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Sussidi didattici per il corso di
STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO
Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - II
AGGIORNAMENTO 29/04/2012
II
Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì
2
FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Progetto allo SLU
Progettare la sezione in c.a. consiste, nel fissare:
• generalmente la larghezza “b” della sezione; • le caratteristiche dei materiali; • il valore del copriferro “c”; • la modalità di rottura della sezione; • la percentuale “u” di armatura compressa (caso di sezione ad armatura doppia);
e nel ricavare analiticamente:
• l’altezza utile “d” della sezione (da cui segue h= d+c); • l’armatura tesa As (da cui segue A’s=u As nel caso di sezione ad armatura doppia);
Per ottenere sezioni duttili, le progetteremo sempre assumendo k=x/d=0.259 (diagramma bilanciato).
k=0.259
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Sezione rettangolare
Partiamo dall’ipotesi che sia nota la larghezza “b” della sezione. Assegndiagramma di rottura bilanciato con k=x/d=0.259limite fra i campi 2b e 3.
Dall’equilibrio alla rotazione attorno all’armatura si ricava:
MSd = NC
3
rettangolare ad armatura semplice
nota la larghezza “b” della sezione. Assegndiagramma di rottura bilanciato con k=x/d=0.259, cioè facciamo in modo che
Dall’equilibrio alla rotazione attorno all’armatura si ricava:
C d − 0.4x( ) = 0.8 ⋅ x ⋅ fcd ⋅ b⋅ d − 0.4x( )
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ad armatura semplice
nota la larghezza “b” della sezione. Assegniamo alla sezione il facciamo in modo che la rottura avvenga al
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imponendo x=0.259d si ricava:
MSd = 0.1857 ⋅ fcd ⋅ b⋅ d2
ricaviamo l’altezza utile d:
d =MSd
0.1857 ⋅ fcd ⋅ b (1)
ponendo:
r =1
0.1857 ⋅ fcd
la relazione diventa:
d = rMSd
b (2)
Dall’equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante degli sforzi di compressione si ricava:
MSd = NS d − 0.4x( ) = As ⋅ fyd ⋅ d − 0.4x( ) = As ⋅ fyd ⋅ d − 0.4 ⋅ 0.259d( ) = As ⋅ fyd ⋅ 0.9 ⋅ d
da cui si ricava:
As =MSd
0.9 ⋅ fyd ⋅ d (3)
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ESEMPIO N°3
Progettare la sezione rettangolare di una trave in c.a., di larghezza b=30 cm, da realizzare con calcestruzzo di classe C25/30 e armature metalliche del tipo B450C. Il momento flettente di progetto è pari a 160 kNm.
Caratteristiche dei materiali: o Calcestruzzo C25/30
Resistenza di progetto a compressione: Resistenza media a trazione:
Deformazione ultima: o Acciaio B450C
Tensione di progetto allo snervamento: Deformazione allo snervamento:
Deformazione ultima:
Applichiamo direttamente la relazione (1) per trovare l’altezza utile d:
d =16000
0.1857 ⋅1.411⋅30= 45.11cm
fcd = 0.85fck
1.50= 0.85
25
1.50=14.11 MPa
fctm = 0.30 ⋅ f 2
ck3 = 0.30 ⋅ 252
=3 2.55MPa
εcu = 0.0035
fyd =fyk
1.15=
450
1.15= 391.3 MPa
εyd =fyd
Es
=391.3
206000= 0.0019
εsu = 0.01
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adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=49.11 cm. Assumiamo pertanto
Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l’armatura tesa:
Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 5
Controlli di normativa:
1. Armatura long. minima: As,min
2. Armatura long. massima: As,m
6
adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=49.11 cm. Assumiamo pertanto h=50 cm
Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l’armatura tesa:
As=16000
0.9 ⋅39.13⋅ 46= 9.88cm2
Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 5Φ (=10.05 cm
= 0.260.255
4530 ⋅ 46 = 2.03 cm2
< As =10.0
max = 0.04 ⋅30 ⋅ 50 = 60 cm2> As =10.05cm2
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h=50 cm.
