Suites arithmétiques et géométriques - rallymaths.free.frrallymaths.free.fr/premiere/VIDEO_COURS_110.pdf · 1.1Lesdéﬁlés 1.2Sommesfaciles 2.Suitesarithmétiques 2.1Sommedestermes

Suites arithmétiques etgéométriques

Xavier Hallosserie

Lycée Blaise Pascal

mars 2016

un vn

Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 1 / 46

Sommaire

1. Activités1.1 Les défilés1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques3.1 Formule de récurrence et terme général3.2 Somme des termes


Sommaire





Suites arithmétiques

un

n

Chaque personnage possède un rang n et porte une valeur un.

Que vaut un ?



Premier défilé



1

n = 1

1,5

n = 2

2

n = 3

2,5

n = 4

3

n = 5

3,5

n = 6

4

n = 7

4,5

n = 8

5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



1,5

n = 2

2

n = 3

2,5

n = 4

3

n = 5

3,5

n = 6

4

n = 7

4,5

n = 8

5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



2

n = 3

2,5

n = 4

3

n = 5

3,5

n = 6

4

n = 7

4,5

n = 8

5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



2,5

n = 4

3

n = 5

3,5

n = 6

4

n = 7

4,5

n = 8

5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



3

n = 5

3,5

n = 6

4

n = 7

4,5

n = 8

5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



3,5

n = 6

4

n = 7

4,5

n = 8

5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



4

n = 7

4,5

n = 8

5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



4,5

n = 8

5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



5

n = 9

5,5

n = 10

un = ?

n



5,5

n = 10

un = ?

n



un = ?

n



Deuxième défilé



2

n = 0

0

n = 1

-2

n = 2

-4

n = 3

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



0

n = 1

-2

n = 2

-4

n = 3

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



-2

n = 2

-4

n = 3

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



-4

n = 3

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



-14

n = 8

-16

n = 9

un = ?

n



-16

n = 9

un = ?

n



un = ?

n



Revue générale



u0

0

u0 + r

1

u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1



u0 + r

1

u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1



u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1



u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1



u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1



u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1



u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1



u0 + (n + 1)r

n + 1



Changement de rang !



u1

1

u1 + r

2

u1 + 2r

3

u1 + 3r

4

u1 + 4r

5

u1 + (n− 1)r

n

u1 +nr

n + 1

u1 + (n + 1)r

n + 2



u1 + r

2

u1 + 2r

3

u1 + 3r

4

u1 + 4r

5

u1 + (n− 1)r

n

u1 +nr

n + 1

u1 + (n + 1)r

n + 2



u1 + 2r

3

u1 + 3r

4

u1 + 4r

5

u1 + (n− 1)r

n

u1 +nr

n + 1

u1 + (n + 1)r

n + 2



u1 + 3r

4

u1 + 4r

5

u1 + (n− 1)r

n

u1 +nr

n + 1

u1 + (n + 1)r

n + 2



u1 + 4r

5

u1 + (n− 1)r

n

u1 +nr

n + 1

u1 + (n + 1)r

n + 2



u1 + (n− 1)r

n

u1 +nr

n + 1

u1 + (n + 1)r

n + 2



u1 +nr

n + 1

u1 + (n + 1)r

n + 2



u1 + (n + 1)r

n + 2


Suites géométriques

vn

n

Chaque personnage possède un rang n et porte une valeur vn.

Que vaut vn ?



Premier défilé



0,5

n = 0

1

n = 1

2

n = 2

4

n = 3

8

n = 4

16

n = 5

32

n = 6

64

n = 7

128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



1

n = 1

2

n = 2

4

n = 3

8

n = 4

16

n = 5

32

n = 6

64

n = 7

128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



2

n = 2

4

n = 3

8

n = 4

16

n = 5

32

n = 6

64

n = 7

128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



4

n = 3

8

n = 4

16

n = 5

32

n = 6

64

n = 7

128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



8

n = 4

16

n = 5

32

n = 6

64

n = 7

128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



16

n = 5

32

n = 6

64

n = 7

128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



32

n = 6

64

n = 7

128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



64

n = 7

128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



128

n = 8

256

n = 9

vn = ?

n



256

n = 9

vn = ?

n



vn = ?

n



Deuxième défilé



4

n = 1

-2

n = 2

1

n = 3

− 12

n = 4

14

n = 5

− 18

n = 6

116

n = 7

− 132

n = 8

164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



-2

n = 2

1

n = 3

− 12

n = 4

14

n = 5

− 18

n = 6

116

n = 7

− 132

n = 8

164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



1

n = 3

− 12

n = 4

14

n = 5

− 18

n = 6

116

n = 7

− 132

n = 8

164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



− 12

n = 4

14

n = 5

− 18

n = 6

116

n = 7

− 132

n = 8

164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



14

n = 5

− 18

n = 6

116

n = 7

− 132

n = 8

164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



− 18

n = 6

116

n = 7

− 132

n = 8

164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



116

n = 7

− 132

n = 8

164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



− 132

n = 8

164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



164

n = 9

− 1128

n = 10

vn = ?

