STRUKTUR DATA HIRARKIS : TREE - E-Learning … · STRUKTUR DATA HIRARKIS : TREE Tree merupakan salah satu struktur data yang paling penting, karena banyak aplikasi menggunakan …

STRUKTUR DATA HIRARKIS : TREE

Tree merupakan salah satu struktur data yang paling penting, karena banyak aplikasi menggunakan informasi dan data yang secara alami memiliki struktur hirarkis berguna dalam membantu memecahkan banyak masalah algoritmis.

Aplikasi pohon biner :a. sebagai representasi ekspressi matematikab. aplikasi pohon biner dalam Huffman Coding.

Cara Penggambaran Tree :• Notasi Kurung• Diagram Venn• Notasi Tingkat• Notasi Garis

Terminologi :– Tree (atau pohon)

sejumlah node yang berhubungan secara hirarkis dimana suatu node pada suatu hirarki merupakan cabang dari node dengan hirarki yang lebih tinggi dan juga memiliki cabang ke beberapa node lainnya dengan hirarki yang lebih rendah.

– Root (atau akar)Node dengan hirarki tertinggi dinamakan root.

– leaf (atau daun)node yang tidak memiliki cabang. node yang tidak memiliki cabang.

– Internal node (atau node dalam)node yang bukan merupakan leaf.

– edge (atau sisi atau cabang)menyatakan hubungan hirarkis antara kedua node yang terhubungkan, biasanya digambarkan berarah (berupa panah) untuk menunjukkan node asal edge lebih tinggi dari node tujuan dari edge.

– Level (atau tingkat) suatu node (Kadang dimulai level 0 atau 1) Bilangan yang menunjukan hirarki dari suatu node, root memiliki level 1, node cabang dari root memiliki level 2, node cabang berikutnya dari node adalah level 3, dan seterusnya.

– Height (atau tinggi) suatu tree Sama dengan level dengan angka terbesar (hirarki terendah) suatu node yang ada dalam tree atau bisa juga didefinisikan sebagai jumlah sisi terbanyak dari root hingga suatu leaf yang ada di tree.

– Depth (atau kedalaman) suatu node Jumlah sisi dari root hingga node ybs.

– Subtree (atau subpohon) sebagian dari tree mulai dari suatu node N melingkupi node-node

– Subtree (atau subpohon) sebagian dari tree mulai dari suatu node N melingkupi node-node yang berada dibawah hirarkinya sehingga dapat dipandang sebagai suatu tree juga yang mana N sebagai root dari tree ini.

– Tree kosong Suatu tree yang tidak memiliki satu node pun.

– Tree dengan urutan letak geometris node-node yang merupakan cabang yang sama dari suatu node adalah penting; biasanya urutan dari kiri ke kanan.

- B, C, D dan E memiliki induk (parent) yang sama yaitu A, sehingga ke-4 node tersebut disebut saudara (siblings)

- Semua node di bawah suatu node induk hanya dapat diakses melaluiinduknya

- Lintasan (path) sebuah node X adalah urutan akses untuk mendapatkan X yang dimulai dari Akar. Path(M) = [A – B – G – M]

- Panjang lintasan (path length) X adalah jumlah node yang harus diakses untuk mendapatkan X; sehingga |Path(M)| = 4. Ada juga yang menyatakan panjang lintasan sebuah node adalah jumlah garis dari akar sampai node tersebutakar sampai node tersebut

- Tinggi (height) dari sebuah pohon adalah panjang lintasan terpanjang. Tinggi pohon di bawah ini = 4

- Jika ada sebuah lintasan dari node a ke node b, maka a adalah pendahulu (ancestor) dari b dan b disebut keturunan (descendent) dari a

- Kedalaman (depth) dari sebuah node adalah panjang lintasan dari akar ke node tersebut. Depth (G) = 3

Karakteristik :a. Terdapat 1 node yang unik, yang tidak memiliki predecessor, yang

disebut dengan root (akar)b. Terdapat satu atau beberapa node yang tidak memiliki successor yang

disebut dengan leaf (daun)c. Setiap node kecuali root pasti memiliki satu predecessord. Setiap node kecuali leaf pasti memiliki 1 atau lebih successor

Contoh :Root

Node/Vertex/SimpulEdge/ Link

A

BED

C

Leaf (daun)

F JI

GH

OMLK N

BINARY TREEKarakteristik : Maksimum child adalah 2 (Left Child dan Right Child)

Complete Binary Tree :Bila semua node kecuali Leaf memiliki 0 atau 2 child. Subtree pada HeapTree dapat memiliki path length yang berbeda

Skewed Binary Tree (Miring) :Bila semua node, kecuali Leaf memiliki hanya 1 child

Full Binary Tree :Bila semua node kecuali Leaf memiliki 2 Child dan semua subtree harusmemiliki path yang sama

Representasi :- Ekspresi MM dengan Binary Tree- Huffman Code

Ekspressi Matematika (EM) didefenisikan sebagai berikut:(1). Variabel dan Bilangan adalah EM(2). Jika E, E1 dan E2 adalah EM maka

– E, + E dan (E) adalah EME1 + E2, E1 – E2, E1 * E2, E1 / E2, E1 div E2, E1 mod E2 dan

E1^E2 juga adalah EMContoh :

4 adalah EMX adalah EM4 + X adalah EM2 + 4 * 3 adalah EM2 + 4 * 3 adalah EM(2 + 4) * 3 adalah EM

((3 + 2) * (5 – 2)) / (2 + 3) adalah EM dan seterusnya Contoh:Diketahui: Ekspressi Matematika ((2 + 3) * (5 – 2) + 5) * (5 + 3 * 2)Ditanya: Gambarkan pohon ekspressi dengan cara Bootom UpPenyelesaian:Ekspressi tersebut terbagi dua menjadi E1 dan E2 oleh operator *; sehingga

ekspressi tersebut dapat ditulis sebagai (E1) * (E2) dimana E1 = ((2 + 3) * (5 – 2) + 5) dan E2 = (5 + 3 * 2).

