1

STUDIJNÍ TEXT

Základy fyziky

Fakulta strojní

Eva Janurová

VŠB – TU Ostrava, Katedra fyziky, 2016

2

OBSAH

1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY ......................................................................................... 4

1.1. FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY ................................................... 4

1.2. ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN ................................................................. 6

2. KINEMATIKA ................................................................................................................. 8

2.1. DĚLENÍ POHYBŮ .................................................................................................... 8

2.2. SLOŽENÉ POHYBY ............................................................................................... 12

2.3. POHYB PO KRUŽNICI .......................................................................................... 17

3. DYNAMIKA ................................................................................................................... 23

3.1. NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY A DRUHY SIL ..................................... 23

3.2. DRUHY SIL ............................................................................................................. 25

3.3. IMPULS SÍLY, HYBNOST .................................................................................... 33

4. PRÁCE, VÝKON, ENERGIE ....................................................................................... 35

4.1. MECHANICKÁ PRÁCE ......................................................................................... 35

4.2. VÝKON ................................................................................................................... 36

4.3. MECHANICKÁ ENERGIE ..................................................................................... 36

5. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA ................................................................................ 39

5.1. TRANSLAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA ......................................................... 39

5.2. ROTAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA ................................................................ 39

5.3. TĚŽIŠTĚ, HMOTNÝ STŘED ................................................................................. 40

5.4. MOMENT SETRVAČNOSTI ................................................................................. 41

5.5. MOMENT SÍLY ...................................................................................................... 43

5.6. MOMENT HYBNOSTI ........................................................................................... 45

5.7. POHYBOVÁ ROVNICE ROTAČNÍHO POHYBU ............................................... 46

5.8. PRÁCE, VÝKON, KINETICKÁ ENERGIE PŘI ROTAČNÍM POHYBU ............ 46

6. HYDROSTATIKA ......................................................................................................... 49

6.1. POVRCH KAPALINY ............................................................................................ 49

6.2. PASCALŮV ZÁKON .............................................................................................. 50

6.3. HYDROSTATICKÝ TLAK .................................................................................... 51

6.4. ARCHIMÉDŮV ZÁKON ........................................................................................ 53

7. HYDRODYNAMIKA .................................................................................................... 54

7.1. OBJEMOVÝ TOK, HMOTNOSTNÍ TOK ............................................................. 54

7.2. ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU ................................................. 55

7.3. BERNOULLIHO ROVNICE ................................................................................... 55

8. TEPELNÉ VLASTNOSTI LÁTEK ............................................................................. 56

8.1. TEPLO, TEPLOTA .................................................................................................. 56

8.2. FÁZOVÉ PŘEMĚNY .............................................................................................. 56

8.3. TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK ..................................................................... 58

8.4. TEPELNÁ VODIVOST ........................................................................................... 59

8.5. KALORIMETRICKÁ ROVNICE ........................................................................... 60

8.6. IDEÁLNÍ PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU .......................................................... 60

8.7. PRVNÍ HLAVNÍ VĚTA TERMODYNAMIKY (I. termodynamický zákon) ...... 63

9. ELEKTROSTATICKÉ POLE ...................................................................................... 64

9.1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ ........................................................................................... 64

9.2. COULOMBŮV ZÁKON ......................................................................................... 64

9.3. INTENZITA ELEKTROSTATICKÉHO POLE ..................................................... 65

9.4. POTENCIÁL ELEKTROSTATICKÉHO POLE .................................................... 66

9.5. NÁBOJ V HOMOGENNÍM ELEKTROSTATICKÉM POLI ................................ 67

3

9.6. KAPACITA VODIČE, KONDENZÁTORY .......................................................... 68

10. STACIONÁRNÍ ELEKTRICKÉ POLE ...................................................................... 70

10.1. VZNIK ELEKTRICKÉHO PROUDU VE VODIČI ........................................... 70

10.2. ODPOR VODIČE ................................................................................................ 72

10.3. OHMŮV ZÁKON ................................................................................................ 73

11. KMITAVÝ POHYB NETLUMENÝ …………………………………………………...74

12. MECHANICKÉ VLNĚNÍ……………………………………………………………….82

4

1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 1.1. FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY Při pozorování a popisu libovolného objektu víme, že zaujímá určitý prostor, pohybuje se,

mění se jeho vlastnosti, působí na jiná tělesa apod.

Fyzikální vlastnosti těles, stavy i jejich změny, které je možné změřit, charakterizujeme

fyzikálními veličinami.

SOUSTAVY FYZIKÁLNÍCH VELIČIN A JEDNOTEK

Každá fyzikální veličina souvisí s mnoha jinými fyzikálními veličinami a jejich změnami.

Proto už od počátku 19. století vznikaly soustavy veličin a jednotek.

Při tvorbě těchto soustav se na začátku volí určitý počet veličin za základní a k nim se

stanoví základní jednotky.

V České republice se podle zákona č. 35/62 Sb smějí používat pouze zákonné měřicí

jednotky, které vycházejí z Mezinárodní soustavy jednotek označované SI (zkratka

francouzského názvu Système International d`Unités).

MEZINÁRODNÍ SOUSTAVA JEDNOTEK

Mezinárodní soustavu jednotek (SI) tvoří:

a) Sedm základních jednotek, které odpovídají sedmi základním veličinám.

Základní veličina Značka veličiny Základní jednotka Značka jednotky

délka l metr m

hmotnost m kilogram kg

čas t sekunda s

elektrický proud I ampér A

termodynamická teplota T kelvin K

látkové množství n mol mol

svítivost I kandela cd

Každá základní jednotka má svou definici, uvedenou v české státní normě ČSN 01 1300.

b) Dvě doplňkové jednotky

Doplňková veličina Značka veličiny Doplňková jednotka Značkajednotky

rovinný úhel α, β, γ, … radián rad

prostorový úhel ,, Ω, … steradián sr

5

c) Odvozené jednotky SI, které jsou určeny pro měření všech ostatních fyzikálních veličin

(odvozených veličin). Odvozené jednotky jsou odvozovány pomocí definičních vztahů ze

základních nebo již dříve odvozených jednotek. Vychází se při tom z definičních vztahů

odpovídajících veličin. Například hustota ρ je určena vztahem: V

mρ .

Jednotka hustoty: 3m

kgρ .

Některé jednotky mají vlastní názvy a značky, zpravidla podle jmen vynikajících fyziků,

např. newton N, ampér A, volt V aj.1

Pro počítání se zápornými exponenty platí (podobně jako u exponentů kladných), že při

násobení mocnin se exponenty sčítají a při dělení mocnin se exponenty odčítají, např.

d) Násobky a díly jednotek SI, jejichž názvy se tvoří pomocí normalizovaných předpon

z názvů základních jednotek. Výjimkou je pouze při tvorba násobků a dílů jednotky

hmotnosti. V tabulce jsou uvedeny nejužívanější předpony spolu s mocninami deseti, pomocí

nichž se násobky nebo díly vyjadřují.

Předpona Značka Násobek Mocnina deseti

tera- T 1 000 000 000 000 1012

giga- G 1 000 000 000 109

mega- M 1 000 000 106

kilo- k 1 000 103

mili- m 0,001 10-3

mikro- μ 0,000 001 10-6

nano- n 0,000 000 001 10-9

piko- p 0,000 000 000 001 10-12

V některých případech se používají i další předpony, např. centi (značka c): 1 cm = 10-2

m.

Abychom nemuseli odvozené jednotky zapisovat pomocí zlomkové čáry, píšeme záporné

exponenty u značek jednotek, např.

113

3kgN

kg

N,sm

s

m,mkg

m

kg

Mezi některé měřicí jednotky patří mimo jednotek SI i tzv. vedlejší jednotky (např. ºC, min

apod.).

1 Některé z těchto značek jsou často odvozovány od počátečních anglických, řeckých nebo latinských termínů

pro odpovídající veličiny a jednotky. Např délka l (z angl. lenght = délka), objem V (z angl. volume = objem).

Slovo metr je odvozeno z řeckého metron = měřidlo, měřítko, míra.

Slovo sekunda pochází z latinského secundus = druhý; „Secundus minuta hora“ = „druhá zmenšená hodina“, tj.

druhé zmenšení hodiny. „Prvním zmenšením“ bylo pouhé „minuta hora“. Doslovným českým překladem

„sekundy“ je „vteřina“ od staročeského „vterý“ = druhý (viz úterý tj. druhý den v týdnu).

6

1.2. ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN

Fyzikální veličiny dělíme podle jejich typu na:

a) Skaláry (skalární fyzikální veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostí (číselnou

hodnotou) a jednotkou, ve které se daná veličina měří (hmotnost m, čas t, práce W, výkon P,

energie E, moment setrvačnosti J, atd.). Pracujeme s nimi podle pravidel pro počítání

s reálnými čísly.

Př. Na misce vah leží závaží o hmotnosti m1 = 5 kg. Přidáme závaží o hmotnosti m2 = 2 kg.

Váha ukáže celkovou hmotnost závaží m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg.

Podobně bychom postupovali, kdyby byla závaží odebírána. V tomto případě bychom

hmotnosti závaží odečítali.

b) Vektory (vektorové fyzikální veličiny) jsou určeny velikostí a směrem (posunutí s

,

rychlost v

, zrychlení a

, síla F

, hybnost p

, atd.).

V psaném textu nebo v grafickém vyjádření mohou být vektory značeny také tučným písmem.

Považujeme je za orientované úsečky. Výhodou je, že s nimi můžeme pracovat jako se

stranami trojúhelníka a používat přitom vztahy známé z goniometrie.

POZNÁMKA:

a) Pythagorova věta → c2 = a2 + b2

b) Kosinova věta (používáme pro trojúhelníky určené podle vět sss, sus) → c2 = a2 + b2 - 2a·b·cosγ

c) Sinova věta (používáme pro trojúhelníky určené podle vět usu, Ssu) →

sinγ

c

sinβ

b

sinα

a

d) Goniometricé funkce použité na pravoúhlý trojúhelník →

c

a

přepona

protilehláαsin

c

b

přepona

přilehláαcos

b

a

přilehlá

protilehláαtg

a

b

protilehlá

přilehláαgcot

7

Př. Řeka teče rychlostí v1 = 4 m.s-1

. Kolmo k protějšímu břehu odrazil člun rychlostí

v2 = 3 m.s-1

.

a) Určete výslednou rychlost člunu.