n



− 1128

n = 10

vn = ?

n



vn = ?

n



Revue générale



v0

0

v0 × q

1

v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1



v0 × q

1

v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1



v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1



v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1



v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1



v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1



v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1



v0 × qn+1

n + 1



Changement de rang !



v1

1

v1 × q

2

v1 ×q 2

3

v1 × q3

4

v1 ×q 4

5

v1 × qn−1

n

v1 ×q n

n + 1

v1 × qn+1

n + 2



v1 × q

2

v1 ×q 2

3

v1 × q3

4

v1 ×q 4

5

v1 × qn−1

n

v1 ×q n

n + 1

v1 × qn+1

n + 2



v1 ×q 2

3

v1 × q3

4

v1 ×q 4

5

v1 × qn−1

n

v1 ×q n

n + 1

v1 × qn+1

n + 2



v1 × q3

4

v1 ×q 4

5

v1 × qn−1

n

v1 ×q n

n + 1

v1 × qn+1

n + 2



v1 ×q 4

5

v1 × qn−1

n

v1 ×q n

n + 1

v1 × qn+1

n + 2



v1 × qn−1

n

v1 ×q n

n + 1

v1 × qn+1

n + 2



v1 ×q n

n + 1

v1 × qn+1

n + 2



v1 × qn+1

n + 2


Sommaire





Somme des entiers impairs

1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?



1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?



1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?



1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?



1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?



1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?



1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?



1 + 3 + . . . + (2n + 1) = ?


Somme des entiers naturels

1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?



1 + 2 + . . . + n = ?


Sommaire






Définition 1Une suite (un)n>0 est une si et seulement si il existe un réel r telque pour tout n :

r est alors appelé la de la suite (un)



Définition 1Une suite (un)n>0 est une suite arithmétique si et seulement si il existe un réel r telque pour tout n :





un+1 = un + r





un+1 = un + r

r est alors appelé la raison de la suite (un)



Propriété 1Si (un) est une suite arithmétique de raison r.

Pour tout n > 0, .

Pour tout n > 0 et .

u0

0

u0 + r

1

u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1




Pour tout n > 0, .


u0

0

u0 + r

1

u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1




Pour tout n > 0, un = u0 + nr .


u0

0

u0 + r

1

u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1






u0

0

u0 + r

1

u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1





Pour tout n > 0 et p > 0, un = up + (n− p)r .

u0

0

u0 + r

1

u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1





Pour tout n > 0 et p > 0, un = up + (n− p)r .

u0

0

u0 + r

1

u0 + 2r

2

u0 + 3r

3

u0 + 4r

4

u0 + (n− 1)r

n− 1

u0 +nr

n

u0 + (n + 1)r

n + 1



Démonstration :

En sommant terme à terme les n égalités suivantes :

un = un−1 + r

un−1 = un−2 + r

. . .

u2 = u1 + r

u1 = u0 + r

un = u0 + nr

Remarque :

Si le premier terme de la suite est u1, on a, pour tout n > 1, .



Démonstration :


un = un−1 + r

un−1 = un−2 + r

. . .

u2 = u1 + r

u1 = u0 + r

un = u0 + nr

Remarque :

Si le premier terme de la suite est u1, on a, pour tout n > 1, .



Démonstration :


un = un−1 + r

un−1 = un−2 + r

. . .

u2 = u1 + r

u1 = u0 + r

un = u0 + nr

Remarque :

Si le premier terme de la suite est u1, on a, pour tout n > 1, un = u1 + (n− 1)r .


Sommaire






Propriété 2Pour tout n > 1 :

Démonstration :

S = 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n

S = n + (n− 1) + · · ·+ 2 + 1

2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1)2S = n(n + 1)

S = n(n + 1)2




1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)2

Démonstration :

S = 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n

S = n + (n− 1) + · · ·+ 2 + 1

2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1)2S = n(n + 1)

S = n(n + 1)2




1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)2

Démonstration :

S = 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n

S = n + (n− 1) + · · ·+ 2 + 1

2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1)2S = n(n + 1)

S = n(n + 1)2



Exemple :

S = 1 + 2 + . . . + 99 + 100

= 100× (100 + 1)2

= 50× 101= 5 050



Propriété 3Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :

Remarque :

Si le premier terme de la suite est u1 on a :

De façon générales on peut retenir :




Sn = u0 + u1 + . . . + un = (n + 1)× u0 + un

2

Remarque :






Sn = u0 + u1 + . . . + un = (n + 1)× u0 + un

2

Remarque :






Sn = u0 + u1 + . . . + un = (n + 1)× u0 + un

2

Remarque :


Sn = u1 + u2 + . . . + un = n× u1 + un

2





Sn = u0 + u1 + . . . + un = (n + 1)× u0 + un

2

Remarque :


Sn = u1 + u2 + . . . + un = n× u1 + un

2


Sn = nombre de termes× premier terme + dernier terme2



Démonstration :

Sn = u0 + u1 + . . . + un

= u0 + (u0 + r) + . . . + (u0 + nr)= (n + 1)u0 + r(1 + 2 + . . . + n)

= (n + 1)u0 + r × n(n + 1)2

= (n + 1)(

u0 + nr

2

)= (n + 1)

(u0 + u0 + nr

2

)= (n + 1)

(u0 + un

2

)



Exercice 1

On considère la suite arithmétique définie par un = −12n + 4 avec n > 0.