Kemudian gambarkan pohon ekspressi untuk (E1) * (E2).

Huffman Code:

Hubungan Level dengan Jumlah Data :

LevelKe :

Jumlah data

Minimum Maksimum

1 1 1 = 20

2 1 2 = 21

3 1 4 = 223 1 4 = 22

4 1 8 = 23

5 1 16 = 24

6 1 32 = 25

… … …

L 1 2(L-1)

TRAVERSAL BINARY TREE- Operasi penelusuran node-node dalam binary tree- Traversal dibagi 3, yaitu :

a. Preorderb. Inorderc. Postorder

- Algoritma :Procedure Preorder (n : BST);Begin

If (n<> NIL) ThenIf (n<> NIL) ThenBegin

Write(n^.Info);Preorder(n^.Kiri);Preorder(n^.Kanan);

End;End;

Procedure Inorder (n : BST);Begin

If (n<> NIL) ThenBegin

Inorder(n^.Kiri);Write(n^.Info);Inorder(n^.Kanan);

End;End;

Procedure Postorder (n : BST);Begin

If (n<> NIL) ThenBegin

Postorder(n^.Kiri);Postorder(n^.Kanan);Write(n^.Info);

End;End;

Contoh :

B

B B

B BB

B BB B

BB

Implementasi Binary Tree :a. Arrayb. Linked List

Implementasi BT pada array :- Indeks pada array menyatakan nomor kode- Node root mempunyai indeks array = 1- Leftchild suatu node dengan nomor p adalah (2p)- Rightchild suatu node dengan nomor p adalah (2p+1)- Parent dari suatu node dengan nomor p adalah (p div 2)

Implementasi Binary Tree dengan Linked ListUses crt;Type

Pointer =^Cell;Cell = Record

Kiri : Pointer;Info : Char; (* boleh diganti dg integer / tipe data lain *)Kanan : Pointer;

End;BST = Pointer;

Implementasi Binary Search Tree :

Ketentuan :a. Semua left child harus lebih kecil dari parentb. Semua right child harus lebih besar dari parentKeuntungan : Pencarian node target menjadi lebih efisien dan cepat

Operasi-Operasi Standar BST :- Mengosongkan BST- Mengosongkan BST- Mencek apakah BST kosong- Mencari Tree Minimum- Mencari Tree Maksimum- Memasukkan data baru ke dalam BST- Mencari elemen tertentu dalam BST- Menghapus data tertentu dari dalam BST- Menampilkan semua elemen dalam BST

a. Mengosongkan BST (Makenull)Procedure Makenul (T: BST);Begin

T := Nil;End;

b. Memeriksa Apakah BST KosongFunction Empty(T : BST) : Boolean;BeginBegin

Empty := (T = Nil)End;

c. Pencarian Tree Minimum

Function TREE_MINIMUM (T : BST ) : BST;Begin

If (Not Empty (T)) ThenBegin

While (T^.Kiri <> NIL) doBegin

T = T^.Kiri;T = T^.Kiri;End;return T;

End;End;

d. Pencarian Tree Maksimum

Function TREE_MAKSIMUM(T : BST ) : BST;Begin

If (Not Empty (T)) ThenBegin

While (T^.Kanan <> NIL) doBegin

T = T^.Kanan;T = T^.Kanan;End;return T;

End;End;

Operasi Insert :- Pencarian lokasi untuk node yang akan diinsert selalu dimulai dari root- Jika node yang diinsert lebih kecil dari root , maka insert di daun pada left

subtree- Jika node yang diinsert lebih besar dari root , maka insert di daun pada

right subtree

e. Memasukkan data baru ke dalam BST

Procedure Insert(x : TipeData; Var T : BST);Begin

If (T = Nil) Then (* Jika ditemukan T yang nil *)Begin

New(T);(* ciptakan node baru ditunjuk oleh T *)T^.Kiri := Nil; (* Set pointer kiri = nil *)T^.Info := x; (* Isi data pada node = x *)T^.Kanan := Nil; (* Set pointer kanan = nil *)T^.Kanan := Nil; (* Set pointer kanan = nil *)

EndElse (If x = T^.Data) Then (* x sudah ada dalam T *)

Writeln(‘Error : data tersebut sudah ada *)Else (If x < T^.Data) Then

Insert(x, T^.Ki) (*jika x < data yg ditunjuk T, maka sisipkan x ke kiri*)Else (* x > data yang ditunuk T sisipkan x ke kanan *)

Insert(x, T^.Ka)End;

f. Mencari elemen tertentu dalam BST

Function Search (x: TipeData, T : BST) : Boolean;Begin

If (T = Nil) Then Search := False

Else If (x = T^.Info) ThenSearch := True (* x ditemukan *)

Else If (x < T^.Info) ThenElse If (x < T^.Info) ThenSearch := Search(x, T^.Kiri) (*cari x ke kiri *)

Else (*x > T^.Info *)Search:= Search(x, T^.Kanan) (* cari secara rekursif ke kanan *)

End;

Operasi DeleteKetentuan Delete :- Jika yang didelete adalah leaf maka tidak perlu dilakukan modifikasi

terhadap lokasi- Jika yang didelete adalah node yang hanya memiliki satu anak, maka

anak tersebut langsung menggantikan posisi dari parent-nya- Jika yang didelete adalah node dengan 2 anak (2 subtree), maka node

yang diambil menggantikan node yang dihapus adalah :a. Berasal dari left subtree yang diambil adalah node yang paling

kanan (nilai terbesar)kanan (nilai terbesar)b. Berasal dari right subtree yang diambil adalah node yang

paling kiri (nilai terkecil)

g. Menghapus data tertentu dari dalam BST

Procedure Delete (x : TipeData; Var T : BST);Var

Bantu : Pointer;Begin

If (T = Nil) ThenWriteln(‘Error : ‘, x, ‘ tidak ditemukan ‘)

