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CALCOLO COMBINATORIO
Che cos’è il calcolo combinatorio? Concetto di raggruppamenti semplici
e di raggruppamenti con ripetizione
Disposizioni Permutazioni Combinazioni
PROBLEMI
1. In quanti modi diversi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici si possono sedere su 4 poltrone libere di un cinema?
2. Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6?
3. Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA?
4. Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?
5. In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini?
E se le caramelle fossero diverse?
Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della
matematica applicata avente come scopo la
costruzione e la misurazione del numero di
raggruppamenti diversi che si possono comporre
prendendo una determinata quantità di elementi in
un assegnato insieme, in modo che siano
rispettate determinate regole.
CHE COS’E’?
I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE:
SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi
CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti sono presenti una o più volte
ESEMPIO 1Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono
1° modo
COPPIE ORDINATE:
ab ac
ba bc
ca cb
2° modo
COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA
L’ORDINE:
ab
ac
bc
1° modo
COPPIE ORDINATE:
aa ab ac
bb ba bc
cc ca cb
2° modoCOPPIE PER LE QUALI
NON IMPORTA L’ORDINE:
aa ab ac bb bc cc
ESEMPIO 2Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi possono ripetersi
I DIVERSI TIPI DI RAGGRUPPAMENTI
DISPOSIZIONI: si tiene conto dell’ordine degli elementi
COMBINAZIONI: non si tiene conto dell’ordine degli elementi
COME CALCOLARE IL
NUMERO DI
DISPOSIZIONI?
Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono
sedersi su 4 poltrone libere di un cinema?
Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono
sedersi su 4 poltrone libere di un cinema?
9 8 7 6
9x8x7x6 = 3024
… wow!
Il numero di DISPOSIZIONI
SEMPLICI di n oggetti distinti
presi k per volta è
Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con
n>k(cioè il prodotto di k numeri naturali consecutivi, in ordine decrescente, a partire da n)
il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è
il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è
D’n,k= nk
CHE COSA SONO LE
PERMUTAZIONI?
PERMUTAZIONI SEMPLICI
ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI
(anche privi di senso) DELLA PAROLA «APE»
P E A P E A E P A E P
A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A
Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine
Pn = Dn,n
Pn = n!
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE:
se tra gli nn oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro e β uguali tra loro, il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta:
Pn(α, β ) =
n!
α! * β!
COME CALCOLARE IL
NUMERO DI
COMBINAZIONI?
Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?
La situazione è simile a quella del problema degli amici al cinema, ma stavolta l’ordine non conta, quindi
bisogna dividere le disposizioni di 90 oggetti presi 3 per volta per il
numero delle permutazioni di tre oggetti
Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?
234960!3
888990
Il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è
Cn,k = Dn,k / k! = ( )
n
k
n(n+1)….. (n+k-1)
k !
Il numero delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è
C’n,k=
(cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso per k! )
n(n+1)….. (n+k-1)
k !
