現

barebare なバリオンなバリオン

中間子の雲中間子の雲 (( 衣衣 ))

(( 基底状態の基底状態の )) メソンメソン -- バリオンバリオンの散乱問題を解き、の散乱問題を解き、動的に生成されるハドロン共鳴を探求動的に生成されるハドロン共鳴を探求

Kaiser, Siegel, WeiseKaiser, Siegel, WeiseOset, RamosOset, RamosJido, Hyodo, HosakaJido, Hyodo, Hosaka 、、、、、、

Veit et al.Veit et al.Siegel, WeiseSiegel, WeiseHamaie et al.Hamaie et al.

Two poles on KN physical and Two poles on KN physical and unphysical sheet unphysical sheet

taken form Jido et al. NPAtaken form Jido et al. NPA725725 (2003). (2003). taken form Hyodo and Weise. PRCtaken form Hyodo and Weise. PRC7777 (200 (2008).8).

KKbarbar N N 相互作用のエネルギー依存性相互作用のエネルギー依存性

Λ(1405)Λ(1405) の構造（の構造（ Double Double polepole ））

Λ(1405)Λ(1405) のの pole position (chiral unitary model)pole position (chiral unitary model)

研究方針研究方針研究方針研究方針

KKbarbar N N 相互作用を相互作用を 33 体系（体系（ strange dibaryonstrange dibaryon ）から探）から探るる

KKbarbar N N 相互作用相互作用非常に強い引力 非常に強い引力 ( K( K 中間子原子、中間子原子、 Λ(1405) Λ(1405) ))

Λ(1405) Λ(1405) 共鳴状態共鳴状態

KKbarbarN N 準束縛状態？準束縛状態？

２つの共鳴の重ね合わせ？２つの共鳴の重ね合わせ？ (Jido et al.)(Jido et al.)

Multi quark state?Multi quark state?

KKbarbarN N 準束縛状態？準束縛状態？

２つの共鳴の重ね合わせ？２つの共鳴の重ね合わせ？ (Jido et al.)(Jido et al.)

Multi quark state?Multi quark state?

KKbar bar N – πΣ N – πΣ 結合チャンネル結合チャンネル

Strange dibaryon resonanceStrange dibaryon resonance

Strange dibaryon resonanceStrange dibaryon resonance

KKbar bar N N –N N – 　　 πΣN πΣN －－ πΛN πΛN 結合チャンネル結合チャンネル

Akaishi, YamazakiAkaishi, Yamazaki

エネルギー依存性は？エネルギー依存性は？

KKbarbarN N 相互作用の模型相互作用の模型KKbarbarN N 相互作用の模型相互作用の模型

: : メソン場メソン場 , B : , B : バリオン場バリオン場

Weinberg-Tomozawa termWeinberg-Tomozawa termWeinberg-Tomozawa termWeinberg-Tomozawa term

KKbarbarN N 相互作用の模型（相互作用の模型（ Weinberg-TomozawaWeinberg-Tomozawa項）項）

Potential model (s-wave meson-baryon scattering)Potential model (s-wave meson-baryon scattering)Fixed with SU(3) symmetryFixed with SU(3) symmetryFixed with SU(3) symmetryFixed with SU(3) symmetry

Energy-dependent potential (E-dep.)

e.g., Oset, Ramos, NPA635.e.g., Oset, Ramos, NPA635.Chiral unitary modelChiral unitary model

Energy-independent potential (E-indep.)

Lutz, PLB426. Ikeda, Sato, PRC76.Lutz, PLB426. Ikeda, Sato, PRC76.

regularize loop integralregularize loop integral

２体系のＴ行列（散乱振幅）２体系のＴ行列（散乱振幅）

Lippmann-Schwinger equationLippmann-Schwinger equation

共鳴状態はＴ行列の共鳴状態はＴ行列の polepole として表現されるとして表現される

Our parameters -> cutoff of dipole form factorOur parameters -> cutoff of dipole form factor

Fit : Fit : invariant mass spectruminvariant mass spectrum

KK--

pp

with assumptionwith assumption Viet et al. (85)Viet et al. (85)

Hemingway (85)Hemingway (85)

KKbarbarN N 相互作用の模型相互作用の模型

Resonance poles on Resonance poles on KKbarbarN-physicalN-physical, , -unphysical-unphysical sheet sheet

MM

πΣπΣ virtual state, K virtual state, Kbarbar N N quasi bound state quasi bound stateπΣπΣ virtual state, K virtual state, Kbarbar N N quasi bound state quasi bound state

Conjugate

MM

MM

E-indep. potential model : E-indep. potential model : virtual virtual

E-dep. potential model : E-dep. potential model : resonance resonance (e.g. Jido et al.)(e.g. Jido et al.)