(=10.05 cm2)
05cm2 ok
2 ok
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Sezione rettangolare ad armatura doppia
L’altezza utile “d” si ricava dalla seguente relazione, simile alla (2):
d = r 'MSd
b (4)
in cui il coefficiente r’ viene scelto dalla tabella sotto riportata (valida per calcestruzzo C25/30), in funzione della percentuale “u” di armatura compressa e del tipo di trave (emergente o a spessore):
Coefficienti r’ per C25/30
u r’
TRAVE EMERGENTE c/d=0.1
TRAVE A SPESSORE c/d=0.2
0 1.97 0.25 1.71 1.89 0.50 1.39 1.81
n.b. per l’uso dei coefficienti riportati in tabella esprimere le distanze in cm
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ESEMPIO N°4
Con riferimento alla trave emergente dell’esempio precedente, progettare la sezione ad armatura doppia.
Imponiamo una percentuale di armatura compressa paria u=0.25. Dalla tabella dei coefficienti r’ si ricava, per trave emergente, r’=1.71.
Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:
d =1.71⋅16000
30= 39.5cm
adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=43.50 cm. Assumiamo pertanto h=45 cm.
Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l’armatura tesa:
As=16000
0.9 ⋅39.13⋅ 41=11.08cm2
Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 6ΦΦΦΦ16 (=12.06 cm2)
Per l’ipotesi fatta, l’armatura compressa vale: A’s=u·As=0.25·12.06 = 3.015 cm2 corrispondenti a 2ΦΦΦΦ14 (=3.08 cm2)
Controlli di normativa:
1. Armatura long. minima: As,min = 0.260.255
4530 ⋅ 41=1.82 cm2
< As =12.06cm2 ok
2. Armatura long. massima: As,max = 0.04 ⋅30 ⋅ 45 = 54 cm2> As =12.06cm2 ok
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ESEMPIO N°5
Con riferimento alla carpenteria sotto riportata, progettare la trave 2-5 su cui grava il solaio di copertura praticabile di un info-point turistico. Assumere sul solaio un sovraccarico accidentale pari a 3.5 kN/mq.
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Caratteristiche dei materiali: o Calcestruzzo C25/30
Resistenza di progetto a compressione: Resistenza media a trazione:
Deformazione ultima: o Acciaio B450C
Tensione di progetto allo snervamento: Deformazione allo snervamento:
Deformazione ultima:
Predimensionamento solaio:
La luce del solaio (l=5.00 m) si incrementa del 5% per tenere conto del vincolo di semincastro, pertanto la luce di calcolo è l’=1.05 l = 1.05 x 5.00 = 5.25 m. Lo spessore del solaio viene fissato maggiore di 1/30 della luce pertanto s,min=525/30=17.5 cm. Si adotterà un solaio in laterocemento a travetti prefabbricati dello spessore totale di 20 cm (16+4). Si riporta di seguito la scheda riepilogativa di analisi dei carichi.
fcd = 0.85fck
1.50= 0.85
25
1.50=14.11 MPa
fctm = 0.30 ⋅ f 2
ck3 = 0.30 ⋅ 252
=3 2.55MPa
εcu = 0.0035
fyd =fyk
1.15=
450
1.15= 391.3 MPa
εyd =fyd
Es
=391.3
206000= 0.0019
εsu = 0.01
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Solaio in c.a e laterizi a travetti prefabbricati (16+4) 4.10 kN/m2
• Pignatte con travetti prefabbricati posti
a i=50 cm (peso=0.075 kN/m2/cm)
16 x 0.075
• Soletta collaborante non armata (4
cm)
1.00 x 1.00 x 0.04 x 24
• Intonaco soffitto in gesso (1.5 cm)
1.00 x 1.00 x 0.015 x 12.00
• Massetto di pendenza in cls alleggerito
(5 cm)
1.00 x 1.00 x 0.05 x 13.00
• Impermeabilizzazione
• Massetto in malta di cemento (2 cm)
1.00 x 1.00 x 0.02 x 21.00
• Pavimento mattonelle di cotto
1.20 kN/m2
0.96 kN/m2
0.18 kN/m2
0.65 kN/m2
0.30 kN/m2
0.42 kN/m2
0.40 kN/m2
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Analisi dei carichi: Per la valutazione del peso proprio della trave assumiamo una dimensione di tentativo pari a 30x50. I solai sono orditi in maniera tale da trasferire i carichi sulle travi di piano 1-4, 2-5 e 3-6. La trave 2-5 risulta maggiormente sollecitata. Poiché l’analisi dei carichi effettuata si riferisce al carico agente su ogni mq di superficie, per valutare lo scarico per ogni metro lineare di trave è necessario moltiplicare il carico per la luce di influenza del solaio stesso, pari alla metà della luce di ogni solaio che scarica sulla trave di progetto.
