SUCESIONES Y

SUMATORIAS4º Medio Electivo

Procesos Infinitos

Sucesiones

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. En general se denota de la siguiente manera:

El término general de la sucesión es , el subíndice indica el lugar que ocupa el término en la sucesión.

Determinar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo termino general es:

Sucesiones

Determinar el término general de las siguientes sucesiones:

Sucesiones

Sucesiones Convergentes.

Una sucesión es convergente si sus términos se van acercando cada vez más a un cierto valor. Ese valor se llama el límite de la sucesión y se dice que la sucesión converge a ese límite.

Si una sucesión no es convergente se dice que es divergente.

Una sucesión puede divergir porque sus términos oscilan o bien porque sus términos crecen o decrecen sin medida.

Una sucesión oscilante también puede ser convergente.

Sucesiones Divergentes.

DIVERGENTE

DIVERGENTE

LOS TÉRMINOS OSCILAN, PERO SE ACERCAN A CERO, ESTA SUCESIÓN CONVERGE Y SU LÍMITE ES CERO.

Una sucesión es creciente si cada término es mayor que el término anterior

Un sucesión es decreciente si cada término es menor que el anterior

Sucesiones Crecientes y Decrecientes.

Es una sucesión creciente, pero sus términos no crecen indefinidamente; ninguno de ellos es mayor que 2. Esta sucesión es convergente y su límite es 2. Es una sucesión creciente, y sus términos crecen indefinidamente. Sucesión divergente.

DECRECIENTE DECRECIENTE

Progresión AritméticaUn Progresión Aritmética es una sucesión de

términos tal que cada uno se obtiene de sumar un valor constante al anterior.

Algunos puntos importantes a considerar dentro de la sucesión formada serán los siguientes:

Fórmulas para trabajar con una P.A.

Progresión Aritmética

1. Calcular el término que ocupa el lugar 50 de una P.A. si el primero es 5 y la diferencia es 2.

2. El undécimo término de una P.A. es 49 y su diferencia es 4. Encontrar el primer término.

3. El primer término de una P.A. es 5, su diferencia es 4 y el término enésimo es 53. Hallar el número de términos.

4. Determinar la P.A. cuyo quinto término es 14 y cuyo décimo término es 29.

5. En la P.A. tal que su sexto término es 15 y la diferencia es 3/5, hallar el término del lugar 16.

Progresión Aritmética

6. Hallar 3 números que están en P.A. y cuya suma sea 39.

7. Determinar una P.A. sabiendo que la suma del primer y tercer término es 44 y el producto del segundo por el primero es 148.

8. Hallar la suma de los 100 primeros múltiplos de 3.

9. Calcular cuánto dinero tenía para vacaciones un joven si el primer día gastó $7000, fue disminuyendo el gasto en $200 diarios y el dinero le duró 30 días.

10. Para hacer un túnel se sabe que el primer metro tiene un costo de $1.000.000 y por cada metro más se debe agregar $80.000 ¿Cuál es el largo del túnel si se ha debido cancelar $33.264.000.000?

Progresión Aritmética

Una Progresión Geométrica es una sucesión de términos tal que cada uno se obtiene de multiplicar el antecesor por un valor constante r.

Algunos términos importantes a considerar.

Progresión Geométrica

Fórmulas para trabajar en una P.G.

Progresión Geométrica

Progresión Geométrica

1. Calcule el noveno término de una P.G. Cuyo primer término es 1 y la razón es 3.

2. El quinto término de una P.G. es 162 y el primero es 2. Hallar la razón.

3. El séptimo término de una P.G. es 192 y la razón es 2. Halar el primer término.

4. En una P.G. el primer término es 32 y la razón es ½. Determinar qué lugar ocupa el término que vale 1/8.

5. Hallar la suma de los 10 primeros términos de la PG. 4,12,36,108,….

6. Calcular el producto de los 10 primeros términos de la PG 3, 3/2, ¾, …

Cuando una PG tiene un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Progresión Geométrica

SUMATORIAS

∑

corresponde a la letra griega SIGMA.

La sumatoria se utiliza para representar la suma de varios o infinitos sumandos.

Consideremos:

k = Límite Inferior.n = Límite Superior.

SUMATORIAS

SUMATORIAS

Ejemplo:

Expresar abreviadamente:

1 + 2 + 3 + 4 +5 =

=

Calcular el valor de:

SUMATORIAS

Expresar abreviadamente como sumatoria:

SUMATORIAS

Sumatoria de una constante.

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS

El a se va a repetir n veces, es decir, n*a

Sumatoria del producto de una constante con una variable

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS

Sumatoria de una suma o resta de dos o mas sucesiones.

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS

Números Pares.

Encontrar la expresión que permita calcular la suma de los primeros 20 números pares.

Números Pares = 2N

Calcular

Fórmulas de Cálculo Abreviado.

Calcular la suma de los 100 primeros números naturales.

Calcular la suma de los primeros 100 números impares.

Suma de los Números Impares

Calcular la suma de los primeros 60 números impares.

EJERCICIOS.

Fórmula para los términos al cuadrado.

Calcular la suma de los primeros 10 números cuadrados.

Algunas ConsideracionesLas fórmulas de cálculo de las sumatorias,

como es el caso de una constante, términos al cuadrado, etc. se deben aplicar exclusivamente a sumatorias que parten de 1, es decir,

En General:Nos queda lo siguiente :

Ejemplo

TelescópicaEn el desarrollo de algunas sumatorias puede

ocurrir que se eliminen términos, quedando reducidas a una mínima expresión.

Llamaremos propiedad telescópica a las siguientes sumatorias.