E-indep. potential model : E-indep. potential model : virtual virtual

E-dep. potential model : E-dep. potential model : resonance resonance (e.g. Jido et al.)(e.g. Jido et al.)

位相のずれ（位相のずれ（ πΣπΣ 散乱）散乱）

チャンネル結合チャンネル結合 FaddeevFaddeev 方程式方程式チャンネル結合チャンネル結合 FaddeevFaddeev 方程式方程式

FaddeevFaddeev 方程式 方程式

22 体散乱振幅の体散乱振幅の off-shelloff-shell 効果が効果が FullFull に取り込まれるに取り込まれる

Faddeev EquationsFaddeev EquationsFaddeev EquationsFaddeev Equations

W : 3-body scattering energyW : 3-body scattering energy

i(j) = 1, 2, 3i(j) = 1, 2, 3 (Spectator particles) (Spectator particles)

T(W)=TT(W)=T11(W)+T(W)+T22(W)+T(W)+T33(W) (T : 3-body amplitude)(W) (T : 3-body amplitude)

ttii(W, E(p(W, E(pii)) : 2-body t-matrix )) : 2-body t-matrix with spectator particle iwith spectator particle i

GG00(W) : 3-body free Green’s function(W) : 3-body free Green’s function

W : 3-body scattering energyW : 3-body scattering energy

i(j) = 1, 2, 3i(j) = 1, 2, 3 (Spectator particles) (Spectator particles)

T(W)=TT(W)=T11(W)+T(W)+T22(W)+T(W)+T33(W) (T : 3-body amplitude)(W) (T : 3-body amplitude)

ttii(W, E(p(W, E(pii)) : 2-body t-matrix )) : 2-body t-matrix with spectator particle iwith spectator particle i

GG00(W) : 3-body free Green’s function(W) : 3-body free Green’s function

FaddeevFaddeev 方程式方程式

Z(pi,pj;W) : Particle exchange potentials

(pn;W) : Isobar propagators

Z(pi,pj;W) : Particle exchange potentials

(pn;W) : Isobar propagators

ii

jj

ii

jj

=XXijij

ii jj

XXijij

nn

+nn

Alt-Grassberger-Sandhas(AGS) EquationAlt-Grassberger-Sandhas(AGS) Equationss

Alt-Grassberger-Sandhas(AGS) EquationAlt-Grassberger-Sandhas(AGS) Equationss

分離型ポテンシャルでの分離型ポテンシャルでの FaddeevFaddeev 方程式方程式

KKbarbarNN-NN-YN coupled-channel formalismYN coupled-channel formalism

ππ

KK

NN

NN

NN

NN

NN NN

NN

KK

ππ

ππ

３体系散乱振幅のポール（極）の求めかた３体系散乱振幅のポール（極）の求めかた

WWpolepole = -B –i = -B –i/2 /2

Eigenvalue equation for Fredholm kernelEigenvalue equation for Fredholm kernel

three-body resonance pole at Wthree-body resonance pole at Wpolepole

Formal solution for three-body amplitudesFormal solution for three-body amplitudes

Fredholm kernelFredholm kernel

数値計算結果数値計算結果数値計算結果数値計算結果

エネルギー依存性のエネルギー依存性のないないポテンシャルポテンシャル

Energy-independent potential (E-indep.)

KNN pole positionKNN pole positiondeeply bound statedeeply bound state

BBKppKpp> 2 B> 2 B**

-45.2-i21.7 MeV-45.2-i21.7 MeV

(1405) pole position(1405) pole position

束縛エネルギー ： 束縛エネルギー ： 18 MeV18 MeV ，　崩壊幅，　崩壊幅 /2 /2 ： ： 119 MeV9 MeV

エネルギー依存性のエネルギー依存性のあるあるポテンシャルポテンシャル

Energy-dependent potential (E-dep.)

Two-body scattering energy in three-body systemTwo-body scattering energy in three-body system

WWEEii

ii

(Non-relativistic)(Non-relativistic)

KNN pole positionKNN pole positionShallow bound stateShallow bound state

BBKppKpp ～～ BB

**

(1405) pole position (1405) pole position (KN(KN 束縛状束縛状態態 ))

束縛エネルギー ： 束縛エネルギー ： 13 MeV13 MeV ，　崩壊幅，　崩壊幅 /2 /2 ： ： 220 MeV0 MeV

Ikeda, SatoIkeda, Sato

(45-80, 45-75)MeV(45-80, 45-75)MeV

Shevchenko et al.Shevchenko et al.

