Studenti: Matea Šutalo Nikolina Martinec Ivana Tomašković

Sveučilište u ZagrebuFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije

ZAVOD ZA MATEMATIKUDIPLOMSKI STUDIJ EKOINŽENJERSTVO

SEMINARSKI RAD

MODEL SUŽIVOTA GDJE JEDNA VELIČINA OMETA DRUGU

Voditelj rada: dr. sc. Ivica Gusić, dr. sc. Miroslav Jerković

Lipanj, 2012

SADRŽAJ

Uvod

Dinamički sustavi

Model suživota gdje jedna veličina ometa drugu

Primjer modela u programskom paketu Matlab

Zaključak

Literatura

UVOD

Svaki organizam rođenjem pripada populaciji određene vrste koja na istom staništu koegzistira s populacijama istih ili drugih vrsta.

Model suživota gdje jedna vrsta ometa drugu jednostavan je matematički model koji se može koristiti u svrhu promatranja i shvaćanja kako će se razvijati i ponašati dvije skupine jedinki dviju različitih vrsta, a da su pritom na neki način izolirane od ostalih vrsta, pri čemu jedna vrsta na drugu utječe samo tako da joj smanjuje kapacitet.

Jednostavnija međudjelovanja mogu se modelirati pa tako i odnos među populacijama gdje jedna populacija na drugu utječe samo redukcijom broja njenih jedinki, dok ta druga populacija na prvu ne utječe uopće.

DINAMIČKI SUSTAVI

opisuje međusobnu zavisnost sustava varijabli i njihovu promjenu u vremenu

mogu biti kontinuirani, diskontinuirani ili kombinacija navedenih (hibridni)

opisani su diferencijalnim jednadžbama ponašanje dinamičkih sustava moguće je predočiti orbitama

(trajektorijama - putanja ili orbita točke (x0, y0) kroz sva vremena) važno je također opisati fiksne točke ili stacionarna stanja danog

dinamičkog sustava (varijable koje se neće promijeniti s vremenom) te periodične točke jer su to stanja sustava koja se ponavljaju nakon određenog perioda vremena

dinamički sustavi mogu biti linearni (jako rijetko) ili nelinearni (sustav čiji je model opisan nelinearnim jednadžbama)

LOGISTIČKI MODEL

jedan od najjednostavnijih nelinearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda kojom je moguće opisati rast neke populacije

ovaj model često se naziva populacijskim modelom upravo zato jer se koristi za modeliranje kretanja neke populacije

K – koeficijent rasta populacije

M – nosivi kapacitet

t – vrijeme

dx/dt – brzina rasta populacije (kraće x’)

MODEL SUŽIVOTA GDJE JEDNA VRSTA OMETA DRUGU

jedna nesimetrična situacija promatra način na koji jedna vrsta utječe na drugu smanjujući

joj kapacitet, a da pritom druga ne ometa prvu može se opisati situacijom u zatvorenom sustavu gdje su

prisutne x, y, i t varijable

x – broj agresivaca y – broj žrtava t – vrijeme

dx/dt – promjena gustoće populacije x po vremenudy/dt – promjena gustoće populacije y po vremenu

a - koeficijent razvoja veličine x (napadača / agresora)b - koeficijent razvoja veličine y (žrtve) c - koeficijent nasrtljivosti napadačaK - maksimalna teoretska količina populacije xL - maksimalna teoretska količina populacije y kada ne bi bilo varijable x

PRIMJERI MODELA SUŽIVOTA GDJE JEDNA VELIČINA OMETA DRUGU U MATLABU

primjeri su prikazani u Matlabu proučavali smo utjecaj početnih uvjeta i parametara na sudbinu

dviju vrsta populacija jedne vrste (x) nazvana je “napadači” ("agresori“), a

druge (y) "žrtve" parametri

početni uvjeti - x0, y0 početna količinu agresora, odnosno žrtve

a - koeficijent razvoja veličine x (napadača / agresora)b - koeficijent razvoja veličine y (žrtve) c - koeficijent nasrtljivosti agresora K - maksimalna teoretska količina populacije xL - maksimalna teoretska količina populacije y kada ne bi bilo varijable x

POČETNO STANJE SUSTAVA – RAVNOTEŽA

Sustav je u ravnoteži ako je:

Sustav se sastoji od dvije diferencijalne jednadžbe

što znači da je

iz toga slijedi da je

ako je Sustav je u ravnoteži ako je x = 10 i y = 10

i .