Else If (x < T^.Info) ThenDelete(x, T^.Kiri) (* rekursif ke kiri *)

Else If (x > T^.Info) ThenElse If (x > T^.Info) ThenDelete(x, T^.Kanan) (*rekursif ke kanan *)

Else (*x ditemukan *)If (T^.Kiri = Nil And T^.Kanan = Nil) Then (*Kasus x adalah daun *)Begin

Bantu := T; (*Tangkap node dengan pointer Bantu *)T := Nil; (*potong T yang tadinya menunjuk node berisi x *)Dispose(Bantu) (*deallocate Bantu atau lepaskan node *)

End

Else If (T^.Kiri = Nil) Then (*x berada pada node dimana kirinya nil *)Begin

Bantu := T;T := T^.Kanan; (* Set T = pointer kanannya *)Bantu^.Kanan := Nil; (*putuskan hubungan node dgn kanannya *)Dispose (Bantu); (*lepaskan node berisi x *)

EndElse If (T^.Kanan = Nil) Then (*x berada dinode dimana kanannya nil *)Begin

Bantu := T;T := T^.Kiri ; (* Set T = pointer kirinya *)T := T^.Kiri ; (* Set T = pointer kirinya *)Bantu^.Kiri := Nil; (*putuskan hubungan node dengan kirinya *)Dispose (Bantu); (* lepaskan node yang berisi x *)

EndElse (* pointer kiri dan kanan T tidak kosong *)

T^.Info := DeleteMin(T^.Kanan)End;

Fungsi Untuk Mendukung Operasi Delete :Function DeleteMin (Var A : BST) : TipeData;Var

Bantu : Pointer;Begin

If (T^.Kiri = Nil) Then (*ditemukan data terkecil *)Begin

Bantu := T ; (* tangkap node yang berisi data terkecil *)DeleteMin := T^.Info; (*Ambil&simpan data terkecil *)T := T^.Kanan; (* Set T = pointer kanannya *)T := T^.Kanan; (* Set T = pointer kanannya *)Bantu^.Kanan := Nil; (*lepas hubungan node tsb dgn anaknya *)Dispose (Bantu); (*lepaskan node yang berisi data terkecil *)

EndElse

DeleteMin := DeleteMin(T^.Ki); (*rekursif ke kiri *)End;

h. Menampilkan semua elemen dalam BST

Procedure Tampil(T);Var Pilih : Integer;Begin

Clrscr;Writeln(‘1. Tampil Secara Preorder’);Writeln(‘2. Tampil Secara Inorder’);Writeln(‘3. Tampil Secara Postorder’);Writeln;Write(‘Silahkan Pilih : ‘); Readln(Pilih);Write(‘Silahkan Pilih : ‘); Readln(Pilih);If (Pilih = 1) Then

Preorder(T)Else If (Pilih = 2) Then

Inorder (T)Else

Postorder(T);Readln

End;

AVL TREE

Definisi : BST yang mempunyai ketentuan bahwa maks perbedaan tinggi antara subtree kiri dan kanan adalah satu

Height-Balanced Tree :- BST adalah Height Balanced p-tree yang artinya maksimum

perbedaan height antara subtree kiri dan kanan adalah p- AVL Tree adalah height balanced 1-tree yang berarti

maksimum perbedaan height antara subtree kiri dan kanan maksimum perbedaan height antara subtree kiri dan kanan adalah satua. TallLeft bila subtree kiri lebih panjang dari subtree kanan (simbol -)b. TallRight bila subtree kanan lebih panjang dari subtree kiri (simbol +)c. Balance bila Subtree kiri dan kanan mempunyai height sama, simbolnya 0

Search Path :Path pencarian lokasi untuk dilakukan operasi insert dimulai

dari Root

Pivot Point :- Adanya node pada search path yang balancenya TallLeft

(tanda -) atau TallRight (tanda +) dan terletak paling dekatdengan node yang barudengan node yang baru

- Contoh : Jika diinsert node baru dengan nilai 5, maka pivotpointnya di node 25

Operasi Insert :- Kasus-1

Tidak ada pivot point dan setiap node adalah balance, makabisa langsung diinsert sama seperti BST

- Kasus 2Jika ada PP tetapi subtree yang akan ditambahkan nodebaru memiliki height yang lebih kecil, maka bisa langsung diinsert

- Kasus 3Jika ada PP dan subtree yang akan ditambahkan node barumemiliki height yang lebih besar, maka tree harus digeneratesupaya tetap menghasilkan AVL Tree

Regenerate :- Single Rotation

a. Single Left Rotationb. Single Right Rotation

- Double Rotationa. Double Left Rotationb. Double Right Rotation

Algoritma Single Right Rotation :Function SRR (R : Node) : Node;Begin

Node P := R^.Left;R^.Left := P^.Right;P^.Right := R;SRR := P;

End;

Algoritma Single Left Rotation :Function SLR (R : Node) : Node;Begin

Node P := R^.Right;R^.Right := P^.Left;P^.Left := R;SLR := P;

End;

Algoritma Double Right Rotation :Function DRR (R : Node) : Node;Begin

Node P := R^.Left;Node Q := P^.Right;R^.Left := Q^.Right;P^.Right := Q^.Left;Q^.Right := R;Q^.Left := P;Q^.Left := P;DRR := Q;

End;

Algoritma Double Left Rotation :Function DLR (R : Node) : Node;Begin

Node P := R^.Right;Node Q := P^.Left;R^.Right := Q^.Left;P^.Left := Q^.Right;Q^.Left := R;Q^.Right := P;Q^.Right := P;DLR := Q;

End;

HEAP TREE :Definisi :- Heap adalah Tree yang memenuhi persamaan :

R[ I ] < R[ 2*I ] dan R[ I ] < R[2*I + 1]

- Heap disebut juga Complete Binary Tree- Minimum Heap : Jika nilai parentnya selalu lebih kecil dari pada keduachildrennya

- Maximum Heap : Jika nilai parentnya selalu lebih besar dari pada kedua- Maximum Heap : Jika nilai parentnya selalu lebih besar dari pada keduachildrennya