• Peso proprio trave: (0.30 x 0.50 x 1.00) x 25 kN/mc = 3.75 kN/m
• Peso proprio solaio: 2x(4.10 kN/mq x 2.5 m) = 20.5 kN/m
Totale G1 = 24.25 kN/m
• Sovraccarico accidentale: 2x(3.5 kN/mq x 2.5 m) Q = 17.5 kN/m
Calcolo sollecitazioni allo SLU:
La luce di calcolo della trave, nell’ipotesi di vincolo di semincastro è: l=6.00 x 1.05 = 6.30 m. Il momento massimo di semincastro è:
M�� = q�� ∙ l
12=
58 ∙ 6.30
2= 195 kNm
qsd =1.3⋅ 24.25+1.5 ⋅17.50 = 31.52 + 26.25 ≈ 58kN
m
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Progetto della sezione in c.a.
Imponiamo una percentuale di armatura compressa paria u=0.per trave emergente, r’=1.71. Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:
adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=
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armatura compressa paria u=0.25. Dalla tabella dei coefficienti r’ si ricava, Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:
d =1.71⋅19500
30= 43.6cm
adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=47,6 cm. Assumiamo h=50 cm.
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. Dalla tabella dei coefficienti r’ si ricava, Applichiamo la relazione (4) per trovare l’altezza utile d:
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Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l’armatura tesa:
As=19500
0.9 ⋅39.13⋅ 46=12.04 cm2
Dalla tabella dei tondini, disponiamo 3ΦΦΦΦ14 + 4ΦΦΦΦ16 (=12.66 cm2). Per l’ipotesi fatta, l’armatura compressa vale: A’s=u As=0.25 ·12.66 = 3.16 cm2 corrispondenti a 3ΦΦΦΦ14 (=4.62 cm2).
Posizione dell’asse neutro
Ipotizziamo che l’armatura compressa sia snervata:
Ns = fyd ⋅ As = 39.13 ⋅12.66 = 495.4kN
N 's = fyd ⋅ A's = 39.13⋅ 4.62 =181kN
Nc = fcd ⋅ b⋅ 0.8 ⋅ x( ) =1.41⋅30 ⋅ 0.8 ⋅ x( ) = 34 ⋅ x kN
Per l’equilibrio alla traslazione orizzontale della sezione:
Ns − N 's− Nc = 0; 495.4 −181− 34 ⋅ x = 0 ; x =314.4
34= 9.24cm
poiché: x = 9.24cm> 2.20 ⋅c = 8.80cm
l’armatura compressa è snervata e la posizione dell’asse neutro trovata è corretta. Calcolo del momento resistente
Per l’equilibrio alla rotazione, ad esempio, rispetto al punto di applicazione di Nc:
M rd = Ns d − 0.4x( ) + N 's 0.4x− c( ) = 495.4 46 − 0.4 ⋅ 9.24( ) +181 0.4 ⋅ 9.24 − 4( ) =
= 21012.4kNcm= 210kNm> Msd =195kNm
VERIFICA POSITIVA
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Tabella tondini da Cemento Armato
Diametro
mm
Numero barre
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
sezione [cm²]
6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,39
8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 6,03
10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 9,42
12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 13,57
14 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 13,85 15,39 18,47
16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 24,13
18 2,54 5,09 7,63 10,18 12,72 15,27 17,81 20,36 22,90 25,45 30,54
20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 37,70
22 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01 45,62
24 4,52 9,05 13,57 18,10 22,62 27,14 31,67 36,19 40,72 45,24 54,29
25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 58,90
26 5,31 10,62 15,93 21,24 26,55 31,86 37,17 42,47 47,78 53,09 63,71
28 6,16 12,32 18,47 24,63 30,79 36,95 43,10 49,26 55,42 61,58 73,89
30 7,07 14,14 21,21 28,27 35,34 42,41 49,48 56,55 63,62 70,69 84,82
32 8,04 16,08 21,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 96,51
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Fonti • D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.)
Norme tecniche per le Costruzioni” • Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 –
Suppl. Ord.) “Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.
• S.Catasta – Materiale didattico