Řešení:

Výsledný pohyb bude složený z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu

řeky.

Výslednou rychlost v

získáme tak, že útvar doplníme na rovnoběžník. Výsledná rychlost v

pak bude tvořit úhlopříčku, která bude zároveň přeponou v pravoúhlém trojúhelníku.

Vektory 1

v

a 2

v

vektorově složíme 21

vvv

Velikost výsledné rychlosti určíme pomocí Pythagorovy věty :

2

2

2

1vvv

122 s.m52543 v

b) Určete odklon člunu od původního směru.

Řešení:

3

4tgα

2

1

v

vα = 53º

Výsledná rychlost je 5 m.s-1

, odklon od původního směru je 53º.

8

2. KINEMATIKA

Slovo kinematika pochází z řeckého kineo, což znamená pohyb.

Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho příčinu, tj. na působící sílu.

POZNÁMKA:

Často bývá v textu pojem tělesa nahrazen termínem hmotný bod.

Hmotný bod je objekt, jehož rozměry a tvar můžeme při řešení určitého problému zanedbat

a úlohu si tak zjednodušit. Nahrazujeme jím těleso, jehož rozměry jsou zanedbatelné

vzhledem k uvažovaným vzdálenostem pohybu.

Základními veličinami, které používáme k popisu pohybu, jsou :

polohový vektor r

,

rychlost v

,

zrychlení a

.

2.1. DĚLENÍ POHYBŮ

Pohyby dělíme podle:

a) Trajektorie (křivky, po které se těleso pohybuje)

1) přímočaré – trajektorií pohybu je přímka, vektor rychlosti v

má stále stejný směr

2) křivočaré – trajektorií pohybu je křivka, vektor rychlosti v

mění svůj směr. V každém

okamžiku je tečnou k trajektorii. Typickými křivočarými pohyby jsou pohyb po

kružnici, vrh vodorovný, vrh šikmý.

Vektor

je směrový vektor, je orientovaný ve směru pohybu. Je vždy rovnoběžný

s vektorem rychlosti.

Vektor n

je normálový vektor, je vždy kolmý ke směru pohybu. Je kolmý k vektoru

rychlosti.

b) Rychlosti

1) rovnoměrný 2-s.m0 a

2) rovnoměrně proměnný (zrychlený, zpomalený) .konsta

3) nerovnoměrně proměnný (zrychlený, zpomalený) .konsta

9

RYCHLOST

Při pohybu tělesa dochází ke změně jeho polohy. Jestliže zakreslíme pohyb tělesa do

souřadného systému, pak jeho polohu určuje v každém okamžiku polohový vektor r

.

Během pohybu opisuje koncový bod polohového vektoru trajektorii (křivku).

Těleso urazí za určitý časový interval t dráhu s . Dojde přitom ke změně polohového

vektoru 12rrr

.

Při svém pohybu má těleso rychlost, která je charakterizována změnou polohového vektoru,

ke které dojde během časového intervalu

intervalčasový

vektorupolohovéhozměna

t

rv

.

Jednotkou rychlosti je m.s-1

.

POZNÁMKA:

Pro určení okamžité rychlosti, kterou má těleso v daném časovém okamžiku, používáme

infinitezimální počet (spojený se jménem matematika Leibnitze – derivace, integrál).

Jestliže chceme určit průměrnou rychlost, pak

t

sv

p

,

čascelkový

dráhacelková.

ZRYCHLENÍ

Jestliže se během pohybu mění vektor rychlosti, pak to znamená, že se těleso pohybuje se

zrychlením a

.

Zrychlení je změna vektoru rychlosti, ke které dojde během časového intervalu.

intervalčasový

rychlostizměna

t

va

.

10

Jednotkou zrychlení je m.s-2

.

ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ POHYB

Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantní rychlostí.

Za stejné časové intervaly urazí těleso stejnou dráhu.

Protože se rychlost nemění, je zrychlení pohybu nulové.

Potom v = konst.,

Grafickým znázorněním závislosti rychlosti na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou.

Dráha roste přímo úměrně v závislosti na čase. Pro dráhu rovnoměrného pohybu platí

vztah

0svts , kde s0 je počáteční dráha

Grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je přímka různoběžná s časovou osou.

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB

Těleso se pohybuje s konstantním zrychlením

Za stejné časové intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu,

Za stejné časové intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu,

Potom a = konst.,

Grafickým znázorněním závislosti zrychlení na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou.

11

Rychlost roste přímo úměrně v závislosti na čase. Pro rychlost rovnoměrně zrychleného

pohybu platí vztah

0vtav , kde v0 je počáteční rychlost.

Grafickým znázorněním je přímka různoběžná s časovou osou.

Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu roste kvadraticky v závislosti na čase. Platí vztah

00

2

2

1s stvta , kde s0 je počáteční dráha.

Proto grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je parabola.

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB

Zrychlení tohoto pohybu je orientováno proti směru vektoru rychlosti. Vzhledem k tomu, že

používáme nevektorové vyjádření, zapíšeme do rovnice pro rychlost a dráhu zrychlení se

záporným znaménkem.

Platí vztahy

0vatv , tvats 02

2

1 .

VOLNÝ PÁD

12

Volný pád je zvláštním případem rovnoměrně zrychleného pohybu. Všechna tělesa volně

puštěná se v tíhovém poli Země pohybují se stejným zrychlením. Toto zrychlení nazýváme

tíhové zrychlení, značíme je g.

Hodnota tíhového zrychlení v naší zeměpisné šířce je g = 9,81 m.s-2

.

Je-li počáteční rychlost volného pádu v0 = 0 m.s-1

a počáteční dráha s0 = 0 m, pak

gtv , 2

2

1gts .

Na uvedeném obrázku vidíme, jak se rychlost padajících objektů zvětšuje v závislosti na čase.

Grafickým znázorněním této závislosti je přímka různoběžná s časovou osou. Grafickým

znázorněním závislosti dráhy na čase je, stejně jako u obecného rovnoměrně zrychleného

pohybu, parabola.

NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB

Vzhledem k tomu, že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolným způsobem, zavádíme

ještě další typ pohybu – nerovnoměrně zrychlený. Zrychlení u tohoto pohybu není konstantní

.konsta V tomto případě nelze vyjádřit příslušné veličiny pomocí jednoduchých vzorců.

Výpočty kinematických veličin (dráhy, rychlosti a zrychlení) řešíme pomocí derivování

a integrování.

2.2. SLOŽENÉ POHYBY

Zákon o nezávislosti pohybů

Koná-li hmotný bod současně dva nebo více pohybů, je jeho výsledná poloha taková, jako

kdyby konal tyto pohyby po sobě, a to v libovolném pořadí.

Vrhy jsou složené pohyby. Těleso je vrženo v určitém směru počáteční rychlostí v0. Vlivem

tíhového pole Země se těleso v každém okamžiku zároveň pohybuje volným pádem ve směru

svislém.

13

VRH SVISLÝ VZHŮRU

Při vrhu svislém vzhůru skládáme dva pohyby:

1. rovnoměrný přímočarý vzhůru pro dráhu s1 a pro rychlost v1 platí vztahy

tvs 01 v1 = v0 = konst.

POZNÁMKA:

Kdyby neexistovalo tíhové pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme), pak by se těleso pohybovalo konstantní

rychlostí v0 stále vzhůru. Jenže tíhové pole Země existuje a těleso zároveň padá dolů.

2. rovnoměrně zrychlený (volný pád) dolů – pro dráhu s2 a pro rychlost v0 platí vztahy

22

2

1tgs tgv 2

Protože dráha jako posunutí a rychlost jsou vektorové veličiny, můžeme je vektorově skládat

21sss

21

vvv

.

Protože příslušné vektory drah a rychlostí jsou opačně orientované, budeme je odečítat.

Výsledkem je okamžitá hodnota dráhy, kterou chápeme jako okamžitou výšku tělesa nad

povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platí vztahy

20

2

1tgtvs , tgvv 0

Rychlost se během pohybu mění. Postupně klesá, až v maximální výšce je rovna nule. Poté

těleso padá volným pádem a rychlost opět roste.

Doba výstupu

Dobu výstupu tv určíme z podmínky pro rychlost. V době, kdy těleso dosáhne maximální

výšky je jeho rychlost nulová, -1

m.s0v .

Pak vtgv 00 . Odtud platí

gtv

0v .

Stejnou dobu, po kterou těleso stoupá, zároveň i klesá. Pak doba letu tL je dvakrát větší než

doba výstupu tv a tedy

g

vtt 0vL

22 .

14

Maximální výška

Těleso vystoupí do maximální výšky za dobu výstupu v

t . Po dosazení do okamžité hodnoty

pro výšku dostaneme

g

v

g

v

g

vg

g

vvtgtvs vv

20

20

2

200

02

0max2

1

2

1

2

1 .

Po úpravě je maximální výška

g

vs

2

20

max .

VRH VODOROVNÝ

Je složen ze dvou pohybů:

1. rovnoměrný přímočarý ve směru osy x. Těleso je při vodorovném vrhu v určité výšce y vrženo počáteční rychlostí v0 ve vodorovném

směru. Kdyby neexistovalo tíhové pole Země, pak by se těleso pohybovalo rovnoměrným

pohybem ve směru osy x.

Pro dráhu a rychlost platí:

tvx 0 konst.vv 0x

2. rovnoměrně zrychlený (volný pád) ve směru osy y.

Vzhledem k existenci tíhového pole, je těleso v každém okamžiku nuceno se pohybovat

volným pádem. Pro dráhu a rychlost ve směru svislém platí:

2

2

1tgy tgv y .

Rychlost ve směru osy y lineárně roste v závislosti na čase.

Tíhové zrychlení g a počáteční rychlost 0v jsou konstanty.