Calculer S12 = u0 + u1 + . . . + u12


Sommaire





Sommaire






Définition 2Une suite (vn)n>0 est une si et seulement si il existe un réel q 6= 0tel que pour tout n :

q est alors appelé la de la suite (vn)



Définition 2Une suite (vn)n>0 est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q 6= 0tel que pour tout n :





vn+1 = q × vn





vn+1 = q × vn

q est alors appelé la raison de la suite (vn)



Propriété 4Si (vn) est une suite géométrique de raison q.

Pour tout n > 0, .

Pour tout n > 0 et p > 0, .

v0

0

v0 × q

1

v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1




Pour tout n > 0, .


v0

0

v0 × q

1

v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1




Pour tout n > 0, vn = v0 × qn .


v0

0

v0 × q

1

v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1






v0

0

v0 × q

1

v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1





Pour tout n > 0 et p > 0, vn = vp × qn−p .

v0

0

v0 × q

1

v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1





Pour tout n > 0 et p > 0, vn = vp × qn−p .

v0

0

v0 × q

1

v0 ×q 2

2

v0 × q3

3

v0 ×q 4

4

v0 × qn−1

n− 1

v0 ×q n

n

v0 × qn+1

n + 1



Démonstration :

En multipliant terme à terme les n égalités suivantes :

vn = q × vn−1

vn−1 = q × vn−2

. . .

v2 = q × v1

v1 = q × v0

vn = qn × v0

Remarque :

Si le premier terme de la suite est v1, on a, pour tout n > 1, .



Démonstration :

En multipliant terme à terme les n égalités suivantes :

vn = q × vn−1

vn−1 = q × vn−2

. . .

v2 = q × v1

v1 = q × v0

vn = qn × v0

Remarque :

Si le premier terme de la suite est v1, on a, pour tout n > 1, vn = v1 × qn−1 .


Sommaire






Propriété 5Pour tout n > 0 et pour tout q 6= 0 et q 6= 1 :

Démonstration :

S = q0 + q1 + · · ·+ qn−1 + qn

qS = q1 + q2 + · · ·+ qn + qn+1

S − qS = q0 − qn+1

S(1− q) = 1− qn+1

S = 1− qn+1

1− q




q0 + q1 + . . . + qn = 1− qn+1

1− q

Démonstration :

S = q0 + q1 + · · ·+ qn−1 + qn

qS = q1 + q2 + · · ·+ qn + qn+1

S − qS = q0 − qn+1

S(1− q) = 1− qn+1

S = 1− qn+1

1− q




q0 + q1 + . . . + qn = 1− qn+1

1− q

Démonstration :

S = q0 + q1 + · · ·+ qn−1 + qn

qS = q1 + q2 + · · ·+ qn + qn+1

S − qS = q0 − qn+1

S(1− q) = 1− qn+1

S = 1− qn+1

1− q



Exemple :

S = 20 + 21 + . . . + 212

= 1− 213

1− 2= 213 − 1= 8 191



Propriété 6Soit (vn) une suite géométrique de premier terme v0 et de raison q, q 6= 0 et q 6= 1 :

Remarque :






Sn = v0 + v1 + . . . + vn = v0 ×1− qn+1

1− q

Remarque :






Sn = v0 + v1 + . . . + vn = v0 ×1− qn+1

1− q

Remarque :






Sn = v0 + v1 + . . . + vn = v0 ×1− qn+1

1− q

Remarque :


Sn = v1 + v2 + . . . + vn = v1 ×1− qn

1− q





Sn = v0 + v1 + . . . + vn = v0 ×1− qn+1

1− q

Remarque :


Sn = v1 + v2 + . . . + vn = v1 ×1− qn

1− q


Sn = premier terme× 1− qnombre de termes

1− q



Démonstration :

Sn = v0 + v1 + . . . + vn

= v0 + v0q + . . . + v0qn

= v0 × (q0 + q1 + . . . + qn)

= v0 ×1− qn+1

1− q



Exercice 2On considère la suite géométrique définie par vn = −3× 2n avec n > 0.Calculer S12 = v0 + v1 + . . . + v12.


FIN


Documents

Suites arithmétiques et géométriques - rallymaths.free.frrallymaths.free.fr/premiere/VIDEO_COURS_110.pdf · 1.1Lesdéﬁlés 1.2Sommesfaciles 2.Suitesarithmétiques 2.1Sommedestermes