PRIMJER 1.

Početni parametri

Jednadžbe modela suživota gdje jedna veličina ometa drugu

Početne vrijednosti x i y

SUSTAV JE U RAVNOTEŽI

Graf 1. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je sustav u ravnoteži

kapaciteti žrtava i napadača su uravnoteženi

promjenom vremena (t) broj populacija se ne mijenja

PRIMJER 2. proučava se utjecaj promjene koeficijenata, parametara i početnih uvjeta

u Primjeru 2 broj do kojega se napadač može razviti je 30, a broj do kojeg se žrtva može razviti je 40

početne vrijednosti napadača i žrtve su 10 kao u Primjeru 1

Graf 2. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu

poboljšanjem uvjeta za život obje vrste su se počele razmnožavati

također možemo vidjeti u kojem je vremenu broj napadača prešao određenu količinu te se kapacitet žrtava počeo smanjivati

OVISNOST PROMJENE GUSTOĆE VRSTE 1 O PROMJENI GUSTOĆE VRSTE 2

Graf 3. prikaz skupa trajektorija koje opisuju životne cikluse dviju vrsta različite boje – različiti x

povećanje gustoće napadača (x) direktno utječe na gustoću žrtava (y) trajektorije su definirane za različite početne uvjete x0 i y0 koji se kreću od vrijednosti 10 do 50 sa korakom 5

točka ponora trajektorija, (30,22) - to je fiksna točka u kojoj x ide prema svom kapacitetu, a y prema svom relativnom kapacitetu

UTJECAJ NASRTLJIVOSTI NAPADAČA - POVEĆANJE KOEFICIJENTA C utjecaj nasrtljivosti napadača c sa 0,6 na 0,7

Graf 4. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je c = 0,7

UTJECAJ NASRTLJIVOSTI NAPADAČA - POVEĆANJE KOEFICIJENTA C

pri manjem broju napadača broj žrtava počinje padati

Graf 5. Ovisnost gustoće populacije vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je c = 0,7

UTJECAJ NASRTLJIVOSTI NAPADAČA – SMANJENJE KOEFICIJENTA C

ako smanjimo utjecaj nasrtljivost napadača na c = 0,1 vidimo da je broj žrtava veći od broja napadača jer je njihov kapacitet veći od kapaciteta napadača

kako napadači usporavaju rast žrtvi, te žrtve nikad neće dostići svoj maksimalni kapacitet L = 40

Graf 6. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je c = 0,1

UTJECAJ NASRTLJIVOSTI NAPADAČA – SMANJENJE KOEFICIJENTA C

Graf 7. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je c = 0,1

primjećujemo da se točka ponora trajektorija kod c = 0,1 podigla po y osi, s obzirom na točku ponora kod c = 0,6

utjecaj napadača je u ovom slučaju manji pa se samim time i relativni kapacitet žrtava povećao

.

UTJECAJ PARAMETRA K, ODNOSNO UTJECAJ KAPACITETA NAPADAČA

Graf 8. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je K = 50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Gustoća populacije x

Gus

toća

pop

ulac

ije y

Graf 9. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je K = 50

povećanje kapaciteta napadača na K = 50 tijekom vremena direktno se povečava brojčano stanje napadača, a samim time i na smanjenje kapaciteta žrtava