15

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovými veličinami. Jestliže je složíme, dostaneme

celkovou rychlost yx vvv

.

Vzhledem k tomu, že tyto rychlosti jsou na sebe kolmé, pak okamžitou celkovou rychlost

vypočteme pomocí Pythagorovy věty

2y

2x vvv .

VRH ŠIKMÝ

Tento vrh je složen ze dvou pohybů.

Těleso je v tomto případě vrženo vzhledem k vodorovné rovině pod úhlem rychlostí 0v .

Při řešení rozložíme počáteční rychlost 0

v

jako vektor do dvou navzájem kolmých směrů.

Složky rychlosti pak budou vyjádřeny takto:

αvv cos0x0 αvv sin0y0

Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu, pak bude rychlost ve směru osy x konstantní

αvvv xx cos00

Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovaná silovým působením Země a zapíšeme ji takto

tgvvy sin0

y-ová složka rychlosti se bude zmenšovat. V maximální výšce bude nulová, pak opět poroste

na maximální hodnotu.

16

Celková rychlost v

bude určena vektorovým součtem yx vvv

. Její velikost určíme

pomocí Pythagorovy věty

2y

2x vvv .

x-ová a y-ová souřadnice jsou dány vztahy

αtvx cos0 , 2

02

1sin tgαtvy .

Při zadaných hodnotách úhlu vrhu a počáteční rychlosti vrhu snadno určíme souřadnice tělesa

v libovolném časovém okamžiku.

Určení vybraných parametrů při šikmém vrhu s počáteční výškou h = 0.

Doba výstupu

Těleso stoupá do maximální výšky. Rychlost ve směru osy y postupně klesá, v maximální

výšce je 0y v . Pak určíme dobu výstupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv .

Doba výstupu je

g

αvt

sin0v .

Doba letu vL tt 2

Maximální výška

Maximální výšky ymax dosáhne těleso za dobu výstupu tv.

Určíme ji ze vztahu pro hodnotu y-ové souřadnice dosazením doby výstupu za čas t.

17

2

2200

02vv0max

sin

2

1sin

sin

2

1sin

g

αvgα

g

αvvtgαtvy .

Po úpravě dostaneme g

αvy

2

sin220max .

Maximální dolet

Do maximální vzdálenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL. Určíme ji ze vztahu pro

hodnotu x-ové souřadnice dosazením doby letu za čas t.

αg

αvvαtvx cos

sin2cos 00L0max

Po úpravě dostaneme g

ααvx

cossin220max .

Jestliže použijeme goniometrický vzorec pro sinus dvojnásobného argumentu, pak maximální

dolet vyjádříme ve tvaru g

αvx

2sin20max .

Za nulovou můžeme považovat počáteční výšku např. při kopu do míče. V praxi je zpravidla

počáteční výška šikmého vrhu různá od nuly. To se týká trajektorie tělesa při většině hodů a

vrhů, ale také trajektorie těžiště lidského těla při některých odrazech, např. při skoku dalekém.

2.3. POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovaným křivočarým pohybem je pohyb po kružnici. Trajektorií pohybu je

kružnice. Jestliže se těleso pohybuje z bodu A, pak se po určité době dostane zpět do

původního postavení.

18

Jedná se o pohyb periodický. Doba, za kterou se těleso dostane zpět do původní polohy, se

nazývá perioda T. Jednotkou periody je sekunda. sT

Mimo periodu zavádíme veličinu, která se nazývá frekvence f.

Frekvence představuje počet oběhů za sekundu. Jednotkou frekvence -1sf . Často se používá jednotka s názvem hertz (Hz).V základních jednotkách je 1 Hz = s

-1.

Mezi periodou a frekvencí platí vztah

Tf

1 .

Obvodové veličiny

Obvodovými veličinami jsou:

dráha s – vzdálenost, kterou těleso urazí po obvodu kružnice,

obvodová rychlost v

,

dostředivé zrychlení da

, (můžeme též nazvat normálové zrychlení na

)

tečné zrychlení ta

, (můžeme též nazvat tangenciální zrychlení ta

)

celkové zrychlení a

, (můžeme též nazvat absolutní zrychlení a

)

Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici, pak vektor rychlosti bude v každém bodě

pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmý na průvodič. Průvodič představuje spojnic tělesa se

středem kružnice (v tomto případě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r).

Vektor rychlosti mění svůj směr. Změna směru rychlosti je způsobena dostředivým

(normálovým) zrychlením an. Vektor dostředivého zrychlení je vždy kolmý k vektoru

rychlosti v

.

Platí:

r

van

2

.

Jednotkou normálového zrychlení je 2-m.sna .

19

Normálové (dostředivé) zrychlení směřuje vždy do středu křivosti.

1. rovnoměrný pohyb po kružnici:

rychlost je konstantní, mění se jen její směr.

Platí vztahy pro rovnoměrný pohyb

0, stvskonstv ,

r

vad

2

, protože je rychlost konstantní, je i dostředivé zrychlení konstantní

2-m.s0ta

2. rovnoměrně zrychlený po kružnici: rychlost není konstantní, mění velikost i směr,

platí vztahy pro rovnoměrně zrychlený pohyb,

0vtav t ,

002

2

1stvtas t ,

r

van

2

, normálové (dostředivé) zrychlení se mění. Mění směr vektoru rychlosti.

t

vat

, tangenciální (tečné) zrychlení je konstantní. Mění velikost vektoru

rychlosti.

Tečné (tangenciální) zrychlení ta

pohyb urychluje nebo zpomaluje.

Tečné zrychlení má směr tečny ke kružnici.

U zrychleného pohybu má stejný směr jako vektor rychlosti v

, u zpomaleného pohybu má

opačný směr vzhledem k vektoru rychlosti v

.

20

Jednotkou tečného zrychlení je 2-m.sta . S tečným a normálovým zrychlením pracujeme jako s vektorovými veličinami. Vektorovým

složením určíme celkové (absolutní, výsledné) zrychlení a

.

ntaaa

Velikost výsledného zrychlení určíme podle Pythagorovy věty

22

ntaaa .

Úhlové veličiny

Kromě obvodových veličin, je pohyb po kružnici často popisován pomocí veličin úhlových:

úhlová dráha

,

úhlová rychlost

,

úhlové zrychlení

.

Jejich vektory leží v ose otáčení.

Úhlová dráha

představuje úhel, o který se těleso otočí za určitý čas při pohybu po

kružnici. Jednotkou úhlové dráhy je radián, píšeme rad . Obvodová dráha je úměrná úhlové dráze. O čím větší úhel se těleso otočí, tím větší dráhu po

kružnici urazí.

21

Úhlová rychlost

je charakterizována změnou velikosti úhlové dráhy, která nastane během

časového intervalu. Jednotkou úhlové rychlosti je -1rad.s .

O celý úhel 2 se těleso otočí za dobu jedné periody T. Úhlovou rychlost pak můžeme

vyjádřit ve tvaru

fπ2T

π2ω .

Čím vyšší je frekvence otáčení, tím je úhlová rychlost větší.

Obvodová rychlost je úměrná úhlové rychlosti.

Jestliže se úhlová rychlost během pohybu mění, pak se těleso pohybuje s úhlovým

zrychlením

.

Úhlové zrychlení

. představuje změnu velikosti úhlové rychlosti, ke které dojde během

časového intervalu. Jednotkou úhlového zrychlení je -2rad.s .

Převodní vztahy mezi obvodovými a úhlovými veličinami

rs rv

rat

Úhlová dráha

, úhlová rychlost

a úhlové zrychlení

jsou vektorové veličiny. Vektory

leží v ose rotace a jsou kolmé k rovině rotace. Jejich směr je daný vektorovým součinem. Jsou

kolmé k příslušným obvodovým veličinám. Platí: rv

x , rat

x .

Poloměr r je kolmým průmětem polohového vektoru r

do roviny rotace.

22

Pro rovnoměrný a rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb můžeme použít známé

vztahy:

Rovnoměrný pohyb:

0stvs 0 tω

0

0

tt

ss

tΔ

sΔv

0

0

tttΔ

Δω

kde s00t .

Rovnoměrně zrychlený pohyb:

002

1stvtas 2t 00

2 tt2

1 ω

0vtav t 0ωtαω

0

0

tt

vv

tΔ

vΔat

0

0

tt

ωω

tΔ

ωΔ

kde s00 t , ta je tečné zrychlení působící změnu velikosti rychlosti.

Rovnoměrně zpomalený pohyb:

tvtas t 02

2

1 tωtα 0

2

2

1

0vtav t 0ωtαω

23

3. DYNAMIKA

Na rozdíl od kinematiky, která se zabývá pouze popisem pohybu, si dynamika všímá důvodů

a příčin pohybových změn působících sil.

3.1. NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY A DRUHY SIL

Příčiny pohybových změn studoval Sir Isaac Newton, který je popsal ve svém životním díle

Matematické základy přírodních věd. Závěry je možné shrnout do tří pohybových zákonů,

které mají platnost ve všech oblastech fyziky, v mikrosvětě, v makrosvětě i v megasvětě.

Základní příčinou změny pohybu je působící síla F

. Jednotkou síly je newton NF

.

Dosud jsme při řešení problémů neuvažovali význam hmotnosti pohybujících se těles.

V dynamice má naopak hmotnost nezastupitelný význam.

Každé těleso libovolného tvaru je charakterizováno veličinou, která se nazývá hmotnost m.

Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm .

Ze zkušenosti víme, že čím má těleso větší hmotnost, tím je obtížnější změnit jeho pohybový

stav. Prázdný lehký vozík roztlačíme nebo naopak zastavíme snadno. Stejný vozík, na kterém

je naloženo 500 kg materiálu, uvedeme nebo zastavíme s určitými problémy. Těleso má

v závislosti na své hmotnosti menší, či větší, schopnost setrvávat ve svém původním stavu.

Říkáme, že hmotnost je mírou setrvačných vlastností tělesa.

Pohybový stav těles je určen kromě rychlosti i hmotností. Veličina, která v sobě obě

charakteristiky spojuje, se nazývá hybnost p

. Je definovaná vztahem

vmp

.