Algoritma :Procedure Heapify(A:T; I : Integer);Begin

L := 2*I; R := 2*I+1;If (L<=Heap_Size[A] And A[L] > A[I]) Then besar := LElse besar := I;If (R<=Heap_Size[A] And A[R] > A[besar]) Then besar := R;If (besar <> I) ThenBegin

Swap(A[I], A[besar]);Heapify(A, besar);Heapify(A, besar);

End;End;

Procedure Bentuk_Heap(A : T);Begin

Heap_Size[A] = Length[A];For I:=Length[A]/2 DownTo 1 Do

Heapify(A, I);End;

Algoritma Heap Sort :

Procedure Heap_Sort(A : T);Begin

Bentuk_Heap(A);For I:= Length[A] Downto 2 DoBegin

Swap(A[1], A[I]);Swap(A[1], A[I]);Heap_Size[A] := Heap_Size[A] -1;Heapify(A,1);

End;End;

B-Tree :- Definisi : Tree yang setiap nodenya dapat berisi lebih dari pada satu

elemen- Jumlah elemen dalam sebuah node tergantung kepada order dari B-Tree

tersebut- Jumlah minimum elemen dalam setiap node (kecuali root) adalah d, dan

jumlah max adalah 2d, dimana d adalah order. Untuk Root, jumlahminimum elemen 1, dan jumlah maksimum adalah 2d

- Jumlah minimum children dari suatu node dalam B-Tree adalah 0, danjumlah Max-nya adalah jumlah elemen+1jumlah Max-nya adalah jumlah elemen+1

Operasi dalam B-Tree :- Insert

Jika node belum penuh (jumlah elemen < 2d), maka elemenbisa langsung di-insertContoh : d = 2

Insert (25)23 30 35 23 25 30 35

Jika node sudah penuh, maka perlu dilakukan node splitLangkah Node Split :- Split node menjadi 2- Letakkan d elemen terkecil di node kiri- Letakkan d elemen terbesar di node kanan- Letakkan elemen tengah ke node parentnya

Contoh : Insert(20)

Delete :- Jika target node yang akan dihapus berisi elemen lebih dari

d, maka target elemen bisa langsung dihapus tanpa perluregenerate

14 25 30 35

14 20 30 35

25

regenerate- Jika target node yang akan dihapus berisi d node,

penghapusan langsung akan menyebabkan underflow- Regenerate dilakukan dengan meminjam elemen yang

berada di node kiri atau dikanan (yang memiliki elemen lebihdari d). Parent/ Separator akan berubah

- Jika node dikiri atau dikanan yang akan dilakukanpeminjaman ternyata mempunyai elemen kurang dari d,yang mana jika dilakukan peminjaman, node tersebut akanterjadi underflow

- Regenerate akan dilakukan dengan menggabungkan nodeyang akan dihapus dengan node dikiri/kanan

Struktur Data Graph :Pendahuluan : 1. Graph : struktur data yang berbentuk network/jaringan, hubungan

antar elemen adalah many-to-many2. Struktur Data Linear = keterhubungan sekuensial antara entitas data3. Struktur Data Tree = keterhubungan hirarkis4. Struktur Data Graph = keterhubungan tak terbatas antara entitas data.

Contoh graph : Informasi topologi jaringan dan keterhubungan antar kota-kota

5. Keterhubungan dan jarak tidak langsung antara dua kota = data 5. Keterhubungan dan jarak tidak langsung antara dua kota = data keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang memperantarainya.

6. Penerapan struktur data linear atau hirarkis pada masalah graph dapat dilakukan tetapi kurang efisien. Struktur data graph secara eksplisit menyatakan keterhubungan ini sehingga pencariannya langsung (straightforward) dilakukan pada strukturnya sendiri.

Masalah-masalah Graph

Masalah path minimum (Shortest path problem)

mencari route dengan jarak terpendek dalam suatu jaringan transportasi.

Masalah aliran maksimum (maximum flow problem)

menghitung volume aliran BBM dari suatu reservoir ke suatu titik tujuan melalui jaringan pipa.

Masalah pencarian dalam graph (graph searching problem)

mencari langkah-langkah terbaik dalam program permainan catur komputer.

Masalah pengurutan topologis (topological ordering problem)

menentukan urutan pengambilan mata-mata kuliah yang saling berkaitan dalam hubungan prasyarat (prerequisite).

Masalah jaringan tugas (Task Network Problem)

membuat penjadwalan pengerjaan suatu proyek yang memungkinkan waktu penyelesaian tersingkat.

Masalah pencarian pohon rentang minimum (Minimum Spanning Tree Problem)

mencari rentangan kabel listrik yang totalnya adalah minimal untuk menghubungkan sejumlah kota.

Travelling Salesperson Problemtukang pos mencari lintasan terpendek melalui semua alamat penerima pos tanpa harus mendatangi suatu tempat lebih dari satu kali.

Four-color problemdalam menggambar peta, memberikan warna yang berbeda pada setiap propinsi yang saling bersebelahan.

Graph terdiri dari himpunan verteks (node) dan himpunan sisi (edge, arc).Verteks menyatakan entitas-entitas data dan sisi menyatakan

keterhubungan antara verteks.Notasi matematis graph G adalah :

G = (V, E)

Sebuah sisi antara verteks x dan y ditulis {x, y}. Subgraph : graph yang merupakan suatu subset (bagian) graph yang

connectedGraph H = (V1, E1) disebut subgraph dari graph G jika V1 adalah himpunan Graph H = (V1, E1) disebut subgraph dari graph G jika V1 adalah himpunan

bagian dari V dan E1 himpunan bagian dari E.

Jenis Graph :a. Directed Graph (Digraph) : jika sisi-sisi graph hanya berlaku satu arah.

Misalnya : {x,y} yaitu arah x ke y, bukan dari y ke x; x disebut origindan y disebut terminus. Secara notasi sisi digraph ditulis sebagaivektor (x, y).

