Studiul oscilaŃiilor pendulului gravitaŃional. Determinarea acceleraŃiei gravitaŃionale.

Pendulul gravitaŃional este format dintr-un corp de masă m şi de dimensiuni mici (punct

material) suspendat de un fir inextensibil, cu masă neglijabilă, de lungime l. Dacă pendulul este

scos din poziŃia sa de echilibru şi este lăsat liber, el oscilează într-un plan vertical, datorită forŃei

de greutate. In fig. 1 este reprezentat un astfel de pendul, care formează cu verticala un unghi θ

numit elongaŃie unghiulară. Componenta greutăŃii în lungul firului (normală la traiectoria arc de

cerc a pendulului), cosnG mg θ= , este compensată de tensiunea din fir, T. Componenta tangenŃială

la traiectorie, s intG mg θ= , este forŃa de revenire (de rapel) care acŃionează asupra pendulului

spre a-l readuce în poziŃia de echilibru.

Fig. 1.

Se observă că forŃa de revenire nu este proporŃională cu elongaŃia unghiulară, deci

oscilaŃiile pendulului nu sunt armonice, în general. Insă pentru unghiuri θ suficient de mici,

sinθ θ≅ exprimat în radiani(de exemplu, pentru 5 0,0873θ = °= rad, sin 0,0872θ = ), astfel că forŃa

de revenire devine proporŃională cu elongaŃia unghiulară, iar oscilaŃiile pot fi considerate

armonice.

Din fig.1 se vede că elongaŃia unghiulară /x lθ = , unde x este lungimea arcului de cerc

corespunzător, astfel că forŃa de revenire se poate scrie

F =Gt= mg sinθ ≅ mgθ = l

mgx = kx , (1)

în care mărimea

/k mg l= (2)

reprezintă constanta elastică a sistemului. Din (1) se observă că forŃa de revenire a sistemului

este proporŃională cu elongaŃia x, iar din figură se vede că este mereu de sens opus elongaŃiei

(când elongaŃia este spre dreapta, forŃa de revenire este orientată spre stânga, şi invers). O

asemenea forŃă de revenire este denumită de tip elastic, iar sistemul fizic supus unei astfel de

forŃe efectuează oscilaŃii armonice cu perioada dată de

2 mTk

π= . (3)

GrnG

r

tGr

Tr

θ

θ

m

l

łinând seamă de (2) şi (3), rezultă că perioada de oscilaŃie a pendulului gravitaŃional este dată de

.2g

lT π= . (4)

Din (4) rezultă că perioada oscilaŃiilor mici ale pendulului gravitaŃional este independentă de

masa pendulului şi de amplitudinea oscilaŃiilor, ea depinde numai de lungimea pendulului (g

fiind constant pentru locul dat al experimentului).

In lucrarea de faŃă ne propunem, în prima parte, să verificăm legea de dependenŃă a

perioadei pendulului gravitaŃional de lungimea lui, iar în partea a doua să determinăm acceleraŃia

gravitaŃională din locul experienŃei, observând din (4) că, dacă se măsoară cu o eroare cât mai

mică lungimea l şi perioada proprie T , se poate calcula acceleraŃia gravitaŃională g.

Mod de lucru 1. Folosind materialele din laborator, se realizează un pendul gravitaŃional cu lungimea l=0,2m;

2. Se scoate pendulul din poziŃia de echilibru şi, după ce este lăsat liber, se măsoară timpul t în

care se efectuează n=20 de oscilaŃii de amplitudine mică;

3. Se calculează perioada oscilaŃiilor T=t/n;

4. Se măreşte succesiv lungimea pendulului cu câte 0,1 m, măsurând perioada pendulelor astfel

formate, ca la pct.2 şi 3;

5. Cu datele măsurate se completează tabelul de mai jos şi apoi se reprezintă grafic ( )T f l= .

6. Se interpretează rezultatul obŃinut.

7. Folosind relaŃia (4) pentru fiecare din pendulele formate, se calculează acceleraŃia

gravitaŃională g, precum şi valoarea sa medie; datele se trec în tabel.

Tabelul de valori:

Nr. crt. l (m) l (m1/2

) n t(s) T (s) g (m/s2) g (m/s

2)

1 0,2

2 0,3

3 0,4

4 0,5

5 0,6

6 0,7

Întrebări:

1. Ce este pendulul gravitaŃional?

2. Care sunt cele două componente ale forŃei de greutate? Comentarii.

3. Ce înseamnă aproximaŃia micilor oscilaŃii?

4. Ştiind că, perioada oscilaŃiilor mici ale pendulului gravitaŃional depinde numai de

lungimea pendulului l şi de acceleraŃia gravitaŃională g: ( )glfT ,= , să se deducă formula

perioadei de oscilaŃie a pendulului utilizând analiza dimensională.

5. DeduceŃi expresia constantei elastice k.

6. Reprezentarea grafică ( )T f l= conduce la :

a) o curbă experimentală; b) o dreaptă cu panta proporŃională cu ;2

1−

g c) o parabolă;

d) o dreaptă cu panta proporŃională cu ;g e) un cerc.

Bibliografie:

1. I.Damian, D.Popov, Teme experimentale,Editura Politehnica (2003). 2. C. Marcu, I. Mhalca, D. Mihailovici, I. Damian, R. Baea, M. Cristea, Lucrart de laborator Fizică,

(1981).