Jednotkou hybnosti je -1kg.m.sp .

24

ZÁKON SETRVAČNOSTI

Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není přinuceno

vnějšími silami tento pohybový stav změnit.

V závislosti na rychlosti musí pro rovnoměrný přímočarý pohyb s konstantní rychlostí platit

konst. vmp

N0F

Nemění se velikost ani směr rychlosti a hybnosti.

ZÁKON SÍLY

Jestliže na těleso působí vnější síla, pak se jeho pohybový stav změní.

Těleso se pohybuje se zrychlením.

amF

Působením síly se změní rychlost, a tím i hybnost tělesa. Změna se může projevit nejen

změnou velikosti těchto veličin, ale i změnou směru příslušných veličin. Trajektorie pohybu

může změnit v závislosti na směru působící síly svůj tvar.

Platí

am

t

vm

t

vm

t

pF

.

Síla ve směru rychlosti pohyb zrychlí.

Síla působící proti směru rychlosti pohyb zpomalí.

Síla působící pod určitým úhlem změní trajektorii pohybu.

V závislosti na velikosti síly rozlišujeme pohyb:

a) N0F , pak bude zrychlení -2

m.s0a pohyb je rovnoměrný.

b) N 0konst.F , pak je zrychlení -2

m.s 0konst.a pohyb je rovnoměrně

zrychlený (zpomalený).

c) .konstF , pak zrychlení konst.a pohyb je nerovnoměrně zrychlený

(zrychlený).

ZÁKON AKCE A REAKCE

Síly, kterými na sebe tělesa navzájem působí, jsou stejně veliké opačně orientované.

25

Tyto síly se ve svých účincích neruší, protože každá z nich působí na jiné těleso. Typickými

silami akce a reakce jsou gravitační síly.

3.2. DRUHY SIL SÍLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI

Podle Newtonova zákonu síly platí amF

. Aby se těleso pohybovalo se zrychlením, pak ve

stejném směru musí působit příslušná síla.

Ve směru normálového (dostředivého) zrychlení n

a

působí normálová (dostředivá) síla nF

.

Ve směru tangenciálního (tečného) zrychlení t

a

působí tangenciální (tečná) síla t

F

r

vmamF nn

2

, t

vmamF tt

.

Normálová síla působí kolmo ke směru pohybu a mění směr pohybu (mění trajektorii).

Tangenciální síla působí ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje.

Obě síly jsou na sebe kolmé. Složíme je jako vektorové veličiny nt FFF

.

Velikost výsledné síly stanovíme výpočtem podle Pythagorovy věty. Pak 22

ntFFF .

SÍLA TÍHOVÁ

Jednou ze sil, se kterými se setkáváme v běžném životě, je síla tíhová GtakéneboFG

,

která působí v tíhovém poli Země na každé hmotné těleso.

26

POZNÁMKA:

Vznikne vektorovým složením síly gravitační 2

Z

Zg

R

mMF , která je orientovaná do středu

Země, a síly odstředivé r

vmF

od

2

. Síla odstředivá souvisí s otáčením Země kolem osy a je

kolmá k ose rotace.

odgGFFF

Velikost tíhové síly závisí na zeměpisné šířce .

.

Ve směru příslušných sil jsou orientovaná zrychlení

gravitační, odstředivé, kde m je hmotnost tělesa, Z

M je hmotnost Země, Z

R je poloměr

Země, r je vzdálenost tělesa od osy rotace, -2211

kg.N.m10.67,6

je gravitační

konstanta.

Vektorovým složením gravitačního a odstředivého zrychlení a výpočtem podle kosinové věty

dostaneme zrychlení tíhové g.

Pak tíhová síla je

gmFG

.

Je orientovaná těsně mimo zemský střed, její směr považujeme za svislý. Způsobuje volný

pád těles.

Všechna tělesa padají k Zemi v určitém místě se stejným tíhovým zrychlením g. V našich

zeměpisných šířkách je-2

s.m81,9g .

Reakce podložky na působení tíhové síly je stejně veliká, ale opačně orientovaná. Jedná se o

síly akce a reakce. Působiště reakční síly je v místě kontaktu tělesa s podložkou.

27

SÍLY TŘECÍ

Třecí síly jsou důsledkem tření, které vzniká při pohybu tělesa po povrchu jiného tělesa. Třecí

síla TtakéneboFtř

působí proti směru pohybu tělesa. Podle charakteru dotyku těles a

jejich relativním pohybu hovoříme o smykovém tření nebo valivém tření.

Příčinou smykového tření je skutečnost, že styčné plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale

hladké, jejich nerovnosti do sebe zapadají a brání vzájemnému pohybu těles. Přitom se

uplatňuje i silové působení částic v dotykových plochách. Tyto skutečnosti jsou

charakterizovány koeficientem smykového tření v pohybu f (někdy také značíme ).

Velikost třecí síly závisí na koeficientu smykového tření f a na síle kolmé k podložce –

normálové síle N. Určíme ji podle vztahu

NfFtř .

Pokud se těleso pohybuje po vodorovné rovině, pak je touto normálovou silou tíhová síla

GF

. Síla smykového tření je určena vztahem Gtř

FfF .

U rovin, které nejsou vodorovné (viz nakloněná rovina), musíme kolmou sílu nejdříve určit.

Valivé tření je vyvoláno silou, která působí proti směru pohybu při pohybu valivém. Jestliže

budeme uvažovat oblý předmět, např. kolo o poloměru r, můžeme stanovit sílu, kterou je

nutné působit, aby se kolo pohybovalo rovnoměrným pohybem.

28

Kolo tlačí na rovinu kolmou silou N. Tím působí stlačení roviny. Deformovaná rovina naopak

působí stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdálenosti ξ před osou kola. Síla

N a její reakce N' tvoří dvojici sil s momentem NξM . Aby se kolo otáčelo rovnoměrným

pohybem, je nutné vyvolat stejně velký otáčivý moment ve směru pohybu rFM . Síla F

překonávající valivé tření je určeno vztahem r

NFtřv

Tato síla je zároveň svou velikostí rovna síle valivého tření třvF ; se nazývá koeficientem

valivého tření, mξ .

Koeficient valivého tření je mnohem menší než součinitel smykového tření:

SÍLY ODPOROVÉ

Při pohybu tělesa v prostředí, např. ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině), musí těleso

překonávat odpor prostředí. Při relativním pohybu tělesa a tekutiny dochází k přemisťování

částic prostředí, uplatňují se třecí síly. Tento jev se nazývá odpor prostředí.

Odporová síla vzniká při vzájemném pohybu a působí proti pohybu. Je úměrná velikosti

rychlosti tělesa vzhledem k prostředí.

v Fodp konst

Konstanta odporu prostředí se obvykle značí R. Pak vRFodp

.

Při větších rychlostech je odporová síla úměrná druhé mocnině rychlosti. Platí vztah

2

2

1vCSF odpodp , kde

29

C je součinitel odporu prostředí (závisí na tvaru tělesa), Sodp je průřez tělesa kolmý ke směru

pohybu, je hustota prostředí, v je relativní rychlost.

SÍLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNÉ ROVINĚ

Budeme-li uvažovat libovolné těleso (např. lyžaře) na nakloněné rovině s úhlem náklonu ,

bude se pohybovat smykovým pohybem vlivem vlastní tíhové síly G

F

, která je orientovaná

svisle dolů. Tíhovou sílu jako vektor rozložíme do dvou navzájem kolmých složek. Jedna

složka 1F

je orientovaná ve směru pohybu, druhá 2F

je kolmá ke směru pohybu, tzn., že je

kolmá k nakloněné rovině.

Jejich velikosti určíme z pravoúhlého trojúhelníku s využitím funkcí sinus a cosinus takto:

αgmαFF G sinsin1 , αgmαFF G coscos2 .

Složka 2

F

ovlivňuje velikost třecí síly

2FfNfF

tř .

Třecí síla je orientovaná proti pohybu a je rovna výrazu

coscos mgfFfFGtř

.

30

Síly třFF

,1 jsou opačně orientované, jejich výslednice je rovna jejich rozdílu.

cossin1

mgfmgFFFtř

.

V případě, že tř

F >1

F , zůstane těleso v klidu.

Jestliže tř

F <1

F , pohybuje se těleso ve směru nakloněné roviny.

Výslednou sílu lze dále upravit na tvar

cossin fmgF .

Pokud je hmotnost tělesa, úhel nakloněné roviny a koeficient smykového tření konstantní,

pak je konstantní i výsledná síla pohyb je rovnoměrně zrychlený.

002

2

1stvats 0vatv

POZNÁMKA:

Pokud platí, že 1

FFtř , je výslednice sil nulová. Těleso se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

sincos mgmgf

αα

αf tg

cos

sin

Tento jev nastane tehdy, když koeficient smykového tření je roven tg .

SÍLY SETRVAČNÉ

Platnost Newtonových zákonů je omezena na inerciální vztažné soustavy. Jsou to všechny

soustavy, které se pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem.

Neinerciální vztažné soustavy jsou všechny soustavy, které se pohybují se zrychlením.

V těchto soustavách Newtonovy zákony neplatí. Projevují se zde setrvačné síly.

Setrvačné síly jsou vždy orientované proti směru zrychlení soustavy.

Setkáváme se s nimi v běžném životě při změně rychlosti pohybu (rozjíždění, brždění)

soustav.

Klasickým případem je např. rozjíždějící se tramvaj. Zatímco tramvaj se rozjíždí (brzdí) se

zrychlením a

, všechny objekty v tramvaji se pohybují směrem dozadu (dopředu) vlivem

působení setrvačné síly

amFs

,

kde m je hmotnost tělesa , a

je zrychlení soustavy.

Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působení vnější síly.

31

Podobný případ nastane v rozjíždějícím se nebo brzdícím výtahu.

Při rozjezdu nahoru působí na osazenstvo kromě tíhové síly ještě síla setrvačná. Celková síla,

která působí na člověka, bude rovna součtu obou sil

sGFFF .