Contoh Digraph G = {V, E} :V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}E = {(A,B),(A,C), (A,D), (A,F), (B,C), (B,H), (C,E), (C,G), (C,H), (C,I), (D,E),(D,F), (D,G), (D,K), (D,L), (E,F), (G,I), (G,K), (H,I), (I,J), (I,M), (J,K), (J,M),(L,K), (L,M)}.

AB

C

D

F

H

E

IM

DG

K L

J

b. Graph Tak Berarah (undirected graph atau undigraph): setiap sisi {x, y}berlaku pada kedua arah: baik x ke y maupun y ke x. Secara grafis sisipada undigraph tidak memiliki mata panah dan secara notasionalmenggunakan kurung kurawal.

Contoh Undigraph G = {V, E}V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M} E = { {A,B},{A,C}, {A,D}, {A,F}, {B,C}, {B,H}, {C,E}, {C,G}, {C,H}, {C,I}, {D,E},

{D,F}, {D,G}, {D,K}, {D,L}, {E,F}, {G,I}, {G,K}, {H,I}, {I,J}, {I,M}, {J,K}, {J,M}, {L,K}, {L,M}}.

Khusus graph, undigraph bisa sebagai digraph (panah di kedua ujung edge berlawanan)

Struktur data linear maupun hirarkis adalah juga graph. Node-node pada struktur linear ataupun hirarkis adalah verteks-verteks dalam pengertian graph dengan sisi-sisinya menyusun node-node tersebut secara linear atau hirarkis.

Struktur data linear adalah juga tree dengan pencabangan pada setiap node hanya satu atau tidak ada.

Linear 1-way linked list (digraph), linear 2-way linked list (undigraph).

AB

C

D

F

H

E

IM

DG

K L

J

AB

C

D

F

H

E

IM

DG

K L

J

Konektivitas pada Undigraph• Adjacency: Dua verteks x dan y yang berlainan disebut

terhubung langsung (adjacent) jika ada sisi {x, y} dalam E. • Path : Urutan dari kumpulan node-node, dimana tiap node

dengan node berikutnya dihubungkan dengan Edge• Simple Path : Jika node dalam path tsb hanya muncul 1 kali• Panjang dari path: jumlah sisi yang dilalui path. • Siklus (cycle) : suatu path dengan panjang lebih dari satu,

dimana vertex awal dan akhir sama. • Siklus sederhana: dalam undigraph, siklus yang terbentuk dari

tiga atau lebih verteks yang berlainan, dimana tidak ada vertex muncul lebih satu kali kecuali verteks awal/akhir.

• Dua verteks x dan y yang berbeda dalam suatu undigraph disebut berkoneksi (connected) apabila ada path penghubung.

• Suatu komponen terkoneksi (connected components) adalah subgraph (bagian dari graph) yang berisikan satu himpunan bagian verteks yang berkoneksi.

Konektivitas pada DigraphTerminologi pada Undigrap berlaku, kecuali dalam digraph harus dikaitkan

dengan arah tertentu karena pada arah yang sebaliknya belum tentu terdefinisi.

Adjacency ke/dari : Jika ada sisi (x,y) maka pada digraph dikatakan bahwa x "adjacent ke" y atau y "adjacent dari" x. Demikian pula jika terdapat path dari x ke y maka belum tentu ada path dari y ke x. Jadi dalam digraph keterkoneksian didefinisikan lebih lanjut lagi sebagai berikut.

- Terkoneksi Kuat : Bila setiap pasangan verteks berbeda x dan ydalam S, x berkoneksi dengan y dan y berkoneksi dengan xdalam S, x berkoneksi dengan y dan y berkoneksi dengan x

- Terkoneksi Lemah : Bila setiap pasangan verteks berbeda x dan ydalam S, salah satu: x berkoneksi dengan y (atau y berkoneksi dengan x) dan tidak kebalikan arahnya (hanya terdefinisi satu path: dari x ke y atau sebaliknya dari y ke x).

Graph berbobot (weighted graph)Graph dengan sisi mempunyai Bobot/ Biaya. “Biaya" ini bisa mewakili banyak aspek: biaya ekonomi suatu aktifitas, jarak geografis/tempuh, waktu tempuh, tingkat kesulitan, dan lain sebagainya.

Contoh :Graph ini merupakan Undirected Weighted Graph. Order dari verteks A = 4, verteks B = 3, dst. Adjacentcy list dari D adalah = {A, E, F, G, K, L}.

Representasi GraphRepresentasi GraphRepresentasi Matriks Keterhubungan Langsung (Adjace ncy Matrix)Matriks digunakan untuk himpunan adjacency setiap verteks. Baris berisi vertex asal adjacency, sedangkan kolom berisi vertex tujuan adjacency. Bila sisi graph tidak mempunyai bobot, maka [x, y] adjacency disimbolkan dengan 1 dan 0 bila tidak adjacency. Bila sisi graph mempunyai bobot, maka [x, y] adjacency disimbolkan dengan bobot sisi tersebut, dan bila tidak disimbolka ∞.

Direpresentasikan dalam matriks sbb.