(55-70, 90-110)MeV(55-70, 90-110)MeV

Faddeev equationFaddeev equation

(B, (B, ))

Dote, Hyodo, WeiseDote, Hyodo, Weise

(17-23, 40-70)MeV(17-23, 40-70)MeV

Akaishi, YamazakiAkaishi, Yamazaki

(48, 60)MeV(48, 60)MeV

Variational MethodVariational Method

(B, (B, ))

Chiral SU(3)Chiral SU(3)PhenomenologicalPhenomenologicalKN interactionKN interaction

3-body Method3-body Method

Recent studies of strange dibaryonRecent studies of strange dibaryon

Energy independent Energy independent separable potentialseparable potential

Energy independent Energy independent separable potentialseparable potential

Energy dependent Energy dependent potentialpotential

Energy dependent Energy dependent potentialpotential

The strange dibaryon resonance was studied in KThe strange dibaryon resonance was studied in KbarbarNN - NN - YN system.YN system.

We constructed the model of We constructed the model of K KbarbarN interaction N interaction from WT term.from WT term.

We solved the Faddeev equations.We solved the Faddeev equations.

-- We found the -- We found the resonance pole of strange dibaryonresonance pole of strange dibaryon

on Kon KbarbarNN physical and NN physical and YN unphysical sheetYN unphysical sheet..

-- (-B, -- (-B, ) = (-45 , 43)MeV ) = (-45 , 43)MeV

for energy-independent Kfor energy-independent KbarbarN interaction.N interaction.

-- (-B, -- (-B, ) = (-14, 42) and (-71, 280)MeV) = (-14, 42) and (-71, 280)MeV

for energy-dependent Kfor energy-dependent KbarbarN interaction.N interaction.

SummarySummary

We can expect the energy dependence of the potential can be determined We can expect the energy dependence of the potential can be determined by J-PARC/E15 experiment.by J-PARC/E15 experiment.

Future planFuture plan

Photo-production mechanismPhoto-production mechanism

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　reactionreaction

This production mechanism is investigatedThis production mechanism is investigated

by LEPS and CLAS collaborations @SPring8, JLab.by LEPS and CLAS collaborations @SPring8, JLab.

E-indep.E-indep. E-dep.E-dep.

Future plan I (Future plan I ( potential) potential)

NN potential => Two-term separable potentialNN potential => Two-term separable potential

AttractionAttraction Repulsive coreRepulsive core

YN potential => One-term separable potentialYN potential => One-term separable potential

I=3/2I=3/2

I=1/2I=1/2

Model of baryon-baryon interactionsModel of baryon-baryon interactions

Torres, Dalitz, Deloff, PLB174 (86)Torres, Dalitz, Deloff, PLB174 (86)

DalitzDalitz

KNN physicalKNN physicalN unphysicalN unphysical energy plane energy plane

FINUDAFINUDA

HemingwayHemingwayMartinMartinMartinMartin -74.4-i33.6-74.4-i33.6

DalitzDalitz -62.9-i20.5-62.9-i20.5

HemingwayHemingway -45.2-i21.7-45.2-i21.7

Numerical results (Pole position of strange dibaryon)Numerical results (Pole position of strange dibaryon)

BBKppKpp>2B>2B**

We find resonance pole of strange dibaryon.We find resonance pole of strange dibaryon.

The energy of strange dibaryon strongly depends on The energy of strange dibaryon strongly depends on KN interaction in I=0.KN interaction in I=0.

Our results show deeper binding energy of Our results show deeper binding energy of strange dibaryon than that of the strange dibaryon than that of the (1405).(1405).

KK--pp system in chiral unitary approachpp system in chiral unitary approach

Energy-dependent potential (E-dep.)

e.g., Oset, Ramos, NPA635, 99 (98)e.g., Oset, Ramos, NPA635, 99 (98)

Two-body scattering energy in three-body systemTwo-body scattering energy in three-body system

WWEEii

ii

(Non-relativistic)(Non-relativistic)

KK--pp pole positionspp pole positionsShallow bound stateShallow bound state

BBKppKpp ～～ BB

**The binding energy of the strange dibaryon is shallow in The binding energy of the strange dibaryon is shallow in UM.UM.

　構成クォーク模型では質量が大きくなる　構成クォーク模型では質量が大きくなる　　　　　　　Ｋ　Ｋ barbar Ｎの束縛状態Ｎの束縛状態 ? (? ( 散乱の動的過程で生成散乱の動的過程で生成 ))

　Ｔ行列に　Ｔ行列に Λ(1405)Λ(1405) 二つ二つのポールが見られる？のポールが見られる？

　ストレンジネスを含む様々な反応の鍵になる　ストレンジネスを含む様々な反応の鍵になる (( 中間子原子核中間子原子核 // 天体核 など…天体核 など… ))

ΛΛ 系列の第一励起状態系列の第一励起状態……

S=-1S=-1 ，， I=0I=0

Taken from Jido’s talkTaken from Jido’s talk鍵となるのは鍵となるのは KKbarbar N N 相互作相互作用！！用！！

Λ(1405)Λ(1405) 共鳴状態共鳴状態