Při rozjíždění výtahu směrem dolů je setrvačná síla orientovaná směrem vzhůru. Výsledná

síla, která působí na člověka, je rovna rozdílu

sGFFF .

Setrvačné síly se projevují rovněž v soustavách, které se pohybují křivočarým pohybem.

Normálové (dostředivé) zrychlení mění směr rychlosti a je orientováno do středu křivosti.

Setrvačná síla je v tomto případě orientovaná opačným směrem od středu na spojnici tělesa

se středem.

Typickým případem je pohyb po kružnici. Představte si tento pohyb i ve vodorovné rovině

Setrvačná síla má stejnou velikost jako síla normálová (dostředivá). Nazýváme ji silou

odstředivou.

r

vmamF

ns

2

32

POZNÁMKA:

Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou, která má působiště ve středu a jež je reakční silou na

sílu dostředivou.

Pokud navíc ještě soustava zrychluje vlivem tangenciální (tečné) síly t

F

, pak proti této síle je

orientovaná setrvačná tečná síla.

Celou situaci si můžeme představit při jízdě automobilem do zatáčky. Automobil je

neinercální vztažnou soustavou. Na cestující působí setrvačná odstředivá síla a tlačí je ven

z auta. Šlápneme-li navíc na plynový pedál, automobil zrychlí a projeví se působení setrvačné

tečné síly. Výsledná setrvačná síla je rovna jejich vektorovému součtu a její velikost určíme

podle vztahu 2

2

2

1 sssFFF .

SÍLY PRUŽNOSTI

V předchozích oddílech byly uvažovány vnější síly, které měnily pohybový stav těles. Tělesa

byla dokonale tuhá a neměnila účinkem vnějších sil svůj tvar.

Ve skutečnosti se tělesa účinkem vnějších sil zároveň deformují. V tělesech naopak vznikají

síly, které deformaci brání.

Působením vnějších tahových sil dochází ke zvětšování vzdálenosti mezi jednotlivými

částicemi tělesa. Proto ve vzájemném působení částic převládají přitažlivé síly, které

33

nazýváme silami pružnosti pF

. Jsou úměrné prodloužení nebo naopak zkrácení tělesa a

můžeme je zapsat ve tvaru

ykFp ,

kde k je konstanta pružnosti materiálu, y je velikost prodloužení. Vzniklé síly pružnosti brání

vnějšímu silovému působení a jsou orientovány „zpět do původní polohy“ (proto znaménko

„minus“.

V libovolném řezu tělesa o ploše S vzniká při deformaci při působení vnější síly F stav

napjatosti, který posuzujeme pomocí veličiny napětí

.

Platí

S

F

.

Jednotkou napětí je pascal. =Pa=N.m-2

3.3. IMPULS SÍLY, HYBNOST

Impuls síly představuje časový účinek síly.

Jestliže na těleso o hmotnosti m působí vnější síla F

, pak se její účinek projeví změnou

pohybového stavu tělesa, tzn. změnou rychlosti. Zároveň se změní i hybnost tělesa, která je

určena vztahem vmp

.

V časovém okamžiku 1

t má těleso hybnost 11

vmp

, v časovém okamžiku 2

t má těleso

hybnost 22

vmp

.

Uvažujeme-li pohybovou rovnici t

p

t

vmamF

, pak po úpravě na tvar

pvmtF

vyplývá, že impuls síly je roven součinu síly a časového intervalu.

Platí

tFI

.

Jednotkou impulsu síly je I

=N.s.

34

Zároveň platí, že impuls síly je roven změně hybnosti

pppI

12 .

35

4. PRÁCE, VÝKON, ENERGIE 4.1. MECHANICKÁ PRÁCE

Mechanická práce W je dráhový účinek síly.

Jednotkou práce je joule JW , podle anglického fyzika J. F. Joulea (1818-1889). Práce je skalární veličina.

Posune-li síla těleso po určité dráze, pak tato síla vykoná práci.

Tato síla může být konstantní nebo proměnná, může působit ve směru posunutí nebo pod

určitým úhlem (ten se rovněž může měnit).

Pokud síla působí pod úhlem α, vzhledem ke směru pohybu, pak ji rozložíme do dvou

navzájem kolmých složek 21

, FF

.

Složka 1

F

posunuje těleso a tudíž vykonává práci. Její velikost určíme pomocí goniometrické

funkce kosinus cos1

FF .

Složka 2

F

je orientovaná vzhůru a těleso nadlehčuje, ovlivňuje třecí sílu. Její velikost určíme

vztahem sin2

FF .

V případě, že je síla konst.F

, pak platí

cos1

sFsFW .

Podle vztahu pro skalární součin dvou vektorů cosbaba

můžeme psát sFW ,

a říkáme, že práce je skalárním součinem síly F

a posunutí s

.

36

4.2. VÝKON Výkon je časové zhodnocení vykonané práce.

Výkon značíme P, jednotkou výkonu je watt WP . Jednotka byla nazvaná na počest anglického vynálezce parního stroje Jamese Watta (1736-1819). Výkon je to skalární veličina.

Rozlišujeme výkon

a) průměrný sledujeme celkovou práci vykonanou za celkový čas.

t

WP

b) okamžitý – určíme jako práci vykonanou v daném časovém okamžiku.

Protože sFW , pak můžeme okamžitý výkon vyjádřit jako skalární součin síly F

a

rychlosti v

, kterou se v daném okamžiku působiště síly pohybuje.

vFt

sFP

.

4.3. MECHANICKÁ ENERGIE

Energie je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru schopnosti tělesa konat práci.

Jinak řečeno – energie je všechno to, z čeho je možné získat práci nebo v co se práce přemění.

Jednotkou energie je joule JE . Energie je skalární veličina.

KINETICKÁ ENERGIE

Kinetická energie k

E pohybujícího se tělesa se rovná práci, která je potřebná k jeho uvedení

z klidu do pohybového stavu s rychlostí v. Pokud se těleso pohybovalo rychlostí 1

v a pod

vlivem působící síly se rychlost změnila na hodnotu 2

v , pak je tato práce rovna právě změně

kinetické energie k

E tělesa.

37

Uvažujme sílu působící ve směru pohybu, pak 10coscos .

.

Vzhledem k tomu, že hmotnost m je konstantní, pak po integraci je

kkk EEEvmvmW 122

1

2

22

1

2

1.

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v, určíme podle

vztahu

2

2

1vmE

k .

Se zvětšující se rychlostí tělesa kinetická energie roste, při poklesu rychlosti kinetická energie

klesá.

POTENCIÁLNÍ ENERGIE

Potenciální energie závisí na vzájemné poloze dvou těles a na druhu síly, která jejich

polohu ovlivňuje.

Podle toho rozeznáváme potenciální energii

a) tíhovou (G

F ),

b) gravitační (g

F ),

c) elektrostatická (e

F ),

d) pružnosti (p

F ).

Jestliže zvedáme těleso o hmotnosti m z výšky 1

h do výšky 2

h silou o velikosti tíhové síly

gmFG , ale opačně orientovanou, vykonáme nad povrchem Země práci

.

38

Protože je síla orientovaná ve směru pohybu, pak 10coscos .

Potom platí.

Protože síla je konstantní, vytkneme ji před integrál a po integraci dostaneme

ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW 12 pp1212 .

Potenciální energii tíhovou Ep tělesa hmotnosti m ve výšce h nad povrchem Země vyjádříme

podle vztahu

hgmEp .

Jestliže těleso stoupá, potenciální energie tíhová roste. Pokud těleso klesá, potenciální energie

tíhová se zmenšuje.

Přírůstek kinetické energie se rovná úbytku energie potenciální

pkEE .

0E pkE ,

0 pk EE

Součet kinetické energie a potenciální je konstantní.

konst.pk

EEE

Tento zápis vyjadřuje zákon zachování energie.

Platí v neodporujícím prostředí. V odporujícím prostředí se část mechanické energie

přeměňuje vlivem tření v energii tepelnou.

39

5. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA

Reálná tělesa pevného skupenství jsou uspořádané soubory částic (atomů, molekul, iontů),

které jsou vázány působením vnitřních sil. Vnitřní síly nemají vliv na pohybový stav tělesa.

Změnu pohybového stavu mohou způsobit pouze síly vnější. Tyto síly však mohou navíc

způsobit deformaci tělesa.

Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar a objem se nemění účinkem vnějších sil.

Zavádíme ho jako abstraktní pojem, který zjednoduší řešený problém.

Zavedení pojmu tuhé těleso má význam u těch problémů, kdy na řešení úlohy má vliv tvar

tělesa a rozložení hmoty v tělese. Tento vliv se projevuje především u rotačních pohybů.

5.1. TRANSLAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA

Při translačním pohybu se těleso posunuje po podložce přímočaře. Pro všechny body tělesa

v daném okamžiku platí:

pohybují se stejnou rychlostí v,

na všechny působí stejná síla F,

během určitého časového intervalu urazí stejnou dráhu s (tvar trajektorie je stejný)

5.2. ROTAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA

Při rotačním pohybu se těleso otáčí kolem osy, která může být umístěná libovolně (i mimo

těleso). Všechny body opisují kružnice se středy v ose otáčení, jejichž roviny jsou kolmé

k ose otáčení. Pro jejich pohyb dále platí:

pohybují se stejnou frekvencí f,

pohybují se stejnou úhlovou rychlostí fω 2 ,

pohybují se různou obvodovou rychlostí rfrωv 2 , protože ta závisí na vzdálenosti

libovolného bodu tělesa od osy otáčení,

trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležících v různé vzdálenosti od osy otáčení se liší,

na body v různé vzdálenosti od osy otáčení působí jiná odstředivá síla.

rmfrωmr

rωm

r

vmFod

222222

4

40

Těleso je tak napínáno odstředivými silami. Při vysoké frekvenci otáčení může dojít

k narušení reálného tělesa a jeho destrukci.

5.3. TĚŽIŠTĚ, HMOTNÝ STŘED

Pojmy těžiště i hmotného středu mají stejný význam. Je to bod, do kterého je umístěna

výslednice všech sil, které na těleso působí. Pokud na objekt působí pouze tíhová síla GF ,

pak to je působiště tíhové síly.