Dari\Ke A B C D E F G H I J K L M

A - 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

B 1 - 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

C 1 1 - 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0

D 1 0 0 - 1 1 1 0 0 0 1 1 0D 1 0 0 - 1 1 1 0 0 0 1 1 0

E 0 0 1 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0

F 1 0 0 1 1 - 0 0 0 0 0 0 0

G 0 0 1 1 0 0 - 0 1 0 1 0 0

H 0 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0

I 0 0 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1

J 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 1

K 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 - 1 0

L 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 - 1

M 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 -

AB

C

D

F

H

E

IM

34 4543 18

3531 25

33 15 3516 22

22 2119

DG

K L

J

39 19 25 15

13 27 13

19

10

Dari\Ke A B C D E F G H I J K L M

A - 24 43 33 ∞ 31 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

B 24 - 18 ∞ ∞ ∞ ∞ 45 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

C 43 18 - ∞ 16 ∞ 22 35 15 ∞ ∞ ∞ ∞

D 33 ∞ ∞ - 19 22 39 ∞ ∞ ∞ 13 27 ∞

E ∞ ∞ 16 19 - 15 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

F 31 ∞ ∞ 22 15 - ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

G ∞ ∞ 22 39 ∞ ∞ - ∞ 21 ∞ 13 ∞ ∞

H ∞ 45 35 ∞ ∞ ∞ ∞ - 25 ∞ ∞ ∞ ∞

I ∞ ∞ 15 ∞ ∞ ∞ 21 25 - 19 ∞ ∞ 35

J ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 19 - 10 ∞ 15

K ∞ ∞ ∞ 13 ∞ ∞ 13 ∞ ∞ 10 - 19 ∞

L ∞ ∞ ∞ 27 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 19 - 25

M ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 35 15 ∞ 25 -

Adjacency List : ???Perhatikan deklarasi berikut :Type

Pointer = ^Simpul;Simpul = Record

Elemen : TipeData; (* tipe data menurut pilihan kita *)Next : Pointer

End;

VarX : Array [1..N] Of Pointer;

Algoritma-algoritma PencarianPencarian vertex adalah proses umum dalam graph. Terdapat 2 metoda pencarian:

Depth First Search (DFS): pada setiap pencabangan, penelusuran verteks-verteks yang belum dikunjungi dilakukan secara lengkap pada pencabangan pertama, kemudian selengkapnya pada pencabangan kedua, dan seterusnya secara rekursif.

Breadth First Search (BFS): pada setiap pencabangan penelusuran verteks-verteks yang belum dikunjungi dilakukan pada verteks-verteks adjacent, kemudian berturut-turut pada verteks-verteks adjacent, kemudian berturut-turut selengkapnya pada masing-masing pencabangan dari setiap verteks adjacent tersebut secara rekursif.

Algoritma Depth First Search :a. Algoritma diawali pada vertex S dalam Gb. Kemudian algoritma menelusuri graph dengan suatu insiden edge (u,

v) ke current vertex u. c. Jika edge (u, v) menunjuk ke suatu vertex v yang siap untuk

dikunjungi, maka kita ikuti jalur mundur ke current vertex u. Jika pada sisi lain, edge (u, v) menunjuk ke vertex v yang tidak dikunjungi, maka kita pergi ke v dan v menjadi current vertex.

d. Kita proses ini hingga kita mencapai sasaran akhir. e. Pada titik ini, kita mulai jalur mundur. Proses ini berakhir ketika jalur

mundur menunjuk balik ke awal vertex. mundur menunjuk balik ke awal vertex.

void graph(){ for semua node u do

{ colour[u]=white; p[u]=NULL;

}time = 0;for semua node u do

if colour[u] == white then DFS(u);

}void DFS(u)void DFS(u){ visit(u); time = time + 1;

d[u] = time;colour[u] = grey;for semua node v adjacent ke u do { if colour[v] == white then

{ p[v] = u; DFS(u); } }time = time + 1; f[u] = time;colour[u] = black;

}

Algoritma Breadth First Search :BFS diawali dengan vertex yang diberikan, yang mana di level 0. Dalam stage pertama, kita kunjungi semua vertex di level 1. Stage kedua, kita kunjungi semua vertex di level 2. Disini vertex baru, yang mana adjacent ke vertex level 1, dan seterusnya. Penelusuran BFS berakhir ketika setiap vertex selesai ditemui.

Implementasi algoritma BFSAlgoritma BFS menjadi kurang straightforward jika dinyatakan secara rekursif. Jadi sebaiknya diimplementasikan secara nonrekursif dengan rekursif. Jadi sebaiknya diimplementasikan secara nonrekursif dengan memanfaatkan queue sebagai struktur data pendukung

void BFS() { Queue q = new Queue();

Vertex v, w, t; for (setiap vertex v dalam G)

v.Status = false; for (setiap vertex v dalam G) { if (v.Status == false)

{ v.Status = true; q.Enqueue(v); while (EmptyQueue(Q) == false){ w = q.Dequeue();

visit(w); for (setiap vertex T adjacent dari w)for (setiap vertex T adjacent dari w){ if (t.Status == false)

{ t.Status = true; q.Enqueue(t);

}}

}}

}}

Contoh :Perhatikan graph berikut dimana penelusuran diawali pada vertex s.Input : G raph G dan vertex.Output : Edge dilabeli sebagai jelajah dan edge yang dilewati

sesuai komponen terhubung.

Langkah-1:

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Langkah-2 :


Langkah-3 :The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Langkah-4:The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.




Masalah Pencarian Lintasan TerpendekPencarian shortest path (lintasan terpendek) adalah masalah umum dalam suatu weighted, connected graph. Misal : Pencarian jaringan jalan raya yang menghubungkan kota-kota disuatu wilayah

• Lintasan terpendek yag menghubungkan antara dua kota berlainan tertentu (Single-source Single-destination Shortest Path Problems)

• Semua lintasan terpendek masing-masing dari suatu kota ke setiap kota lainnya (Single-source Shortest Path problems)

• Semua lintasan terpendek masing-masing antara tiap • Semua lintasan terpendek masing-masing antara tiap kemungkinan pasang kota yang berbeda (All-pairs Shortest Path Problems)

Untuk memecahkan masing-masing dari masalah-masalah tersebut terdapat sejumlah solusi.

• Algoritma Dijkstra untuk Single-source Shortest Path • Algoritma Floyd-Warshall untuk masalah All-pairs Shortest

Path • Algoritma Johnson untuk masalah All-pairs Shortest Path

pada sparse graph Dalam beberapa masalah graph lain, suatu graph dapat memiliki bobot negatif dan kasus ini dipecahkan oleh algoritma Bellman-Ford. Yang akan dibahas di sini adalah algoritma Dijkstra yaitu mencari lintasan terpendek dari suatu verteks asal tertentu vs ke setiap verteks lainnya. terpendek dari suatu verteks asal tertentu vs ke setiap verteks lainnya.