Povećanje parametra K, za K = 50

UTJECAJ PARAMETRA K, ODNOSNO UTJECAJ KAPACITETA NAPADAČA

Smanjenje parametra K, za K = 20

Graf 10. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je K = 20

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Gustoća populacije x

Gus

toća

pop

ulac

ije y

Graf 11. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je K = 20

smanjenjem kapaciteta napadača K = 20 direktno se utječe na njihovo brojčano smanjenje u skladu s tim vidljivo je smanjenje utjecaja napadača na žrtve iz grafa 11. vidljivo je kako se zbog smanjenja parametra utjecaj gustoće napadača na gustoću žrtava smanjio

UTJECAJ PARAMETRA L, ODNOSNO UTJECAJ KAPACITETA ŽRTVE

Graf 12. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je L = 50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Gustoća populacije x

Gus

toća

pop

ulac

ije y

Graf 13. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je L = 50

povećanjem parametra L dolazi do povećanja broja žrtava, ali s obzirom da je napadača još dovoljno da taj rast zaustave na određenom nivou, žrtve se ne mogu razviti do punog potencijala

Povećanje parametra L, za L = 50

UTJECAJ PARAMETRA L, ODNOSNO UTJECAJ KAPACITETA ŽRTVESmanjenje parametra L, za L = 35

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Gustoća populacije x

Gus

toća

pop

ulac

ije y

Graf 15. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je L = 35Graf 14. Promjena gustoće populacije vrsta u

vremenu kada je L = 35

smanjenjem parametra L na 35 smanjuje se kapacitet žrtve budući da smo smanjili kapacitet žrtava, ranije će doći do pada njihove gustoće porastom broja napadača broj žrtava brže pada tj. veći je utjecaj napadača na žrtve

UTJECAJ INTEZITETA RAZMNOŽAVANJA POJEDINIH VRSTA

Promjena koeficijenta a, za a = 0,5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Gustoća populacije x

Gus

toća

pop

ulac

ije y

Graf 17. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je a = 0,5Graf 16. Promjena gustoće populacije vrsta

u vremenu kada je a = 0,5

promjenom parametra a broj napadača puno brže dosegne svoj maksimum (intenzitet njihovog razvoja je puno veći), pa samim time i broj žrtvi brže padne

UTJECAJ INTEZITETA RAZMNOŽAVANJA POJEDINIH VRSTA

Promjena koeficijenta b, za b = 0,5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Gustoća populacije x

Gus

toća

pop

ulac

ije y

Graf 18. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je b = 0,5

Graf 19. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je b = 0,5

promjenom parametra b se povećava intenzitet razvoja žrtvi pa brže dosegnu maksimalan broj koji mogu dostići, ali čim se napadači (agresori) dovoljno razviju, opet broj žrtvi opada

ZAKLJUČAK Model suživota gdje jedna veličina ometa drugu je vrlo jednostavan

i razumljiv.

Mijenjanjem određenih parametara i početnih uvjeta dolazimo do različitih odnosa populacija.

Možemo zaključiti da se povećanjem početnog intenziteta razvoja ili razmnožavanja, nasrtljivosti te maksimalnog kapaciteta napadača povećava utjecaj na žrtvu. Do istog učinka dolazi ako se neki od tih parametara i koeficijenata kod žrtve smanjuju.

Promjena bilo kojeg parametra ili koeficijenata žrtve ili napadača nema utjecaj na razvoj napadača.

Ovaj model se zbog svoje pouzdanost može koristiti za izračunavanje kretanja neke populacije.

HVALA NA PAŽNJI!!!

LITERATURA

1) http://elgrunon.wordpress.com/2007/04/18/mala-povijest-deterministickog-kaosa-iii/

2) http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systems_theory 3) http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-1-

Uvod_u_kaoticne_sustave.htm 4) Damir Marinić; Teorije dinamičkih sustava kao

metateorijski okvir za istraživanja ličnosti; pregledni rad; Osijek 2008.

5) Petra Sabljić; Diskretni dinamički sustavi – logistički model, Kaos; seminarski rad; Zagreb 2009.

6) Ivica Gusić; Uvod u matematičke metode u inženjerstvu; predavanja s Fakulteta kemijskog inženjerstva i tehnologije u Zagrebu.