Označení hmotný střed používáme u soustavy izolovaných bodů, které jsou v určitém

vzájemném vztahu (např. ionty v modelu krystalu soli NaCl).

Souřadnice hmotného středu xs, ys, zs určíme pomocí vztahů

m

xm

m...mm

xm...xmxmx

n

i

ii

n

nns

1

21

2211 ,

m

ym

m...mm

ym...ymymy

n

i

ii

n

nns

1

21

2211 ,

m

zm

m...mm

zm...zmzmz

n

i

ii

n

nns

1

21

2211 ,

kde mi hmotnost i-tého bodu (segmentu); xi, yi souřadnice i-tého bodu; m1 + m2 + … +mn

= m.

Při řešení souřadnic hmotného středu je vhodné umístit objekt do soustavy souřadných os tak,

aby bylo jednoduché určit souřadnice jednotlivých bodů (segmentů).

Označení těžiště používáme u spojitého kontinua (tělesa), které je tvořeno mnoha body.

V tomto případě řešíme součet pomocí integrace.

V praxi jsou pojmy hmotného středu a těžiště ztotožňovány.

41

5.4. MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačním pohybu. Závisí na rozložení

hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Značíme J, jednotkou momentu setrvačnosti je J =

kg.m2. Moment setrvačnosti je skalární veličina.

POZNÁMKA:

Má stejný význam jako hmotnost tělesa m při posuvném pohybu. Jestliže si představíme

prázdný dobře namazaný vozík, pak ho roztlačíme a zastavíme snadno. Kdybychom naopak

měli na vozíku 1000 kg materiálu, bude obtížné uvést ho do pohybu a naopak. Podobný pokus

si můžeme představit při roztáčení a brzdění polystyrénového nebo železobetonového válce.

Tušíme, že u železobetonového válce stejných rozměrů bude změna pohybu nesnadná.

Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otáčející se kolem osy, která leží ve vzdálenosti r od

těžiště. Jestliže nastane takový případ, že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdálenosti r

zanedbat (hmotný bod), pak moment setrvačnosti bude

2rmJ .

Ze zápisu vyplývá, že moment setrvačnosti bude tím větší, čím dále bude hmota od osy

otáčení.

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejím pohybu kolem Slunce. Rozměry

Země vzhledem ke vzdálenosti od Slunce je možné zanedbat.

V případě většího počtu navzájem izolovaných bodů bude moment setrvačnosti soustavy

roven součtu momentů setrvačností jednotlivých bodů.

42

n

i

innn Jrm...rmrmrmJ...JJJJ1

2233

222

211321 .

Př. Určete moment setrvačnosti Sluneční soustavy.

Řešení:

lunce. Pak

vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty následně sečtěte.

Takto je možné řešit moment setrvačnosti v případě izolovaných bodů (rozměry těles jsou

vzhledem ke vzdálenostem zanedbatelné). U tělesa (spojitého kontinua) s nekonečným

počtem částic nahradíme prostý součet momentů setrvačností integrací.

U pravidelných těles je možné výpočet stanovit snadno. Momenty setrvačnosti T

J některých

pravidelných objektů hmotnosti m vzhledem k ose procházející těžištěm jsou uvedeny

v tabulkách. Např.:

válec 2

2

1rmJ

T

kde r je poloměr válce,

m je hmotnost válce

koule 2

5

2rmJ

T

kde r je poloměr koule,

m je hmotnost koule

obruč 2

rmJT kde r je poloměr obruče,

m je hmotnost obruče

tyč 2

12

1lmJ

T

kde l je délka tyče,

m je hmotnost tyče

43

GYRAČNÍ POLOMĚR

V některých případech v praxi je při výpočtech vhodné použít veličinu gyrační poloměr.

Gyrační poloměr je taková vzdálenost od osy otáčení, do které bychom museli umístit

všechnu hmotnost m tělesa, aby se moment setrvačnosti nezměnil 2

RmJ . Pak

m

JR .

STEINEROVA VĚTA

Steinerova věta slouží k výpočtu momentů setrvačností těles, která se otáčejí kolem osy

neprocházející těžištěm.

2dmJJ

T ,

kde T

J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející těžištěm,

m je hmotnost tělesa,

d je vzdálenost těžiště od okamžité osy.

5.5. MOMENT SÍLY

Při otáčivém pohybu závisí otáčivý účinek síly působící na těleso na velikosti a směru síly,

na vzdálenosti síly od osy otáčení (na umístění působiště síly).

Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment síly M

.

Moment síly M

je mírou otáčivého účinku síly F

působící na těleso otáčivé kolem

pevného bodu.

Působiště síly je ve vzdálenosti r od osy otáčení. Tuto vzdálenost nazýváme rameno síly.

Rameno síly je vektorová veličina r

. Úhel je úhel, který svírá síla s ramenem síly.

Působící sílu rozložíme na dvě složky o velikostech:

cos1 FF ,

sin2 FF .

44

Z obrázku je zřejmé, že otáčivý účinek má složka 2F

, která je kolmá k rameni síly r

. Je to

složka tangenciální (tečná). Je tečnou ke kružnici, po které se otáčí koncový bod polohového

vektoru. Vektorová přímka složky 1F

prochází osou otáčení a na otáčení tělesa nemá vliv. Je

to složka normálová (kolmá).

Velikost momentu síly určíme pomocí tangenciální složky pomocí vztahu rFM 2 .

Po dosazení je

sinFrM .

Jednotkou momentu síly je M = N.m.

POZNÁMKA:

Protože r, F jsou velikosti příslušných vektorů, můžeme v souladu s pravidly vektorové

algebry bac

sin.b.ac tento vztah zapsat jako vektorový součin vektorů Fr

a .

Pak platí

FrM

Výsledný vektor M

je kolmý k vektoru r

i k vektoru F

.

POZNÁMKA: Při vektorovém součinu vektorů je důležité dodržovat pořadí vektorů. Při jejich záměně

získáme vektor opačný

Kladný smysl vektoru M

určíme podle pravidla pro vektorový součin:

Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r

a F

pravotočivý šroub tak, jak síla otáčí kolem

bodu O ramenem, postupuje šroub v kladném směru vektoru momentu síly.

Souřadnice výsledného vektoru M

určíme pomocí determinantu.

45

Př. Určete vektor momentu síly M

, který je zadán jako vektorový součin FrM

.

Polohový vektor kjir

32 , vektor síly kjiF

23 .

Řešení:

kjijikjkikji

M

16439249362

231

312

Pak kjiM

777 .

Moment síly při rotačním pohybu má stejný význam jako síla při translačním pohybu.

Způsobuje změnu pohybového stavu tělesa.

1. N.m0M těleso je v klidu nebo rovnoměrném otáčivém pohybu,

2. .konstM těleso je v rovnoměrně zrychleném (zpomaleném) otáčivém pohybu,

3. .konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleném (zpomaleném) otáčivém pohybu.

Předchozí zápis je shodný s II. Newtonovým pohybovým zákonem síly, který popisuje pohyb

translační.

Na těleso může současně působit více sil s otáčivým účinkem. Výslednice jejich momentů je

rovna vektorovému součtu jednotlivých momentů sil.

n

i

in MMMMMM1

321 ...

5.6. MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti b

je vektorová veličina. Charakterizuje pohybový stav tělesa při rotačním

pohybu, podobně jako hybnost charakterizuje pohybový stav tělesa při translačním pohybu.

Souvisí s momentem setrvačnosti J a úhlovou rychlostí

vztahem

Jb .

Jednotkou momentu hybnosti je b = kg.m2.rad.s

-1.

Jestliže dojde ke změně úhlové rychlosti, změní se zároveň i moment hybnosti.

Vektor momentu hybnosti b

je orientovaný stejným směrem jako vektor momentu síly

M

.

Podobně jako u translačního pohybu (zákon zachování hybnosti) můžeme vyslovit pro rotační

pohyb zákon zachování momentu hybnosti. Jestliže na těleso otáčivé kolem osy nepůsobí

vnější síla (izolovaná soustava), nebo jestliže je výsledný otáčivý moment vnějších sil roven

nule, je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantní.

46

5.7. POHYBOVÁ ROVNICE ROTAČNÍHO POHYBU

Pohybová rovnice rotačního pohybu je analogická pohybové rovnici translačního pohybu

tΔ

pΔ

tΔ

vΔmamF

.

Pro rotační pohyb zapíšeme pohybovou rovnici ve tvaru:

t

b

tJJM

.

Slovně můžeme tento zápis vyjádřit takto:

Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působí moment síly M

, pak se těleso otáčí

s úhlovým zrychlením

. Tzn., že se změní úhlová rychlost

, a tím i moment hybnosti

b

.

Př. Válec o momentu setrvačnosti 20 kg.m2 se otáčí s frekvencí 6 Hz. Určete dobu, za kterou

se válec rovnoměrně zpomaleně zastaví vlivem třecího momentu síly N.m8 .

Řešení:

Protože se jedná o rovnoměrně zpomalený pohyb, pak je počáteční úhlová rychlost 1-

0 rad.s126π2π2 fω . Konečná úhlová rychlost je při zastavení tělesa -1rad.s0 .

Z rovnice pro úhlovou rychlost vyjádříme zrychlení .

ttt

000 .

Po dosazení do pohybové rovnice dostaneme t

JM

0 . Z této rovnice vyjádříme čas.

Pak s308

012200

M

ωωJt .

5.8. PRÁCE, VÝKON, KINETICKÁ ENERGIE PŘI ROTAČNÍM POHYBU

PRÁCE MOMENTU SÍLY

V případě, že tangenciální složka síly F

(označili jsme 2F

) svým působením na otáčivé

těleso změní polohový vektor o hodnotu r

, vykoná práci

MW

Jednotkou práce momentu síly je joule.

47

VÝKON MOMENTU SÍLY

Výkon při rotačním pohybu představuje stejně jako při posuvném pohybu časové zhodnocení

práce.

Platí t

WP , tedy po dosazení za práci momentu síly dostáváme

Mt

MP .