Algoritma DijkstraAlgoritma Dijkstra's :a. Menyelesaikan problem single-source shortest-path ketika semua

edge memiliki bobot tidak negatif. b. Algoritma greedy mirip ke algoritma Prim's. c. Algoritma di awali pada vertex sumber s, kemudian berkembang

membentuk sebuah tree T, pada akhirnya periode semua vertex dijangkau dari S. Vertex di tambah ke T sesuai urutan.

Misalnya : pertama S, kemudian vertex yang tepat ke S, kemudian yang tepat berikutnya dan seterusnya. tepat berikutnya dan seterusnya.

DIJKSTRA (G, w, s){ INITIALIZE SINGLE-SOURCE (G, s)

S ← { }Initialize priority queue Q Q ← V[G]while priority queue Q is not empty do

u ← EXTRACT_MIN(Q)S ← S È {u}// Lakukan relaxation untuk setiap vertex v adjacent ke u// Lakukan relaxation untuk setiap vertex v adjacent ke ufor setiap vertex v dalam Adj[u] do

Relax (u, v, w) }

Relax (u, v, w){ If d[u] + w(u, v) < d[v] then

d[v] = d[u] + w[u, v]}

Step1. Diberikan inisial graph G=(V, E). Semua node-node mempunyaibiaya tak terhingga, kecuali node sumber s, dengan biaya 0.


Step 2. Pertama, lakukan pemilihan node, yang mana tepat ke node sumberS. Kita inisialisasi d[S] ke 0. Tambahkan itu ke S. Relaksasi semua nodeadjacent dari sumber S. Update predecessor (lihat panah merah dalamdiagram di bawah) untuk semua node yang di-update.


Step 3. Pilih node paling tepat ke x. Relaksasi semua node adjacent kevertex x. Update predecessor untuk node u, v dan y (kembali, perhatikanpanah merah dalam diagram berikut).


Step 4. Sekarang, node y adalah node tepat, sehingga di tambahkan ke S.Relaksasi node v dan periksa predecessor yang dimiliki (perhatikan panahmerah!).


Step 5. Sekarang kita memiliki node u yang tepat. Pilih node ini dan periksabahwa itu merupakan tetangga dari node v.The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Step 6. Akhirnya, tambahan node v. Daftar predecessor sekarangmendefinisikan shortest path dari setiap node ke node asal, s.


Dynamic Programming :

Terdiri dari sederetan tahapan keputusan. Pada setiap tahapan berlakuprinsip optimality (apapun keadaan awal dan keputusan yang diambil,keputusan berikutnya harus memberikan hasil yang optimal dengan melihathasil keputusan sebelumnya.

Misalnya : Multistage Graph

Dimana : Cost (i,j) = Min(C(j,l) + Cost(i+1,l)}Dengan :Dengan :C(j,l) = Bobot edge j dan ll = Elemen Vi+1 Dan <j,l> eemen Ei=stage ke-I dan j = node dalam VProses dimulai dari k-2, dimana k adalah banyak stage

Perhatikan contoh untuk menentukan biaya termurah dari 1 hingga 12.

Diketahui graph dengan stage sebagai berikut :S1 S2 S3 S4 S5

4

9 1 2 2 65 4 4

7 7

11

33

22

77

66

1010

99

12123 3 2

5 511

2 11 68

11

55

44

88

77

1111

1010 1212

Maka langkah-langkah yang dilakukan adalah :K=5, sehingga dimulai dari S3Cost(3,6) = Min{6+Cost(4,9); 5+Cost(4,10)} = Min{6+4;5+2} = 7Cost(3,7) = Min{4+Cost(4,9); 3+Cost(4,10)} = Min{4+4;3+2} = 5Cost(3,8) = Min{5+Cost(4,10); 6+Cost(4,11)} = Min(5+2;6+5} = 7

Cost(2,2) = Min{4+Cost(3,6);2+Cost(3,7);1+Cost(3,8)}= Min{4+7;2+5;1+7} = 7

Cost(2,3) = Min{2+Cost(3,6); 7+Cost(3,7)} = Min(2+7; 7+5) = 9Cost(2,3) = Min{2+Cost(3,6); 7+Cost(3,7)} = Min(2+7; 7+5) = 9Cost(2,4) = Min{11+Cost(3,8)} = 18Cost(2,5) = Min{11+Cost(3,7); 8+Cost(3,8)} = Min(11+5;8+7} = 15Cost(1,1) = Min{9+Cost(2,2);7+Cost(2,3);3+Cost(2,4),2+Cost(2,5)}

= Min{9+7;7+9;3+18;2+15} = 16

Jadi : Shorthest Path menjadi :1 � 3 � 6 � 10 � 12 Atau : 1 � 2 � 7 � 10 � 12

Jika ada dua atau lebih shorthest path maka total biaya harus sama.

Shortest Path Pertama adalah :

4

9 1 2 2 65 4 4

7 7

11

33

22

77

66

1010

99

12123 3 2

5 511

2 11 68

11

55

44

88

77

1111

1010 1212

Shortest Path Kedua adalah :

4

9 1 2 2 65 4 4

7 7

11

33

22

77

66

1010

99

12123 3 2

5 511

2 11 68

11

55

44

88

77

1111

1010 1212

Struktur Data graf: representasi & algoritma-algoritma

Masalah Pencarian Pohon Rentangan MinimumDefinisi Pohon rentangan atau spanning tree dari suatu connected graph didefinisikan sebagai free-tree yang terbentuk dari subset sisi-sisi serta menghubungkan setiap verteks dalam graph tersebut. Pohon rentangan Minimum (MST) adalah pohon rentangan dengan total bobot dari sisi-sisinya adalah minimal. Dalam penelusuran vertex tidak diperkenankan terbentuk siklus (cycle)

Diketahui sebuah graph tak berarah dan tak berbobot sebagai berikut :

Kemungkinan Spanning Tree :

Bila jalur (edge) mempunyai biaya (cost) maka yang dicari adalah minimum cost spanning tree.