Jednotkou výkonu momentu síly je watt.

KINETICKÁ ENERGIE ROTAČNÍHO POHYBU

Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedené do rotačního pohybu Momentem síly M. se

pohybuje s úhlovou rychlostí . Moment síly M přitom vykoná práci W. Množství vykonané práce se projeví změnou kinetické energie.

Souvislost mezi prací W a změnou kinetické energie kE při rotačním pohybu můžeme

vyjádřit vztahem:

kkkEEEW

12.

Odvozením získáme vztah pro kinetickou energii rotačního pohybu.

2

2

1JW .

Jednotkou je joule.

Př.: Určete kinetickou energii valícího se válce o hmotnosti 4 kg a poloměru 0,5 m. Válec se

valí rychlostí 2 m.s-1

.

Řešení:

Moment setrvačnosti válce vzhledem k ose procházející těžištěm je 2

2

1rmJ .

48

Válec v příkladu se neotáčí kolem osy v těžišti, ale kolem okamžité osy, která leží na styku

válce s podložkou. Moment setrvačnosti pak určíme podle Steinerovy věty. Vzdálenost osy

otáčení od těžiště je rovna poloměru r.

2222

2

3

2

1rmrmrmmdJJ

T .

Kinetickou energii určíme podle vztahu 222222

4

3

4

3

2

3

2

1

2

1vmωrmωrmωJEk .

Po dosazení dostaneme

J75,05,044

3 2 kE .

Srovnání vztahů popisujících translační a rotační pohyb

Translační pohyb

Rotační pohyb

dráha s

rovnoměrný pohyb: 0stvs

rovnoměrně zrychlený: 002

2

1stvtas

úhlová dráha

rovnoměrný pohyb: 0 t

rovnoměrně zrychlený: 002

2

1 tt

rychlost

rovnoměrný pohyb: v= konst

rovnoměrně zrychlený: 0vatv

úhlová rychlost

rovnoměrný pohyb: konst

rovnoměrně zrychlený: 0 t

zrychlení t

va

úhlové zrychlení

t

hmotnost m moment setrvačnosti J

síla amF moment síly JM

hybnost vmp moment hybnosti Jb

práce sFW práce

MW

kinetická energie translační 2

2

1vmE

k kinetická energie rotační

2

2

1JE

k

výkon t

WP výkon

t

WP

49

6. HYDROSTATIKA

Hydrostatika zkoumá a popisuje zákonitosti kapalin ve stavu klidu.

Kapalina má stálý objem, ale nemá stálý tvar. Zaujímá takový tvar jako je tvar nádoby,

ve které je umístěná. Je velmi málo stlačitelná (ideální kapalina je nestlačitelná),

dokonale pružná, nerozpínavá. Velmi malé stlačitelnosti kapalin se využívá v praxi.

S rostoucí teplotou mění objem.

K popisu mechanických dějů v kapalině (hydromechanice) se užívají veličiny, které

jednoznačně určují v daném místě její stav.

tlak p v daném místě je představován normálovou tlakovou sílou působící na jednotku

plochy umístěnou v uvažovaném místě S

Fp . Jednotkou tlaku je pascal (Pa).

hustota kapaliny (měrná hmotnost) je hmotnost jednotkového objemu kapaliny

Pro homogenní kapalinu můžeme psát V

m . Jednotkou je kg.m-3.

rychlost v

kapaliny v jejím daném místě je t

sv

, kde s

je element dráhy a t

je doba pohybu částice po tomto elementu. Jednotkou je m.s-1

.

6.1. POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar), že je kolmá k výslednici sil, které na

kapalinu působí.

1. Pokud je nádoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, působí

na každou molekulu pouze tíhová síla gmFG směrem svislým. Kapalina má tedy

vodorovný povrch.

Povrch kapaliny v klidu

2. Při zrychleném pohybu nádoby působí na každou molekulu kapaliny kromě tíhové síly

ještě síla setrvačná amFs , která má opačný směr než je zrychlení a nádoby.

Hladina je kolmá k výslednici F. Úhel odklonu hladiny od horizontály je roven

úhlu, který svírá tíhová síla GF s výslednicí F.

50

Povrch kapaliny při zrychleném pohybu.

Určíme ho pomocí funkce g

a

gm

am

F

F

G

s tan .

3. Při rotačním pohybu nádoby kolem vlastní osy působí na každou molekulu kromě

tíhové síly ještě síla setrvačná odstředivá rmr

rm

r

vmFod

2222

, kde v je

rychlost otáčení, r je poloměr otáčení a je úhlová rychlost. Kapalina reaguje na tento pohyb tak, že se její povrch zakřiví.

Povrch kapaliny v rotující nádobě.

Povrch kapaliny v rotující nádobě bude mít tvar paraboloidu.

6.2. PASCALŮV ZÁKON

Pascalův zákon charakterizuje vliv působení vnější síly na kapalinu.

Působí-li na kapalinu vnější síla, vyvolá v kapalině tlak, který je v každém bodě stejný a

šíří se všech směrech rovnoměrně.

51

Uvažujeme nádobu uzavřenou dvěma volně pohyblivými písty o různých průřezech 21, SS . U

ideální kapaliny platí, že zmenšení objemu vlivem síly na jedné straně se rovná zvětšení

objemu na straně druhé. Jestliže 21, ss jsou posunutí na jedné a druhé straně, pak

21 VV ,

2211 sSsS .

Podle zákona zachování energie se práce vykonaná tlakovou silou 1F

při posunutí pístu 1S

rovná práci síly 2F potřebné k posunutí pístu 2S . Což zapíšeme

2211 sFsF .

Dělením rovnic dostaneme

.2

2

1

1 konstpS

F

S

F

Tedy matematické vyjádření Pascalova zákona.

Využívá se v hydraulice – hydraulické brzdy, hydraulické zvedáky, hydraulické posilovače

řízení, lisy,….,.

6.3. HYDROSTATICKÝ TLAK

Hydrostatickým tlakem rozumíme obecně tlak v kapalině způsobený vlastní tíhou

kapaliny GF , kterou kapalina působí na libovolnou plochu S. Pak je

S

ghS

S

gV

S

gm

S

Fp G

,

kde m je hmotnost kapaliny, V je objem kapaliny, je hustota kapaliny. Po vykrácení

dostaneme vztah pro hydrostatický tlak ve tvaru

ghp .

POZNÁMKA:.

Veličina h představuje výšku kapaliny, která je vždy nad plochou S, na které

hydrostatický tlak určujeme.

52

SPOJENÉ NÁDOBY

Z Pascalova zákona a hydrostatického tlaku vyplývají zákonitosti spojených nádob.

Jestliže je ve spojených nádobách v obou ramenech kapalina stejné hustoty, na plochu

Sd působí hydrostatické tlaky 21 pp . Pak ghgh 21 , z toho plyne, že

21 hh . Výška hladin v obou ramenech spojených nádob libovolného tvaru bude

stejná.

Spojené nádoby se stejnou hustotou kapaliny

Jestliže jsou ve spojených nádobách nemísitelné kapaliny (rozdílných hustot 21, ),

pak ve výšce 0h nad nejnižším místem jsou ve vodorovné rovině při stavu rovnováhy

hydrostatické tlaky 21 pp . Pak ghgh 2211 . Odtud je 2

1

2

1

h

h.

Spojené nádoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVÁ SÍLA KAPALINY NA DNO NÁDOBY

Pro tlakové síly na dno nádoby platí vztah SghSpF . Jestliže mají nádoby různý tvar,

ale stejnou plochu dna, pak při stejné výšce kapaliny jsou takové síly na dno stejné

(hydrostatické paradoxon).

Tlaková síla na dno nádoby

53

6.4. ARCHIMÉDŮV ZÁKON

Každé těleso, které je umístěné v kapalině je ovlivňováno vztlakovou silou vzF . Její

velikost vyjadřuje známý Archimédův zákon.

Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, která je rovna tíze kapaliny

vytlačené ponořeným objemem tělesa.

Archimédův zákon

Uvažujme v kapalině předmět výšky h, jehož horní a dolní podstava o ploše S budou

rovnoběžné (např. válec). Pak na horní podstavu bude působit tlaková síla SghF 11 a na

dolní podstavu bude působit tlaková síla SghF 22 . Protože 21 hh je 21 FF .

Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich výslednice F rovna vztlakové síle 12 FFFvz .

Pak postupnou úpravou dostaneme

SghhSghSghFvz 1212

gmgVgShSghFvz .

Vztah pro vztlakovou sílu zapíšeme ve tvaru

gVFvz .

POZNÁMKA:

Je třeba mít na paměti, že V je objem ponořené části tělesa (může být ponořeno celé), což je rovno objemu vytlačené kapaliny, je hustota vytlačené kapaliny, m

je hmotnost vytlačené kapaliny.

Vztlaková síla je vždy orientovaná směrem vzhůru.

.Předešlé úvahy platí i pro těleso v plynu

Kromě vztlakové síly působí na každé těleso v kapalině rovněž tíhová síla, která je

orientovaná směrem svislým. Tyto dvě síly se skládají. Uvažujme vztlakovou

sílu gVFvz 1 , kde 1 je hustota kapaliny a tíhovou sílu gVgmFG 2 , kde 2 je

hustota tělesa, pak mohou nastat tyto případy:

12 , pak těleso klesá ke dnu

12 , pak se těleso v kapalině vznáší

12 , pak těleso stoupá k hladině.

54

7. HYDRODYNAMIKA

Hydrodynamika se zabývá pohybem (prouděním) kapalin.

7.1. OBJEMOVÝ TOK, HMOTNOSTNÍ TOK

Budeme uvažovat proudění kapaliny hustoty ρ potrubím libovolného průřezu S.

Objemový tok a hmotnostní tok

Objemový tok VQ (průtok) je objem kapaliny, která proteče průřezem S za jednu sekundu.

t

VQV

.

Jednotkou objemového toku je m3.s

-1.

Jestliže při rychlosti proudění v se částice kapaliny posunou za dobu t do vzdálenosti s ,

pak

t

sS

t

VQV

, a tedy

vSQV .