Dua algoritma populer untuk menentukan minimum spanning tree (MST) :a. Kruskal Algorithmb. Prim’s Algorithm

Algoritma Kruskal :Algoritma ini lebih sederhana jika dilihat dari konsepnya namun lebih sulit

dalam implementasinya. Idenya adalah mendapatkan satu demi satu dalam implementasinya. Idenya adalah mendapatkan satu demi satu sisi mulai dari yang berbobot terkecil untuk membentuk tree; suatu sisi walaupun berbobot kecil tidak akan diambil jika membentuk siklik dengan sisi yang sudah termasuk dalam tree.

Yang menjadi masalah dalam implementasinya adalah keperluan adanya pemeriksaan kondisi siklik tersebut.

Salah satu pemecahaannya adalah dengan subsetting yaitu pembentukan subset-subset yang disjoint dan secara bertahap dilakukan penggabungan atas tiap dua subset yang berhubungan dengan suatu sisi dengan bobot terpendek. Algoritma lengkapnya:

Tahap pertama, jika dalam V terdapat n verteks maka diinisialisasi n buah subset yang disjoint, masing-masing berisi satu verteks, sebagai subset-subset awal. Tahap berikutnya, urutkan sisi-sisi dengan bobot yang terkecil hingga terbesar. Mulai dari sisi dengan bobot terkecil hingga terbesar lakukan Mulai dari sisi dengan bobot terkecil hingga terbesar lakukan dalam iterasi:

jika sisi tsb. menghubungkan dua verteks dalam satu subset (berarti membentuk siklik) maka skip sisi tersebut dan periksa sisi berikutnya jika tidak (berarti membentuk siklik) maka kedua subset dari verteks-verteks yang bersangkutan digabungkan menjadi satu subset yang lebih besar. Iterasi akan berlangsung hingga semua sisi terproses.

MST_KRUSKAL (G){ For setiap vertex v dalam V[G] Do

{ set S(v) ← {v} }Inisialisasi priority queue Q yang berisi semua edge dari G, gunakan bobot sebagai keys.A ← { } // A berisi edge dari MSTWhile A lebih kecil dari pada n-1 edge Do { set S(v) berisi v dan S(u) berisi u }IF S(v) != S(u) ThenIF S(v) != S(u) Then{ Tambahkan edge (u, v) ke A

Merge S(v) dan S(u) menjadi satu set}Return A

}

Contoh : Diktahui sebuah graph sebagai berikut :Step 1. Dalam graph, Edge(g, h) adalah terpendek. Setiap vertex g atau vertex h dapat menjadi representatif. Misal, pilih vertex g secara bebas :


Step 2. edge (c, i) menciptakan dua tree. Pilih vertex c sebagai representasi untuk dua tree


Step 3. Edge (g, g) adalah edge terpendek berikutnya. Tambahkan edge ini dan pilih vertex g sebagai representatif :The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Step 4. Edge (a, b) menciptakan tiga tree.The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Step 5. Tambahkan edge (c, f) dan merge dua tree. Vertex c terpilih sebagai representatif. The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Step 6. Edge (g, i) adalah yang paling minimum berikutnya, tetapi jika kita tambahkan edge ini, sebuah cycle akan tercipta. Vertex c adalah representasi dari keduanya. The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Step 7. Sebagai alternatif, tambahkan edge (c, d).The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Step 8. Jika kita tambahkan edge (h, i), maka edge(h, i) akan membuat sebuah cycle.


Step 9. Sebagai alternatif penambahan edge (h, i), tambahkan edge (a, h). The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Step 10. Kembali, jika kita tambahkan edge (b, c), akan menciptakan sebuah cycle. Tambahkan edge (d, e) sebagai alternatif untuk menyempurnakan spanning tree. Dalam spanning tree ini, semua tree digabung dan vertex c adalah sebuah representatif tunggal.The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Algoritma PrimAlgoritma dimulai dari suatu verteks awal tertentu: bisa ditentukan oleh pemanggil atau dipilih sebarang oleh algoritma. Misalnya verteks awal tersebut adalah v. Pada setiap iterasi terdapat kondisi di mana himpunan verteks V terbagi dua dalam:

W yaitu himpunan verteks yang sudah dievaluasi sebagai node di dalam pohon, serta (V-W) yaitu himpunan verteks yang belum dievaluasi. Di awal algoritma W diinisialisasi berisi verteks awal v. Di awal algoritma W diinisialisasi berisi verteks awal v. Selanjutnya, di dalam iterasinya:

Pada setiap adjacency dari tiap verteks dalam W dengan verteks dalam (V-W) dicari sisi dengan panjang minimal. setelah diperoleh, sisi tersebut ditandai sebagai sisi yang membentuk tree dan verteks adjacent sisi tersebut dalam (V-W) dipindahkan ke W (menjadi anggota W). Jika sisi tersebut tidak ada maka proses selesai.

Dari contoh di atas misalnya dilakukan pencarian mulai dari verteks A (ingat tidak harus selalu dari verteks A!). Maka algoritma ini menghasilkan tahapan-tahapan iterasi pencarian sbb.:

MST_PRIM (G, w, v){ Q ← V[G]

for setiap u dalam Q do key [u] ← ∞

key [r] ← 0π[r] ← NIlwhile queue tidak kosong do{ u ← EXTRACT_MIN (Q){ u ← EXTRACT_MIN (Q)

for setiap vertex v dalam Adj[u] do{ if v ada dalam Q dan w(u, v) < key [v] then

{ π[v] ← w(u, v)key [v] ← w(u, v)

}}

}}

Documents

STRUKTUR DATA HIRARKIS : TREE - E-Learning … · STRUKTUR DATA HIRARKIS : TREE Tree merupakan salah satu struktur data yang paling penting, karena banyak aplikasi menggunakan …