Vektor rychlosti je kolmý k průřezu.

Hmotnostní tok mQ představuje hmotnost kapaliny, která proteče průřezem S za jednotku

času. Pro hmotnostní tok platí

t

mQm

.

Jednotkou je kg.s-1

.

Vzhledem k tomu, že mezi hmotností, objemem a hustotou platí vztah Vm , pak

t

V

t

V

t

mQm

.

Vm QQ

55

7.2. ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při proudění ideální kapaliny využíváme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny. Proudění

popisují dvě rovnice. Při jejich sestavení vycházíme ze zákona zachování hmotnosti a zákona

zachování energie.

Budeme uvažovat proudové vlákno rozdílného průřezu 21 , SS . Objemy kapalin, která projde

jednotlivými průřezy budou konstantní. Pro nestlačitelnou kapalinu pak platí (viz Obr. výše)

21 VV QQ

protože hustota je v každém průřezu stejná,

2211 vSvS .

Obecně lze psát konstvSQV , což vyjadřuje rovnici kontinuity.

V užším průřezu je rychlost kapaliny větší.

7.3. BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotností element kapaliny m protékající proudovou trubicí je co do velikosti konstantní

má v každé poloze kinetickou a potenciální energii vůči zvolené hladině. Při průtoku pak

dojde k jejich změně.

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování energie pro proudící kapalinu. Upravíme

ji na tvar

22

2

211

2

12

1

2

1phgvphgv

nebo

konstphgv 2

2

1 .

Jednotlivé členy mají rozměr Pa.

Člen 2

2

1v představuje dynamický tlak, člen hg statický tlak a člen p tlak.

POZNÁMKA:

Bernoulliho rovnice odvozená pro ideální kapalinu platí přibližně i pro kapaliny reálné

(skutečné).

56

8. TEPELNÉ VLASTNOSTI LÁTEK 8.1. TEPLO, TEPLOTA Tepelný stav látek je charakterizován veličinou termodynamická teplota T. Jednotkou je

kelvin KT . Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotní stupnicí existuje převodní vztah

tT C15,273

Tepelný stav látek souvisí s termickým pohybem částic. Jestliže se teplota látky zvýší, pak se

zrychlí termický pohyb částic. Při zahřívání se zvětší kinetická energie částic.

Teplota látky se zvýší dodáním tepelné energie (tepla) Q. Jednotkou je joule JQ .

Teplo dodané pevné látce nebo kapalině nutné k zahřátí o určitý teplotní rozdíl T vyjádříme

vztahem

12 TTcmTcmQ ,

kde m je hmotnost látky, T1, T2 je počáteční a konečná teplota, c je měrná tepelná kapacita.

Platí, že

Tm

Qc

.

Měrná tepelná kapacita je množství tepla, které je třeba dodat 1 kg látky, aby se

zahřála o jeden stupeň teplotního rozdílu. Jednotkou je J.kg-1

.K-1

.

Při ochlazení musíme stejné množství tepla odebrat.

Kromě měrné tepelné kapacity c zavádíme ještě tepelnou kapacitu K.

cmK , 12 TTkQ

Jednotkou 1J.KK .

8.2. FÁZOVÉ PŘEMĚNY

Fázová přeměna je děj, při kterém dochází ke změně skupenství látky. Rozlišujeme tato

skupenství:

pevné

kapalné

plynné

57

TÁNÍ, TUHNUTÍ

Tání představuje fázovou přeměnu pevného tělesa na těleso kapalné. Vzniká při zahřívání.

Krystalické látky tají při teplotě tání Tt. Ke změně skupenství je třeba dodat skupenské teplo tání

mlQ t ,

kde lt je měrné skupenské teplo tání., jednotkou je J.kg-1

. Je to množství tepla, které je nutné

dodat 1 kg pevné látky, aby se přeměnila na kapalinu téže teploty.

Amorfní látky postupně při zahřívání měknou. Konkrétní teplota tání neexistuje

Závislost teploty na dodaném teplotě při zahřívání

Tuhnutí představuje změnu kapalného tělesa na pevné těleso. Je to opačný proces tání, který

vzniká při ochlazování.

Krystalické látky mají pro chemicky čistá tělesa teplot tuhnutí rovnu teplotě tání za

téhož vnějšího tlaku. Při tuhnutí je nutné látce odebrat teplo mlQ t , aby se z ní stala

pevná látka. Má stejnou hodnotu jako skupenské teplo tání pevného tělesa z téže látky

a stejné hmotnosti

Amorfní látky tuhnou postupně.

Většina látek při tání objem zvětšuje a při tuhnutí zmenšuje.

SUBLIMACE, DESUBLIMACE

Sublimace je změna pevné látky na látku plynnou (např. jód, naftalen, kafr, suchý led (CO2)

Během sublimace je nutné pevné látce dodat skupenské teplo sublimace

mlQ s .

ls je měrné skupenské teplo sublimace, jednotkou je J.kg-1

.

Desublimace je změna plynné látky na látku pevnou (např. jinovatka)

VYPAŘOVÁNÍ, VAR, KONDENZACE

Vypařování je přeměna kapalné látky na látku plynnou. Probíhá vždy a za jakékoliv teploty a

jen z povrchu kapaliny (čím větší povrch, tím rychlejší vypařování). Různé kapaliny se

vypařují za stejných podmínek různou rychlostí

58

Skupenské teplo vypařování

mlQ v

je teplo, které musí kapalina přijmout, aby se změnila na páru téže teploty. vl je měrné

skupenské teplo vypařování.

.

Var je speciální případ vypařování. Kapalina se vypařuje nejen na svém volném povrchu

(jako u vypařování), ale také uvnitř svého objemu. Přijímá-li kapalina teplo, var nastává při

určité teplotě, tzv. teplotě varu. Var se projevuje vytvářením bublin syté páry uvnitř kapaliny,

které se postupně zvětšují a vystupují k volnému povrchu.

8.3. TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK

Při zahřívání látek libovolného skupenství dojde ke zvýšení kinetické energie částic látky a

zvýšení jejich termického pohybu. U pevných látek a kapalin se zvýší frekvence kmitů částice

kolem rovnovážné polohy a zvětší se jejich rozkmit. Tím dojde ke zvětšení střední vzdálenosti

částic, pevná látka a většina kapalin zvětší své rozměry.

DÉLKOVÁ TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK

U některých těles převládá svou velikostí jeden z rozměrů (tyče, dráty), zbývající rozměry pak

můžeme zanedbat.

Uvažujme, že počáteční délka tyče při počáteční teplotě 0t je 0l . Potom při zahřátí tyče na

teplotu t se tyč prodlouží na délku l . Zavedeme absolutní změnu délky tyče 0lll .

Tato absolutní změna délky je úměrná změně teploty t , původní délce 0l a materiálové

konstantě – součiniteli teplotní délkové roztažnosti - .

Pak platí, že

tll 0 .

Z toho plyne jednotka součinitele teplotní délkové roztažnosti

tl

l

0

.

Jednotkou je K-1

.

Po úpravě dostaneme vztah pro novou délku

tll 10 .

Kromě absolutního prodloužení l zavádíme ještě relativní prodloužení

0l

l .

Je to bezrozměrné číslo.

59

PLOŠNÁ TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK

Některá tělesa jsou určená dvěma rozměry (desky). Třetí rozměr zanedbáváme. Pak při

zahřátí o teplotní rozdíl t dojde ke zvětšení obou hlavních rozměrů.

Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a , 0b při teplotě 0t , pak po zahřátí na teplotu t získají

oba rozměry novou velikost taa 10 , tbb 10 . Plocha při teplotě t pak bude

2202

0000 21111 ttStbatbtabaS .

Vzhledem k malé hodnotě součinitele teplotní délkové roztažnosti můžeme člen 22 t

zanedbat. Pak

tSS 210 .

OBJEMOVÁ TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST PEVNÝCH LÁTEK A KAPALIN

U pevných těles, jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelné, je

taa 10 , tbb 10 , tcc 10 . Objem při teplotě t pak bude

332203

000 3311 tttVtcbacbaV .

Členy 223 t , 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat.

Pak

tVtVV 131 00 ,

kde 3 je součinitel teplotní objemové roztažnosti. Jednotkou je K-1. Je v poměrně

širokém rozsahu teplot stálý, tj. nezávislý na teplotě.

U kapalin, které nemají stálý tvar, lze vyjádřit změnu objemu vztahem tVV 10 . Součinitel teplotní objemové roztažnosti kapalin není konstantní. Kapaliny se roztahují

nerovnoměrně.

Při změně teploty se zvětšuje objem a nemění se hmotnost, proto dochází ke změně hustoty

těles. Platí

ttVm

V

m

11

0

0

.

Změny hustoty s teplotou jsou celkem malé, v praxi je lze zanedbávat, avšak při přesných

měření, zejména u kapalin, je nutné k nim přihlížet.

8.4. TEPELNÁ VODIVOST Důležitým pojmem je teplotní spád – pokles teploty v tělese, pak se tepelná energie Q

přenáší z míst o vyšší teplotě 2T do míst o nižší teplotě 1T .

Množství přeneseného tepla pak je

60

Sd

TTQ 12

, S

d

TQ

kde d je délka tělesa (šířka stěny) ve směru šíření, S je plocha kolmá ke směru šíření, je čas, během kterého dochází k šíření tepla, je součinitel tepelné vodivosti látky s jednotkou W.m

-1.K

-1.

8.5. KALORIMETRICKÁ ROVNICE Při vzájemném kontaktu si tělesa vyměňují tepelnou energii Q (teplo). Tato výměna trvá do té

doby, než se teplota těles ustálí na stejné teplotě T.

Při vzájemné styku dvou těles platí zákon zachování tepelné energie

TTcmTTcm 222111

POZNÁMKA:

Tato rovnice platí za předpokladu, kdy nedochází k žádným tepelným ztrátám. V ostatních

případech je třeba rovnici pro jednotlivé případy sestavit.

8.6. IDEÁLNÍ PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU Stav plynu je charakterizován stavovými veličinami – teplotou T, objemem V a tlakem